数列的概念与简单表示法导学案
2.1数列的概念与简单表示法(2)
4.已知数列 满足 ， （n≥2），则 .
5.已知数列 满足 ， （n≥2），
则 .
课堂反思
3.递推公式法：
递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
试试：上图中相邻两层的钢管数 与 之间关系的一个递推公式是.
4.列表法：
试试：上图中每层的钢管数 与层数n之间关系的用列表法如何表示？
递推公式与通项公式的异同；
2.会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.
2学习指导
阅读教材,回答下面问题：
1.通项公式法：
试试：上图中每层的钢管数 与层数n之间关系的一个通项公式是.
2.图象法：
数列的图形是，因为横坐标为数，所以这些点都在y轴的侧，而点的个数取决于数列的．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
反思：所有数列都能有四种表示方法吗？
3自学检测
（1）已知 ， ，写出前5项，并猜想通项公式 .
二.合作交流
1已知数列 满足 ， ，那么 （）.
A. 2003×2004 B. 2004×2005
C. 2007×2006 D.
2.（2005年湖南）已知数列 满足 ，
（ ），则 （）.
A．0 B.－ C. D.
年级：高二学科：数学
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：2.1数列的概念与简单表示法(2)
制单人：田志龙审核人：高二数学组
班级：________组名：________姓名：________时间：__
高中数学_2.1_数列的概念与简单表示法导学案_新人教A版必修5
§ 2.1数列的概念与简单表示法(1)1 - 学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项;3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式7学习过程一、课前准备(预习教材P28 ~ F30，找出疑惑之处)复习1:函数y 3x，当x依次取1, 2, 3,…时，其函数值有什么特点?复习2：函数y=7x+9，当x依次取1, 2, 3,…时，其函数值有什么特点?二、新课导学探学习探究探究任务：数列的概念1. __________________________________ 数列的定义：的一列数叫做数列.2. __________________________________ 数列的项：数列中的都叫做这个数列的项. 反思：⑴如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列?⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗?3. 数列的一般形式：印耳舄丄,a n,L，或简记为务，其中a.是数列的第—项.4. 数列的通项公式：如果数列a n的第n项a n与n之间的关系可以用 ________________________ 来表示，那么就叫做这个数列的通项公式.反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一?⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系?用心爱心专心12008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d25. 数列的分类：1）根据数列项数的多少分 ______ 数列和 ____ 数列; 2）根据数列中项的大小变化情况分为 _______ 数列, _____ 数列， _______ 数列和 _________ 数列. 探典型例题例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前⑵ 1 , 0 , 1 , 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4项分别是下列各数:⑴ 1 4 ；2 5 10 17 ⑵ 1 , —1, 1，- 1；小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式, 项数的函数关系•例2已知数列2, - , 2，…的通项公式为 a n4只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为2 ban——，求这个数列的第四项和第五项 •cn4项分别是下列各数:用心 爱心 专心 3变式：已知数列,5 , 11 , 17 , 23 , 29，…，则5、. 5是它的第 _____ 项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4项分别是下列各数:1 1 1 ；3 5 7 2， 3，2 .练2.写出数列｛n 2 n ｝的第20项，第n + 1项.1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式;2. 会用通项公式写出数列的任意一项 . %知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数 思考：设 f (n)=1+ 1 + 1+…+ 1( n N* )那么 f(n 1) f (n)等于2 33n 1 A 1B. 1 1 3n 23n 3n 1C11D.1 1 13n 1 3n 23n 3n 1 3n 2-W !'学习评价%自我评价你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差%当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（）.A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1 , 2, 3, 4 与 4, 3, 2, 1 是同一数列C. 1 , 1, 1, 1…不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同 2. 下列四个数中，哪个是数列 ｛n （n 1）｝中的一项（ ）A. 380B. 392C. 321D. 232%动练1. ⑴1 ,⑵1 ,2008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d43. 在横线上填上适当的数：3, 8, 15, ____ , 35, 48.n(n 1)4. 数列｛( 1)^｝的第4项是 .5. 写出数列丄，丄，丄，丄的一个通项公式2 1 2 2 23 2 4课后作业1. 写出数列｛ 2n ｝的前5项.2 942 2 _ ■--- 1■i 12. (1)写出数列21, 3 1 41, 5 1的一个通项公式为 2 34 5■ 11(2)已知数列.3 , - 7 , 11 , 15 ,: - ■ • • : ■ 1§ 2.1数列的概念与简单表示法(2)1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.学习过程一、课前准备(预习教材P 31 ~ Pi 4，找出疑惑之处) 复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？复习2:数列如何分类?用心爱心专心52008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d6二、新课导学 探学习探究 探究任务：数列的表示方法1. 通项公式法2. 图象法:数列的图形是 ______________________ ，因为横坐标为 _数，所以这些点都在 y 轴的_侧，而点的个 数取决于数列的 ______ •从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 3. 递推公式法：递推公式：如果已知数列 a n 的第1项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a ni （或前n 项）间的关 系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 试试：上图中相邻两层的钢管数 a n 与a n 1之间关系的一个递推公式是 ___________ . ________4. 列表法：试试：上图中每层的钢管数 a n 与层数n 之间关系的用列表法如何表示?反思：所有数列都能有四种表示方法吗?a i 11 写出这个数列的前五项1 （n 1）. a n 1问题：观察钢管堆放示意图,找每层的钢管数 a n 与层数n 之间有何关系?试试：上图中每层的钢管数a n 与层数n 之间关系的一个通项公式是例1设数列a n 满足a n变式：已知a 1 2 , a n 12a n ，写出前5项，并猜想通项公式a n用心 爱心 专心 7小结：由递推公式求数列的项，只要让 n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项:例2已知数列a n 满足a i 0， a . i a . 2n ,那么a 20°7（）A.2003 X 2004B.2004 X 2005C. 2007 X 2006D. 20042I小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法%动手试试2练 1.已知数列a n 满足耳 1 ,a 2 一，且 a n i ga^ a .^ni2a . i ga . i 0 ( n 2)，求 a 3,3练2. (2005年湖南)已知数列 a n 满足a i 0 ,a n/ *a . i --------------------------- (n N )，贝V a 20( ).3a n i A . 0 B. - 3 C. 3 D.2练3.在数列a .中，a i 2,如 66，通项公式是项数变式：已知数列a n 满足 ai 0 , a n 1a n 2n ，求 a nn 的一次函数2008年下学期♦高二月日班级：姓名：第二章数列」⑴求数列a.的通项公式；⑵88是否是数列a n中的项.8用心 爱心 专心 9二、总结提升 探学习小结 1. 数列的表示方法; 2. 数列的递推公式 探知识拓展 n 刀最多能将比萨饼切成几块？ 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜 现一刀能将饼切成两块，两刀最多能 他算算看，四刀最多能将饼切成多少 解析：将比萨饼抽象成一个圆，每 欢将比萨饼切成形状各异的小块，以便出售 •他发 切成4块，而三刀最多能切成 7块（如图）.请你帮 块？ n 刀呢？一刀的切痕看成圆的一条弦.因为任意两条弦最多只能有一个交点，所以第 n 刀最多与前n —1刀的切痕都各有一个不同的交点，因此第 n 刀的切痕最多被 前n -1刀分成n 段，而每一段则将相应的一块饼分成两块 .也就是说n 刀切下去最多能使饼增加 n 块.记 刀数为1时，饼的块数最多为a i , ，刀数为n 时，饼的块数最多为 a n ，所以a n =a n1 n . 由此可求得a n =1+ n （n 1）- 2 y 学习评价 .---... 探自我评价你完成本节导学案的情况为（ ） A.很好B. 较好 C. 一般 D . 较差 探当堂检测（时量： 5分钟满分：10分）计分： 1.已知数列a n 1 a n 3 0,则数列 a n 是（ ）• A.递增数列B. 递减数列C.摆动数列D.常数列2.数列a n 中， a n 2n 29n 3, 则此数列最大项的值是 A. 3 B. 13 C .13 1D. 12 83. 数列a n 满足a 1 1 , a n 1 a n2 （ n 》1）,则该数列的通项 A. n(n 1) B. n(n 1)C . n(n 1) D. n(n 1) 2 24. 已知数列 a n 满足 1 a 1 3 a n (1)n g2a n 1 ( n 》2),则5. 已知数列 a n 满足 1 a 1a n 1 1 1( n 》2),2a n则; a 6 .a n■■ 7课后作业1.数列a n 中,印=0, a n 1 = a n + （2n — 1） （ n € N ），写出前五项，并归纳出通项公式2008年下学期♦高二月日班级：姓名：第二章数列」2. 数列a n满足a i 1 , a n1竺（n N），写出前5项，并猜想通项公式a n.a n 2§ 2.2等差数列（1）一一选垃—学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.学习过程一、课前准备（预习教材P36 ~ F39，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法?二、新课导学探学习探究探究任务一：等差数列的概念问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征?①0, 5, 10, 15, 20, 25,…②48, 53, 58, 63③18 , 15.5 , 13, 10.5 , 8, 5.5④10072 , 10144, 10216, 10288, 10366新知：1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第—项起，每一项与它一项的______ 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的________________ ,常用字母 ______ 表示.2. 等差中项：由三个数a, A, b组成的等差数列，10这时数 _叫做数 _和_的等差中项，用等式表示为 A _________________探究任务二：等差数列的通项公式问题2:数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么?若一等差数列a n的首项是a1，公差是d,则据其定义可得a?，即：a2印a3 a2,即: a3 a2 d a1a4 a3，即：a4 a3 d a1由此归纳等差数列的通项公式可得：a n_______•••已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项a n.