伪-E-凸函数与伪-半-E-凸函数的2个新性质

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凸函数与严格凸函数的几个新判别准则

第35卷第1期2018年 2月贵州大学学报（自然科学版）J o u r n a l o f G u iz h o u U n iv e r s ity!N a t u r a l S c ie n c e s)Vol.35 No.1Feb.2018文早编号1000-5269 ( 2018 # 01-0015-06 D O I ：10.15958/ki.gdxbzrl〇.2018.01.04凸函数与严格凸函数的几个新判别准则杨丹，旷华(贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳550025)摘要:在较弱条件下，建立了凸函数与严格凸函数的几个新判别准则，所获结果比一些相应已知结果更具一般性。

关键词：A函数;严格A函数;判别准则中图分类号:〇175 文献标识码：A凸函数或者广义凸函数的判别准则是凸分析及其应用中的一个重要研究内容，这个研究内容可简述为$在一定条件下，如何判断一个函数是凸函数或特定类型的广义凸函数？一般地，设N是拓扑线性空间，=4N是一个非空凸子集，以下函数类定义见[1-7]。

定义1如果V7V" =，#"" [0，1]，都有 /(入7 + (1 - A)y)&A/(7)+ (1 - A)/(y)，贝I J称 /(7为=上的凸函数。

定义 2 如果 V7V" =，7$V，V A" (〇，1)，都有/(A7 + (1 - A)V)< A/(7)+ (1 - A)/(V)，则称/(7为=上的严格凸函数。

定义 3 如果 V7V " =，/(7$/(V)，V A" (0，1)，都有/(A7 + (1 - A)V)< A/(7+ (1 - A)/(V)，则称/(7为=上的半严格凸函数。

