专题52 利用对称性求解正态分布问题理-备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 含解析 精品
高中数学正态分布
高中数学正态分布正态分布是高中数学中一个重要的概率分布，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会科学中具有广泛的应用，可以描述许多随机变量的分布情况。
正态分布具有许多独特的特性，包括对称性、钟形曲线、均值和标准差等。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质以及它在实际问题中的应用。
一、基本概念正态分布是一种连续型的概率分布，它的概率密度函数可以用一个钟形曲线来表示。
钟形曲线关于均值对称，左右两边的面积相等。
正态分布的概率密度函数可以用数学公式表示，但在本文中我们不涉及具体公式。
二、性质1. 对称性：正态分布的钟形曲线关于均值轴对称，即曲线左右两侧的面积相等。
2. 峰度：正态分布的峰度较高，表示数据相对集中，没有明显的长尾巴。
3. 均值和标准差：正态分布的均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
三、应用举例正态分布广泛应用于各个领域，下面举几个例子说明其具体应用：1. 身高分布：人类的身高大致符合正态分布，均值是一定范围内的平均身高，标准差则决定了身高的变化范围。
2. 考试成绩：在一次考试中，学生的成绩往往呈现出正态分布的特点。
均值代表了班级的平均水平，标准差则反映了学生成绩的离散程度。
3. 生产质量控制：正态分布在生产过程中的质量控制中发挥重要作用。
通过对产品尺寸、重量等特征的测量，可以判断产品是否符合正态分布，从而进行质量控制和改进。
四、正态分布的应用思考正态分布的应用思考是高中数学中常见的问题类型之一。
通过理解正态分布的基本概念和性质，我们可以解决一些实际问题，例如：1. 求解概率：已知某一正态分布的均值和标准差，我们可以求解某个范围内的概率，从而回答一些关于随机事件的概率问题。
2. 参数估计：通过样本数据对总体的均值和标准差进行估计，从而推断总体的特征。
3. 假设检验：通过正态分布的性质，可以进行关于总体均值的假设检验，从而判断总体是否满足某种条件。
高中数学中的正态分布是一种重要的概率分布，具有广泛的应用。
高考数学正态分布知识点
高考数学正态分布知识点在高考数学中，正态分布是一个重要的知识点。
正态分布是一种连续型的概率分布，在统计学和概率论中有广泛的应用。
它是以高斯函数为基础的，其图像呈钟形，左右对称，中央峰值最高。
正态分布的特点是其均值和标准差对整个分布起决定性的作用。
一、正态分布的特点正态分布的图像呈钟形曲线，左右对称。
在均值左右两侧，分布的呈对称关系，这也是正态分布的一个重要特点。
正态分布的图像由两部分组成，左半部分和右半部分，两部分完全对称。
二、正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数可以用数学公式来表示。
设X是一个服从正态分布的随机变量，其概率密度函数可以表示为f(x) = (1/σ√(2π)) *e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差，e为自然对数的底。
三、正态分布的标准化对于正态分布，我们经常需要将不同的分布标准化为标准正态分布，这样方便计算和比较。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
标准化的方法是使用标准化公式Z = (X-μ) / σ，将原来的分布转化为标准正态分布。
四、正态分布的应用正态分布在现实生活中有很多应用，尤其在统计学和自然科学领域中得到广泛的应用。
在概率论中，正态分布被广泛用来建立概率模型，描述随机变量的分布。
在统计学中，正态分布用来表示大量数据集中的特性，如人类身高、体重等。
五、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质。
首先，正态分布的均值决定了整个分布的位置。
均值越大，分布就越向右偏移；均值越小，分布越向左偏移。
其次，正态分布的标准差决定了分布的形状。
标准差越大，分布越扁平，越分散；标准差越小，分布越陡峭，越集中。
六、正态分布的应用举例正态分布在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在质量控制中，正态分布用来设置产品合格标准；在股市分析中，正态分布用来预测股票价格的波动；在心理学中，正态分布用来描述人群的智力水平等。
七、正态分布的参数估计对于一个正态分布的样本，我们可以通过样本估计参数来推断总体的特性。
高中高三数学《正态分布》教案、教学设计
6.预习任务：布置下一节课的相关内容，要求学生进行预习，为课堂学习做好准备。
在布置作业时，要注意以下几点：
1.针对不同层次的学生，适当调整作业难度，确保每个学生都能在完成作业的过程中获得成就感。
1.提问：询问学生关于数据分布的知识，如“你们在生活中见过哪些数据呈现一定的分布规律？”
2.实例展示：利用多媒体展示一些生活中的数据分布图像，如学生身高、考试成绩等，让学生观察并总结这些分布的特点。
3.引入正态分布：通过分析实例，引导学生发现这些数据分布的共同点，即呈现出对称、钟形的形状，从而引出正态分布的概念。
-练习巩固：设计难易程度不同的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
3.评价与反馈：
-采用多元化的评价方式，如课堂问答、小组讨论、课后作业等，全面了解学生的学习情况。
-针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和建议，帮助他们克服学习难点，提高学习效果。
-定期进行教学反思，根据学生的学习情况和反馈，调整教学策略，不断提高教学质量。
因此，在教学过程中，应关注学生的个体差异，因材施教，充分调动他们的学习积极性，提高正态分布这一章节的教学效果。同时，注重培养学生的学习兴趣和实际应用能力，使他们在掌握知识的同时，增强数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：正态分布的概念、性质、图像特点及其在实际中的应用。
2.难点：正态分布的概率计算、期望和方差的推导及在实际问题中的运用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的热爱，激发他们学习数学的兴趣，使他们认识到数学知识在现实生活中的重要作用。
高考数学中的正态分布应用技巧
高考数学中的正态分布应用技巧在高考数学中，正态分布是一个非常重要的概率分布，因为许多实际问题都可以用正态分布来描述。
正态分布具有许多良好的特性，例如它的概率密度函数可以用一个简单的公式表示，且该密度函数是对称的，且呈钟形曲线。
因此，掌握正态分布的应用技巧是高考数学中的关键之一。
1. 正态分布的概率计算在高考数学中，我们通常需要在正态分布情况下计算一些概率，例如给定均值和标准差，找到某个值的概率，或者给定概率，找到对应的值。
为了计算这些概率，我们可以使用正态分布表，其中列出了在标准正态分布情况下的各种概率值。
例如，如果我们需要找到标准正态分布下z值为1.96的概率，则可以查找正态分布表，找到对应的值为0.9750。
这意味着从分布的左侧到z=1.96处的面积为0.9750。
同样，如果我们需要找到标准正态分布下，左侧面积为0.0250的z值，则可以查找正态分布表，找到对应的z值为-1.96。
2. 正态分布的近似计算虽然正态分布表可以计算出任意概率值，但是这种方法很难适用于一些较为复杂的计算问题。
因此，在高考数学中，我们通常需要使用正态分布的近似计算方法。
例如，如果我们需要计算某个正态分布的面积，而该分布的均值和标准差均未知，但是有足够数量的样本数据，则可以使用样本均值和样本标准差来进行计算。
这种方法被称为t分布，其形状类似于正态分布，但是适用于小样本的情况。
3. 正态分布的应用案例正态分布在高考数学中出现的应用案例非常广泛，以下是一些常见的例子：a. 考虑到某个申请大学的考试，假设分数服从正态分布，平均分是85，标准差是8，如果该大学只招收前10%的申请者，那么最低要求的分数是多少？解法：根据正态分布的性质，我们可以找到z值为1.28（约等于10%的面积）对应的原始分数，即：z=（x-85）/8，其中x为原始分数。
因此，我们可以解出x=95.04分。
因此，最低要求的分数是95分。
b. 假设某家公司生产的电子产品的电池寿命服从正态分布，均值为450小时，标准差为40小时。
高考正态分布知识点
高考正态分布知识点在统计学中，正态分布是一种重要的概率分布，也被称为钟形曲线或高斯分布。
在高考数学中，正态分布是一个常见的考察点，学生需要了解和掌握与正态分布相关的概念、性质和应用。
下面将详细介绍高考正态分布的知识点。
一、正态分布的定义和性质1. 正态分布的定义：正态分布是指在数理统计中，如果随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ²的正态分布，则记为X~N(μ, σ²)，其中N表示正态分布。
2. 正态分布的性质：（1）正态分布是对称的，其均值、中位数和众数都相等，即μ=中位数=众数。
（2）正态分布的图像呈现出典型的钟形曲线。
（3）正态分布的曲线在均值两侧呈现出逐渐减小的趋势，但是永远不会到达横轴。
（4）正态分布的曲线关于均值μ对称。
（5）正态分布的标准差σ越大，曲线越矮胖；标准差σ越小，曲线越瘦高。
