2020年高考数学一轮复习讲练测专题2.2函数的单调性与最值(练)文(含解析)

合集下载

2020届高三理数一轮讲义：2.2-函数的单调性与最值(练习版)

2020届高三理数一轮讲义：2.2-函数的单调性与最值(含解析)

第2节函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[微点提醒]1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反.2.“对勾函数”y＝x＋ax(a>0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()解析(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是R.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－x B.y＝x2－xC.y＝ln x－xD.y＝e x解析对于A，y1＝1x在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝1x－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝e x 在(0，＋∞)上是增函数.答案 A3.(必修1P31例4改编)函数y＝2x－1在区间[2，3]上的最大值是________.解析函数y＝2x－1在[2，3]上是减函数，当x＝2时，y＝2x－1取得最大值22－1＝2.答案 24.(2018·广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A.y＝1f（x）在R上为减函数B.y＝|f(x)|在R上为增函数C.y＝－1f（x）在R上为增函数D.y＝－f(x)在R上为减函数解析如f(x)＝x3，则y＝1f（x）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，A错；则y＝|f(x)|在R上无单调性，B错；则y＝－1f（x）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，C错.答案 D5.(2019·石家庄调研)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是()A. f(m)>f(1)B. f(m)<f(1)C. f(m)≥f(1)D. f(m)≤f(1)解析因为f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则m－1>0，所以m>1，所以f(m)>f(1). 答案 A6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间.∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).答案 D考点一确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)(2019·东北三省四校质检)若函数y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，－4)∪[2，＋∞) B.(－4，4] C.[－4，4)D.[－4，4]解析令t ＝x 2－ax ＋3a ，则y ＝log 12t (t >0)，易知t ＝x 2－ax ＋3a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增. ∵y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，∴t ＝x 2－ax ＋3a 在(2，＋∞)上是增函数，且在(2，＋∞)上t >0， ∴2≥a2，且4－2a ＋3a ≥0，∴a ∈[－4，4]. 答案 D(2)判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在x ∈[1，2]上的单调性. 解 f (x )在[1，2]上单调递增，证明如下：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接. 2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】 (一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性.解法一设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增. 法二 f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增. 考点二求函数的最值【例2】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12B.14C.2D.4(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg(x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________.解析 (1)f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上是单调函数，所以f (1)＋f (2)＝log a 2＋6，则a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，即(a －2)(a ＋3)＝0，又a >0，所以a ＝2. (2)∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f[f(－3)]＝f(1)＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋2x－3≥22－3，当且仅当x＝2时，取等号，此时f(x)min＝22－3<0；当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为22－3.答案(1)C(2)022－3规律方法求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【训练2】(1)(2019·郑州调研)函数f(x)＝x－1x2在x∈[1，4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是()A.3116 B.2 C.94 D.114(2)(2018·邵阳质检)定义max{a，b，c，}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是()A.2B.3C.4D.6解析(1)易知f(x)＝x－1x2在[1，4]上是增函数，∴M＝f(x)max＝f(4)＝2－116＝3116，m＝f(1)＝0.因此M－m＝3116.(2)画出函数M＝{2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2，4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M的最小值为4.答案 (1)A (2)C考点三函数单调性的应用多维探究角度1 利用单调性比较大小【例3－1】已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c解析由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c . 答案 D角度2 求解函数不等式【例3－2】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0.则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)解析当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x<0.答案 D角度3 求参数的值或取值范围【例3－3】已知f (x )＝⎩⎨⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是________. 解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.【训练3】 (1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b(2)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A.(－1，0)∪(0，1) B.(－1，0)∪(0，1] C.(0，1)D.(0，1]解析 (1)由f (x )是奇函数，得a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f (log 25).又log 25>log 24.1>2>20.8，且y ＝f (x )在R 上是增函数，所以a >b >c .(2)因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1，2]上为减函数，所以由其图象得a ≤1，g (x )＝ax ＋1， g ′(x )＝－a（x ＋1）2，要使g (x )在[1，2]上为减函数，需g ′(x )<0在[1，2]上恒成立，故有－a <0，因此a >0，综上可知0<a ≤1. 答案 (1)C (2)D[思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值). [易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x .基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32B.－83C.－2D.2解析易知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上是减函数，∴f (x )max ＝f (－2)＝2－12＝32. 答案 A2.(2019·广州模拟)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝2x B.f (x )＝|x －1| C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1)解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数. 答案 C3.(2019·兰州一模)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1)D.(－3，－1]解析令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}.根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，又g (x )在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f (x )的单调递增区间为[－1，1).答案 C4.函数y ＝2－x x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A.(1，2) B.(－1，2) C.[1，2) D.[－1，2)解析函数y ＝2－x x ＋1＝3－（x ＋1）x ＋1＝3x ＋1－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，x ∈(m ，n ]时，y min ＝0.∴m 的取值范围是[－1，2).答案 D5.(2019·蚌埠模拟)已知单调函数f (x )，对任意的x ∈R 都有f [f (x )－2x ]＝6，则f (2)＝( )A.2B.4C.6D.8解析设t ＝f (x )－2x ，则f (t )＝6，且f (x )＝2x ＋t ，令x ＝t ，则f (t )＝2t ＋t ＝6，∵f (x )是单调函数，且f (2)＝22＋2＝6，∴t ＝2，即f (x )＝2x ＋2，则f (2)＝4＋2＝6.答案 C二、填空题6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________. 解析由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 （x >1），0 （x ＝1），－x 2 （x <1），函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g (x )的递减区间是[0，1).答案 [0，1)7.设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________.解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a， ∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1. 答案 [1，＋∞)8.(一题多解)(2019·成都诊断)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______.解析法一在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )图象，依题意，h (x )的图象如图所示的实线部分.易知点A (2，1)为图象的最高点，因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.答案 1三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0).(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易得a ＝25. 10.函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1).(1)求方程f (x )＝0的解.(2)若函数f (x )的最小值为－1，求a 的值.解 (1)由⎩⎨⎧1－x >0，x ＋3>0，得－3<x <1. ∴f (x )的定义域为(－3，1).则f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，x ∈(－3，1)，令f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1，解得x ＝－1±3∈(－3，1).故f (x )＝0的解为x ＝－1±3.(2)由(1)得f (x )＝log a [－(x ＋1)2＋4]，x ∈(－3，1)，由于0<－(x ＋1)2＋4≤4，且a ∈(0，1)，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，由题意可得log a 4＝－1，解得a ＝14，满足条件.所以a 的值为14.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x ).∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1).又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.答案 D12.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数解析因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a )2＋a －a 2在区间(－∞，1)上有最小值，所以函数f (x )的对称轴x ＝a 应当位于区间(－∞，1)内，即a <1，又g (x )＝f （x ）x ＝x ＋a x －2a ，当a <0时，g (x )＝x ＋a x －2a 在区间(1，＋∞)上为增函数，此时，g (x )min >g (1)＝1－a >0；当a ＝0时，g (x )＝x 在区间(1，＋∞)上为增函数，此时，g (x )min >g (1)＝1：当0<a <1时，g (x )＝x ＋a x －2a ，g ′(x )＝1－a x 2>1－a >0，此时g (x )min >g (1)＝1－a ；综上，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增.答案 D13.已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x <0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，所以该函数在(－∞，0]上单调递减，所以x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，所以－x 2－2x ＋3<3，所以f (x )在R 上单调递减，所以由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，所以2(a ＋1)<a ，a <－2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2). 答案 (－∞，－2)14.已知函数f(x)＝a－22x＋1.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2），∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2. ∴x的取值范围是(－∞，2).。

