江苏省苏南四市(苏州、无锡、常州、镇江)2019届高三一模(数学)

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江苏省苏锡常镇四市2019届高三一模考试数学试卷(有答案)

2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试卷一、填空题，本大题共 14 题，每小题 5 分，共 70 分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合 A = {0，1，2}， B = {x | -1 < x < 1}，则 A ∩B = ．答案：{}=0A B ⋂。

2、i 为虚数单位，复数(1- 2i )2 的虚部为．答案：2312()4i i =---，即虚部为-4。

3、抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为．答案：()1,0。

4、箱子中有形状、大小相同的 3只红球、 1只白球，一次摸出 2 只球，则摸到的2 只球颜色相同的概率为．答案：12解析：232412C C =。

5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前 3组的频率成等差数列，则第 2 组的频数为．答案：406、如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是．答案：7、已知函数2log (3),0()21,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，若1(1)2f a -=，则实数a = ．答案：2log 3 解析：222133(1)1log 1log log 3222f a a a -=⇒-=⇒=+= 8、中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 700 里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为．答案：700127解析：设第七天走的路程为x ，那么七天总共走的路程为76127002270012127x x x x x -+++==⇒=-。

9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2，则这个圆柱的侧面积的最大值为．答案：2π解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，那么2244r h +=，圆柱的侧面积为224222r h rh πππ+≤=。

江苏镇江2019高三一模(1月)试卷--数学

江苏镇江2019高三一模（1月）试卷--数学数学本卷须知1、本试卷共4页，包括填空题〔第1题～第14题〕、解答题〔第15题～第20题〕两部分、本试卷总分值160分，考试时间120分钟、2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置、3、答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效、4、如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清晰、【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分、不需要写出解答过程，请把答案直截了当填在答题卡相应位置上．．．．．．．．、 1、集合M ＝{1 ,2,3, 4,5}，N ＝{2,4,6,8,10}，那么M ∩N ＝、 2、向量(12,2)a x =-，()2,1b -=，假设a b ⊥，那么实数x = 、 3.直线1:240l x y +-=与2:(2)10l mx m y +--=平行,那么实数m = 、4.方程lg(2)1x x +=有个不同的实数根、5. 0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,那么ω= 、6. 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C = 、7. 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，5423a S =+，6523a S =+，那么此数列的公比q 为、8. 观看以下等式： 31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：关于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝、9. 圆心在抛物线22x y =上,同时和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为、10. 在菱形ABCD 中，AB =,23B π∠=,3BC BE =,3DA DF =,那么EF AC ⋅= 、11.设双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =,那么此双曲线离心率的最大值为、 12. 从直线3480x y ++=上一点P向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,那么四边形PACB 的周长最小值为、13. 每年的1月1日是元旦节，7月1日是建党节，而2018年的春节是2月10日，因为2sin11sin71sin[( )30]sin 2013sin 210+=，新年将注定不平凡，请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数，使得等式成立，也正好组成我国另外一个重要节日.14. x ，y 为正数，那么22x y x y x y+++的最大值为、【二】解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15.〔本小题总分值14分〕:p 128x <<；:q 不等式240x mx -+≥恒成立，假设p ⌝是q ⌝的必要条件，求实数m 的取值范围. 16.〔本小题总分值14分〕△ABC 的面积为S ，且AB AC S ⋅=.〔1〕求tan 2A 的值；〔2〕假设4B π=，3CB CA -=，求△ABC 的面积S 、17.〔本小题总分值14分〕0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ，且1l ∥2l .〔1〕判断函数()f x 的奇偶性；并判断,A B 是否关于原点对称；〔2〕假设直线12,l l 都与AB 垂直，求实数b 的取值范围.18.〔本小题总分值16分〕一位幼儿园老师给班上(3)k k ≥个小朋友分糖果.她发明糖果盒中原有糖果数为0a ,就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的12分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的13分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的11n +分给第(1,2,3,)n n k =个小朋友、假如设分给第n 个小朋友后〔未加入2块糖果前〕盒内剩下的糖果数为n a .（1）当3k =,012a =时,分别求123,,a a a ;（2）请用1n a -表示n a ;令(1)n n b n a =+,求数列{}n b 的通项公式; 〔3〕是否存在正整数(3)k k ≥和非负整数0a ,使得数列{}n a ()n k ≤成等差数列,假如存在,请求出所有的k 和0a ,假如不存在,请说明理由. 19.〔本小题总分值16分〕椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点(2,0)A 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为23. 只是A 点的动直线12y x m=+交椭圆O 于P ,Q 两点、（1）求椭圆的标准方程；〔2〕证明P ,Q 两点的横坐标的平方和为定值；〔3〕过点 A,P ,Q 的动圆记为圆C ，动圆C 过不同于A 的定点，请求出该定点坐标.20.〔本小题总分值16分〕函数22()1x f x x x =-+，对一切正整数n ，数列{}n a 定义如下：112a =，且1()n n a f a +=，前n 项和为n S . 〔1〕求函数()f x 的单调区间，并求值域；〔2〕证明{}{}()(())x f x x x f f x x ===；〔3〕对一切正整数n ，证明：○1 1n n a a +<；○21n S <.数学Ⅱ〔附加题〕本卷须知考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1、本试卷只有解答题，供理工方向考生使用、本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分、第22、23题为必答题、每题10分，共40分、考试用时30分钟、2、答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置、3、请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效、作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔、请注意字体工整，笔迹清晰、本卷考试结束后，上交答题卡、4、如需作图，须用2B 铅笔绘、写清晰，线条、符号等须加黑、加粗、5、请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损、一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔、21、【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并．在相应的．．．．答题区域．．．．内作答．．．，假设多做，那么按作答的前两题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 A 、〔选修4－1 几何证明选讲〕如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F 、求证：△PDF ∽△POC 、B 、〔选修4—2：矩阵与变换〕求曲线C :1xy =在矩阵A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦　对应的变换下得到的曲线C '的方程.（第21-A 题） A B PFO EDC ·C 、〔选修4—4：坐标系与参数方程〕求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t=+⎧⎨=+⎩〔是参数截得的弦长.D.〔选修4—5：不等式选讲〕设函数()f x =、〔1〕当5a =-时，求函数()f x 的定义域；〔2〕假设函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围、[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22、〔本小题总分值10分〕斜率为1的直线与抛物线22y x =交于不同两点,A B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程、、23、〔本小题总分值10分〕函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.〔1〕求实数a 的取值范围；〔2〕假设数列{}n a 满足1(0,1)a ∈，1ln(2)n n n a a a +=-+，n ∈Ｎ* ，证明101n n a a +<<<、参考答案【一】填空题 1.{}4,2 2.0 3.32 4.2 5.1 6.41-7.38.()nn 2111⋅+-9.()121122=⎪⎭⎫⎝⎛-+±y x 10.12- 11.3512.224+ 13.10114. 32.说明： 13. (10月1日国庆节)此题的一般结论是()()xx x x 3sin 60sin 60sin sin 400=+⋅-⋅，能够应用课本习题中结论22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-证得.14. 此题能够进一步推广为:是否存在实数k ,使得2222x y x y k x y x y x y x y+≤≤+++++当 0xy >时恒成立? 【二】解答题15.解：:p 128x <<,即30<<x ,……3分 p ⌝是q ⌝的必要条件, ∴p 是q 的充分条件,……5分∴不等式240x mx -+≥对()3,0∈∀x 恒成立,……7分xx x x m 442+=+≤∴对()3,0∈∀x 恒成立,……10分44x x +≥=,当且仅当2x =时,等号成立.……13分 4≤∴m .……14分函数的最值、差不多不等式应用；考查不等式恒成立问题；考查转化思想.16.解：〔1〕设△ABC 的角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.AB AC S ⋅=,Abc A bc sin 21cos =∴,……2分AA sin 21cos =∴,2tan =∴A .……4分34tan 1tan 22tan 2-=-=∴AA A .……5分（2）3CB CA -=,3=c ,……6分20,2tan π<<=A A ,……7分55cos ,552sin ==∴A A .……9分()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B ∴=+=+==……11分由正弦定理知：5sin sin sin sin =⋅=⇒=B Ccb B b Cc ,……13分35523521sin 21=⋅⋅==A bc S .……14分【说明】此题要紧考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力.17.解：〔1〕()()()()()x f bx ax x b x a x f -=--=---=-33 ，……2分()x f ∴为奇函数 (3)分设()()2211,,,y x B y x A 且21x x ≠,又()b ax x f -='23，……5分()x f 在两个相异点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l ， ∴()()()22111222330k f x ax b k f x ax b a ''==-===->， ∴2221x x =又21x x ≠，∴21x x -=，……6分又()f x 为奇函数，∴点B A ,关于原点对称、 (7)分（2）由〔1〕知()()1111,,,y x B y x A --，∴b ax x y k AB-==2111，……8分又()x f 在A 处的切线的斜率()b ax x f k -='=2113，直线12,l l 都与AB 垂直,∴()()22111,31AB kkaxb ax b ⋅=--⋅-=-， (9)分令021≥=ax t ，即方程014322=++-b bt t 有非负实根，……10分∴302≥⇒≥∆b ，又212103b t t +=>，∴0034>⇒>b b、综上3≥b 、……14分【说明】此题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力. 21.解：〔1〕当3k =,012a =时,()()72212001=+-+=a a a , ()()62312112=+-+=a a a ,()()62412223=+-+=a a a .……3分（2）由题意知：()()()212112111++=++-+=---n n n n a n n a n a a ,……6分即()()n na a n a n n n n 22111+=+=+--, (1)n n b n a =+,12,n n b b n -∴-=……7分112102,22,2.n n n n b b n b b n b b ---∴-=-=--=累加得()()12220+=+=-n n n n b b n ,……9分又00a b =,∴()01a n n b n ++=.……10分（3）由()01a n n b n ++=，得10++=n a n a n ,……12分假设存在正整数(3)k k ≥和非负整数0a ,使得数列{}n a ()n k ≤成等差数列,那么1322a a a +=,……14分即00001(1)3220243a a a a ⎛⎫+++=+⇒= ⎪⎝⎭,……15分当00=a 时，n a n =，对任意正整数(3)k k ≥,有{}n a ()n k ≤成等差数列.……16分[注:假如验证012,,a a a 不能成等差数列,不扣分]【说明】此题要紧考查数列的定义、通项求法；考查反证法；考查递推思想；考查推理论证能力；考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力、此题还能够设计：假如班上有5名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求0a 的最小值. 19.解：〔1〕设椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x .由题意得23,2==e a .……2分3=∴c ,1b =, (2)分∴椭圆的标准方程为1422=+y x .……4分〔2〕证明：设点),(),,(2211y x Q y x P 将mx y +=21带入椭圆，化简得：0)1(2222=-++m mx x ○1 ∴212122,2(1)x x m x x m +=-=-, (6)分∴222121212()24x x x x x x +=+-=,∴P ,Q两点的横坐标的平方和为定值4.……7分〔3〕(法一)设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,那么圆心为〔,22D E --〕,PQ 中点M (2,m m -),PQ 的垂直平分线的方程为:m x y 232--=,……8分圆心〔2,2E D --〕满足m x y 232--=，因此322E D m -=-○2,……9分圆过定点(2,0)，因此420D F ++=○3,……10分圆过1122(,),(,)P x y Q x y ,那么2211112222220,0,x y Dx Ey F x y Dx Ey F ++++=++++=⎧⎨⎩两式相加得：22221212121220,x x y y Dx Dx Ey Ey F ++++++++=222212121212(1)(1)()()2044x x x x D x x E y y F ++-+-+++++=,……11分12y y m +=,5220mD mE F -++=∴○4.……12分因为动直线12y x m=+与椭圆C 交与P,Q 〔均不与A 点重合〕因此1-≠m ，由○2○3○4解得:3(1)3335,,,42222m D E m F m -==+=--……13分代入圆的方程为：223(1)3335()042222m x y x m y m -++++--=,整理得：22335333()()0422422x y x y m x y +-+-++-=,……14分因此：223350,4223330,422x y x y x y ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩……15分解得：0,1,x y =⎧⎨=⎩或2,0x y =⎧⎨=⎩(舍).因此圆过定点(0,1).……16分(法二)设圆的一般方程为:220x y Dx Ey F ++++=,将mx y +=21代入的圆的方程:024522=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++F mE m x E D m x ○5.……8分方程○1与方程○5为同解方程.22122(1)542E m mE Fm D m m ++-+=+=,……11分圆过定点(2,0)，因此024=++F D ,……12分因为动直线mx y +=21与椭圆C 交与P,Q 〔均不与A 点重合〕因此1-≠m . 解得:3(1)3335,,42222m D E m F m -==+=--,……13分(以下相同)【说明】此题考查圆锥曲线的差不多量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考查运算求解能力和推理论证能力. 20.解：〔1〕定义域∈x R ，()()()()()22222221211212+-+-=+---+-='x xxx x xx x x x x x f ，……1分()200<<⇒>'x x f ，()200><⇒<'x x x f 或、 (2)分函数()f x 的单调增区间为()2,0，单调减区间为()()∞+∞-，和20,、……3分〔法一〕()00=f ，4(2)3f =，当x →∞时，()211111f x x x =→⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， (4)分(,0]x ∈-∞时，()f x 为减函数，()[0,1)f x ∈；当[0,)x ∈+∞时，4()[0,]3f x ∈；函数()f x 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0、……5分〔法二〕当=x 时，()00=f ,当≠x 时，()22114113311()124f x x x x ==≤⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭,且()0f x >,4(2)3f =,∴函数()f x 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 (5)分〔法三〕判别式法〔略〕〔2〕设{}{}(),(())A x f x x B x f f x x ====,设0x A ∈，那么000(())()f f x f x x ==，那么0x B ∈，A B ∴⊆ (6)分当0x ≥时，2222(1)011()1x x x x x x x x f x x-≥⇔≤⇔≤⇔-+-+≤恒成立、当且仅当0,1x =时，().f x x =……7分令()t f x =，当且仅当1x =时，() 1.t f x ==当0x <时，由〔１〕(())()0f f x f t =>,∴当0x <时，(())f f x x =无解 (8)分当01x <≠时，(())()()f f x f t t f x x =<=<，∴当01x <≠时，(())f f x x =在无解、 (9)分综上，除0,1x =外，方程(())f f x x =无解，.A B ∴=∴{}{}()(())xf x x x f f x x ===、……10分〔3〕○1显然22122131()24n nn n n na a a a a a +==-+-+,又112a =,0n a ∴>， 1211111211n n n n n nna a a a a a a +∴==≤=-+-+-，……11分因此，1.n n a a +≤假设n n a a =+1，那么1=n a 矛盾.因此n n a a <+1.……12分 ○2(法一)21222111111111111,1,1,1n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -------=∴=-+∴-=-+-+ 211111111111,11111111(1)1nn n n n n n a a a a a a a ------∴===---+--1111(2),1111n n na n a a --∴=-≥--……14分11121111121111()1,111111111n n n n i ii i i n S a a a a a a a +=++-=+-+=-=-=-∴-----=∑∑……15分1102n n a a +<<<111 1.1n n a S a ++=-<-∴……16分(法二)2121122111111111111n n n n n n n n a a a a a a a a -------==<-+-+-+……13分11111(1)n n a a --=-1111111n n a a --=--1222111n n n a a a ---=-+-+……14分12233111n n n n a a a a ----=--+-+1211111n n a a a a --==----+-……15分1211n n a a a --=----，n S ∴=121n a a a +++<.……16分【说明】此题以高等数学中不动点、函数迭代等理论为背景，考查函数的图象与性质、导数的运算与应用；考查函数思想；考查推理论证能力、运算能力.其中第2问证法较多.此题能够进一步设计证明11112n nn a a ++≤-.如令1n nb a =,可证明对任意正整数,m n 有,m n b b 互素.理科附加题答案 21、【选做题】A 、证明：∵AE =AC ，∠CDE ＝∠AOC ，……2分又∠CDE ＝∠P +∠PFD ，∠AOC ＝∠P +∠OCP ，……6分从而∠PFD ＝∠OCP 、……7分在△PDF 与△POC 中，∠P ＝∠P ，∠PFD ＝∠OCP ，故△PDF ∽△POC 、……10分B 、解：设00(,)P x y 为曲线1xy =上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点00(,)P x y '''，那么有00x xy y'⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦0０， (4)分即000000),),x x y y y x ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩……6分因此000000),),x x y y x y ⎧''=-⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩……8分又因为点P 在曲线1xy =上，因此001x y =，故有22002x y ''-=即所得曲线方程222x y -=.……10分 C 、解:将极坐标方程转化成直角坐标方程：3cos ρθ=即：223x y x +=，即2239()24xy -+=；……4分 22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩即：23x y -=,……6分0d ，……8分即直线通过圆心,因此直线截得的弦长为3.……10分 D.解：〔1〕由题设知：1250x x ++--≥，如图，在同一坐标系中作出函数12y x x =++-和5y =的图象〔如下图〕,知定义域为(][),23,-∞-+∞.……5分〔2〕由题设知，当x R ∈时，恒有120x x a ++-+≥，即12x x a ++-≥-由〔1〕123x x ++-≥，∴3,3a a -≤∴≥- (10)分[必做题]22．解：设直线方程：m x y +=，()()()y x M y x B y x A ,,,,,2211 将m x y +=代入22y x =,得()02222=+-+m x m x ,……2分因此()22122122240,22,,m m x x m x x m ⎧∆=-->⎪⎪+=-⎨⎪=⎪⎩……6分∴21<m ，1,211221=+=>-=+=m x y m x x x ,……9分线段AB 中点M 的轨迹方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛>=211x y .……10分23、解：〔1〕函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.∴()021≥+--='a xx f 在区间(0,1)上恒成立,……2分x a -≥∴21,又()xx g -=21在区间(0,1)上是增函数 ()11=≥∴g a 即实数a 的取值范围为1≥a (3)分〔2〕先用数学归纳法证明10<<n a .当1=n 时，1(0,1)a ∈成立,……4分假设k n =时，10<<k a 成立,……5分当1+=k n 时，由〔1〕知1=a 时，函数()()x x x f +-=2ln 在区间(0,1)上是增函数∴()()k k k k a a a f a+-==+2ln 1∴()()()1102ln 0=<<=<f a f f k , (7)分即101<<+k a 成立,∴当*∈N n 时,10<<n a 成立.……8分下证1+<n n a a .()101,ln 2ln10.n n n n a a a a +<<∴-=->= (9)分1+<∴n n a a .综上101<<<+n n a a (10)分。

