2019-2020学年云南师大附中高三(上)第一次月考数学试卷1(8月份)(36)

合集下载

云南省师范大学附属中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)答案

，故选
C．
图2
4． x2 + y2 = (x − 0)2 + ( y − 0)2 其几何意义为可行域内的点到点 (0，0) 的距离，故选 A．
5．如图 3，由图象知 f (x) = cos x 与 g(x) =| ln x | 的交点个数
为原函数零点个数，故选 B．
6． a5 + a13 = 2a9 = 40 ，所以 a7 + a8 + a9 + a10 + a11 = 100 ，故
3
，
所以 1 = m + 3 ， 1 = m + 3 ，
k1
y1 k2
y2
因此
1 k12
+
1 k22
=

m
+

3 y1
2
+

m
+

3 y2
2
= 2m2
+
6m

1 y1
+
1 y2

+
9

1 y12
+
1 y22

= 2m2
+ 6m
y1 + y2 y1 y2
ρ ρ
cosθ， sinθ，
则曲线
C2
的极坐标方程为 ρ 2
=
cos2 θ
4 + 4sin2 θ
．
………………（5 分）
文科数学参考答案·第 5 页（共 6 页）
（2）如图
10，由题意知 S△AOC
=
1 2
OA

2020学年云南师大附中高三(上)月考数学试卷(理科)(三)

2019-2020学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（三）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x∈Z，|x|≤2}，B＝{x|x2﹣2x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1}C．{1}D．{0，1，2} 2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则|z|＝（）A．B．2C．D．3．（5分）已知，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．4．（5分）的展开式中，x5的系数为（）A．189B．63C．21D．75．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝4，b+c＝5，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）直线x+y+a＝0与圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0有两个不同交点的一个必耍不充分条件是（）A．﹣2＜a＜3B．﹣1＜a＜3C．﹣2＜a＜0D．0＜a＜37．（5分）函数y＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则ω的一个可能取值是（）A．2B．C．D．．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若，则输出的数是（）A．B．C．log50.3D．9．（5分）已知a，b∈R，定义运算“⊗”，，设函数f（x）＝（2x⊗2）﹣（1⊗log2x），x∈（0，2），则f（x）的值域为（）A．（0，3）B．[0，3）C．[1，3）D．（1，3）10．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝CD＝AD＝1，，将ABD 沿折起到△A′BD，使平面△A′BD⊥平面BCD，则过A′，B，C四点的球的表面积为（）A．3πB．6πC．8πD．12π11．（5分）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若ON＝2OH（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．3B．2C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+ae x有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，毎小题5分，共20分）13．（3分）曲线y＝x+lnx﹣1往点（1，0）处的切线方程为．14．（3分）若点A是区域内一动点，点B是圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上﹣点，则|AB|的最小值为．15．（3分）勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图．记∠ABC＝θ，若tan（θ+）＝﹣7，在正方形ABDE内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为，16．（3分）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线m与C交于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交x轴于点P，过线段的中点M作MN⊥l，垂足为N，O为坐标原点，则2（|OP|﹣|MN|）＝．三、解答题（共70分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a5＝16，S6＝36．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）某企业为提高生产质量，引入了一批新的生产设备，为了解生产情况，随机抽取了新、旧设备生产的共200件产品进行质量检测，统计得到产品的质量指标值如下表及图4（所有产品质量指标值均位于区间（15，45]内），若质量指标值大于30，则说明该产品质量高，否则说明该产品质量一般．新设备生产的产品质量指标值的频数分布表质量指标频数（15，20]2（20，25]8（25，30]10（30，35]30（35，40]20（40，45]10合计80（1）根据上述图表完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为产品质量高与引入新设备有关；新旧设备产品质量2×2列联表产品质量髙产品质量一般合计新设备产品旧设备产品合计（2）从旧设备生产的质量指标值位于区间（15，30]）的产品中，按分层抽样抽取6件产品，再从这6件产品中随机选取3件产品进行质量检测，记抽到质量指标值位于（彷，30]的产品数为X，求X的分布列和期望．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.010.001k0 2.706 3.841 6.63510.82819．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A＝AB＝1，（1）证明：BD⊥平面P AC；（2）若E是PC的中点，F是棱PD上一点，且BE∥平面ACF，求二面角F﹣AC﹣D 的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，△BF1F2的面积为，C上的点到右焦点F2的最大距离是3．（1）求C的标准方程；（2）设C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，直线l：y ＝kx+m（k≠0）与C相切，且l与l1，l2分别交于P，Q两点，求证：∠PF1Q＝∠PF2Q．21．（12分）已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为0，求实数a的值；（2）记f（x）的极值点为x1，函数g（x）＝alnx+1的零点x2为，当时，证明：．请考生在第22、23两題中任选一题作答，并用2B铅笔在答題卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的題号必须与所涂题目的題号一致，在答题卡选答区域指定位置答題.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面宜角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角）（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，圆心为C，直线l与圆C交于A，B 两点．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）已知点M（1，2），当∠ACB最小时，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤5的解集；（2）若存在实数x，使f（x）≤3成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x∈Z，|x|≤2}，B＝{x|x2﹣2x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1}C．{1}D．{0，1，2}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x＜0或x＞2}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则|z|＝（）A．B．2C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵＝，∴，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（5分）已知，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件求出与的数量积，然后求解夹角即可．【解答】解：，可得，∴，记向量与向量的夹角为θ，，故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的求法，是基本知识的考查．4．（5分）的展开式中，x5的系数为（）A．189B．63C．21D．7【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出r，然后求解即可．【解答】解：的展开式的通项公式为，令7﹣2r＝5，解得r＝1，∴，故选：C．【点评】本题考查二项式定理的应用，是基本知识的考查．5．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝4，b+c＝5，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】利用余弦定理求出b，然后求解三角形的面积．【解答】解：△ABC中：，a＝4，b+c＝5，由余弦定理得，∴，，故选：D．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理以及三角形的面积的求法，考查计算能力．6．（5分）直线x+y+a＝0与圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0有两个不同交点的一个必耍不充分条件是（）A．﹣2＜a＜3B．﹣1＜a＜3C．﹣2＜a＜0D．0＜a＜3【分析】根据直线与圆的位置得到a的范围为（﹣1，3），求其必要条件，则（﹣1，3）为其真子集，【解答】解：依题意，圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2，圆心（1，﹣2），半径，因为直线与圆有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离，所以|a﹣1|＜2，∴﹣1＜a＜3，求其必要不充分条件，即（﹣1，3）为其真子集，故选：A．【点评】本题考查充分条件，必要条件的应用，主要考查了命题的充要性和对应集合的关系，属于基础题．7．（5分）函数y＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则ω的一个可能取值是（）A．2B．C．D．．【分析】通过三角函数的图象的平移得到函数的解析式，利用函数的对称轴列出方程，转化求解即可．【解答】解：y＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后得，因为图象关于y轴对称，∴，k∈Z，∴，k∈Z，则ω的一个可能取值是：．故选：B．【点评】本题考查三角函数的平移变换，函数的对称性的应用，考查计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若，则输出的数是（）A．B．C．log50.3D．【分析】根据程序框图知，输出a，b，c中最大的数，比较给出a，b，c的大小得出结论即可．【解答】解：由程序框图知，输出a，b，c中最大的数，∵，c＜0，所以b最大，故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．（5分）已知a，b∈R，定义运算“⊗”，，设函数f（x）＝（2x⊗2）﹣（1⊗log2x），x∈（0，2），则f（x）的值域为（）A．（0，3）B．[0，3）C．[1，3）D．（1，3）【分析】根据新运算法则求解f（x）的解析式和x的范围，根分段函数的性质求解值域．【解答】解：由题意，所以f（x）的值域为[1，3），故选：C．【点评】本题考查函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题．10．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝CD＝AD＝1，，将ABD 沿折起到△A′BD，使平面△A′BD⊥平面BCD，则过A′，B，C四点的球的表面积为（）A．3πB．6πC．8πD．12π【分析】根据题给的垂直条件，得出有两个直角三角形斜边贴合，故可以用定义找出球心位置．【解答】解：由条件知BC⊥CD，A'D⊥BD，因为平面A'BD⊥平面BCD，且交线为BD，∴A'D⊥平面BCD，∴A'D⊥BC，A'D∩CD＝D，∴BC⊥平面A'CD，∴BC⊥A'C，取A'B中点O，在Rt△A'DB中，OB＝OD＝OA'；在Rt△A'CB中，OB＝OC＝OA'，所以，OA'＝OB＝OC＝OD，即O为三棱锥A'﹣BCD外接球的球心，所以过A'，B，C，D四点的球的直径为，所以S＝4πR2＝3π．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，考查利用球心的定义确定其位置，属于中档题．11．（5分）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若ON＝2OH（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．3B．2C．D．【分析】画出图形，利用三角形相似，列出比例关系，结合已知条件转化求解即可．【解答】解：∵△NAO∽△MAF，∴，又∵△BOH∽△BFM，∴＝，|ON|＝2|OH|，，∴c＝3a，离心率，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a、c关系，是解决本题的关键．12．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+ae x有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】求出f'（x）＝1+lnx+ae x，由题意可得y＝﹣a和在（0，+∞）上有两个交点，令，．记，h（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）在（0，1]上单调递增；求解函数的最值，然后推出结果．【解答】解：∵f'（x）＝1+lnx+ae x，由题意，f'（x）＝1+lnx+ae x＝0有两个不同的实根，即y＝﹣a和在（0，+∞）上有两个交点，令，∴．记，h（x）在（0，+∞）上单调递减，且h（1）＝0，所以当x∈（0，1]时，h（x）≥0，g'（x）≥0，所以g（x）在（0，1]上单调递增；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，故．当x→0时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g（x）→0，当，即时，y＝﹣a和在（0，+∞）上有两个交点，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，毎小题5分，共20分）13．（3分）曲线y＝x+lnx﹣1往点（1，0）处的切线方程为2x﹣y﹣2＝0．【分析】求出函数的导数，求出切线的向量，利用点斜式求解切线方程．【解答】解：y＝x+lnx﹣1可得，所以切线斜率为k＝1+1＝2，所以切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0．故答案为：2x﹣y﹣2＝0．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．14．（3分）若点A是区域内一动点，点B是圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上﹣点，则|AB|的最小值为．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可的得到结论．【解答】解：由约束条件画出可行域如图1所示，记圆心（2，1）到直线x+y﹣1＝0的距离为d，则，所以|AB|的最小值为．给答案为：．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．15．（3分）勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图．记∠ABC＝θ，若tan（θ+）＝﹣7，在正方形ABDE内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为，【分析】由题意，本题是几何概型，利用两个正方形的面积比求概率即可．【解答】解：∵，∴，不妨设AC＝4a，BC＝3a，则AB＝5a，所以大正方形的面积为25a2，阴影小正方形的面积为a2，所以概率为．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确几何测度为面积；利用面积比求概率．16．（3分）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线m与C交于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交x轴于点P，过线段的中点M作MN⊥l，垂足为N，O为坐标原点，则2（|OP|﹣|MN|）＝2．【分析】求出焦点坐标F（1，0），准线方程为l：x＝﹣1，设M（x0，y0），过A，B两点分别作AA'，BB'垂直于l，直线m的斜率存在，设为k，得到线段AB的垂直平分线方程为，通过点差法得ky0＝2，然后求解即可．【解答】解：由题意得F（1，0），准线方程为l：x＝﹣1，设M（x0，y0），过A，B两点分别作AA'，BB'垂直于l，则2|MN|＝|AA'|+|BB'|＝x A+1+x B+1＝2x0+2，因为直线m的斜率存在，设为k，则线段AB的垂直平分线方程为，令y＝0，得x＝ky0+x0，即|OP|＝ky0+x0，由点差法得ky0＝2，所以2（|OP|﹣|MN|）＝2x0+4﹣（2x0+2）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．三、解答题（共70分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a5＝16，S6＝36．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解通项公式．（2）化简通项公式利用裂项相消法求解数列的和即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意得解得所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2），所以．{b n}的前n项和T n为：．【点评】本题考查等差数列通项公式的应用，数列求和的方法，考查计算能力．18．（12分）某企业为提高生产质量，引入了一批新的生产设备，为了解生产情况，随机抽取了新、旧设备生产的共200件产品进行质量检测，统计得到产品的质量指标值如下表及图4（所有产品质量指标值均位于区间（15，45]内），若质量指标值大于30，则说明该产品质量高，否则说明该产品质量一般．新设备生产的产品质量指标值的频数分布表质量指标频数（15，20]2（20，25]8（25，30]10（30，35]30（35，40]20（40，45]10合计80（1）根据上述图表完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为产品质量高与引入新设备有关；新旧设备产品质量2×2列联表产品质量髙产品质量一般合计新设备产品旧设备产品合计（2）从旧设备生产的质量指标值位于区间（15，30]）的产品中，按分层抽样抽取6件产品，再从这6件产品中随机选取3件产品进行质量检测，记抽到质量指标值位于（彷，30]的产品数为X，求X的分布列和期望．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.010.001k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（1）利用已知条件直接求解联列表，求出k2，即可得到结果．（2）由题意，从（15，20]中抽取1件产品，从（20，25]中抽取2件产品，从（25，30]中抽取3件产品，故X可能的取值为0，1，2，3，求出概率即可得到X的分布列，然后求解期望即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）列联表如下：产品质量高产品质量一般合计新设备产品602080旧设备产品4872120合计10892200∴，所以有99%的把握认为产品质量高与引入新设备有关．（2）由题意，从（15，20]中抽取1件产品，从（20，25]中抽取2件产品，从（25，30]中抽取3件产品，故X可能的取值为0，1，2，3，，，X的分布列为X0123 P（X）所以．【点评】本题考查独立检验的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A＝AB＝1，（1）证明：BD⊥平面P AC；（2）若E是PC的中点，F是棱PD上一点，且BE∥平面ACF，求二面角F﹣AC﹣D 的余弦值．【分析】（1）证明P A⊥AB，P A⊥BD．即可证明BD⊥平面P AC．（2）解连接ED，取ED的中点M，设AC∩BD＝O，连接OM，则BE∥OM，从而BE ∥平面ACM，平面ACM与PD的交点即为F，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ACF即平面ACM的法向量，平面ACD的一个法向量，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】（本小题满分12分）（1）证明：∵，∴P A⊥AB，P A⊥AD，AB∩AD＝A，∴P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD．又∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC．（2）解：如图，连接ED，取ED的中点M，设AC∩BD＝O，连接OM，则BE∥OM，从而BE∥平面ACM，平面ACM与PD的交点即为F．建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，，，平面ACF即平面ACM，设其法向量为，则即令x＝1，得，易知平面ACD的一个法向量为，∴，因为二面角F﹣AC﹣D为锐二面角，故所求余弦值为：．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，△BF1F2的面积为，C上的点到右焦点F2的最大距离是3．（1）求C的标准方程；（2）设C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，直线l：y ＝kx+m（k≠0）与C相切，且l与l1，l2分别交于P，Q两点，求证：∠PF1Q＝∠PF2Q．【分析】（1）根据条件可知，求出a，b，c即可；（2）联立结合△＝0可得m2＝4k2+3，再根据l1、l2方程可以求出P，Q，计算出•＝0，同理可求出•＝0，进而得到角度关系．【解答】解：（1）由题意，解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆的标准方程为．（2）因为直线l：y＝kx+m（k≠0）与椭圆C相切，所以，消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，所以△＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝0，化简得m2＝4k2+3，由题意，直线l1的方程为x＝﹣2，直线l2的方程为x＝2，所以P（﹣2，﹣2k+m），Q（2，2k+m），又F1（﹣1，0），F2（1，0），所以＝（﹣1，﹣2k+m），＝（3，2k+m），因而•＝﹣3+m2﹣4k2＝0，所以⊥，即∠PF1Q＝，同理得＝（﹣3，﹣2k+m），＝（1，2k+m），因而•＝﹣3+m2﹣4k2＝0，所以⊥，即∠PF2Q＝，所以∠PF1Q＝∠PF2Q．【点评】本题考查椭圆的方程，涉及直线与椭圆的交点问题，属于中档题．21．（12分）已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为0，求实数a的值；（2）记f（x）的极值点为x1，函数g（x）＝alnx+1的零点x2为，当时，证明：．【分析】（1）求出函数的导数，利用f'（1）＝0，求出a的值即可；（2）利用导数求出f（x）的极值，即可解得x1，解出函数g（x）＝alnx+1的零点x2，根据，即可证出．【解答】（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以f'（1）＝e（2a+1﹣a）＝0，解得a＝﹣1，（2）证明：因为，令，当时，，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增．又，所以∃，使得h（x0）＝0．且当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以x0是f（x）的极小值点，所以x1＝x0，所以且h（x1）＝0，即＝0．又，又当时，g（x）是单调递增函数，所以x1＜x2得证．【点评】本题主要考查导数的几何意义和利用导数求函数的极值与最值，属于中档题．请考生在第22、23两題中任选一题作答，并用2B铅笔在答題卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的題号必须与所涂题目的題号一致，在答题卡选答区域指定位置答題.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面宜角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角）（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，圆心为C，直线l与圆C交于A，B 两点．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）已知点M（1，2），当∠ACB最小时，求|MA|+|MB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线间的位置关系和垂径定理的应用求出结果．【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ+8sinθ，整理得ρ2＝6ρcosθ+8ρsinθ，转换为直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25．（2）直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角）直线l与圆C交于A，B两点．因为直线l过点M，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，因为，点M在圆C内部，所以|MA|+|MB|＝|AB|＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，垂径定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤5的解集；（2）若存在实数x，使f（x）≤3成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）a＝2时f（x）＝|x﹣2|+|x+1|，利用分类讨论法求不等式f（x）≤5的解集；（2）由题意知f（x）min≤3，利用绝对值不等式求出f（x）≥|a+1|，再列不等式求出a 的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝；当x≤﹣1时，不等式化为﹣2x+1≤5，解得﹣2≤x≤﹣1；当﹣1＜x＜2时，不等式化为3≤5恒成立，所以﹣1＜x＜2；当x≥2时，不等式化为2x﹣1≤5，解得2≤x≤3；综上，不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}；（2）由题意知，f（x）min≤3，因为f（x）＝|x﹣a|+|x+1|≥|a+1|，当且仅当x﹣a与x+1异号时等号成立，所以|a+1|≤3，即﹣3＜a+1＜3，解得﹣4≤a≤2；所以实数a的取值范围是[﹣4，2]．【点评】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．。