探典型例题例1⑴求等差数列8, 5, 2…的第20项；⑵一401是不是等差数列-5 , -9 , -13…的项？如果是，是第几项?变式：(1)求等差数列3, 7, 11,……的第10项.(2) 100是不是等差数列2, 9, 16,……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得a n等于这一数.例2已知数列｛ a n｝的通项公式a n pn q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？用心爱心专心112008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d 12变式：已知数列的通项公式为 a n 6n 1，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什 么？ 小结：要判定 a n 是不是等差数列，只要看 a n a n 1(n 》2)是不是一个与 n 无关的常数- ■ « I%动手试试练1.等差数列1,— 3,— 7,— 11，…，求它的通项公式和第 20项.练2.在等差数列a n 的首项是a 5 10, a 12 31 , 求数列的首项与公差%学习小结1. 等差数列定义： ％ a p 1 d ( n 》2)；2. 等差数列通项公式：a na 1 (n 1)d ( n 》1). %知识拓展1. 等差数列通项公式为 a n a 1(n 1)d 或a . a m (n m)d .分析等差数列的通项公式，可知其为一次 函数，图象上表现为直线 y a 1 (x 1)d 上的一些间隔均匀的孤立点 .2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为a d ,a,a d .若四个数成等差数列，可设这四 个数为 a 3d ,a d, a d, a 3d .1 学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）• A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 等差数列1,- 1, - 3，…，一89的项数是（）.A. 92B. 47C. 46D. 452. 数列a n的通项公式a n 2n 5，则此数列是（）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n的等差数列3. 等差数列的第1项是7,第7项是一1,则它的第5项是（）.A. 2B. 3C. 4D. 64. 在厶ABC中，三个内角A, B, C成等差数列，则/ B= .5. 等差数列的相邻4项是a+1, a+3, b, a+b，那么a = _________ , b= .“课后作业1. 在等差数列a n中,⑴已知a1 2 , d= 3, n= 10,求a n ；⑵已知a1 3, a n 21 , d= 2，求n；⑶已知a1 12 , a6 27，求d;1⑷已知d=- - , a78，求a1.32. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm 75cm,把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度§ 2.2等差数列（2）用心爱心专心132008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列d■-> 1学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题土…学习过程一、课前准备（预习教材P39 ~ F40,找出疑惑之处）复习1：什么叫等差数列？复习2:等差数列的通项公式是什么?二、新课导学探学习探究探究任务：等差数列的性质1. 在等差数列a n中，d为公差，3m与a n有何关系?B2. 在等差数列a n中，d为公差，若m,n, p, q N且m n p q，则a m，a n，a p，a q有何关系?探典型例题例1在等差数列a n中，已知a510，a i2 31，求首项a i与公差d .变式：在等差数列a n中，若逐6，a8 15，求公差d及知.14小结: 在等差数列{%} 中, 公差d可以由数列中任意两项a m与a n通过公式a m a n d求出m n例2在等差数列a n 中, 02a3 a i0 a i1 36，求a5a8和a6 a7・小结：在等差数列中，若m+n=p+q，则a m a n a p aq，可以使得计算简化.%动手试试练1.在等差数列a n中，a i a4 a? 39,a2 a5 a8 33，求a3 a6 a9的值.变式：在等差数列a n 中，已知a2 O B a434,且比抄52，求公差d.用心爱心专心152008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列L'-r 练2.已知两个等差数列5, 8, 11,…和3, 7, 11,…都有100项，问它们有多少个相同项?I、总结提升探学习小结1. 在等差数列中，若m+n=p+q,则a m a n a p a q注意：a m a n a m n，左右两边项数一定要相同才能用上述性质2. 在等差数列中，公差d am冇.m n探知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即:(1)a n 1 a n d ;(2)a n pn q (p 0);(3)S n an2 bn.学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为(16A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 一个等差数列中，盹33, a?5 66，则a35 （）A. 99B. 49.5C. 48D. 492.等差数列a n中a7a9 16，a4 1，则a12 的值为（）.A . 15 B.30 C.31 D. 643.等差数列a n中, a3，2a10是方程x 3x 50，则a5 a6 =( ).A.3B. 5 C-3 D. —54.等差数列a n中, a25，a6 11，则公差 d =5.若48，a，b，c，—12是等差数列中连续五项，贝U a= ，b= ，c=课后作业1. 若a1 a2 L a530，a6 a7 L2. 成等差数列的三个数和为9,三数的平方和为35,求这三个数a i0 80，求a11 a i2 L用心爱心专心17§ 2.3等差数列的前n项和(1)一心鈔学习目标1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题7学习过程一、课前准备(预习教材P42 ~ F44,找出疑惑之处)复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么?复习2:等差数列有哪些性质?探究：等差数列的前n项和公式问题：1. 计算1+2+ …+100=?2. 如何求1+2+…+n=?新知：数列｛a n｝的前n项的和：一般地，称____________ 为数列｛a n｝的前n项的和，用S n表示，即S n _____________________________________________ 反思：① 如何求首项为a1，第n项为a n的等差数列｛务｝的前n项的和？② 如何求首项为ai，公差为d的等差数列｛a n｝的前n项的和？试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛a n｝的前n项和S n.用心爱心专心172008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d 18 ⑴ a 1 4,比 18, n 8;⑵ a i 14.5，d 0.7，n 15.小结：1 •用S n n(ai an)，必须具备三个条件：22.用S n na 1旦£卫！，必须已知三个条件：2探典型例题例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》 .某市据此提出了 实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网 .据测算, 2001年该市用于“校校通”工程的经费为 500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都 比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意：① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解. 例2已知一个等差数列｛a n ｝前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列 的前n 项和的公式吗？变式：等差数列｛a n ｝中，已知a io 30 , a 20 50 , S n 242，求n .小结：等差数列前n项和公式就是一个关于a.、Q、n或者a i、n、d的方程，已知几个量，通过解方程, 得出其余的未知量• 探动手试试120°，公差为5°,那么这个多边形的边数n 练1. 一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内角为为（）•A. 12B. 16C. 9D. 16 或91. 等差数列前n项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之a1,a n,q,n,S n五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.探知识拓展1. 若数列｛a n｝的前n项的和S n An2 Bn （A 0，A、B是与n无关的常数），则数列｛%｝是等差数列.2. 已知数列a n ,是公差为d的等差数列，S是其前n项和，设k N ,S k,S2k S k,S a< S2k也成等差数列, 公差为k2gd .二*_.学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在等差数列｛a n｝中，00 120，那么a1 a10 （）.A. 12B. 24C. 36D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）.A. 5880B. 5684C. 4877D. 45663. 已知等差数列的前4项和为21,末4项和为67，前n项和为286，则项数门为（）2008年下学期♦高二月日班级：姓名：第二章数列d■->■A. 24B. 26C. 27D. 284. 在等差数列｛a.｝中，a i 2 , d 1，则S& .5. 在等差数列｛a n｝中，a1 25，a5 33，则S6__________ . ___1 - 课后作业1. 数列｛a.｝是等差数列，公差为3, a. = 11,前n和S. = 14，求n和a a.2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2?这些数的和是多少?§ 2.3等差数列的前n项和⑵…迭/….学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最大（小）值.（预习教材P45 ~ F46,找出疑惑之处）复习1:等差数列｛a n｝中，a4= —15,公差d= 3,求S5.2008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d复习2：等差数列｛%｝中，已知a 3 1 , a 5 11，求a .和S *.二、新课导学 探学习探究 问题：如果一个数列a .的前n 项和为S n pn 2 qn r ，其中p 、q 、r 为常数，且p 0 ,那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？探典型例题例1已知数列｛a n ｝的前n 项为S n n 2丄n ，求这个数列的通项公式•这个数列是等差数列吗？如果是,2它的首项与公差分别是什么？小结：数列通项a n 和前n 项和S n 关系为例2已知等差数列5, 4-, 3-，....的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值.7 7变式：已知数列｛a n ｝的前n 项为S n 丄n 2422n 3，求这个数列的通项公式 3S 1 (n 1)S n S n 1 (n2），由此可由〈求a n变式：等差数列｛%｝中，a4 = - 15,公差d= 3,求数列｛a.｝的前n项和S.的最小值.小结：等差数列前项和的最大(小)值的求法•(1)利用a.:当a. >0, d<0,前n项和有最大值，可由a. >0，且a. 1 < 0,求得n的值；当a.<0, d>0,前n项和有最小值，可由a. < 0，且a. i > 0,求得门的值-(2)利用S n :由S n d n2 (a i d)n，利用二次函数配方法求得最大(小)值时n的值.2 2探动手试试练1.已知S. 3n2 2n，求数列的通项a..练2.有两个等差数列2, 6, 10,…，190及2, 8, 14,…200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一2008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列d探学习小结1. 数列通项a n和前n项和S n关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.探知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1 °若项数为偶数2n,则S偶- S<=nd ; |奇=电5 2）；耳禺a n 12°若项数为奇数2n+1,则S奇-S s=a n i ；S偶na n 1 ；务=（n 1）a n 1 ；S偶—nS奇n 1 •学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）•A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列数列是等差数列的是（）•A. a n nB. S n 2n 1C. S n 2n2 1D. S n 2n2 n2. 