【课堂新坐标,同步教学参考】2013-2014学年高中北师大版数学必修五 第一章课时作业3]
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.3.1 基本不等式课时训练 北师大版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.3.1 基本不等式课时训练 北师大版必修5一、选择题 1．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5【解析】 由基本不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)． 【答案】 C2．已知a >0，b >0，则下列不等式中错误的是( ) A ．ab ≤(a ＋b2)2B ．ab ≤a 2＋b 22C.1ab ≥2a ＋bD.1ab≤(2a ＋b)2【解析】 由基本不等式知A 、C 正确，由重要不等式知B 正确，由a 2＋b 22≥ab 得，ab≤(a ＋b2)2，∴1ab ≥(2a ＋b)2，故选D. 【答案】 D3．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 与s 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤tD ．s <t【解析】 ∵b 2＋1≥2b ， ∴a ＋2b ≤a ＋b 2＋1. 【答案】 A4．已知f (x )＝(12)x ，a 、b 为正实数，A ＝f (a ＋b 2)，G ＝f (ab )，H ＝f (2ab a ＋b)，则A 、G 、H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A【解析】 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b＝2aba ＋b .当且仅当a ＝b 时等号成立．又∵函数f (x )＝(12)x是减函数，∴A ≤G ≤H . 【答案】 A5．(2013·衡水高二检测)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ＞12 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18【解析】 由a ＋b ＝4，得ab ≤a ＋b 2＝42＝2，故C 错； 由ab ≤2得ab ≤4， ∴1ab ≥14，故A 错； B 中，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错；由a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22得a 2＋b 2≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝8， ∴1a 2＋b 2≤18，D 正确． 【答案】 D 二、填空题6．已知a ＞b ＞c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c2的大小关系是________．【解析】 ∵a ＞b ＞c ， ∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴（a －b ）（b －c ）≤（a －b ）＋（b －c ）2＝a －c2.【答案】（a －b ）（b －c ）≤a －c27．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值a ＋b2的大小关系为________．【解析】 用两种方法求出第三年的产量分别为A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，则有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋x ＝（1＋a ）（1＋b ）≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2.当且仅当a ＝b 时等号成立．【答案】 x ≤a ＋b28．(2013·阜阳高二检测)设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋ba ≥2. 其中恒成立的不等式的个数是________．【解析】 由重要不等式a 2＋b 2≥2ab 可知①正确； ②a 2＋b 22＝2（a 2＋b 2）4＝（a 2＋b 2）＋（a 2＋b 2）4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝（a ＋b ）24＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，故②正确；对于③，当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确；令a ＝1，b ＝－1可知④不正确．【答案】 ①② 三、解答题9．已知x <0，求证：x ＋4x≤－4.【证明】 由x <0，得－x >0， ∴(－x )＋4（－x ）≥2（－x ）×4（－x ）＝4，∴x ＋4x＝－[(－x )＋4（－x ）]≤－4.10．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＝1.求证：1a ＋1b≥4.【证明】 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋bb＝1＋b a ＋ab ＋1 ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当a ＝b 时“＝”成立． 11．设a 、b 、c 为正数，求证bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 【证明】 ∵a 、b 、c 均是正数， ∴bc a ，ca b ，abc均是正数，∴bc a ＋ca b≥2c ，ca b ＋abc ≥2a ， ab c ＋bca≥2b ， 三式相加得2(bc a ＋ca b ＋abc)≥2(a ＋b ＋c )，∴bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二章解三角形教案北师大版必修5
第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理1．1 正弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过对任意三角形边长和角度的关系探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．2．过程与方法让学生从已有的几何知识出发，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的能力．●重点难点重点：正弦定理的探索的证明及其应用．难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数．(教师用书独具)●教学建议已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数，此类问题有两个、一个、零个的情况，需要进行讨论，可做如下处理：在△ABC中，已知a，b和A时三角形解的情况：A为锐角A为钝角或直角图 像关系式 ①a ＝b sin A②a ≥b b sin A<a <b a <b sin Aa >ba ≤b解的个数 一解两解无解一解无解●教学流程创设问题情境，提出了2个问题⇒通过引导学生回答所提问题，理解正弦定理及三角形面积公式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用正弦定理解三角形问题⇒通过例2及变式训练，使学生掌握三角形面积公式的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握判断三角形的形状问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第32页)课标解读1.通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，了解其向量证法(难点)．2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).正弦定理【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，试问a sin A ，b sin B ，csin C 的值相等吗？为什么？对于一般的三角形而言，a sin A ，b sin B ，csin C的值是否相等？【提示】 在Rt △ABC 中，∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c且C ＝90°， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.对一般的三角形而言，也相等． 语言表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号表示 asin A ＝bsin B ＝csin C比值的 含义a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R(其中R 为△ABC 的外接圆半径)变形(1)a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C.作用 揭示了三角形边、角之间的数量关系三角形面积公式【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等吗？猜想一下在一般三角形中是否成立？【提示】 ∵C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝12ab sin C ，设边c 上的高为h ， 则sin B ＝ha ，sin A ＝h b，∴S △ABC ＝12hc ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，∴在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等．猜想在一般三角形中也成立．三角形ABC 的面积：S ＝12ab sin__C＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ．(对应学生用书第32页)利用正弦定理解三角形在△ABC 中，(1)若A ＝45°，B ＝30°，a ＝2，求b ，c 与C ； (2)若B ＝30°，b ＝5，c ＝53，求A 、C 与a .【思路探究】 (1)已知A ，B ，如何求C ？在正弦定理中b ，c 分别怎样表示？ (2)已知B ，b ，c 运用正弦定理可先求出哪个量？ 【自主解答】 (1)由三角形内角和定理，得：C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 30°sin 45°＝2×1222＝2，sin 105°＝sin(60°＋45°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45°＝2×6＋2422＝3＋1. (2)∵b ＝5，c ＝53，B ＝30°， ∴c ·si n B <b <c ， ∴△ABC 有两解， 由正弦定理得：sin C ＝c sin B b ＝32， ∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，易得a ＝10； 当C ＝120°时，A ＝30°，此时a ＝b ＝5.1．已知两角与任一边解三角形，可先利用三角形内角和定理求第三个角，再利用正弦定理求出两未知边．2．已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，判断三角形解的个数，有以下两种方法： 法一 作图判断．作出已知角A ，边长b ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，与射线AB 的公共点(除去顶点A )的个数即为三角形解的个数．法二 根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ，当b sin A a >1时，无解；当b sin Aa＝1时，有一解；当b sin Aa<1时，如果a ≥b ，即A ≥B ，则B 一定为锐角，有一解；如果a <b ，即A <B ，有两解．本例(2)中，若B ＝60°，b ＝43，a ＝42，如何求解？ 【解】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得 sin A ＝a sin Bb ＝42sin 60°43＝22， 又a ＜b ，∴A ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°.∴c ＝b sin C sin B ＝43sin 75°sin 60°＝43×2＋6432＝2(2＋6)．三角形的面积问题在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．【思路探究】 (1)先寻找角A 、B 间的关系，再求sin A. (2)先由正弦定理求BC ，再代入三角形的面积公式求解． 【自主解答】 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B ，0＜A ＜π4.故cos 2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin Asin BAC ＝32，又C ＝π2＋A ，∴sin C ＝cos A ＝63.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A＝3 2.1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．2．三角形面积计算公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a 、h b 、h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．已知△ABC 中，AB →·AC →<0，S △ABC ＝154，|AB →|＝3，|AC →|＝5，则∠BAC ＝( ) A ．30° B ．120° C ．150° D ．30°或150° 【解析】 由S △ABC ＝154，得12×3×5sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又由AB →·AC →<0，得∠BAC >90°， ∴∠BAC ＝150°. 【答案】 C判断三角形的形状已知△ABC 中，b sin B ＝c sin C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【思路探究】 利用正弦定理的变形(如a ＝2R sin A )，将条件中的角化为边，或将边化为角，从而进行判断．【自主解答】 法一 由b sin B ＝c sin C 得，2R sin 2B ＝2R sin 2C ， 即sin 2B ＝sin 2C. ∵0<B <π，0<C <π， ∴sin B >0，sin C >0. ∴sin B ＝sin C ，∴B ＝C.又sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，A ＝π－(B ＋C )＝π－2B ， ∴sin 22B ＝2sin 2B. 即4sin 2B ·cos 2B ＝2sin 2B. ∴cos 2B ＝12.由A ＝π－2B ∈(0，π)知，0<B <π2.∴cos B ＝22，∴B ＝π4，A ＝π2. 故△ABC 是等腰直角三角形．法二 由b sin B ＝c sin C 得：b ·2R sin B ＝c ·2R sin C ， ∴b 2＝c 2，b ＝c .由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得，(2R sin A )2＝(2R sin B )2＋(2R sin C )2， ∴a 2＝b 2＋c 2，结合b ＝c 知，△ABC 为等腰直角三角形．1．本题已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定．2．在正弦定理的推广中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 是边化角的主要工具．其他变形还有角化边，如sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，借助正弦定理可以进行三角形形状的判断，三角恒等式的证明．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．【解】 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)，得 4R 2sin 2A sinB cos B ＝4R 2sin 2B sin Acos A ，sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B. ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B. ∴A ＋B ＝π2或A －B ＝0.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(对应学生用书第34页)解三角形时忽视讨论致误在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求△ABC 的面积．【错解】 由正弦定理得： sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32， ∴B ＝60°.故C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°， 在Rt △ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6， 故S △ABC ＝12ab ＝12×23×6＝6 3.【错因分析】 上述解答错误之处在于在利用正弦定理求得sin B ＝32后直接得出B ＝60°，未对解的情况作出判断和讨论，从而导致丢解．【防范措施】 遇到已知两边及其中一边对角解三角形时一定要讨论． 【正解】 由正弦定理得， sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32. 由b ＝6，a ＝23知，b >a ，∴B >A ＝30°. ∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝90°. ∴S △ABC ＝12ab ＝12×6×23＝6 3.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝30°. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×23×sin 30°＝3 3.综合以上得△ABC 的面积为63或3 3.1．应用正弦定理可解决两类三角形问题：(1)已知三角形两角及一边；(2)已知两边及其中一边的对角． 2．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．3．正弦定理揭示了三角形中边、角之间的数量关系，可以借助三角形外接圆的半径，用边表示角或用角表示边，从而在解决有关问题时，可利用其“化边为角”或“化角为边”．(对应学生用书第34页)1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，∴a sin B ＝b sin A.【答案】 C2．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．4 3D ．4 5【解析】 由三角形内角和定理知B ＝180°－A －C ＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝8·sin 30°sin 45°＝4 2.【答案】 B3．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________．【解析】 根据正弦定理，a sin A ＝csin C，由3a ＝2c sin A ，得3sin A ＝2sin C sin A ， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角，∴C ＝π3. 【答案】π34．在△ABC 中，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C. 【证明】 由正弦定理得a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ab ＝a b sin 2B ＋basin 2A＝sin A ·sin 2B sin B ＋sin B ·sin 2Asin A＝2(sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ) ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，故原式成立．(对应学生用书第97页)一、选择题1．在△ABC 中，下列a 与b sin A 的关系正确的是( ) A ．a >b sin A B ．a ≥b sin A C ．a <b sin A D ．a ≤b sin A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以a ＝b sin Asin B，又因为sin B ∈(0，1]， 所以a ≥b sin A. 【答案】 B2．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 【解析】 ∵a sin B ＝102， ∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个． 【答案】 B3．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝45°，c ＝6，则△ABC 的面积为( ) A ．9＋3 3 B.9（6－2）2C.9＋332 D.9（6＋2）2【解析】 ∵A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝60°，b ＝c sin Bsin C＝6×2232＝26，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×26×6×6＋24＝9＋3 3.【答案】 A4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【解析】 ∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，故由正弦定理得，sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )， 化简得：cos A (sin B ＋sin C )＝0，又sin B ＋sin C ＞0， ∴cos A ＝0，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 【答案】 D5．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725 D.2425【解析】 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B＝45.所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 【答案】 A 二、填空题6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________． 【解析】 由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63.【答案】637．(2013·济南高二检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝1×sin 60°3＝12， 又a <b ，∴A ＝30°.∴C ＝180°－(30°＋60°)＝90°.即sin C ＝1. 【答案】 18．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 【解析】 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形，∴AB ＝2. 【答案】 2 三、解答题9．在△ABC 中，c ＝6，A ＝45°，a ＝2，求b 和B ，C. 【解】 ∵a sin A ＝csin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32. ∵c sin A ＜a ＜c ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1， ∴当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.10．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状．【解】 由lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2， 得sin B ＝22，又B 为锐角， ∴B ＝45°，又a c ＝22，∴sin A sin C ＝22， ∴sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )， ∴sin C ＝sin C ＋cos C ， ∴cos C ＝0，即C ＝90°， 故此三角形是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．【解】 设△ABC 中AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . 由tan B ＝3，得B ＝60°， ∴sin B ＝32，cos B ＝12. 又cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，由正弦定理得c ＝b sin Csin B ＝36×22332＝8.又∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝36＋23， ∴三角形面积S △ABC ＝12bc sin A ＝62＋8 3.(教师用书独具)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋12c ＝b ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．【思路探究】 (1)本题可考虑把边化为角，通过寻找三角形角与角之间的关系求解； (2)将周长表示为三角形某内角的函数，通过求函数的值域来求周长的取值范围． 【自主解答】 (1)由a cos C ＋12c ＝b 和正弦定理得，sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝23sin B ， c ＝a sin C sin A ＝23sin C ，则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )]＝1＋2(32sin B ＋12cos B )＝1＋2sin(B ＋π6)． ∵A ＝π3，∴B ∈(0，2π3)，∴B ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2，3]．利用正弦定理可以实现边、角互化(1)将边转化为角：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)将角转化为边：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R.