初中数学2定理与证明
八年级数学(华教版)上册课件-【2.定理与证明】
2. 下列命题是定理的是（ B ） A. 两点之间，线段最短 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两点确定一条直线 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
基本事实、定理、真命题之间的联系与区别：
命题
从基本事实或其他 真命题出发
可以作为进一步判断 其他命题真假的依据 真命题
定理
基本事实与定理的联系与区别： 定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据， 它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证； 定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.
思考
（1）一位同学在钻研数学题时发现:
2 + 1 =3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211
计算一下2×3×5×7×11+1 与2×3×5×7×11×13+1，
你发现了什么？
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论: 从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加 1 一定也是质数. 他的结论正确吗？
实际上，这是一个正确的结论.
上面几个例子说明: 通过特殊的事例得到的结论可 能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论， 还需进一步加以证实.
证明：
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理， 来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
证明的依据：
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们 可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的 定理，以及等式的性质、等量代换等．
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发， 用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步 判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
华东师大版数学八年级上册13.1.2定理与证明 课件
巩固训练1
6．下面关于基本事实和定理的联系
说法不正确的是( B ) A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理也是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性 需证明
探究二：用基本事实、定理进行简单的证明
自学指导二：
内容：课本第56-57页内容 时间：3分钟
华东师范大学出版社 《义务教育教科书》
八年级数学(上册)
复习旧知
1、什么叫命题？ 3、命题的分类
2、命题的结构 4、真、假命题的判断
复习旧知
1、什么叫命题？
表示判断的语句叫做命题。
2、命题的结构
命题由条件和结论两部分构成，常可写成 “如果……那么……”的形式
3、命题的分类
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
A．定义
B．定理
C．基本事实
D．定义
巩固训练1
3．“平行于同一条直线的两条直线
互相平行”是( )
A．假命题
B．定义
C．基本事实 D．定理
巩固训练1
3．“平行于同一条直线的两条直线
互相平行”是( D )
A．假命题
B．定义
C．基本事实 D．定理
巩固训练1
4．下列命题中：①两点确定一条直线； ②同位角相等，两直线平行； ③两点之间，线段最短； ④三角形的内角和等于180°. 属于基本事实的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固训练1
4．下列命题中：①两点确定一条直线； ②同位角相等，两直线平行； ③两点之间，线段最短； ④三角形的内角和等于180°. 属于基本事实的有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
初中数学定理及推论的证明
初中数学定理及推论的证明证明一：等腰三角形的定理定理：如果一个三角形的两条边等长，那么这个三角形是等腰三角形。
证明：假设三角形ABC的两条边AB和AC等长，即AB=AC。
由等量减法原理，我们可以得到：AB-AC=0。
再根据减法交换律，我们可以得到：AC-AB=0。
根据减法结合律，上述两式可以合并为：AC-AB+AB-AC=0。
通过合并同类项，我们可以得到：AC-AC+AB-AB=0。
根据零元素的性质，我们可以得到：0+0=0。
根据加法恒等性质，上述两式可以合并为：0=0。
根据等式传递律，我们可以得到：AC-AB=AB-AC。
根据相反数的性质，上式可以变为：AC+(-AB)=AB+(-AC)。
根据加法逆元的定义，我们可以将上式简化为：AC-AB=AB-AC=0。
由于AC-AB=0，所以AC=AB。
这就证明了三角形ABC是等腰三角形。
证明二：三角形内角和定理定理：三角形的内角和等于180度。
证明：假设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C。
我们可以通过以下步骤来证明内角和定理：1.根据直角三角形的性质，直角三角形的内角和等于90度。
所以∠A+∠B+∠C=90度。
2.将三角形ABC划分为两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个内角分别为∠A和∠B。
3.根据直角三角形内角和定理，我们可以得到∠A+∠B=90度。
4.将上述结果代入第一步的等式中，我们可以得到90度+∠C=90度。
5.根据加法逆元的定义，我们可以将上述结果简化为∠C=0度。
6.根据零元素的性质，0度+0度+0度=0度。
结合第一步的等式，我们可以得到∠A+∠B+∠C=0度。
因此，三角形ABC的内角和等于180度。
证明三：略以上是初中数学中的两个重要定理及其证明。
这些证明基于基本的数学概念和运算法则，通过逻辑推理和数学运算的方法，从已知条件推导出结论。
这些证明过程旨在培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力，加深对数学定理的理解和应用。
同时，这些定理的证明也为后续数学知识的学习和应用奠定了基础。
八年级数学上册 第2章 三角形2.2 命题与证明第2课时 真命题、假命题与定理课件
第三页，共十七页。
判断下列命题(mìng tí)为真命题(mìng tí)的依据是什 么（1?）如果(rúguǒ)a是整数，那么a是有理数;
有理数的定义
（2）如果(rúguǒ)△ABC是等边三角形，那么△ABC是
等腰三角形.
等腰（等边）三角形的定义
第四页，共十七页。
试一试
下列命题为真命题的是（ ） B
第十五页，共十七页。
课后小结(xiǎojié)
真、假命题
基本事实
定理
你有哪些疑惑与收获？
第十六页，共十七页。
内容 总结 (nèiróng)
第2课时 真命题、假命题与定理。（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角 形.。B. 0的平方是0。D. 三角形的一个外角等于它的两个内角之和。∠A不一定等于∠B。等于 与它不相邻的两个内角的和。基本事实：我们把少数真命题作为基本事实.。定理：我们把经 过证明为真的命题叫作定理.。任何定理都有逆命题，但不一定有逆定理.。（3）两条直线 (zhíxiàn)被第三条直线(zhíxiàn)所截，同位角相等.。你有哪些疑惑与收获
第十三页，共十七页。
真命题
2. 举反例说明下列命题是假命题:
（1）两个锐角的和是钝∠A+∠B=65°，和是锐角(ruìjiǎo).
（2）如果数a， b的积ab>0，那么a，b都是正数(zhèngshù)；
如取a=-3，b=-5，则ab=15＞0，但a、b都是负数(fùshù).
