天津市静海县第一中学2018届高三5月检测数学(理)试题+扫描版缺答案
天津市第一中学2018届高三下学期第五次月考数学理试题
天津一中2017-2018高三年级五月考数学试卷（理）一、选择题：1.已知集合{1,2,3,4}A =，{|32,}B y y x x A ==-∈，则A B ⋂=（ ）A ．{1}B ．{4}C ．{13}， D ．{14}， 2.已知实数x ，y 满足不等式组310300x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最小值是（ ）A．2B ．92C ．3D ．93.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A．0 D．4.已知数列{}n a 是等差数列，m ，p ，q 为正整数，则“2p q m +=”是“2p q m a a a +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知圆C：22210x y x ++++=与双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．43D 6.设0ω>，函数2cos()5y x πω=+的图象向右平移5π个单位长度后与函数2sin()5y x πω=+图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．12B ．32C ．52D ．727.设定义在R 上的函数()f x ，满足()1f x >，()3y f x =-为奇函数，且()'()1f x f x +>，则不等式ln(()1)ln 2f x x ->-的解集为（ ）A ．()1,+∞B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．()(),00,-∞⋃+∞D ．()0,+∞ 8.将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）A ．180B ．192C ．204D ．264 二、填空题：9.设复数z 满足)3i z i ⋅=，则z = ． 10.已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是 ．11.在极坐标系中，直线l ：4cos()106πρθ-+=与圆C ：2sin ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为 ．12.如图，在ABC ∆中，已知3BAC π∠=，2AB =，3AC =，2DC BD =，3AE ED =，则BE AC ⋅= ．13.已知点(,)P x y 在椭圆222133x y +=上运动，则22121x y ++最小值是 ．14.已知函数2()f x x a a x=--+，a R ∈，若方程()1f x =有且只有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：15.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.16.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos b A c =.（1）求cos B ；（2）如图，D 为ABC ∆外一点，若在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，BC ，求AB 的长.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，AD CD ⊥，//AD BC ，且22AD BC ==，CD =，PB =E 为AD 中点.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点Q ，使得二面角Q BE C --的大小为30，求CQCP的值； （3）在（2）的条件下，求点C 到平面QEB 的距离.18.已知数列{}n a 中，11a =，11,33,n n na n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数.（1）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ，并求满足0n S >的所有正整数n .19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，点3(1,)2D 在椭圆上，直线y kx m =+与椭圆交于A ，P 两点，与x 轴，y 轴分别交于点N ，M ，且P M MN =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B . （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段11A B ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由.20.已知函数()(ln 1)f x x x k =--，k R ∈. （1）当1x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数k 的取值范围；（3）若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：212k x x e ⋅<.参考答案一、选择题1-5: DBAAB 6-8: CDC二、填空题9. 1+ 10. 103413.9514.11,,222⎛⎛⎫-+-∞⋃⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题15.（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P，11651110101C CPC C=-⋅，解出即可.（2）顾客抽奖1次视为3次独立重复试验，判断出13,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出概率，得到X的分布列，然后求出数学期望和方差.解析：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P，11651110103071110010C CPC C=-⋅=-=.