定义4 如果V7V" =，VA" (0，1)，都有 /(A7 + (1 - A)v)&m ax j/(7)，/(v) +，则称/(7)为=上的拟凸函数。

凸函数的性质及其应用论文

凸函数性质及其应用摘要本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词凸函数的积分性质;凸函数的不等式Abstract In this article ，first we list several kind of definitions for convex functions ，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.1 凸函数的定义及其相互关系定义1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,(0,1)x x I λ∀∈∀∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“≤”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,x x I ∀∈有1212()().22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当：1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......().n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤⎪⎝⎭定义 4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下,则成()f x 为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线()f x 为严格凸的.引理1 定义2与定义3等价.引理2 若()f x 连续,则定义1，2，3等价.2 凸函数的性质定理 1 设()f x 在区间I 上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意, 123,,,x x x I ∈123x x x << 保持成立）：（i ）()f x 在I 上为凸函数（1）（ii ）2121()()f x f x x x --≤3131()()f x f x x x -- （2）(iii)31323132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- （3） (iv)2121()()f x f x x x --≤3232()()f x f x x x -- （4）推论1若()f x 在区间I 上为凸函数，则I 上任意三点123x x x <<，有2121()()f x f x x x -≤-3131()()f x f x x x -≤-3232()()f x f x x x --. 推论2 若()f x 在区间I 上的凸函数，则0,x I ∀∈过0x 的弦的斜率()k x = 00()()f x f x x x --是x 的增函数（若f 为严格凸的,则()k x 严格增）.推论3 若()f x 是区间I 上的凸函数，则I 上任意四点s<t<u<v 有()()f t f s t s --()()f v f u v u-≤-.推论4 若()f x 是区间I 上的凸函数，则对I 上的任一内点x,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在，皆为增函数，且()()f x f x -+''≤ 0()x I ∀∈这里0I 表示I 的全体内点组成之集合.（若f 为严格凸的，则'f +与'f -为严格递增的）.证明因x 为内点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,从而（利用推论2）,1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--.再由推论2所述,当1x 递增时,11()()f x f x x x --也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且'f -(x)= 101212()()()()limx x f x f x f x f x x x x x-→--≤--.同理,在此式中，令2x x →时,可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知'f +与'f -皆为增函数.推论5 若()f x 在区间I 上为凸的，则f 在任一内点x ∈0I 上连续. 事实上由推论4知f +'与f -'存在，所以f 在x 处左右都连续.定理2 设函数()f x 在区间I 上有定义，则()f x 为凸函数的充要条件是：00,x I ∈α∃，使得x I ∀∈,有()f x 00()()x x f x α≥-+.证明（必要性）因()f x 为凸函数，由上面的推论4知， 0'00,()x I f x -∀∈存在且'000()()()f x f x f x x x --→-. 由此任取一'0(),f x α-≥则0x x <时有00()()()f x x x f x α≥-+.因''00()f x f x -+≤(),所以对任一α:''00()(),f x f x x I α-+≤≤∀∈恒有()f x 00()()x x f x α≥-+.(充分性)设123x x x <<是区间I上的任意三点，由已知条件222,,()()()x f x x x f x αα∀∃≥-+()x I ∀∈,由此令1x x =和3x x =，可以得到32123212()()()()f x f x f x f x x x x x α--≥≥--,由定理1可知()f x 为凸的. 定理3 设()f x 在区间I 上有导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是()()f x I '∈x 递增.证明（充分性）12,x x I ∀∈,不妨设12x x <及λ∈（0,1）,记12(1)x x x λλ≡+-，则1212()[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ≡+-≤+-,或12()()(1)()0f x f x f x λλ---≤ (1)由于()()(1)()f x f x f x λλ=+- (1)式等价于12[()()](1)[()()]0f x f x f x f x λλ-+--≤ (2)应用Largrange 定理，12,:,x x εηεη∃<<<使得''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()f x f x f x f x f x x f x x λλλελη-+--=-+--，但112121[(1)](1)()x x x x x x x λλλ-=+--=--,212212[(1)]()x x x x x x x λλλ-=+--=-.故（2）式左端=12[()()](1)[()()]f x f x f x f x λλ-+--''221()(1)()(1)()()f x x f x x λελληλ=--+-- 21(1)()[()()]x x f f λλεη''=---按已知条件()()f x I '∈x 递增，得知()()f f εη''≤,从而上式≤0,(2)式获证.（必要性）由定理1的推论4,()f x +'在0I 内为递增的，因()f x '存在，故()()f x f x +''=亦在0I 内为递增的，若I 有右端点b,按照已知条件f 在b 点有左导数，0x I ∀∈易知: ''''()()()()()()f x f b f x f x f b f b x b+--=≤≤=-同理，若I 有左端点a,则()(),f a f x ''≤即()f x '在I 上为递增的.推论若()f x 在区间I 上有二阶导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是：()0f x ''≥ 定理4 （Jensen 不等式）若()f x 为[a,b]上的凸函数，则[,]i x a b ∀∈ ,0(1,2,...,),i i n λ>=11,nii λ==∑，有11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑.证明应用数学归纳法.当n=2时，由定义1命题显然成立.设n=k 时命题成立,即对任何 12,,...,[,]k x x x a b ∈与10,1,2,...,,1ni ii i k αα=>==∑都有11()()k ki i i i i i f x f x αα==≤∑∑现设121,,...,,[,]k k x x x x a b +∈及0i λ>（i=1,2,…k+1）,111k ii λ+==∑.令1,1ii k λαλ+=-i=1,2,…,k,则11ki i α==∑.由数学归纳法假设可推得1111111()[(1)]1ki ik i i i k k k i k xf x f x λλλλλ+=+++=+=-+-∑∑1111(1)()kk i i k k i x f x λαλ+++=≤-+∑1111(1)()()kk i i k k i f x f x λαλ+++=≤-+∑=11111(1)()()1kik i k k i k f x f x λλλλ+++=+-+-∑=11()k iii f x λ+=∑即对任何正整数n(n 2)≥,上述不等式成立.推论设()f x 在区间I 上是凸函数,则对于任意的12,,...,m x x x I ∈和120m βββ>，，...,都有1122111212...()...()()......m m m m m mx x x f x f x f βββββββββββ+++++≤++++++. 3 凸函数的应用3.1在微分学中的应用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和Lipschitz 性质.例1 设函数()f x 在区间I 上为凸函数，试证：()f x 在I 上的任一闭子区间上有界. 证明设[,]a b I ⊂为任一闭子区间:①（证明()f x 在[,]a b 上有上界）[,],x a b ∀∈取[0,1],x ab aλ-=∈-(1)x b a λλ=+-. 因()f x 为凸函数,所以()[(1)]()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+-≤+-≤+-=其中max{(),()}M f a f b =. 故在[,]a b 上有上界M ；②（证明()f x 在[,]a b 上有下界）记2a bc +=为,a b 的中点，则[,]x a b ∀∈，有关于c 的对称点x '，因()f x 为凸函数，所以()()11()()222f x f x f c f x M '+≤≤+ , 从而 ()2()f x f c M m ≥-≡ ，即m 为()f x 在[,]a b 上的下界.例2 设()f x 为区间(a,b)内的凸函数，试证：()f x 在I 上的任一内闭区间[,][,]a b αβ⊂上满足Lipschitz 条件.证明要证明()f x 在区间[,]αβ上满足Lipschitz 条件，即要证明：0,L ∃>使得12,[,]x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤- (1)因为[,][,]a b αβ⊂，故可取h>0充分小，使得[,](,)h h a b αβ-+⊂与此12,[,],x x αβ∀∈若12,x x <取32x x h =+.由凸性，32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤--（其中M,m 分别表示()f x 在[,]h h αβ-+上的上下界）,从而2121()()M mf x f x x x h--≤- (2) 若21,x x < 可取32,x x h =-由()f x 的凸性，有()23122312()()()f x f x f x f x x x x x --≤--，从而 ()21322132()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 由此可得(2)式成立. 若12x x =，则（2）式明显成立.这就证明了（2）式对一切12,[,]x x αβ∈皆成立.因此（2）式当1x 与2x 互换位置也成立，故有2121()()M mf x f x x x h--≤-，令,M m L h -=则（1）式也获证. 例3 设()f x 为区间(,)a b 内的凸函数,并且有界,试证极限 lim ()x af x +→与lim ()x bf x -→存在. 证明设x ∈（a,b ）时10x ≤>>f(x)M,x x 为(,)a b 内任意三点，根据()f x 的凸性,当x 递增时00()()f x f x x x --也递增.又因为0010010()()()()f x f x M f x x x x x x x x --≤∀>>--,根据单调有界原理,有极限 00()()limx b f x f x A x x →--=- ,从而 000000()()lim ()lim ()()()()x b x b f x f x f x x x f x A b x f x x x --→→⎡⎤-=-+=-+⎢⎥-⎣⎦亦存在. 3.2凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下:例4 设()f x 为区间[,]a b 上连续的凸函数.