2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：2.2 函数的单调性与最值 .pdf

考点1
考点2
考点3
-19-
-20-
考点1
考点2
考点3
函数单调性的应用(多考向)
考向1 利用函数的单调性求函数的值域或最值
A
考点1
考点2考Biblioteka 3-21-思考函数最值的几何意义是什么?如何利用函数的单调性求函数的值域或最值?
考点1
考点2
考点3
-22-
考向2 利用函数的单调性比较大小
例4(2018河北衡水中学金卷一模,7)已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)
为( A )
A.{a|a<-3或a>1}
B.{a|a>1}
C.{a|-3<a<1}
D.{a|a<-3}
解析:令f(x)-log3x=x0,则f(x0)=4,
2.2 函数的单调性与最值
知识梳理考点自诊
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
f(x1)<f(x2)
上升的
-2-
f(x1)>f(x2) 下降的
知识梳理考点自诊
-3-
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增加的或减少的 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 区间 D 叫做
上是增加的,且a=log52,b=ln 2,c=-20.1,则f(a),f(b),f(c)满足( D )
A.f(b)<f(a)<f(c) B.f(c)<f(a)<f(b) C.f(c)<f(b)<f(a) D.f(a)<f(b)<f(c) 思考如何利用函数的单调性比较大小?
故f(a)<f(b)<f(1), 又f(c)=f(-20.1)=f(20.1)>f(1),故f(a)<f(b)<f(c),故选D.

2020高考数学理科大一轮复习导学案《函数的单调性与最值》含答案

第二节函数的单调性与最值知识点一函数的单调性1．单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( √ )(2)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × ) (3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( × ) (4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )解析：(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x 1＝－1，x 2＝1，则f (－1)<f (1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(3)应对任意的x 1<x 2，f (x 1)<f (x 2)成立才可以．(4)若f (x )＝x ，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，但y ＝f (x )的单调递增区间可以是R .2．(必修1P39B 组T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( A )A ．y ＝1x －x B ．y ＝x 2－x C ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x解析：对于A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；B ，C 选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D 中，y ＝e x 在(0，＋∞)上是增函数．知识点二函数的最值3．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为(－∞，2)．解析：当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f (x )的值域是(－∞，2)．4．(必修1P31例4改编)函数f (x )＝2xx －1在[2,6]上的最大值和最小值分别是4，125.解析：函数f (x )＝2x x －1＝2(x －1)＋2x －1＝2＋2x －1在[2,6]上单调递减，所以f (x )min ＝f (6)＝2×66－1＝125.f (x )max ＝f (2)＝2×22－1＝4.1．“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”意义不同，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．单调性的两种等价形式(1)设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．3．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．考向一确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)(2)讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在(－1,1)上的单调性．【解析】 (1)A 项，y ＝x ＋1为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上单调递增；B 项，y ＝(x －1)2在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；C 项，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为R 上的减函数；D 项，y ＝log 0.5(x ＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A.(2)法1：(定义法) 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，故函数f (x )在(－1,1)上为减函数．法2：(导数法)f ′(x )＝(ax )′(x 2－1)－ax (x 2－1)′(x 2－1)2＝a (x 2－1)－2ax 2(x 2－1)2＝a (－x 2－1)(x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2. ∵a >0，x ∈(－1,1)，∴f ′(x )<0. ∴f (x )在(－1,1)上是减函数．【答案】 (1)A (2)见解析确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.(1)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( A ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x <2时，(－∞，1]是函数f (x )的单调递增区间，[1,2]是函数f (x )的单调递减区间．(2)判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．解：函数f (x )在(0，a )上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x 2 ＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2.当a >x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，则有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a )上单调递减；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0，则有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，故函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在[a ，＋∞)上单调递增．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a )上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．考向二函数的最值【例2】 (1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． (2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．(3)函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．【解析】 (1)法1：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， ∴原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，又∵t ≥0，∴y ≥14＋34＝1. 故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法2：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在其定义域[1，＋∞)内为增函数，所以当x ＝1时y 取最小值，即y min ＝1.(2)y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝2(x 2－x ＋1)＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1＝2＋1⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34， ∴2<2＋1⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤2＋43＝103. 故函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2，103. (3)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.【答案】 (1)1 (2)⎝⎛⎦⎥⎤2，103 (3)2求函数最值(值域)的五种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(B)A．－3 B．－2C．－1 D．1(2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b＝6.(3)函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为14. 解析：(1)函数f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1的图象如图所示．由图象知在[3，＋∞)上f (x )min ＝f (3)＝32－2×3＋m ＝1，得m ＝－2.(2)由题易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎨⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6.(3)令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.考向三函数单调性的应用方向1 比较函数值的大小【例3】已知函数f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )＝x －4－x ，设a ＝f (log 30.2)，b ＝f (3－0.2)，c ＝f (－31.1)，则( )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．c >b >aD ．b >a >c【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以a ＝f (log 30.2)＝f (－log 30.2)，c ＝f (－31.1)＝f (31.1)．因为log 319<log 30.2<log 313，所以－2<log 30.2<－1，所以1<－log 30.2<2，所以31.1>3>－log 30.2>1>3－0.2.因为y ＝x 在(0，＋∞)上为增函数，y ＝－4－x 在(0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以f (31.1)>f (－log 30.2)>f (3－0.2)，所以c >a >b .【答案】 A 方向2 解不等式【例4】 (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0)D ．(－∞，0)【解析】当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.【答案】 D方向3 求参数的取值范围【例5】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 【解析】由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.【答案】 B(1)比较大小. 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.1．(方向2)(2019·河北石家庄一模)已知奇函数f (x )在x >0时单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( A )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，则－1<x <0或x >1时，f (x )>0；x <－1或0<x <1时，f (x )<0.∴不等式f (x －1)>0即－1<x －1<0或x －1>1，解得0<x <1或x >2，故选A.2．(方向1)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，记a ＝f (30.2)30.2，b ＝f (0.32)0.32，c ＝f (log 25)log 25，则( B )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析：∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，∴函数f (x )x 是(0，＋∞)上的增函数，∵1<30.2<2,0<0.32<1，log 25>2，∴0.32<30.2<log 25，∴c >a >b .故选B.3．(方向3)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于1.解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∵函数f (x )＝2|x－a|(a∈R)的图象以直线x＝a为对称轴，∴a＝1，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∵f(x)在[m，＋∞)上单调递增，∴m≥1，则m的最小值为1.。