已知△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1－c 2a ＝sin （B －C ）sin （B ＋C ），求cosA ＋C2的值．【解】 由正弦定理以及sin A ＝sin(B ＋C )，得： 1－sin C 2sin A ＝sin （B －C ）sin A， 整理得2sin A －sin C ＝2sin(B －C )， ∴4cos B sin C ＝sin C ， 又sin C ≠0， ∴cos B ＝14，∴1－2sin 2B 2＝14，sin B 2＝64， ∴cosA ＋C2＝cos π－B 2＝sin B 2＝64. 趣味材料中国南宋末年数学家秦九韶发现三斜求积公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积．“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积．”若以大斜记为a ，中斜记为b ，小斜记为c ，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：S ＝14[a 2c 2－（a 2＋c 2－b 22）2]，这里a >b >c .1．2 余弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握余弦定理的两种表示形式及余弦定理的向量方法；并会用余弦定理解决基本的解三角形问题．2．过程与方法利用向量数量积推出余弦定理并通过实践演算掌握运用余弦定理解决解三角形问题．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一．●重点难点重点：余弦定理的发现和证明过程及应用．难点：正、余弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合问题．(教师用书独具)●教学建议探究和证明余弦定理的过程既是本节课的重点，也是本节课的难点．学生已具备了勾股定理的知识，即当C＝90°时，有c2＝a2＋b2，作为一般的情况，当C≠90°时，三角形的三边满足什么呢？学生一时很难找到思路．最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试用勾股定理去探究三角形的边角关系．用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合．因此教师在授课时可以适当点拨、启发．鼓励学生大胆的探索．在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加深学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，从而突破本节难重点．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题，结合勾股定理，理解余弦定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握利用余弦定理解三角形问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握、判断三角形形状问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第35页)课标解读1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用(难点)． 2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).余弦定理【问题导思】图2－1－1如图2－1－1，在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如果C ＝90°，如何求AB 边的长？当C ≠90°，如何用向量的数量积表示AB 边的长？【提示】 利用勾股定理求AB 的边长． |c |2＝c·c ＝(a －b )·(a －b )＝a 2－2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C. 余弦定理语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C.推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.作用 实现三角形边与角的互化.(对应学生用书第35页)利用余弦定理解三角形(1)在△ABC 中，若a ＝1，b ＝1，C ＝120°求c ；(2)已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 各内角的度数． 【思路探究】 (1)直接利用余弦定理求解． (2)先根据比值设出各边的长，再利用余弦定理求解． 【自主解答】 (1)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋1－2cos 120°＝3， ∴c ＝ 3.(2)∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， ∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋（3＋1）2－426（3＋1）＝22，∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.1．本题(2)关键是根据已知条件设出三边，为使用余弦定理的推论求角创造条件． 2．余弦定理是刻画三角形两边及其夹角的余弦与第三边关系的定理．在余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的任意三个量，便可求得第四个量．(1)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π4，b ＝2，S △ABC＝2，求a .(2)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，求△ABC 中最大角的度数．【解】 (1)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22c ＝22c ＝2，所以c ＝2 2.根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋8－2×2×22×22＝4，所以a ＝2. (2)∵a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，∴令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝13k (k ＞0)，由b ＜a ＜c ，知C 为△ABC 最大内角，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋3－132×2×3＝－32，又0°＜C ＜180°∴C ＝150°.判断三角形的形状在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．【思路探究】 可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．【自主解答】 法一 由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 法二 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B. 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形．1．本题解法一利用了边的关系判断，解法二利用了角的关系判断．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．若将例题中的条件改为“△ABC 中，b ，c 是角B 、C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c 2c”，试判断△ABC 的形状．【解】 法一 ∵cos 2A 2＝1＋cos A2且cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝bc. 由正弦定理，得cos A ＝sin B sin C，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二 同法一得cos A ＝b c.由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．正、余弦定理的综合应用在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b .【思路探究】 先根据正弦定理求出a ，c 的值，再利用余弦定理建立b 的方程求b . 【自主解答】 由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝sin 2A sin A ＝2cos A ＝32， 又a ＋c ＝10， ∴a ＝4，c ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2－9b ＋20＝0， 解得b ＝4或b ＝5. 当b ＝4时， ∵a ＝4，∴A ＝B ，又C ＝2A 且A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝45°与cos A ＝34矛盾，舍去，∴b ＝5.1．本题易忽视检验b ＝4的情况导致出错．2．余弦定理和正弦定理都是解三角形的重要工具，都可以实现三角形中的边角转化．在解决三角形中的综合问题时，要有意识地合理选择，一般情况下，如果条件中含有角的余弦或边的二次式，要考虑余弦定理；若条件中含有角的正弦或边的一次式，则考虑正弦定理．学习时应注意归纳总结正、余弦定理的应用技巧，如公式的正用、逆用以及变形用等，同时牢固掌握内角和定理的运用和三角变换的技巧．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B. 求证：A ＋B ＝120°.【证明】 由(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B 可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sinB.由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，∴a 24R 2＋b 24R 2－c 24R 2＝a 2R ·b2R， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°， ∴A ＋B ＝120°.(对应学生用书第37页)转化思想在三角形中的应用(12分)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】 可以把角转化为边，也可以把边转化为角来处理． 【规范解答】 法一 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 得：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C.代入a cos A ＝b cos B ＝c cos C 中，得：2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ＝2R sin C cos C，4分即sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ．10分又∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴A ＝B ＝C. ∴△ABC 是等边三角形.12分 法二 由余弦定理得a ·2bcb 2＋c 2－a 2＝b ·2ac a 2＋c 2－b 2＝c ·2aba 2＋b 2－c 2，6分∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2. 得a 2＝b 2＝c 2，即a ＝b ＝c .10分∴△ABC 是等边三角形.12分转化也称化归，它是将未知的，陌生的，复杂的问题转为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题解决的数学思想．在解三角形时，若已知条件中含边角共存的关系式时，往往可利用正弦定理或余弦定理实现边角间的互化，从而发现各元素间的关系．1．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具，可解决以下两类问题：(1)已知两边及其夹角，求第三边和其他两角； (2)已知三边求三角．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，可利用正弦定理或余弦定理转化为边的关系作代数运算，也可转化角的关系，通过三角变换求解．(对应学生用书第37页)1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，C ＝120°，则c 为( ) A.41 B.61 C.41或61 D.21【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝25＋16＋2×5×4×12＝61.∴c ＝61.【答案】 B2．在△ABC 中，若a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则△ABC 的最大角的度数为( ) A ．60° B ．90° C．120° D ．150° 【解析】 ∵c ＞a ＞b ，∴C 是最大角，由余弦定理得：cos C ＝（3＋1）2＋（3－1）2－（10）22×（3＋1）×（3－1）＝8－104＝－12.∴C ＝120°.【答案】 C3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【解析】 由正弦定理知a ∶b ∶c ＝5∶11∶13， 设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（5k ）2＋（11k ）2－（13k ）22×5k ×11k ＝－23110<0，∴C 为钝角．【答案】 C4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－（b －c ）2bc ＝1时，求A.【解】 由a 2－（b －c ）2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(对应学生用书第99页)一、选择题1．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2【解析】 在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4，∴b ＝2. 【答案】 A2．a 、b 、c 是△ABC 的三边，B ＝60°，那么a 2－ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， 所以a 2－ac ＋c 2－b 2＝(a 2＋c 2－ac )－b 2＝b 2－b 2＝0. 【答案】 C3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， ∴6＝a 2＋2＋2a ，∴a ＝2或－22(舍去)． 【答案】 D4．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定【解】 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 24R 2＋b 24R 2＜c 24R2，∴a 2＋b 2＜c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19【解析】 由余弦定理的推论cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935，又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝5×7×(－1935)＝－19.【答案】 D 二、填空题6．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )，则A ＝________. 【解析】 由(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )得a 2－c 2＝b 2－bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝bc 与余弦定理b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， 比较知cos A ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°7．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________． 【解析】 ∵a 是最大边，∴A ＞π3，又a 2＜b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，∴A ＜π2，故π3＜A ＜π2.【答案】 (π3，π2)8．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】 在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－14)，整理得15b －60＝0.∴b ＝4. 【答案】 4 三、解答题9．已知△ABC 的顶点为A (2，3)，B (3，－2)和C (0，0)，求∠AB C. 【解】 |AB |＝（3－2）2＋（－2－3）2＝26， |BC |＝（0－3）2＋[0－（－2）]2＝13， |CA |＝（2－0）2＋（3－0）2＝13， 由余弦定理得cos ∠ABC ＝（13）2＋（26）2－（13）22×13×26＝22，又∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π4.10．a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sinC －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B ·sin C.结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0， 可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4. ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a ＝3.(3)由(1)(2)知，a 2＋c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形．11．(2013·潍坊高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cosA ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【解】 (1)根据正弦定理2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒ 2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得：7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 代入b ＋c ＝4得bc ＝3，故△ABC 面积为S ＝12bc sin A ＝334.(教师用书独具)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C.【思路探究】 本题可考虑把边化为角，通过三角变换寻找等式左、右两边的联系． 【自主解答】 由余弦定理可知：a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B则a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc ·cos A ＋2ac ·cos B ， 整理得：a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c ， 又a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C， ∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .【解】 法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ， 由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4. 法二 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ， ∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin Bsin C，又由已知得，sin Bsin C ＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．②由①②得b ＝4.§2三角形中的几何计算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握正、余弦定理解任意三角形的方法，体会正、余弦定理在平面几何计算与推理中的作用．2．过程与方法能过图形的观察、识别、分析、归纳来正确选择正、余弦定理．3．情感、态度与价值观通过本节课的探究，培养学生勇于探索、创新的学习习惯．●重点难点重点：利用正、余弦定理解决三角形中的几何计算．难点：将几何计算转化为解三角形问题．(教师用书独具)●教学建议通过例题的活动探究，要让学生结合图形理解题意，学会分析问题状态，确定合适的求解顺序，明确所用的定理．其次，在教学中还要让学生分析讨论，明确正、余弦定理各自实用的范围．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题理解三角形中的几何计算——长度、角度、面积等⇒通过例1及变式训练，使学生掌握与长度或角度有关的问题的计算⇒通过例2及变式训练，使学生掌握有关面积问题的处理⇒通过例3及变式训练，使学生进一步掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第38页)课标解读1.掌握正、余弦定理解任意三角形的方法(重点)．2．提高分析问题解决问题的能力(难点).三角形中的几何计算【问题导思】图2－2－1如图2－2－1，2011年8月，利比亚战争期间，北约为了准确分析战场形势，由位于相距32a的英法两军事基地C和D，测得卡扎菲的两支精锐部队分别位于A、B两处，且∠ADB＝∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.试问你能根据实例中测量的数据计算卡扎菲这支精锐部队的距离吗？【提示】在△BCD中用正弦定理求出BC，在△ABC中用余弦定理求AB的长．(对应学生用书第38页)与长度或角度有关的问题图2－2－2(2013·中山高二检测)在△ABC 中，已知B ＝30°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，(1)求∠ADC 的大小； (2)求AB 的长．【思路探究】 (1)在△ACD 中已知了AD 、AC 、DC ，可根据余弦定理求∠AD C. (2)在△ABD 中，可用正弦定理求A B.【自主解答】 (1)在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°.(2)由(1)知∠ADB ＝60°，在△ABD 中，AD ＝10，B ＝30°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 30°＝10×3212＝10 3.1．正弦、余弦定理是解三角形常用的两个重要定理，在使用时要根据题设条件，恰当选择定理，使求解更方便、简捷．2．解决此类问题要处理好两个方面：(1)找出已知某边长的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段所在的三角形，确定所需条件．图2－2－3如图2－2－3所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝（23）22×2×23＝32， 则C ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有ADsin C＝ACsin ∠ADC，∴AD ＝AC ·sin30°sin 45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2. 【答案】 2有关面积问题图2－2－4如图2－2－4所示，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132且AD ＝BD ，求△ABC的面积．【思路探究】 先由余弦定理建立方程求CD 的长，再在△ACD 中由正弦定理求sin C ，进而可求△ABC 的面积．【自主解答】 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x . 在△CAD 中，由余弦定理可知 cos ∠CAD ＝（5－x ）2＋42－x 22×4×（5－x ）＝3132，解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知ADsin C＝CDsin ∠CAD，∴sin C ＝AD CD·1－cos 2∠CAD ＝41－（3132）2＝387.∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×387＝1547. 即△ABC 的面积为1547.1．本题求三角形面积容易考虑用12×底×高，但高不易求得，应灵活应用三角形面积公式．2．涉及三角形面积问题通常选用S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，这个公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向．图2－2－5如图2－2－5所示，△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，B ＝60°，∠ADC ＝150°，求AC 的长及△ABC 的面积．【解】 在△ABC 中，∠BAD ＝150°－60°＝90°， ∴AD ＝BD sin 60°＝2×32＝3， 在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ＝(3)2＋12－2×3×1×cos 150°＝7，∴AC ＝7.又∵AB ＝BD cos 60°＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×3×32＝34 3.正、余弦定理的综合应用。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.3.1 第1课时 等比数列课时训练 北师大版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.1 第1课时 等比数列课时训练 北师大版必修5一、选择题1．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( )A ．1或－12B ．1C ．－12D ．－2 【解析】 由数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，得2a 1q 2＝a 1＋a 1q .∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或－12. 【答案】 A2．(2013·山师大附中高二检测)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 52，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 【解析】 ∵a 3·a 9＝2a 52＝a 62，∴a 6a 5＝ 2.