试证:1212,[,],x x a b x x ∀∈<，有21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≤≤-⎰. 证明令 121(),(0,1),t x x x λλ=+-∈则2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰, (1)同理，令221()t x x x λ=--，亦有2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰ 从而21112122102111(){[()][()]}2x x f t dt f x x x f x x x d x x λλλ=+-+---⎰⎰, (2) 注意121()x x x λ+-与221()x x x λ--关于中点122x x +对称.由于()f x 是凸函数,故由（2）式得2112211()()2x x x x f t dt f x x +≥-⎰ . 另外,由（1）式,应用()f x 的凸性211210211()[(1))]x x f t dt f x x d x x λλλ=+--⎰⎰ 1210()(1)()]f x f x d λλλ≤+-⎰1122122100()()(1)()()222f x f x f x f x λλ⎡⎤⎡⎤+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.例 5 设()f x 是[0,)+∞上的凸函数,求证：01()()xF x f t dt x =⎰ （1）为(0,)+∞上的凸函数.证明 ()f x 为[0,)+∞上的凸函数,因此它在(0,)+∞内连续,()f x 在[0,]x 上有界.由此知积分(1)有意义. 0x ∀>,令 tu x=时 101()()()xx t tF x f t dt f x d f xu du x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ （2） 12(0,1),,0x x λ∀∈∀>恒有112120[(1)]{[(1)]}F x x f x x u du λλλλ+-=+-⎰ [因(2)]=1120[(1)]f x u x u du λλ+-⎰112[()(1)()]f x u f x u du λλ≤+-⎰ （因f 的凸性）12()(1)()F x F x λλ=+-所以F 是(0,)+∞上的凸函数.例6 设函数()g x 在[,]a b 上递增,试证 (,),c a b ∀∈函数()()xcf xg x =⎰为凸函数.证明因()g x 递增,积分有意义.且∀123x x x <<212122121()()1()()x x f x f x g x dx g x x x x x -=≤--⎰32323232()()1()x x f x f x g x dx x x x x -≤=--⎰故由定理1知()f x 为凸函数.例7 设()f x 为[,]a b 上的凸函数,证明 ,(,)c x a b ∀∈有''()()()()xxccf x f c f t dt f t dt -+-==⎰⎰ （1）证明因()f x 为凸函数, 由定理1推论4 '()f t -，'()f t +存在且递增（当(,)t a b ∈）.故(1)中的积分有意义.对[c,x]任作一分划012...,n c x x x x x =<<<<=有11()()[()()].ni i i f x f c f x f x -=-=-∑ 参看定理2，我们有'111()()()(),i i i i i f x f x f x x x -----≥-'11()()()()i i i i i f x f x f x x x ----≤- 于是由.(1)式知'111()()()()ni i i i fx x x f x f c ---=-≤-∑'11()()ni i i i fx x x --=≤-∑.将分划无限分细,令1max()0,i i x x λ-=-→取极限可知 '()()().xc f x dx f x f c -=-⎰ 同理有 '()()().xcf x dx f x f c +=-⎰3.3利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由定理4证明了Holder 不等式，并且利用Jensen 不等式证明了几个复杂的不等式.例8 设352x ≤≤ 证明证明由于函数y =在区间[0,)+∞上是凸函数，由凸函数的性质，即定理 4 有≤= 由于1,23,153x x x +--不可能同时相等，从而有例 9 设函数()f x 是区间[0,)+∞上的凸函数，对于12,,...(0,),n x x x ∀∈+∞则1212()()...()(1)(0)+(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-+++证明由于120...i i n n x x x x x x <<+<+++,则由定理1中（4）式，有1212()(0)()()(...)()0...i i n i n n i i n i n nf x f f x x f x f x x x f x x x x x x x x x -+-+++-<<-+-+++-即12121()(0)[(...)()] (i)i n n n x f x f f x x x f x x x x --<++-+++令1,21i n =-,对上式两边求和，有1121[()(0)](...)()n i n n i f x f f x x x f x -=-<++-∑即1212()()...()(1)(0)(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-++++例 10 设111,1,1αβαβ>>+=及0,0(1,2,...,)i i a b i n >>=则有Holder 不等式成立：11111()()n nni i i i i i i a b a b αββα===≤∑∑∑ 当且仅当i a α与i b β成正比例时等号成立.证明取()f x =(1,0)x x αα><<+∞，(1,0)x x αα><<+∞，因为2()(1)0f x x ααα-''=->，所以()f x x α=在(0,)+∞上为凸函数,由定理4得:112211221212......()......n n n n n nt x t x t x t x t x t x t t t t t t αααα+++++≤++++++ 即1111()()()nn ni i i i i i i i t x t x t ααα-===≤∑∑∑ ，亦即11111()()nnni ii i i i i i t xt x t αααα-===≤∑∑∑令,1αβα=-则有11111ααβαα-+=+=，于是有11111()()n n ni i i i i i i i t x t x t αβα===≤∑∑∑ 令111111()(),nnni ii iiii i i i i i i t x t x t tb x t a αββαα-===≤==∑∑∑，则有11111()()nnni i i i i i i a b a b αββα===≤∑∑∑当i a α与i b β成正比例时，即i i a kb αβ= (k 为正常数，1,21,i n n =-)111111111111()()()n n nnni i i i i i i i i i i i i a b k b k b a b a b ββαββββαβαααα+-==========∑∑∑∑∑∑当i a α与i b β不成正比例时，i t 不全相等，又因为()f x x α=在(0,)+∞为严格凸函数，故严格不等式成立.例11 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅和12,,,n q q q ⋅⋅⋅是两组正数，11niq=∑.证明1111n q q n n n a q a q a ⋅⋅⋅≤+⋅⋅⋅+a .证明要证原不等式即要证明 1111ln ...ln ln(...)n n n n q a q a q a q a +≤++. 令()ln f x x =(0)x >,则由于21()0f x x''=-<，所以f 为凹函数，由Jensen 不等式 111122(...)()()...()n n n n f q a q a q f a q f a q f a ++≥++ 即得所证.例12 12...0(1,2,...),1,,n i n a a a a i p A n +++>=>=设证明：1111mm pp n n n n n p A A a p -==<-∑∑. 证明设00A =，则由于1111111[(1)]11mm mm pp pp nn n n n n n n n n n p p A A a A A nA n A p p ---====-=-----∑∑∑∑ 11111(1)11mm m ppp nn n n n n n p p A nA n A A p p --====-+---∑∑∑ (1)111111(1)(1)11p mmp ppn n n n n pn p A n A n A p p --==⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ （用Holder 不等式）11(1)11111111(1)(1)11p ppp ppp m m m p ppn n n n n n pn p A n A n A p p ----===⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎪⎪≤-+--⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑∑ 1111111(1)(1)11mm m pp p nn n n n n pn p p A n A n A p p p p -===⎛⎫⎧⎫-≤-+-+-⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎩⎭∑∑∑ 1111(11)11mm ppnk n k pn A n kA p p -===-+-+--∑∑111(11)11mmpp nk n k pn A n kA p p ==≤-+-+--∑∑ 1(11)011mp n n pn nA n p p ==-+-+=--∑ 所以 1111mm pp nn n n n p A A a p -==<-∑∑ 由于Holder 不等式中等号成立的条件是1(1,2,...,)n nA n m A -=均为常数,而00A =，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立.例 13 证明不等式3a b ca b c a b c ++≤（abc ），其中,,a b c 均为正数.证明设()ln ,0f x x x x =>,由1()ln 1,()f x x f x x'''=+=可见()ln f x x x =在0x >时为严格凸函数.由Jensen 不等式有1()[()()()]33a b c f f a f b f c ++≤++, 从而1ln (ln ln ln )333a b c a b c a a b b c c ++++≤++.即3a b ca b c a b c a b c ++++≤（）又因3a b c ++, 所以3a b ca b c a b c ++≤（abc ） . 例14应用Jensen 不等式证明：设0(1,2,....)i i n >=a ，有1212111n n a a a a a a n n++≤++⋅⋅⋅+ 证明取函数()ln f x x =,(0,)x ∈+∞ . 因为21()0,f x x ''=-<f 是区间(0,)+∞上严格凹函数，则对12,,...(0,)n a a a ∀∈+∞及1(1,2,...),i i n n N nλ+==∈ 1. 12...n a a a ===，则上式等号成立 ;2.若1,2,...,n a a a 不全相等，则由Jensen 不等式11()()n ni iiii i f a f a λλ==≥∑∑ ①即12121211ln(...)[ln ln ...ln ]ln(...)n n n a a a a a a a a a n n n n n+++≥+++= 1111n ni i i i i i f f a a λλ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ②即121212*********ln(...)(ln ln ...ln )ln...n n nna na na n a a a n a a a +++≥+++= 12111111ln(...)ln ln ...n n n a a a a a a n⇒++-≥- 因为f 在(0,)+∞上单调递增,综合①②结论得1212111...nn a a a a a a n n ++≤≤++，命题成立.参考文献[1]裘兆泰等.《数学分析学习指导》,科学出版社,2004年..[2]徐利治等.《大学数学解题法诠释》第一版,安徽教育出版社，1999年 [3]徐利治等. 《数学分析的方法和例题选讲》,高等教育出版社,1984年. [4]裴礼文.《数学分析中的典型问题和方法》,高等教育出版社,1988年. [5]张从军.《数学分析》,安徽大学出版社，2000年.[6]欧阳光中、姚允龙.《数学分析概要二十讲》,复旦大学出版社,1999年. [7]张筑生.《数学分析新讲》,北京大学出版社,1991年. [8] 华东师范大学数学系，《数学分析》第三版，高等教育出版社,2001年.。