（6）约68%的数据落在均值±1个标准差范围内；约95%的数据落在均值±2个标准差范围内；约99.7%的数据落在均值±3个标准差范围内。
二、正态分布的概率计算1. 标准正态分布：标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
记为Z~N(0, 1)。
对于标准正态分布，我们可以通过计算标准正态分布表来得到对应的概率值。
2. 普通正态分布：当随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)时，可以进行标准化处理，将X转化为一个服从标准正态分布的随机变量Z。
即Z=(X-μ)/σ，这样就得到了一个标准正态分布。
对于普通正态分布，可以通过标准正态分布表和标准化公式来计算相应的概率值。
3. 概率计算：对于正态分布，我们常常需要计算在某个区间范围内的概率值。
对于标准正态分布，可以利用标准正态分布表查找对应的概率值。
对于普通正态分布，可以将其转化为标准正态分布进行计算。
三、正态分布的参数估计1. 样本均值的抽样分布：在统计学中，我们经常需要对总体的均值进行估计。
对于正态分布，样本均值的抽样分布也是一个正态分布，并且其均值等于总体均值，方差等于总体方差除以样本容量的平方根。
高考数学(理)一轮复习配套讲义： 二项分布与正态分布
第5讲二项分布与正态分布[最新考纲]1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3．能解决一些简单的实际问题.知识梳理1．条件概率及其性质设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与B，A与B，A与B都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝bφμ，σ(x)d x，则称随⎠⎛a机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．函数φμ，σ(x )＝，x ∈R 的图象(正态曲线)关于直线x＝μ对称，在x ＝μ处达到峰值1σ2π. (2)正态总体三个基本概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6. ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4. ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.辨 析 感 悟1．条件概率与相互独立事件的概率(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．(√)(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．(×)(3)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√) 2．二项分布与正态分布(4)在正态分布函数φμ，σ(x )＝中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．(√)(5)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生次数的概率分布．(√)(6)(2014·扬州调研改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.(×) [感悟·提升]1．古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A )，其中，在实际应用中P (B |A )＝n (AB )n (A )是一种重要的求条件概率的方法． 2．P (A ·B )＝P (A )·P (B )只有在事件A 、B 相互独立时，公式才成立，此时P (B )＝P (B |A )，如(1)，(2)．3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为n 次独立重复试验．在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p . 二是随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．且P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k 表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.考点一 条件概率【例1】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12(2)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”， 则P (B |A )＝________.解析 (1)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110410＝14.(2)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π. 事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π.故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝12π2π＝14.答案(1)B(2)1 4规律方法(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则P(B|A)＝P(AB) P(A).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝n(AB)n(A).【训练1】已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()．A.1127B.11 24C.827D.9 24解析设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)＝42＋4＝23，P(B|A)＝3＋18＋1＝49，∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827.答案 C考点二相互独立事件同时发生的概率【例2】(2013·陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率． 审题路线 (1)甲选择3号和乙没选择3号是相互独立事件，利用相互独立事件概率乘法可求；(2)“X ≥2”表示事件“X ＝2”与“X ＝3”的和事件，根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算．解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立．则A ·B 表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”． ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415， (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35，依题意，A ，B ，C 相互独立，A ，B ，C 相互独立，且AB C ，A B C ，A BC ，ABC 彼此互斥．又P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725.规律方法 (1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【训练2】 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解 (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得：P (B )P (B )＝116， 于是P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)． 故p ＝1－P (B )＝34. 所以乙投球的命中率为34.(2)法一 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12. 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 1－P (A ·A )＝1－P (A )P (A )＝34. 法二 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12. 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 C 12P (A )P (A )＋P (A )P (A )＝34. 考点三 正态分布下的概率【例3】 已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.8，则P (0<X <2)＝( )．A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 解析 由P (X <4)＝0.8，得P(X≥4)＝0.2，由题意知正态曲线的对称轴为直线x＝2，P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.2，∴P(0<X<4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6，∴P(0＜X＜2)＝12P(0<X<4)＝0.3.