【20套试卷合集】云南省师范大学附属中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案（考试时间：120分钟分值：120分）一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．集合{}|19,*M x x x N =<<∈，{}9,8,7,5,3,1=N ，则M N ⋂=( ) A ．{}9,8,7,5,3 B ．{}1,3,5 C ．{}8,7,5,3 D ．{}1,3,5,7 2．下列函数在R 上单调递增的是( )A.||y x =B.lg y x =C.21x y = D.2xy =3．如图所示，U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．A ∩BB ．A ∪BC ．B ∩∁U AD ．A ∩∁U B4．下列各组中的函数)(x f 与)(x g 相等的是（）A ．2)()(,)(x x g x x f ==B ．x x g x x f ==)(,)(2C ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f D. xxx g x x f ==)(,)(0 5．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f +=，则当0<x 时，()f x 等于( ) A ．)1(x x -- B ．)1(x x - C ．)1(x x +- D ．)1(x x +6．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,20,log )(21x x x x f x，则))2((f f 的值是( ) A ．2B．D．2-7. 已知函数62)(2+-=kx x x f 在（5，10）上有单调性，则实数k 的取值范围是（）A.（∞-，20]B.（),40[]20,+∞⋃∞-C.[20,40]D.),40[+∞ 8．三个数26.0=a ，6.0log 2=b ，6.02=c 之间的大小关系是( )A ．b <a <cB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <c <a9．函数|1|ln )(-=x x f 的图象大致是( )10．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞内是减函数，又(3)0f -=，则0)(>x xf 的解集是( )A ．{}|303x x x -<<>或 B. {}|33x x x <->或 C. {}|3003x x x -<<<<或 D. {}|303x x x <-<<或二、填空题（每小题5分，满分20分）11. 已知)(x f y =在定义域R 上为减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 .12. 已知集合A={1,log 2>=x xy y }, B={1,)21(>=x y y x}, 则=⋂B A _______.13. 已知函数62)(35-++=bx ax x x f ,且,10)2(=-f 则=)2(f _______.14．用{}min ,a b 表示,a b 两个数中的较小值．设1()min{21,}(0)f x x x x=->，则()f x 的最大值为__________.三.解答题(本大题6小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)15. （本题满分10分）计算下列各题(1) 已知51=+-xx ，求22-+x x 的值.(2) 已知632==ba，求ba 11+的值.16.（本题满分10分）314)(++-=x x x f 的定义域为A ,}11{a x a x B +<<-=（1）求集合A.（2）若全集}5{≤=x x U ，2=a ，求)(B C A U ⋂. （3）若A B ⊆,求a 的取值范围.17．（本小题满分10分）已知函数122)(+-=xm x f 是R 上的奇函数，（1）求m 的值；（2）先判断()f x 的单调性，再利用定义证明.18. （本小题满分10分）已知函数)21(log )(x x f a -= )1,0(≠>a a 在区间[]1,4[--上的最大值比最小值大21，求a 的值.19. (本小题满分10分)已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，且满足1)31(=f ，)()()(y f x f y x f +=⋅ （1）求)1(f 的值；（2）若2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围．20. (本小题满分10分)已知函数)12(log )(+=x x f a ，)21(log )(x x g a -=（a>0且a ≠1）（1）求函数()()()F x f x g x =-的定义域;（2）判断()()()F x f x g x =-的奇偶性，并说明理由;（3）确定x 为何值时，有0)()(>-x g x f .一、选择题：二、填空题： 11．32<a 12. )21,0( 13.22- 14. 1 三、解答题： 15.(1)23 (2)1 16.(1)]4,3(-（2）}43{≤≤=⋂x x B C A U (3)①0,11,≤∴+>-=a a a B φ②30430314111,≤<∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+->+≠a a a a a a a a B φ 综上：3≤a17.（1） ∴=0)0(f 1=m ，代入)(x f 检验)()(x f x f -=-成立.（或直接利用定义）（2）单调递增，利用定义证。

