第五讲—乘法公式和因式分解的经典题型(作业)
因式分解公式法例题
因式分解公式法例题因式分解公式法可是咱们数学学习中的一个重要“武器”！今天咱就来好好聊聊这其中的门道。
先给大家讲讲平方差公式，就是 a² - b² = (a + b)(a - b) 。
比如说，咱们有个式子 9x² - 25 ，这就可以用平方差公式来分解。
9x²可以写成(3x)²，25 就是 5²，所以 9x² - 25 就等于 (3x + 5)(3x - 5) 。
再来说说完全平方公式，a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²。
就像 4x² + 12x + 9 ，这里 4x²是 (2x)²，9 是 3²，12x 正好是2×2x×3 ，所以 4x² + 12x + 9 就等于 (2x + 3)²。
我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个同学特别有意思。
那是个阳光明媚的上午，教室里的气氛也很活跃。
我出了一道因式分解的题目：x² - 16 。
大家都开始埋头思考，这时候有个平时挺调皮的男生，没一会儿就高高举起了手，自信满满地说：“老师，我会！这等于 (x + 4)(x - 4) 。
”我让他给大家讲讲思路，他站起来挠挠头说：“您刚讲的平方差公式嘛，x²是 x 的平方，16 是 4 的平方，这不就用公式一下子就出来啦！”大家都被他那副得意的样子逗笑了。
咱们继续看例题。
比如 16y² - 8y + 1 ，这个式子呢， 16y²是 (4y)²，1 是 1²，8y 是 2×4y×1 ，所以它就可以分解为 (4y - 1)²。
再看 25m² - 40mn + 16n²，25m²是 (5m)²，16n²是 (4n)²，40mn 是2×5m×4n ，那它就等于 (5m - 4n)²。
初二数学整式乘法与因式分解题目
初二数学整式乘法与因式分解题目嘿，同学们，在初二数学的整式乘法与因式分解这部分可是很重要的哦！让我来给大家好好讲讲。
先来说整式乘法。
整式乘法呢，就是把几个整式相乘得到一个新的整式。
比如说，我们来看 (x+2)(x-2) 这道题，这就可以用平方差公式来计算呀，结果就是x² - 4。
再比如，(2x+y)²，这就要用到完全平方公式啦，展开后就是4x² + 4xy + y²。
那因式分解呢，它其实就是整式乘法的逆运算。
把一个多项式表示成几个整式乘积的形式。
比如说，x² - 4 我们就可以把它因式分解为 (x+2)(x-2)。
给大家举个例子吧，就像3x² - 6x，我们可以先提取公因式 3x，得到3x(x-2)，这样就完成了因式分解。
整式乘法和因式分解在实际生活中也是有很多用处的哦。
比如说，我们要计算一个长方形的面积，这就涉及到整式乘法呀。
假设长方形的长是 3x 米，宽是 2x 米，那面积就是6x² 平方米。
再比如，我们要把一个大的任务分解成几个小的任务，这就像因式分解一样。
在做这些题目的时候呢，大家一定要细心，注意符号的变化，别粗心大意算错啦。
而且要多练习，熟能生巧嘛。
还有一点很重要哦，就是要理解公式的本质。
像平方差公式和完全平方公式，一定要理解透彻，知道它们是怎么来的，这样在遇到各种题目时才能灵活运用。
比如说，有一道题是这样的：已知 a+b=3，ab=2，求a²+b² 的值。
那我们就可以利用完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b² 来解决。
把 a+b=3 两边平方得到a²+2ab+b²=9，又因为 ab=2，所以 2ab=4，那么a²+b² 就等于 9-4=5。
大家听懂了吗？要是还有不懂的地方，随时来问我呀。
整式乘法与因式分解这部分内容可是为后面的数学学习打下坚实基础的，所以大家一定要好好掌握哦！。
八年级数学因式分解——乘法公式经典例题
乘法公式经典例题【例题1】利用乘法公式进行计算计算：)23()49()23()12()12(22)2(122b a b a b a a a ++--+-）（【例题2】完全平方公式开放探究题多项式142+x 加么？【例题3】利用乘法公式进行化简求值；的值。
求）已知（的值；求）已知（的值；求）已知（）（xx b a b a b a y x x x ab xy y x 222222221,313,,4,722121,11)(+=++==++=+-+【例题4】 乘法公式几何中的运用如图所示，长方形ABCD 被分成6个大小不一的正方形，已知中间一个正方行的面积为4，求长方形ABCD 中最大正方形与最小正方形的面积之差。
【例题5】运用完全平方公式的值。
求代数式已知c bc ac b ab a m c m b m a 4442222,321,221,121+--+++=+=+=因式分解专项练习例1 （公式法）分解因式：(1) 34381a b b -； (2) 76a ab -2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式例2 （分组分解法）分解因式：（1）2222()()ab c d a b cd ---（2）2222428x xy y z ++-3．十字相乘法（1）2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵2()x p q x pq +++2()()()()x px qx pq x x p q x p x p x q =+++=+++=++， ∴2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x -- (3) 226x xy y +- (4) 222()8()12x x x x +-++（2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)21252x x --；(2)22568x xy y +-例5（拆项法）分解因式3234x x -+。
初中数学八年级上《整式的乘法及因式分解》知识点及经典题型
整式的乘法及因式分解知识点1 •幕的运算性质：a m a n= a m+n(m、n为正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加. 例：(一2a)2(- 3a2)3mn2. a= a mn(m、n为正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘. 例：(-a5)53. ab “ a%" (n为正整数)积的乘方等于各因式乘方的积.4. a a= a"n(a^0, m、n都是正整数，且m>n) 同底数幕相除，底数不变，指数相减.5. 零指数幕的概念：a0= 1 (a z 0)任何一个不等于零的数的零指数幕都等于I.6. 负指数幕的概念：丄a p= a(a z0，p是正整数)任何一个不等于零的数的-p (p是正整数)指数幕，等于这个数的p指数幕的倒数.p pn m也可表示为：m n(m z0，n z0，p为正整数)7. 单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幕分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.8. 单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.9. 多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.10、因式分解中常用的公式，例如：(1) -----------------------------------------(a+b)(a-b) = a 2-b2 a 2-b 2=(a+b)(a-b);2 2 2 2 2 2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b -------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 1 2-ab+b2) =a 3+b3 ------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b 2);(4) (a-b)(a 2+ab+b2) = a 3-b3-------- a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式：2 2 2 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；(6) a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)；11、凡是能用十字相乘法分解因式的二次三项式ax2+bx+c，都要求b2 4ac >0而且是一个完全平方数。
初二数学八上整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题型练习题
整式乘法与因式分解知识点一、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数组成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示确实是错误的，应写成b a 2313-。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做那个单项式的次数。
如c b a 235-是6次单项式。
二、同类项：所有字母相同，而且相同字母的指数也别离相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
三、去括号法则①括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一路去掉，括号里各项都不变号。
②括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一路去掉，括号里各项都变号。
四、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）归并同类项。
整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=•),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n =22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+2222)(b ab a b a +-=-整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号， 同时还要注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要归并同类项。
（5）公式中的字母能够表示数，也能够表示单项式或多项式。
（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a pp ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把那个多项式的每一项除以那个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
五、因式分解一、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把那个多项式因式分解，也叫做把那个多项式分解因式。
整式的乘法与因式分解压轴题解析学习资料
整式的乘法与因式分解【知识脉络】【基础知识】1．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3 a2 b2×2abc=（3×2）×（a2 b2×abc）=6 a3 b3c2．单项式与多项式的乘法法则： a(b+c+d)= ab + ac + ad单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．3．多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．4．乘法公式：①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．5．因式分解（难点）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．一、掌握因式分解的定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2【典例解析】例题1：数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：（a﹣1）（b﹣2）．现将数对（m，1）放入其中，得到数n，再将数对（n，m）放入其中后，最后得到的数是﹣m2+2m ．（结果要化简）【考点】整式的混合运算．【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：（m﹣1）（1﹣2）=n，即n=1﹣m，则将数对（n，m）代入得：（n﹣1）（m﹣2）=（1﹣m﹣1）（m﹣2）=﹣m2+2m．故答案为：﹣m2+2m【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例题2：乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是a+b ，宽是a﹣b ，面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【考点】平方差公式的几何背景．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反过来也成立；（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；故答案为：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．例题3：如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A．b2+（b﹣a）2 B． b2+a2 C．（b+a）2 D． a2+2ab考点：勾股定理．分析：先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．解答：解：∵DE=b﹣a，AE=b，∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b=b2+（b﹣a）2．故选：A．点评:本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．例题4：如图1，我们在2017年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为10×12﹣4×18=48，再选择其他位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为24 ．（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2017，则这个十字星中心的数为975 （直接写出结果）．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由为：设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据相应的“十字差”为2017求出a的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；故答案为：24；（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；证明：设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据题意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2017，解得：a=975．故答案为：975．【跟踪训练】1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）2．2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？3.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题[2016年1月份的日历]日一二三四五六1 23 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 3031（1）计算：（12+92）﹣（22+82）= 14 ，﹣= 14 ，自己任选一个有4个数的方框进行计算14（2）通过计算你发现什么规律，并说明理由．