2019届江苏省镇江市高三第一次模拟考试数学试卷及答案

江苏省镇江市2019届高三一模考试
数学试卷
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
锥体体积公式：V ＝13
Sh ，其中S 为底面积，h 为高．圆锥侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为底面半径，l 为母线长．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A ＝{0，1，2}，集合B ＝{－1，0，2，3}，则A∩B＝________．
2. 函数f(x)＝lg （3－x ）的定义域为________．
3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是________．
4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为________．
5. 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．
6. 抛物线y 2
＝8x 的焦点到双曲线x 216－y 29＝1渐近线的距离为________． 7. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6S 3
＝________． 8. 已知函数f(x)＝12x －2x ，则满足f(x 2－5x)＋f(6)>0的实数x 的取值范围是________．。

2019届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷【含答案及解析】

2019届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 设全集U＝｛x|x ≥ 2 ，x ∈ N ｝，集合A＝｛x|x 2 ≥5，x ∈ N ｝，则___________ ．2. 复数，其中i为虚数单位，＝，则a的值为___________ ．3. 双曲线的离心率为___________ ．4. 若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为___________ ．5. 已知向量a= （ 1，2 ），b= （ x，-2 ），且a⊥ （ a-b ），则实数x=___________ ．6. 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为___________ ．7. 函数的值域为___________ ．8. 连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6 ），则事件“ 两次向上的数字之和等于7” 发生的概率为___________ ．9. 将半径为5的圆分割成面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为，则＝___________ ．10. 已知是第三象限角，且，则＝___________ ．11. 已知是等差数列，a 5 ＝15，a 10 ＝－10，记数列的第 n 项到第n+ 5项的和为 T n ，则取得最小值时的 n 的值为___________ ．12. 若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则＝___________ ．13. 已知函数f （ x ）＝－kx （x≥0，k ∈ R ）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则＝_________ ．14. 已知，，则的最小值为___________ ．二、解答题15. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（ 2 ）若的面积为，，求边的长．16. 如图，在直四棱柱 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 AB ， BC 的中点， A 1 C 1 与 B 1 D 1 交于点 O ．（1）求证： A 1 ， C 1 ， F ， E 四点共面；（2）若底面 ABCD 是菱形，且 A 1 E，求证：平面 A 1 C 1 FE．17. 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米．（1）当渠中水深CD为0．4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？18. 如图，已知椭圆O ：＋ y 2 ＝1 的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M ．（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k 1 ，k 2 ，求证：k 1 · k 2 为定值；②求的取值范围．19. 已知数列满足：，， , ．（1）若，且数列为等比数列，求的值；（ 2 ）若，且为数列的最小项，求的取值范围．20. 已知函数（a ∈ R ），为自然对数的底数．（ 1 ）当 a ＝ 1 时，求函数的单调区间；（ 2 ）①若存在实数，满足，求实数的取值范围；②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．21. 如图，四边形 ABDC 内接于圆， BD=CD ，过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点．（ 1 ）求证：；（2）若BD ⊥ AB ， BC=BE ， AE=2 ，求 AB 的长．22. 已知二阶矩阵 M 有特征值 =3 及对应的一个特征向量，并且矩阵 M 对应的变换将点（ -1,2 ）变换成（ 9,15 ），求矩阵 M ．23. 在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程是，在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，求曲线与的交点在直角坐标系中的直角坐标．24. 设函数 f （ x ）＝＋ |x － a| （ a ＞ 0 ）．（ 1 ）证明： f（x）≥ 2 ；（ 2 ）若 f （ 3 ）＜ 5 ，求实数 a 的取值范围．25. 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向．已知该网民购买种商品的概率为，购买种商品的概率为，购买种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．（ 1 ）求该网民至少购买2种商品的概率；（ 2 ）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望．26. 如图，由若干个小正方形组成的 k 层三角形图阵，第一层有 1 个小正方形，第二层有 2 个小正方形，依此类推，第 k 层有 k 个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第 k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为，其中（），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为．（ 1 ）当 k = 4 时，若要求为 2 的倍数，则有多少种不同的标注方法？（ 2 ）当 k = 11 时，若要求为 3 的倍数，则有多少种不同的标注方法？参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。

