高中数学21向量的线性运算215向量共线的条件与轴上向量坐标运算自我小测新人教B版必修41002474
高中数学 2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算课件
解：AE=AD+DE
E C
=3AB+3BC
=3(AB+BC) A B
=3AC
∴AE//AC 它们有公共点A
D
∴A、E、C三点共线
例3.设A，B是两个不共线的向量，已知 AB=A+B，BC=2A+8B，CD=3(A-B)，
求证：A，B，D三点共线。
证明：∵BD=BC+CD
=(2a+8b)+3(a-b)
x1=x2
a+b =(x1+x2)e
(5)轴上的向量ＡＢ的坐标常用ＡＢ表示 即:ＡＢ=ＡＢe (6)若A.B.C是轴上的三点,则 AB+BC=AC (7)若点Ａ的坐标是x1点,Ｂ的坐标x2是则 AB= x2- x1 即轴上的向量坐标等于终点的坐标减去始点的坐标 轴上两点的距离 ︱AB︱= ︱x2- x1︱
a＝︱a︱a０
a a0= ︱a︱
１.规定了方向和长度单位的直线叫轴 e
2.轴上向量的坐标及其运算
l
(1)取与轴同向的单位向量e,则对轴上的任意向量a, 一定存在唯一实数x,使 a=xe (2)反过来，任意给定一个实数x总能作一个向量 a=xe 长度等于这个实数的绝对值，方向与实数的符号一致
所以给定单位向量e，则与它平行的所有向量的集合为：
=5a+5b
=5(a+b)
=5AB ∴BD//AB，又它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线
例4.如图MN是⊿ABC的中位线, 求证:MN=1 BC且MN//BC
2
证明:M,N分别是AB,AC的中点
∴AM=
1 AB,A-AM=
1 2
AC-
1 2
AB
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 · 必修4
易错疑难辨析
第二章
2.1
2.1.5
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 · 必修4
判断向量 a＝－2e 与 b＝2e 是否共线．
[错解] ∵a＝－2e，b＝2e，∴b＝－a，∴a与b共线．
2＝λ ∴ k＝－3λ
，解得 k＝－6.
第二章
2.1
2.1.5
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 · 必修4
→ → → 5．若 A、B、C 共线，且|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值 集合是________．
[答案] {3,13}
[ 解析 ]
A、 B 、 C共线时，只有两种可能， C在线段 AB 上
反过来，任意给定一个实数x，总能作出一个向量a＝xe，即实 一一对应 关系，x叫做a在轴l 上 数与这条轴上的向量建立了 ___________
坐标(或数量) ．x的绝对值等于a的长，当a与e的方向相同 的______________
x<0 x>0 ；当a与e的方向相反时________ 时，________ ．
成才之路 · 数学
人教B版 · 必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 · 必修4
第二章
平面向量
第二章
平面向量
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 · 必修4
第二章
2.1
2.1.5
向量的线性运算
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算
【课后小结】
第 2 页 共 2 页
2、 在平行四边形 OACB 中,BD= 1 BC,OD 与 BA 相交于点 E.求证:BE= 1 BA.
3 4
探究三、易错辨析 已知 a=-2c,b=2c,求证:a 与 b 共线.
四、当堂检测 1、若 e 是 a 的单位向量,b 与 e 的方向相反,且|b|=3,|a|=4,则 a =(
济南市长清中学 高一
编号：B4-38 课型：新授课 编制人： 李震
数学 导学案
审核人： 李震 年级主任： 班级： 姓名：
课题：2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 【课程学习目标】 1.掌握平行向量基本定理并理解两个向量共线的条件.(重点、难点) 2.理解单位向量的含义.(重点) 3.理解轴上的基向量、向量的坐标及运算公式.(重点、易错点) 一、知识导学： 问题 1、平行向量基本定理 如果 a=λ b,则 ;反之,如果 a∥b,且 b≠0,则一定存在唯一一个实数λ ,使 . 问题 2、单位向量 给定一个非零向量 a,与 a 同方向且长度等于 1 的向量,叫做向量 a 的 .如果 a 的单位向量 记作 a0,则 a=|a|a0 或 a0= a .
b
)
A. 3
4
B- 4
3
2、已知 e1≠0,λ ∈R,a=e1+λ e2,b=2e1,若 a∥b,则( ) A.λ =0 B.e2=0 C.e1∥e2 D.e1∥e2 或λ =0 3 、在数轴 x 上, 已知 OA =-3e(e 为 x 轴上的基向量), 且点 B 的坐标为 3, 则向量 AB 的坐标 为 . 4、设 e1,e2 不共线,b=e1+λ e2 与 a=2e1-e2 共线,则实数λ 的值为 . 5、下面给出三个命题:①非零向量 a 与 b 共线,则 a 与 b 所在的直线平行;②向量 a 与 b 共线,则 存在唯一实数λ ,使 a=λ b;③若 a=λ b,则 a 与 b 共线.其中真命题的序号为 . 6、如图所示,在△OAB 中,AB 上有一点 P(点 P 不与 A,B 重合),设 OA =a, OB =b, OP =xa+yb(x,y 均 为非零实数).求证:x+y=1,且 AP = y PB .
向量共线的条件与轴上的向量坐标运算
(2)轴上向量的坐标运算：
①轴上的两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔＿＿＿＿.
②轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量和的坐标等于两个向量的＿＿＿＿，即设a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝(x1＋x2)e.
