中考数学复习专题练习 反比例函数与几何图形的综合(选做)
中考数学复习《反比例函数》专项测试卷(带答案)
中考数学复习《反比例函数》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若点()1,2A x ，()2,1B x -和()3,4C x 都在反比例函数8y x=的图像上，则1x ，2x 和3x 的大小关系是( ) A.123x x x <<B.231x x x <<C.132x x x <<D.213x x x <<2．若点()26-，在反比例函数ky x=的图象上，则下列说法正确的是( ) A.该函数的图象经过点()34--，B.该函数的图象位于第一、三象限C.当0x >时，y 的值随x 值的增大而增大D.当1x >-时，4y >3．如图，在同一平面直角坐标系中函数y ax a =+与函数ay x=的图象可能是( ) A. B. C. D.4．如图，点A 是双曲线()160y x x =-<上的一点，点B 是双曲线()60y x x=-<上的一点，AB 所在直线垂直x 轴于点C ，点M 是y 轴上一点，连接MA 、MB ，则MAB △的面积为( )A.5B.6C.10D.165．如图，点A ，B 为反比例函数()0ky x x=>的图象上的两点，且满足45AOB ∠=︒，若点A 的坐标为()3,5，则点B 的坐标是( ).A.15215,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1010,2⎛ ⎝⎭C.()8,2D.()8,36．如图，已知点A 、B 分别在反比例函数y ＝1x （x ＞0），y ＝－4x（x ＞0）的图象上，且OA⊥OB ，则OBOA的值为( )A.4B.2C.14D.127．如图,在ABC 中2AC BC == 90ACB ∠=︒ AC x ∥轴 点D 是AB 的中点 点C 、D 在(k 0,x 0)ky x=≠>的图象上 则k 的值为( )A.1-B.2-C.1D.28．已知蓄电池的电压为定值（电压三星近总度阻） 使用蓄电池时 电流（单位：A ）与电阻尺（单位：Ω）是反比例函数关系 它的图象如图所示 下列说法不正确的是( )A.函数解析式为60I R=B.蓄电池的电压是C.当6ΩR =时 8A I =D.当10A I ≤时 6R ≥Ω9．如图 在平面直角坐标系中直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点 以AB 为边在第一象限作正方形ABCD 点D 在双曲线()0ky k x=≠上.将正方形沿x 轴负方向平移a 个单位长度后 点C 恰好落在该双曲线上 则a 的值( )A.1B.2C.3D.410．如图 直线22y x =-与x 轴 y 轴分别交于点A B 与反比例函数()0ky k x=>图像交于点C .点D 为x 轴上一点（点D 在点A 右侧） 连接BD 以BA BD 为边作ABDE E 点刚好在反比例函数图像上 设(),E m n 连接EC DC 若1()2ACED S AD AD n =+四边形 则k 的值为( )A.8B.10C.12D.1611．如图 直线y kx =与双曲线3y x -=在同一坐标系中如图所示 则不等式3x-<的解集为( )A.01x <<B.1x <-C.1x <-或01x <<D.10x -<<或1x >12．智能手机已遍及生活中的各个角落 手机拍照功能也越来越强 高档智能手机还具有调焦（调整镜头和感光芯片的距离）的功能.为了验证手机摄像头的放大率（摄像头的放大率是指成像长度与实物长度的比值 也可计算为像距与物距的比值） 小明用某透镜进行了模拟成像实验 得到如图所示的像距v 随物距u 变化的关系图像 下列说法不正确的是( )A.当物距为45.0cm 时 像距为13.0cmB.当像距为15.0cm 时 透镜的放大率为2C.物距越大 像距越小D.当透镜的放大率为1时 物距和像距均为20cm13．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪 其电路图如图1所示 其中定值电阻110ΩR =2R 是一个压敏电阻 用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中放入水箱底部 受力面水平 承受水压的面积S 为0.012m 压敏电阻的阻值随所受液体压力F 的变化关系如图2所示（水深h 越深 压力F 越大） 电源电压保持6V 不变 当电路中的电流为0.3A 时 报警器（电阻不计）开始报警 水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：UI R=1000Pa 1kPa =）.则下列说法中不正确的是( )2R F pS =A.当水箱未装水（）时 压强p 为0kPaB.当报警器刚好开始报警时 水箱受到的压力F 为40NC.当报警器刚好开始报警时 水箱中水的深度h 是0.8mD.若想使水深1m 时报警 应使定值电阻1R 的阻值为 二、填空题14．一个圆柱形蓄水池的底面半径为x cm 蓄水池的侧面积为40π2cm 则这个蓄水池的高h （cm ）与底面半径x （cm ）之间的函数关系式为_____.15．在反比例函数12my x-=的图象上的图象在二、四象限 则m 的取值范围是_______. 16．若点()11,A y -、21,4B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()31,C y 都在反比例函数21x k y +=（k 为常数）的图象上 则1y 、2y 、3y 的大小关系为_____.17．如图 点(3,1)P -是反比例函数m y x =的图象上的一点 设直线y kx =与双曲my x=的两个交点分别为P 和P 当mkx x>时 写出x 的取值范围_____.18．如图 在平面直角坐标系xOy 中正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上 OA ＝10 点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点 将⊥OAD 沿直线OD 折叠后得到⊥OA ′D 若反比例函数y kx=（k ≠0）的图象经过A ′点 则k 的值为_____. 0m h =12Ω19．如图 在平面直角坐标系中直线12y k x =+与x 轴交于点A 与y 轴交于点B 与双曲线2(0)k y x x=>交于点C 连接OC .若52,sin 5OBC S BOC =∠=△ 则12k +的值是______.20．如图 点1A 2A 3A …在反比例函数()10y x x=>的图象上 点1B 2B 3B … n B 在y 轴上 且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠=直线y x =与双曲线1y x=交于点1A 111B A OA ⊥ 2221B A B A ⊥ 3323B A B A ⊥ … 则2023B 的坐标是________.三、解答题21．如图所示 一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于两点(1),A n (2,1)B -- 与y 轴相交于点C .(1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)直接写出：不等式mkx b x+>解集是______； (3)依据相关数据求AOB 的面积.22．如图 菱形OABC 的边OA 在y 轴正半轴上 点B 的坐标为()48，.反比例函数11k y x=的图象经过菱形对角线AC OB ，的交点D 设直线OC 的解析式为22y k x =.(1)求反比例函数的解析式； (2)求菱形OABC 的边长；(3)请结合图象直接写出不等式120k k x x-<的解集. 23．如图▱OABC 的顶点O 与坐标原点重合 边OA 在x 轴正半轴上 60AOC ∠=︒2OC = 反比例函数()0ky x x=>的图像经过顶点C 与边AB 交于点D.(1)求反比例函数的表达式.(2)尺规作图：作OCB ∠的平分线交x 轴于点E.（保留作图痕迹 不写作法） (3)在（2）的条件下 连接DE 若DE CE ⊥ 求证：AD AE =. 24．如图 已知一次函数26y x =+与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A m 与x 轴交于点B .(1)填空：m 的值为______ 反比例函数的解析式为______； (2)直接写出当0x >时 26kx x+<的解集； (3)点P 是线段AB 上一动点（不与A 、B 点重合） 过P 作直线PM x ∥轴交反比例函数的图象于点M 连接BM .若PMB △的面积为S 求S 的取值范围.25．如图 已知抛物线2y x bx =+与x 轴交于O (4,0)A 两点 点B 的坐标为(0,3)-. （1）求抛物线的对称轴；（2）已知点P 在抛物线的对称轴上 连接OP BP .若要使OP BP +的值最小 求出点P 的坐标；（3）将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折 其余部分保持不变 得到一个新的图象.当直线(0)y x m m =+≠与这个新图象有两个公共点时 在反比例函数y mx=的图象中y 的值随x 怎样变化？判断并说明理由.26．如图 在平面直角坐标系中正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数()10,0ky k x x=>>的图象上 边AB 在x 轴上 点F 在y 轴上 已知23AB =.（1）判断点E 是否在该反比例函数的图象上 请说明理由；（2）求出直线EP ：()20y ax b a =+≠的解析式 并根据图象直接写出当0x >时 不等式kax b x+>的解集. 27．如图① 有一块边角料ABCDE 其中AB BC DE EA 是线段 曲线CD 可以看成反比例函数图象的一部分.测量发现：90A E ∠=∠=︒ 5AE = 1AB DE == 点C 到AB AE 所在直线的距离分别为2 4.（1）小宁把A B C D E 这5个点先描到平面直角坐标系上 记点A 的坐标为()1,0-；点B 的坐标为()1,1-.请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE ； （2）求直线BC 曲线CD 的函数表达式；（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP 其中M N 在AE 上（点M 在点N 左侧）点P 在线段BC 上 点Q 在曲线CD 上.若矩形的面积是53则=_________.参考答案1．答案：B解析：将三点坐标分别代入函数解析式8y x=得： 182x = 解得14x =； 28-1x =解得28x =-； 384x =解得； 824-<<故选：B. 2．答案：C解析：⊥点()26-，在函数ky x=的图象上 ⊥2(6)120k =⨯-=-< ⊥函数ky x=位于第二、四象限 在每个象限内 y 的值随x 的增大增大 ⊥()341212-⨯-=≠-⊥该函数的图象不经过点()34--，把=1x -代入12y x=求得12y = ⊥当10x -<<时 12y > 综上 只有选项C 说法正确 故选：C. 3．答案：A解析：当0a ＞时 一次函数图像经过第一、二、三象限 反比例函数图像位于一、三象限 可知A 符合题意；32x =231x x x ∴<<当0a ＜时 一次函数图像经过第二、三、四象限 反比例函数图像位于二、四象限 可知B C D 不符合题意.故选：A.4．答案：A解析：如图所示 作MN BA ⊥交BA 的延长线于N则12AMB S BA MN =⋅设点A 的坐标为16a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， <0aAB 所在直线垂直x 轴于点CB ∴点坐标为6a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，16610AB a a a ⎛⎫∴=---=- ⎪⎝⎭ MN a =()11101105222ABM S AB MN a a a a ⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⨯-⨯=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.5．答案：A解析：将OA 绕O 点顺时针旋转90︒到OC 连接AB 、CB作AM y ⊥轴于MCN x ⊥轴于N点A 的坐标为()3,53AM ∴= 5OM =45AOB ∠=︒45BOC ∠=︒∴在AOB 和COB △中OA OC AOB COBOB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AOB COB ∴△≌△AB CB ∴=90AOM AON CON AON ∠+∠=︒=∠+∠AOM CON ∴∠=∠ 在AOM 和CON 中AOM CON AMO ONCOA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ (AAS)AOM CON ∴△≌△3CN AM ∴== 5ON OM == (5,3)C ∴-点A 为反比例函数(0)k y x x=>图象上的点 3515k ∴=⨯= 15y x ∴=设B 点的坐标为15(,)m m AB CB =22221515(3)(5)(5)(3)m m m m ∴-+-=-++解得215m =（负数舍去）15215,B ⎛∴ ⎝⎭故选A.6．答案：B解析：作AC y ⊥轴于C BD y ⊥轴于D 如图点A 、B 分别在反比例函数1(0)y x x => 4(0)y x x=->的图象上 11122OAC S ∆∴=⨯= 1|4|22OBD ∆=⨯-=OA OB ⊥90AOB ∠=︒∴90AOC BOD ∴∠+∠=︒AOC DBO ∴∠=∠Rt AOC Rt OBD ∴∆∆∽ ∴212()2AOC OBD S OA S OB ∆∆== ∴12OA OB =. ∴2OB OA=. 故答案为B. 7．答案：B解析：设(0,)A b 根据题意(2,)C b - (2,2)B b -+点D 是AB 的中点(1,1)D b ∴-+点C 、D 在(k 0,x 0)k y x=≠>的图象上 2(1)k b b ∴=-=-+解得1b =22k b ∴=-=-故选：B.8．答案：C解析：设图象过蓄电池的电压是A 、B 选项正确 不符合题意；当=6ΩR 时 (A 6010)6I ==∴C 选项错误 符合题意；当10I =时 6R =由图象知：当10A I ≤时 6R ≥Ω∴D 选项正确 不符合题意；故选：C.9．答案：B解析：作CE y ⊥轴于点E 交双曲线于点G 作DF x ⊥轴于点F在24y x =-+中令0x = 解得4y =∴B 的坐标是(0,4)令0y = 解得2x =∴A 的坐标是(2,0)kI R =(5,12)60k ∴=60I R ∴=∴60V ∴4OB ∴= 2OA =90BAD ∠=︒90BAO DAF ∴∠+∠=︒直角ABO △中90BAO OBA ∠+∠=︒DAF OBA ∴∠=∠在OAB △和FDA △中DAF OBA BOA AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)OAB FDA ∴≌△△同理 OAB FDA BEC ≌≌△△△ 4AF OB EC ∴=== 2DF OA BE ===∴D 的坐标是(6,2) C 的坐标是(4,6)点D 在双曲线(0)k y k x=≠上 6212k ∴=⨯=∴函数的解析式是：12y x =把6y =代入12y x=得：2x = 422a ∴=-=故选B.10．答案：C解析：直线与x 轴 y 轴分别交于点A B(1,0)A ∴ (0,2)B -作EF x ⊥轴于F 如图所示：22y x =-四边形是平行四边形在和中E 点刚好在反比例函数图像上设C 的纵坐标为hABDE AE BD ∴=//DE AB DAE ADB ∴∠=∠AEF △DBO △EAF BDO AFE DOB AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)AEF DBO ∴≌△△2EF OB ∴==AF OD =1DF OA ∴==(,)E m n 2m AD ∴=+2n =2(2)k mn AD ∴==+122AD k ∴=-//DE BC AED CED S S ∴=△△()11122222ACD CED ACD AED ACED S S S S S AD h AD AD h ∴=+=+=⋅+⋅=+四边形△△△△()12ACED S AD AD n =+四边形122h AD k ∴==-C 的纵坐标为代入得解得反比例函数图像经过点C 解得 20k =（舍去） 12k∴=故选：C.11．答案：D解析：有题意可知 当3y =时 33x= 解得=1x - ∴直线y kx =与双曲线3y x=在第二象限交点的坐标为1,3)- 由中心对称可得 直线y kx =与双曲线3y x=在第四象限交点的坐标为3)- ∴观察图象可得 不等式3kx x<的解集为10x <<或1x >. 故选：D.12．答案：B解析：由函数图象可知：当物距为45.0cm 时 像距为13.0cm 故选项A 说法正确；由函数图象可知：当像距为15.0cm 时 物距为300cm ． 放大率为15.00.530.0= 故选项B 说法错误；由函数图象可知：物距越大 像距越小 故选项C 说法正确；由题意可知：当透镜的放大率为1时 物距和像距均为20cm 故选项D 说法正确 故选：B.13．答案：B解析：A.由图3得：当0h =时 0p = 故此项说法正确；122-22y x =-12222x -=-14x k =11(,2)42C k k ∴-(0)k y k x=>11(2)42k k k ∴-=112k =B.当报警器刚好开始报警时 260.310R =+ 解得210R =Ω 由图2可求得：2800R F =80010F∴= 解得80F N = 故此项说法错误； C.当报警器刚好开始报警时 由上得80F N = 则有800.01p =⨯ 8P p k a ∴= 由图3求得10p h = 810h = 解得：0.8h = 故此项说法正确；D.当报警器刚好开始报警时：1260.3R R =+ 1220R R ∴+=Ω 当1h =时 10110kPa p =⨯= 100000.01100F N ∴=⨯= 28008100R ==Ω 120812R ∴=-=Ω 故此项说法正确. 故选：B.14．答案：20h x = 解析：根据题意 得240x h ππ⋅= ⊥20h x=. 故答案为：20h x=. 15．答案：12m > 解析：由题意得 反比例函数12m y x -=的图象在二、四象限内 则120m -< 解得12m >. 故答案为12m >. 16．答案：213y y y << 解析：反比例函数2(1k k y x+=为常数） 210k +> ∴该函数图象在第一、三象限 在每个象限内y 随x 的增大而减小点1(1,)A y -、1(4B 2)y 、3(1,)C y 都在反比例函数2(1k k y x +=为常数）的图象上 114-<- 点A 、B 在第三象限 点C 在第一象限213y y y ∴<<故答案为：213y y y <<.17．答案：-3＜x ＜0或x ＞3 解析：⊥直线y =kx 与双曲线y =m x的两个交点分别为P 和P ′ P （-3 1） ⊥P ′的坐标为（3 -1）当mx ＞kx 时 x 的取值范围为-3＜x ＜0或x ＞3故答案为：-3＜x ＜0或x ＞3. 18．答案：48解析：如图所示：过A '作EF OC ⊥于F 交AB 于E⊥90OA D '∠=︒90OA F DA E ∴∠'+∠'=︒⊥90A F AOF O ∠'+∠'=︒D AOF AE ∴'=∠'∠D A FO AE '=∠∠'A OF DA E ∴''∠△△设A '（m n ）OF m ∴= A F n '=.正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上 OA ＝10点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点∴ 103DE m = 10A E n '=-.310103m n m m ==-- 解得：m =6 n =8. ∴A '（6,8） ∴ 反比例函数中k =xy （0k ≠）=48 故答案为：48.19．答案：9解析：据题意可知(0,2)B 设(,)Cx y 52,sin OBC S BOC =∠=△1222x ∴⨯= 52xOC = 解得2,25x OC ==2225OC x y =+=即2425y +=得4y = 故(2,4)C 将(2,4)C 代入直线12y k x =+ 双曲线2(0)k y x x => 得到 121,8k k == 故12189k k +=+= 故答案为：9.20．答案：(0,22023解析：联立1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =由题意可知145AOB ∠=︒111B A OA ⊥11OA B ∴△为等腰直角三角形1122OB OA ∴==过2A 作22A H OB ⊥交y 轴于H 则容易得到21A H B H = 设21A H B H x == 则()2,2A x x +()21x x ∴+=解得121x = 221x =-（舍去）2121A H B H ∴== 1212222B B B H ==2222222OB ∴=+=同理可得323OB =则2n OB n =即(0,2n B n(20230,22023B ∴故答案为：(0,22023. 21．答案：(1)2y x = 1y x =+ (2)1x >或20x -<<(3)32解析：（1）反比例函数m y x =的图象过(2,1)--∴反比例函数的解析式为：2y x = 点(1),A n 在反比例函数图象上∴12n ⨯=∴2n =∴点A 的坐标为(1,2)将点A B 坐标代入一次函数y kx b =+中得221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得11k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为：1y x =+.（2）根据图象可知 不等式0m kx b x+>>的解集是：1x >或20x -<<. 故答案为：1x >或20x -<<； （3）过点A 作AG y ⊥轴于点G 过点B 作BH y ⊥轴于点H 如下图所示：一次函数1y x =+与y 轴相交于点C∴C 点坐标为(0,1)∴1OC =A 点坐标为(1,2)∴1AG =B 点坐标为(2,1)--∴2BH =∴11123222AOB AOC BOC S S S ⨯⨯=+=+=△△△. 22．答案：(1)18y x = (2)5 (3)463x <或63x << 解析：（1）⊥菱形OABC 的对角线交于点D⊥OD DB =⊥点B 的坐标为()48，⊥点D 的坐标为()24， 又⊥反比例函数11k y x=经过点D ⊥1248k =⨯= ⊥18y x =； （2）过点B 作BE y ⊥轴于点E设OA AB a == 则8AE a =- 4BE =在Rt ABE 中222BE AE AB += 即()22248x x +-= 解得：5x =⊥菱形OABC 的边长为5；（3）⊥点B 的坐标为()48， 5BC =⊥点C 的坐标为()43，代入22y k x =得：234k = 解得：234k =⊥234y x =令1y y = 则834x x = 解得：63x =±结合图象 不等式120k k x x -<的解集为463x <或463x <<.23．答案：(1))30y x =>(2)见解析(3)见解析解析：（1）过点C 作CF OA ⊥于点F 如解图所示.在Rt COF △中2OC = 60COF ∠=︒30sin 6023CF C ∴=⋅==︒1cos60212OF OC =⋅︒=⨯=.(1,3C ∴. 把(3C 代入反比例函数()0ky x x =>中得3k =∴反比例函数的表达式为)30y x =>.（2）如解图所示 所作射线CE 即为所求.（3）证明：在OABC 中//OC AB //CB OA .60AOC ∠=︒120OCB OAB ∴∠=∠=︒. CE 平分OCB ∠60OCE BCE OEC ∴∠=∠=∠=︒.DE CE ⊥90CED ∴∠=︒.180609030AED ∴∠=︒-︒-︒=︒.1801203030ADE ∴∠=︒-︒-︒=︒.AED ADE ∴∠=∠.AD AE ∴=.24．答案：(1)8 8y x= (2)01x << (3)S 的取值范围是2504S <≤ 解析：（1）⊥一次函数26y x =+的图象经过点()1,A m ⊥268m =+=⊥点()18A ，⊥反比例函数()0k y x x =>的图象经过点()18A ， ⊥188k =⨯=⊥反比例函数的解析式为8y x=； 故答案为：8 8y x =；（2）观察图象得 26k x x+<的解集为1x <<； （3）设点P 的纵坐标为n ⊥点P 在线段AB 上 点M 在8y x =的图象上 ⊥0n << 点P 的横坐标为62n -⊥PM x ∥轴⊥点M 的坐标为8n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ⊥862n MP n -=. ⊥()21186125322244PMBn S MP n n n n -⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯=--+ ⎪⎝⎭. ⊥08n << 且104-<⊥当03n <<时 S 随n 的增大而增大 当38n ≤<时 S 随n 的增大而减小. ⊥当3n =时 △的面积最大 最大值为254 ⊥S 的取值范围是2504S <≤. 