2019年江苏省苏、锡、常、镇四市一模试卷

2019年江苏省苏、锡、常、镇四市一模试卷解析版一、填空题（共14小题）1.已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝．2.i为虚数单位，复数（1﹣2i）2的虚部为．3.抛物线y2＝4x的焦点坐标是．4.箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为．5.如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2组的频数为．6.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．7.已知函数，若，则实数a＝．8.中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马在最后一天行走的里程数为．9.已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为．10.设定义在区间（0，）上的函数的图象与y＝3cos2x+2的图象交于点P，则点P到x轴的距离为．11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，则sin（A﹣）＝．12.若直线l：ax+y﹣4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2+y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为．13.在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则的最大值为．14.已知函数f（x）＝x2+|x﹣a|，g（x）＝（2a﹣1）x+alnx，若函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为．二、解答题（共11小题）15.如图，三棱锥D﹣ABC中，己知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分別为BD，CD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）BD⊥平面ACE．16.已知向量＝（2cosα，2sinα），＝（cosα﹣sinα，cosα+sinα）．（1）求向量与的夹角；（2）若⊥，求实数λ的值．17.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．（1）求出n关于m的函数关系式；（2）当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．18.已知椭圆E：的离心率为，焦点到相应准线的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知P（t，0）为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：为定值．19.已知函数f（x）＝（x+1）lnx+ax（a∈R）．（1）若函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b＝0，求实数a，b的值；（2）设函数g（x）＝，x∈[1，e]（其中e为自然对数的底数）．①当a＝﹣1时，求函数g（x）的最大值；②若函数h（x）＝||是单调减函数，求实数a的取值范围．20.定义：若有穷数列a1，a2，…，a n同时满足下列三个条件，则称该数列为P数列．①首项a1＝1；②a1＜a2＜…＜a n；③对于该数列中的任意两项a i和a j（1≤i＜j≤n），其积a i a j或商仍是该数列中的项．（1）问等差数列1，3，5是否为P数列？（2）若数列a，b，c，6是P数列，求b的取值范围；（3）若n＞4，且数列b1，b2，…，b n是P数列，求证：数列b1，b2，…，b n是等比数列．附加题：21.已知x，y∈R，是矩阵A＝的属于特征值﹣1的一个特征向量，求矩阵A的另一个特征值．22.在极坐标系中，已知直线l：，在直角坐标系（原点与极点重合，x轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C的参数方程为（t为参数）．设l与C交于A，B两点，求AB的长．23.若不等式|x+1|+|x﹣a|≥5对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．24.从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．（1）问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P（X＝2）”和“恰好有3件不合格的概率P（X ＝3）”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X的数学期望E（X）．25.已知f（n）＝+++…+，g（n）＝+++…+，其中n∈N*，n≥2．（1）求f（2），f（3），g（2），g（3）的值；（2）记h（n）＝f（n）﹣g（n），求证：对任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞．2019年江苏省苏、锡、常、镇四市一模试卷解析版参考答案一、填空题（共14小题）1.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B＝{0}．故答案为：{0}．【解析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【分析】根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数（1﹣2i）2的值，即可得到复数（1﹣2i）2的虚部．【解答】解：∵（1﹣2i）2＝12+（2i）2﹣4i＝1﹣4﹣4i＝﹣3﹣4i故复数（1﹣2i）2的虚部为﹣4故答案为：﹣4【解析】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数（1﹣2i）2的值是解答本题的关键，本题易错误理解虚部的概念，而错解为﹣4i．3.【分析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上，且p＝2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝4x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，且p＝2，则抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．【解析】本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向．4.【分析】基本事件总数n＝＝6，摸到的2只球颜色相同包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出摸到的2只球颜色相同的概率．【解答】解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，基本事件总数n＝＝6，摸到的2只球颜色相同包含的基本事件个数m＝＝3，则摸到的2只球颜色相同的概率p＝．故答案为：．【解析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【分析】由频率分布直方图得到前3组的频率和为1﹣（0.0375+0.0125）×5＝0.75，由从左到右的前3组的频率成等差数列，得到第2组的频率为＝0.25，由此能求出第2组的频数．【解答】解：如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，由频率分布直方图得到前3组的频率和为：1﹣（0.0375+0.0125）×5＝0.75，∵从左到右的前3组的频率成等差数列，∴第2组的频率为＝0.25，∴第2组的频数为160×0.25＝40．故答案为：40．【解析】本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【分析】由程序框图知所求为cos的值．【解答】解：由程序框图知所求为cos的值，当k＝5时s＝cos＝故答案为：．【解析】本题考查程序框图的循环，属于简单题．7.【分析】利用分段函数列出方程，转化求解即可．【解答】解：函数，若，可得：，解得a＝4﹣＞0舍去．，解得a＝log23＞0，成立．故答案为：log23．【解析】本题考查分段函数的应用，对数的运算法则，考查计算能力．8.【分析】设该匹马第一日走a1里，利用等比数列前n项和公式求出a1，即可求出这匹马在最后一天行走的里程数为【解答】解：每天走的里程数是等比数列{a n}，公比q＝，则S7＝＝700，解得a1＝，∴a7＝×（）6＝里，故答案为：【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属9.【分析】设圆柱底面直径和母线长分别为2a，b，求出底面半径，代入圆柱侧面积公式，利用三角函数求最值．【解答】解：设圆柱底面直径和母线长分别为2a，b，∴4a2+b2＝4，设a＝cosα，b＝2sinα（0＜α＜），∴圆柱的侧面积S＝2πab＝2π×cosα•2sinα＝2πsin2α，∴圆柱的侧面积的最大值为2π．故答案为：2π．【解析】本题考查的知识点是旋转体的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积公式是关键，是基础题．10.【分析】联立方程组求出sin x的值，然后代入求出y的值，即可求出点P到x轴的距离．【解答】解：由＝3cos2x+2得：3﹣6sin2x﹣3sin x+2＝0，即6sin2x+3sin x﹣5＝0，得sin x＝＝＝＝＝，sin x＝＝＝＝﹣＝﹣，∵x∈（0，），∴sin x＞0，∴sin x＝，即点P到x轴的距离为y＝3×＝3，故答案为：3．【解析】本题主要考查三角函数的应用，联立方程组求出sin x的值是解决本题的关键．11.【分析】由已知结合正弦定理可求cos B，结合同角平方关系可求sin B＝进而可求sin A，cos A，再结合两角差的正弦公式可求sin（A﹣）．【解答】解：∵5a＝8b，A＝2B，由正弦定理可得，5sin A＝8sin B＝5sin2B，∴10sin B cos B＝8sin B，∵sin B≠0，∴cos B＝，∴sin B＝＝，∴sin A＝＝＝，cos A＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，则sin（A﹣）＝＝，故答案为：．【解析】本题主要考查了正弦定理，同角平方关系及两角差正弦公式，二倍角公式的简单应用，属于12.【分析】根据题意，由直角三角形的性质分析可得C到AB的距离为＝1，结合直线与圆的位置关系可得圆心O到直线l的距离d≤2，即有≤2，解得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若△ABC为等腰直角三角形，其中C为直角顶点且|AB|＝2，则C到AB的距离为＝1，若圆O：x2+y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形，则圆心O到直线l的距离d≤2，即有≤2，解可得：﹣≤a≤，即a的取值范围[﹣，]；故答案为：[﹣，]．【解析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．13.【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算以及基本不等式可得．【解答】解：以A为原点，AC为x轴建立如图所示的直角坐标系：则B（0，2），C（1，0），D（，1），E（，），设直线PQ的方程为：+＝1，则由E在直线PQ上，得+＝1，（a＞0，b＞0），∴Q（a，0），P（0，b）．•＝（a﹣0，﹣2）•（﹣1，b）＝﹣a﹣2b＝﹣（a+2b），∵（a+2b）（+）＝+1++≥+2＝，∴•＝﹣（a+2b）≤﹣＝﹣，故答案为：﹣．【解析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．14.【分析】函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象恰好有两个不同的交点，可转换成利用函数f（x）﹣g（x）的零点个数为2个即可求解．【解答】解：已知函数f（x）＝x2+|x﹣a|，g（x）＝（2a﹣1）x+alnx，若函数y＝f（x）与函数y＝g （x）的图象恰好有两个不同的交点，转换成利用函数f（x）﹣g（x）的零点个数为2个求解，①a＜0时，h（x）＝f（x）﹣g（x）很显然，a＜0，h（x）＝f（x）﹣g（x）单调递增，至多有一个零点，不符合题意；②a＞0时，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2+|x﹣a|﹣（2a﹣1）x﹣alnx＝，可以求得a＞0时，h（x）＝0由两个零点时，h（a）＜0，解得：a＞1，所以a＞1，故实数a的取值范围为（1，+∞）；【解析】本题考查函数的交点，选取分类讨论法是解决本题的关键，属于中档题．二、解答题（共11小题）15.