21.等腰三角形
等腰三角形计算方法
等腰三角形计算方法等腰三角形计算方法概述等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
在计算等腰三角形时，我们可以利用以下几种方法来求解其各个参数，如底边长度、高度、面积和周长等。
方法一：利用底边和高度计算面积1.输入等腰三角形的底边长度（b）和高度（h）。
2.使用以下公式计算面积（A）：A = (b * h) / 23.得出等腰三角形的面积。
方法二：利用两边和夹角计算面积1.输入等腰三角形的两边长度（a）和夹角（θ）。
2.将夹角转换为弧度（radian）。
3.使用以下公式计算面积（A）：A = (a^2 * sin(θ)) / 24.得出等腰三角形的面积。
方法三：利用底边和两边计算高度1.输入等腰三角形的底边长度（b）和两边长度（a）。
2.使用以下公式计算高度（h）：h = sqrt(a^2 - (b^2 / 4))3.得出等腰三角形的高度。
方法四：利用底边和两边计算周长1.输入等腰三角形的底边长度（b）和两边长度（a）。
2.使用以下公式计算周长（P）：P = 2a + b3.得出等腰三角形的周长。
方法五：利用底边和两边计算顶角1.输入等腰三角形的底边长度（b）和两边长度（a）。
2.使用以下公式计算顶角（θ）：θ = 2 * arcsin(b / (2a))3.将弧度转换为角度。
4.得出等腰三角形的顶角。
结论通过上述不同的计算方法，我们可以根据已知条件来计算等腰三角形的各个参数。
这些方法非常便捷，可以应用于数学、几何和工程等领域中。
无论是计算三角形的面积、高度、周长还是顶角，我们都可以根据不同的已知条件选择适合的计算方法来求解。
方法六：利用边长计算角度1.输入等腰三角形的两边长度（a）和底边长度（b）。
2.使用以下公式计算边长（c）：c = sqrt(a^2 + b^2 - 2ab * cos(θ))3.使用以下公式计算夹角（θ）：θ = arccos((b^2 - c^2 - a^2) / (-2ac))4.将弧度转换为角度。
等腰三角形知识点
等腰三角形知识学习要点：掌握证明的基本步骤和书写格式，掌握等腰三角形的性质和判定定理，并探索等边三角形的性质和判定定理。
结合实例体会反证法的含义。
中考热点：全等三角形和等腰三角形是中考必考的内容之一，在考试中或单独考查基本知识或综合考查逻辑推理，常把全等三角形、特殊三角形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质综合起来进行命题，题型多为证明题或解答题。
知识点： 1、全等三角形的判定及性质 》一般三角形 直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ）具备一般三角形的判定方法: 斜边和一条直角边对应相等（HL ）性质对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等证题思路：—?2例1、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ．②∠FAB ＝∠EAB ，③EF ＝BC ，④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） 个 个 个 个 |⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS2、如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。
其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）个个个个3、如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，需添加的一个条件是．4、（2016泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）-A．44°B．66°C．88°D．92°(（2016莱芜）已知△ABC中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（）A．3条B．5条C．7条D．8条【分析】分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形，可画出直线，综合两种情况可求得7条．120，AD⊥BC，且AD=AB.5、在△ABC中,AB=AC,∠BAC=0）(1)如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF=AD60，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，(2)如图2,如果∠EDF= 0AD之间有怎样的数量关系并给出证明。
第21讲 等腰三角形与直角三角形
第21讲 等腰三角形与直角三角形（特殊的三角形）一、【课标考点解读】1.了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和判定；了解等边三角形的概念并掌握等边三角形的性质和判定。
2.了解真角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理。
二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分：1.（2012•广州）如图，在等边三角形ABC 中，AB=6，D 是BC 上一点，且BC=3BD ，△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，则CE 的长度为 ．2．（2008•肇庆）如图，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（答案不唯一，只需写出一对即可）____________________ ．3．（2011•茂名）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= _____度．4.（2007•中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点5．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．16或20三、【知识要点梳理—知识链接】1.等腰三角形（1）定义：_____相等的三角形叫做等腰三角形。
（2）性质：①等腰三角形的_______相等；②等腰三角形的_______相等（即等边对等角）；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高互相_____（即三线合一）；④等腰三角形是________图形，有一条对称轴，对称轴是底边的_______________。
（3）判定：①有_______相等的三角形是等腰三角形；②有________相等的三角形是等腰三角形。
2.等边三角形（1）定义：_________相等的三角形叫做等边三角形。
第21讲 等腰三角形与直角三角形 参考答案
第21讲 等腰三角形与直角三角形（特殊的三角形）参考答案二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分：1. 2 2． PD=PC （答案不唯一） 3． 15 4. D 5． C三、【知识要点梳理—知识链接】1.等腰三角形（1）两边（2）性质：①两腰； ②底角（即等边对等角）；③重合；④轴对称 垂直平分线（3）判定：①两边；②两个角2.等边三角形（1）三边（2）性质：①三边；②三个角，600；③轴对称，3（3）判定：①三边；②三个角；③6003.直角三角形（1）性质：①互余；②一半 （2）判定：①直角；②中线4. 勾股定理及其逆定理（1）平方和 平方 （2）平方和 平方五、【中考链接一湛江真题】快乐一练！ 得分___________1. C2. ()12-n3. C 4．Ｃ六、【中考演练二----2010-2012年中考题】得分___________ 1．360 2．30 3．B 4．C5．证明：∵AE 平分∠DAC ， ∴∠1=∠2，∵AE ∥BC ， ∴∠1=∠B ，∠2=∠C ，∴∠B=∠C ，∴AB=AC ．6.解：在Rt △ABC 中，∵AC=8m ，BC=6m ， ∴AB=10m ，（1）当AB=AD 时，CD=6m ，△ABD 的周长为32m ；（2）当AB=BD 时，CD=4m ，AD=54m ，△ABD 的周长是（20+54）m ；（3）当DA=DB 时，设AD=x ，则CD=x-6，则()22286+-=x x ，∴325=x ，∴△ABD 的周长是380m ， 答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m 或（20+54）m 或380m . 七、【中考演练三---备考核心演练】 得分___________1．B 2．C 3．D 4．B 5. 3 6．4 7．18 8．3第5题9．解：仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半．答：四边形ABCD 的面积是36．。
等腰三角形(基础)知识讲解
等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
完整版)等腰三角形专项练习题
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1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，已知∠A=36°，求∠1的度数。
解：由BD平分∠XXX可知∠ABD=∠CBD，又因为AB=AC，所以∠BAC=2∠ABD=2∠CBD，即∠1=180°-∠BAC=108°。