又a 2＝1＝a 1·2，∴a 1＝22. 【答案】 B3．(2013·临沂高二检测)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为( )A ．0B ．1或－2C ．－1或2D ．－1或－2【解析】 由2a 4＝a 6－a 5得，2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∵a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或2.【答案】 C4．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】 ∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 1(a 1q )·(a 1q 2)·(a 1q 3)·(a 1q 4)，∴a 1qm －1＝a 15·q 10，且a 1＝1， ∴q m －1＝q 10，∴m －1＝10，∴m ＝11.【答案】 C5．(2013·吉林高二检测)各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( ) A.5－12 B.1－52或1＋52C.5＋12 D.1－52 【解析】 设{a n }公比为q ，∵a 2，12a 3，a 1成等差数列， ∴a 3＝a 1＋a 2，∴a 1q 2＝a 1＋a 1q .∴q 2－q －1＝0，解得q ＝1±52. ∵数列各项都是正数，∴q >0，∴q ＝1＋52，∴a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.故选C. 【答案】 C二、填空题6．设a 1＝1，数列{2a n －1}是公比为－2的等比数列，则a 6＝________．【解析】 ∵2a 6－1＝(2a 1－1)·(－2)5＝－32，∴a 6＝－312. 【答案】 －3127．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 kB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据64 MB (1 MB ＝210kB )．【解析】 由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB 时自身复制了n 次，即2×2n ＝64×210＝216，解得n ＝15，从而复制的时间为15×3＝45.【答案】 458．(2013·连云港高二检测)三个不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，且a ，c ，b 成等比数列，则a ∶b ∶c ＝________.【解析】 由题意得2b ＝a ＋c ①， c 2＝ab ②，由①得c ＝2b －a ③，将③代入②得a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴c ＝2b －a ＝2b －4b ＝－2b .则a ∶b ∶c ∶＝4∶1∶(－2)．【答案】 4∶1∶(－2)三、解答题9．已知数列{a n }是等比数列，且a 4＋a 7＝9，a 5＋a 8＝18，a n ＝64，求项数n .【解】 法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3（1＋q 3）＝9，a 5＋a 8＝a 1q 4（1＋q 3）＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝18. ∴a n ＝18×2n －1＝2n －4. 由a n ＝64，∴2n －4＝64， ∴2n －4＝26， ∴n －4＝6，n ＝10.法二 ∵a 5＋a 8＝q (a 4＋a 7)＝18，且a 4＋a 7＝9. ∴q ＝2，又根据9＝a 4＋a 7＝a 4(1＋q 3)＝a 4(1＋23)，∴a 4＝1. 故a n ＝a 4q n －4＝1×2n －4＝2n －4.由a n ＝64，故64＝2n －4，即2n －4＝26，∴n －4＝6，∴n ＝10. 10．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式．【解】 (1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2×2n －1＝2n. (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32，设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8b 1＋4d ＝32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16d ＝12，从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.11．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N ＋.(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明 由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N ＋.又a1－1＝1，所以数列{a n－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知a n－n＝4n－1，于是数列{a n}的通项公式为a n＝4n－1＋n.。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.1.1 正弦定理课时训练 北师大版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.1 正弦定理课时训练 北师大版必修5一、选择题1．在△ABC 中，下列a 与b sin A 的关系正确的是( )A ．a >b sin AB ．a ≥b sin AC ．a <b sin AD ．a ≤b sin A【解析】 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ， 所以a ＝b sin A sin B， 又因为sin B ∈(0，1]，所以a ≥b sin A.【答案】 B2．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个【解析】 ∵a sin B ＝102， ∴a sin B <b ＝3<a ＝5，∴符合条件的三角形有2个．【答案】 B3．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝45°，c ＝6，则△ABC 的面积为( )A ．9＋3 3B.9（6－2）2C.9＋332D.9（6＋2）2【解析】 ∵A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝60°，b ＝c sin B sin C ＝6×2232＝26，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×26×6×6＋24＝9＋3 3. 【答案】 A4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【解析】 ∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，故由正弦定理得，sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )，化简得：cos A (sin B ＋sin C )＝0，又sin B ＋sin C ＞0，∴cos A ＝0，即A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形．【答案】 D5．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.2425 【解析】 由b sin B ＝csin C，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45.所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 【答案】 A二、填空题6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________．【解析】 由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63. 【答案】 63 7．(2013·济南高二检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝1×sin 60°3＝12，又a <b ，∴A ＝30°.∴C ＝180°－(30°＋60°)＝90°.即sin C ＝1.【答案】 18．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．【解析】 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32， ∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形，∴AB ＝2.【答案】 2三、解答题9．在△ABC 中，c ＝6，A ＝45°，a ＝2，求b 和B ，C.【解】 ∵a sin A ＝c sin C ， ∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32. ∵c sin A ＜a ＜c ，∴C ＝60°或C ＝120°.∴当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1， ∴当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.10．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状．【解】 由lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，得sin B ＝22，又B 为锐角， ∴B ＝45°，又ac ＝22，∴sin A sin C ＝22， ∴sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )，∴sin C ＝sin C ＋cos C ，∴cos C ＝0，即C ＝90°，故此三角形是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积． 【解】 设△ABC 中AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .由tan B ＝3，得B ＝60°，∴sin B ＝32，cos B ＝12. 又cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223， 由正弦定理得c ＝b sin C sin B ＝36×22332＝8.又∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝36＋23，∴三角形面积S △ABC ＝12bc sin A ＝62＋8 3.。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.4 不等式的实际应用课件 新人教B版必修5
1．若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系 式是 y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)， 若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低 产量是( ) B．120 台 D．18 台
由题意得 25x＋0.1x2－20x－3 000≥0，且 0
3.4
不等式的实际应用
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用， 掌握解决这类问题的一般步骤．
2．过程与方法 让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程.3.情 感、态度与价值观 通过实际，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数 学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力．
不理解题意致误 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继 续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距 离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限 速 40 km/h 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对 后同时刹车，但还是撞了．事发后，现场测量甲车的刹车距 离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，又知甲、乙两 种车型的刹车距离 s(m)与车速 x(km/h)之间分别有如下关系： s 甲＝0.1x＋0.01x2， s 乙＝0.05x＋0.005x2， 问谁应负主要责任？
【解析】 设每次进货量为 x 件，一年的运费和租金总 10 000 和为 y 元，则 y＝ ×100＋x≥2 x 1 000 000 · x＝2 000， x
1 000 000 当且仅当 ＝x，即 x＝1 000 时等号成立，故选 D. x
【答案】 D
3 ．用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长(较长的 边)和宽应选用的金属材料价格每 1 m 分别为 3 元和 5 元，且 长和宽必须是整数，现预算花费不超过 100 元，则做成矩形 框架围成的最大面积是________．
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.1.1 数列的概念课时训练 北师大版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.1 数列的概念课时训练 北师大版必修5一、选择题1．下列解析式中不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式的是( )【解析】 A 中当n ＝1时，a 1＝－1，n ＝2时，a 2＝1，显然不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式．【答案】 A2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋2，则其第3、4项分别是( )A ．11，3B ．11，15C ．11，18D ．13，18【解析】 a 3＝32＋2＝11，a 4＝42＋2＝18.【答案】 C3．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…则35是它的( )A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项【解析】 令2n －1＝35，解得n ＝23.【答案】 B4．下列四个数中，是数列{n (n ＋1)}中的一项的是( )A ．380B ．39C ．32D ．23【解析】 分别令n (n ＋1)＝380，39，32，23解出n ∈N ＋即可，验证知n ＝19时，19×20＝380.【答案】 A5．(2013·德州高二检测)数列－13×5，25×7，－37×9，49×11，…的通项公式a n 为( ) A ．(－1)n ＋11（2n ＋1）（2n ＋3） B ．(－1)n ＋1n （2n ＋1）（2n ＋3） C ．(－1)n 1（2n ＋1）（2n ＋3）D ．(－1)n n（2n ＋1）（2n ＋3） 【解析】 观察式子的分子为1，2，3，4，…，n ，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n ＋1)(2n ＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式a n ＝(－1)n n（2n ＋1）（2n ＋3）. 【答案】 D二、填空题6．数列35，12，511，37，717，…的一个通项公式是________． 【解析】 数列35，12，511，37，717，…即数列35，48，511，614，717，…，故a n ＝n ＋23n ＋2. 【答案】 a n ＝n ＋23n ＋27．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋7n ＋9，则其第3、4项分别是________、________．【解析】 a 3＝－32＋7×3＋9＝21，a 4＝－42＋7×4＋9＝21.【答案】 21 218．已知曲线y ＝x 2＋1，点(n ，a n )(n ∈N ＋)位于该曲线上，则a 10＝________．【解析】 ∵点(n ，a n )位于曲线y ＝x 2＋1上，∴a n ＝n 2＋1，故a 10＝102＋1＝101.【答案】 101三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1，7，－13，19，…(2)0.8，0.88，0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… 【解】 (1)符号可通过(－1)n 表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6， 故通项公式为a n ＝(－1)n·(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89(1－110n )． (3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32. 原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n ·2n －32n . 10．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是项数n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)88是否是数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n ＝an ＋b .∴a 1＝a ＋b ＝2，①a 17＝17a ＋b ＝66.②②－①，得16a ＝64，∴a ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2(n ∈N ＋)．(2)令4n －2＝88⇒4n ＝90,n ＝452∉N ＋， ∴88不是数列{a n }中的项．11．如图1－1－3所示，有n (n ≥2)行n ＋1列的士兵方阵：(1)写出一个数列，用它表示当n 分别为2，3，4，5，6，…时方阵中的士兵人数．图1－1－3(2)说出(1)中数列的第5，6项，用a 5，a 6表示；(3)若把(1)中的数列记为{a n }，求该数列的通项公式a n ；(4)求a 10，并说明a 10所表示的实际意义．【解】 (1)当n ＝2时，表示士兵的人数为2行3列，人数为6；当n ＝3时，表示3行4列，人数为12，依此类推，故所求数列为6，12，20，30，42，….(2)方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示的是6行7列，第6项表示7行8列，故a 5＝42，a 6＝56.(3)根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式．前4项分别为：6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6因此a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．(4)由(3)知a 10＝11×12＝132，a 10表示11行12列的士兵方阵中士兵的人数．。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第3章 不等式章末归纳提升 苏教版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第3章不等式章末归纳提升苏教版必修5不等式不等关系一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的概念一元二次不等式的应用基本不等式基本不等式的证明基本不等式的应用比较大小、证明不等式求最值、解决实际生活中的问题二元一次不等式组与简单的线性规划问题二元一次不等式(组)与平面区域简单的线性规划在实际生活中的应用简单的线性规划问题一元二次不等式的解法及应用1.对于一元二次不等式的求解，要善于联想两方面的知识：(1)二次函数的图象，(2)一元二次方程的实根．切忌死记硬背，要从根本上理解求法的合理性．2．对于含参数的一元二次不等式，要注意分类讨论，掌握分类讨论的层次，一般顺序如下：(1)二次项系数，(2)Δ判别式符号，(3)两根的大小．3．对于一元二次不等式恒成立问题，一般转化成不等式的解集为R求解，若二次项系数含有字母，则要注意分类讨论．已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.【思路点拨】(1)转化为方程ax2－3x＋2＝0有两相异根1，b(b＞1)，求解．(2)将a，b代入化简不等式，对c的值分类讨论，解不等式．【规范解答】(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b＞1.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0，即x 2－(2＋c )x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c )＜0.①当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |2＜x ＜c }． ②当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}． ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为∅.所以当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； 当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为∅. 解关于x 的不等式：x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )． 【解】 由x 2－2ax －3a 2＜0，得(x －3a )(x ＋a )＜0. 又x 2－2ax －3a 2＝0的两根分别为3a ，－a ， (1)当3a ＞－a ，即a ＞0时， 原不等式的解集为{x |－a ＜x ＜3a }； (2)当3a ＝－a ，即a ＝0时， 原不等式的解集为∅； (3)当3a ＜－a ，即a ＜0时， 原不等式的解集为{x |3a ＜x ＜－a }.简单的线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．其常见题型有以下三种：(1)求目标函数的最值或范围；(2)求目标函数取得最值时的点的坐标；(3)求目标函数取得最值时相关量的范围．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，求z ＝y －1x ＋1的取值范围． 【思路点拨】 本题应用线性规划进行处理，目标函数z ＝y －1x ＋1的几何意义是可行域内一点(x ，y )与定点(－1,1)连线的斜率．【规范解答】 y ≥0表示x 轴及其上方的区域，x －y ≥0表示直线y ＝x 上及其右下方的区域，2x －y －2≥0表示直线2x －y －2＝0上及其右下方的区域．所给不等式组表示的区域为如图所示的阴影部分，目标函数z ＝y －1x ＋1表示阴影部分上的点与定点(－1,1)的连线的斜率，由图可见点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为－12，为最小值，连线斜率的最大值趋近于1，但永远达不到，故－12≤z ＜1.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【解】 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一族直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y＝6.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7＞0，∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.基本不等式及其应用基本不等式是高考的热点之一，利用基本不等式可以比较大小、求函数最值、求字母参数的取值范围、证明不等式等．利用基本不等式解题时，要注意满足“一正、二定、三相等”缺一不可，若不满足，可以通过拼凑、换元等手段进行代数变换，使其符合基本不等式应用条件．设正数x ，y ，z 满足(x ＋y )(x ＋z )＝2，求xyz (x ＋y ＋z )的最大值．【思路点拨】 本题考查不等式ab ≤(a ＋b2)2及“整体思想”的应用．由(x ＋y )(x ＋z )＝2，得x 2＋xy ＋xz ＝2－yz ，整体代入所求式子，用不等式求最大值．【规范解答】 ∵(x ＋y )(x ＋z )＝2，∴x 2＋xy ＋xz ＝2－yz ， ∴xyz (x ＋y ＋z )＝yz (x 2＋xy ＋xz ) ＝yz (2－yz )≤(yz ＋2－yz2)2＝1.当且仅当yz ＝2－yz ，即yz ＝1时取等号． ∴xyz (x ＋y ＋z )的最大值为1.在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d (米)与车速v (千米/时)需遵循的关系是d ≥12 500av 2(其中a (米)是车身长，a 为常量)，同时规定d ≥a2. (1)当d ＝a2时，求机动车速度的变化范围；(2)设机动车每小时流量Q ＝1 000va ＋d，应规定怎样的车速，可以使每小时的机动车流量Q 最大？【解】 (1)由题意知a 2≥12 500av 2，所以－252≤v ≤252，由题意知v ＞0，所以当d ＝a2时，0＜v ≤25 2.(2)当0＜v ≤252时，Q ＝1 000v32a ，Q 是v 的正比例函数，所以v ＝252时，Q max ＝50 00023a；当v ＞252时， Q ≤1 000v a ＋av 22 500＝1 000a 1v ＋v2 500≤25 000a .当且仅当1v ＝v 2 500，即v ＝50时，等号成立，Q max ＝2 5000a .综上，由于25 000a ＞50 00023a ，故当v ＝50时，每小时的机动车流量Q 最大，Q max ＝25 000a.思想方法分析问题和解决问题．函数与方程思想与不等式联系密切．如一元二次不等式的求解，主要就是结合二次函数的图象，借助一元二次方程的根进行求解，再如，证明不等式时，对于不等号两边结构相同的式子，可以考虑构造函数的方法，结合函数的单调性来证明．m 为何值时，方程x 2＋(m －2)x ＋(5－m )＝0的两个根都大于2?【思路点拨】 构造一元二次函数，利用一元二次方程根的分布来解决．