5.已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．6. 已知，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为 1 ．7. ①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为2m﹣2m2+2m3．②6x2+5x﹣6 ÷（2x+3）=（3x﹣2）．③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是3a2b﹣ab2，则小丽报的是a﹣b ；若小丽报的是9a2b，则小玉报的整式是27a3b2．④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为a+c m．8. 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．参考答案：1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）2．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．【解答】解：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2．【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？【考点】多项式乘多项式．【分析】根据长乘以宽，表示出大长方形的面积，即可确定出三类卡片的张数．【解答】解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张．3.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【考点】因式分解的应用．【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．【解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，即（a﹣b）（a+b﹣c）=0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b=0，即a=b，则△ABC为等腰三角形．故选：C．4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题[2016年1月份的日历]日一二三四五六1 23 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 3031（1）计算：（12+92）﹣（22+82）= 14 ，﹣= 14 ，自己任选一个有4个数的方框进行计算14（2）通过计算你发现什么规律，并说明理由．【考点】整式的混合运算．【分析】（1）先算乘法，再合并即可；（2）设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，根据题意得出算式[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]，求出即可．【解答】解：（1）（12+92）﹣（22+82）=1+81﹣4﹣64=14，﹣=100+324﹣121﹣289=14，（32+112）﹣（42+102）=9+121﹣16﹣100=14，故答案为：14；（2）计算结果等于14，理由是：设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，所以[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]=n2+n2+16n+64﹣n2﹣2n﹣1﹣n2﹣14n﹣49=14．5.已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．【考点】完全平方公式．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴25=x2+y2+，∴x2+y2=∵（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，∴（x﹣y）2=﹣=16∴x﹣y=±46. 已知，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为 1 ．考点：因式分解-运用公式法．分析：首先利用完全平方公式展开进而合并同类项，再将已知代入求出即可．解答：解：∵（a+b）2﹣（a﹣b）2=（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2）=4ab，∴将，代入上式可得：原式=4ab=4××=1．故答案为：1．点评：此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．7. ①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为2m﹣2m2+2m3．②6x2+5x﹣6 ÷（2x+3）=（3x﹣2）．③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是3a2b﹣ab2，则小丽报的是a﹣b ；若小丽报的是9a2b，则小玉报的整式是27a3b2．④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为a+c m．考点：整式的混合运算．分析：①利用2m乘1﹣m+m2计算即可；②把除式和商相乘即可；③根据被除式÷商=除式，被除式=除式×商列式计算即可；④利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等，而原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，得到4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，又此块地的宽为（a+b）米，根据矩形的面积公式得到此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b），把被除式分解后再进行除法运算即可得到结论．解答：解：①2m（1﹣m+m2）=2m﹣2m2+2m3；②（2x+3）（3x﹣2）=6x2+5x﹣6；③（3a2b﹣ab2）÷3ab=a﹣b，3ab•9a2b=27a3b2；④∵原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，∴将这4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，而此块地的宽为（a+b）米，∴此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b）=（a2+ac+bc+ab）÷（a+b）=[a（a+c）+b（a+c）÷（a+b）]=（a+b）（a+c）÷（a+b）=a+c．故答案为：2m﹣2m2+2m3；6x2+5x﹣6；a﹣b，27a3b2；a+c．点评：此题考查整式的混合运算，掌握计算方法是解决问题的关键．8. 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．考点：因式分解的应用．专题：阅读型．分析：（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．解答：解：（1）m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥．则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5．点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．。
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题知识点： 1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()nm mn a a =⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考题：一．选择题（共12小题）面积为（）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2二．填空题（共13小题）13．分解因式：3x2﹣27= ．14．分解因式：a2﹣1= ．15．因式分解：x2﹣9y2= ．16．分解因式：x3﹣4x= ．17．因式分解：a3﹣ab2= ．18．分解因式：x2+6x+9= ．19．分解因式：2a2﹣4a+2= ．20．分解因式：x3﹣6x2+9x= ．21．分解因式：ab2﹣2ab+a= ．22．分解因式：2a3﹣8a2+8a= ．23．分解因式：3a2﹣12ab+12b2= ．24．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= ．25．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．三．解答题（共15小题）26．计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）27．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．28．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2．29．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．30．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．31．若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．32．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．33．（2a+b+1）（2a+b﹣1）34．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．35．分解因式：（1）a4﹣16；（2）x2﹣2xy+y2﹣9．36．分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．37．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．38．因式分解（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；（2）（a2+1）2﹣4a2．39．因式分解：（1）3x﹣12x3（2）6xy2+9x2y+y3．40．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2015•甘南州）下列运算中，结果正确的是（）A．x3•x3=x6 B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、合并同类项得到结果，即可做出判断；C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、x3•x3=x6，本选项正确；B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；C、（x2）3=x6，本选项错误；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选A【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．2．（2008•南京）计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5 D．a3b6【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．【解答】解：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．故选D．【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．3．（2011•呼和浩特）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x6【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．【解答】解：2x2•（﹣3x3），=2×（﹣3）•（x2•x3），=﹣6x5．故选：A．【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．4．（2005•茂名）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【解答】解：A、是多项式乘法，故A选项错误；B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B选项错误；C、提公因式法，故C选项正确；D、右边不是积的形式，故D选项错误；故选：C．【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．5．（2017春•薛城区期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；D、﹣x2+9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．6．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．7．（2009•眉山）下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）2【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．【解答】解：A、是平方差公式，故A选项正确；B、是完全平方公式，故B选项正确；C、是提公因式法，故C选项正确；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．8．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：A．【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．9．（2016秋•南漳县期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m 的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0，解得m=﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．10．（2009•内江）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．11．（2013•枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b=a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．12．（2012•枣庄）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）=3（2a+5）=6a+15（cm2）．故选B．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是关键．二．填空题（共13小题）13．（2015•黄石）分解因式：3x2﹣27= 3（x+3）（x﹣3）．【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x2﹣27，=3（x2﹣9），=3（x+3）（x﹣3）．故答案为：3（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．14．（2013•上海）分解因式：a2﹣1= （a+1）（a﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．