2018高考数学专题二 数列的通项与求和

专题二 数列的通项与求和
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列{n a }中，2a ＝1，84a a +＝16，则10a ＝ （ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64
2. 已知数列}{n a 为等差数列，9,21963741=++=++a a a a a a ，则9S 的值为 （ ） A ．15 B ．40 C ．45 D ．50
3. （理）在数列{n a }中，1a ＝15，2
331-=+n n a a （n ∈N ＊
），则该数列相邻两项的乘积是负数的是 （ ） A ．2322a a ⋅ B ．2423a a ⋅ C ．2524a a ⋅ D ．2625a a ⋅ （文）已知等差数列{n a }的公差不为0，则 （ ）
A ．6482a a a a =
B ．6482a a a a >
C ．6482a a a a <
D ．以上均不对 4. 在数列}{n a 中，a 1=2，当n 为奇数时，21
+=+n n a a ；当n 为偶数时，112-+=n n a a ，
则a 12等于（ ） A ．32 B ．34 C ．66 D ．64
5.（理） 已知数列{}n a 对于任意*
p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若11
9
a =
，则36a = （ ） A ．
937 B ．－9
34 C ．4 D ．9 （文）数列}{n a 满足1a ＝1，,3
2
2=a 且)2()(21111≥+=+-+-n a a a a a n n n n n ，则n a ＝
（ ）
A ．12+n
B ．1)32(-n
C ．1)3
2(+n D ．12
-n
6. 数列{n a }满足11--=n n
a a （n ∈N ，n ＞1），且2a ＝2，n S 是{n a }的前n 项和，则2007S ＝
A ．1002
B ．1003
C ．1004
D ．1005 换题:
若数列{n a a }的前n 项和5log (4)n S n =+a ,则数列{n a a }从第二项起是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数数列 D ．以上都错
B 解析:当1n =时, 111S a ==,
当2n ≥时,155log (4)log (3)n n n a S S n n -=-=+-+a a a 5541
log log (1)33
n n n +==+++, 显然n a a 关于n 单调递减, 故应选B ．
7. （理）已知公比大于0的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则32a S 与32S a 的大小关系是 （ ）
A.32a S ＝32S a
B.32a S ＞32S a
C.32a S ＜32S a
D.不能确定
（文）已知等差数列}{n a 的前n 项的和为n S ，且p a p a -=-=2,2102，其中p 为常数，则有 A .65S S < B.65S S = C.65S S > D.5S 与6S 的大小与p 有关，不能确定 8. 设函数)(x f 的部分函数值如右表，数列{n a }满足21=a ，
)(1n n a f a =+，则2009a ＝ （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9. 已知等差数列{n a }、{n b }的公差均为2，且1a ＝2，1b ＝1，数列{n c }满足n c ＝n b a ，则数列 {n c }的前10项和10S 为 （ ） A ．75 B ．100 C ．200 D 、400
10. 已知等差数列}{n a 共有2008项，所有项的和为2010，所有偶数项的和为2，则=1004a （ ） A ．1 B ．２ C ．
5021 D ．256
1
11. 若a 、b 、c 是互不相等的实数，且a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，则a ∶b ∶c 等于（ ）
A ．（－2）∶1∶4
B ．1∶2∶3
C ．2∶3∶4
D ．（－1）∶1∶3 12. 已知等差数列{n a }的公差为d ，前n 项和为n S ，且546S S S >>，则 （ ） Ａ．d ＜0 Ｂ．09<S Ｃ．010<S Ｄ．011<S
二、填空题：本大题共4小题，将答案填在题中的横线上.
