极限四则运算法则

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极限的运算

无穷小因子分出法
2 x3 x 2 + 5 例7 求 lim 4 . 2 x →∞ x + 4 x 1
2 1 5 2+ 4 3 2 2x x + 5 x lim 4 = lim x x x →∞ x + 4 x 2 1 x →∞ 4 1 1+ 2 4 x x
解:
=0
当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
判断题若 lim g ( x) = ∞ , lim f ( x) = ∞ 则 x →a x →a
lim kf ( x) = ∞(k为非零常数）
x →a
1 lim =0 x →a f ( x ) + g ( x )
lim[ f ( x) + g ( x)] = ∞
x →a
lim[ f ( x) g ( x)] = 0
说明：说明：上述法则对自变量时都成立。时都成立。
x → x0 及x →∞
(2) lim[ f ( x) g( x)] = A B
推论1 推论1 如果lim f ( x)存 , 而c为常数,则在
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
即常数因子可以提到极限记号外面. 即常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 推论2 如果lim f ( x)存在, 而n是正整数, 则
(x + 2) = lim 2 x→ (x + x +1 1 )
= 1
例9、求 lim ( x(x + 3) x) 、
x→∞
解：原式= x→∞ 原式
= lim
x→∞
[x(x + 3)] lim
x2 x(x + 3) + x 3x x(x + 3) + x

极限的运算

极限的运算一极限的四则运算法则定理：若()A x f =lim ，()B x g =lim ，则有（１）()()[]()()x g x f B A x g x f lim lim lim ±=±=± （２）()()[]()()x g x f AB x g x f lim lim lim ⋅==⋅ （３）()()()()x g x f B A x g x f lim lim lim==，（0≠B ）注意：法则(1)和法则(2)可以推广到有限个函数的情况。

另外，法则(2)还有三个推论。

推论：（１）()()x f k x kf lim lim =， (k 为常数)（２）()[]()[]n x f nx f lim lim =，（n 为正整数）（３）()[]()[]nnx f x f 11lim lim =，（n 为正整数）例１()235lim 22+-→x x x -=→225lim x x +→x x 3lim 22lim 2→x＝-→22lim 5x x +→x x 2lim 3２＝-→22)lim (5x x +⨯23２＝26252+-⨯＝16观察这个例子可以发现函数2352+-x x 在2→x 时的极限正好等于它在2=x 这一点的函数值，因此，我们可以得到这样一条规律：若()x f 是多项式，则()()00lim x f x f x x =→。

例２3512222lim +--+→x x x x x ＝()()35122222lim lim +--+→→x x x x x x ＝3252122222+⨯--+⨯＝39-＝3- 例３222123lim x x x x -+-→＝()()2222123lim lim x x xx x -+-→→＝０从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较简单的，但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则的条件，就不能用极限的四则运算法则来求极限了。

极限的运算法则

lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3

极限四则运算

函数极限的四则运算：如果
lim
x x0
f ( x) a
lim g ( x ) b 那么
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim
x x0
x x0
f ( x) a ( b 0) g ( x) b
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k

练习：P88 1，2
例3:求下列极限
P90
1， 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n 2
n
3/2
1/3
1 1 1 ] lim [ 1 4 4 7 ( 3n 2)( 3n 1)
n
x ax 3 例4：已知 lim b，求常数a , b的值 x 1
2 x 1
a=－2;b=－4
例5：在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距，
2 2 3 3 4
下去，试求点P的极限位置。
作业：练习：P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
；/ 清货公司；
去?怎么才能去雨帝部落?" 夜妖娆虽然依旧静静の坐着,但是内心却是早已飞到数万里外の雨帝部落.这地方她是一刻也不想待下去了. "吱呀！" 石门打开了,走进来一些妖yaw女子,蛇一样の娇躯随着行走不断の扭

2.4 极限的运算法则

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10
极限的运算法则
练习
x5 1 lim 7 x2 x 1 x3 x3 2 lim lim x3 x 2 9 x 3 x 3 x 3
高等数直接代入法学经 1 济 6 消零因子法类
8 x 3 8 x 3
x x
(2) lim[ f ( x ) g( x )] A B ;
f ( x) A (3) lim , 其中B 0. x g( x ) B
高等数学经济类
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2
极限的运算法则
推论1
如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
3 xlim 1
8 x 3 lim x 1 x 1

8 x 3
x 1
x 1

11

lim
x 1 8 x 3
x 1

1 6
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极限的运算法则
高 3x x 1 等例6 求 lim 2 . ( 型) x 2 x 4 x 3 数学解 x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .经济 2 先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.类
则 lim( x 2 ax b ) 1 a b 0.
x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
Байду номын сангаас经济类
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.

