第七章 滤波器设计方法
第七章FIR滤波器的设计方法
第七章FIR滤波器的设计方法7.1引言数字滤波器是数字信号处理中的重要组成部分，其中FIR（有限冲激响应）滤波器是一种常见的数字滤波器。
FIR滤波器具有线性相位、稳定性和易于设计的特点，在各种应用领域如音频处理、图像处理和通信系统等都得到广泛应用。
本章将介绍FIR滤波器的设计方法。
首先，将介绍FIR滤波器的基本原理和结构，然后介绍常见的FIR滤波器设计方法，包括窗函数法、最小二乘法和频率采样法。
7.2FIR滤波器的原理和结构FIR滤波器是一种线性时不变系统，其输出信号是输入信号与滤波器的冲激响应之间的卷积运算结果。
FIR滤波器的冲激响应是有限长度的，因此称为有限冲激响应滤波器。
FIR滤波器的结构包括延迟单元和加权系数。
延迟单元用于存储输入信号的历史样本，而加权系数用于乘以相应的延迟单元样本。
滤波器的输出是延迟单元样本与加权系数的乘积之和。
7.3.1窗函数法窗函数法是一种常见的FIR滤波器设计方法。
其基本思想是通过窗函数将理想滤波器的频域特性调整到所需的频率响应特性。
常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗等。
具体的设计步骤包括选择窗函数、确定滤波器的阶数和剪切频率，并计算出相应的加权系数。
7.3.2最小二乘法最小二乘法是一种优化设计FIR滤波器的方法。
其基本思想是通过最小化实际输出与期望输出之间的均方误差来确定滤波器的加权系数。
常见的最小二乘法设计算法有布莱克曼算法和逆频域法等。
具体的设计步骤包括选择目标响应和误差函数，然后使用最小二乘法求解滤波器的加权系数。
7.3.3频率采样法频率采样法是一种常见的FIR滤波器设计方法。
其基本思想是在频域上对所需的频率响应进行采样，并计算出相应的加权系数。
常见的频率采样法设计算法有均匀频率采样法和非均匀频率采样法等。
具体的设计步骤包括选择目标响应和采样频率，然后使用插值法计算滤波器的加权系数。
7.4总结本章介绍了FIR滤波器的设计方法，包括窗函数法、最小二乘法和频率采样法。
数字信号处理第七章有限单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法(共95张PPT)
线性相位分析
H (z)z (N 2 1 )N n 0 1h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
H (ej)e e j j(( N )2 1) N n 0 1 h( n) c o s(n (N 2 1 ) ) (1) H ()
m 0
即 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
H (z) z (N 1 )H (z 1 )
所以有： h (z) 1H (z) z (N 1 )H (z 1 ) 2
1N 1h (n )z nz (N 1 )zn 2n 0
z (N 2 1 )N n 0 1 h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
m1
(N 1)/2a(n)con s)(
n0
其中: a ( 0 ) h (N 1 ),a ( n ) 2 h ( n N 1 ),( n 1 )
2
2
由于con s对 0,,2
是偶对称的。
因此，H()对0,,2
为偶对称。
线性相位滤波器的幅度特点
2、h(n)偶对称，N为偶数
对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数， h(N 1) 项即为0，则
四种线性相位滤波器
偶对称单位冲激响应
h (n ) ＝h (N－ 1－n )
相位响应
( ) N 1 2
情
况
( )
1
o
－ N( － 1)
N为 奇 数 h (n )
0 a (n )
N－ 1 n
0
N 1
n
2
( N 1) / 2
H ( ) a (n) cos n
n0
第七章 模拟滤波器的设计(数字信号处理)
s
c
)
2N
10
a s / 10
(7.2.15)
由(7.2.14)和(7.2.15)式得到：
(
p
s
)
N
10 10
a p / 10 a s / 10
1 1
令
sp s / p , k sp
10 10
a p 10 as 10
1 1
,则N由下式表示：
N
1
1
1
1
0
fC a ) 低通
f
0
fC b ) 高通
f
0
fC1 c) 带通
fC2
f
0
fC1 d ) 带阻
fC2 f
7.1 理想滤波器
无过渡带且在通频带内满 足不失真测试条件的滤波 器称为理想滤波器。理想 滤波器的频率响应函数为：
|H(f)| A0
-fc
A e j 2 p ft 0 0 H(f) 0 f fc 其它
lg k sp lg sp
(7.2.16)
用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N
的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没 有 给 出 ， 可 以 按 照 (7.2.14) 式 或 (7.2.15) 式 求 出 ， 由
图7.2.2 低通滤波器的幅度特性
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs， 一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此
H a ( j )
2
H a ( s )G ( s )
s j
H a ( j ) H a ( j )
数字信号处理第三版第七章
对称，是满足式（7.1.9）的一组解，