【规范解答】 设f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m )，由方程的两个根都大于2可知，函数f (x )的大致图象如图所示，所以有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 2＞0，－m －22＞2，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16≥0，m ＞－5，m ＜－2，解得－5＜m ≤－4.对于适合0≤x ≤1的任意x ，不等式(x －1)(log 5a )2－4x log 5a ＋2x ＋1＞0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 令f (x )＝(x －1)(log 5a )2－4x log 5a ＋2x ＋1， 则f (x )＝[(log 5a )2－4log 5a ＋2]x ＋1－(log 5a )2是一次函数， 有f (x )在[0,1]上是单调的，因此f (x )＞0在[0,1]上恒成立等价于f (0)＞0且f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－log 5a 2＞0，－4log 5a ＋3＞0，解得15＜a ＜4125，所以a 的取值范围是(15，4125)．综合检测(三) 第3章 不等式(时间：120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．(2013·南京检测)若1a ＜1b＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ，②|a |＞|b |，③a ＜b ，④b a ＋a b＞2中，正确的是________．(填序号)【解析】 ∵1a ＜1b ＜0，∴a ＋b ＜0，ab ＞0，∴a ＋b ＜ab ，①正确，由1a ＜1b＜0，得0＞a ＞b ，∴|a |＜|b |，②错误，③错误，由题意知b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋ab＞2，④正确．【答案】 ①④2．函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x －4≤0，x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤1，x ≠0.【答案】 [－4,0)∪(0,1]3．设M ＝(x －1)(x －5)，N ＝(x －3)2，则M 与N 的大小关系为________．【解析】 ∵M ＝(x －1)(x －5)＝x 2－6x ＋5，N ＝(x －3)2＝x 2－6x ＋9，∴M －N ＝(x 2－6x ＋5)－(x 2－6x ＋9)＝－4＜0，∴M ＜N .【答案】 M ＜N4．(2013·烟台高二检测)已知x ＞0，函数y ＝4x＋x 的最小值是________．【解析】 由x ＞0，∴4x ＞0，∴y ＝4x ＋x ≥24x·x ＝4，当且仅当4x＝x 即x ＝2时取等号．【答案】 45．已知点A (3，－1)和B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为A (3，－1)和B (－1,2)在直线的同侧，所以(3a －3)·(－a ＋3)＞0，解得1＜a ＜3.【答案】 (1,3)6．(2012·长沙高二检测)A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．【解析】 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x <a }， ∵A ∩B ＝∅，∴a ≤－1. 【答案】 (－∞，－1]7．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则2x ＋4y 的最小值为________．【解析】 作出平面区域如图所示，令z ＝2x ＋4y ，欲求z 的最小值，即求y ＝－12x ＋z4在y 轴上截距的最小值，可以看出当直线过点A (3，－3)时，纵截距最小．所以z min ＝2×3＋4×(－3)＝－6.【答案】 －68．设M ＝3x＋3y2，N ＝(3)x ＋y，P ＝3xy(0＜x ＜y )，则M 、N 、P 的大小顺序是________．【解析】 ∵3x＋3y2≥3x ·3y ＝(3)x ＋y，∴M ≥N ，又∵x ≠y ，∴M ＞N ； ∵x ＋y2≥xy ，∴3x ＋y2≥3xy，∴N ≥P ，又∵x ≠y ，∴N ＞P ，∴M ＞N ＞P . 【答案】 M ＞N ＞P9．(2013·无锡检测)不等式x 4－x 2－2≤0的解集为________． 【解析】 原不等式可化为(x 2＋1)(x 2－2)≤0， ∵x 2＋1＞0∴x 2－2≤0，∴x 2≤2，∴－2≤x ≤ 2. 【答案】 [－2， 2 ]10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域如图所示，由题意可知当直线x ＋y ＝a 经过(23，23)时，a ＝43，满足条件，当a ＞43时满足条件，当直线x ＋y ＝a 经过点(1,0)时，a ＝1，∴当0＜a ≤1时满足条件，∴a 的取值范围为0＜a ≤1或a ≥43.【答案】 (0,1]∪[43，＋∞)11．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 【解析】 ∵x ，y ∈R ＋， ∴x ＋4y ＝1≥24xy ，∴xy ≤116.【答案】11612．(2013·德州高二检测)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，则y ＋7x ＋4∈________. 【解析】 作可行域如图中△ABC 区域． 又y ＋7x ＋4的几何意义是区域内点(x ，y )与定点P (－4，－7)连线的斜率． 由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0，∴ A (－1，－6)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0，∴B (－3,2)．∴k PA ＝13，k PB ＝9，∴13≤y ＋7x ＋4≤9. 【答案】 [13，9]13．设正数a ，b 满足ab ＝a ＋9b ＋7，则ab 的最小值为______．【解析】 因为a ，b 都为正数，所以ab ＝a ＋9b ＋7≥29ab ＋7＝6ab ＋7，当且仅当a ＝9b 时等号成立，因为ab ≥6ab ＋7，解得ab ≥7，所以ab ≥49，故ab 的最小值为49.【答案】 4914．(2013·南通检测)不等式x 2－ax ＋b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为______．【解析】 由题意方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3.∴a ＝5，b ＝6，∴不等式bx 2－ax －1＞0可化为：6x 2－5x －1＞0，即(x －1)(6x ＋1)＞0，∴x ＜－16或x ＞1.【答案】 (－∞，－16)∪(1，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设x ＞－1，求f (x )＝x ＋5x ＋2x ＋1的最值．【解】 ∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，∴f (x )＝x ＋5x ＋2x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋12＋5x ＋1＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋14x ＋1＋5＝4＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1， 即x ＝1(x ＝－3舍去)时取等号．故当x ＝1时，f (x )有最小值9，f (x )无最大值．16．(本小题满分14分)求z ＝x ＋6y ＋7的最值，使(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥6，y ≥0.【解】 作可行域如图所示，由图知z ＝x ＋6y ＋7在A 处取到最大值，在B 处取到最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝10，2x ＋y ＝6，解得A (23，143)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，y ＝0，解得B (3,0)．所以z max ＝23＋6×143＋7＝3523，z min ＝3＋6×0＋7＝10.17．(本小题满分14分)某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，则该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y ，二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0，平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.所以点M 的坐标为(100,200)．所以z max ＝3 000x ＋2 000y ＝70 0000元，700 000元＝70万元，即在甲电视台做广告100分钟，在乙电视台做广告200分钟，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．18．(本小题满分16分)(2013·扬州检测)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R . (1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)若不等式f (x )＞－2x 2－3x ＋1－2a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若a ＜0，解不等式f (x )＞1.【解】 (1)显然a ＜0，且－4a 2－14a ＝178，解得：a ＝－2或a ＝－18.(2)由f (x )＞－2x 2－3x ＋1－2a 得：(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0. 当a ＝－2时，不合题意； 当a ≠－2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4a ＋2a －1＜0，所以a ＞2.(3)ax 2＋x －a －1＞0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)＞0 因为a ＜0，所以(x －1)(x ＋a ＋1a)＜0， 因为1－(－a ＋1a )＝2a ＋1a， 所以当－12＜a ＜0时，1＜－a ＋1a ，解集为{x |1＜x ＜－a ＋1a }；当a ＝－12时，(x －1)2＜0，解集为∅；当a ＜－12时，1＞－a ＋1a ，解集为{x |－a ＋1a＜x ＜1}．19．(本小题满分16分)(2013·无锡检测)已知函数f (x )＝x 2－ax (a ∈R )． (1)若不等式f (x )＞a －3的解集为R ，求实数a 的取值范围；(2)设x ＞y ＞0，且xy ＝2，若不等式f (x )＋f (y )＋2ay ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)即不等式x 2－ax －a ＋3＞0的解集为R ， ∴Δ＝a 2＋4(a －3)＜0恒成立， 即a 2＋4a －12＜0恒成立， ∴－6＜a ＜2.(2)即不等式x 2－ax ＋y 2－ay ＋2ay ≥0恒成立，∴不等式x 2＋y 2≥a (x －y )恒成立． ∵x ＞y ＞0，∴a ≤x 2＋y 2x －y. ∵x 2＋y 2x －y ＝x －y 2＋2xy x －y ＝(x －y )＋4x －y≥4 (当且仅当x －y ＝4x －y即x ＝1＋3，y ＝－1＋3时取等号)， ∴实数a 的取值范围(－∞，4]．20．(本小题满分16分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．【解】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则不等式f (x )＞－2x 化为ax 2＋(b ＋2)x ＋c＞0.因为不等式的解集为(1,3)，所以a ＜0，－b －2a ＝4，c a＝3，即a ＜0，b ＝－4a －2，c ＝3a .因为方程ax 2＋bx ＋6a ＋c ＝0有两个相等的实根，所以Δ＝b 2－4a (6a ＋c )＝0.把b ，c分别代入Δ中，化简得5a 2－4a －1＝0，解得a ＝－15，a ＝1(舍去)．所以b ＝－65，c ＝－35.所以f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35. (2)由(1)知a ＜0，所以当x ＝－b 2a 时，函数f (x )取得最大值，由题设，得a (－b 2a )2＋b ·(－b 2a)＋c ＞0.代入b ，c 并整理得a 2＋4a ＋1＞0.解得a ＜－2－3或a ＞－2＋ 3.又因为a ＜0，所以a 的取值范围为(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．。
课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 模块学习评价 北师大版必修
模块学习评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x 3－y3＝1的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 设直线斜率k ＝33，∴tan α＝33，∴α＝30°.【答案】 A2．(2013·周口高一检测)如图1所示，空心圆柱体的主视图是( )图1【解析】 看不到的部分用虚线表示，主视图应是矩形． 【答案】 C3．已知点A (1,2)、B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5【解析】 AB 的中点坐标为(2，32)，k AB ＝－12，∴AB 中垂线的斜率为2，∴中垂线方程为y －32＝2(x －2)即4x －2y ＝5.【答案】B4．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (x ，－1,6)的距离为86，则x 等于( )A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或2【解析】 由空间两点距离公式得－3－x2＋4＋12＋0－62＝86，∴x ＝2或－8.【答案】 C5．(2013·成都高一检测)已知m 是平面α的一条斜线，点A ∉α，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )A ．l ∥m ，l ⊥αB ．l ⊥m ，l ⊥αC ．l ⊥m ，l ∥αD ．l ∥m ，l ∥α【解析】 如图l 可以垂直m ，且l 平行α.【答案】 C6．(2013·北京丰台高一检测)直线x －y ＋1＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切B ．直线过圆心C ．直线不过圆心但与圆相交D ．相离【解析】(x ＋1)2＋y 2＝1的圆心为(－1,0)，圆心到直线的距离：d ＝|－1＋1|2＝0.∴直线x －y ＋1＝0过圆心． 【答案】 B7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．4C ．9D ．3【解析】S圆台侧＝π(r＋3r)l＝84π，又l＝7.∴r＝3.【答案】D8．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【解析】根据面面垂直的判定定理，知②正确．由若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一平面，知④正确．【答案】D9．(2013·福州高一检测)圆x2＋y2－8x＋6y＋16＝0与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )A．相交B．相离C．内切D．外切【解析】设圆x2＋y2＝16的圆心为O，则O(0,0)，r1＝4.设圆x2＋y2－8x＋6y＋16＝0的圆心为C，半径为r2，则C(4，－3)，r2＝3.∴|OC|＝4－02＋－3－02＝5，∴|r1－r2|＜|OC|＜r1＋r2，∴两圆相交．【答案】A图210．如图2，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部【解析】 ∵BC 1⊥AC ，BA ⊥AC ，BC 1∩BA ＝B ， ∴AC ⊥平面BC 1A ，∴平面BAC ⊥平面BC 1A ，∵C 1H ⊥平面ABC 且H 为垂足，平面BAC ∩平面BC 1A ＝AB ， ∴H ∈AB . 【答案】 B11．(2012·课标全国卷)如图3，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )图3A ．6B ．9C ．12D ．18【解析】 由题意知，此几何体是三棱锥，其高h ＝3，相应底面面积为S ＝12×6×3＝9，∴V ＝13Sh ＝13×9×3＝9.【答案】 B12．(2013·日照高一检测)若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－x －22有公共点，则k 的取值范围是( )A ．(0，43]B ．[13，43]C ．[0，12]D ．[0,1]【解析】 曲线y ＝－1－x －22可化为(x －2)2＋y 2＝1它表示以(2,0)为圆心，1为半径的x 轴下方的半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k ≤1.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(2013·东海高一检测)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋11＝0平行，则实数m 的值是________．【解析】 由条件可知，36＝4m ≠－311，解得m ＝8. 【答案】 814．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________． 【解析】 依题意可设点P (0,0，z )， ∵|PA |＝|PB |， ∴1－02＋－2－02＋1－z2＝2－02＋2－02＋2－z2解得z ＝3，∴P (0,0,3)． 【答案】 (0,0,3)15．(2013·长沙高一检测)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．图4【解析】 设球的直径为d ， 则据题意V 圆柱＝π(d 2)2·d ＝πd 34；V 圆锥＝13π(d 2)2·d ＝πd 312；V 球＝43π(d 2)3＝πd 36.∴V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝3∶1∶2. 【答案】 3∶1∶216．过点A (m,2)总可以作两条直线和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4相切，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意，点A 在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的外部，故(m ＋1)2＋(2－2)2＞4，即|m ＋1|＞2，解得m ＞1或m ＜－3.【答案】 (－∞，－3)∪(1，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知四棱锥P —ABCD ，其三视图和直观图如图5，求该四棱锥的体积．图5【解】 由三视图知底面ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝4，顶点P 在面ABCD 内的射影为BC 中点E ，即棱锥的高为2，则体积V P —ABCD ＝13S ABCD ×PE ＝13×2×4×2＝163.18．(本小题12分)(2013·温州高一检测)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1,3)和点B (5,2)的距离相等，求直线l 的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －10＝0x ＋y －2＝0得交点为(3，－1)，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1， 解得k ＝－14，所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0；又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意． 故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求．图619．(本小题12分)(2013·济宁高一检测)如图6，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC ＝AD ，DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：(1)AF ∥平面BCE ；(2)平面BCE ⊥平面CDE .【证明】 (1)因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥DE .取CE 的中点G ，连接BG ，GF ，因为F 为CD 的中点，所以GF ∥ED ∥BA ，GF ＝12ED ＝BA ，从而ABGF 是平行四边形，于是AF ∥BG .因为AF 平面BCE ，BG 平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .(2)因为AB ⊥平面ACD ，AF 平面ACD ，所以AB ⊥AF ，即ABGF 是矩形，所以AF ⊥GF .又AC ＝AD ，所以AF ⊥CD .而CD ∩GF ＝F ，所以AF ⊥平面GCD ，即AF ⊥平面CDE .因为AF ∥BG ，所以BG ⊥平面CDE .因为BG 平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .20．(本小题12分)若一圆经过直线l ：2x ＋y ＋4＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0有交点．求(1)面积最小的圆的方程；(2)过点(2，－1)的圆的方程．【解】 设过圆C 和直线l 的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x ＋y ＋4)＝0.(1)[x ＋(1＋λ)]2＋(y ＋λ－42)2＝5λ2－16λ＋164， ∵圆的面积最小，∴只需r 2最小．∵r 2＝5λ2－16λ＋164＝54(λ－85)2＋45≥45， ∴当λ＝85时，r 2有最小值45. ∴所求圆的方程为 x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋85(2x ＋y ＋4)＝0， 即5x 2＋5y 2＋26x －12y ＋37＝0.(2)由于圆过点(2，－1)，∴22＋1＋2×2－4×(－1)＋1＋λ(2×2－1＋4)＝0，∴14＋7λ＝0，即λ＝－2，∴所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1－2(2x ＋y ＋4)＝0，即x 2＋y 2－2x －6y －7＝0.图721．(本小题12分)在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，△ABC 为正三角形，D ，E 分别为BC ，CA 的中点．(1)试在BC上求作一点F，使AD∥平面PEF，并证明你的结论；(2)设AB ＝PA ＝2，对于(1)中的点F ，求三棱锥B —PEF 的体积．【解】 (1)证明：CD 的中点F 即为所求．证明如下：取CD 的中点F ，∵E ，F 分别为CA ，CD 的中点，∴AD ∥EF .又AD平面PEF ，EF 平面PEF ，∴AD ∥平面PEF .(2)∵V B —PEF ＝V P —BEF ，又S △BEF ＝12BF ×EF ＝12×34BC ×12AD ＝338. ∴V B —PEF ＝V P —BEF ＝13S △BEF ×PA ＝34. 22．(本小题12分)(2013·长沙高一检测)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．【解】 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋32＋y 2 ＝2x －32＋y 2.化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l 是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16.当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，∴|QM |最小＝4.欢迎下载，资料仅供参考!!!。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第三章 不等式综合检测 北师大版必修5
