7等差数列求和二
(完整版)数列求和常见的7种方法
∴
＝ （分组求和）
＝
＝
＝
[例16]已知数列{an}： 的值.
解：∵ （找通项及特征）
＝ （设制分组）
＝ （裂项）
∴ （分组、裂项求和）
＝
＝
提高练习：
1．已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，
⑴设数列 ，求证：数列 是等比数列；
⑵设数列 ，求证：数列 是等差数列；
2．设二次方程 x - +1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
∴ 原等式成立
答案：
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.
解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°
∴ ＝
＝ ＝
∴当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和： ………………………①
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
…………..②（反序）
又因为
①+②得（反序相加）
＝89
∴S＝44.5
题1已知函数
（1）证明： ；
（2）求 的值.
数列与级数的8种求和方法专题讲解
数列与级数的8种求和方法专题讲解简介本文将介绍数列和级数的8种常见求和方法，包括递推公式、几何级数、等差数列求和、等比数列求和、伪等差数列求和、伪等比数列求和、特殊级数求和和无穷级数求和。
1. 递推公式递推公式是通过前一项和该项之间的关系来逐项求和的方法，通常用于求解迭代式数列的和。
递推公式可以通过给定的初始项以及递推关系进行求和。
2. 几何级数几何级数指的是一个数列中的各项与其前一项之比保持恒定的数列。
求解几何级数的和可以通过使用几何级数公式来进行计算。
3. 等差数列求和等差数列是一个数列中的各项与其前一项之差保持恒定的数列。
求解等差数列的和可以通过等差数列求和公式进行计算。
4. 等比数列求和等比数列是一个数列中的各项与其前一项之比保持恒定的数列。
求解等比数列的和可以通过等比数列求和公式进行计算。
5. 伪等差数列求和伪等差数列是一个数列中的各项与其下标之差保持恒定的数列。
求解伪等差数列的和可以通过伪等差数列求和公式进行计算。
6. 伪等比数列求和伪等比数列是一个数列中的各项与其下标之比保持恒定的数列。
求解伪等比数列的和可以通过伪等比数列求和公式进行计算。
7. 特殊级数求和特殊级数指的是具有特殊性质的级数，如调和级数、斐波那契级数等。
求解特殊级数的和需要根据其特定的性质和规律进行计算。
8. 无穷级数求和无穷级数是指一个无穷多项的级数。
求解无穷级数的和需要使用极限的概念，并根据级数的收敛性和发散性进行判断和计算。
以上是数列与级数的8种常见求和方法的专题讲解。
每种求和方法都有其适用的情况和特点，在实际问题中需要选择合适的方法进行求解。
希望本文能为读者提供一些有用的参考和指导。
数列求和常见的7种方法
精心整理数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和法， 1、2⎩3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.（利列.[例{1-n x }的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项②122+-n n[例nn n n n（反序）又由m n n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n nn n n nn n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ n n n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②得题1已知函数 （1）证明：；（2）求的值（2所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）)13(nn -2)13(nn + [例k nk ∑=12)1(22+n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n[例[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121(211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n nS n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例n tan （裂]}答案：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵)180cos(cos n n --=（找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝ 0[例2002a +(1+a [例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++= 由等比数列的性质q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++[例（找 （分＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ )4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n（设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞∞∞+-+-=-+111(8)11(4))(1(n n a a n （分组、裂项 1．是等比数列；2．．3⑵设。