【分析】（1）由线面平行的判定得：因为E，F分別为BD，CD的中点，所以EF∥BC，又BC⊂面ABC，所以EF∥面ABC，（2）由线面垂直的判定定理得：因为BD⊥AC，BD⊥CE，又AC∩CE＝C，所以BD⊥面ACE，命题得证．【解答】解：（1）证明：因为E，F分別为BD，CD的中点，所以EF∥BC，又BC⊂面ABC，所以EF∥面ABC，（2）证明：因为AC⊥BC，AC⊥DC，所以AC⊥面BCD，又BD⊂面BCD，所以BD⊥AC，又BC＝DC，E为BD的中点．所以BD⊥CE，又AC∩CE＝C，所以BD⊥面ACE，命题得证【解析】本题考查了线线平行、线面平行的判定及线线垂直，线面垂直的判定定理，属中档题．16.【分析】（1）根据向量的坐标即可求出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角；（2）根据即可得出，进行数量积的运算即可求出实数λ．【解答】解：（1），+2sin2α＝2；∴；又；∴与的夹角为；（2）∵；∴；∴λ＝2．【解析】考查根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．17.【分析】（1）以AB的为x轴，以PO所在的直线的为y轴，不妨设f（x）＝ax2+40，求出a的值，即可得到n关于m的函数关系式，（2）S梯形ABCD＝﹣m3﹣2m2+40m+800，设g（m）＝﹣m3﹣2m2+40m+800，0≤m≤20，利用导数求出函数的最值即可．【解答】解：（1）以AB的为x轴，以PO所在的直线的为y轴，不妨设f（x）＝ax2+40，∵直路AB长为40米，∴B（20，0），∴0＝400a+40，解得a＝﹣，∴f（x）＝﹣x2+40，∵C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米，∴n＝﹣m2+40，0≤m≤20；（2）由（1）可得CD＝2m，AB＝40，∴S梯形ABCD＝（2m+40）n＝（m+20）（﹣m2+40）＝﹣m3﹣2m2+40m+800设g（m）＝﹣m3﹣2m2+40m+800，0≤m≤20∴g′（m）＝﹣m2﹣4m+40＝﹣（3m﹣20）（m+20），0≤m≤20令g′（m）＝0，解得m＝，当0≤m＜时，g′（m）＞0，函数g（m）单调递增，当＜m≤20时，g′（m）＜0，函数g（m）单调递减，∴g（m）max＝g（）＝（+20）（﹣×+40）＝答：当m＝时，腰梯形草坪ABCD的面积最大，其最大值为．【解析】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了导数求函数的最值，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．18.【分析】（1）由题设条件推导出e＝＝，所以，由此能求出椭圆的标准方程．（2）分别设出两条直线方程，然后与椭圆的标准方程+y2＝1联立，通过设而不求的方法消去不定的值t，剩下的算式只与定值k1和k2有关，最终得证．【解答】（1）解：（1）由题可得e＝＝，，解得a＝2，c＝，则b2＝a2﹣c2＝1．由此椭圆的标准方程为：+y2＝1．（2）证明：设直线PB的方程为：y＝k1（x﹣t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，可得：由整理，得：（1+4）x2﹣8k t•x+4（k2t2﹣1）＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∵＝＝．同理，可得：．∴＝＝＝＝．再设直线PD的方程为：y＝k2（x﹣t），设C（x3，y3），D（x4，y4），则由上面过程同理，可得到：．∴＝＝．∵k1和k2是定值．∴是定值．∴为定值．【解析】本题第（1）主要考查椭圆的离心率和准线方程以此得到椭圆的标准方程；第（2）主要考查平面解析几何中的设而不求的方法来判断定值问题，本题属中档题．19.【分析】（1）f′（x）＝lnx++a，f′（1）＝a+2＝﹣1，解得a．f（1）＝﹣3，将点（1，﹣3）代入x+y+b＝0，解得b．（2）①g（x）＝（+1）lnx﹣1，可得g′（x）＝﹣+＝．令φ（x）＝x﹣lnx+1，利用导数研究其单调性即可得出最值．②同理，单调增函数g（x）＝∈[a，a+1+]，h（x）＝•．对a分类讨论，研究其单调性最值即可得出．【解答】解：（1）f′（x）＝lnx++a，f′（1）＝a+2＝﹣1，a＝﹣3，（1分）f（1）＝a＝﹣3，将点（1，﹣3）代入x+y+b＝0，解得b＝2．（2分）（2）①因为g（x）＝（+1）lnx﹣1，则g′（x）＝﹣+＝．（3分）令φ（x）＝x﹣lnx+1，则φ′（x）＝1﹣≥0，函数φ（x）在区间[1，e]上单调递增．（5分）因为φ（x）≥φ（1）＞0，（6分）所以g′（x）＞0，函数g（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数g（x）的最大值为g（e）＝．（8分）②同理，单调增函数g（x）＝∈[a，a+1+]，（9分）则h（x）＝•．1°若a≥0，g（x）≥0，h（x）＝，h′（x）＝≤0，令u（x）＝﹣（1+x+x2）lnx﹣ax2+x+1，则u′（x）＝﹣（1+2x）lnx﹣﹣（2a+1）x＜0，即函数u（x）区间在[1，e]上单调递减，所以u（x）max＝u（1）＝﹣a+2≤0，所以a≥2．（11分）2°若a≤﹣，g（x）≤0，h（x）＝﹣，由1°知，h′（x）＝，又函数h（x）在区间[1，e]上是单调减函数，所以u（x）＝﹣（1+x+x2）lnx﹣ax2+x+1≥0对x∈[1，e]恒成立，即ax2≤x+1﹣（1+x+x2）lnx对x∈[1，e]恒成立，即a≤+﹣lnx对x∈[1，e]恒成立．令φ（x）＝+﹣lnx，x∈[1，e]，φ′（x）＝﹣﹣﹣（﹣）lnx﹣（++1）＝﹣﹣﹣+（+）lnx，记μ（x）＝lnx﹣x+1（1≤x≤e），又μ′（x）＝﹣1＝≤0，所以函数μ（x）在区间[1，e]上单调递减，故μ（x ）max ＝μ（1）＝0，即lnx ≤x ﹣1，所以φ′（x ）＝﹣﹣﹣+（+）lnx ≤﹣﹣﹣+（+）lnx （x ﹣1）＝﹣﹣＜0，即函数φ（x ）在区间[1，e ]上单调递减，所以φ（x ）min ＝φ（e ）＝+﹣（++1）lne ＝﹣1，所以a ≤φ（x ）min ＝﹣1，又a ≤﹣，所以a ≤﹣．（13分） 3°若﹣＜a ＜0，因为g （x ）＝＝（1+）lnx +a ，g ′（x ）＝﹣+＝≥＝＞0，所以函数g （x ）＝在区间[1，e ]上单调递增．又g （1）g （e ）＝a （a +1+）＜0，则存在唯一的x 0∈（1，e ），使得h （x 0）＝＝0，所以函数h （x ）在区间[1，e ]上不单调．（15分）综上，实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]∪[2，+∞）．（16分）【解析】本题考查了利用导数研究其单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【分析】（1）由新定义考虑3，5两个元素不符题意，即可判断；（2）由P 数列，可得1＜b ＜c ＜6，即有bc ＝6，进而得到b 的范围；（3）由数列为P 数列，考虑b n 与b 2，b 3，…，b n ﹣1，的比在数列中，推得b n ＝b i b n +1﹣i （i ＝1，2，…，n ﹣1），①，b n ﹣1＝b i b n ﹣i （i ＝1，2，…，n ﹣2），②，再由等比数列的定义，即可得证．【解答】解：（1）等差数列1，3，5不是P 数列，由于其中3，5不满足3×5或仍在数列中；（2）数列a ，b ，c ，6是P 数列，所以1＝a ＜b ＜c ＜6，由于6b 或是数列中的项，而6b 大于数列中的最大项6，则是数列中的项，同理也是数列中的项，考虑到1＜＜＜6，于是＝b ，＝c ，即bc ＝6，又1＜b ＜c ，所以1＜b ＜，综上，b 的取值范围是（1，）．（3）证明：数列{b n}是P数列，所以1＝b1＜b2＜b3＜…＜b n，由于b2b n或是数列中的项，而b2b n大于数列中的最大项b n，则是数列{b n}中的项，同理，，…，，也都是数列{b n}中的项，考虑到1＜＜…＜＜b n，且1，．…，，b n这n个数全是共有n项的增数列1，b2，…，b n中的项，∴＝b2，…，＝b n﹣1，从而b n＝b i b n+1﹣i（i＝1，2，…，n﹣1），①又∵b n﹣1b3＞b n﹣1b2＝b n，所以b n﹣1b3不是数列{b n}中的项，∴是数列{b n}中的项，同理，…也都是数列{b n}中的项，考虑到1＜＜…＜＜＜＝b n﹣2＜b n﹣1＜b n，且1，，…，，，，b n﹣1，b n这n个数全是共有n项的增数列1，b2，…，b n中的项，于是，同理有，b n﹣1＝b i b n﹣i（i＝1，2，…，n﹣2），②在①中将i换成i+1后与②相除，得＝，i＝1，2，…，n﹣2，∴b1，b2，…，b n是等比数列．【解析】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于综合题．附加题：21.【分析】本题可根据特征值与特征向量的定义写出算式Aα＝﹣1•α，然后将矩阵代入计算可得x、y的值，然后写出矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）＝0即可找到矩阵A的另一个特征值．【解答】解：由特征值与特征向量的定义，可知：Aα＝﹣1•α．即：•＝﹣1•整理，得：＝∴，解得：．∴A＝．∵矩阵A的特征多项式f（λ）＝＝（λ+3）（λ+1）．令f（λ）＝0，即（λ+3）（λ+1）＝0，解得：λ＝﹣1，或λ＝﹣3．∴矩阵A的另一个特征值为﹣3．【解析】本题主要考查根据特征值与特征向量的定义式计算出矩阵中的参数，然后根据矩阵的特征多项式计算出矩阵的另一个特征值．本题属中档题．22.【分析】由ρsin（θ﹣）＝0得ρsinθcos﹣ρcosθ＝0，即y＝x，消去参数t可得曲线C的直角坐标方程，联立直线l与曲线C可解得A，B的坐标，再用两点间的距离公式可得|AB|．【解答】解：由ρsin（θ﹣）＝0得ρsinθcos﹣ρcosθ＝0，即y＝x，由消去t得y2﹣x2＝1，联立解得A（，），B（﹣，﹣），∴|AB|＝＝＝2．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【分析】不等式|x+1|+|x﹣a|≥5对任意x∈R恒成立⇔（|x+1|+|x﹣a|）min≥5，由绝对值不等式的性质，可得最小值，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：不等式|x+1|+|x﹣a|≥5对任意x∈R恒成立⇔（|x+1|+|x﹣a|）min≥5，∵|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣（x﹣a）|＝|1+a|，∴|a+1|≥5，即a≥4或a≤﹣6，所以实数a的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[4，+∞）．【解析】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的性质的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题．24.【分析】（1）随机变量X服从二项分布，利用二项分布的概率公式求出恰好有2件不合格的概率P（X＝2）”和“恰好有3件不合格的概率P（X＝3）”比较即可．（2）确定X 的取值从0到10，按照二项分布的概率公式求出X 每个取值对应的概率，列出分布列，求期望．【解答】解：由于批量较大，可以认为随机变量X ～B （10，0.05），（1）恰好有2件不合格的概率为P （X ＝2）＝×0.052×0.958，恰好有3件不合格的概率为P （X ＝3）＝．因为P （X ＝2）÷{P （X ＝3）}＝＝＞1，所以P （X ＝2）＞P （X ＝3），即恰好有2件不合格的概率大．（2）因为P （X ＝k ）＝，（k ＝0，1，2，…，10）．故E （X ）＝＝10×0.05＝0.5故随机变量X 的期望为E （X ）＝0.5【解析】本题考查了二项分布及其期望的求法，主要考查简单的计算，二项分布的期望为np （p 为成功概率），属于中档题．25.【分析】（1）利用n ＝2，n ＝3直接代入求解即可．（2）先化简，求出h （n ）＝f （n ）﹣g （n ）的表达式，利用数学归纳法进行证明即可．【解答】解：（1）f （2）＝＝，f （3）＝＝，g （2）＝，g （3）＝＝（2）∵＝＝＝＝，∴h （n ）＝f （n ）﹣g （n ）＝＝，下面用数学归纳法证明：对对任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞．当m＝2时，h（4）＝++＝，当m＝3时，h（8）＝+++＞+＝+＞1，假设当m＝t，t≥2，总有h（2t）＞．则当m＝t+1，h（2t+1）＝h（2t）+++…+＞+（+）+++…+∵t≥3时，+﹣＝＞0，∴+＞，又++…+＞++…+＝，∴h（2t+1）＞++＝，即当m＝t+1时，命题成立，综上命题对任意的任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞成立．【解析】本题主要考查函数与不等式的证明，求出函数的表达式，利用数学归纳法以及结合组合数公式的性质进行证明是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。