4、已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是-5，-2，6，求 ， ，
5、已知数轴上两点A，B的坐标分别是 ， ，求证AB中点的坐标
6、已知数轴上A、B两点的坐标x1，x2，求 的坐标和长度：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
7、已知M，N分别是任意两条线段AB和CD的中点，求证：
8、已知：点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：
（二）探索发现
1．平行向量基本定理中的条件“b≠0”能否去掉？为什么？
2．单位向量都是相等向量吗？
3．一般直线与轴的区别是什么？
4．轴上向量的坐标运算应注意哪几点？
5．a＝xe，其中e为单位向量，a与x有什么关系？
五、典型例题
（考点一）轴上向量坐标及长度计算
例1.已知数轴上四点A、B、C、D的坐标分别是－４，－２，ｃ，ｄ．
（1）若AC＝５，求ｃ的值；
（2）若｜BD｜＝６，求ｄ的值；
（3）若
变式训练：已知数轴上A、B两点坐标为 求 的坐标和长度。
（考点二）向量共线或多点共线
例２．已知 , .试问向量 与 是否平行？并求
变式训练2:已知非零向量 不共线，
（1）如果 求证：A、B、D三点共线；
（2）欲使
A
高一数学人必修课件向量共线的条件与轴上向量坐标运算
计算分子间的相互作用力
03
利用向量的点积等运算，可以计算分子间的相互作用力，如范
德华力、氢键等。
向量在经济学中应用
描述经济变量的变化趋势
向量可以表示经济变量的变化趋势，如价格、产量等的变化方向 和幅度。
进行经济预测和决策分析
利用向量的运算和分析方法，可以对经济变量进行预测和决策分析 ，如回归分析、时间序列分析等。
轴的正方向。
03
标记坐标
空间中的任意一点P可以用一个有序实数组(x, y, z)来表示，其中x、y、
z分别称为点P的横坐标、纵坐标和竖坐标。
空间向量在坐标系中表示方法
确定向量的起点和终点
在空间直角坐标系中，向量可以用起点和终点两个点来确定。起点为向量的始点 ，终点为向量的终点。
向量的表示方法
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向 表示向量的方向。同时，向量也可以用坐标形式来表示，即向量的坐标等于终点 坐标减去起点坐标。
案例二
已知向量a=(2, 1, -1)和向量b=(1, -2, 3)，求向量a与向量b的和。根据空间向量的加法运算规则，可 得a+b=(2+1, 1+(-2), (-1)+3)=(3, -1, 2)。
04
向量共线与坐标运算综合 应用
平面向量与空间向量关系
平面向量是二维空间中的向量，可以 用有序数对表示，而空间向量是三维 空间中的向量，可以用有序三元组表 示。
高一数学人必修课件
向量共线的条件与轴
上向量坐标运算 汇报人：XX
20XX-01-21
目录
• 向量共线条件及性质 • 轴上向量坐标运算方法 • 空间向量在坐标系中表示方法 • 向量共线与坐标运算综合应用
2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算(用)
设
e 是轴 l 上的一个基向量, AB AB e
BAe ， 与 AB 绝对值相同， BA
显然，BA
符号相反，即
e
A O B
AB BA 0
C
l
AB BC AC
因为 所以
eo
AB e BC e AC e
( AB BC )e AC e
AB BC AC
在数轴
向量 AD 与向量 AB 共线，且有共同起点 A, 故 A, B, D 三点共线。
变式引申 已知非零向量 1和 e 2不共线，欲使 k e1 共线，是确定 k 的值。 解 ：因为 k e1 e2 和 所以存在实数 ，使 k e1 e2 则( k
e
e2
和
e1 k e2
e1 k e2
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线 的概念： 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线 或互相平行。
a
b
c
d
一、向量共线的条件 由向量平行和向量数乘的定义可以推知：
a λb ， 则 a b ；反之，如果 a b ( b o ) ， 则存在唯一一个实数λ ，使 a λ b
d
与
c
共线
某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正北 方吹来，而当速度为2a公里时，感到风从东北方向吹来， 试问实际风速和风向。
解:设 a 表示人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量。在无 风时此人感到的风速为 a 。设实际风速为 v ,那么此人所 感到的风速向量为 v a .设 OA a, OB 2a ，由于 P PO OA PA 这就是感到 v 从正北方向 从而 PA v a B O吹来得风速。 A
【小初高学习】高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算示
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算示范教案整体设计教学分析本小节涉及到解析几何一些基础知识：向量的共线(平行)、向量共线的条件、轴、向量在轴上的坐标及加法运算、数轴以及如何用位置向量确定轴上点的位置、基本公式等．这些知识看似简单，但极为重要．这一节的学习，可为不同层次的学生搭建学习数学的基础平台．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．向量的平行是用向量的基线平行定义的，并规定零向量可以与任意一个向量平行．从这里可以看出引入向量基线的作用，引入基线，主要是逻辑上的考虑，我们把向量平行建立在直线平行的基础上．这样，向量与几何紧密相连，又可避开直接用方向来定义向量的平行．平行向量基本定理是由向量平行的定义直接推知，没有作形式化的证明，教学时没有必要补充证明．轴上向量的坐标及其运算，完全可启发学生自己导出．一定要让学生区分轴与数轴这两个不同的概念．理解轴上向量与其实数(坐标)的一一对应关系．书中没有提及轴上向量的减法运算，它应包含在加法运算之中．轴上向量的基本公式，在数学2中已学习过，这里用向量再重新推导，目的是提高学生对这些基本公式的理解和记忆，提高学生对这些公式的理性认识．三维目标1．通过探究向量共线的条件，理解向量平行(共线)概念和平行向量基本定理，会证明几何中简单的平行问题．2．理解轴和轴上向量的概念，理解轴上向量的坐标．建立轴上向量与实数的一一对应关系．3．通过轴上向量的探究，能用向量的观点理解数轴，用轴上向量运算证明解析几何基本公式，并能用向量确定直线上点的位置．重点难点教学重点：平面向量基本定理，轴上向量的坐标及其运算．