高考数学专题： 不等式的综合应用
不等式的综合应用
标准形式
$ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$，其中 $a neq 0$。
一元二次不等式解法
判别式法
通过计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，判断不 等式的解集情况。
配方法
将不等式左边配成完全平方形式，再利用平方根的性 质求解。
构建目标函数
根据问题的要求，构建合适的目标函数，使得目标函数的最优解对应不等式最值问题的解。
求解线性规划问题
利用线性规划方法求解转化后的线性规划问题，得到目标函数的最优解，从而得到不等式最值问 题的解。
线性规划在不等式证明中的应用
不等式证明的转化
将不等式证明问题转化为线性规划问题，通过构建合适的目标函数和约束条件，使得原不等式的证明转化为验证目标 函数的最优解是否满足特定条件。
通过绘制每个不等式的解集在坐标系中的表示区域，找出所有区域 的交集，即为不等式组的解集。
代数法
通过消元法或代入法将多元一次不等式组转化为一元一次不等式或 一元一次方程进行求解。
特殊值法
在特定情况下，可以通过代入特殊值来快速判断不等式组的解集。
实际应用举例
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理 分配资源使得多个目标同时得到 满足，可以通过建立多元一次不 等式组进行求解。
用不等号（<、>、≤、≥）连接两个数学表达式，表示它们 之间的大小关系。
不等式的表示方法
除了使用不等号，还可以使用区间表示法、数轴表示法等。
不等式基本性质
传递性
若a<b且b<c，则a<c；若a>b且b>c，则a>c。
不等式的综合应用
不等式的综合应用不等式是数学中常见且重要的概念，在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨不等式的综合应用，包括数学问题求解、经济学和物理学中的应用。
一、数学问题求解不等式在数学问题的求解中起着重要的作用。
例如，在解决线性方程组时，我们通常需要对方程组进行不等式的相关处理。
设想有以下线性方程组：3x + 5y ≥ 102x - 4y ≤ 8我们可以将其转化为不等式的形式。
首先，将第一个等式左右两边都减去10得到：3x + 5y - 10 ≥ 0然后，将第二个等式左右两边都加上8得到：2x - 4y + 8 ≤ 0通过这样的处理，我们可以将线性方程组问题转化为不等式问题。
进一步分析这个不等式系统，我们可以求解出x和y的取值范围，从而得到方程组的解。
二、经济学中的应用不等式在经济学中也具有广泛的应用。
例如，在市场需求与供给的分析中，我们经常需要利用不等式关系来描述市场状况。
假设某种商品的市场需求量D(x)和市场供给量S(x)分别与价格x相关。
根据供需关系，我们可以得到以下不等式：D(x) ≥ S(x)通过对不等式进行进一步分析，我们可以确定市场均衡价格的范围，从而指导市场的调节和决策。
三、物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。
例如，在运动学问题中，不等式可以帮助我们描述物体的运动状态。
考虑一个自由落体问题，物体从高度h自由落下，其下落时间t和下落距离s满足以下不等式关系：s = (1/2)gt^2 ≥ h其中，g表示重力加速度。
通过这个不等式关系，我们可以求解出物体的下落时间和下落距离的范围。
结论综上所述，不等式的应用范围广泛且多样化。
无论是在数学问题的求解、经济学的市场分析，还是物理学中的运动描述，不等式都能够提供重要的辅助工具。
在实际问题中，我们可以运用不等式的性质和方法，解决各种与大小关系相关的计算和推理问题。
通过不等式的综合应用，我们可以更好地理解和解决数学、经济学和物理学中的各种实际问题。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解48---基本不等式的综合应用
高考数学一轮复习考点知识专题讲解基本不等式的综合应用题型一 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例1(1)(2022·成都模拟)已知直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切，则log 2a ＋log 2b 的最大值为() A ．3B ．2C ．－2D ．－3 答案D解析因为直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切， 所以1a 2＋b2＝2，即a 2＋b 2＝14， 因为a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤18(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，所以log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 218＝－3，所以log 2a ＋log 2b 的最大值为－3.(2)(2022·合肥质检)若△ABC 的内角满足sin B ＋sin C ＝2sin A ，则() A ．A 的最大值为π3B ．A 的最大值为2π3C ．A 的最小值为π3D ．A 的最小值为π6答案A解析∵sin B ＋sin C ＝2sin A . ∴b ＋c ＝2a . 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝b 2＋c 2－(b ＋c )242bc＝3(b 2＋c 2)－2bc 8bc ≥6bc －2bc 8bc ＝12，当且仅当b ＝c 时取等号． 又A ∈(0，π)，∴0<A ≤π3，即A 的最大值为π3.教师备选已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1，F 2.若椭圆上有一点P ，使PF 1⊥PF 2，则ba 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案B解析设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，∴2mn ＝4a 2－4c 2＝4b 2， 又2mn ≤2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22， 即4b 2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22，∴2b 2≤a 2，∴0<b a ≤22. 思维升华基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，一般利用常数代换法求最值，要注意最值成立的条件．跟踪训练1(1)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则1a ＋4b的最小值等于()A ．2 B.32 C.12 D ．1答案B解析∵函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值， ∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， 则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0， 即a ＋b ＝6， 又a >0，b >0.∴1a ＋4b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b ) ＝56＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥56＋16×2b a ·4a b ＝32，当且仅当2a ＝b ＝4时，等号成立． 此时满足在x ＝1处有极值． ∴1a ＋4b 的最小值等于32. (2)已知数列{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8＝－8，则a 9＋9a 1的最大值为________． 答案－12解析∵a 2a 5a 8＝－8， ∴a 35＝－8， ∴a 5＝－2， ∴a 1<0，a 9<0， a 9＋9a 1＝－(－a 9－9a 1) ≤－2(－a 9)(－9a 1) ＝－29a 1a 9 ＝－29·a 25 ＝－12，当且仅当－a 9＝－9a 1时取等号．题型二 求参数值或取值范围例2(1)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a 等于() A ．6 B ．8 C ．16 D ．36 答案D解析因为f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)，故4x ＋a x≥24x ·a x＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a 2时取等号，故a 2＝3，a ＝36.(2)已知x ，y 属于正实数，若不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，9]B ．(－∞，16]C ．(－∞，25]D ．(－∞，36] 答案C解析因为x ，y 属于正实数， 所以不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，即m ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )min ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y≥13＋24yx·9xy＝25，当且仅当4y x ＝9xy，即3x ＝2y 时，等号成立，所以m ≤25.教师备选(2022·沙坪坝模拟)已知函数f (x )＝2x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围为() A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43C ．(－∞，－2)D ．(－2，－2) 答案C解析∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－2x 3－3x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数， 且f (x )在R 上单调递增，则不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0等价于f (2m ＋mt 2)<－f (4t )＝f (－4t )， ∴2m ＋mt 2<－4t ，即m <－4tt 2＋2对t ≥1恒成立， ∵－4t t 2＋2＝－4t ＋2t≥－42t ·2t＝－2，当且仅当t ＝2t，即t ＝2时等号成立，∴m <－ 2.思维升华求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点．利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．