江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学

(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间120分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．T ←1 i ←2While T <10 T ←T ＋i i ←i ＋2 End While Print i(第4题)1. 已知集合A ＝{0，1，2}，集合B ＝{－1，0，2，3}，则A ∩B ＝________． 2. 函数f(x)＝lg （3－x ）的定义域为________．3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是________．4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为________．5. 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．6. 抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 216－y 29＝1渐近线的距离为________．7. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6S 3＝________．8. 已知函数f(x)＝12x －2x ，则满足f(x 2－5x)＋f(6)>0的实数x 的取值范围是________．9. 若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________． 10. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE并延长到点F ，使得DE ＝3EF ，则AF →·BC →的值为________．11. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，且数列{S n ＋n}也为公差为d 的等差数列，则d ＝________．12. 已知x>0，y>0，x ＋y ＝1x ＋4y，则x ＋y 的最小值为________．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －2)2＝2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA ⊥PB ，则实数a 的取值范围为________．14. 设函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)．若不等式xf ′(x )－af (x )≤2对一切x ∈R 恒成立，则b ＋c a的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B .(1) 求cos B 的值；(2) 若|CA →－CB →|＝2，△ABC 的面积为22，求边b .16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥VABCD 中，底面ABCD 是矩形，VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N .(第16题)(1) 求证： BC ⊥平面VCD ； (2) 求证： AD ∥MN.17. (本小题满分14分)某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2 km，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；(2) 当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E 和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图所示．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a (单位：元/km，a为常数)．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．(第17题)18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；(3) 已知直线 AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k′.求证： k·k′为定值．(第18题)19. (本小题满分16分)设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 2a 4＝64.数列{b n }满足对任意的正整数n ，都有a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(1) 分别求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 若不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2·…·⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，求实数λ的取值范围；(3) 已知k ∈N *，对于数列{b n }，若在b k 与b k ＋1之间插入a k 个2，得到一个新数列{c n }．设数列{c n }的前m 项的和为T m ，试问：是否存在正整数m ，使得T m ＝2 019？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a ln x－bx(a，b∈R)．(1) 若a＝1，b＝1，求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2) 若a＝1，求函数y＝f(x)的单调区间；(3) 若b＝1，已知函数y＝f(x)在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x1<x2，不等式a<(1－m)x1＋mx2(m>0)恒成立，求实数m的取值范围．(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．21. (本小题满分10分)求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象在x ＝5π12处的切线方程．22. (本小题满分10分)已知定点A (－2，0)，点B 是圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0上一动点，求AB 中点M 的轨迹方程．(这是边文，请据需要手工删加)江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准 1. {0，2} 2. {x|x ≤2} 3. 15 4. 8 5. 33π 6. 657. 12 8. (2，3) 9. －78 10. 13 11. 12 12.3 13. －2≤a ≤2 14. ⎣⎡⎭⎫－16，＋∞ 15. (1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，(1分)且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B ，得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos B ，(3分)则有3sin A cos B ＝sin (B ＋C)＝sin (π－A)＝sin A ．(5分) 又A ∈(0，π)，则sin A>0，(6分) 则cos B ＝13.(7分)(2) 因为B ∈(0，π)，则sin B>0， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.(9分)因为|CA →－CB →|＝|BA →|＝c ＝2.(10分)又S ＝12ac sin B ＝12a ×2×223＝22，得a ＝3.(12分)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋4－2×3×2×13＝9，则b ＝3.(14分)16. (1) 在四棱锥V ABCD 中，因为VD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以VD ⊥BC.(3分) 因为底面ABCD 是矩形，所以BC ⊥CD.(4分) 又CD ⊂平面VCD ，VD ⊂平面VCD ，CD ∩VD ＝D ，则BC ⊥平面VCD.(7分)(2) 因为底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC.(8分) 又AD ⊄平面VBC ，BC ⊂平面VBC ，则AD ∥平面VBC.(11分)又因为平面ADNM ∩平面VBC ＝MN ， AD ⊂平面ADNM ，则AD ∥MN.(14分) 17. (1) 因为三楼宇间的距离都为2 km ，所以AB ＝AC ＝BC ＝2，(1分)因为楼宇D 对楼宇B ，C 的视角为120°，所以∠BDC ＝120°，(2分)(注：此处不交代说明必须按标准扣分！)在△BDC 中，由BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD·DC·cos ∠BDC ，(3分) 得22＝BD 2＋CD 2－2BD·CD·cos 120° ＝BD 2＋CD 2＋BD·CD ， ≥2BD·CD ＋BD·CD ＝3BD·CD ，则BD·CD ≤43，(4分)当且仅当BD ＝CD 时，此时∠DBC ＝∠DCB ＝30°，BD ＝CD ＝1cos 30°＝233，(5分)(注：此处一定要说明BD ＝CD 能否成立)区域最大面积S ＝S △ABC ＋S △BCD ＝12×2×2×sin 60°＋12BD ×CD ×sin 120°＝433(km 2)．(7分)(另解：因为Rt △ABD ，△ACD 全等，区域最大面积S ＝S △ABD ＋S △ACD ＝2S △ABD ＝2×12AB ×BD ＝433(km 2)) (7分)(2) 设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y 元，在Rt △BDE 中，由(1)知∠BDE ＝θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，(8分) 则DE ＝233cos θ，BE ＝233tan θ，AE ＝AB －BE ＝2－233tan θ，(9分)所以y ＝2a·ED ＋a·AE ＝2a ⎝⎛⎭⎫233cos θ＋a ⎝⎛⎭⎫2－233tan θ＝233a ⎝⎛⎭⎫2－sin θcos θ＋2a ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(10分) 记f(θ)＝2－sin θcos θ，令f′(θ)＝－1＋2sin θcos 2θ＝0，解得θ＝π6∈⎣⎡⎭⎫0，π3.(11分)当θ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，f′(θ)<0，函数f(θ)为减函数；当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π3时，f′(θ)>0，函数f(θ)为增函数．所以当θ＝π6时，f(θ)取最小值，此时y min ＝4a(元)．(12分)答： (1) 四栋楼宇围成的四边形区域ABDC 面积的最大值为433km 2；(2) 铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a 元．(14分)18. (1) 由长轴长2a ＝4，准线间距离2a 2c ＝42，解得a ＝2，c ＝2，(2分)则b 2＝a 2－c 2＝2，即椭圆的方程为x 24＋y 22＝1①.(4分)(2) 当直线l 的斜率不存在，此时EF ＝6，△AEF 的面积S ＝12AD·EF ＝326，不合题意；(5分)当直线l 的斜率存在，设直线l: y ＝(k －1)②，代入①得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0③，因为D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．设E 1(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则有x 1，2＝4k 2±23k 2＋22（1＋2k 2）④，(6分)EF ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2，(7分)点A 到直线l 的距离为d ＝3|k|1＋k 2，(8分)则△AEF 的面积 S ＝12d·EF＝12·3|k|1＋k 2·1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2＝323k 4＋2k 21＋2k 2＝10，(9分)则k ＝±1.综上，直线l 的方程为x －y －1＝0和x ＋y －1＝0.(10分) (3) 设直线AE: y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理可得N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2，所以点Q 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，52y 1x 1＋2＋52y 2x 2＋2，(12分) 直线QD 的斜率为k′＝54⎝⎛⎭⎫y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2，(13分)而y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k （x 1－1）x 1＋2＋k （x 2－1）x 2＋2＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 1x 2＋x 1＋x 2－4x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4，(14分) 由(2)中④得x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，代入上式得，(15分)y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k 2－8＋4k 2－4（1＋2k 2）2k 2－4＋8k 2＋4＋8k 2＝－12k 18k 2＝－23k ，则有k′＝－56k ，所以k·k′＝－56为定值．(16分)19. (1) 设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，因为a 1＝2，a 2a 4＝a 1q·a 1q 3＝64，解得q ＝2，则a n ＝2n .(1分)当n ＝1时，a 1b 1＝2，则b 1＝1.(2分) 当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2①， a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·2n ＋2②，由①－②得a n b n ＝n·2n ，则b n ＝n. 综上，b n ＝n.(4分)(2) 不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2·…·⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，即λ⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎭⎫1－12n <12n ＋1，因为⎝⎛⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎫1－12n >0，当λ≤0时，不等式显然成立．(5分)当λ>0时，则不等式等价于⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1<1，设f(n)＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1，则f （n ＋1）f （n ）＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎭⎫1－12n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＋22n ＋3⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1＝2n ＋12n ＋32n ＋2＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4<1，(7分)所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…， 1λ>f(n)max ＝f(1)＝233，则0<λ<23 3. 综上λ<233.(8分)(注：如果考生直接分离λ<1⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2·…·⎝⎛⎭⎫1－12b n 2b n ＋1，不讨论λ的正负，评分标准为：单调性证明2分，求最值求范围2分)(3) 在数列{c n }中，从b 1至b k (含b k 项)的所有项的和是(1＋2＋3＋…＋k)＋(21＋22＋…＋2k －1)×2＝k （k ＋1）2＋2k ＋1－4，(10分)当k ＝9时，其和是45＋210－4＝1 065<2 019，当k ＝10时，其和是55＋211－4＝2 099>2 019.(12分) 又因为2 019－1 065＝954＝477×2，(14分) 所以当m ＝9＋(2＋22＋…＋28)＋477＝996时， T m ＝2 019.即存在m ＝996，使得T m ＝2 019.(16分) 20. (1) 当a ＝1，b ＝1时，f(x)＝ln x －x ，(1分) 则有f′(x)＝1x －1，即f′(1)＝11－1＝0.(3分)又f(1)＝－1，则所求切线的方程为y ＝－1.(4分) (2) 当a ＝1时，f(x)＝ln x －bx ，则有f′(x)＝1x －b ＝1－bx x ，(5分)函数的定义域为(0，＋∞)．①若b ≤0，则f′(x)>0恒成立，即f(x)的单调增区间为(0，＋∞)；(6分) ②若b>0，则由f′(x)＝0，得x ＝1b.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1b 时，f′(x)>0，f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，1b ，(7分) 当x ∈⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞时，f′(x)<0，f(x)的单调减区间为⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞.(8分) (3) 因为x 1，x 2分别是方程a ln x －x ＝0的两个根，即a ln x 1＝x 1，a ln x 2＝x 2，两式相减得a(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1，则a ＝x 2－x 1ln x 2x 1，(9分)则不等式a<(1－m)x 1＋mx 2(m>0)，可变为x 2－x 1ln x 2x 1<(1－m)x 1＋mx 2，两边同时除以x 1，得x 2x 1－1ln x 2x 1<1－m ＋m x 2x 1.(10分)令t ＝x 2x 1，t>1，则有t －1ln t <1－m ＋mt 在t ∈(1，＋∞)上恒成立．因为1－m ＋mt>0，ln t>0，即ln t －t －11－m ＋mt>0.(11分)令k(t)＝ln t －t －11－m ＋mt，k′(t)＝（t －1）[m 2t －（m －1）2]t （1－m ＋mt ）2＝m 2（t －1）⎣⎡⎦⎤t －（m －1）2m 2t （1－m ＋mt ）2.①当（m －1）2m 2≤1时，即m ≥12时，k′(t)>0在(1，＋∞)上恒成立，则k(x)在(1，＋∞)上单调递增，又k(1)＝0，则k(t)>0在(1，＋∞)上恒成立．(13分) ②当（1－m ）2m 2>1，即0<m<12时，则当t ∈⎝⎛⎭⎫1，（1－m ）2m 2时，k′(t)<0，则k(x)在⎝⎛⎭⎫1，（1－m ）2m 2上单调递减，则k(x)<k(1)＝0，不符合题意．(15分) 综上，m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(16分)江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. y′＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，(4分)则切线在x ＝512π处的斜率k ＝－6sin ⎝⎛⎭⎫56π－π3＝－6， (6分) 当x ＝512π时，y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫56π－π3＝0，(7分) 则切线的方程为y －0＝－6⎝⎛⎭⎫x －512π，即y ＝－6x ＋52π.(10分)22. 方法一：设点M(x ，y)，点B(x 0，y 0)，因为M 为AB 的中点，则x ＝x 0－22，y ＝y 0＋02，(4分)则x 0＝2x ＋2，y 0＝2y.(6分)将点B(x 0，y 0)代入圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0，得(2x －2)2＋4y 2＝4，化简为(x －1)2＋y 2＝1，即点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(10分)方法二：设点M(x ，y)，圆心记为点C(－4，0)，AC 的中点记为M′，则M′(1，0)，(2分)所以MM′为△OMB 的中位线，则MM′＝12BC ＝12r ＝1，动点M 到定点M′的距离为1，M 的轨迹是以M′为圆心，1为半径的圆，(7分) 则点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(10分) 23. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，有AB ⊥AC ，又AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，(第23题)以{AB →，AC →，AA 1→}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系．(1分)因为AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3)．因为D 是BC 的中点，所以D(1，2，0)．(1) DC 1→＝(－1，2，3)，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面A 1B 1D 的一个法向量，因为A 1B 1→＝(2，0，0)，B 1D →＝(－1，2，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n 1＝0，B 1D →·n 1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，－x 1＋2y 1－3z 1＝0，不妨设n 1＝(0，3，2)．(3分)设直线DC 1与平面A 1B 1D 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈DC 1→，n 1〉|＝1213×14＝618291，所以直线DC 1与平面A 1B 1D 所成角的正弦值为618291.(5分)(2) DC 1→＝(－1，2，3)，B 1C 1→＝(－2，4，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面B 1DC 1的一个法向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧DC 1→·n 2＝0，B 1D →·n 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2y 2＋3z 2＝0，－2x 2＋4y 2＝0，不妨设n 2＝(2，1，0)，(7分)同理可求得平面A 1DC 1的一个法向量n 3＝(3，0，1)，则cos 〈n 2，n 3〉＝610×5＝325，(9分)由图可知，二面角B 1DC 1A 1的大小的余弦值为325.(10分)24. (1) A 1＝(x 2＋y 2)cos θ＝(x 2＋y 2)x 2－y 2x 2＋y2＝x 2－y 2，(1分)B 1＝(x 2＋y 2)sin θ＝(x 2＋y 2)2xyx 2＋y 2＝2xy.(2分) (2) ①当n ＝1时，A 1＝x 2－y 2，B 1＝2xy ，因为x ，y 为整数，则A 1，B 1均为整数，则结论成立．(4分) ②假设当n ＝k(k ≥1)时，A k ，B k 均为整数；(5分)则当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝(x 2＋y 2)k ＋1cos (k ＋1)θ ＝(x 2＋y 2)(x 2＋y 2)k (cos kθcos θ－sin kθsin θ) ＝(x 2＋y 2)cos θ·(x 2＋y 2)k cos kθ－(x 2＋y 2)k ·sin kθ·(x 2＋y 2)sin θ＝A 1·A k －B 1·B k ，(9分)所以A k ＋1也为整数，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②得，对一切正整数n ，A n 均为整数．(10分)23. (本小题满分10分)在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1) 求直线DC 1与平面A 1B 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1DC 1A 1的大小的余弦值．(第23题)24. (本小题满分10分)已知x ，y 为整数，且x>y>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，n 为正整数，cos θ＝x 2－y 2x 2＋y 2，sin θ＝2xyx 2＋y2，记A n ＝(x 2＋y 2)n cos nθ，B n ＝(x 2＋y 2)n sin nθ.(1) 试用x ，y 分别表示A 1，B 1；(2) 用数学归纳法证明：对一切正整数n ，A n 均为整数．(这是边文，请据需要手工删加)。