答案 C规律方法(1)求解本题关键是明确正态曲线关于x＝2对称，且区间[0,4]也关于x ＝2对称．(2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.【训练3】若在本例中，条件改为“已知随机变量X～N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，”求P(X>4)的值．解∵随机变量X～N(3,1)，∴正态曲线关于直线x＝3对称，由P(2≤X≤4)＝0.682 6，得P(X>4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7.考点四独立重复试验与二项分布【例4】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X的分布列．审题路线(1)甲、乙、丙各购买一瓶饮料是否中奖，相互独立，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，第(1)问可求；(2)依题意随机变量X服从二项分布，不难求出分布列．解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A ，B ，C ，且相互独立，那么A ，B ，C 相互独立．又P (A )＝P (B )＝P (C )＝16，∴P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216， 即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216. (2)X 的可能取值为0,1,2,3，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，16，∴P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k(k ＝0,1,2,3)． 则P (X ＝0)＝C 03·5363＝125216，P (X ＝1)＝C 13·5263＝2572， P (X ＝2)＝C 23·563＝572， P (X ＝3)＝C 3363＝1216，所以中奖人数X 的分布列为规律方法 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率．【训练4】 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15. (2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000，P (X ＝2)＝C 23×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为X 0 1 2 3 P11 000271 0002431 0007291 000E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.1．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．2．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次可看做是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k 个A 事件与(n －k )个A 事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k. 3．若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.易错辨析11——对二项分布理解不准致误【典例】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的， 故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13.所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫236－k，k ＝0,1,2,3,4,5,6. (2)由于Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y 是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y ＝k }(k ＝0,1,2,3,4,5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算． P (Y ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·13(k ＝0,1,2,3,4,5)，而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯． 故其概率为P (Y ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫236，因此Y 的分布列为：[易错警示]由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y ”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成13”．[防范措施] 独立重复试验中的概率公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k表示的是n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率，p 与(1－p )的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A 有k 次不发生的概率了． 【自主体验】(2013·辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252· 45＝28125；P (X ＝2)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·15＋C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.基础巩固题组一、选择题1．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是( )．A.316B.516C.716D.58 答案 B2．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)．若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝( )．A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977 答案 C3．(2014·湖州调研)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )． A.5960 B.35 C.12 D.160 答案 B4．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )． A ．0.45 B ．0.6 C ．0.65 D ．0.75 答案 D5．(2013·湖北卷改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.则p 0的值为( )．(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.) A ．0.954 4 B ．0.682 6 C ．0.997 4 D ．0.977 2 答案 D 二、填空题6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 答案 357．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 答案 0.1288．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案 0.72 三、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．10．某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：(1)(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点的概率是12，则μ＝( )．A ．1B ．4C ．2D ．不能确定解析 根据题意函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点时，Δ＝16－4X <0，即X >4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点的概率是12时，μ＝4. 答案 B2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )． A ．C 57⎝⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235 B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235 解析 S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13.故所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫135. 答案 B 二、填空题3．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知 小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案 34 三、解答题4．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望． 解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝16 27，又P(X＝1)＝P(A3)＝4 27，P(X＝2)＝P(A4)＝4 27，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝3 27，∴X的分布列为∴E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.。