跟踪训练2(1)(2022·杭州模拟)已知k ∈R ，则“对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ”是“k≤2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为对任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，而对任意a，b∈R，a2＋b2≥kab，所以－2≤k≤2，因为[－2,2]是(－∞，2]的真子集，所以“对任意a，b∈R，a2＋b2≥kab”是“k≤2”的充分不必要条件．(2)(2022·济宁质检)命题p：∃x∈(0，＋∞)，x2－λx＋1＝0，当p是真命题时，则λ的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析依题意，方程x2－λx＋1＝0有正解，即λ＝x＋1x有正解，又x>0时，x＋1x≥2，∴λ≥2.题型三基本不等式的实际应用例3小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解(1)设大货车运输到第x 年年底， 该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)， 由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x ≤10. 因为2<10－52<3，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出， 所以二手车出售后， 小王的年平均利润为y ＋(25－x )x ＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－225＝9，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大． 教师备选某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________cm 2.答案72600解析设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ， 由题意可得3ab ＝60000， 所以ab ＝20000，即b ＝20000a，所以该海报的高为(a ＋20)cm ，宽为(3b ＋10×2＋5×2)cm，即(3b ＋30)cm ， 所以整个矩形海报面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)＝3ab ＋30a ＋60b ＋600 ＝30(a ＋2b )＋60600＝30⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋40000a ＋60600 ≥30×2a ·40000a＋60600＝30×400＋60600＝72600， 当且仅当a ＝40000a，即a ＝200时等号成立，所以当广告栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72600cm 2.思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练3网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．答案37.5解析由题意知t＝23－x－1(1<x<3)，设该公司的月利润为y万元，则y＝⎝⎛⎭⎪⎫32×150%＋t2xx－32x－3－t＝16x－t2－3＝16x－13－x＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(3－x)＋13－x≤45.5－216＝37.5，当且仅当x＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．课时精练1．(2022·苏州模拟)设直线l与曲线y＝x3－2x＋1相切，则l斜率的最小值为()A. 6 B．4 C．2 6 D．3 2 答案C解析因为x ≠0，所以x 2>0，因为y ′＝3x 2＋2x 2≥26⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3x 2＝2x 2，等号成立，所以l 斜率的最小值为2 6.2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6 答案C解析由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立． 3．(2022·北京人大附中模拟)数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q >1，且a 5＝b 5，则() A ．a 3＋a 7>b 4＋b 6B ．a 3＋a 7≥b 4＋b 6 C ．a 3＋a 7<b 4＋b 6D ．a 3＋a 7＝b 4＋b 6 答案C解析因为数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列， 所以a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5， 所以a 3＋a 7≤b 4＋b 6， 又因为公比q >1，所以a 3＋a 7<b 4＋b 6.4．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为()A ．2B ．4C ．6D ．8 答案B解析已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4.5．(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是() A ．第一种方案更划算 B ．第二种方案更划算 C ．两种方案一样 D ．无法确定 答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则 方案一：两次加油平均价格为 40x ＋40y 80＝x ＋y2>xy ， 方案二：两次加油平均价格为 400200x ＋200y＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．6．已知p ：存在实数x ，使4x ＋2x ·m ＋1＝0成立，若綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞) 答案A解析∵綈p 为假命题，∴p 为真命题， 即关于x 的方程4x ＋2x ·m ＋1＝0有解． 由4x ＋2x ·m ＋1＝0， 得m ＝－2x－12x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x≤－22x·12x ＝－2，当且仅当2x ＝12x ，即x ＝0时，取等号．∴m 的取值范围为(－∞，－2]．7．(2022·焦作质检)若数列{a n }满足a 2＝9，a n －1＋n ＝a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a nn的最小A.72B.185C.113D.92答案A解析因为数列{a n}满足a2＝9，a n－1＋n＝a n＋1(n≥2且n∈N*)，所以a1＋2＝a2＋1，解得a1＝8，所以a n＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋a n－a n－1＋a1＝1＋2＋3＋…＋n－1＋8＝n2－n＋162，则ann＝n2－n＋162n＝12⎝⎛⎭⎪⎫n＋16n－1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n·16n－1＝72，当且仅当n＝16n，即n＝4时，等号成立，所以ann的最小值为72.8.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为(单位：cm2)()A．8 B．10 C．16 D．20解析连接OC ，如图，设BC ＝x ，则OB ＝16－x 2，所以AB ＝216－x 2， 所以矩形ABCD 的面积S ＝2x 16－x 2，x ∈(0,4)， S ＝2x 16－x 2＝2x 2(16－x 2) ≤x 2＋16－x 2＝16，当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝22时取等号，此时S max ＝16.9．已知向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y －12(x >0，y >0)，若m ⊥n ，则xy 的最大值为________．答案124解析因为向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，y －12， 且m ⊥n ，所以3x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12＝0，即3x ＋2y ＝1.因为x >0，y >0，所以1＝3x ＋2y ≥23x ×2y ， 即xy ≤124，当且仅当3x ＝2y ＝12，即x ＝16，y ＝14时取等号．10．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为________． 答案52＋5解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ， 则a 2＋b 2＝25.因为(a ＋b )2＝25＋2ab ≤25＋2×(a ＋b )24，所以(a ＋b )2≤50， 所以5<a ＋b ≤52， 当且仅当a ＝b ＝522时，等号成立． 故这个直角三角形周长的最大值为52＋5.11．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．答案9解析因为圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线， 所以两圆相内切，其中C 1(－2a ,0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1， 故|C 1C 2|＝4a 2＋b 2，由题设可知4a 2＋b 2＝2－1⇒4a 2＋b 2＝1，所以(4a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝4a 2b2＋b2a 2＋5≥24a 2b 2·b 2a 2＋5＝9， 当且仅当b 2＝2a 2时等号成立．12．(2022·北京朝阳区模拟)李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m (单位：万件)与广告费用x (单位：万元)符合函数模型m ＝3－2x ＋1.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入________万元． 