25．答案：（1）抛物线的对称轴为直线2x =（2）点P 的坐标为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （3）y 的值随x 的增大而增大解析：（1）由题意得：2440b +=4b ∴=-∴函数关系式为：24y x x =-∴对称轴为：4222b x a -=-=-=； （2）由题意得：OP PB +的值最小 实际就是在同一直线一旁有两点 在直线上求点只要取O 点关于直线2x =对称的点 过AB 的直线与直线的交点就是点P设过AB 的直线为 由在上()4,0A 2x =3y kx =-()4,0B 3y kx =-得34k =334AB y x =-P 在直线2x =上332342y ∴=⨯-=-32,2P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； （3）24y x x =-在x 轴下方的部分沿x 轴翻转当直线()0y x m m =+≠有两个不相同的解0∴∆> 2340m -⨯> 得94m <又0> 904m ∴<< 在反比例函数m y x=中 904m k <=< y 随x 的增大而减小. 26．答案：（1）点E 在该反比例函数的图象上 理由见解析（2）39y x =+ 323x <<解析：（1）六边形ABCDEF 为正六边形 23AB =23AB AF ∴== 60FAO =︒cos 603OA AF ∴=⋅︒= sin603AF =⋅︒=()0,3F ∴ )3,0A 连接PF PA六边形ABCDEF 为正六边形PE PF PA PB ∴=== 60EPF FPA APB ∠=∠=∠=︒EFP ∴△ FAP △ ABP △为等边三角形23AF PF ∴==()23,3P ∴ 把()23,3P 代入1k y x =得：23=解得：63k =043k ∴=-∴反比例函数表达式为163y x=. EFP △ FAP △为等边三角形∴点E 和点A 关于PF 对称)3,6E ∴ 把3x =代入163y x =得：13663y == ∴点E 在该反比例函数的图象上； （2）把()3,6E ()23,3P 代入()20y ax b a =+≠得： 6333a b a b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ 解得：39a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴直线EP 的解析式为：39y x =+()3,6E ()23,3P由图可知 当323x <<时 k b x +>. 27．答案：（1）见解析（2）直线BC 的函数表达式3522y x =曲线的函数表达式4y x= （3）72 解析：（1）根据点A 的坐标为()1,0- 点B 的坐标为()1,1- 补全x 轴和y 轴 90A E ∠︒∠== 5AE = 1AB DE == 点C 到AB AE 所在直线的距离分别为2 4 ()1,4C ∴ ()4,1D根据AB BC DE EA 是线段 曲线CD 是反比例函数图象的一部分 画出图形ABCDE如图所示 （2）设线段BC 的解析式为y kx b =+ 把()1,1B - ()1,4C 代入得 14k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得 3252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3522y x ∴=+设曲线CD 的解析式为'k y x =把()1,4C 代入得 '41k = '4= 4y x ∴=； （3）设(),0M m 则35,22P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 435,352222Q m m ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭3522PM m ∴=+ 43522m m =-+354352222PM PQ m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭23554223m m ∴--= 2915140m m ∴+-= 23m ∴= 或73m =-（舍去） 32572322PM ∴=⨯+=. 故答案为：72.。
专题训练：反比例函数与几何的综合应用(含答案)
专训3 反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知量，然后结合函数的图象用含未知数的代数式表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组)，解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数表达式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．【2015·枣庄】如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝6x (x >0)的图象交于A (m ，6)，B (3，n )两点．(1)求一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出使kx ＋b <6x 成立的x 的取值范围；(3)求△AOB 的面积．2．如图，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，AO ＝CD ＝2，AB ＝DA ＝5，反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象过CD 的中点E .(1)求证：△AOB ≌△DCA ； (2)求k 的值；(3)△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，试判断点G 是否在反比例函数的图象上，并说明理由．反比例函数与四边形的综合类型1 反比例函数与平行四边形的综合3．如图，过反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象上一点A 作x 轴的平行线，交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点B ，过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点D ，交x 轴于点C ，连接AD 交y轴于点E ，若OC ＝3，求OE 的长．4．【2015·烟台】如图，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y ＝kx(x >0)的图象过对角线的交点P 并且与AB ，BC 分别交于D ，E 两点，连接OD ，OE ，DE ，则△ODE 的面积为________．5．【2015·德州】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB ，AC 相交于点D ，且BE ∥AC ，AE ∥OB .(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)如果OA ＝3，OC ＝2，求出经过点E 的双曲线对应的函数表达式．6．【2015·武威】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝kx (k >0，x >0)的图象上，点D 的坐标为(4，3)．(1)求k 的值；(2)若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝kx (k >0，x >0)的图象上时，求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．类型4 反比例函数与正方形的综合7．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数y ＝kx (x ＞0，k ≠0)的图象经过线段BC 的中点D .(1)求k 的值；(2)若点P (x ，y )在该反比例函数的图象上运动(不与点D 重合)，过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式并写出x 的取值范围．反比例函数与圆的综合8．如图，双曲线y ＝kx (k >0)与圆O 在第一象限内交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为________．9．如图，反比例函数y ＝kx (k ＜0)的图象与圆O 相交．某同学在圆O 内做随机扎针试验，求针头落在阴影区域内的概率．参考答案1．解：(1)∵A (m ，6)，B (3，n )两点在反比例函数y ＝6x (x >0)的图象上，∴m ＝1，n ＝2，即 A (1，6)，B (3，2)．又∵A (1，6)，B (3，2)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k ＋b ，2＝3k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝8， 即一次函数表达式为y ＝－2x ＋8.(2)根据图象可知使kx ＋b <6x成立的x 的取值范围是0<x <1或x >3.(3)如图，分别过点A ，B 作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为E ，C ，设直线AB 交x 轴于D 点．令－2x ＋8＝0，得x ＝4，即D (4，0)．∴OD ＝4. ∵A (1，6)，B (3，2)，∴AE ＝6，BC ＝2. ∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝12×4×6－12×4×2＝8.2．(1)证明：∵点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.在Rt △AOB 和Rt △DCA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝DC ，AB ＝DA ， ∴Rt △AOB ≌Rt △DCA .(2)解：在Rt △ACD 中，∵CD ＝2，DA ＝5，∴AC ＝DA 2－CD 2＝1. ∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3. ∴D 点坐标为(3，2)． ∵点E 为CD 的中点， ∴点E 的坐标为(3，1)． ∴k ＝3×1＝3.(3)解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，∴△BFG ≌△DCA . ∴FG ＝CA ＝1，BF ＝DC ＝2，∠BFG ＝∠DCA ＝90°.易知OB ＝AC ＝1，∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3.∴G 点坐标为(1，3)．∵1×3＝3，∴点G (1，3)在反比例函数的图象上．3．解：设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，6a ，由题易知四边形ABCO 是平行四边形，∴AB ＝OC ＝3.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a －3，6a . ∴(a －3)·6a ＝－3.∴a ＝2.∴A 点的坐标为(2，3)，B 点的坐标为(－1，3)． ∵C 点的坐标为(－3，0)，∴直线BC 对应的函数表达式为y ＝32x ＋92.∴⎩⎨⎧y ＝32x ＋92，y ＝－3x ，整理得x 2＋3x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝－2. ∴D ⎝⎛⎭⎫－2，32. ∴直线AD 对应的函数表达式为y ＝38x ＋94.∴OE ＝94.4.154点拨：因为C (0，2)，A (4，0)，由矩形的性质可得P (2，1)，把P 点坐标代入反比例函数表达式可得k ＝2，所以反比例函数表达式为y ＝2x 易知D 点的横坐标为4，所以AD＝24＝12.又易知点E 的纵坐标为2，所以2＝2CE .所以CE ＝1.所以BE ＝3.所以S △ODE ＝S 矩形OABC－S △OCE －S △BED －S △OAD ＝8－1－94－1＝154.5．(1)证明：∵BE ∥AC ，AE ∥OB ， ∴四边形AEBD 是平行四边形． ∵四边形OABC 是矩形，∴DA ＝12AC ，DB ＝12OB ，AC ＝BO .∴DA ＝DB .∴四边形AEBD 是菱形． (2)解：连接DE ，交AB 于F ，易知DE ＝OA ＝3. ∵四边形AEBD 是菱形，∴EF ＝DF ＝12DE ＝32，AF ＝12AB ＝12OC ＝1.∴E ⎝⎛⎭⎫92，1. 设所求反比例函数表达式为y ＝k x，把点E ⎝⎛⎭⎫92，1的坐标代入得1＝k 92，解得k ＝92. ∴所求反比例函数表达式为y ＝92x.6．解：(1)如图，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，∵点D 的坐标为(4，3)， ∴OF ＝4，DF ＝3. ∴OD ＝5. ∴AD ＝OD ＝5.∴点A 的坐标为(4，8)． ∴k ＝xy ＝4×8＝32. ∴k ＝32.(2)如图，将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，使得点D 落在反比例函数y ＝32x (x >0)的图象上D ′点处，过点D ′作x 轴的垂线，垂足为F ′.∵DF ＝3，∴D ′F ′＝3. ∴点D ′的纵坐标为3. ∵点D ′在y ＝32x 的图象上，∴3＝32x ，解得x ＝323，即OF ′＝323.∴FF ′＝323－4＝203.∴菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离为203.7．解：(1)∵正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，∴C (0，2)．∵D 是BC 的中点，∴D (1，2)．∵反比例函数y ＝kx (x ＞0，k ≠0)的图象经过点D ，∴k ＝2.(2)当P 在直线BC 的上方，即0＜x ＜1时， ∵点P (x ，y )在该反比例函数的图象上运动， ∴y ＝2x.∴S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·⎝⎛⎭⎫2x －2＝2－2x .当P 在直线BC 的下方，即x ＞1时，同理求出S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·⎝⎛⎭⎫2－2x ＝2x －2. 综上，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2（x ＞1），2－2x （0＜x ＜1）.8．4 点拨：∵圆O 在第一象限关于直线y ＝x 对称，y ＝kx (k ＞0)也关于直线y ＝x 对称，P 点坐标是(1，3)，∴Q 点的坐标是(3，1)．∴S 阴影＝1×3＋1×3－2×1×1＝4.故答案是4. 9．解：∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴阴影部分的面积占圆O 面积的14.∴针头落在阴影区域内的概率为14.。
中考数学《反比例函数》专项复习综合练习题-附含答案
中考数学《反比例函数》专项复习综合练习题-附含答案一、单选题1．已知反比例函数y=- 12x,则（）A．y随x的增大而增大B．当x>-3且x≠0时，y>4C．图象位于一、三象限D．当y<-3时，0<x<42．甲、乙、丙三位同学分别正确指出了某一个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：每第一个象限内 y值随x值的增大而减小．根据他们的描述这个函数表达式可能是（）A．y=2x B．y= 2x C．y=﹣1xD．y=2x23．反比例函数y=kx(k>0)在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点 MP垂直x轴于点P 如果△MOP 的面积为1 那么k的值是( )A．1 B．2 C．4 D．√24．如图，反比例函数y=kx(x<0)交边长为10的等边△ OAB的两边于C、D两点，OC＝3BD，则k的值（）A．−9√3B．9√3C．－10√3D．10√35．抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y= a+b+cx在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．√3 6．如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√3∠BDC=120°S△BCD=92 (x<0)的图象经过C、D两点，则k的值是（）若反比例函数y=kxA．−6√3B．-6 C．−12√3D．-127．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=1（x＜0）图象上一点，AO的延长x（x＞0 k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x 线交函数y=k2x轴的对称点为C′，交于x轴于点B 连结AB AA′、 A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC CC′C′A′ A′A所围成的图形的面积等于（）A．8 B．10 C．3√10D．4√68．如图，反比例函数y=kx与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象相交于A B两点其中A（﹣1 3）直线y=kx﹣k+2与坐标轴分别交于C D两点下列说法：①k＜0；②点B的坐标为（3 ﹣1）；③当x＜﹣1时kx ＜kx﹣k+2；④tan∠OCD=﹣1k其中正确的是（）A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题9．已知反比例函数y=﹣2x若y≤1，则自变量x的取值范围是．10．在平面直角坐标系中若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线y=﹣6x 和y= 2x于A B两点 P是x轴上的任意一点，则△ABP的面积等于11．如图，在平面直角坐标系中正方形ABCD的面积为20 顶点A在y轴上顶点C在x轴上顶点D在双曲线y=kx(x>0)的图象上边CD交y轴于点E 若CE=ED，则k的值为.12．如图，点 P 是反比例函数图象上的一点 过点 P 向 x 轴作垂线 垂足为 M 连结 PO 若阴影部分面积为 6 ，则这个反比例函数的关系式是 ．13．如图，已知A （ 12 y 1） B （2 y 2）为反比例函数y ＝ 1x 图象上的两点 动点P （x 0）在x 轴正半轴上运动 当线段AP 与线段BP 之差达到最大时 点P 的坐标是 .三、解答题14．如图，反比例函数y =kx (x >0)的图像分别交正方形OABC 的边AB 、BC 于点D 、E 若A 点坐标为(1，0) 若△ODE 是等边三角形 求k 的值.15．某水果生产基地在气温较低时 用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果 如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后 大棚内的温度y(℃)与时间x(ℎ)之间的函数关系 其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启后阶段 双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．．．．．．．．．．． 请根据图中信息解答下列问题：（1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；（2）求全天的温度y(℃)与时间x(ℎ)之间的函数表达式；（3）若大棚内的温度低于10℃时 蔬菜会受到伤害．问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时 才能避免水果生长受到影响？16．如图，已知点A在反比函数y=kx(k<0)的图象上点B在直线y=x−3的图象上点B的纵坐标为－1 AB⊥x轴且S△OAB=4．（1）求点A的坐标和k的值；（2）若点P在反比例函数y=kx(k<0)的图象上点Q在直线y=x−3的图象上P、Q两点关于y轴对称设点P的坐标为(m，n)求nm +mn的值．17．如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上AB⊥x轴于点B AB的垂直平分线PD交双曲线与点P．（1）若点A的坐标为(1 8)，则点P的坐标为．（2）若AP⊥BP点A的横坐标为m．①求k与m之间的关系式；②连接OA OP若△AOP的面积为6 求k的值．18．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝k2x的图象交于A（2 m） B（n ﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴垂足为C 且S△ABC＝5．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件请直接写出不等式k1x+b＞k2x的解集；（3）若P（p y1） Q（﹣2 y2）是函数y＝k2x 图象上的两点且y1≥y2求实数p的取值范围．答案1．D 2．B 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C9．x ≤﹣2或x ＞0 10．4 11．4 12．y =−12x 13．(52, 0)14．解：由题意可得△OAD ≅△OCE 设AD =x ，则：DB =EB =1−x 因为OD 2=x 2+1 且△ODE 是等边三角形所以 x 2+1=(1−x)2+(1−x)2 x 1=2+√3 x 2=2−√3 2+√3>1舍去 所以x =2−√3则K =1∗(2−√3)=2−√315．（1）解：设线段AB 表达式为y =kx +b(k ≠0) ∵线段AB 过点(0，10) (2，14)∴{b =102k +b =14解得{b =10k =2∴线段AB 的表达式为：y =2x +10(0≤x ≤5) 当x =5时 y =2×5+10=20 ∴恒定温度为：20℃； （2）解：由（1）可知：线段AB 的表达式为：y =2x +10(0≤x ≤5) B 坐标为(5，20) ∴根据图象可知线段BC 的表达式为：y =20(5<x ≤10)设双曲线CD 解析式为：y =m x(m ≠0)∵C(10，20)∴可得：m10=20 解得：m =200∴双曲线CD 的解析式为：y =200x(10<x ≤24)∴y 关于x 的函数表达式为：y ={2x +10(0≤x ≤5)20(5<x ≤10)200x (10<x ≤24)；（3）解：把y =10代入y =200x中得10=200x解得：x =20∴20−10=10（小时）∴恒温系统最多可以关闭10小时． 16．（1）解：由题意B(2，−1)∵12×2×AB =4 ∴AB =4∵AB//y 轴∴A(2，−5)∵A(2，−5)在y =kx 的图象上 ∴k =−10.（2）解：设P(m ，−10m )，则Q(−m ，−10m ) ∵点Q 在y =x −3上∴−10m=−m −3 整理得：m 2+3m −10=0 解得m =−5或2 当m =−5 n =2时 n m +m n =−2910 当m =2 n =−5时 nm +m n=−2910故n m +m n=−2910.17．（1）（2 4）（2）解：①由题意得 点A 的纵坐标为km 即AB ＝km ∵PD 垂直平分AB ∴PA ＝PB ∵AP ⊥BP∴△PAB 是等腰直角三角形 ∴∠PAB ＝∠PBA ＝45° ∵PD ⊥AB∴△DAP 和△DBP 是等腰直角三角形 ∴DA ＝DB ＝DP ＝k2m ∴P （m +k2m ，k 2m ）将P （m +k2m ，k2m ）代入y =kx 可得：(m +k2m )⋅k2m =k 整理得：k =2m 2；②过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，则四边形PABC 是梯形∵S △AOB ＝S △POC ＝k2 ∴S △AOE ＝S 四边形PEBC ∴S △AOP ＝S 梯形PABC ＝6 ∴(k 2m +k m )⋅k2m2=6 整理得：k 2=16m 2∵k =2m 2 ∴k 2=8k解得：k =8或k =0（舍去） ∴k =8．18．（1）把 A(2，m) B(n ，−2) 代入 y =k 2x得： k 2=2m =−2n即m=−n则A(2，−n)过A作AE⊥x轴于E过B作BF⊥y轴于F延长AE、BF交于D ∵A(2，−n)B(n，−2)∴BD=2−n AD=−n+2BC=|−2|=2∵SΔABC=12·BC·BD∴12×2×(2−n)=5解得：n=−3即A(2，3)B(−3，−2)把A(2，3)代入y=k2x得：k2=6即反比例函数的解析式是y=6x；把A(2，3)B(−3，−2)代入y=k1x+b得：{3=2k1+b−2=−3k1+b解得：k1=1b=1即一次函数的解析式是y=x+1；（2）∵A(2，3)B(−3，−2)∴不等式k1x+b>k2x的解集是−3<x<0或x>2；（3）分为两种情况：当点P在第三象限时要使y1⩾y2实数p的取值范围是p⩽−2当点P在第一象限时要使y1⩾y2实数p的取值范围是p>0即P的取值范围是p⩽−2或p>0。