第三章 不等式(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( ) A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．a ＞b ⇒a 2＞b 2C ．a ＞b ⇒a 3＞b 3D ．a 2＞b 2⇒a ＞b【解析】 A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；B 中，当a ＝0＞b ＝－1时，a2＝0＜b 2＝1，所以B 不正确；D 中，当(－2)2＞(－1)2时，－2＜－1，所以D 不正确，很明显C 正确．【答案】 C2．不等式x 2≥3x 的解集是( ) A ．{x |x ≥3} B ．{x |x ≤3} C ．{x |0≤x ≤3}D ．{x |x ≤0或x ≥3}【解析】 原不等式化为x 2－3x ≥0，则x ≤0或x ≥3. 【答案】 D3．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值【解析】 当x >0时，x ＋1x≥2x ×1x＝2.【答案】 B4．关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(bx －a )(x ＋2)>0的解集为( )A ．(－2，1)B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】 由已知得a ＋b ＝0且a <0，∴(bx －a )(x ＋2)>0，即(x ＋1)(x ＋2)>0，解得x >－1或x <－2.【答案】 B5．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的正的等比中项的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【解析】ab ≤a ＋b 2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．【答案】 B 6．不等式x －1x ＋2＞1的解集是( ) A ．{x |x ＜－2} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |x ＜1} D ．R【解析】 不等式可化为x －1x ＋2－1＞0，即－3x ＋2＞0， ∴x ＋2＜0，∴x ＜－2. 【答案】 A7．已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3 【解析】 由lg 2x＋lg 8y＝lg 2，得lg 2x ＋3y＝lg 2，∴x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋x 3y ＋3yx≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝1，x 3y ＝3yx，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝16时，等号成立．故1x ＋13y 的最小值是4. 【答案】 C8．(2013·皖南八校高二检测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x－2y 的最大值为( )A ．－9B ．0C ．9D ．15【解析】 约束条件的可行域如图阴影部分，作出直线l 0：x －2y ＝0，平移知，在点B (3，－6)处z 有最大值且z max ＝3－2×(－6)＝15.故选D.【答案】 D9．若a ，b ∈(0，＋∞)且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(0，9) C ．(3，＋∞) D ．[9，＋∞)【解析】 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ，所以ab ≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0， ∴ab ≥3，或ab ≤－1(舍去)， ∴ab ≥9.故选D. 【答案】 D10．我市某公司，第一年产值增长率为p ，第二年产值增长率为q ，这二年的平均增长率为x ，那x 与p ＋q2大小关系(p ≠q )是( )A ．x <p ＋q2 B ．x ＝p ＋q2C ．x >p ＋q2D ．与p ，q 取值有关【解析】 由已知得(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， 又因为(1＋p )(1＋q )<[（1＋p ）＋（1＋q ）2]2＝(1＋p ＋q2)2，所以(1＋p ＋q2)2>(1＋x )2，所以x <p ＋q2.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，y ≥0，2x －y ≥0所表示的平面区域的面积是________．【解析】 如图满足条件的平面区域为一直角梯形，其面积为S ＝12×(2＋8)×3＝15.【答案】 1512．设a >b >0，集合M ＝{x |b <x <a ＋b2}，N ＝{x |ab <x <a }，则集合M ∩N ＝________．【解析】 由a >b >0，得b <ab <a ，a ＋b2<a ，又∵a ＋b2>ab ，∴M ∩N ＝{x |ab <x <a ＋b2}． 【答案】 {x |ab <x <a ＋b2}13．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为每次4万元，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________．【解析】 设一年的总费用为y 万元， 则y ＝4×400x ＋4x ＝1 600x＋4x ≥21 600x×4x ＝160.当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．【答案】 2014．(2013·济南高二检测)下列命题：①设a ，b 是非零实数，若a <b ，则ab 2<a 2b ；②若a <b <0，则1a >1b ；③函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值是2；④若x ，y 是正数，且1x ＋4y＝1，则xy 的最小值16.其中正确命题的序号是________．【解析】 ①中ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，∵a ，b 符号不定，∴上式符号不定．故①错；②中在a <b 两边再乘以正数1ab ，得1a >1b，故②正确；③中y＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，但由x 2＋2＝1x 2＋2得x 2＋2＝1无解，故③错误；④中∵1x ＋4y ＝1≥24xy，∴xy ≥16.即④正确． 【答案】 ②④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知x ，y 均为正数，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．【解】 ∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝y x ＋9xy＋10≥2y x ·9xy＋10＝16. 当且仅当y x ＝9xy时取等号． 由⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝9x y ，1x ＋9y ＝1及x ＞0，y ＞0，得x ＝4，y ＝12.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.16．(本小题满分12分)已知a >0，b >0，且a ≠b 比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小．【解】 ∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a)＝(a 2－b 2)a －bab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，又∵a >0，b >0，a ≠b ，∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0.∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0.∴a 2b ＋b 2a>a ＋b . 17．(本小题满分12分)如图1，互相垂直的两条公路AP 、AQ 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN ，要求点M 在射线AP 上，点N 在射线AQ 上，且直线MN 过点C ，其中AB ＝36米，AD ＝20米．记三角形花园AMN 的面积为S .图1(1)问：DN 取何值时，S 取得最小值，并求出最小值； (2)若S 不超过1 764平方米，求DN 长的取值范围． 【解】 (1)设DN ＝x (x >0)米，则AN ＝(x ＋20)米．因为DN DC ＝AN AM ，所以x 36＝x ＋20AM，即AM ＝36（x ＋20）x.所以S ＝12×AM ×AN ＝18（x ＋20）2x＝18(x ＋400x＋40)≥1 440，当且仅当x ＝20时取等号．所以，S 的最小值等于1 440平方米．(2)由S ＝18（x ＋20）2x≤1 764，得x 2－58x ＋400≤0，解得8≤x ≤50.所以，DN 长的取值范围是[8，50]．18．(本小题满分14分)某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱可获利润40元，B种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min).30h ，包装的设备最多只能用机器15 h ，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？【解】 设生产A 种糖果x 箱，生产B 种糖果y 箱，可获利润z 元，即求z ＝40x ＋50y在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤720，5x ＋4y ≤1 800，3x ＋y ≤900，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N下的最大值．作出可行域，如图．作直线l 0：40x ＋50y ＝0，平移l 0，直线经过点P 时，z ＝40x ＋50y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝720，5x ＋4y ＝1 800，得点P 坐标为(120，300)．∴z max ＝40×120＋50×300＝19 800.所以生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱时，可以获得最大利润19 800元．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第1章 解三角形章末归纳提升 苏教版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第1章 解三角形章末归纳提升 苏教版必修5解三角形正弦定理定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 变形类型已知两角和一边，解三角形已知两边和其中一边的对角应用 举例测量问题平面几何问题航海问题余弦定理定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 变形类型已知两边及夹角，解三角形已知三边，解三角形求出其它元素，常见类型及方法如下：在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形：(1)b＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.【思路点拨】 审清已 知条件→判断解 题类型→选择正、 余弦定理→求解【规范解答】 (1)∵a ＞b ，∴B 为锐角，由正弦定理，sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理c ＝asin A ·sin C ＝833.(2)由正弦定理sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理c ＝asin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝22－263.(3)法一 由正弦定理sin B ＝ba·sin A ＝1，∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理c ＝asin A ·sin C ＝433. 法二 设第三边长为c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0，∴c ＝433，由正弦定理sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a ＞c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°.(4)由正弦定理sin B ＝b a·sin A ＝3＞1，B 无解，三角形无解．(1)在△ABC 中，C ＝45°，A ＝60°，b ＝2，求B 及a ，c 的值；(2)在△ABC 中，a ＝2，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的三个内角．【解】 (1)∵A ＝60°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(60°＋45°)＝75°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2×326＋24＝32－ 6.∵csin C ＝b sin B ，∴c ＝b sin C sin B ＝2×226＋24＝2(3－1)． (2)∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ 22 2＋ 6＋2 2－222×22× 6＋2＝32， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22＋ 6＋2 2－ 22 22×2× 6＋2＝22，且A ，B 都是△ABC 的内角， ∴A ＝30°，B ＝45°，∴C＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴△ABC 的三个内角分别是30°，45°，105°.用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．在解三角形时常用的结论有：1．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔cos A ＜cos B .2．在△ABC 中，a 2＋b 2＜c 2⇔cos<0⇔π2＜C ＜π，a 2＋b 2＝c 2⇔cos C ＝0⇔C ＝π2，a 2＋b 2＞c 2⇔cos C ＞0⇔0＜C ＜π2.已知△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】 若化A ＝180°－(B ＋C )，利用三角变换较为繁琐，因而可考虑利用正、余弦定理化为边的关系，利用代数恒等变形进行求解．【规范解答】 由正弦定理和余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋ca ，∴b ＋c ＝a 2＋c 2－b 22c ＋a 2＋b 2－c 22b，∴2c 2－a 2－c 2＋b 22c ＝a 2＋b 2－c 2－2b 22b，∴c 2＋b 2－a 2c ＝a 2－b 2－c 2b，∴(b 2＋c 2－a 2)(1c ＋1b)＝0.∵1c ＋1b≠0，∴b 2＋c 2－a 2＝0，∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，角A 是锐角，则△ABC 的形状是________．【解析】 由3b ＝23a sin B ，得b sin B ＝23a 3，根据正弦定理，得b sin B ＝asin A，所以asin A ＝23a 3，即sin A ＝32. 又角A 是锐角，所以A ＝60°.又cos B ＝cos C ，且B ，C 都为三角形的内角，所以B ＝C . 故△ABC 为等边三角形． 【答案】 等边三角形是近几年高考中一类热点题型. 在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，还要注意三角形内部的隐含条件的应用，注意与方程、向量、不等式等知识的融合渗透，注意函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且8(sinB ＋C2)2－2cos 2A＝7.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求△ABC 的面积．【思路点拨】 化简已知等式→解方程求cos A →求角A →利用余弦定理求bc →求面积． 【规范解答】 (1)∵8·(sinB ＋C2)2－2cos 2A ＝7，∴8·1－cos B ＋C 2－2(2cos 2A －1)＝7，整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A＝12，即A ＝60°. (2)∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴3＝b 2＋c 2－2bc ·12＝(b ＋c )2－3bc ＝32－3bc ，bc ＝2. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×32＝32.在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，BC ＝53，外接圆半径为5. (1)求角A 的大小；(2)若AB →·AC →＝112，求△ABC 的周长．【解】 (1)由正弦定理得sin A ＝BC 2R ＝32.∵0＜A ＜π， ∴A ＝π3或2π3.(2)∵AB →·AC →＝bc cos A ＝112＞0，∴A ＝π3，bc ＝11.由余弦定理，得12＝b 2＋c 2－a22bc ，即(b ＋c )2＝3bc ＋75＝108. ∴b ＋c ＝6 3.∴△ABC 的周长为11 3.之间的关系用函数表示出来，然后用函数的观点研究问题．方程的思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量之间的关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值．正、余弦定理在一定条件下，都可以看作方程，从而求出所需要的量．在△ABC 中，c ＝2＋6，C ＝30°，试求a ＋b 的取值范围．【思路点拨】 本题利用正弦定理结合比例的性质将a ＋b 转化为A 的函数，从而将求a ＋b 的取值范围转化为求函数值域．【规范解答】 因为csin C ＝a sin A ＝b sin B ＝a ＋b sin A ＋sin B， 又c ＝2＋6，C ＝30°，所以a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°.所以a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)·2sin 75°cos(75°－A )＝2(2＋6)·6＋22cos(75°－A )＝(2＋6)2cos(75°－A )．所以当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋43； 又因为A ＋B ＝150°，所以0°＜A ＜150°，－150°＜－A ＜0°. 所以－75°＜75°－A ＜75°， 所以cos(75°－A )∈(cos 75°，1]． 又(2＋6)2cos 75°＝(2＋6)2·6－24＝2＋6， 所以2＋6＜a ＋b ≤8＋4 3.综上所述，a ＋b ∈(2＋6，8＋43]．在△ABC 中，已知内角A ＝π3，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y .(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域； (2)求y 的最大值．【解】 (1)在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π. 由正弦定理得：AC ＝BCsin A ·sin B ＝23sinπ3sin x ＝4sin x ， AB ＝BCsin A ·sin C ＝4sin(23π－x )，x ＜23π. ∴y ＝AB ＋BC ＋AC＝4sin(23π－x )＋23＋4sin x＝23cos x ＋6sin x ＋2 3 ＝43sin(x ＋π6)＋23，其定义域为{x |0＜x ＜23π}．(2)由(1)得y ＝43sin(x ＋π6)＋23，∵0＜x ＜2π3，∴π6＜x ＋π6＜5π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，y 取得最大值为6 3.综合检测(一) 第1章 解三角形(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝45°，a ＝2，则b ＝________. 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2×2212＝2 2.【答案】 2 22．(2013·合肥高二检测)在▱ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，则AD ＝________.【解析】 AD ＝BC＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝46 2＋ 43 2－2×46×43×22＝4 3. 【答案】 4 33．(2013·九江高二检测)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.【解析】 ∵b sin B ＝csin C，∴sin B ＝b sin Cc ＝12.∵C ＞π2，∴B ＝π6.∴A ＝B ＝π6，∴a ＝b ＝1.【答案】 14．△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则此三角形是________． 【解析】 设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，其中t ＞0. 由于a ＜b ＜c ，所以C 是最大角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14＜0，所以C 是钝角． 【答案】 钝角三角形5．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则sin A 的值是________．【解析】 c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝219.∵a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝4×32219＝5719. 【答案】57196．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.【解析】 ∵S ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，∴a ＝42＋12－2×4×cos 60°＝13， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝1332＝2339.【答案】2339 7．(2013·厦门高二检测)在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为________．【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，∴c ＝3，∴B 为最大角．∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－17.【答案】 －178．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＝3，则△ABC 的面积为________．【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B， ∴3sin 60°＝bsin 45°，∴b ＝2，C ＝180°－60°－45°＝75°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 75°＝3＋34.【答案】3＋349．下面四个命题：①若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 必是等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 是直角三角形；③若cos A ·cos B ·cos C ＜0，则△ABC 是钝角三角形；④若cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1，则△ABC 是等边三角形．其中正确的是________．(填序号)【解析】 对于①，由sin 2A ＝sin 2B ，得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形，因此①不正确；对于②，假设A ＝120°，B ＝C ＝30°，符合sin A ＝cosB ，但此时三角形不是直角三角形，因此②不正确；对于③，由cos A ·cos B ·cosC ＜0可知cos A ，cos B ，cos C 中必有一个负值，两个正值，因此△ABC 必为钝角三角形，所以③正确；对于④，由cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1可知，只有满足cos(A －B )，cos(B －C )，cos(C －A )都等于1时，才有cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1成立，所以A ＝B ＝C ，故此三角形为等边三角形，所以④正确．综上可知③④正确．【答案】 ③④10．(2013·镇江高二检测)已知△ABC 的三边长满足等式a 2－ b －c 2bc＝1，则A 的值为________．【解析】 等式可化为a 2－(b 2＋c 2)＝－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°11．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一个灯塔M 原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是53海里，则灯塔和轮船原来的距离为________．【解析】 画出示意图如图． △ABC 中，AB ＝10，BC ＝53， ∠BAC ＝60°.由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°， 得AC 2－10AC ＋25＝0，∴AC ＝5. 【答案】 5海里12．(2013·苏州高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )·cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.【解析】 由题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， ∴3sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∴cos A ＝33. 【答案】33图113．如图1所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，则BD ＝________.【解析】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°， ∵AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC sin ∠BCA AB ＝9s in 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， ∴sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，∵AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，∴BD ＝AB sin ∠BAD sin ∠ADB ＝5×91022＝922. 【答案】 92214．有一解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos 2A ＋C2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整．【解析】 将A ＝60°看作已知条件，由2cos 2A ＋C2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°， 由a sin A ＝bsin B ，得b ＝ 2. 又C ＝75°，sin C ＝sin(45°＋30°)＝2＋64， 由a sin A ＝c sin C ，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2，且由已知得B ＝45°，则由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°，不合题意；若已知条件为c ＝2＋62，则 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 综上所述，破损处的条件为c ＝2＋62. 【答案】 c ＝2＋62 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A .【解】 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)cos 45°＝8，∴b ＝2 2. cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝ 22 2＋ 6＋2 2－ 2322×22× 6＋2 ＝12， ∴A ＝60°.16．(本小题满分14分)(2013·泰州高二检测)在△ABC 中，已知AC ＝3，sin A ＋cos A ＝2，(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝3，求BC 的值．