2.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，求该等腰三角形的周长。
解：设等腰三角形的底边为x，则根据勾股定理可得x²=6²-(5/2)²=31.25，即x=√31.25，所以周长为2x+5+6=2√31.25+11≈17.5.3.在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积。
解：如图，设剪下的等腰三角形为△ABC，其中AB=AC=10，BC=x，则根据勾股定理可得x²=16²-10²=196，即x=14.所以△ABC的面积为(1/2)×10×14=70平方厘米。
4.如图，在等腰三角形ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，判断下列结论的正确性：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE。
解：①正确，因为∠XXX∠XXX∠XXX∠XXX∠BAC/2，所以△BDF、△CEF都是等腰三角形；②正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE，即DE=2BD；③错误，因为AB+AC=2AB≠AD+DE+EA=AD+2BD；④正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE。
三角形的分类与比较
三角形的分类与比较三角形是平面几何中的基本形状之一，由三条边和三个角组成。
根据三角形的边长和角度大小，我们可以将三角形进行分类与比较。
在本文中，我将详细介绍不同类型的三角形，并进行它们之间的比较。
一、依据边长分类1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在一个等边三角形中，三个角度也都相等，每个角度为60度。
等边三角形具有高度对称性和稳定性，常见于建筑设计和艺术创作中。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
在一个等腰三角形中，两个角度也相等。
等腰三角形有一个明显的对称轴，对称轴两侧的两条边长度相等，常见于各类图形和数学问题中。
3. 不等边三角形不等边三角形是指三条边的长度都不相等的三角形。
不等边三角形的三个角度也各不相等。
不等边三角形是最一般的三角形形状，它们的属性和性质多种多样。
二、依据角度分类1. 直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形的两个边相互垂直，并且对边的长度满足勾股定理，常用于解决与长度和角度相关的实际问题。
2. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个角度大于90度的三角形。
钝角三角形的两个边相互延长，常见于地理学中描述拐角的位置关系。
3. 锐角三角形锐角三角形是指其中三个角度均小于90度的三角形。
锐角三角形的边长相对较短，被广泛运用于测量和建模中。
三、比较不同类型的三角形1. 边长对比等边三角形的边长相等，等腰三角形的两条边长相等，而不等边三角形三条边的长度都各不相同。
2. 角度对比直角三角形有一个90度的角，钝角三角形有一个大于90度的角，而锐角三角形的三个角度都小于90度。
3. 特殊性对比等边三角形是唯一一个边长和角度都相等的三角形，而直角三角形则是三角形的一种特殊情况，具有特殊的性质和定理。
对于这些不同类型的三角形，我们还可以研究它们的面积、周长、内角和外角等属性，深入了解它们之间的特点和关系。
总结起来，三角形的分类与比较是平面几何学中的基本内容之一。
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
等腰三角形知识点归纳总结
等腰三角形知识点归纳总结
嘿，朋友们！今天咱来好好唠唠等腰三角形的那些知识点，包你听完恍
然大悟！
先来说说啥是等腰三角形吧！等腰三角形啊，就好比是一个友好的团队，两边长度相等的边就像是两个亲密无间的小伙伴，它们紧紧相依。
比如说，咱生活里的那个圣诞帽，它的形状不就是个等腰三角形嘛！
等腰三角形有个很重要的特点，那就是它的两个底角相等哟！这就像是
两个双胞胎，性格很相似呢。
举个例子，你看那金字塔的侧面，不也是有着这样的特点嘛！
还有顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，它们可神奇啦，三线合
一呀！这就像是一个超级英雄，拥有三种超能力，还都集中在一个人身上，厉害吧！哎呀，就像孙悟空一样，一根金箍棒能打能变还能飞，牛不牛？
等腰三角形的这些性质在生活中可有用啦！你想想看，那些建筑工人在
搭建屋顶的时候，是不是经常会用到等腰三角形的稳固性呀。
嘿，我再问你哈，要是没有这些知识点，那我们怎么能理解这么多奇妙
的形状和结构呢？所以说，认真学习等腰三角形的知识真的超级重要啊！
在数学的世界里，等腰三角形就是一块宝藏，等着我们去挖掘它的秘密，发现它的精彩。
朋友们，可别小瞧了它哦，赶紧把这些知识点牢牢记住吧！
我的观点就是：等腰三角形的知识点既有趣又实用，我们一定要好好学
习和掌握它！。
等腰三角形和勾股定理
等腰三角形和勾股定理1、等腰三角形（1）定义:有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
①相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底。
②两腰的夹角叫做顶角。
③腰与底的夹角叫做底角。
说明：顶角=180°- 2底角 底角=顶角顶角21-902180︒=-︒可见，底角只能是锐角。
（2）性质①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。
②等边对等角。
③三线合一（顶角）。
（3）判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
2、等边三角形（1）定义:三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
（2）性质①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。
（3）判定①三条边都相等的三角形是等边三角形。
②三个内角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（4）重要结论:在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
典例精析题型一：等腰三角形的判定【例1】已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．AFBCDE练习1、等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．题型二：等腰三角形性质的应用【例1】等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___.举一反三：练习1、如图所示，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA =DB =DC ． （1）已知∠A =︒30，求∠ACB 的度数； （2）已知∠A =︒40，求∠ACB 的度数； （3）已知∠A =︒x ，求∠ACB 的度数； （4）请你根据解题结果归纳出一个结论．练习2、等腰△ABC 中，若∠A =30°，则∠B =________．练习3、等腰△ABC 中，AB =AC =10，∠A =30°，则腰AB 上的高等于___________．题型三：等边三角形性质的应用【例3】如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE =EF =FC 的道理．B ABO EFCBDAB F 练习1、如图1，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ， 则△DEF•的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
2.1等腰三角形
等腰三角形的两边长分别为2和7，那么它 的周长是多少？
1、如图，五角星中有 10
个等腰三角形.
A
E
●∟
E′
2、如图,AD是等腰三角形ABC 的 角平分线,E,F分别是AB,AC上的点, 请分别作出E,F关于AD的对称点.
F′
∟
●F
B
C
D
3、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它
的周长是（ D ）
A
作法:
E D BP C
过点D作DE⊥AP交 AC于点E ∴点E就是所求的点
例2、已知等腰三角形一边的长为3，另一边的 长为5，求它的周长。
解：分两种情况： （1）当腰长为3时，有3+3>5符合要求，
∴此时三角形的周长为3×2+5=11； （2）当腰长为5时，有5+5>3符合要求，
∴此时三角形的周长为5×2+3=13.
7 AC=4，则△ABE的周长是
。
C
FE
A
B
练一练：
1、有一个等腰三角形，三边分别是3x-2， 4x-3，6-2x，求等腰三角形的周长。
已知等腰三角形三边长，说明必有两边 相等，但必须分三种情况分析。同时当计 算完毕后，注意要满足三角形三边的关系。
2、已知（如图）AB，AC是等腰△ABC的两腰，AD平分 ∠BAC， △BCD是等腰三角形吗？说明理由。
A
理由如下：
∵AP是∠ABC的平分线，AB=AC，AD=AE
D
E
∴当把图形沿直线AP对折时，线段AB与
AC重合，线段AD与AE重合，
∴点B，C关于直线AP对称.点D，E也关于 B 直线AP对称.