真命题 假命题
当一个(yī ɡè)命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
第九页，共十七页。
互逆定理：如果一个定理的逆命题(mìng tí)能被证明是真命题
定理与证明教案
定理与证明教案定理与证明教案1教学建议（一）教材分析1、知识结构2、重点、难点分析重点：真命题的证明步骤与格式．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．难点：推论证明的思路和方法．因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点．（二）教学建议1、四个注意（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的根据．（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题．这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的．（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断．如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法．只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的．但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等．（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由．2、逐步渗透数学证明的思想：（1）加强数学推理（证明）的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为，所以”句式，“如果，那么”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来．（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许的工具画图（垂线、平行线）的能力和在对要证命题的理解（如分清题设、结论）的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方法．（3）加强各种推理训练，一般应先使学生从“模仿”教科书的形式开始训练．首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至三、四步的推理．在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题．教学目标：1、了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤．2、能用符号语言写出一个命题的题设和结论．3、通过对真命题的分析，加强推理能力的训练，培养学生逻辑思维能力．教学重点：证明的步骤与格式．教学难点：将文字语言转化为几何符号语言．教学过程：一、复习提问1、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？2、根据题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截）3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示）二、例题分析例1、证明：两直线平行，内错角相等．已知：a∥b，c是截线．求证：∠1＝∠2．分析：要证∠1＝∠2，只要证∠3＝∠2即可，因为∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，易得出∠3＝∠2．证明：∵a∥b（已知），∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）．例2、证明：邻补角的平分线互相垂直．已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．求证：OE⊥OF．分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．证明：∵OE平分∠AOB，∴∠1＝∠AOB，同理∠2＝∠BOC，∴∠1＋∠2＝（∠AOB＋∠BOC）＝∠AOC＝90°，∴OE⊥OF（垂直定义）．三、课堂练习：1、平行于同一条直线的两条直线平行．2、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．四、归纳小结主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技能、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识．然后见投影仪．五、布置作业课本P143 5、（2），7。
八年级数学上册 第13章 全等三角形13.1 命题、定理与证明 2定理与证明课件
3.经过分析，找出由已知推出求证的
途径，写出证明过程.
第十一页，共二十二页。
根据下列命题，画出图形，并结合
图形写出已知、求证(不写证明过程)：
1)垂直于同一直线的两直线平行；
2)内错角相等，两直线平行；
3)一个角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等； 4)两条平行线的一对(yī duì)内错角的平分线互相
∴ OE⊥OF 2 第十七页，共二十二页。
如何(rúhé)判断一个命题是假命题？
只要举出一个例子（反例），
它符合(fúhé)命题的题设，但不满足 结论就可以了.
第十八页，共二十二页。
判断下列(xiàliè)命题是真命题还是假命题.
如果是假命题，举出一个反例：
1)相等的角是对顶角； 2)同位角相等；
4)两条平行线的一对(yī duì)内错角的平分线互相 平行.
已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且
AB∥CD，EG、FH分别(fēnbié)是∠AEF和
∠EFD的平分线
求证：EG∥FH
A
E
B
G CF
第十六页，共二十二页。
H D
例2.证明(zhèngmíng)：邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角(bǔ ， jiǎo)
c
3a
1
2
b
第九页，共二十二页。
c
证明 ：∵a∥已b 知( (zhèngmíng)
∴∠3=∠2
3a
1
)2
b
(两直线平行(píngxíng)，同位角相) 等
∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等)(xiāngděng)
∴∠1=∠2 ( 等量代换)
7.2.2定理与证明(课件)北师大版数学八年级上册
(2)选择由①③，得②.
证明：连接BD，如答图．在△ABD和△CDB中，
AB＝CD，
BD＝DB， AD＝CB， 所以△ABD≌△CDB(SSS)，所以∠A＝∠C.(答案不唯一)
课堂小结
同学们，这节课我们学习了公理、定理、证明，这些知 识和解决问题的方法会一直伴随着我们数学的学习，大 家一定要好好体会，加深理解．
①能被3整除的数一定能被6整除；②对顶角相等；③同角
的补角相等；④三角形的任意两边之和大于第三边．
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①③④
小组讨论
如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝ BE，∠A＝ ∠E，则△CAB≌△FED.判断这个命题是真命题还是假命 题．如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个 适当的条件使它成为真命题，并加以证明． 解：是假命题．添加条件：∠FDE＝∠CBA(不唯一)． 证明：因为AD＝BE， 所以AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE，在△CAB和△FED中， 因为∠A＝∠E，AB＝ED，∠CBA＝∠FDE， 所以△CAB≌△FED
故事导入
举一个反例就可以 说明一个命题是假 命题,那么如何证实 一个命题是真命题 呢?
自主探究
请同学们阅读课本168－169页，并完成下面题目．
1．下列说法错误的是( C )
A．定理是真命题
B．公理一定不是假命题
C．公理与定理没有区别
D．定义、定理、公理、公式等都是进行推理论证的依据
2．下列命题中，是定理的是( B )
3．公理与定理的异同： 相同点：①都是真命题；②都可以作为证明其他命题的依据． 不同点：公理的真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理 证明，而定理需要经过证明．
典例精讲
八年级数学上册第2章三角形2.2命题与证明真命题、假命题与定理教学
2.2 命题 与证明 (mìng tí)
第2课时 真命题、假命题与定理
导入新课
讲授( jiǎngshòu)新 课
当堂(dānɡ tánɡ) 练习
课堂小结
第一页，共二十六页。
学习(xuéxí) 目标
1.会判断一个命题的真假;（重点） 2.理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念(gàiniàn)；
的结论，从而就可判断这个命题(mìng tí)为假命题(mìng . tí)
我们通常(tōngcháng)把这种方法称为“举反 例”. 例如，要判断命题“如果(rúguǒ)a是有理数，那么a是整 数”是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是0.1不 是整数”这一例子即可判断该命题是假命题.
第十一页，共二十六页。
（1）每一个月都有31天； 错误
（2）如果a是有理数，那么(nà me)a是整数; 错误
（3）同位角相等 错误 (（xiā4ng）děng同)；角的补角相等.
正确
你能说说你是 怎么判断的吗？
我们把正确的命题称为真命题，把错误 的命题称为假命题.
第五页，共二十六页。
练一练
1.下列(xiàliè)四个命题中是真命题的有（C ）.
第十八页，共二十六页。
方法(fāngfǎ) 总结
判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆 命题，再分析(fēnxī)是否为真命题，若是真命题，则它就是 原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆 定理．
第二十页，共二十六页。
当堂练习
1. 下列命题(mìng tí)中，哪些是真命题(mìng tí)，哪些是假命题
第十六页，共二十六页。
判一判1：命题(mìng tí)“如果∠1和∠2是对顶角，那么 ∠1=∠2”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假.
华师大版八年级数学上册《命题、定理与证明2.定理与证明》优课件
You made my day!