【解】 (1)∵sin A ＋cos A ＝2，∴2sin(A ＋π4)＝ 2 ∴sin(A ＋π4)＝1，A ＝π4，∴sin A ＝22. (2)∵S ＝12AB ·AC sin A ＝12×3×22AB ＝3， ∴AB ＝22，∴BC ＝32＋ 22 2－3×22×2×22＝ 5.图217．(本小题满分14分)如图2所示，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB ＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角∠OAP ＝30°，在B 处测得点P 的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高h .【解】 在Rt △AOP 中，AO ＝OP ·cot 30°＝3h .又OP ⊥OB ，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ＝h .在△ABO 中，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos∠AOB ，即202＝3h 2＋h 2－2·3h ·h cos 60°，即4h 2－3h 2＝202，∴h ＝204－3.∴旗杆的高h 为204－3.18．(本小题满分16分)(2013·无锡高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，(1)求角C ；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 得 a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合0＜C ＜π，得C ＝π3. (2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而a ＝b ＝3.所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934. 19．(本小题满分16分)(2013·临沂高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13， (1)求sin 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求bc 的最大值． 【解】 (1)∵cos A ＝13，∴sin A ＝223，cos 2A ＝－79， ∴sin2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos B ＋C 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋cos 2A ＝1＋132－79＝－19. (2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴3＝b 2＋c 2－23bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，∴3≥2bc －23bc ，即3≥43bc ，∴bc ≤94(b ＝c ＝32时取等号)，∴bc 的最大值为94.20．(本小题满分16分)(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值．【解】 (1)证明：∵AB →·AC →＝3BA →·BC →，∴AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B .由正弦定理，得 AC sin B ＝BCsin A ，∴sin B ·cos A ＝3sin A ·cos B .又∵0＜A ＋B ＜π，∴cos A ＞0，cos B ＞0.∴sin B cos B ＝3·sin Acos A ，即tan B ＝3tan A .(2)∵cos C ＝55，0＜C ＜π，∴sin C ＝1－ 55 2＝255.∴tan C ＝2.∴tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2.∴tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1，tan A ＝－13.∵cos A ＞0，∴tan A ＝1.∴A ＝π4.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1 正弦定理(第2课时)教案 苏教版必修5
第2课时正弦定理(2)(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)学会利用正弦定理解决有关平面几何问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想；(2)能熟练运用正弦定理解斜三角形．2.过程与方法通过解斜三角形进一步巩固正弦定理，让学生总结本节课的内容．3．情感、态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力；(2)培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力．●重点、难点重点：利用正弦定理判断三角形形状．难点：灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式．教学时要抓住知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合三角形中的边角关系，不断地观察、比较、分析，总结判断三角形形状的方法，揭示其中的规律．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在学生学习了正弦定理之后，是对正弦定理的应用和深化．因此，建议本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的应用”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨．让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程结合所提问题，引导学生在复习正弦定理内容的基础上探究正弦定理的各种变形形式.⇒引导学生结合已学三角形面积公式探究已知两边夹角时三角形的面积公式.⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第4页)在正弦定理的表达式中，asin A＝bsin B＝csin C，其中比值的几何意义是什么？探索并证明你的结论．【提示】比值是△ABC外接圆的直径，可先对直角三角形探索，并推广到一般三角形，其证明过程如下：若△ABC为锐角三角形，如图所示，连结BD.∵A与D对应，∴A＝D，∴asin A＝bsin∠ABC＝csin∠ACB＝asin D.又∵a sin D ＝2R sin ∠DBC，∠DBC ＝90°，∴asin D ＝2R 1，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB＝2R .若△ABC 为钝角三角形，不妨设B ＞90°，如图所示，连结BD .∵A 与D 对应，∴A ＝D ，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB ＝asin D. 又∵a sin D ＝2R sin ∠DBC ，∠DBC ＝90°，∴a sin D ＝2R 1，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB＝2R .正弦定理经常变形如下，以便于边角互化． (1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(3)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C； (4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(5)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C.1．在△ABC 中，已知BC ＝a ，高AD ＝h ，如何计算△ABC 的面积S? 【提示】 S ＝12ah .2．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，角C 已知，你能否求出△ABC 的面积？ 【提示】 ∵h ＝AD ＝b sin C ， ∴S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C .S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .(对应学生用书第4页)在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，求△ABC 的面积．【思路探究】 画图，由图形可知，不能直接利用面积公式，应由正弦定理求出sin C ，从而求出sin B .【自主解答】 由正弦定理，得7sin 120°＝5sin C ，∴sin C ＝5314，且C 为锐角，∴cos C ＝1114，∴sin B ＝sin (180°－120°－C )＝sin (60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B＝12×5×7×3314＝1534. 即△ABC 的面积为154 3.1．由于A ＞90°，所以B ，C 均为锐角，应避免对角C 分类讨论．2．利用两边一夹角公式求△ABC 的面积，应注意已知条件是否符合公式要求，即两边及它们的夹角，否则不能乱用．△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.故△ABC 的面积是23或 3. 【答案】 23或 3在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝a cos C ，试判定△ABC 的形状．【思路探究】 利用正弦定理的变形，将边化为角，再利用三角形内角和定理及三角恒等变换进行转化．【自主解答】 ∵b ＝a cos C ， 由正弦定理得sin B ＝sin A ·cos C . ∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin(A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ， ∴cos A sin C ＝0. ∵A 、C ∈(0，π)， ∴cos A ＝0，A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．1．确定三角形的形状主要有两条途径： (1)化边为角；(2)化角为边．2．确定三角形形状的思想方法：先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系，再由三角变形或代数变形分解因式，判定形状．在变形过程中要注意等式两端的公因式不要约掉，应移项提取公因式，否则会有漏掉一种解的可能．若将条件“b ＝a cos C ”换为“b cos A ＝a cos B ”，试判断△ABC 的形状． 【解】 ∵b cos A ＝a cos B ，∴sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin(A －B )＝0，∴A －B ＝0，∴A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形．台风中心位于某城市正东方向300 km 处，并以40 km/h 的速度向西北方向移动，距离台风中心250 km 的范围内将会受其影响．如果台风风速不变，那么该城市在多长时间后开始受到台风的影响？这种影响将持续多长时间？(精确到0.1 h)【思路探究】 本题实质上是三角形中已知两边和其中一边所对的角，解三角形问题． 【自主解答】 如图所示，该城市位于点A ，台风中心点B 在点A 的正东方向300 km 处，以40 km/h 的速度向西北方向移动．设经过t 1小时，该城市受到影响，经过t 2小时，台风刚好离开，城市受影响的时间为t 小时．则在△ABC 1中，AB ＝300 km ，AC 1＝250 km ，AC 2＝250 km ，BC 1＝40t 2 km ，B ＝45°， 由正弦定理得AC 1sin B ＝AB sin ∠AC 1B ＝BC 1sin ∠C 1AB ， 即sin ∠AC 1B ＝AB sin B AC 1＝352≈0.8485，∴∠AC 1B ≈58.05°，∠AC 2B ≈121.95°.当∠AC 1B ≈58.05°时，∠C 1AB ＝180°－(B ＋∠AC 1B )≈76.95°，BC 1＝AC 1sin ∠C 1AB sin B≈344.42(km)，此时t 2＝BC 140≈8.6(h)．同理，当∠AC 2B ≈121.95°时，BC 2≈79.83(km)，t 1≈2.0(h)．t ＝t 2－t 1≈8.6－2.0＝6.6(h)．答：约2小时后该城市开始受到台风影响，持续时间约为6.6 h.1．解决正弦定理的实际应用问题的关键是根据题意将已知量置于可解的三角形中，通过正弦定理与其他知识解三角形后，根据实际问题得出结论．2．以三角形为数学模型求解实际问题时，要正确使用仰角，俯角，方位角，方向角等概念，依此得出相应的三角形内角的大小．甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 点处，测得乙船以每小时a 海里的速度向正北行驶．已知甲船的速度是每小时3a 海里，则甲船应如何航行才能最快地与乙船相遇？【解】 如图所示，设这两船最快在C 点相遇，在△ABC 中，B ＝120°，AB 为定值，AC ，BC 分别是甲船与乙船在相同时间内的行程，由已知条件有AC ∶BC ＝3a ∶a ＝3∶1， 由正弦定理得sin ∠CAB ＝BC AC sin B ＝13sin 120°＝12， 又0°＜∠CAB ＜60°，∴∠CAB ＝30°.故甲船的航向是北偏东60°－∠CAB ＝60°－30°＝30°.故甲船向北偏东30°的方向航行，才能最快地与乙船相遇．(对应学生用书第5页)判断三角形形状时忽略隐含条件而致误在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC的形状．【错解】 由已知得a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， 所以2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A .由正弦定理，得sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， 所以sin 2A ＝sin 2B .所以2A ＝2B ，即A ＝B . 所以△ABC 为等腰三角形．【错因分析】 解题过程中忽略角的范围这一限制条件，约分时应指出sin A ≠0，sinB ≠0.同时由sin 2A ＝sin 2B 及角2A,2B 的范围应得出两种情况：2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.出现上述错误的主要原因就是三角函数的知识掌握得不扎实．【防范措施】 在进行有关三角形内角的三角恒等变换时，先讨论角的范围，然后在所求范围内，由三角恒等式讨论角的关系．【正解】 由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， 得a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]， 所以2a 2sin B cos A ＝2b 2sin A cos B .由正弦定理得sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B . 因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ＞0，sin B ＞0， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 因为0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．基础知识：(1)三角形面积公式；(2)正弦定理的深化及变化．2．基本技能：(1)求三角形的面积；(2)判断三角形形状；(3)正弦定理的综合应用与实际应用．3．思想方法：(1)转化与化归思想；(2)数学建模；(3)公式法求面积．(对应学生用书第6页)1．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B ＝________. 【解析】 sin A ∶sin B ＝a 2R ∶b2R＝a ∶b ＝5∶3. 【答案】 5∶32．已知△ABC 中，AB ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为________． 【解析】 由BC sin A ＝ABsin C ，得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝9 3.【答案】 9 33．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．【解析】 如图所示，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理AC sin B ＝ABsin C得AC ＝AB ·sin Bsin C ＝2×3222＝ 6. 【答案】64．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a b ＝cos Bcos A，试判断△ABC的形状．【解】 由正弦定理得a b ＝sin Asin B，所以，a b ＝cos B cos A ⇒sin A sin B ＝cos B cos A⇒sin A cos A＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B ⇒2A ＝2B 或2A ＝π－2B ⇒A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.(对应学生用书第80页)一、填空题1．(2013·岳阳高二检测)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则A 、B 、C 分别所对边a ∶b ∶c ＝________.【解析】 a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4. 【答案】 3∶2∶42．(2013·无锡检测)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，∠A ＝60°，AC ＝23，S △ABC ＝92，则AB ＝________.【解析】 ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12AB ×23×32＝32AB ，∴32AB ＝92，∴AB ＝3. 【答案】 33．(2013·南通检测)在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin A cosC ＝sin B ，则ac＝________.【解析】 ∵2sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ∴sin A cos C －cos A sin C ＝0，∴sin(A －C )＝0. ∴A ＝C ，∴a c＝1. 【答案】 14．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 一定是________三角形．【解析】 ∵a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2， ∴sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.∵0°＜A 2，B 2，C2＜90°， ∴A 2＝B 2＝C2，∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形． 【答案】 等边5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________. 【解析】 ∵a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b sin A a ＝33. ∵b ＜a ，∴B ＜A ，∴B 为锐角，∴cos B ＝63. 【答案】636．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(a 2，b 2)，n ＝(tan A ，tan B )，且m ∥n ，那么△ABC 一定是________三角形．【解析】 ∵m ∥n ，∴a 2tan B ＝b 2tan A ， ∴sin 2A tanB ＝sin 2B tan A ， ∴sin A cos B ＝sin Bcos A，∴sin 2A ＝sin 2B ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰或直角三角形．【答案】 等腰或直角7．(2013·德州高二检测)△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．【解析】 设最小角为α，则最大角为120°－α， ∴sin 120°－α sin α＝3＋12，∴2sin(120°－α)＝(3＋1)sin α， ∴sin α＝cos α，∴α＝45°，∴最大角为120°－45°＝75°. 【答案】 75°8．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则AC ＋AB 的取值范围是________．【解析】 根据正弦定理，得AC ＝BC sin B sin A ＝23sin B ，AB ＝BC sin C sin A＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23(sin B ＋sin C ) ＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(sin B ＋32cos B ＋12sin B ) ＝6sin(B ＋π6)．∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin(B ＋π6)≤1， ∴3＜6sin(B ＋π6)≤6.∴AC ＋AB 的取值范围是(3,6]． 【答案】 (3,6] 二、解答题9．(2013·如皋检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．【解】 (1)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝35×12＋45×32＝110(3＋43)．(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin Asin B ＝3×3532＝65，∴S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝93＋3650.10．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【解】 ∵A 、B 、C 是三角形的内角， ∴A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C .∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0.又∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴－π＜B －C ＜π，∴B ＝C . 又∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， (R 为△ABC 外接圆的半径) 可得a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，若C ＝3B ，求cb的取值范围． 【解】 由正弦定理可知c b ＝sin C sin B ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1. 又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ， 故0°＜B ＜45°，22＜cos B ＜1， 所以12＜cos 2B ＜1，所以1＜4cos 2B －1＜3，故1＜c b＜3.即c b的取值范围是(1,3)．(教师用书独具)在△ABC 中，求证a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.【思路探究】 由正弦定理把等式左边统一为角的三角函数，通过三角变换证明． 【证明】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B 2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin A －sin C ·cos Bsin B －sin C ·cos A＝sin B ＋C －sin C ·cos Bsin A ＋C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos Bsin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C sin A ·cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD ＝α，∠ABC ＝β.(1)求证sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．【解】 (1)证明：因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠ABD ＝β. 又因为α＝π2－∠BAD ＝π2－(π－2β)＝2β－π2，所以sin α＝sin(2β－π2)＝－cos 2β，即sin α＋cos 2β＝0. (2)在△ADC 中，由正弦定理得 DC sin α＝ACsin ∠ADC ， 即DCsin α＝ACsin π－β，即DCsin α＝3DCsin β，所以sin β＝3sin α. 由(1)知sin α＝－cos 2β，所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)， 即23sin 2β－sin β－3＝0. 解得sin β＝32或sin β＝－33. 因为0＜β＜π2，所以sin β＝32，所以β＝π3.拓展三角形中的几个隐含条件1．A ＋B ＋C ＝π. 2．sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .4．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．5．在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔A ＞B ⇔a ＞b ；A ＞B ⇔cos A ＜cos B .。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第2章数列章末归纳提升苏教版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第2章 数列章末归纳提升 苏教版必修5数列一般数列分类有穷数列无穷数列数列与函数的关系表示方法列表法图象法解析法通项公式在实际中的应用特殊数列等差数列等比数列通项公式应用定义前n 项和公式性质质起着重要的作用．围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化规律与趋势，而且还便于研究数列的前n 项和，因此求数列的通项公式往往是解决数列问题的突破口．在解题时，根据题目所给条件的不同，可以采用不同的方法求数列的通项公式，常见方法有观察法、累加法、累乘法、前n 项和法、构造法等．