因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满
足如下条件：
()
,
N1
2
2
h(n)h(N1n), 0≤ n≤ N1
（7.1.10）
2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波
因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称，所以由 式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤 波器。
情况2： h(n)=h(N－n－1), N为偶数。
仿照情况1的推导方法得到:
H ( e j ) H g () e j = N 1 h ( n ) e j n e j M 2 h ( n )c o s (( n ) )
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具FDATool
用情况3的推导过程可以得到:
M
Hg() 2h(n)sin[(n)] n0
（7.1.13）
N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－ N/2, 为峰值点。而且sin ［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和
如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？ 直观上，增加矩形窗口的宽度（即加大N）可以减少吉布斯效应 的影响。N 时， 在主瓣附近， WRg(ω)近似为：
第七章_有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计
| | c
c | |
表示其群时延
2.冲激响应序列
1 j jn hd ( n) H ( e ) e d d 2 1 c j jn e e d c 2 s in[(n ) c ] (n ) c s in[(n ) c ] c (n )
• H (0) 0 ,
0,2 奇对称,关于 偶对称. • H ( ) 关于
可用于设计:
•高通滤波器 •带通滤波器 4种不同的幅度特性中，以第一种幅度特性最好，因而在FIR滤 波器的设计中，通常都采用第一种幅度特性。称第一类FIR滤波 器。
h( n) 偶对称,N为奇数
7.1.3 线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点
且 h( n) 关于 N 1 偶对称或奇对称
2 偶对称 h(n) h( N n 1)
奇对称 h(n) h( N n 1)
1. h( n)为偶对称
H ( z ) h( n) z
n 0 N 1 n N 1 n 0
h( N n 1) z n
WR ( ) 为矩形窗频率响应幅度函数 8 主瓣宽度 N 第一旁瓣比主瓣低 31dB
4 N
0
WHan (Biblioteka )4 N4.海明窗 5.布莱克曼窗
n h ( N n 1 ) z n 0
N 1
令
m N n 1
( N m 1) ( N 1) m ( N 1) 1 h ( m ) z z h ( m ) z z H ( z ) m 0 N 1 N 1
H ( z)
m 0
滤波器的设计方法
滤波器的设计方法
滤波器的设计方法有很多种，常见的包括以下几种：
1. 理想滤波器设计方法：通过在频率域中指定理想的频率响应，然后通过傅里叶逆变换得到时间域的系数。
这种方法简单直观，但是理想滤波器在频率域是无限延伸的，实际中无法实现。
2. 巴特沃斯滤波器设计方法：巴特沃斯滤波器是一种具有最平坦的幅频响应和最小相位响应的滤波器，常用于低通、高通、带通和带阻滤波。
设计方法是通过指定阶数和过渡带宽来确定巴特沃斯滤波器的参数。
3. 频率抽样滤波器设计方法：这种设计方法是根据输入和输出信号在时间域上的采样值来确定滤波器的参数，常用于数字滤波器的设计。
4. 卡尔曼滤波器设计方法：卡尔曼滤波器是一种递归滤波器，利用系统的动态模型和测量的信号来预测和估计系统的状态。
卡尔曼滤波器在估计问题上表现出很好的性能，常用于信号处理、控制系统等领域。
5. 小波变换滤波器设计方法：小波变换滤波器是一种多分辨率分析工具，可以分析信号的时频特性。
通过选择适当的小波基函数和滤波器，可以实现不同的信号处理任务，如去噪、压缩、边缘检测等。
这些是一些常见的滤波器设计方法，根据具体的应用和需求选择合适的设计方法进行滤波器设计。
滤波器的设计ppt课件
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式（7.13）表明相位的群时延是最平坦 函数。
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7.3 滤波器的变换
7.3.1 阻抗变换
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7.3.2 频率变换
将归一化频率变换为实际频率，相当 于变换原型中的电感和电容值。
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通过频率变换，不仅可以将低通滤波器 原型变换为低通滤波器，而且可以将低通 滤波器原型变换为高通滤波器、带通滤波 器和带阻滤波器。下面分别加以讨论。
3. 低通滤波器原型
切比雪夫低通滤波器原型假定源阻抗
为1Ω，截止频率为ωc=1。
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图7.7 切比雪夫滤波器衰减随频率变化的对应关系