C P
等腰三角形
等腰三角形讲练知识详解知识点1 等腰三角形的概念有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图14－62所示，在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，其中AB，AC叫做腰，BC叫做底边，∠A叫做顶角，∠B和∠C叫做底角.知识点2 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【说明】等腰三角形的两个性质都可以由证明两个三角形全等而证实.例如：如图14－63所示，在△ABC中，AB=AC.求证∠B=∠C.证明：过点A作BC边上的中线AD.∴BD=DC.∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.探究交流上例中并没有直接全等的三角形，而是通过作辅助线“BC边上的中线AD”来构造出两个全等的三角形，再用全等三角形的性质证明出“∠B=∠C”.想一想，本题还有没有作其他辅助线的方法？在本题中能否进一步证明AD是∠BAC的平分线和BD边上的高？试试看.点拨由等腰三角形的性质2可知，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线.知识点3 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.例如：图14－64所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证AB=AC.证明：作AD⊥BC，垂足为D.∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt△ADB≌Rt△ADC（AAS）.∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.知识点4 等边三角形的概念三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.知识点5 等边三角形的性质和判定Ⅰ.等边三角形的性质和判定.（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形Ⅱ.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.典例剖析师生互动基础知识应用题本节知识的基础应用主要包括：（1）等腰三角形的性质和判定；（2）等边三角形的性质；（3）三角形的内角和；（4）三角形三边关系.例1已知三角形的一个内角是110°，求另外两个角的度数.分析因为等腰三角形的内角和是180°，若110°是底角，则110°×2=220°＞180°，所以110°只能是顶角.故底角是2110180︒-︒=35°.解：由题意可知，110°是顶角，设底角为α，则2α+110°=180°，∴α=35°.∴这个三角形另外两个角是35°，35°.例2 等腰三角形的一个内角是80°，求它的另外两个角.分析用分类讨论的思想方法来思考本题.若顶角是80°，则设底角为α，由三角形内角和得2α+80°=180°，∴α=50°.若底角是80°则设项角为β，由三角形内角和得2×80°+β=180°，∴β=20°.解：①若顶角是80°，设底角为α，则有2α+80°=180°，∴α=50°.②若底角是80°，设顶角为β，则有80°×2+β=180°，∴β=20。
《等腰三角形》教案
《等腰三角形》教案一、教学目标：1. 知识与技能：(1) 掌握等腰三角形的定义和性质。
(2) 认识等腰三角形的中线，学会求中线的长度。
2. 过程与方法：(1) 板书演示，讲解概念和性质。
(2) 示范式教学，帮助学生学习中线的长度。
3. 情感态度与价值观：(1) 强调等腰三角形在生活中的应用。
(2) 提倡探索精神，培养学生求知、创新和合作的意识。
二、教学重点：2. 中线的概念和求长度方法。
2. 定理的操作和应用。
四、教学过程：1. 导入新课教师设计了一道生活中的问题：假设你拿到了一堆同样大小的饼干，你想要通过量边长算出饼干的面积，你会怎么做？引导学生利用基本的几何知识求解这个问题。
2. 理论掌握(1) 等腰三角形的定义：两边较长的两边叫做腰，另外一条边叫做底边。
如果两个腰的长度相同，那么这个三角形就是等腰三角形。
① 等腰三角形的底角与腰上的两个角相等；③ 等腰三角形的高线平分底边，也就是说，等腰三角形的高线和底边的中垂线重合。
(3) 等腰三角形的中线：连接等腰三角形的两个腰上的中点的直线就是等腰三角形的中线。
等腰三角形的中线等于等腰三角形底边长的一半。
3. 实战演练(1) 等腰三角形 ABC 中， AB=AC。
D 是 AB 的中点， E 是 AC 的中点，连 DE，它与 BC 的交点 F，证明：DEF 是等边三角形。
解法：由等腰三角形的性质可知，DE=1/2BC；又因为 E 和 D 是 AB 和 AC 的中点，所以 DE 平分 BC。
因此，EF=1/2BC=DE。
又因为∠BAC=∠DEB和∠AEC=∠DEC，所以三角形 ADE 和三角形 ABC 全等，因此∠ADE=∠ABC；又因为 DE 平分∠A，所以∠ADE=1/2∠A。
同理，∠ADF=1/2∠A，所以∠DEF=∠ADF+∠ADE=1/2∠A+1/2∠A=∠A。
因此三角形 DEF 是等腰三角形，并且由于 DE=EF，所以三角形 DEF 是等边三角形。
等腰三角形
例 精 析
7．如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，以 AD 为一边向右作正三 角形 ADE.
举 一 反 三
考 点 训
(1)求△ABC 的面积 S； (2)判断 AC、DE 的位置关系，并给出证明．
练
答案：(1)S＝4 3 (2)AC⊥DE
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典 例 精
2．判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角 形．
析
考点 三线段的中垂线
举 一 反
1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线． 2．性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等．
三
3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到
A．8
B．7
C．4
D．3
讲
(2)(2010·东阳)已知等腰三角形的一个内角为 40°，则这个等腰三角形的顶角为( )
中 考 典
A．40° C．40°或 100°
B．100° D．70°或 50°
例
精 析
(3)(2010·烟台)如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠A＝20°.线段 AB 的垂直平分
考
3．(2009 中考变式题)若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底
点 角为( )
知
A．75°或 15°
识 精
C．75°
B．36°或 60° D．30°
讲
【解析】注意分情况讨论：①若等腰三角形为锐角三角形，底角为 75°；②若等腰三角
中 形为钝角三角形，底角为 15°.
考 典
中考数学专题练习21《等腰三角形》