答案3解析设李明获得的利润为f (x )万元，则x ≥0， 则f (x )＝8m －x ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x ＋1－x ＝24－16x ＋1－x ＝25－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16x ＋1＋(x ＋1) ≤25－216x ＋1(x ＋1)＝25－8＝17， 当且仅当x ＋1＝16x ＋1， 因为x ≥0，即当x ＝3时，等号成立．13．(2022·柳州模拟)已知△ABC 中，a 2＋b 2－c 2＝ab ≥c 2，则△ABC 一定是() A ．等边三角形B ．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形答案A解析由a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又因为0°<C<180°，所以C＝60°，因为a2＋b2－c2≥2ab－c2，当且仅当a＝b时取等号，即ab≥2ab－c2，解得ab≤c2，又因为ab≥c2，所以ab＝c2，且a＝b时取等号，因为C＝60°，所以△ABC一定是等边三角形．14．(2022·武汉模拟)已知平面向量OA→，OB→，OC→为三个单位向量，且〈OA→，OB→〉＝120°，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的取值范围为________．答案[－2,2]解析由OC→＝xOA→＋yOB→，两边同时平方得OC→2＝(xOA→＋yOB→)2，即OC→2＝x2OA→2＋y2OB→2＋2xyOA→·OB→，∵平面向量OA→，OB→，OC→为三个单位向量，且〈OA→，OB→〉＝120°，∴x2＋y2－xy＝1，∴(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2≤4，即－2≤x ＋y ≤2.15．(2022·大庆模拟)设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为() A ．M >N >Q B ．M >Q >N C ．N >Q >M D ．N >M >Q 答案B解析∵f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＋lg b ＝0， 即ab ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2 ＝1a ＋1a＋2<12＋2＝14， ∴N ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2， 又a 2＋b 28>ab 4＝14， ∴a 2＋b 28>14， ∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2，又∵Q ＝ln 1e2＝－2，∴M >Q >N .16．设0<t <12，若1t ＋21－2t ≥k 2＋2k 恒成立，则k 的取值范围为()A ．[－4,2]B ．[－2,4]C ．[－4,0)∪(0,2]D ．[－2,0)∪(0,4] 答案A解析依题意k 2＋2k ≤1t＋21－2t 对∀t ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，所以k 2＋2k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋21－2t min ， 因为t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以1－2t >0，所以1t ＋21－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋21－2t (2t ＋1－2t ) ＝2＋2＋1－2tt＋4t 1－2t ≥4＋21－2tt·4t1－2t＝8， 当且仅当1－2t t ＝4t1－2t 时取“＝”，即t ＝14时取得最小值，所以k 2＋2k ≤8， 所以(k －2)(k ＋4)≤0，解得－4≤k ≤2，即k ∈[－4,2]．。
北京四中高三数学高考总复习不等式的综合应用(基础)知识梳理
不等式的综合应用【考纲要求】1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力;2．掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式;3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题;4．通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力; 5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题．6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识．． 【知识网络】【考点梳理】考点一：不等式问题中相关方法1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化．在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用．3．在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰．通过复习,感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形,能否正确的得到不等式的解集,不等式同解变形的理论起了重要的作用．4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法,比较法的一般步骤是：作差(商)→变形 →判断符号(值)．5．证明不等式的方法灵活多样,内容丰富、技巧性较强,这对发展分析综合能力、正逆思维等,将会起到很好的促进作用．在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选择适当不等式的综合应用解不等式问题实际应用问题不等式中的含参问题不等式证明的证明方法．通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的．6．证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点．考点二：不等式与相关知识的渗透1．不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用．在解决问题时,要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。
高考数学一轮复习专题二不等式3基本不等式与不等式的综合应用专题检测含解析新人教A版
基本不等式与不等式的综合应用专题检测1.(2020山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是( ) A.lg (x 2+14)>lg x (x >0) B.sin x +1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z) C.x 2+1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2+1>1(x ∈R)答案 C 本题主要考查应用基本不等式求最值,考查的核心素养是逻辑推理.对于A,由于x 2+14≥2√x 2·14=x ,当且仅当x =12时,取“=”,故A 不正确;对于B,当x ∈(π,2π)时,sin x <0,sin x +1sin x ≤-2,故B 不正确;对于C,x 2+1-2|x |=(|x |-1)2≥0恒成立,故C 正确; 对于D,当x =0时,1x 2+1=1,故D 不正确.2.(2020西南四省八校9月联考,12)若x >0,y >0,x +2y =1,则xx2x +x 的最大值为 ( ) A.14 B.15 C.19 D.112 答案 C xx 2x +x =12x +1x,∵x >0,y >0,x +2y =1,∴1x +2x =(1x +2x )·1=(1x +2x )(x +2y )=5+2x x +2xx≥5+2√2x x ·2x x =5+4=9,当且仅当{2x x =2xx ,x +2x =1,即x =y =13时,取“=”,∴12x +1x≤19,故xx 2x +x的最大值为19,选C . 3.(2020山东青岛期初调研,8)函数f (x )=x 2+x +2x +4x 2(x >0)的最小值为 ( )A.4+2√2B.4√2C.8D.√2+2 答案 A ∵x >0,∴f (x )=x 2+x +2x +4x 2=x 2+4x 2+x +2x ≥2√x 2·4x 2+2√x ·2x =4+2√2,当且仅当{x 2=4x 2,x =2x ,即x =√2时取“=”,∴f (x )min =4+2√2,故选A .4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a >0,b >0,1x +1+1x +1=1,则a +2b 的最小值是( )A.3√2B.2√2C.3D.2答案 B ∵a >0,b >0,∴a +1>1,b +1>1,又∵1x +1+1x +1=1,∴a +2b =[(a +1)+2(b +1)]-3=[(a +1)+2(b +1)]·(1x +1+1x +1)-3=1+2(x +1)x +1+x +1x +1+2-3≥2√2(x +1)x +1·x +1x +1=2√2,当且仅当2(x +1)x +1=x +1x +1时取“=”,故选B .5.(2018河北大名一中月考)已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2),则x 1+x 2+xx1x 2的最大值是 ( )A.√63B.2√33C.4√33D.-4√33答案 D 由题意知x 1,x 2是方程x 2-4ax +3a 2=0的两根. 由根与系数的关系得x 1x 2=3a 2,x 1+x 2=4a ,∴x 1+x 2+x x 1x 2=4a +13x ,∵a <0,∴-(4x +13x )≥2√4x ·13x=4√33,即4a +13x≤-4√33,当且仅当4a =13x,即a =-√36时,取“=”,故x 1+x 2+x x1x 2的最大值为-4√33.故选D.6.(2019晋冀鲁豫名校期末联考,10)已知函数f (x )=x 2e x,若a >0,b >0,p =f (x 2+x 22),q =f ((x +x 2)2),r =f (ab ),则( )A.q ≤r ≤pB.q ≤p ≤rC.r ≤p ≤qD.r ≤q ≤p 答案 D 因为x 2+x 22-(x +x 2)2=2x 2+2x 24-x 2+x 2+2xx 4=(x -x )24≥0,所以x 2+x 22≥(x +x 2)2,又x +x 2≥√xx (a >0,b >0),所以(x +x 2)2≥ab.