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。

在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。

1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。

如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。

2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。

3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。

在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。

这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。

由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。

2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。

这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。

凸函数的延拓

判别方法 ! 设)% " " 二阶可导 " 且E% 严格单调 " 则)% 为N上的广义凸函数的 *& *& E% *& *& *& 9% 充分必要条件是
2 % & & & & X% *& B2 *& _% *& X% *& B2 *& B2% *& X% *& B2% *& X% *&+ 3 /9 /9 ) 9 )% )% )% ) 1% 1% 其中 B1% " E&& E X% *& B2% E&& E _% *& "
广义凸函数的定义将一类特殊凸函数的定义作了相对的统一给出了一个一般的表达形式通过选择适当的gxhx就可以得到相当多的特殊函数的定义并且通过具体的判别方法和琴生型不等式可以建立许多重要的形式优美的不等式从而丰富了凸函数的理论对不等式的理论也是一个很好的补充
5 3
高等数Байду номын сангаас研究 W K U D /" ’ K D 0 " ! "#$ % & !% ’( ) * * & + & ,".&," % ( !!!!!!!!!!! X C U D 2 3 3 4
相似文献(10条) 1.期刊论文吴利丰.周轩伟.WU Lifeng.ZHOU Xuanwei 一类非光滑广义凸函数的数值解法 -温州大学学报（自然科学版）2009,30(5)
讨论一类非光滑广义凸函数(即:一个可微严格拟凸函数加上一个凸函数)的全局优化算法问题.通过引入广义梯度,给出下降方向和终止条件,提出一种算法,并且证明了这种算法是全局收敛的.

凸函数的性质及其应用1

f(x)+f(y) 2
≥f(
x+y 2
)
即，-
arctanx+arctany 2
≥-
arctan(
x+y 2
)
即
2arctan(
x+y 2
)≥arctanx+arctany
例（2）：已知：xi∈(π,2π),i=1,2,…n
求证：sinx1+sinx2+…+sinxn ≥ x1+x2+…+xn
n
n
证明：设 f(x)=sinx 因为 f''(x)=- sinx 由性质 7，f(x)在(π,2π)为凸
＞f(
x+y 2
)
证明设 f(t)=tlnt(t＞0)
∴f'(t)=1+lnt f''(t)= 1 (t＞0) t
∴f(t)在(0,+∞)上是严格凸函数,
∴
对坌x,y＞0
且
x≠y，有：f(x)+2f(y)
＞f(
x+y 2
)
即：xlnx+2ylny
＞ x+y 2
ln
x+y 2
即：xlnx+ylny＞(x+y)ln
凸函数的应用领域非常广泛，特别是在不等式的证明中，运用
它解题显得巧妙、简练。通过以上例题可以看出，利用凸函数的性质
证明有关不等式，可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证
明比较容易，证明过程简单的问题，关键是寻找合适的凸函数，若不
能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等
式的目的。

凸函数的性质及其应用2

本案设计中，全玻璃展示柜的出现不仅减轻了柜体的视觉重量
功能区域、干净整洁的环境、良好的通风设施、悦耳的背景音乐、亲
感，而且更加突显展品的视觉效果。专卖店是卖场，是舞台，装饰只是发挥背景衬托的作用，最重要的还是突出对产品的展示效果，换句话说就是产品的营销方式是主角、是主题，装饰是道具、是配角。 4 店面入口设计的重要性
＞f(
x+y 2
)
证明设 f(t)=tlnt(t＞0)
∴f'(t)=1+lnt f''(t)= 1 (t＞0) t
∴f(t)在(0,+∞)上是严格凸函数,
∴
对坌x,y＞0
且
x≠y，有：f(x)+2f(y)
＞f(
x+y 2
)
即：xlnx+2ylny
＞ x+y 2
ln
x+y 2
即：xlnx+ylny＞(x+y)ln
通过以上例题可以看出利用凸函数的性质证明有关不等式可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易证明过程简单的问题关键是寻找合适的凸函数若不能直接找出则可以对不等式进行适当的变形从而达到证明不等式的目的
理工科研
凸函数的性质及其应用
２００９．３（下旬刊）
狄雷
（南京晓庄学院江苏·+f'(c)(xi- c),i=(1,2,…n)
n
所以Σf(xi)≥nf(c) i=1
n
Σ 故
1 n
i
=
1
f(xi)≥f(c)=f(
x1+x2+…+xn n
)
3 凸函数的应用
在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一

函数凹凸性的性质判定及应用

函数凹凸性的判定性质及应用曹阳数学计算机科学学院摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。

本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。

在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。

一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。

本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。

关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function tore-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;1.引言凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。

论文-凸函数的定义和性质

凸函数的定义和性质摘要中文摘要内容：在已有的凸函数研究结果上，讨论了凸函数的8种常见定义和13种常见性质，对各种定义之间的等价关系进行了推导，对性质定理进行了证明和分析，并举例应用了凸函数的定义和性质。