2019届江苏省镇江市高三第一次模拟考试数学参考答案

则所求切线方程为y＝－1.(4分)
(2) 当a＝1时，f(x)＝lnx－bx，
则f′(x)＝－b＝，(5分)
由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，
所以 >f(n)max＝f(1)＝，
则0<λ< ，
综上λ< .(8分)
(3) 在数列{cn}中，从b1至bk(含bk项)的所有项和是：
(1＋2＋3＋…＋k)＋(21＋22＋…＋2k－1)×2＝＋2k＋1－4.(10分)
当k＝9时，其和是45＋210－4＝1 065<2 019，
当k＝10时，其和是55＋211－4＝2099>2019，(12分)
当且仅当BD＝CD时等号成立，
此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝＝ .
区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝ ×2×2×sin60°＋ BD·CD·sin120°＝ (平方千米)．(7分)
(或者：因为直角三角形△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2× AB·BD＝ (平方千米)．(7分))
因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，
所以∠BDC＝120°，(2分)
在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3分)
所以22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，
则BD·CD≤ ，(4分)
则3sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，(5分)
又A∈(0，π)，则sinA>0，(6分)
则cosB＝ .(7分)
(2) 因为B∈(0，π)，则sinB>0，sinB＝＝＝ .(9分)

2019学年江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学试卷【含答案及解析】

2019学年江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知集合，，∁ ________ ．2. 若复数满足（为虚数单位），则 ______________ ．3. 函数的定义域为 ______________ ．4. 下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 ______________ ．5. 某高级中学共有名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取个容量为的样本，其中高一年级抽人，高三年级抽人．则该校高二年级学生人数为_________．6. 已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为____________ ．7. 从集合中任取两个不同的数，则这两个数的和为的倍数的概率为_______ ．8. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为 ______________．9. 设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，则的值为 ______________．10. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 ______________．11. 在△ 中，已知，若点满足，且，则实数的值为 ______________．12. 已知，则 ______________ ．13. 若函数，则函数的零点个数为 ______________ ．14. 若正数满足，则的最小值为 ______________ ．二、解答题15. 在△ 中，分别为角的对边．若，且．（1）求边的长；（2）求角的大小．16. 如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，是棱上一点，且∥平面．（1）求证：是中点；（2）若，求证：．17. 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门（如图）．设计要求彩门的面积为（单位：），高为（单位：）（为常数）．彩门的下底固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为．（ 1 ）请将表示成关于的函数；（ 2 ）问当为何值最小，并求最小值．18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为 .（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线的斜率之和为定值.19. 已知函数（为正实数，且为常数）.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.20. 已知为正整数，数列满足，，设数列满足 .（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列是等差数列，求实数的值；（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.21. 已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成 .（1）求矩阵；（2）求矩阵的另一个特征值.22. 已知圆和圆的极坐标方程分别为 .（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.23. 如图，已知正四棱锥中，，点分别在上，且 .（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求二面角的余弦值.24. 设，为正整数，数列的通项公式，其前项和为 .（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，；（2）求证：对任何正整数， .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

镇江市2019届高三一模数学试卷及答案解析

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镇江市 2019 届高三一模数学试卷及答案解析
1 4 12. 已知 x>0，y>0，x＋y＝＋，则 x＋y 的最小值为________． x y 13. 已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得 PA⊥PB，则实数 a 的取值范围为________． 14. 设函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a， b， c∈R， a≠0)．若不等式 xf′(x)－af(x)≤2 对一切 x∈R 恒成立， b＋c 则的取值范围为________． a 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ccos B＋bcos C＝3acos B. (1) 求 cos B 的值； → → (2) 若|CA－CB|＝2，△ABC 的面积为 2 2，求边 b.
(2) 若不等式λ 范围；
(3) 已知 k∈N*，对于数列{bn}，若在 bk 与 bk＋1 之间插入 ak 个 2，得到一个新数列{cn}．设数列{cn}的前 m 项的和为 Tm，试问：是否存在正整数 m.使得 Tm＝2 019？如果存在，求出 m 的值；如果不存在，请说明理由．
20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)＝aln x－bx(a，b∈R)． (1) 若 a＝1，b＝1，求函数 y＝f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程； (2) 若 a＝1，求函数 y＝f(x)的单调区间； (3) 若 b＝1，已知函数 y＝f(x)在其定义域内有两个不同的零点 x1，x2，且 x1<x2.不等式 a<(1－m)x1 ＋mx2(m>0)恒成立，求实数 m 的取值范围.

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间120分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z 满足(1＋i)z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3∶4∶5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n ＝________．4. 史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出x 的值为________．6. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y ≤0，x ≥0，则z ＝x ＋y 的取值范围是________．7. 在四边形ABCD 中，已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是________．8. 以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________． 9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________．10. 设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3＝7，且a 1－1，a 2－1，a 4－1成等比数列，则a 10＝________．11. 已知θ是第四象限角，则cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________． 12. 已知直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 13. 已知点P 在圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上，A ，B 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝4上两动点，且AB ＝23，则P A →·PB →的最小值是________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .(1) 求角C 的大小；(2) 若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．16. (本小题满分14分)在四棱锥P ABCD 中，锐角三角形P AD 所在平面垂直于平面P AB ，AB ⊥AD ，AB ⊥BC .(1) 求证：BC ∥平面P AD ；(2) 求证：平面P AD ⊥平面ABCD .(第16题)17. (本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x ∈Z ，1≤x ≤9)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x 20，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为⎝⎛⎭⎫3－14x 万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)(1) 至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D . (1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 求△PCD 面积的最大值．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x －a 2x 2－ax(a>0)． (1) 当a ＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2) 若y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值，求证：x 1＋x 22<ln a.20. (本小题满分16分)设等比数列{a n }的公比为q(q>0，q ≠1)，前n 项和为S n ，且2a 1a 3＝a 4，数列{b n }的前n 项和T n 满足2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，b 2＝1.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 是否存在常数t ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列？请说明理由； (3) 设c n ＝1b n ＋4，对于任意给定的正整数k (k ≥2)，是否存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列？若存在，求出l ，m (用k 表示)；若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．说明：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21. (本小题满分10分)选修4-2：矩阵与变换设旋转变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 1 2·A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 4c d ，求ad －bc 的值．22. (本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程自极点O 作射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM·OP ＝12，若Q 为曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)上一点，求PQ 的最小值．23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M(x ，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M 到直线x ＝－1的距离等于1.(1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线y ＝k(x ＋2)与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．24. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝23，1a n －1＝2－a n －1a n －1－1(n ≥2)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2 )设数列{a n }的前n 项和为S n ，用数学归纳法证明：S n <n ＋12－ln .。

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟理科数学(附答案)