我们，还在路上……
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14
13.1.2 定理与证明
2．学会证明 填空，把下列解题过程补充完整． 如图 13－1－4 所示，直线 A⊥直线 C，直线 B⊥直线 C， 判断∠1 和∠2 是否相等？并说明理由．
图 13－1－4
13.1.2 定理与证明
解：∠1 和∠2 相等．理由如下：∵A⊥C，B⊥C(已知)， ∴A∥B在(__同一平面内，垂直于同一条直线的两条直__线)，平行
13.1.2 定理与证明
解：因为 AE∥BC(已知)， 所以∠EAC＝∠C(__ 两直线平行，内错角相等 __)． 因为∠C＝30°(三角板角的度数)， 所以∠EAC＝30°(等量代换)． 因为∠DAE＝45°(三角板角的度数)， 所 以 ∠ DAF ＝ ∠DAE － ∠EAC ＝ 45 ° － 30 ° ＝ 15 ° ( 角 的 和 差)． 因为∠AFD＋∠ADE＋∠DAF＝180°(三__角形内角和定_理)， 所以∠AFD＝180°－∠ADE－∠DAF＝180°－90°－15° ＝75°(等式的性质)． 你认为所填写的两个依据都是些什么命题？它们的共同作用 是什么？ ◆知识链接——[新知梳理]知识点一
2022年数学精品初中教学设计《定理与证明》特色教案
第2课时 定理与证明1．了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理；(重点)2．体会命题证明的必要性, 体验数学思维的严谨性．一、情境导入体验证明的步骤：对于命题“如果一条直线与两条平行线中的一条垂直, 那么这条直线也和另一条垂直〞是否正确？转化为如下图的图形, 条件为AB∥CD , AB ⊥EF, 请问CD 与EF 垂直吗？为什么？二、合作探究探究点一：公理与定理以下平行线的判定方法中是公理的是( )A ．平行于同一条直线的两条直线平行B ．同位角相等, 两直线平行C ．内错角相等, 两直线平行D ．在同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线解析：A 是由公理推出的定理；C 是由B 推出的平行线的判定定理；D 是平行线的定义, 只有B 是由画图实践得来的, 符合公理的定义, 应选B.方法总结：公理是不需要推理判断的公认的真命题；定理是需要用推理的方法来判断其正确的命题．探究点二：证明 【类型一】 直接证明非文字题如下图, 在直线AC 上取一点O, 作射线OB, OE 和OF 分别平分∠AOB 和∠BOC.求证：OE⊥OF.解析：要证明某个结论, 可从条件入手分析, 也可以从结论逆推进行分析．要证OE⊥OF , 只需证∠EOF ＝90°, 而∠EOF ＝∠EOB ＋∠BOF , 因此只需证∠EOB ＋∠BOF ＝90°.由OE 、OF平分∠AOB 和∠BOC 可得∠EOB ＋∠BOF ＝12(∠AOB ＋∠BOC)＝90°, 所以得证OE⊥OF. 证明：∵OE 和OF 分别平分∠AOB 和∠BOC , ∴∠EOB ＝12∠AOB, ∠BOF ＝12∠BOC.又∵∠AOB＋∠BOC＝180°, ∴∠EOB ＋∠BOF＝12(∠AOB＋∠BOC)＝12×180°＝90°, 即∠EOF ＝90°, ∴OE ⊥OF.方法总结：从结论逆推进行分析得出条件, 反过来的过程就是证明结论的过程．【类型二】 直接证明文字题求证：直角三角形的两个锐角互余．解析：分析这个命题的条件和结论, 根据条件和结论画出图形, 写出、求证, 并写出证明过程．：如下图, 在△ABC 中, ∠C ＝90°.求证：∠A 与∠B 互余．证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和等于180°), 又∠C＝90°, ∴∠A ＋∠B＝180°－∠C＝90°.∴∠A 与∠B 互余．方法总结：解此类题首先根据题意将文字语言变成符号语言, 画出图形, 最后再经过分析论证, 并写出证明的过程．三、板书设计命题⎩⎪⎨⎪⎧分类⎩⎪⎨⎪⎧公理：公认的真命题定理：经过证明的真命题证明：推理的过程经历实际情境, 初步体会公理化思想和方法, 了解本教材所采用的公理, 让学生对真假命题有一个清楚的认识, 从而进一步了解定理、公理的概念．培养学生的语言表达能力．22.2 二次函数与一元二次方程教学目标知识与技能1．总结出二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系, 表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程, 体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x 轴的交点个数, 讨论一元二次方程的根的情况, 进一步体会数形结合思想．教学重点和难点重点:方程与函数之间的联系, 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点:二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 教学过程设计〔一〕问题的提出与解决问题 如图, 以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力, 球的飞行高度h 〔单位：m 〕与飞行时间t 〔单位：s 〕之间具有关系h ＝20t —5t 2考虑以下问题〔1〕球的飞行高度能否到达15m ？如能, 需要多少飞行时间？〔2〕球的飞行高度能否到达20m ？如能, 需要多少飞行时间？〔3〕球的飞行高度能否到达20.5m ？为什么？〔4〕球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h 与飞行时间t 的关系是二次函数h=20t －5t 2.所以可以将问题中h的值代入函数解析式, 得到关于t的一元二次方程, 如果方程有符合实际的解, 那么说明球的飞行高度可以到达问题中h的值：否那么, 说明球的飞行高度不能到达问题中h的值.解：〔1〕解方程15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.当球飞行1s和3s时, 它的高度为15m.〔2〕解方程20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2.当球飞行2s时, 它的高度为20m.〔3〕解方程20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0因为〔－4〕2－4×4..5m.〔4〕解方程0＝20t－5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4.播放课件：函数的图像, 画出二次函数h=20t－5t2的图象, 观察图象, 体会以上问题的答案.密切.由学生小组讨论, 总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x ＝3〔即x2－4x＋3＝0〕.反过来, 解方程x2－4x＋3＝0又可以看作二次函数y＝x2－4＋3的值为0, 求自变量x的值.一般地, 我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.〔二〕问题的讨论二次函数〔1〕y＝x2＋x－2；〔2〕y＝x2－6x＋9；〔3〕y＝x2－x＋0.的图象如图26.2－2所示.〔1〕以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有, 公共点的横坐标是多少？〔2〕当x取公共点的横坐标时, 函数的值是多少？由此, 你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象, 由图像学生展开讨论, 在老师的引导下答复以上的问题.可播放课件：函数的图像, 输入a,b,c的值, 划出对应的函数的图像, 观察图像, 说出函数对应方程的解.可以看出：〔1〕抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点, 它们的横坐标是－2, 1.当x取公共点的横坐标时, 函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.〔2〕抛物线y ＝x 22－6x ＋9=0有两个相等的实数根3.〔3〕抛物线y ＝x 2－x ＋1与x 轴没有公共点, 由此可知, 方程x 2－x ＋1=0没有实数根. 总结：一般地, 如果二次函数y=2ax bx c ++的图像与x 轴相交, 那么交点的横坐标就是一元二次方程2ax bx c ++=0的根.〔三〕归纳一般地, 从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知,〔1〕如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点, 公共点的横坐标是x 0, 那么当x ＝x 0时, 函数的值是0, 因此x ＝x 0就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根.〔2〕二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点, 有一个公共点, 有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根, 有两个相等的实数根, 有两个不等的实数根.于作图或观察可能存在误差, 由图象求得的根, 一般是近似的.〔四〕例题例 利用函数图象求方程x 2－2x －2＝0的实数根〔精确到0.1〕.解：作y ＝x 2－2x －2的图象〔图26.2－3〕, 它与x 轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7. 所以方程x 2－2x －2＝0的实数根为x 1≈－0.7,x 2≈2.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解, 前一个课件用来画图, 可根据图像估计出方程x 2－2x －2＝0实数根的近似解, 后一个课件可以准确的求出方程的解, 体会其中的差异.〔五〕小结 总结本节的知识点.〔六〕作业: 〔七〕板书设计 二次函数与一元二次方程抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与方程a x 2＋bx ＋c=0的解之间的关系例题。