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7.2.3 椭圆函数低通滤波器原型
最平坦响应和等波纹响应两者在阻带 内都有单调上升的衰减。
将低通滤波器原型变换为高通滤波器，
在高通滤波器中需要用－ωc/ω代替低通 滤波器原型中的ω，ωc为高通滤波器的截 止频率，即
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图7.11 低通滤波器原型到高通滤波器的频率变换
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3. 低通滤波器原型变换为带通和带阻滤波
器
低通滤波器原型也能变换到带通和带 阻滤波器响应的情形。
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7.1
滤波器的类型
7.2 用插入损耗法设计低通滤波器原型
7.3
滤波器的变换
7.4
短截线滤波器的实现
7.5
阶梯阻抗低通滤波器
7.6
耦合微带线滤波器
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7.1 滤波器的类型
滤波器有低通滤波器、高通滤波器、 带通滤波器和带阻滤波器4种基本类型。
滤波器理论及滤波器设计方法
滤波器理论及滤波器设计方法滤波器是一类电路或设备，用于通过选择性地传递或阻止指定频率范围内的信号。
在电子和通信领域中，滤波器广泛应用于信号处理、通信系统、音频设备等各种应用中。
本文将介绍滤波器的理论基础以及常见的滤波器设计方法。
一、滤波器理论基础1.1 滤波器的基本概念滤波器通过改变信号的频率特性，实现对信号的频率选择性处理。
滤波器的输入为信号源提供的混合信号，输出为经过滤波处理后的目标信号。
1.2 滤波器的分类根据滤波器的频率响应特性，可以将滤波器分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等几种类型。
低通滤波器通过滤除高频信号而保留低频信号，高通滤波器则相反，而带通滤波器和带阻滤波器则可以选择性地通过或阻止一定频率范围的信号。
1.3 滤波器的频率响应与特性滤波器的频率响应是指滤波器在不同频率下对信号的响应情况。
常见的频率响应图形包括低通滤波器的衰减特性，高通滤波器的增益特性以及带通滤波器和带阻滤波器的带宽和中心频率。
二、滤波器设计方法2.1 传统滤波器设计方法传统的滤波器设计方法包括巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器等。
这些滤波器设计方法基于滤波器的频率响应要求，通过选择适当的滤波器特性以及阶数，来实现所需的滤波效果。
2.2 数字滤波器设计方法随着数字信号处理技术的发展，数字滤波器设计方法得到了广泛应用。
数字滤波器设计方法基于离散信号的采样与重构过程，利用数字滤波器的差分方程或频率响应函数来实现滤波效果。
常见的数字滤波器设计方法包括FIR滤波器设计和IIR滤波器设计等。
2.3 滤波器设计软件为了简化滤波器的设计过程，许多滤波器设计软件被开发出来。
这些软件通常提供了图形界面和可视化工具，帮助工程师选择并优化滤波器参数，从而实现所需的滤波效果。
常见的滤波器设计软件有MATLAB、Simulink、Analog Filter Wizard等。
三、滤波器的应用滤波器在众多领域中都有广泛的应用。
滤波器设计
滤波器设计滤波器是一种通过选择性地阻止或放通特定频率范围内信号的电子设备。
在许多应用中，滤波器是必不可少的，比如音频系统、通信系统、无线电接收器等。
滤波器设计的目标是根据应用需求，设计出滤波器的传递函数，以达到所需的频率响应。
滤波器设计涉及两个主要方面：滤波器类型选择和设计参数计算。
根据传递函数的特性和频率响应的形状，可以选择不同类型的滤波器，包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。
每种滤波器类型都具有不同的传递函数，可以满足不同的信号处理需求。
设计参数计算是滤波器设计的关键步骤。
首先，需要确定所需的阻带衰减和过渡带宽，这决定了滤波器的性能。
然后，根据这些参数，通过数学计算或使用滤波器设计工具，可以得到滤波器的阶数和各个频率参数。
在计算设计参数时，还需要考虑材料和组件的可用性和成本，以确保设计的可实现性。
设计参数计算完成后，可以开始实际的滤波器电路设计。
这可能涉及选择合适的电子元件，如电容、电感、电阻等，并将它们组合在一起以构建滤波器电路。
设计师还需要考虑电路的稳定性和可靠性，确保滤波器能够在不同环境条件下正常工作。
滤波器设计还需要进行频率响应和传递函数的测试和验证。
这可以通过使用信号发生器和频谱分析仪等仪器来完成。
测试的结果将用于评估滤波器的性能，并对设计做出必要的修改和调整。
总之，滤波器设计是一个复杂而重要的工程任务，需要综合考虑应用需求、设计参数计算、电路设计和性能验证等方面。
只有经过严谨的设计和测试，才能确保滤波器的正常运行和所需的信号处理效果。
滤波器设计是电子工程领域中的关键任务之一。
它在信号处理和通信系统中起着至关重要的作用，用于滤除噪声、改善信号质量、实现频率选择和频率响应等功能。
一个好的滤波器设计应该能够满足特定的应用需求，并具有较低的失真、高的带宽和良好的阻带衰减。
滤波器设计的第一步是选择合适的滤波器类型。
常用的滤波器类型包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。
数字信号处理第七章
H(ej)h(n)
Hd (e j)为理想低通
滤波器的传输函数。
数字信号处理第七章
h (n )h d(n )R N (n )
如果对截取后的信号进行傅里叶变换，假设采用矩形窗截