2020年高考数学(文)一轮复习讲练测专题2.2函数的单调性与最值(练)含解析

所以 f(x) 在[2，＋ ∞）上是增函数．则
f(x)min ＝f(2)＝ ln
a 2.
(2) 对任意 x∈ [2，＋ ∞），恒有 f(x)>0. 即 x＋ a－2>1 对 x∈ [2，＋ ∞）恒成立．
x 所以 a>3x－ x2. 令 h(x)＝ 3x－ x2， x∈ [2 ，＋ ∞）．
由于 h(x)＝－
增区间是 (4，＋ ∞）． 3．（ 2019 ·山东济宁一中期末）已知函数
f(x)＝ log a(－ x2－ 2x＋ 3)(a>0 且 a≠1，) 若 f(0)<0 ，则此函数的单调
递增区间是 ( )
A ． (－∞，－ 1]
B ． [－ 1，＋ ∞）
C． [－ 1， 1]
D ． (－3，－ 1]
【答案】 C
∞）内是减函数，
y2＝ x 在 (0，＋ ∞）内是增函数，则
y＝ 1－ x 在 (0，＋ ∞）内是 x
减函数； B， C 选项中的函数在 (0，＋ ∞）上均不单调；选项 D 中， y′＝ ex－ 1，而当 x∈ (0，＋ ∞）时， y′＞ 0，所以
函数 y＝ ex－ x 在 (0，＋ ∞）上是增函数．
1，) 则
g′x（)＝
1 2
－
3 2x2＝
x2－3 2x2
，由
g′x（) ≤０得
1≤x≤
3，即函数
f（ x） x
＝
1 2x－
1＋
23x在区间
[1 ，
3] 上单调递减，故
“缓增区间 ”I 为 [1，
3] ．
2 14．（ 2019 ·湖北黄冈中学模拟）已知函数 f(x) ＝ a－ 2x＋ 1. (1) 求 f (0)； (2) 探究 f(x)的单调性，并证明你的结论； (3) 若 f (x)为奇函数，求满足 f(ax)＜ f(2)的 x 的范围．

新高考数学理一轮总复习知能演练2.2函数的单调性与最值(含答案详析)

一、选择题1．(2011 高·考课标全国卷)以下函数中，既是偶函数又在(0，＋∞ )上单一递加的函数是()A ． y ＝ x 3 2＋ 1B ． y ＝ |x|＋ 1C ． y ＝－ xD ．y ＝ 2 |x|－分析：选 B. ∵y ＝x 3 在定义域 R 上是奇函数， ∴A 不对． y ＝－ x 2＋ 1 在定义域 R 上是偶函|x|1 |x| 数，但在(0，＋ ∞ )上是减函数，故 C 不对．D 中 y ＝ 2－＝2 虽是偶函数，但在 (0，＋ ∞ )上是减函数，只有 B 对．2．函数 y ＝ 16－ 4x的值域是 ( )A ． [0，＋∞ )B ． [0,4]C ． [0,4)D ．(0,4)分析：选 C.要使函数存心义，则 16－ 4x ≥0. 又因为 4x >0， ∴0≤16－ 4x <16 ，即函数 y ＝16－ 4x 的值域为 [0,4) ．3．(2011 高·考辽宁卷 )函数 f(x)的定义域为 R ，f(－ 1)＝ 2，对随意 x ∈ R ，f ′(x)>2，则 f(x)>2x＋4 的解集为 ()A ． (－ 1,1)B ． (－1，＋∞ )C ． ( －∞，－ 1)D ．(－∞，＋∞ )分析：选 B.设 g(x)＝ f(x)－ 2x － 4，则 g(－ 1)＝ f(－ 1)－ 2× (－1) －4＝ 0， g ′ (x) ＝ f ′ (x)－ 2＞ 0， g( x)在 R 上为增函数．由 g(x)＞ 0，即 g(x)＞ g(－ 1)．∴x ＞－ 1，选 B.11(x ＋ 1)，③ y ＝ |x － 1|，④ y ＝ 2 x ＋1，此中在区间 (0,1) 上单4．给定函数① y ＝ x，② y ＝ log22调递减的函数的序号是 ()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④分析：选 B. ①函数 y ＝ x112在(0 ，＋ ∞) 上为增函数，② y ＝ log 2(x ＋ 1)在 (－ 1，＋ ∞ )上为减函数，故在 (0,1)上也为减函数，③ y ＝|x － 1|在 (0,1)上为减函数，④ y ＝ 2x ＋1 在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上为增函数，应选B.5．已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则知足 f(|x|)<f(1) 的实数 x 的取值范围是 () A ． (－ 1,1) B ． (0,1) C ． ( －1,0)∪ (0,1)D ．(－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )分析：选 D. ∵f(x)为 R 上的减函数，且 f(|x|)<f(1) ，∴|x|>1，∴x<－ 1 或 x>1.二、填空题6．函数 y ＝ x － x(x ≥ 0)的值域为 ________．分析： y ＝ x － x ＝－ (x)21 2 1＋ x ＝－ ( x － 2) ＋ 4，∴y max ＝ 114.故值域为 (－ ∞， 4]．答案：－∞，147．(2012 高·考安徽卷 )若函数 f(x) ＝ |2x ＋ a|的单一递加区间是 [3，＋∞ )，则 a ＝ ________.－ 2x －a ， x ＜－ a2－ a，＋ ∞ ，分析：由 f(x)＝a ，可得函数 f(x)的单一递加区间为22x ＋ a ， x ≥ － 2a故 3＝－ 2，解得 a ＝－ 6.答案：－6f(2－ m)＜ f(m 2)的实数 m 的取值范围是 ________．8．若 f(x)为 R 上的增函数，则知足分析： ∵f(x)在 R 上为增函数， ∴2－m ＜m 2， ∴m 2＋ m － 2＞ 0， ∴m ＞ 1 或 m ＜－ 2.答案： (－∞，－ 2) ∪(1，＋∞ ) 三、解答题x ＋ a9．