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟理科数学（附答案）注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间120分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z 满足(1＋i)z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3∶4∶5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n ＝________．错误!4. 史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出x 的值为________．6. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y ≤0，x ≥0，则z ＝x ＋y 的取值范围是________．7. 在四边形ABCD 中，已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是________．8. 以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________． 10. 设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3＝7，且a 1－1，a 2－1，a 4－1成等比数列，则a 10＝________．11. 已知θ是第四象限角，则cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________．12. 已知直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 13. 已知点P 在圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上，A ，B 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝4上两动点，且AB ＝23，则P A →·PB →的最小值是________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m＝(a，sin C－sin B)，n＝(b＋c，sin A＋sin B)，且m∥n.(1) 求角C的大小；(2) 若c＝3，求△ABC周长的取值范围．16. (本小题满分14分)在四棱锥P ABCD中，锐角三角形P AD所在平面垂直于平面P AB，AB⊥AD，AB⊥BC.(1) 求证：BC∥平面P AD；(2) 求证：平面P AD⊥平面ABCD.(第16题)17. (本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x ∈Z ，1≤x ≤9)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为⎝⎛⎭⎫3－14x 万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)(1) 至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，P A交y轴于点C，PB交x轴于点D.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 求△PCD面积的最大值．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x －a2x 2－ax(a>0)．(1) 当a ＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2) 若y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值，求证：x 1＋x 22<ln a.20. (本小题满分16分)设等比数列{a n }的公比为q(q>0，q ≠1)，前n 项和为S n ，且2a 1a 3＝a 4，数列{b n }的前n 项和T n 满足2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，b 2＝1.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 是否存在常数t ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列？请说明理由；(3) 设c n ＝1b n ＋4，对于任意给定的正整数k (k ≥2)，是否存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列？若存在，求出l ，m (用k 表示)；若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．说明：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. (本小题满分10分)选修4-2：矩阵与变换设旋转变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab 1 2·A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34c d ，求ad －bc 的值．22. (本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程自极点O 作射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM·OP ＝12，若Q 为曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)上一点，求PQ 的最小值．23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M(x ，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M 到直线x ＝－1的距离等于1.(1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线y ＝k(x ＋2)与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．24. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝23，1a n －1＝2－a n －1a n －1－1(n ≥2)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2 )设数列{a n }的前n 项和为S n ，用数学归纳法证明：S n <n ＋12－ln .江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. {x|0<x<1}2. －13. 364. 13 5. 256. [0，3]7. 梯形8. y 2＝12x9. 3π 10. 21 11. 5214 12. －2 13. 19－122 14. 13215. (1) 由m ∥n 及m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0，(2分) 由正弦定理，得a ⎝⎛⎭⎫a 2R ＋b 2R －(b ＋c )⎝⎛⎭⎫c 2R －b2R ＝0，所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以ab ＝－2ab cos C ，(5分) 因为ab >0，所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(7分) (2) 在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以a 2＋b 2－2ab cos 2π3＝9，即(a ＋b )2－ab ＝9，(9分)所以ab ＝(a ＋b )2－9≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，所以3（a ＋b ）24≤9，即(a ＋b )2≤12，所以a ＋b ≤23，(12分)又因为a ＋b >c ，所以6<a ＋b ＋c ≤23＋3，即周长l 满足6<l ≤3＋23，所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋23]．(14分) 16. (1) 因为AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，且A ，B ，C ，D 共面，所以AD ∥BC.(3分)(第16题)因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.(5分)(2) 如图，过点D 作DH ⊥PA 于点H ，因为△PAD 是锐角三角形，所以H 与A 不重合．(7分)因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ∩平面PAB ＝PA ，DH ⊂平面PAD ，所以DH ⊥平面PAD.(9分)因为AB ⊂平面PAB ，所以DH ⊥AB.(11分)因为AB ⊥AD ，AD ∩DH ＝D ，AD ，DH ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD.因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD.(14分) 17. (1) 由题意得1×⎝⎛⎭⎫1＋x203≥1.6，因为5x<100－5x ，所以x<10且x ∈Z .(2分) 因为y ＝⎝⎛⎭⎫1＋x203在x ∈[1，9]上单调递增，由数据知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6，所以x20≥0.2，得x ≥4.(5分)又x ＜10且x ∈Z ，故x ＝4，5，6，7，8，9. 答：至少抽取20户从事包装、销售工作．(7分)(2) 假设该村户均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式1100[5x ⎝⎛⎭⎫3－14x ＋⎝⎛⎭⎫1＋x 20(100－5x )]≥1.35有正整数解，(8分)化简整理得3x 2－30x ＋70≤0，(10分) 所以－153≤x －5≤153.(11分) 因为3<15<4，且x ∈Z ，所以－1≤x －5≤1，即4≤x ≤6. (13分)答：至2018年底，该村户均纯收入能达到1万3千5百元，此时从事包装、销售的农户数为20户，25户，30户．(14分)18. (1) 由题意得⎩⎨⎧3a 2＋14b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，b 2＝1，(4分) 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(5分) (2) 由题意设l AP ：y ＝k(x ＋2)，－12<k<0，所以C(0，2k)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2，由x A ＝－2得x P ＝2－8k 21＋4k 2，故y P ＝k(x P ＋2)＝4k 1＋4k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，(8分) 设D(x 0，0)，因为B(0，1)，P ，B ，D 三点共线，所以k BD ＝k PB ，故1－x 0＝4k 1＋4k 2－12－8k 21＋4k 2，解得x D ＝2（1＋2k ）1－2k，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（1＋2k ）1－2k ，0，(10分) 所以S △PCD ＝S △PAD －S △CAD ＝12×AD ×|y P －y C |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（1＋2k ）1－2k ＋2⎪⎪⎪⎪4k 1＋4k2－2k ＝4|k （1＋2k ）|1＋4k 2，(12分) 因为－12<k<0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2×1－2k 1＋4k 2，令t ＝1－2k ，1<t<2，所以2k ＝1－t ，所以g(t)＝－2＋2t 1＋（1－t ）2＝－2＋2t t 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t －2≤－2＋222－2＝2－1，(14分)当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.(16分) 19. (1) 由f(x)＝e x －12x 2－x ，则f′(x)＝e x －x －1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e x －1，(3分)当x>0时，g′(x)>0，则f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(5分)进而f(x)>f(0)＝1>0，即对任意x>0，都有f(x)>0.(6分)(2) f′(x)＝e x －ax －a ，因为x 1，x 2为f(x)的两个极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝0，f′（x 2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧e x 1－ax 1－a ＝0，e x 2－ax 2－a ＝0. 两式相减，得a ＝e x 1－e x 2x 1－x 2，(8分) 则所证不等式等价于x 1＋x 22<ln e x 1－e x 2x 1－x 2，即e x 1＋x 22<e x 1－e x 2x 1－x 2，(10分) 不妨设x 1>x 2，两边同时除以e x 2可得：ex 1－x 22<e x 1－x 2－1x 1－x 2，(12分) 令t ＝x 1－x 2，t>0，所证不等式只需证明：e t 2<e t －1t ⇔t e t 2－e t ＋1<0.(14分) 设φ(t)＝t e t 2－e t ＋1，则φ′(t)＝－e t 2·⎣⎡⎦⎤e t 2－⎝⎛⎭⎫t 2＋1，因为e x ≥x ＋1，令x ＝t 2，可得e t 2－⎝⎛⎭⎫t 2＋1≥0，所以φ′(t)≤0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递减，φ(t)<φ(0)＝0，所以x 1＋x 22<ln a ．(16分) 20. (1) 因为2a 1a 3＝a 4，所以2a 1·a 1q 2＝a 1q 3，所以a 1＝q 2，所以a n ＝q 2q n －1＝12q n .(2分) 因为2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，①所以2T n ＋1＝(n ＋1)(b n ＋1－1)，n ∈N ，②②－①，得2T n ＋1－2T n ＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，n ∈N *，所以2b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，所以(n －1)b n ＋1＝nb n ＋1，n ∈N *，③(4分)所以nb n ＋2＝(n ＋1)b n ＋1＋1，n ∈N ，④④－③得nb n ＋2－(n －1)b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n ，n ∈N *，所以nb n ＋2＋nb n ＝2nb n ＋1，n ∈N *，所以b n ＋2＋b n ＝2b n ＋1，所以b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ，所以{b n }为等差数列．因为n ＝1时b 1＝－1，又b 2＝1，所以公差为2，所以b n ＝2n －3.(6分)(2) 由(1)得S n ＝q 2（1－q n ）1－q ，所以S n ＋12t ＝q 2（1－q n ）1－q ＋12t ＝q n ＋t 2（q －1）＋q 2（1－q ）＋12t ，要使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列，则通项必须满足指数型函数，即q 2（1－q ）＋12t＝0，解得t ＝q －1q.(9分) 此时S n ＋1＋12t S n ＋12t ＝q n ＋22（q －1）q n ＋12（q －1）＝q ，所以存在t ＝q －1q ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列．(10分) (3) c n ＝1b n ＋4＝12n ＋1，设对于任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ，m (k <l <m )，使得c k ，c l ，c m 成等差数列，所以2c l ＝c k ＋c m ，所以22l ＋1＝12k ＋1＋12m ＋1. 所以12m ＋1＝22l ＋1－12k ＋1＝4k －2l ＋1（2l ＋1）（2k ＋1）. 所以m ＝2kl －k ＋2l 4k －2l ＋1＝（－4k ＋2l －1）（k ＋1）＋（2k ＋1）24k －2l ＋1＝－k －1＋（2k ＋1）24k －2l ＋1. 所以m ＋k ＋1＝（2k ＋1）24k －2l ＋1. 因为给定正整数k (k ≥2)，所以4k －2l ＋1能整除(2k ＋1)2且4k －2l ＋1>0，所以4k －2l ＋1＝1或2k ＋1或(2k ＋1)2.(14分)若4k －2l ＋1＝1，则l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，此时m －l ＝4k 2＋k >0，满足(k <l <m )；若4k －2l ＋1＝2k ＋1，则k ＝l ，矛盾(舍去)；若4k －2l ＋1＝(2k ＋1)2，则l ＝2k 2，此时m ＋k ＝0(舍去)．综上，任意给定的正整数k (k ≥2)，存在正整数l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，使得c k ，c l ，c m 成等差数列．(16分)江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34c d ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，－a ＝4，2＝c ，－1＝d ，(6分) 即a ＝－4，b ＝3，c ＝2，d ＝－1，(8分)所以ad －bc ＝(－4)×(－1)－2×3＝－2.(10分)22. 以极点O 为直角坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)，因为OM·OP ＝12，所以ρρ′＝12.因为ρ′cos θ＝3，所以12ρcos θ＝3，即ρ＝4cos θ， (3分)化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.(5分)由⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)得普通方程为x －y ＋3＝0，(7分) 所以PQ 的最小值为圆上的点到直线距离的最小值，即PQ min ＝d －r ＝|2－0＋3|2－2＝522－2.(10分) 23. (1) 由题意得（x －2）2＋y 2－|x ＋1|＝1，(2分)即（x －2）2＋y 2＝|x ＋1|＋1.因为x>0，所以x ＋1>0，所以（x －2）2＋y 2＝x ＋2，两边平方，整理得曲线C 的方程为y 2＝8x.(4分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋2，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.(6分)由k FA ＋k FB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝k （x 1＋2）x 1－2＋k （x 2＋2）x 2－2 ＝k （x 1＋2）（x 2－2）＋k （x 1－2）（x 2＋2）（x 1－2）（x 2－2）＝2k （x 1x 2－4）（x 1－2）（x 2－2）.(8分) 将x 1x 2＝4代入，得k FA ＋k FB ＝0，所以直线FA 和直线FB 的倾斜角互补．(10分)24. (1) 因为n ≥2，由1a n －1＝2－a n －1a n －1－1，得1a n －1＝1－a n －1a n －1－1＋1a n －1－1，所以1a n －1－1a n －1－1＝－1，(1分) 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－3，公差为－1的等差数列，且1a n －1＝－n －2，所以a n ＝n ＋1n ＋2.(3分) (2) 下面用数学归纳法证明：S n <n －ln ⎣⎡⎦⎤n ＋32＋12. ①当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1＝23，右边＝32－ln 2，因为e 3>16⇔3ln e >4ln 2⇔ln 2<34， 32－ln 2>32－34＝34>23，所以命题成立；(5分)②假设当n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时成立，即S k <k －ln k ＋32＋12，则当n ＝k ＋1，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1<k －ln k ＋32＋12＋k ＋2k ＋3，要证S k ＋1<(k ＋1)－ln （k ＋1）＋32＋12，只要证k －ln k ＋32＋12＋k ＋2k ＋3<(k ＋1)－ln （k ＋1）＋32＋12，只要证ln k ＋4k ＋3<1k ＋3，即证ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋3<1k ＋3.(8分) 考查函数F (x )＝ln(1＋x )－x (x >0)，因为x >0，所以F ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x<0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以F (x )<F (0)＝0，即ln(1＋x )<x ，所以ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋3<1k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，S n <n －ln n ＋32＋12.(10分)。