21.等腰三角形一、选择题1. (2018·宿迁)若实数,m n 满足等式20m -=，且,m n 恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则ABC ∆的周长是( )A. 12B. 10C. 8D. 62. (2018·新疆)如图，//AB CD ，点E 在线段BC 上，CD CE =.若30ABC ∠=︒，则D ∠的度数为( )A.85ºB.75ºC.60ºD.30º3. (2018·昆明)在AOC ∆中，OB 交AC 于点D ，量角器的摆放如图所示，则CDO ∠的度数为( )A. 90ºB. 95ºC. 100ºD. 120º4. ( 2018·黄冈)如图，在ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交,BC AC 于点D 和E ，60B ∠=︒，25C ∠=︒，则BAD ∠的度数为( )A. 50ºB. 70ºC. 75ºD. 80º5.(2018·湖州)如图，,AD CE 分别是ABC ∆的中线和角平分线.若AB AC =，20CAD ∠=︒，则ACE ∠的度数是( )A. 20ºB. 35ºC. 40ºD. 70º6. ( 2018·包头)如图，在ABC ∆中，AB AC =，ADE ∆的顶点,D E 分别在,BC AC 上，且90DAE ∠=︒，AD AE =.若145C BAC ∠+∠=，则EDC ∠的度数为( )A.17.5ºB. 12.5ºC. 12ºD. 10º7. (2018·台湾)如图，五边形ABCDE 中有一等边三角形ACD .若AB DE =，BC AE =，115E ∠=︒，则BAE ∠的度数为( )A. 115ºB. 120ºC. 125ºD. 130º8. (2018·福建)如图，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，则ACE ∠的度数为( )A.15ºB. 30ºC. 45ºD. 60º9. (2018·玉林)如图，60AOB ∠=︒，OA OB =，动点C 从点O 出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边三角形ACD ，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位置关系是( )A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直10. (2018·枣庄)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上.如果P 是某个小矩形的顶点，连接,PA PB ，那么使ABP ∆为等腰直角三角形的点P 的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题11. (2018·南通)一个等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm ，则它的周长为 cm.12. (1) (2018·成都)等腰三角形的一个底角为50º，则它的顶角的度数为 ;(2)(2018·淮安)若一个等腰三角形的顶角为50º，则它的底角的度数为 .13. (2018·湘潭)如图，在等边三角形ABC 中，D 是边BC 的中点，则BAD ∠的度数为 .14. (2018·长春)如图，在ABC ∆中，AB AC =，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AC的延长线于点D ，连接BD .若32A ∠=︒，则CDB ∠的大小为 .15. (2018·桂林)如图，在止ABC ∆中，36A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，则图中等腰三角形的个数是 .16. (2018·南充)如图，在ABC ∆中，AF 平分BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，70B ∠=︒，19FAE ∠=︒，则C ∠= .17. (2018·娄底)如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，DE AB ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，3DE =cm ，则BF = cm.18. (2018·遵义)如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，BD AD AC ==，E 为CD 的中点.若16CAE ∠=︒，则B ∠的度数为 .19. (2018·吉林)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k .若12k =，则该三角形的顶角的度数为 . 20.(2018·哈尔滨)在ABC ∆中，AB AC =，100BAC ∠=︒，点D 在BC 边上，连接AD .若ABD ∆为直角三角形，则ADC ∠的度数为 . 三、解答题21. (2018·武汉)如图，点,E F 在BC 上，BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，AF 与DE交于点G .求证:GE GF =.22. (2018·镇江)如图，在ABC ∆中，AB AC =，点,E F 在边BC 上，BE CF =，点D 在AF 的延长线上，AD AC =.(1)求证: ABE ACF ∆≅∆;(2)若30BAE ∠=︒，求ADC ∠的度数.23. (2018·嘉兴)如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ，且DE DF =.求证: ABC ∆是等边三角形.24.(2018·广安)下面有4张形状、大小、完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1.请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下:(1)画一个一直角边长为4、面积为6的直角三角形;(2)画一个底边长为4、面积为8的等腰三角形;(3)画一个面积为5的等腰直角三角形;(4)画一个一边长为6的等腰三角形.25. (2018·哈尔滨)已知在四边形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点E ，且AC BD ⊥，作BF CD ⊥，垂足为F ，BF 与AC 交于点G ，BGE ADE ∠=∠.(1)如图①，求证:AD CD =.(2)如图②，BH 是ABE ∆的中线.若2,AE DE DE EG ==，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都是ADE ∆面积的2倍.26. (2018·滨州)已知在ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点.(1)如图①，若,E F 分别为,AB AC 上的点，且DE DF ⊥，求证:BE AF =.(2)若,E F 分别为,AB CA 延长线上的点，且DE DF ⊥，则BE AF =吗?请利用图②说明理由.27. (2018·绍兴)数学课上，张老师举了下面的例题:例1在等腰三角形ABC 中，110A ∠=︒，求B ∠的度数.(答案:35º)例2在等腰三角形ABC 中，40A ∠=︒，求B ∠的度数. (答案:40º或70º或100º) 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题:变式在等腰三角形ABC 中，80A ∠=︒，求B ∠的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B ∠的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=︒，当B ∠有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围.28. (2018·沈阳)已知ABC ∆是等腰三角形，CA CB =，090ACB ︒<∠≤︒.点M 在边AC上，点N 在边BC 上(点M ，点N 不与所在线段端点重合)，BN AM =，连接,AN BM ，射线//AG BC ，延长BM 交射线AG 于点D ，点E 在直线AN 上，且AE DE =.(1)如图，当90ACB ∠=︒时，①求证: BCM ACN ∆≅∆;②求BDE ∠的度数.(2)当ACB α∠=，其他条件不变时，BDE ∠的度数是 .(用含α的代数式表示)(3)若ABC ∆是等边三角形，AB =N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长.参考答案一、1. B 2. B 3. B 4. B 5. B 6. D 7. C 8. A 9. A10. B二、填空题11. 2212. (1) 80︒ (2) 65︒13. 30︒14. 37︒15. 316. 24︒17. 618. 37︒19. 36︒20. 130︒或90︒三、21. ∵BE CF =，∴BF CE =.在ABF ∆和DCE ∆中，AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABF DCE SAS ∆≅∆，∴GFE GEF ∠=∠，∴GE GF =.22. (1)∵AB AC =，∴B ACF ∠=∠.在ABE ∆和ACF ∆中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ACF SAS ∆≅∆.(2) 75ADC ∠=︒.23.∵DE AB ⊥，DF BC ⊥，∴90AED CFD ∠=∠=︒.∵D 为AC 的中点，∴AD DC =.