教学难点：对向量共线条件的理解运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)在学习向量概念时，我们已给出向量共线的概念，即：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行(图1)．那么向量平行会有什么条件呢？由此展开新课．图1思路2.(问题引入)前面我们一起探究了向量加减法运算、向量的数乘运算以及它们的运算律，更重要的是探究了它们的几何意义．那么向量2a与向量3a的位置关系怎样？由此进入向量平行的探究．推进新课新知探究向量共线的条件提出问题向量平行具有哪些条件？怎样理解平行向量基本定理？向量平行与直线平行有什么异同？如何理解零向量平行这个特殊问题？ 活动：教师引导学生探究，由向量平行和数乘向量的定义可以直接推知，可得平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .如图2，如果a ＝2b ，则a ∥b ；如果c ＝－2b ，则c ∥b ；图2如果d ∥b ，d 的长度是b 的长度的一半，并且方向相反，则d ＝－12b . 给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量．如果a 的单位向量记作a 0(图3)，由数乘向量的定义可知图3a ＝|a |a 0或a 0＝a |a |. 由于零向量的方向不定，在处理平行问题时，零向量与任何一个向量平行．正因为如此，关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a ≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．应注意，这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．也就是说：直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．讨论结果：(1)略．(2)略．轴上向量的坐标及其运算提出问题阅读教材，怎样理解轴上向量？与数轴有什么区别？根据轴上向量的概念，你能得到哪些基本公式？怎样用向量确定直线上点的位置？活动：教师与学生一起探究轴上向量这个概念，让学生一定区分开它与数轴的概念的不同．这里说的轴是指规定了方向和长度单位的直线．与数轴不同的是这里没有规定原点，仅是方向和长度单位．如图4.图4已知轴l.取单位向量e ，使e 的方向与l 同方向．根据向量平行的条件，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e .反过来，任意给定一个实数x ，我们总能作一个向量a ＝x e ，使它的长度等于这个实数x 的绝对值，方向与实数的符号一致．给定单位向量e ，能生成与它平行的所有向量的集合{x e |x∈R }．这里的单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量)．x 的绝对值等于a 的长，当a 与e 同方向时，x 是正数；当a 与e 反方向时，x 是负数．例如，AB →＝3e ，CD →＝－2e ，则AB →在l 上的坐标是3，CD →在l 上的坐标是－2.于是，在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系．至此，我们就可用数值来表示向量．这一点特别重要，我们在解析几何初步中已经指出，如果点的位置不能用数值来表示，要使用现代的计算机技术研究图形的性质是不可能的．这里，我们奠定了向量的数量化基础，以后我们还要把平面向量、空间向量都数量化、代数化．这样，我们就可以用计算器、计算机等现代计算技术进行向量运算了．有了以上轴上向量的概念，教师引导学生自然地进行一些公式的推导与运算．设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，于是：如果a ＝b ，则x 1＝x 2；反之，如果x 1＝x 2，则a ＝b ；另外，a ＋b ＝(x 1＋x 2)e .这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．设e 是轴l 上的一个基向量(图5).AB →的坐标又常用AB 表示，这时AB →＝AB e .显然BA →＝BA e ，AB 是BA 绝对值相同，符号相反，即AB ＋BA ＝0.设e 是l 上的一单位向量(图5)，在l 上任取三点A ，B ，C ，则图5AB →＋BC →＝AC →，AB e ＋BC e ＝AC e ，(AB ＋BC)e ＝AC e .因为e ≠0，所以AB ＋BC ＝AC.①公式①在解析几何初步一章中已经得到，尽管形式非常简单，但极为重要．我们已经看到它是我们研究解析几何、三角的基础．这里我们应用向量计算精确方便地得到了这个公式．有了轴上向量的概念，我们可以用向量的观点，重新认识一下我们在初中学习过的数轴． 在轴x 上选一定点O 作为原点，就成为我们学过的数轴(图6)．图6设e 是轴x 的基向量，向量a 平行于x 轴，以原点O 为始点作OP →＝a ，则点P 的位置被向量a 所唯一确定，由平行向量基本定理知道，存在唯一的实数x ，使OP →＝x e .数值x 是点P 的位置向量OP →在x 轴上的坐标，也就是点P 在数轴x 上的坐标；反之亦然．如图7，如果点P 的坐标为3，则点P 的位置向量OP →的坐标也为3.图7在数轴x 上，已知点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2(图7)，于是由公式①，得AB ＝AO ＋OB ＝－OA ＋OB ＝x 2－x 1.即AB ＝x 2－x 1.②这就是说，轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．根据公式②，又可以得到数轴上两点的距离公式|AB|＝|x 2－x 1|③由于数轴是中学阶段第一个数形结合的工具，也是中学阶段最重要的数学概念之一，在这里引导学生重新对以上公式进行推导，提高了学生对这些基本公式的理解和记忆，提高了学生对这些公式的理性认识．讨论结果：(1)(2)(3)略．应用示例思路1例1如图8，MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝12BC ，且MN∥BC.图8证明：因为M ，N 分别是AB ，AC 边上的中点，所以AM →＝12AB →，AN →＝12AC →，MN →＝AN →－AM →＝12AC →－12AB →＝12(AC →－AB →)＝12BC →. 所以MN∥BC，MN ＝12BC. 图9BA →共线，根据向量共线定理，可知例2已知a ＝3e ，b ＝－2e .试问向量a 与b 是否平行？并求|a |∶|b |.解：由b ＝－2e ，得e ＝－12b ，代入a ＝3e ，得 a ＝－32b .因此，a 与b 平行，且|a |∶|b |＝32.3已知数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别是4，－2，－6，求AB →，BC →，CA →的坐标和长度(图10)．