定积分1
1 定积分概念
.1 定积分概念定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a,b]的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有成立，则称I是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。
接下来的问题是：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
.2 牛顿－莱步尼兹公式及实例定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则。
(1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即。
(2)在上式中令x = a，得。
又由Φ (x)的定义式及上节定积分的补充规定知Φ (a) = 0，因此，C = F(a)。
以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的Φ (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。
由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。
为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。
公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。
例1 计算定积分。
解。
例2计算。
解。
例3计算。
解。
例4计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。
6-1定积分概念(1)
n
1 1 1 n( n + 1)( 2n + 1) 1 = 1 + 2 + ,λ → 0 ⇒ n → ∞ = 3⋅ 6 n n n 6 n 1 2 1 1 1 2 x dx =பைடு நூலகம்lim ∑ ξ i ∆xi = lim 1 + 2 + = 1 . ∫0 λ → 0 i =1 n→ ∞ 6 n n 3
第一节
定积分概念(1) 定积分概念
一、 问题的提出 二、 定积分定义 三、 定积分存在定理 四、 定积分的几何意义 五、 小结
一、问题的提出
实例1 求曲边梯形的面积) 实例1(求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、 x 轴与两条直线 x = a 、 x = b 所围成. 所围成. 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
定理6.1.1 设 f ( x )在区间 [a , b] 上有定义 若积分 定理 上有定义, b f ( x )dx存在 则 f ( x )在区间 [a , b] 上有界 上有界. 存在, ∫a 证明 若 f ( x )在区间 [a , b] 上无界 则对每种分割 上无界, 至少存在一个子区间[ xi −1 , xi ], 使得 f ( x )在区间
1、 函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上的定积分是积 分和的极限，即∫ f ( x )dx = _________ . 2、 定积分的值只与______及_______ 有关，而与_________的记法无关 . 3、 定积分的几何意义是__________. 4、区间[ a , b ]长度的定积分表示是____ . 二、 利用定积分的定义计算由抛物 线 y = x + 1 , 两直线 x = a , x = b ( b > a ) 及 横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 ∫ xdx ， (a<b) .
x从0到1的定积分
x从0到1的定积分
一、定积分的概念与意义
定积分是一种数学运算，它表示一个函数在某一区间上的累积量。
从0到1的定积分，通常表示函数在[0, 1]区间上的曲线下的面积。
定积分不仅可以计算面积，还可以计算体积、曲线长度等其他量。
二、从0到1的定积分计算方法
1.基本公式：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么它的定积分值为：∫[a, b]f(x)dx。
2.牛顿-莱布尼茨公式：如果f(x)是f(x)在[a, b]上的原函数，那么∫[a,
b]f(x)dx = f(b) - f(a)。
3.分部积分法：将两个可积函数的乘积变为另两个可积函数的乘积，从而简化积分计算。
4.替换法：将复杂函数的积分问题转化为简单函数的积分问题，利用已知积分公式进行计算。
5.部分分式分解：将复杂的有理函数分解为几个简单的有理函数的和，然后分别求积分。
三、定积分在实际问题中的应用
1.计算面积：求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
2.计算体积：求解旋转曲面的体积，或者求解由两个函数确定的立体图形的体积。
3.计算曲线长度：求解曲线y = f(x)在[a, b]区间上的长度。
4.计算质心：求解物体质量分布的质心位置。
5.计算平均值：求解一组数据的平均值，或者求解函数在某一区间上的平均变化率。
四、总结与拓展
从0到1的定积分是数学中一种重要的计算方法，它在解决实际问题中具有广泛的应用。
熟练掌握定积分的计算方法和实际应用，有助于提高解决实际问题的能力。
定积分的概念与性质(1)
a = x0 < x1 < x 2 < ⋯ < xi −1 < xi < ⋯ < x n −1 < x n = b
把曲边梯形的底[a,b]分成 个小区间 ： [ xi −1 , xi ] 分成n个小区间 把曲边梯形的底 分成 小区间长度记为： ∆x i = x i − x i −1 (i = 1,2,3, ⋯ , n ) 过各分点作垂直于x轴的直线段， 过各分点作垂直于 轴的直线段，把整个曲边梯形分 轴的直线段 个小曲边梯形， 成n个小曲边梯形，其中第 个小曲边梯形的面积记为 ∆ A i 个小曲边梯形 其中第i个小曲边梯形的面积记为 y y=f(x)
确定的极限 I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 上的定积分 定积分， 在区间[a , b ]上的定积分， 记为
积分上限