2019届云南师大附中高三上学期适应性月考数学试卷(理科)Word版含答案

2019届云南师大附中高三上学期适应性月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|x 2﹣a ≤0}，B={x|x ＜2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，4] B ．（﹣∞，4） C ．[0，4] D ．（0，4）2．复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列说法正确的是（）A ．“x ＜1”是“log 2（x+1）＜1”的充分不必要条件B ．命题“∀x ＞0，2x ＞1”的否定是“”C ．命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题为真命题D ．命题“若a+b ≠5，则a ≠2或b ≠3”为真命题．4．已知函数f （x ）=|sinx|•cosx ，则下列说法正确的是（）A ．f （x ）的图象关于直线x=对称 B ．f （x ）的周期为πC ．若|f （x 1）|=|f （x 2）|，则x 1=x 2+2k π（k ∈Z ）D ．f （x ）在区间[，]上单调递减5．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a 0，a 1，a 2，…，a n 分别为0，1，2，…，n ，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（）A ．248B ．258C ．268D ．2786．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB ＞90°的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8B ．C ．D ．48．已知实数x ，y 满足x 2+4y 2≤4，则|x+2y ﹣4|+|3﹣x ﹣y|的最大值为（） A ．6B ．12C ．13D ．149．三棱锥A ﹣BCD 内接于半径为的球O 中，AB=CD=4，则三棱锥A ﹣BCD 的体积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，|PF|=m|PQ|，当m 最小时，点P 恰好在以F ，Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．11．函数y=|log 3x|的图象与直线l 1：y=m 从左至右分别交于点A ，B ，与直线从左至右分别交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．12．若函数f （x ）=lnx 与函数g （x ）=x 2+2x+a （x ＜0）有公切线，则实数a 的取值范围为（）A ．（ln ，+∞）B ．（﹣1，+∞）C ．（1，+∞）D ．（﹣ln2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f （x ）=e x +x 3，若f （x 2）＜f （3x ﹣2），则实数x 的取值范围是． 14．点P 是圆（x+3）2+（y ﹣1）2=2上的动点，点Q （2，2），O 为坐标原点，则△OPQ 面积的最小值是．15．已知平面向量满足，则的最小值是．16．已知数列{a n }满足a 1=2，且，则a n = ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）证明：△ABC 为钝角三角形；（2）若△ABC 的面积为，求b 的值．18．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上， =3．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）若∠BAC=60°，求二面角B﹣CD﹣A的余弦值．20．已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点的轨迹为曲线C．（1）求抛物线C的方程；（2）点Q（x0，y）（x≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．求△QAB面积的最小值．21．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）令g（x）=f（x）+（x2﹣a2），若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0且x＞0时，证明f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，将曲线（t为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C1；以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）已知点M（1，0），直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|．（1）求f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；（2）设，若对∀s，t∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（t）成立，求实数a的取值范围．2019届云南师大附中高三上学期适应性月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|x2﹣a≤0}，B={x|x＜2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4） C．[0，4] D．（0，4）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分类讨论，利用集合的包含关系，即可得出结论．【解答】解：a=0时，A={0}，满足题意；当a＜0时，集合A=∅，满足题意；当a＞0时，，若A⊆B，则，∴0＜a＜4，∴a∈（﹣∞，4），故选B．2．复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，再求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵ =，∴，则其共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：（，﹣），位于第三象限．故选：C．3．下列说法正确的是（）（x+1）＜1”的充分不必要条件A．“x＜1”是“log2B ．命题“∀x ＞0，2x ＞1”的否定是“”C ．命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题为真命题D ．命题“若a+b ≠5，则a ≠2或b ≠3”为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对每个选项，分别利用充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，判断正误即可．【解答】解：选项A ：log 2（x+1）＜1可得﹣1＜x ＜1，所以“x ＜1”是其必要不充分条件；选项B ：“∀x ＞0，2x ＞1”的否定是“”，不满足命题的否定形式；选项C ：命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题是“若ac 2≤bc 2，则a ≤b ”，当c=0时，不成立；选项D ：其逆否命题为“若a=2且b=3，则a+b=5”为真命题，故原命题为真．故选：D ．4．已知函数f （x ）=|sinx|•cosx ，则下列说法正确的是（）A ．f （x ）的图象关于直线x=对称 B ．f （x ）的周期为πC ．若|f （x 1）|=|f （x 2）|，则x 1=x 2+2k π（k ∈Z ）D ．f （x ）在区间[，]上单调递减【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】f （x ）=|sinx|•cosx=，进而逐一分析各个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵f （x ）=|sinx|•cosx=，故函数的图象关于直线x=k π，k ∈Z 对称，故A 错误； f （x ）的周期为2π中，故B 错误；函数|f （x ）|的周期为，若|f （x 1）|=|f （x 2）|，则x 1=x 2+k π（k ∈Z ），故C 错误；f （x ）在区间[，]上单调递减，故D 正确；故选：D5．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a 0，a 1，a 2，…，a n 分别为0，1，2，…，n ，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（）A ．248B ．258C ．268D ．278 【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能求出当x=2时的值，即可得解．【解答】解：该程序框图是计算多项式f （x ）=5x 5+4x 4+3x 3+2x 2+x 当x=2时的值，而f （2）=258，故选：B ．6．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB ＞90°的概率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，满足∠AMB ＞90°的区域的面积为半径为1的球体的，以体积为测度，即可得出结论．【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，满足∠AMB ＞90°的区域的面积为半径为1的球体的，体积为=，∴所求概率为=，故选：A ．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，画出几何体的直观图，进而可得答案．【解答】解：由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为，故选A．8．已知实数x，y满足x2+4y2≤4，则|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|的最大值为（）A．6 B．12 C．13 D．14【考点】绝对值三角不等式．【分析】设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π），|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|=|2cosθ+2sinθ﹣4|+|3﹣2cosθ﹣sinθ|=4﹣2cosθ﹣2sinθ+3﹣2cosθ﹣sinθ=7﹣4cosθ﹣3sinθ=7﹣5sin（θ+α），即可得出结论．【解答】解：设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．∴|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|=|2cosθ+2sinθ﹣4|+|3﹣2cosθ﹣sinθ|=4﹣2cosθ﹣2sinθ+3﹣2cosθ﹣sinθ=7﹣4cosθ﹣3sinθ=7﹣5sin（θ+α），∴|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|的最大值为12，故选B．9．三棱锥A﹣BCD内接于半径为的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A﹣BCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=××4×h×4，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为，则四面体ABCD的体积的最大值为V=××4×2×4=．故选：B．10．已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P为抛物线上的动点，|PF|=m|PQ|，当m最小时，点P恰好在以F，Q为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求出F（0，1），Q（0，﹣1），过点P作PM垂直于准线，则PM=PF．记∠PQM=α，则m=，当α最小时，m 有最小值，设P （），然后求解a ，c ，即可求解椭圆的离心率、【解答】解：由已知，F （0，1），Q （0，﹣1），过点P 作PM 垂直于准线，则PM=PF ．记∠PQM=α，则m=，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ 与抛物线相切于点P设P （），可得P （±2，1），所以|PQ|=2，|PF|=2，则|PF|+|PQ|=2a ，∴a=，c=1，∴e==，故选：D ．11．函数y=|log 3x|的图象与直线l 1：y=m 从左至右分别交于点A ，B ，与直线从左至右分别交于点C ，D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】依题意可求得A ，B ，C ，D 的横坐标值，得==，利用基本不等式可求最小值．【解答】解：在同一坐标系中作出y=m，y=（m＞0），y=|log3x|的图象，如图，设A（x1，y 1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由|log3x|=m，得x1=3﹣m，x2=3m，由log3x|=，得x3=，x4=．依照题意得==，又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣≥，当且仅当（2m+1）=，即m=时取“=”号，∴的最小值为27，故选B．12．若函数f（x）=lnx与函数g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围为（）A．（ln，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣ln2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：f′（x）=，g′（x）=2x+2，设与g（x）=x2+2x+a相切的切点为（s，t）s＜0，与曲线f（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2s+2==，又t=s2+2s+a，n=lnm，即有a=s2﹣1+ln（2s+2），设f（s）=s2﹣1﹣ln（2s+2）（﹣1＜s＜0），所以f'（s）=＜0∴f（s）＞f（0）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∵s∈（﹣1，0），且趋近与1时，f（s）无限增大，∴a＞﹣ln2﹣1故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=e x+x3，若f（x2）＜f（3x﹣2），则实数x的取值范围是（1，2）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，判断导函数的符号，判断单调性，转化不等式求解即可．【解答】解：因为函数f（x）=e x+x3，可得f′（x）=e x+3x2＞0，所以函数f（x）为增函数，所以不等式f（x2）＜f（3x﹣2），等价于x2＜3x﹣2，解得1＜x＜2，故答案为：（1，2）．14．点P是圆（x+3）2+（y﹣1）2=2上的动点，点Q（2，2），O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是 2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值，即可求出△OPQ面积的最小值．【解答】解：因为圆（x+3）2+（y﹣1）2=2，直线OQ的方程为y=x，所以圆心（﹣3，1）到直线OQ的距离为，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为，所以△OPQ面积的最小值为．故答案为2．15．已知平面向量满足，则的最小值是 4 ．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】不妨设=（1，0），=（m，n），=（p，q），根据向量的数量积的运算得到n=﹣，再根据向量的模的和基本不等式即可求出答案．【解答】解：不妨设=（1，0），=（m ，n ），=（p ，q ）则m=1，p=2， =2+nq=1，则nq=﹣1，∴n=﹣，∴=（1，﹣），=（2，q ），∴2=+2+2+2•=1+1++4+q 2+2+2+4=14++q 2≥14+2=16，∴≥4，当且仅当q 2=1，即q=±1时“=”成立．故答案为：416．已知数列{a n }满足a 1=2，且，则a n =．【考点】数列递推式．【分析】由，可得：=+，于是﹣1=，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：由，可得：=+，于是﹣1=，又﹣1=﹣，∴数列{﹣1}是以﹣为首项，为公比的等比数列，故﹣1=﹣，∴a n =（n ∈N *）．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若△ABC的面积为，求b的值．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，又a=2b，利用余弦定理可求cosA＜0，可得A为钝角，即可得解．（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求bc=24．又，进而可求b的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：由正弦定理：，∴sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=3sinC，∴sinA+sinB+sin（A+B）=3sinC．又∵sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，a=2b，所以，所以，所以A为钝角，故△ABC为钝角三角形．…（2）解：因为，∴．又，∴，∴bc=24．又，所以，∴b=4．…18．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由茎叶图能完成2×2列联表，由列联表求出K 2≈3.46＜3.841，从而得到没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为=，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由茎叶图可得：由列联表可得：K2=≈3.46＜3.841，所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．…（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为=，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，所以分布列为数学期望为E（X）=0×+1×+2×=．…19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上， =3．（1）证明：EF∥平面ABC；（2）若∠BAC=60°，求二面角B﹣CD﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）法一，过点F作FM∥PA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN．可得四边形MFEN为平行四边形，即可证明EF∥平面ABC．法二，取AD中点G，连接GE，GF，得平面GEF∥平面ABC，即可对EF∥平面ABC（Ⅱ）解：作BO⊥AC于点O，过点O作OH∥PA，以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，利用向量法求解．【解答】（Ⅰ）证明：法一：如图，过点F作FM∥PA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN．∵点E为CD的中点，∴EN∥AD，EN=．又D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上， =3．∴FM=，FM∥AD，∴FM∥EN且FM=EN，所以四边形MFEN为平行四边形，∴EF∥MN，∵EF⊄平面ABC，MN⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．…法二：如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE∥AC，GF∥AB，因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF∥平面ABC，所以EF∥平面ABC．…（Ⅱ）解：作BO⊥AC于点O，过点O作OH∥PA，以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，则C（0，，0），B（），D（0，﹣，1），∴，则平面CDA的一个法向量为设平面CDB的一个法向量为，则可取，所以cos＜＞==，所以二面角B﹣CD﹣A的余弦值为．…20．已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点的轨迹为曲线C．（1）求抛物线C的方程；（2）点Q（x0，y）（x≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．求△QAB面积的最小值．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设P（x，y）为轨迹上任意一点，则N（2x，2y），把N点坐标代入抛物线E的方程化简即可；（2）设圆的切线斜率为k ，得出切线方程，计算A ，B 的坐标，利用根与系数的关系计算|AB|，从而得出△QAB 的面积关于x 0的函数，求出此函数的最小值即可．【解答】解：（1）设线段ON 的中点坐标为P （x ，y ），则点N （2x ，2y ）， ∵N 为在抛物线y 2=8x 上的动点， ∴4y 2=16x ，即y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为：y 2=4x ．（2）设切线方程为：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），令y=0，得x=x 0﹣，∴切线与x 轴的交点为（x 0﹣，0），圆心（2，0）到切线的距离为d==2，∴（2k+y 0﹣kx 0）2=4（1+k 2），整理得：（x 02﹣4x 0）k 2+（4y 0﹣2x 0y 0）k+y 02﹣4=0，设两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2=，k 1k 2=，∴S △QAB =|（x 0﹣）﹣（x 0﹣）|•|y 0|=y 02||==2[（x 0﹣1）++2]令x 0﹣1=t ，则f （t ）=t++2，t ∈[4，+∞），则f ′（t ）=1﹣＞0，∴f （t ）在[4，+∞）上单调递增，∴f （t ）≥f （4）=，∴S △QAB =2f （t ）≥，∴△QAB 的面积的最小值为．21．已知函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣ax ．（1）若曲线y=f （x ）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f （x ）在[0，1]上的最值；（2）令g （x ）=f （x ）+（x 2﹣a 2），若x ≥0时，g （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当a=0且x ＞0时，证明f （x ）﹣ex ≥xlnx ﹣x 2﹣x+1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f （x ）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a ，设h （x ）=e x ﹣2x ，求出导数和单调区间，以及最小值，可得f （x ）的单调性，进而得到f （x ）的最值；（2）求得g （x ）的导数，令m （x ）=e x ﹣x ﹣a ，求出单调区间和最值，讨论（i ）当1﹣a ≥0即a ≤1时，（ii ）当1﹣a ＜0即a ＞1时，求出单调性，以及最小值，解不等式即可得到a 的范围；（3）f （x ）﹣ex ≥xlnx ﹣x 2﹣x+1等价于e x ﹣x 2﹣ex ≥xlnx ﹣x 2﹣x+1，即e x ﹣ex ≥xlnx ﹣x+1．等价于﹣lnx ﹣﹣e+1≥0．令h （x ）=﹣lnx ﹣﹣e+1，求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到证明．【解答】解：（1）∵f ′（x ）=e x ﹣2x ﹣a ，∴f ′（0）=1﹣a=1，∴a=0，∴f ′（x ）=e x ﹣2x ，记h （x ）=e x ﹣2x ，∴h ′（x ）=e x ﹣2，令h ′（x ）=0得x=ln2．当0＜x ＜ln2时，h ′（x ）＜0，h （x ）单减；当ln2＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）单增，∴h （x ）min =h （ln2）=2﹣2ln2＞0，故f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）min =f （0）=1，f （x ）max =f （1）=e ﹣1．（2）∵g （x ）=e x ﹣（x+a ）2，∴g ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ．令m （x ）=e x ﹣x ﹣a ，∴m ′（x ）=e x ﹣1，当x ≥0时，m ′（x ）≥0，∴m （x ）在[0，+∞）上单增，∴m （x ）min =m （0）=1﹣a ．（i ）当1﹣a ≥0即a ≤1时，m （x ）≥0恒成立，即g ′（x ）≥0，∴g （x ）在[0，+∞）上单增，∴g （x ）min =g （0）=1﹣≥0，解得﹣≤a ≤，所以﹣≤a ≤1．（ii ）当1﹣a ＜0即a ＞1时，∵m （x ）在[0，+∞）上单增，且m （0）=1﹣a ＜0，当1＜a ＜e 2﹣2时，m （ln （a+2））=2﹣ln （2+a ）＞0，∴∃x 0∈（0，ln （a+2）），使m （x 0）=0，即e=x 0+a ．当x ∈（0，x 0）时，m （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，g （x ）单减；当x ∈（x 0，ln （a+2））时，m （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，g （x ）单增．∴g （x ）min =g （x0）=e ﹣（x 0+a ）2=e﹣e=e（1﹣e）≥0，∴e≤2可得0＜x 0≤ln2，由e =x 0+a ，∴a=e﹣x．记t（x）=e x﹣x，x∈（0，ln2]，∴t′（x）=e x﹣1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，∴t（x）≤t（ln2）=2﹣2ln2，∴1＜a≤2﹣2ln2，综上，a∈[﹣，2﹣ln2]．（3）证明：f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等价于e x﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1，即e x﹣ex≥xlnx﹣x+1．∵x＞0，∴等价于﹣lnx﹣﹣e+1≥0．令h（x）=﹣lnx﹣﹣e+1，则h′（x）=．∵x＞0，∴e x﹣1＞0．当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，∴h（x）≥h（1）=e﹣1﹣e+1=0，∴a=0且x＞0时，不等式f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，将曲线（t为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵；以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标坐标变为原来的2倍，得到曲线C1的极坐标方程为．系，曲线C2的极坐标方程；（1）求曲线C1的交点为O，P，与曲线（2）已知点M（1，0），直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为Q，求△MPQ的面积．C2【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由题意求出曲线C 1的参数方程，从而得到曲线C 1的普通方程，由此能求出曲线C 1的极坐标方程．（2）设点ρ，Q 的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），由直线l 的极坐标方程为，它与曲线C 1的交点为O ，P ，分别求出O ，P 的极坐标，从而求出|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2，再由M 到直线l 的距离为，能求出△MPQ 的面积．【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】解：（1）∵曲线（t 为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C 1，∴由题意知，曲线C 1的参数方程为（t 为参数），∴曲线C 1的普通方程为（x ﹣1）2+y 2=1，即x 2+y 2﹣2x=0， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ． … （2）设点ρ，Q 的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），则由，得P 的极坐标为P （1，），由，得Q 的极坐标为Q （3，）．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2，又M 到直线l 的距离为，∴△MPQ 的面积．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x+1|﹣2|x ﹣1|．（1）求f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积；（2）设，若对∀s ，t ∈（0，+∞）恒有g （s ）≥f （t ）成立，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；函数恒成立问题．【分析】（1）求出f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（，0），B（3，0），C（1，2），即可求f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；（2）求出g（s）有最小值4﹣a，f（t）有最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|=∴f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（，0），B（3，0），C（1，2），∴f（x）的图象与x轴围成的三角形面积S==．…（2）∵∀s∈（0，+∞）恒有g（s）=s+﹣a≥4﹣a，∴当且仅当s=2时，g（s）有最小值4﹣a．又由（Ⅰ）可知，对∀t∈（0，+∞），f（t）≤f（1）=2．∀s，t∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（t）成立，等价于4﹣a≥2，即a≤2，∴实数a的取值范围是a≤2．…。