图10解：AB ＝(－2)－4＝－6，|AB →|＝|－6|＝6；BC ＝－6－(－2)＝－4，|BC →|＝|－4|＝4；CA ＝4－(－6)＝10，|CA →|＝|10|＝10.课堂小结1．先让学生回顾本节学习的数学知识和方法：向量平行的条件、轴上向量、确定轴上点的位置、基本公式等．体会本节学习中用到的思想方法．特别是用新学向量知识重新认识过去所学内容，是真正的温故知新，是对原知识的再提高，而不是把新知识与过去知识割裂开来，对学生理性思维的提高具有重大意义．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，类比是我们学习中伟大的引路人．作业课本本节练习A 组 2,3,4.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．由学生探究向量平行的特例，得到向量平行的条件．向量共线定理用来判断两个向量是否共线．然后对所探究的结果进行运用拓展．认识了轴上向量与数轴的不同，重新推导了几个公式．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．3．本节内容和方法具有丰富的内涵，不同层次的学生在这里都能有不同的提高．同时，本内容又是加强学生自主学习、合作学习的最佳平台，应充分利用好本节的教育功能．绽放出更为深层的智慧火花．备课资料一、新课标下教师的角色定位1．教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数学探究做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源．2．教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者．教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料，引导和帮助而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题，指导学生和帮助学生养成查阅相关的参考书籍和资料、在计算机网络上查找和引证资料的习惯．在学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者，教师要有勇气和学生一起进行探究．3．教师应该根据学生的差异，进行有针对性的指导，鼓励学生创新的同时，允许一部分学生可以在模仿的基础上发挥自己的想象力和创造力，正面鼓励学生的探索精神，肯定学生的创造性劳动，同时也指出存在的问题和不足．二、备用习题1．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．02．对判断向量a ＝－2e 与b ＝2e 是否共线？有如下解法：解：∵a ＝－2e ，b ＝2e ，∴b ＝－a.∴a 与b 共线．请根据本节所学的共线知识给以评析．如果解法有误，请给出正确解法．3．如图11，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？图114．根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD 的形状，并给出证明：(1)AD →＝BC →；(2)AD →＝13BC →；(3)AB →＝DC →，且|AB →|＝|AD →|. 参考答案：1．C2．分析：乍看上述解答，真是简单明快．然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存在问题，这是因为，原题已知中，对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然，a ＝0，b ＝0，此时，a 不符合定理中的条件，且使b ＝λa 成立的λ值也不唯一(如λ＝－1，λ＝1，λ＝2等均可使b ＝λa 成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线．可见，对e ＝0的情况应另法判断才妥．综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e ＝0时，则a ＝－2e ＝0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，∴此时a 与b 共线．(2)当e ≠0时，则a ＝－2e ≠0，b ＝2e ≠0，∴b ＝－a 〔这时满足定理中的a ≠0，及有且只有一个实数λ(λ＝－1)，使得b ＝λa 成立〕．∴a 与b 共线．综合(1)(2)，可知a 与b 共线．3．解：如图12，分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC.观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．图12事实上，因为AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ，而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ，于是AC →＝2AB →.所以A 、B 、C 三点共线．4．(1)四边形ABCD 为平行四边形，证略．(2)四边形ABCD 为梯形．(见图13)证明：因为AD →＝13BC →， 所以AD∥BC，且AD≠BC.所以四边形ABCD 为梯形．图13(3)四边形ABCD 为菱形．证明：如图14，因为AB →＝DC →，图14所以AB∥CD，AB ＝CD.所以四边形ABCD 为平行四边形． 又|AB →|＝|AD →|，所以ABCD 为菱形．点评：本题是用向量的性质判断图形的几何性质．。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算课件
12
【做一做1】 下列说法正确的是( ) A.若a=3b,则a与b不一定共线 B.若a与b共线,则必有a=λb(λ∈R) C.若a+b=0,则a与b共线 D.若a,b均为非零向量且共线,则满足b=λa的实数λ不唯一 解析:若a=3b,则a与b一定共线,A错;当a≠0且b=0时,a与b共线,但 不存在λ∈R,使a=λb,B错;由a+b=0得a=-b,a与b必共线,C正确;当a,b 为非零向量且共线时,满足b=λa的λ唯一,D错. 答案:C
关于平行向量基本定理的深入分析 剖析(1)对于向量a(a≠0),b,如果存在一个实数λ,使b=λa,那么由向 量共线的定义知向量a与b共线;已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的 长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,则当a与b同方向时,有b=μa, 当a与b反方向时,有b=-μa. (2)判断向量a(a≠0)与b是否共线的方法:判断是否有且只有一个 实数μ,使得b=μa. (3)证明A,B,C三点共线的方法:证明有且只有一个实数μ,使得
������������=�����������.