议论函数 f(x)＝ x ＋ b (a ＞ b ＞0)的单一性．解：定义域为 (－∞ ，－ b)∪(－ b ，＋ ∞ )．在定义域内任取 x 1＜ x 2，x 1＋a x 2＋ a∴f(x 1)－ f(x 2)＝－x 1＋ b x 2＋ bx 1＋ a x 2＋ b － x 1＋ b x 2＋ a ＝x 1＋b x 2＋ bb － a x 1－ x 2 ＝ .x 1＋ b x 2＋ b∵a ＞b ＞ 0，∴b － a ＜ 0， x 1－x 2＜ 0，只有当 x 1＜ x 2 ＜－ b 或－ b ＜ x 1＜ x 2 时，函数才单一．当 x 1＜ x 2＜－ b 或－ b ＜x 1＜x 2 时， f(x 1)－ f(x 2) ＞ 0.∴f(x)在 (－b ，＋ ∞ )上是减函数，在 (－ ∞ ，－ b) 上是减函数． 10．已知函数 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ a ，x ∈ [1，＋∞ )．(1)当 a ＝ 12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对随意 x ∈ [1，＋∞ )，f(x)＞ 0 恒建立，试务实数a 的取值范围．解： (1)当 a ＝ 12时， f(x) ＝x 2＋ 2x ＋ 12，其图象是张口向上的抛物线，对称轴为x ＝－ 1，又∵x ∈[1，＋ ∞ )，∴f(x)的最小值是7f(1)＝ 2.(2)由 (1)知 f(x)在 [1，＋ ∞ )上的最小值是 ∵f(x)＞ 0 在 [1，＋ ∞ )上恒建立，故只要 a ＋ 3＞0 即可，解得a ＞－ 3.∴实数 a 的取值范围是 a ＞－ 3.f(1) ＝a ＋ 3.一、选择题 (x )＝ |ln2－ x |在其上为增函数的是 ()．(2011高·考重庆卷 )以下区间中，函数1f( )A. (－∞， 1]B. －1， 433C. 0，D.[1， 2)2分析：选 D.法一：当 2－ x ≥ 1，即 x ≤1 时，f(x)＝ |ln(2 － x)|＝ ln(2 － x)，此时函数 f(x)在 (－∞ ，1]上单一递减．当 0<2－ x ≤ 1，即 1≤ x<2 时， f(x)＝ |ln(2－ x)|＝－ ln(2 －x)，此时函数 f(x) 在 [1,2) 上单一递加，应选 D.法二： f(x)＝ |ln(2－ x)|的图象如下图．由图象可得，函数 f( x)在区间 [1,2) 上为增函数，应选 D.a x x ≥ 12．若 f(x)＝ a是 R 上的单一递加函数，则实数 a 的取值范围为 ()4－2 x ＋ 2 x ＜ 1A ． (1，＋∞ )B ． [4,8)C ． (4,8)D ．(1,8)分析：选 B.函数 f(x) 在(－ ∞ ， 1)和 [1，＋ ∞ )上都为增函数，且 f(x)在 (－∞ ，1)上的最高a ＞ 1a点不高于其在 [1，＋ ∞ )上的最低点，即4－2＞0，解得 a ∈[4,8) ，应选 B.aa ≥ 4－ 2＋ 2二、填空题)函数 f(x)＝ ln(4＋ 3x － x 2)的单一递减区间是 ________．3． (2013 ·照质检日23 2 25 分析：函数 f(x) 的定义域是 ( － 1,4)， u(x)＝－ x ＋ 3x ＋ 4＝－ x － 2 ＋ 4的递减区间为3， 4 .23∵e ＞ 1，∴函数 f(x)的单一递减区间为 2， 4 .34．若函数f(x)＝ |log a x|(0<a<1) 在区间 (a,3a － 1) 上单一递减，则实数a 的取值范围是________ ．1分析：因为 f(x)＝ |log a x|在 (0,1] 上递减，在 (1，＋ ∞ )上递加，所以 0<a<3a － 1≤ 1，解得2 2<a ≤ 3，此即为 a 的取值范围．1 2答案： 2， 3三、解答题5．已知函数 f(x) 关于随意 x ，y ∈ R ，总有 f(x)＋ f(y)＝ f(x ＋ y)，且当 x ＞ 0 时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证： f(x)在 R 上是减函数；(2)求 f(x)在 [－ 3,3]上的最大值和最小值．解： (1)证明：法一： ∵函数 f(x)关于随意 x ， y ∈R 总有 f(x) ＋f(y)＝ f(x ＋y)，∴令x ＝ y ＝ 0，得 f(0) ＝ 0.再令 y ＝－ x ，得 f(－ x)＝－ f(x)．在 R 上任取 x 1＞ x 2，则 x 1－ x 2＞ 0，f(x 1)－ f(x 2) ＝ f(x 1) ＋f(－ x 2)＝ f( x 1－ x 2)．又∵x ＞0 时， f(x) ＜0，而 x 1－ x 2＞ 0，∴f(x 1－ x 2)＜ 0，即 f(x 1)＜ f(x 2)．所以 f(x)在 R 上是减函数．法二：设 x 1＞ x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝ f(x 1－ x 2＋ x 2)－ f(x 2)＝ f(x 1－ x 2)＋ f(x 2) －f(x 2)＝ f(x 1－ x 2)．又∵x ＞0 时， f(x) ＜0，而 x 1－ x 2＞ 0， ∴f(x 1－ x 2 )＜ 0，即 f(x 1)＜ f(x 2)，∴f(x)在 R 上为减函数．(2)∵f(x)在 R 上是减函数，∴f(x)在 [ －3,3] 上也是减函数，∴f(x)在 [ －3,3] 上的最大值和最小值分别为 f(－ 3)与 f(3)．而 f(3) ＝ 3f(1) ＝－ 2， f( －3)＝－ f(3) ＝2.∴f(x)在 [ －3,3] 上的最大值为 2，最小值为－ 2.。