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中常见的问题之一、下面将介绍七种常用的数列求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、等差数列二次项求和、递归数列求和、斐波那契数列求和、等差数列部分项求和、正弦数列求和。
一、等差数列求和：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，n为项数，a1为首项，an为末项，Sn为和。
二、等比数列求和：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)其中，n为项数，a1为首项，q为公比，Sn为和。
三、等差数列二次项求和：对于等差数列的二次项和，可以通过对等差数列求和公式进行二次求和得到。
Sn=(n/6)*(2a1+(n-1)d)(a1+(n-1)d+d)其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为和。
四、递归数列求和：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项的函数。
递归数列的求和可以通过编写一个递归函数来实现。
例如，对于斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1可以编写一个递归函数，将前两个项相加，并递归调用函数来求和。
五、斐波那契数列求和：斐波那契数列是一种特殊的递归数列，其中前两个项为1，从第三项开始每一项都是前两项的和。
斐波那契数列求和可以通过编写一个循环来实现，累加每一项的值。
六、等差数列部分项求和：对于等差数列的部分项求和，可以通过求解两个和的差来实现。
设Sn为从第m项到第n项的和，Sm为从第1项到第m-1项的和，Sn 可以通过以下公式计算：Sn = Sn - Sm = (n-m+1)(a1 + an) / 2其中，m和n为项数，a1为首项，an为末项。
七、正弦数列求和：正弦数列是一种特殊的数列，其中每一项的值由正弦函数确定。
等差求和的两个公式
等差求和的两个公式
等差数列是数学中的一种基本数列，它的每一项与前一项之差相等，这个差值称为公差。
等差数列的求和公式是数学中的一个重要公式，它可以用来计算等差数列的前n项和。
等差数列的求和公式有两种，一种是通项公式，另一种是差分公式。
通项公式是指等差数列的第n项公式，它可以用来求出等差数列中任意一项的值。
通项公式的表达式为：an=a1+(n-1)d，其中an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
差分公式是指等差数列的前n项和公式，它可以用来计算等差数列的前n项和。
差分公式的表达式为：Sn=n/2[2a1+(n-1)d]，其中Sn 表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，其中首项a1=1，公差d=2，项数n=10，可以使用通项公式计算出第10项的值为an=1+(10-1)2=19，也可以使用差分公式计算出前10项的和为Sn=10/2[2×1+(10-1)2]=100。
在实际应用中，等差数列的求和公式经常被用来计算数列的总和，例如在计算等额本息贷款的还款总额时，就可以使用等差数列的求和公式来计算每期还款的本金和利息之和。
等差数列的求和公式是数学中的一个重要公式，它可以用来计算等差数列的前n项和，对于实际应用中的问题求解具有重要的意义。
数列求和的8种常用方法
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中常见的问题，解决数列求和问题有很多方法。
下面将介绍数列求和的8种常用方法。
1.直接相加法：这是最基本的方法，实际上就是将数列中的所有项相加。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，可以直接相加得到1+3+5+7+9=252.偶数项和与奇数项和之和法：对于一些数列，可以将其分解为偶数项和与奇数项和，然后再求和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，可以分解为偶数项和4+8和奇数项和1+3+5+7+9，再相加得到(4+8)+(1+3+5+7+9)=373.首项与末项和的乘法法：对于等差数列，可以利用首项与末项之和的公式来求和。
首项与末项之和等于和的平均数乘以项数。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，首项与末项之和等于(1+9)*(项数/2)=10*5/2=254.首项与公差与项数的乘法法：对于等差数列，可以利用首项、公差和项数的乘积来求和。
等差数列的和等于首项乘以项数，再加上项数与公差之积的和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，和等于1*5+(5*4)/2=10+10=20。
5.平均数法：对于一些特殊的数列，可以利用平均数的性质来求和。
平均数等于数列中的第一项与最后一项的平均值。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，平均数等于(1+9)/2=5，然后将平均数乘以项数，得到5*5=256.高斯求和法：高斯求和法是一种数学推导方法，用于求等差数列的和。