易得函数f (x )=x 2e x在(0,+∞)上单调递增,所以f (ab )≤f ((x +x 2)2)≤f (x 2+x 22),即r ≤q ≤p.7.(2020河南濮阳第二次检测,9)已知a >2,b >2,则x 2x -2+x 2x -2的最小值为 ()A.2B.4C.6D.16答案 D 因为a >2,b >2,所以a -2>0,b -2>0. 令x =b -2,y =a -2,则x >0,y >0. 原式=(x +2)2x+(x +2)2x≥2√(x +2)2x·(x +2)2x =2√[xx +2(x +x )+4]2xx≥2√(xx +4√xx +4)2xx =2√(√xx +√xx)2=2√(√xx √xx4)2≥2√(2√√xx ·√xx+4)2=16.当且仅当x =y =2时取等号.故选D .思路分析 利用换元思想,设x =b -2,y =a -2,则x >0,y >0,将原式化为(x +2)2x+(x +2)2x,两次使用基本不等式求解.8.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n -2)个数,使这n 个数成等差数列,若这(n -2)个数中第一个为a ,第(n -2)个为b ,当1x +25x 取最小值时,n 的值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9答案 D 由已知得a +b =18,则1x +25x =(1x +25x )×x +x 18=118(1+25+x x +25xx)≥118×(26+10)=2,当且仅当b =5a 时取等号,此时a =3,b =15,可得n =9.故选D.9.(2019辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f (x )=2x -12x +1+x +sin x ,若正实数a ,b 满足f (4a )+f (b -9)=0,则1x +1x 的最小值是 ( )A.1B.92 C.9 D.18答案 A 因为f (x )=2x -12x +1+x +sin x ,所以f (-x )=2-x -12-x +1-x -sin x =-(2x -12x +1+x +sin x )=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,易知f (x )单调递增,又正实数a ,b 满足f (4a )+f (b -9)=0,所以4a +b -9=0,所以1x +1x =19(1x +1x )(4a +b )=194+x x +4x x +1=19(5+x x +4xx)≥19×(5+2√4)=1,当且仅当x x =4xx,即b =2a =3时,取等号.故选A .10.(2020黑龙江道里检测,10)设a ,b ,c ,d 均为大于零的实数,且abcd =1,令m =a (b +c +d )+b (c +d )+cd ,则a 2+b 2+m 的最小值为( )A.8B.4+2√3C.5+2√3D.4√3 答案 B ∵a ,b ,c ,d 均大于零且abcd =1,m =a (b +c +d )+b (c +d )+cd ,∴a 2+b 2+m =a 2+b 2+(a +b )(c +d )+ab +cd ≥2ab +2√xx ·2√xx +ab +cd =4+3ab +cd ≥4+2√3xxxx =4+2√3,当且仅当a =b ,c =d ,3ab =cd ,即a =b =(13)14,c =d =314时取等号,∴a 2+b 2+m 的最小值为4+2√3.故选B . 11.(多选题)(2020山东烟台期中,11)下列结论正确的是 ( )A.若a >b >0,c <d <0,则一定有x x >xx B.若x >y >0,且xy =1,则x +1x >x2x >log 2(x +y ) C.设{a n }是等差数列,若a 2>a 1>0,则a 2>√x 1x 3D.若x ∈[0,+∞),则ln(1+x )≥x -18x 2答案 AC 对于A,∵c <d <0,∴-c >-d >0,∴-1x >-1x >0, 又∵a >b >0,∴-x x >-x x >0,∴x x >xx ,故A 正确;对于B,∵x >y >0,且xy =1,∴可取x =2,y =12,此时x +1x =4,x2x =124=18,log 2(x +y )=log 252>log 22=1,故不满足x +1x >x2x >log 2(x +y ),故B 不正确;对于C,∵{a n }是等差数列,∴a 2=x 1+x 32.又∵a 3-a 2=a 2-a 1>0,∴a 3>a 2>a 1>0,∴x 1+x 32>√x 1x 3,即a 2>√x 1x 3,故C 正确;对于D,令f (x )=ln(1+x )-x +18x 2,x ≥0,则f'(x )=11+x -1+14x =1-(1+x )+14x (1+x )1+x=14x 2-34x 1+x=x 2-3x4(1+x ),x >0,令f'(x )>0,可得x >3,令f'(x )<0,可得0<x <3,因此函数f (x )=ln(1+x )-x +18x 2在[0,3)上为减函数,在[3,+∞)上为增函数, ∵f (0)=ln1-0+0=0,∴当x ∈(0,3]时,f (x )<0恒成立,故当x ∈[0,+∞)时,ln(1+x )≥x -18x 2不恒成立,故D 不正确,故选AC .12.(2019湖北黄冈元月调研,15)若关于x 的不等式x +4x -x ≥5在x ∈(a ,+∞)上恒成立,则实数a 的最小值为 . 答案 1解析 关于x 的不等式x +4x -x ≥5在x ∈(a ,+∞)上恒成立,即x -a +4x -x ≥5-a 在x ∈(a ,+∞)上恒成立,由x >a 可得x -a >0,则x -a +4x -x ≥2√(x -x )·4x -x =4,当且仅当x -a =2,即x =a +2时,上式取得最小值4,则5-a ≤4,可得a ≥1,故a 的最小值为1. 13.(2020上海复旦大学附中9月综合练,8)已知x 2+2x +2x ≤4x 2-x+1对于任意的x ∈(1,+∞)恒成立,则a 的取值范围是 . 答案 [-3,1] 解析 由已知x 2+2x +2x ≤4x 2-x+1对于任意的x ∈(1,+∞)恒成立可知,a 2+2a +2≤4x -1+x 对于任意的x ∈(1,+∞)恒成立,令g (x )=4x -1+x ,x >1,则g (x )=4x -1+x -1+1≥2√4x -1·(x -1)+1=5,当且仅当x =3时取“=”,∴a 2+2a +2≤g (x )min =5,∴a 2+2a -3≤0,∴-3≤a ≤1,故答案为[-3,1].14.(2019安徽黄山八校联考,16)不等式(a cos 2x -3)sin x ≥-3对任意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 答案 [-32,12]解析 令g (x )=(a cos 2x -3)sin x ,sin x =t ,-1≤t ≤1,则原函数化为g (t )=(-at 2+a -3)t ,即g (t )=-at 3+(a -3)t ,由-at 3+(a -3)t ≥-3整理得(t -1)[-at (t +1)-3]≥0,由t -1≤0知,-at (t +1)-3≤0,即a (t 2+t )≥-3,当t =0,-1时该不等式恒成立,当0<t ≤1时,0<t 2+t ≤2,a ≥(-3x 2+x )max=-32;当-1<t <0时,-14≤t 2+t <0,a ≤(-3x 2+x)min=12,从而可知-32≤a ≤12.。
不等式的综合-高中数学知识点讲解
不等式的综合1．不等式的综合【知识点的知识】1、不等式的性质2、不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．3、利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”．4、常用不等式1/ 35、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法．比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与的大小，然后作出结论．1常用的放缩技巧有：6．常系数一元二次不等式的解法：判别式﹣图象法步骤：（1）化为一般形似：，其中；ax2 bx c 0 a＞0能否因式分解（2）求根的情况：ax2 bx c＝0 →V＞（0 ＝0，＜0）；（3）由图写解集：考虑图象得解．y＝ax2 bx （c a＞0）7．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线（奇穿偶回）；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集．8．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母．9．绝对值不等式的解法：（了解）（1）分域讨论法（最后结果应取各段的并集）（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；（4）两边平方．10、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意：①解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．②按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集．含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法．2/ 3一般地，设关于的含参数的一元二次形式的不等式为：．x a（1）第一级讨论：讨论二次项系数是否为零；（f a）（2）第二级讨论：若时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论△的符号；（f a） 0（3）第三级讨论：若时，时，先观察两根，大小是否确定，否则讨论两根的大小．（f a） 0 V＞0 x x1 2注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“＞”，“＝”，“＜”，应做到不重不漏．11．不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法．1）恒成立问题若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上，（f x）＞A D D （f x）＞Amin若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上．（f x）＜B D D （f x）＜Bmax3/ 3。
不等式与函数综合应用
不等式与函数综合应用不等式与函数是数学中重要的概念和工具，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将从几个方面来探讨不等式与函数的综合应用。
一、不等式的解集表示不等式是数学中常见的一种关系式，表示两个数之间的大小关系。