取，对截取后信号进行傅里叶变换得：
频域卷积定理
H(ej) 1
Hd
(e
j
)
1 e 0
j
c
c
：低通滤波器的延时
hd(n)
1
2
Hd(ej)ejnd
1
2
c ej
c
ejnd
1
2
c ej(n)d
c
1
2
1
j(n)
ej(n)
|c c
s
in( c(n)) (n)
数字信号处理第七章
理想特性的hd(n)和Hd(ω)
hd
(n)
sin(c(n ) (n )
hd(n)的最大 值是多少？
ej 2 1 H d()W R ()d
H(ej)H()ej 数字信号处理第七章
则实际FIR滤波器的幅度函数H (ω) 为
H ()2 1 H d()W R()d
取样函数
矩形窗
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
数字信号处理第七章
H(0) 0.5H(0) H(ω)max H(ω)min
③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。 因主瓣附近
（a）
（b）
hd(n)是一个以(N-1)/2为中心的偶对称的无限长非因果序列， 如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的
滤波器的设计方法
滤波器的设计方法滤波器的设计方法主要有两种：频域设计方法和时域设计方法。
1. 频域设计方法频域设计方法以频率域上的响应要求为基础，通过设计滤波器的频率响应来达到滤波效果。
常用的频域设计方法有理想滤波器设计、巴特沃斯滤波器设计和切比雪夫滤波器设计。
理想滤波器设计方法以理想的频率响应为基础，通过频率采样和反变换等方法来设计滤波器。
首先确定所需的频率响应曲线，然后进行频率域采样，最后通过反变换得到滤波器的时域序列。
但实际应用中理想滤波器因为无限长的冲激响应无法实现，所以需要通过截断或者窗函数等方法来实现真实的滤波器。
巴特沃斯滤波器是一种特殊的线性相位滤波器，通过在频率域上进行极点和零点的设置来设计滤波器。
巴特沃斯滤波器的设计主要分为两个步骤：首先选择通带和阻带的边缘频率以及通带和阻带的最大衰减量，然后使用双线性变换将归一化的巴特沃斯滤波器转换为实际的数字滤波器。
切比雪夫滤波器是一种用于折衷通带纹波和阻带纹波的滤波器，可以实现更尖锐的频率响应特性。
切比雪夫滤波器设计的关键是选择通带纹波、阻带纹波以及通带和阻带的边缘频率。
根据这些参数设计切比雪夫滤波器的阶数和极点位置，然后使用双线性变换将归一化的切比雪夫滤波器转换为实际的数字滤波器。
2. 时域设计方法时域设计方法以滤波器的时域响应要求为基础，通过对滤波器的脉冲响应进行设计。
时域设计方法常用的有窗函数设计和频率抽样设计。
窗函数设计方法常用于有限长度的滤波器设计。
首先根据所需的脉冲响应特性选择一个窗函数，然后将窗函数和理想滤波器的脉冲响应进行卷积，得到设计滤波器的时域序列。
常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
频率抽样设计方法是时域设计方法的一种变种，通过采样一组频率响应曲线来设计滤波器。
首先选择一组抽样频率和相应的理想频率响应值，然后通过傅里叶变换和反变换将频率响应转换为时域脉冲响应序列。
最后通过插值等方法得到滤波器的离散时间序列。
综上所述，滤波器的设计方法包括频域设计方法和时域设计方法。
怎样设计一个有效的滤波器
怎样设计一个有效的滤波器滤波器是信号处理领域的重要工具，用于去除信号中的不需要的频率成分，保留感兴趣的频率内容。
设计一个有效的滤波器需要考虑信号特性、滤波器类型、滤波器参数等多个因素。
本文将介绍几种常见的滤波器设计方法，并提供设计滤波器的步骤和技巧。
一、引言滤波器在电子、通信、音频等领域有广泛的应用。
有效的滤波器设计可以提高系统性能，满足信号处理需求。
本文将介绍如何设计一个有效的滤波器。
二、滤波器设计方法1. 滤波器类型首先确定所需滤波器的类型。
常见的滤波器类型有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
根据信号的频率成分和需求选择合适的滤波器类型。
2. 过渡带宽和截止频率确定滤波器的过渡带宽和截止频率。
过渡带宽是指滤波器从通频带到截止频率的频率范围。
截止频率是指滤波器开始衰减的频率。
3. 滤波器阶数滤波器的阶数决定了滤波器的陡峭程度和频率响应特性。
一般来说，阶数越高，滤波器的性能越好，但设计和实现的复杂度也会增加。
4. 滤波器参数选择选择滤波器的参数，包括通带增益、衰减因子和相位响应等。
根据具体的应用需求确定参数的取值范围。
三、滤波器设计步骤1. 确定滤波器类型和需求：根据信号处理需求和信号特性选择合适的滤波器类型，并确定截止频率和过渡带宽。
2. 设计原型滤波器：根据滤波器类型和参数，设计原型滤波器，如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等。
3. 频率变换：通过频率变换将原型滤波器转换为所需滤波器。
常见的频率变换方法有高通到低通变换、低通到高通变换等。
4. 阶数选择和参数调整：根据设计要求和性能需求选择合适的滤波器阶数，并对滤波器参数进行调整，以满足设计需求。
5. 实现和验证：利用设计的滤波器参数，实现滤波器设计，并进行验证和测试，确保设计满足要求。
四、滤波器设计技巧1. 灵活应用不同滤波器类型：根据实际需求，选择最适合的滤波器类型，如巴特沃斯滤波器适用于平滑频率响应，切比雪夫滤波器适用于快速衰减等。
数字信号处理讲义--第7章 滤波器的设计方法