15．（2013•邵阳）因式分解：x2﹣9y2= （x+3y）（x﹣3y）．【分析】直接利用平方差公式分解即可．【解答】解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．16．（2017•大庆）分解因式：x3﹣4x= x（x+2）（x﹣2）．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．17．（2016•乐山）因式分解：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b）．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．18．（2013•三明）分解因式：x2+6x+9= （x+3）2．【分析】直接用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2+6x+9=（x+3）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键．19．（2017•咸宁）分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2．故答案为：2（a﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．（2015•西藏）分解因式：x3﹣6x2+9x= x（x﹣3）2．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣6x2+9x，=x（x2﹣6x+9），=x（x﹣3）2．故答案为：x（x﹣3）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．21．（2008•大庆）分解因式：ab2﹣2ab+a= a（b﹣1）2．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：ab2﹣2ab+a，=a（b2﹣2b+1），=a（b﹣1）2．【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．22．（2013•安顺）分解因式：2a3﹣8a2+8a= 2a（a﹣2）2．【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：2a3﹣8a2+8a，=2a（a2﹣4a+4），=2a（a﹣2）2．故答案为：2a（a﹣2）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．23．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2= 3（a﹣2b）2．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．【解答】解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．故答案为：3（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．24．（2013•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= 3 ．【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n 的值．【解答】解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，故m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．25．（2014•西宁）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为70 ．【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．【解答】解：∵a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．故答案为：70．【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．三．解答题（共15小题）26．（2006•江西）计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）【分析】利用完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项．【解答】解：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x），=x2﹣2xy+y2﹣（y2﹣4x2），=x2﹣2xy+y2﹣y2+4x2，=5x2﹣2xy．【点评】本题考查完全平方公式，平方差公式，属于基础题，熟记公式是解题的关键，去括号时要注意符号的变化．27．（2013春•苏州期末）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．【解答】解：4x•32y=22x•25y=22x+5y∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=8．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．28．（2009•十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2．【分析】（1）把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．【解答】解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；（2）∵（a+b）2=a2+2ab+b2∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=32﹣2×2，=5．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．29．（2015•张家港市模拟）若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【分析】（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2（x+y）=8，∴xy+2×3=8，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy=32+2=11．【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．30．（2014秋•德惠市期末）先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2=﹣20a2+9a，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．31．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．【分析】根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．【解答】解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代入=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．32．（2012春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．33．（2011春•乐平市期中）（2a+b+1）（2a+b﹣1）【分析】把（2a+b）看成整体，利用平方差公式和完全平方公式计算后整理即可．【解答】解：（2a+b+1）（2a+b﹣1），=（2a+b）2﹣1，=4a2+4ab+b2﹣1．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，构造成公式结构是利用公式的关键，需要熟练掌握并灵活运用．34．（2009•贺州）分解因式：x3﹣2x2y+xy2．【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2），=x（x﹣y）2．【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题难点在于要进行二次分解．35．（2011•雷州市校级一模）分解因式：（1）a4﹣16；（2）x2﹣2xy+y2﹣9．【分析】（1）两次运用平方差公式分解因式；（2）前三项一组，先用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行分解．【解答】解：（1）a4﹣16=（a2）2﹣42，=（a2﹣4）（a2+4），=（a2+4）（a+2）（a﹣2）；（2）x2﹣2xy+y2﹣9，=（x2﹣2xy+y2）﹣9，=（x﹣y）2﹣32，=（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）．【点评】（1）关键在于需要两次运用平方差公式分解因式；（2）主要考查分组分解法分解因式，分组的关键是两组之间可以继续分解因式．36．（2008春•利川市期末）分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．【分析】显然只需将y﹣x=﹣（x﹣y）变形后，即可提取公因式（x﹣y），然后再运用平方差公式继续分解因式．【解答】解：x2（x﹣y）+（y﹣x），=x2（x﹣y）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x2﹣1），=（x﹣y）（x﹣1）（x+1）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．37．（2009秋•三台县校级期末）分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．【分析】（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．38．（2009春•扶沟县期中）因式分解（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；（2）（a2+1）2﹣4a2．【分析】（1）先提取公因式﹣8a，再用完全平方公式继续分解．（2）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2，=﹣8a（x2﹣2xy+y2），=﹣8a（x﹣y）2；（2）（a2+1）2﹣4a2，=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a），=（a+1）2（a﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．39．（2011秋•桐梓县期末）因式分解：（1）3x﹣12x3（2）6xy2+9x2y+y3．【分析】（1）先提取公因式3x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．．【解答】解：（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）6xy2+9x2y+y3=y（6xy+9x2+y2）=y（3x+y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．40．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．【分析】先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．【解答】解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）=±2×5•（x+y），解得a=±10．【点评】本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．。
(完整版)整式的乘法与因式分解专题训练
整式的乘法和因式分解一、整式的运算1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值；2、若32=n a，则n a 6= . 3、若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。
4、已知2x +1⋅3x -1=144，求x ；5．2005200440.25⨯= .6、( 23)2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。
7、如果(x +q )(3x -4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项8、设m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2010的值二、乘法公式的变式运用1、位置变化，(x +y )(-y +x )2、符号变化，(-x +y )(-x -y )3、指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)44、系数变化，(2a +b )(2a -b )5、换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]6、增项变化，(x -y +z )(x -y -z )7、连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)8、逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2三、乘法公式基础训练:1、计算 （1）1032 （2）19822、计算 （1）(a -b +c )2 （2）(3x +y -z )23、计算 （1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)4、计算 （1）19992-2000×1998 （2）22007200720082006-⨯．四、乘法公式常用技巧1、已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
变式练习：已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
2、已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
变式练习：已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
乘法公式与因式分解练习
乘法公式与因式分解练习乘法公式和因式分解是初中数学中常见的两个概念。
乘法公式是指通过一定的规则来求解乘法运算，而因式分解则是将一个复杂的代数式分解为若干个简单的乘积形式。
在本文中，我们将通过练习来加深对乘法公式和因式分解的理解。
一、乘法公式练习1. 计算下列乘法：(1) (5 + 7)(3 + 2)(2) (4 - 6)(2 - 1)(3) (8 + 3)(2 - 5)(4) (10 - 2)(6 - 4)2. 计算下列算式的值：(1) (3^2 + 2^2) - 2(3 × 2)(2) (5 + 7)^2 - (3 - 2)^2(3) (4^2 - 3^2) + 2(4 × 3)(4) (8 - 6)^2 + (5 - 4)^2二、因式分解练习1. 将下列代数式因式分解：(1) x^2 + 6x + 9(2) a^2 - 4(3) 9x^2 - 25(4) 16x^2 - 9y^22. 将下列代数式完全因式分解：(1) 4x^2 - 12xy + 9y^2(2) x^2 - 5x + 6(3) 9x^2 - 4(4) 25x^2 - 4y^2以上练习可以帮助我们巩固和熟悉乘法公式和因式分解的运用。
通过这些练习，我们能更好地理解乘法公式的运用规则，以及因式分解的方法和步骤。
通过大量的练习，我们可以提高自己的解题速度和准确率。
总结：乘法公式和因式分解是初中数学中的重要内容。
通过对乘法公式和因式分解的练习，我们能更好地理解和应用它们，在解决数学问题时更加得心应手。
因此，我们要充分利用练习机会，不断提升自己的数学能力。
以上练习题中的内容涵盖了乘法公式和因式分解的常见形式，希望对您有所帮助。