解不等式的过程就是找出使不等式成立的数的范围。
例如，对于不等式3x + 2 > 7，我们可以通过如下步骤来求解：1. 首先，将不等式中的等号移项，得到3x > 5。
2. 接着，将不等号两边都除以正数3，得到x > 5/3。
3. 最后，得出不等式的解集为x > 5/3，即x的取值范围大于5/3。
二、函数与不等式函数是一种对应关系，将输入值映射为输出值。
函数的图像可以用来表示某些不等式的解集。
比如，对于函数y = f(x) = x^2，我们可以通过绘制函数的图像来解不等式y < 0。
根据图像可知，横坐标为负数的区间上，纵坐标小于零。
因此，不等式y < 0的解集为x的取值范围在负数区间上。
三、线性规划问题不等式和函数在线性规划问题中有着广泛的应用。
线性规划问题是一种优化问题，旨在找到使目标函数达到最大（或最小）值的一组变量取值。
例如，假设一个农场种植小麦和玉米，每亩小麦耗费100元，每亩玉米耗费80元。
假设该农场一年内最多能投资4000元，最多可用100亩的耕地种植。
假设小麦的利润为每亩300元，玉米的利润为每亩200元。
我们的目标是最大化农场的利润。
此问题可以用如下的线性规划模型表示：目标函数：Maximize 300x + 200y约束条件：100x + 80y <= 4000x + y <= 100x >= 0, y >= 0其中，x表示种植的小麦面积，y表示种植的玉米面积。
通过求解该线性规划问题，可以得到最优的种植方案，从而最大化农场的利润。
四、经济学中的应用不等式和函数在经济学中也有着重要的应用。
例如，在供需关系中，价格和数量之间的关系可以用不等式和函数来描述。
第44讲 不等式的综合应用
第44讲 不等式的综合应用【考点解读】⑴ 不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵ 解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决【知识扫描】1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题．【考计点拔】牛刀小试：1．若集合{x |3a sin x －2a +1=0, x ∈R}=φ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{0}B ．（－1，51）C ．（－∞，－1）∪（51，+∞） D ．（－51，1） 2．θ是第一象限角，那么恒有（ ）A ．02sin>θB ． 12tan<θC ． 2cos 2sinθθ> D ．2cos 2sin θθ< 3．设a,b ∈R +，则下列不等式中一定不成立的是 （ ）A ． 221>++abb a B ．411)((>++ba b aC ．22ab abb a >+D ．ab ba ab>+2 4．设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=R x x x xB ,03,则A ∩B= （ ）A ．]2,3(--B ． ]25,0[]2,3(⋃--C ．),25[]3,(+∞⋃--∞D ． ),25[)3,(+∞⋃--∞5．已知函数1/1|,lg |)(>>>=b a c x x f 若，则（ ）A ．)()()(c f b f a f >>B ．)()()(b f a f c f >>C ．)()()(a f b f c f >>D ．)()()(c f a f b f >>参考答案：B B D D B【典例解析】考点一：应用不等式求变量的范围例1.若关于x 的方程4x ＋a·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围. 解:令t ＝2x (t ＞0)，则原方程化为t 2＋at ＋a ＋1＝0，变形得]212)1[(112-+++-=++-=t t t t a 222)222(-=--≤【变式训练1】：已知方程sin 2x －4sinx ＋1－a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[－3，6] B ．[－2，6] C ．[－3，2] D ．[－2，2] 解:B考点二：应用不等式解应用题例2. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝abk，其中k ＞0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0)， 得b ＝aa+-230(0＜a ＜30) ① 于是 y ＝ab k＝aa a k +-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =当a ＋2＝264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a ＝6，a ＝－10(舍去). 将a ＝6代入①式得b ＝3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0)， 即 a ＋2b ＋ab ＝30(a ＞0，b ＞0). 因为 a ＋2b ≥2ab 2，所以 ab 22+ab ≤30，当且仅当a ＝2b 时，上式取等号. 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18.即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2＝18.解得b ＝3，a ＝6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．【变式训练2】：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v 千米/小时，两车的距离不能小于(10v )2千米，运完这批物资至少需要（ ）A ．10小时B ．11小时C ．12小时D ．13小时 解:C考点三：结合二次函数、应用不等式解决有关问题例3. 已知二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c ，其中a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0. （1） 求证：此函数的图象与x 轴交于相异的两个点.（2） 设函数图象截x 轴所得线段的长为l ，求证：3＜l ＜23. 证明:(1)由a ＋b ＋c ＝0得b ＝－(a ＋c). Δ＝(2b)2－4ac ＝4(a ＋c)2－4ac ＝4(a 2＋ac ＋c 2)＝4[(a ＋2c )2＋43c 2]＞0. 故此函数图象与x 轴交于相异的两点.(2)∵a ＋b ＋c ＝0且a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0. 由a ＞b 得a ＞－(a ＋c)，∴ac＞－2. 由b ＞c 得－(a+c)＞c ，∴ac＜－21.∴－2＜a c＜－21. l ＝|x 1－x 2|＝32142++）（a c .由二次函数的性质知l ∈(3，23)【变式训练3】：设函数f(x)＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c≤－1且b≥0；(2)若m 是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m －4)的正负，并加以证明． 证明:(1)210210)1(+-=⇒=++⇒=c b c b f 又c ＜b ＜1，故313121-<<-⇒<+-<c c c 又方程f(x)＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根．故△＝4b 2－4(c －1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1由1313313-≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-<<-c c c c 或由021≥+-=b c b 知 (2))()1(2)(22c x c x c x c bx x x f -=++-=++=x()1f(m)＝－1＜0∴c＜m＜1c－4＜m－4＜－3＜c∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)＞0 ∴f(m－4)的符号为正．。
高考数学试题汇编基本不等式、不等式的综合应用
第三节 基本不等式、不等式的综合应用高考试题考点一 利用基本不等式证明1.(2012年福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( ) (A)lg(x 2+14)>lg x(x>0) (B)sin x+1sin x≥2(x ≠k π,k ∈Z) (C)x 2+1≥2|x|(x ∈R) (D)211x +>1(x ∈R) 解析:对于选项A,显然x=12时,不成立; 对于选项B,当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确; 对于选项C,由基本不等式得x 2+1≥2|x|(x ∈R),选项C 正确; 对于选项D,因x 2+1≥1,所以211x +≤1.故选C. 答案:C2.(2011年上海卷,理15)若a 、b ∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )(A)a 2+b 2>2ab (B)a+b ≥(C)1a +1b (D)b a +ab≥2 解析:对于选项A,a 2+b 2≥2ab,所以选项A 错;对于选项B 、C,虽然ab>0,只能说明a 、b 同号,若a 、b 都小于0时,选项B 、C 错; 对选项D,∵ab>0,∴b a >0,a b >0,则b a +ab≥2. 故选D. 答案:D考点二 利用基本不等式求最值1.(2013年重庆卷,理≤a ≤3)的最大值为( )(A)9 (B)92 (C)3 解析:法一 由-6≤a ≤3,得3-a ≥0,a+6≥0,362a a -++=92, 当且仅当3-a=a+6, 即a=-32时取等号. 故选B.法二 y=(3-a)(a+6)=-a 2-3a+18=-(a+32)2+814,当且仅当a=-32时y取最大值814.92.故选B.答案:B2.(2011年重庆卷,理7)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是( )(A)72(B)4 (C)92(D)5解析:∵a>0,b>0,a+b=2,∴2a b+=1.y=(1a+4b)·2a b+=12(1+4+ba+4ab)=12(5+ba+4ab)≥12=92(当且仅当a=23,b=43时取“=”).故选C.答案:C3.(2012年湖南卷,理8)已知两条直线l1:y=m和l2:y=821m+(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,ba的最小值为( )解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由|log2x|=m,得x1=2-m,x2=2m,|log2x|=821m+,得x3=8212m-+,x4=8212m+,则ba=8218212222mmm m+--+--=8212m+·2m=18122122m +-+（2m+1）≥722当且仅当m=32时,等号成立.