江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学答案

(这是边文，请据需要手工删加)江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准 1. {0，2} 2. {x|x ≤2} 3. 15 4. 8 5. 33π 6. 657. 12 8. (2，3) 9. －78 10. 13 11. 12 12.3 13. －2≤a ≤2 14. ⎣⎡⎭⎫－16，＋∞ 15. (1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，(1分)且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B ，得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos B ，(3分)则有3sin A cos B ＝sin (B ＋C)＝sin (π－A)＝sin A ．(5分) 又A ∈(0，π)，则sin A>0，(6分) 则cos B ＝13.(7分)(2) 因为B ∈(0，π)，则sin B>0， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.(9分)因为|CA →－CB →|＝|BA →|＝c ＝2.(10分)又S ＝12ac sin B ＝12a ×2×223＝22，得a ＝3.(12分)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋4－2×3×2×13＝9，则b ＝3.(14分)16. (1) 在四棱锥V ABCD 中，因为VD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以VD ⊥BC.(3分) 因为底面ABCD 是矩形，所以BC ⊥CD.(4分) 又CD ⊂平面VCD ，VD ⊂平面VCD ，CD ∩VD ＝D ，则BC ⊥平面VCD.(7分)(2) 因为底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC.(8分) 又AD ⊄平面VBC ，BC ⊂平面VBC ，则AD ∥平面VBC.(11分)又因为平面ADNM ∩平面VBC ＝MN ， AD ⊂平面ADNM ，则AD ∥MN.(14分) 17. (1) 因为三楼宇间的距离都为2 km ，所以AB ＝AC ＝BC ＝2，(1分)因为楼宇D 对楼宇B ，C 的视角为120°，所以∠BDC ＝120°，(2分)(注：此处不交代说明必须按标准扣分！)在△BDC 中，由BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD·DC·cos ∠BDC ，(3分) 得22＝BD 2＋CD 2－2BD·CD·cos 120° ＝BD 2＋CD 2＋BD·CD ， ≥2BD·CD ＋BD·CD ＝3BD·CD ，则BD·CD ≤43，(4分)当且仅当BD ＝CD 时，此时∠DBC ＝∠DCB ＝30°，BD ＝CD ＝1cos 30°＝233，(5分)(注：此处一定要说明BD ＝CD 能否成立)区域最大面积S ＝S △ABC ＋S △BCD ＝12×2×2×sin 60°＋12BD ×CD ×sin 120°＝433(km 2)．(7分)(另解：因为Rt △ABD ，△ACD 全等，区域最大面积S ＝S △ABD ＋S △ACD ＝2S △ABD ＝2×12AB ×BD ＝433(km 2)) (7分)(2) 设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y 元，在Rt △BDE 中，由(1)知∠BDE ＝θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，(8分) 则DE ＝233cos θ，BE ＝233tan θ，AE ＝AB －BE ＝2－233tan θ，(9分)所以y ＝2a·ED ＋a·AE ＝2a ⎝⎛⎭⎫233cos θ＋a ⎝⎛⎭⎫2－233tan θ＝233a ⎝⎛⎭⎫2－sin θcos θ＋2a ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(10分) 记f(θ)＝2－sin θcos θ，令f′(θ)＝－1＋2sin θcos 2θ＝0，解得θ＝π6∈⎣⎡⎭⎫0，π3.(11分)当θ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，f′(θ)<0，函数f(θ)为减函数；当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π3时，f′(θ)>0，函数f(θ)为增函数．所以当θ＝π6时，f(θ)取最小值，此时y min ＝4a(元)．(12分)答： (1) 四栋楼宇围成的四边形区域ABDC 面积的最大值为433km 2；(2) 铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a 元．(14分)18. (1) 由长轴长2a ＝4，准线间距离2a 2c ＝42，解得a ＝2，c ＝2，(2分)则b 2＝a 2－c 2＝2，即椭圆的方程为x 24＋y 22＝1①.(4分)(2) 当直线l 的斜率不存在，此时EF ＝6，△AEF 的面积S ＝12AD·EF ＝326，不合题意；(5分)当直线l 的斜率存在，设直线l: y ＝(k －1)②，代入①得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0③，因为D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．设E 1(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则有x 1，2＝4k 2±23k 2＋22（1＋2k 2）④，(6分)EF ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2，(7分)点A 到直线l 的距离为d ＝3|k|1＋k 2，(8分)则△AEF 的面积 S ＝12d·EF＝12·3|k|1＋k 2·1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2＝323k 4＋2k 21＋2k 2＝10，(9分)则k ＝±1.综上，直线l 的方程为x －y －1＝0和x ＋y －1＝0.(10分) (3) 设直线AE: y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理可得N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2，所以点Q 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，52y 1x 1＋2＋52y 2x 2＋2，(12分) 直线QD 的斜率为k′＝54⎝⎛⎭⎫y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2，(13分)而y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k （x 1－1）x 1＋2＋k （x 2－1）x 2＋2＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 1x 2＋x 1＋x 2－4x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4，(14分) 由(2)中④得x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，代入上式得，(15分)y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k 2－8＋4k 2－4（1＋2k 2）2k 2－4＋8k 2＋4＋8k 2＝－12k 18k 2＝－23k ，则有k′＝－56k ，所以k·k′＝－56为定值．(16分)19. (1) 设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，因为a 1＝2，a 2a 4＝a 1q·a 1q 3＝64，解得q ＝2，则a n ＝2n .(1分)当n ＝1时，a 1b 1＝2，则b 1＝1.(2分) 当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2①， a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·2n ＋2②，由①－②得a n b n ＝n·2n ，则b n ＝n. 综上，b n ＝n.(4分)(2) 不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2·…·⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，即λ⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎭⎫1－12n <12n ＋1，因为⎝⎛⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎫1－12n >0，当λ≤0时，不等式显然成立．(5分)当λ>0时，则不等式等价于⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1<1，设f(n)＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1，则f （n ＋1）f （n ）＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎭⎫1－12n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＋22n ＋3⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14·…·⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1＝2n ＋12n ＋32n ＋2＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4<1，(7分)所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…， 1λ>f(n)max ＝f(1)＝233，则0<λ<23 3. 综上λ<233.(8分)(注：如果考生直接分离λ<1⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2·…·⎝⎛⎭⎫1－12b n 2b n ＋1，不讨论λ的正负，评分标准为：单调性证明2分，求最值求范围2分)(3) 在数列{c n }中，从b 1至b k (含b k 项)的所有项的和是(1＋2＋3＋…＋k)＋(21＋22＋…＋2k －1)×2＝k （k ＋1）2＋2k ＋1－4，(10分)当k ＝9时，其和是45＋210－4＝1 065<2 019，当k ＝10时，其和是55＋211－4＝2 099>2 019.(12分) 又因为2 019－1 065＝954＝477×2，(14分) 所以当m ＝9＋(2＋22＋…＋28)＋477＝996时， T m ＝2 019.即存在m ＝996，使得T m ＝2 019.(16分) 20. (1) 当a ＝1，b ＝1时，f(x)＝ln x －x ，(1分) 则有f′(x)＝1x －1，即f′(1)＝11－1＝0.(3分)又f(1)＝－1，则所求切线的方程为y ＝－1.(4分) (2) 当a ＝1时，f(x)＝ln x －bx ，则有f′(x)＝1x －b ＝1－bx x ，(5分)函数的定义域为(0，＋∞)．①若b ≤0，则f′(x)>0恒成立，即f(x)的单调增区间为(0，＋∞)；(6分) ②若b>0，则由f′(x)＝0，得x ＝1b.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1b 时，f′(x)>0，f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，1b ，(7分) 当x ∈⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞时，f′(x)<0，f(x)的单调减区间为⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞.(8分) (3) 因为x 1，x 2分别是方程a ln x －x ＝0的两个根，即a ln x 1＝x 1，a ln x 2＝x 2，两式相减得a(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1，则a ＝x 2－x 1ln x 2x 1，(9分)则不等式a<(1－m)x 1＋mx 2(m>0)，可变为x 2－x 1ln x 2x 1<(1－m)x 1＋mx 2，两边同时除以x 1，得x 2x 1－1ln x 2x 1<1－m ＋m x 2x 1.(10分)令t ＝x 2x 1，t>1，则有t －1ln t <1－m ＋mt 在t ∈(1，＋∞)上恒成立．因为1－m ＋mt>0，ln t>0，即ln t －t －11－m ＋mt>0.(11分)令k(t)＝ln t －t －11－m ＋mt，k′(t)＝（t －1）[m 2t －（m －1）2]t （1－m ＋mt ）2＝m 2（t －1）⎣⎡⎦⎤t －（m －1）2m 2t （1－m ＋mt ）2.①当（m －1）2m 2≤1时，即m ≥12时，k′(t)>0在(1，＋∞)上恒成立，则k(x)在(1，＋∞)上单调递增，又k(1)＝0，则k(t)>0在(1，＋∞)上恒成立．(13分) ②当（1－m ）2m 2>1，即0<m<12时，则当t ∈⎝⎛⎭⎫1，（1－m ）2m 2时，k′(t)<0，则k(x)在⎝⎛⎭⎫1，（1－m ）2m 2上单调递减，则k(x)<k(1)＝0，不符合题意．(15分) 综上，m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(16分)江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. y′＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，(4分)则切线在x ＝512π处的斜率k ＝－6sin ⎝⎛⎭⎫56π－π3＝－6， (6分) 当x ＝512π时，y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫56π－π3＝0，(7分) 则切线的方程为y －0＝－6⎝⎛⎭⎫x －512π，即y ＝－6x ＋52π.(10分)22. 方法一：设点M(x ，y)，点B(x 0，y 0)，因为M 为AB 的中点，则x ＝x 0－22，y ＝y 0＋02，(4分)则x 0＝2x ＋2，y 0＝2y.(6分)将点B(x 0，y 0)代入圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0，得(2x －2)2＋4y 2＝4，化简为(x －1)2＋y 2＝1，即点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(10分)方法二：设点M(x ，y)，圆心记为点C(－4，0)，AC 的中点记为M′，则M′(1，0)，(2分)所以MM′为△OMB 的中位线，则MM′＝12BC ＝12r ＝1，动点M 到定点M′的距离为1，M 的轨迹是以M′为圆心，1为半径的圆，(7分) 则点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(10分) 23. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，有AB ⊥AC ，又AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，(第23题)以{AB →，AC →，AA 1→}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系．(1分)因为AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3)．因为D 是BC 的中点，所以D(1，2，0)．(1) DC 1→＝(－1，2，3)，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面A 1B 1D 的一个法向量，因为A 1B 1→＝(2，0，0)，B 1D →＝(－1，2，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n 1＝0，B 1D →·n 1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，－x 1＋2y 1－3z 1＝0，不妨设n 1＝(0，3，2)．(3分)设直线DC 1与平面A 1B 1D 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈DC 1→，n 1〉|＝1213×14＝618291，所以直线DC 1与平面A 1B 1D 所成角的正弦值为618291.(5分)(2) DC 1→＝(－1，2，3)，B 1C 1→＝(－2，4，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面B 1DC 1的一个法向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧DC 1→·n 2＝0，B 1D →·n 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2y 2＋3z 2＝0，－2x 2＋4y 2＝0，不妨设n 2＝(2，1，0)，(7分)同理可求得平面A 1DC 1的一个法向量n 3＝(3，0，1)，则cos 〈n 2，n 3〉＝610×5＝325，(9分)由图可知，二面角B 1DC 1A 1的大小的余弦值为325.(10分)24. (1) A 1＝(x 2＋y 2)cos θ＝(x 2＋y 2)x 2－y 2x 2＋y2＝x 2－y 2，(1分)B 1＝(x 2＋y 2)sin θ＝(x 2＋y 2)2xyx 2＋y 2＝2xy.(2分) (2) ①当n ＝1时，A 1＝x 2－y 2，B 1＝2xy ，因为x ，y 为整数，则A 1，B 1均为整数，则结论成立．(4分) ②假设当n ＝k(k ≥1)时，A k ，B k 均为整数；(5分)则当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝(x 2＋y 2)k ＋1cos (k ＋1)θ ＝(x 2＋y 2)(x 2＋y 2)k (cos kθcos θ－sin kθsin θ) ＝(x 2＋y 2)cos θ·(x 2＋y 2)k cos kθ－(x 2＋y 2)k ·sin kθ·(x 2＋y 2)sin θ＝A 1·A k －B 1·B k ，(9分)所以A k ＋1也为整数，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②得，对一切正整数n ，A n 均为整数．(10分)。

无锡市2019届高三一模数学答案

所以f′（x1）＝0，即ex1－ax1－a＝0， f′（x2）＝0， ex2－ax2－a＝0.
两式相减，得 a＝exx11－－exx22，(8 分)
则所证不等式等价于x1＋2 x2<lnexx11－－exx2 2，即
x1
e
＋x2 2
<ex1 x1
－ex2 －x2
，(10
分)
不妨设
x1>x2，两边同时除以
所以－ 315≤x－5≤ 315.(11 分) 因为 3< 15<4，且 x∈Z，所以－1≤x－5≤1，即 4≤x≤6. (13 分) 答：至 2018 年底，该村户均纯收入能达到 1 万 3 千 5 百元，此时从事包装、销售的农户数为 20 户，25 户，30 户．(14 分)
a32＋41b2＝1， 18. (1) 由题意得 c＝ 3，得 a2＝4，b2＝1，(4 分)
ex2
x1
可得：e
－x2 2
<ex1x－1－x2x－2 1，(12
分)
令 t＝x1－x2，t>0，所证不等式只需证明：
即(a＋b)2≤12，所以 a＋b≤2 3，(12 分) 又因为 a＋b>c，所以 6<a＋b＋c≤2 3＋3，即周长 l 满足 6<l≤3＋2 3，所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋2 3]．(14 分) 16. (1) 因为 AB⊥AD，AB⊥BC，且 A，B，C，D 共面，所以 AD∥BC.(3 分)
a 2 a2＝b2＋c2，故椭圆 C 的标准方程为x42＋y2＝1.(5 分)
(2) 由题意设 lAP：y＝k(x＋2)，－12<k<0，所以 C(0，2k)，
y＝k（x＋2），