中考数学总复习《反比例函数综合》专项测试卷(附答案)
中考数学总复习《反比例函数综合》专项测试卷(附答案)（考试时间：90分钟；试卷满分：100分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．若点A（1，3）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，则常数k的值为（）A．3B．﹣3C．D．2．下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是（）A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（3，）D．（，3）3．如果点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则下列结论正确的是（）A．y1＞y3＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y24．如图，反比例函数与正比例函数y＝ax（a≠0）相交于点和点B，则点B的坐标为（）A．B．C．D．5．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．已知反比例函数，下列说法不正确的是（）A．图象经过点（﹣3，2）B．图象分别位于第二、四象限内C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大D．x≥﹣1时，y≥67．反比例函数y＝中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＜2C．m＜D．m＞28．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣3或x＞3B．x＜﹣3或0＜x＜3C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3D．﹣3＜x＜0或x＞39．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（）A．B．C．D．10．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值是（）A．1B．2C．4D．8二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
2024年中考复习-08 反比例函数和几何图形综合问题(压轴通关5题型)(解析版)
抢分秘籍08反比例函数和几何图形综合问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）反比例函数和几何图形综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，反比例函数中的K 值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！题型一反比例函数与三角形的综合问题【例1】（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，OAB 是边长为4的等边三角形，反比例函数(0)k y k x=>的图象经过边OA 的中点C ．（1）k =．（2）若反比例函数k y x=的图象与边AB 交于点D ，则tan DOB ∠=．∵OAB 是边长为4的等边三角形，∴4AO BO AB ===，A ∠=∠∵C 为AO 中点，CE x ⊥轴，∴在Rt COE △中，30OCE ∠=∴1OE =，∴22CE OC OE =-=同理可求点()2,23A ，而(4,0B 设():0AB l y kx b k =+≠，代入22340k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，3k ⎧=-⎪本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数交点的求解，以及锐角三角函数的应用，正确添加辅助线是解题的关键．【例2】（2024·河南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()6,0A ，()2,2B ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点B ．(1)求反比例函数的表达式．(2)将OAB 绕点B 逆时针旋转得到O A B ''△，点O '恰好落在OA 上，请求出图中阴影部分的面积．∵()2,2B ∴2CO BC ==∵将OAB 绕点B 逆时针旋转得到∴90OBO ABA ''∠=∠=︒222222OB O B '==+=1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky x x=>的图象和ABC 都在第一象限内，5,AB AC BC x ==∥轴，且8BC =，点A 的坐标为()6,10．(1)若反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点B ，求此反比例函数的解析式；(2)若将ABC 向下平移(0)m m >个单位长度，,A C 两点的对应点恰好同时落在反比例函数(0)k y x x =>图象上，求m 的值．【答案】(1)14y x =(2)52【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质；（1）根据已知求出B 与C 点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）表示出相应的平移后A 与C 坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．过A 作AD BC ⊥于D ，5AB AC == ，8BC =，点()6,10A ．142BD CD BC ∴===，90ADB ∠=︒，3AD ∴=，∵BC x ∥，∴AD x⊥∴()()()6,7,2,7,10,7D B C ，若反比例函数(0)ky x x =>的图象经过点B ，则72k =，解得，14k =，于点D ，反比例函数()0k y x x =>，的图象经过点A ．(1)若14BD AB =，求直线AB 和反比例函数的表达式；(2)若8k =，将AB 边沿AC 边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E ，交x 轴于点F ，求点E 的坐标．【详解】（1）Rt ABC 中，AC AC OD ∴ ，14BD BO AB BC ==，144BO ∴=，1BO ∴=，题型二反比例函数与平行四边形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2023·江西萍乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在y 轴上，AC x ∥轴，点C 的坐标为()4,6,3AB =，将ABC 向下方平移，得到DEF ，且点A 的对应点D 落在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点B 的对应点E 落在x 轴上，连接,OD ∥OD BC ．(1)求证：四边形ODFE 为平行四边形；(2)求反比例函数(0)k y x x=>的表达式；(3)求ABC 平移的距离及线段BC 扫过的面积．（2）连接CD ，易证四边形BCDO 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出CD AB ∥，结合DE AB ∥，可得出C D E ，，三点共线，易证四边形ACEO 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出OE 的长，结合3DE AB ==，可得出点D 的坐标，再利用反比例函数系数k 的几何意义，可求出k 的值，进而可得出反比例函数的表达式；（3）连接BE CF ，，在Rt BOE 中，利用勾股定理，可求出BE 的长，由此可得出ABC 平移的距离为5，由,BC EF BC EF =∥，可得出四边形BCFE 是平行四边形，再利用平行四边形的性质及三角形的面积公式，即可求出线段BC 扫过的面积．【详解】（1）证明：由平移的性质，得：,,BC EF AC DF AB DE ∥∥∥，AC x ∥轴，且OE 在x 轴上，AC OE ∴∥，DF OE ∴∥．,OD BC BC EF ∥∥ ，OD EF ∴∥，∴四边形ODFE 为平行四边形；（2）解：连接CD ，如图1所示．四边形ODFE 为平行四边形，OD EF BC ∴==，又OD BC ∥，∴四边形BCDO 是平行四边形，,CD OB CD AB ∴=∥，DE AB ∥，C D E ∴，，三点共线．AC x ∥轴，OE 在x 轴上，CE AO ，∴四边形ACEO 是平行四边形，OE AC ∴=．点C 的坐标为()4,6,3AB =，在Rt BOE △中，OB OA AB =-=2222345BE OB OE ∴=+=+=ABC ∴ 平移的距离为5．,BC EF BC EF =∥ ，∴四边形BCFE 是平行四边形，1222BCFE BCE S S CE OE ∴==⨯⋅= 本题是反比例函数的综合题，考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、反比例函数系数k 的几何意义、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：1（）由平移的性质及平行线的性质，找出DF OE ∥及OD EF ∥；（2）利用平移的性质及平行四边形的性质，找出点D 的坐标；（3）利用勾股定理及平行四边形的性质，求出BE 的长及平行四边形BCFE 的面积．【例2】（2024·山东济南·一模）如图，一次函数112y x =-+的图象与反比例函数()0k y x x=<的图象交于点(),2P a ，与y 轴交于点Q ．(1)求a 、k 的值；(2)直线AB 过点P ，与反比例函数图象交于点A ，与x 轴交于点B ，AP PB =，连接AQ ．①求APQ △的面积；②点M 在反比例函数的图象上，点N 在x 轴上，若以点M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M 坐标．【答案】(1)2a =-，4k =-(2)①52；②4,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,1-【分析】（1）将P 点坐标代入一次函数解析式可求出a 的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出k 的值；（2）过点A 作AH y ∥轴，交PQ 于点H ，设B 的坐标(),0b ，点A 的坐标为(),t h ，根据P 的纵坐标，可以求出h 的值，进而求出A 点坐标，求出Q 点坐标，根据可求出H 点坐标，进而求出AH 的长，APQ APH AHQ S S S =+△△△，在APH V 和AHQ 中，AH 为底边，高分别是P 点、y 轴到AH 的距离，根据点P 、点A 的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可；（3）分两种情况，当MN 和PQ 为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定M 点纵坐标，进而求出M 的坐标；当MQ 和NP 为对角线时，以及平移来确定M 点纵坐标，进而求出对应M 点坐标，从而求解．【详解】（1）解：（1）把点(),2P a 代入112y x =-+解得，2a =-，把()2,2P -代入k y x=解得，4k =-；（2）∵4k =-，∴反比例函数解析式为4y x=-．①设B 的坐标()0b ，，点A 的坐标为()t h ，，∵AP PB =，()22P -，，∴4h =，把()4A t ，代入y =∴点()14A -，，∵一次函数112y x =-+的图象与∴Q 的坐标为()0,1，过点A 作AH y ∥轴，交PQ ∴52AH =，∴12APQ APH AHQ S S S =+=△△△②设点4,M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,0N n ∵()2,2P -，()0,1Q ，点M 当MN 和PQ 为对角线时，如下图：Q点可看做是将N点先向右平移故M点也是相应关系，即P故M点的纵坐标为P点纵坐标加即43m-=，43m=-M的坐标为4,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；当MQ和NP为对角线时，N点可看做是将Q点先再向下平移故M点也是相应关系，即M故M 点的纵坐标为211-=，4m =-，故此时M 点坐标为：(4,1)-综上，M 点的坐标为：⎛- ⎝【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A 和BC 的中点D ，6AB =，四边形OABC 的面积是48．(1)求点A ，D 的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点M 是四边形OABC 内部反比例函数()0k y x x =>图象上一动点(不含边界)，当直线y x m =+经过点M 时，请直接写出m 的取值范围．【分析】本题考查求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数交点问题：（1）根据6AB =得到点(6,0)C ，平行四边形面积48得到高，表示出A 点，从而得到B 点，得到中点D 代入解析式即可得到答案；（2）求出点M 在A ，D 两点得到m 的值即可得到答案；【详解】（1）解：∵6AB =，∴(6,0)C ，设点(,k A a a ，则(6,)k B a a+，2．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线y x =与直线2y x =交于点A 、点B ，点C 为双曲线上点A 右侧的一点，过点B 作BD AC ∥，交y 轴于点D ，连接BC CD 、．(1)如图1，求点A 、B 的坐标；(2)如图2，若四边形ABDC 是平行四边形，求BD 长；(3)如图1，当四边形ABDC 的面积为4时，求直线AC 的解析式．【答案】(1)()()1212A B --，，，(2)2BD =(3)2833y x =-+【分析】（1）由题意，联立方程组22y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1211x x ==-，，结合图象，即可作答．（2）根据平行四边形的对角线互相平分，则2222C B A D E C B A D E x x x x x y y y y y ++⎧==⎪⎪⎨++⎪==⎪⎩，把()()1212A B --，，，，0D x =代入2222C B A D E C B A D E x x x x x y y y y y ++⎧==⎪⎪⎨++⎪==⎪⎩，计算得2C x =，3D y =-，再根据两点间距离公式列式代入数值进行计算，即可作答．（3）先延长CA ，交y 轴于点F ，证明()ASA AOF BOD ≌，112422FCD C F C ABCD S S FD x y x ==⨯⨯=⨯⨯= 四边形，根据平行线的性质，得BD AC k k =，代入数值，得2430c c x x -+=，再运用因式分解法解方程，结合“点C 为双曲线上点A 右侧的一点”作出判断，即可作答．【详解】（1）解：∵双曲线2y x=与直线2y x =交于点A 、点B ，∴22y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得222x =解得1211x x ==-，则运用中点法列式，则x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∵点C为双曲线上点A右侧的一点，∴2 CC yx=∵BD AC∥1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数2kyx=交于两点(6)E m，和F．且点()3C n，在反比例函数图象上．(1)求反比例函数的解析式以及点F的坐标；(2)点P在反比例函数第一象限的图象上，连接CE，CF和CP，若415ECP ECFS S=V V，求点P的横坐标；(3)点M在x轴上运动，点N在反比例函数2kyx=的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．则四边形HIFG 为矩形，∴EFC EIF HIFG S S S =-- 矩形∴272545422EFC S =---=∵(16)E ，，)(23F --，，EFM 又∵点M 在x 轴上，∴点F 向上平移3个单位，∴点E 向上平移3个单位，∴点N 纵坐标为9，把y =∴12,93N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴点E 向上平移3个单位，向左平移把3y =代入6y x =，得2x =，∴()32,3N ∵33122M N x x +=-，∴32122M x +=-∴33M x =-∴()33,0M -综上，点E ，F ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为0 73M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或703 M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(30)M -，．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型．题型三反比例函数与矩形的综合问题【例1】（2024·贵州·一模）如图，在矩形ABOC 中，46AB AC ==，，D 是边AB 的中点，反比例函数()10k y x x=<的图象经过点D ，交边AC 于点E ，直线DE 的表达式为：()20y mx n m =+≠(1)求反比例函数的表达式和直线DE 的表达式；(2)根据图象直接写出当12y y >时，x 的取值范围．【答案】(1)反比例函数解析式为112y x =-，2263y x =+(2)6x <-或30x -<<【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：（1）先由矩形的性质得到6OB AC AB OB ==，⊥，进而求出()62D -，，利用待定系数法求出反比例函数解本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：先由矩形的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．【例2】（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，反比例函数()0k y x x=>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，且点D 为AB 的中点．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数()0k y x x=>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），直接写出m 的取值范围．【答案】(1)反比例函数解析式为4y x =，()22E ，(2)30m -≤≤【分析】（1）根据矩形的性质得到BC OA AB OA ∥，⊥，再由()4,1D 是AB 的中点得到()42B ，，从而得到点E 的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标即可；（2）求出直线y x m =+恰好经过D 和恰好经过E 时m 的值，即可得到答案．【详解】（1）解：∵四边形OABC 是矩形，∴BC OA AB OA ∥，⊥，∵()4,1D 是AB 的中点，∴()42B ，，∴点E 的纵坐标为2，∵反比例函数()0k y x x =>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，∴14k =，∴4k =，∴反比例函数解析式为4y x =，在4y x =中，当42y x==时，2x =，∴()22E ，；（2）解：当直线y x m =+经过点()22E ，时，则22m +=，解得0m =；当直线y x m =+经过点()41D ，时，则41m +=，解得3m =-；∵一次函数y x m =+与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），∴30m -≤≤．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．1．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数()0y kx k =>与反比例函数3y x=的图象分别交于A 、C 两点，已知点B 与点D 关于坐标原点O 成中心对称，且点B 的坐标为()0m ，．其中0m >．(1)四边形ABCD 是____．(填写四边形ABCD 的形状)(2)当点A 的坐标为()3n ，时，四边形ABCD 是矩形，求mn 的值．(3)试探究：随着k 与m 的变化，四边形ABCD 能不能成为菱形？若能，请直接写出k 的值；若不能，请说明理由．2．如图1，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，反比例函数y x=（0,0k x ≠>）在第一象限内的图象经过点D 、E ，(1)点F 为对角线OB 上一点，满足2OF BF =，点()6,E m 在边BC 上，且1tan 2BOC ∠=，求反比例函数解析式；(2)在（1）的条件下，反比例函数上是否存在点Q ，满足:2:1OBC OBQ S S = ，若存在，求点Q 的横坐标；(3)我们把有一个内角为45︒的三角形称为“美好三角形”，这个45︒的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图2，若点B 的坐标为()2,1，则当ODE 为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中k 的值．∵四边形OABC 是矩形，∴90BCO FHO ∠=∠=︒，∴FH BC ∥，∴OHF OCB ∽，∴OF OH OB OC=，由（1）得：()4,2F ，∴直线OB 解析式为：12y x =，∵()6,B m ，∴()6,0C ，则点()3,0P ，同（1）理：直线OB 解析式为：y =∵()6,B m ，∴3m =，∴点()0,3A ，∴OEM △是等腰直角三角形，∴=OE EM ，∵90OEC EOC ∠+∠=︒，OEC ∠+∠∴EOC MEN ∠=∠，同理①可证：GHO OCE ≌，∴OH EC =，GH OC =，∴,22k G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线DE 的解析式为y sx t =+，k ⎧题型四反比例函数与菱形的综合问题【例1】（2024·河南信阳·一模）如图，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，且()2,0A ，(B ，点C 在反比例函数k y x =的图象上．(1)求反比例函数k y x =的表达式；(2)当菱形OABC 绕点O 逆时针旋转150︒时，判断点C 的对应点C '是否在k y x =的图象上；并直接写出CC '所在的直线解析式．在Rt OCM ∆中，1,OM CM ==∴2OC =，∴tan 3COM ∠=，∴60COM ∠=︒，∵菱形OABC 绕点O 逆时针旋转∴2OC OC '==，150AOA '∠=︒题目主要考查反比例函数与特殊四边形的性质，解三角形的应用，旋转的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.