（2）设该顾客在一次抽奖中或一等奖的概率为1P，115411110102011005CCPC C=⋅==，13,5X B⎛⎫⎪⎝⎭. ()334645125P X C⎛⎫===⎪⎝⎭，()2131448155125P X C⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()2231412255125P X C⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()3331135125P X C⎛⎫===⎪⎝⎭，故X的分布列为数学期望355EX=⨯=.16.解：（1）在ABC∆中，由正弦定理得sin cos sin 3B A AC +=，又()C A B π=-+，所以sin cos sin sin()3B A A A B +=+，故sin cos B A A sin cos cos sin A B A B =+，所以sin cos A B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，故cos B =. （2）∵2D B ∠=∠，∴21cos 2cos 13D B =-=-， 又在ACD ∆中，1AD =，3CD =，∴由余弦定理可得2222cos AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅11923()123=+-⨯⨯-=，∴AC =在ABC ∆中，BC =AC =cos B =， ∴由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即21262AB AB =+-⋅，化简得260AB --=，解得AB =故AB 的长为17.试题解析：（1）证明：连接PE ，BE ，∵PAD ∆是等边三角形，E 为AD 中点，∴PE AD ⊥，又∵2AD =，∴PE =1DE =，∴//DE BC ，且DE BC =，∴四边形BEDC 为矩形，∴BE CD =BE AD ⊥，∴222BE PE PB +=，∴PE BE ⊥，又∵AD BE E ⋂=，∴PE ⊥平面ABCD ，又∵PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD .（2）如图建系，(P，()B，()C -，()0,0,0E，()EB =，设(),CQ CP λλ==，(01)λ<<，∴BQ BC CQ =+()()1,0,0,λ=-+()1,λ=-，设平面EBQ 的法向量为(),,m x y z =，∴()010x y z λ=-=⎪⎩， ∴()3,0,1m λλ=-，平面EBC 的法向量不妨设为()0,0,1n =， ∴cos303m n m nλ⋅==，∴28210λλ+-=，∴14λ=或12-（舍）， ∴14CQ CP =.（3）31423CB m h m⋅===. 18.解：（1）设232n n b a =-， 因为2122122133(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--==--2213(6)(21)3232n n a n n a -++-=-2211132332n n a a -==-，所以数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. （2）由（1）得12311263n n n b a -⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭1123n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，由2211(21)3n n a a n -=+-，得21233(21)n n a a n -=--111156232n n -⎛⎫=-⋅-+⎪⎝⎭， 所以1212111233n n n n a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1692693nn n ⎛⎫-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++21112333n⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦6(12)9n n -++⋅⋅⋅++111332113n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⋅-(1)692n n n +-⋅+211363nn n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭213(1)23nn ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 显然当*n N ∈时，2{S }n 单调递减， 又当1n =时，2703S =>，当2n =时，4809S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2122n n n S S a -=-231536232nn n ⎛⎫=⋅--+ ⎪⎝⎭，同理，当且仅当1n =时，210n S ->， 综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2.19.（1）由题意知b c =b ，224ac =，223b c =，即2222143x y c c+=，∵31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，∴22914143c c +=，21c =，24a =，23b =，所以椭圆C 方程为22143x y +=. （2）存在. 设()0,M m ，,0m N k ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵DM MN =， ∴,2m P m k ⎛⎫⎪⎝⎭，,2m Q m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ， 22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()2223484120k x kmx m +++-=① ∴12834m km x k k +=-+，21241234m m x k k -⋅=+，()230QM m m k k m k--==--， 联立223143y k m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()222336244120k x kmx m +-+-=②∴222248336112m km km x k k k +==++， ∴12m m x x k k +++228811234km kmk k =-++，∴122288211234km km mx x k k k+=--++， 若N 平分线段11A B ，则22288211234m km km mk k k k-=--++， 即228811234km km k k =++，2211234k k +=+，∴12k =±，∵214k =，把①，②代入，得237m =，m = 所以直线l的方程为127y x =±或127y x =-±20.