(特效提高)高考数学一轮精品复习 12.7 正态分布题库 理
12.7 正态分布一、选择题1．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585解析 通过正态分布对称性及已知条件得 P(X ＞4)＝1－2＝1－0.68262＝0.1587，故选B .答案 B2. 设随机变量ξ服从正态分布 ),1(2σN ，则函数2()2f x x x ξ=++不存在零点的概率为( )解析 函数2()2f x x x ξ=++不存在零点,则440,1,ξξ∆=-<> 因为2~(1,)N ξσ，所以答案 C3．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|＜σ)等于( )．A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ⎝⎛⎭⎪⎫1－μσD ．2Φ(μ＋σ) 解析 由题意得，P (|ξ－μ|＜σ)＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|ξ－μσ|＜1＝Φ (1)－Φ(－1)．答案 B4．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( )．A．0 B．1 C．2 D．4解析由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝σ2＝4，∴D(η)＝1.答案 B5．标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为( )．A．0.998 7 B．0.997 4 C．0.944 D．0.841 3解析标准正态分布N(0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率P＝0.997 4.答案 B6．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－x－μi22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( )．A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.答案 D7．在正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )． A ．0.097 B ．0.046 C ．0.03 D ．0.0026 解析 ∵μ＝0，σ＝13∴P (X ＜1或x ＞1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案 D 二、填空题8. 随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，已知P (ξ＜0)＝0.3，则P (ξ＜2)＝________.答案 0.79．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N )服从正态分布N (100,102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．解析 由题意知，P (ξ＞110)＝1－2Pξ2＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10. 答案 1010．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________． 解析 ∵X 服从正态分布(1，σ2)，∴X 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. ∴X 在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8 答案 0.811．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，记Ф(x )＝P (ξ＜x )，给出下列结论： ①Φ(0)＝0.5； ②Φ(x )＝1－Φ(－x )；③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号是________．答案①②③12．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．解析P(9.8<X<10.2)＝P(10－0.2<X<10＋0.2)＝0.954 4.答案0.954 4三、解答题13．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．解析由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6知，此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6，又由于P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.14．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其概率密度函数是φμ，σ(x)＝162πe－x－272，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．(1)209－6～209＋6；(2)209－18～209＋18.解析由于X的概率密度函数为φμ，σ(x)＝162πe－x－272，x∈(－∞，＋∞)，∴μ＝209，σ＝6.∴μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6.μ－3σ＝209－6×3＝209－18， μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18.因此光通量X 的取值在区间(209－6,209＋6)，(209－18,209＋18)内的概率应分别是0.682 6和0.997 4.(1)于是光通量X 在209－6 ～209＋6范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.682 6＝ 6 826.(2)光通量在209－18～209＋18范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.997 4＝9 974.15．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． 解析 (1)由ξ～N (100,100)知μ＝100，σ＝10. ∴P (80＜ξ≤120)＝P (100－20＜ξ≤100＋20)＝0.954 4， 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954 4. (2)P (90＜ξ≤110)＝P (100－10＜ξ≤100＋10) ＝0.682 6，∴P (ξ＞110)＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，∴P (ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683(人)．16．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N (60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 解析 设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P (30＜X ≤90)＝P (60－3×10＜X ≤60＋3×10)＝0.997 4. ∴P (X ＞90)＝12[1－P (30＜X ≤90)]＝0.001 3∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x . 则P (X ≥x 0)＝0.022 8.∴P (120－x 0＜x ＜x 0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P (60－2×10＜x ＜60＋2×10)＝0.954 4. ∴x 0＝60＋2×10＝80(分)．。