积分和
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ → 0 i =1
积分 限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分
∫a f ( x )dx = A
b
曲边梯形的面积
∫a
b
f ( x )dx = − A 曲边梯形的面积
的负值
17
一般情形, 一般情形
∫
b
a
的几何意义为： f ( x)dx 的几何意义为：
它是介于 x 轴、函数 f ( x )及两条直线 x = a , x = b 之间的各部分面积的代 数和． 数和． 轴上方的面积取正号； 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号． 积取负号．
1≤i≤n
对上述和式取极限就得物体以变速v(t)从时刻 到时刻 这段 对上述和式取极限就得物体以变速 从时刻a到时刻 从时刻 到时刻b这段 时间内运动的距离s, 时间内运动的距离 即
定积分概念与性质(1)
b
[ f ( x) g( x)]dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
a
b
推广
[ f1( x) f2 ( x) f2 ( x)]dx
a
b
b
b
f1( x)dx f2 ( x)dx fn ( x)dx
a
a
a
30
b
f ( x)dx
c
定理3. 如果函数F( x)是连续函数f ( x)
在区间[a, b]上的一个原函数,
b
则 f ( x)dx F(b) F(a)
a
证 已知F ( x)是 f ( x) 的一个原函数，
又
(
x)
x
a
f (t )dt 也是 f ( x)的一个原函数,
F ( x) ( x) C x [a,b]
7 0 定积分中值定理
设函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在[a, b]上至少存在一个点，
b
使下列等式成立 f (x)dx f ( )(b a) a b a
证明： f ( x)在闭区间[a, b]连续，
一定存在最大值M与最小值m,
由7 0
m(b a)
2
x)
2 ( 2) 4
5
5
5 55
2
4
例4. 计算 dx 解 : 令x t 2 , 则dx 2tdt 0 1 x
当x 0时, t 0; 当x 4时, t 2;
4
2
dx 2t dt
0 1 x
1t
定积分的计算1
π 2 0
π 2 0
当n为奇数时，设n 2k +1(k ), 有
2k 2k 2 2 (2k )!! I 2 k 1 I1 2k 1 2 k 1 3 (2k 1)!!
高州师范学院
b a
1 例3、 求 dx 0 1 x2
1
1 1 解： 0 1 x 2 dx arctanx |0 arctan 1 arctan 0 4
1
练习题 .4 2 5 8 （）
1
1
1 1 1 1 1 2 5 4 x |1 1 dx d (5 4 x ) 4 1 4 5 - 4x 5 - 4x
ln 1 2
e
ln
1 1 1 1 ln 2 2 2
1 1 1 1 1 e (l n 1) (l n l n e ) l n 2 2 2 2 2 2
高州师范学院
§8.4 定积分的计算
例5、 求
1 2 0
arcsin x dx .
dx 1 x2 xdx
1
解： u arcsin x , dv dx , 则 d u 设
移项后则得
a u( x )v( x ) d x u( x ) v( x ) a u( x )v( x) d x. 即 udv uv | vdu 定积分的分部积分公式
b a b a b a
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§8.4 定积分的计算
例4、求
ln 2
Hale Waihona Puke 0xe x dx.
x
则du dx, v e x 解：令 x, dv e dx, u
定积分概念、性质(1)
◆定积分的基本性质
1
b
a
f
x
g
x
dx
b
a
f
x dx
b
a
g
xdx
可推广至有限个函数的代数和的情形。
2
b
a
k
f
x dx
k
b
a
f
x dx
3
b
a
f
x
dx
c
a
f
x dx
b
c
f
x dx
·a ·c ·b ·b ·a ·c
c
b
f
xdx
a
b
f
xdx
c
a
f
xdx
无论 a, b, c 的相对位置如何，（3）式均成立。
dx
2 0
sin
x
cos
x
dx
cos x sin x2 0 1 1 0 2 0
x 1, x 1
8 设
f
x
1 2
x2,
x
1
，求 2 f x dx 0
a
a
因 f (x) f (x) f (x)
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和
最小值m， 于是， 由性质5有
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
几何意义也很明显
性质7 （积分中值定理）：若函数f (x)在[a,b]上连续，
则至少存在一点 [a,b]使得
0
(1 3
x3 )
1 0
1 3
变：（2 x 1）dx 1
计算定积分 b f（x）dx a
a 0,b 2, f (x) x3
定积分的计算1
即有
p( x) ( x a
f (t)dt)
f ( x).
证 p( x) lim p( x x) p( x) • • • • •
x0
x
a x x x b
xx
x
f (t)dt f (t)dt
x x
f (t)dt
lim a x0
a
x
lim x
x0
x
lim f ( )x lim f ( ) lim f ( ) f ( x).
x
g (u )du
0
0
f (x) 2g( x)
f (1) 2
1
g(x)dx 1
f (1) 2
0
四.定积分的分部积分法
定理6.4 如果 u( x)及v( x)在 [a,b]上导函数连续
则
b u( x)v( x)dx u( x)v( x) b
b
v( x)u( x)dx.
a
aa
证 因 [u( x)v( x)] u( x)v( x) v( x)u( x)
证 令 x t 则 dx dt
当 x 0时 t 当 x 时 t 0
0
0 xf (sin x)dx ( t) f [sin( t)]( dt)
0 ( t) f (sin t)dt
0 f (sin t)]dt 0 tf (sin t)]dt
故
xf (sin x)dx f (sin x)dx.