2019届云南师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学(文)试题(解析版)

2019届云南师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．设集合，Z为整数集，则A．B．C．D．0，【答案】A【解析】根据交集定义即可求解.【详解】集合，Z为整数集所以故选：A【点睛】本题考查了集合交集的运算,属于基础题.2．若复数z满足，则A．B．C．D．【答案】A【解析】根据复数乘法运算,即可求得z。

【详解】由得故选：A【点睛】本题考查了复数的基本运算，属于基础题。

3．已知O为原点，，，，若点P在y轴上，则实数A．0 B．1 C．D．【解析】根据向量坐标运算，用m表示出P点坐标，根据点P在y轴上即可求得m的值。

【详解】点P在y轴上故选：B【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题。

4．命题“，，使得”的否定形式是A．，，使得B．，，使得C．，，使得D．，，使得【答案】D【解析】根据全称命题的否定即可得解。

【详解】由题意可知；全称命题“，，使得”的否定形式为特称命题“，，使得”故选：D．【点睛】本题考查了含有量词的命题否定，注意此题由两个题设部分组成，属于基础题。

5．我国明代程大位的算法统宗是一本流传很广的著作，书中许多题目都用诗歌体叙述，读起来朗朗上口，下面这个问题便是其中有名的一个；“九百九十九文钱，甜果苦果买一千四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟延”则所买甜果的个数为A．343 B．345 C．567 D．657【答案】D【解析】根据题意，列出方程组，解方程即可求得最后的解。

设甜果、苦果的个数分别是x和y则解得故选：D【点睛】本题考查了方程在解决实际问题中的应用，属于基础题。

6．如图所示，网格纸的小方格都是边长为1的正方形，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三视图，画出原空间几何体，根据数量关系即可求得该几何体的体积。

【详解】由三视图可知原几何体如图：该几何体是一个底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥而得侧面底面ABCD，底面边长为4，锥体的高为4四棱锥的体积为，半圆锥的体积为该几何体的体积为故选：C【点睛】本题考查了立体几何中三视图的应用，还原空间结构体是解决此类问题的关键，属于基础题。

2019-2020学年云南师大附中高三(上)月考数学试卷(一)

2019-2020学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（一）
一、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分）
1.阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最小值为（）
A.
∴ ${h(x)}$＝${0}$，有且仅有两个解．
综上所述，这样的点${B}$有且仅有两个，且满足条件的两个点${B}$的横坐标互为倒数．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
（1）求出在点处的切线为＝，在点的切线为＝，由于＝与＝互为反函数，即函数图象关于＝对称，可得，两点间的距离的最小值即为与之间的距离；
又＝，，故存在唯一的，使得＝，
故而时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又＝，＝，
∴ ＝在上有唯一的根．
记＝，由，则$${\{}$\${dfrac\{1\}\{\backslash alpha\}}$<1<{x}_{0}}$，
又${h(\dfrac{1}{\alpha}) = (\dfrac{1}{\alpha} - 1)\ln (\dfrac{1}{\alpha}) - \dfrac{1}{\alpha} - 1 = \dfrac{h(\alpha)}{\alpha} = 0}$，
（2）根据条件得到直线的参数方程，然后由直线参数方程的几何意义求出的值．
【解答】
将曲线（为参数），消参得＝，
经过伸缩变换，后得曲线，
化为极坐标方程为，
将直线的极坐标方程，化为直接坐标方程为；

2019届云南师大附中高三上学期第一次月考数学试卷(文科)Word版含解析

2019届云南师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U和集合A，B如图所示，则（∁U A）∩B=（）A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3} D．{0，4，5，6，7，8}2．（5分）=（）A．﹣2i B．﹣i C．1﹣i D．1+i3．（5分）在如下的四个电路图中，记：条件M：“开关S1”闭合；条件N：“灯泡L亮”，则满足M是N的必要不充分条件的图为（）A．B．C．D．4．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题5．（5分）等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，若a1+1，a3，a6成等比数列，则S n=（）A．n（n+1）B．n2C．n（n﹣1）D．2n6．（5分）已知向量，满足|﹣|=，•=1，则|+|=（）A．B．2C．D．107．（5分）在区间[0，1]内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，已知sinC=2sinAcosB，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形9．（5分）已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f′（x0）=f（x0），则称x0是f（x）的一个“和谐点”，下列函数中①f（x）=x2；②f（x）=；③f（x）=lnx；④f（x）=x+，存在“和谐点”的是（）A．①②B．①④C．①③④D．②③④10．（5分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，网格纸上小方格的边长为1（表示1cm），图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=alnx+在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设A、B分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在C上且异于A、B两点，若直线AP与BP的斜率之积为﹣，则C的离心率为．14．（5分）定义一种新运算“⊗”：S=a⊗b，其运算原理如图3的程序框图所示，则3⊗6﹣5⊗4=．15．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，则不等式≥0的解集为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且S n+1=2S n+1（n∈N*），则a n=．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+2sin2x﹣（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．18．（12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X 1 2 3 4 5f a 0.2 0.45 b c（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD=2AB，点E、F分别是线段PD、PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点O，使得BO⊥平面PAC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO⊥平面PAC；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）23．已知一次函数f（x）=ax﹣2．（1）解关于x的不等式|f（x）|＜4；（2）若不等式|f（x）|≤3对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数a的范围．2019届云南师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U和集合A，B如图所示，则（∁U A）∩B=（）A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3} D．{0，4，5，6，7，8}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先由文氏图求出集合U，A，B，再由集合的运算法则求出（C U A）∩B．解答：解：由图可知，U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，∴（C U A）∩B={0，4，5，6，7，8}∩{3，5，6}={5，6}．故选A．点评：本题考查集合的运算和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意文氏图的合理运用．2．（5分）=（）A．﹣2i B．﹣i C．1﹣i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：==﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）在如下的四个电路图中，记：条件M：“开关S1”闭合；条件N：“灯泡L亮”，则满足M是N的必要不充分条件的图为（）A．B．C．D．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合物理知识进行判断即可．解答：解：对于图A，M是N的充分不必要条件．对于图B，M是N的充要条件．对于图C，M是N的必要不充分条件．对于图D，M是N的既不充分也不必要条件．故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，判断充分必要条件一般先明确条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性成立，若由结论能推出条件，则必要性成立．4．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题考点：四种命题的真假关系．专题：阅读型．分析：根据题意，依次分析题意，A中命题的逆命题是“若x＞|y|，则x＞y”，正确；B中命题的否命题是“x≤1，则x2≤1”，举反例即可；C中命题的否命题是“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”，当x=﹣2时，x2+x﹣2=0，故错误；D中逆否命题与原命题同真假，只要判断原命题的真假即可．解答：解：A中命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题是“若x＞|y|，则x＞y”，无论y是正数、负数、0都成立；B中命题的否命题是“x≤1，则x2≤1”，当x=﹣1时不成立；C中命题的否命题是“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”，当x=﹣2时，x2+x﹣2=0，故错误；D中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误．故选A点评：本题考查四种命题及真假判断，属基础知识的考查．5．（5分）等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，若a1+1，a3，a6成等比数列，则S n=（）A．n（n+1）B．n2C．n（n﹣1）D．2n考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意列式求得等差数列的首项，然后直接代入等差数列的前n项和公式得答案．解答：解：由等差数列{a n}的公差为2，且a1+1，a3，a6成等比数列，得，即，解得a1=2，∴S n==n（n+1）．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．6．（5分）已知向量，满足|﹣|=，•=1，则|+|=（）A．B．2C．D．10考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方和完全平方公式，计算即可得到．解答：解：由已知得|﹣|2=（﹣）2=2+2﹣2•=2+2﹣2=6，即2+2=8，即有|+|2=（+）2=2+2+2•=8+2=10，即．故选C．点评：本题考查向量的数量积的性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7．（5分）在区间[0，1]内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，本题符合几何概型的概率求法，所以只要求出区域面积以及满足条件的区域面积，由几何概型的公式解答即可．解答：解：设x，y∈[0，1]，作出不等式组所表示的平面区域，如图由几何概型知，所求概率．故选D．点评：本题考查了几何概型公式的运用；当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答．8．（5分）在△ABC中，已知sinC=2sinAcosB，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：三角形的内角和为π，利用诱导公式可知sinC=sin（A+B），与已知联立，利用两角和与差的正弦即可判断△ABC的形状；解答：解：∵在△ABC中，sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B），∴sinC=2sinAcosB⇔sin（A+B）=2sinAcosB，即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，∴sin（A﹣B）=0，∴A=B．∴△ABC一定是等腰三角形．故选B．点评：本题考查三角形的形状判断，考查两角和与差的正弦，利用sinC=sin（A+B）是关键，属于中档题．9．（5分）已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f′（x0）=f（x0），则称x0是f（x）的一个“和谐点”，下列函数中①f（x）=x2；②f（x）=；③f（x）=lnx；④f（x）=x+，存在“和谐点”的是（）A．①②B．①④C．①③④D．②③④考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：分别求函数的导数，根据条件f（x0）=f′（x0），确实是否有解即可．解答：解：①中的函数f（x）=x2，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x2=2x，解得x=0或2，可见函数有和谐点；对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e﹣x=﹣e﹣x，由对任意的x，有e﹣x＞0，可知方程无解，原函数没有和谐点；对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=，由函数f（x）=lnx与y=的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有和谐点；对于④中的函数，要使f（x）=f′（x），则，即x3﹣x2+x+1=0，设函数g（x）=x3﹣x2+x+1，g'（x）=3x2﹣2x+1＞0且g（﹣1）＜0，g（0）＞0，显然函数g（x）在（﹣1，0）上有零点，原函数有和谐点．故答案为：①③④故选：C点评：本题主要考查导数的应用，以及函数的方程的判断，对于新定义问题，关键是理解其含义，本题的本质是方程有无实根问题．10．（5分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥D﹣ABC的体积．解答：解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO=B0==，BD=a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱锥D﹣ABC的高，S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：，故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．11．（5分）如图，网格纸上小方格的边长为1（表示1cm），图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求出圆锥毛坯的表面积，切削得的零件表面积，即可求出毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值．解答：解：圆锥毛坯的底面半径为r=4cm，高为h=3cm，则母线长l=5cm，所以圆锥毛坯的表面积S圆表=πrl+πr2=π×4×5+π×42=36π，切削得的零件表面积S零件表=S圆表+2π×2×1=40π，所以所求比值为=．故选D．点评：由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特征．12．（5分）若函数f（x）=alnx+在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞）D．[2，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的综合应用．分析：求导数f′（x）=，所以根据已知的f（x）在（1，+∞）上单调递增可得到ax﹣1≥0在（1，+∞）上恒成立，而a=0和a＜0都不能满足ax﹣1≥0恒成立，所以需a＞0．所以一次函数ax﹣1为增函数，所以有a﹣1≥0，这样即求出了实数a的取值范围．解答：解：f′（x）=；∵f（x）在（1，+∞）上单调递增；∴f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；∴ax﹣1≥0在（1，+∞）上恒成立；显然，需a＞0；∴函数y=ax﹣1在[1，+∞）上是增函数；∴a﹣1≥0，a≥1；∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：C．点评：考查函数的单调性和函数导数符号的关系，以及一次函数的单调性，以及对增函数定义的运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设A、B分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在C上且异于A、B两点，若直线AP与BP的斜率之积为﹣，则C的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），由题意可得ab的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．解答：解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），则由P在椭圆上可得+=1，∴y02=•b2，①∵直线AP与BP的斜率之积为﹣，∴•=﹣，∴=﹣，②把①代入②化简可得=，即=，∴=，∴离心率e===故答案为：点评：本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题．14．（5分）定义一种新运算“⊗”：S=a⊗b，其运算原理如图3的程序框图所示，则3⊗6﹣5⊗4=﹣3．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由框图可知算法的功能是求从而由新定义可得3⊗6﹣5⊗4的值．解答：解：由框图可知，从而得：3⊗6﹣5⊗4=6（3﹣1）﹣5（4﹣1）=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题主要考查了程序框图和算法，读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答，属于基本知识的考查．15．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，则不等式≥0的解集为[﹣2，0）∪（0，2]．考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化即可．解答：解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又f（2）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴函数f（x）的图象如图，则不等式不等式≥0等价为=，即，等价为x＞0时，f（x）≤0，此时0＜x≤2．当x＜0时，f（x）≥0，此时﹣2≤x＜0，即不等式的解集是：[﹣2，0）∪（0，2]．故答案为：[﹣2，0）∪（0，2]．点评：本题主要考查不等式的解法，根据函数奇偶性和单调性的性质作出函数的草图是解决本题的关键．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且S n+1=2S n+1（n∈N*），则a n=2n﹣1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由S n+1=2S n+1，当n≥2时，S n=2S n﹣1+1，可得S n+1﹣S n=2（S n﹣S n﹣1），即a n+1=2a n，再利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：由S n+1=2S n+1，当n≥2时，S n=2S n﹣1+1，∴S n+1﹣S n=2（S n﹣S n﹣1），即a n+1=2a n，∴，又a1=1，得S2=2a1+1=3=a1+a2，∴a2=2，∴，因此n=1时也成立．∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴．点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式，一般遇到数列的前n项和之间的递推公式，经常利用a n=S n﹣S n﹣1进行转化求解．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+2sin2x﹣（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．考点：正弦函数的图象；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角函数的倍角公式将函数进行化简即可求函数f（x）的最小正周期；（2）利用三角函数的图象和性质进行求解即可．解答：解：（1）∵==．∴其最小正周期为．（2）由（Ⅰ）知，又∵，∴．∴函数f（x）的值域为．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数化成y=Asin（ωx+φ）形式再进行解答，是解决本题的关键．18．（12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X 1 2 3 4 5f a 0.2 0.45 b c（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．考点：概率的应用．专题：分类讨论；转化思想；概率与统计．分析：（I）通过频率分布表得推出a+b+c=0.35．利用等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，分别求出b，c，然后求出a．（II）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可．解答：解：（I）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35．因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b==0.15等级系数为5的恰有2件，所以c==0.1从而a=0.35﹣0.1﹣0.15=0.1所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．（II）从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，所有可能的结果为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”，则A包含的基本事件为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共4个，又基本事件的总数为：10故所求的概率P（A）==0.4点评：本题考查概率、统计等基本知识，考查数据处理能力、运算能力、应用意识．考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD=2AB，点E、F分别是线段PD、PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点O，使得BO⊥平面PAC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO⊥平面PAC；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（I）根据平行线的传递性，得到EF∥AB，再结合线面平行的判定定理，可得EF∥平面PAB．（II）在线段AD上存在靠A点较近的一个四等分点O，使得BO⊥平面PAC．先在长方形ABCD中，证出△ABO ∽△ADC，利用角互余的关系，得到AC⊥BO，再利用线面垂直的判定定理，可证出PA⊥BO，结合PA、AC是平面PAC内的相交直线，最终得到BO⊥平面PAC．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为长方形，∴CD∥AB，∵EF∥CD，∴EF∥AB，又∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．…（6分）（Ⅱ）在线段AD上存在一点O，使得BO⊥平面PAC，此时点O为线段AD的四等分点，满足，…（8分）∵长方形ABCD中，∠BAO=∠ADC=90°，=∴△ABO∽△ADC，∴∠ABO+∠CAB=∠DAC+∠CAB=90°，∴AC⊥BO，（10分）又∵PA⊥底面ABCD，BO⊂底面ABCD，∴PA⊥BO，∵PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC∴BO⊥平面PAC．（12分）点评：本题以底面为长方形、一条侧棱垂直于底的四棱锥为载体，通过证明线线垂直和线面平行，着重考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用点M（4，0）到抛物线准线的距离为，即可得出p．（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k HE=﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），利用抛物线的方程和斜率计算公式即可得出．解答：解：（1）∵点M（4，0）到抛物线准线的距离为，∴p=，即抛物线C的方程为y2=x．（2）∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k HE=﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），∴，∴，∴y1+y2=﹣2y H=﹣4．==．点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、圆的切线的性质、斜率计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：①对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；②由函数f（x）在x=1处取得极值求出a的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数b的取值范围即可．解答：解：（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，．①若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数；②若a＞0，令f′（x）=0得x=．在区间（0，）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；在区间上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间；②当a＞0时，f（x）的递增区间是，递减区间是．（II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0解得a=1，经检验满足题意．由已知f（x）≥bx﹣2，则令g（x）==1+，则易得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，所以g（x）min=，即．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：（I）圆C的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得即，根据两交点A，B所对应的参数分别为t1，t2，利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得．解答：解：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．所以，圆C的圆心到直线l的距离为．…（5分）（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．由于△=．故可设t1、t2是上述方程的两个实根，所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…（10分）点评：此题考查学生会将极坐标方程和参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程，掌握直线参数方程中参数的几何意义，是一道中档题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）23．已知一次函数f（x）=ax﹣2．（1）解关于x的不等式|f（x）|＜4；（2）若不等式|f（x）|≤3对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数a的范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用绝对值不等式的解集，对a讨论，分a＞0，a＜0，即可得到解集；（2）对于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答．解答：解：（1）|f（x）|＜4即为|ax﹣2|＜4，即﹣2＜ax＜6，则当a＞0时，不等式的解集为；当a＜0时，不等式的解集为．（2）|f（x）|≤3⇔|ax﹣2|≤3⇔﹣3≤ax﹣2≤3⇔﹣1≤ax≤5⇔，∵x∈[0，1]，∴当x=0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为又∵，∴﹣1≤a≤5且a≠0点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的恒成立问题转化为求最值，运用参数分离和分类讨论是解题的关键．。