(4)如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么必有λ=μ=0. (5)向量λ(μ1a+μ2b)=λμ1a+λμ2b可以用平行四边形法则作出,如图.
题型一 题型二
题型一 轴上向量的坐标运算
【例1】 已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d. (1)若AC=5,求c的值; (2)若|BD|=6,求d的值; (3)若������������ =-3������������ ,求证:3������������ =-4������������ . 分析解答本题,首先根据条件表示出两点所对应的向 1】 已知在数轴上点 A,B,C 的坐标分别为 1,7,-3. (1)求������������, ������������, ������������的坐标和长度; (2)若 CD=4,求 D 点的坐标; (3)若|������������|=2,求 E 点的坐标.
2[1]15向量共线的条件与轴上向量坐标运算
![2[1]15向量共线的条件与轴上向量坐标运算](https://img.taocdn.com/s3/m/1576ca76852458fb770b56df.png)
－2, －6,
C
BO
A
-6
-2 0
4
求 AB, BC,CA 的坐标和长度.
解：AB=－6，|AB|=6; BC=－4，|BC|=4； CA=10，|CA|=10.
例2. 已知向量a , b是两非零向量，在下列四
个条件中，能使a ,b共线的条件是（ A ）
① 2a－3b=4e 且a+2b=－3e
练习.已知e1,e2是两不共线的非零向量,且 AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三 点共线,求k的值;
1.判断四边形形状 在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=－4a－b,CD= －5a－3b
2.已知数轴上三点A,B,C,其中A,B的坐标分别为 -3,6,且CB=2,求向量AB的坐标及点C的坐标;
这里的单位向量e叫做轴l的基向量, x叫做a在 l上的坐标(或数量). x的绝对值等于a的长, 当a与 e同方向时, x是正数, 当a与e反向时, x是负数.
小结: 实数x与轴上的向量a建立起一一对应 关系.于是可用数值表示向量.
轴上两个向量相等的条件 ： 轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等; 轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和. 向量 AB 的坐标常用AB表示.
② 存在相异实数λ，μ，使λa －μb=0
③ xa+yb=0 (其中实数x, y满足x+y=0)
④ 已知梯形ABCD，其中 AB =a , CD =b
A．①②
B．①③
C．②
D．③④
Байду номын сангаас
例3.已知两非零向量e1,e2不共线,如果 AB=2e1+3e2,BC=6e1+23e2,CD=4e1-8e2, 求证:A,B,D三点共线;
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.5
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算1．平行向量基本定理如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .在平行向量基本定理中，为什么要规定b ≠0?答：若b ＝0，则0∥a ，但λ0＝0，从而a ＝λb 中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ使得a ＝λb .归纳总结对定理的应用要从两个方面进行，由a ∥b (b ≠0)，可得a ＝λb ；由a ＝λb ，可得a ∥b .要注意两向量平行与几何里的平行是有区别的，两向量平行包括两向量所在基线重合的情况．利用该定理可以解决平面几何中两线段的平行、三角形相似、三点共线等问题．【自主测试1－1】设a ，b 是两个非零向量，若8a －k b 与－k a ＋b 共线，则实数k 的值为( )A ．2 2B ．－2 2C ．±2 2D ．8解析：因为8a －k b 与－k a ＋b 共线，故存在唯一的实数λ，使得8a －k b ＝λ(－k a ＋b )．所以有⎩⎪⎨⎪⎧8＝－k λ，－k ＝λ，解得k ＝±2 2.答案：C【自主测试1－2】下列选项中，a 与b 不一定共线的是( ) A ．a ＝5e 1－e 2，b ＝2e 2－10e 1B ．a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 2－2e 1D ．a ＝3e 1－3e 2，b ＝－2e 1＋2e 2解析：对于选项A ，b ＝－2a ；对于选项B ，a ＝4b ；对于选项D ，a ＝－32b .所以选项A ，B ，D 中的a 与b 一定共线．故选C ．答案：C 2．单位向量给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量．如果a 的单位向量记作a 0，则a ＝|a |a 0或a 0＝a |a |. 3．轴上向量的坐标及其运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．已知轴l ，取单位向量e ，使e 的方向与l 同方向，根据向量平行的条件，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e .反过来，任意给定一个实数x ，总能作一个向量a ＝x e ，使它的长度等于这个实数x 的绝对值，方向与实数的符号一致．单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量)．(2)x 的绝对值等于a 的长，当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数．实数与轴上的向量建立起一一对应关系．(3)向量相等与两个向量的和：设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，如果a ＝b ，则x 1＝x 2；反之，如果x 1＝x 2，则a ＝b . 轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．(4)向量AB →的坐标常用AB 表示，即AB →＝AB e .AB →表示向量，而AB 表示数量，且有AB ＋BA ＝0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x 上，已知点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝x 2－x 1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(6)数轴上两点的距离公式：在数轴x 上，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则|AB |＝|x 2－x 1|.【自主测试2－1】在数轴上，A ，B 两点的坐标分别是3,5，则A ，B 两点的距离为( ) A ．8 B ．2 C ．3 D ．－2 答案：B【自主测试2－2】数轴上点A ，B ，C 的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( ) A ．AB →的坐标是2 B ．CA →＝－3AB → C ．CB →的坐标是4 D ．BC →＝2AB → 答案：C关于平行向量基本定理的深入分析剖析：(1)对于向量a (a ≠0)，b ，如果存在一个实数λ，使b ＝λa ，那么由向量共线的定义知向量a 与b 共线；已知向量a 与b 共线，a≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b |＝μ|a|，那么当a 与b 同方向时，有b ＝μa ，当a 与b 反方向时，有b ＝－μa .