等差数列｛ a n｝中，已知$5 90，那么a8 （）.A. 3B. 4C. 6D. 123. 等差数列｛ a n｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）.A. 70B. 130C. 140D. 1704. 在小于100的正整数中共有________ 个数被7除余2,这些数的和为5. 在等差数列中，公差d= 1, S00 145 ,2贝V 印a3 a5 ... a99 _________ . ___…课后作业1. 在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150,求n的值.2. 等差数列{a.} , a i 0 , S9氐，该数列前多少项的和最小?§ 2.4等比数列（1）"7学习目标1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力;3. 体会等比数列与指数函数的关系.学习过程r - l mrrf .~L~vrrr—ll .-s.-一、课前准备（预习教材P48 ~ F5i，找出疑惑之处）复习1:等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式a n 等差数列的性质有：2008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列d 二、新课导学探学习探究观察: ①1 24, 8, 16,②1, 1—1—?1—?1, 24816③1, 20, 220 ,203420 ,思考以上四个数列有什么共同特征? 新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第_项起，_一项与它的 _一项的 _等于_________________ 那么这个数列就叫做等比数列•这个常数叫做等比数列的_________ ，通常用字母 _表示(0), 即:(0)2. 等比数列的通项公式：a2 a i_ ；a3 a2q (ae)q a i_;a4 a3q (aQ2)q a“_ ； ..............二a n a n i q a i ________________ 等式成立的条件_______3. 等比数列中任意两项a.与a m的关系是：探典型例题例1 (1) 一个等比数列的第9项是-，公比是一丄，求它的第1项；9 3(2) 一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.常数，a n =a n 1小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式a n a1q n1.例2已知数列｛ a n｝中，lg a. 3n 5，试用定义证明数列｛ a n｝是等比数列小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数■滋动手试试n，葩是一个不为练1.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的衰期为多长（精确到1年）？0的常数就行了•84%.这种物质的半练2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比A. —B. 3 5C. —1D.—-2 2 2 22008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列d1. 等比数列定义；2. 等比数列的通项公式和任意两项a n与a m的关系.探知识拓展在等比数列｛a n｝中，⑴ 当a i 0，q >1时，数列｛a n｝是递增数列；⑵当a i 0，0 q 1，数列｛a n｝是递增数列；⑶当a i 0，0 q 1时，数列｛ a n｝是递减数列；⑷ 当a1 0，q >1时，数列｛a n｝是递减数列；⑸当q 0时，数列｛a n｝是摆动数列；⑹ 当q 1时，数列｛a n｝是常数列.W学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）•A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在a n为等比数列，印12，a2 24，则a3 （）.A. 36B. 48C. 60D. 722. 等比数列的首项为9，末项为1,公比为2，这个数列的项数n=（）.8 3 3A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知数列a, a （1 —a）, a（1 a）2，…是等比数列，则实数a的取值范围是（）A. a* 1B. a* 0 且a* 1C. a* 0D. a* 0 或a* 14. 设a1, a2 , a3, a4成等比数列，公比为2，贝U =______ . __2a3 a45. 在等比数列｛a n｝中，2a4 a6 ，则公比q= .课后作业在等比数列｛a n｝中，⑴ a4 27 , q= —3,求a7 ；⑵ a2 18 , a4 8，求a i 和q；⑶ a4 4，a? 6，求a：；⑷ a5 a1 15,比a2 6，求a3.§ 2.4等比数列（2）*:二土…学习目标1. 灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法■ j古学习过程一、课前准备（预习教材P51 ~ F54，找出疑惑之处）复习1：等比数列的通项公式a n= ______公比q满足的条件是_______________复习2：等差数列有何性质？问题1：如果在a与b中间插入一个数G,使a，G, b成等比数列，则G - G2ab G _________________________a G新知1：等比中项定义如果在a与b中间插入一个数G,使a，G, b成等比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项.即G= ____ （a，b 同号）.:■I试试：数4和6的等比中项是.问题2:1.在等比数列｛ a n｝中，a52 a3a7是否成立呢?2. a2 a n i a n i(n 1)是否成立？你据此能得到什么结论?3. a2 a. k a n k(n k 0)是否成立？你又能得到什么结论?新知2：等比数列的性质在等比数列中，若m+n=p+q,则a m a, a p a k.2008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列d试试：在等比数列a n ，已知a i 5,玄9印。
导学案028数列的概念与简单表示方法
数列的概念与简单表示方法考纲要求了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).考情分析1.本部分主要考查数列的基本概念及表示方法、通项公式的求法以及数列的性质．2.题型多以选择、填空题为主，有时也作为解答题的一问，难度不大.教学过程基础梳理一、数列的定义按照排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做)．二、数列的分类三、数列与函数的关系1．从函数观点看，数列可以看成是以为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列．2．数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示方法．四、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．五、数列的递推公式如果已知数列{an }的首项(或前几项)，且 与 (n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．双基自测1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝n 2n ＋1 B ．a n ＝n2n －1C ．a n ＝n 2n －3D ．a n ＝n2n ＋32．已知数列{an }的通项公式为an ＝n ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列3．在数列{an }中，an ＋1＝an ＋2＋an ，a 1＝2，a 2＝5， 则a 6的值是( )A ．－3B ．－11C ．－5D ．194．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)则a 4·a 3＝________.5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32a 4＝32，则a 8＝________.典例分析考点一、由数列的前几项求数列的通项公式[例1] (2012·天津南开中学月考)下列可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2…的通项公式的是 ( )A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－|sin n π2|D ．a n ＝(－1)n －1＋32变式1．(2012·绍兴模拟)已知数列2，7，10，13，4，…，则27是该数列的 ( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项变式2．写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132(3)－1，32，－13，34，－15，36，….1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每 一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳 得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．3.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与n 之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)建立合理的联 想、转换而使问题得到解决.考点二、由数列的前n 项和a n n S 求[例2] (2011·四川高考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1变式3．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，求{an }的通项公式．(1)Sn ＝2n 2－3n ； (2)Sn ＝4n ＋b .数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.此公式经常使用，应引起重视．当n ＝1时，S 1若适合a n ＝S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n 中；当n ＝1时，S 1若不适合a n ＝S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.考点三、由数列的递推公式求通项公式[例3] (2012·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a nn＝2，则an n 的最小值为( ) A ．9.5 B ．10.6 C ．10.5D ．9.6变式4.若本例条件变为：数列{an }满足下列条件：a 1＝1，且对于任意的正整数n (n ≥2，n ∈N*)，有2an ＝2nan －1，则a 100的值为________．变式5．(2012·沈阳模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1－1n (n －1) (n ≥2)，则a 16＝________.变式6.．分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＝nn －1n －1(n ≥2，n ∈N *)．由a 1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．1．对于形如“an ＋1＝an ＋f (n )”型的递推关系式求通项公式，只要f (n )可求和，便可利用累加的方法． 2．对于形如“a n ＋1a n＝g (n )”型的递推关系式求通项公式，只要g (n ) 可求积，便可利用累积或迭代的方法．3．对于形如“a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)”型递推关系求通项公 式，可用迭代法或构造等比数列法．[考题范例](2011·江西高考)已知数列{an }的前n 项和Sn 满足：S n ＋S m＝S m n ，且a 1＝1.那么a 10＝( )A ．1B ．9C ．10D ．55[高手点拨]本题欲求a 10，则要先求an ，而题目提供的是Sn 的关系式，联想到an 与Sn 的关系，则只要求出Sn 即可．本题提供关系式表面上显得复杂，但考虑到我们需要的，只要令m ＝1，问题便可轻松解决．一个联系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现． 三种方法由递推式求通项a n 的方法： (1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法； (2)a n ＋1a n＝f (n )型，采用叠乘法； (3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决．本节检测1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．－22．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不确定3．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝nn ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B ．10818C ．10318D ．1085．数列54，109，17a ＋b ，a －b 25，…中，有序数对(a ，b )可以是__________． 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)(78)n ，则当a n 取得最大值时，n 等于________．自我反思。