故选B. 答案:B4.(2010年重庆卷,理7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是( ) (A)3(B)4(C)92(D)112解析:∵2xy=8-(x+2y), 故8-(x+2y)≤(22x y +)2, ∴(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0, 解得x+2y ≥4或x+2y ≤-8(舍去), ∴x+2y 的最小值为4. 故选B. 答案:B5.(2013年天津卷,理14)设a+b=2,b>0,则当a= 时,12a +a b取得最小值. 解析:由a+b=2,b>0, 则12a +a b =4a b a ++a b =4a a +4b a +a b, 由a ≠0,若a>0, 则原式=14+4b a +a b ≥1454, 当且仅当b=2a=43时等号成立, 若a<0, 则原式=-14-4b a -a b ≥-14=34, 当且仅当b=-2a 即a=-2,b=4时等号成立, 综上得当a=-2时,12a +a b取得最小值34.答案:-26.(2011年湖南卷,理10)设x 、y ∈R,且xy ≠0,则 (x 2+21y )(21x+4y 2)的最小值为 . 解析:因为x 、y ∈R,且xy ≠0,所以x 2y 2>0.所以(x 2+21y )(21x +4y 2)=1+4x 2y 2+221x y +4≥当且仅当4x 2y 2=221x y ,即x 2y 2=12时等号成立.答案:9考点三 利用不等式求参数的取值范围1.(2012年浙江卷,理17)设a ∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x 2-ax-1)≥0,则a= .解析:设f(x)=(a-1)x-1,g(x)=x 2-ax-1,易知f(x)与g(x)都过点(0,-1), ∴f(x)与g(x)在(0,+∞)同正同负, ∴a-1>0且g(11a -)=0, ∴有211a ⎛⎫⎪-⎝⎭-a(11a -)-1=0, 化简得2a 2-3a=0,∴a=32,a=0(舍去). 答案:322.(2010年山东卷,理14)若对任意x>0,231xx x ++≤a 恒成立,则a 的取值范围是 .解析:因为x>0, 所以x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号), 所以有231x x x ++=113x x++≤123+=15,即231x x x ++的最大值为15,故a ≥15. 答案:[15,+∞) 3.(2010年天津卷,理16)设函数f(x)=x 2-1,对任意x ∈[32,+∞),f(x m)-4m 2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数m 的取值范围是 .解析:依据题意得22x m-1-4m 2(x 2-1)≤(x-1)2-1+4(m 2-1)在x ∈[32,+∞)上恒成立,即21m-4m 2≤-23x -2x +1在x ∈[32,+∞)上恒成立. 当x=32时,函数y=-23x -2x +1取得最小值-53, 所以21m -4m 2≤-53, 即(3m 2+1)(4m 2-3)≥0,解得m ≤或m答案:(-∞∪,+∞) 4.(2010年湖南卷,理20)已知函数f(x)=x 2+bx+c(b,c ∈R),对任意的x ∈R,恒有f'(x)≤f(x). (1)证明:当x ≥0时,f(x)≤(x+c)2;(2)若对满足题设条件的任意b 、c,不等式f(c)-f(b)≤M(c 2-b 2)恒成立,求M 的最小值.(1)证明:易知f'(x)=2x+b. 由题设知对任意x ∈R,2x+b ≤x 2+bx+c,即x 2+(b-2)x+c-b ≥0恒成立,则(b-2)2-4(c-b)≤0,从而c ≥24b +1,于是c ≥1,且c ≥因此2c-b=c+(c-b)>0.故当x ≥0时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0,即当x ≥0时,f(x)≤(x+c)2.(2)解:由(1)知c ≥|b|.当c>|b|时,有M ≥22()()f c f b c b --=22222c b bc b c b -+--=2c bc b++.令t=b c ,则-1<t<1,2c b c b ++=2-11t+.而函数g(t)=2-11t+(-1<t<1)的值域是(-∞,32).因此,当c>|b|时,M 的取值范围为[32,+∞). 当c=|b|时,由(1)易知b=±2,c=2. 此时f(c)-f(b)=-8或0,c 2-b 2=0,从而f(c)-f(b)≤32(c 2-b 2). 综上所述,M 的最小值为32. 5.(2013年安徽卷,理21)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n 位学生,每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X. (1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (2)求使P(X=m)取得最大值的整数m.解:(1)因为事件A:“学生甲收到李老师所发信息”与事件B:“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件,所以A 与B 相互独立.由于P(A)=P(B)=11k n k n C C --= kn,故P(A )=P(B )=1-kn, 因此学生甲收到活动通知信息的概率P=1-(1-k n)2=222kn k n -.(2)当k=n 时,m 只能取n,有P(X=m)=P(X=n)=1.当k<n 时,整数m 满足k ≤m ≤t,其中t 是2k 和n 中的较小者.由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(k n C )2.当X=m 时,同时收到李老师和张老师所发信息的学生人数恰为2k-m,仅收到李老师或仅收到张老师所发信息的学生人数均为m-k.由乘法计数原理知:事件{X=m}所含基本事件数为2k k mm k n kn k C C C ---=k m k m k n k n k C C C ---.此时P(X=m)=()22k k m m kn k n k k nC C C C ---= m k m k k n k kn C C C ---.当k ≤m<t 时,P(X=m)≤P(X=m+1)⇔m k m k kn kC C---≤11m k m k kn kCC+-+--⇔(m-k+1)2≤(n-m)(2k-m)⇔m ≤2k-2(1)2k n ++. 假如k ≤2k-2(1)2k n ++<t 成立,则当(k+1)2能被n+2整除时,k ≤2k-2(1)2k n ++<2k+1-2(1)2k n ++≤t.故P(X=m)在m=2k-2(1)2k n ++和m=2k+1-2(1)2k n ++处取得最大值;当(k+1)2不能被n+2整除时,P(X=m)在m=2k-[2(1)2k n ++]处取得最大值.(注:[x]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2k-2(1)2k n ++<t. 因为1≤k<n,所以2k-2(1)2k n ++-k=212kn k n --+≥2(1)12k k k n +--+=12k n -+≥0.而2k-2(1)2k n ++-n=-2(1)2n k n -++<0,故2k-2(1)2k n ++<n,显然2k-2(1)2k n ++<2k.因此k ≤2k-2(1)2k n ++<t. 考点四 不等式的综合应用1.(2013年山东卷,理12)设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当xy z 取得最大值时,2x +1y -2z的最大值为( ) (A)0 (B)1 (C)94(D)3 解析:由x 2-3xy+4y 2-z=0(x,y,z>0), 得3xy+z=x 2+4y 2≥2x ·2y,即xy ≤z,xyz≤1当且仅当x=2y 时等号成立, 当x=2y 时,z=4y 2-6y 2+4y 2=2y 2. 则2x +1y -2z =22y +1y -222y =-21y +2y=-(21y -2y ) =-(1y-1)2+1. 故当1y =1,即y=1时,2x +1y -2z的最大值为1. 故选B.答案:B2.(2010年湖北卷,理15)设a>0,b>0,称2aba b+为a,b 的调和平均数.如图,C 为线段AB 上的点,且AC=a,CB=b,O 为AB 中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于点D,连接OD,AD,BD.过点C 作OD 的垂线,垂足为E.则图中线段OD 的长度是a,b 的算术平均数,线段 的长度是a,b 的几何平均数,线段 的长度是a,b 的调和平均数.解析:在Rt △ABD 中DC 为高, 则由射影定理可得CD 2=AC ·CB,故CD=ab ,即CD 的长度为a,b 的几何平均数, 将OC=a-2a b +=2a b-, CD=ab ,OD=2a b+代入OD ·CE=OC ·CD 中可得 CE=a bab a b-+, 故OE=22OC CE -=2()2()a b a b -+,所以ED=OD-OE=2aba b+, 故DE 的长度为a,b 的调和平均数. 答案:CD DE3.(2013年湖南卷,理20)在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 解:(1)设点P 的坐标为(x,y).(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x ∈R,y ∈[0,+∞).(2)由题意知,点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y ≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|. 因为d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3| ≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立. 又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x ∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立, 所以d 1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立. d 2(y)=2|y|+|y-20|≥21, 当且仅当y=1时,等号成立.