第７章 滤波器的设计方法教学目的1．掌握由连续时间滤波器设计离散时间IIR 滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．了解常用的窗函数，掌握低通IIR 滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR 滤波器的方法；3．掌握FIR 滤波器的逼近原理与设计方法。
教学重点与难点重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。
1．连续时间滤波器设计离散时间IIR 滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．常用的窗函数，掌握低通IIR 滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR 滤波器的方法；3．掌握FIR 滤波器的逼近原理与设计方法。
难点：1. 冲激响应不变法，双线性变换法2. 用窗函数法设计FIR 滤波器 FIR 滤波器的逼近原理与设计方法 7.0 基本概念选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。
在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。
数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。
它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。
因此， 数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。
我们已经知道，一个输入序列x (n )，通过一个单位脉冲响应为h (n )的线性时不变系统后，其输出响应y (n )为将上式两边经过傅里叶变换，可得式中，Y (e j ω)、X (e j ω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H (ej ω)是系统的频率响应函数。
可以看出，输入序列的频谱X (e j ω)经过滤波后，变为X (e j ω)H (e j ω)。
如果|H (e j ω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。
因此，只要按照输入信号频谱的特点和∑∞-∞=-=*=n m n x m h n h n x n y )()()()()()()()(ωωωj j j e H e X e Y =处理信号的目的，适当选择H (ej ω)，使得滤波后的X (e j ω)H (e j ω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
滤波器设计
滤波器设计滤波器是一种用于信号处理的电子设备，它可以滤除信号中的噪声或干扰成分，从而改善信号的质量。
在工程和科学领域中，滤波器的应用非常广泛，例如音频处理、图像处理、通信系统、雷达系统等等。
设计一个精确的滤波器是非常重要的，因为它可以确保滤波器能够在预期的频率范围内工作，并且滤波器的性能可以达到预期的要求。
本文将介绍一种滤波器的设计方法，并说明其原理和步骤。
首先，滤波器设计的第一步是确定滤波器的类型。
常见的滤波器类型有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
每种类型的滤波器都有不同的频率特性和滤波特性，根据不同的应用需求选择适合的滤波器类型。
确定滤波器类型后，接下来需要确定滤波器的频率范围和滤波器的阶数。
频率范围是指滤波器能够通过的信号频率范围，阶数是指滤波器能够抑制或衰减信号的能力。
通常情况下，阶数越高，滤波器的性能越好，但是也会增加滤波器的复杂度和成本。
确定了滤波器的类型、频率范围和阶数之后，下一步是选择滤波器的传输函数。
传输函数是滤波器对输入信号的响应函数，可以通过数学方法来推导。
常见的传输函数有理想传输函数和实际传输函数。
理想传输函数可以在频域上完全消除滤波器之外的频率成分，但是在时域上会引入无限长的冲激响应，实际传输函数是对理想传输函数进行近似处理，可以在时域上引入有限长的冲激响应。
根据选择的传输函数，可以计算出滤波器的频率响应和冲激响应。
频率响应是指滤波器在不同频率下的增益特性，冲激响应是指滤波器对单位冲激信号的响应。
通过分析频率响应和冲激响应，可以评估滤波器的性能和稳定性。
最后，根据计算得到的频率响应和冲激响应，可以选择合适的滤波器结构和滤波器参数。
常见的滤波器结构有无源RC滤波器、被动LC滤波器和有源滤波器等。
根据滤波器的结构和参数，可以设计出满足要求的滤波器电路，并进行实际的电路实现和测试。
综上所述，滤波器的设计是一个复杂的过程，需要根据应用需求和性能要求选择合适的滤波器类型、频率范围和阶数。
第七章 滤波器设计方法
频率变换的matlab实现 实现 频率变换的
在matlab中，应用lp2lp，lp2hp，lp2bp，lp2bs命令，可以很方便地实现由归一 化低通到低通、高通、带通、带阻的频率转变。 例如，利用下列语句，可以实现将一个归一化三阶Butterworth低通滤波器，转 换为中心频率在4rad/s，带宽等于2rad/s的带通滤波器： w0=4; wb=1; |H| [zlp,plp,klp]=buttap(3); [blp alp]=zp2tf(zlp,plp,klp); wlp=0:0.01:4; Ω [maglp phaselp]=bode(blp,alp,wlp); [bbp abp]=lp2bp(blp,alp,w0,wb); lp2bp wbp=0:0.05:8; |H| [magbp phasebp]=bode(bbp,abp,wbp);
|H|