通过不断的练习和积累，相信您能够在数学学习中取得更好的成绩。
为了进一步提高自己的能力，您还可以寻找更多的习题进行练习，加深对乘法公式和因式分解的理解和掌握。
祝您学习进步，数学顺利！。
初二整式地乘法与因式分解所有知识点总结材料和常考题提高难题压轴题练习(含问题详解解析汇报)
适用标准初二整式的乘法与因式分解全部知识点总结和常考题知识点：1.根本运算：⑴同底数幂的乘法：a m a n a m nn⑵幂的乘方：a m a mn⑶积的乘方：ab n a n b n2.整式的乘法：⑴单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不一样字母为积的因式.⑵单项式多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式： a b a b a2 b2⑵完整平方公式： a b 2a22ab b2； a b 2a22ab b24.整式的除法：⑴同底数幂的除法：a m a n a m n⑵单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不一样字母作为商的因式.⑶多项式单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式多项式：用竖式 .5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式 , 这种变形叫做把这个式子因式分解 .6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式 . ⑵公式法：①平方差公式： a2b2 a b a b②完整平方公式： a22ab b2a2 b③立方和： a3b3(a b)(a2ab b2 )④立方差： a3b3(a b)(a2ab b2 )⑶十字相乘法： x2p q x pq x p x q⑷拆项法⑸添项法常考题：一．选择题〔共12 小题〕1．以下运算中，结果正确的选项是〔〕文档大全适用标准3 3 62+2x 24．〔 2〕3 5．〔〕2 2+y 2A ．x ?x =xB ．3x =5xC x=x Dx+y =x2．计算〔 ab 2〕3的结果是〔 〕 A ．ab 5 B ．ab 6 C ．a 3b 5 D ．a 3b 63．计算 2x 2?〔﹣ 3x 3〕的结果是〔〕A ．﹣ 6x 5B ．6x 5C ．﹣ 2x 6D ． 2x 64．以下各式由左侧到右侧的变形中，是分解因式的为〔 〕A ．a 〔x+y 〕=ax+ayB ． x 2﹣4x+4=x 〔x ﹣4〕+4C ．10x 2﹣5x=5x 〔2x ﹣1〕D ．x 2﹣ 16+3x=〔x ﹣4〕〔x+4〕 +3x 5．以下多项式中能用平方差公式分解因式的是〔 〕 A ．a 2+〔﹣ b 〕 2 B ．5m 2﹣20mn C ．﹣ x 2﹣y 2 D ．﹣ x 2+9 6．以下各式中能用完整平方公式进行因式分解的是〔 〕A ．x 2+x+1B ．x 2+2x ﹣1C ．x 2﹣ 1D ．x 2﹣ 6x+9 7．以下因式分解错误的选项是〔 ． 〕 2 ． 2+xy=x 〔 x+y 〕 A ．x 2﹣y 2 〔 x+y 〕〔 ﹣ 〕 x 2+6x+9=〔 x+3〕 C x = x y B2+y 2 〔 〕2D ． x= x+y8．把代数式 ax 2﹣4ax+4a 分解因式，以下结果中正确的选项是〔〕A ．a 〔x ﹣2〕2B ．a 〔x+2〕 2C ． a 〔 x ﹣4〕2D ．a 〔x+2〕〔 x ﹣ 2〕 9．如〔 x+m 〕与〔 x+3〕的乘积中不含 x 的一次项，那么 m 的值为〔 〕 A ．﹣ 3 B ．3 C ．0 D ．110．在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形〔 a ＞b 〕〔如图甲〕，把余下的局部拼成一个矩形〔如图乙〕 ，依据两个图形中暗影局部的面积相等，可 以考证〔 〕A ．〔a+b 〕2=a 2+2ab+b 2B ．〔 a ﹣ b 〕 2=a 2﹣2ab+b 2C ．a 2﹣ b 2=〔 a+b 〕〔 a ﹣ b 〕D ．〔a+2b 〕〔 a ﹣ b 〕 =a 2+ab ﹣ 2b 211．图〔1〕是一个长为 2a ，宽为 2b 〔a ＞b 〕的长方形，用剪刀沿图中虚线〔对 称轴〕剪开，把它分红四块形状和大小都同样的小长方形，而后按图〔 2〕那样 拼成一个正方形，那么中间空的局部的面积是〔 〕． ab B ．〔 a+b 〕 2 C ．〔a ﹣b 〕22﹣b 2AD ．a12．如图，从边长为〔 a+4〕cm 的正方形纸片中剪去一个边长为〔 a+1〕cm 的正方形〔 a ＞0〕，节余局部沿虚线又剪拼成一个矩形〔不重叠无空隙〕 ，那么矩形的面积为〔〕文档大全2+5a〕cm2．〔6a+15〕cm2．〔〕2．〔〕2A．〔2a B C6a+9cm D3a+15cm 二．填空题〔共13 小题〕13．分解因式：3x2﹣27=．．．分解因式：2﹣1=14a．．因式分解：2﹣9y2=15x．．分解因式：3﹣4x=16x．．因式分解：3﹣ ab2=17a18．分解因式： x2+6x+9=．．．分解因式：2﹣ 4a+2=192a．．分解因式：3﹣6x2+9x=20x2﹣ 2ab+a=．．分解因式：21ab22．分解因式：2a3﹣ 8a2+8a=．23．分解因式：3a2﹣ 12ab+12b2=．24．假定m 2﹣n2，且m﹣，那么．=6n=2m+n=10，那么 a2b+ab2的值25．如图，边长为 a、b 的矩形，它的周长为14，面积为为．三．解答题〔共15 小题〕26．计算：〔 x﹣y〕2﹣〔 y+2x〕〔y﹣ 2x〕x y27．假定 2x+5y﹣3=0，求 4 ?32 的值．28．： a+b=3，ab=2，求以下各式的值：（1〕 a2b+ab2（2〕 a2+b2．29．假定 x+y=3，且〔 x+2〕〔y+2〕 =12．（1〕求 xy 的值；（2〕求 x2+3xy+y2的值．30．先化简，再求值3a〔2a2﹣4a+3〕﹣ 2a2〔3a+4〕，此中 a=﹣ 2．31．假定 a2﹣2a+1=0．求代数式的值．32．分解因式：（1〕 2x2﹣ x；（2〕 16x2﹣1；（3〕 6xy2﹣9x2y﹣ y3；文档大全（4〕 4+12〔 x﹣y〕+9〔x﹣y〕2．33．〔 2a+b+1〕〔 2a+b﹣1〕34．分解因式： x3﹣2x2y+xy2．35．分解因式：（1〕 a4﹣16；（2〕 x2﹣2xy+y2﹣ 9．236．分解因式 x 〔x﹣ y〕 +〔 y﹣x〕．（1〕 a2〔x﹣y〕 +16〔y﹣x〕；（2〕〔x2+y2〕2﹣4x2y2．38．因式分解（1〕﹣ 8ax2+16axy﹣8ay2；（2〕〔a2+1〕2﹣ 4a2．39．因式分解：（1〕 3x﹣12x3（2〕 6xy2+9x2y+y3．40．假定 x2+2xy+y2﹣a〔x+y〕+25 是完整平方式，求 a 的值．文档大全初二整式的乘法与因式分解全部知识点总结和常考题提高难题压轴题练习( 含答案分析 )参照答案与试题分析一．选择题〔共12 小题〕1．〔2021?甘南州〕以下运算中，结果正确的选项是〔〕3 3 62+2x24．〔2〕35．〔〕2 2+y2A．x ?x =x B．3x=5x C x=x D x+y =x【剖析】 A、利用同底数幂的乘法法那么计算获得结果，即可做出判断；B、归并同类项获得结果，即可做出判断；C、利用幂的乘方运算法那么计算获得结果，即可做出判断；D、利用完整平方公式睁开获得结果，即可做出判断．【解答】解： A、x3?x3=x6，本选项正确；B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；C、〔x2〕3=x6，本选项错误；D、〔x+y〕2=x2+2xy+y2，本选项错误，应选 A【评论】本题考察了完整平方公式，归并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，娴熟掌握公式及法那么是解本题的重点．2．〔2021?南京〕计算〔 ab2〕3的结果是〔〕A．ab5 B．ab6 C．a3b5 D．a3b6【剖析】依据积的乘方的性质进行计算，而后直接选用答案即可．【解答】解：〔ab2〕3=a3?〔b2〕3=a3b6．应选 D．【评论】本题考察积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．3．〔2021?呼和浩特〕计算 2x2?〔﹣ 3x3〕的结果是〔〕A．﹣ 6x5B．6x5C．﹣ 2x6D． 2x6【剖析】依据单项式乘单项式的法那么和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选用答案．【解答】解： 2x2〔﹣3〕，?3x=2×〔﹣ 3〕 ?〔 x2?x3〕，5=﹣6x ．【评论】本题主要考察单项式相乘的法那么和同底数幂的乘法的性质．4．〔2005?茂名〕以下各式由左侧到右侧的变形中，是分解因式的为〔〕2A．a〔x+y〕=ax+ay B． x ﹣4x+4=x〔x﹣4〕+4C．10x2﹣5x=5x〔2x﹣1〕D．x2﹣ 16+3x=〔x﹣4〕〔x+4〕 +3x【剖析】依据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用清除法求解．文档大全适用标准【解答】解： A、是多项式乘法，故 A 选项错误；B、右侧不是积的形式， x2﹣4x+4=〔x﹣2〕2，故 B 选项错误；C、提公因式法，故 C 选项正确；应选： C．【评论】这种问题的重点在于可否正确应用分解因式的定义来判断．5．〔2021 春?薛城区期末〕以下多项式中能用平方差公式分解因式的是〔〕A．a2+〔﹣ b〕2 B．5m2﹣20mn C．﹣ x2﹣y2 D．﹣ x2+9【剖析】能用平方差公式分解因式的式子特色是：两项平方项，符号相反．【解答】解： A、a2+〔﹣ b〕2符号同样，不可以用平方差公式分解因式，故 A 选项错误；B、5m2﹣20mn 两项不都是平方项，不可以用平方差公式分解因式，故 B 选项错误；C、﹣ x2﹣y2符号同样，不可以用平方差公式分解因式，故 C 选项错误；D、﹣ x2 +9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故 D 选项正确．【评论】本题考察用平方差公式分解因式的式子特色，两平方项的符号相反．6．〔2021?张家界〕以下各式中能用完整平方公式进行因式分解的是〔〕2222A．x +x+1 B．x +2x﹣1C．x ﹣ 1D．x ﹣ 6x+9【剖析】依据完整平方公式的特色：两项平方项的符号同样，另一项为哪一项两底数积的 2 倍，对各选项剖析判断后利用清除法求解．【解答】解：A、x2+x+1 不切合完整平方公式法分解因式的式子特色，故A错误；B、x2+2x﹣ 1 不切合完整平方公式法分解因式的式子特色，故 B 错误；C、x2﹣ 1 不切合完整平方公式法分解因式的式子特色，故 C 错误；D、x2﹣ 6x+9=〔x﹣3〕2，故 D 正确．应选： D．【评论】本题考察了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特色需熟记．7．〔2021?眉山〕以下因式分解错误的选项是〔〕A．x2﹣ y2=〔 x+y〕〔x﹣y〕B．x2+6x+9=〔 x+3〕2 C ． x2+xy=x 〔 x+y 〕D． x2+y2=〔x+y〕2【剖析】依据公式特色判断，而后利用清除法求解．【解答】解： A、是平方差公式，故 A 选项正确；B、是完整平方公式，故 B 选项正确；C、是提公因式法，故 C 选项正确；D、〔x+y〕2=x2+2xy+y2，故 D 选项错误；应选： D．【评论】本题主要考察了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．8．〔2021?菏泽〕把代数式 ax2﹣ 4ax+4a 分解因式，以下结果中正确的选项是〔〕A．a〔x﹣2〕2 B．a〔x+2〕2C． a〔 x﹣4〕2D．a〔x+2〕〔 x﹣ 2〕文档大全适用标准【剖析】先提取公因式 a，再利用完整平方公式分解即可．【解答】解： ax2﹣4ax+4a，2=a〔x ﹣4x+4〕，应选： A．【评论】本题先提取公因式，再利用完整平方公式分解，分解因式时必定要分解完全．9．〔2021 秋?南漳县期末〕如〔 x+m〕与〔 x+3〕的乘积中不含 x 的一次项，那么 m 的值为〔〕A．﹣ 3 B．3 C．0 D．1m 看作常【剖析】先用多项式乘以多项式的运算法那么睁开求它们的积，而且把数归并对于 x 的同类项，令 x 的系数为 0，得出对于 m 的方程，求出 m 的值．【解答】解：∵〔 x+m〕〔x+3〕=x2+3x+mx+3m=x2+〔3+m〕 x+3m，又∵乘积中不含x 的一次项，∴3+m=0，解得 m=﹣3．应选： A．【评论】本题主要考察了多项式乘多项式的运算，依据乘积中不含哪一项，那么哪一项的系数等于 0 列式是解题的重点．10．〔 2021?内江〕在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形〔 a＞b〕〔如图甲〕，把余下的局部拼成一个矩形〔如图乙〕，依据两个图形中暗影局部的面积相等，能够考证〔〕A．〔a+b〕2=a2+2ab+b2B．〔 a﹣ b〕2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣ b2=〔 a+b〕〔 a﹣ b〕 D．〔a+2b〕〔 a﹣ b〕 =a2+ab﹣ 2b2【剖析】第一个图形中暗影局部的面积计算方法是边长是 a 的正方形的面积减去边长是 b 的小正方形的面积，等于 a2﹣ b2；第二个图形暗影局部是一个长是〔a+b〕，宽是〔 a﹣b〕的长方形，面积是〔 a+b〕〔a﹣b〕；这两个图形的暗影局部的面积相等．【解答】解：∵图甲中暗影局部的面积=a2﹣ b2，图乙中暗影局部的面积=〔a+b〕（a﹣ b〕，而两个图形中暗影局部的面积相等，∴暗影局部的面积=a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕．应选：C．【评论】本题主要考察了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．文档大全11．〔 2021?枣庄〕图〔 1〕是一个长为 2a，宽为 2b〔a＞b〕的长方形，用剪刀沿图中虚线〔对称轴〕剪开，把它分红四块形状和大小都同样的小长方形，而后按图〔 2〕那样拼成一个正方形，那么中间空的局部的面积是〔〕．ab B．〔 a+b〕2C．〔a﹣b〕22﹣b2A D．a【剖析】中间局部的四边形是正方形，表示出边长，那么面积能够求得．【解答】解：中间局部的四边形是正方形，边长是 a+b﹣ 2b=a﹣ b，那么面积是〔 a﹣ b〕2．应选： C．【评论】本题考察了列代数式，正确表示出小正方形的边长是重点．12．〔2021?枣庄〕如图，从边长为〔a+4〕cm 的正方形纸片中剪去一个边长为〔a+1〕cm 的正方形〔 a＞0〕，节余局部沿虚线又剪拼成一个矩形〔不重叠无空隙〕，那么矩形的面积为〔〕A．〔2a2+5a〕cm2B．〔6a+15〕cm2C．〔6a+9〕cm2 D．〔3a+15〕 cm2【剖析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．22=〔a+4+a+1〕〔 a+4﹣a﹣1〕=3〔2a+5〕2=6a+15〔 cm 〕．【评论】本题考察了平方差公式的几何背景，理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是重点．二．填空题〔共13 小题〕13．〔 2021?黄石〕分解因式： 3x2﹣27= 3〔 x+3〕〔x﹣3〕．【剖析】察看原式 3x2﹣27，找到公因式 3，提出公因式后发现 x2﹣9 切合平方差公式，利用平方差公式持续分解．【解答】解： 3x2﹣27，=3〔x+3〕〔 x﹣ 3〕．故答案为： 3〔x+3〕〔 x﹣ 3〕．【评论】本题主要考察提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的重点，难点在于要进行二次分解因式．14．〔 2021?上海〕分解因式： a2﹣ 1=〔a+1〕〔a﹣1〕．【剖析】切合平方差公式的特色，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：22a ﹣b =〔 a+b〕〔 a﹣ b〕．【解答】解： a2﹣ 1=〔a+1〕〔a﹣1〕．【评论】本题主要考察平方差公式分解因式，熟记公式是解题的重点．15．〔 2021?邵阳〕因式分解： x2﹣ 9y2=〔x+3y〕〔x﹣3y〕．【剖析】直接利用平方差公式分解即可．【解答】解： x2﹣9y2=〔x+3y〕〔 x﹣3y〕．【评论】本题主要考察利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的重点．