（1）1'()ln 1ln f x x x k x k x=⋅+--=-，①0k ≤时，因为1x >，所以'()ln 0f x x k =->，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无单调递减区间，无极值；②当0k >时，令ln 0x k -=，解得kx e =，当1kx e <<时，'()0f x <；当kx e >，'()0f x >.所以函数()f x 的单调递减区间是(1,)k e ，单调递增区间是(,)k e +∞， 在区间(1,)+∞上的极小值为()(1)k k k f e k k e e =--=-，无极大值. （2）由题意，()4ln 0f x x -<，即问题转化为(4)ln (1)0x x k x --+<对于2[,]x e e ∈恒成立，即(4)ln 1x x k x -+>对于2[,]x e e ∈恒成立， 令(4)ln ()x x g x x -=，则24ln 4'()x x g x x +-=，令()4ln 4t x x x =+-，2[,]x e e ∈，则4'()10t x x=+>，所以()t x 在区间2[,]e e 上单调递增，故min ()()440t x t e e e ==-+=>，故'()0g x >，所以()g x 在区间2[,]e e 上单调递增，函数2max 28()()2g x g e e ==-. 要使(4)ln 1x x k x -+>对于2[,]x e e ∈恒成立，只要max 1()k g x +>， 所以2812k e +>-，即实数k 的取值范围为28(1,)e-+∞.（3）证法1：因为12()()f x f x =，由（1）知，函数()f x 在区间(0,)ke 上单调递减，在区间(,)k e +∞上单调递增，且1()0k f e+=.不妨设12x x <，则1120k k x e x e +<<<<，要证212kx x e <，只要证221k e x x <，即证221k ke e x x <<.因为()f x 在区间(,)ke +∞上单调递增，所以221()()ke f x f x <，又12()()f x f x =，即证211()()ke f x f x <，构造函数2()()()k e h x f x f x =-22(ln 1)(ln 1)k ke e x k x k x x=-----， 即()ln (1)h x x x k x =-+2ln 1()k x k e x x -+-，(0,)k x e ∈. '()ln 1(1)h x x k =+-+2221ln 1()k x k e x x --=+222()(ln )k x e x k x-=-， 因为(0,)k x e ∈，所以ln 0x k -<，22k x e <，即'()0h x >，所以函数()h x 在区间(0,)k e 上单调递增，故()()k h x h e <， 而2()()()0kk kk e h e f e f e =-=，故()0h x <， 所以211()()k e f x f x <，即2211()()()ke f x f x f x =<，所以212k x x e <成立. 证法2：要证212k x x e <成立，只要证：12ln ln 2x x k +<.因为12x x ≠，且12()()f x f x =，所以1122(ln 1)(ln 1)x k x x k x --=--， 即1122ln ln x x x x -12(1)()k x x =+-，11212122ln ln ln ln x x x x x x x x -+-12(1)()k x x =+-， 即112122()ln ln x x x x x x -+12(1)()k x x =+-， 122112ln1ln x x x k x x x +=+-，同理112212ln 1ln x x x k x x x +=+-， 从而122ln ln k x x =+1121221212lnln 2x x x x x x x x x x ++---， 要证12ln ln 2x x k +<，只要证1121221212lnln 20x x x x x x x x x x +->--， 令不妨设12x x <，则1201x t x <=<，即证ln ln 20111t t t t+->--，即证(1)ln 21t t t +>-， 即证1ln 21t t t -<+对(0,1)t ∈恒成立， 设1()ln 2(01)1t h t t t t -=-<<+，22214(1)'()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++， 所以()h t 在(0,1)t ∈单调递增，()(1)0h t h <=，得证，所以212k x x e <.。
天津市静海一中2018届高三下学期开学数学试卷理科 含