极限四则运算法则

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极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用

无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值

1.5 极限的运算法则

x 0
o
x
例11
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时求 , a0 x m a1 x m 1 am lim 。 n n 1 x b x b x bn 0 1
x m a0 a1 x 1 am x m ) 解原式 l i m( n 1 n x x b0 b1 x bn x
单侧极限为解 x 0是函数的分段点，两个
x 0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
2 x 0
y 1 x
y x2 1
y
左右极限存在且相等,
1
故 lim f ( x ) 1.
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理可由定理2.1/2.2 直接得出结论 .
第五节极限的运算法则
一、极限的四则运算法则二、极限的复合运算法则三、数列极限与函数极限的关系
第一章
一、极限的四则运算法则
定理 1 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
证:
试证:
x x0 x x0
x x0
lim R( x)

极限运算法则

证明
Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
∴ f ( x ) = A + α,
由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立 .
第二章
Calculus 分
第四节极限运算法则
一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则
China Institute of Industrial Relations
第二章
Calculus 分
一、极限的四则运算法则
定理
在同一过程中，设 lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B , 则 (1) lim[ f ( x ) ± g( x )] = A ± B; ( 2) lim[ f ( x ) ⋅ g ( x )] = A ⋅ B; f ( x) A = , 其中B ≠ 0. ( 3) lim g( x ) B
Calculus 分
2 3 x =3 3 7 x3
当自变量趋于无穷大时,求分式的极限，要先除以最大方幂. 结论：
3x2 − 2x − 1 例6 求 lim x→∞ 2 x 3 − x 2 + 5
解
3 2 1 − − 2 3 3x2 − 2x − 1 0 x x x = = =0 lim 3 lim 2 x →∞ 2 x − x + 5 x →∞ 1 5 2 − + 3 2 x x
1 u = ∴ 原式 = lim 1 u→ 6 6 6 = 6
China Institute of Industrial Relations

极限的四则运算

极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。

性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。

保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。

若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。

和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。

其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。

2.3 极限的运算法则

m m 1
a0 x a1 x am lim x b x n b x n 1 b 0 1 n
为非负常数 )
=
例题十
x2 ax b = 1 ，则a,b应为何值？已知 lim x x 1
x2 (1 a) x 2 (b a) x b lim ax b = lim =1 x x 1 x 1 x
第二章
极限与连续
2.3 极限的运算法则
极限的四则运算法则复合函数的极限运算法则小结
一、极限的四则运算法则
•定理1 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么 (1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB
x x0
lim Pn ( x ) = Pn ( x0 ) ．
解
x x0
an )
= a0 lim x n a1 lim x n1
x x0 x x0
lim an )
x x0
= a0 x0 n a1 x0 n1
an = Pn ( x0 )
2.有理分式函数的极限设有理分式函数
•结论若 Q( x0 ) = 0, P( x0 )
P( x) = 0 ，则 lim x ® x0 Q ( x )
P( x) lim （2）极限 x Q( x )
例题七
2 x3 3 x2 5 求 lim x 5 x 3 2 x 2 3 ．
解当 x 时，分子、分母都趋向于无穷大（即极限都不存在），故不能直接应用商的极限的运算法则．我们可先将分子、分母同除以它们的最高次幂 x ，得

1.2.2极限的运算法则

证 lim f ( x ) A, lim g( x ) B.
f ( x ) A , g( x ) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则, 得
[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立. [ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB ( A B) 0.
无穷小分出法:以分式中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
例解
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim ( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
练习题答案
一、1、-5； 5、0；二、1、2； 1 5、； 2 2、3； 6、0； 2、2 x ； 6、0； 3、2；
1 7、； 2 3、-1； mn 7、 . mn
1 4、； 5 3 30 8、( ) . 2 4、-2；
作业: P24
Ex 1（3）(6), Ex2 (3) (8)
x x0 x x0
a0 x0 a1 x0
n
n 1
an f ( x0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
3 2
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大. ( 型 )
5 x3 2. 1 7 3 x

函数极限的四则运算法则证明过程

函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时，如果两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，并且满足一定的运算规则。

下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。

1. 和的极限法则证明：设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x)，即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。

我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。

根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在N1和N2，当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2，当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。

取N = max{N1, N2}，则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。

因此，lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。

2. 差的极限法则证明：类似地，我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。

3. 积的极限法则证明：要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x)，我们可以利用极限的乘法法则进行证明。

具体证明步骤略。

4. 商的极限法则证明：对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x)，我们需要额外假设g(x) ≠ 0，以避免出现除以零的情况。