16．〔 2021?大庆〕分解因式： x3﹣ 4x= x〔 x+2〕〔 x﹣2〕．【剖析】应先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式持续分解．3【解答】解： x ﹣4x，=x〔 x+2〕〔 x﹣ 2〕．故答案为： x〔 x+2〕〔 x﹣2〕．【评论】本题考察了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式必定要完全，直到不可以再分解为止．17．〔 2021?乐山〕因式分解： a3﹣ ab2= a〔a+b〕〔a﹣b〕．【剖析】察看原式 a3﹣ ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式持续分解可得．【解答】解： a3﹣ ab2=a〔a2﹣b2〕 =a〔a+b〕〔a﹣b〕．【评论】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，而后再应用一次公式．本题考点：因式分解〔提取公因式法、应用公式法〕．18．〔 2021?三明〕分解因式： x2+6x+9=〔x+3〕2．【剖析】直接用完整平方公式分解即可．22【评论】本题考察了公式法分解因式，熟记完整平方公式法的结构特色是解题的重点．2219．〔 2021?咸宁〕分解因式： 2a ﹣4a+2= 2〔a﹣1〕．【解答】解：原式 =2〔a2﹣2a+1〕故答案为： 2〔a﹣ 1〕2．【评论】本题考察了提公因式法与公式法的综合运用，娴熟掌握因式分解的方法是解本题的重点．20．〔 2021?西藏〕分解因式： x3﹣ 6x2+9x= x〔x﹣3〕2．【剖析】先提取公因式 x，再对余下的多项式利用完整平方公式持续分解．322=x〔 x ﹣6x+9〕，故答案为： x〔 x﹣ 3〕2．【评论】本题考察提公因式法分解因式和利用完整平方公式分解因式，重点在于需要进行二次分解因式．21．〔 2021?大庆〕分解因式： ab2﹣2ab+a= a〔 b﹣ 1〕2．【剖析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用完整平方公式持续分解．【解答】解： ab2﹣2ab+a，2=a〔b ﹣2b+1〕，【评论】考察提公因式法分解因式和利用完整平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完整平方公式进行二次因式分解．22．〔 2021?安顺〕分解因式： 2a3﹣8a2+8a= 2a〔 a﹣ 2〕2．【剖析】先提取公因式 2a，再对余下的多项式利用完整平方公式持续分解．322=2a〔 a ﹣4a+4〕，故答案为： 2a〔a﹣2〕2．【评论】本题考察了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式第一提取公因式，而后再用其余方法进行因式分解，同时因式分解要完全，直到不可以分解为止．23．〔 2021?菏泽〕分解因式： 3a2﹣12ab+12b2= 3〔a﹣2b〕2．【剖析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完整平方公式持续分解即可求得答案．【解答】解： 3a2﹣ 12ab+12b2=3〔 a2﹣4ab+4b2〕 =3〔a﹣2b〕2．故答案为： 3〔a﹣ 2b〕2．【评论】本题考察了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式第一提取公因式，而后再用其余方法进行因式分解，注意因式分解要完全．24．〔 2021?内江〕假定 m2﹣n2=6，且 m﹣n=2，那么 m+n= 3．【剖析】将 m2﹣ n2按平方差公式睁开，再将 m﹣ n 的值整体代入，即可求出m+n 的值．【解答】解： m2﹣n2=〔m+n〕〔m﹣ n〕 =〔 m+n〕× 2=6，故 m+n=3．故答案为： 3．【评论】本题考察了平方差公式，比较简单，重点是要熟习平方差公式〔a+b〕（a﹣ b〕 =a2﹣ b2．25．〔 2021?西宁〕如图，边长为 a、b 的矩形，它的周长为 14，面积为 10，那么a2b+ab2的值为 70 ．【剖析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积有关的式子，代入求值即可．【解答】解：∵ a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab〔a+b〕=70．故答案为： 70．【评论】本题既考察了对因式分解方法的掌握，又考察了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．三．解答题〔共15 小题〕26．〔 2006?江西〕计算：〔x﹣y〕2﹣〔 y+2x〕〔 y﹣ 2x〕【剖析】利用完整平方公式，平方差公式睁开，再归并同类项．【解答】解：〔x﹣ y〕2﹣〔 y+2x〕〔y﹣2x〕，=x2﹣2xy+y2﹣〔 y2﹣ 4x2〕，2222=x ﹣2xy+y ﹣y +4x ，【评论】本题考察完整平方公式，平方差公式，属于根基题，熟记公式是解题的重点，去括号时要注意符号的变化．27．〔2021 春?苏州期末〕假定2x+5y﹣3=0，求 4x?32y的值．【剖析】由方程可得 2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为 2 的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．+【解答】解： 4x?32y=22x?25y=22x 5y∵2x+5y﹣3=0，即 2x+5y=3，∴原式 =23=8．【评论】本题考察了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的重点．28．〔 2021?十堰〕： a+b=3，ab=2，求以下各式的值：（1〕 a2b+ab2（2〕 a2+b2．【剖析】〔1〕把代数式提取公因式ab 后把 a+b=3， ab=2整体代入求解；（2〕利用完整平方公式把代数式化为的形式求解．【解答】解：〔1〕a2 b+ab2=ab〔a+b〕 =2×3=6；（2〕∵〔 a+b〕2=a2+2ab+b2∴a2+b2=〔a+b〕2﹣2ab，2=3 ﹣2×2，【评论】本题考察了提公因式法分解因式，完整平方公式，重点是将原式整理成条件的形式，即转变为两数和与两数积的形式，将 a+b=3，ab=2 整体代入解答．29．〔 2021?张家港市模拟〕假定x+y=3，且〔 x+2〕〔 y+2〕=12．（1〕求 xy 的值；（2〕求 x2+3xy+y2的值．【剖析】〔1〕先去括号，再整体代入即可求出答案；（2〕先变形，再整体代入，即可求出答案．【解答】解：〔1〕∵ x+y=3，〔x+2〕〔y+2〕=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2〔x+y〕=8，∴ xy+2×3=8，∴ xy=2；（2〕∵ x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2=〔x+y〕2+xy=32+2=11．【评论】本题考察了整式的混淆运算和完整平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．30．〔 2021 秋?德惠市期末〕先化简，再求值3a〔 2a2﹣ 4a+3〕﹣ 2a2〔 3a+4〕，其中 a=﹣ 2．【剖析】第一依据单项式与多项式相乘的法那么去掉括号，而后归并同类项，最后辈入的数值计算即可．【解答】解： 3a〔 2a2﹣ 4a+3〕﹣ 2a2〔3a+4〕3232=6a ﹣12a +9a﹣ 6a ﹣ 8a当 a=﹣ 2 时，原式 =﹣ 20×4﹣9×2=﹣98．【评论】本题考察了整式的化简．整式的加减运算实质上就是去括号、归并同类项，这是各地中考的常考点．31．〔 2007?天水〕假定 a2﹣2a+1=0．求代数式的值．【剖析】依据完整平方公式先求出 a 的值，再代入求出代数式的值．【解答】解：由 a2﹣2a+1=0 得〔 a﹣1〕2=0，∴a=1；把 a=1 代入=1+1=2．故答案为： 2．【评论】本题考察了完整平方公式，灵巧运用完整平方公式先求出 a 的值，是解决本题的重点．32．〔 2021 春?郯城县期末〕分解因式：（1〕 2x2﹣ x；（2〕 16x2﹣1；（3〕 6xy2﹣9x2y﹣ y3；（4〕 4+12〔 x﹣y〕+9〔x﹣y〕2．【剖析】〔1〕直接提取公因式x 即可；（2〕利用平方差公式进行因式分解；（3〕先提取公因式﹣ y，再对余下的多项式利用完整平方公式持续分解；（4〕把〔 x﹣y〕看作整体，利用完整平方公式分解因式即可．【解答】解：〔1〕2x2﹣ x=x〔2x﹣1〕；（2〕 16x2﹣1=〔4x+1〕〔4x﹣1〕；（3〕 6xy2﹣9x2y﹣ y3，22=﹣y〔9x ﹣6xy+y 〕，（4〕 4+12〔 x﹣y〕+9〔x﹣y〕2，=[ 2+3〔x﹣ y〕 ] 2，=〔3x﹣ 3y+2〕2．【评论】本题考察了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在〔 3〕，提取公因式﹣ y 后，需要持续利用完整平方公式进行二次因式分解．33．〔 2021 春?乐平市期中〕〔2a+b+1〕〔2a+b﹣1〕【剖析】把〔 2a+b〕当作整体，利用平方差公式和完整平方公式计算后整理即可．【解答】解：〔2a+b+1〕〔 2a+b﹣ 1〕，2=〔2a+b〕﹣1，22=4a +4ab+b ﹣1．【评论】本题考察了平方差公式和完整平方公式的运用，结构成公式结构是利用公式的重点，需要娴熟掌握并灵巧运用．34．〔 2021?贺州〕分解因式： x3﹣ 2x2y+xy2．【剖析】先提取公因式x，再利用完整平方公式分解因式．完整平方公式：a2±2ab+b2=〔a±b〕2；322【解答】解： x ﹣2x y+xy ，22=x〔 x ﹣2xy+y 〕，=x〔 x﹣ y〕2．【评论】主要考察提公因式法分解因式和利用完整平方公式分解因式，本题难点在于要进行二次分解．35．〔 2021?雷州市校级一模〕分解因式：（1〕 a4﹣16；（2〕 x2﹣2xy+y2﹣ 9．【剖析】〔1〕两次运用平方差公式分解因式；〔 2〕前三项一组，先用完整平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行分解．【解答】解：〔1〕a4﹣16=〔a2〕2﹣42，=〔a2+4〕〔 a+2〕〔 a﹣2〕；（2〕x2﹣2xy+y2﹣9，=〔x2﹣2xy+y2〕﹣9，=〔x﹣y〕2﹣ 32，=〔x﹣y﹣3〕〔 x﹣ y+3〕．【评论】〔1〕重点在于需要两次运用平方差公式分解因式；〔 2〕主要考察分组分解法分解因式，分组的重点是两组之间能够持续分解因式．36．〔 2021 春?利川市期末〕分解因式x2〔x﹣y〕+〔y﹣x〕．【剖析】明显只要将 y﹣x=﹣〔 x﹣y〕变形后，即可提取公因式〔 x﹣y〕，而后再运用平方差公式持续分解因式．【解答】解： x2〔x﹣y〕+〔y﹣x〕，=〔x﹣y〕〔 x2﹣1〕，=〔x﹣y〕〔 x﹣ 1〕〔x+1〕．【评论】本题考察了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式第一提取公因式，而后再用其余方法进行因式分解，同时因式分解要完全，直到不可以分解为止．37．〔2021 秋?三台县校级期末〕分解因式（1〕 a2〔x﹣y〕 +16〔y﹣x〕；（2〕〔x2+y2〕2﹣4x2y2．【剖析】〔1〕先提取公因式〔 x﹣y〕，再利用平方差公式持续分解；（2〕先利用平方差公式，再利用完整平方公式持续分解．【解答】解：〔1〕a2〔x﹣y〕+16〔y﹣x〕，=〔x﹣y〕〔 a2﹣16〕，=〔x﹣y〕〔 a+4〕〔 a﹣ 4〕；（2〕〔x2+y2〕2﹣4x2y2，2222=〔x +2xy+y 〕〔x ﹣ 2xy+y 〕，【评论】本题考察了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式第一提取公因式，而后再用其余方法进行因式分解，同时因式分解要完全，直到不可以分解为止．38．〔 2021 春?扶沟县期中〕因式分解（1〕﹣ 8ax2+16axy﹣8ay2；（2〕〔a2+1〕2﹣ 4a2．【剖析】〔1〕先提取公因式﹣ 8a，再用完整平方公式持续分解．（2〕先用平方差公式分解，再利用完整平方公式持续分解．【解答】解：〔1〕﹣ 8ax2+16axy﹣8ay2，22=﹣8a〔x ﹣2xy+y 〕，（2〕〔a2+1〕2﹣ 4a2，22=〔a +1﹣2a〕〔a +1+2a〕，【评论】本题考察了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式第一提取公因式，而后再用其余方法进行因式分解，同时因式分解要完全，直到不可以分解为止．39．〔 2021 秋?桐梓县期末〕因式分解：（1〕 3x﹣12x3（2〕 6xy2+9x2y+y3．【剖析】〔1〕先提取公因式 3x，再对余下的多项式利用平方差公式持续分解；（2〕先提取公因式 y，再依据完整平方公式进行二次分解．完整平方公式：a2± 2ab+b2=〔a±b〕2．．3【解答】解：〔1〕3x﹣12x=3x〔1+2x〕〔1﹣2x〕；（2〕 6xy2+9x2y+y322=y〔6xy+9x +y 〕2=y〔3x+y〕．【评论】本题考察了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式第一提取公因式，而后再用其余方法进行因式分解，同时因式分解要完全，直到不可以分解为止．40．〔 2003?黄石〕假定 x2+2xy+y2﹣a〔x+y〕+25 是完整平方式，求 a 的值．【剖析】先把前三项依据完整平方公式的逆用整理，再依据两平方项确立出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．【解答】解：原式 =〔 x+y〕2﹣ a〔 x+y〕 +52，∴﹣ a〔x+y〕=±2×5?〔 x+y〕，解得 a=±10．【评论】本题考察了完整平方式，需要二次运用完整平方式，熟记公式结构是求解的重点，把〔 x+y〕当作一个整体参加运算也比较重要．。
乘法公式与因式分解知识点经典题例
戴氏教育中高考学校教育中心【教师寄语：请你相信，有志者事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚;苦心人天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！】乘法公式与因式分解考点一：完全平方公式1．（2014•南充）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a5B．（a2）3=a5C．a3+a3=a6D．（a+b）2=a2+b22．（2014•莆田）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．（2a）3=6a3C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．3a2﹣a2=2a2 3．（2014•贵港）下列运算正确的是（）A．2a﹣a=1 B．（a﹣1）2=a2﹣1 C．a•a2=a3D．（2a）2=2a2考点二：平方差公式4．（2014•句容市一模）下列运算正确的是（）A．3a+2a=a5B．a2•a3=a6C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b25．（2014•锡山区一模）计算（x﹣2）（2+x）的结果是（）A．x2﹣4 B．4﹣x2C．x2+4x+4 D．x2﹣4x+46．（2013•益阳）下列运算正确的是（）A．2a3÷a=6 B．（ab2）2=ab4C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2考点三：因式分解的意义7．（2014•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25考点四：公因式8．观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中有公因式的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点五：因式分解—提取公因式9．（2014•威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（）A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 10．（2013•槐荫区一模）把多项式mx2﹣2mx分解因式，结果正确的是（）A．m（x2﹣2x）B．