已知数列{a n }分别满足以下条件，求通项公式a n .(1)a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n (n ∈N *)； (2)数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3.【思路点拨】 (1)已知a 1且a n ＋1－a n ＝f (n )，故用累加法；(2)条件是关于a n ，S n 的关系式，利用n ≥2时，a n ＝S n －S n －1消去S n 转化为a n 与a n －1的关系．【规范解答】 (1)∵a n ＋1－a n ＝n ， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2， a 4－a 3＝3，……a n －a n －1＝n －1.将以上各式叠加，得a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n n －2.∴a n ＝a 1＋n n －2＝1＋n n －2＝n 2－n ＋22(2)∵S n ＝32a n －3，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －32a n －1.∴a na n －1＝3(n ≥2)． 而当n ＝1时，有a 1＝32a 1－3，∴a 1＝6，∴{a n }是以6为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＝6×3n －1＝2×3n.分别求满足下列条件的数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1a n ＝n ＋2n； (2)a 1＝1，a n ＋1＝23a n ＋1.【解】 (1)∵a n ＋1a n ＝n ＋2n， ∴n ≥2时，a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝31×42×53×64×75×…×n n －2×n ＋1n －1＝n n ＋2，即a n a 1＝n n ＋2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n n ＋2.而a 1＝1也适合上式，∴{a n }的通项公式a n ＝12n (n ＋1)．(2)令a n ＋1－p ＝23(a n －p )(p 为常数)，即a n ＋1＝23a n ＋13p ，又a n ＋1＝23a n ＋1，∴p3＝1，p ＝3， ∴a n ＋1－3＝23(a n －3)．故数列{a n －3}是首项为－2，公比为23的等比数列．∴a n －3＝－2×(23)n －1，∴a n ＝3－2×(23)n －1.和，特殊数列就是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称为一般数列．对于特殊数列的求和，要恰当的选择、准确的应用求和公式，采用公式法直接求和；对于一般的数列求和，可采用分组化归法、并项转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分段求和法等．已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .【思路点拨】 (1)由已知条件列方程组求a 1，q ； (2)求出b n 表达式后，用分组化归法求T n . 【规范解答】 (1)设{a n }公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝1a 1＋1a 1q，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4化简，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝(a n ＋1a n )2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝4n－14－1＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列的通项公式a n 及前n 项和S n . (2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 【解】 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }是以a 1为首项的等差数列． 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝2－83＝－2，∴a n ＝8＋(－2)(n －1)＝10－2n .∴S n ＝n a 1＋a n2＝9n －n 2.(2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. ∵当n ＞5时，a n ＜0； 当n ＝5时，a n ＝0； 当n ＜5时，a n ＞0.∴当n ＞5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n－S 5)＝2S 5－S n ＝2×(9×5－52)－(9n －n 2)＝n 2－9n ＋40；当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2，n ，n 2－9n ＋40，n ＞数列问题，既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质，又有利于解决问题．已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ＝1,2，…，(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的x ＞0，a n ≥11＋x －1＋x2(23n －x )，n ＝1,2，…； (3)证明：a 1＋a 2＋…＋a n ＞n 2n ＋1.【思路点拨】 (1)由已知a n ＋1与a n 的关系构造等比数列，求出通项公式． (2)利用(1)的结论，把a n 代入要证不等式右端利用配方法证明；(3)利用(2)的结论，代入构造等比数列求和．【规范解答】 (1)∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝23＋13a n ，∴1a n ＋1－1＝13(1a n －1)．又1a 1－1＝23，∴(1a n －1)是以23为首项，13为公比的等比数列． ∴1a n －1＝23·13n －1＝23n ，∴a n ＝3n3n ＋2. (2)证明：由(1)知a n ＝3n3n ＋2＞0，11＋x －1＋x 2(23n －x ) ＝11＋x －1＋x 2(23n ＋1－1－x ) ＝11＋x－1＋x 2[1a n－(1＋x )]＝－1a n·1＋x2＋21＋x＝－1a n (11＋x －a n )2＋a n ≤a n ，n ＝1,2，….∴原不等式成立．(3)证明：由(2)知，对任意的x ＞0，有a 1＋a 2＋…＋a n ≥11＋x －1＋x2(23－x )＋11＋x －1＋x2(232－x )＋…＋11＋x－1＋x 2(23n －x ) ＝n1＋x－1＋x2(23＋232＋…＋23n －nx )． 取x ＝1n (23＋232＋…＋23n )＝23－13nn－13＝1n (1－13n )，则a 1＋a 2＋…＋a n ≥n1＋1n－13n＝n 2n ＋1－13n＞n 2n ＋1.∴原不等式成立．等差数列{a n }的首项a 1>0，前n 项和为S n ，若S l ＝S k (l ≠k )，则n 为何值时S n 最大？【解】 依题意，设f (n )＝S n ＝na 1＋n n －2d ，∴f (n )＝12dn 2＋(a 1－d2)n ，此函数是以n 为自变量的二次函数． ∵a 1>0，S l ＝S k (l ≠k )，∴d <0， 故此二次函数的图象开口向下． ∵f (l )＝f (k )， ∴当x ＝l ＋k2时，f (x )最大，但f (n )中，n ∈N *， ∴当l ＋k 为偶数时，n ＝l ＋k2时，S n 最大； 当l ＋k 为奇数时，n ＝l ＋k ±12时，S n 最大.准确地表示，需根据不同情况分别说明．本章中，当数列所给的对象不宜进行统一研究或推理时，需通过分类讨论来解决．如运用等比数列求和公式时，需对q 分q ＝1和q ≠1且q ≠0两种情况进行讨论．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1、a 3、a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n与b n 的大小，并说明理由．【思路点拨】 (1)利用等差、等比数列的有关性质求q ； (2)作差比较，判断差的正、负、零情况．【规范解答】 (1)依题意，得2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q . ∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.(2)若q ＝1，则S n ＝2n ＋n n －2＝n 2＋3n2，b n ＝n ＋1， 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝n －n ＋2，故当n ≥2时，S n ＞b n ；若q ＝－12，则S n ＝－n 2＋9n 4，b n ＝－12n ＋52，当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝－n －n －4，∴当2≤n ≤9时，S n ＞b n ，当n ＝10时，S n ＝b n ， 当n ≥11时，S n ＜b n .求数列1，－22,32，－42，…，(－1)n －1n 2，…的前n 项和．【解】 ①当n 为偶数时，S n ＝(1－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋[(n －1)－n ]·[(n －1)＋n ] ＝－[1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)＋n ]＝－n n ＋2.②当n 为奇数时，则n －1为偶数， ∴S n ＝S n －1＋n 2＝－n －n2＋n 2＝n n ＋2.综上可知S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n n ＋12n 为偶数，n n ＋2n 为奇数。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 3.1 不等关系教案 苏教版必修5
〖【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1 不等关系教案苏教版必修5〗之小船创作3．1不等关系(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；(2)掌握作差比较法判断两实数或代数式大小________．2.过程与方法(1)经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；(2)以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等关系；(3)通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力．3．情感、态度与价值观(1)通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯；(2)通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量．●重点、难点重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．难点：是用不等式(组)正确表示出不等关系．考虑到学生实际应用能力上的欠缺，欲让学生用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，教师要引导学生结合生活、学习实际由简到繁，由易到难，逐步深入，注意发挥学生学习的积极主动性，激发学生的学习兴趣．(教师用书独具)●教学建议本节的主要内容是通过一系列的具体问题情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容．由于本节的教学要着眼于与实际问题的联系，故建议在教学中建立“教师引导、自主探究、合作学习”的教学模式，在引导学生经历观察、思考、探究的过程中，重视让学生从问题中尝试、提炼、总结、运用，从而培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力，而且在鼓励学生主动参与的同时，也不忽视教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推理．●教学流程创设问题情境，使学生感受到实际问题中存在许多不等关系.⇒引导学生思考如何表示实际问题中的这些不等关系，引入不等式.⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第43页)课标解读1.了解现实世界和日常生活中的一些不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．3．了解不等式的一些基本性质，会比较数或式的大小．(重点)不等式与不等式常见的文字语言与数学符号之间的转换文字语言数学符号大于>小于＜大于或等于≥续表文字语言数学符号小于或等于≤至多≤至少≥不少于≥不多于≤比较实数a，b大小的依据a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.(对应学生用书第43页)用不等式表示不等关系糖水是日常生活中很普通的东西，下列关于糖水浓度的问题，同学们能分别提炼出怎样的不等式？(1)如果向一杯糖水里添上点儿糖，“糖水加糖变甜了”；(2)把原来的糖水与加糖后的糖水合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．【思路探究】由生活中的经验、结合化学中浓度的知识可以求解．【自主解答】(1)“糖水加糖变甜了”，这是同学们都知道的生活现象．设糖水有b克，含糖a克，浓度为ab，添入m克糖后的浓度为a＋mb＋m，则提炼出的不等式模型为：若b＞a＞0，m＞0，则ab＜a＋mb＋m.(2)设淡糖水有b1克，含糖a1克，浓度为a1 b1，浓糖水有b2克，含糖a2克，浓度为a2 b2 .则混合后的浓度为a1＋a2b1＋b2，所提炼出的不等式模型为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且a1b1＜a2b2，则a1b1＜a1＋a2b1＋b2＜a2b2.1．用不等式表示不等关系，要审清题意，恰当选取符号，尤其要注意“>”与“≥”，“＜”与“≤”的区别．2．用不等式表示不等关系，必要时还要设立变量，以便于写出不等式．下列标志各表示什么意思？请用不等式表示其中的不等关系．图3－1－1【解】图中的标志的意思及不等式表示为：①最低限速限制行驶时速v不得低于50公里，即v≥50；②限制质量装载总质量G不得超过10 t，即G≤10；③限制高度装载高度h不得超过3.5米，即h≤3.5；④限制宽度 装载宽度a 不得超过3米，即a ≤3； ⑤时间范围 7：30≤t ≤10：00. 用不等式组表示多个不等关系某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t 矿石到冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【思路探究】 由题中所给信息，应有如下不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总辆数不能超过驾驶员人数；(2)车队每天至少要运360 t 矿石；(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．用关于x ，y 的不等式表示上述不等关系即可．【自主解答】 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ，y ∈N .1．本题用驾驶员人数限制了车辆数，即甲型卡车和乙型卡车的总辆数不能超过驾驶员人数，这个不等关系易被忽略．2．用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：(1)阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题最基本的一步．(2)对题中关键字、关键句要留心，多加注意．(3)要将所有不等关系都表示为不等式．2012年某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是：语文不低于90分；数学应高于80分；语、数、英三科的成绩之和不少于330分．若小明被录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 应满足的条件是________．【解析】 把题意中的三个条件写成不等式组即可．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥90，y ＞80，x ＋y ＋z ≥330. 比较数(或式)的大小已知x＞1，比较x3＋6x与x2＋6的大小．【思路探究】作差→因式分解变形→判断符号→结论【自主解答】(x3＋6x)－(x26)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x －1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)．∵x＞1，∴(x－1)(x2＋6)＞0，∴x3＋6x＞x2＋6.1．本例中，在比较两式大小时，应注意x＞1这个条件，条件的改变，可能改变不等号的方向．2．比差法是比较两数(或式)大小的最常用方法，比差时最关键的步骤是变形．变形的主要目的是为了判断差式的符号，变形越彻底就越易判断符号．变形的手段主要有：配方、平方差公式、立方差公式、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等．将题目中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3＋6x与x2＋6的大小．【解】(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)．∵x2＋6＞0，∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，即x3＋6x＞x2＋6；当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6；当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，即x3＋6x＜x2＋6.(对应学生用书第45页)忽略题目的隐含条件导致错误一报刊亭摊主从报社买进某种报纸的价格是每份0.2元，卖出的价格是每份0.3元，卖不掉的报纸以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有20天每天可卖出400份报纸，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进的份数必须相同．试计算他应该每天从报社买进多少份报纸，才能使一个月所得利润超过600元？试用不等式表示这一问题，不需解答．【错解】设每天从报社买进x份报纸，则每月销量为(20x＋10×250)份，退回报社[10(x－250)]份．卖出的报纸每份可得0.1元，退回的报纸每份损失0.12元．每月获得的利润为0.1×(20x＋10×250)－0.12×10×(x－250)＝0.8x＋550，∴0.8x＋550＞600.【错因分析】本题的解题过程似乎很全面，但是却忽略了题中隐含的自变量x的取值范围是250≤x≤400.【防范措施】利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，一定要注意题目中是否有隐含条件．【正解】设每天从报社买进x份报纸(250≤x≤400)，则每月销量为(20x＋10×250)份，退回报社[10(x－250)]份．卖出的报纸每份可得0.1元，退回的报纸每份损失0.12元．每月获得的利润为0.1×(20x＋10×250)－0.12×10×(x－250)＝0.8x＋550，∴0.8x＋550＞600(250≤x≤400)．1．基础知识：(1)不等关系与不等式；(2)比较实数a，b大小的依据．2．基本技能：(1)会用不等式表示不等关系；(2)会用不等式表示多个不等关系；(3)比较两个数(或式)的大小．3．思想方法：(1)函数思想；(2)转化思想.(对应学生用书第45页)1．人类能听到的声音频率x不低于80 Hz且不高于2 000Hz，用不等式表示为________．【解析】“不低于80 Hz”即“≥80 Hz”；“不高于2 000 Hz”即“≤2 000 Hz”．【答案】80 Hz≤x≤2 000 Hz2．某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为________．【解析】v的最大限速为120 km/h，即v≤120 km/h；d不得小于10 m，即d≥10 m.【答案】v≤120 km/h且d≥10 m3．若x≠2且y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是________．【解析】M－N＝x2＋y2－4x＋2y－(－5)＝(x－2)2＋(y ＋1)2.∵x≠2且y≠－1，∴x－2≠0且y＋1≠0，∴(x－2)2＋(y＋1)2＞0，∴M＞N.【答案】M＞N4．比较x3与x2－x＋1的大小【解】∵x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)，∴当x＝1时，(x－1)(x2＋1)＝0，∴x3＝x2－x＋1；当x＞1时，(x－1)(x2＋1)＞0，∴x3＞x2－x＋1；当x＜1时，(x－1)(x2＋1)＜0，∴x3＜x2－x＋1.(对应学生用书第92页)一、填空题1．某果汁盒上标明果汁含量P不低于50%，则关于P的一个不等式为__________．【解析】不低于50%，即大于等于50%，又最大百分比为1，故50%≤P≤1.【答案】50%≤P≤12．如图3－1－2所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b(a≠b)的不等式表示出来________．(1) (2)图3－1－2【解析】(1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S1＝1 2a2＋12b2＝12(a2＋b2)，(2)的面积S2＝ab，所以有12(a2＋b2)＞ab.【答案】12(a2＋b2)＞ab3．一根长为30 m的钢筋，要分别截成80 cm和120 cm 两种规格的短钢筋x根和y根，则x，y必须满足的不等式是________．【解析】所截钢筋总长度0.8x＋1.2y不能超过30 m，且x，y均为正整数．【答案】0.8x＋1.2y≤30(x，y∈N*)4．一个工程队原计划在10天内挖土600 m3，在前两天一共挖了120 m3.由于整个工程调整工期，要求至少提前两天完成任务．设以后6天内，平均每天挖土x m3，则可列不等式为________．【解析】8天内共挖土方数6x＋120不能低于600.【答案】6x＋120≥6005．已知实数a、b满足“a＞b”，则下列不等式中正确的是________．(只填序号)①|a|＞|b|；②a2＞b2；③a3＞b3；④ab＞1.【解析】可采取特殊值代入法：令a＝1，b＝－1排除①、②、④，故正确的只有③.【答案】③6．已知m∈R，则2m2＋3m－1与m2＋4m－2的大小关系为________．【解析】(2m2＋3m－1)－(m2＋4m－2)＝m2－m＋1＝(m－12)2＋34＞0，∴2m 2＋3m －1＞m 2＋4m －2.【答案】 2m 2＋3m －1＞m 2＋4m －27．已知x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的大小关系是________．【解析】 2M －2N ＝2x 2＋2y 2＋2－2x －2y －2xy ＝(x －y )2＋(x －1)2＋(y －1)2≥0，∴2M ≥2N ，∴M ≥N . 【答案】 M ≥N8．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b 的大小关系为________．(a 、b ∈R ，a ≠b )【解析】⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b ba－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a bb＝[a ·a －(－b )·b ]－[a ·b －(－a )·b ]＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＞0(a ≠b )，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b ba＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －ab b. 【答案】⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b ba＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a bb二、解答题9．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，用不等式组表示上述不等关系．【解】 设1枝玫瑰的价格是x 元，1枝康乃馨的价格为y 元，则⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＞24，4x ＋5y ＜22，x ＞0，y ＞0.10．比较x 2－2ax 与2a －2a 2－3的大小(a ，x ∈R )． 【解】 (x 2－2ax )－(2a －2a 2－3) ＝(x 2－2ax ＋a 2)＋(a 2－2a ＋1)＋2 ＝(x －a )2＋(a －1)2＋2. ∵(x －a )2≥0，(a －1)2≥0， ∴(x －a )2＋(a －1)2＋2＞0， ∴(x 2－2ax )－(2a －2a 2－3)＞0， ∴x 2－2ax ＞2a －2a 2－3.11．16列货车运送一批货物从甲地以V 千米/时的速度匀速到达乙地．已知两地的铁路长400千米，为了安全，每相邻两列货车间的距离为(V20)2千米，如果这批货物全部运到乙地的时间不超过9小时，试列出不等式．(车身长忽略不计)【解】 从第一列驶离甲地的货车到最后一列到达乙地的货车，之间有15个间隔．∴t ＝400V ＋15×V202V＝400V ＋15V400，∴400V ＋15V 400≤9.(教师用书独具)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，试确定a ，b ，c 的大小关系；【思路探究】 对三个数逐一作差比较．【自主解答】 因为c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，所以c ≥b .又因为b ＝12[(b ＋c )－(c －b )]＝12[(6－4a ＋3a 2)－(4－4a ＋a 2)]＝a 2＋1，所以b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34＞0，所以b ＞a ，综上可得c ≥b ＞a .要比较多个数的大小，应分别作差比较．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 首先比较a ，b 的大小，∵3ln 2＝ln 8＜ln 9＝2ln 3，∴a ＜b ，同理可得c ＜a ，∴c ＜a ＜b .【答案】 c ＜a ＜b 拓展不等式的基本性质不等式的基本性质是深入研究不等式的基础，具体如下：性质1 如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.性质2 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.性质3 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.性质4 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c ＜0，那么ac＜bc.性质5 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.性质6 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.性质7 如果a＞b＞0，那么a n＞b n(n∈N，n≥2)．性质8 如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N，n≥2.)。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1 数列教案 苏教版必修5