1数列概念与简单表示法导学案.docx
2.1数列的概念与简单表示法（导学案）（集美中学杨正国）一、学习目标1、了解数列的概念和几种的表示方法（列表、象、通公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、程与方法：通三角形数与正方形数引入数列的概念；通比函数的思想了解数列的几种的表示方法（列表、象、通公式）二、本节重点数列及其有关概念，通公式及其用三、本节难点根据一些数列的前几抽象、数列的通公式四、知识储备章向我呈了落有致的衩、漂亮的花瓣、排列有序的植物种子，可以使学生感受大自然的神奇和奥秘的同，体会数学是丰富多彩的，数学不是形式的演推，数学来源于生活，数列作反映生活的一种数学模型，也是无不在的，我要善于客事物中涵的数学模式行思考并做出判断。
另外，在日常生活中，人常遇到的像存款利息、房款等，都需要用有关数列的知来解决，数列知也是将来学高等数学的基。
五、通过预习掌握的知识点1.数列：按一定的次序排列的一列数叫数列。
2． : 数列中的每一个数都叫做个数列的。
其中第1也叫做首3.数：数列的各所在的位置序号叫做数。
4．数列的表示：（ 1）一般形式：a1,a 2, ⋯a n中 a n是数列的第n。
（ 2）表示：an5．通公式：若数列a n的第n a n与它的数n 之的关系可以用一个公式表示，个公式叫做数列的通公式。
an=f(x)。
明：（ 1）通公式的本：反映了数列的与数之的关系（函数关系）。
（ 2）依次用1， 2， 3，⋯代替公式中的n，就可以求出个数列的各。
6．用函数的点数列：数 1 23 4⋯641 2 2223⋯264：数列是一个定域正整数集N*（或有限子集1,2,3....n ）的函数当自量从小到大依次取的一列函数。
即f(1) 、 f(2)、 f(3)、 f(4)⋯， f(n)7．数列的像表示：画出数列（ 1）a n2 n 1（n N）（ 2）a n n （n N ）的像，并明它的像是由什么成的。
明：数列的像是一串孤立的点。
8．数列的分：（ 1）按数多少分：有穷数列无穷数列六、知识运用1、根据下面数列的前几的，写出数列的一个通公式：(1)3, 5, 9, 17, 33, ⋯⋯；246810 (2),,,,, ⋯⋯；315356399(3)0, 1, 0, 1, 0, 1, ⋯⋯；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ⋯⋯；(5)2,－ 6, 12, － 20, 30, － 42,⋯⋯ .2、：根据各个数列的首和推公式，写出它的前五，并出通公式：(1)a1＝0,a n 1＝ a n＋(2n－1) (n∈N)；(2) a1＝3,a n 1＝3 a n－2 (n∈N)七、重点概念总结我们可根据数列的递推公式写出这个数列的前几项，继而结合前几项的特征写出它的一个通项公式，即由递推公式可到通项公式，也可反过来，由数列的通项公式写出它的一个递推公式 . 通项公式和递推公式都有可能不是唯一存在的.。
高三一轮复习数列及表示方法导学案
§6.1 数列的概念及简单表示法学习目标：1.以数列前几项为背景求数列的通项；2.由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项或通项；3. 通过S n 求a n ，要对n ＝1和n ≥2两种情况进行讨论；知识要点：1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 项．（数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．）2.数列的分类：按项数分类： 有穷数列 无穷数列 ；按项与项间的大小关系分类：递 增数列，递减数列，常数列； 按其他标准分类：有界数列，摆动数列；3.数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4.数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式 a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．如：a n ＝3n+1.5.已知数列和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2). 基础自测：1． 已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为__________．2．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，则35 是它的第 项.3. 如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是a n ＝______.4．已知数列{a n }中, a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＝____________.5． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8 = . 典例分析：由数列的递推关系求通项公式例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n .变式训练：(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，求a n ；(2)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，求a n .(3)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)；小结：已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列； 当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解； 当出现a n a n －1＝f (n )时，用累乘法求解． 题型二：由数列的前n 项和求通项公式例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，求{a n }的通项公式：变式训练：(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ；求{a n }的通项公式：（2） 已知数列{a n }的前n 项和S n ，S n ＝3n ＋b .求{a n }的通项公式：课堂达标：1.数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.则这个数列的第4项是______.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，则a 1的值为________.3.已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝________.4.在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是________. 学后反思：1. 基础知识：2. 学习方法：。
高中数学21数列的概念与简单表示法(导学案)
第二章 数列§2.1 数列的概念与简单表示方法编制人： 审核人：高一数学备课组 1.认真研读课本3128P P -的内容，完成课前预习，熟记有关知识概念。
2.对不理解的内容和存在问题先标注，准备课内小组合作探究，答疑解惑。
【学习目标】1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系。
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同, 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法。
3.激情投入、勇于探索，养成扎实、严谨的科学态度。
课前预习 一、重点难点 重点：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系。
难点：根据数列的前几项归纳通项公式，理解递推公式和通项公式的关系。
二、问题导学 认真研读课本3128P P -的内容，明确：1. 数列及其有关概念1）数列的定义：按 叫做数列，数列叫做这个数列的项， 叫做首项。
数列的一般形式为：12,,,n a a a L L ，n a 是数列的第n 项，即数列的通项，数列记作：}{n a 。
2）通项公式：如果数列 可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
3）递推公式：如果已知数列}{n a 的第一项（或前n 项），且任何一项n a 与它的 （或前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，这个式子就叫做这个数列的递推公式。
2.数列的分类 1.按项数多少分⎩⎨⎧无穷数列：有穷数列：（备课）笔记区2.按各项变化规律分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧常数列：摆动数列：递减数列：递增数列：三、练一练：（研读课本3129-P 例1、例2）1．根据数列的通项公式，写出它的前5项及第2n-1项：（1）21na n =； （2）)1()1(21+-=+n a n n2.根据数列的前几项，归纳各数列的通项公式：（1）1，31，51，71，91,...； （2）1,-3，5，-7，9，…；（3）9,99,999,9999，…；思考：这样通过前几项归纳出的通项公式一定是唯一的吗，所有数列都有通项公式吗？3．求数列{}3922++-n n 的最大值。
数列的概念与简单表示法 学案 课件 说课稿
1数列的概念与简单表示法（一）一、学习目标理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式. 二、预习案 阅读课本．．．．，完成下列问题或填空： 1.数列的定义：_________________________.2、数列的项： 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….3、数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为 ，其中n a 是数列的第n 项4、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项na 与n 之间的关系_________________________，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 5.数列与函数的关系 数列可以看成以______________________________________________________为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列__________。
6．数列的分类： 1）根据数列项数的多少分为：________数列，_________数列；2）根据数列项的大小变化分为：数列， 数列， 数列，数列.三、探究案 （一）创设情景，引入问题 1．国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数； 2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；3．童谣：一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿； 两只青蛙，两张嘴 ，四只眼睛，八条腿； 三只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛，十二条腿；4．中国体育代表团参加八届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。
（二）合作探究 探究一：观察归纳，形成概念 思考这四列数具有的共同特征？根据数列的特征，归纳得出等比数列概念。
1. 数列的定义：2. 数列的项：3. 数列的一般形式探究二：对概念的理解数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？思考：1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？ 2： -1，1，-1，1是否为一个数列？探究三：理解数列是存在于实际生活中你能举出身边的数列的例子吗？探究四：数列的分类 根据数列的项，以及数列项之间的大小关系可以对数列进行怎么样分类？探究五：认识数列与函数的关系 数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？探究六：认识数列的通项公式数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。
(完整word版)2.1数列的概念与简单表示法导学案1
导学案
年级:高一级科目：数学主备：审核：
课题：§2.1数列的概念与简单表示法课型：新授课课时：第1课时
【三维目标】
●知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
●过程与方法:通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
●情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【学习重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用
【学习难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
【教学资源】
附件: 【课前预习】阅读课本P28-29，完成《导与练》P14自主学习【作业】1、课本P33习题1,2,3
2、看《导与练》P15页例1，完成P16变式训练1—1,2—1
3、完成《课时训练区》P74基础达标1，2，6，7