(江苏专版)2020版高考数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值教案文(含解析)苏教版

第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值[小题体验]1．(2019·常州一中月考)f (x )＝|x ＋2|的单调递增区间为________．答案：[－2，＋∞)2．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数，因为[2，a ]⊆(0，＋∞)，所以f (x )＝1x在[2，a ]上也是减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a，所以12＋1a ＝34，所以a ＝4. 答案：43．函数f (x )是在区间(－2,3)上的增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是________．解析：由－2＜x ＋5＜3，得－7＜x ＜－2，故y ＝f (x ＋5)的递增区间为(－7，－2)．答案：(－7，－2)1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x. 3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏] 1．(2019·海安期中)函数f (x )＝x ＋12x ＋1的单调递减区间为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 2．已知函数f (x )＝log 5(x 2－3x －4)，则该函数的单调递增区间为________．解析：由题意知x 2－3x －4＞0，则x ＞4或x ＜－1，令y ＝x 2－3x －4，则其图象的对称轴为x ＝32，所以y ＝x 2－3x －4的单调递增区间为(4，＋∞)．单调递减区间为(－∞，－1)，由复合函数的单调性知f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)考点一函数单调性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]。

2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题2.2函数的单调性与值域(练)含解析

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第二章函数第02讲函数的单调性与值域---练1．（2019·吉林高考模拟）下列函数中，在(0,)+∞内单调递减的是（） A ．22x y -= B ．11x y x-=+ C ．121log y x= D ．【答案】A 【解析】由题，22xy -=在R 上递减，所以在()0,+∞内单调递减，故选A2.（2018·湖南长郡中学高考模拟（文））“函数在区间上单调递增”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若，则对称轴，所以在上为单调递增，取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增”是“”的必要不充分条件.3. （2019·北京高三期末（文））已知，则下列不等式成立的是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ∵a ＞b ＞0，∴，，lga ＞lgb ，2﹣a ＜2﹣b．只有B 正确．故选：B ．4.【山东省2018年普通高校招生（春季）】奇函数的局部图像如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】因为奇函数，所以,因为>0>，所以,即，选A.5．（2019·北京高考模拟（文））下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是 ( ) A ．22y x x =+ B ．12x y +=C ．31y x =+ D ．【答案】C 【解析】（A ）22y x x =+的值域不是R ，是［－1，＋∞），所以，排除；（B ）12x y +=的值域是（0，＋∞），排除；（D ）＝，在（0，12）上递减，在（12，＋∞）上递增，不符；只有（C ）符合题意.故选C.6．（2019·山西高三期末（文））已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题意，因为在为单调函数，且，设，则，即，所以，可得或（负值舍），所以，故选A.7.（2019·天津高三期中（理））下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）A ．()12f x x =B ．()2xf x =C ．D ．【答案】B 【解析】逐一考查所给的函数：对于A 选项，取2,4x y ==，则，不满足题中的条件，舍去；对于B 选项，，且函数()2xf x =单调递增，满足题中的条件；对于C 选项，函数单调递减，不满足题中的条件，舍去；对于D 选项，取2,4x y ==，则，不满足题中的条件，舍去；故选：B .8. （2019·湖北高考模拟（理））已知0a >且1a ≠，函数，在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是( )A ．()1+∞， B ．()01， C ．()12， D ．(]12，【答案】D 【解析】a ＞0且a ≠1，函数在R 上单调递增，可得：122a a a ⎧⎨≥-⎩＞，解得a ∈（1，2]．故选：D ．9.【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知定义在上的函数满足:①在上为增函数;若时，成立，则实数的取值范围为__________．【答案】.【解析】根据题意，可知函数的图像关于直线对称，因为其在上为增函数，则在上是减函数，并且距离自变量离1越近，则函数值越小，由可得，，化简得，因为，所以，所以该不等式可以化为，即不等式组在上恒成立，从而有，解得，故答案为.10．【2018届北京市城六区一模】定义：函数在区间上的最大值与最小值的差为在区间上的极差，记作.①若，则________；②若，且，则实数的取值范围是________.【答案】 1【解析】①由题意知f(x)=，，所以，所以.②当时，函数f(x)在区间（0，）单调递减，在区间上单调递增，要满足，只需，所以当m时，函数f(x)在区间上单调递增，不满足.综上所述，.填.1.（2019·福建高考模拟（理））设，函数在区间上是增函数，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，函数在区间上是增函数，所以 .故选C.2.【2018届河北省衡水中学高三三轮复习系列七】下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（） A. B.C.D.【答案】A 【解析】函数为偶函数,且在上为增函数，对于选项,函数为偶函数，在上为増函数，符合要求；对于选项,函数是偶函数，在上为减函数，不符合题意；对于选项,函数为奇函数，不符合题意；对于选项,函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项符合要求，故选A.3．（2019·广东高考模拟（理））已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且当[2,1]x ∈-时，，则关于x 的不等式()1f x <-的解集为（） A ．(,1)-∞- B ．(,3)-∞C ．(1,3)-D ．(1,)-+∞【答案】D 【解析】当[]2,1x ∈-时，由=1-，得1x =-或3x =（舍），又因为函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，所以()1f x <-的解集为()1,-+∞. 故选：D4.【2018届浙江省名校协作体高三上学期考】函数的值域为( )A. B. )+∞ C. )+∞ D. (1,)+∞【答案】D 【解析】由得x R ∈ ，当1x ≥ 时，函数为增函数，所以当1x ≤ 时，由移项得两边平方整理得得从而1y ≠ 且2322y x y --＝．由，得y R ∈ ，由所以32y >．综上，所求函数的值域为(1,)+∞.选D 5.【2018届山西省榆社中学模拟】若函数在区间上的最大值为6，则_______.【答案】4【解析】由题意，函数在上为单调递增函数，又，且，所以当时，函数取得最大值，即，因为，所以.6.【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届三模】若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数， ∴，解得，∴实数的取值范围是．故答案为．1.（2017·北京高考真题（理））已知函数，则（）A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】函数的定义域为，且即函数是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数在R 上是增函数。

2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题2.2函数的单调性与值域(讲)含解析