【例2】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为(6,，点C在反比例函数的图象上，以点O为圆心，OC长为半径画 AC．(1)求反比例函数的表达式；(2)阴影部分的面积为______．（用含π的式子表示）∵菱形OABC 的边OA 在∴23CD =，OC BC =在Rt CDO △中，由勾股定理，得：∴()(22236DO OD +=-1．（2024·河南开封·一模）如图，ABC 的顶点坐标分别为(A ，()1,0B ，(C ，反比例函数()0k y x x =>的图象经过点C ．(1)求k 的值．(2)点D 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，且BD AC ⊥于点E ，DE BE =，请说明四边形ABCD 是菱形．(3)是否存在除点D 外可与A ，B ，C 三点共同组成菱形的点P ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．∵点P 与A ，B ，C 三点共同组成菱形，点A 和点C 纵坐标相等，∴可设点(),0P x ，当菱形ABPC 以AB 为对角线，则12x =+，解得=1x -，当菱形ABCP 以CB 为对角线，则012x +=+，解得3x =，则()11,0P -，()23,0P ．2．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，扇形AOB 上的点()1,3A 在反比例函数k y x =的图象上，点()3,1B -在第四象限，菱形OCDE 的顶点D 在x 轴的负半轴上，顶点E 在反比例函数k y x =的图象上．(1)k 的值为；(2)求AOB ∠的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．AOF OBG ∠=∠，根据90BOG OBG ∠+∠=︒即可求解；（3）根据扇形面积的计算，几何图形面积与反比例函数系数的关系即可求解．【详解】（1）解：已知扇形AOB 上的点()1,3A 在反比例函数k y x=的图象上，∴13k =，则3k =，故答案为：3；（2）解：如图,分别过点,A B 作AF x ⊥轴于点F ，BG x ⊥轴于点G ，∵()(1,3)3,1A B -，，∴13OF BG AF OG ====，，∵OA OB =,∴()SSS OAF BOG ≌，∴AOF OBG ∠=∠，∵90BOG OBG ∠+∠=︒，∴90BOG AOF ∠+∠=︒，∴90AOB ∠=︒；（3）解：由（2）可知，13OF AF ==，，∴OA OB ===90AOB ∠=︒，∴22115442OAB S OA πππ=⨯=⨯=扇形，11522AOB S OA OB === △，由（1）可知反比例函数解析式为3y x=，∵点E 在反比例函数图象上，且OCDE 是菱形，如图所示，连接CE 交x 轴于点H ，∴1322OEH S k == ，∴23ODE OEH S S ==△△，∴阴影部分的面积为：5553222OAB ODE OAB S S S S ππ=-+=-+=- 阴影扇形，∴阴影部分的面积和为：522π-．3．（2023·河南新乡·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为反比例函数k y x =图象上一点，AB y ⊥轴于点B ，且8AOB S =△，点M 为反比例函数k y x=图象上第四象限内一动点，过点M 作MC x ⊥轴于点C ，取x 轴上一点D ，使得OD OC =，连接DM 交y 轴于点E ，点F 是点E 关于直线MC 的对称点．(1)求反比例函数的表达式；(2)试判断点F 是否在反比例函数k y x =的图象上，并说明四边形EMFC 的形状．【答案】(1)16y x=-(2)点F 在反比例函数16y x =-的图象上，四边形EMFC 是菱形，理由见解析【分析】（1）根据反比例函数k 的几何意义，182AOB S k == 即可求解；（2）先证明DCM DOE ∽ ，得到12OE CM =，设16,M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8,E m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称的性质得到82,F m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，题型五反比例函数与正方形形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点B 与原点重合，点A ，C 分别在y 轴正半轴和x 轴正半轴上，将正方形ABCD 沿x 轴正方向平移4个单位长度后得到正方形A B C D ''''，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为A B ''的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象恰好经过点E ．(1)求反比例函数的表达式．(2)若反比例函数()0k y x x =>的图象与正方形A B C D ''''的边C D ''交于点F ，连接D E '，EF ，求D EF ' 的面积．(3)连接C D '，判断点E 是否在线段C D '上，并说明理由．本题考查了正方形的性质，平移的性质，反比例函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数表达式及一次函数表达式．【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个22⨯的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x 轴、y 轴平行，每个小正方形的边长为1．点N 的坐标为(3,3)．（1）点M 的坐标为．（2）若双曲线:(0)k L y x x =>与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k 的值有个．∴符合题意的正数k 有6，2，∵经过点E 、F 时，6k =；经过点N 时，9k =，∴在这两个临界状态之间，还有两个符合题意的正数7,8k k ==，∴共有4个，故答案为：4．1．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A -，(0,2)B -，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．解：(1,0)A - ，(0,2)B -，E 为AD 中点，1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴-，24t t ∴=-，4t ∴=，4k ∴=；（2）则102x -+=，解得1x =，则122x -=，解得=1x -，此时2(1,4)P --，2(0,Q ②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥∴122x -=，解得=1x -，3(1,4)P ∴--，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(P （3）解：结论：MN HT的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=，三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.。
2023年九年级数学中考专题训练——反比例函数与几何综合
(2)直接应用：若函数 （a＞2），则当a=_____时，函数 （a＞2）有最小值为______．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝ （x＞0）的图象相交于点A（3，a）和点B（b，3），点D，C分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足CD∥AB．
(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；
(2)若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；
(3)若点M是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的一个动点，当△AMD是以AM为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．
(3)若点G是直线AB上的动点，连接GB，GC，若三角形GBC的面积为4，求点G的坐标．
19．如图，直线 与反比例函数 的图像交于点A，B，点A的横坐标为1
(1)求k的值；
(2)点P是反比例函数 在第一象限上的一个动点，作P关于原点的对称点 ，以 为边作等边 ，使点C在第四象限．设点C（x，y），求y关于x的函数关系式；
18．如图，直线 与双曲线 交于A，B两点，点A的坐标为（m，-3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交 轴于点D，且BC=2CD．
(1)求 的值并直接写出点B的坐标；
(2)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)探索应用：如图2，已知A为反比例函数y= 的图象上一点，A点的横坐标为2，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，－4）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．
2024河南中考数学复习专题 反比例函数与几何图形结合 强化训练 (含答案)
2024河南中考数学复习专题 反比例函数与几何图形结合 强化训练基础题1. 如图，△ABC 为等边三角形，点B 恰好在反比例函数y ＝kx (k ≠0，x ＜0)的图象上，且BA ⊥x轴于点A.若点C 的坐标为(0，1)，则k 的值为( )第1题图A. －2 3B. 2 3C. －2D. 2 2. 如图，点A 是反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y ＝ax 的图象于点B ，以AB 为边作▱ABCD ，其中C ，D 在x 轴上，则S ▱ABCD 为( )第2题图A. 2－aB. －aC. －2aD. 2＋a 3. (2023广西)如图，过y ＝k x (x ＞0)的图象上点A ，分别作x 轴，y 轴的平行线交y ＝－1x 的图象于B ，D 两点，以AB ，AD 为邻边的矩形ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S 1，S 2，S 3，S 4，若S 2＋S 3＋S 4＝52，则k 的值为( )第3题图A. 4B. 3C. 2D. 14. (2023绥化)在平面直角坐标系中，点A 在y 轴的正半轴上，AC 平行于x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，BC ＝2，点D 在AC 上，且其横坐标为1，若反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过点B ，D ，则k 的值是( )第4题图A. 1B. 2C. 3D. 325. (2023陕西)如图，在矩形OABC 和正方形CDEF 中，点A 在y 轴正半轴上，点C ，F 均在x 轴正半轴上，点D 在边BC 上，BC ＝2CD ，AB ＝3.若点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是________．第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC 的底边BC 在x 轴的正半轴上，顶点A 在反比例函数y ＝5x (x ＞0)的图象上，延长AB 交y 轴于点D ，若OC ＝5OB ，则△BOD 的面积为________．第6题图7. (2023河南定心卷)如图，已知反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点A (2，－2)，AB ⊥y 轴于点B ，点C 为y 轴正半轴上一点，连接A C. (1)求反比例函数的表达式；(2)请用无刻度的直尺和圆规，在x 轴正半轴上找一点D ，使得∠OBD ＝∠BAC (要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B 铅笔作图)； (3)在(2)的条件下，求证：AC ＝BD.第7题图拔高题8. (2023贵州)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象分别与AB ，BC 交于点D (4，1)和点E ，且点D 为AB 的中点． (1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y ＝x ＋m 与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上D ，E 之间的部分时(点M 可与点D ，E 重合)，直接写出m 的取值范围．第8题图9. 如图，等腰Rt △ABC 的直角顶点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在反比例函数y ＝kx (x＞0)的图象上，BC 与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象交于点D ，已知点A (1，0)，点C (0，3).(1)求反比例函数的解析式；(2)连接AD ，以AD 长为半径画弧，交AC 于点E ，请直接写出图中阴影部分的面积．第9题图参考答案与解析1. A 【解析】∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∵BA ⊥x 轴于点A ，∴∠CAO ＝30°，∵点C 的坐标为(0，1)，∴OC ＝1，∴AC ＝2OC ＝2，∴AB ＝2，∴OA ＝AC 2－OC 2 ＝3 ，∴B (－3 ，2)，∵点B 恰好在反比例函数y ＝k x (k ≠0，x ＜0)的图象上，∴k ＝－3×2＝－23 .2. A 【解析】如解图，连接OA ，OB ，设AB 交y 轴于点E ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∴S △OEA ＝12 ×2＝1，S △OBE ＝12 |a |＝－12 a ，∴S △OAB ＝1－12a ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴S 四边形ABCD＝2S △OAB ＝2－a .第2题解图3. C 【解析】设A (m ，k m )，在y ＝－1x 中，令y ＝k m ，得x ＝－m k ，令x ＝m ，得y ＝－1m ，∴B (－m k ，k m )，D (m ，－1m )，∴C (－m k ，－1m )，∴S 2＝S 4＝1，S 3＝1k ，∵S 2＋S 3＋S 4＝52 ，∴1＋1k ＋1＝52，解得k ＝2，经检验，k ＝2是方程的解，且符合题意．4. C 【解析】∵点A 在y 轴正半轴上，AC ∥x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，且BC ＝2，点D 在AC 上，且横坐标为1，∴设B (3，a )，则D (1，a ＋2)，∵反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点B ，D ，∴3a ＝a ＋2，解得a ＝1，∴B (3，1)，∴k ＝3×1＝3.5. y ＝18x 【解析】设BD ＝CD ＝x ，∵四边形CDEF 为正方形，∴CF ＝EF ＝CD ＝x ，∠DEF＝90°，由矩形OABC 可得，∠ABC ＝90°，∴B (3，2x )，E (3＋x ，x )，∵点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，∴3×2x ＝(3＋x )x ，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝3，∴S 矩形OABC＝18，即k ＝18，∴这个反比例函数的表达式是y ＝18x .6.512【解析】如解图，过A 作AH ⊥x 轴于H ，连接OA ，∵△ABC 是等腰三角形，BC 为底边，∴BH ＝CH ，∵OC ＝5OB ，∴BH ＝2OB ，∴S △ABH ＝2S △AOB ，∵点A 在反比例函数y ＝5x (x >0)的图象上，∴S △AOH ＝52 ，∴S △ABH ＝52 ×23 ＝53，∵AH ∥OD ，∴△BOD ∽△BHA ，∴S △BOD S △ABH＝(OB BH )2＝14 ，∴S △BOD ＝14 S △ABH ＝512 .第6题解图7. (1)解：∵反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点A (2，－2)，∴k ＝2×(－2)＝－4.∴反比例函数的表达式为y ＝－4x (x ＞0)；(2)解：如解图，点D 即为所示作；第7题解图(3)证明：∵A (2，－2)，AB ⊥y 轴于点B ，∴∠ABC ＝∠BOD ＝90°，BO ＝AB ＝2. 由(2)得∠BAC ＝∠OBD ， 在△ABC 和△BOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠BOD AB ＝BO ∠BAC ＝∠OBD， ∴△ABC ≌△BOD ，∴AC ＝BD .8. 解：(1)∵点D (4，1)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝4×1＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x(x >0).∵四边形OABC 为矩形，且点D 为AB 中点，∴AB ＝2， ∴点E 的纵坐标为2， 当x ＝2时，y ＝42 ＝2，∴点E 的坐标为(2，2)； (2)－3≤m ≤0.【解法提示】由题可知，D (4，1)，E (2，2)，当一次函数y ＝x ＋m 的图象经过点D 时，则1＝4＋m ，解得m ＝－3；当一次函数y ＝x ＋m 的图象经过点E 时，则2＝2＋m ，解得m ＝0.∵一次函数与反比例函数图象的交点M 在D ，E 之间，且可与点D ，E 重合，∴m 的取值范围为－3≤m ≤0.9. 解：(1)如解图，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC ＝AB ，∠CAB ＝90°， ∴∠CAO ＋∠BAM ＝90°. ∵∠BMA ＝90°，∴∠BAM ＋∠ABM ＝90°， ∴∠CAO ＝∠ABM ， 在△COA 与△AMB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠COA ＝∠AMB ，∠CAO ＝∠ABM ，CA ＝AB ，∴△COA ≌△AMB (AAS)， ∴OC ＝MA ，OA ＝MB . ∵A (1，0)，C (0，3)， ∴OM ＝4，BM ＝1，∴B (4，1).∵点B 在反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x(x ＞0)；第9题解图(2)52 －58π. 【解法提示】由(1)可知B (4，1)，又∵C (0，3)，设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋b (m ≠0)，把B ，C 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝4m ＋b 3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12b ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝－12 x ＋3，由(1)可知反比例函数的解析式为y ＝4x，联立⎩⎨⎧y ＝4xy ＝－12x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2y 1＝2 ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y 2＝1(舍去)，∴D (2，2)，∴AD ＝5 ，∵CB ＝25 ，∴AD ＝12 CB ，∴D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠CAD＝45°，∴S 阴影＝S △ACD －S 扇形EAD ＝52 －58 π.。
中考数学代几结合专题反比例函数与几何图形的综合(选做)(1)
代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做)——代几结合，掌握中考风向标◆类型一 与三角形的综合1．(2016·云南中考)位于第一象限的点E 在反比例函数y＝kx的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－22．(2016·菏泽中考)如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD 为( )A ．36B ．12C ．6D ．3第2题图 第3题图 第4题图3．如图，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8x上，且AB ∥x 轴，则△OAB 的面积等于________．4．(2016·包头中考)如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝kx(x＜0)的图象经过点A，若S△AOB＝3，则k的值为________．5．(2016·宁波中考)如图，点A为函数y＝9x(x>0)图象上一点，连接OA，交函数y＝1x(x>0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为________．第5题图第6题图6．★如图，若双曲线y＝kx(k＞0)与边长为3的等边△AOB(O 为坐标原点)的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC＝2BD，则k 的值为________．7．(2016·宁夏中考)如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝23，反比例函数y＝kx(x>0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D.(1)求反比例函数的关系式；(2)连接CD，求四边形CDBO的面积．8．(2016·大庆中考)如图，P1、P2是反比例函数y＝kx(k>0)在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为(4，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．(1)求反比例函数的解析式；(2)①求P2的坐标；②根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y＝kx的函数值．◆类型二与特殊四边形的综合9．如图，点A是反比例函数y＝－6x(x＜0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为( )A．1 B．3 C．6 D．12第9题图第10题图10．(2016·烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为________．11．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P(6，3)，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝kx的图象交PM于点A，交PN于点B，若四边形OAPB的面积为12，则k＝________．第11题图第12题图12．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为________．13．(2016·资阳中考)如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，双曲线y＝kx(k≠0，x>0)过点D.(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC交y轴于点E，连接DE，求△CDE的面积．14．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x 轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M，反比例函数y＝m x 的图象经过点D，与BC的交点为N.