13. 已知数列}{n a 的前n 项和和为35-=n n S ，则这个数列的通项公式为 ．
14. （理）已知数列{n a }满足n n n a a a -=++12（n ∈*
N ）,且1a ＝2007，2a ＝2008，其前n 项和为n S ，
则2007S ＝ ．
（文）已知等差数列{n a }、{n b }的公差均为2，且1a ＝2，1b ＝1，数列{n c }满足n c ＝n b a ，则数列{n c }
的前10项和10S ＝ ．
15.数列{n a }中，2a ＝2，6a ＝10，且数列{1-n a }是等差数列，则10a ＝ ．
16. （理）若数列}{n a 的前n 项的和为n S ，且通项公式为)(],)1(1[2*N n a n n n ∈-+=-，则=20S . （文）如果数列{}a n 满足a a a a a a a n n 121321，，，…，，…----是首项为1，公差为2的等差数列，则a n =_________________．
三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等比数列{n a }的首项a 和公比q 均为正整数，前n 项和为n S ，且a≥3，102S 是4S 和6S 的等比中项，等差数列{n b }的首项q 和公差a ．
（Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）将数列{n a }与{１＋n b }的公共项按原顺序构成一个新数列{n c }，求{n c }的前n 项和n T ．
18.（理）已知数列{n a }的各项均为正数，首项1a ＜2，前n 项和为n S ，且满足8
3
21812++=n n n a a S . （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）通过c
n S b n
n +=
构造一个新的数列{n b }，使{n b }也是等差数列，求非零常数c. （文）等比数列{n a }的各项均为正数，且2a 与4a 的等比中项为
81，2a 与3a 的等差中项为16
5，数列{n b }满足11a b =，n n n n a b b a =-++)(11． （Ⅰ）求数列{n a }和{n b }的通项公式； （Ⅱ）设n n n
a c
b =，求证：数列{}n
c 的前n 项的和59n T >（n N *
∈）．
19.（理）已知数列{n a }中531=
a ，112--=n n a a （n ≥2，n *∈N ），数列}{n
b 满足1
1-=n n a b （n *∈N ）； （Ⅰ）求证数列{n b }是等差数列；
（Ⅱ）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （Ⅲ）记++=21b b S n …n b +，求1
)1(lim +-∞
→n n
S b n n ．
（文）已知在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d >，且2514,,a a a 分别是等比数列{}n b 中的第二、第三、第四项.
(Ⅰ)求{}n a 与{}n b 的通项公式； (Ⅱ)数列{}n c 对任意的*
n N ∈,都有12
112...n n n
c c c a b b b ++++=,求{}n c 的通项公式； (Ⅲ)求数列{}n n a c ⋅的前n 项和n s .
20. 已知数列{n a }满足1a =p ，2a =p －41，20212-=+-++n a a a n n n ，其中p 是给定的实数，n 是正整数，
n b ＝n n a a -+1
（Ⅰ）求数列{n b }的通项公式； （Ⅱ）试求n 的值，使得n a 的值最小.
21.（理）已知首项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的r 、t N ∙
∈，都有
2()r t S r
S t
=. （Ⅰ）判断{}n a 是否为等差数列，并证明你的结论；
（Ⅱ）若111,3a b ==，数列{}n b 的第n 项n b 是数列{}n a 的第1n b -项(2)n ≥，求n b . （Ⅲ）求和1122n n n T a b a b a b =+++ .
（文）已知{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，37S =，且123334a a a ++，， 构
成等差数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项．
（Ⅱ）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．
22.（理科）已知数列{a n }满足10),(21*21<<∈+-=+a N n a a a n n n 且
（I ）求证：10<<n a ； （II ）若,109),1lg(1=
-=a a b n n 且求无穷数列}1
{n
b 所有项的和； （III ）对于n ∈N *，且n ≥2，求证：
n a a a a a a a a a a a a n n n n <++++-++++-)...()...(212
213222213333231.
（文）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，4S ＝24，2a ＝5，对每一个∈k *N ，在k a 与1+k a 之间插入1
2k - 个
1，得到新数列{n b }，其前n 项和为n T ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）11a 是数列{n b }的第几项；
（Ⅲ）是否存在正整数n ，使n T ＝2008？若不存在，请说明理由；若存在，求出n 的值．
备选题
１．已知等差数列{n a }的公差为d ，前n 项和为n S ，且546S S S >>，则 （ ） Ａ．d ＜0 Ｂ．09<S Ｃ．010<S Ｄ．011<S
２．已知等比数列{n a }中，2+k a 是2a 与22+k a 的等差中项，则公比q ＝ （ ） A ．１ B ．２ C ．
21 D ．4
1
３．公比不为零的等比数列}{n a 中，有0232
32
5=-+a a a ，数列{n b }是等差数列，且7733,a b a b ==，
则5b ＝ .