首先将数列化为由首项和末项构成的和，然后将数列顺序颠倒，再将之前的和与颠倒后的和相加，得到的结果就是等差数列的和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，将其化为(1+9)+(3+7)+5，然后将数列颠倒得到5+(7+3)+9，再相加得到257. telescopage法（消去法）：telescopage法是一种利用抵消的思想来求和的方法。
可以将数列中相邻的两项之差相消为0，最终得到一个简单的表达式，然后再求值。
例如，对于数列1, 2, 3, 4, 5，可以将(2-1) + (3-2) + (4-3) + (5-4)相加，得到1 + 1 + 1 + 1 = 48.更一般的求和方法：对于一些复杂的数列，可能需要应用更一般的数学方法来求解。
等差数列求和公式
等差数列求和公式等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值为一个固定的常数。
求和公式是指通过已知的等差数列的前n项来计算它们的和的公式。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则根据等差数列的定义，第n 项的值可以表示为：an = a + (n-1)d等差数列的求和公式可以通过两种方法推导得到。
方法一：逐项相加考虑一个等差数列的前n项和Sn。
将数列的首项和末项进行相加，首项为a，末项为a+(n-1)d，则有：Sn=a+(a+d)+(a+2d)+…+(a+(n-1)d)将等式中的所有项等号右边的公式相加，得到：Sn=(a+a+a+…+a)+(d+d+d+…+d)在右边的括号中，有n个d在相加，所以：Sn=n*a+n*(n-1)*d/2这个公式就是等差数列求和的公式。
方法二：倒序相加考虑数列的前n项和Sn和它的逆向数列Rn，其中Rn的首项为a+(n-1)d，公差为-d。
则有Sn=a+(a+d)+(a+2d)+…+(a+(n-1)d)=a+Rn将Sn和Rn相加，得到：Sn+Rn=(a+a+…+a)+(a+(n-1)d+a+(n-2)d+…+a+d)在括号中，每一个（除第一个）都有一个a与它的对称项进行相加。
所以有：Sn+Rn=(n*a+a)+(n*a+a)+…+(n*a+a)右边括号中有n个项，所以可以写成：Sn+Rn=n*(n*a+a)化简等式，得到：Sn=n*(n*a+a)/2这也是等差数列求和的公式。
这两种方法得到的公式是等效的，它们都可以用来计算等差数列的和。
根据不同的问题或需要，可以选择合适的公式进行计算。
需要注意的是，如果没有等差数列的前n项之一，可以通过已知的首项、末项以及公差来计算出来，然后再利用求和公式计算总和。
等差数列求和(共24张PPT)
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
《等差数列求和公式》教案
《等差数列求和公式》教案等差数列求和公式教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及性质；2. 掌握等差数列前n项和的求法；3. 运用等差数列求和公式解决实际问题。
二、教学内容1. 等差数列的定义与性质；2. 等差数列前n项和的求法；3. 等差数列求和公式的推导；4. 实际问题的应用。
三、教学过程步骤一：引入通过提问的方式，激发学生对等差数列求和的兴趣。
例如，你有没有注意到日常生活中有哪些常见的等差数列呢？请举例说明。
步骤二：概念解释详细解释等差数列的定义，即指每一项与它的前一项之差都相等。
并介绍等差数列的性质，如公差、首项和通项公式。
步骤三：前n项和的求法1. 引导学生通过列出几个等差数列的前几项来发现规律；2. 提示学生观察等差数列前n项的和与首项、末项相关的特点；3. 教导学生通过计算等差数列前n项的和来掌握具体的求和方法。
步骤四：等差数列求和公式的推导1. 提供正推法与逆推法两种方法，让学生体会不同方法的可行性；2. 通过具体例子，引导学生观察、总结出等差数列求和公式的一般形式；3. 对等差数列求和公式的推导进行解释，使学生理解推导的过程。
步骤五：应用实际问题引导学生将等差数列求和公式应用到实际问题中。
例如，小明每天走路去学校，第一天走了2000米，之后每天多走100米，一共走了10天，问小明这10天内走了多少米？四、教学方法1. 探究式教学：通过观察、总结规律的方式引导学生自主研究；2. 讲解与实践相结合：通过具体例子的讲解，加深学生对知识点的理解；3. 个案辅导：根据学生的不同问题，进行个别指导。
五、教学评估1. 教师观察法：根据学生的课堂表现和问题解答情况，评估学生的理解情况；2. 书面测试：进行等差数列求和的计算和问题解答等形式的书面测试。
六、教学延伸1. 引导学生运用等差数列求和公式解决更复杂的问题；2. 提供更多例题和练，加强学生对等差数列求和公式的运用能力。
七、教学资源1. 教学课件：包含等差数列的定义、性质和求和公式推导等内容；2. 计算器。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
等差数列求和性质
数)，那么这个数列一定是等差数列吗？
开 关
3．如果{an}是一个等差数列，那么{|an|}还是等差数列吗？如果不再
是等差数列，如何求{|an|}的前n项和？
这一节课我们就来解答上面的问题．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
探究点一 数列{an}的前n项和Sn与an的关系
问题 我们已经知道，如果通项公式an已知，就能求出Sn；反
正整数时，Sn 取到最值．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前 n项和Sn取到最值时序号n的规律.