2018-2018学年天津市静海一中高三（下）开学数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知复数z=1﹣i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．设集合A={x||4x﹣1|≥9，x∈R}，B={x|≥0，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣2]B．（﹣3，﹣2]∪ C．（﹣∞，﹣3]∪D．（﹣∞，﹣3）∪3．在二项展开式中，第4项的系数为80，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．或4．阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．5．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．26．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2﹣3x +2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1则x 2﹣3x +2≠0”B ．命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”，则¬p ：“∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”C ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题D ．若是“”的充要条件7．函数f （x ）=sin （ωx +φ）（|φ|＜）的最小正周期是π，且其图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则函数f （x ）的图象（ ）A ．关于直线对称B ．关于直线对称C ．关于点对称 D ．关于点对称8．定义域为R 的函数f （x ）满足f （x +2）=2f （x ），当x ∈[0，2）时，f （x ）=若x ∈[﹣4，﹣2）时，f （x ）≤﹣有解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，0）∪（0，1）B ．[﹣2，0）∪[1，+∞）C ．[﹣2，1]D ．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]二、填空题（共30分）9．若关于x 的方程=kx 2有3个不同的实数解，则k 的取值范围是 ．10．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为 ．11．在△ABC 中，边AC=，AB=5，cosA=，过A 作AP ⊥BC 于P ， =λ+μ，则λμ= ．12．（1）设x ＞0，y ＞0，若是2x 与4y 的等比中项，则x 2+2y 2的最小值为 ．（2）m ，n ＞0，m +n=1，求+的最小值 ．（3）设a+b=2，b＞0，则的最小值．（4）根据以上小题的解答，总结说明含条件等式的求最值问题的解决策略（写出两个）①②．三、解答题（本大题共5题，共65分）13．已知，设函数．（Ⅰ）当，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）当时，若f（x）=8，求函数的值．14．设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，CD⊥平面PAD，点O，E分别是AD，PC的中点，已知PA=PD，PO=AD=2BC=2CD=2．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值；（Ⅲ）设点F在线段PC上，且直线DF与平面POC所成角的正弦值为，求线段DF的长．16．已知椭圆方程为+=1（a＞b＞0），其下焦点F1与抛物线x2=﹣4y的焦点重合，离心率e=，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，（1）求椭圆的方程；（2）求过点O、F1（其中O为坐标原点），且与直线y=﹣（其中c为椭圆半焦距）相切的圆的方程；（3）求•=时，直线l的方程，并求当斜率大于0时的直线l被（2）中的圆（圆心在第四象限）所截得的弦长．17．已知数列{a n}的相邻两项a n，a n是关于x的方程x2﹣2n x+b n=0，（n∈N*）的两根，且a1=1+1（1）求证：数列{a n﹣×2n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）若b n﹣mS n＞0对任意的n∈N*都成立，求m的取值范围．四、提高题（共15分）18．已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（Ⅰ）求λ的最大值；（Ⅱ）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．2018-2018学年天津市静海一中高三（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知复数z=1﹣i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把复数z代入化简，复数的分子化简即可．【解答】解：将z=1﹣i代入得，故选A．2．设集合A={x||4x﹣1|≥9，x∈R}，B={x|≥0，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣2]B．（﹣3，﹣2]∪ C．（﹣∞，﹣3]∪D．（﹣∞，﹣3）∪【考点】交集及其运算；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】分别求出集合A中的绝对值不等式和集合B中的其他不等式的解集，然后把两个解集表示在数轴上，即可得到两集合的交集．【解答】解：集合A中的不等式为|4x﹣1|≥9，即4x﹣1≥9或4x﹣1≤﹣9，解得x≥或x≤﹣2；集合B中的不等式≥0可化为或，解得x≥0或x＜﹣3．把两集合的解集表示在数轴上，如图可得A∩B=（﹣∞，﹣3）∪故选D3．在二项展开式中，第4项的系数为80，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．或【考点】二项式定理．【分析】先求出第四项为T4=•x2•a3•，可得第4项的系数为10a3=80，由此解得a的值．【解答】解：在二项展开式中，第四项为T4=•x2•a3•，故第4项的系数为10a3=80，解得a=2，故选B．4．阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是 1 2 3第二圈是 2 3 5第三圈是 3 5 8第四圈是 5 8 13第五圈是8 13 21第六圈否此时=故答案为：5．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意知抛物线的准线x=﹣1．代入双曲线方程得y=±．不妨设A（﹣1，），∵△FAB是等腰直角三角形，∴=2，解得：a=，∴c2=a2+b2=+1=，∴e=则双曲线的离心率为：．故选A．6．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”C．