４．数列｛a n ｝足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<-<<=+)
121(12)210(21
n n n n n a a a a a ，514=a ，则2007a ＝ （ ）
５．已知数列{n a }满足12
2)5
2
(4)5
2(5---=n n n a ，p a 、q a 分别为{n a }中的最大项和最小项，则
p a ＋q a ＝
６．已知数列{n a }满足1a =1，且 ⎝⎛=+为奇数
为偶数n a n a a n
n n 211
，则22a ＝ ．
７．已知函数()x f 与函数()()01>-=a x a y 的图像关于直线x y =对称．
（Ⅰ）试用含a 的代数式表示函数()x f 的解析式，并指出它的定义域；
（Ⅱ）数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，1a a n >．数列{}n b 中，21=b ，n n b b b S ++=21．点
() ,3,2,1,=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
n n S a P n n n 在函数()x f 的图像上，求a 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点n P 作倾斜角为
4
π
的直线n l ，则n l 在ｙ轴上的截距为７．
()13
1
+n b () ,3,2,1=n ，求证：2332+-=n n n a a b
专题二参考答案
1．A 由84a a +＝16得26a ＝16，∴ 6a ＝8，26a ＝2a ＋10a ，∴ 10a ＝26a －2a ＝15，选A ．
2.C ∵ 2134741==++a a a a ，936963==++a a a a ，∴ 74=a ，36=a ， 452
)
(92)(964919=+=+=
a a a a S ，选Ｃ． 3.（理）B ∵ 321-=-+n n a a ， ∴ {n a }是等差数列，3
47
32)32)(1(15+-=--+=n n a n ， 由n a ＞0得n ＜
2
47
，故23a ＞0，24a ＜0，2423a a ⋅＜0，选B ． （文）C 08)5)(3()7)((211116482<-=++-++=-d d a d a d a d a a a a a ，故6482a a a a <，选Ｃ． 4．C 依题意，1197531,,,,,a a a a a a 成等比数列，故5
1112⨯=a a =64，21112+=a a =66．故选C ．
5. （理）C 由p q p q a a a ++=得11+=+n n a a a ，即9
1
11=
=-+a a a n n ， 故数列{}n a 是公差为
91的等差数列，49
1
359136=⨯+=a ，选C ． （文）A 由)(21111+-+-+=n n n n n a a a a a 得
n n n a a a 21111=++-，故}1
{n
a 是等差数列，公差d ＝211112=-a a ，
2
1
21)1(111+=
-+=n n a a n ，故n a ＝12+n ，选Ａ． 6. A 由11--=n n a a 得11=+-n n a a ，故211a a -=＝－1，
)()()(20072006543212007a a a a a a a S +++++++= ＝－1＋1003＝1002，故选A 。

7. （理）C 设公比为q ，则32a S －32S a ＝q a q a q a a q a q a q a a 2
1211112111)()(-=++-+＜0 ∴ 32a S ＜32S a
（文）B ∵ 02221026=-+-=+=p p a a a ∴ 06=a 则65S S =，故选B. 8.D 21=a ，4)2()(12===f a f a ，1)4()(23===f a f a ，2)1()(34===f a f a ， 45=a ，16=a ，∴ 423=+n a ，得4266932009==+⨯a a ，选D ．
9.C 依题意得n a ＝2n ，n b ＝2n －1，
∴ 10S ＝2
)
382(10195311021+=++++=+++a a a a a a a b b b ＝200，选C ． 10．B 依题意得
20102
)(200820081=+a a ，10042010
20081=+a a ，
22
)(100420082=+a a ，1004420082=+a a ，故10042006
12-=-a a ＝d ，
又100442100520082==+a a a ，∴ 100421005=a 21004
2006
1004210051004=+=-=d a a ，选B ．
11.A 依题意 由⎩⎨
⎧=+=bc
a c
a b 2
2 得02)(2
=-+
b a b
a ∴
b a ＝－2或b
a
＝1（舍去） 代入得c ＝－2a 故a ∶b ∶c ＝（－2）∶1∶4 选A
12.B 依题意得0545<=-a S S ，05646>+=-a a S S ，056>->a a ，056>-=a a d ，
故0102)(105919<=+=
a a a S ，0)(52
)
(106510110>+=+=a a a a S ，
0102
)
(10611111>=+=
a a a S ，选Ｂ．
13. ⎩⎨⎧≥⋅==-2,541,21
n n a n n 2351=-=a ，当n ＞１时，1
11543535---⋅=+--=-=n n n n n n S S a ， 故数列的通项公式为⎩
⎨⎧≥⋅==-2,541,
21