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第二章函数第02讲函数的单调性与值域 ---讲1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性.2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值. 3. 高考预测：（1）确定函数的最值（值域）（2）以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性结合，有时与导数综合考查. 4.备考重点：（1）判断函数的单调性方法；（2）求函数最值的方法；（3）利用单调性比较函数值大小、解不等式、确定参数取值范围.知识点1．函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.【典例1】（2019·江西高三期中（文））下列函数中，在区间上为增函数的是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】选项A 中，函数在上为减函数，不符合题意；选项B 中，函数在上为增函数，符合题意；选项C 中，函数在上为减函数，在上为增函数，不符合题意；选项D 中，函数在上为减函数，在上为增函数，不符合题意．故选B ．【规律方法】复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．【变式1】（2018·吴起高级中学高三期中（理））下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |【答案】B 【解析】对于选项A ，y ＝e t 为增函数，t ＝﹣x 为减函数，故y ＝e ﹣x 为减函数，对于选项B ，易知幂函数y ＝x 3的定义域为R ，且为增函数，对于选项C ，函数的定义域为x ＞0，不为R ，对于选项D ，函数y ＝|x |为偶函数，在（﹣∞．0）上单调递减，在（0，∞）上单调递增，故选：B ．知识点2．函数的最值1.最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得()0f x M =. 那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.2.最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得()0f x m =. 那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值. 【典例2】【2018届浙江省绍兴市3月模拟】已知，函数在区间上的最大值是2，则__________．【答案】3或【解析】当时，=函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，经检验，a=3满足题意.令，经检验a=5或a=1都不满足题意. 令，经检验不满足题意.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像得函数的最大值是.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，令,所以.综上所述，故填3或. 【重点总结】求函数最值（值域）的常见方法：1.单调性法：利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值.2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.3. 利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.4.利用三角函数的有界性,如. 5.利用“分离常数”法:形如y=ax bcx d++ 或(c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.6.利用换元法:形如型,可用此法求其值域.7.利用基本不等式法:8.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域9.求分段函数的最值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．10.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除.【变式2】【2018届浙江省杭州市高三上期末】设函数，记M 为函数()y f x =在[]1,1-上的最大值， N 为a b +的最大值.（） A. 若13M =，则3N = B. 若12M =，则3N = C. 若2M =，则3N = D. 若3M =，则3N = 【答案】C【解析】由题意得，则若2M =，则2a =，此时任意[]1,1x ∈-有则，，，在时与题意相符，故选C考点1 单调性的判定和证明【典例3】（2019·贵州高三高考模拟（文））关于函数的下列结论，错误的是（）A ．图像关于对称B ．最小值为C ．图像关于点对称D ．在上单调递减【答案】C 【解析】由题意可得：，绘制函数图像如图所示，观察函数图像可得：图像关于对称，选项A正确；最小值为，选项B正确；图像不关于点对称，选项C错误；在上单调递减，选项D正确；故选：C.【总结提升】掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．【变式3】【2018届河南省南阳市第一中学高三实验班第一次考试】已知，那么 ( ) A. 在区间上单调递增 B. 在上单调递增C. 在上单调递增D. 在上单调递增【答案】D【解析】，在记，则当时，单调递增，且而在不具有单调性，故A错误；当时，不具有单调性，故B错误；当时，单调递增，且而在不具有单调性，故C错误；当时，单调递减，且而在单调递减，根据“同增异减”知，D 正确.故选：D考点2 求函数的单调区间【典例4】【2019届四川省成都市第七中学零诊】函数的单调递增区间是（）A. B.C.D.【答案】D 【解析】得或，令，则为增函数，在上的增区间便是原函数的单调递增区间，原函数的单调递增区间为，故选D.【总结提升】确定函数的单调区间常见方法： 1.利用基本初等函数的单调区间2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D 上单调递减.4.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间，不等式()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间.【变式4】（2019·山西山西大附中高三月考）函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】A 【解析】由题可得x 2-3x+2＞0，解得x ＜1或x ＞2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为：（-∞，1）故选：A ．考点3 利用单调性比较大小【典例5】（2019·江苏扬州中学高考模拟）设，，则比较的大小关系_______.【答案】【解析】()1f x x =+是单调增函数，所以有，当0x <时，是单调增函数，所以有()1f x <-，所以函数()f x 是R 上的增函数.,所以有，而函数()f x 是R 上的增函数，所以的大小关系为.【思路点拨】先判断出函数()f x 的单调性，然后判断,,a b c 之间的大小关系，利用单调性比较出之间的大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．【变式5】（2019·天津高三期末（文））已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为，得函数关于对称，又对任意（0，3)都有，所以函数在（0，3)时单调递减，因为，所以，又，所以，所以，故选C .考点4 利用单调性确定参数取值范围【典例6】（2019·陕西西安中学高三期中（文））若函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数为R上的减函数，所以,,是减函数，且当时，，故只需满足，解得，故选C.【规律方法】利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．【变式6】（2018·吉林东北师大附中高考模拟（文））已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数对任意，都有成立，所以函数在定义域内单调递减，所以.故答案为：B考点5 利用函数的单调性解决不等式问题【典例7】（2019·广东高考模拟（文））已知，则满足的的取值范围为_______．【答案】【解析】根据题意，f（x）＝x|x|＝，则f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）；故答案为：[，+∞）．【规律方法】求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．【变式7】【2018届云南省昆明市5月检测】已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数.由得.解得.故选A.考点6 函数的单调性和最值（值域）及其综合应用【典例8】（2018·河北高三期末（理）），使，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知：，使，则.由于函数是定义域内的单调递增函数，故当时，函数取得最小值，综上可得，实数的取值范围是.本题选择B 选项. 【思路点拨】1.由题意分离参数，然后结合函数的单调性确定实数的取值范围；2.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【变式8】【2018届北京市西城区高三期末】已知函数若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的取值范围是____．【答案】 1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】若0c =，由二次函数的性质，可得， ()f x ∴的值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 2x =-时， 22x x +=且12x =-时， 214x x +=-，要使()f x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则20{2 12c c c c>+≤≤，得122c ≤≤，实数c 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