在Rt AED ∆和Rt CFD ∆中，AD CD DE DF =⎧⎨=⎩， ∴()Rt AED Rt CFD HL ∆≅∆，∴A C ∠=∠，∴AB BC =.∵AB AC =，∴ABC ∆是等边三角形.24. 画法不唯一，如(1)如图①所示；(2)如图②所示；(3)如图③所示；(4)如图④所示.25. (1)∵BGE ADE ∠=∠，BGE CGF ∠=∠，∴ADE CGF ∠=∠.∵AC BD ⊥，BF CD ⊥，∴90ADE DAE ∠+∠=︒，90CGF GCF ∠+∠=︒，∴DAE GCF ∠=∠，AD CD =.(2) ACD ∆，ABE ∆，BCE ∆，BHG ∆26. (1)点拨如图①，连接AD .证明BDE ADF ∆≅∆，从而得到BE AF =.(2)点拨如图②，连接AD .证明EDB FDA ∆≅∆，从而得到BE AF =.27. (1)①若A ∠为顶角，则50B ∠=︒.②(i)若A ∠为底角，B ∠为顶角，则20B ∠=︒;(ii)若A ∠为底角，B ∠为底角，则80B ∠=︒.∴50B ∠=︒或20B ∠=︒或80B ∠=︒(2)分两种情况:①当90180x ≤<90时，A ∠只能为顶角，B ∠的度数只有一个.②当090x <<时，(i)若A ∠为顶角，则180()2x B -∠=︒; (ii)若A ∠为底角，B ∠为顶角，则(1802)B x ∠=-︒;(iii)若A ∠为底角，B ∠为底角，则B x ∠=︒. 根据题意，当18018022x x -≠-且1802x x -≠且1802x x -≠, 即60x ≠时，B ∠有三个不同的度数.综上所述，当090x <<且60x ≠时，B ∠有三个不同的度数. 28. (1)①∵,CA CB BN AM ==，∴CM CN =.在BCM ∆和ACN ∆中，CM CN BCM ACN CB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCM ACN SAS ∆≅∆.②90BDE ∠=︒(2)α或180α︒-。
专题等腰三角形(含答案)
1．2．3．4．5．6．．选择题（共21 小题）如果一个等腰三角形的两边长为A．17 B．22一个等腰三角形的两边长分别是A．10 B．8在等腰三角形ABC 中，AB＝4，A．8 B．104、2、专题等腰三角形9，则它的周长为（C ．17 或224，那么它的周长是C ．10 或8BC＝2，则△ ABC 的周长为C ．8 或10如图，在△ ABC 中，AB＝AC，在边AB 上取点D，使得BD＝BC，等于（）A．36°B．54°C．72°A ．2cmB ． 3.5cmC．5cm8．若等腰三角形有两条边的长度为 5 和8，则此等腰三角形的周长为（A ．18 或21B．21 C．24 或18D．7cmD．18D．无法计算D．不能确定D ．6 或8连结CD，若∠ A＝36°，则∠BDCD．126°如图，在Rt△ABC 中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠ DCE的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．48°如图，在△ ABC 中，AB＝AC，AD、CE 分别是△ ABC 的中线和角平分线，当∠ ACE＝35°时，∠ BAD的度数是（A．55°B．40°C．35°D．20°7．等腰三角形的周长为9cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（9．如图，在△ ABC 中，点 D 在BC 上，AB＝AD ＝DC，∠B＝72B．36°C．18°，那么∠ DAC 的大小是（）D．40°10．等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（A．9 B．12C．9或12 D．上述答案都不对11．若等腰三角形的两边长分别是3、5，则第三边长是（A．3或5 B．5 C．3 D． 4 或612．已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为（A ．100°B．80°C．50°或80°D．20°或80°13．如图，已知度数为（A ．18°14．如图，在△A ．70°AD，ABCBE 分别是△ ABC 中线和高，且AB＝AC，∠ EBC ＝20°，则∠ BAD 的B．20°C．22.5°中，AD＝BD＝AC，∠ B＝25°D．25°85°D．，则∠B．75°C．80°15．等腰三角形的顶角比每个底角大30°，则这个等腰三角形的顶角是（A．40°B．50°C．80°D．85°16．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（A ．80°或50°B．50°或20° C ．80°或20°D．50°17．等腰三角形ABC 中，∠ A＝80°，则∠24．如图，P，Q 是△ ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠ABC 的度数．A．50 B．80 或50C ．20 或80D．20 或50或8018．若等腰三角形的一边长是4，则它的周长可能是（A．7 B．8 C． D ．8 或919．如图，在△ ABC 中，AC＝AD＝DB，∠ C＝70°A．75°B．70°C．20．已知等腰三角形的周长是A ．6 和821．等腰三角形周长为A．4，10，则∠ CAB 的度数为（40°D．35°20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（B．7 和718，其中一边长为B．7，725．已知△ ABC中，AB＝AC，过边AB上一点N作AB的垂线交BC于点M．（1）如图1，若∠ A＝40°，则∠ NMB 的度数是．（2）如图2，若∠ A＝70°，则∠ NMB 的度数是．（3）你可以再分别给出几个∠ A（∠ A 为锐角）的度数，你发现规律了吗？写出当∠ A 为4，则其它两边长分别为（C．4，10或7，7D ．3 和11D ．无法确定二．解答题（共22 小题）22．如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠ BAC＝80°， D 是AC 上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，锐角时，你猜想出的规律，并进行证明．3）中的结论（直接写出答案）DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠ CDE 的度数．23．如图，AB∥ CD ，△ EFG 的顶点F，G 分别落在直线AB，CD 上，GE 交AB 于点H，HE ＝HF ．若∠E＝25°，∠ FGC＝62°，求∠ FGH 的度数．4）当∠ A 为直角、钝角时，是否还有（26．如图，已知△ ABC 中，AB＝AC ，∠ C＝30°，AB⊥AD．1）求∠ BDA 的度数；2）若AD ＝2，求BC 的长．27．如图，在△ ABC 中，点 D 在BC 边上，BD ＝AD＝AC，E为CD 的中点．若∠B＝35°，求∠CAE 度数．31．如图所示，在△ ABC 中，BC＝BD＝AD，∠ CBD＝36°，求∠ A 和∠ C 的度数．28．如图，在△ ABC 中，D、E为BC 上的点，AD 平分∠BAE，CA＝CD．29．30．1）求证：∠ CAE＝∠B；2）若∠ B＝50 °，∠ C＝3∠DAB，求∠ C 的大小．如图，△ ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，如图，在△ ABC 中，已知AB ＝AC，BD 平分∠ABC，∠ADB ＝125°，求∠ BAC 的度数．EH 平分∠ AEG，且∠ GEH ＝30°，求∠ CFH 的度数．33．已知：如图，在△ ABC 中，点D，E 是边BC 上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．CE⊥ AB 于点E．求证：∠ CAD＝∠BCE．1）若∠ BAC＝90°，求∠ DAE 的度数；AE 为BC 边的中线，AE、2）若∠ BAC＝120°，直接写出∠ DAE 的度数；3）设∠ BAC＝α，∠DAE ＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）34．已知：如图，在等腰△ ABC中，AB＝AC，∠ BAC＝80°，AD 平分∠ BAC，且AD＝AE；求∠EDC 的度数．， AB ＝ AC ，∠ BAD ＝ 20°， AD ＝ AE ，求∠ EDC 的度数．36．