n n a n n 14. （理）4016 ∵ n n n n n n n a a a a a a a -=--=-=+++++11123)(，n n n a a a =-=++36，
061=+++++n n n a a a ，2007＝334×6＋3，1123=-=a a a ，
∴ 3212007a a a S ++=＝2007＋2008＋1＝4016
（文）200 n a ＝2n ，n b ＝2n －1，10S ＝2
)
382(10195311021+=
++++=+++a a a a a a a b b b ＝200．
15.26 设1-=n n a b ，则数列{n b }是等差数列，且2b ＝1，6b ＝3，由10262b b b +=，
得26102b b b -=＝5，故110-a ＝5，即10a ＝26． 16. （理）
)21(3
2
20-- 由已知得，当n 为奇数时，01931====a a a 当n 为偶数时，19205634122,,2,2,2----====a a a a ，组成一个等比数列， 故)()(204219312032120a a a a a a a a a a S +++++++=++++=
)21(322
1])2(1[2020
2
1021-----=--+=. （文）2
n n>1时，122)1(11-=⨯-+=--n n a a n n ，
∴ 11=a ，312=-a a ，523=-a a ，…，121-=--n a a n n 相加得22
)
121()12(531n n n n a n =-+=
-++++= ．
17．（Ⅰ）依题意得202S ＝4S ＋6S ，当q ＝１，202S ＝20a,4S ＝4a ，6S ＝6a ，不符合题意，
故q≠1，q
q a q q a q q a --+
--=--1)1(1)1(1)1(20642，∴ 0202
4=-+q q ，q ＝2． （Ⅱ）设n a ＝１＋m b ，则a m a n )1(212
1
-++=⋅-，∴ )
1(23
1
--=
-m a n ， 由a 为正整数且a≥3知，a ＝3，1)1(2
1
=---m n ，故12-=n m ，*N n ∈，
即121-+==n b a c n n ，又1
23-⋅=n n a ，∴ n T ＝n S ＝
)12(32
1)
21(3-=--n n ．
18．（理）（Ⅰ）∵ 8321812++=
n n n a a S ，∴ 8
3
21811211++=a a a ，034121=+-a a ，故1a ＝1， 当2n ≥时，4
1218112
11-+=---n n n a a S ，
∴ )(21)(8112
12---+-=n n n n n a a a a a ，即1111()()4
n n n n n n a a a a a a ---+=+-，
∵ 数列{}n a 的各项均为正数，∴14n n a a --=（2n ≥），∴ 34-=n a n ．
（Ⅱ）由（1）得n n n n n S n -=⨯-+
⨯=2242
)
1(1，
因为3122b b b +=，故
31511262+++=+⨯c c c ，c ＝－2
1
， n n n n n n n b n 212)
12(22122=--=-
-=，且22)1(21=-+=-+n n b b n n ，
故当c ＝－2
1
时，{n b }也是等差数列． （文）（Ⅰ）依题意得641422
3==a a a ， 3a ＞0，∴ 3a ＝8
1，
∵ 165232⨯
=+a a ，∴ 2a ＝21，故公比4
1
23==a a q ，1a ＝2， 即{n a }的通项公式为1
-n )4
1
(2=n a ，
又41
1==
-++n n
n n a a b b ，故244)1(1-=⨯-+=n n b b n ． （Ⅱ）∵ 1(21)4n n
n n
a c n
b -=
=-， ∴ 22113454(23)4(21)4n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，
2214434(25)4(23)4(21)4n n n n T n n n --=
+⋅++-⋅+-⋅+-⋅ ，
两式相减得2
1
555
312(444)(21)4(2)4333
n n n n T n n --=++++--=---⋅<- ，
∴ 5
9
n T >
．
19.（理）（Ⅰ）11
12111111-=--=-=
---n n n n n a a a a b ，又 1
1
11-=--n n a b ， ∴ 11
1
11111=---=
-----n n n n n a a a b b ．),2(+∈≥N n n
∴ {n b }是首项为2
5
1111-=-=
a b ，公差为1的等差数列． （Ⅱ）依题意有n
n b a 1
1=
-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，∴ 5.311-=-n a n ．
对于函数5
.31
-=
x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数．
故当n ＝4时，5
.31
1-+=n a n 取最大值3 ，
而函数5.31-=
x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(1
2
<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．
故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1．
（Ⅲ）2
)5)(1(2)
25225)(1(1-+=
-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ， ∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)