【教学后记】：。
数列的概念与简单表示法导学案
2.1.1数列的概念与简单表示法学习目标(1)了解数列的概念．理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类．(2)了解数列是一类特殊函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系．了解数列与函数之 间的关系．(3)理解数列通项公式的定义．能写出一些数列的通项公式，能运用通项公式解决一些问题． 学习重点了解数列的概念和简单表示法，了解数列是一种特殊的函数，体会数列是反映自然规律的数学模型． 学习难点将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系．学习过程一、情景引入情景1： 毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：三角形数、正方形数．（1）．．．（2）．．．情景2：2016年9月12日至21日微山县每天最低气温预报如下：（3）情景3：战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．（4） .以上问题蕴含着四列数．（1）1，3，6，10，...;（2）1，4，9，16，...;（3）24，21，22，20，20，20，21，19，19，18;（4）, (8)1,41,21,1. 二、课堂知识的构建形成 1、数列的概念数列定义：_______________________________________________________________________ 数列的项：_______________________________________________________________________ 数列的一般形式：___________________________________,简记为_______探究1.集合中的元素具有互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？ （1）1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？ （2）-1，1，-1，1是否为一个数列？结论：数列的项与集合中元素区别是___________________________________________ 2、数列的分类观察:可以按照什么标准对数列进行分类？可以分成几类？ （1）全体自然数构成数列0,1,2,3，...（2）1996~2002年某是普通高中生人数（单位：万人）构成数82,93,105,119,129,130,132 （3）无穷多个3构成数列3,3,3,3，...（4）（4）目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列100,50,20,10,5,1,0.5,0.1 （5）-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂...构成数列-1, 1，-1, 1，-1，...（6）2的精确到1，0.1，0.01，0.001，...的不足近似值和过剩近似值分别构成的数列分别为：1,1.4,1.41,1.414，...； 2,1.5,1.42,1.415，....∙∙∙3、数列与函数探究2：数列中的项和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变 动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？数列与此内容的联系是什么？ 思考：函数97+=x y 与x y 3=当x 依次取1，2，3...时，其函数值构成的数列各有什么特点？ 4、数列的表示法 （1）数列通项公式数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，请回忆函数的表示法． 函数表示法_______,___________,___________.数列通项公式的定义：_______________________________________________________ 观察下表并找出序号n 与项a n 之间的关系． 探究3：通项公式可以看成数列的函数解析式．利用一个数列通项公式，你能确定这个数列哪些方面的性质？例1 ：写出下面数列的一个通项公式． ①41,31,21,1--； ② 2,0,2,0,...思考：你认为一个数列一定有通项公式吗？如果有，通项公式唯一吗？变式训练一数列的前5项分别是以下各数，写出一个通项公式。
精品导学案： 数列的概念与简单表示法
第1讲数列的概念与简单表示法[最新考纲]1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.1．数列的概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项．(2)数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)数列的前n项和在数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和．2．数列的表示方法(1)表示方法看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n}的函数a n＝f(n))当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值．*3．数列的分类4.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.辨 析 感 悟1．对数列概念的认识(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列．(×) (2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×) 2．对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式，只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.(×)(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×) (5)(2013·开封模拟改编)已知S n ＝3n ＋1，则a n ＝2·3n －1.(×) [感悟·提升]1．一个区别 “数列”与“数集”数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)．2．三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)．二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，0，n 为偶数.三是已知S n 求a n 时，一定要验证n ＝1的特殊情形，如(5).学生用书第79页考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5,55,555,5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想． 【训练1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (2)32，1，710，917，….解 (1)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，因此可得数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n·2n －32n .(2)将数列统一为32，55，7，10，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n【例2】 (2013·广东卷节选)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S nn ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23， 又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4；(2)由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23， 整理得(n ＋1)a n －na n ＋1＝－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.规律方法 给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .【训练2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1，∴a n ＝3×2n －1－2， 当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.学生用书第80页考点三 由递推公式求数列的通项公式【例3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________； (2)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.审题路线 (1)变形为a n ＋1－a n ＝n ＋1⇒用累加法，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)⇒得出a n .(2)变形为a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)⇒再变形为a n ＋1＋1a n ＋1＝13⇒用累乘法或迭代法可求a n .解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，法一 a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)，所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故a n ＝2×3n －1－1. 法二 由a n ＋1＋1a n ＋1＝3，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，当n ≥2时，a n ＋1＝3(a n －1＋1)，∴a n ＋1＝3(a n －1＋1)＝32(a n －2＋1)＝33(a n －3＋1)＝…＝3n －1(a 1＋1)＝2×3n －1， ∴a n ＝2×3n －1－1；当n ＝1时，a 1＝1＝2×31－1－1也满足． ∴a n ＝2×3n －1－1.答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1规律方法 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．【训练3】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n ＞0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∴a n＝1n .答案 1n1．求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．由S n 求a n 时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式．3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式．思想方法4——用函数的思想解决数列问题【典例】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 解析 由题意及等差数列的性质， 知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103.两式相减，得a 15－a 10＝103＝5d ，所以d ＝23，a 1＝－3.所以nS n ＝n ·[na 1＋n (n －1)2d ]＝n 3－10n 23.令f (x )＝x 3－10x 23，x ＞0，则f ′(x )＝13x (3x －20)，由函数的单调性，可知函数f (x )在x ＝203时取得最小值，检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49. 答案 －49[反思感悟] (1)本题求出的nS n 的表达式可以看做是一个定义在正整数集N *上的三次函数，因此可以采用导数法求解．(2)易错分析：由于n 为正整数，因而不能将203代入求最值，这是考生容易忽略而产生错误的地方． 【自主体验】1．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( )．A.163B.133 C ．4D ．0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 答案 D2．已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析 设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数，故只需满足－λ2＜32，即λ＞－3.答案 (－3，＋∞)对应学生用书P285基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·深圳中学模拟)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )．A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *)解析 将0写成01，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n －1)，n ∈N *；分母为奇数列，可表示为2n －1，n ∈N *，故选C. 答案 C2．