正态分布高考知识点归纳总结
正态分布高考知识点归纳总结正态分布是高中数学中一个重要的概率分布，也是高考中经常涉及到的知识点之一。
本文将对正态分布相关的知识进行归纳总结，以帮助大家对这一概念有更深入的理解和应用。
1. 正态分布的定义与性质正态分布，又称高斯分布，是一种连续型概率分布。
它的概率密度函数具有以下特点：- 对称性：正态分布的概率密度函数呈现对称分布，关于均值的左右两侧呈镜像关系。
- 峰度：正态分布的峰度较高，峰值较为陡峭，符合钟形曲线的特点。
- 累积分布函数：正态分布的累积分布函数具有一定的难度，通常需要借助查表或计算器进行计算。
2. 正态分布的参数正态分布由两个参数决定：均值μ和标准差σ。
均值μ决定了正态分布的位置，标准差σ决定了正态分布的形态。
常见的正态分布符号表示为N(μ, σ^2)，其中N表示正态分布。
3. 正态分布的标准化为了便于计算和研究，人们引入了标准正态分布。
标准正态分布是具有均值为0、标准差为1的正态分布。
对于任意一个正态分布变量X，可以通过标准化将其转化为标准正态分布变量Z。
4. 正态分布的应用正态分布广泛应用于各个领域，特别是在统计分析和概率论中。
在高考中，正态分布常用于以下问题：- 概率计算：通过正态分布的概率密度函数和累积分布函数，计算给定区间内的概率值。
- 参数估计：通过样本数据拟合正态分布，并估计未知参数。
- 假设检验：根据正态分布的特点进行假设检验，判断样本数据是否能代表总体。
5. 正态分布的特殊情形除了一般的正态分布之外，还存在一些特殊的情形，包括：- 标准正态分布：均值为0，标准差为1，通常用Z表示。
- 标准化：通过减去均值并除以标准差，将一般的正态分布转化为标准正态分布。
- 单侧正态分布：仅在正数或负数那一侧有概率，通常在假设检验中应用。
- 中心极限定理：通过多次独立实验得到的样本均值服从近似正态分布，是统计学中重要的理论基础。
6. 正态分布与高考在高考中，正态分布通常以应用题的形式出现。
高中数学教案正态分布
高中数学教案-正态分布一、教学目标1. 了解正态分布的概念，掌握正态分布曲线的特点及对称性。
2. 能够运用正态分布的知识解决实际问题，如求随机事件的概率、判断事件是否独立等。
3. 培养学生的逻辑思维能力、数据分析能力及运用数学解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 正态分布的概念及特点2. 正态分布曲线的对称性3. 标准正态分布表的使用4. 利用正态分布解决实际问题5. 练习与拓展三、教学重点与难点1. 重点：正态分布的概念、特点及对称性，标准正态分布表的使用。
2. 难点：利用正态分布解决实际问题。
四、教学方法1. 讲授法：讲解正态分布的概念、特点、对称性及标准正态分布表的使用。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用正态分布解决这些问题。
3. 练习法：布置练习题，巩固所学知识。
4. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作与交流能力。
五、教学过程1. 导入：引入正态分布的概念，引导学生思考实际生活中的正态分布现象。
2. 讲解：讲解正态分布的特点、对称性及标准正态分布表的使用。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用正态分布解决这些问题。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
6. 拓展：引导学生思考正态分布在其他领域的应用，提高学生的综合素质。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
8. 课堂小结：对本节课的教学情况进行总结，为学生反馈学习情况。
六、教学评估1. 课后作业：布置有关正态分布的习题，要求学生在规定时间内完成，以此评估学生对课堂所学知识的掌握程度。
2. 课堂提问：在授课过程中，教师应适时提问学生，了解学生对正态分布概念、特点及应用的理解情况。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括分析问题、解决问题及合作交流能力。
4. 课后访谈：教师可对部分学生进行课后访谈，了解他们对正态分布知识的理解和应用情况。
七、教学反思在授课结束后，教师应认真反思教学过程，包括：1. 教学内容是否符合学生实际需求，是否有助于培养学生的数学素养。
高三正态分布的知识点
高三正态分布的知识点正态分布是概率论和统计学中非常重要的概念之一，它在高三数学课程中也是必学的知识点。
本文将介绍高三正态分布的基本概念、性质以及应用。
1. 正态分布的基本概念正态分布，又称为高斯分布，是一种连续型的概率分布。
它的特点是呈钟形曲线，两侧尾部逐渐衰减，并且平均值、中位数和众数都相等。
正态分布的图像称为正态曲线，其表现形式为一个关于均值的对称曲线，均值处为最高点。
2. 正态分布的性质（1）正态分布是对称分布，即中心对称的曲线。
（2）正态分布的均值、中位数和众数都相等，且位于曲线的中心位置。
（3）正态分布的标准差越小，曲线越尖；标准差越大，曲线越平缓。
（4）正态分布可以通过改变均值和标准差控制其位置和形状。
（5）正态分布以均值为中心，标准差为单位，将整个曲线划分为若干个标准差区间，分别为68-95-99.7规则，分别包含了相应比例的数据。
3. 正态分布的应用正态分布广泛应用于各个领域，特别在高三数学中的统计与概率部分。
（1）在考试成绩分析中，假设考试成绩服从正态分布，可以通过计算均值和标准差来评估考试难度和判定学生的等级。
（2）在质量控制中，可以通过正态分布来确定生产过程中的误差界限和质量合格标准。
（3）在人体测量学中，如身高、体重等指标的分布可以近似地服从正态分布，用于制定相关医疗标准。
（4）在金融领域中，股票价格的变动、利润的波动等数据也常常服从正态分布，用于风险评估和投资决策。
4. 正态分布的计算方法正态分布的计算主要涉及标准化和逆标准化。
（1）标准化：将原始数据转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的分布。
标准化的方法是通过减去均值再除以标准差。
（2）逆标准化：将标准正态分布的数值转化为原始分布的数值。
逆标准化的方法是通过乘以标准差再加上均值。
总结：正态分布是高三数学中的重要知识点，掌握了正态分布的基本概念、性质和应用，可以更好地理解和解决与正态分布相关的问题。
通过计算方法的学习，我们能够对数据进行标准化和逆标准化，为进一步的数据分析提供基础。
高中数学教案--正态分布
高中数学教案--正态分布一、教学目标1. 了解正态分布的概念、特点及应用范围。
2. 掌握正态分布曲线的性质，包括对称性、渐进线等。
3. 学会如何计算正态分布的概率密度函数和累积分布函数。
4. 能够运用正态分布解决实际问题，提高数据分析能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：正态分布的概念、特点及应用范围；正态分布曲线的性质；正态分布的概率密度函数和累积分布函数的计算。
2. 教学难点：正态分布的概率密度函数和累积分布函数的计算及应用。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解正态分布的基本概念、性质和计算方法。
2. 利用数形结合法，通过图形演示正态分布曲线的特点。
3. 结合实际案例，让学生学会运用正态分布解决实际问题。
4. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件：正态分布的图形、性质、计算方法及应用案例。
2. 练习题：涵盖正态分布的基本概念、性质和计算方法。
3. 实际案例数据：用于引导学生运用正态分布解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际案例，引出正态分布的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课讲解：讲解正态分布的基本概念、性质和计算方法。
3. 案例分析：分析实际案例，让学生学会运用正态分布解决实际问题。
4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 课后作业：要求学生完成练习题，加深对正态分布的理解和应用。
教学反思：本节课通过讲解正态分布的基本概念、性质和计算方法，让学生学会了如何运用正态分布解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生参与课堂讨论，提高学生的积极性和合作能力。
通过课后作业的布置，巩固所学知识，为后续课程的学习打下基础。
六、教学评价1. 评价目标：了解学生对正态分布的概念、性质和应用的掌握情况。
2. 评价方法：课堂练习、课后作业、小组讨论、课堂表现。
3. 评价内容：正态分布的基本概念、性质、计算方法及实际应用。
4. 评价时间：单元测试、学期末考试。
求解正态分布问题
求解正态分布问题正态分布（Normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），是概率论与统计学中一种非常重要的连续型概率分布。
在许多实际应用中，正态分布都能较好地描述随机变量的分布情况。
本文将着重探讨解决正态分布问题的方法。