5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim
1． （文）（Ⅰ）d a d a d a d a 131,41,1,0,114521+=+=+=>=设
)0(2,63),131)(1()41(,22422
5舍又==++=+∴=d d d d d d a a a ， 9,3,12)1(215322====-=-+=a b a b n n a n ， 11112
3
3,1,3--=====
∴n n n q b b b b b q 则， 综上：13,12-=-=n n n b n a ． （Ⅱ）当2≥n 时，
1112211......+--=++++n n n n n a b c b c b c b c ，n n n a b c b c
b c =+++--1
12211......， 两式相减，
11322,2-+⋅==∴==-=n n n n n n
n
b c d a a b c ， 当n=1时，3211==a b c 综上：{
)
2(32)1(31≥⋅==-n n c n n ．
（Ⅲ）1
2
1
3
2)12(......32532331-⋅⨯-++⋅⨯+⋅⨯+⨯=n n n S
=n S 3 133⨯ +n n n n 32)12(32)32(......32312⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-
两式相减 ：n n n n S 32)12()3
.......33(41221
3
2
⋅⨯--++++=--
n n n 32)12(1
3)
13(94122⋅⨯----⨯
+=-
33)1(23)12(2
9
326+-=-+-⨯--=∴n n n n n n S ．
20. （Ⅰ）由20212-=+-++n a a a n n n 得20)(112-=---+++n a a a a n n n n ∴ 201-=-+n b b n n 41121-=-=a a b ，
即20112-=-b b 20223-=-b b …… 20)1(1--=--n b b n n ∴ 20202
)1()1(20)1(3211+--=
---++++=-n n
n n n b b n ∴ 212
412--=
n
n b n ， （Ⅱ）由n n a a -+1>0得n b >0 即042412
>--n n ∴ n>42或n<-1(舍去)， 故n>42时,n n a a -+1>0，即n n a a >+1 n<42时,n n a a -+1<0，即n n a a <+1 n=42时，4243a a =，
则n=42，或n=43时，得n a 的值最小．
21.（理）（Ⅰ）{}n a 是等差数列，证明如下： ∵ 110a S =≠，令1,t r n ==，由
2()r t S r
S t =得21
n S n S = 即21n S a n =. ∴ 2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且1n =时此式也成立， ∴ 112()n n a a a n N ∙+-=∈，即{}n a 是以1a 为首项，21a 为公差的等差数列．
（Ⅱ）11a =时，由（Ⅰ）知1(21)21n a a n n =-=-，
依题意，2n ≥时，1121n n b n b a b --==-，∴ 112(1)n n b b --=-，又112b -=， ∴ {1}n b -是以2为首项，2为公比的等比数列，
1122n n b --=⋅ 即21n n b =+.
（Ⅲ）∵ (21)(21)(21)2(21)n n n n a b n n n =-+=-+-
∴ 2[1232(21)2][13(21)]n n T n n =⋅+⋅++-⋅++++- 即 22[1232(21)2]n n T n n =⋅+⋅++-⋅+ 231
22[1232(21)2]2
n n T n n +=⋅+⋅+
+-⋅+ ∴ 12(23)26n n T n n +=-⋅++．
（文）（Ⅰ）由已知得⎪⎩
⎪
⎨⎧=+++=++23132132437
a a a a a a ，解得22a =，
设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得132
2a a q q
=
=，， 又37S =，可知
2
227q q
++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，，
由题意得1
2q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． （Ⅱ）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312n n a +=
3l n 23l n 2n n b n ∴==，又13ln 2n n n b b +-=，{}n b ∴是等差数列，
12n n T b b b ∴=+++ 2
2
ln )1(32)2ln 32ln 3(2)(1+=+=+=n n n n b b n n ， 故3(1)
ln 22
n n n T +=
．
22.（I ）运用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，101<<a ，10<<∴n a 成立．
②假设当n=k 时，（k ≥1，k ∈N *）时，1010<<<<k n a a 成立，即．……2分 当n=k+1时，1)1(22
2
1+--=+-=+k k k k a a a a ．
222101,110,0(1)1,1(1)0,
0(1)11,0 1.