Ω 计算ChebyshevI型和II型的matlab 命令分别为：cheb1ap和cheb2ap。
• 椭圆 椭圆(Elliptic)低通滤波器 低通滤波器
I型和II型Chebyshev滤波器，分别在通带和阻带内波动。如果通带和阻带内同时 存在波动，则可以进一步优化过渡带特性，这就是椭圆滤波器。 其模方函数的基本形式为：
其与z变换过程相同所以这种方法有叫做常规z变换法?由于z变换本身存在zest的映射关系因此这一离散化过程必然满足两个基本条件sktd的关系映射成z平面的极点但零点一般需要重新计算脉冲响应不变法需要满足采样定理来避免混叠由于技术指标采用的是离散时间频率而参数t改变同时也就改变连续时间滤波器的截止频率因为连续时间频率和离散时间频率是按照t无法控制混叠
s B + Ωu Ω l 由低通滤波器转换带通滤波器的基本转换公式： s L = s B (Ωu − Ωl )
第七章FIR设计-频率抽样法
二.设计方法 1）确定 H k 、
就是确定幅度值和在哪儿取点
k
H d ( e j )
2 k N
H ( k ) H k e j k , k 0,1,, N 1
2）计算 h ( n )
1 h(n) N
H (z)
H (k )e
k 0
n h ( n ) z n0 N 1
N 1
例：设计一个FIR数字 LP 滤波器，其理想特性为
Hd e
j
1 0
0 0 . 5 0 . 5
采样点数 N=33，要求线性相位。 解： 低通线性相位数字滤波器、因N为奇数，所以只能选择第一类 线性相位滤波器， 即 h(n)=h(N-1-n)， 幅频特性关于π偶对称，也即 HK 偶对称。 利用 HK 的对称性,求π～2π区间的频响采样值。
N 2
N 偶数
第一类线性相位
1 H ( ) b(n) cos( (n )) 2 n 0 N N b(n) 2h( n), n 1, 2,..., 2 2
留神：此种不能设计高通！！
线性相位滤波器特性 3： h (n ) h ( N 1 n )
N 1 2 n 1
必须取为：
Hk 则 H k 必须满足偶对称性：
而
H N k
k 0,1, , N 1
( N 1) k N 1 k N 2 2 k
N
k 0,1,, N 1
同样，若要设计第二类线性相位FIR滤波器，N为偶数， h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的，
1 H ( z) N
1 zN H (k ) j 2k / N 1 1 e z k 0
fir滤波器
n0
n0
在原点z=0处有 (M-1)阶零点，在z平面其它处有 M-1个 零点，频率响应函数可写为
M 1
H (e jw ) h(n)e jwn , w
n0
线性相位的脉冲响应形状(1)
因为频率响应函数具有线性相位
H (e jw ) w, w
这里是恒定相位延迟( constant phase delay)，由第 6章知，h(n)是对称脉冲响应
h( N 1) 2
2h( N 1
n)
2
第二种
Hr
(w）
N 1 n0
b(n)
cos(w(n
1 )) 2
b(n) 2h( N n），n 1, 2 N
2
2Hale Waihona Puke (2)设计线性相位的高通DF
从幅度特性看，可用第一种或第四种
第一种
N 1
Hr (w） a(n) cos wn
其中：
n
n0
n
0
0 a(0) a(n)
设计一个低通滤波器，它具有一个通带
[0,wp] ，通带内频带容限为δ1(或Rp，单 位 dB)，一个阻带[ws,pi]，阻带内容度为
δ2(或As,单位dB)
最后求得结果是得出滤波器的系统函数H(z)或 差分方程
五、FIR滤波器的优点
相位响应可以真正线性 系统绝对稳定，设计相对容易 高效实现 可用DFT实现 实际应用时，我们感兴趣的是线性相位 的FIR滤波器
h(n) h(M 1 n), 0 n M 1,
M 1,
2
2
h(n)仍然关于对称，根据M的奇偶有两种对称类型
线性相位的脉冲响应形状(2)
对应频率响应特性H(ejw)
滤波器的设计方法
滤波器的设计方法滤波器是一种用于信号处理的重要工具，可以用于去除信号中的噪声、调整信号的频率响应等。
滤波器的设计方法可以分为两类：基于时间域的设计方法和基于频域的设计方法。
基于时间域的设计方法主要是通过改变滤波器的时间响应来实现滤波的效果。
最常用的时间域设计方法是窗函数法和直接设计法。
窗函数法是一种简单而直观的设计方法。
它的基本思想是将滤波器的频率响应乘以一个窗函数，从而限制滤波器的时域响应范围，达到滤波的效果。
常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
直接设计法是一种根据滤波器的设计要求直接得到其传递函数的方法。
这种方法主要用于设计IIR滤波器，其基本步骤是：首先，选择合适的滤波器类型（如低通、高通、带通、带阻等）和滤波器阶数；然后，确定滤波器的零极点位置；最后，根据零极点位置计算滤波器的传递函数。
基于频域的设计方法主要是通过改变滤波器的频率响应来实现滤波的效果。
最常用的频域设计方法是理想滤波器法和频率抽样法。
理想滤波器法是一种以理想滤波器的频率响应为目标，通过变换到时域来设计滤波器的方法。
它的基本思想是，将理想滤波器的频率响应作为目标函数，通过傅里叶变换将其转换到时域，得到滤波器的冲激响应，再通过采样和巴特沃斯窗函数处理得到最终的滤波器。
频率抽样法是一种根据滤波器的频率响应来设计滤波器的方法。
它的基本思想是，在频率域上对目标频率响应进行采样，通过多项式插值得到频率抽样函数，再通过傅里叶变换将其转换到时域，得到滤波器的冲激响应。
除了以上介绍的常见的设计方法外，还有一些基于遗传算法、粒子群优化算法等优化算法的设计方法。
这些方法通过优化算法来搜索设计空间，找到满足设计要求的滤波器参数。