证
a
f ( x)dx
0
a
f ( x)dx f ( x)dx
a
a
0
令x t 则dx dt 当x a时t a 当 x 0时t 0
a
f ( x)dx
最新定积分知识点总结(1)
定积分基础知识点方法总结
1.知识网络
2.方法总结
(1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限
(2)定积分几何意义：
① 表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积
中式饰品风格的饰品绝对不拒绝采用金属，而且珠子的种类也更加多样。五光十色的水晶珠、仿古雅致的嵌丝珐琅珠、充满贵族气息的景泰蓝珠、粗糙前卫的金属字母珠片的材质也多种多样。② 表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数
营销调研课题③
(4)求定积分的方法：
①定义法：分割—近似代替—求和—取极限
他们的成功秘诀在于“连锁”二字。凭借“连锁”，他们在女孩们所喜欢的小玩意上玩出了大名堂。小店连锁，优势明显，主要有：②利用定积分几何意义
2、Google网站www。people。com。cn③微积分基本公式
（1）专业知识限制
1．www。cer。net/artide/2004021313098897。shtml。
但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；如果你无能，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。(3)定积分的基本性质：
5、就业机会和问题分析①
标题：大学生“负债消费“成潮流2004年3月18日②
定积分的求法1
定积分的求法陕西省西乡县第二中学:王仕林 邮编:723500定积分是新课标北师大版选修教材系列2-2中的内容之一,它是新课标新增加的内容.它与导数有密切的关系,在物理学中,物体作变速运动的位移,是运用定积分求值的主要方法.;因此,定积分计算是定积分这一章的重要环节.如何对定积分进行运算？下面笔者与大家共同探讨求定积分的常用方法。
一、定义法（*）求定积分的值： 例1：求 1231l i ms i n s i n s i n s i n n n n n n nn ππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦分析：本题表面上看是一个求极限问题，实质上是求定积分的值。
原因是： 1231limsin sin sin sin n n n n n n n ππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦=1231sin sin sin sin n n n n n n n n n πππππππππ-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦ = 11sin ni i n n πππ=∑ 而1sin ni inn ππ=∑表示正弦曲线sin y x =在[]0,π上等分成n 个小区间；sin in n ππ表示每个小区间1,i i nn ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上矩形面积，当n →∞时，1s i n ni inn ππ=∑s i n 0x d x π→⎰，即11sin sin 0n i i xdx n n n πππ=→∑⎰ ∴ 123112l i ms i n s i n s i n s i n s i n 0n n x d x n n n nn πππππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+==⎢⎥⎣⎦⎰二、公式法求定积分的值：所谓公式即为微积分基本定理（()()()()bbf x dx F x dx F b F a a a '==-⎰⎰） （*）例2、求21()1x x e dx x+-⎰解：原式= /2221211ln ln |122x x x e x dx x e x ⎡⎤⎛⎫+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰ 2221112ln 21ln122e e ⎛⎫=⨯+--⨯+- ⎪⎝⎭=23ln 22e e +-- 三、性质法求定积分的值：所谓性质法，即定积分的和差性质（*），即（1）[]()()()()b b bf xg x dx f x dx g x dx a a a ±=±⎰⎰⎰（2）()()b bkf x dx k f x dx a a=⎰⎰（3）()()()b c b f x dx f x dx f x dx a a c =+⎰⎰⎰（4）若()f x 在[],a a -上是奇函数，则()0af x dx a=-⎰；若()f x 在[],a a -上是偶函数，则()2()0a a f x dx f x dx a =-⎰⎰例3、（1）求()22312x dx +-⎰的值。
高数之定积分 (1)
第五章 定积分§5. 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ.2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内 运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ). (2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为 ∑=∆≈ni i i x f A 1)(ξ.(3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为 ∑=→∆=ni i i x f A 10)(l i m ξλ.设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间 段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为 ∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ.(3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为 ∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积 f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(, 即∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ). 任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(,即∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ.根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=ba dx x f A )(. 变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=.说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？ 定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰ba dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(110ξξλλ.