人教版数学七年级下册《命题、定理、证明》相交线与平行线教学
结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
思考 定理在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条， 那么它也垂直于另一条． （4）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？
已知：b∥c， a⊥b ．求证：a⊥c． 证明：∵ a⊥b（已知），
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条 直线平行； （5）两点确定一条直线．
真命题
假命题 假命题 真命题
真命题
练习
下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
1、猪有四只脚；（ 是 ） 真命题 2、内错角相等；（ 是 ）假命题 3、画一条直线；（ 否 ） 4、四边形是正方形；（ 是 ）假命题 5、你的作业做完了吗？（ 否 ） 6、同位角相等，两直线平行；（ 是 ） 真命题 7、对顶角相等；（ 是 ）真命题 8、同垂直于一直线的两直线平行；（ 是 ）假命题 9、过点P画线段MN的垂线；（ 否 ） 10、x＞2.（ 否 ）
命题的结构 观察下列命题，思考命题是由几部分构成的？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余； （4）等式两边都加同一个数， 结果仍是等式． （5）两点之间，线段最短．
命题的结构
练习 把下列命题写成“如果…，那么…”的形式： (1) 直角都相等． (2) 同垂直于一条直线的两条直线平行． (3) 同角的余角相等．
思考 下列命题中，哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？ （1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； （3）互为相反数的两个数相加得0； （4）同旁内角互补； （5）对顶角相等．
人教版七年级数学下册5.3.2《命题、定理、证明》说课稿
人教版七年级数学下册5.3.2《命题、定理、证明》说课稿一. 教材分析《人教版七年级数学下册5.3.2<命题、定理、证明>》这一节主要让学生了解命题、定理和证明的概念。
通过学习，学生能理解命题的含义，区分定理和证明，并学会运用证明的方法来解决数学问题。
教材通过丰富的实例和具有启发性的问题，引导学生主动探索、发现和证明数学结论，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经有了一定的数学基础，例如了解四则运算、几何图形的性质等。
但部分学生可能对抽象的逻辑推理和证明过程感到困难，对定理和证明的概念理解不深。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，引导他们通过观察、思考、讨论和动手操作等方式，逐步理解和掌握知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生了解命题、定理和证明的概念，学会运用证明的方法来解决数学问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、讨论和动手操作等方式，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、坚持真理的精神。
四. 说教学重难点1.重点：命题、定理和证明的概念，证明的方法。
2.难点：对命题、定理和证明的理解，证明方法的运用。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现和证明数学结论。
2.运用多媒体课件、实物模型等教学手段，辅助学生直观地理解概念和证明过程。
3.小组讨论，让学生在合作交流中提高逻辑思维能力。
4.注重实践操作，让学生动手动脑，增强对知识的理解和运用能力。
六. 说教学过程1.导入：通过一个有趣的数学故事，引发学生对命题、定理和证明的好奇心，激发他们的学习兴趣。
2.新课导入：介绍命题、定理和证明的概念，引导学生理解它们之间的关系。
3.实例讲解：分析具体的数学问题，讲解证明的方法，让学生学会如何运用证明来解决实际问题。
4.小组讨论：学生进行小组讨论，让他们分享自己的理解和方法，互相学习和借鉴。
命题、定理与证明(教学课件)七年级数学下册(人教版)
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于 另一条. 例3.如图，已知直线b∥c，a⊥b. 求证a⊥c. 证明：∵ a⊥b (已知) ∴ ∠1=90°(垂直的定义) 又∵ b∥c (已知) ∴ ∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等) ∴ ∠2=∠1=90°(等量代换) ∴ a⊥c (垂直的定义)
一般地，命题由题设和结论两部分组成. 题设：是已知事项； 结论：是由已知事项推出的事项. 数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，这时“如果” 后接的部分是_题__设__，“那么”后接的部分是_结__论__. 例如，命题(1)中，“两条直线都与第三条直线平行”是_题__设__，“这两条 直线也互相平行”是_结__论__. (1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截. 在下面四个式
子中,请你选择其中三个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题
并证明.①AB⊥BC; ②CD⊥BC; ③BE//CF; ④∠1=∠2.
题设(已知):_____②__③__④_______. 结论(求证):_______①_________.
有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它 写成“如果……，那么……”的形式.例如，命题(3)“对顶角相等”可以写 成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； _如__果__两__条__平__行__线__被__第__三__条__直__线__所__截__，__那__么__同__旁__内__角__互__补__._______________ (4)等式两边加同一个数，结果仍是等式. _如__果__等__式__两__边__加__同__一__个__数__，__那__么__结__果__仍__是__等__式__._______________________
人教七年级数学下册-命题、定理、证明(附习题)
4. 如图，a∥b，c，d 是截线，∠1 = 80°， ∠5 = 70°.∠2，∠3，∠4 各是多少度？为什么？
解：∵a∥b， ∴∠2 =∠1 = 80°， ∠3 = 180°-∠5 = 180°70°=110°. 又∠4 与∠5 互为邻补角， ∴∠4 = 180°-∠5 = 180°- 70°= 110°.
课堂小结
定义 ：判断一件事情的语句叫做命题
题设：已知事项 命题、定理、 结构 结论：由已知事项推出的事项
证明
形式 ：如果……那么……
分类 真命题 证明 定理 假命题举反例
拓展延伸
如图，给出下列论断：（1）AB∥DC，（2） AD∥BC，（3）∠A+∠B = 180°，（4）∠B + ∠C = 180°，以其中一个作为题设，另一个作为 结论，写出一个真命题. 想一想，若连接 BD，你 能试着写出一个真命题并写出其推理过程吗？
5. 如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管 道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连通管道的 角度为 120°，那么，为了使管道对接，另一侧 应以什么角度铺设纵向连通管道？为什么？
120° ？
解：另一侧应以 60°的角度铺设. 因为 两直线平行，同旁内角互补.