关键词：凸函数凹函数严凸等价性可导增函数目录预备知识.............................................................................................................................. - 3 - 定义1 ............................................................................................................................. - 3 -定义2 ............................................................................................................................. - 3 -1凸函数的等价定义........................................................................................................... - 4 - 1.1凸函数的等价定义 (4)定义3 ............................................................................................................................. - 4 -定义4 ............................................................................................................................. - 5 -定义5 ............................................................................................................................. - 5 -定义6：......................................................................................................................... - 7 -定义7 ............................................................................................................................. - 7 -定义8 ............................................................................................................................. - 7 -1.2利用凸函数的等价定义判断函数的凹凸性 .. (7)例1 ................................................................................................................................. - 8 -例2 ................................................................................................................................. - 8 -2凸函数的性质................................................................................................................... - 9 - 2.1凸函数的性质及其证明 . (9)性质1 ............................................................................................................................. - 9 -性质2 ........................................................................................................................... - 10 -性质3 ........................................................................................................................... - 10 -性质4 ........................................................................................................................... - 10 -性质5 ............................................................................................................................ - 11 -性质6 ........................................................................................................................... - 12 -性质7 ........................................................................................................................... - 12 -性质8 ........................................................................................................................... - 12 -性质9 ........................................................................................................................... - 12 -性质10 ......................................................................................................................... - 13 -性质11 ......................................................................................................................... - 14 -2.2凸函数性质的应用 . (14)例1 ............................................................................................................................... - 14 -例2 ............................................................................................................................... - 15 -3结束语............................................................................................................................. - 15 -预备知识凸函数是用来区分增减函数的增减方式是不同两种类型的函数；即使一个函数是增函数，也有如图1所示的两种方式，于是我们规定)(1x f 的增加方式叫做凹函数，反之把)(2x f 规定为凸函数。

凸函数的性质及其应用

推论：若，为区间ｊ ∽ 上的凸函数，ｘ）区间珀ｑ则在内点连续，定理７，为区间ａ】的凸函数日对Ｖｘａ】３ ∈Ｒ：㈤，上ｂ０，，仅Ｅ［ｂ，
ｓ对ｘ∈ Ｉ．ｔ奄
， ≥ ｏ（ ∽ ｔ卜）ｔ
定义１：设ｆ）区间Ｊ在上有定义，）Ｊ成为凸函数当，在上且仅当对Ｖｘ，ｘ ∈Ｉ一２，ＶＡ∈（，有，Ａ＋１０１）（。（一Ａ））Ａ，ｘ） ≤ ２（Ｉ＋
推论１：若ｆ）区间Ｊ为凸函数，则对ＪＶｘ，，在上上Ｉ＜有
ｆ２ｓ。ｆ３厂。））））３－．：，ｆ）
总有，∽ ≥ 仅
）０。
２） —了 ■一每—了 ■一每 —了丁一
，（Ａｊ）≤ Ａｆ（），
厂 ≥仅一 ∽ ‘
）
（Ｖｘ∈［．】ａｂ）
≥ 仅 ≥—
在上式中分令：，：得 —ｘ（）ｆ３ｆｘ（），－
即证。
ｆｘ）（）（ｘ２ｆ１－
，
。 ‘
（分性）对充使得
．
＜，＜ ∈ ａｂ，由题设，对 ‘ ，存在ｏ，［，】ｔ
注：若ｆ（在Ｊ连续，则上述定义１，３价ｘ）上，２等２性质、定理１：若ｆ）区间Ｊ为凸函数，对Ｖｋ≠ ０则：ｉ在ｘ上，ｋ０时，㈣在区间上为凸函数＞ｋ０，切在区问上为凹函数＜时定理２：若））区间Ｊ为凸函数，对Ｖｋ， ∈Ｒ，ｇ在上ｌ，ｋｋ０２０，ｌ，＞时＞ｋ），），的凸函数ｇ为上ｋ００，七）七ｌ，时＜＜＋）Ｊ的凹函数为上注：定理２中的．，，有一个为零时，即为定理１定理３：若ｆ（））区间Ｊ为凸函数，则ｍｘｘ，）ｘ，ｇ在上ａ￣（）｝ｇ为Ｊ的凸函数上定理４Ｊｎｅ不等式）ＶＡ ≥ ０（＝１，…ｎ且：（ｅｓｎ对，ｉ，２）Ａ＝，则对Ｖｘ ∈，＝，２１，ｉ１，…ｎ。有

凸函数的性质及其应用(DOC)

摘要高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。

凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。

凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。

同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。

为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。

本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。

关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题AbstractConvex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem目录摘要 (I)Abstract ......................................................................................................................... I I第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (9)2.4 几种常见的不等式 (10)第3章在数学中的应用 (12)3.1. 初等不等式的证明 (12)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (15)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (19)4.1.1 线性规划下的最优化问题 (19)4.1.2 非线性规划下的最优化问题 (21)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (26)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)第1章绪论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。

凸函数的性质

凸函数的性质：（1）设)(),(21x x f f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则)()(21x x f f +也是Ω上的凸函数；（2）设)(x f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则对任意常数0>c，函数)(x cf也是凸函数；（3）设)(x f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则对任意实数c，水平集{}c f ≤Ω∈)(,x x x 是凸集。

（4）设Ω是内部非空的凸集，)(x f是定义在Ω上的凸函数，则)(x f 在Ω的内部连续。

凸函数的判定条件当函数一阶或二阶可微时，除了可以根据定义来判断其是否是凸函数外，更常用的方法是如下的判别条件：定理1-2 定义在凸集nR⊂Ω上的可微函数)(x f 为凸函数的充要条件是：对于任意Ω∈y x ,都有)()()()(x y x x y -∇+≥Tf f f （1-23）定理1-2的几何意义：设)(x f 是一元凸函数，21,x x 是两个不同点，则))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥即凸函数的图像上任一点切线上的纵坐标总不大于曲线在该点的纵坐标，见图1-4，反之亦然。

图1-4 凸函数的几何意义只要将定理1-2中（1-23）式的“≥”改为“>”，就可得到严格凸函数的充要条件。

定理1-3（凸函数的二阶充要条件）设nR⊂Ω为含有内点的凸集，)(x f在Ω上二次可微，则)(x f 为Ω上凸函数的充要条件是：)(x f 的Hesse 矩阵)(2x f ∇在整个Ω上半正定。

特别地，当1=n时，)(x f 的Hesse 矩阵)()(2x f x f ''=∇，则该定理为：若)(x f 具有二阶连续导数，则)(x f 为凸函数的充要条件是：0)(≥''x f，其中),(b a x ∈。

定理1-4（严格凸函数的二阶充分条件）设nR⊂Ω为非空开凸集，)(x f在Ω上二次可微，若)(x f 的Hesse 矩阵)(2x f ∇在Ω上处处正定，则)(x f 为Ω上的严格凸函数。