当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解 把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为 n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), n x i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) .取n i i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和∑∑∑===⋅=∆=∆ni ini i i n i i n ni x x f 121211)()(ξξ)12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n ni )12)(11(61nn ++=. 因为n 1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分:例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x .三、定积分的性质 两点规定: (1)当a =b 时, 0)(=⎰ba dx x f . (2)当a >b 时,⎰⎰-=abba dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即⎰⎰⎰±=±ba ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±ba dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ⎰⎰±=ba ba dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=ni i i ba x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→ba ni i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ.性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=bcc a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于 ⎰⎰⎰+=cb ba ca dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dx x f dx x f )()(. 性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则a b dx dx ba ba -==⎰⎰1. 性质5 如果在区间[a ,b ]上 f (x )≥0, 则⎰≥b a dx x f 0)((a <b ). 推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则⎰⎰≤ba ba dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而 ⎰⎰⎰≥-=-ba ba ba dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(,所以⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤ba ba dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ). 这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以 ⎰⎰⎰≤≤-ba ba ba dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|, 即 ⎰⎰≤ba ba dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则 ⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()((a <b ). 证明 因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以 ⎰⎰⎰≤≤b a ba b a M d xdx x f mdx )(, 从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.这个公式叫做积分中值公式.证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(, 各项除以b -a 得⎰≤-≤ba M dx x f ab m )(1,再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ,于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.积分中值公式的几何解释:应注意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.。
高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念教案(含解析)2数学教案
1定积分的概念如图，阴影部分是由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝1以及x 轴所围成的平面图形． 问题1：通常称这样的平面图形为什么？ 提示：曲边梯形．问题2：如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和． 问题3：你能求出近似值吗？提示：能．不妨将区间[0,1]五等分，如图所示．求出图甲或图乙所有阴影小矩形的面积和S 1或S 2，即为曲边梯形面积S 的近似值． 问题4：如何更精确地求出阴影部分的面积S? 提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确． 1．定积分的概念给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b ，记Δx i 为第i 个小区间[x i －1，x i ]的长度，ξi 为这个小区间上一点，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋ f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，就称A 是函数y ＝f (x )在区间 [a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝A ，其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是x ＝a 与x ＝b ，y ＝0和y ＝f (x )所围成曲边梯形的面积．(2)当f (x )(f (x )≥0)表示速度关于时间x 的函数时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是运动物体从x ＝a 到x ＝b 时所经过的路程．3．定积分的性质 (1)⎠⎛a b1d x ＝b －a ；(2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x ；(3)⎠⎛a b[f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ； (4)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x .1．