m2（x﹣2）C．m x（x﹣2）D．m x（x+2）考点六：因式分解—公式法11．（2014•衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（）①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）A．3个B．2个C．1个D．0个12．（2014•常德）下面分解因式正确的是（）A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2考点七：因式分解—分组分解13．（2010•自贡）把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x+y+1）D．（x﹣y+1）（x+y+1）考点八：因式分解—十字相乘14．（2014•保定二模）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）15．（2000•内江）在下列因式分解中，错误的是（）A．2a3﹣8a2+12a=2a（a2﹣4a+6）B．x2﹣5x﹣6=（x﹣2）（x﹣3）C．（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）D．x2+xy+xz+yz=（x+y）（x+z）16．（1998•东城区）下列因式分解结果正确的是（）A．a2b﹣ab2+ab=ab（a﹣b）B．x4+16=（x2﹣4）（x2﹣4）C．x3﹣y3=（x﹣y）（x2﹣xy+y2）D．x2﹣x﹣6=（x﹣3）（x+2）二．解答题（共14小题）17．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为_________．18．（2012•丽水）已知A=2x+y，B=2x﹣y，计算A2﹣B2．19．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：_________方法2：_________（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．_________（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a﹣b）2=_________．20．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．21．多项式x2+1加上一个整式后是含x的二项式的完全平方式．例题：x2+1+_________=（x+1）2．（1）按上例再写出两个加上一个单项式后是含x的二项式的完全平方式的式子（不能用已知的例题）：①x2+1+_________=（x﹣1）2；②x2+1+_________=（x2+1）2．（2）按上例写出一个加上一个多项式后是一个含x的二项式的完全平方式x2+1+_________=（x2+1）2．22．（2014•宜昌）化简：（a+b）（a﹣b）+2b2．23．（2009•临夏州）若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．24．（2006•江西）计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）25．（2003•青海）请先观察下列算式，再填空：32﹣12=8×152﹣32=8×2（1）72﹣52=8×_________（2）92﹣（_________）2=8×4（3）（_________）2﹣92=8×5（4）132﹣（_________）2=8×_________…通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：_________．26．化简：（2x﹣y﹣5）（2x+y+5）．27．计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（21024+1）．28．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_________（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是_________，长是_________，面积是_________（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_________（用式子表达）．29．（2009•十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b230．因式分解：a（2a+b）﹣b（2a+b）．。
乘法公式与因式分解试题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版乘法公式与因式分解测试题填空题1、已知：x 2－6x +k 可分解为只关于x －3的因式，则k 的值为 （ ）2、若x 2－6x y+9y 2=0，则13--y x 的值为（ ） 3、已知：x 2+4x y=3，2x y+9y 2=1。
则x +3y 的值为4、x m －x m －4分解因式的结果是 （ ）5、若y 2－8y+m －1是完全平方式，则m= （ ） 6.（a 2+b 2）2－4a 2b 2分解因式结果是（ ）7、若－b ax x -+221分解成)7)(4(21+--x x ，则a 、b 的值为（ ）8.若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（ ） 9．已知7)(2=+b a ,3)(2=-b a ,则22b a +与ab 的值分别是（ ），（ ）10．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ]11．多项式9x ²+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，请你写出一个．．符合条件的单项式 12.已知多项式n mx --与2x -的乘积中不含x 项，则m 、n 满足的条件是__________. 13. 1纳米＝0．000000001米，则3．5纳米＝___________米．(用科学计数法表示)14．若4)2)((2-=++x x b ax ，则ba ＝_________________．选择题1. 若2422549))(________57(y x y x -=--，括号内应填代数式( )A 、y x 572+B 、y x 572--C 、y x 572+-D 、y x 572- 2. ．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m的值为 （ ）A ．5-B ．5C ．2-D ．23.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±324. 如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）A 、 –3B 、3C 、0D 、15. .若10=4,10=7x y ，则210x y -的值为（ ）. (A) 449 (B) 494 (C) 167 (D) 7166.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+-C 、)34)(34(a b a b -+D 、)83)(23(b a b a -+7. 计算：1.992－1.98×1.99+0.992得（ ）A 、0B 、1C 、8.8804D 、3.9601 8.22)213()213(-+a a 等于( )A 、4192-a B 、161814-aC 、161298124+-a aD 、161298124++a a9、对于任何整数m ，多项式9)54(2-+m 都能（ ） A 、被8整除 B 、被m 整除 C 、被m －1整除 D 、被（2m -1）整除10、若a 为正整数，且x 2a ＝5，则（2x 3a ）2÷4x 4a 的值为（ ）（A ）5 （B ）25（C ）25 （D ）11、把216a +-分解因式，结果是（ ）A.)8)(8(+-a aB.)4)(4(-+a aC.)2)(2(+-a a D 2)4.(-a 12、下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（ ） A ．22b a -- B.422++x x C. 22)(b a --- D.412+-x x 13、用分组分解法将x y xy x 332-+-分解因式，下列的分组方式中不恰当的是（ ）A ．)3()3(2xy y x x -+- B.)33()(2x y xy x -+- C.)33()(2x y xy x -+- D.y x xy x 3)3(2+-- 14、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（ ） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 15、把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A.)2)(4(+---y x y xB.)8)(1(----y x y xC.)2)(4(--+-y x y xD.)8)(1(--+-y x y x 16、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是( ) A 、5mn B 、225m n C 、25m n D 、25mn 17、xy y x 2122--+解因式的结果是（ ） A.)2)(4(+---y x y x B.（x-y+1）(x-y-1) C.)2)(4(--+-y x y x D.)8)(1(--+-y x y x 18、20062+3×20062–5×20072的值不能．．被下列哪个数整除（ ）A 、3 B 、5 C 、20062 D 、2005219、一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了232cm ，则这个正方形的边长为( ) A ．6cm B ．5cm C ．8cm D ．7cm 20、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ）A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 21、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 22.计算题⑴ x (9x －5)－(3x + 1) (3x －1)⑵ (a + b －c) (a －b + c)⑶)49)(23)(23(22b a b a b a ++-⑷ (2x －1) (2x + 1)－2(x －2) (x + 2)5） 22)()(y x y x +- （6）22)35()35(y x y x ++-（7）))((c b a c b a +--+ （8） 2222)2()4()2(++-t t t23.分解因式（9）2244x xy y -+- （10）224520bxy bx a -（11）(1)(3)1x x --+ （12） 22)(16)(9n m n m --+13）x 4－12x +32 （14）5x 2－125y 415）4x 2－12x y+9y 2 （16）.（m+n ）2－4（m+n －1）17）.22(1)(1)x a y a -+- （18）－81x 2+y 2（19）221222x xy y ++ （20）221424a ab b ++24、已知x + y = a , xy = b ,求(x －y) 2 ， x 2 + y 2， x 2－xy + y 2的值25、已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值26、先分解因式，再求值：655222++-+-b a b ab a ，其中92,96==b a27. 对于任意自然数n ，()()2257--+n n 是否能被24整除，为什么？28、利用分解因式进行简便运算 1、已知2a －b=3,求－8a 2+8ab －2b 2 的值。
部编数学八年级上册专题05乘法公式与因式分解七大重难考点(期末真题精选)(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题05 乘法公式与因式分解七大重难考点一．平方差公式的灵活运用1．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（ ）A ．（﹣b ﹣c ）（﹣b +c ）B ．﹣（x +y ）（﹣x ﹣y ）C ．（x +y ）（x ﹣y ）D ．（x +y ）（2x ﹣2y ）试题分析：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．答案详解：解：A 、（﹣b ﹣c ）（﹣b +c ）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B 、﹣（x +y ）（﹣x ﹣y ）＝（x +y ）（x +y ），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C 、（x +y ）（x ﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；实战训练D 、（x +y ）（2x ﹣2y ）＝2（x +y ）（x ﹣y ）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．所以选：B ．2．计算：20192﹣2017×2021＝ 4 ．试题分析：根据平方差公式即可求出答案．答案详解：解：20192﹣2017×2021＝20192﹣（2019﹣2）（2019+2）＝20192﹣20192+22＝4．所以答案是：4．3．利用乘法公式简便计算．（1）2020×2022﹣20212．（2）3.6722+6.3282+6.328×7.344．试题分析：（1）运用平方差公式计算即可；（2）运用完全平方公式计算即可．答案详解：解：（1）原式＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212．＝20212﹣1﹣20212＝﹣1；（2）原式＝3.6722+6.3282+2×3.672×6.328＝（2.672+6.328）2＝102＝100．4．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1215．试题分析：原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．答案详解：解：原式＝2（1−12）（1+12）（1+122）（1+124）（1+128）+1215＝2（1−1216）+1215＝2．5．阅读下面的材料并填空：①（1−12）（1+12）＝1−122，反过来，得1−122=（1−12）（1+12）=12×32②（1−13）（1+13）＝1−132，反过来，得1−132=（1−13）（1+13）＝ 23 × 43 ③（1−14）（1+14）＝1−142，反过来，得1−142= （1−14）（1+14） =34×54利用上面的材料中的方法和结论计算下题：（1−122）（1−132）（1−142）……（1−120162）（1−120172）（1−120182）试题分析：直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案．答案详解：解：①（1−12）（1+12）＝1−122，反过来，得1−122=（1−12）（1+12）=12×32，②（1−13）（1+13）＝1−132，反过来，得1−132=（1−13）（1+13）=23×43，③（1−14）（1+14）＝1−142，反过来，得1−142=（1−14）（1+14）=34×54利用上面的材料中的方法和结论计算下题：（1−122）（1−132）（1−142）……（1−120162）（1−120172）（1−120182）=12×32×23×43×34×⋯×20172018×20192018 =20194036．所以答案是：23，43，（1−14）（1+14）．二．完全平方公式的灵活运用6．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨．请你阅读例题的解题思路：例：已知a +b ＝4，ab ＝3，求a 2+b 2的值．解：∵a +b ＝4，ab ＝3，∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝42﹣2×3＝10．