序
本号
等差数列
基本量 前 n 项和 Sn Sn 的最值
课
时 栏 目 开
1 1,3,5,7,9，…，
a1＝_1_， d＝_2_
Sn＝_n_2
(Sn)min＝1， 此时 n＝1__
前n项和Sn的最小值．
解 方法一 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
本 ∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<….
课 时
∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．
栏 目
易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
方法二 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12.
时
栏
故S23＝S24最小.
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
[问题情境]
1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？
本
如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法求和公式是数列中常用的一个工具，用于计算数列中一定数量的项的和。
在数学中，有七种不同的方法可以使用求和公式。
1.求等差数列的和：等差数列的求和公式是：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn是数列前n项和，a1是数列的首项，an是数列的末项，n是数列的项数。
这个公式的核心思想是将数列分成两部分，每部分的和都是数列的首项和末项之和的一半。
2.求等比数列的和：等比数列的求和公式是：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn是数列前n 项和，a1是数列的首项，r是数列的公比，n是数列的项数。
这个公式利用了等比数列的特性，即每一项都是前一项乘以公比。
3.求等差数列的和差：等差数列的和差公式是：Sa=Sn-S(n-1)，其中Sa是数列从第n-1项到第n项的和差，Sn是数列前n项和，S(n-1)是数列前n-1项和。
这个公式的思想是将数列分成两部分，分别计算它们的和，然后将后一部分的和减去前一部分的和，即可得到和差。
4.求等比数列的和差：等比数列的和差公式是：Sa=Sn/S(n-1)，其中Sa是数列从第n-1项到第n项的和差，Sn是数列前n项和，S(n-1)是数列前n-1项和。
这个公式利用了等比数列的特性，即每一项都是前一项乘以公比。
5.求调和数列的和：调和数列的求和公式是：Sn = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)，其中Sn是数列前n项和，a1，a2，...，an是数列的各项。
这个公式的思想是将数列的各项的倒数相加，然后再取它们的倒数。
6.求幂和数列的和：幂和数列的求和公式是：Sn=(a^(n+1)-1)/(a-1)，其中Sn是数列前n项和，a是数列的公比，n是数列的项数。
这个公式利用了幂和数列的特性，即每一项都是公比的幂次。
7.求有限项数列的和：有限项数列的求和公式是：Sn = (n / 2) * (a1 + an)，其中Sn是数列前n项和，a1是数列的首项，an是数列的末项，n是数列的项数。
等差数列求和是什么？
等差数列求和是什么？ 等差数列求和也属于常见数列，那它的概念是什么那？尚不了解的考⽣看过来，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“等差数列求和是什么?”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯! 等差数列求和是什么? ⼀、等差数列求和 Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。
等差数列是常见数列的⼀种，可以⽤AP表⽰，如果⼀个数列从第⼆项起，每⼀项与它的前⼀项的差等于同⼀个常数，这个数列就叫做等差数列，⽽这个常数叫做等差数列的公差，公差常⽤字母d表⽰。