6.在下面的括号内，填上推理的根据. 如图，AB 和 CD 相交于点 O， ∠A = ∠B，求证：∠C =∠D.
已知事项
许多数学命题常可以写成“如果……，那 么……”的形式．“如果”后面连接的部分是 题设，“那么”后面连接的部分是结论．
练习
下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写 成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角 互补；
如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁 内角互补.
初中数学定理证明(完整版)
初中数学定理证明初中数学定理证明第一篇：初中数学定理证明初中数学定理证明数学定理三角形三条边的关系定理：三角形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于第三边三角形内角和三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°推论1直角三角形的两个锐角互余推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角角的平分线性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等几何语言：∵o是∠aob的角平分线pe⊥oa，pf⊥ob点p在o上∴pe=pf判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上几何语言：∵pe⊥oa，pf⊥obpe=pf∴点p在∠aob的角平分线上等腰三角形的性质等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等几何语言：∵ab=a∴∠b=∠推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边几何语言：∵ab=a，bd=d∴∠1=∠2，ad⊥b∵ab=a，∠1=∠2∴ad⊥b，bd=d∵ab=a，ad⊥b∴∠1=∠2，bd=d推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°几何语言：∵ab=a=b∴∠a=∠b=∠=60°等腰三角形的判定判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等几何语言：∵∠b=∠∴ab=a推论1三个角都相等的三角形是等边三角形几何语言：∵∠a=∠b=∠∴ab=a=b推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形几何语言：∵ab=a，∠a=60°∴ab=a=b推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半几何语言：∵∠=90°，∠b=30°∴b=ab或者ab=2b线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等几何语言：∵mn⊥ab于，ab=b，点p为mn上任一点∴pa=pb逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上几何语言：∵pa=pb∴点p在线段ab的垂直平分线上轴对称和轴对称图形定理1关于某条之间对称的两个图形是全等形定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称勾股定理勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边的平方，即a2+b2=2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、有关系，那么这个三角形是直角三角形四边形定理任意四边形的内角和等于360°多边形内角和定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于·180°推论任意多边形的外角和等于360°平行四边形及其性质性质定理1平行四边形的对角相等性质定理2平行四边形的对边相等推论夹在两条平行线间的平行线段相等性质定理3平行四边形的对角线互相平分几何语言：∵四边形abd是平行四边形∴ad‖b，ab‖d∠a=∠，∠b=∠dao=o，bo=do平行四边形的判定判定定理1两组对边分别平行的四边形是平行四边形几何语言：∵ad‖b，ab‖d∴四边形abd是平行四边形判定定理2两组对角分别相等的四边形是平行四边形几何语言：∵∠a=∠，∠b=∠d∴四边形abd是平行四边形判定定理3两组对边分别相等的四边形是平行四边形几何语言：∵ad=b，ab=d∴四边形abd是平行四边形判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形几何语言：∵ao=o，bo=do∴四边形abd是平行四边形判定定理5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形几何语言：∵ad‖b，ad=b∴四边形abd是平行四边形矩形性质定理1矩形的四个角都是直角性质定理2矩形的对角线相等几何语言：∵四边形abd是矩形∴a=bd∠a=∠b=∠=∠d=90°推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何语言：∵△ab为直角三角形，ao=o∴bo=a判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形几何语言：∵∠a=∠b=∠=90°∴四边形abd是矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形几何语言：∵a=bd∴四边形abd是矩形菱形性质定理1菱形的四条边都相等性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角几何语言：∵四边形abd是菱形∴ab=b=d=ada⊥bd，a平分∠dab和∠db，bd平分∠ab和∠ad判定定理1四边都相等的四边形是菱形几何语言：∵ab=b=d=ad∴四边形abd是菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形几何语言：∵a⊥bd，ao=o，bo=do∴四边形abd是菱形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称和中心对称图形定理1关于中心对称的两个图形是全等形定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称梯形等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等几何语言：∵四边形abd是等腰梯形∴∠a=∠b，∠=∠d等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形几何语言：∵∠a=∠b，∠=∠d∴四边形abd是等腰梯形三角形、梯形中位线三角形中位线定理三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半几何语言：∵ef是三角形的中位线∴ef=ab梯形中位线定理梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半几何语言：∵ef是梯形的中位线∴ef=比例线段1、比例的基本性质如果a∶b=∶d，那么ad=b2、合比性质3、等比性质平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例几何语言：∵l‖p‖a推论平行与三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行与三角形的第三边垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵o⊥ab，o过圆心推论1平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵o⊥ab，a=b，ab不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧)弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵a=b，o过圆心平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧几何语言：推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等几何语言：∵ab‖d圆心角、虎弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条虎两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆的内接四边形定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角几何语言：∵四边形abd是⊙o的内接四边形∴∠a+∠=180°，∠b+∠adb=180°，∠b=∠ade切线的判定和性质切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l⊥oa，点a在⊙o上∴直线l是⊙o的切线切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径几何语言：∵oa是⊙o的半径，直线l切⊙o于点a∴l⊥oa推论1经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言：∵弦pb、pd切⊙o于a、两点∴pa=p，∠apo=∠po弦切角弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角几何语言：∵∠bn所夹的是，∠a所对的是∴∠bn=∠a推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠bn所夹的是，∠am所对的是，=∴∠bn=∠am和圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等几何语言：∵弦ab、d交于点p∴pa·pb=p·pd推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：∵ab是直径，d⊥ab于点p∴p2=pa·pb切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项几何语言：∵pt切⊙o于点t，pba是⊙o的割线∴pt2=pa·pb推论从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等几何语言：∵pba、pd是⊙o的割线∴pt2=pa·pb。
八年级数学上册 第13章 全等三角形 13.1 命题、定理与证明 2 定理与证明导学课件
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
【归纳总结(zǒngjié)】证明文字叙述的真命题的一般步骤： (1)分清条件和结论；(2)画出图形；(3)根据条件写出已知，根据结论写出
求证；(4)证明.