故点P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y ≤1时,由于“L 路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d 2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y ≥21. 由①知,d 1(x)≥24, 故d 1(x)+d 2(y)≥45, 当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.模拟试题考点一 利用基本不等式证明1.(2013北京丰台区期末)“x>0”是“x+1x≥2”的( ) (A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充分且必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:当x>0时,x+1x≥2因为x,1x同号, 所以若x+1x ≥2,则x>0, 1x>0. 所以x>0是x+1x≥2成立的充要条件.选C. 答案:C2.(2012东城区二模)设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) (A)(a+b)(1a +1b)≥4 (B)lgb a +lg ab≥2 (C)a 2+b 2+2≥2a+2b解析:∵(a+b)(1a +1b)≥·当且仅当a=b 时,等号成立, ∴选项A 成立;∵a 2+b 2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,∴选项C 成立;对于选项D,如果a<b,显然成立, 如果a>b,a-b ≥+b ⇔≤0,而)≤0成立,故选项D 也成立. 对于选项B,显然当0<ba<1时不成立. 故选B. 答案:B考点二 利用基本不等式求最值1.(2012郑州质检)若a>b>0,则代数式a 2+1()b a b -的最小值为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:a 2+1()b a b -≥a 2+212b a b +-⎛⎫⎪⎝⎭=a 2+24a ≥4, 当且仅当22,4,0,b a b a a a b =-⎧⎪⎪=⎨⎪>>⎪⎩即时,等号成立.故选C. 答案:C2.(2012武汉质检)双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的离心率为2,则213b a+的最小值为( )(C)2 (D)1 解析:已知双曲线的离心率是2,故2=c a= 解得ba, 所以213b a +=2313a a +=a+13a,当且仅当a 2=13时等号成立,. 故选A. 答案:A考点三 含参数的不等式的恒成立问题1.(2012哈师大附中月考)已知关于x 的不等式2x+2x a-≥7在x ∈(a,+∞)上恒成立,则实数a 的最小值为( ) (A)1 (B)32(C)2 (D)52解析:由2x+2x a -=2(x-a)+ 2x a -+2a ≥=4+2a ≥7, 得a ≥32,故实数a 的最小值为32. 故选B. 答案:B2.(2013昆明一中检测)已知m>0,a 1>a 2>0,则使得21m m+≥|a i x-2|(i=1,2)恒成立的x 的取值范围是( )(A)[0,12a ] (B)[0,22a ] (C)[0,14a ] (D)[0,24a ] 解析:21m m +=m+1m≥2,所以要使不等式恒成立, 则有2≥|a i x-2|(i=1,2)恒成立, 即-2≤a i x-2≤2, 所以0≤a i x ≤4, 因为a 1>a 2>0,所以1240,40,x a x a ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩即0≤x ≤14a , 所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0,14a ].故选C. 答案:C考点四 不等式的综合应用1.(2013北京东城区期末)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价2p q+%,若p>q>0,则提价多的方案是 . 解析:设原价为1,则提价后的价格: 方案甲:(1+p%)(1+q%), 乙:(1+2p q +%)2,≤1+%2p +1+%2q =1+2p q +%,因为p>q>0,2p q +%, 即(1+p%)(1+q%)<(1+2p q +%)2,所以提价多的方案是乙.答案:乙2.(2011十堰二模)设M 是△ABC 内一点,且AB ·AC ,∠BAC=30°,定义f(M)=(m,n,p),其中m 、n 、p 分别是△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积,若f(M)=(12,x,y),则1x +4y 的最小值是 .解析:根据题意AB ·AC =|AB ||AC |cos ∠可得|AB ||AC |=4,所以S △ABC =12|AB ||AC |sin ∠BAC=12×4×12=1, 则12+x+y=1,即x+y=12, 所以1x +4y =2(x+y)·(1x +4y ) =2(1+4+yx +4xy )≥2×(5+4)=18. 当且仅当yx =4xy ,即x=16,y=13时取等号.答案:18综合检测1.(2013昆明三中模拟)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x 2+y 2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则1a +1b 的最小值为()(A)14(C)32(D) 32解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心坐标为(-1,2),半径为r=2.因为直线被圆截得的弦长为4,所以直线ax-by+2=0过圆心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2, 所以2a+b=1,所以1a +1b =(1a +1b )(2a+b) =12+1+b a +2ab≥32=32当且仅当b a =2a b ,即a 2=2b 2时取等号,所以1a +1b 的最小值为32故选C. 答案:C2.(2012年高考重庆卷)若函数f(x)=x+12x -(x>2)在x=a 处取最小值,则a 等于( )(D)4解析:当x>2时,x-2>0,f(x)=x-2+12x -+2≥+2=4, 当且仅当x-2=12x -(x>2),即x=3时取等号, 即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.故选C.答案:C3.(2011宿州模拟)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy ≥m-2恒成立,则实数m 的最大值是 .解析:由x>0,y>0,xy=x+2y ≥得xy ≥8,于是由m-2≤xy 恒成立,得m-2≤8,m ≤10,故m 的最大值为10.答案:10。
高中数学知识要点重温之不等式的解法及其综合应用
高中数学知识要点重温之不等式的解法及其综合应用江苏 郑邦锁1．解分式不等式不能轻意去分母，通常采纳：移项〔化一边为零〕→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，〔即不等式两边同除以变量系数，假设它的符号不能确定即需要讨论〕→〝序轴标根〞〔注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论〕； [专门关注] 求一个变量的范畴时，讨论的也是那个变量，结果要并；讨论的假设是另一个变量，结果不能并。
[举例1]关于x 的不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)，那么关于x 的不等式02>-+x b ax 的解集是〔 〕A ．(-∞,-1)∪(2,+∞) B．(-1,2) C ．(1,2) D ．(-∞,1)∪(2,+∞) 解析：不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)⇒a>0且a=b ，那么不等式02>-+x b ax 等价于： 021>-+x x ⇔(x+1)(x -2)>0⇔x>2或x<-1,选A 。
[举例2] 解关于x 的不等式：12)1(>--x x a 解析：12)1(>--x x a ⇔02)2()1(>----x a x a ⇔0)2)](2()1[(>----x a x a 以下不等式两边同除以a -1，需讨论其正负；①假设a>1，等价于：0)2)(12(>----x a a x 现在需知不等式相应的方程的两根121--=a a x 与2x =2的大小，比差：212---a a =12--a a ， 可见a>1时，1x <2x ,∴不等式的解为：(-∞，12--a a )∪〔2，+∞) ②假设a<1，不等式等价于：0)2)(12(<----x a a x ，〔ⅰ〕假设0<a<1, 1x >2x ,不等式的解为：〔2,12--a a 〕；〔ⅱ〕假设a<0，1x <2x ,不等式的解为：〔12--a a ,2〕；(ⅲ) 假设a=0, 不等式等价于：0)2(2<-x ，不等式的解为φ；综上所述：当a>1时不等式的解为(-∞，12--a a )∪〔2，+∞)；当0<a<1时不等式的解为〔2,12--a a 〕；当a=0时不等式的解为φ；当a<0时不等式的解为：〔12--a a ,2〕。
函数与不等式综合题
函数与不等式综合题摘要：1.函数与不等式的概念和基本知识2.函数与不等式的综合应用3.函数与不等式综合题的解题技巧和方法4.函数与不等式综合题的实例分析正文：一、函数与不等式的概念和基本知识函数是一种将输入值（自变量）映射到输出值（因变量）的数学关系。
在数学中，函数通常表示为一个数的集合（函数的定义域）到另一个数的集合（函数的值域）的映射。
不等式是数学中表示不等关系的一种表达方式，它由不等号（如“>”、“<”、“≤”、“≥”等）连接两个数或表达式。
二、函数与不等式的综合应用在实际问题中，函数与不等式常常综合在一起，形成一种综合性的数学问题。
这类问题不仅需要对函数的性质和不等式的解法有深入的了解，还需要运用逻辑思维和数学分析能力，找出问题的关键所在，进行有效的求解。
三、函数与不等式综合题的解题技巧和方法1.确定问题的主要矛盾：在解决函数与不等式综合题时，首先要明确题目所求，找出问题的主要矛盾，是求函数的极值、最值，还是解不等式。
2.分析函数的性质：根据函数的性质，如单调性、凸性、周期性等，可以快速排除一些不可能的情况，缩小问题的求解范围。
3.运用不等式的解法：不等式的解法有很多种，如解不等式的基本步骤、符号法、数轴法、韦达定理等，可以根据题目的特点，灵活运用合适的解法。
4.代换和化归：在解决函数与不等式综合题时，可以尝试将问题进行代换，将复杂问题化归为简单问题，或将未知量表示为已知量的函数，从而简化问题。
5.数形结合：函数与不等式综合题的解题过程中，可以尝试将函数的图形和不等式的解集进行结合，通过直观的图形，更好地理解问题的性质和解的情况。