由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .2．性质3对于有限个函数(两个以上)也成立．性质4对于把区间[a ，b ]分成有限个(两个以上)区间也成立．3．利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为零、积零为整”的过程．过剩估计值和不足估计值的应用[例1] )＝－t 2＋5(单位：km/h)．试估计这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程．[思路点拨] 将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过求矩形面积问题即可解决．[精解详析] 将区间[0,2]10等分，如图：S ＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72，s ＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2＝6.92，∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km 与7.72 km 之间．[一点通] 解决这类问题，是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值．1．把区间[0,1]n 等分，所得n 个小区间，每个小区间的长度为( ) A.1nB.2nC.3nD.12n解析：选A 区间[0,1]的长度为1，被n 等分，所以每个小区间的长度为1n.2．求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝12x 2所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计误差．解：将区间[1,2]5等分，分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s 和过剩估计值S .s ＝⎝ ⎛ 12×12＋12×1.22＋12×⎭⎪⎫1.42＋12×1.62＋12×1.82×0.2＝1.02， S ＝⎝ ⎛12×1.22＋12×1.42＋12×⎭⎪⎫1.62＋12×1.82＋12×22×0.2＝1.32， 估计误差不会超过S －s ＝1.32－1.02＝0.3.利用定积分的几何意义求定积分[例2] (1) ⎠⎛－1 14－x 2d x ；(2)⎰522ππ(1＋sin x )d x .[思路点拨] 定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是：介于x ＝a ，x ＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x 轴上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．[精解详析] (1)由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于圆心角为π3的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3， S 矩形＝AB ·BC ＝23，∴⎠⎛－114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)函数y ＝1＋sin x 的图像如图所示，⎰522ππ(1＋sin x )d x 表示阴影部分的面积，由图像的对称性可知：⎰522ππ(1＋sin x )d x ＝S 矩形ABCD ＝2π.[一点通] 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．3．据定积分的几何意义比较大小，并用“>”“<”或“＝”号连接下列各式：(1) ⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ； (2) ⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x .解析：(1)如图：⎠⎛01x d x 表示△OAP 的面积，⎠⎛01x 2d x 表示阴影部分的面积，显然⎠⎛01x d x >⎠⎛01x 2d x .(2)如图：⎠⎛01x d x 表示△OAB 的面积，∫21x d x 表示梯形ABDC 的面积，故⎠⎛01x d x <∫21x d x .答案：(1)> (2)<4.利用定积分的几何意义，说明下列等式．(1) ⎠⎛012x d x ＝1；(2)⎠⎛011－x 2d x ＝π4. 解：(1)如图1，⎠⎛012x d x 表示由曲线y ＝2x ，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，由S △＝12×2×1＝1，故⎠⎛012x d x ＝1.(2)如图2，⎠⎛011－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的面积．由S 圆＝π，得⎠⎛011－x 2d x ＝π4. 利用定积分的性质求定积分[例3] (1)若⎠⎛01[f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛01[f (x )－g (x )]d x ＝－5，则∫10f (x )d x ＝________.(2)若⎠⎛a b 2f (x )d x ＝5，则13⎠⎛a b[2－f (x )]d x ＝____________.[思路点拨] 涉及定积分的线性运算时，可考虑用定积分的性质进行求解． [精解详析] (1)依题意知⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛01g (x )d x ＝3， ⎠⎛01f (x )d x －⎠⎛01g (x )d x ＝－5， 两式相加，得2⎠⎛01f (x )d x ＝－2， 故⎠⎛01f (x )d x ＝－1.(2)∵⎠⎛a b 2f (x )d x ＝2⎠⎛a bf (x )d x ＝5，∴⎠⎛abf (x )d x ＝52. 于是13⎠⎛a b [2－f (x )]d x ＝13⎣⎡⎦⎤⎠⎛ab2d x －⎠⎛a bf x d x＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －2a －52＝23b －23a －56.[答案] (1)－1 (2)23b －23a －56[一点通] 利用定积分的性质可将被积函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分，将未知的定积分转化为已知的定积分；对于分段函数类型的定积分，可以利用定积分的性质分解求值．5．若⎠⎛a b f (x )d x ＝3，⎠⎛a b g (x )d x ＝2，则⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝________. 解析：⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝3＋2＝5.答案：56．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )d x .解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛12(－2x ＋4)d x .