请结合例题解答问题．若a +b ＝7，ab ＝10，求a 2+b 2的值．试题分析：根据完全平方公式即可解答．答案详解：解：∵a +b ＝7，∴（a +b ）2＝72，∴a 2+2ab +b 2＝49，∵ab ＝10，∴a 2+b 2＝49﹣2ab ＝49﹣20＝29，即a 2+b 2的值是29．7．阅读下列解答过程：已知：x ≠0，且满足x 2﹣3x ＝1．求：x 2+1x 2的值．解：∵x 2﹣3x ＝1，∴x 2﹣3x ﹣1＝0∴x −3−1x =0，即x −1x =3．∴x 2+1x 2=(x−1x)2+2=32+2＝11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a ≠0，且满足（2a +1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2＝14a ﹣7，求：（1）a 2+1a 2的值；（2）a 25a 4a 25的值．试题分析：（1）根据题意可得a −1a=2，再利用完全平方公式计算即可；（2）根据倒数的定义和完全平方公式计算即可．答案详解：解：（1）（2a +1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2＝14a ﹣71﹣4a 2﹣（9﹣12a +4a 2）+9a 2﹣14a +7＝0，整理得：a 2﹣2a ﹣1＝0∴a −1a=2，∴a 2+1a 2=(a−1a)2+2=4+2=6；（2）解：a 25a 4a 25的倒数为5a 4a 25a 2，∵5a 4a 25a 2=5a 2+5a 2+1=5(a 2+1a 2)+1=5×6+1=31，∴a 25a 4a 25=131．8．若m +n ＝7，mn ＝12，求m 2﹣mn +n 2的值．试题分析：首先把m 2﹣mn +n 2加上2mn ﹣2mn ，把m 2+2mn +n 2利用完全平方公式因式分解，进一步整体代入计算即可．答案详解：解：m2﹣mn+n2+2mn﹣2mn＝m2+2mn+n2﹣3mn＝（m+n）2﹣3mn；把m+n＝7，mn＝12代入得：原式＝72﹣3×12＝13．9．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．试题分析：已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．答案详解：解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．10．回答下列问题（1）填空：x2+1x2=（x+1x）2﹣ 2 ＝（x−1x）2+ 2 （2）若a+1a=5，则a2+1a2= 23 ；（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+1a2的值．试题分析：（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据完全平方公式进行解答；（3）先根据a2﹣3a+1＝0求出a+1a=3，然后根据完全平方公式求解即可．答案详解：解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a＝0时方程不成立，∴a≠0，∵a2﹣3a+1＝0两边同除a得：a﹣3+1a=0，移项得：a+1a=3，∴a2+1a2=（a+1a）2﹣2＝7．三．数形结合----多项式与图形的面积的美妙融合11．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，求a2+b2+c2的值．试题分析：（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可．答案详解：解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca），∵a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，∴a2+b2+c2＝62﹣2×8＝36﹣16＝20．12．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+8b）（7a+4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？试题分析：（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）长方形的面积xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b），然后运算多项式乘多项式法则求得（5a+8b）（7a+4b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．答案详解：解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝122﹣47×2＝50．（3）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b）＝35a2+76ab+32b2，∴x＝35，y＝32，z＝76，∴x+y+z＝143．答：那么他总共需要143张纸片．13．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为 （b﹣a）2 ；（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y=94，则x﹣y＝ ±4 ；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ （a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2 ．试题分析：（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；（2）在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）由（2）的结论得到（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，再把x+y＝5，x•y=94得到（x﹣y）2＝16，然后利用平方根的定义求解；（4）观察图形得到边长为（a+b）与（3a+b）的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b 的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．答案详解：解：（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，所以阴影部分的面积（b﹣a）2；（2）图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b﹣a的正方形等于4个长宽分别a、b 的矩形面积，所以（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，而x+y＝5，x•y=9 4，∴52﹣（x﹣y）2＝4×9 4，∴（x﹣y）2＝16，∴x﹣y＝±4；（4）边长为（a+b）与（3a+b）的矩形面积为（a+b）（3a+b），它由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，∴（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．所以答案是（b﹣a）2；（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；±4；（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．四．因式分解--一提净，二公式，三十字，四分组14．请先观察下列算式，再填空：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2．①72﹣52＝8× 3 ；②92﹣（ 7 ）2＝8×4；③（ 11 ）2﹣92＝8×5；④132﹣（ 11 ）2＝8× 6 ；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？试题分析：（1）从上式中可以发现等式左边：两数的平方差，前一个数比后一个数大2；等式右边：前一个因数是8，后一个是等式左边两数的和除4，所以可写成：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）运用平方差公式计算此式，证明它成立．答案详解：解：①3；②7；③11；④11，6．（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n．15．因式分解：（1）16x4﹣1．（2）（m﹣n）（x+3y）﹣（n﹣m）（x﹣y）．试题分析：（1）用平方差公式因式分解，注意分解要彻底；（2）用提取公因式法因式分解，注意公因式要提取彻底．答案详解：解：（1）16x4﹣1＝（4x2+1）（4x2﹣1）＝（4x+1）（2x+1）（2x﹣1）；（2）（m﹣n）（x+3y）﹣（n﹣m）（x﹣y）＝（m﹣n）（x+3y）+（m﹣n）（x﹣y）＝（m﹣n）（x+3y+x﹣y）＝（m﹣n）（2x+2y）＝2（m﹣n）（x+y）．16．（1）若3a＝6，9b＝2，求32a+4b的值；（2）已知xy＝8，x﹣y＝2，求代数式12x3y﹣x2y2+12xy3的值．试题分析：（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则化简求出答案；（2）首先提取公因式12xy再利用完全平方公式分解因式，进而将已知代入求出答案．答案详解：解：（1）∵3a＝6，9b＝2，∴32a+4b＝32a×34b＝（3a）2×（32b）2＝36×4＝144；（2）∵xy＝8，x﹣y＝2，∴原式=12xy（x2﹣2xy+y2）=12xy（x﹣y）2=12×8×22＝16．五．阅读类---化归思想17．阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．试题分析：（1）利用十字相乘法变形即可得；（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．答案详解：解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；（2）①令A＝x﹣y，则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②令B＝m2+2m，则原式＝B（B﹣2）﹣3＝B2﹣2B﹣3＝（B+1）（B﹣3），所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．18．阅读以下材料材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （1﹣x+y）2 ；（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．试题分析：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝12﹣2A+A2＝（1﹣A）2，再将“A”还原，得原式＝（1﹣x+y）2；（2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，则原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝（A+4）2，再将“A”还原，得：原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；（3）先由（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17，运用整体思想，再即可得到式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．答案详解：解：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝12﹣2A+A2＝（1﹣A）2，再将“A”还原，得：原式＝（1﹣x+y）2；所以答案是：（1﹣x+y）2；（2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝（A+4）2，将“A”还原，得：原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；（3）令n2﹣2n＝A，则原式＝（A﹣3）（A+5）+17＝A2+2A﹣15+17＝A2+2A+2＝（A+1）2+1，将A＝n2﹣2n还原，原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1，因为无论n为何值（n﹣1）4≥0，所以（n﹣1）4+1≥1，即式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．19．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ （m+1）（m﹣5） ．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值．试题分析：（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法将多项式a2+b2﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27转化为（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，然后利用非负数的性质进行解答．答案详解：解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．所以答案是（m+1）（m﹣5）；（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27＝a2﹣2a（b+1）+（b+1）2+（b﹣3）2+17＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值17．20．【阅读学习】做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观的获取结论．例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．【问题解决】（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．从中你发现的结论用等式表示为 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； ；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48．求a2+b2+c2的值．【拓展应用】（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．试题分析：（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论．（2）利用数形结合思想用等面试法探究因式分解，用因式分解结论反求几何面积答案详解：解：（1）∵正方形面积为（a +b +c ）2，小块四边形面积总和为a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，∴由面积相等可得：（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，故可得结论是：（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；所以答案是：（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；（2）由（1）可知a 2+b 2+c 2＝（a +b +c ）2﹣（2ab +abc +2ac ），∵a +b +c ＝12，ab +bc +ac ＝48，∴a 2+b 2+c 2＝（a +b +c ）2﹣2（ab +bc +ac ）＝144﹣2×48＝48，故a 2+b 2+c 2的值为48；（3）∵a +b ＝10，ab ＝20，∴（a +b ）2＝100∴a 2+b 2+2ab ＝100，∴a 2+b 2＝60，∴S 阴影＝S 两正方形﹣S △ABD ﹣S △BFG ，＝a 2+b 2−12a 2−12b （a +b ）=12（a 2+b 2﹣ab ）=12×（60﹣20）＝20．