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )．A.56B.65C.130 D ．30解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30.答案 D3．(2014·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－1，则a 3＝( )． A ．－10 B ．6 C ．10 D ．14解析 a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－(2×22－1)＝10. 答案 C4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )． A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析 法一 (构造法)由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，∴a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列．且a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n .法二 (累乘法)：n ≥2时，a n a n －1＝n n －1，a n －1a n －2＝n －1n －2.…a 3a 2＝32，a 2a 1＝21，两边分别相乘得a na 1＝n ，又因为a 1＝1，∴a n ＝n .答案 D5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝()． A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D.12n －1解析 ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)，即a n ＋1a n ＝32(n ≥2)，又a 2＝12，∴a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，∴a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，∴S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.二、填空题6．(2013·蚌埠模拟)数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．解析 易知a 1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令a n ≥0，则－n 2＋10n ＋11≥0，∴－1≤n ≤11，可见，当n ＝11时，a 11＝0，故a 10是最后一个正项，a 11＝0，故前10或11项和最大．答案 10或117．(2014·广州模拟)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则数列{a n }的通项公式为________．解析 ∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式左右两边分别相减得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n (n ≥2)．由题意知，a 1＝13，符合上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)．答案 a n ＝13n8．(2013·淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．解析 每行的第二个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，等式两边同时相加得a n －a 2＝(2n －3＋3)×(n －2)2＝n 2－2n ， 所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，所以a 9＝92－2×9＋3＝66.三、解答题9．数列{a n}的通项公式是a n＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．10．在数列{a n}中，a1＝1，S n为其前n项和，且a n＋1＝2S n＋n2－n＋1.(1)设b n＝a n＋1－a n，求数列{b n}的前n项和T n；(2)求数列{a n}的通项公式．解(1)∵a n＋1＝2S n＋n2－n＋1，∴a n＝2S n－1＋(n－1)2－(n－1)＋1(n≥2)，两式相减得，a n＋1－a n＝2a n＋2n－2(n≥2)．由已知可得a2＝3，∴n＝1时上式也成立．∴a n＋1－3a n＝2n－2(n∈N*)，a n－3a n－1＝2(n－1)－2(n≥2)．两式相减，得(a n＋1－a n)－3(a n－a n－1)＝2(n≥2)．∵b n＝a n＋1－a n，∴b n－3b n－1＝2(n≥2)，b n＋1＝3(b n－1＋1)(n≥2)．∵b1＋1＝3≠0，∴{b n＋1}是以3为公比，3为首项的等比数列，∴b n＋1＝3×3n－1＝3n，∴b n＝3n－1.∴T n＝31＋32＋…＋3n－n＝12·3n＋1－n－32.(2)由(1)知，a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝30＋31＋32＋…＋3n －1－(n －1)＝12(3n ＋1)－n .能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝411－2n，则满足a n ＋1＜a n 的n 的取值为( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由a n ＋1＜a n ，得a n ＋1－a n ＝49－2n －411－2n ＝8(9－2n )(11－2n )＜0，解得92＜n ＜112，又n ∈N *，∴n ＝5.答案 C2．(2014·湖州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ (3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3 C ．(1,3) D ．(2,3) 解析 ∵数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，f (8)>f (7)⇒2<a <3.答案 D二、填空题3．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案 28三、解答题4．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式，故a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋(a －3)2n －2，n ≥2.a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞).学生用书第81页。
新人教版高中数学《数列的概念及简单表示法》导学案
数列的概念及简单表示法学习目标：1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.学习重点、难点：数列通向公式的求法学法指导：自主探究、合作交流教学流程：一、基础自查（预习并完成5分钟）1．数列的定义按照排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．3. 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是、和．4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．二、基础练习（自主探究完成5分钟）1．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x应等于 ( ) A．11 B．12 C．13 D．142．已知数列{an }的通项公式是an＝2n3n＋1，那么这个数列是 ( )A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列3．在数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6的值是( )A．－3 B．－11 C．－5 D．19三、 典型例题（分组展示完成20分钟）例1 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….例2 根据下列条件，确定数列{an }的通项公式．(1)a 1＝1，an ＋1＝3an ＋2；(2)a 1＝1，an ＋1＝(n ＋1)an四、当堂检测（10分钟）1．数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式a n 是 () A ．(－1)n n 22n ＋1 B ．(－1)n n n ＋2n ＋1C ．(－1)n n ＋22－12n ＋1D ．(－1)n n n ＋22n ＋12．根据下列条件，确定数列{an }的通项公式．(1)在数列{an }中，an ＋1＝3a ，a 1＝3；(2)在数列{an }中，a 1＝1，an ＋1＝ ；(3)在数列{an }中，a 1＝2，an ＋1＝4an －3n ＋1；(4)在数列{an }中，a 1＝8，a 2＝2，且满足an ＋2－4an ＋1＋3an ＝0.五、课后小结：六、课后作业：限时规范训练1、2、3、4、5、6。
《数列的概念与简单表示法》导学案
《数列的概念与简单表示法》导学案Q情景引入ing jing yin ru某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28， (78)从1984年到2008年，我国共参加了7次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15,5,16,16,28,32,51.这两个问题有什么共同特点呢？X新知导学in zhi dao xue1．数列的概念按照一定顺序排列的一列数叫做__数列__.数列中的每一个数都叫做这个数列的__项__.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做__首项__.排在第n位的数称作这个数列的第n项，记作a n.数列的一般形式为a1，a2，a3，…，a n…，简记为{a n}．注意：(1)数列的定义中要把握两个关键词：“__一定顺序__”与“__一列数__”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．(2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位置．(3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n项．(4)数列的简记符号{a n}，不能理解为集合{a n}，其区别如下表：如果数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的__通项公式__.注意：①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数表达式，即a n ＝f (n )．②已知数列的通项公式，依次用1,2,3，…去替代公式中的n ，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项．③同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如2精确到1,0.1,0.01，…的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示．3．数列的分类：(1)按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列. (2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.即a n ＋1>a n (n ＝1,2,3…)． 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.即a n ＋1<a n (n ＝1,2,3…)． 各项相等的数列叫做常数列．从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.Y 预习自测u xi zi ce1．下列说法正确的是( C )A ．数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项是1＋1kD ．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }[解析] {1,2,3,5,7}是一个集合，所以A 错；由于数列的项是有顺序的，所以B 错；数列{n ＋1n }的第k 项是k ＋1k ＝1＋1k，C 正确；而D 中数列应表示为{2(n －1)}． 2．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( B ) A ．第22项 B ．第23项 C ．第24项D ．第28项[解析] ∵35＝45，∴令2n －1＝45，得n ＝23.3．(2018－2019学年度吉林汪清六中高二月考)在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( B )A ．82B ．107C ．100D ．83[解析] 设这个数列为{a n }，∵9－2＝7,23－9＝14,44－23＝21,72－44＝28，∴a 6－72＝35，∴a 6＝107，故选B ．4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是__15__. [解析] ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －10＝521－x ＝6，∴x ＝15.5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋n －13，其中n ∈N *.