这些方法通常能得到更好的设计结果，但计算量较大，适用于一些对设计结果精度要求较高的场合。
总之，滤波器的设计方法有多种，每种设计方法都有其适用范围和优缺点。
根据实际需求和设计要求选择合适的设计方法，可以得到满足要求的优质滤波器。
第7章 滤波器的设计
7.3 滤波器的变换
7.3.1 阻抗变换
7.3.2 频率变换
将归一化频率变换为实际频率，相当 于变换原型中的电感和电容值。
通过频率变换，不仅可以将低通滤波 器原型变换为低通滤波器，而且可以将低 通滤波器原型变换为高通滤波器、带通滤 波器和带阻滤波器。下面分别加以讨论。
1. 低通滤波器原型变换为低通滤 波器
对于低通滤波器，最平坦响应的数学 表示式为
图7.2
低通滤波器的最平坦响应
图7.3 低通巴特沃斯滤波器衰减随频率变化的对应关系
2. 低通滤波器原型
滤波器可以由集总元件电感和电容构 成。考虑图7.4所示的二元件电路，是一个 低通滤波器，下面将对最平坦响应推导出 图中元件L和C的值。
采用低通滤波器原型，假定其源阻抗 为1Ω，截止频率为ωc=1。当N=2时最平坦 响应为
7.2.3 椭圆函数低通滤波器原
型
最平坦响应和等波纹响应两者在阻带 内都有单调上升的衰减。
在有些应用中需要设定一个最小阻带 衰减，在这种情况下能获得较好的截止陡 度，这种类型的滤波器称为椭圆函数滤波 器。
椭圆函数滤波器在通带和阻带内都有 等波纹响应，如图7.8所示。对于椭圆函数 滤波器这里不做进一步的讨论，相关内容 可以查阅参考文献。
将单位元件视为2端口网络，可以得 到单位元件的ABCD矩阵为
式中ZUE为单位元件的特性阻抗。
2. 科洛达规则
科洛达规则包含4个恒等关系，这4个 恒等关系列于表7.6中，表中的电感和电容 分别代表短路和开路短截线。
表7.6
4个科洛达规则
7.4.3 滤波器设计举例
利用理查德变换和科洛达规则，可以 实现低通和带阻滤波器，
7.2 用插入损耗法设计 低通滤波器原型
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sk Td z e 表示：可以通过极点的对应关系 k 直接由Hc(s) 得到H(z)
几点说明： （1）Hc(s)因果稳定（极点在左边平面） H(z) 因果稳定（极点在 单位圆内），因为 Re[sk]＜0，；|zk | ＜1
（2）s平面与z平面只有极点有对应关系， s平面与z平面之间没有 这种对应关系（唯一），（如系统的零点就没有这种对应关系） 表示脉冲响应不变法， 其s平面到z平面的映射关系（变换）并非是 z e sTd 的简单映射关系（单映射）。 不能直接代入Hc(s)得到H(z) 例7.2 用脉冲响应不变法设计Butterworth滤波器 设计一低通离散时间滤波器，步骤： （1）由低通离散时间滤波器指标求出低通连续时间滤波器指标 （2）确定相应的连续时间Butterworth滤波器 （3）由脉冲响应不变法，求得所需的低通离散时间滤波器 第一步，离散时间滤波器的技术指标：
eff
0,
π / T.
有效连续滤波器指标 （转换为） 离散滤波器指标 ------- ω=ΩT 离散滤波器的特性： j
H (e ) H eff j , T
π.
例7.1 离散时间滤波器指标的确定 低通离散时间滤波器：对连续时间信号进行低通滤波 采样频率为10000样本/秒，即10000 Hz （10 kHz），（T= 10-4s）
有混叠情况：调整参数；高阶
脉冲响应不变法的讨论（连续滤波器变换为离散滤波器）： （1）时域逼近较好，脉冲响应波形是连续与离散的关系； （2）频率成线性关系，频率响应形状基本保持不变 （3）保持相位的线性特性， （4）频域有混叠，只适用带限滤波器设计（如低通，带通） （5）频域的混叠不能通过减少采样周期Td消除 若离散低通滤波器的截止频率给定ωc 连续低通滤波器的截止频率为Ωc = ωc/Td 频率Ω的频带范围为： [-π/Td, π/Td] Td减小， Ω的频带范围增加 保持ωc不变， Td减小时， Ωc也应增加 Ωc增加表示原有的混叠仍然存在 （6）映射关系，z e sTd 只是针对极点，s与z平面之间的映射关系 是一个多重映射关系，即：
图示系统的特性： （1）在频带0≤Ω≤2π(2000)内, 增益|Heff(jΩ)|应当在单位幅度±0.01之内 （2）在频带Ω ≥2π(3000)内, 增益|Heff(jΩ)|应当不大于0.001
|Heff(jΩ)|的指标如图所示： 图中的具体参数为：
理想的通带增益为1 通带增益：1+δ1 ~ 1-δ1 阻带增益：0 ~ δ2 以分贝表示：
k 1
N
sk Td
n
u[n ].
作z反变换，得到离散时间滤波器的系统函数：
Td Ak H ( z) sk Td 1 1e z k 1
比较连续时间滤波器的系统函数：
N
Ak H c (s) k 1 s - sk
s k Td
N
可见，(1) s平面中的极点s = sk变换成z平面中的极点 e (2) 除了比例系数Td外，完全相同
滤波器 ----- 离散时间系统 数字滤波器 （digital filters） 对连续时间信号进行离散时间滤波的基本系统：
技术指标（有效连续和离散时间滤波器）：频域的技术指标 如图所示连续与离散时间滤波器的等效条件： 输入带限；采样频率避免混叠 jT H (e ), π / T, 即： H ( j)
（2）因果稳定性，即因果稳定的Hc(s)因果稳定的H(z)， 亦即s左半平面映射到z平面单位圆内 连续时间滤波器的主要类型（设计方法）（附录B） 巴特沃兹滤波器（Butterworth filter） 切比雪夫滤波器（Chebyshev filter） 椭圆滤波器（elliptic filter） 由模拟滤波器设计IIR数字滤波器的主要方法： 脉冲响应不变法（impulse invariance） 阶跃响应不变法（step invariance） 双线性变换法（bilinear transformation）