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P的坐标．◆类型三动点、规律性问题15．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，点P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝kx(x>0)的图象上，当m>1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B，过点Q分别作x轴、y 轴的垂线，垂足为点C，D.QD交AP于点E，随着x的增大，四边形ACQE的面积( )A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小第15题图第16题图16．★在反比例函数y＝10x(x＞0)的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，A n，A n＋1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A1，A2，A3，…，A n，A n＋1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1＝________，S1＋S2＋S3＋…＋S n＝________(用含n的代数式表示)．参考答案与解析 1．B2．D 解析：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则点B 的坐标为(a ＋b ，a －b )．∵点B 在反比例函数y ＝6x的第一象限图象上，∴(a ＋b )×(a －b )＝a 2－b 2＝6.∴S △OAC －S △BAD ＝12a2－12b 2＝12(a 2－b 2)＝12×6＝3. 3.32 解析：延长BA 交y 轴于点C .S △OAC ＝12×5＝52，S △OCB ＝12×8＝4，则S △OAB ＝S △OCB －S △OAC ＝4－52＝32.4．－3 3 5．6 解析：设点A的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，9a ，点B的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫b ，1b .∵点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，∴点C 的坐标是(2a ，0)．设过点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，9a 的直线的解析式为y ＝kx ，∴9a＝k ·a ，解得k ＝9a2.又∵点B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫b ，1b 在y ＝9a 2x 上，∴1b ＝9a 2·b ，解得a b ＝3或ab＝－3(舍去)，∴S △ABC ＝S △AOC －S △OBC ＝2a ·9a2－2a ·1b 2＝182－62＝9－3＝6.6.36325 解析：过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x轴于点F .设OC ＝2x ，则BD ＝x .在Rt △OCE 中，OC ＝2x ，∠COE＝60°，∴∠OCE ＝30°，则OE ＝x ，CE ＝3x ，则点C 的坐标为(x ，3x )．在Rt △BDF 中，BD ＝x ，∠DBF ＝60°，∴∠BDF ＝30°，则BF ＝12x ，DF ＝32x ，则点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫3－12x ，32x .将点C 的坐标代入反比例函数解析式可得k ＝3x 2，将点D 的坐标代入反比例函数解析式可得k ＝332x －34x 2，则3x 2＝332x －34x 2，解得x 1＝65，x 2＝0(舍去)，故k ＝3x 2＝36325.7．解：(1)∵∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，∴OA ＝2AB ，∴(2AB )2＝AB 2＋(23)2，∴AB ＝2.作CE ⊥OB 于E .∵∠ABO ＝90°，∴CE ∥AB .∵OC ＝AC ，∴OE ＝BE ＝12OB ＝3，CE ＝12AB＝1，∴C 点坐标为(3，1)．∵反比例函数y ＝kx(x >0)的图象经过OA 的中点C ，∴1＝k3，∴k ＝3，∴反比例函数的关系式为y ＝3x；(2)∵OB ＝23，∴D 的横坐标为23，代入y ＝3x 得y ＝12，∴D点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫23，12，∴BD ＝12.∵AB ＝2，∴AD ＝AB －BD ＝32，∴S △ACD ＝12AD ·BE ＝12×32×3＝334.∴S四边形CDBO ＝S △AOB －S △ACD ＝12OB ·AB －334＝12×23×2－334＝534.8．解：(1)过点P 1作P 1B ⊥x 轴，垂足为B .∵点A 1的坐标为(4，0)，△P 1OA 1为等腰直角三角形，∴OB ＝2，P 1B ＝12OA 1＝2，∴P 1的坐标为(2，2)．将P 1的坐标代入反比例函数y ＝kx (k >0)，得k ＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x；(2)①过点P 2作P 2C ⊥x 轴，垂足为C ，∵△P 2A 1A 2为等腰直角三角形，∴P 2C ＝A 1C .设P 2C ＝A 1C ＝a ，则P 2的坐标为(4＋a ，a )．将P 2的坐标代入反比例函数的解析式y ＝4x 中，得a ＝44＋a ，解得a 1＝22－2，a 2＝－22－2(舍去)，∴P 2的坐标为(2＋22，22－2)；②在第一象限内，当2<x <2＋22时，经过点P 1、P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝4x的函数值．9．C 10.－611．6 解析：∵点P 的坐标为(6，3)，∴点A 的横坐标为6，点B 的纵坐标为3，代入反比例函数y ＝kx，得点A 的纵坐标为k 6，点B 的横坐标为k 3，即AM ＝k 6，NB ＝k3.∵S 四边形OAPB ＝12，即S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，∴6×3－12×6×k 6－12×3×k3＝12，解得k ＝6.12.154解析：∵四边形OABC 是矩形，∴AB ＝OC ，BC ＝OA .∵A 、C 的坐标分别是(4，0)和(0，2)，∴OA ＝4，OC ＝2.∵P 是矩形对角线的交点，∴P 点的坐标是(2，1)．∵反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象过对角线的交点P ，∴k ＝2，∴反比例函数的解析式为y ＝2x .∵D ，E 两点在反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象上，∴D 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，12，E 点的坐标是(1，2)，∴S △ODE ＝S 矩形OABC －S △AOD－S △COE －S △BDE ＝4×2－12×2－12×2－12×32×3＝154. 13．解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，∴点D 的坐标是(1，2)．∵双曲线y ＝k x (k ≠0，x >0)过点D ，∴2＝k 1，得k ＝2，即双曲线的解析式是y ＝2x(x >0)； (2)∵直线AC 交y 轴于点E ，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝（2－0）×12＋（2－0）×（3－1）2＝1＋2＝3，即△CDE 的面积是3.14．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB ＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x .∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1；(2)把y ＝3代入y ＝－6x得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NC ＝2.设P 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得y ＝±9.当y ＝9时，x ＝－10，当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．15．B 解析：由题意得AC ＝m －1，CQ ＝n ，则S 四边形ACQE ＝AC ·CQ＝(m －1)n ＝mn －n .∵P (1，4)，Q (m ，n )在函数y ＝k x(x >0)的图象上，∴mn ＝k ＝4(常数)．∴S 四边形ACQE ＝4－n .∵当m >1时，n 随着m 的增大而减小，∴S 四边形ACQE ＝4－n 随着m 的增大而增大．故选B.16．5 10n n ＋1解析：∵点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1在反比例函数y ＝10x(x ＞0)的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A 1的横坐标为2，∴点A 1的坐标为(2，5)，点A 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，52，∴S 1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－52＝5.由题图象知，点A n 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n ，102n ，点A n ＋1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n ＋2，102n ＋2，∴S 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫104－106＝53，∴S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫102n －102n ＋2＝10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1(n ＝1，2，3，…)．∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋12－13＋…1n －1n ＋1＝10n n ＋1.关注数学的解题过程数学是一门非常严谨的科目,在平时的学习中,同学们应该养成积极思考、重视细节、严谨计算、活学活用的好习惯,这是学好数学的前提高效学习经验——注重解答过程中考状元XX 在中考中仅仅丢掉了6分。
中考数学总复习《反比例函数与几何综合》专题训练-附答案
中考数学总复习《反比例函数与几何综合》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，一次函数y x b =-+与反比例函数()0k y x x=>的图像交于点(,3)A m 和(3,1)B ．(1)填空：一次函数的解析式为______，反比例函数的解析式为______；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，连接OP ，若POD 和POB 的面积相等，求点P 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点A 在y 轴正半轴上，点B 的坐标是()4,8-，反比例函数ky x=（0x <）的图像经过点C ．(1)求反比例函数的解析式；(2)点D 在边CO 上，且34CD DO =，过点D 作DE x ∥轴，交反比例函数的图像于点E ，求点E 的坐标；(3)在x 轴上找一点P ，使PE PC +的值最小，直接写出此时点P 的坐标．3．如图，已知点(),2A a ，()1,B b -是直线26y x =-与反比例函数my x=图像的交点，且该直线与y 轴交于点C ．(1)求该反比例函数的解析式； (2)连接OA 和OB ，求AOB 的面积；(3)根据图像，直接．．写出不等式26mx x-≥的解集．4．如图，O是平面直角坐标系的原点，点B是x轴上一点，坐标是()40，，以OB为边在第一象限作等边三角形OAB，反比例函数kyx=的图像经过点A．(1)求反比例函数的表达式；(2)将等边OAB沿x轴正方向平移，使线段OA的中点恰好落在反比例函数的图像上，求等边OAB平移的距离．5．如图，一次函数y kx b=+与反比例函数myx=的图象交于()1,6A、()3,B n两点，与x轴交于C点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点M 在x 轴上，且AMC 的面积为6，求点M 的坐标；(3)在第（2）问的假设下，取本题M 为你所求得的所有可能的M 当中横坐标最小的那个点．在平面内有一点N ，使得四个点M ，A ，B ，N 可以成为某个平行四边形的四个顶点．请写出所有可能的N 点的坐标．6．如图，反比例函数ky x=的图象经过点()432A -，，射线AB 与反比例函数的图象的另一个交点为()2B a -，，射线AC 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点C ，75BAC AD y ∠=︒⊥，轴，垂足为D ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求DC 的长；(3)在x 轴上是否存在点P ，使得APE 与ACD 相似，若存在，请求出满足条件点P 的坐标．若不存在说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴和y 轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图象与矩形交于,D E 两点，点B 的坐标为()6,3,1BE =．(1)求反比例函数的表达式． (2)①求点D 的坐标．①连接,DE AC ，求证：DBE CBA △∽△．(3)若P 为x 轴上一动点，则DP EP +的最小值为_________．8．如图，四边形ABCD 为正方形．点A 的坐标为()02，，点B 的坐标为()03-，，反比例函数ky x=的图象经过点C ，一次函数y ax b =+的图象经过点C 和点A ．(1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)写出kax b x+>的解集； (3)点P 是反比例函数图象上的一点，若OAP △的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求P 点坐标．9．如图，()4,0A 和()1,3B ，以OA OB 、为边作平行四边形OACB ，反比例函数ky x=的图象经过点C ．(1)求k 的值；(2)将平行四边形OACB 向上平移几个单位长度，使点B 落在反比例函数的图象上； (3)根据图象写出，x 为何值时反比例函数ky x=的图象在直线OC 上方．10．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数43y x =的图象经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数my x=的图象也经过点A ；第一象限内的点B 在这个反比例函数的图象上，过点B 作BC x ∥轴，交y 轴于点C ，且AC AB =.求：(1)这个反比例函数的解析式. (2)求点C 的坐标. (3)直线AB 的函数表达式.11．如图1，已知点(),0A a 和()0,B b ，且a 、b 满足()2150a a b ++++=，平行四边形ABCD的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线ky x=上经过C 、D 两点.(1)求k 的值； (2)点P 在双曲线ky x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时，MNHT的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值.12．已知平面直角坐标系中，直线AB 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,3A 和点()3,B n ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)求反比例函数的表达式及n 的值；(2)将OCD 沿直线AB 翻折，点O 落在第一象限内的点E 处，EC 与反比例函数的图象交于点F ．①请求出点F 的坐标；①将线段BF 绕点B 旋转，在旋转过程中，求线段OF 的最大值．13．如图，一次函数122y x =-+的图象与反比例函数2ky x=的图象分别交于点A ，点B ，与y 轴，x 轴分别交于点C ，点D ，作AE y ⊥轴，垂足为点E ，OE=4．(1)求反比例函数的表达式；(2)在第二象限内，当12y y <时，直接写出x 的取值范围； (3)点P 在x 轴负半轴上，连接PA ，且PA AB ⊥，求点P 坐标．14．如图，在直角坐标系中，直线34y x =-与反比例函数k y x =的图像交于(),3A m 、B 两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线34y x =-向上平移后与y 轴交于点C ，与双曲线在第二象限内的部分交于点D ，如果ABD △的面积为16，求直线向上平移的距离；(3)E 是y 轴正半轴上的一点，F 是平面内任意一点，使以点A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E 的坐标．15．如图一：在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+与双曲线()0ky k x=≠交于A ，B 两点，已知()1,4A 和()4,B m -．(1)求直线和双曲线的解析式及点B 的坐标；(2)根据图象直接写出不等式k x b x+>的解集； (3)如图二，设直线y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ．将直线y x b =+向下平移a 个单位长度，与双曲线在第一象限交于点C ，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，若13CD DE =，判定四边形DEMN 的形状，并说明理由．参考答案： 1．(1)4y x =-+；()30y x x => (2)点P 的坐标为(2,2)或(6,2)-2．(1)12y x=- (2)127,7⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)65,011⎛⎫- ⎪⎝⎭3．(1)反比例函数的解析式为8y x=(2)15(3)-1≤x ＜0或x ≥44．(1)反比例函数表达式为43y x =； (2)等边OAB 平移的距离为3．5．(1)28y x =-+ 6y x= (2)点M 的坐标为()6,0或()2,0(3)N 点的坐标为()0,4或()2,8或()4,4-6．(1)83y x =-(2)4DC =(3)存在，①当APE CDA ∽时()430P -，；①当APE DCA ∽时14303P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，7．(1)12(0)y x x =>(2)①点D 的坐标为()4,3；(3)298．(1)15y x =- 2y x =-+(2)3x <-或05x <<(3)325,5⎛⎫- ⎪⎝⎭或325,5⎛⎫- ⎪⎝⎭9．(1)15k =(2)12(3)05x <<10．(1)12y x =；(2)()0,2；(3)263y x =-+．11．(1)8k(2)()0,8或()0,8-或()0,4(3)不变 1212．(1)3y x= 1n = (2)①F 点坐标为3(4,)4；①线段OF 的最大值为17104+13．(1)4y x =-；(2)10x -<<；(3)()9,0-．14．(1)12y x =-(2)4(3)1250,3E ⎛⎫⎪⎝⎭ ()20,5E15．(1)3y x 4y x =；(2),40x -<<或1x >(3)正方形。
中考 代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做)(含答案)
第9题图第10题图
10．(2016·烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为________．
11．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P(6，3)，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝ 的图象交PM于点A，交PN于点B，若四边形OAPB的面积为12，则k＝________．
13．解：(1)∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，∴点D的坐标是(1，2)．∵双曲线y＝ (k≠0，x>0)过点D，∴2＝ ，得k＝2，即双曲线的解析式是y＝ (x>0)；
(2)∵直线AC交y轴于点E，∴S△CDE＝S△EDA＋S△ADC＝ ＋ ＝1＋2＝3，即△CDE的面积是3.
(2)①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C，∵△P2A1A2为等腰直角三角形，∴P2C＝A1C.设P2C＝A1C＝a，则P2的坐标为(4＋a，a)．将P2的坐标代入反比例函数的解析式y＝ 中，得a＝ ，解得a1＝2 －2，a2＝－2 －2(舍去)，∴P2的坐标为(2＋2 ，2 －2)；②在第一象限内，当2<x<2＋2 时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y＝ 的函数值．
A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小
第15题图第16题图
16．★在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，An，An＋1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A1，A2，A3，…，An，An＋1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1＝________，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝________(用含n的代数式表示)．
中考数学复习(福建专版 ) 拓展专项一 反比例函数和几何图形的结合
直角边交于点D.若S△OCD＝9，则S△OBD的值为
__k|
例2
如图6，正比例函数y＝kx与函数y＝
6 x
的图象交于A，B
两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝__1_2_____.
(图6)
【变式练习】如图7，分别过第二象限内的点P作x轴，y
(图3)
【变式练习3】如图4，A，B是反比例函数y＝ k (k＞0)在 x
第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标 分别是2和4，S△AOB＝3，则k的值为___4_____.
(图4)
【变式练习4】如图5，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴
上，双曲线y＝
k x
(x>0)经过斜边OA的中点C，与另一
例3
【2021福州鼓楼区模拟4分】如图8，反比例函数y＝
k x
(k≠0)的图象与正比例函数y＝ax(a≠0)的图象交于点A，C，
分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点B，D，连接
AD，BC.若四边形ABCD的面积为12，则k的值为
__－__6____.
(图8)
【变式练习】【2022龙岩模拟4分】已知，如图9，双曲线y
双曲线y＝
8 x
x 上，AB∥x轴，则△OAB的面积等于
(A )
A．1.5
B．2
C．3 D．6.5
(图11)
【变式练习2】如图12，平行于y轴的直线与函数y1＝
k x
(x＞0)和y2＝
2 x
(x＞0)的图象分别交于A，B两点，OA
交双曲线y2＝
2 x
于点C，连接CD，若△OCD的面积
为2，则k＝____8____.