若“p且q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题D．若是“”的充要条件【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据逆否命题是对命题的条件、结论分别进行否定且交换条件与结论可判断； 根据特称命题的否定是全称命题可判断B根据复合命题的真假关系可知，当“p 且q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，，若时，不一定有，【解答】解：根据逆否命题是对命题的条件、结论分别进行否定且交换条件与结论可知A 正确根据特称命题的否定是全称命题可知B 正确根据复合命题的真假关系可知，当“p 且q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故C 正确若，则时，有，但是若时，不一定有，故D 错误 故选D7．函数f （x ）=sin （ωx +φ）（|φ|＜）的最小正周期是π，且其图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则函数f （x ）的图象（ ）A ．关于直线对称B ．关于直线对称C ．关于点对称 D ．关于点对称【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω=2，故函数f （x ）=sin （2x +φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin （2x ﹣+φ]是奇函数，可得φ的值，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f （x ）=sin （2x +φ），其图象向右平移个单位后得到的函数图象对应的函数为y=sin [2（x ﹣）+φ]=sin （2x ﹣+φ]是奇函数，故φ=，故 函数f （x ）=sin （2x +），故当时，函数f （x ）=sin =1，故函数f （x ）=sin （2x +） 关于直线对称，故选A ．8．定义域为R 的函数f （x ）满足f （x +2）=2f （x ），当x ∈[0，2）时，f （x ）=若x ∈[﹣4，﹣2）时，f （x ）≤﹣有解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，0）∪（0，1）B ．[﹣2，0）∪[1，+∞）C ．[﹣2，1]D ．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]【考点】分段函数的应用．【分析】若若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≤﹣有解，等价为﹣≥f min（x），根据条件求出f min（x），即可得到结论．【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]当x∈[1，2）时，f（x）=﹣（0.5）|x﹣1.5|∈[﹣1，]∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），∴f（x）=f（x+2），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣，当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≤﹣有解，∴即﹣≥f min（x）=﹣，即4t（t+2）（t﹣1）≥0且t≠0解得：t∈[﹣2，0）∪[1，+∞），故选：B．二、填空题（共30分）9．若关于x的方程=kx2有3个不同的实数解，则k的取值范围是{} ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】易知x=0是方程=kx2的一个实数解，故关于x的方程=kx2有2个不同的非零实数解，即y=k（x+4）与y=有2个不同的交点，从而作图求解．【解答】解：易知x=0是方程=kx2的一个实数解，故关于x的方程=kx2有2个不同的非零实数解，即k|x|（x+4）=1有2个不同的非零实数解，故y=k（x+4）与y=有2个不同的交点，作y=k（x+4）与y=的图象如下，设切点为（x，﹣），y′=；故由=解得x=﹣2；故k=结合图象可知，k的取值范围是{}故答案为：{}．10．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为2+π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由两部分组成，前面是一个直三棱柱，后面是一个半圆柱．【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，前面是一个直三棱柱，后面是一个半圆柱．∴该几何体的体积V=+=2+π．故答案为：2+π．11．在△ABC 中，边AC=，AB=5，cosA=，过A 作AP ⊥BC 于P ， =λ+μ，则λμ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意知，把向量用表示出来，根据向量的加法，可知需要知道BP ，BC 的长，所以求出BP ，BC 的长即可．根据条件结合图形知，用余弦定理求出BC ，再根据正弦定理求sinB ，cosB ．【解答】解：如下图，根据条件，由余弦定理得： =36，∴BC=6．∵cosA=，∴sinA=，由正弦定理得：．∴sinB=，cosB=．∴BP=4=．∴=．∴λ=，μ=，∴λμ=．故答案为：．12．（1）设x ＞0，y ＞0，若是2x 与4y 的等比中项，则x 2+2y 2的最小值为 ．（2）m ，n ＞0，m +n=1，求+的最小值 ．（3）设a +b=2，b ＞0，则的最小值．（4）根据以上小题的解答，总结说明含条件等式的求最值问题的解决策略（写出两个）① 化为二次函数问题来解决② 利用基本不等式的性质 ． 【考点】基本不等式． 【分析】（1）利用等比中项建立等式关系，消去其中一个未知数，构造二次函数求解．（2）利用导函数求解．（3）把，分离后，利用基本不等式的性质即可．【解答】解：（1）由题意：x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则有：2x•4y=2⇒x+2y=1那么：x2+2y2=（1﹣2y）2+2y2=6y2﹣4y+1=，当y=时，x2+2y2取得最小值为．故答案为：（2）m，n＞0，m+n=1，那么：n=1﹣m（0＜m＜1）．