⼆、等差数列基本公式 末项=⾸项+(项数-1)×公差 项数=(末项-⾸项)÷公差+1 ⾸项=末项-(项数-1)×公差 和=(⾸项+末项)×项数÷2 末项:最后⼀位数 ⾸项:第⼀位数 项数:⼀共有⼏位数 和:求⼀共数的总和 三、等差数列求和公式其他结论 四、推论 1、从通项公式可以看出，a(n)是n的⼀次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在⼀条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的⼆次函数(d≠0)或⼀次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
2、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。
=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。
3、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。
若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p)。
证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p。
数列的性质及求和公式
数列的性质及求和公式数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的集合。
在数学中，研究数列的性质可以帮助我们更好地理解数字之间的关系，并且能够找出数列的求和公式，从而解决实际问题。
一. 数列的性质数列的性质包括：公差、通项公式、递推公式和首项等。
1. 公差：公差是指数列中相邻两项之间的差值。
数列中的每一项都是前一项加上公差得到的。
如果数列的公差恒定，我们称这个数列为等差数列。
2. 通项公式：通项公式描述了数列中第 n 项与 n 的关系。
通项公式的形式可以是一个直接给出的数学表达式，也可以是一个递推公式。
3. 递推公式：递推公式描述了数列中第 n 项与前一项的关系。
通过递推公式，我们可以根据已知项来计算数列的其他项。
4. 首项：数列中第一项称为首项。
二. 求和公式求和公式是计算数列前 n 项和的公式。
通过求和公式，我们可以快速计算数列的和，而不需要逐个相加。
1. 等差数列的求和公式：对于等差数列，我们可以用下列公式求得前 n 项的和：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn 表示数列的前 n 项和，a1 表示首项，an 表示第 n 项，n 表示项数。
2. 等比数列的求和公式：对于等比数列，我们可以用下列公式求得前 n 项的和：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn 表示数列的前 n 项和，a1 表示首项，r 表示公比，n 表示项数。
三. 应用举例数列的性质和求和公式可以应用于很多实际问题的解决。
1. 金融投资：假设某人每年向银行定期存款一笔钱，而银行给出的利率是固定的。
我们可以用数列的求和公式来计算多年后的总金额。
2. 数学模型：在一些物理或经济学模型中，数列的性质往往用来描述连续变化的某一变量，如时间、距离或价格等。
3. 序列问题：有时候我们需要找出数列中的某一规律。
通过观察数列的性质，我们可以预测数列的未知项。
4. 概率统计：在一些概率统计问题中，我们需要计算多个事件发生的总次数。
等差数列的通项与求和公式
等差数列的通项与求和公式等差数列是数学中常见的数列形式，它的每个元素与前一个元素之间的差值都是相等的。
在解决等差数列相关问题时，我们需要了解通项公式和求和公式，这两个公式是解题的基础。
本文将介绍等差数列的通项公式和求和公式，并提供一些示例来帮助读者更好地理解。
一、等差数列的通项公式在等差数列中，通项是指数列中的第n个元素。
为了求解通项公式，我们需要知道等差数列的首项和公差。
首项是数列中的第一个元素，用字母a表示；公差是每个元素与前一个元素之间的差值，用字母d表示。
设等差数列的第n个元素为an，通项公式的一般形式可以表示为：an = a + (n-1)d其中，a为首项，d为公差，n为元素的位置。
通项公式告诉我们，通过已知的首项、公差和元素位置，我们可以求得等差数列的任意一个元素。
例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，我们可以计算第5个元素的值：a = 1d = 3n = 5an = 1 + (5-1) * 3 = 13因此，该等差数列的第5个元素为13。
二、等差数列的求和公式除了通项公式，求和公式也是解决等差数列问题常用的工具。
求和公式可以帮助我们计算等差数列中指定范围内的元素之和。