教材梳理篇
第三章 函 数 拓展专项一
九年级数学 第六章 反比例函数 专题练习十一 反比例函数与几何图形的综合
2．如图，已知双曲线 y＝k(k<0)经过 Rt△OAB 斜边 x
OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C.若点 A 的坐标为(－6，4)， 则△AOC 的面积为( B ) A．12 B．9 C．6 D．4
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3．(2018·遵义中考改编)如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点， ∠ 则经 OA过B点＝3B0°的，反若比点例函A数在表反达比式例为函_数_y_＝y_＝_－_6x_2x(_x_＞__0_).的图象上，
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4．如图，已知反比例函数 y＝3kx1的图象与一次函数 y＝k2x＋m 的图象 交于 A(－1，a)，B(13，－3)两点，连接 AO. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)设点 C 在 y 轴上，且与点 Aபைடு நூலகம்O 构成等腰三角形， 请直接写出点 C 的坐标．
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解：(1)把点 A(3，4)代入 y＝kx(x＞0)，得 k＝3×4＝12，∴B(6，2) (2)①当四边形 ABCD 为平行四边形时，则 AD∥BC 且 AD＝BC， ∴点 D 的横坐标为 3，yA－yD＝yB－yC，∴4－yD＝2－0，∴yD＝2， ∴点 D 的坐标为(3，2)；②当四边形 ACBD 为平行四边形时， 则 AD∥CB 且 AD＝CB，∴点 D 的横坐标为 3，yD－yA＝yB－yC， 即 yD－4＝2－0，∴yD＝6，∴点 D 的坐标为(3，6)；
解：(1)y＝4x (2)答案不唯一，如矩形 OAPB、矩形 OCDP 即为所求作的图形
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11．(2018·黄冈)如图，反比例函数 y＝kx(x＞0)过点 A(3，4)， 直线 AC 与 x 轴交于点 C(6，0)， 过点 C 作 x 轴的垂线 BC 交反比例函数图象于点 B. (1)求 k 的值与点 B 的坐标； (2)平面内一点 D，使得以 A，B，C，D 四点为顶点的四边形为平行四边形， 试写出符合条件的所有点 D 的坐标．
中考数学复习反比例函数的图像和性质及综合应用专题练习题及答案
反比率函数的图像和性质及综合应用1．以下图像中是反比率函数y＝－2图像的是 ( ) xk2.函数y＝k(x－1)与y＝－x在同向来角坐标系内的图象大概是( )3．如图，抛物线 y＝x2＋1 与双曲线 y＝k的交点 A 的横坐标是 1，则对于 x 的不 xk2等式－x －1>0 的解集是 ( )A．x＞1 B．x＜－1C．0＜x＜1D．－1＜x＜04．已知反比率函数的图像经过点，则这个函数的图像位于( )A．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、西象限5．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角极点 A 的坐标为 (2 ，k0)，极点 B 的坐标为 (0 ，1) ，极点 C在第一象限，若函数 y＝x(x>0) 的图象经过点 C，则 k 的值为 ( )A．2B．3C．4D．6k16．如图，函数 y＝x(x<0) 的图象与直线y＝2x＋m订交于点 A，B. 过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，过点 B 作 BF⊥y轴于点 F，P 为线段 AB上一点，连结 PE，PF.若△ PAE5和△ PBF的面积相等，且x P＝－2，x A－x B＝－ 3，则 k 的值是 ( )7A．－5B．－2C．－1D．－2k7.当k＞0时，反比率函数y＝x和一次函数 y＝kx＋2 的图象大概是 ( )k8.已知点 A(2，y1) ，B(4 ，y2) 都在反比率函数 y＝x(k ＜0) 的图象上，则 y1，y2的大小关系为 ( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．没法确立10.11.如图，四边形 OABC是矩形， ADEF是正方形，点 A，D在 x 轴的正半轴上，k点 C在 y 轴的正半轴上，点 F 在 AB上，点 B，E 在反比率函数y＝x的图象上，OA＝1，OC＝6，则正方形 ADEF的边长为 _______．k12．如图，已知点A(1，2) 是反比率函数 y＝x图象上的一点，连结AO并延伸，交双曲线的另一分支于点 B. 点 P 是 x 轴上一动点，若△ PAB是等腰三角形，则点 P 的坐标是 _______或_______或_______或_______．k13.如图，反比率函数 y＝x(x ＜0) 的图象经过点 P，则 k 的值为 _______．14.在平面直角坐标系 xOy 中，对于不在座标轴上的随意一点 P(x，y) ，我们把1 1点 P′(， ) 称为点 P 的“倒影点”．直线 y＝－ x＋1 上有两点 A，B，它们的 x yk倒影点 A′，B′，均在反比率函数y＝x的图象上，若 AB＝22，则 k＝_______．b15.一次函数 y＝ax＋b 和反比率函数 y＝x在同一坐标系内的大概图象如下图，k16.如图，反比率函数 y＝x的图象与经过原点的直线 l 订交于 A，B 两点，点 A 的坐标为 ( －2，1) ，那么点 B 的坐标为 _______．k17.假如反比率函数 y＝x(k 是常数， k≠0) 的图象经过点 (2 ，3) ，那么在这个函数图象所在的每个象限内， y 的值随 x 的值增大而 _______．( 填“增大”或“减小”)418.如图，在直角坐标系中，点 A 在函数 y＝x(x ＞0) 的图象上，AB⊥ x 轴于点 B，4AB的垂直均分线与y 轴交于点 C，与函数 y＝x(x ＞0) 的图象交于点 D，连结 AC，CB，BD，DA，则四边形 ACBD的面积等于 _______．k19.设反比率函数 y＝－x中，在每个象限内， y 随 x 的增大而增大，则一次函数 y＝kx－k 的图像不经过第 _______象限。
中考数学复习反比例函数专项综合练附详细答案
中考数学复习反比例函数专项综合练附详细答案一、反比例函数1．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．（1）求k和b的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC= S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和得：4=﹣1+b，4= ，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1（3）解：过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：由，解得：x=4，或x=1，∴B（4，1），∴，∵，∴，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），∴S△PAC= OP•CD+ OP•AE= OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=﹣3，∴P（0，3）或P（0，﹣3）．【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（4，1），于是得到，由已知条件得到，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．2．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3，∴y= ，∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，∴y2= =1，∴B（3，1），∵直线y=ax+b经过A、B两点，∴解得，∴直线为y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴P（4，O）（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG 交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，∴= ，= = ，∵b=y1+1，AB=BP，∴= ，= = ，∴B（，y1）∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，∴x1•y1= • y1，解得x1=2，代入= ，解得y1=2，∴A（2，2），B（4，1）（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1+x2=x0【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，根据题意得出 = ， = = ，从而求得B（， y1），然后根据k=xy得出x1•y1= • y1，求得x1=2，代入 = ，解得y1=2，即可求得A、B的坐标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0．3．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为： a2+a+2，即点N（a， a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（ a2+a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB（3）解：连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ = ，PF2=PA×PB= ，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，∴直线PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y= ，∴M（﹣3，）．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。
2023年九年级数学中考专题训练反比例函数与几何综合含答案解析
中考专题训练——反比例函数与几何综合1．如图，一次函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，与反比例函数图象交于点C 和点D ，其中点D 的横标为1，1OA OB ==．（1）如图1，求一次函数和反比例函数的表达式；（2）如图2，点E 是x 轴正半轴上一点，2OE OB =，求BDE △的面积；（3）在（2）的条件下，直线BE 向上平移，平移后的直线过点D 且交y 轴于点F ，点M 为平面直角坐标系内一点，是否存在以B 、D 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，点A 是反比例函数y ＝m x（m ＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ；M 为是线段AC 的中点，过点M 作AC 的垂线，与反比例函数的图象及y 轴分别交于B 、D 两点．顺次连接A 、B 、C 、D ．设点A 的横坐标为n ．（1）求点B 的坐标（用含有m 、n 的代数式表示）；（2）求证：四边形ABCD 是菱形；（3）若⊥ABM 的面积为4，当四边形ABCD 是正方形时，求直线AB 的函数表达式．3．如图，A 为反比例函数k y x=（其中0x >）图像上的一点，在x 轴正半轴上有一点B ，10OB =．连接OA 、AB ，且13OA AB ==．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B 作BC OB ⊥，交反比例函数k y x=（其中0x >）的图像于点C ，连接OC 交AB 于点D ． ⊥求OC 的长；⊥求DO DC 的值． 4．如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA ＝2，OC ＝3，E 是AB 中点，反比例函数图象过点E 且和BC 相交点F ．（1）直接写出点B 和点E 的坐标；（2）求直线OB 与反比例函数的解析式；（3）连接OE 、OF ，求四边形OEBF 的面积．5．如图，在直角坐标中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()2,3，反比例函数k y x=是的图像经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE ．（1）求k 的值及点E 的坐标；（2）若点F 是OC 边上一点，且FBC DEB ∽，求直线FB 的解析式．（3）若点P 在y 轴上，且OPD △的面积与四边形BDOE 的面积相等，求点P 的坐标．6．已知在平面直角坐标中，点A (m ，n )在第一象限内，AB ⊥OA 且AB =OA ，反比例函数y =k x的图象经过点A（1）当点B 的坐标为(4，0)时（如图1），求这个反比例函数的解析式；（2）当点B 在反比例函数y =k x的图象上，且在点A 的右侧时（如图2），用含字母m ，n 的代数式表示点B 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求n m的值．7．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，函数m y x=（m 为常数，1m >，0x >）的图象经过点(),1P m 和()1,Q m ，直线PQ 与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．（1）求OCD ∠的度数；（2）如图2，连接OQ 、OP ，当POC OCD DOQ ∠=∠-∠时，求此时m 的值；（3）如图3，点A 、点B 分别是在x 轴和y 轴正半轴上的动点．再以OA 、OB 为邻边作矩形OAMB ．若点M 恰好在函数m y x=（m 为常数，1m >，0x >）的图象上，且四边形BAPQ 为平行四边形，求此时OA 、OB 的长度．8．如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，对角线OB 长为8，且30COB ∠=︒，D 是AB 边上的点，将ADO △沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处．（1）求OE 的长；（2）点E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式；（3）反比例函数与BC 交于M 点，连接OM ，求OBM 的面积．9．如图，已知点()3,1A -，()2,2B -，反比例函数()0k y x x=<的图象记为L ． （1）若L 经过点A ．⊥求L 的解析式；⊥L 是否经过点B ？若经过，说明理由；若不经过，请判断点B 在L 的上方，还是下方．（2）若L 与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围．10．如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝2k x（x ＜0）的图象相交于点A （﹣1，2）、点B （﹣4，n ）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）若点H （﹣12，h ）也在双曲线上，那么在y 轴上存在一点P ，使得|PB ﹣PH |的差最大，求出点P 的坐标．11．如图，直线y ＝﹣12x +7与反比例函数y ＝m x （m ≠0）的图象交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的横坐标为2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求出点B 坐标，并结合图象直接写出不等式m x ＜﹣12x +7的解集； （3）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．12．如图，一次函数2y x b =-的图象与反比例函数k y x=的图象交于点A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，且点A 的坐标为()3,2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求AOB 的面积．（3）点P 为反比例函数图像上的一个动点，PM x ⊥轴于M ，是否存在以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似，若存在，直接写出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．13．已知反比例函数12m y x-=（m 为常数）的图象在第一、三象限．（1）求m 的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过ABCO 的顶点B ，点,A C 的坐标分别为()2,0，1,2，求出m 的值；（3）将ABCO 沿x 轴翻折，点C 落在C '处，判断点C '是否落在该反比例函数的图象上？14．如图，一次函数y ＝mx+1的图象与反比例函数y ＝k x 的图象相交于A 、B 两点，点C 在x 轴正半轴上，点D(1，﹣2)，连结OA 、OD 、DC 、AC ，四边形OACD 为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x 的取值范围；（3）设点P 是直线AB 上一动点，且OAP S △＝12S 菱形OACD ，求点P 的坐标．15．如图，在第一象限内有一点A （4，1），过点A 作AB⊥x 轴于B 点，作AC⊥y 轴于C 点，点N 为线段AB 上的一动点，过点N 的反比例函数y ＝n x交线段AC 于M 点，连接OM ，ON ，MN ． （1）若点N 为AB 的中点，则n 的值为 ；（2）求线段AN 的长（用含n 的代数式表示）；（3）求⊥AMN 的面积等于14时n 的值．16．如图，直线11y k x b =+与反比例函数22k y x=的图象交于A 、B 两点，已知点(),4A m ，(),2B n ，AD x ⊥轴于点D ，BC x ⊥轴于点C ，3DC =．（1）求m ，n 的值及反比例函数的解析式；（2）结合图象，当21k k x b x+≤时，直接写出自变量x 的取值范围； （3）若P 是x 轴上的一个动点，当ABP 的周长最小时，求点P 的坐标．17．如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数26y x=的图象交于(2,)A m ，(,1)B n 两点，连接OA ，OB ．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求OAB 的面积；（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P ，使以O ，A ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，反比例函数m y x=与一次函数y kx b =+的图象交于A （1，3）和B （－3，n ）两点．（1）求m 、n 的值；（2）当x 取什么值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）求出⊥OAB 的面积．19．如图1，一次函数y ＝kx －4（k≠0）的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝－12x（x ＜0）的图象交于点B （－6，b ）．（1）b ＝__________．k ＝__________．（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 且平行于y 轴的直线l 交该反比例函数的图象于点D ，连接OC ，OD ，若⊥OCD 的面积＝8，求点C 的坐标．（3）将第（2）小题中的⊥OCD 沿射线AB 方向平移一定的距离后，得到⊥O′C′D′，若点O 的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D 的对应点D′的坐标．20．如图，直线AD ：33y x =+与坐标轴交于A D 、两点，以AD 为边在AD 右侧作正方形ABCD ，过C 作CG y ⊥轴于G 点．过点C 的反比例函数(0)k y k x=≠与直线AD 交于,E F 两点． （1）求证：⊥AOD⊥⊥DGC ；（2）求E 、F 两点坐标；（3）填空：不等式33k x x+>的取值范围是_________．参考答案1．（1）1y x =+，2y x =；（2）32（3）17(1,)2M ，21(1,)2M ，33(1,)2M -- 【分析】（1）根据题意，分别求得,A B 点的坐标，用待定系数法求得一次函数的解析式，再求得D 点的坐标，用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）过点D 作DG x ⊥轴于点G ,根据BDE S S =△梯形BOGD DGE BOE S S +-△△求解即可；（3）根据平行线的性质，分情况讨论，⊥当BF 为边时，32BF DM ==，上、下平移点D 即可求得M 点的坐标⊥当FB 为对角线时，根据FH BH =，DH MH =，利用中点坐标求解M 的坐标【详解】（1）点A 和点B 分别是x 轴、y 轴的点，且1OA OB ==,根据图像可知： (1,0),(0,1)A B -设直线AB 的解析式为：y kx b =+ 将点(1,0),(0,1)A B -代入，得：01k b b -+=⎧⎨=⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩ 1y x ∴=+点D 在直线AB 上，且横标为1， 112D y ∴=+=(1,2)D ∴ 又D 在反比例函数图像上设反比例函数解析式为：m y x =， 将(1,2)D 代入，得2m ∴=2y x∴= （2）如图，过点D 作DG x ⊥轴于点G ,则2DG =,1OG =2OE OB =2OE ∴=，1EG OE OG ∴=-=BDE S S =△梯形BOGD DGE BOE S S +-△△111=()222OB DG OG EG DG OE OB +⋅+⋅-⋅111(12)11221222=+⨯+⨯⨯-⨯⨯ 32= （3）存在，理由如下： 设直线BE 的解析式为y ax b =+ (2,0),(01)E B ，201a b b +=⎧∴⎨=⎩解得：121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 112y x ∴=-+ 平移后经过点D (1,2)设平移后的直线DF 的解析式为12y x c =-+ 将D (1,2)代入，求得52c = 5(0,)2F ∴ 53122BF ∴=-= 如图：以B 、D 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形 ⊥当BF 为边时，//BF DM 时，32BF DM == ,B F 都在y 轴上//DM y ∴轴(1,2)D17(1,)2M ∴或者21(1,)2M⊥当FB为对角线时，设对角线,FB DM交点为H ∴FH BH=，DH MH=,设(,)M x y5(0,),(0,1)2F B7(0,)4H∴(1,2)D117(1)0,(2)224x y∴+=+=解得132xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩33(1,)2M∴--综上所述，17(1,)2M，21(1,)2M，33(1,)2M--【点睛】本题考查平移的性质，一次函数与反比例函数图像的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的判定与性质，熟练一次函数与反比例函数图像的性质是解题的关键．2．（1）B（2n，2mn）；（2）见解析；（3）y＝x＋【分析】（1）由点A在双曲线上，确定出A坐标，进而得出B的坐标，即可得出结论；（2）由（1）得到的点B，D，M的坐标判断出MB MD AM MC==，，得出四边形ABCD是平行四边形，再用BD AC⊥即可；（3）由（2）结合AC BD=建立方程求出n，m，从而得到点B，A的坐标即可．