又由定积分的几何意义得⎠⎛01(x ＋1)d x ＝12(1＋2)×1＝32，⎠⎛12(－2x ＋4)d x ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )d x ＝32＋1＝52. (1)定积分⎠⎛a bf (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同． (2)利用几何意义求定积分的关键在于分清楚被积函数f (x )所表示的图形以及积分上、下限．1．下列等式不成立的是( )A. ⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a bg (x )d x B. ⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋b －a C. ⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛a bg (x )d x D. ⎠⎛－2π 2πsin x d x ＝⎠⎛－2π 0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x解析：选C 由定积分的性质知选项A ，B ，D 正确，故选C. 2．定积分⎠⎛13(－3)d x ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A ⎠⎛133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.3．求由曲线y ＝e x，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分上限和积分下限分别为( )A ．e 2,0 B ．2,0 C ．2,1D ．1,0解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，x ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝e 2.所以积分上限为2，积分下限为0.4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125 C.127D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1， 各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝981＝19.5．已知⎠⎛a bf (x )d x ＝6，则⎠⎛a b6f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛a b 6f (x )d x ＝6⎠⎛a bf (x )d x ＝36.答案：366．计算⎠⎛124－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．易知AB ＝3，∠AOB ＝π3，故S 阴＝16×4π－12×1×3＝2π3－32. 答案：2π3－327．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563， 求：(1) ⎠⎛023x 3d x ；(2) ⎠⎛146x 2d x ；(3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x . 解：(1) ⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2) ⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x＝3×73－2×154＝－12.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．解：由定积分的几何意义知⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1， ∴⎠⎛05f (x )d x ＝⎠⎛02x d x ＋⎠⎛23(4－x )d x ＋⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92.。
1在0到x的定积分
1在0到x的定积分标题“1在0到x的定积分”指的是从零数到某个定值x上求1在此区间上的定积分。
一般情况下，定积分可以理解为某个函数在某个区间上定义的一个数量或积分，例如函数f(x)在定义域[a,b]上的积分。
定积分可以求解函数的面积，反映函数体积的大小。
本文将重点讨论1在[0,x]上的定积分的概念及性质，以及如何求解。
一、定积分的概念及性质1、定积分的概念：定积分是一种应用于解决多元函数积分问题的数学工具，它的基本概念是将一个函数在给定的定义域中拆分成若干较小的子区间，然后利用积分公式将这些子区间上的值相加即可得到该函数在给定定义域中的积分值，因此也称作间断积分。
例如，函数f(x)在定义域[0,x]上的积分就是求f(x)在该定义域上的定积分。
2、定积分的性质：定积分具有定义域限定性和仿射性，这意味着它求解的积分值只与函数在定义域上的值有关，而不受外部因素的影响。
此外，定积分还具有可不等性，即两个定义域的积分值可以不同，只要函数对这两个定义域上的值不同即可。
二、如何求解1在[0,x]上的定积分1、解法一：切线积分法切线积分法是一种精确求解定积分的数值积分方法，也称作梯形积分法，它的原理是将定义域[a,b]上的函数值看成一组等宽的梯形的高，然后多次进行计算，累加求和得到求解的结果，因此也称作“梯形公式”。
如果函数f(x)在[0,x]上定义，那么可以用梯形公式求f(x)在该定义域上的定积分。
2、解法二：抽样积分法在定义域[0,x]上，抽样积分法是一种采用样本点抽取函数值进行求解的定积分方法。
它具有渐近收敛性和计算量小的优势。
抽样积分法的思想是利用函数的定义域内的样本点采集函数值，然后累加，从而得到函数在该定义域上的定积分。
所以如果要求f(x)在[0,x]上的定积分，可以用抽样积分法进行求解。
三、实际应用定积分在微积分中是一个重要的概念，它可以用来求解各种多元函数积分问题，广泛应用于物理、化学、工程、计算机等多个领域。
定积分的名词解释(一)
定积分的名词解释(一)
定积分
名词解释
•定积分：定积分是微积分中的一个重要概念，表示函数在某个区间上的“累计变化量”，通常用符号∫f(x)dx 表示。
–示例：假设函数 f(x) = x^2，要计算函数 f(x) 在区间[0, 1] 上的定积分。
首先，我们可以通过求不定积分来得
到函数 F(x) = (1/3)x^3 + C。
然后，应用定积分的定义，
我们可以计算出定积分的结果为∫(0 to 1) x^2 dx =
F(1) - F(0) = (1/3) - 0 = 1/3。
•区间：定积分通常在一个区间上进行计算，区间由上下界限定。
–示例：在上述例子中，区间为 [0, 1]。
•上限和下限：区间的上限和下限分别确定定积分的起点和终点。
–示例：在上述例子中，上限为 1，下限为 0。
•被积函数：定积分中的被积函数是需要进行积分的函数。
–示例：在上述例子中，被积函数为 f(x) = x^2。
•微元：对区间进行微分划分后，每个微小的子区间称为微元。
–示例：对区间 [0, 1] 进行微分划分后，可以得到 n 个微元。
•∫ 符号：积分符号，表示对函数进行积分。
–示例：∫(0 to 1) x^2 dx 表示对函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上进行积分。
结论
定积分是微积分中的一个重要概念，通过对被积函数在给定区间
上的累计变化量的计算，可以得到定积分的结果。
在定积分的计算中，需要明确区间的上下限，确定被积函数，进行微分划分，最后应用积
分符号求解。
定积分1