(2)判断向量a (a≠0)与b 是否共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得b ＝μa .(3)判断A ，B ，C 三点共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得AC →＝μAB →. (4)如果向量a 与b 不共线，且λa ＝μb ，那么λ＝μ＝0.(5)向量λ(μ1a ＋μ2b )＝λμ1a ＋λμ2b 可以用平行四边形法则作出，如下图．题型一 轴上向量的坐标运算【例题1】已知数轴上四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是－4，－2，c ，d . (1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC →＝－3AD →，求证：3CD →＝－4AC →.解：(1)∵AC ＝5，∴c －(－4)＝5，∴c ＝1.(2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：∵CD →＝CA →＋AD →＝－AC →＋AD →， 而AC →＝－3AD →， ∴CD →＝－(－3AD →)＋AD →＝4AD →. ∴3CD →＝12AD →.又－4AC →＝－4×(－3AD →)＝12AD →，故3CD →＝－4AC →.反思正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习向量计算的基础．解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形．题型二 平行向量基本定理的应用【例题2】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)若k a ＋b 与a ＋k b 共线，求k 的值．分析：(1)若证A ，B ，D 三点共线，只需证明存在实数λ，使得AD →＝λAB →即可．(2)k a ＋b 与a ＋k b 共线，则一定存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，求出k 值即可．解：(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝6a ＋6b ＝6(a ＋b )＝6AB →. 故AD →与AB →共线，且有公共点A ， 所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使得k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为a ，b 是不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1.故k 的值为±1.反思对于问题(1)，证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．对于问题(2)，先利用共线得到关于k 的方程，再用待定系数法解决问题．【例题3】在平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于点E .求证：BE ＝14BA ．分析：证明两平行线段的长度关系转化为证明这两条线段构成的向量共线．证明：如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ．设OA →＝a ，OB →＝b ，则BD →＝13a ，OD →＝b ＋13a .∵BE ′→＝OE ′→－b ，E ′A →＝a －OE ′→，3BE ′→＝E ′A →，∴3(OE ′→－b )＝a －OE ′→，∴OE ′→＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，∴OE ′→＝34OD →，∴O ，E ′，D 三点共线，即E ，E ′重合，∴BE ＝14BA ．反思若a ＝λb ，则有|a |＝|λ|·|b |，当OA →＝a ，OB →＝b 时，|OA →|＝|λ|·|OB →|，从而OA ＝λOB ，即用平行向量基本定理可以证明两条平行或共线线段间的长度关系．题型三易错辨析【例题4】已知a ＝－2c ，b ＝2c ，求证：a 与b 共线． 错解：∵a ＝－2c ，b ＝2c ， ∴b ＝－a .∴a 与b 共线．错因分析：忽略当c ＝0时的特殊情况，要知道平行向量基本定理中的b ≠0. 正解：(1)当c ＝0时，则a ＝－2c ＝0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，∴此时a 与b 共线． (2)当c ≠0时，则a ＝－2c ≠0，b ＝2c ≠0， ∴b ＝－a (这时满足定理中的a ≠0，及有且只有一个实数λ＝－1，使得b ＝λa 成立)． ∴a 与b 共线．综合(1)(2)可知，a 与b 共线．1．若e 是a 的单位向量，b 与e 的方向相反，且|b |＝3，|a |＝4，则a b＝( ) A ．34 B ．43 C ．－34 D ．－43 解析：由题意知b ＝－3e ，a ＝4e ，所以a ＝－43b ，a b ＝－43.答案：D2．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若a ∥b ，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0解析：∵a ∥b ，∴存在实数k ，使得a ＝k b ，即(2k －1)e 1＝λe 2.∵e 1≠0，∴若2k －1＝0，则λ＝0或e 2＝0；若2k －1≠0，则e 1＝λ2k －1e 2，此时e 1∥e 2，又0与任何一个向量平行， ∴有e 1∥e 2或λ＝0，故选D ． 答案：D 3．在数轴x 上，已知OA →＝－3e (e 为x 轴上的基向量)，且点B 的坐标为3，则向量AB →的坐标为__________．解析：由OA →＝－3e ，得点A 的坐标为－3， 则AB ＝3－(－3)＝6，即AB →的坐标为6.答案：64．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为__________． 解析：由题意，可设a ＝k b (k ∈R )， 则2e 1－e 2＝k e 1＋k λe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，k λ＝－1，解得λ＝－12.答案：－125．下面给出三个命题：①非零向量a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②向量a 与b 共线，则存在唯一实数λ，使a ＝λb ；③若a ＝λb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号为__________．解析：①a 与b 所在的直线有可能在一条直线上，所以此命题错误；②若b ＝0，则λb ＝0，所以λ可取任意实数，所以此命题错误；③正确．答案：③6．如图所示，在△OAB 中，AB 上有一点P (点P 不与A ，B 重合)，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP→＝x a ＋y b (x ，y 均为非零实数)．求证：x ＋y ＝1，且AP →＝y xPB →.证明：∵A ，P ，B 三点共线，∴AP →＝λAB →， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OP →＝λ·b ＋(1－λ)a ，∴1－λ＝x ，λ＝y ， 则OP →＝x a ＋y b ，且x ＋y ＝1. 由AP →＝λAB →＝λ(AP →＋PB →)，得(1－λ)AP →＝λPB →，∴AP →＝λ1－λPB →＝y xPB →.。
课件4：2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
例 2 已知 e1，e2 是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝ b 共线，则存在 λ∈R，使 a＝λb， 即 3e1＋4 e2＝λ(6 e1－8 e2)， 所以(3－6λ) e1＋(4＋8λ) e2＝0.