k k k k k k a a a a a a +<<∴-<-<∴<-<∴-<--<∴<--+<<< 即
这就是说，当n=k+1时，10<<n a 也成立．
根据①、②知，对任意n ∈N *，不等式10<<n a 恒成立． ……4分 （II ）10,)1(121<<-=-+n n n a a a 且 ，
),1lg(2)1lg(,)1lg()1lg(121n n n n a a a a -=--=-∴++即即n n b b 21=+， ……6分 1)1lg(}{11-=-=∴a b b n 是以为首项，以2为公比的等比数列．
112,11.2
n n n n b b --∴=-∴
=- 无穷数列}1
{
n
b 所有项的和为 22
11]
)21
(1[1lim )1...11(lim ...1...112121-=-
-⨯-=+++=++++∞→∞→n n n n n b b b b b b ……8分
（III ）)1()(2
1331+-+--n n n n a a a a
23
11223
11113311()(1)
[(2)](1)(1)(1)0,
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --------=-+-=--++-=-+-<
12
1331+<+∴--n n n n a a a a ． ……10分
22
2101,
,
,
22.
n n n n
n n n n n n n a a a a a a a a a a a +<<∴<∴->-∴=-+>-+=
∴数列{a n }是递增数列．
∴对于任意n ∈N *，且n ≥2，均有0,11<->n n a a a a 即．
0))(()1()1()(111312313<-++-=+-+n n n n n a a a a a a a a a a ，112
313+<+∴a a a a n n ．
综上，有：1,...,1,12133132233322213231+<++<++<+--n n n n a a a a a a a a a a a a ，112313+<+a a a a n n ； 各式相加，得n a a a a a a a a a a a a n n n n <++++-++++-)...()...(212213222213333231…12分
（文）（Ⅰ）设}{n a 的公差为d ，∵ d a S 2
3
4414⨯+
=＝24，d a a +=12＝5， ∴ 1a ＝3，d ＝2，122)1(3+=⨯-+=n n a n ．
（Ⅱ）依题意，在11a 之前插入的1的总个数为10232
121222110
9
2
=--=
++++ ， 1023＋11＝1034故11a 是数列{n b }的第1034项．
（Ⅲ）依题意，n n d n n na S n 22
)
1(21+=-+
= n a 之前插入的1的总个数为122
1212
221112
2
-=--=++++---n n n ，
故数列{n b }中，n a 项及前面的所有项的和为12
21
2
-++-n n n ，
∴ 数列{n b }中，11a 及前面的所有项的和为11431202100
12
=-++＜2008，
而2008－1143＝965，11a 与12a 之间的1的个数为10242
10
=个，
即在11a 后加965个1，其和为2008，故存在m ＝1034＋965＝1999，使20081999=T ．
备选题
１．Ｂ 依题意得0545<=-a S S ，05646>+=-a a S S ，056>->a a ，056>-=a a d ，
故0102)(105919<=+=
a a a S ，0)(52
)
(106510110>+=+=a a a a S ，
0102
)
(10611111>=+=
a a a S ，选Ｂ．
２．Ａ 22+k a ＝2a ＋22+k a ，即12111
12+++=k k q a q a q a ，0122=+-k k q q ，∴ 1=k q ，
q ＝1，选Ａ．
３．１ 由0232325=-+a a a 得023732
3=-+a a a a ，37332)(a a a a =+，273=+a a 12
27
3735=+=+=
a a
b b b ． ４．Ｃ 由514=a 得525=a 546=a 337=a 518=a 故5
3
72007==a a ，选C ５．51 令1
)5
2(-=n t ，则0＜t ≤1，t t a n 452-=
由函数的图象得：当t ＝52，即n ＝2时，取最小值5
4
2-=a ，
当t ＝1，即n ＝1时，取最大值1a ＝1，故1a ＋2a ＝5
1
．
６．1024
1 10241
10241)21()21(2121121018219202122========a a a a a a a ．
７．（Ⅰ）由题可知：()x f 与函数()
()01>-=a x a y 互为反函数
∴ ()12
+=a
x x f 定义域为{x|x≥0}， 因为点() ,3,2,1,=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
n n S a P n n n 在函数()x f 的图像上，∴ 12
+=a
a
n S n n () ,3,2,1=n ①
令1=n 可得 12
11+=a
a
S ，∵ 11=a ，211==b S ，解得，1=a ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得()12
+=x x f ，①式可化为：
12
+=n n a n
S () ,3,2,1=n 直线n l 的方程为：n n
a x n
S y -=-
，() ,3,2,1=n ， 令0=x ，得n n a n
S y -=
，又因为n l 在ｙ轴上的截距为()131
+n b
∴
n n a n
S -=()131
+n b
结合①式可得：2332
+-=n n n a a b ．。