设等差数列的首项为a，末项为l，元素个数为n，求和公式的一般形式可以表示为：Sn = (n/2)(a + l)其中，Sn表示等差数列的和。
求和公式告诉我们，通过已知的首项、末项和元素个数，我们可以求得等差数列的和。
例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，我们可以计算前3个元素的和：a = 1l = 7n = 3Sn = (3/2)(1 + 7) = 12因此，该等差数列前3个元素的和为12。
三、示例为了帮助读者更好地理解等差数列的通项公式和求和公式，我们提供以下示例。
示例一：考虑等差数列3, 6, 9, 12, 15，我们可以计算第6个元素的值：a = 3d = 3n = 6an = 3 + (6-1) * 3 = 18因此，该等差数列的第6个元素为18。
求和公式和求积公式
求和公式和求积公式求和公式：1.等差数列求和公式：等差数列是一组数字，其中每个数字与前一个数字之间的差都是相等的。
例如，1，3，5，7，9是一个等差数列，差为2、等差数列求和公式可以表示为：S=(n/2)×(a+l)，其中S是等差数列的和，n是等差数列中的数字个数，a是等差数列的首项，l是等差数列的末项。
2.等比数列求和公式：等比数列是一组数字，其中每个数字与前一个数字之间的比例都是相等的。
例如，1，2，4，8，16是一个等比数列，比例为2、等比数列求和公式可以表示为：S=(a×(1-r^n))/(1-r)，其中S是等比数列的和，a是等比数列的首项，r是等比数列的公比，n是等比数列的项数。
3.平方和公式：平方和公式是指连续整数平方的和。
平方和公式可以表示为：S=(n×(n+1)×(2n+1))/6，其中S是连续整数平方的和，n是最后一个整数。
4.立方和公式：立方和公式是指连续整数立方的和。
立方和公式可以表示为：S=(n^2×(n+1)^2)/4，其中S是连续整数立方的和，n是最后一个整数。
求积公式：1.阶乘公式：阶乘是指从1到一些正整数的所有整数的乘积。
阶乘的公式表示为：n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1，其中n是正整数。
2.乘方公式：乘方是指将一个数自乘若干次。
乘方的公式表示为：a^n=a×a×a×...×a，其中a是底数，n是指数。
3.组合公式：组合是指从n个物品中取出r个物品的方式数，不考虑顺序。
组合的公式表示为：C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)，其中C是组合数，n是总物品数，r是取出的物品数。
4.乘法原理：乘法原理用于计算多个事件同时发生的总次数。
乘法原理的公式表示为：总次数=事件1发生的次数×事件2发生的次数×...×事件n发生的次数。
等差数列求和公式及推导方法
等差数列求和公式及推导方法等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差。
前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*n-1*d]/2或Sn=[n*a1+an]/2。
1.定义式2.通项公式3.求和公式4.前n项和公式（1）从通项公式可以看出，an是n的一次函数d≠0或常数函数d=0，n，an排在一条直线上，由前n项和公式知，Sn是n的二次函数d≠0或一次函数d=0，a1≠0，且常数项为0。
（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，类似：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=。
=pk+pn-k+1，k∈{1,2,…,n}。
（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，S2n-1=2n-1*an，S2n+1=2n+1*an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Sn*k-Sn-1*k…成等差数列，等等。
若m+n=2p，则am+an=2*ap。
证明：pm+pn=b0+b1*m+b0+b1*n=2*b0+b1*m+n；pp+pq=b0+b1*p+b0+b1*q=2*b0+b1*p+q；因为m+n=p+q，所以pm+pn=pp+p。
（4）其他推论：①和=（首项+末项）×项数÷2；②项数=（末项-首项）÷公差+1；③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；④末项=2x和÷项数-首项；⑤末项=首项+（项数-1）×公差；⑥2前2n项和-前n项和=前n项和+前3n项和-前2n项和。