2020届云南师大附中高考适应性月考卷(一)数学试题

及圆(2)16-+=的实线部分上运动，且AB始终平行于轴，则x y∆的周长的取值范围是（）ABF⋅=，NM NF可以求出点N到原点的最短距离【详解】由0⋅=，得点NM NF117．设变量,x y 满足约束条件2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2u x y =+的最小值为_______．ABC ∆的三个内角A ，)0BC BA cCA CB ⋅+⋅=.）若23b =，试求AB CB ⋅的最小值．关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若me ne +，2e 分别为与（1）若点P 在斜坐标系XOY 中的坐标为()2,2-，求点P 到原点O 的距离.（2）求以原点O 为圆心且半径为1的圆在斜坐标系XOY 中的方程. （3）在斜坐标系XOY 中，若直线()01x t t =<<交（2）中的圆于,A B 两点，则当t 为何值时，AOB ∆的面积取得最大值？并求此最大值.12．（1）在直角坐标系中，已知三点(5,4),(,10),(12,2)A B k C -，当k 为何值时，向量AB 与BC 共线？（2）在直角坐标系中，已知O为坐标原点，(7,6),(3,)OA OB k=-=，(5,7)OC=，当k为何值时，向量AB与BC垂直？评卷23BACπ∠=，由正弦定理可得1122AO AO===得AE=16,22DBCS DE BC DE∆=⨯⨯=∴=，1AD ∴===，在四边形1OO AD 中，11//,90OO AD OO A ∠=，OA OD =，计算可得(2222149+=24R OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则球O 的表面积是494=494ππ⨯，故选D.【方法点晴】本题主要考查球的性质及圆内接三角形的性质、正弦定理与余弦定理法应用及球的表面积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质2221R r OO =+.2．C 解析：C 【解析】【分析】将已知转化为1a q ,的形式，解方程求得q 的值. 【详解】依题意1113a a q a +=，解得2q =，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量1a q ,，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有5个基本量1,,,,n n a q a S n ，利用等比数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1a q ,，进而求得数列其它的一些量的值. 3．D 解析：D 【解析】【分析】将22()z a bi =+,再和2i -的实部和虚部对比，得出结果.【详解】因为2222()()22z a bi a b abi i =+=-+=-，所以220a b -=，22ab =-，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，所以0=+b a ，故选D.【点睛】此题考查了复数的乘法运算，属于基础题。

云南2020年上学期师范大学附属中学高三数学理高考适应性月考试题

云南2020年上学期师范大学附属中学高三数学理高考适应性月考试题注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}221,(,)1M x y x N x y y x ==+==-+，则M N=A.{}1B. (0, 1)C. φD. {}(0,1)2.在复平面内，复数21i i-+ (i 为复数单位)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限. D.第四象限3.若随机变量x ～N(1, 4)，P(x≤0)=0.2, 则P(0<x<2)=A.0.6B.0.4C.0.3D. 0.84.已知tan 2α=,则sin(2)2πα+= A. 35 B. 45 C. 35- D. 45- 5.电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5,将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21, 其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo(如图1乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD 中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是A. 731092πB. 891092π C 1621092π. D. 161092π 6.双曲线C: 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F(3, 0)，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1,则双曲线C 的离心率为A. 2B. 32 23 D. 37.如图2，在∆ABC 中, AC=3, AB=2， ∠CAB=60°, 点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD =A. 37B. 97C. 43D. 43 8.在正项等比数列{}n a 中, 11a =,前三项的和为7,若存在,m n N *∈使得14m n a a a =,则19m n +的最小值为 A. 23 B. 43 C. 83 D. 1149.如图3,某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是A. 56B. 83C.1D. 16310.已知函数2212cos ()2cos 2x xx x e x e f x x -+-+=+，则122019()()()202020202020f f f +++= A.2019 B.2020 C.4038 D.4040 11.设动直线x=t 与曲线x y e =以及曲线ln y x =分别交于P, Q 两点，min PQ 表示PQ 的最小值, 则下列描述正确的是A. min 2PQ =B. min 52PQ <<C. min 2PQ <<D. min 3PQ > 12.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于A, B 两点，M 为AB 的中点,分别过A, B 两点作抛物线的切线l 1，l 2相交于点P.，∆PAB 又常被称作阿基米德三角形.下面关于∆PAB 的描述:①P 点必在抛物线的准线上; ②AP ⊥PB; ③设A(x 1，y 1), B(x 2, y 2),则∆PAB 的面积S 的最小值为22p ④PF ⊥AB; ⑤PM 平行于x 轴.其中正确的个数是A. 2B.3C.4D.5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13.设实数x , y 满足0210210x y y x x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则z =x +y 的最小值为_________ 14.在9(x x+的展开式中，则x 2的系数为_____________ 15.已知P 是直线l : 260x y ++= 上一动点，过点P 作圆C: 22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A 、B.则四边形PACB 面积的最小值为___________。

云南省师范大学附属中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)答案

14．由 Sn + 1 = an+1 ，所以当 n ≥ 2 时， Sn−1 + 1 = an ，两式相减得 an+1 = 2an ，由 a1 = 1 ，所以
a2 = 1 + a1 = 2 ，即 a2 = 2a1 ，所以 {an} 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，所以
=
1 m
，解得
a
=
1 2e
，
故选 C．
10．以经过 A ，B 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，则 A(−1，0) ，
B(1，0)
，设
P( x，y )
，∵
| |
PA PB
| |
=
2 ，∴
(x + 1)2 + y2 = (x −1)2 + y2
2 ，两边平方并整理得 x2 + y2 − 6x
3
，
所以 1 = m + 3 ， 1 = m + 3 ，
k1
y1 k2
y2
因此 1 k12
+
1 k22
=

m
+

3 y1
2
+

m
+

3 y2
2
= 2m2
+
6m

1 y1
+
1 y2

+
9

1 y12
+
1 y22

= 2m2
+ 6m
y1 + y2 y1 y2

云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考理科数学试题(解析版)

