微分数值解法

微分数值解法
分别用欧拉方法、改进的欧拉方法、二阶龙格-库塔方法、三阶龙格-库塔方法、四阶龙格-库塔方法，计算下列初值问题，并与精确解对比。

微分方程的初值问题:
⎪⎩⎪⎨⎧==0
0)()
,(y x y y x f dx dy
1.欧拉方法：用差分代替微分，化为：
⎩⎨
⎧+=+=++nh
x x y x hf y y n n n n n 011)
,( 2.改进的欧拉方法：
⎪
⎩⎪⎨
⎧
+=++=-
++-++)
,()],(),([21111n n n n n n n n n n y x hf y y y x f y x f h y y 3二阶龙格-库塔方法：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
++==+=+)
2,2()
,(k 12121κκκh y h x f y x f h y y n n n n n n 4.三阶龙格-库塔方法：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨
⎧
+-++=++==+++=+))
2(,()
2
,2()
,()4(6
1213
1
213211
κκκκκκκκκh y h x f h y h x f y x f y y n n n n n n n n 5，四阶龙格-库塔方法：
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎩⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
++=++=++==++++=+)
,()2
,2()2,2(),()22(6
3423
12143211
κκκκκκκκκκκh y h x f h y h x f h y h x f y x f h y y n n n n n
n n n n n
例一：
⎩⎨
⎧=-+=0
)0(22
'y x x y y 易得方程精确解为：
y=2
x
根据欧拉方法、改进的欧拉方法、二阶龙格-库塔方法、三阶龙格-库塔方法、四阶龙格-库塔方法，利用c++编程（程序见附录），计算结果如下表：
例二:
⎩⎨
⎧=+-=0
)0(x
2x 24'y y y 易得精确解为
y=2
x
根据欧拉方法、改进的欧拉方法、二阶龙格-库塔方法、三阶龙格-库塔方法、四阶龙格-库塔方法，利用c++（程序见附录），计算结果如下表：
例三:
⎩
⎨
⎧=--=1)0(sin x cos 22'y x
y y 易得精确解为
y=cosx
根据欧拉方法、改进的欧拉方法、二阶龙格-库塔方法、三阶龙格-库塔方法、四阶龙格-库塔方法，利用c++（程序与例一类似，故省略见附录），计算结果如下表：
附录：
例一程序
（1）欧拉方法的c++程序：
（2）改进的欧拉方法的c++程序：
（3）二阶龙格-库塔方法：
（4）三阶龙格-库塔方法：
（5）四阶龙格-库塔方法：
例二程序：
（1）欧拉方法的c++程序：
（2）改进的欧拉方法的c++程序：
（3）二阶龙格-库塔方法：
（4）三阶龙格-库塔方法：
（5）四阶龙格-库塔方法
例三程序：
（1）欧拉方法的c++程序：
（2）改进的欧拉方法的c++程序：
（3）二阶龙格-库塔方法：
（4）三阶龙格-库塔方法：
（5）四阶龙格-库塔方法：。