(3)∵|A→C|＝3|B→C|， ∴A→C＝3B→C或A→C＝－3B→C. 当A→C＝3B→C时，xC－xA＝3(xC－xB)， ∴xC＝12(3xB－xA)＝10； 当A→C＝－3B→C时，xC－xA＝－3(xC－xB)， ∴xC＝14(3xB＋xA)＝4.
跟踪训练 1 已知数轴上 A、B 两点的坐标分别为 x1、x2， 根据下列各题中的已知条件，求点 A 的坐标 x1： ①x2＝3，AB＝5； ②x2＝－5，|AB|＝2.
自我检测
1.点 C 在线段 AB 上，且ACCB＝32，设B→C＝λA→B，则 λ 的
值为( B )
A．25
B．－25
C．52
D．－52
2.已知 M、P、N 三点在数轴上，且点 P 的坐标为 5，
MP＝2，MN＝8，则点 N 的坐标为_1_1__．
3.若非零向量 a 与 b 不共线，ka＋b 与 a＋kb 共线， 则求实数 k＝_±__1_.
给定单位向量 e，能生成与它平行的所有向量的集合 {_x_e_|x_∈__R__}； 这里的单位向量 e 叫做轴 l 的基向量，x 叫做 a 在 l 上的坐标(或数量)．x 的绝对值等于 a的模 ；当 a 与 e 同方向时，x 是 正数 ，当 a 与 e 反方向时，x 是 负数 ．
3.轴上向量的坐标运算 (1)轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是 它们的坐标相等，即设 a＝x1e，b＝x2e，则 a＝b⇔x1＝x2. (2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量的和的坐标等 于两个向量的坐标的和，即设 a＝x1e，b＝x2e，则 a＋b＝ (x1＋x2)e . (3)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标， 即在数轴 x 上，O→A＝x1e，O→B＝x2e，则 AB＝x2－x1. (4)数轴上两点的距离公式：|AB|＝ |x2－x1|.
高中数学第二章平面向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算bb高一数学
12/9/2021
第十一页，共三十七页。
(3)证明：法一：因为A→C＝c＋4，A→D＝d＋4， 又A→C＝－3A→D，所以 c＋4＝－3(d＋4)， 即 c＝－3d－16. 这时 3C→D＝3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16) ＝12d＋48， －4A→C＝－4[c－(－4)]＝－4c－16 ＝－4(－3d－16)－16 ＝12d＋48， 所以 3C→D＝－4A→C.
12/9/2021
第五页，共三十七页。
③轴上向量的坐标和数轴上两点间的距离公式：轴上向量的坐
标等于向量_终__点__的__坐__标___减去_始__点__的__坐__标___．
在数轴 x 上，已知点 A 的坐标为 x1，点 B 的坐标为 x2，于是 得 AB＝AO＋OB＝－OA＋OB＝___x_2－__x_1_____．所以数轴上两 点 A、B 的距离公式为|AB|＝___|x_2_－__x_1_| _______．
12/9/2021
第十六页，共三十七页。
(2)因为 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， 所以存在实数 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于 e1 与 e2 不共线，只能有kλk－－λ＝ 1＝0， 0， 所以 k＝±1.
12/9/2021
第十七页，共三十七页。
所以A→B＝λB→D＝λ(C→D－C→B)，所以 a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝
λ(a－2b)，所以 λ＝1，k＝2.
12/9/2021
第二十页，共三十七页。
用平行向量基本定理证明平面几何问题 在如图所示的梯形 ABCD 中，
AB∥DC，E、F 分别是 AD、BC 的中点．求证：EF∥AB∥DC.
高中数学 215 向量共线的条件与轴上向量坐标运算课件 新人教B版必修4
[点评] 在解题过程中，利用了实数与向量的积以及 它们满足的交换律，结合律，再根据两向量共线的充要条 件，从而得证．
[答案] C
[解析] 向量A→B∥C→D包含A→B的基线平行于C→D的基线和 A→B的基线与C→D的基线重合两种情况；相等向量不仅要求长度 相等，还要求方向相同；共线向量可以是在同一条直线上的 向量，也可以是所在直线互相平行的向量，于是 A、B、D 均 错．
3．D 是△ABC 的边 BC 上的一点，且 BD＝13BC，设A→B＝
[答案] {3,13} [解析] A、B、C共线时，只有两种可能，C在线段AB 上或BA的延长线上．
三、解答题 6．若轴 l 上单位向量为 e，A→B＝4e，A→C＝－2e，B→D＝－ 3e，求 AB、AD、|B→D|.
[解析] ∵e 为单位向量，∴|e|＝1， 又A→B＝4e，∴AB＝4，A→D＝A→B＋B→D＝4e＋(－3e)＝e， ∴AD＝1，|B→D|＝|－3e|＝3.
[正解] ①当e＝0时，则a＝－2e＝0， ∵“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线 向量”， 此时a与b共线． ②当e≠0时，a＝－2e≠0，b＝2e≠0， ∴b＝－a(这时满足定理中的a≠0，有且只有一个实数 λ(λ＝－1)，使得b＝λα成立)， ∴a与b共线， 综合①②可知a与b共线．
[解析] 若 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线，则一定存在 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)． 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于 e1 与 e2 不共线， 只能有kλk－－λ＝ 1＝0， 0， 则 k＝±1.