凸函数的性质和应用论文

凸函数性质及其应用摘要本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词凸函数的积分性质;凸函数的不等式Abstract In this article ，first we list several kind of definitions for convex functions ，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.1 凸函数的定义及其相互关系定义1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,(0,1)x x I λ∀∈∀∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,x x I ∀∈有1212()().22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当：1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......().n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤⎪⎝⎭定义 4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下,则成()f x 为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线()f x 为严格凸的.引理1 定义2与定义3等价.引理2 若()f x 连续,则定义1，2，3等价.2 凸函数的性质定理 1 设()f x 在区间I 上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意,123,,,x x x I ∈123x x x << 保持成立）：（i ）()f x 在I 上为凸函数（1）（ii ）2121()()f x f x x x --3131()()f x f x x x -- （2）(iii)31323132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- （3）(iv)2121()()f x f x x x --3232()()f x f x x x -- （4）推论1若()f x 在区间I 上为凸函数，则I 上任意三点123x x x <<，有2121()()f x f x x x -≤-3131()()f x f x x x -≤-3232()()f x f x x x --.推论2 若()f x 在区间I 上的凸函数，则0,x I ∀∈过0x 的弦的斜率()k x = 00()()f x f x x x --是x 的增函数（若f 为严格凸的,则()k x 严格增）.推论3 若()f x 是区间I 上的凸函数，则I 上任意四点s<t<u<v 有()()f t f s t s --()()f v f u v u-≤-.推论4 若()f x 是区间I 上的凸函数，则对I 上的任一点x,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在，皆为增函数，且()()f x f x -+''≤ 0()x I ∀∈这里0I 表示I 的全体点组成之集合.（若f 为严格凸的，则'f +与'f -为严格递增的）.证明因x 为点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,从而（利用推论2）,1212()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--.再由推论2所述,当1x 递增时,11()()f x f x x x--也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且'f -(x)= 101212()()()()limx x f x f x f x f x x x x x-→--≤--.同理,在此式中，令2x x →时,可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知'f +与'f -皆为增函数.推论5 若()f x 在区间I 上为凸的，则f 在任一点x ∈0I 上连续. 事实上由推论4知f +'与f -'存在，所以f 在x 处左右都连续.定理2 设函数()f x 在区间I 上有定义，则()f x 为凸函数的充要条件是：00,x I ∈α∃，使得x I ∀∈,有()f x 00()()x x f x α≥-+.证明（必要性）因()f x 为凸函数，由上面的推论4知， 0'00,()x I f x -∀∈存在且'000()()()f x f x f x x x --→-. 由此任取一'0(),f x α-≥则0x x <时有00()()()f x x x f x α≥-+.因''00()f x f x -+≤(),所以对任一α:''00()(),f x f x x Iα-+≤≤∀∈恒有()f x 00()()x x f x α≥-+.(充分性)设123x x x <<是区间I上的任意三点，由已知条件222,,()()()x f x x x f x αα∀∃≥-+()x I ∀∈,由此令1x x =和3x x =，可以得到32123212()()()()f x f x f x f x x x x x α--≥≥--,由定理1可知()f x 为凸的.定理3 设()f x 在区间I 上有导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是()()f x I '∈x 递增. 证明（充分性）12,x x I ∀∈,不妨设12x x <及λ∈（0,1）,记12(1)x x x λλ≡+-，则1212()[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ≡+-≤+-,或12()()(1)()0f x f x f x λλ---≤ (1)由于()()(1)()f x f x f x λλ=+- (1)式等价于12[()()](1)[()()]0f x f x f x f x λλ-+--≤ (2)应用Largrange 定理，12,:,x x εηεη∃<<<使得''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()f x f x f x f x f x x f x x λλλελη-+--=-+--，但112121[(1)](1)()x x x x x x x λλλ-=+--=--,212212[(1)]()x x x x x x x λλλ-=+--=-.故（2）式左端=12[()()](1)[()()]f x f x f x f x λλ-+--''221()(1)()(1)()()f x x f x x λελληλ=--+--21(1)()[()()]x x f f λλεη''=---按已知条件()()f x I '∈x 递增，得知()()f f εη''≤,从而上式≤0,(2)式获证.（必要性）由定理1的推论4,()f x +'在0I 为递增的，因()f x '存在，故()()f x f x +''=亦在0I 为递增的，若I 有右端点b,按照已知条件f 在b 点有左导数，0x I ∀∈易知: ''''()()()()()()f x f b f x f x f b f b x b+--=≤≤=-同理，若I 有左端点a,则()(),f a f x ''≤即()f x '在I 上为递增的.推论若()f x 在区间I 上有二阶导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是：()0f x ''≥ 定理4 （Jensen 不等式）若()f x 为[a,b]上的凸函数，则[,]i x a b ∀∈ ,0(1,2,...,),i i n λ>=11,nii λ==∑，有11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑.证明应用数学归纳法.当n=2时，由定义1命题显然成立.设n=k 时命题成立,即对任何 12,,...,[,]k x x x a b ∈与10,1,2,...,,1ni ii i k αα=>==∑都有11()()k ki i i i i i f x f x αα==≤∑∑现设121,,...,,[,]k k x x x x a b +∈及0i λ>（i=1,2,…k+1）,111k ii λ+==∑.令1,1ii k λαλ+=-i=1,2,…,k,则11ki i α==∑.由数学归纳法假设可推得1111111()[(1)]1ki ik i i i k k k i k xf x f x λλλλλ+=+++=+=-+-∑∑1111(1)()kk i i k k i x f x λαλ+++=≤-+∑1111(1)()()kk i i k k i f x f x λαλ+++=≤-+∑=11111(1)()()1kik i k k i k f x f x λλλλ+++=+-+-∑=11()k iii f x λ+=∑即对任何正整数n(n 2)≥,上述不等式成立.推论设()f x 在区间I 上是凸函数,则对于任意的12,,...,m x x x I ∈和120m βββ>，，...,都有1122111212...()...()()......m m m m m mx x x f x f x f βββββββββββ+++++≤++++++.3 凸函数的应用3.1在微分学中的应用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和Lipschitz 性质.例1 设函数()f x 在区间I 上为凸函数，试证：()f x 在I 上的任一闭子区间上有界. 证明设[,]a b I ⊂为任一闭子区间:①（证明()f x 在[,]a b 上有上界）[,],x a b ∀∈取[0,1],x ab aλ-=∈-(1)x b a λλ=+-. 因()f x 为凸函数,所以()[(1)]()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+-≤+-≤+-=其中max{(),()}M f a f b =. 故在[,]a b 上有上界M ；②（证明()f x 在[,]a b 上有下界）记2a bc +=为,a b 的中点，则[,]x a b ∀∈，有关于c 的对称点x '，因()f x 为凸函数，所以()()11()()222f x f x f c f x M '+≤≤+ ,从而 ()2()f x f c M m ≥-≡ ，即m 为()f x 在[,]a b 上的下界.例2 设()f x 为区间(a,b)的凸函数，试证：()f x 在I 上的任一闭区间[,][,]a b αβ⊂上满足Lipschitz 条件.证明要证明()f x 在区间[,]αβ上满足Lipschitz 条件，即要证明：0,L ∃>使得12,[,]x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤- (1)因为[,][,]a b αβ⊂，故可取h>0充分小，使得[,](,)h h a b αβ-+⊂与此12,[,],x x αβ∀∈若12,x x <取32x x h =+.由凸性，32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤--（其中M,m 分别表示()f x 在[,]h h αβ-+上的上下界）,从而2121()()M mf x f x x x h--≤- (2) 若21,x x < 可取32,x x h =-由()f x 的凸性，有()23122312()()()f x f x f x f x x x x x --≤--，从而 ()21322132()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 由此可得(2)式成立. 若12x x =，则（2）式明显成立.这就证明了（2）式对一切12,[,]x x αβ∈皆成立.因此（2）式当1x 与2x 互换位置也成立，故有2121()()M m f x f x x x h--≤-，令,M mL h -=则（1）式也获证. 例3 设()f x 为区间(,)a b 的凸函数,并且有界,试证极限 lim ()x af x +→与lim ()x bf x -→存在. 证明设x ∈（a,b ）时10x ≤>>f(x)M,x x 为(,)a b 任意三点，根据()f x 的凸性,当x 递增时00()()f x f x x x --也递增.又因为0010010()()()()f x f x M f x x x x x x x x --≤∀>>--, 根据单调有界原理,有极限 00()()limx b f x f x A x x →--=- ,从而 000000()()lim ()lim ()()()()x b x b f x f x f x x x f x A b x f x x x --→→⎡⎤-=-+=-+⎢⎥-⎣⎦亦存在.3.2凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下:例4 设()f x 为区间[,]a b 上连续的凸函数.试证:1212,[,],x x a b x x ∀∈<，有21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≤≤-⎰. 证明令 121(),(0,1),t x x x λλ=+-∈则2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰, (1) 同理，令221()t x x x λ=--，亦有2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰ 从而21112122102111(){[()][()]}2x x f t dt f x x x f x x x d x x λλλ=+-+---⎰⎰, (2) 注意121()x x x λ+-与221()x x x λ--关于中点122x x +对称.由于()f x 是凸函数,故由（2）式得2112211()()2x x x x f t dt f x x +≥-⎰ . 另外,由（1）式,应用()f x 的凸性211210211()[(1))]x x f t dt f x x d x x λλλ=+--⎰⎰ 1210()(1)()]f x f x d λλλ≤+-⎰1122122100()()(1)()()222f x f x f x f x λλ⎡⎤⎡⎤+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.例5 设()f x 是[0,)+∞上的凸函数,求证：01()()xF x f t dt x =⎰ （1）为(0,)+∞上的凸函数.证明 ()f x 为[0,)+∞上的凸函数,因此它在(0,)+∞连续,()f x 在[0,]x 上有界.由此知积分(1)有意义. 0x ∀>,令 tu x=时 101()()()xx t tF x f t dt f x d f xu du x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ （2） 12(0,1),,0x x λ∀∈∀>恒有112120[(1)]{[(1)]}F x x f x x u du λλλλ+-=+-⎰ [因(2)]=1120[(1)]f x u x u du λλ+-⎰112[()(1)()]f x u f x u du λλ≤+-⎰ （因f 的凸性）12()(1)()F x F x λλ=+-所以F 是(0,)+∞上的凸函数.例6 设函数()g x 在[,]a b 上递增,试证 (,),c a b ∀∈函数()()xc f x g x =⎰为凸函数.证明因()g x 递增,积分有意义.且∀123x x x <<212122121()()1()()x x f x f x g x dx g x x x x x -=≤--⎰ 32323232()()1()x x f x f x g x dx x x x x -≤=--⎰故由定理1知()f x 为凸函数.例7 设()f x 为[,]a b 上的凸函数,证明 ,(,)c x a b ∀∈有''()()()()xxccf x f c f t dt f t dt -+-==⎰⎰ （1）证明因()f x 为凸函数, 由定理1推论4 '()f t -，'()f t +存在且递增（当(,)t a b ∈）.故(1)中的积分有意义.对[c,x]任作一分划 012...,n c x x x x x =<<<<=有11()()[()()].ni i i f x f c f x f x -=-=-∑ 参看定理2，我们有'111()()()(),i i i i i f x f x f x x x -----≥-'11()()()()i i i i i f x f x f x x x ----≤-于是由.(1)式知'111()()()()ni i i i fx x x f x f c ---=-≤-∑'11()()ni i i i fx x x --=≤-∑.将分划无限分细,令1max()0,i i x x λ-=-→取极限可知 '()()().xc f x dx f x f c -=-⎰ 同理有 '()()().xcf x dx f x f c +=-⎰3.3利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由定理4证明了Holder 不等式，并且利用Jensen 不等式证明了几个复杂的不等式.例8 设352x ≤≤ 证明证明由于函数y =在区间[0,)+∞上是凸函数，由凸函数的性质，即定理 4 有=≤=由于1,23,153x x x +--不可能同时相等，从而有<≤例 9 设函数()f x 是区间[0,)+∞上的凸函数，对于12,,...(0,),n x x x ∀∈+∞则1212()()...()(1)(0)+(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-+++证明由于120...i i n n x x x x x x <<+<+++,则由定理1中（4）式，有1212()(0)()()(...)()0...i i n i n n i i n i n nf x f f x x f x f x x x f x x x x x x x x x -+-+++-<<-+-+++-即12121()(0)[(...)()] (i)i n n n x f x f f x x x f x x x x --<++-+++令1,21i n =-,对上式两边求和，有1121[()(0)](...)()n i n n i f x f f x x x f x -=-<++-∑即1212()()...()(1)(0)(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-++++例 10 设111,1,1αβαβ>>+=及0,0(1,2,...,)i i a b i n >>=则有Holder 不等式成立：11111()()n nni i i ii i i a b a b αββα===≤∑∑∑ 当且仅当i a α与i b β成正比例时等号成立. 证明取()f x =(1,0)x x αα><<+∞，(1,0)x x αα><<+∞，因为2()(1)0f x x ααα-''=->，所以()f x x α=在(0,)+∞上为凸函数,由定理4得:112211221212......()......n n n n n nt x t x t x t x t x t x t t t t t t αααα+++++≤++++++ 即1111()()()nn ni i i i i i i i t x t x t ααα-===≤∑∑∑ ，亦即11111()()nnni ii i i i i i t xt x t αααα-===≤∑∑∑令,1αβα=-则有11111ααβαα-+=+=，于是有11111()()n n ni i i i i i i i t x t x t αβα===≤∑∑∑ 令111111()(),nnni ii i i i i i i i i i i t xt x t t b x t a αββαα-===≤==∑∑∑，则有11111()()nnni i i i i i i a b a b αββα===≤∑∑∑当i a α与i b β成正比例时，即i i a kb αβ= (k 为正常数，1,21,i n n =-)111111111111()()()n n nnni i i i i i i i i i i i i a b k b k b a b a b ββαββββαβαααα+-==========∑∑∑∑∑∑当i a α与i b β不成正比例时，i t 不全相等，又因为()f x x α=在(0,)+∞为严格凸函数，故严格不等式成立.例11 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅和12,,,n q q q ⋅⋅⋅是两组正数，11niq=∑.证明1111n q q n n n a q a q a ⋅⋅⋅≤+⋅⋅⋅+a .证明要证原不等式即要证明 1111ln ...ln ln(...)n n n n q a q a q a q a +≤++. 令()ln f x x =(0)x >,则由于21()0f x x''=-<，所以f 为凹函数，由Jensen 不等式 111122(...)()()...()n n n n f q a q a q f a q f a q f a ++≥++ 即得所证.例12 12...0(1,2,...),1,,n i n a a a a i p A n +++>=>=设证明：1111mm pp n n n n n p A A a p -==<-∑∑. 证明设00A =，则由于1111111[(1)]11mm mm pp pp nn n n n n n n n n n p p A A a A A nA n A p p ---====-=-----∑∑∑∑ 11111(1)11mm m ppp nn n n n n n p p A nA n A A p p --====-+---∑∑∑ (1)111111(1)(1)11p mmp ppn n n n n pn p A n A n A p p --==⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ （用Holder 不等式）11(1)11111111(1)(1)11p ppp ppp m m m p ppn n n n n n pn p A n A n A p p ----===⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎪⎪≤-+--⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑∑ 1111111(1)(1)11mm m pp p nn n n n n pn p p A n A n A p p p p -===⎛⎫⎧⎫-≤-+-+-⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎩⎭∑∑∑ 1111(11)11mm ppnk n k pn A n kA p p -===-+-+--∑∑111(11)11mmpp nk n k pn A n kA p p ==≤-+-+--∑∑ 1(11)011mp n n pn nA n p p ==-+-+=--∑ 所以 1111mm pp nn n n n p A A a p -==<-∑∑ 由于Holder 不等式中等号成立的条件是1(1,2,...,)n nA n m A -=均为常数,而00A =，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立.例 13 证明不等式3a b ca b c a b c ++≤（abc ），其中,,a b c 均为正数.证明设()ln ,0f x x x x =>,由1()ln 1,()f x x f x x'''=+=可见()ln f x x x =在0x >时为严格凸函数.由Jensen 不等式有1()[()()()]33a b c f f a f b f c ++≤++, 从而1ln (ln ln ln )333a b c a b c a a b b c c ++++≤++.即3a b ca b c a b c a b c ++++≤（）又因3a b c++≤, 所以3a b ca b c a b c ++≤（abc ） . 例14应用Jensen 不等式证明：设0(1,2,....)i i n >=a ，有1212111n n a a a a a a n n++≤++⋅⋅⋅+ 证明取函数()ln f x x =,(0,)x ∈+∞ . 因为21()0,f x x ''=-<f 是区间(0,)+∞上严格凹函数，则对12,,...(0,)n a a a ∀∈+∞及1(1,2,...),i i n n N nλ+==∈ 1. 12...n a a a ===，则上式等号成立 ;2.若1,2,...,n a a a 不全相等，则由Jensen 不等式11()()n ni iiii i f a f a λλ==≥∑∑ ①即12121211ln(...)[ln ln ...ln ]ln(...)n n n a a a a a a a a a n n n n n+++≥+++= 1111n ni i i i i i f f a a λλ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ②即121212*********ln(...)(ln ln ...ln )ln ...n n nna na na n a a a n a a a +++≥+++= 12111111ln(...)ln ln ...n n n a a a a a a n⇒++-≥- 因为f 在(0,)+∞上单调递增,综合①②结论得1212111...nn a a a a a a n n ++≤≤++，命题成立.参考文献[1]裘兆泰等.《数学分析学习指导》,科学,2004年..[2]徐利治等.《大学数学解题法诠释》第一版,教育，1999年 [3]徐利治等. 《数学分析的方法和例题选讲》,高等教育,1984年. [4]裴礼文.《数学分析中的典型问题和方法》,高等教育,1988年. [5]从军.《数学分析》,大学，2000年.[6]欧中、允龙.《数学分析概要二十讲》,复旦大学,1999年. [7]筑生.《数学分析新讲》,大学,1991年. [8] 华东师大学数学系，《数学分析》第三版，高等教育,2001年.。