如图，在△ ABC 中， AB ＝ BC ，∠ B ＝40°， AD 平分∠ BAC ，AE ⊥BC 于 E ，EF ⊥AD 于 F ，求∠ AEF 的度数．42．在△ ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∠BAD ＝40°，AD ＝AE ，求∠ CDE 的度数．37．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为 12cm 和 21cm 两部分， 求这个等腰三角形的底边和腰的长度．38．等腰三角形一腰上的中线，分别将该三角形周长分成 30cm 和 33cm ，试求该等腰三角形的底边长． 39．如图，在△ ABC 中， AB ＝AC ，AD ＝DE ＝EB ，BC ＝BD ，求∠ A 的度数．40．如图，在等腰三角形△ ABC 中， AB ＝AC ，BD 平分∠ ABC ，在 BC 的延长线上取一点 E ，使 CE ＝CD ， 连接 DE ，求证： BD ＝ DE．41．如图，在△ ABC 中，∠ C ＝∠ABC ，BE ⊥AC ，△BDE 是等边三角形．求∠ C 的度数．43．如图 1，在等腰△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°， BD ⊥AC ，点 P 为边 AB 上一点（不 与点 A 、点 B 重合），PM ⊥BC ，垂足为 M ，交 BD 于点 N ． （1）请猜想 PN 与 BM 之间的数量关系，并证明；（2）若点 P 为边 AB 延长线上一点， PM ⊥ BC ，垂足为 M ，交 DB 延长线于点 N ，请在图2 中画出图形，并判断（ 1 ）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请写出你的 猜∠ ABC ＝65∴∠ ACE＝∠ AEC＝x+y，专题等腰三角形参考答案与试题解析一．选择题（共21 小题）1．【解答】解：（1）若 4 为腰长，9 为底边长，由于4+4< 9，则三角形不存在；（2）若9 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为9+9+4＝22．故选：B．2．【解答】解：2 是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，2 是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10．故选：A．3．【解答】解：当AC＝BC＝2 时，2+2＝4，不符合三角形三边关系，故舍去；当AC＝AB＝4 时，符合三边关系，其周长为4+4+2＝10．故选：B．4．【解答】解：∵ AB＝AC，∠ A＝36°，∴∠ B＝＝72°，∵BD＝BC，∴∠ BDC ＝∠ BCD ＝＝54°，故选：B．5．【解答】解：设∠ DCE ＝x，∠ ACD＝y，则∠ ACE＝x+y，∠ BCE＝90°﹣∠ ACE＝90°﹣x﹣y．∵AE＝AC，∵BD＝BC，∴∠ BDC＝∠ BCD＝∠ BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．在△ DCE 中，∵∠ DCE +∠CDE +∠DEC ＝180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解得x＝45°，∴∠ DCE＝45°．故选：C．6．【解答】解：∵ CE 是∠ ACB 的平分线，∠ ACE＝35°，∴∠ ACB＝2∠ACE＝70°，∵AB＝AC，∴∠ B＝∠ ACB ＝70 °，∵AD⊥ BC，∴∠ ADB＝90°，∴∠ BAD＝90°﹣∠ B＝20°，故选： D ．7．【解答】解：若2cm 为等腰三角形的腰长，则底边长为9﹣2﹣2＝5（cm），2+2<5，不符合三角形的三边关系；若2cm 为等腰三角形的底边，则腰长为（9﹣2）÷2＝3.5（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，3.5，cm，3.5cm，符合三角形的三边关系；故选：A．8．【解答】解：根据题意，① 当腰长为 5 时，周长＝5+5+8＝18；② 当腰长为8 时，周长＝8+8+5＝21．故选：A．9．【解答】解：∵△ ABD 中，AB＝AD，∠ B＝72°，∴∠ B＝∠ ADB ＝72°，∴∠ ADC ＝180°﹣∠ ADB ＝108∵AD＝CD，∴∠ C＝∠ DAC ＝（180°﹣∠ ADC ）÷ 2＝（180°﹣108°）÷ 2＝36°．故选：B．10．【解答】解：当 2 为底时，其它两边都为5，2、5、5 可以构成三角形，周长为12；当 2 为腰时，其它两边为 2 和5，因为2+2< 5，所以不能构成三角形，故舍去．∴答案只有12．故选：B．11．【解答】解：由题意得，当腰为 3 时，则第三边也为腰，为3，此时3+3> 5．故以3，3，5 可构成三角形；当腰为 5 时，则第三边也为腰，此时3+5>5，故以3，5，5 可构成三角形．故第三边长是 3 或5．故选：A．12．【解答】解：（1）若等腰三角形一个底角为80°，顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°；（2）等腰三角形的顶角为80°．因此这个等腰三角形的顶角的度数为20°或80°．故选： D ．13．【解答】解：∵ AD，BE 分别是△ ABC 中线和高，且AB＝AC，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠ CAD，∴∠ CAD +∠C＝90°，∠ CBE+∠C＝90°，∴∠ EBC＝∠ CAD ＝20°，∴∠ BAD ＝20°，故选：B．14．【解答】解：∵△ ABD 中，AD＝BD，∠ B＝25°，∴∠ BAD ＝25°，∴∠ ADC ＝25°× 2＝50°，∵AD＝AC，∴∠ C＝50∴∠ DAC＝180°﹣50°×2＝80°．故选：C．15．【解答】解：设顶角的度数为x，则底角的度数为（x﹣30°）．根据题意，得x+2（x﹣30°）＝180°，解得x＝80°．故选：C．16．【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，① 当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，② 当这个角80 °是顶角，设等腰三角形的底角是x°，则2x+80°＝180 °，解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故选：A．17．【解答】解：已知等腰△ ABC 中，∠ A＝80°，若∠ A是顶角，则∠ B＝∠ C，所以∠ B＝（180°﹣80°）＝50°；若∠ B是顶角，则∠ A＝∠ C＝80°，所以∠ B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；若∠C 是顶角，则∠ B＝∠A＝80°．故∠ B 为50 °或20°或80°．故选： D ．18．【解答】解：当 4 是等腰三角形的腰时，周长大于8，当 4 是等腰三角形的底时，腰大于2，周长大于8，所以这个等腰三角形的周长可能是9，故选：C．19．【解答】解：∵ AC＝AD ＝DB ，∴∠ C＝∠ ADC ＝70°，∠ B＝∠ DAB，∴∠ CAD ＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵∠ ADC＝∠ B+∠DAB，∴∠ DAB＝∠ B＝35°，∴∠ CAB＝∠CAD+∠DAB ＝75°，故选：A．20．【解答】解：当腰为 6 时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，∵6+6＝12>8，∴三边能构成三角形．当底为 6 时，腰为（20﹣6）÷ 2＝7，∵7+7> 6，∴三边能构成三角形．故选：C．21．【解答】解：当腰为 4 时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10，∵4+4＝8<10，∴这样的三边不能构成三角形．当底为 4 时，腰为（18﹣4）÷ 2＝7，∵0<7<7+4＝11，∴以4，7，7 为边能构成三角形∴其它两边长分别为7，7．故选：B．二．解答题（共22 小题）22．【解答】解：∵在△ ABC 中，AB＝AC，∠ BAC ＝80 °，∴∠ ABC＝∠ ACB＝（180°﹣80°）＝50°，∵∠ ABD ＝20°，∴∠ E＝∠ DBC＝30°，∴∠ CDE＝∠ ACB﹣∠ E＝20°．23．【解答】解：∵ HE ＝HF，∠ E＝25°，∴∠ EFH ＝∠ E＝25°，∴∠ FHG＝∠ E+ ∠ EFH ＝50°，∵AB∥CD，∴∠ HFG ＝∠ FGC＝62°，∴∠ FGH ＝180°﹣∠ FHG﹣∠ HFG，＝180°﹣50°﹣62°＝68°24．