(1)写出a 10，a n ＋1；(2)7923是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．[解析] (1)将n ＝10代入a n ，得a 10＝102＋10－13＝1093.将n ＋1代入a n ，得a n ＋1＝n ＋12＋n ＋1－13＝n 2＋3n ＋13.(2)不妨设7923是这个数列中的第n 项，则a n ＝n 2＋n －13＝7923，即n 2＋n －1＝239.解得n ＝15或n ＝－16(舍去负值)， ∴7923是数列{a n }中的第15项．H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨数列的概念及分类例题1 下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( C ) A ．1，12，13，14，…B ．sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，21[解析] D 是有穷数列，A 是递减数列，B 是摆动数列，故选C ．『规律总结』 解答数列概念题要紧扣相关定义，观察数列的项数特征，确定是有穷数列还是无穷数列，观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性，也可以借助函数的单调性判断数列的增减．〔跟踪练习1〕 已知下列数列：(1)2 000,2 004,2 008,2 012； (2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…；(4)1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1，…；(5)1,0，－1，…，sinn π2，….其中，有穷数列是（1)，无穷数列是__(2)(3)(4)(5)__，递增数列是__(1)(2)__，递减数列是__(3)__，摆动数列是__(4)(5)__，周期数列是__(5)__(将合适的序号填在横线上)．[解析] (1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列(因为n －1n ＝1－1n)； (3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4. 命题方向2 ⇨已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式 例题2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项为下列各数． (1)112，223，334，445，…；(2)11,102,1 003,10 004，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)12，2，92，8，252. [分析] 通过适当变形(如裂项)观察项的变化规律求解．(1)把每一项分成整数和分数两部分；(2)把每项分别可写成10＋1,100＋2等；(3)可把每项写成10－1,100－1等；(4)把2和8都改写成以2为分母的分数．[解析] (1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4，…，恰好是序号n ；分数部分分别为12，23，34，45，…，与序号n 的关系是nn ＋1，所以这个数列的一个通项公式是a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2nn ＋1.(2)这个数列可以改写为10＋1,100＋2,1 000＋3,10 000＋4，…，所以这个数列的一个通项公式是a n ＝10n＋n .(3)这个数列可以改写为10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，…，所以这个数列的一个通项公式是a n ＝10n－1.(4)将每一项都统一写成分母为2的分数，即12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 22.『规律总结』 根据数列的前几项求其通项公式，一般通项公式不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．解答时，主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法．观察时特别注意：①各项的符号特征；②分式的分子、分母特征；③相邻项的变化规律(绝对值的增减)．处理方法常用的有：①化异为同(统一分子、或分母的结构形式)；②拆项；③用(－1)n等表示符号规律；④与特殊数列(自然数、偶数、奇数、自然数的平方，2n等)的联系．〔跟踪练习2〕(1)数列14，12，34，1，54，32，…的一个通项公式为__a n ＝n4__；(2)数列1,22，33，8,55，66，77，…的一个通项公式为__a n ＝n n __； (3)数列1，－12，14，－18，116，…的一个通项公式为__a n ＝(－12)n －1__.[解析] (1)先把各项都写成分数形式，注意到4＝2×2，可以把分母不是4的项改写成分母为4的情形，即14，24，34，44，54，64，…，∴a n ＝n4.(2)先将数列中的部分项作调整，使之都含有根号和系数11，22，33，44，55，66，77，…，∴a n ＝n n .(3)奇数项为正，偶数项为负，可由(－1)n －1来实现，分子全为1，分母依次为20,21,22,23，…，∴a n ＝－1n －12n －1，即a n ＝(－12)n －1.命题方向3 ⇨数列通项公式的应用例题3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． [解析] (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0， ∴n ＝7或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N *，343∉N *，∴68不是该数列的项．『规律总结』 判断某数是否为数列中的项的方法及步骤 ①将所给项代入通项公式中； ②解关于n 的方程；③若n 为正整数，说明某数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项． 〔跟踪练习3〕已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n ，试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？ [解析] 令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N *， 故将n ＝－8舍去， 所以110是该数列的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92，注意到n ∈N *，所以1627不是此数列中的项．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi 混淆数列概念的有序性致错例题4 写出由集合{x |x ∈N *，且x ≤4}中的所有元素构成的数列(要求首项为1，且集合中的元素只出现一次)．[错解] 集合中的元素用列举法表示为{1,2,3,4}，所以所求数列为1,2,3,4. [辨析] 错解中混淆了数列概念的有序性．[正解] 集合可表示为{1,2,3,4}．由集合中的元素组成的数列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有6个，分别是1,2,3,4；1,3,2,4；1,2,4,3；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2.X 学科核心素养ue ke he xin su yang求数列的最大(小)项的方法求数列{a n }的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1a n ≤a n －1来确定n ，求最大项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1来确定n .若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项，若数列的项是正负交替出现的，求最大(或小)项，应在其正(或负)项中找．例题5 (1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. ①数列{a n }中有多少项是负数？②当n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n (n ∈N *)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．[解析] (1)①由n 2－5n ＋4<0得(n －1)(n －4)<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3. ∴数列中有两项是负数．②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，可知对称轴方程为n ＝2.5.又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. (2)假设数列{a n }中存在最大项．∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)·(1011)n ＝(1011)n ·9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝1010119.K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列有关数列的说法正确的是( D ) ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列； ③数列中的每一项都与它的序号有关． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．③[解析] ①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选D ．2．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n })上的函数； ②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ③数列的项数是无限的； ④数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( A ) A ．①② B ．①②③ C ．②③D ．①②③④[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0，…的通项可以是a n ＝sin n π2，也可以是a n ＝cosn ＋3π2等等．3．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( D ) A ．18 B ．21 C ．25D ．30[解析] 依次令n (n ＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D ． 4．数列213，－415，817，－1619，…的一个通项公式为__a n ＝(－1)n ＋1(2n ＋12n ＋1)__.[解析] 213＝2＋13＝2＋12×1＋1，415＝4＋15＝22＋12×2＋1，817＝8＋17＝23＋12×3＋1，1619＝16＋19＝24＋12×4＋1，又奇数项为正，偶数项为负， 故a n ＝(－1)n ＋1(2n＋12n ＋1)．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)，判断419和420是否为数列中的项？若是，是数列中的第几项？[解析] 令n (n ＋1)＝419， ∴n 2＋n －419＝0，此方程无正整数解，故419不是数列中的项． 令n (n ＋1)＝420， ∴n 2＋n －420＝0， ∴(n －20)(n ＋21)＝0， ∵n ∈N ＋，∴n ＝20.故420是数列中的第20项．A 级 基础巩固一、选择题1．(2018－2019学年度山东荣成六中高二月考)数列－1,3，－5,7，－9，…的一个通项公式为( C )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(－1)n(1－2n ) C ．a n ＝(－1)n(2n －1)D ．a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)[解析] 选项A 、B 、D 中，a 1＝1不满足，排除A ，B ，D ，故选C ．2．已知数列5，11，17，23，29，…，则55可能是它的第几项．( C ) A ．19 B ．20 C ．21D ．22[解析] 数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，∴该数列的一个通项公式为a n ＝5＋6n －1＝6n －1. 令6n －1＝55，得n ＝21.3．－1,3，－7,15，( )，63，…，括号中的数应为( B ) A ．－33 B ．－31 C ．－27D ．57[解析] 观察各数可见，符号规律为负、正交替出现，其绝对值依次为1,3,7,15，…各数加上1，即2,4,8,16，…变形可得21,22,23,24，…，故其通项应为a n ＝(－1)n (2n－1)，故第5项为－(25－1)＝－31.4．(2018－2019学年度山东莒县二中高二月考)数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( D )A ．a n ＝(－1)n 2n ＋12nB ．a n ＝(－1)n2n ＋12n C ．a n ＝(－1)n ＋12n＋12n D ．