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13.1 命题、定理与证明
总结(zǒngjié)反思
小结(xiǎojié)
图 13－1－1
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13.1 命题、定理(dìnglǐ)与证明
解：可以判定(pàndìng)AB∥CD.理由： ∵ ∠1＋∠2＝80°＋100°＝180°， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【归纳总结】证明(zhèngmíng)几何命题的依据： 已知条件、定义、基本事实、定理等．
正确性需要进行证明；如果要说明它是假命题，只要举一个反例就可以 了．
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13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
目标三 会进行(jìnxíng)简单的推理证明
例 3 教材补充例题如图 13－1－1，直线 AB，CD 被直线 EF 所截， 若∠1＝80°，∠2＝100°. 由此你可以判定 AB 和 CD 平行吗？为什 么？ [全品导学号：90702083]
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内容(nèiróng)总结
第13章 全等三角形。13.1 命题、定理与证明。2．经过观察(guānchá)、讨论、发现，理解由特殊事例得到的结论不一 定正确．。于是小华猜想：不论a，b为何值，总有a2＋b2＞2ab.。理由：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，。【归纳总结】由特 殊事例递推猜想所得到的命题不一定是真命题，其正确性需要进行证明。解：可以判定AB∥CD.理由：。已知条件、定义、 基本事实、定理等．。【归纳总结】证明文字叙述的真命题的一般步骤：
人教版数学七年级下册-《命题、定理、证明》教学详案
《命题、定理、证明》教学详案1.掌握命题、定理的概念,并能分清命题的组成.2.了解证明的意义.通过讨论、探究、交流等形式,使学生在质疑、辩论中获得知识体验.培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.【重点】掌握命题、定理的概念,了解证明的意义.【难点】1.分清命题的组成,能说出一个命题的逆命题.2.掌握推理的方法和步骤.导入一:我们学过一些对某一件事情做出判断的语句,例如:(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;(3)对顶角相等;(4)等式两边加同一个数,结果仍是等式.像这样判断一件事情的句子叫做什么呢?通过教材的举例,直接导入本课时的学习.导入二:在直角三角形中,如果一条直角边长为3,另一条直角边长为4,那么这个直角三角形的斜边长是5.这个结论是否正确呢?如果我们说它是正确的,就要拿出相应的依据,或者去证明你的猜想是正确的.要认识这个问题,就需要我们了解一些命题、定理、证明的相关知识.通过学生可能掌握的常识性问题,引出一些结论只靠猜想和验证还是不够的,必须给予科学的证明.(针对导入一)像对顶角相等这样的句子叫什么呢?一、命题的定义定义:判断一件事情的语句,叫做命题.问题:下列语句,哪些是命题?哪些不是?(1)过直线AB外一点P,作AB的垂线;(2)过直线AB外一点P,可以作几条直线与AB平行?(3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这条直线平行;(4)若|a|=-a,则a≤0.处理方式:(1)教师总结:(3)(4)这两个句子的共同特征是对一件事情做出判断;(2)指明概念以后,安排学生举例;(3)教师评价和鼓励学生.(补充)判断下列语句是不是命题.(1)两条直线相交有几个交点?(2)相等的角是对顶角;(3)画∠AOB=30°;(4)如果x2=y2,那么x=y.〔解析〕问句一定不是命题,只有对一件事情做出判断的句子才是命题,而与是否正确无关.解:(1)(3)不是命题,(2)(4)是命题.(1)必须是对某件事情作出判断的句子,才能叫命题,反之不能作出判断的句子,不叫命题,这是辨别一个语句是否是命题的根本原则.(2)命题的形式并非全部是语言叙述的形式,也可以用数学符号表示.(3)命题的内容并非全部为数学语言,还有生活中其他方面更广泛的内涵.二、命题的组成命题的形式多种多样,命题是由哪些部分组成的呢?命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……那么……”的形式,这时,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.1.处理方式.教师直接给出命题的组成包括两部分,题设和结论.并向学生解释命题的常见形式,即以“如果……那么……”的形式展现.强调有些命题的形式不明显,需要先将它写成以上形式.2.例题讲解.(补充)指出下列命题的题设和结论.(1)对顶角相等;(2)不相等的两个角不是对顶角.〔解析〕根据题意,适当增减词语,将原命题改写成“如果……那么……”的形式.用“如果”开始的部分即为题设,用“那么”开始的部分即为结论.解:(1)题设:两个角是对顶角.结论:这两个角相等.(2)题设:两个角不相等.结论:这两个角不是对顶角.(1)任何命题都由“题设”和“结论”构成.已知的事项为题设,在命题的前半部分;由已知事项推出的结果是结论,在命题的后半部分.(2)辨别题设和结论时,通常将命题改写为“如果……那么……”的形式,“如果”以后的内容为题设,“那么”以后的内容为结论.改写时需在不改变原意的情况下,适当补充词语,使语句通顺、完整.三、命题的真假凡是命题都是正确或者是错误的吗?1.判断下列命题是否正确.(1)如果两个数互为相反数,那么这两个数的商为-1;(2)如果两个角是邻补角,那么这两个角互补;(3)如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0;(4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数;(5)如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数;(6)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角.2.真命题和假命题.如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题;有些命题中,题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.3.例题讲解.(补充)“相等的角是对顶角”是真命题吗?如果是,说出理由;如果不是,请举出反例.〔解析〕对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是假命题.若为真命题,可通过讲道理说明,若为假命题,可通过举一反例说明.解:不是真命题,如下图中∠1=∠2,但∠1与∠2不是对顶角.命题的真假是以对事情所作出判断的正确与否来划分的.四、定理和证明命题有真有假,有的命题不是一目了然就能辨出真假,怎么办呢?这就需要我们用推理的方法来加以证明.1.定理.定理与命题的联系,定理属于命题,而且属于真命题.即定理都叫命题,但命题不一定是定理.2.如果是真命题,可以经推理证明其正确性,若判断为假命题,则需举反例说明或用反证法的思想说明.(教材例2)如图所示,已知直线b∥c,a⊥b.求证a⊥c.〔解析〕要证明a⊥c,只需要证明∠2为90°即可.如果能证明∠1=∠2,问题即可解决.证明:因为a⊥b(已知),所以∠1=90°(垂直的定义).又b∥c(已知),所以∠2=∠1(两直线平行,同位角相等).所以∠1=∠2=90°(等量代换),所以a⊥c(垂直的定义).证明的实质是将命题的题设实现为命题的结论,为原因(题设)与结果(结论)架设一座桥梁,不论采取什么方法,只要用已经学过的知识、有理论依据地推出结论就可以,因此证明同一个命题会有多种方法.1.命题的“题设”和“结论”是就命题的结构而言,任何一个命题都包含这两部分,而且“题设在前,结论在后”.对于这两部分不明显的命题,需挖掘隐含的内容,将它写成“如果……那么……”的形式,再辨别.2.命题的“真”“假”是对命题的内容而言的.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需推理、论证,而说明一个命题的错误性只需举出一个反例即可.3.