则： +==令f（m）=，那么f′（m）=令f′（m）=0，解得m=．当0＜m＜时，有f′（m）＜0，当＜m＜1时，有f′（m）＞0，故当m=时，f（m）取得极小值，即最小值．∴f（）=故最小值为．（3）∵b＞0，a+b=2，∴，那么：=当a＞0时，=++=，当且仅当2a=b=时取等号．当a＜0时，=﹣+﹣=，当且仅当a=﹣2，b=4时取等号．故答案为．（4）①化为二次函数问题来解决；②利用基本不等式的性质；③利用导函数来求最值．三、解答题（本大题共5题，共65分）13．已知，设函数．（Ⅰ）当，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）当时，若f（x）=8，求函数的值．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（I）根据向量数量积的坐标公式和模的公式代入，再用二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化简，得f（x）=5sin（2x+）+5，根据得2x+∈[，]，结合正弦函数的图象与性质，可得函数f（x）的值域；（II）根据f（x）=8，得sin（2x+）=，再利用配角公式算出sin2x的值，而=5sin2x+5，将sin2x代入即得的值．．【解答】解：（I）∵=5sinxcosx+2cos2x，=sin2x+4cos2x∴=5sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x+=sin2x+3（1+cos2x）+（1﹣cos2x）+=sin2x+cos2x+5=5sin（2x+）+5∵，∴2x+∈[，]因此，﹣≤sin（2x+）≤1，可得函数f（x）的值域是[，10]．（Ⅱ）由（I）得5sin（2x+）+5=8，得sin（2x+）=∵，∴2x+∈[，]∴，∴sin2x=sin[（2x+）﹣]=•﹣（﹣）•=因此，=．14．设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当x=﹣c时，，得y=±，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1），=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，CD⊥平面PAD，点O，E分别是AD，PC的中点，已知PA=PD，PO=AD=2BC=2CD=2．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值；（Ⅲ）设点F在线段PC上，且直线DF与平面POC所成角的正弦值为，求线段DF的长．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以O为原点，OB、OD、OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB⊥DE．（Ⅱ）分别求出平面PAC的法向量和平面POC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC ﹣O的余弦值．（Ⅲ）设OC、BD交于点G，则DG=，且DG⊥平面POC，直线DF与平面POC所成角为∠DFG，由此能求出DF．【解答】（Ⅰ）证明：∵CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又PA=PD，O是AD的中点，∴PO⊥AD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴PO⊥平面ABCD．如图，以O为原点，OB、OD、OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（），P（0，0，2），∴，∴，∴AB⊥DE．（Ⅱ）解：，设平面PAC的法向量为，则，令x=2，得，又，∴平面POC的法向量，∴cos＜＞==﹣，∵二面角A﹣PC﹣O的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣O的余弦值是．（Ⅲ）解：设OC、BD交于点G，则DG=，且DG⊥平面POC，则直线DF与平面POC所成角为∠DFG，∵直线DF与平面POC所成角的正弦值为，∴，解得DF=2．16．已知椭圆方程为+=1（a＞b＞0），其下焦点F1与抛物线x2=﹣4y的焦点重合，离心率e=，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，（1）求椭圆的方程；（2）求过点O、F1（其中O为坐标原点），且与直线y=﹣（其中c为椭圆半焦距）相切的圆的方程；（3）求•=时，直线l的方程，并求当斜率大于0时的直线l被（2）中的圆（圆心在第四象限）所截得的弦长．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）抛物线x2=﹣4y的焦点为（0，﹣1），可得c=1．又e==，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）直线y=﹣=﹣2．线段OF1的中点，可设圆心，r=﹣﹣（﹣2）=，利用=，解得m，即可得出要求的圆的方程．（3）F2（0，1），直线l的斜率不存在时，A（0，），B，不满足•=，舍去．因此直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣1．A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（2+k2）x2﹣2kx﹣1=0，利用•=，及其根与系数的关系解出k，求出圆心到直线l的距离d，即可得出斜率大于0时的直线l被（2）中的圆（圆心在第四象限）所截得的弦长=2．【解答】解：（1）抛物线x2=﹣4y的焦点为（0，﹣1），∴c=1．又e==，a2=b2+c2，解得c=1，a=，b=1．∴椭圆的方程为：=1．（2）直线y=﹣=﹣2．线段OF1的中点，可设圆心，r=﹣﹣（﹣2）=，∴=，解得m=．∴要求的圆的方程为：=．（3）F2（0，1），直线l的斜率不存在时，A（0，），B，不满足•=，舍去．因此直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣1．A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（2+k2）x2﹣2kx﹣1=0，∴x1+x2=，x1x2=．