【解答】解：∵ BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∴∠ PAQ＝∠ APQ＝∠ AQP＝60°，∠ B＝∠ BAP，∠ C＝∠ CAQ．又∵∠ BAP+∠ABP＝∠ APQ ，∠ C+∠ CAQ＝∠ AQP，∴∠ ABC＝∠ BAP＝∠ CAQ＝30°．25．【解答】解：( 1)∵ AB＝AC，∠ A＝40°，∴∠ B＝∠ C＝×( 180°﹣40°)＝70°，∵MN ⊥AB，∴∠ MNB＝90°，∴∠ NMB＝90°﹣∠ B＝20°，故答案为：20°；(2)∵AB＝AC，∠ A＝70°，∴∠ B＝∠ C＝×( 180°﹣70°)＝55°，∵MN ⊥AB，∴∠ MNB＝90°，∴∠ NMB＝90°﹣∠ B＝35°，∴∠ DBC ＝∠ ABC﹣∠ ABD＝30∵BD＝DE，故答案为：35°；（3）∠A＝40°时，∠ NMB ＝20°，∠ NMB＝∠A，∠A＝70°时，∠ NMB ＝35°，∠ NMB＝∠A，∴∠ NMB ＝∠A，理由如下：∵ AB＝AC，∴∠ B＝∠ C＝×（180°﹣∠ A）＝90°﹣∠ A，∵MN⊥AB，∴∠ MNB＝90°，∴∠ NMB＝90°﹣∠ B＝90°﹣（90°﹣∠ A）＝∠A；（4）当∠ A＝90 °时，∠ B＝∠ C＝45°，∴∠ NMB＝90°﹣45°＝∠ A，当∠ A＝100°时，∠ B＝∠ C＝40°，∴∠ NMB＝90°﹣50°＝∠ A，则当∠ A 为直角、钝角时，（3）中的结论仍然成立．26．【解答】解：（1）∵ AB＝AC∴∠ B＝∠ C＝30°∵AD⊥AB∴∠ BDA + ∠B＝90°∴∠ BDA ＝60°（2）∵∠ BDA＝60°，∠ C＝30°，且∠ BDA＝∠ C+∠DAC ∴∠ DAC ＝60°﹣30°＝30°＝∠ C∴AD＝CD＝2∵AB⊥AD，∠ B＝30°∴BD＝2AD＝4∵ BC＝BD +CD 27．【解答】解：∵ BD ＝AD，∠ B＝35°，∴∠ B＝∠ BAD ＝35°，∴∠ ADC＝2∠B＝70°，∵ AD＝AC，点 E 是CD 中点，∴AE⊥CD，∠C＝∠ADC ＝70°，∴∠ AEC＝90 °，∴∠ CAE＝90 °﹣70°＝20°．28．【解答】解：（1）∵ CA＝CD，∴∠ CAD ＝∠ CDA ，∵ AD 平分∠ BAE，∴∠ EAD＝∠ BAD ，∵∠ B＝∠ CDA﹣∠ BAD ，∠ CAE＝∠ CAD ﹣∠ DAE ，∴∠ CAE＝∠ B；（2）设∠ DAB ＝x，∵∠ C＝∠ 3∠DAB ，∴∠ C＝3x，∵∠ CAE＝∠ B，∠ B＝50 °，∴∠ CAE＝50 °，∵ AD 平分∠ BAE，∴∠ EAB＝2∠DAB ＝2x，∴∠ CAB＝∠ CAE+∠EAB＝50°+2x，∵∠ CAB+∠ B+∠C＝180°，∴50°+2x+50°+3x＝180°，∴x＝16°，∴∠ C＝3×16°＝48°．29．【解答】证明：∵ AB＝AC，BD＝CD （已知），∴BC＝2+4＝6∴∠ CAD + ∠ACB＝90°，∠ BCE+∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠ CAD ＝∠ BCE(等角的余角相等) ．30．【解答】解：∵ AB＝AC，AE 为BC 边的中线，∴AE⊥BC，∴∠ AEB＝90°，又∵∠ ADB ＝125°，∴∠ DBE ＝∠ ADB ﹣∠ AEB＝35°，∵ BD 平分∠ ABC，∴∠ ABC＝2∠DBE ＝70°，∵AB＝AC，∴∠ C＝∠ ABC＝70°，∴∠ BAC＝180°﹣∠ ABC﹣∠ C＝40°．31．【解答】解：∵ BD＝BC，∠ DBC ＝36∵AD＝BD，∴∠ A＝∠ ABD ，∵∠ BDC＝∠ A+∠ABD，∴∠ A＝∠BDC＝36°∴∠ ABC＝∠ C＝72°．32．【解答】解：∵ EF＝EH∴∠ EFH ＝∠H又∵∠ GEH＝∠ EFH +∠ H，∠ GEH＝30°∴∠ EFH ＝15°∵EH 平分∠ AEG，∠ GEH ＝30°∵AB∥CD，∴∠ CFG＝∠ AEG＝60°∴∠ CFH ＝∠ CFG﹣∠ EFH＝60°﹣15°＝45°．33．【解答】解：(1)∵ BE＝BA，∴∠ BAE＝∠ BEA，∴∠ B＝180°﹣2∠ BAE，①∵CD＝CA，∴∠ CAD ＝∠ CDA ，∴∠ C＝180°﹣2∠CAD，②① +② 得：∠ B+∠C＝360°﹣2(∠BAE+∠CAD)∴180°﹣∠ BAC＝360°﹣2[(∠ BAD+∠DAE)+(∠DAE+∠CAE)]，∴﹣∠ BAC＝180°﹣2[(∠ BAD+∠DAE+∠CAD)+∠DAE]，∴﹣∠ BAC＝180°﹣2(∠ BAC+∠ DAE )，∴2∠ DAE＝180°﹣∠ BAC．∵∠ BAC＝90 °，∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°，∴∠ DAE＝45°；(2)由(1)知，∠ DAE＝ ( 180°﹣∠ BAC)＝ ( 180°﹣120°)＝30°；(3)由( 1)知，β＝(180°﹣α)，∴α+2β＝180°．34．【解答】解：∵ AB＝AC，AD 平分∠ BAC，∴ AD⊥ BC，∠ ADC ＝90°，∵∠ BAC＝80 °，∴∠ DAE＝∠ BAC＝40°，∵AD＝AE，∴∠B＝∠ ACB（等边对等角），AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）又∵ CE⊥ AB（已知），∴∠BDC＝∠C＝＝72∴∠ AEG＝2∠GEH ＝60°∴∠ ADE ＝70°，∴∠ EDC ＝90°﹣70°＝20°．35．【解答】解：∵∠ ABC＝65°，AB＝AC，∴∠B＝∠ C＝65°（等边对等角），∴∠ BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°（三角形内角和180°），又∵∠ BAD ＝20°，∴∠ DAE ＝∠ BAC﹣∠ BAD＝30°，又∵ AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED（等边对等角），∴∠ ADE ＝∠ AED ＝（180°﹣∠ DAE ）＝75°（三角形内角和180°），∵∠ AED ＝∠ EDC +∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠ EDC ＝75°﹣65°＝10°．解得或当，等腰三角形的三边为时，等腰三角形的三边为所以，这个等腰三角形的底边长是综上所述，这个等腰三角形的底边长8，8，17，显然不符合三角形的三边关系；14，14，5，5，5．腰长是14．38．【解答】解：如图，AB＝AC，BD或，，根据题意得到为腰AC 上的中线，设AD＝DC ＝x，，，或当x＝10，y＝23 时，等腰三角形的三边为20，20，23；解得当x＝11，y＝19 时，等腰三角形的三边为22，22，19，答：这个等腰三角形的底边长是23 或19．BC＝y，36．【解答】解：∵ AB＝BC，∠ B＝40∴∠ BAC＝∠ C＝70°，∵AD 平分∠ BAC 交BC 于D，∴∠ BAD ＝∠BAC ＝35°°，∴∠ ADE＝∠ B+∠BAD＝75°．39．【解答】解：∵ DE ＝EB∵AE⊥BC，EF⊥AD，∴∠ AEF＝∠ ADE＝75 ∴设∠ BDE＝∠ ABD＝x，∴∠ DAE ＝90°﹣∠ AEF＝1537．【解答】解：如图所示，设AD＝DC＝x，BC＝y，由题意得∴∠ AED＝∠ BDE+∠ ABD ＝2x，∵AD＝DE，∴∠ AED ＝∠ A＝2x，∴∠ BDC＝∠ A+∠ABD＝3x，第 11 页（共 12页）∵BD ＝BC ，∴∠ C ＝∠ BDC ＝3x ， ∵AB ＝AC ，∴∠ ABC ＝∠ C ＝ 3x ， 在△ ABC 中， 3x+3x+2x ＝180解得 x ＝ 22.5°，∴∠ A ＝ 2x ＝22.5°× 2＝45°解得∠ C ＝ 75°．42．【解答】 解：∵ AB ＝ AC ，AD ⊥BC ，∴∠ CAD ＝∠ BAD ＝ 40°， ∠ ADC ＝90 °， 又∵ AD ＝ AE ， ∴∠ ADE ＝＝ 70°，∴∠ CDE ＝ 90°﹣ 70°＝ 20°．43．【解答】 解：（ 1）结论： PN ＝ 2BM ．理由：如图 1 中，作 PF ∥AC 交 BC 于 F ，交 BD 于 E ．40．【解答】 证明：∵ AB ＝ AC ∴∠ ABC ＝∠ ACB ， ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ DBC ＝ ∠ABC ， ∵CD ＝CE ， ∴∠ E ＝∠ CDE ， ∵∠ ACB ＝∠ E+∠CDE ，∴∠ E ＝ ∠ ACB ， ∴∠ E ＝∠ DBE ， ∴BD ＝DE ． 