一、正态分布的特征与性质正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）可以用以下公式表示：f(x) = 1 / (√(2π)σ) * exp[-(x-μ)² / (2σ²)]其中，μ为均值（mean），σ为标准差（standard deviation）。
正态分布的特征如下：1. 对称性：正态分布的概率密度函数呈现对称形状，以均值μ为中心对称。
2. 峰度（kurtosis）：正态分布的峰度为3，即峰度大于3的分布被称为"重尾分布"，峰度小于3的分布被称为"轻尾分布"。
3. 均值和标准差：均值μ决定了正态分布的位置，标准差σ则决定了分布的宽窄。
4. 68-95-99.7法则：对于符合正态分布的随机变量，约68%的观测值落在均值的一个标准差范围内，约95%落在两个标准差内，约99.7%落在三个标准差内。
二、正态分布问题的求解方法在实际问题中，我们常常需要求解与正态分布相关的问题，如以下几个常见的问题类型：1. 求概率：已知正态分布的均值和标准差，要求某个随机变量落在某个特定区间的概率。
2. 求随机变量值：已知正态分布的均值和标准差，要求某个概率对应的随机变量值。
3. 求样本均值：对于一个大样本，已知各观测值符合正态分布，要求样本均值的分布情况。
下面将分别介绍这三类问题的求解方法。
1. 求概率对于已知的正态分布问题，要求某个随机变量落在某个特定区间的概率，可以通过标准化转换的方法来处理。
以一个例子来说明：已知一个身高服从正态分布，均值为170 cm，标准差为10 cm，求身高在160 cm到180 cm之间的概率。
浅谈高中数学教学正态分布问题
浅谈高中数学教学正态分布问题高中数学教学是学生在学习数学知识和技能的关键阶段，对于数学教学的内容和方法，一直是教育工作者和学生家长们关注的焦点。
正态分布是高中数学中的一个重要概念，它在统计学、自然科学和社会科学等领域有着广泛的应用。
在高中数学教学中，怎样恰当地引导学生理解和运用正态分布的概念和性质，是一个重要的问题。
本文将从正态分布的概念、性质和教学方法等方面进行浅谈，希望能对高中数学教学有所启发。
正态分布是高中数学中一个重要的概率分布。
它的图像呈钟形曲线，左右对称，中心峰较高且尖，而两端较为平缓。
正态分布有一个特点，即在均值两侧的数据分布情况是对称的，且在均值附近的数据密度较大，在两端的数据密度较小。
正态分布的密度函数为f(x)=1/σ√(2π)e^(-(x-μ)^2/2σ^2)，其中μ为均值，σ为标准差，函数图像是一个较为平滑的钟形曲线。
正态分布广泛存在于自然界和社会生活中的各种现象，例如身高、体重、考试成绩等都服从正态分布。
正态分布在统计学和科学研究中扮演着重要的角色。
在高中数学教学中，正态分布的概念和性质是需要学生深刻理解和掌握的内容。
学生需要理解正态分布的定义，即所谓的正态分布是指一组数据的分布情况呈现出钟形曲线的规律。
学生需要掌握正态分布的对称性和峰度特点，即正态分布曲线是左右对称的，且在均值附近的数据密度较大。
学生需要理解正态分布的参数含义，即均值μ和标准差σ对于正态分布曲线的位置和形状有着重要的影响。
学生需要学会利用正态分布求解实际问题，例如计算正态分布中的概率、找出正态分布中的异常值等。
只有通过深入学习和实际应用，学生才能真正理解和掌握正态分布这一概率分布的重要内容。
关于正态分布的教学方法也是需要我们在高中数学教学中考虑的重要问题。
在正态分布的教学中，教师可以通过举一些生动的例子来引导学生理解正态分布的概念和特点。
可以通过测量班级同学身高的数据来展示正态分布的图像和特点，让学生亲身感受正态分布的存在和重要性。
知识讲解正态分布[理]
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正态分布【学习目标】1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
2. 了解正态曲线与正态分布的性质。
【要点梳理】要点诠释：要点一、概率密度曲线与概率密度函数1．概念：对于连续型随机变量X ，位于x 轴上方，X 落在任一区间（a ，b]内的概率等于它与x 轴、直线x a =与直线x b =所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做X 的概率密度曲线，以其作为图象的函数()f x 叫做X 的概率密度函数。
2、性质：①概率密度函数所取的每个值均是非负的。
②夹于概率密度的曲线与x 轴之间的“平面图形”的面积为1③()P a X b <<的值等于由直线x a =，x b =与概率密度曲线、x 轴所围成的“平面图形”的面积。
要点二、正态分布1.正态变量的概率密度函数正态变量的概率密度函数表达式为：22()2,()(R)x x x μσμσϕ--=∈，（0,σμ>-∞<<+∞）其中x 是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；σ是正态变量的标准差. 2．正态分布 （1）定义如果对于任何实数,()a b a b <随机变量X 满足：,()()baP a X b x dx μσϕ<≤=⎰，则称随机变量X 服从正态分布。
记为2(,)X N μσ。
（2）正态分布的期望与方差 若2(,)XN μσ，则X 的期望与方差分别为：EX μ=，2DX σ=。
要点诠释：（1）正态分布由参数μ和σ确定。
参数μ是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。
σ是 标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。
（2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．要点三、正态曲线及其性质：1. 正态曲线如果随机变量X 的概率密度函数为22()2()(R)x f x x μσ--=∈，其中实数μ和σ为参数（0,σμ>-∞<<+∞），则称函数()f x 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
浅谈高中数学教学正态分布问题
浅谈高中数学教学正态分布问题正态分布是高中数学教学中一个重要的概率分布问题，也是数学课程中的一个重要内容。
正态分布广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等各个领域，因此在高中数学教学中对正态分布问题的深入理解和掌握显得尤为重要。
正态分布的概念和特点正态分布又称为高斯分布，是一种连续概率分布。
在数学上，正态分布可以用数学公式表示为：\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]μ是分布的均值，σ是标准差。
正态分布的曲线呈钟形，两头低中间高，即呈对称性。
正态分布的曲线在均值μ处有一个高峰，两边逐渐变低，但永远不会触及x轴。
在μ±σ、μ±2σ、μ±3σ等区间内的概率分别约为68.27%、95.45%、99.73%。
正态分布在高中数学教学中的应用在高中数学教学中，正态分布广泛应用于各种实际问题的概率计算中。
考试成绩分布、人口身高分布、产品质量控制等诸多问题都可以用正态分布来描述和计算。
通过正态分布的知识，可以帮助学生更好地理解和应用概率统计的相关知识，提高他们解决实际问题的能力。
在高中数学教学中，正态分布问题通常在概率统计这一章节中进行讲解。
老师会首先介绍正态分布的概念和特点，然后通过一些实际例子来说明正态分布在实际生活中的应用，最后讲解如何利用正态分布进行概率计算和问题求解。
目前在教学中也存在一些问题和挑战。
第一，对于正态分布的概念和特点的理解。
由于正态分布的概念和特点比较抽象，学生往往很难理解和掌握。
老师在讲解时需要引导学生通过具体的例子来加深对正态分布概念和特点的理解，让学生通过观察、分析和实践来理解正态分布。
第二，对于正态分布的应用问题的解决能力。
正态分布的应用问题往往需要学生具备较强的数学建模和解决实际问题的能力。
目前学生在解决这类问题时往往显得力不从心，很难将数学知识与实际问题相结合。
高中数学正态分布例题解析
高中数学正态分布例题解析正态分布是数学中一个重要的分布，它在各个领域都有广泛的应用，包括自然科学、社会科学和工程学等。
在高中数学中，正态分布是概率论中的一个重要概念，它可以用来描述一组数据中的中心趋势。
下面我们将通过一个例题来解析正态分布的应用和计算方法。
例题：某公司生产的产品合格率在 0% 到 100% 之间，共有 100 个产品，其中 90 个合格，10 个不合格。
求这 100 个产品中，合格品所占的比例。
解：这是一个概率论中的问题，我们需要计算出合格品的概率。
首先，我们可以将这 100 个产品分为合格品和不合格品两个部分，设合格品的数量为 x，则不合格品的数量为 100-x。
由题意可知，x+100-x=100，解得 x=90。
因此，合格品的数量为 90 个，不合格品的数量为 10 个。
接下来，我们可以计算出合格品的概率，即 P(X=90),这也是正态分布的一个重要性质，即中心趋势。
我们可以使用正态分布的公式来计算，其中，n 表示样本数量，μ表示平均值，σ表示标准差。
根据正态分布的公式，我们可以得到:P(X=90) = e^(-(90-μ)^2/2σ^2)其中，e 代表自然常数 (约为 2.71828),μ代表平均值，σ代表标准差。
由于题目中给出了平均值为 90，标准差为 10，因此我们可以计算出μ和σ的值:μ = 90σ = 10然后，我们可以将计算出的 P(X=90) 代入正态分布的公式中，计算出平均值和标准差:P(X=90) = e^(-(90-90)^2/(2*10^2)) = e^(-1) = 0.0986 μ = 90σ = 10因此，我们可以得到合格品所占的比例:P(X=90) = 0.09861 - P(X=90) = 1 - 0.0986 = 0.9014因此，这 100 个产品中，合格品所占的比例约为 90.14%。