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1 数列教案苏教版必修52．1数列(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；(2)了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；(3)培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力．2.过程与方法(1)通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；(2)通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力；(3)通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．3．情感、态度与价值观(1)体会数列是一种特殊的函数，借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力．(2)在参与问题讨论和解决过程中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣．●重点、难点重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：认识数列的本质是一类离散函数.对于数列概念这个重点内容的教学，教师应该强调用函数的背景和研究方法来认识、研究数列，这样可以加深学生对函数概念和性质的理解，有利于对数列本质的把握．建构数列的概念首先要经历大量的实例观察与分析，关键是让学生理解数列的顺序性；其次教师启发学生对几个不同数列的共性进行探究，通过分组讨论，逐步完善，然后揭示出数列的定义．如何理解数列的本质是一类离散函数呢？教师首先可以从分析一个简单的数列入手，启发学生发现数列的函数解析式，进而可以用列表法、图象法来表示，由此发现数列的图象是一系列孤立的点，可谓水到渠成；然后因势利导，进行一般化的抽象，通过数列的定义域与值域之间的一一对应关系的列表，深化对数列是一种特殊函数即离散函数的认识．(教师用书独具)●教学建议1．对数列概念的引入可作适当拓展．一方面从研究数的角度提出数列概念，使学生感受数列是刻画自然规律的基本数学模型；另一方面可从生活实际引入，如银行存款利息、购房贷款等，使学生对这些现象的数学背景有一直观认识，感受数列研究的现实意义，以激发学生的学习兴趣．2．对数列概念的把握，教学中应注意：(1)数列是按照一定顺序排列着的一列数，教学中要注意留给学生回味、思考的空间和余地；(2)数列是一种特殊函数，其定义域是正整数集N*(或它的有限子集)，值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值．3．重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价，关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式或递推公式．4．正确评价学生的数学基础知识和基础技能能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数，了解递推公式也是数列的一种表示方法．●教学流程创设问题情境，引入数列等概念及数列的一般形式.⇒引导学生从生活实际感受数列概念，并给出数列的分类.⇒通过引导学生回答所提问题理解数列的通项公式.⇒结合具体事例总结数列的各种表示方法.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握已知数列前几项求通项公式的方法技巧.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握数列通项的应用技巧.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握求数列最大项与最小项的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第17页)(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是________．(2)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂依次是________．(3)对于函数y ＝3x，当自变量x 依次取－2，－1,1,2,3时，其函数值依次是________． (4)“一尺之棰，日取其半，万世不褐”，如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”……如此下去，即得一列数________．那么，以上问题的结果，有什么共同特点？【提示】 共同特点是：都是一列数；都有一定的次序．1．数列按照一定次序排列的一列数称为数列． 2．项数列中的每个数都叫做这个数列的项． 3．数列的一般形式可写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }.项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列1．数列1，－12，13，－14，…的第n 项与序号n 之间有何关系？【提示】 第n 项是序号n 的倒数，且奇数项为正，偶数项为负． 2．数列2,4,6,8,10，…与函数y ＝2x 有何关系？【提示】 该数列是函数y ＝2x 的自变量x 依次取1,2,3,4，…时所得到的一列函数值． 如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.数列可以用通项公式、列表或图象来表示.(对应学生用书第17页)写出下列数列的一个通项公式．(1)23，415，635，863，…； (2)－1，32，－54，78，－916，…；(3)3，3，15，21，33，…； (4)9,99,999,9999，….【思路探究】 观察→归纳a n 与n 的关系→验证结论→得出答案【自主解答】 (1)根据题意分析可知：分子为2的倍数，即为2n ，分母比分子的平方小1，所以a n ＝2n2n 2－1. (2)该数列的各项符号是负正交替变化，而各项的绝对值为11，32，54，78，916，….所以a n ＝(－1)n2n －12n －1. (3)该数列的各项都可以写成根式3，9，15，21，27，…. 即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…. 所以a n ＝3 2n －1 ＝6n －3.(4)因为9＝101－1,99＝102－1,999＝103－1,9 999＝104－1，…，所以a n ＝10n－1.1．本例中探寻数列中的项与项数n 之间的关系时应注意： (1)对于分式应分母分子分别考虑，各个击破； (2)正负项交替出现时要引入控制符号的因式(－1)n.2．此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法，将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n 相关且便于表达的关系，具体方法为：(1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征．根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式． (1)45，12，411，414，…； (2)1,3,6,10,15，…； (3)7,77,777，…； (4)12，－34，58，－716，…；【解】 (1)注意前四项中有三项的分子为4，不妨把分子统一为4，即45，48，411，414，…，因而有a n ＝43n ＋2(n ∈N *)． (2)6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n n ＋1 2(n ∈N *)． (3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘9，得9,99,999，…，因而有a n ＝79(10n－1)(n∈N *)．(4)经过观察符号为一正一负：(－1)n ＋1，分子为2n －1，分母为2n ，所以a n ＝(－1)n ＋12n －12n .已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n， (1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？【思路探究】 (1)分别把n ＝1,2,3代入通项公式即可． (2)令a n 分别等于110和1627，解方程求n ，再检验n 是否为正整数．【自主解答】 (1)a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝25，a 3＝432＋3×3＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8. 又n ∈N *，故n ＝－8舍去，所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92. 又n ∈N *，所以1627不是数列{a n }的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中； (2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 【解】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0， ∴n ＝7或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N *，343∉N *，∴68不是该数列的项.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3，求它的最大项．【思路探究】 数列是特殊的函数，可将问题转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的知识求解．【自主解答】 已知－2n 2＋9n ＋3＝－2(n －94)2＋1058.由于函数f (x )＝－2(x －94)2＋1058在(0，94)上是增函数，在[94，＋∞)上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，所以数列{a n }的最大项为a 2＝13.1．解决本题的关键是转化为二次函数的最值问题，并注意n ∈N *.2．数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，故可用函数的有关知识解决数列问题，但要注意函数的定义域．对于通项公式为二次函数的数列，其最值不一定是在对称轴上取得，当对称轴不是正整数时，最值应是离对称轴最近的项的值，且对应的值可能是一项或两项．若例题中通项公式改为“a n ＝－2n 2＋29n ＋3”，结果是什么？ 【解】 由题意得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818，又∵n ∈N *，∴当n ＝7时，a n 有最大值108.∴数列a n 中的最大项为a 7＝108.(对应学生用书第19页)忽略数列的函数特性而致误已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－3n ＋4，求a n 的最小值．【错解】 因为a n ＝n 2－3n ＋4＝(n －32)2＋74，所以a n 的最小值为74.【错因分析】 将a n ＝n 2－3n ＋4看成关于n 的二次函数，当n ＝32时，取得最小值为74，而数列中n ∈N *，故n 取不到32，最小值并不是在顶点处取得．【防范措施】 解题时不要把数列当成一般的二次函数，数列是特殊的函数，其定义域为正整数集N *(或它的有限子集)，图象不连续，是一群孤立的点．【正解】 因为a n ＝n 2－3n ＋4＝(n －32)2＋74，可知图象的对称轴方程为n ＝32，又n ∈N *，故当n ＝1或n ＝2时，a n 取得最小值．其最小值为22－3×2＋4＝2.1．基础知识： (1)数列的概念； (2)数列的分类； (3)数列的通项公式； (4)数列的表示法． 2．基本技能：(1)利用观察法求数列的通项公式； (2)运用通项公式研究数列的项； (3)求数列的最大项与最小项． 3．思想方法： (1)函数思想； (2)转化思想.(对应学生用书第19页)1．若数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋n ＋1n ＋1，则它的前4项为________．【解析】 把n ＝1,2,3,4逐一代入即可． 【答案】 32，73，134，2152．数列12，－45，910，－1617，…的一个通项公式是a n ＝________.【解析】 偶数项均为负，奇数项均为正，故应用(－1)n ＋1控制符号，分子显然为序号的平方，分母均比相应分子大1.【答案】 (－1)n ＋1n 2n 2＋13．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是该数列的第________项． 【解析】 令2n －1＝35，则2n －1＝45，∴n ＝23. 【答案】 234．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数． (1)求{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？ 【解】 (1)设a n ＝kn ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝k ＋b ＝2，a 17＝17k ＋b ＝66，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2，∴a n ＝4n －2.(2)令a n ＝88，解得n ＝452∉N *，∴88不是{a n }中的项.(对应学生用书第84页)一、填空题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(n 2＋1)，则a 3等于________．【解析】 a 3＝(－1)3＋1(32＋1)＝10.【答案】 102．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x 的值是________．【解析】 观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x 为15.【答案】 153．数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是________．【解析】 数列中奇数项均为负，偶数项均为正，要用(－1)n控制符号，除首项为1外其余各项均为分式，故把1改写成11，从而分母依次为1,3,5,7，…，通项为2n －1，分子依次为1,4,9,16，…，通项为n 2.【答案】 a n ＝(－1)nn 22n －14．已知数3，3，15，21，…，那么9是数列的第______项． 【解析】 根据观察可知，通项公式为a n ＝3 2n －1 ， 令3 2n －1 ＝9，解得n ＝14. ∴9是数列的第14项． 【答案】 145．根据图2－1－1中的5个图形，及相应点的个数变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．(1) (2) (3) (4) (5)图2－1－1【解析】 设第i 个图形中有a i 个点(i ＝1,2，…，n )，则a 1＝1，a 2＝1＋1×2，a 3＝1＋2×3，a 4＝1＋3×4，a 5＝1＋4×5，…，a n ＝1＋(n －1)n .【答案】 1＋(n －1)n6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋17n ＋8，则数列的最大项的值为________． 【解析】 由a n ＝－n 2＋17n ＋8＝－(n －172)2＋3214得，n ＝8或9时，a n 最大，把8或9代入得a 8＝a 9＝80.【答案】 80 7．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n (n 为正整数)，且a 2＝6，则数列{a n }的一个通项公式为________．【解析】 令n ＝1得a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，∴a 1＝1＝1×1；令n ＝2得a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，∴a 3＝15＝3×5；令n ＝3得a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，∴a 4＝28＝4×7，又a 2＝6＝2×3 ∴a n ＝n (2n －1) 【答案】 a n ＝n (2n －1)8．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0＜a n＜12，2a n－1，12＜a n＜1，若a 1＝67，则a 20的值为________．【解析】 逐步计算，可得a 1＝67，a 2＝127－1＝57，a 3＝107－1＝37，a 4＝67，a 5＝127－1＝57，…，这说明数列{a n }是周期数列，T ＝3，而20＝3×6＋2，所以a 20＝a 2＝57. 【答案】 57二、解答题9．数列{a n }中，已知a n ＝n 2＋n －13(n ∈N *)．(1)写出a 2，a 10；(2)7923是不是该数列中的项？若是，是第几项？【解】 (1)在a n 的表达式中，令n ＝2,10， 即得a 2＝22＋2－13＝53，a 10＝102＋10－13＝1093.(2)由n 2＋n －13＝7923，即n 2＋n －240＝0，得n ＝15或n ＝－16. ∵n ∈N *，∴n ＝15，即7923是该数列中的项，是第15项．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 【解】 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3. ∴数列中有两项是负数．(2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2(或32－5×3＋4＝－2)．11．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 是项数n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 012；(2)若b n 由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．【解】 (1)a n 是项数n 的一次函数，故可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 012＝2×2 012＋1＝4 025. (2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *).(教师用书独具)根据如图所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第(n )个图中有________个点．(1) (2) (3) (4) (5)【解析】本题关键看每增加一个分支后，各分支点数多了多少个．序号n决定了每个图的分支数，而每个分支有(n－1)个点，中心再加一点，故有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．【答案】n2－n＋1有些数列的关系以图形的方式给出，要从图形中善于观察总结出规律，即归纳概括．另外信息蕴含在图中，所以要具有较强的信息整合能力．如图所示的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形．在图中的4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在平面直角坐标系中画出它的图象．(1) (2) (3) (4)【解】这4个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，且指数等于相应的序号减1，所以这个数列的一个通项公式是a n＝3n－1(n∈N*)．在平面直角坐标系中的图象如图所示．拓展数列是如何出现的呢？我国最早的数学起源，当为结绳和刻划，体现了数的顺序性．这有可能是数列的一个起源吗？1953年春，我国首次发现西安半坡遗址(距今5 600～6 700年之间).1954－1957年，中国科学院考古研究所进行了5次规模较大的科学发掘，获得了大量珍贵的科学资料，其中发现了半坡先民使用的指甲纹壶(如图)与陶器工艺品中的图案(如图)后者每边都是八个孔的等边三角形，反映了半坡人已经有了数量和几何形状的概念，这与“三角形数”何其相似！这说明半坡人已经有了数列的初步概念，遗憾的是在半坡文明中还没有发现对数列进行理论研究的足够证据.。
《同步备课参考+课堂新坐标》2013-2014学年高中地理(湘教版选修5)课件第1章第2节第2课时
• 滑坡与泥石流的比较
滑坡
泥石流
特点
具有广泛和相对集中的特点
(地质)构造复杂，构造运动强烈，多地
发生 条件
自然因素
震，易诱发滑坡和泥石流；(地貌)类型 多变，地势起伏大，斜坡多，易发生滑 坡；(气象)降水多，尤其是山区多暴雨，
久雨天气，极易发生泥石流。
人为因素
如开垦、开矿等，会诱发或加剧滑坡和 泥石流
第 2 课时 地质灾害
教师用书独具演示
●课标要求 1．列举自然灾害的主要类型。 2．运用地图，说明世界主要自然灾害带的分布。 ●课标解读 1．结合实例，指导学生掌握地质灾害的概念、分类。 2．指导学生理解各种地质灾害的时空分布和危害。
●新课导入建议 可用以下案例导入新课 2011 年 3 月 11 日，日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震 并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失。 地质灾害是地球岩石圈演变过程中的各种地质作用为主 要致灾因子所引发的自然灾害。除地震灾害外，你还知道哪 些地质灾害？你能说出这些灾害的发生原因和危害吗？
• 材料三 海地多年来政治经济不稳定，许 多建筑物无法达到合格的抗震标准，而智 利社会相对稳定，经济较为繁荣，政府颁 布建筑物抗震设计规范，将不合规范的房 屋拆除。
• 材料四
时间
震级
震源深 首都距震 度(km) 中距离(km)
伤亡情 况
海地
2010年1 月12日
7.3
10
16
伤亡约 55万
智利
2010年2 月27日
滑坡的主要危害是对房屋和其他的工程设施、耕 危害 地、农作物造成破坏和淤塞河道，泥石流除此之
外，还会对城镇、矿山、乡村造成毁灭性冲淤
滑坡
泥石流
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C．a7＋a9＝0 【解析】
D．a7· a9＝0
∵(n，an)在直线 3x－y－24＝0，
∴an＝3n－24，∴a7＝3×7－24＝－3，a9＝3×9－24＝3， ∴a7＋a9＝0. 【答案】 二、填空题 6．已知等差数列 14，16，18，…，那么数列的第 1 001 项为________． 【解析】 由题意知 a1＝14，d＝2， C
【解析】 由通项公式 an＝a1＋(n－1)d， 得 4 012＝4＋2(n－1)， ∴n＝2 005. 【答案】 C )
3．已知等差数列{an}的前三项分别是 a－1，a＋1，2a，则 a 的值为( A．1 C．3 【解析】 【答案】 B．2 D．4 由定义知，a＋1－(a－1)＝2a－(a＋1)，得 a＝3. C
∴a4＋a5＋a6＝3a1＋3d＋4d＋5d＝3a1＋12d＝6＋36＝42. 【答案】 42
8．(2013· 台州高二检测)在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于 1 的正整数 n， 点( an， an－1)在直线 x－y－ 3＝0 上， 则数列{an}的通项公式为 an＝________． 【解析】 ∵点( an， an－1)在直线 x－y－ 3＝0 上，∴ an－ an－1－ 3＝ 0，即 an－ an－1＝ 3(n≥2)．则数列{ an}是以 3为首项， 3为公差的等差数 列， ∴ an＝ 3＋ 3(n－1)＝ 3n，∴数列{an}的通项公式为 an＝3n2. 【答案】 三、解答题 9．已知数列{an}的通项公式是 an＝7n 2，求证：数列{lg an}是等差数列．
＋
3n2
【证明】
设ห้องสมุดไป่ตู้bn＝lg an，
则 bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an ＝(n＋3)lg 7－(n＋2)lg 7＝lg 7(常数)． 所以数列{bn}是等差数列， 即数列{lg an}是等差数列．
10．已知数列{log2（an－1）}(n∈N＋)为等差数列，且 a1＝3，a3＝9，求数 列{an}的通项公式． 【解】 设等差数列{log2（an－1）}的公差为 d，则
∴an＝14＋2(n－1)＝2n＋12， ∵a1 001＝2×1 001＋12＝2 014. 【答案】 2 014
7．在等差数列{an}中，已知 a1＝2，a2＋a3＝13，则 a4＋a5＋a6＝________． 【解析】 a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，∴d＝3，
log2(a3－1)－log2(a1－1)＝2d.代入 a1＝3，a3＝9 得， log28－log22＝2d，∴d＝1. ∴log2(an－1)＝log2(a1－1)＋(n－1)×1＝n. ∴an－1＝2n，∴an＝2n＋1. 11．在等差数列{an}中，已知 a4＝70，a21＝－100. (1)求首项 a1 与公差 d，并写出通项公式； (2){an}中有多少项属于区间[－18，18]? 【解】 (1)由题意，得 an＝a1＋(n－1)d.
70＝a1＋（4－1）d， ∴ 得 a1＝100，d＝－10. －100＝a1＋（21－1）d， ∴通项公式 an＝100－10(n－1)＝－10n＋110. (2)由题意得－18≤－10n＋110≤18， 解得 9.2≤n≤12.8， ∵n∈N＋，∴n＝10，11，12. ∴属于区间[－18，18]的项有 3 项，它们是 a10，a11，a12.
4．已知数列{an}是等差数列，若 a3＋a11＝24，a4＝3，则数列{an}的公差等 于( ) A．1 C．5 【解析】 B．3 D．6 设{an}的首项为 a1，公差为 d，
（a1＋2d）＋（a1＋10d）＝24 ∴ ⇒d＝3. a1＋3d＝3 【答案】 B
5．(2013· 黄冈高二检测)已知点(n，an)(n∈N＋)都在直线 3x－y－24＝0 上， 那么在数列{an}中有( A．a7＋a9>0 ) B．a7＋a9<0
课时作业（三） 一、选择题 1．等差数列－3，－7，－11，…的通项公式为( A．4n－7 C．4n＋1 【解析】 B．－4n－7 D．－4n＋1 ∵a1＝－3，d＝(－7)－(－3)＝－4， )
∴an＝－3－4(n－1)＝－4n＋1. 【答案】 D )
2．已知等差数列{an}，a1＝4，公差 d＝2，若 an＝4 012，则 n 等于( A．2 004 C．2 005 B．2 006 D．2 003