具体证明步骤略。

综上所述，通过以上证明过程，我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。

在实际计算函数极限时，可以根据这些法则简化计算过程，提高计算的效率。

极限的运算法则

( lim x )2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
3
商的极限等于极限的商
3 2 x 1 1 7 x2 . lim 2 2 3 3 x2 x 3 x 5 lim ( x 3 x 5)
lim [ f ( x ) g( x )] A B
lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
以上运算法则对有限个函数成立. 于是有
x x0
lim [ f ( x )]n [ lim f ( x )]n
x x0
—— 幂的极限等于极限的幂
lim f ( x ) g ( x ) 是否一定不存在？
一定不存在.（可用反证法证明）答：
n 1 2 3 2. lim 2 2 2 2 ? n n n n n
n ( n 1) 1 1 1 解原式 lim lim ( 1 ) . 2 n 2n n 2 n 2
例5 分析解
12 1 求 lim 3 . x 2 x 2 x 8
( 型 )
型，先通分，再用极限法则.
22 x (x 22 xx 8 4 ) 12 0 ( ) 原式 lim lim 3 0 2 2 x3 x x x8 8
2 x3 3 x2 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
分析
( 型)
x 时,分子,分母都趋于无穷.
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限. 3 5 2 3 3 2 2x 3x 5 x x “ 抓大头” 解 lim lim 4 1 x x 7 x 3 4 x 2 1 7 3 x x 3 5 lim ( 2 3 ) 2 x x x . 4 1 lim (7 3 ) 7 x x x

06[1].极限四则运算法则与基本性质

f ( x) f ( x) A (4) 如果还有 B ≠ 0, 则 lim 亦存在,且有:lim = . g ( x) g ( x) B 证明设 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B . 任给 ε > 0 , 取 δ > 0 ,
x→ x0 x→x0
欲证 0 < x x0 < δ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) < ε , ∵ ( f ( x) + g ( x)) ( A + B) ≤ f ( x) A + g ( x) B ,
x→ x0
当 0 < x x0 < δ
( x) A < ε 1 = A ε
于是对此 δ > 0 ,当 0 < x x0 < δ 时 :
( x) A =
≤ A ε A =ε ;
( x) A ( x) A = ( x) + A ( x) + A
∴ lim (x) = A .
x→x0
n1
h( x) a0 x n + a1 x n1 + + + an1 x + an = 或者说,当 f ( x) = , m m 1 g ( x) b0 x + b1 x + + +bm1 x + bm 且 g ( x0 ) = b0 x0 + b1 x0
m m 1
+ + +bm1 x0 + bm ≠ 0 时,
( x x0 ) h1 ( x) h1 ( x) h( x ) 于是 lim f ( x) = lim = lim = lim x → x0 x → x0 g ( x ) x → x0 ( x x ) g ( x ) x → x0 g ( x) 0 1 1

等式两边求极限四则运算法则

等式两边求极限四则运算法则一、加法法则在等式两边求极限时，可以使用加法法则。

加法法则指出，如果等式两边的极限都存在，那么它们的和的极限等于各自极限的和。

具体而言，设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义，且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在，则有lim(x->a)[f(x)+g(x)] = lim(x->a)f(x) + lim(x->a)g(x)。

例如，我们要求lim(x->0)(x+1)，可以先求出x->0时x的极限为0，再求出x->0时1的极限为1，因此根据加法法则，可以得到lim(x->0)(x+1) = lim(x->0)x + lim(x->0)1 = 0 + 1 = 1。

二、减法法则减法法则与加法法则类似，只是将加法运算改为减法运算。

减法法则指出，如果等式两边的极限都存在，那么它们的差的极限等于各自极限的差。

具体而言，设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义，且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在，则有lim(x->a)[f(x)-g(x)] = lim(x->a)f(x) - lim(x->a)g(x)。

例如，我们要求lim(x->0)(x-1)，可以先求出x->0时x的极限为0，再求出x->0时1的极限为1，因此根据减法法则，可以得到lim(x->0)(x-1) = lim(x->0)x - lim(x->0)1 = 0 - 1 = -1。

三、乘法法则乘法法则是等式两边求极限中常用的法则之一。

乘法法则指出，如果等式两边的极限都存在，那么它们的乘积的极限等于各自极限的乘积。

具体而言，设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义，且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在，则有lim(x->a)[f(x)*g(x)] = lim(x->a)f(x) * lim(x->a)g(x)。

极限四则运算法则

极限的运算

极限的运算

极限的运算法则

极限四则运算

2.4 极限的运算法则

极限四则运算法则

1.5 极限的运算法则

极限运算法则

极限的四则运算

2.3 极限的运算法则

1.2.2极限的运算法则

函数极限的四则运算法则证明过程

极限的运算法则

06[1].极限四则运算法则与基本性质

等式两边求极限 四则运算法则

等式两边求极限四则运算法则