证明中的每一步推理都要有根据,根据可以是已知条件,也可以是学过的定义、基本事实、定理等.1.下列语句中不是命题的是()A.锐角小于钝角B.作角A的平分线C.对顶角不相等D.股票不是人民币解析:根据命题的定义:对一件事情作出判断的语句叫做命题进行解答.“锐角小于钝角,对顶角不相等,股票不是人民币”都对一件事情作出了判断,而“作角A的平分线”描述的是一种行为,没有作出判断,不是命题.故选B.2.下列命题中,正确的是()A.对顶角相等B.同位角相等C.内错角相等D.同旁内角互补解析:对顶角相等,正确;在两平行线被第三条直线所截的条件下,B,C,D才正确.故选A.3.请给假命题“一个正数永远大于它的倒数”举出一个反例:.解析:判断“一个正数永远大于它的倒数”什么情况下不成立,即找出一个正数小于或等于它的倒数即可.答案不唯一.故填,<=2.5.3.2命题、定理、证明1.命题的定义例12.命题的组成例23.命题的真假例34.定理和证明例4一、教材作业【必做题】教材第21页练习第1题;教材第22页练习第1题.【选做题】教材第24页习题5.2第13题.二、课后作业【基础巩固】1.给出下列语句:①两点之间,直线最短;②不许大声讲话;③连A,B两点;④鸟是动物;⑤不相交的两条直线叫做平行线.其中是命题的有 ()A.2个B.3个C.4个D.5个2.下列命题中真命题是()A.同位角相等B.两点之间,线段最短C.相等的角是对顶角D.互补的角是邻补角3.下面各数中,可以用来证明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是()A.9B.8C.4D.164.说出下列命题的题设和结论.(1)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直;(2)钝角大于它的补角.【能力提升】5.下列说法中正确的是()A.两直线被第三条直线所截得的同位角相等B.两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补C.两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直D.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直6.下列说法错误的是()A.所有的命题都是定理B.定理是真命题C.公理是真命题D.“画线段AB=CD”不是命题7.下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是()A.a=-2B.a=-1C.a=1D.a=28.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式.(1)直角都相等;(2)等量代换;(3)末位数是5的整数能被5整除;(4)三角形的内角和是180°.【拓展探究】9.判断下列语句是不是命题,如果是命题,并判断命题是否正确.(1)连接AB;(2)如果两平行线被第三条直线所截,那么内错角相等.10.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举一个反例.(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;(2)如果a>b,那么ac>bc;(3)两个锐角的和是钝角.【答案与解析】1.B(解析:判断一件事情的语句是命题,由此可判断出①④⑤是命题.)2.B(解析:根据平行线的性质对A进行判断;根据线段最短的公理对B进行判断;根据对顶角的定义对C进行判断;根据邻补角的定义对D进行判断.A.两直线平行,同位角相等,所以A选项错误;B.两点之间,线段最短,所以B选项正确;C.相等的角不一定是对顶角,所以C选项错误;D.有一条边共线且互补的两个角是邻补角,所以D选项错误.故选B.)3.C(解析:根据偶数与倍数的定义对各选项进行验证即可.A.9不是偶数,故本选项错误;B.8是8的倍数,故本选项错误;C.4是偶数但不是8的倍数,故本选项正确;D.16是8的倍数,故本选项错误.故选C.)4.解:(1)题设:两角互为邻补角,结论:它们的平分线互相垂直. (2)题设:一个角是钝角,结论:这个角大于它的补角.5.D(解析:A.两平行线被第三条直线所截得的同位角相等,原说法错误,故本选项错误;B.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角互补,原说法错误,故本选项错误;C.两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相平行,原说法错误,故本选项错误;D.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直,说法正确,故本选项正确.故选D.)6.A(解析:A.定理是真命题,但假命题不是定理,故错误,本选项符合题意;B.定理是真命题,C.公理是真命题,D.“画线段AB=CD”不是命题,均正确,不符合题意.故选A.)7.A(解析:根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明.用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例可以是a=-2,因为a2>1,但是a=-2<1,所以A正确.故选A.) 8.解:(1)如果几个角是直角,那么它们都相等. (2)如果两个量相等,那么它们可以互相代换. (3)如果一个数的末位数是5,那么它能被5整除. (4)如果一个图形是三角形,那么它的内角和是180°.9.解:(1)“连接AB”不是判断一件事情的语句,所以不是命题. (2)“如果两平行线被第三条直线所截,那么内错角相等”是命题,是正确的命题.10.解:(1)假命题.两直线不平行时不成立,可通过画图说明,图略. (2)假命题.当c≤0时不成立,如3>2,但3×0=2×0. (3)假命题.如α=20°,β=50°,则α+β=70°不是钝角.本课时是学生学习证明的正式开始,理解相关几个概念不是难点,难点是领会证明的基本思路和要领.因此本课时在引导学生准确理解相关定义的基础上,通过较多的例题,给学生做证明问题的示范,突出了课时教学的重点,取得了较好的课堂学习效果.在前面基本定义的教学过程中,老师的讲解过多,出示给学生问题阅读提纲,通过学生交流后老师总结即可.这在一定程度上限制了学生课堂学习的主动性.在课时教学过程中,命题的例子基本都是老师呈现给学生的,可以尝试让学生根据所学知识,按照一定的要求自拟几个命题,这样更有利于理解命题的相关含义.对于为什么要进行证明和证明的意义要加以点拨,对于可以作为证明的依据也要帮助学生归纳和总结一下.练习(教材第21页)1.解:(1)题设:AB⊥CD,垂足为O;结论:∠AOC=90°. (2)题设:∠1=∠2,∠2=∠3;结论:∠1=∠3. (3)题设:两直线平行;结论:同位角相等.2.提示:答案不唯一,如“对顶角相等”“两直线平行,同位角相等”等.练习(教材第22页)1.同旁内角互补,两直线平行两直线平行,同旁内角互补2.解:不是真命题.如图所示,∠1和∠2是同位角,但不相等.习题5.3(教材第22页)1.解:135°.因为转弯后公路方向相同,即平行,而且两次拐弯时的角为内错角,必然相等.2.解:因为AD∥BC,所以∠A+∠B=180°,所以∠B=180°-∠A=120°.因为DC与AB可能平行,也可能不平行,所以∠D的度数不确定.3.解:(1)∠2=110°.两直线平行,内错角相等. (2)∠3=110°.两直线平行,同位角相等.(3)∠4=70°.两直线平行,同旁内角互补.4.解:∠2=80°,∠3=110°,∠4=110°.理由如下:因为a∥b,所以∠2=∠1=80°.因为a∥b,所以∠3+∠5=180°,所以∠3=180°-∠5=110°.因为a∥b,所以∠4=∠3=110°.5.解:应以60°铺设.因为两直线平行,同旁内角互补.6.内错角相等,两直线平行两直线平行,内错角相等7.(1)C(2)C(解析:(1)两直线平行,内错角相等.(2)两直线平行,同旁内角互补.)8.解:∠3=∠1=45°,∠4=∠2=122°,∠5=180°-∠2=58°,∠6=180°-∠4=58°,∠7=180°-∠1=135°,∠8=180°-∠3=135°.9.解:(1)因为∠1=∠2,且∠1和∠2为内错角,所以AB∥EF. (2)因为DE∥BC,∠1和∠B为同位角,∠3和∠C为同位角,所以∠1=∠B,∠3=∠C.12.解:(1)假命题.30°与60°和为直角;70°与80°和为钝角. (2)真命题. (3)假命题.