拓展:正态分布是一种重要的分布，它可以用来描述一组数据中的中心趋势。
逆向思维解决高考数学正态分布问题
逆向思维解决高考数学正态分布问题逆向思维解决高考数学正态分布问题在高考数学中，正态分布是一个常见的考点。
对于许多学生来说，正态分布问题可能是难以理解和解决的。
然而，通过逆向思维，我们可以以不同的角度来解决这类问题，从而提高解题能力。
本文将介绍逆向思维在解决高考数学正态分布问题中的应用。
首先，我们需要明确正态分布的基本概念。
正态分布是一种连续性的概率分布，其图像呈钟形曲线，以均值为中心对称。
在高考数学中，通常会给出正态分布的均值和标准差，要求求解一些与概率有关的问题，例如求某个区间内的概率、求满足某个概率的值等。
传统的解决方法是利用标准正态分布表，将原问题转化为标准正态分布的问题，然后查表求解。
这种方法需要熟练掌握标准正态分布表的使用方法，且容易出错。
而通过逆向思维，我们可以采用不同的思路来解决这类问题。
首先，我们可以从问题的要求出发，反向推导出与之对应的正态分布的特征。
例如，若要求在正态分布中找到某个值对应的概率，我们可以将该值与均值和标准差进行比较，观察其与均值的相对位置，从而判断概率的大小。
这种方法可以帮助我们更好地理解正态分布的特性，提高解题的准确性。
其次，我们可以利用正态分布的对称性质，通过逆向推导求解问题。
例如，若要求在正态分布中求某个概率对应的值，我们可以先找到该概率对应的对称概率，然后利用对称性质找到对应的值。
这种方法能够帮助我们快速定位到目标值，减少计算的复杂度。
另外，我们还可以利用正态分布的特点，通过逆向思维解决一些复杂的问题。
例如，若要求在正态分布中找到某个区间内的概率，我们可以先找到该区间两侧边界的对称点，然后利用对称性质求解。
这种方法可以帮助我们简化问题的复杂度，提高解题的效率。
除了上述方法，我们还可以运用逆向思维解决一些与正态分布相关的推理问题。
例如，若要求判断某个值是否符合正态分布的特征，我们可以通过逆向思维，从已知的正态分布特征出发，推导出该值对应的概率，然后判断其是否符合给定条件。
52 利用对称性求解正态分布问题(理)-备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽含解析
【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第52讲 利用对称性求解正态分布问题（理） 考纲要求：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．基础知识回顾：1、正态分布：①密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ,位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴。
直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的 面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线,以其作为图像的函数()f x 叫做ξ的密度函数,由于“x ∈(－∞，＋∞)"是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.②正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度函数为22()21()2x f x e μσπσ--=(x ∈（－∞，＋∞)，实数μ和σ （σ>0）为参数），称ξ服从参数为μ、σ的正态分布，用()2,N ξμσ表示.()f x 的表达式可简记为()2,N μσ，它的密度曲线简称为正态曲线。
正态分布的期望与方差：若()2,N ξμσ，则ξ的期望与方差分别为：2,E D ξμξσ==. 2．正态曲线的特点（1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交．（2）曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称．（3)曲线在μ=x 处达到峰值πσ21。
(4）曲线与x 轴之间的面积为1.（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．（6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．3、标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为22()x f x -=,则称ξ服从标准正态分布。
即()0,1N ξ。
非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若()2,N ξμσ，则x μησ-=()0,1N ，据此可以把非标准正态分布的概率转化为标准正态分布的概率：()00x P x P μξησ-⎛⎫≤=≤ ⎪⎝⎭。
4、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P (μ－σ〈X ≤μ＋σ）＝0。
对称思想解正态分布概率题
“对称思想”解正态分布概率题河南 贾海山我们知道，正态曲线是正态分布的图象，正态分布是用正态曲线和x 轴所围的图形面积来表示概率：整个图形面积和是1，表示概率和是1.正态曲线“关于直线x μ=对称”，说明直线x μ=两侧图形面积相等，表示概率各为0.5 ；同时也说明，在对称轴x μ=两侧相应对称区间面积也是相等的，从而概率也相等。
利用这一“对称思想”可解正态分布概率题。
22(0,),(20)0.4. (2)(0,)00 (20)(02) (0)0.5(02)(2)(20)(2)0.4(2) (2)0.1.N P P N x P P P P P P P P P ξσξξξσμξξξξξξξξξ-≤≤=>=∴-≤≤=≤≤∴≥==≤≤+>=-≤≤+>=+>∴>= 例1 已知～且求的值.解：由～知＝，则对称轴为（如图1）222 2 (1,),(31)0.4,(1)_____. (1,) 1(31)(11) 2(1)(11)(1)0.4 (1)0.1.3 (,),()(N P P N x P P P P P P N P c P c ξσξξξσξξξξξξξμσξξ--≤≤-=≥=-=-∴-≤≤-=-≤≤≥+-≤<=≥+∴≥=≤=>例已知～且则解：由～知其对称轴方程是（如图）又0.5=例设随机变量～且2).(,) ()()0.5 ()()3()()0.5 .4 (1,4),()34(>).(0.5)0.6915,(1)0.8413,(2)0.9c N x P P P c P c P c P c c N P c P c c ξμσμξμξμξξξξμξξξξ=∴≤=>=≤=>∴≤=>=∴=≤=Φ=Φ=Φ= 求的值。
解：由～知其对称轴方程是又（如图）例设随机变量服从正态分布，～若求常数的值.(可能用到的数据：773).1(1,4)1,2(0,1)(>)1()2111 ()34(>) ()431()4343() 2221431()0.9773(2) 2 5.2442N N P c P c c c c P c P c c c c ξξμσηξξξξ-==∴=∴=-≤---⎡⎤≤=∴Φ=-Φ=-Φ⎢⎥⎣⎦--∴Φ=≈=Φ∴=∴= 解：由～知又 图3 图2例 5 已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落在(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是______.(31)(35) (3,5)5(1)3 1 1.22x E P P x E x E μξξξμξμξ∴==-≤≤-=≤≤∴==∴+-+===∴== 解:该总体是正态总体对称轴是. 又（-3,-1）与关于直线对称对称轴是（-3）学会“从面积出发”准确理解正态分布的概率，学会用“数形结合思想”转化正态分布的概率，学会用“对称思想”解正态分布概率题，事半功倍。
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【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第52讲 利用对称性求解正态分布问题（理）考纲要求:利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．基础知识回顾:1、正态分布：①密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的 面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数()f x 叫做ξ的密度函数，由于“x ∈(－∞，＋∞)”是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.②正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度函数为2()2()x f x μσ--=（x ∈(－∞，＋∞)，实数μ和σ (σ>0)为参数），称ξ服从参数为μ、σ的正态分布，用()2,N ξμσ表示. ()f x 的表达式可简记为()2,N μσ，它的密度曲线简称为正态曲线。