（y1﹣1）（y2﹣1）=（kx1﹣2）（kx2﹣2）=k2x1x2﹣2k（x1+x2）+4．∵•=，∴x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=，∴（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=，∴（1+k2）×﹣2k×+4=，化为：k2=2，解得k=．∴直线l的方程为：x﹣1．取直线l：y=x﹣1，圆的方程为： +y2=．圆心到直线l的距离d==，∴斜率大于0时的直线l被（2）中的圆（圆心在第四象限）所截得的弦长=2=．17．已知数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是关于x的方程x2﹣2n x+b n=0，（n∈N*）的两根，且a1=1（1）求证：数列{a n﹣×2n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）若b n﹣mS n＞0对任意的n∈N*都成立，求m的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【分析】（1）利用a n，a n+1是关于x的方程x2﹣2n•x+b n=0（n∈N*）的两实根，可得a n+a n+1=2n，整理变形可得数列{a n﹣×2n}是等比数列；（2）确定数列的通项，分组求和，可得数列{a n}的前n项和S n；（3）由（2）的结论，求得b n，把b n及数列{a n}的前n项和代入b n﹣mS n＞0，此不等式对任意n∈N*都成立，可用分离常数法的技巧得到参数的取值范围．【解答】（1）证明：∵a n，a n+1是关于x的方程x2﹣2n x+b n=0，（n∈N*）的两根，∴a n+a n+1=2n，∴a n+1﹣•2n+1=﹣（a n﹣•2n），即，∴{a n﹣•2n}是等比数列；（2）解：，q=﹣1，∴a n﹣•2n=（﹣1）n﹣1，则a n= [2n﹣（﹣1）n]；S n=a1+a2+…+a n={（2+22+…+2n）﹣[（﹣1）+（﹣1）2+…+（﹣1）n]}={﹣}= [2n+1﹣2﹣]=；（3）b n =a n a n +1= [2n ﹣（﹣1）n ]• [2n +1﹣（﹣1）n +1]= [22n +1﹣（﹣2）n ﹣1]， 要使b n ﹣mS n ＞0对任意n ∈N *都成立，即 [22n +1﹣（﹣2）n ﹣1]﹣ [2n +1﹣2﹣]＞0（*）对任意n ∈N *都成立．当n 为正奇数时，由（*）式得： [22n +1+2n ﹣1]﹣（2n +1﹣1）＞0，即（2n +1﹣1）（2n +1）﹣（2n +1﹣1）＞0，∵2n +1﹣1＞0，∴m ＜（2n +1）对任意正奇数n 都成立，当且仅当n=1时，（2n +1）有最小值1． ∴m ＜1；当n 为正偶数时，由（*）式得： [22n +1﹣2n ﹣1]﹣（2n +1﹣2）＞0，即（2n +1+1）（2n ﹣1）﹣（2n ﹣1）＞0，∵2n ﹣1＞0，∴m ＜（2n +1+1）对任意正偶数n 都成立．当且仅当n=2时，（2n +1+1）有最小值．∴m ＜．综上所述，存在常数m ，使得b n ﹣mS n ＞0对任意n ∈N *都成立，m 的取值范围是（﹣∞，1）．四、提高题（共15分）18．已知函数f （x ）=x ，函数g （x ）=λf （x ）+sinx 是区间[﹣1，1]上的减函数． （Ⅰ）求λ的最大值；（Ⅱ）若g （x ）＜t 2+λt +1在x ∈[﹣1，1]上恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x 的方程的根的个数．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（I ）由题意由于f （x ）=x ，所以函数g （x ）=λf （x ）+sinx=λx +sinx ，又因为该函数在区间[﹣1，1]上的减函数，所以可以得到λ的范围；（II ）由于g （x ）＜t 2+λt +1在x ∈[﹣1，1]上恒成立⇔[g （x ）]max =g （﹣1）=﹣λ﹣sinl ，解出即可；（III ）利用方程与函数的关系可以构造成两函数图形的交点个数加以分析求解． 【解答】解：（I ）∵f （x ）=x ， ∴g （x ）=λx +sinx ，∵g （x ）在[﹣1，1]上单调递减， ∴g'（x ）=λ+cosx ≤0∴λ≤﹣cosx在[﹣1，1]上恒成立，λ≤﹣1，故λ的最大值为﹣1．（II）由题意[g（x）]max=g（﹣1）=﹣λ﹣sinl∴只需﹣λ﹣sinl＜t2+λt+1∴（t+1）λ+t2+sin+1＞0（其中λ≤﹣1），恒成立，令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1＞0（λ≤﹣1），则，∴，而t2﹣t+sin1＞0恒成立，∴t＜﹣1又t=﹣1时﹣λ﹣sinl＜t2+λt+1故t≤﹣1（Ⅲ）由﹣2ex+m．令f1（x）=﹣2ex+m，∵f1′（x）=，当x∈（0，e）时，f1′（x）≥0，∴f1（x）在（0，e]上为增函数；当x∈[e，+∞）时，f1′（x）≤0，∴f1（x）在[e，+∞）为减函数；当x=e时，[f1（x）]max=f1（e）=，而f2（x）=（x﹣e）2+m﹣e2，∴当m﹣e2＞，即m＞时，方程无解；当m﹣e2=，即m=时，方程有一个根；当m﹣e2＜时，m＜时，方程有两个根．2018年10月19日。
2018届天津市第一中学高三上学期第一次月考理科数学试题及答案 精品
天津一中2018—2018学年度高三年级 第一次月考数学（理科）学科试卷一.选择题1. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B = （ ）A ．∅B ．1{|1}2x x <≤C ．{|1}x x <D ．{|01}x x << 【答案】B的2.执行右面的程序框图，若8.0=p ，则输出n =( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C ．3.已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B4 ．已知函数）x f y (=的导函数为)('x f ，且x f x x f sin )3(')(2+=π，则=)3('πf( ) A ．π463- B ．π263- C ．π463+ D ．π263+【答案】A5.若把函数sin y x ω=图象向左平移3π个单位，则与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能是A ．