41．【解答】 解：∵△ BDE 是正三角形， ∴∠ DBE ＝ 60°； ∵在△ ABC 中，∠ C ＝∠ ABC ，BE ⊥AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝∠ABE+∠EBC ，则∠ EBC ＝∠ABC ﹣60°＝∠ C ﹣60°，∠ BEC ＝ 90°； ∴∠ EBC+∠C ＝ 90°，即∠ C ﹣60°+∠C ＝90°，∵BD ⊥ AC ，PF ∥AC ， ∴PF ⊥BD ，∠BPE ＝∠ A ＝45 ∴∠ BEP ＝ 90°，∴∠ BPE ＝∠ PBE ＝45°， ∴BE ＝PE ， ∵PM ⊥BC ，∴∠ PMB ＝∠ PEN ＝90°，∵∠ BNM ＝∠ PNE ， ∴∠ NPE ＝∠ EBF ， ∵∠ PEN ＝∠ BEF ＝ 90°， ∴△ PEN ≌△ BEF （ ASA ）， ∴PN ＝ BF ，∵AB＝AC，∴∠ ABC＝∠ C，∵∠ PFB＝∠C，∴PB＝PF，∵PM⊥BF，∴BM＝MF，∴PN＝2BM．（2）结论不变．理由：如图2中，作PF∥AC交CB的延长线于E，交DB 的延长线于F．∵∠ ABD ＝∠ PBF＝∠ BPF＝45°，∴BF＝PF，∵∠ EBF＝∠ EPM，∠EFB＝∠EMP，BF＝PF，∴△ BFE≌△ PFN（ASA），∴PN＝BE，∵∠ E＝∠ C＝∠ABC＝∠ PBE，∴PE＝PB，∵PM⊥EB，∴EM＝BM，∴PN＝2BM．第12 页（共12页）。
等腰三角形的三线合一”定理应用
等腰三角形的三线合一”定理应用
等腰三角形的三线合一定理是指等腰三角形的顶点角平分线、
中线和高线三条线段重合于同一条直线。
这个定理在解决等腰三角
形相关问题时非常有用，可以应用在几何证明和计算等各个方面。
首先，我们来看一下在几何证明中如何应用这个定理。
假设我
们需要证明一个三角形是等腰三角形，我们可以利用三线合一定理
来证明。
首先，我们找到顶点角的平分线，然后找到底边的中线和
高线，如果它们三条线段重合于同一条直线，那么我们就可以得出
这个三角形是等腰三角形的结论。
其次，在计算中，我们也可以利用这个定理来简化问题。
比如，如果我们已知等腰三角形的一条腰和底边的长度，我们可以利用三
线合一定理来快速求出顶点角的平分线、中线和高线的长度，从而
简化计算过程。
除此之外，我们还可以利用三线合一定理来解决一些实际问题。
比如在建筑设计中，如果我们需要确定一个三角形地基的形状，我
们可以利用这个定理来确保地基的三条边符合等腰三角形的条件，
从而保证地基的稳定性。
总的来说，等腰三角形的三线合一定理在几何证明、计算和实际问题中都有着重要的应用价值。
通过灵活运用这个定理，我们可以更快更准确地解决各种与等腰三角形相关的问题。
等腰三角形的斜率
等腰三角形的斜率三角形是数学中一个很基础的几何形状，但是当它变得有趣的时候，便是探讨它的斜率了。
等腰三角形是指具有两条等长的边的三角形，在这种特殊的三角形里，最有趣的事实之一便是它的斜率问题。
首先，我们先看看等腰三角形的斜率，斜率的定义是斜线上小的一段相对于斜线上大的一段的比例。
在等腰三角形里，两条等长的边就是斜线的两段，这样斜率就为1，即比例为1:1，任何一条等长的边之间的斜率都为1。
其次，我们来探讨等腰三角形的斜率的一个有趣的特性：任何一条等长的边所形成的斜率都是相同的。
也就是说，假设等腰三角形A、B、C是一个等腰三角形，其中AB、AC、BC都是等腰线段，那么∠A、∠B、∠C这三个角在此三角形中都是相等的，而且斜率AB与AC与BC都是相同的。
此外，等腰三角形的斜率还有一个很重要的应用，就是它的倾斜角。
等腰三角形的三条边都是等长的，因此它的任何一条边上的斜率都是相同的，且为1，所以任何一条边所形成的角都是相同的。
所以通过得出这个斜率，我们就能够求出等腰三角形的倾斜角，这就是等腰三角形的斜率的另一个非常重要的应用。
最后，等腰三角形的斜率还可以用于求解一些数学问题，例如：给定直线AB和点C，且C不在AB上，求点C到直线AB的距离？我们可以用等腰三角形的斜率来求解，具体的求解步骤如下：设∠ACB=α，∠ABC=β，∠ACB=90°，则直线AB的斜率斜率=tanα=tanβ=1，则AC与AB的夹角β=α，由此可得出AC与AB所形成的等腰三角形的两边的长度都为点C到直线AB上点的距离，从而可以求出C到AB 的距离。
从上述可以看出，等腰三角形的斜率有很多有趣的应用，不仅能用来求出三角形的倾斜角，还能用来求解一些数学问题，其实它还能用来研究其他许多有关三角形的数学问题，是一个重要的基础知识。
总之，等腰三角形的斜率是一个不可忽视的知识点，因为它既有重要的实用价值，又能够引出许多其他数学问题和概念，为研究三角形和相关的几何形状问题提供重要的基础。
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21.等腰三角形
题组练习一（问题习题化）
1.若等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（）
A.65°
B.80°
C.50°或65°
D.50或80°
2.已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是（）
A.14
B.15
C.16
D.14或16
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE ⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
4.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，
（1）求∠1的度数
（2）AB=2,求BC ◆知识梳理
题组练习二（知识网络化）
5.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB 的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是_____ ．
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD 平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）
A．∠CAD=30°B．AD=BD C．BD=2C D.CD=ED
7.已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x 的取值范围是( )
A. x ＞12
B. x ＜6
C. 6＜x ＜12
D. 0＜x ＜12
8．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线
交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AB=6，AC=5，则△ADE 的周长为（ ）A ．8 B ．8.5 C ．9
D ．11
9. 如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高线，DE ∥AB 交AC 于点E ，猜想DE 与AB 的数量关系，并证明你的猜想．
10．抛物线y=ax 2
+2x+c 与其对称轴相交于点A （1，4），与x 轴正半轴交于点B ． （1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线对称轴上确定一点C ，使△ABC 是等腰三角形，求出所有点C 的坐标．
题组练习三（中考考点链接）
11.在Rt △ABC 中，∠C=90°， AB=10．若以点C 为圆心，CB
为半径的圆恰好经过AB 的中 点D ，则AC=（ ） A ．5
B ．
C ．
D ．6
12.如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，
∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ） A ． B ．
C ．3
D ．4
13．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A 向
点B 匀速运动，到达B 点即停止运动，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，连接MN ，设点D 运动的时间为t ．
（1）判断MN 与AC 的位置关系；
（2）求点D 由点A 向点B 匀速运动的过程中，线段MN 所扫过区域的面积；
（3）若△DMN 是等腰三角形，求t 的值．。