专题2.2函数的单调性与最值(讲)2020年高考数学(文)一轮复习讲练测含解析

专题2.2 函数的单调性与最值1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识点一函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．知识点二函数的最值【特别提醒】1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.2.“对勾函数”y ＝x ＋ax(a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].考点一判断函数的单调性【典例1】【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（） A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A【解析】易知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增. 故选A.【方法技巧】函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可。

【变式1】（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)【答案】D【解析】函数y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9图象的对称轴为直线x ＝1，由x 2－2x －8>0，解得x >4或x <－2，所以(4，＋∞)为函数y ＝x 2－2x －8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)．考点二确定含参函数的单调性(区间)【典例2】（2019·大连二十四中模拟）讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．【解析】方法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1) (x 2－1).由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1>0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增。

2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第三章第二节函数的单调性与最值含答案

第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值[小题体验]1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，∴y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，∴y ＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2019·绍兴调研)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：33．(2018·丽水模拟)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x ＞1，－x 2－2x ＋3，x ≤1，则f (f (3))＝________，f (x )的单调递减区间是________．解析：∵f (3)＝log 133＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋3＝4.当x ≤1时，f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，对称轴x ＝－1，f (x )在[－1,1]上单调递减，且f (1)＝0，当x ＞1时，f (x )单调递减，且f (x )＜f (1)＝0， ∴f (x )在[－1，＋∞)上单调递减．答案：4 [－1，＋∞)1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [小题纠偏]1．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7] 2．函数f (x )＝2x －1在[－6，－2]上的最大值是________，最小值是________．解析：因为f (x )＝2x －1在[－6，－2]上是减函数，所以当x ＝－6时，f (x )取得最大值－27.当x＝－2时，f (x )取得最小值－23.答案：－27 －23考点一函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．法二：(导数法) f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a ＞0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1,1)上递增． 3．判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解：法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2，则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1＞－1，x 2＞－1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，又x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即y 1－y 2＞0.∴y 1＞y 2，∴函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1.∵y ＝x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数， ∴y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数，∴y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减．[谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤：取值作差(商)变形确定符号(与1的大小)得出结论(2)导数法，其基本步骤：求导函数确定符号得出结论考点二求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫122x x -( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g (t )＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12，1，即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤12，1. 2．(2018·温州十校联考)函数f (x )＝lg(9－x 2)的定义域为________；其单调递增区间为________．解析：对于函数f (x )＝lg(9－x 2)，令t ＝9－x 2＞0，解得－3＜x ＜3，可得函数的定义域为(－3,3)．令g (x )＝9－x 2，则函数f (x )＝lg(g (x ))，又函数g (x )在定义域内的增区间为(－3,0]．所以函数f (x )＝lg(9－x 2)在定义域内的单调递增区间为(－3,0]．答案：(－3,3) (－3,0]考点三函数单调性的应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值1．(2018·台州三区适应性考试)已知函数f (x )＝2x ＋ax 3＋b sin x (a ＞0，b ＞0)，若x ∈[0,1]时，f (x )的最大值为3，则x ∈[－1,0)时，f (x )的最小值是________．解析：因为函数f (x )＝2x ＋ax 3＋b sin x 在区间[－1,1]上为单调递增函数．所以当x ∈[0,1]时，f (x )的最大值为f (1)＝2＋a ·13＋b sin 1＝3，a ＋b sin 1＝1，当x ∈[－1,0)时，f (x )的最小值为f (－1)＝2－1＋a ·(－1)3＋b sin(－1)＝12－(a ＋b sin 1)＝－12.答案：－12角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选D 因f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52. 由x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)＞f ⎝⎛⎭⎫52＞f (e)，∴b ＞a ＞c .角度三：解函数不等式3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫18，13 B.⎣⎡⎦⎤0，13 C.⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，13 解析：选A 由题意知， ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，(3a －1)×1＋4a ≥－a ，a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13，a ≥18，a ＞0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13，故选A.[通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数最值(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[演练冲关]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.3．(2017·浙江名校高考联盟联考)若函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________，实数b 的取值范围是________．解析：当a ＞0时，函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(－∞，－b ]上是减函数，在(－b ，＋∞)上是增函数，不满足函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＝0时，f (x )＝－1，不满足函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＜0时，函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(－∞，－b ]上是增函数，在(－b ，＋∞)上是减函数，因为函数f (x )＝a |x ＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，所以a ＜0且－b ≤1，即a ＜0且b ≥－1.答案：(－∞，0) [－1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2 xD ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．2．(2018·绍兴模拟)已知函数f (x )的图象关于(1,0)对称，当x ＞1时，f (x )＝log a (x －1)，且f (3)＝－1，若x 1＋x 2＜2，(x 1－1)(x 2－1)＜0，则( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0C ．f (x 1)＋f (x 2)可能为0D ．f (x 1)＋f (x 2)可正可负解析：选B ∵当x ＞1时，f (x )＝log a (x －1)， f (3)＝log a 2＝－1，∴a ＝12，故函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数，若x 1＋x 2＜2，(x 1－1)(x 2－1)＜0，不妨令x 1＜1，x 2＞1，则x 2＜2－x 1， f (x 2)＞f (2－x 1)，又∵函数f (x )的图象关于(1,0)对称， ∴f (x 1)＝－f (2－x 1)，此时f (x 1)＋f (x 2)＝－f (2－x 1)＋f (x 2)＞0，故选B.3．已知函数f (x )＝log 4(4－|x |)，则f (x )的单调递增区间是________；f (0)＋4f (2)＝________. 解析：令y ＝log 4u ，其中u ＝4－|x |，且u ＝4－|x |＞0，由于函数y ＝log 4u 是单调递增函数，故要求f (x )的单调递增区间，只需求u ＝4－|x |的单调递增区间，得⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |＞0，x ≤0，解得－4＜x ≤0，所以f (x )的单调递增区间是(－4,0]；易得f (0)＋4f (2)＝log 44＋4log 42＝1＋2＝3.答案：(－4,0] 34．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.答案：145．(2018·杭州十二校联考)设min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x ＜y ，若定义域为R 的函数f (x )，g (x )满足f (x )＋g (x )＝2xx 2＋8，则min{f (x )，g (x )}的最大值为____________．解析：设min{f (x )，g (x )}＝m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤f (x )，m ≤g (x )⇒2m ≤f (x )＋g (x )⇒m ≤xx 2＋8，显然当m 取到最大值时，x ＞0，∴x x 2＋8＝1x ＋8x ≤12 x ·8x＝28，∴m ≤28，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )，x ＝8x ，x ＞0时等号成立，即m 的最大值是28. 答案：28二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．(2018·浙江名校协作体联考)函数y ＝x ＋x 2－2x ＋3的值域为( ) A ．[1＋2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选D 因为函数y ＝x ＋x 2－2x ＋3＝x ＋(x －1)2＋2，所以当x ≥1时，函数为增函数，所以y ≥2＋1；当x ＜1时，设x －1＝t ，则t ＜0，函数y ＝t ＋t 2＋2＋1＝2t 2＋2－t＋1，所以函数在(－∞，0)上为增函数，当t →0时，y →2＋1，当t →－∞时，y →1，所以1＜y ＜2＋1.综上所述，函数y ＝x ＋x 2－2x ＋3的值域为(1，＋∞)．3．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x ＞1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a ＞0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，则二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，0＜a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.5．(2018·湖州模拟)若f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，则下列不等式正确的是( ) A ．f (sin x )＞f (cos x ) B ．f ⎝⎛⎭⎫x 2＋12＞f (x ) C ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1D ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x解析：选D A ．x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，sin x ＞cos x ， ∵f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴f (sin x )＜f (cos x )，∴该选项错误； B ．x ∈(－1,1)，∴x 2＋12－x ＝12(x －1)2＞0，∴x 2＋12＞x ，且f (x )在(－1,1)上单调递减，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2＋12＜f (x )，∴该选项错误；C.13x ＋1－12x ＋1＝2x－3x(3x ＋1)(2x ＋1)＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1(3x ＋1)(2x ＋1)， ∵x ∈(－1,1)，∴x ∈(－1,0)时，⎝⎛⎭⎫23x＞1， ∴13x＋1＞12x ＋1，且f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1＜f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1，∴该选项错误；D.13x ＋3－x －12x ＋2－x ＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫16x (3x ＋3－x )(2x ＋2－x )， ∴①x ∈(－1,0]时，⎝⎛⎭⎫23x －1≥0,1－⎝⎛⎭⎫16x ≤0， ∴13x＋3－x ≤12x ＋2－x. ②x ∈(0,1)时，⎝⎛⎭⎫23x －1＜0,1－⎝⎛⎭⎫16x ＞0， ∴13x＋3－x ＜12x ＋2－x， ∴综上得，13x ＋3－x ≤12x ＋2－x ，∵f (x )为(－1,1)上的减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x ，∴该选项正确．6．(2019·金华四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x ＜2.又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧－a2≤2，a2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f (x )的值域是(－1，＋∞)， f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数，所以g (x )的值域是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．(2018·杭州五校联考)函数y ＝f (x )的定义域为R ，若存在常数M ＞0，使得|f (x )|≥M |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“圆锥托底型”函数．(1)判断函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． (2)若f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，求出M 的最大值．解：(1)函数f (x )＝2x .∵|2x |＝2|x |≥2|x |，即对于一切实数x 使得|f (x )|≥2|x |成立， ∴函数f (x )＝2x 是“圆锥托底型”函数．对于g (x )＝x 3，如果存在M ＞0满足|x 3|≥M |x |，而当x ＝M 2时，由⎪⎪⎪⎪M 23≥M ⎪⎪⎪⎪M 2， ∴M2≥M ，得M ≤0，矛盾， ∴g (x )＝x 3不是“圆锥托底型”函数．(2)∵f (x )＝x 2＋1是“圆锥托底型”函数，故存在M ＞0，使得|f (x )|＝|x 2＋1|≥M |x |对于任意实数恒成立．∴x ≠0时，M ≤⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |，此时当x ＝±1时，|x |＋1|x |取得最小值2，∴M ≤2.而当x ＝0时，也成立． ∴M 的最大值等于2. 10．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立．任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1＜x 2， h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，所以2－1x 1x 2＞0，所以h (x 1)＜h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知减函数f (x )的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n ＞0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n ＞0解析：选A 设F (x )＝f (x )－f (－x )，由于f (x )是R 上的减函数，∴f (－x )是R 上的增函数，－f (－x )是R 上的减函数， ∴F (x )是R 上的减函数， ∴当m ＜n 时，有F (m )＞F (n )，即f (m )－f (－m )＞f (n )－f (－n )成立．因此，当f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A.2．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋ax －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2＞0恒成立，所以g (x )＝x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0，即x ＋ax －2＞1对任意x ∈[2，＋∞)恒成立．所以a ＞3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a ＞2. 即a 的取值范围为(2，＋∞)．。

2020年高考数学一轮复习专题05函数的单调性与最值(含解析)(最新整理)