定积分1．不定积分在区间I 内，若则称F (x ) 为f (x ) 在区间I 内的一个原函数，称F (x ) +C (C 为任意常数) 为f (x )在区间I 内的不定积分，记为()()F x f x ′=()f x dx∫一、积分概念2、定积分定义设函数f (x ) 在[a ,b ]上有界, 将[a ,b ]任意分成n 个子区间, 分点为bx x x x x a n n =<<<<<=−1210 在每个子区间[x i-1, x i ]上任取一点ξi , ξi ∈[x i-1, x i ],,)(lim1存在如果极限∑=→Δni i i x f ξλ),max ,(11i ni i i i x x x x Δ=−=Δ≤≤−λ其中函数f (x )在[a ,b ]上的定积分.记成∑∫=→Δ=ni ii bax f dx x f 1)(lim )(ξλ则称函数f (x )在[a ,b ]上可积, 这个极限值就称为()d ()()d .bbbaaaf x x f t dt f u u ==∫∫∫•定积分是积分和式的极限，是一个数值，x x f b ad )(∫注意：•在定积分的定义中的两个任意性，函数可积即意味着极限值与对区间的分割方式及在区间[]1,i i x x +上点iξ的取法无关；定积分值只与被积函数f (x )及积分区间[a,b ]有关，而与积分变量的记法无关.即有•不定积分与积分变量是否有关？()f x dx ∫2. 可积的充分条件.定理1: 设f (x )在区间[a ,b ]上连续, 则f (x )在[a ,b ]可积.定理2: 设f (x )在区间[a ,b ]上有界, 且只有限个间断点,则f (x )在[a ,b ]上可积.1()lim ()nbi iai f x dx f x λξ→==Δ∑∫题型一.用定积分计算极限1lim ()nn i b a b af a i n n →∞=−−=+∑定义：（可积）已知求极限1lim ()n i f a i n n →∞=+∑或11lim ()nn i i f n n →∞=∑()a f x dx =∫1()f x dx=∫例.用定积分表示下列极限:∑=∞→+ni n ni n 111lim )1(解:∑=∞→+ni n n i n 111lim )1(nn i n i n 11lim 1⋅+=∑=∞→iξix Δxx d 11∫+=x1n i 1−ni求极限1lim ()n i f a i n n →∞=+∑或11lim ()nn i i f a n n →∞=+∑()a f x dx =∫10()f x dx =∫例.用定积分表示下列极限:121lim )2(+∞→+++p pppn nn )n n i p n 1lim 1∑=∞→=n i xx pd 1∫=iξix Δ∑=∞→+ni n nin 111lim )1(121lim )2(+∞→+++p pp p n nn解:例. 数列极限222222lim ()12x n n nn n n n→+∞+++=+++"（ ）（A ）2π（B ）4π（C ）3π（D ）6πb o xya3. 定积分的几何意义.(1) 若当x ∈[a ,b ]时, Adx x f ba曲边梯形面积=∫)(A y=f (x )连续函数f (x ) ≥0(2) 若当x ∈[a ,b ]时, 连续函数Adx x f ba−=∫)(oxy a by=f (x )A f (x ) ≤0,o xy 一般，曲边梯形的面积|()|ba f x dx ∫；而()baf x dx∫的几何意义则是曲边梯形面积的代数和。
定积分的计算1
§4 定积分的计算由于定积分的计算基于求原函数（即不定积分）的计算，对应于不定积分的换元积分法和分部积分法，定积分也有相应的换元积分法和分部积分法，此时要注意积分上下限的处理。
4.1 定积分换元法证 由假设知上式两端的被积函数是连续的，因此，原函数存在。
设()x F 是()x f 的一个原函数，用Newton-Leibniz 公式，则()()()a F b F dx x f ba-=⎰。
另一方面，()[]()()[]()[]()()a F b F F F dt t t f -=-='⋅⎰αϕβϕϕϕβα。
比较以上两式得式(4.1)。
注 (1) (4.1) 式称为定积分的换元公式，故称为定积分的换元法； (2) 应用公式(4.1)时，换元要注意换积分限；换元后，不一定有αβ>，要注意上下限对应关系α→a ，β→b ；(3) 换元的公式(4.1)从右到左进行，即为凑微分方法；(4) 从结论(4.1)看到，在用换元积分法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，立即用相应的积分限代入，并求其差值就可以了。
亦即不必作变量还原，再用原来积分限去计算定积分的值。
这就是定积分换元法与不定积分换元法的区别。
这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应采用与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，它与计算过程中所采用的变量符号无关。
(5) 如果定理的条件中对f 只假定可积，但要求ϕ严格单调，那么(4.1)式仍然正确。
例4.1计算定积分0-ò解 代换：u x tan =，则00=→=u x ；41π-=→-=u x ；]0,4[π-∈u 时，[]0,1-∈x ，满足定理条件，故-ò42:tan 1sec sec x uudu up-==ò⎰-=04sec πudu 04tan sec ln π-+=u u)12ln(|12|ln 0--=--=例4.2 计算定积分⎰-2)1(dx x f ，其中()001111<≥⎩⎨⎧=++x x x f xe x。
定积分1
b
b
b
这是因为
n n i i =1 =1 n
= lim f (i )xi lim g (i )xi = f (x)dx g(x)dx .
0
b
n
b
b
i =1
0
i =1
a
a
m g(i )xi = f (x)dx g(x)dx .
i =1
n i =1
(4)取极限: 记=max{t1, t2,, tn}, 物体所经过的路程为
S = lim
v( i )t i 0
i =1
n
.
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二、定积分定义
定积分的定义 设函数f(x)在区间[a, b]上有界. •在区间[a, b]内插入分点: a=x0<x1<x2< <xn1<xn=b; 记xi=xixi1 (i=1, 2,, n), =max{x1, x2,,xn}; •在小区间[xi1, xi]上任取一点i (i=1, 2,, n), 作和 f (i )xi ; •如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a, b] 的分法和i的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上 的定积分, 记为 f ( x)dx , 即 a
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•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
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•求曲边梯形的面积 (1)分割: a=x0< x1< x2< < xn1< xn =b, xi=xixi1; (2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(i)xi (xi1<i<xi); (3)求和: 曲边梯形的面积近似为 f ( i )xi ; A = lim .