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算-教育文档
第 1 页 高一（2019级）数学学案2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算一、基础知识：（一）向量共线的条件：1.如果向量的基线互相 ，则称这些向量共线或相互平行。
特别地，零向量与任何一个向量 。
2.共线向量的基本定理 。
它常用来解决两向量共线或三点共线的问题3.向量a 单位向量0a ： 。
且a = 或0a =（二）轴上向量的坐标及其运算4.已知轴l ，单位向量e 与l 同向，对轴上任意向量a ，一定 ，使a xe =。
这里的单位向量e 叫做轴l 的 ，x 叫做a 在l 上的 。
5.设12,,a x e b x e ==于是：（1）如果a b =，则 ，如果12x x =，则 （2）a b += ，a b += ；a b -= ，a b -=二、典例分析：例1：如图，11,33AM AB AN AC ==,求证：13MN BC =，且MN ∥BC 例2：已知5,4a e b e ==，试问向量a b 与是否平行？并求a b ： 班级： 姓名： 学号：变式：非零向量12,e e 不共线，且125a e e =-，12210b e e =-，求证：,a b 共线例3：已知数轴上三点A ，B, C 的坐标分别是-8，-3，7，求AB,,BC CA 的坐标和长度变式：在数轴上，已知AB 6,7BC ==，B 的坐标是-2，则A ，C 两点点的坐标分别是 例4：已知非零向量,a b 不共线（1）若m ,a kb n ka b =+=+，且m //n ，求k 的值 （2）AB 23,623,48a b BC a b CD a b =+=+=-，求证：A 、B 、D 三点共线 变式：已知向量a b ，且AB a 2,56,72b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是（ ） A A 、B 、D B A 、B 、C C B 、C 、D D A 、C 、D。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
自我小测
1．下面给出三个命题：
①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；
③若a＝λb，则a与b共线．
其中正确的命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
3．已知向量a，b不共线，c＝k a＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( ) A．k＝1，且c与d同向 B．k＝1，且c与d反向
C．k＝－1，且c与d同向 D．k＝－1，且c与d反向
4．点P是△ABC所在平面内一点，若CB＝PA
λ＋PB，其中λ∈R，则点P一定在( ) A．△ABC的内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
5．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝
1 3
11
2
22
OA OB OC
⎛⎫
++
⎪
⎝⎭
，则点P一定为△ABC的( )
A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．重心 D．AB边的中点
6．e为x轴上的单位向量，若AB＝－2e，且B点的坐标为3，则AB中点的坐标为________．7．如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．
8．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB的延长线和AC 于不同的两点M，N，若AB＝m AM，AC＝n AN，则m＋n的值为________．
9．如图所示，在▱ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝1
3
BD．利用向量法证
明M，N，C三点共线．
10．如图所示，已知在△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，OD＝2DB，DC和OA 交于点E，设OA＝a，OB＝b．
(1)用a和b表示向量OC，DC；
(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．
参考答案
1．解析：①a 与b 所在的直线有可能在同一条直线上，所以此命题错误；②若a ＝0，b ＝0，则λb ＝0，所以λ可取任意实数，所以此命题错误；③正确．
答案：B
2．答案：A
3．答案：D
4．答案：B
5．解析：设AB 的中点为M ，则12OA ＋12OB ＝OM ， 所以OP ＝13(OM ＋2OC )＝13OM ＋23OC ， 即3OP ＝OM ＋2OC ，
也就是MP ＝2PC ，
所以P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 靠近C 点的一个三等分点．
答案：B
6．答案：4
7．解析：MN ＝MB ＋BA ＋AN ＝－
12BC ＋BA ＋34AC ＝－12AD －AB ＋34 (AB ＋AD )＝－12b －a ＋34 (a ＋b )＝14b －14a ＝14
(b －a )． 答案：14
(b －a ) 8．解析：因为O 是BC 的中点， 所以AO ＝12 (AB ＋AC )＝2
m AM ＋2n AN ， 所以MO ＝AO －AM ＝12m ⎛⎫-
⎪⎝⎭AM ＋2n AN ． 又因为MN ＝AN －AM ，MN 与MO 共线，
所以存在实数λ，使得MO ＝λMN ＝λ(AN －AM )， 即1,2,2
m n λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化简，得m ＋n ＝2．
答案：2
9．证明：设AB ＝a ，BC ＝b ，
则MN ＝MB ＋BN ＝12a ＋13 (－a ＋b )＝16a ＋13b ，MC ＝MB ＋BC ＝12a ＋b ， 所以MC ＝3MN ．所以MC ∥MN ．
又因为MC 与MN 有公共点M ，
所以M ，N ，C 三点共线．
10．解：(1)依题意，A 是BC 的中点，
所以2OA ＝OB ＋OC ，
即OC ＝2OA －OB ＝2a －b ，
所以DC ＝OC －OD ＝OC －23OB
＝2a －b －2
3b ＝2a －5
3b ．
(2)因为OE ＝λOA ，
则CE ＝OE －OC ＝λa －(2a －b )＝(λ－2)·a ＋b ．
因为CE 与DC 共线，且DC ≠0，
所以存在实数k ，使CE ＝k DC ，
即(λ－2)a ＋b ＝k 5
23a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得λ＝4
5．
所以实数λ的值为4
5．。