如三角形中任意两角均互为同旁内角,但它们不互补. 13.解:(1)∠C 两直线平行,内错角相等两直线平行,同旁内角互补(2)∠A'B'C' 角平分线定义等量代换14.解:(1)∠DAB=∠B=44°,两直线平行,内错角相等. (2)∠EAC=∠C=57°,两直线平行,内错角相等. (3)∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=79°.通过此题可知∠B+∠C+∠BAC=∠DAB+∠EAC+∠BAC=180°.15.解:因为镜子是平行的,所以∠2=∠3(两镜子被竖直光线所截).又因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠5=∠6,所以进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的(内错角相等,两直线平行).求证:如果两条平行线被第三条直线所截,那么同旁内角的平分线互相垂直.〔解析〕首先应读懂题意,画出相应的图形,并写出已知、求证,然后再考虑找出证明的途径.已知AB∥CD,EF交AB于点E,交CD于点F,EM平分∠BEF,FN平分∠EFD,FN交EM于点O,如图所示.求证EM⊥FN.人教版数学七年级下册-打印版证明:因为AB∥CD,所以∠BEF+∠EFD=180°.因为EM平分∠BEF,FN平分∠EFD,所以∠MEF=∠BEF,∠NFE=∠EFD,所以∠MEF+∠NFE=90°,所以∠EOF=90°,所以EM⊥FN.如图所示,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于M,N,MP平分∠EMB,NQ平分∠MND,那么MP∥NQ,为什么?〔解析〕本题考查平行线的性质与判定,要说明平行,可寻找满足条件的同位角、内错角、同旁内角的关系,可由条件AB∥CD及角平分线的定义得到平行.解:因为AB∥CD(已知),所以∠EMB=∠MND(两直线平行,同位角相等).因为MP平分∠EMB,NQ平分∠MND(已知),所以∠EMP=∠EMB,∠MNQ=∠MND(角平分线定义),所以∠EMP=∠MNQ(等量代换),所以MP∥NQ(同位角相等,两直线平行).两平行线被第三条直线所截而成的同位角平分线,内错角平分线均互相平行,同旁内角平分线互相垂直.。
中考数学知识点总结命题定理与证明
中考数学知识点总结：命题、定理与证明1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。
其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。
会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
1、命题及命题真伪的判断。
2、命题的条件和结论的区分。
3、写出命题的逆命题。
1、下列语句中，属于命题的是( )A、直线AB和CD垂直吗B、过线段AB的中点C画AB的垂线C、同旁内角不互补，两直线不平行D、连结A、B两点2、下列语句不是命题的是( )A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等3、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( ) A 、垂直 B 、两条直线C 、同一条直线D 、两条直线垂直于同一条直线4、命题“直角都相等”的题设是 ，结论是 。
5、把命题“有三个角是直角的四边形是矩形”改写成“如果……那么……”的形式： 。
命题、定理、证明第二课时原创初中数学课件
探究
下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如 果……那么……”的形式. (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等. (2)互为相反数的两个数相加得0. (3)同旁内角互补.
注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意 义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺， 使命题的题设和结论更明朗，易于分辨.改写过 程中，要恰当增加词语，不能生搬硬套.
命题的构成 命题由题设和结论两部分组成. 1.题设是__已__知__事__项__； 2.结论是___由__已__知__事__项__推__出__的__事__项___. 许多数学命题常可以写成“如果……那么……”的形 式．“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接 的部分就是结论.
如：对顶角相等.
题设
假命题
5.你的作业做完了吗？ × 6.同位角相等，两直线平行； 真命题 7.对顶角相等； 真命题 8.x＞2. ×
练习
3.指出下列命题的题设和结论，并说明其真假性. （1）如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC=90°. （2）两直线平行, 同位角相等 . （3）如果两个角互补，那么它们是邻补角 . （4）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
第五章 相交线与平行线 5.3 平行线的性质
第2课时 命题、定理、证明
学习目标
1.了解命题的概念以及命题的构成： “如果……那么……”的形式． 2.知道什么是真命题和假命题． 学习重点： 命题结构的认识．
预习
下列四句话中，哪一句是对一件事情作出判断的语句？ （1）七（2）班的同学们你们好吗? （2）大家今天都能认真听课吗? （3）七（2）班的所有学生都是好学生. （4）有时间我请大家吃饭. （5）我们教室里有老师听课.
自主学习
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初中数学2定理与证明
【基本目标】
1.理解已学的5个基本事实；理解定理的概念.
2.理解证明概念，体会证明的必要性.
【教学重点】
证明的过程与步骤.
【教学难点】
证明的必要性.
一、复习旧知，导入新课
1.什么是命题？命题的结构是什么？
2.命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
今天我们将学习说明一个命题是真命题的方法.
二、师生互动，探究新知
（一）基本事实
教师讲解，并板书：
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，两直线平行.
上述五个命题是被公认的真命题，我们将它们当作基本事实，是我们用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点.
（二）定理与证明
教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明
证明的重要性.
1.教师讲解：请大家看下面的例子：
当n=1时，（n2-5n+5）2=1；
当n=2时，（n2-5n+5）2=1；
当n=3时，（n2-5n+5）2=1.
我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5）2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5）2=25.
2.教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b，那么a2=b2.由此我们猜想：当a ＞b时，a2＞b2.这个命题是真命题.
【答案】上面的说法不正确，举一个反例来看，因为3＞-5，但32＜（-5）2.
【教师总结】在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.
【教师讲解】数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
（三）定理的证明
直角三角形两锐角互余.
【教师引导】将文字语言转化为几何语言，注意推理步步有据，并在后面的括号里写上每步的依据.
【教师讲解】此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.
定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视、及时点评.
四、典例精析，拓展新知
例试证明：如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直.。