1的定积分
1的定积分1的定积分是一个重要的数学概念，也是微积分中的一个重要内容。
它是由著名的微积分学家、微分几何学家、力学学家狄拉克首先提出来的。
他发现，积分可以用来表达一个函数的空间变化。
对于同一个函数，不同的被积分区域是不同的，因此，对于不同的被积分区域，可以求出不同的积分值。
1的定积分就是这样一个积分，它可以用来研究函数的变化率，从而确定函数的行为。
1的定积分定义如下：给定一个函数f(x)，它的1的定积分为：∫f(x)dx,其中a∈[a,b]，这里的定积分被称为狄拉克积分。
1的定积分有一个重要的性质，即它可以有效地表示一个函数在某一个区域内的变化率。
通常情况下，当函数的积分值大于0时，函数在该区域内是增加的，而当函数的积分值小于0时，函数在该区域内是减少的。
1的定积分的计算方法有多种。
其中，最简单的是采用梯形法，即将被积分区域分成若干小矩形，然后分别求其下面的矩形的面积，最后把这些面积相加求和，得出1的定积分的值。
另外，也可以采用更复杂的数值积分方法，如Simpson积分法，Gauss-Kronrod求积法，Trapezoidal积分法等，以计算出更精确的定积分结果。
1的定积分在数学，物理，化学和工程学等多个领域有着广泛的应用。
在物理学中，它可以用来求解微分方程，即求解物理系统中的动态变化；在数学中，它可以用来求解定积分和无穷级数的值；在化学和工程学中，它可以用来求解复杂的物理和化学过程的传递系数等等。
总之，1的定积分在数学、物理、化学和工程等各个领域均有着重要的作用，它可以有效地帮助我们了解函数的变化规律，研究物理和化学等复杂过程的传递系数，甚至可以应用在定积分和无穷级数的求解中。
因此，1的定积分是一个非常重要的概念，并且可以应用到很多不同领域中。
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探究三：定积分的性质
性质 1 性质 2 性质 3 性质 4
xi1, xi 上任取一点 i (i 1, 2,, n) 作和式_______________________
b
n
，当 n 时，
上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数 f ( x) 在区间[a,b]上的________。记作:________
b
a
f ( x)dx 表示：
如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f(x)≤0， 那么定积分 表示：
b
a
f ( x)dx
计算定积分: (1)、
【当堂测试】
2
1
2 xdx ；
（2） 、
5
0
x 2 dx
【课后巩固】 1、由 y=sinx, x=0,x= 2、定积分
,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 2
5.计下列定积分 (1)
2 2
4 x 2 dx
(2)
2
2
xdx
【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？
2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成
【学习目标】 1. 通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 ， 了 解 定 积 分 的 背 景 ； 2. 能 用 定 积 分 的 定 义 求 简 单 的 定 积 分 ； 【教学重点】定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 【教学难点】定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 【学习方法】合作探究、学案导学法 【自主学习·梳理基础】 1.一般地，如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图像是一条连续不断的曲线， 那么我们就把它 称为区间 I 上的________________。 2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤: ①________ ,②________ ,③________ ,④________ . 3. 定 积 分 的 定 义 ： 如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a,b] 上 图 像 是 连 续 曲 线 ， 用 分 点 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b 将区间 [a,b] 等分成 n 个小区间。在每个小区间
②定积分
b
a
f ( x)dx 是一个常数，只与积分上、下限的大小有关， 与积分变量的字母无关，
b
a b c）
1dx b a （k 是常数） kf x dx f x f x dx f x dx f x dx f x dx（其中
（ ）
6.用图像表示定积分 x dx ，并通过几何意义求定积分的值。
1
1
b
a
f ( x)dx 的大小
A、与 f ( x) 和积分区间 a, b 有关，与 i 的取法无关 B、与 f ( x) 有关，与区间 a, b 及 i 的取法 无关 C、与 f ( x) 和 i 的取法有关，与积分区间 a, b 无关 D、与 f ( x) 、区间 a, b 和 i 的取法都有关 3、下列等式成立的个数是（ ① ）
a b
a b a b
a
b
1
2
c
b
a
c
b
a
f ( x)dx f (t )dt f ( y)dy
a a
b
思考：你能从定积分的几何意义解释性质 4 吗？ 【课堂合作探究】
探究活动一、探究一： （1）讨论定积分的几何意义是什么？ 如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 函 数 连 续 且 恒 有 f ( x) 0 ， 那 么 定 积 分
2015 届高二数学 2---2 导学案 NO 第 课题：定积分的概念 第
28
编写 熊有刚 审核 周 班 课时 组评
组
审批 姓名 师评
探究活动二、用图表示下列函数的定积分，并求出定积分 （1）∫012dx (2)∫12xdx (3) 1 1 x 2 dx
1
【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容；
1
0 a
f (t )dt f ( x)dx ② 2 sin xdx sin xdx sin xdx
0
1
0
2
0
③
a
x dx 2 x dx
0
a
④ C、3
0
4 x 2 dx 2dx
0
2
A、 1 4.画出
3 1
B、2
2
D、4
(2 x x )dx 表示的图形
ba f ( i ) .记为： S __________________ ， 即 f ( x )dx = lim n a n i 1 b 为___ __， [a, b] 为________， 其中： ① f ( x ) 称为__________， x 叫做_______， a 为_______.