13B ．32C ．23D ．12【答案】B 6. 已知函数0,0,(),0,xx f x e x ≤⎧=⎨>⎩则使函数()()g x f x x m =+- 有零点的实数m的取值范围是（ ）A.[0,1]B.(,1)-∞C. (,1)(2,)-∞+∞D.(,0](1,)-∞+∞【答案】D 7.设，则多项式的常数项（ ） A. B.C.D. 【答案】D 8. 已知()()[]22,0,1,132,0x x f x f x ax x x x ⎧-≤=≥∈-⎨->⎩若在上恒成立，则实数a 的取值范围是A.(][)10,-∞-⋃+∞B.[]1,0-C.[]0,1D.),1[]0,(+∞⋃-∞ 【答案】B二.填空题9. 复数满足2)1()1i z i +=+-（，其中i 为虚数单位，则复数z = 【答案】i -110. 右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为 . 10．【答案】243π-11. 已知点P 在曲线14+=x e y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是___________________ 【答案】00135180α≤<或3[,)4ππ12.直线4,:(),:)12.4x a t l t C y t πρθ=+⎧=+⎨=--⎩为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l 被圆C ，则实数a 的值为 . 【答案】 0或2分线,13.如图,C B A ,,是圆O 上三个点,AD 是BAC ∠的平交圆O 于D ,过B 作直线BE 交AD 延长线于E ,使BD 平分EBC ∠. 若,3,4,6===BD AB AE 则DE的长为【答案】DE=278.14.在边长为1的正三角形ABC 中,2=,λ=，若41-=⋅BE AD ，则λ的值为 【答案】3 三.解答题15. 已知函数22()sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求：(I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (II) 求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的值域． 15．【解】(I)：1cos 23(1cos 2)()222x x f x x -+=++22cos2x x =+2sin(2)26x π=++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴最小正周期22T ππ==， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分∵222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈时()f x 为单调递增函数∴()f x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 (II)解: ∵()22sin(2)6f x x π=++，由题意得:63x ππ-≤≤∴52[,]666x πππ+∈-，∴1sin(2)[,1]62x π+∈-，∴()[1,4]f x ∈∴()f x 值域为[1,4] ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分16.某班植树小组栽培甲、乙两种松树，已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种，已知栽培甲品种的有2人，栽培乙品种的有6人，现从中选2人，设选出的人中既栽培甲品种又栽培乙品种的人数为ξ，且520P ==）（ξ，求： （1）植树小组的人数； （2）随机变量ξ的数学期望。
2018年天津市高三下学期第五次月考理数试题word版含解析
2018年天津市高三下学期第五次月考理数试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：,则：，.本题选择C选项.2. 若，满足条件则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D3. 已知命题：，；命题：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B点睛：(1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题．(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变．(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例．(4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．4. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C5. 在等差数列中，，设数列的前项和为，则（）A. 18B. 99C. 198D. 297【答案】C【解析】解析：因，故，应选答案C。
6. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆：相切，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设切点为M,则EM∥PF1,又,所以|PF1|=4r=b,所以|PF2|=2a+b,因此b2+(2a+b)2=4c2，所以b=2a，所以渐近线方程为y=±2x.本题选择D选项.7. 设函数，若方程有12个不同的根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．8. 已知圆为的内切圆，，，，过圆心的直线交圆于，两点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D代入圆的方程可得，即有，则有，由1+k2⩾1可得，则有；同理当k>0时,求得综上可得,的取值范围是.本题选择D选项.第Ⅱ卷二、填空题（共6个小题，将答案填在答题纸上）9. 用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为__________．【答案】900考点：本题主要考查分层抽样。