【详解】（1）当x n=时，myn=，()m A n n∴，， 由题意知，BD 是AC 的中垂线，∴点B 的纵坐标是2m n ， ∴把2m y n=代入m y x =得2x n =， ∴B （2n ，2m n ）； （2）证明：⊥BD ⊥AC ，AC ⊥x 轴，⊥BD ⊥y 轴，由（1）知，B （2n ，2m n ），A （n ，m n）， ⊥D （0，2m n ），M （n ，2m n ）， ⊥BM ＝MD ＝﹣n ，⊥AC ⊥x 轴，⊥C （n ，0），⊥AM ＝CM ，⊥四边形ABCD 是平行四边形．又⊥BD ⊥AC ，⊥平行四边形ABCD 是菱形；（3）当四边形ABCD 是正方形时， ABM 为等腰直角三角形，AM BM ∴=， ABM 的面积是4，2142ABM S AM ∴==, 22AM BM ∴==，M 为线段AC 的中点，22AC AM BD BM ∴====2n ∴=-，m n=((A B ∴--，， 设直线AB 的解析式为y kx b =+，b b ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪⎩， 解得1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩直线AB 的函数表达式为y ＝x ＋【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是用m ，n 表示出点A ，B ，D ，M 的坐标．3．（1）60y x =；（2）⊥；⊥4【分析】（1）要求k 的值，只需要求出A 的坐标即可，所以过A 作AE x ⊥轴于E ，由于OA AB =，所以5OE EB ==，利用勾股定理求出AE 的长，得到A 的坐标(5,12)，代入到反比例函数解析式中即可解决； （2）⊥因为BC x ⊥轴，所以C 的横坐标为10，由于C 在反比例函数图象上，所以可以求出C 的纵坐标，在直角三角形OBC 中，利用勾股定理可以求出OC 的长度；⊥要求DO DC的值，由OC 的长度已知，所以只需要求出DO 或者DC 的长度即可，因为D 是直线OC 和直线AB 的交点，所以求出直线OC 和直线AB 的解析式，联立两个函数解析式，求得D 的坐标，进而求出线段OD 的长度，即可解决，此题也可以平行线构造相似来解决．【详解】解：（1）过A 作AE OB ⊥于E ，如图1，OA AB =，152OE BE OB ∴===， ∴12AE =，A ∴的坐标为(5,12)， A 为反比例函数k y x=（其中0)x >图象上的一点， 60∴=k ，∴反比例函数的解析式为：60y x=； （2）⊥10OB =，B ∴的坐标为(10,0)，BC x ⊥轴交反比例函数图象于C 点，C ∴的横坐标为10，令10x =，则606y x==， (10,6)C ∴， 6BC ∴=，∴OC ；⊥设直线OC 为y mx =，代入点C 的坐标得35m =， ∴直线OC 的解析式为35y x =， 设直线AB 的解析式为(10)y n x =-，代入点A 的坐标得125n =-， ∴直线AB 的解析式为12245y x =-+， 联立1224535y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得8245x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， D ∴的坐标为24(8,)5，∴OD =，∴CD OC OD =-， ∴4DO DC=．【点睛】本题是一道反比例函数综合题，注意等腰三角形的性质和勾股定理在求线段时的作用，求线段比可以用直接解析法和相似来转化．4．（1）B （2，3），E （2，32）；（2）33,2y x y x==；（3）3 【分析】（1）根据OA ＝2，OC ＝3，得到点B 的坐标；根据E 是AB 的中点，求得点E 的坐标，（2）运用待定系数法求直线OB 的解析式，再进一步运用待定系数法求得反比例函数的解析式；（3）根据反比例函数的解析式求得点F 的横坐标，再进一步根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算．【详解】解：（1）⊥OA ＝2，OC ＝3，E 是AB 中点，⊥B （2，3），E （2，32）； （2）设直线OB 的解析式是y ＝k 1x ，把B 点坐标代入，得k 1＝32， 则直线OB 的解析式是y ＝32x ． 设反比例函数解析式是y ＝2k x， 把E 点坐标代入，得k 2＝3，则反比例函数的解析式是y ＝3x； （3）由题意得Fy ＝3，代入y ＝3x， 得Fx ＝1，即F （1，3）．则四边形OEBF 的面积＝矩形OABC 的面积﹣⊥OAE 的面积﹣⊥OCF 的面积＝2×3﹣12⨯1×3﹣12⨯2×32＝3． 【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，灵活应用是关键，本题是中考的常考题型5．（1）3k =；32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2533y x =+；（3）()0,6或()0,6- 【分析】（1）由B 点的坐标，可得出D 点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出k 值，由E 点在AB 上可得出点B 的横坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征可求出E 点的纵坐标，进而可得出E 点的坐标；（2）由（1）可得出BD ＝1，BE ＝，CB ＝2，由⊥FBC ⊥⊥DEB ，利用相似三角形的性质可求出CF 的长，结合OF ＝OC -CF 可得出OF 的长，进而可得出点F 的坐标，由点F ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线FB 的解析式；（3）由AOE COD OABC BDOE S S S S =--△△矩形四边形，可求出四边形BDOE 的面积，由点P 在y 轴上及⊥OPD 的面积与四边形BDOE 的面积相等，可求出OP 的长，进而可得出P 点的坐标．【详解】解：（1）在矩形OABC 中，⊥B 点坐标为(2,3)，⊥BC 边中点D 的坐标为(1,3)，又⊥反比例函数k y x=图像经过点(1,3)D ， ⊥31k =， ⊥3k =，⊥E 点在AB 上，⊥E 点的横坐标为2，又⊥3y x=经过点E ，⊥E 点纵坐标为32， ⊥E 点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， （2）由（1）得1BD =，32BE =，2CB =，⊥FBC DEB ∽， ⊥BD BE CF CB =，即3122CF =， ⊥43CF =， ⊥53OF =，即点F 的坐标为50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线FB 的解析式为()110y k x b k =+≠，而直线FB 经过()2,3B ，50,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ⊥13253k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩， ⊥125,33k b ==， ⊥直线FB 的解析式为2533y x =+； （3）⊥131232313222AOE COD BDOE OABC S S S S =--=⨯-⨯⨯-⨯⨯=四边形矩形，由题意，得13,12OP DC DC ⋅==， ⊥6OP =，⊥点P 的坐标为()0,6或()0,6-．【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图像上点的坐标特征求出k 值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）利用三角形面积的计算公式，求出OP 的长．6．（1）y =4x ；（2）(m +n ，n -m )；（3【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到点A坐标，代入解析式即可得到y =4x． （2）过点A 作AE⊥x 轴于点E ，过点B 作BD⊥AE 于点D ，构造一对全等三角形，得到AE=BD=n ，OE=AD=m ，所以B （m+n ，n -m ）.（3）把点A 和点B 的坐标代入反比例函数的解析式得到关于m 、n 的等22m n mn -=，两边除以2n ，换元法解得n m =． 【详解】解：（1）过A 作AC ⊥OB ，交x 轴于点C ，⊥OA =AB ，⊥OAB =90°，⊥⊥AOB 为等腰直角三角形，⊥AC =OC =BC =12OB =2，⊥A （2，2），将x =2，y =2代入反比例解析式得：2=2k ，即k =4， 则反比例解析式为y =4x； （2）过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BD ⊥AE ，⊥⊥OAB =90°，⊥⊥OAE +⊥BAD =90°，⊥⊥AOE +⊥OAE =90°，⊥⊥BAD =⊥AOE ，在⊥AOE 和⊥BAD 中，°90AOE BAD AEO BDA AO BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，⊥⊥AOE ⊥⊥BAD （AAS ），⊥AE =BD =n ，OE =AD =m ，⊥DE =AE -AD =n -m ，OE +BD =m +n ，则B （m +n ，n -m ）；（3）由A 与B 都在反比例图象上，得到mn =（m +n ）（n -m ），整理得：n 2-m 2=mn ，即2()()10m m n n这里a =1，b =1，c =-1，⊥⊥=1+4=5，⊥m n = ⊥A （m ，n ）在第一象限，⊥m ＞0，n ＞0， 则1+52mn ． 【点睛】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形的性质,以及一元二次方程的解法,熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．7．（1）⊥OCD =45°．（2）m；（3）OA OB == 【分析】（1）求出点C ，点D 的坐标，证明OC =OD 即可解决问题；（2）作辅助线，证明⊥OMQ ⊥⊥ONP （SAS ），得OQ =OP ，⊥DOQ =⊥POC ，根据已知可得⊥DOQ =⊥POC =⊥QOH =⊥POH ，根据角平分线的性质得：MQ =QH =PH =PN =1，根据CD =DQ +PQ +PC ，列方程可得结论；（3）先根据四边形BAPQ为平行四边形，可知⊥OAB=45°，可得⊥AOB是等腰直角三角形，所以OA=OB，从而得M，即OA=OB AB=PQ列方程解出即可．【详解】解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有1 km bk b m+⎧⎨+⎩＝＝，解得11 kb m-⎧⎨+⎩＝＝，⊥y=-x+m+1，令x=0，得到y=m+1，⊥D（0，m+1），令y=0，得到x=m+1，⊥C（m+1，0），⊥OC=OD，⊥⊥COD=90°，⊥⊥OCD=45°．（2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，⊥P（m，1）和Q（1，m），⊥MQ=PN=1，OM=ON=m，⊥⊥OMQ=⊥ONP=90°，⊥⊥OMQ⊥⊥ONP（SAS），⊥OQ=OP，⊥DOQ=⊥POC，⊥⊥DOQ=⊥OCD-⊥POC，⊥OCD=45°，⊥⊥DOQ=⊥POC=⊥QOH=⊥POH=22.5°，⊥MQ=QH=PH=PN=1，⊥⊥OCD=⊥ODC=45°，⊥⊥DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，⊥DQ=PC⊥OC=OD=m+1，⊥CD m+1），⊥CD=DQ+PQ+PC，（m+1）+2，⊥m；（3）如图3，⊥四边形BAPQ为平行四边形，⊥AB⊥PQ，AB=PQ，⊥⊥OAB=45°，⊥⊥AOB=90°，⊥OA=OB，⊥矩形OAMB是正方形，⊥点M恰好在函数y=mx（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，⊥M，即OA=OB⊥AB=PQ，解得：m=m=（舍），⊥OA OB===【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．8．（1）4；（2）y =（3）【分析】（1）根据OB 的长度，⊥OCB 的度数可得BC 和OA ，再根据折叠的性质可得OE ；（2）过E 点作EF ⊥OC 于F ，求出点E 的坐标，从而可得反比例函数解析式；（3）根据OC 的长得到点M 的横坐标，代入反比例函数解析式得到点M 的坐标，从而得到BM ，再利用三角形面积公式计算结果．【详解】解：（1）⊥四边形ABCD 是矩形，⊥⊥OCB =90°⊥OB =8，⊥COB =30°，⊥BC =OA =4，由折叠可知：OE =OA =4；（2）过E 点作EF ⊥OC 于F ，⊥OE =4，⊥BOC =30°，⊥EF =2，⊥OF⊥E （2），设经过点E 的反比例函数表达式为：k y x=，则k =⊥反比例函数的解析式为：y =（3）⊥点M 在反比例函数图像上，OC⊥将x =y =1，即M （1），CM =1，又⊥BC =4，⊥BM =4-1=3，⊥S △OBM =132⨯⨯ 【点睛】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的面积，本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．9．（1）⊥3y x=-(0x <)；⊥点B 在图象L 上方，理由见解析；（2）43k -≤≤-． 【分析】（1）⊥将点A 坐标代入图象L 解析式中，解得，即可得出结论；⊥将x=-2代入图象L 解析式中，求出y ，再与2比较大小，即可得出结论；（2）求出图象L 过点A ，B 时的k 的值，再求出图象L 与线段AB 相切时的k 的值，即可得出结论．【详解】解：（1）⊥⊥L 过点A （-3，1），⊥313k =-⨯=-，⊥图象L 的解析式为3y x=-(0x <)； ⊥点B 在图象L 上方，理由：由（1）知，图象L 的解析式为3y x=-， 当2x =-时，33222y =-=<-， ⊥点B 在图象L 上方；（2）当图象L 过点A 时，由（1）知，3k =-，当图象L 过点B 时，将点B （-2，2）代入图象L 解析式k y x=中，得224k =-⨯=-， 当线段AB 与图象L 只有一个交点时，设直线AB 的解析式为y mx n =+，将点A （-3，1），B （-2，2）代入y mx n =+中，3122m n m n -+=⎧⎨-+=⎩， ⊥14m n =⎧⎨=⎩， ⊥直线AB 的解析式为4y x =+，联立图象L 的解析式和直线AB 的解析式得，4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩， 化为关于x 的一元二次方程为240x x k +-=，⊥1640k =+=，⊥4k =-，即满足条件的k 的范围为：43k -≤≤-．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，找出图象L 与线段AB 有公共点的分界点是解本题的关键．10．（1）y ＝12x +52， y ＝﹣2x ；（2）S △AOB ＝154；（3）P （0，92）． 【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，然后再把点B 的坐标代入反比例函数求出n 的值，从而求出点B 的坐标，再把A 、B 的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）求得直线AB 与x 轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求解；（3）根据题意，P 点是直线BH 与y 轴的交点；【详解】（1）⊥点A(﹣1，2)在反比例函数图象上， ⊥21k -＝2， 解得k 2＝﹣2，⊥反比例函数的解析式是y ＝﹣2x， ⊥点B(﹣4，n)在反比例函数图象上，⊥n ＝21=42-- ， ⊥点B 的坐标是(﹣4，12)，⊥一次函数1y k x b =+的图象经过点A(﹣1，2)、点B(﹣4，12)． ⊥112142k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得11252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ． ⊥一次函数解析式是1522y x =+ ； （2）设直线AB 与x 轴的交点为C ，1522y x =+中，令y ＝0，则x ＝﹣5， ⊥直线与x 轴的交点C 为(﹣5，0)，⊥S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC 11115=525=2224⨯⨯-⨯⨯ ； （3）⊥点H(﹣12，h)也在双曲线上，⊥2=412h=--，⊥H(﹣12，4)，⊥在y轴上存在一点P，使得|PB﹣PH|最大，⊥P点是直线BH与y轴的交点，设直线BH的解析式为y＝kx+m，⊥142142k mk m⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得192km=⎧⎪⎨=⎪⎩，⊥直线BH的解析式为y＝x+92，令x＝0，则y＝92，⊥P(0，92 )．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积，会利用待定系数法求一次函数解析式；运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解题的关键；11．（1）12yx=；（2）x＜0或2＜x＜12；（3）E（0，6）或（0，8）【分析】（1）由直线y＝﹣12x+7求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）解析式联立，解方程组即可求得B的坐标，然后根据图象即可求得不等式mx＜﹣12x+7的解集；（3）设E（0，n），求得点C的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△AEB＝S△BCE﹣S△ACE＝12|7﹣n|×（12﹣2）＝5，解得即可．【详解】解：（1）把x＝2代入y＝﹣12x+7得，y＝6，⊥A（2，6），⊥反比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过A点，⊥m ＝2×6＝12，⊥反比例函数的表达式为12y x=； （2）由12172y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得26x y =⎧⎨=⎩或121x y =⎧⎨=⎩， ⊥B （12，1）， 由图象可知，不等式m x ＜﹣12x +7的解集是：x ＜0或2＜x ＜12； （3）设E （0，n ），⊥直线y ＝﹣12x +7与y 轴交于点C ，⊥C （0，7），⊥CE ＝|7﹣n |，⊥S △AEB ＝S △BCE ﹣S △ACE ＝12|7﹣n |×（12﹣2）＝5，解得，n ＝6或n ＝8，⊥E （0，6）或（0，8）．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数图像上的点的坐标特征以及待定系数法，是解题的关键．12．（1）24y x =-，6y x =；（2）8AOB S =△；（3）存在，P点的坐标为或(-或(或(-．【分析】（1）把()3,2A 分别代入直线2y x b =-和反比例函数k y x =进行求解即可； （2）连接OA 、OB ，由246y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得：1132x y =⎧⎨=⎩，2216x y =-⎧⎨=-⎩，进而可得()1,6B --，然后由一次函数可得2OC =，最后根据割补法可求解⊥AOB 的面积；（3）当以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似时，始终有90PMO COD ∠=∠=︒，由（2）可得OC=2，OD=4，设点6,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则6,PM OM a a ==，12OC OD =，则可分⊥当OPM OCD ∠=∠时，⊥当OPM ODC ∠=∠时，然后根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）把()3,2A 代入2y x b =-得：62b -=，解得：4b =，⊥一次函数的表达式为24y x =-，把()3,2A 代入k y x =得：23k =， 解得：6k =， ⊥反比例函数的表达式为6y x=； （2）连接OA 、OB ，如图所示：由246y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得：1132x y =⎧⎨=⎩，2216x y =-⎧⎨=-⎩， ⊥()3,2A ，()1,6B --，在24y x =-上，当0y =时，240x -=，解得：2x =⊥()2,0C⊥2OC = ⊥1222OAC S OC =⨯=△，1662OBC S OC =⨯=△， ⊥8AOB OAC OBC S S S =+=△△△；（3）由题意可得如图所示：当以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似时，始终有90PMO COD ∠=∠=︒，由（2）可得OC=2，OD=4，设点6,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则6,PM OM a a ==，12OC OD =， ⊥当OPM OCD ∠=∠时， ⊥12OC PM OD OM ==，即612a a =，解得：a =±⊥点(P 或(P -；⊥当OPM ODC ∠=∠时， ⊥12OC OM OD PM ==，即62a a =，解得：a =⊥点P 或(P -；综上所述：当以P 、M 、O 为顶点的三角形与COD △相似时，P 点的坐标为或(-或(或(-． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质，熟练掌握反比例函数与几何综合及相似三角形的性质是解题的关键．13．（1）12m <；（2）12m =-；（3）点()1,2C '--在反比例2y x =图象上 【分析】（1）根据反比例函数图象在第一、三象限，列不等式即可；（2）根据平行四边形的性质求出BC 长，再求出点B 坐标代入解析式即可；（3）根据翻折求出C '坐标，代入解析式即可．【详解】解：（1）反比例函数12m y x-=（m 为常数）的图象在第一、三象限， ⊥120m ->， 解得12m <； （2）⊥ABCO 是平行四边形，⊥2CB OA ==，⊥点B 坐标为()1,2．把点()1,2代入12m y x-=得， 1221m -=， 解得12m =-．（3）点C 关于x 轴的对称点为()1,2C '--．由（2）知反比例函数的解析式2y x =， 把=1x -代入2221y x ===--， 故点()1,2C '--也在反比例2y x =图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合问题，和平行四边形 性质，解题关键是熟知反比例函数的性质和平行四边形的性质，树立数形结合思想，利用点的坐标解决问题．14．（1）一次函数的解析式为：y=x+1，反比例函数的解析式为：y ＝2x ；（2）x ＜0或x ＞1；（3）P 点坐标为（-3，-2）或（5，6）【分析】（1）由菱形的性质可知A 、D 关于x 轴对称，可求得A 点坐标，把A 点坐标分别代入两函数解析式可求得k 和m 值；（2）由（1）可知A 点坐标为（1，2），结合图象可知在A 点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x 的取值范围；（3）根据菱形的性质求得菱形面积，分点P 在x 轴下方和点P 在x 轴上方两种情况加以分析即可．