1、公式法2、错位相减法3、倒序相加法4、分组法5、裂项相消法6、数学归纳法7、通项化归法先将通项公式进行化简，再进行求和。
如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。
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第七讲等差数列求和(二)
内容简析：
通过上一讲的学习，我们已经掌握了等差数列求和、求末项的方法。
这一讲中，我们将探索如何求等差数列的项数和公差，并综合运用已掌握的公式，解决与等差数列相关的问题。
项数=(末项-首项)÷公差+1
公差=(末项-首项)÷(项数-1)
例题精讲
例l、7+11+…+99+103+107
【思路导航】这是一个首项为7，末项为107，公差为4的等差数列。
要求这个数列的和，就必须首先求出数列的项数。
技巧点拨对于等差数列求和，必须知道：首项、末项和项数。
我们要对照等差数列的求和公式，看缺少什么条件，然后就首先利用相关公式，把该条件求出，为求数列的和铺平道路。
在计算的过程中，奇数项数列会出现“项数÷2”除不尽，你可以先用“首项+末项”除以2(一定能除尽)，而且此时(首项+末项)÷2得到的数正好是数列的中间项，所以奇数数列的求和公式可以写为：中间项×项数。
例2、求所有被3除余数是2的两位数的和。
【思路导航】我们首先要知道符合条件的两位数是哪些。
被3除余2的两位数中最小的是11，被3除余2的两位数中最大的是98；且符合条件的两位数前后两项的差都是3。
技巧点拨通过审题、分析，找出符合条件的数列是解题的关键。
本题首先找出等差数列的首项和末项，再利用公差求出项数。
先求出等差数列求和所缺少的条件，从而顺利地求出结果。
例3、在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。
写出插入的5个数。
【思路导航】我们知道，构成的等差数列的首项是19，末项是91，项数为7。
技巧点拨此题要把等差数列构造好，知道和原来的两个数合在一起这个等差数列一共有7个数，然后知道这两个数也就是首项和末项，他们之间有6个公差，想到这里，题目就能解决了。
【思路导航】通过审题，我们可以知道这是一个公差为2，项数为15的等差数列。
要求其中最大的偶数，其实就是求这个数列的末项。
技巧点拨对于一些复杂的问题，我们往往可以从简单的情况人手，通过观察、思考，探索解题的方法和规律。
例5、1～50中所有不能被5或7整除的数的和是多少?
【思路导航】要直接在1～50中找出不能被5或7整除的数是一件麻烦的事情，我们可以换一个角度思考，如果找出能被5或7整除的数，并求出它们的和，然后在从1～50的和中减去它们的和，这样就可以得出结果了。
技巧点拨1～50中去掉能被5或7整除的数，剩下的数就是不能被5和7整除的数，在去除的过程中35被多去掉一次，所以要再加上一个35。
归纳总结
解答与等差数列有关的问题，关键是要认真审题，正确找出满足条件的数列，分析要深入、细致，不要因为多算一项或者少算一项而导致结果的错误。
计算：123+234+345+456+567+678+789(2008年“北京奥校杯”解题能力竞赛试题)
模拟练习：
1、1+4+7+10+…+97
2、求所有除以5余3的两位数的和。
3、在13和90之间插入6个数，使这8个数构成一个等差数列。
写出插入的6个数。
4、12个连续偶数的和是228，其中最大的一个偶数是几?
5、在1～60这60个数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少?
6、有从小到大的一列数，共有20项，末项为20ll，公差为5，这个数列的和是多少?
7、求所有被4除余3的两位数的和。
8、学校进行围棋选拔赛，每个参赛选手都要和其他选手赛一场，一共进行了66场比赛，有多少人参加了选拔赛?
9、在北京与上海之间开行的火车，除起点和终点外，还要停靠8个火车站，问一共要准备多少种火车票?
10、求1～99这一组连续自然数的所有数字的和。
第七讲等差数列求和(二)
课后自测：
1、在数列
2、5、8、11、14……中，47应该是其中的第几项?
2、在8和53之间插入4个数，使这6个数构成一个等差数列。
写出插入的4个数。
3、在l～60这么多个自然数中所有不能被11整除的奇数的和是多少?
4、15个连续奇数的和为1995，其中最小的奇数是多少？
5、求首项是13，公差是5的等差数列的前60项的和。