故阴影部分的面积是20．六．规律类----类比思想21．有足够多的长方形和正方形卡片，分别记为1号，2号，3号卡片，如图1所示．（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请你用2种不同的方法表示阴影部分的面积．①方法1： （m﹣n）2 方法2： （m+n）2﹣4mn ②请写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系： （m+n）2＝（m﹣n）2+4mn ．（2）解决问题：若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．（3）如果选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个拼出的长方形，根据图形的面积关系得到的等式是： m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n） ．试题分析：（1）①从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；②由①中两种方法所表示的面积相等可得答案；（2）根据非负数的定义可得a+b＝6，ab＝4，再根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab进行计算即可；（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．答案详解：解：（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为（m﹣n），因此面积为（m﹣n）2，方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为（m+n）的正方形减去4个长为m．宽为n的长方形面积，因此有（m+n）2﹣4mn，所以答案是：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；②由①得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，所以答案是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）∵|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，|a+b﹣6|≥0，|ab﹣4|≥0，∵a+b﹣6＝0，ab﹣4＝0，即a+b＝6，ab＝4，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝36﹣16＝20，答：（a﹣b）2的值为20；（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为m2+2n2+3mn，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为（m+2n），宽为（m+n）的长方形，所以有m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n），所以答案是：m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．22．王老师在黑板上写下了四个算式：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1；②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2；③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3；④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4；…认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：（1）112﹣92＝ 40 ；132﹣112＝ 48 ．（2）小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n﹣1（n为正整数），请你用含有n的算式验证小华发现的规律．试题分析：（1）根据已知算式写出符合题意的答案；（2）利用平方差公式计算得出答案．答案详解：解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝8×5＝40；132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝8×6＝48．所以答案是：40；48；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n，∵n为正整数，∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．23．阅读下面材料，并回答相应的问题：通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法．（1）请运用多项式乘以多项式的法则填空：（x+2）（x+3）＝ x2+5x+6 ，（x+2）（x﹣3）＝ x2﹣x+6 ，（x﹣2）（x+3）＝ x2+x+6 ，（x﹣2）（x﹣3）＝ x2﹣5x+6 ．从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：（x+p）（x+q）＝ x2+px+qx+pq ＝x2+ （p+q） x+ pq （2）因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法： （x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq （用字母等式表示）．利用这种方法，请将下列各式因式分解：x2+4x+3＝ （x+1）（x+3） ，x2+4x﹣5＝ （x+1）（x﹣5） ，2x2﹣5x+2＝ （2x﹣1）（x﹣2） ，3x2﹣x﹣2＝ （3x+2）（x﹣1） ．试题分析：（1）利用多项式乘多项式的法则进行运算即可；（2）结合（1）进行分析即可求解．答案详解：解：（1）（x+2）（x+3）＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6，（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3x+2x﹣6＝x2﹣x+6，（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x+6，（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣3x﹣2x+6＝x2﹣5x+6，（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq，所以答案是：x2+5x+6；x2﹣x+6；x2+x+6；x2﹣5x+6；x2+px+qx+pq；（p+q）；pq；（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，x2+4x+3＝（x+1）（x+3），x2+4x﹣5＝（x+1）（x﹣5），2x2﹣5x+2＝（2x﹣1）（x﹣2），3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），所以答案是：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq；（x+1）（x+3）；（x+1）（x﹣5）；（2x﹣1）（x﹣2）；（3x+2）（x﹣1）．24．老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：请观察以下算式：①32﹣12＝8×1；②52﹣32＝8×2；③72﹣52＝8×3；………试写出符合上述规律的第五个算式；验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），并说明它们的平方差是8的倍数；试题分析：仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．答案详解：解：第五个算式为：112﹣92＝8×5；验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n．故两个连续奇数的平方差是8 的倍数．七．乘法公式的综合应用25．你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ a4﹣1 ；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ a100﹣1 （2）利用这个结论，请你解决下面的问题：①求2199+2198+2197+…+22+2+1 的值；②若a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a等于多少？试题分析：（1）原式利用多项式乘多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）各项变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．答案详解：解：（1）：（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝a100﹣1；所以答案是：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；（2）①∵（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，∴2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；②∵a8﹣1＝（a﹣1）（a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，即a8＝1，∴a＝±1，当a＝1时，a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0不成立，∴a＝﹣1．26．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．试题分析：（1）应用分组分解法，把a2﹣4a﹣b2+4分解因式即可．（2）首先应用分组分解法，把a2﹣ab﹣ac+bc＝0分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出△ABC的形状即可．答案详解：解：（1）a2﹣4a﹣b2+4＝a2﹣4a+4﹣b2＝（a﹣2）2﹣b2＝（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC是等腰三角形．27．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．试题分析：（1）根据x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；（2）首先根据a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；（3）首先根据a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．答案详解：解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，即a+b+c的值是8．。
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第6讲乘法公式和因式分解的提高题（试卷满分：130分）
一、选择题（30分）
1.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )
A.(x+y)(－x－y)
B.(2x+3y)(2x－3z)
C.(－a－b)(a－b)
D.(m－n)(n－m)
2.下列计算正确的是( )
A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9
B.(x+4)(x－4)=x2－4
C.(5+x)(x－6)=x2－30
D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b2
3.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )
A.(－a－b)(－b+a)
B.(xy+z)(xy－z)
C.(－2a－b)(2a+b)
D.(0.5x－y)(－y－0.5x)
4.(4x2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )
A.－4x2－5y
B.－4x2+5y
C.(4x2－5y)2
D.(4x+5y)2
5.a4+(1－a)(1+a)(1+a2)的计算结果是( )
A.－1
B.1
C.2a4－1
D.1－2a4
6.下列各式运算结果是x2－25y2的是( )
A.(x+5y)(－x+5y)
B.(－x－5y)(－x+5y)
C.(x－y)(x+25y)
D.(x－5y)(5y－x)
7、下列式中能用平方差公式计算的有( )
①(x-1
2y)(x+
1
2y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1)
2015.4.5 姓名：______________，家长签字：_______________得分：______________
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.下列式中,运算正确的是( )
①222(2)4a a =, ②2111(1)(1)1339x x x -++=-,
③235(1)(1)(1)m m m --=-, ④232482a b a b ++⨯⨯=.
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
9.乘法等式中的字母a 、b 表示( )
A.只能是数
B.只能是单项式
C.只能是多项式
D.单项式、•多项式都可以
10、如图①是一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的长小方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A 、2mn
B 、（m ＋n ）2
C 、（m －n ）2
D 、m 2－n 2
二、 计算（30分）
1、（a +b-c ）2
2、（a+4b-3c ）2
3、（3x+y-2）2
4、（x+y+z ）（x-y-z ）． 5．（a+4b-3c ）（a-4b-3c ） 6．（3x+y-2）（3x-y+2）．
7. a(a －5)－(a+6)(a －6) 8. ( x+y)( x －y)( x2+y2)
9. 9982－4 10. 2003×2001－20022
三、解答题（5X10+10X1=60分）
1.计算(a+1)(a-1)(2a +1)(4a +1)(8
a +1).
2、 计算:
2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++.
3.计算:22222110099989721-+-++- .
4.(1)化简求值:(x+5)2-(x-5)2 -5(2x+1)(2x-1)+x ·(2x)2
,其中x=-1.
(2)解方程5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-13)(x+1
3)=2.
5.计算:
2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----.
6.已知9621-可以被在60至70之间的两个整数整除,则这两个整数是多少?
7．已知a+1
a =10，求a 2+21a 的值．
8．若已知a-1a =3，且a>1
a ，求a 2+21a 的值．
9、求证：无论x 、y 取何值，代数式
2221240x y x y +-++的值都是正数．
10、若231x x -=，试求326752009x x x +-+的值．
11、如果三个数,,a b c 满足2229a b c ++=，求代数式222()()()a b b c c a -+-+-的最大
值。