第七章 滤波器设计方法
Filter Design Techniques
7.0 引言
滤波器：一种特别重要的线性时不变系统 线性时不变系统 选频滤波器：对信号的频率成分进行选择（通过或拒绝）的系统 滤波器的广义定义：能对某些频率进行修正的系统 两点说明： （1）重点讨论选频滤波器设计 ----- 设计方法具有广泛应用价值 （2）滤波器是因果的 （作一些修正可以得到非因果滤波器） 滤波器内容包括： （1）滤波器设计 （2）滤波器实现（结构、算法）---- 第六章 滤波器设计的步骤： （1）给出系统所要求特性的技术指标（频域） （2）用因果离散时间系统逼近这些技术指标
实际可实现性 ------ 对理想滤波器的逼近 ------ 过渡带（ ωs - ωp ） 从通带光滑过渡到阻带。虚线表示实际滤波器的幅度响应
实际数字滤波器设计，考虑到： （1）实际应用中的离散时间信号并不都是由连续时间信号导出； （2）离散时间系统的讨论，采样周期无影响（归一化频率） 滤波器设计 ------- 离散频率变量ω表示的技术指标（ω域指标）
s平面虚轴jΩ上长度为2π/Td的每一段映射到z平面单位圆一周， 如[-π/Td, π/Td] 映射到单位圆一周（-π ≤ ω ≤ π） s平面每一条宽度为2π/Td的横条 映射到整个z平面 s平面宽度为[-π/Td, π/Td]的左半横条 映射到z平面单位圆内 多重映射 ------- 混叠（系统函数，频率响应） 7.1.2 双线性变换法 解决混叠 ------ 改变映射关系，即 -∞≤ Ω ≤∞ （单）映射到 -π ≤ ω ≤ π s左边平面 z平面单位圆内 （单映射） 整个s平面 整个z平面（单映射） 频率的映射关系 非线性（频率变换）
主要的技术指标：幅度响应（ω域） 相位响应 ------ 不是非常重要（满足滤波器隐含的稳定性和因果性 要求；FIR滤波器的线性相位要求） 具体的滤波器设计： 确定符合频率指标要求的系统函数（频率响应、脉冲响应） 即：H(z)，H(ejω)，h[n] ------------ 函数逼近问题 对于IIR滤波器 ------ 利用z的有理函数逼近 对于FIR滤波器 ------- 多项式逼近
7.1 由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器 IIR滤波器的传统设计方法： 连续时间滤波器 (变换) 满足预定指标的离散时间滤波器 理由：连续IIR滤波器设计方法成熟，简单（公式），方便，快捷 滤波器设计技术指标：离散（滤波器）频率域指标 设计过程：原型连续时间滤波器(变换) 离散时间滤波器 即：Hc(s) (变换) H(z) s域z域的变换或映射 检验：Hc(jΩ) H(ejω) 首先需要：离散（滤波器）频率域指标 （转换）原型连续（滤波器）频率域指标 设计（变换）的两个基本要求： （1）频率响应的一致性，即s平面虚轴（代表连续频率变量）必须 映射到z平面单位圆（代表离散频率变换），保持频率与频率对 应；
Ak H c ( s) k 1 s - sk
N
对应的脉冲响应：
N sk t A e k , hc (t ) k 1 0,
N
t 0, t0
根据脉冲响应不变（采样），有
h[n ] Td hc (nTd ) Td Ak e
k 1
sk nTd
u[n ] Td Ak e
0.89125 H (e j ) 1, H (e j ) 0.17783,
0 0.2π
0.3π π. 说明： 过程（1）和过程（3），系数Td抵消，可选Td = 1， ω = Ω
可得连续时间Butterworth滤波器的技术指标为： 0.89125 H c ( j) 1, 0 0.2 π
1 ( jΩc )2 N
说明
径Ωc = 0.7032 的圆周上 取左半平面的三对极点：
s = jΩ
作为Hc(s)，即
第三步，将上式作部分分式展开，进行极点映射，得到H (z),
根据上式，可以直接用并联形式实现。
设计得到的离散时间系统（滤波器）的频率响应如图：
通带边缘满足指标 阻带边缘超过指标
混叠基本没有影响
2π H (e ) H c j j k . Td k Td
j
如果连续)=0, H (e ) H c j Td
j
π/Td ,
π;
两者之间关系：频率轴的线性关系，即|ω|＜π时， ω= ΩTd 实际情况：任何连续时间滤波器都不能是完全带限的（即使低通） 因此，混叠存在。如图，
相应的离散时间滤波器指标（图）： 与上图基本相同，以归一化频率：
ω=ΩT， 0≤ ω ≤π
其余频段：周期性导出 相应的通带幅度： 其中δ1 = 0.01
ωp= 2π(2000)10-4 = 0.4 π----- 通带截止频率
阻带幅度： δ2 = 0.001
ωs= 2π(3000)10-4 = 0.6 π------ 阻带截止频率
0.2π 1 c 0.3π 1 c
2N
1 0.89125 1 0.17783
2
2N
2
两个方程的解为： N = 5.8858和Ωc = 0.70474 取N为整数6，代入方程得Ωc = 0.7032 （参数选取的原则：超过指 标） 1 H ( s ) H ( s ) 幅度平方函数 的12个极点均匀分布在半 c c s
双线性变换法定义 设s与z的映射关系为：
2 1 z 1 s ; 1 T d 1 z
双线性
离散系统与连续系统之间的变换关系为：
2 1 z 1 H ( z) H c . 1 T d 1 z
表示可以直接将s与z的映射关系代入连续滤波器系统函数。 讨论s平面z平面的映射关系 1 (Td / 2) s s与z的映射关系也可写为： z , 1 (Td / 2) s 将s =σ+jΩ代入上式，得