云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考理科数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，Z为整数集，则A. B. C. D. 0，【答案】A【解析】解：．故选：A．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.若复数z满足，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由，得，故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求z．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知O为原点，，，，若点P在y轴上，则实数A. 0B. 1C.D.【答案】B【解析】解：；点P在y轴上；；．故选：B．根据条件，可先求出，根据点P在y轴上，即可得出，从而求出m．考查向量坐标的概念，根据点的坐标可求向量的坐标，起点在原点的向量坐标为终点坐标，向量坐标的加法和数乘运算．4.若随机变量～，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由～，可知该正态分布密度曲线的对称轴为，所以，故选：D．根据X服从正态分布正态分布密度曲线的对称轴为，由图象的对称性可得结果本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．5.我国明代程大位的《算法统宗》是一本流传很广的著作，书中许多题目都用诗歌体叙述，读起来朗朗上口，下面这个问题便是其中有名的一个；“九百九十九文钱，甜果苦果买一千四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟延”则所买甜果的个数为A. 343B. 345C. 567D. 657【答案】D【解析】解：设甜果、苦果的个数分别是x和y，则，解得，故选：D．根据题意设甜果，苦果个数，列二元一次方程组，求解即可．此题考查了二元一次方程组，难度不大．6.如图，网格纸的小方格都是边长为1的正方形，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体是一个底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥而得，侧面底面ABCD，底面边长为4，锥体的高为4，四棱锥的体积为，半圆锥的体积为，该几何体的体积为，故选：C．由三视图还原原几何体，可知原几何体为一个底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥，再由棱锥体积减去半圆锥体积求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，联立解得：．故选：D．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】解：由程序框图知，第一次循环：，，，；第二次循环：，，，；第三次循环：，，，；第四次循环：，，，，故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.已知函数满足，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数满足，是函数的对称轴，是偶函数，图象关于y轴对轴，向右平移两个单位，得到，，，．故选：B．是函数的对称轴，是偶函数，图象关于y轴对轴，从而向右平移两个单位，得到，进而，由此能求出．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象，则的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由题意得数，，，将的图象向左平移个单位长度得到函数：，再将函数向上平移1个单位长度得到函数的图象，即，所以当时，，故选：C．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的关系式，最后求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率为2的直线l与C交于A，B两点若C的准线上一点M满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：抛物线焦点，设直线AB的方程为，联立方程组，消元得．设，，．则，．，．，，即．．，整理得：，解得．则．故选：C．写出直线的点斜式方程，与抛物线方程联立得出A，B两点的坐标关系，根据列方程解出M的坐标即可求得则．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．12.已知三棱锥的两条棱长为1，其余四条棱长为2，有下列命题：该三棱锥的体积是；该三棱锥内切球的半径是；该三棱锥外接球的表面积是．其中正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图1所示，三棱锥中，，取BC，PA的中点D，E，作如图的连接则，，平面PAD并求得：；，三棱锥的体积为，正确；设内切球的半径为r，球心为M，显然四个面三角形全等，解得，正确；事实上，外接球球心O必在过D点与BC垂直的平面PAD内，和过E点与PA垂直的平面BCE内，故O点在平面PAD和平面BCE的交线DE上，在内，同样，在内，≌，即O为DE的中点，可求得外接球半径R的平方：外接球故错误故选：B．利用过BC中点D与BC垂直的截面三角形PAD为底，以BC高求得体积，验证正确；利用四面全等，由内切球球心为顶点把三棱锥等分四份，不难求得半径r，验证正确；首先确定DE中点为外接球球心，不难求解，验证错误．此题综合考查了锥体体积的灵活处理，内切球及外接球半径的解法，难度适中．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件，则的最大值为______【答案】2【解析】解：如图所示阴影部分为满足约束条件的可行域，当直线l：过点时，最小，z取得最大值2．故答案为：2．先根据约束条件画出可行域，设，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点A 时，从而得到的最大值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．14.已知双曲线C：的焦点为，，离心率为若C上一点P满足，则C的方程为______．【答案】【解析】解：由双曲线的定义可知，由，得，则，所以双曲线C的方程为．故答案为：．根据双曲线的定义和离心率公式求出c和a，则双曲线方程可得．本题主要考查双曲线的简单性质，根据双曲线的定义求出a，b是解决本题的关键．15.在数列中，，，则数列的通项______．【答案】【解析】解：由题意可得：，利用累加法，得：，，于是：．故答案为：直接利用递推关系式和累加法求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，累加法在求数列通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.已知函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：画出函数的图象如图所示：，当时，是在点处的切线，也是在点处的切线，如图所示．过点与点的直线为：．数形结合可知，时，函数的图象与有两个交点．即函数恰有两个零点，故答案为：．画出函数的图象，数形结合，可得时，函数的图象与有两个交点，进而可得答案．本题考查的知识点是分段函数的图象和性质，函数的零点，数形结合思想，难度中档．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，且．求的值；若，，求的面积．【答案】本小题满分12分解：由题，得，可化得，，，，由正弦定理，得分由，，及余弦定理得，又由知，代入中，解得，则，分【解析】由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由，即，可求，由正弦定理即可求得．由及已知及余弦定理得a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间100的为一等品；指标在区间的为二等品现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】解：由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中有一等品：件，二等品：件，所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件．记事件A为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，则；分由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中，一等品的频率为，二等品的频率为；将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数～，所以，，，；的分布列为：所以数学期望为分【解析】由频率分布直方图求出对应的频率和频数，再计算所求的概率值；由题意知随机变量～，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的应用问题，是中档题．19.如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，．求证：平面平面PBD；若，，，E为线段PA的中点，求二面角的余弦值．【答案】本小题满分12分证明：如图，连接PO．在菱形ABCD中，O是AC的中点，且，，在中，．又，PO、平面PBD，平面PBD．又平面PAC，平面平面分解：在菱形ABCD中，，，则，又，．在等边中，，．是BD的中点，，在中，，．又，AC，平面ABCD，平面分以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题知0，，1，，，0，分为线段PA的中点，，，0，，设y，是平面BDE的一个法向量，则，．设y，是平面CDE的一个法向量，则，分，二面角的余弦值为分【解析】连接PO，推导出，由此能证明平面PBD，从而平面平面PBD．求出，推导出，平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：的左焦点为，且点在C上．求C的方程；设点P关于x轴的对称点为点不经过P点且斜率为k的直线l与C交于A，B 两点，直线PA，PB分别与x轴交于点M，N，若，求k．【答案】解：设右焦点为，则，由题意知，，由椭圆的定义，得，所以，又椭圆C的半焦距，所以，所以椭圆C的方程为，由点P关于x轴的对称点为点q，则轴．如图7所示，由，得．设直线PA的方程为，，则直线PB的方程为．图7设，由得，且，即．由于直线PA与C交于P，A两点，所以，；同理可得，，所以．综上，得直线l的斜率k为．【解析】根据椭圆的定义可求出a，再根据半焦距c，可求得b，则C的方程可写出；根据两个角相等，推出两直线斜率为相反数，设出直线PA，与椭圆联立可解得A的坐标，同理得B的坐标，最后用斜率公式可求得斜率．本题考查了直线与椭圆的综合，属难题．21.已知函数．求的单调区间和极值；当时，若，且，证明：．【答案】解：函数的定义域为，，当时，，在上单调递增，无极值；当时，由，得，当时，，得的单调递增区间是；当时，，得的单调递减区间是，故的极大值为，无极小值．证明：当时，，，依题意，，则，所以，即由均值不等式可得，所以，则有．而，将代入上式得，令，则，，，，即，在上单调递减，于是，即，得证．【解析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；代入a的值，求出函数的导数，结合均值不等式以及函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，为参数，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；若射线l：与曲线，的交点分别为A，B异于原点，求的取值范围．【答案】解：曲线的参数方程为，为参数，转换为直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．射线l：的倾斜角，由，得：，由，得，所以．由，所以，故的取值范围为：【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的恒等变变换和函数的定义域求出函数的值域．1本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.设实数x，y满足．若，求x的取值范围；若，，求证：．【答案】解：由，得，所以不等式，即为，所以有或或解得或或，所x的取值范围为．证明：，，所以，当且仅当，即时取等号．又，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号．【解析】分3种情况去绝对值解不等式，再相并；先变形：，再用基本不等式．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

2019届云南省师范大学附属中学高三第八次月考数学(理)试卷及解析

2019届云南省师范大学附属中学高三第八次月考数学（理）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{1,0,1}A =-，{0,1,2}B =，则A B =（）A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1,2}-D. {1,0,0,1,1,2}-【答案】C【解析】【分析】根据集合并集定义即可求得B A .【详解】由并集的运算可得 {}1,0,1,2A B ⋃=-故选C.2.复数1z ii =+在复平面上对应的点位于【】 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限解：∵复数1i i +=11112i i i i i -+⨯=-+,∴复数对应的点的坐标是（11,22）∴复数1i i +在复平面内对应的点位于第一象限，故选A3.下列四个结论：①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师体育爱好情况，在全体教师中抽取20名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样；③线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强；④在回归方程0.52=+中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y增加y x0.5个单位.其中正确的结论是（）A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④【答案】D【解析】【分析】根据残差的意义可判断①；根据分成抽样特征，判断②；根据相关系数r的意义即可判断③；由回归方程的系数，可判断④。

【详解】根据残差的意义，可知当残差的平方和越小，模拟效果越好，所以①错误；当个体差异明显时，选用分层抽样法抽样，所以②正确；根据线性相关系数特征，当相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，所以③错误；根据回归方程的系数为0.5，所以当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y增加0.5个单位.综上，②④正确，故选D4.已知{}n a是正项等比数列，若1a是2a，3a的等差中项，则公比q=（）A. -2B. 1C. 0D. 1，-2 【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的定义及等比数列通项公式，可得关于q的方程，由正项等比数列即可求得公比q。