专题05函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2。

会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。

基础知识融会贯通1．函数的单调性（1）单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x)在这一区间具有（严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f（x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；(2)存在x∈I,使得f（x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；(4)存在x0∈I,使得f（x0)＝M结论M为最大值M为最小值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D（x1≠x2)，错误!>0⇔f(x）在D上是增函数，错误!<0⇔f（x）在D上是减函数．（2）对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞，－错误!］和［错误!，＋∞)，减区间为［－错误!，0）和(0，错误!]．（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数．(4）函数f（g(x））的单调性与函数y＝f(u）和u＝g（x）的单调性的关系是“同增异减”．重点难点突破【题型一】确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性【典型例题】下列函数中,值域为R且在区间(0，+∞)上单调递增的是（）A．y＝x2+2x B．y＝2x+1C．y＝x3+1 D．y＝（x﹣1）｜x｜【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意；对于B，y＝2x+1，其值域为（0，+∞),不符合题意；对于C，y＝x3+1，值域为R且在区间（0,+∞）上单调递增,符合题意;对于D,y＝（x﹣1)｜x｜,在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；故选：C．【再练一题】已知函数f（x)＝ln，则（）A．f(x)是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递增B．f（x）是奇函数，且在(﹣∞,+∞)上单调递减C．f（x)是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D．f（x）是偶函数，且在（0,+∞)上单调递减【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln，其定义域为R,有f（﹣x）＝ln ln f(x）,则函数f（x）为偶函数,设t，y＝lnt，对于t,则导数t′，当x＞0时，t′＞0,即函数t在区间(0，+∞）上为增函数,又由y＝lnt在区间（0,+∞）上为增函数，则函数f（x)＝ln在0，+∞）上为增函数，故选：C．命题点2 解析式含参数的函数的单调性【典型例题】定义在R的函数f(x）＝﹣x3+m与函数g（x)＝f（x)+x3+x2﹣kx在[﹣1，1］上具有相同的单调性，则k的取值范围是( ）A．（﹣∞，﹣2] B．［2，+∞）C．［﹣2，2］D．（﹣∞，﹣2］∪[2，+∞）【解答】解：根据题意，函数f(x）＝﹣x3+m，其定义域为R，则R上f(x）为减函数,g（x）＝f(x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数,必有x1，解可得k≥2，即k的取值范围为［2,+∞）；故选：B．【再练一题】已知函数f（x）（a＞0且a≠1）在R上单调递减,则a的取值范围是（)A．［，1）B．（0，］C．［，] D．（0，]【解答】解:由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，根据二次函数开口向上，在(单调递减，可得，即，解得：．且［x2+（4a﹣3）x+3a]min≥［log a（x+1）+1］max故而得：3a≥1，解得:a．∴a的取值范围是[，］，故选:C．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；（2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”;（3）图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．【题型二】函数的最值【典型例题】若函数f（x）,则函数f（x）的值域是（)A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．[0，+∞) D．（﹣∞，0）∪（0，2)【解答】解:当x＜1时,0＜2x＜2，当x≥1时,f（x)＝﹣log2x≤﹣log21＝0，综上f（x）＜2,即函数的值域为(﹣∞,2），故选：A．【再练一题】函数f（x）＝e x﹣x在区间[﹣1，1］上的值域为( )A．［1，e﹣1］B．C．D．[0，e﹣1］【解答】解：函数的导数f′（x）＝e x﹣1,由f′（x）＞0得e x﹣1＞0，即e x＞1，得0＜x≤1，此时函数递增,由f′(x）＜0得e x﹣1＜0，即e x＜1，得﹣1≤x＜0，此时函数递减,即当x＝0时，函数取得极小值同时也是最小值f（0）＝1，∵f(1）＝e﹣1，f（﹣1）1＜e﹣1，∴函数的最大值为f（1）＝e﹣1，即函数的值域为[1，e﹣1］，故选：A．思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．（4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值，求出最值．（5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值．【题型三】函数单调性的应用命题点1 比较大小【典型例题】已知函数，若,则a、b、c之间的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：根据题意，函数，其定义域为R，则f（﹣x)＝｜ln（x）|＝|ln|＝｜﹣ln(x）|＝|ln（x)|＝f（x），即函数f（x）为偶函数,设g（x）＝ln（x）＝ln，有g（0）＝ln1＝0，设t，则y＝lnt，当x≥0时,t为减函数且t＞0，而y＝lnt在（0，+∞）为增函数，则g（x）＝ln(x）＝ln在[0，+∞)上为减函数，又由g(0）＝0，则在区间［0，+∞）上，g（x)≤0，又由f(x)＝｜g(x）|，则f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，a＝f（）＝f（log4），b＝f（log52)＝f（log254),9又由log254＜log94＜1＜1。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题2.2 函数的单调性与最值
1.（2019·江苏南通一中期中）下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝1
x
－x
B ．y ＝x 2
－x C ．y ＝ln x －x D ．y ＝e x
－x
【答案】A
【解析】对于A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1
x
－x 在(0，＋
∞)内是减函数；B ，C 选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D 中，y ′＝e x
－1，而当x ∈(0，＋∞)时，y ′＞0，所以函数y ＝e x
－x 在(0，＋∞)上是增函数．
2．（2019·安徽黄山一中月考）函数f (x )＝ln(x 2
－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)
【答案】D
【解析】由x 2
－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2
－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)，注意到函数y ＝x 2
－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2
－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
3．（2019·山东济宁一中期末）已知函数f (x )＝log a (－x 2
－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( )
A ．(－∞，－1]
B ．[－1，＋∞)
C ．[－1，1]
D ．(－3，－1]
【答案】C
【解析】令g (x )＝－x 2
－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}．根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，则本题求函数g (x )在(－3，1)内的减区间．
又g (x )在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1]，所以f (x )的单调增区间为[－1，1]．
4．（2019·广东东莞一中期末）函数y ＝2－x
x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(－1，2)
C ．[1，2)
D ．[－1，2)
【答案】B
【解析】函数y ＝2－x x ＋1＝3－（x ＋1）x ＋1＝3
x ＋1
－1在区间(－1，＋∞)上是减函数．
当x ＝2时，y ＝0.
根据题意x ∈(m ，n ]时，y min ＝0. 所以m 的取值范围是－1＜m ＜2.
5．（2019·河北衡水二中月考）设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x
，x ＜2，
x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范
围是( )
A ．(－∞，1]
B ．(－∞，2]
C ．[2，6]
D ．[2，＋∞)
【答案】B
【解析】易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数．因为f (a ＋1)≥f (2a －1)，所以a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]．
6．（2019·江西景德镇中学期末）若函数f (x )＝x 2
＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－113，－3
B ．[－6，－4] C.[]－3，－22 D.[]－4，－3
【答案】B
【解析】由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a
2
∈[2,3]，即a ∈[－6，－4]．
7．（2019·浙江丽水一中模拟）函数y ＝2－x
x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )
A ．(1,2)
B ．(－1,2)
C ．[1,2)
D ．[－1,2)
【答案】D
【解析】函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3
x ＋1－1，
且在x ∈(－1，＋∞)时单调递减，在x ＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时y 的最小值为0，所以－1≤m ＜2.
8．（2019·河北廊坊一中期中）已知函数f (x )＝x 2
－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝
f （x ）
x
在区间(1，＋∞)上一定( )
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
【答案】D
【解析】由题意知a ＜1，
又函数g (x )＝x ＋a
x
－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.
9．（2019·湖北荆州一中期末）若函数f (x )＝x 2
＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
【答案】[－4,0]
【解析】∵f (x )＝x 2
＋a |x －2|，
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋ax －2a ，x ≥2，
x 2
－ax ＋2a ，x ＜2.
又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－a
2≤2，a 2≤0，
∴－4≤a ≤0，
∴实数a 的取值范围是[－4,0]．
10．（2019·四川攀枝花二中月考）已知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f （x ）
的值域为________．
【答案】⎣⎢⎡⎦
⎥⎤79，78 【解析】∵38≤f (x )≤49，∴1
3≤1－2f x
≤1
2
. 令t ＝1－2f x ，则f (x )＝12(1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3≤t ≤12，
令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2
)＋t ，
即y ＝－12(t －1)2
＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12.
∴当t ＝13时，y 有最小值7
9；
当t ＝12时，y 有最大值7
8
.。