正态分布的期望与方差：若()2,N ξμσ，则ξ的期望与方差分别为：2,E D ξμξσ==.2．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称．(3)曲线在μ=x 处达到峰值πσ21.(4)曲线与x 轴之间的面积为1. (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．3、标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为22()xf x -=，则称ξ服从标准正态分布. 即()0,1N ξ。
非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若()2,N ξμσ，则x μησ-=()0,1N ，据此可以把非标准正态分布的概率转化为标准正态分布的概率：()00x P x P μξησ-⎛⎫≤=≤ ⎪⎝⎭。
4、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.683；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997.“3σ”原则：假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：(ⅰ)提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .(ⅱ)确定一次试验中的取值是否落入范围)3,3(σμσμ+-.(ⅲ)做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.应用举例:类型一、正态分布例1、(1)设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<2)＝0.8，则P(0<ξ<1)的值为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6（2）若随机变量ξ～N(2,1)，且P(ξ>3)＝0.158 7，则P(ξ>1)＝________. 解析：由ξ～N(2,1)，得μ＝2，因为P(ξ>3)＝0.158 7，所以P(ξ<1)＝0.158 7，所以P(ξ>1)＝1－0.158 7＝0.841 3.(3)已知某县农民的月均收入ξ服从正态分布N(1 000，402)，且P(920<ξ≤1 080)＝0.954 4，则此县农民月均收入在1 000元到1 080元之间的人数的百分比为________．解析:P (1 000<ξ≤1 080)＝12P (1 000－80<ξ≤1 000＋80)＝12P (920<ξ≤1 080)＝12×0.954 4＝0.477 2.点评：求正态总体在某个区间内取值的概率时应注意： (1) 熟记正态分布的三个常用数据①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6.②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等．②P(X<a)＝1－P(X ≥a)，P(X<μ－a)＝P (X ≥μ＋a)．类型二、利用正态曲线的性质求概率例2、已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84例3、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N （800，502）的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p 。
（1）求0p 的值；（参考数据：若2(,)X N μσ-，有()0.6826,P X μσμσ-<≤+= (22)0.9544,(33)0.9974.P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=（2）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次。
A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆。
若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解析：（1）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=. （2）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +. 依题意, , x y 还需满足：021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥，由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤， 故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥.于是问题等价于求满足约束条件21, 7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z 最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆. 点评：解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化．解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用．方法、规律归纳:一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．实战演练:1．设随机变量X ～N(1,32)，若P(X≤c)＝P(X ＞c)，则c 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．32．在对我市普通高中学生某项身体素质的测试中．测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0,1)内取值的概率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.3解析：正态分布曲线关于μ＝1对称，ξ在(0,1)与(1, 2)内取值的概率相等，为0.4.答案：B3．设随机变量X ～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a －2＝2，故a ＝4.答案：A4．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。
） （A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% 解析：用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：()()()13666332P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦ 0.95440.68260.13592-==, 故选B. 6. 已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 解析：由已知μ＝0，σ＝3.所以P (3<ξ<6)＝12P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选B.7．随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，若P(ξ＜30)＝0.2，则P(30＜ξ＜50)＝__________.解析：根据正态分布曲线的对称性可得P(30＜ξ＜50)＝1－2P(ξ＜30)＝0.6.答案：0.68.某班有50名学生，一次考试后数学成绩X (X∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤X≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为_____．解析：由题意，知P(X＞110)＝1－2P X2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.9．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组160,164)，第2组164,168)，…，第6组180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X，求X的数学期望．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0. 954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.10．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8＜Z＜212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4.(2)①由 (1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8＜Z＜212.2)＝P(200－12.2＜Z＜200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8, 212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。