2019-2020学年云南省名校高三(上)8月月考数学试卷(理科)-学生版+解析版

2019-2020学年云南省名校高三（上）8月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|680}A x N x x =∈-+…，集合{|28}x B x =…，则(A B = )A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{2，3}D ．{4}2．（5分）设复数z 满足(1)2i z +=，则复平面内表示z 的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知正项等比数列{}n a 中，234a a a =，若331S =，则(n a = ) A ．25nB ．125n -C ．5nD ．15n -4．（5分）设0.60.6a =，0.6log 1.5b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．（5分）若平面单位向量a ，b ，c 不共线且两两所成角相等，则||(a b c ++= )A B ．3C ．0D ．16．（5分）棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径为( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）函数2()cos f x x x =在[,]22ππ-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）为计算11111123499100S =-+-+⋯+-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A ．25B ．710C ．45D ．91010．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设(3,0)A -，(3,0)B ，动点M 满足||2||MA MB =，则动点M 的轨迹方程为( ) A ．22(5)16x y -+= B ．22(5)9x y +-=C ．22(5)16x y ++=D ．22(5)9x y ++=11．（5分）没函数222cos()()2()x x e f x x eππ-++=+的最大值为M ，最小值为m ，则2019(1)M m +-的值是( ) A ．1B ．2C ．20192D ．2019312．（5分）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体内过E ，F ，G 的截面面积为( ) A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线2y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为．14．（5分）在公差为3的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，11a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和n S = ．15．（5分）甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8．且各局比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是．16．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF ．若||6AF =，||8BF =，3cos 5BAF ∠=，则该双曲线的离心率为．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、计明过稈或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选专题，考生根据要求作答. 必考题：共60分.17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23c o s 3c o s c o s 0a B b B A c +-=．（1）求cos B ；（2）若2AB =，3sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积．18．（12分）如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，2AB BC ==，P 为AB 边上一动点，//PD BC交AC 于点D ，现将PDA ∆沿PD 翻折至1PDA ∆，E 是1A C 的中点．（1）若P 为AB 的中点证明：//DE 平面1PBA ．（2）若平面1PDA ⊥平面PDA ，且DE ⊥平面1CBA ，求二面角1P A D C --的正弦值．19．（12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？20．（12分）已知点(,)M x y = （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点(1,0)N -的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为2(3O 为坐标原点）．求直线l 的方程．21．（12分）已知函数()cos f x ax x =-，0a ≠．（1）若函数()f x 为单调函数，求a 的取值范围；（2）若[0x ∈，2]π，求：当23a π…时，函数()f x 仅有一个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为cos sin 3ρθθ+=．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c ，d 为正数，且满足1abcd =，证明：（1）()()()()16a b b c c d d a ++++…；（2）22221111a b c d ab bc cd ad++++++…．2019-2020学年云南省名校高三（上）8月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|680}A x N x x =∈-+…，集合{|28}x B x =…，则(A B = )A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{2，3}D ．{4}【解答】解：{|24}{2A x N x =∈=剟，3，4}，{|3}B x x =…，{3AB ∴=，4}．故选：A ．2．（5分）设复数z 满足(1)2i z +=，则复平面内表示z 的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(1)2i z +=，∴22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限．故选：D ．3．（5分）已知正项等比数列{}n a 中，234a a a =，若331S =，则(n a = ) A ．25nB ．125n -C ．5nD ．15n -【解答】解：由234a a a =得23111a q a q a q =，即2110a a =≠，解得11a =．又312331S a a a =++=，即2131q q ++=，解得5q =，∴15n n a -=．故选：D ．4．（5分）设0.60.6a =，0.6log 1.5b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：0.6000.60.61<<=，0.60.6log 1.5log 10<=，0.601.5 1.51>=， b a c ∴<<．故选：C ．5．（5分）若平面单位向量a ，b ，c 不共线且两两所成角相等，则||(a b c ++= )A B ．3C ．0D ．1【解答】解：平面单位向量a ，b ，c 不共线且两两所成角相等；∴a ，b ，c 两两夹角为120︒，且||||||1a b c ===； ∴2||()a b c a b c ++=++=0=故选：C ．6．（5分）棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：球和正方体的所有棱相切，则该球的直径为正方体的面对角线的长，即2R =R =，故选：C ．7．（5分）函数2()cos f x x x =在[,]22ππ-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数2()cos f x x x =在[,]22ππ-，满足()()f x f x -=，所以函数是偶函数，排除选项A ，C ；当(0,)2x π∈时，2()2cos sin f x x x x x '=-，令22cos sin 0x x x x -=，可得tan 2x x =，方程的解4x π>，即函数的极大值点4x π>，排除D ，故选：B ．8．（5分）为计算11111123499100S =-+-+⋯+-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是11111(1)()()23499100S N T =-=-+-+⋯+-；累加步长是2，则在空白处应填入2i i =+．故选：B ．9．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A ．25B ．710C ．45D ．910【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩8889909192905++++==甲设污损数字为X ，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90X + 则乙的平均成绩838387999088.455X x+++++==+乙当8X =或9时，甲乙…即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为21105= 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率14155P =-=故选：C ．10．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设(3,0)A -，(3,0)B ，动点M 满足||2||MA MB =，则动点M 的轨迹方程为( ) A ．22(5)16x y -+= B ．22(5)9x y +-= C ．22(5)16x y ++= D ．22(5)9x y ++=【解答】解：设(,)M x y ，由||2||MA MB =，得2222(3)4(3)x y x y++=-+，可得：2222(3)4(3)4x y x y ++=-+，即221090x x y -++=故动点M 的轨迹方程为22(5)16x y -+=．故选：A ．11．（5分）没函数222cos()()2()x x e f x x eππ-++=+的最大值为M ，最小值为m ，则2019(1)M m +-的值是( ) A ．1B ．2C ．20192D ．20193【解答】解：22222cos()()sin 22()1x x e x exf x x e x e πππ-+++==+++，设22sin 2()x exg x x e π+=+，则()g x 为奇函数，故()()0max min g x g x +=，则2M m +=，所以2019(1)1M m +-=．故选：A ．12．（5分）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体内过E ，F ，G 的截面面积为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图所示：取棱AD ，AB ，1BB 的中点E ，F ，G ，则该截面是一个边长为其面积为26=故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线2y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 320x y --= ．【解答】解：2y x lnx =+的导数为12y x x'=+，则在点(1,1)处的切线斜率为3k =，即有在点(1,1)处的切线方程为13(1)y x -=-，即为320x y --=．故答案为：320x y --=．14．（5分）在公差为3的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，11a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和n S = 232n n+【解答】解：由题意得23111a a a =，即2111(6)(30)a a a +=+，解得12a =，所以31n a n =-，所以21()322n n a a n n nS ++==．故答案为：232n n+．15．（5分）甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8．且各局比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是10243125【解答】解：甲队以4:1获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获胜3局，第5局必胜，则概率1341441024()5553125P C =⨯⨯⨯=．故答案为：10243125． 16．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF ．若||6AF =，||8BF =，3cos 5BAF ∠=，则该双曲线的离心率为 5 ．【解答】解：在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos BF AB AF AB AF BAF =+-∠，即有264||3612||AB AB =+- 化为236||||2805AB AB --=，解得||10AB =．由勾股定理的逆定理，可得90ABF ∠=︒，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．结合矩形性质可知，210c =，利用双曲线定义，2862a =-=，所以离心率5ce a==．故答案为：5．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、计明过稈或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选专题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23c o s 3c o s c o s 0a B b B A c +-=．（1）求cos B ；（2）若2AB =，3sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）23cos 3cos cos 3cos (cos cos )0a B b B A c B a B b A c +-=+-=，由正弦定理，有3cos (sin cos cos sin )sin 0B A B A B C +-=，即3cos sin sin 0B C C -=，所以1cos 3B =．（2）因为1cos 3B =，所以sin B ．又3sin 2sin A B =，所以32a b =．根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得43a =，2b =，所以ABC ∆的面积为1sin 2S ac B ==18．（12分）如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，2AB BC ==，P 为AB 边上一动点，//PD BC 交AC 于点D ，现将PDA ∆沿PD 翻折至1PDA ∆，E 是1A C 的中点．（1）若P 为AB 的中点证明：//DE 平面1PBA ．（2）若平面1PDA ⊥平面PDA ，且DE ⊥平面1CBA ，求二面角1P A D C --的正弦值．【解答】（1）证明：取1A B 的中点F ，连接EF ，PF ．因为P 为AB 的中点且//PD BC ，所以PD 是ABC ∆的中位线．所以//PD BC ，且12P D B C =．又因为E 是1A C 的中点，且1A B 的中点为F ，所以EF 是△1A BC 的中位线，所以//EF BC ，且12EF BC =，所以//PD EF =，所以四边形PDEF 是平行四边形，所以//DE PF ．因为PF ⊂平面1PBA ，DE ⊂/平面1PBA ，所以//DE 平面1PBA ．（2）解：因为DE ⊥平面1CBA ，所以1DE AC ⊥．又因为E 是1A C 的中点，所以1A D DC DA ==，即D 是AC 的中点．由//PD BC 可得，P 是AB 的中点．在ABC ∆中，90B ∠=︒，//PD BC ，PDA ∆沿PD 翻折至1PDA ∆，且平面1PDA ⊥平面PDA ，利用面面垂直的性质可得1PA ⊥平面PBCD ，以点P 为原点建立坐标系如图所示，则1(0A ，0，1)，(0D ，1，0)，(1C -，2，0)，1(0,1,1)A D =-，(1,1,0)CD =-．设平面1A DC 的法向量为(n x =，y ，)z ，有10,0,(1,1,1)00n CD x y n y z n A D ⎧=-=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎩⎪⎩，容易得到平面1A PD 的法向量(1m =，0，0)，设二面角1P A D C --的大小为θ，有|cos ||cos ,|n m θ=〈〉==，所以sin θ=．19．（12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？【解答】解：（Ⅰ）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3．⋯（1分）1242361(1)5C C P C ξ===；2142363(2)5C C P C ξ===；3042361(3)5C C P C ξ===；⋯（3分）考生甲正确完成题数ξ的分布列为1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．⋯（4分）设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3．⋯（5分） 1(0)27P η==；1123216(1)()()3327P C η===，2232112(2)()3327P C η===，328(3)()327P η===．⋯（7分）考生乙正确完成题数η的分布列为：161280123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=．⋯（8分）（Ⅱ）因为2221312(12)(22)(32)5555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=，⋯（10分）23D npq η==．⋯（12分）所以D D ξη<．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大．⋯（13分）20．（12分）已知点(,)M x y = （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点(1,0)N -的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为2(3O 为坐标原点）．求直线l 的方程．【解答】解：（1）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1,0)Q 的距离之和为且||PQ <M 的轨迹为椭圆，而a 1c =，所以1b =，所以动点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=．（2）当直线l与x轴垂直时，(1,A-，(B-，此时||AB=则112OABS∆==，不满足条件．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为(1)y k x=+，由22(1),12y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4220k x k x k+++-=，所以2122412kx xk+=-+，21222212kx xk-=+．而121211||||||22OABS ON y y y y∆=-=-，由已知23OABS∆=得124||3y y-=，12y y-=又所以222224416(12)129k kk k+=++，则4220k k+-=，所以1k=±，所以直线l的方程为10x y-+=或10x y++=．21．（12分）已知函数()cosf x ax x=-，0a≠．（1）若函数()f x为单调函数，求a的取值范围；（2）若[0x∈，2]π，求：当23aπ…时，函数()f x仅有一个零点．【解答】解：（1）由()cosf x ax x=-，得()sinf x a x'=+，x R∈．1sin1x-剟，∴当1a…时，()sin0f x a x'=+…，()f x∴为R上的单调增函数；当1a-…时，()sin0f x a x'=+…，()f x为R上的单调减函数．综上，若函数()f x 为单调函数，则a的取值范围为(-∞，1][1-，)+∞；（2）当1a…时，由（1）可知()f x为R上的单调增函数．又(0)1f=-，()022afππ=>，∴函数()f x在(0,)2π有且仅有一个零点，满足题意．当01a<<时，令()sin0f x a x'=+=，则sin x a=-．由于02xπ剟，1sin1x∴-剟，从而必有1x，2[0x∈，2]π，使1sin x a=-，且2sin x a=-．不妨设12x x <，且有132x ππ<<，2322x ππ<<， ∴当1(0,)x x ∈时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数；当1(x x ∈，2)x 时，()sin 0f x a x '=+<，()f x 为减函数；当2(x x ∈，2)π时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数．从而函数()f x 的极大值为111()cos f x ax x =-，极小值为222()cos f x ax x =-．132x ππ<<，1cos 0x ∴<，∴极大值111()cos 0f x ax x =->．又(0)1f =-，∴要使函数()f x 仅有一个零点，则极小值222()cos 0f x ax x =->，22222()cos 0f x ax x ax ax ∴=-==，即a >21x <，2322x ππ<<， ∴当23a π…时，函数()f x 仅有一个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为cos sin 3ρθθ+=．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为cos sin 3ρθθ+=．转换为直线l 的直角坐标方程为30x -=．（2）设曲线C 上点的坐标为,sin )θθ，则曲线C 上的点到直线l 的距离|2s i n ()3|d πθ+-==sin()14πθ+=-时，d 取得最大值，所以max d =[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c ，d 为正数，且满足1abcd =，证明：（1）()()()()16a b b c c d d a ++++…；（2）22221111a b c d ab bc cd ad++++++…．【解答】证明：（1）因为a ，b ，c ，d 为正数，所以a b +…，b c +…c d +…d a +…（当且仅当a b c d ===时等号同时成立），所以()()()()16a b b c c d d a abcd ++++=…．又1abcd =，所以()()()()16a b b c c d d a ++++…．（2）因为1abcd =，所以11111111()abcd cd ad ab bc ab bc cd ad ab bc cd ad+++=+++=+++．又2222222222222()()()()()2222a b c d a b b c c d d a ab bc cd da +++=++++++++++…，当且仅当a b c d ===时取等号，所以222211112()2()a b c d ab bc cd ad++++++…，即22221111a b c d ab bc cd ad++++++…．。

2020届云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

2020届云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题 1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,1B x y xy =+=，则集合A B 中元素的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】作出函数2y x =和圆221x y +=的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合A B 的元素个数.【详解】如下图所示，由函数2y x =与圆221x y +=的图象有两个交点，因此，集合A B 含有两个元素，故选：C.【点睛】本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin ix e x i x =+，根据三角方程，计算1i e π+的值为（） A ．1- B ．0C ．1D ．i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果. 【详解】由cos sin ix e x i x =+，则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=，故选：B. 【点睛】力，属于基础题.3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A ．0.5 B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可得出所求结果. 【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选：C. 【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.4．二次项61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【答案】D【解析】根据题意，可得二项展开式的通项为6216-+=r rr T C x ，令620r -=，可得3r =，然后代入通项公式，可得答案. 【详解】利用二次项定理的通项公式，6621661()r rr r rr T C xC x x--+==，令620r -=，3r =，34620T C ==，故选D.【点睛】生的计算求解能力.5．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值，再利用等差中项的性质可得出7891011a a a a a ++++的值.【详解】由等差中项的性质可得5139240a a a +==，920a ∴=，因此，()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==，故选：D. 【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题. 6．函数sin y x x =的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除，可得出正确选项. 【详解】设()sin f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以，函数()sin f x x x =为偶函数，排除A 、C 选项，且当0πx <<时，sin 0x >，此时()0f x >，排除D 选项，故选：B.本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题. 7．如图，执行程序框图后，输出的结果是（）A ．140B ．204C ．245D ．300【答案】B【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果. 【详解】18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=； 38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=； 58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=；78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ； 88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=；98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选：B.【点睛】本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.8．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐的图象，则函数()g x 的周期可以为（） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期. 【详解】()sin f x x =Q ，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.9．若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点()P m n ,，并且在()P m n ,处具有公共切线，则实数a =（） A ．1eB ．2eC ．12eD ．32e【答案】C【解析】由题意得出()()()()f mg m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，解此方程组，可得出实数a 的值.【详解】因为()2f x ax =，所以()2f x ax '=；由()ln g x x =，得()1g x x'=. 因为()2f x ax =与()lng x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线，则()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，即2ln 12am mam m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得12m a e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故选：C. 【点睛】导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.10．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=则22PA PB +的最小值为（）A ．36-B ．48-C ．D ．【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件PA PB=点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值. 【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，PA PB=Q ，=两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=，所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心，则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且，因此，(22223236PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.11．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】令3t x =，()u g t =，先由图象知方程()0g u =有三个根，再根据u 的值确定t 个数，最后根据t 的值与个数确定结果. 【详解】令3t x =，()u g t =，则由3(())0g g x =，有()0g u =，由图象知有三个根1(3,0)u ∈-，20u =，3(0,3)u ∈，分别令1()u g t =，2()u g t =，3()u g t =，由图象知有9个不同的t 符合方程，而3t x =为单调递增函数，所以相应x 的根的个数为9个，故选C. 【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象的关系以及数形结合思想的应用，合理换元，逐层分析方程的根的情况是解决本题的关键.12．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=，AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（）A BCD ．【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，AB =所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=，则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan θ∴=22tan OO O M θ∴=⋅=球O 的半径2R ==，所求外接球的体积为243V π=⋅=⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题13．已知a 、b 为单位向量，,3a b π<>=，则2a b +=r r____________.【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算()222a b a b+=+，可得出结果.由于a 、b 为单位向量，,3a b π<>=，则1a b ==r r ，且1c o s ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r，因此，2a b +====r r，. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．记n S 为数列|{}n a 的前n 项和，若满足11a =，11n n S a ++=，则4S =______. 【答案】15【解析】当2n ≥时，11n n S a ++=，11n n S a -+=，两式相减能得到12n n a a +=，又由11a =，可得2112a a =+=，即212a a =，所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，得到12n n a -=，又因为11n n S a ++=，由5a 可算出4S .【详解】由11n n S a ++=①，所以当2n ≥时，11n n S a -+=②，两式相减得12n n a a +=，由11a =，所以2112a a =+=，即212a a =，所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以45115S a =-=. 【点睛】本题主要考查给出1n a +和n S 一个关系式求n a 通项公式的问题，写出式子二，然后两式相减，逐步化简，是解决本题的关键.15．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果.如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ，则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==，则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆，因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.16．设12,F F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点。