四、函数与不等式综合题的实例分析例：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求解不等式|f(x)|>1 的解集。
解：首先，求出函数f(x) 的导数f"(x)=3x^2-6x+2，并令其等于0，解得x=1 或x=2/3。
然后，根据函数的单调性和极值，可以得出f(x) 在(-∞,1) 和(2/3,+∞) 上单调递增，在(1,2/3) 上单调递减。
函数与不等式综合应用
函数与不等式综合应用在数学中，函数与不等式是两个重要的概念，它们在数学中的应用非常广泛。
本文将探讨函数与不等式在实际问题中的综合应用，并通过一些具体的例子来说明它们的应用价值和意义。
一、函数与不等式的基本概念在详细探讨函数与不等式的综合应用之前，我们先简要介绍一下两个概念的基本内涵。
函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。
具体来说，给定一个自变量，函数通过某种规则确定一个与之对应的因变量。
函数可以用符号表示，常见的表示方法有f(x)、g(x)等。
不等式是数学中表示大小关系的一种符号。
不等式用于表示不等式关系，比如大于、小于、大于等于、小于等于等。
二、函数与不等式的综合应用1. 函数与不等式在优化问题中的应用函数与不等式在优化问题中起到了至关重要的作用。
例如，我们要最大化矩形的面积，可以使用函数来表示矩形的面积与参数之间的关系，然后通过对函数求导，找到使得函数取得最大值的参数值。
此外，函数与不等式还可以应用于最小化问题、最优化问题等。
2. 函数与不等式在经济学中的应用函数与不等式在经济学中也有广泛的应用。
例如，在生产成本的分析中，可以使用函数来表示成本与产量之间的关系，进而通过对函数求导得到最佳产量的值。
此外，函数与不等式还可以应用于需求曲线、供给曲线等经济学中的概念和问题。
3. 函数与不等式在物理学中的应用函数与不等式在物理学中也扮演着重要的角色。
例如，在运动学中，可以使用函数来描述物体的位置、速度、加速度等与时间的关系。
利用函数与不等式的相关知识，我们可以解决物体的运动轨迹、最大速度、最短时间等问题。
4. 函数与不等式在生活中的应用函数与不等式的应用不仅限于学术领域，它们还在我们的日常生活中起到了重要的作用。
例如，我们可以利用函数来分析某个物品的价格与销量之间的关系，进而预测出最适宜的售价。
此外，函数与不等式还可以帮助我们解决关于投资、贷款、房屋购买等方面的一系列实际问题。
三、结语综上所述，函数与不等式在数学中的综合应用是多样而广泛的。
高考数学一轮总复习不等式与绝对值的综合应用题解
高考数学一轮总复习不等式与绝对值的综合应用题解在高考数学中，不等式与绝对值是两个重要的概念和技巧，也是常见的题型之一。
在数学的综合运用中，经常会遇到涉及不等式与绝对值的综合应用题，本文将对这方面的应用进行解析，帮助同学们更好地应对高考。
一、不等式与绝对值的基础知识回顾在进行不等式和绝对值的综合应用前，我们首先需要回顾一下不等式与绝对值的基础知识。
一个不等式由两个数之间的大小关系组成，我们可以使用不等号来表示。
例如，对于两个实数 a 和 b，我们可以表示 a 大于 b，或 a 小于等于 b，等等。
绝对值是一个数与零点之间的距离。
对于一个实数 x，它的绝对值表示为 |x|。
具体地说，当 x 大于等于 0 时，|x| 等于 x；当 x 小于 0 时，|x| 等于 -x。
例如，|2| = 2，|-2| = 2。
二、综合应用题解析接下来，我们将通过具体的综合应用题来解析不等式与绝对值的综合应用。
题目：现有一绳索长 20 米，要在上面划定两个点 P 和 Q，使得 P点到绳索起点 A 的距离不小于 5 米，且 Q 点到绳索终点 B 的距离不小于 4 米。
请问，有多少种划定点的方式？解析：要解决这个问题，我们可以使用不等式与绝对值的知识进行分析和求解。
首先，我们假设点 P 距离绳索起点 A 的距离为 x，点 Q 距离绳索终点 B 的距离为 y。
由于我们要求 P 点到绳索起点 A 的距离不小于 5 米，所以有不等式x ≥ 5；同理，Q 点到绳索终点 B 的距离不小于 4 米，所以有不等式 20 - y ≥ 4。
接下来，我们考虑点 P 和点 Q 的取值范围。
由于绳索的总长度为20 米，所以 x + y = 20。
又因为x ≥ 5，所以可以将不等式x ≥ 5 换成等式 x = 5 + a，其中 a ≥ 0。
同理，可以将不等式 20 - y ≥ 4 换成等式 y =16 - b，其中b ≥ 0。
将等式 x = 5 + a 和等式 y = 16 - b 代入 x + y = 20 中，得到 5 + a +16 - b = 20，化简可得 a - b = -1。
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第八章
不等式
第 47 课
不等式的综合应用
栏 目 导 航
链教材 ·夯基固本 研题型 ·技法通关
链教材 ·夯基固本
激活思维
π cos θ 1. (必修 4P16 练习 3 改编)若函数 y＝tan θ＋ sin θ ，θ∈2，π，则函数 y 的最大值
－2 为________ ．
2. (必修 5P98 练习 2 改编)若过定点 P(1,2)的直线在 x 轴与 y 轴正半轴上的截距分
8 别为 a，b，则 a· b 的最小值为________ ．
3. (必修 5P92 习题 6 改编)如果把长为 12 cm 的细铁丝截成四段，围成一个矩形，
9 cm2 ． 那么这个矩形面积的最大值是________
→ 设 P(x，y)，则→ AD · EP ＝(1，－4)· (x－1，y－2)＝x－4y＋7，令 z＝x－4y＋7，则 y＝
1 7－z 1 4x＋ 4 ，作直线 y＝4x，
1 1 7－z 平移直线 y＝4x，由图象可知当直线 y＝4x＋ 4 经过点 A 时，直线的截距最大， 但此时 z 最小，
1 7－z 当直线 y＝4x＋ 4 经过点 B 时，直线的截距最小，此时 z 最大．
(2017· 南通模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，AC＝4，BC＝2，D →· → 的取值范围 是BC的中点， E是AB的中点，P是△ABC(包括边界)内任一点，则AD EP
[－9,9] ． 是________
(变式)
【解析】 将直角三角形放入平面直角坐标系中， 则 A(0,4)， B(2,0)， E(1， 2)， D(1,0)，
1 欲使剩下木板 MBCDN 的面积最大， 即要锯掉的三角形废料 MAN 的面积 S＝2mn 2 1 最小．由 1＝m＋n≥2 2 1 2 1 m· n，得 mn≥8，当且仅当m＝n，即 m＝4，n＝2 时，“＝”
即 zmin＝－4×4＋7＝－9，zmax＝2＋7＝9，
→ → 故－9≤→ AD · EP ≤9，即→ AD · EP 的取值范围是[－9,9]．
(变)
目标 3
不等式的应用题 (2017· 南通模拟)如图，长方形 ABCD 表示一张 6 dm×12 dm 的工艺木
板，其四周有边框(图中阴影部分)，中间为薄板．木板上一瑕疵(记为点 P)到外边框 AB，AD 的距离分别为 1 dm,2 dm.现欲经过点 P 锯掉一块三角形废料 MAN，其中 M， N 分别在 AB，AD 上．设 AM，AN 的长分别为 m dm，n dm. (1) 为使剩下木板 MBCDN 的面积最大，试确定 m，n 的值；
x
－x
x
亦即 λ≤－t2＋6t 对 t∈[1,9]恒成立， 令 g(t)＝－t2＋6t，t∈[1,9]， 因为 g(t)在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减， 所以当 t＝9 时，g(t)有最小值 g(9)＝－27，所以 λ≤－27.
目标2
不等式与函数、三角、向量等知识的结合 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，设向量m
1 ＝(cosA，sinA)，n＝(cosA，－sinA)，且m· n＝2. (1) 求角A的大小及向量m与n的夹角； (2) 若a＝ 5，求△ABC面积的最大值．
1 【解答】(1) m· n＝cos A－sin A＝cos2A＝2， π π 因为 A 为锐角，所以 2A＝3，A＝6. 设 m，n 的夹角为 θ，
【思维引导】(1) 由奇函数的定义即可求出 λ 的值；(2) 分离参数后实现换元， 转换为基本不等式求最值，注意变量范围．
【解答】(1) 函数 f(x)＝3x＋λ· 3－x 的定义域为 R. 因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＋f(x)＝0 对任意 x∈R 恒成立， 即 3－x＋λ· 3x＋3x＋λ· 3－x＝(λ＋1)(3x＋3－x)＝0 对任意 x∈R 恒成立，所以 λ＝－1. 此时 f(x)＝3x－3－x>1，即(3x)2－3x－1>0，
1＋ 5 x 1－ 5 解得 3 > 2 或 3 < 2 (舍去)，
x
1＋ 所以所求不等式的解集为 x|x>log3 2
5 .
λ (2) 由 f(x)≤6 得 3 ＋λ· 3 ≤6，即 3 ＋3x≤6， λ x 令 t＝3 ∈[1,9]，原问题等价于 t＋ t ≤6 对 t∈[1,9]恒成立，
2 2
1 1 π 则 m· n＝|m||n|· cosθ＝2，所以 cosθ＝2，θ＝3. π (2) 因为 a＝ 5，A＝6， π 2 2 2 所以( 5) ＝b ＋c －2bccos6，得 bc≤5(2＋ 3)， 52＋ 3 1 则 S＝2bcsinA≤ ， 4 52＋ 3 即△ABC 面积的最大值为 . 4
知识梳理 1. 与不等式有关的常见综合问题有： 函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何中的最值问题． 2. 求解不等式的综合应用问题的一般步骤： (1) 分析题意； (2) 建立数学模型； (3) 解决数学问题； (4) 检验作答．
研题型 ·技法通关
课堂导学 目标1 不等式的含参问题 (2017· 苏州期中)已知函数f(x)＝3x＋λ· 3－x(λ∈R)． (1) 若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式f(x)>1的解集； (2) 若不等式f(x)≤6对x∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围．
4.
(必修 5P93 习题 10 改编)已知(m－2)(n－1)＝4，且 m>2，n>1，那么 m＋n
7 的最小值是________ ．
4 4 4 【解析】 因为(m－2)(n－1)＝4， 所以 m＝ ＋2， 所以 m＋n＝ ＋2＋n＝ n－1 n－1 n－1 ＋n－1＋3≥2 4＋3＝7(当且仅当 n＝3，m＝4 时取等号)，故 m＋n 的最小值为 7.
(2) 求剩下木板 MBCDN 的外边框长度(MB， BC， CD， DN 的长度之和)的最大值．
(变式)
【解答】(1) 如图，过点 P 分别作 AB，AD 的垂线，垂足分别为 E，F，则△PNF 与△MPE 相似，
(例 3)
n－1 2 2 1 PF NF 从而EM＝PE，所以 ＝ 1 ，即m＋n＝1. m－2