【详解】解：（1）如图，连接AD ，交x 轴于点E ，⊥D （1，2），⊥OE=1，ED=2，⊥四边形AODC 是菱形，⊥AE=DE=2，EC=OE=1，⊥A （1，2），将A （1，2）代入直线y=mx+1可得m+1=2，解得m=1，⊥一次函数的解析式为：y=x+1，将A （1，2）代入反比例函数y ＝k x ，可求得k=2； ⊥反比例函数的解析式为：y ＝2x； （2）⊥当x=1时，反比例函数的值为2，⊥当反比例函数图象在A 点下方时，对应的函数值小于2，此时x 的取值范围为：x ＜0或x ＞1；（3）⊥OC=2OE=2，AD=2DE=4，⊥S 菱形OACD 142=⋅=OC AD ，S △OAP =12S 菱形OACD ， ⊥S △OAP =2，直线y=x+1与x 轴交点M （-1，0）设P 点坐标为（x ，x+1），当点P 在x 轴下方时，⊥S △OAP =S △OAM +S △OMP =2， ⊥()111211222x ⨯⨯+⨯--⨯=， 解得x=-3，⊥P 点坐标为（-3，-2）．当点P 在x 轴上方时，⊥S △OAP = S △OMP -S △OAM =2， ⊥()111112222x ⨯+⨯-⨯⨯=， 解得x=5，⊥P 点坐标为（5，6）．．【点睛】本题考查了反比例函数和几何的综合应用，涉及知识点有待定系数法、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想等，熟练掌握相关知识是解题的关键．15．（1）2；（2）14n -；（3）4【分析】（1）根据点A 的坐标和点N 为AB 的中点得到点N 的坐标，可得n 值；（2）将点N 的横坐标代入反比例函数表达式，得到纵坐标，即BN 的长，再根据AB 得到AN ；（3）分别表示出AN 和AM 的长，表示出⊥AMN 的面积，令其为14，解方程即可得到结果． 【详解】解：（1）⊥A （4，1），AB⊥x 轴于点B ，交n y x=于点N ， ⊥x A =x B =x N =4，AB=1，又⊥点N 为AB 中点，⊥BN=12AB=12，即y N =12， ⊥n=x N ×y N =4×12=2， 故n=2；（2）由（1）可知：x A =x B =x N =4， ⊥点N 在n y x =上， ⊥y N =4N n n x =， ⊥AN=AB -BN=14n -， 故线段AN 的长为14n -； （3）由（2）可知：AN=14n -， ⊥点A （4，1），AC⊥y 轴，交n y x=于点M ， ⊥y A =y M =1，AC=x N =4， 则x M =M n y =n ，即CM=x M =n ， ⊥AM=AC -CM=4-n ， ⊥AC⊥y 轴，AB⊥x 轴， ⊥四边形OBAC 为矩形， ⊥⊥A=90°，⊥S △AMN =12AN AM ⨯⨯ =()11424n n ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=2128n n -+， 又⊥AMN 的面积等于14， ⊥211284n n -+=，解得：4n =又AN=14n -＞0， ⊥n ＜4，⊥4n =故n 的值为4【点睛】本题考查了反比例函数综合，矩形的判定和性质，一元二次方程，解题的关键是利用反比例函数图像上的点坐标表示出相应线段的长度．16．（1）3m =，6n =，212y x=；（2）03x <≤或6x ≥；（3）点P 的坐标为()5,0． 【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入反比例函数中，得到2n m =，由CD=3可知 ，3n m -=即可求出m 、n 的值；（2）根据图象可直接写出x 的取值范围；（3）作点B 关于x 轴的对称点()62F -，，连接AF 交x 轴于点P ，此时ABP 的周长最小，求出坐标即可； 【详解】（1）⊥点()4A m ，，()2B n ，在反比例函数22k y x=的图象上， ⊥242k m n ==，即2n m =；⊥3DC =，⊥3n m -=，⊥3m =，6n =， ⊥点()34A ，，点()62B ，， ⊥23412k =⨯=，⊥反比例函数的解析式为212y x=； （2）⊥点()34A ，，点()62B ，， ⊥当21k k x b x+≤ 时：03x <≤或6x ≥； （3）如图，作点B 关于x 轴的对称点()62F -，，连接AF 交x 轴于点P ，此时ABP 的周长最小； 设直线AF 的解析式为y kx a =+，3462k a k a +=⎧⎨+=-⎩ 解得210k a =-⎧⎨=⎩ ⊥直线AF 的解析式为210y x =-+，当0y =时，5x =，⊥点P 的坐标为()50，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的解析式以及求x 的取值范围，还有在反比例函数中出现的动点问题，属于中等难度．17．（1）1142y x =-+；（2）8；（3）存在，点P 的坐标为()42-，，()42-，，()84， 【分析】（1）由点A ，B 在反比例函数图象上，求出m ，n ，进而求出A ，B 坐标，再代入一次函数解析式中，即可得出结论；（2）利用三角形的面积的差即可得出结论；（3）分三种情况：利用平移的特点，即可得出结论．【详解】解：（1）将()2A m ，，()1B n ，两点代入反比例函数26y x = 得62m =，61n =，得3m =，6n =，所以()23A ，，()61B ， 将()23A ，，()61B ，代入一次函数1y kx b =+ 得32k b =+，16k b =+，解得12k =-，4b = 即1142y x =-+ （2）设一次函数1142y x =-+与x 轴、y 轴分别交于D ，C 两点，再过A ，B 两点分别向y 轴、x 轴作垂线，垂足分别为E ，F 两点，如图1，当0x =时，111404422y x ；当0y =时，1042x =-+，8x = ⊥4OC =，8OD =⊥()23A ，，()61B ，⊥2AE =，1BF = ⊥11481622OCD S OC OD ∆=⨯⨯=⨯⨯= 1142422OAC S OC AE ∆=⨯⨯=⨯⨯= 1181422OBD S OD BF ∆=⨯⨯=⨯⨯= 16448OAB OCD OAC OBD S S S S ∆∆∆∆=--=--=⊥OAB ∆的面积为8（3）存在，如图2，当AB 和OB 为邻边时，点B （6，1）先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点O （0，0），则点A 也先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点P （2-6，3-1），即P （-4，2）；当OA 和OB 为邻边时，点O （0，0）先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点A （2，3）， 则点B 也先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点P '（6+2，1+3），即P '（8，4）；当AB 和OA 为邻边时，点A （2，3）先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点B （6，1）， 则点O 也先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点P''（0+4，0-2），即P ''（4，-2）；⊥点P 的坐标为（-4，2）或（4，-2）或（8，4）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平行四边形的性质，平移的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．18．（1）m=3，n=-1；（2）x>1或－3<x<0；（3）4【分析】（1）把A ，B 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）由⊥AOB 的面积S ＝S △AOC ＋S △BOC ，即可求解．【详解】解：（1）由题意，得m 31m n 3⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得：3m =，1n =- （2）由（1）可求得反比例函数解析式为：3y x=，一次函数解析式为：2y x =+，观察函数图象知，当1x ＞或30x -＜＜时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）设直线AB 交y 轴于C ，把0x =代入2y x =+，得：2y =，⊥OC=2，⊥⊥OAB 的面积AOC BOC 11S S 2132422∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题，关键是掌握数形结合思想．19．（1）2，﹣1；（2）C （﹣2，﹣2）；（3）D′(2--+【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点C （m ，﹣m ﹣4），则点D （m ，﹣12m），再根据△OCD 的面积＝8，得出m 的值，即可求解； （3）直线AB 与x 轴负半轴的夹角为45°，设△OCD 沿射线AB 方向向左平移m 个单位，则向上平移m 个单位，则点O′（-m ，m ），将O′坐标代入y ＝﹣12x 得到m 的值，进而求解． 【详解】解：（1）将点B 的坐标代入y ＝﹣12x 得，b ＝﹣126-＝2， 故点B 的坐标为（﹣6，2）．将点B 的坐标代入一次函数表达式得，2＝﹣6k ﹣4，解得k ＝﹣1，故答案为2，﹣1．（2）⊥点C 在直线AB 上，一次函数表达式为y ＝﹣x ﹣4，故设点C （m ，﹣m ﹣4），则点D （m ，﹣12m ）， 则△CDO 的面积＝12CD×（－m ）＝12×（﹣12m ＋m ＋4）（－m ）＝8， 解得12m m ＝＝﹣2，故点C （﹣2，﹣2）．（3）由AB 的函数表达式知，直线AB 与x 轴负半轴的夹角为45°，。
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代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做)——代几结合，掌握中考风向标◆类型一与三角形的综合1．(2016·云南中考)位于第一象限的点E在反比例函数y＝kx的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO＝EF，△EOF的面积等于2，则k的值为() A．4 B．2 C．1 D．－22．(2016·菏泽中考)如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝6x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD 为()A．36 B．12 C．6 D．3第2题图第3题图第4题图3．如图，点A在双曲线y＝5x上，点B在双曲线y＝8x上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于________．4．(2016·包头中考)如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝kx(x＜0)的图象经过点A，若S△AOB＝3，则k的值为________．5．(2016·宁波中考)如图，点A为函数y＝9x(x>0)图象上一点，连接OA，交函数y＝1x(x>0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为________．第5题图第6题图6．★如图，若双曲线y＝kx(k＞0)与边长为3的等边△AOB(O为坐标原点)的边OA、AB 分别交于C、D两点，且OC＝2BD，则k的值为________．7．(2016·宁夏中考)如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝23，反比例函数y＝kx(x>0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D.(1)求反比例函数的关系式；(2)连接CD，求四边形CDBO的面积．8．(2016·大庆中考)如图，P1、P2是反比例函数y＝kx(k>0)在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为(4，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．(1)求反比例函数的解析式；(2)①求P2的坐标；②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y＝kx的函数值．◆类型二与特殊四边形的综合9．如图，点A是反比例函数y＝－6x(x＜0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为()A．1 B．3 C．6 D．12第9题图第10题图10．(2016·烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y 轴上，点C在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为________．11．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P(6，3)，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y 轴于点N，反比例函数y＝kx的图象交PM于点A，交PN于点B，若四边形OAPB的面积为12，则k＝________．第11题图第12题图12．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y＝kx(x ＞0)的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为________．13．(2016·资阳中考)如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，双曲线y＝kx(k≠0，x>0)过点D.(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC交y轴于点E，连接DE，求△CDE的面积．14．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M，反比例函数y＝mx的图象经过点D，与BC的交点为N.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．◆类型三动点、规律性问题15．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，点P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝kx(x>0)的图象上，当m>1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B，过点Q分别作x 轴、y轴的垂线，垂足为点C，D.QD交AP于点E，随着x的增大，四边形ACQE的面积() A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小第15题图第16题图16．★在反比例函数y＝10x(x＞0)的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，A n，A n＋1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A1，A2，A3，…，A n，A n＋1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1＝________，S1＋S2＋S3＋…＋S n＝________(用含n的代数式表示)．参考答案与解析 1．B2．D 解析：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则点B 的坐标为(a ＋b ，a －b )．∵点B 在反比例函数y ＝6x 的第一象限图象上，∴(a ＋b )×(a －b )＝a 2－b 2＝6.∴S △OAC－S △BAD ＝12a 2－12b 2＝12(a 2－b 2)＝12×6＝3.3.32 解析：延长BA 交y 轴于点C .S △OAC ＝12×5＝52，S △OCB ＝12×8＝4，则S △OAB ＝S △OCB －S △OAC ＝4－52＝32.4．－3 35．6 解析：设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，9a ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫b ，1b .∵点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，∴点C 的坐标是(2a ，0)．设过点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫a ，9a 的直线的解析式为y ＝kx ，∴9a ＝k ·a ，解得k ＝9a 2.又∵点B ⎝⎛⎭⎫b ，1b 在y ＝9a 2x 上，∴1b ＝9a 2·b ，解得a b ＝3或ab ＝－3(舍去)，∴S △ABC ＝S △AOC －S △OBC ＝2a ·9a 2－2a ·1b 2＝182－62＝9－3＝6.6.36325 解析：过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F .设OC ＝2x ，则BD ＝x .在Rt △OCE 中，OC ＝2x ，∠COE ＝60°，∴∠OCE ＝30°，则OE ＝x ，CE ＝3x ，则点C 的坐标为(x ，3x )．在Rt △BDF 中，BD ＝x ，∠DBF ＝60°，∴∠BDF ＝30°，则BF ＝12x ，DF ＝32x ，则点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫3－12x ，32x .将点C 的坐标代入反比例函数解析式可得k ＝3x 2，将点D 的坐标代入反比例函数解析式可得k ＝332x －34x 2，则3x 2＝332x －34x 2，解得x 1＝65，x 2＝0(舍去)，故k ＝3x 2＝36325.7．解：(1)∵∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，∴OA ＝2AB ，∴(2AB )2＝AB 2＋(23)2，∴AB ＝2.作CE ⊥OB 于E .∵∠ABO ＝90°，∴CE ∥AB .∵OC ＝AC ，∴OE ＝BE ＝12OB ＝3，CE ＝12AB ＝1，∴C 点坐标为(3，1)．∵反比例函数y ＝k x (x >0)的图象经过OA 的中点C ，∴1＝k 3，∴k ＝3，∴反比例函数的关系式为y ＝3x ；(2)∵OB ＝23，∴D 的横坐标为23，代入y ＝3x 得y ＝12，∴D 点坐标为⎝⎛⎭⎫23，12，∴BD ＝12.∵AB ＝2，∴AD ＝AB －BD ＝32，∴S △ACD ＝12AD ·BE ＝12×32×3＝334.∴S四边形CDBO＝S△AOB－S△ACD＝12OB·AB－334＝12×23×2－334＝534.8．解：(1)过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B.∵点A1的坐标为(4，0)，△P1OA1为等腰直角三角形，∴OB＝2，P1B＝12OA1＝2，∴P1的坐标为(2，2)．将P1的坐标代入反比例函数y ＝kx(k>0)，得k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x；(2)①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C，∵△P2A1A2为等腰直角三角形，∴P2C＝A1C.设P2C＝A1C＝a，则P2的坐标为(4＋a，a)．将P2的坐标代入反比例函数的解析式y＝4x中，得a＝44＋a，解得a1＝22－2，a2＝－22－2(舍去)，∴P2的坐标为(2＋22，22－2)；②在第一象限内，当2<x<2＋22时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y＝4x的函数值．9．C10.－611．6解析：∵点P的坐标为(6，3)，∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入反比例函数y＝kx，得点A的纵坐标为k6，点B的横坐标为k3，即AM＝k6，NB＝k3.∵S四边形OAPB ＝12，即S矩形OMPN－S△OAM－S△NBO＝12，∴6×3－12×6×k6－12×3×k3＝12，解得k＝6.12.154解析：∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC，BC＝OA.∵A、C的坐标分别是(4，0)和(0，2)，∴OA＝4，OC＝2.∵P是矩形对角线的交点，∴P点的坐标是(2，1)．∵反比例函数y＝kx(x＞0)的图象过对角线的交点P，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝2x.∵D，E 两点在反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上，∴D点的坐标是⎝⎛⎭⎫4，12，E点的坐标是(1，2)，∴S△ODE ＝S矩形OABC－S△AOD－S△COE－S△BDE＝4×2－12×2－12×2－12×32×3＝154.13．解：(1)∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，∴点D的坐标是(1，2)．∵双曲线y＝kx(k≠0，x>0)过点D，∴2＝k1，得k＝2，即双曲线的解析式是y＝2x(x>0)；(2)∵直线AC交y轴于点E，∴S△CDE＝S△EDA＋S△ADC＝（2－0）×12＋（2－0）×（3－1）2＝1＋2＝3，即△CDE 的面积是3.14．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB ＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x 得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x .∵AM ＝2MO ，∴MO ＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1； (2)把y ＝3代入y ＝－6x 得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NC ＝2.设P 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得y ＝±9.当y ＝9时，x ＝－10，当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．15．B 解析：由题意得AC ＝m －1，CQ ＝n ，则S 四边形ACQE ＝AC ·CQ ＝(m －1)n ＝mn －n .∵P (1，4)，Q (m ，n )在函数y ＝kx (x >0)的图象上，∴mn ＝k ＝4(常数)．∴S 四边形ACQE ＝4－n .∵当m >1时，n 随着m 的增大而减小，∴S 四边形ACQE ＝4－n 随着m 的增大而增大．故选B.16．5 10n n ＋1 解析：∵点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1在反比例函数y ＝10x (x ＞0)的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A 1的横坐标为2，∴点A 1的坐标为(2，5)，点A 2的坐标为⎝⎛⎭⎫4，52，∴S 1＝2×⎝⎛⎭⎫5－52＝5.由题图象知，点A n 的坐标为⎝⎛⎭⎫2n ，102n ，点A n ＋1的坐标为⎝⎛⎭⎫2n ＋2，102n ＋2，∴S 2＝2×⎝⎛⎭⎫104－106＝53，∴S n ＝2×⎝⎛⎭⎫102n －102n ＋2＝10⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ＝1，2，3，…)．∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝10⎝⎛⎭⎫1－12＋10⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋10⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝10⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…1n －1n ＋1＝10nn ＋1.。