2019-2020学年云南省名校高三(上)8月月考数学试卷(理科)-解析版

2019-2020学年云南省名校高三（上）8月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|680}A x N x x =∈-+…，集合{|28}x B x =…，则(A B = )A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{2，3}D ．{4}【解答】解：{|24}{2A x N x =∈=剟，3，4}，{|3}B x x =…，{3AB ∴=，4}．故选：A ．2．（5分）设复数z 满足(1)2i z +=，则复平面内表示z 的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(1)2i z +=，∴22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限．故选：D ．3．（5分）已知正项等比数列{}n a 中，234a a a =，若331S =，则(n a = ) A ．25nB ．125n -C ．5nD ．15n -【解答】解：由234a a a =得23111a q a q a q =，即2110a a =≠，解得11a =．又312331S a a a =++=，即2131q q ++=，解得5q =，∴15n n a -=．故选：D ．4．（5分）设0.60.6a =，0.6log 1.5b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：0.6000.60.61<<=，0.60.6log 1.5log 10<=，0.601.5 1.51>=， b a c ∴<<．故选：C ．5．（5分）若平面单位向量a ，b ，c 不共线且两两所成角相等，则||(a b c ++= )A B ．3C ．0D ．1【解答】解：平面单位向量a ，b ，c 不共线且两两所成角相等；∴a ，b ，c 两两夹角为120︒，且||||||1a b c ===； ∴2||()a b c a b c ++=++=0=故选：C ．6．（5分）棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：球和正方体的所有棱相切，则该球的直径为正方体的面对角线的长，即2R =R =，故选：C ．7．（5分）函数2()cos f x x x =在[,]22ππ-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数2()cos f x x x =在[,]22ππ-，满足()()f x f x -=，所以函数是偶函数，排除选项A ，C ；当(0,)2x π∈时，2()2cos sin f x x x x x '=-，令22cos sin 0x x x x -=，可得tan 2x x =，方程的解4x π>，即函数的极大值点4x π>，排除D ，故选：B ．8．（5分）为计算11111123499100S =-+-+⋯+-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是11111(1)()()23499100S N T =-=-+-+⋯+-；累加步长是2，则在空白处应填入2i i =+．故选：B ．9．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A ．25B ．710C ．45D ．910【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩8889909192905++++==甲设污损数字为X ，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90X + 则乙的平均成绩838387999088.455X x+++++==+乙当8X =或9时，甲乙…即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为21105= 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率14155P =-=故选：C ．10．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设(3,0)A -，(3,0)B ，动点M 满足||2||MA MB =，则动点M 的轨迹方程为( ) A ．22(5)16x y -+= B ．22(5)9x y +-= C ．22(5)16x y ++= D ．22(5)9x y ++=【解答】解：设(,)M x y ，由||2||MA MB =，得2222(3)4(3)x y x y++=-+，可得：2222(3)4(3)4x y x y ++=-+，即221090x x y -++=故动点M 的轨迹方程为22(5)16x y -+=．故选：A ．11．（5分）没函数222cos()()2()x x e f x x eππ-++=+的最大值为M ，最小值为m ，则2019(1)M m +-的值是( ) A ．1B ．2C ．20192D ．20193【解答】解：22222cos()()sin 22()1x x e x exf x x e x e πππ-+++==+++，设22sin 2()x exg x x e π+=+，则()g x 为奇函数，故()()0max min g x g x +=，则2M m +=，所以2019(1)1M m +-=．故选：A ．12．（5分）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体内过E ，F ，G 的截面面积为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图所示：取棱AD ，AB ，1BB 的中点E ，F ，G ，则该截面是一个边长为其面积为26=故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线2y x lnx =+在点(1,1)处的切线方程为 320x y --= ．【解答】解：2y x lnx =+的导数为12y x x'=+，则在点(1,1)处的切线斜率为3k =，即有在点(1,1)处的切线方程为13(1)y x -=-，即为320x y --=．故答案为：320x y --=．14．（5分）在公差为3的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，11a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和n S = 232n n+【解答】解：由题意得23111a a a =，即2111(6)(30)a a a +=+，解得12a =，所以31n a n =-，所以21()322n n a a n n nS ++==．故答案为：232n n+．15．（5分）甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8．且各局比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是10243125【解答】解：甲队以4:1获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获胜3局，第5局必胜，则概率1341441024()5553125P C =⨯⨯⨯=．故答案为：10243125． 16．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF ．若||6AF =，||8BF =，3cos 5BAF ∠=，则该双曲线的离心率为 5 ．【解答】解：在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos BF AB AF AB AF BAF =+-∠，即有264||3612||AB AB =+- 化为236||||2805AB AB --=，解得||10AB =．由勾股定理的逆定理，可得90ABF ∠=︒，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．结合矩形性质可知，210c =，利用双曲线定义，2862a =-=，所以离心率5ce a==．故答案为：5．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、计明过稈或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选专题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23c o s 3c o s c o s 0a B b B A c +-=．（1）求cos B ；（2）若2AB =，3sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）23cos 3cos cos 3cos (cos cos )0a B b B A c B a B b A c +-=+-=，由正弦定理，有3cos (sin cos cos sin )sin 0B A B A B C +-=，即3cos sin sin 0B C C -=，所以1cos 3B =．（2）因为1cos 3B =，所以sin B ．又3sin 2sin A B =，所以32a b =．根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得43a =，2b =，所以ABC ∆的面积为1sin 2S ac B ==18．（12分）如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，2AB BC ==，P 为AB 边上一动点，//PD BC 交AC 于点D ，现将PDA ∆沿PD 翻折至1PDA ∆，E 是1A C 的中点．（1）若P 为AB 的中点证明：//DE 平面1PBA ．（2）若平面1PDA ⊥平面PDA ，且DE ⊥平面1CBA ，求二面角1P A D C --的正弦值．【解答】（1）证明：取1A B 的中点F ，连接EF ，PF ．因为P 为AB 的中点且//PD BC ，所以PD 是ABC ∆的中位线．所以//PD BC ，且12P D B C =．又因为E 是1A C 的中点，且1A B 的中点为F ，所以EF 是△1A BC 的中位线，所以//EF BC ，且12EF BC =，所以//PD EF =，所以四边形PDEF 是平行四边形，所以//DE PF ．因为PF ⊂平面1PBA ，DE ⊂/平面1PBA ，所以//DE 平面1PBA ．（2）解：因为DE ⊥平面1CBA ，所以1DE AC ⊥．又因为E 是1A C 的中点，所以1A D DC DA ==，即D 是AC 的中点．由//PD BC 可得，P 是AB 的中点．在ABC ∆中，90B ∠=︒，//PD BC ，PDA ∆沿PD 翻折至1PDA ∆，且平面1PDA ⊥平面PDA ，利用面面垂直的性质可得1PA ⊥平面PBCD ，以点P 为原点建立坐标系如图所示，则1(0A ，0，1)，(0D ，1，0)，(1C -，2，0)，1(0,1,1)A D =-，(1,1,0)CD =-．设平面1A DC 的法向量为(n x =，y ，)z ，有10,0,(1,1,1)00n CD x y n y z n A D ⎧=-=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎩⎪⎩，容易得到平面1A PD 的法向量(1m =，0，0)，设二面角1P A D C --的大小为θ，有|cos ||cos ,|n m θ=〈〉==，所以sin θ=．19．（12分）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．（Ⅰ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（Ⅱ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？【解答】解：（Ⅰ）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3．⋯（1分）1242361(1)5C C P C ξ===；2142363(2)5C C P C ξ===；3042361(3)5C C P C ξ===；⋯（3分）考生甲正确完成题数ξ的分布列为1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．⋯（4分）设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3．⋯（5分） 1(0)27P η==；1123216(1)()()3327P C η===，2232112(2)()3327P C η===，328(3)()327P η===．⋯（7分）考生乙正确完成题数η的分布列为：161280123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=．⋯（8分）（Ⅱ）因为2221312(12)(22)(32)5555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=，⋯（10分）23D npq η==．⋯（12分）所以D D ξη<．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大．⋯（13分）20．（12分）已知点(,)M x y = （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点(1,0)N -的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为2(3O 为坐标原点）．求直线l 的方程．【解答】解：（1）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1,0)Q 的距离之和为且||PQ <M 的轨迹为椭圆，而a 1c =，所以1b =，所以动点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=．（2）当直线l与x轴垂直时，(1,A-，(B-，此时||AB=则112OABS∆==，不满足条件．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为(1)y k x=+，由22(1),12y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4220k x k x k+++-=，所以2122412kx xk+=-+，21222212kx xk-=+．而121211||||||22OABS ON y y y y∆=-=-，由已知23OABS∆=得124||3y y-=，12y y-=又所以222224416(12)129k kk k+=++，则4220k k+-=，所以1k=±，所以直线l的方程为10x y-+=或10x y++=．21．（12分）已知函数()cosf x ax x=-，0a≠．（1）若函数()f x为单调函数，求a的取值范围；（2）若[0x∈，2]π，求：当23aπ…时，函数()f x仅有一个零点．【解答】解：（1）由()cosf x ax x=-，得()sinf x a x'=+，x R∈．1sin1x-剟，∴当1a…时，()sin0f x a x'=+…，()f x∴为R上的单调增函数；当1a-…时，()sin0f x a x'=+…，()f x为R上的单调减函数．综上，若函数()f x 为单调函数，则a的取值范围为(-∞，1][1-，)+∞；（2）当1a…时，由（1）可知()f x为R上的单调增函数．又(0)1f=-，()022afππ=>，∴函数()f x在(0,)2π有且仅有一个零点，满足题意．当01a<<时，令()sin0f x a x'=+=，则sin x a=-．由于02xπ剟，1sin1x∴-剟，从而必有1x，2[0x∈，2]π，使1sin x a=-，且2sin x a=-．不妨设12x x <，且有132x ππ<<，2322x ππ<<， ∴当1(0,)x x ∈时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数；当1(x x ∈，2)x 时，()sin 0f x a x '=+<，()f x 为减函数；当2(x x ∈，2)π时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数．从而函数()f x 的极大值为111()cos f x ax x =-，极小值为222()cos f x ax x =-．132x ππ<<，1cos 0x ∴<，∴极大值111()cos 0f x ax x =->．又(0)1f =-，∴要使函数()f x 仅有一个零点，则极小值222()cos 0f x ax x =->，22222()cos 0f x ax x ax ax ∴=-==，即a >21x <，2322x ππ<<， ∴当23a π…时，函数()f x 仅有一个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为cos sin 3ρθθ+=．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为cos sin 3ρθθ+=．转换为直线l 的直角坐标方程为30x -=．（2）设曲线C 上点的坐标为,sin )θθ，则曲线C 上的点到直线l 的距离|2s i n ()3|d πθ+-==sin()14πθ+=-时，d 取得最大值，所以max d = [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c ，d 为正数，且满足1abcd =，证明：（1）()()()()16a b b c c d d a ++++…；（2）22221111a b c d ab bc cd ad++++++…．【解答】证明：（1）因为a ，b ，c ，d 为正数，所以a b +…，b c +…c d +…d a +…（当且仅当a b c d ===时等号同时成立），所以()()()()16a b b c c d d a abcd ++++=…．又1abcd =，所以()()()()16a b b c c d d a ++++…．（2）因为1abcd =，所以11111111()abcd cd ad ab bc ab bc cd ad ab bc cd ad+++=+++=+++．又2222222222222()()()()()2222a b c d a b b c c d d a ab bc cd da +++=++++++++++…，当且仅当a b c d ===时取等号，所以222211112()2()a b c d ab bc cd ad ++++++…，即22221111a b c d ab bc cd ad++++++…．。