凸函数的性质及其应用研究论文

凸函数的性质及其应用研究摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。

它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。

凸函数的许多重要性质在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。

考虑到凸函数的连续性，可导性及凸函数在不等式证明方面的应用和意义，本文结合现有文献给出了凸函数12种定义，总结了凸函数常用的性质;由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数广泛应用于对某些特殊不等式的证明，本文探讨了它在证明Jensen不等式、一般不等式、Cauchy不等式、Holder不等式中的重要应用，并讨论了Jensen不等式，Cauchy 不等式，Holder不等式在证明其他不等式的应用。

关键词：凸函数，定义，性质，应用，不等式Properties and Applications of Convex FunctionAbstractConvex function is a kind of important function. The concept of the earliest can be found in Jensen’s [1905] writing. Convex function has applied in pure mathematics and many applied mathematics extensive fields. Now it become the foundation and powerful tool to study mathematical programming, theory of strategy, mathematical economics, calculus of variations and such disciplines as the optimal control theory. Many important properties of convex function have been widely used in many fields of mathematics application, but its limitations are also obviously. So the study of some definitions and properties of convex function is necessary. Considering the application and significance to prove inequality and the continuity and conductivity of convex function, this paper presents 13 kind definitions and summarizes the properties of convex function which are commonly used. Convex function are widely used in some special inequality proof, because of convex function is defined by the inequality. This paper discusses the important applications of convex function in proving Jensen inequality, general inequality, Cauchy inequality, Holder Inequality. The important applications of Cauchy inequality, Holder inequality and Jensen inequality to prove other inequalities are also discussed.Key Words: Convex function, definition, properties, applications, inequality目录中文摘要 (I)英文摘要 (Ⅱ)1 引言 (1)2凸函数的定义 (1)2.1凸函数的12种定义 (1)3 凸函数的性质 (4)3.1凸函数的常用性质 (4)4 凸函数的应用 (11)4.1凸函数在微分学中的应用 (11)4.2凸函数在积分学中的应用 (13)4.3利用凸函数和Jensen不等式证明不等式 (15)4.4利用凸函数证明Cauchy不等式 (17)4.5利用凸函数证明Holder不等式 (18)4.6利用凸函数证明一般不等式 (19)参考文献 (24)致谢 (25)1 引言凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。

11228987_伪凸函数的判断准则

收稿日期:2012-04-18;修订日期:2012-05-15作者简介:赵丽丽(1987-),女,陕西宝鸡人,在读硕士研究生,主要研究方向:最优化理论与应用。

基金项目:陕西省教育厅专项科研基金资助课题(06JK152)。

第30卷　第3期2012年6月江西科学JIANGXI　SCIENCEVol.30No.3Jun.2012 文章编号:1001-3679(2012)03-0280-03伪凸函数的判断准则赵丽丽,张庆祥,赵　阳(延安大学,陕西　延安716000)摘要:首先,给出了伪凸函数的充要条件的证明,然后利用其定理的证明思想,在E⁃凸集、伪⁃E⁃凸函数概念的基础上,得出了伪⁃E⁃凸函数的2个必要条件,并给出其反例验证充分条件不成立。

关键词:E⁃凸集;E⁃凸函数;伪凸函数;伪⁃E⁃凸函数。

中图分类号:O174.13 文献标识码:ANew Criteria for Pseudo Convex FunctionZHAO Li⁃li,ZHANG Qing⁃xiang,ZHAO Yang(College of Mathematics and Computer Science,Yanan University,Shanxi Yanan 716000PRC)Abstract :Firstly,the proof of a necessary and sufficient condition of the pseudo⁃convex function is given,then by using the proof ideas of the theorem,two necessary condition for pseudo⁃E⁃convex functions is obtained on the basis of the concept of E⁃convex sets and concept of pseudo⁃E⁃convex functions,contrary examples to prove sufficient condition does not hold is given.Key words :E⁃convex set,E⁃convex function,Pseudo⁃convex function,Pseudo⁃E⁃convex function 凸集和凸函数在数学中有广泛应用,但实际问题中大量的集合和函数是非凸的,为了更好的发展和应用数学中的最优化理论,因此有必要对凸集和凸函数进行推广,1999年,Youness [1]引入了一类重要的广义凸集和广义凸函数的概念,称之为E⁃凸集和E⁃凸函数。

凸函数的开题报告

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于 Jensen[1905]著述中。

它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论根抵和有力工具。

为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。

凸函数有许多良好的性质，例如，其中一个很重要的性质就是：在凸集中，凸函数的任何部份最小也是全局最小。

它在数学的许多领域中都有着广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论根抵和有力工具。

但是凸函数的局限性也很明显，因为在实际问题中，大量的函数都是非凸的。

为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用， 60 年代中期产生了凸分析，凸函数的概念也按多种途径发展推广，或者对于抽象空间的推广，或者对于上面提到的不等式的推广，然后提出了广义凸函数的概念。

60 年代后期，先是有 Mangasarian把凸函数的概念推广到拟凸函数(quasi-convex functions)和伪凸函数 (pseudo-convex functions)。

我们知道，在数学规划的理论及算法中，函数的凸性只是一个充分条件，而不是必要条件。

如何推广函数的凸性概念，使得在更广泛的函数范围内，凸函数的许多重要性质仍然得以保存，凸规那末的大多数结果能推广到非凸规那末，已构成为了数学规划研究领域的当前趋势之一，所以研究广义凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。

拟凸函数(quasi-convex functions)是一类非常重要的广义凸函数，已有大量文献对此作了研究，拟凸函数可以定义为：如果对任意及任意的，有，那末称为上的拟凸函数。

先是杨新民教授给出了拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的性质，讨论了他们之间的关系，得到了某些故意义的结论。

拟凸函数的定义具有多种形式且相互之间有等价关系。

同时又有许多专家研究拟凸函数的上半连续性和下半连续性。

伪凸函数(pseudo-convex functions)是另一类重要的广义凸函数，其中强伪凸函数和严格伪凸函数特别被数学工作者所研究。

半（E,F）—凸函数的一些新性质

Some New Properties of Semi-（E,F）-Convex
Functions
作者：马晓娜
作者机构：宿州学院数学与统计学院,安徽宿州234000
出版物刊名：宿州学院学报
页码： 74-75页
年卷期： 2014年第9期
主题词：（E,F）-凸集（E,F）-凸函数半-凸函数拟半（E,F）-凸数
摘要：基于（E,F）—凸函数,得到了半（E,F）—凸函数。

引入次线性函数,利用半（E,F）-凸函数的定义,研究了次线性函数与半（E,F）—凸函数复合后的半（E,F）—凸性,半（E,F）—凸函数水平集的性质;研究了在半（E,F）—凸性的条件下极小值点存在的充要条件,并从变分不等式的角度对该充要条件作了全新的证明,且给出了另一个等价条件。

(整理)经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸

经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。

一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。

凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。

凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。

若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。

凸函数的性质和应用

1、基本定义
( 1 ) f 为 I上的凸函数 ( 2 ) f’ 为 I上的递增函数 ( 3 ) 对 I 上的任意两点 x0 , x, 恒有 f ( x ) Ε f ( x0 ) + f ’( x0 ) ( x - x0 )
推论 1:设 f是区间 I上的二阶可导函数 , 则有 f在 I上为凸函数 Ζ f" ( x) Ε 0 x ∈ I 推论 2:设 f是区间 I上可微凸函数 ,
调递增。要证此定理 , 我们先来做一些预备工作。引理 1:设 f在 ( a, b) 是凸函数 , 则 f在 ( a, b) 处处存在左、右导数 , 且左导数小于、等于右导数
) < ( a, b) 记作 F ( x ) 证明 : Π x0 ∈ ( a, b) , ϖ ∪ ( x0 ,δ
16720768200505002303凸函数是一类非常重要的函数在数学规划中有着广泛的应用考虑到凸函数与连续性可导性之间的联系以及凸函数在不等式证明方面的作用和意义为此本文提出凸函数的两种定义并讨论它们之间的等价性以及凸函数的三种等价结论还有凸函数的几何意义和凸函数的线性复合性等等良好的结论不仅如此我们还将凸函数的定义推广到着名的詹森不等式并讨论了詹森不等式在证明一些平均不等式方面的应用
( a, b) 上连续并且除了至多可数个点外 , f ’ 处处存在 , 且单
定理 1:如果定义 2 中区间 I = [ a, b ] 且 f ( x ) 都是连续函数 , 则定义 1 和定义 2 是等价的定理 2: f为 I上的凸函数 , 其充要条件是对一切 x1 , x2 ,
x3 ∈ I, ( x1 < x2 < x3 ) 恒有 f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 f ( x3 ) - f ( x1 ) x3 - x1 f ( x3 ) - f ( x2 ) x3 - x2