a n ＝(－1)n ＋12n ＋12n [解析] a 1＝32排除A 、B ；a 3＝78排除C ，故选D ．5．数列1,3,7,15，…的通项公式a n ＝( C ) A ．2nB ．2n＋1 C ．2n －1D ．2n －1[解析] ∵a 1＝1，排除A ，B ；又a 2＝3，排除D ，故选C ．二、填空题6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋13n －16(n ∈N ＋)，则数列{a n }的最大项是第__6__项．[解析] a n ＝n ＋13n －16＝13(1＋193n －16)，当n ＞5时，a n ＞0，且单调递减；当n ≤5时，a n ＜0，且单调递减， ∴当n ＝6时，a n 最大．7.23，415，635，863，1099，…的一个通项公式是__a n ＝2n 2n －12n ＋1__.[解析]23＝21×3，415＝2×23×5，635＝2×35×7，863＝2×47×9，1099＝2×59×11，…，∴a n ＝2n 2n －12n ＋1.8．已知数列3，5，9，17，33，…，那么541是这个数列的第__10__项． [解析] 观察可见，a 1＝3＝1＋21，a 2＝5＝1＋22，a 3＝9＝1＋23，a 4＝17＝1＋24，a 5＝33＝1＋25，∴a n ＝1＋2n. 令1＋2n＝541得n ＝10，∴a 10＝541. 三、解答题9．写出下列数列的一个通项公式． (1)－11＋1，14＋1，－19＋1，116＋1，…；(2)2,3,5,9,17,33，…； (3)12，25，310，417，526，…； (4)1，43，2，165，…；(5)－13，18，－115，124，…；(6)2,6,12,20,30，….[解析] (1)符号规律(－1)n ，分子都是1，分母是n 2＋1，∴a n ＝(－1)n·1n 2＋1. (2)a 1＝2＝1＋1，a 2＝3＝2＋1，a 3＝5＝22＋1，a 4＝9＝23＋1，a 5＝17＝24＋1，a 6＝33＝25＋1，∴a n ＝2n －1＋1.(3)a 1＝12＝111＋1，a 2＝25＝222＋1，a 3＝310＝332＋1，a 4＝417＝442＋1…，∴a n ＝nn 2＋1.(4)a 1＝1＝22，a 2＝43，a 3＝2＝84，a 4＝165…，∴a n ＝2nn ＋1.(5)a 1＝－13＝－11×3，a 2＝18＝12×4，a 3＝－115＝－13×5，a 4＝124＝14×6，∴a n ＝(－1)n ·1nn ＋2. (6)a 1＝2＝1×2，a 2＝6＝2×3，a 3＝12＝3×4，a 4＝20＝4×5，a 5＝30＝5×6，∴a n ＝n (n ＋1)．B 级 素养提升一、选择题1．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x )的图象可能是( A )[解析] 据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图象上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图象，只有A 满足，故选A ．2．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不可能是( D ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝1－cos n πC ．a n ＝2sin2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)[解析] 当n ＝1时，D 不满足，故选D ．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( D ) A ．不是数列{a n }中的项B ．只是数列{a n }的第2项C ．只是数列{a n }的第6项D ．是数列{a n }的第2项或第6项[解析] 令n 2－8n ＋15＝3，解此方程可得n ＝2或n ＝6，所以3可以是该数列的第2项，也可以是该数列的第6项．4．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是( D ) A ．a n ＝－1n ＋12B ．a n ＝cosn π2C ．a n ＝cosn ＋1π2D ．a n ＝cosn ＋2π2[解析] 对于A ，当n ＝4时，－1n＋12＝1，不满足题意；对于B ，当n ＝2时，cosn π2＝－1，不满足题意；对于C ，当n ＝1时，cos n ＋1π2＝－1，不满足题意；对于D ，验证知恰好能表示所给数列．故选D ．二、填空题5．已知{a n }是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为__λ>－3__.[解析] 由{a n }为递增数列，得a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ>0恒成立，即λ>－2n －1在n ≥1恒成立， 令f (n )＝－2n －1，∴f (n )max ＝－3. 只需λ>f (n )max ＝－3即可．6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1n 为奇数2n －2n 为偶数，则a 2·a 3＝__20__.[解析] 相当于分段函数求值，a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10，∴a 2·a 3＝20. 三、解答题7．已知数列{a n }中，a n ＝nn ＋1，判断数列{a n }的增减性．[解析] a n ＋1＝n ＋1n ＋2，则a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－nn ＋1＝n ＋12－n n ＋2n ＋2n ＋1＝1n ＋2n ＋1.∵n ∈N *，∴n ＋2>0，n ＋1>0， ∴1n ＋2n ＋1>0，∴a n ＋1>a n .∴数列{a n }是递增数列．C 级 能力拔高1．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ [解析] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16(n ＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)， ∴从第7项起各项都是正数． 2．已知数列1,2，73，52，135，….(1)写出这个数列的一个通项公式a n ； (2)判断数列{a n }的增减性．[解析] (1)数列1,2，73，52，135，…，可变为11，42，73，104，135，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n 对应，而分子比序号n 的3倍少2，∴a n ＝3n －2n.(2)∵a n ＝3n －2n ＝3－2n ，∴a n ＋1＝3－2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝3－2n ＋1－3＋2n ＝2n －2n ＋1＝2n n ＋1， ∵n ∈N ＋，∴2nn ＋1>0，∴a n ＋1>a n ， ∴数列{a n }为递增数列．。
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2.1《数列的概念与简单表示法》导学案
【学习目标】
1. 理解数列的概念；
2. 掌握数列简单的几种表示方法；
3. 了解数列是一种特殊的函数.
重点与难点：
理解数列的概念；掌握数列简单的几种表示方法
【学习新课】
1.战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰日取其半万世不竭.
2. 某地9月1日至9月8日的日最高气温：23、21、18、20、20、22、21、19
3.我国在1988年汉城以后奥运会上的金牌数： 5、 16、 16、 28、 32、 51、 38
4. 1
-的1次幂，2次幂，3次幂，…排列成一列数.
合作探究：
从上面的四个例子我们得到了如下四列数：
1.
2. 23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19
3. 5, 16, 16, 28, 32, 51,38
4. 1,1,1,1,1,
---∙∙∙
请观察以上四组数据，找到它们的共同特征？
答案： .
1．数列的概念：
按照一定排列着的一列数叫做数列，其中构成该组数的每一个数叫做，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….那么，数列一般可表示为a1，a2，a3，…，a n，….其中数列的第n项用a n来表示.数列还可简记作{a n}.数列{a n}的第n项a n与项数n有一定的关系吗？
2.数列的通项公式
如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 .
数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体.
{a n}与a n又有何区别和联系？
{a n}表示数列；a n表示数列的项.具体地说，{a n}表示数列a1，a2，a3，a4，…，a n，…，而a n只表示这个数列的第n项.其中n表示项的位置序号，如：a1，a2，a3，a n分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n项.
数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？
从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N*(或它们的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
2．数列的分类
分类原则类型满足条件
按项数分类
有穷数列项数,
无穷数列项数,
按项与项间
的大小关系
分类
递增数列an＋1＞an
其中
n∈N＋
递减数列an＋1＜an
常数列an＋1＝an
按其他
标准分类
有界数列存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
an的符号正负相间，如1，－
1,1，－1，…
例1 数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为（）
A.a n＝1＋(－1)n－1
B.a n＝1＋(－1)n
C.a n＝1＋(－1)n+1
D.a n＝2sin
nπ
2
3.递推公式
递推公式：如果已知数列{a n}的第1项(或前n项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 .
说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项a n与它的前一项a n－1（或前n项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.
1111
1
24816，，，，，…
下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式.
例2 已知数列{a n}的第1项是1，以后的各项由公式a n＝1＋
1
a n－1
给出，写出这个数列的前5项.
例3 已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＝3a n－1＋a n－2(n≥3)，试写出数列的前4项.
例4 写出下面数列{a n}的前5项.
⑴a1＝5，a n＝a n－1＋3(n≥2) ⑵a1＝2，a n＝2a n－1(n≥2)
⑶.a1＝1，a n＝a n－1＋1
a n－1
(n≥2)
课堂小结
这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：
1. 2.
1．把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④
排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有个
A.1
B.2
C.3
D.4
2．已知数列的{a n}的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n}的通项公式的个数有（）
①a n＝
1
2
[1＋（－1）n+1]；
②a n＝sin2
nπ
2
；(注n为奇数时，sin2
nπ
2
＝1；n为偶数时，sin2
nπ
2
＝0.)；
③a n＝
1
2
[1＋(－1)n+1]＋(n－1)(n－2)；
④a n＝
1－cos nπ
2
，(n∈N*)(注：n为奇数时，cos nπ＝－1，n为偶数时，cos nπ＝1)；
⑤a n＝
⎩
⎨
⎧1 （n为正偶数）
0 （n为正奇数）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3．数列－1，
8
5
，－
15
7
，
24
9
，…的一个通项公式a n是（）
A.(－1)n
n2
2n＋1
B.(－1)n
n（n＋2）
n＋1
C.(－1)n
（n＋1）2－1
2（n＋1）
D.(－1)n
n（n＋2）
2n＋1
4．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为（）
A.a n＝1＋(－1)n－1
B.a n＝1＋(－1)n
C.a n＝1＋(－1)n+1
D.a n＝2sin
nπ
2
5．以下四个数中是数列{n(n＋1)}中的一项的是（）
A.17
B.32
C.39
D.380
6．数列2，5，11，20，x，47，……中的x等于（）
A.28
B.32
C.33
D.27
7．数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式是 .
8．求数列
2
5，
2
15，
2
35，…的通项公式.
9．若a1＝2，a2＝4，a n＝lo g2(a n－1·a n－2)(n≥3)，写出{a n}的前4项.
布置作业：
课本习题与限时训练。