凸函数的一个新特征性质

凸函数的一个新特征性质Ξ杨新民(重庆师范学院数学与计算机科学系,重庆,400047)摘　要:在中间凸函数条件下,利用半严格拟凸性,给出了凸函数的一个新特征。

关键词:凸函数;半严格拟凸函数;中间凸函数;特征性质中图分类号:O 174113 文献标识码:A 文章编号:1001-8905(2000)01-0009203设C ΑR n 是一个非空凸集,f 是C 上一个实值函数,f 称为C 上中点凸函数,如果f 12x +12y ≤12f (x )+12f (y ), Πx ,y ∈C f 称为C 上凸函数,是指下式成立f (λx +(1-λ)y )≤λf (x )+(1-λ)f (y ), Πx ,y ∈C ,λ∈[0,1]f 称为C 上拟凸函数,是指下式成立f (λx +(1-λ)y )≤max {f (x ),f (y )}, Πx ,y ∈C ,λ∈[0,1]f 称为C 上半严格拟凸函数,是指如果对任意x ,y ∈C ,当f (x )≠f (y )时,有f (λx +(1-λ)y )<max {f (x ),f (y )}, Πλ∈(0,1)f 称为C 上半严格凸函数,是指对任意x ,y ∈C ,当f (x )≠f (y )时,有f (λx +(1-λ)y )<λf (x )+(1-λ)f (y ), Πλ∈(0,1)f 称为C 上中间凸函数,是指存在α∈(0,1),对任意x ,y ∈C ,有f (αx +(1-α)y )≤αf (x )+(1-α)f (y ) 已有许多文献,给出了中点凸函数情形下函数成为凸函数的条件。

这方面前期工作的一个总结参见文献[1]。

文献[2]利用半严格凸和中间凸性,给出了凸函数的一个判别准则。

文献[3]对上半连续或下半连续函数,利用中间凸性,给出了凸函数的其它一些判别准则。

最近,文献[4]又给出了凸函数的一个有趣特征性质:一个实值函数是凸函数的充分必要条件是它为拟凸函数和中间凸函数。

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Ｖ０１Ｎｏ３．２６．Ｓｅ．２７ｐ，００
文章编号：０８８０２０）３００— ２１０ — ３Ｘ（０７０ — ３７０
伪一一函数与伪一Ｅ凸函数的２个新性质Ｅ凸半一一
郝彦，陈丽燕，爱华童
ｒ浙江海洋学院数理与信息学院，江舟山ｉＭｔｅａｉ，ｈｓｓ＆Ｉｆｒａｉｏｅｅｏｈｊｎｃａｎｖｒｉ，ｈｕｈｎ３０，ｈｎ）ｃｃｎｏｍｔｎＣｌｇｆｅｉｇＯｅｎＵｉｅｓｙＺｏｓａ０４ＣｉａｏｌＺａｔ１６
维普资讯
第２６卷第３期
２００７年９月
浙江海洋学院学报（自然科学版）Ｊｕｎｌｆｈｊｎｃａｉｒｉ（ｔｒｌｃｅｃ）ｏｒａｅａｇＯｅｎＵｎｖｓｙｕａＳｉｎｅｏＺｉｅｔＮａ
Ａｂｔａｔｎｔｉａｅ，ｔｅｐｒｐｒｉｓｏｅｏｓｒｃ：Ｉｈｓｐｐｒｗｏｎｗｏｅｔｅｆｐｓｕｄ —Ｅ—ｃｎＶｘｆｎｃｉｎｎｄｐｓｕｄ —ｓｍｉｏｅｕｔｏｓａｅｏｅ —Ｅ—ｃｎｅｏｖｘｆｎｔｏｓａｅｐｒｓｎｅｕｃｉｎｒｅｅｔｄ．Ｔｈｅｒｓｌｓｐｅｅｅｎｔｉａｒｅｔｎｄｔｅｃｒｅｐｎｄｎｅｕｔ，ｗｈｃｒｂｅｕｔｒｓｎｔｄｉｈｓｐｐｅｘｅｈｏｒｓｏｉｇｒｓｌｓｉｈｗｅｅｏ－ｔｉｅｙｓｖｒｌａｔｏｓｅｒｙａｄｒｃｎｔ．ａｎｄｂｅｅａｕｈｒａｌｎｅｅｌｙＫｅｒｓｙｗｏｄ：Ｅ— ｏｅｅｓｅ — — ｏｖｘｆｃｉｎ；Ｐｓｕ — ｎｖｘｓｔ；ｓｍｉ— ｃｎｅｕｎｔｏｓｃＥ— ｅｄｏ－ｍｉＳｅ－Ｅ－ｎｖｘｆｎｃｉｎ；Ｐｅｄｏ— — Ｃｏｅｕｔｓｓｕｏ — Ｅ— Ｃｏｖｘｆｎｔｏｓｎｅｕｃｉｎ
Ｖｘｙ， ∈Ｘ，ＶＡ∈［，】Ｏｌ有，
ｆａ（）（一）（）￣ａ（（）＋１Ａ，（）成立．（Ｅ＋１ＡＥｙ）ｆＥｘ）（一）Ｅｙ）（定义１［称ｎｎＸ＿ｎ．３４］ — 在Ｃ上为半一一ＲＥ凸函数，若存在１个映射ＥＲＲ，：ｒｎ使得是Ｅ凸集，一且
１预备知识
１９９９年，ＵＮＳｔ凸集和凸函数进行了推广，出了Ｅ凸集和Ｅ凸函数，到了Ｅ凸集和ＥＹＯＥＳｌｊ对提一一得一一凸函数的许多性质．为对凸规划的推广，ＯＮＳ提出了Ｅ凸规划问题，并且讨论了Ｅ凸函数在作ＹＵＥＳ还一一
ＴｗｏＮｅＰｒｐｒｉｓｏｅｄ－ｗｏｅｔｅｆＰｓｕｏＥ－ＣｏｖｘＦｕｃｉｎｎｅｎｔｓｏ
ａｄＰｓｕｏＳｍｉＥ．ｎｅｕｃｉｎｎｅｄ－ｅ－．ＣｏｖｘＦｎｔｏｓ
ＨＡＯｎ，ＣＨＥＮ－ｙｎ，ＴＯＮＧ－ｕＹａＬｉａＡｉｈａ
Ｅ凸规划中的应用．一后来，ＡＧ２ＣＥｔＹＮｔＨＮ３Ｊ，Ｊ分别于２０年和２００１０２年用反例说明了［］１中一些结论是不正确的，并且ＣＥ【建立了半一ＨＮ３呸Ｅ凸函数、一一拟半Ｅ凸函数、一一伪半Ｅ凸函数等概念，并得到了一些重要的结论．０２４年文献［】论了几个广义凸函数的新性质。黄应全在文献［］０４讨５中提出了伪一一函数的概念，Ｅ凸并研究了几种广义凸函数之间的关系。本文受上述文献的启发，出了伪一一函数与伪一Ｅ凸函数的２给Ｅ凸半一个新的性质．文结果推广了文献［，】本４５的相应结果．。定义１问集合ＸＣＲ为凸集当且仅当ＶＹＸ，．１＿， ∈ ＶＡ∈ ０１有Ｖ１ＡＹＸ［，，卅（一）∈ ．］定义１［．１２］若存在１个映射Ｅｎ：ｒ，Ｒ使得Ｖ， ∈ Ｖ［，］１ＡＥｘ＋Ｅｙ ∈ ＹＸ，Ａ∈ ０１有（一）（）Ａ（）Ｘ则称集合，是Ｅ凸集．一定义１１称，Ｒ在ＸＣＲ上为Ｅ凸函数，若存在１映射ＥＲＲ，使得是Ｅ凸集，．］３［ｎ＿ｎ一个：，ｎ一且
摘
要：出了伪一一给Ｅ凸函数与伪一Ｅ凸函数的２半一一个新性质。本文的结果是一些作者早期与最近的相应结果的推广。
文献标识码：Ａ
关键词：一Ｅ凸集；半一一Ｅ凸函数；伪一Ｅ凸函数；Ｅ凸函数半一一伪一一
中图分类号：７．０１４１３