指数函数对数函数交点个数问题

指数函数、对数函数图像交点问题
反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，函数的反函数，本身也是一个函数。

在实际教学过程中，我们除了从定义的角度把反函数讲解清晰之外，譬如：从映射的角度可知,函数y=f(x)是定义域集合A 到值域C 的映射,它的反函数y =f -1（x ）是集合C 到集合A 的映射，再结合函数的定义可知，只有一一映射的函数才存在反函数。

我们还应该把握从抽象到直观，再从直观到抽象相结合的传授知识的基本原则，给学生的一个形象、直观的认识。

正是基于这个原因，中学数学教材中引进了作为一种重要的函数和互为反函数的典型例子的指数函数、对数函数。

一、分析反函数的定义可知，原函数与反函数图像如果有交点，它们必然关于y=x 对称；若原函数与直线y=x 有交点，则反函数图像也必与y=x 相交且交点重合。

为了验证上面的结论，我分别给了学生以下几个例子
（1）12-=x y 函数与它的反函数2
121+=x y 图像只有一个交点)1,1(，且在y=x 上。

（2）函数3x y =与它的反函数3
1x y =的图像有三个交点)1,1()0,0()1,1(、、--，且都在y=x 上。

（3）函数x
y 1=的反函数是它自身，故反比例函数与它的反函数
图像有无数个交点，其中有两个)1,1()1,1(、--在y=x 上。

引入此例是为了说明若原函数图像与反函数图像的交点不在y=x 上则一定对称地、成对出现在y=x 两侧，因为太特殊，解释起来有点牵强，所以我们引
进了第4个例子（是用一种引导的方式给出的）。

（4）若点)2,1(既在函数b ax y +=图像上，也在其反函数图像上，求a ，b 的值。

经过计算7,3=-=b a ，也就是说点)1,2()2,1(、既在函数73x y +-=图像上，也在其反函数图像上，验证了我们上述的观点。

在学生从代数的角度验证、认同了这个结论后，为了给学生一个直观的认识，我打算利用几何画板为学生演示一下，结果发现，在电脑屏幕上不能清晰地显示图像的交点（如左下图）；把方程中的7改成8之后，清晰地显示出了交点（图右下图）
至此，从数和直观的角度，学生对原函数与反函数图像的交点问题有了一个初步的认识。

二、指数函数与对数函数：指数函数与对数函数互为反函数，在研究对数函数性质时，我们完全可根据已经得到的指数函数的性质去研究：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，以及自己独有的性质，这其中就包括它们图像的交点问题。

先讨论当a >1时，函数x y a y a x log ==与图
像的交点。

（1） 函数x y y x 3log 3==与的图像，如右图
没有交点
（2） 函数x y )2(=与x y 2log =的图像有
两个交点)4,4(),2,2(，图像如右图
综合（1）、（2），学生认识到当a>1时
x y a y a x log ==与的图像并不是我们想象的那
样，没有公共点，
由此学生自然联想到，x a y =x y a log =与的图像有没有可能只 有一个公共点，经过思考回答是肯定的，关键是什么时候没有， 什么时候一个，什么时候两个，观察图像无法得出结论， 必须进行定量研究。

从有一个公共点，即相切的位置入手，
从代数角度看只需联立方程0=-⇒⎩⎨⎧==x a x
y a y x x 让方程只有一个
根即可，属于超越方程，无法用常规方法解，利用导数解法如下：
()
1ln 1ln 1ln 111=⇒=⎪⎩⎪⎨⎧⇒==⎩⎨⎧⇒='=x x x a a x a a x a x x x x x ∴e
e e a e a e x 1,,===即得，现考虑x a x
f x -=)(的最小值，由1ln )(-='a a x f x 知，当01ln =-a a x 时，得唯一的零点，a a
x a a ln log ln 1log 0-==，使)ln log (a f a -'=0 当a x a ln log -<时，由a>1时指数函数的单调性，有)(,ln 1x f a
a x '<=01ln <-a a x ，所以f(x)单调递减 当a x a ln log ->时，由a>1时指数函数的单调性，有='>)(,ln 1x f a
a x 01ln >-a a x ，所以f(x)单调递增 所以，当a x a ln log -=时，a a x f x -=)(取得最小值
a
a a f a ln ln ln 1)ln log (+=-又因为),1(0ln >>a a 所以只需判断a ln ln 1+的正负，就可判断)(x f 最小值的正负
1 当e e a 1
>时，0ln ln 111ln ln ln 1ln ln 1>+⇒-=>⇒=>a e
a e e a e ,0ln ln ln 1)ln log (>+=-⇒a a a f a 得x a a
a x a x x >>+≥-有,0ln ln ln 1，即函数 x a y =的图像始终在y=x 的上方，x y a log =得图像始终在y=x 的下方，所以方程x a a x log =无解，即函数x a y =与x y a log =的图像无交点
2 当e e a 1=时，⇒=+⇒-==⇒==0ln ln 111ln ln ln 1ln ln 1a e
a e e a e 0ln ln ln 1)ln log (=+=-a
a a f a 由 1讨论x
a x f x -=)(的单调性可知，除0)(ln log >-=-=x a x f a x x a ，外得e x e a x a 1,=>即时，函数
)log (x y a y a x ==的图像在a x a ln log -=时与y=x 相切，其余部分均在y=x 上（下）方，所以方程x a a x log =有唯一解
3 当e e a 11<<时，有0ln ln ln 1)ln log (0ln ln 1<+=-⇒<+a a a f a a ，又由e e a 1
1<<，有0ln log 0ln log 1ln 0>-⇒<⇒<<a a e a a a ，
取01=x ，有f(x 1)=a 0-0=1>0，由L'HOSPITAL RULE 得
=''=+∞→+∞→)()(lim lim x a x a x x x x 1ln lim a a x x +∞→，又∵a >1, ∴+∞=+∞→1
ln a a im l x x ，所以存在a x a ln log 2->，使得0)(222>-=x a x f x ，由函数的单调性和连续性可知，必存在)ln log ,(a m a --∞∈),ln log (+∞-∈a n a ，使得n a m a n m ==,，由单调性可知，解唯一
∴函数x a y =与y=x 的图像在)ln log ,(a a --∞和),ln log (+∞-a a 上各有一个交点，即函数x a y =与x y a log =的图像在)ln log ,(a a --∞和),ln log (+∞-a a 上各有一个交点，共两个交点
第二种情况：当0<a <1时，
（1）函数x y y x
3
1log 31=⎪⎭⎫ ⎝⎛=与的图像 （2）函数x y y x 16
1log 161=⎪⎭⎫ ⎝⎛=与
容易验证，点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41,41,21既在 x
y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=161的图像上，又在x y 161log =的图像上 ∵x
y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=161与y=x 有一交点（可根据函数的单调性和连续性），
∴x y y x 161log 161=⎪⎭⎫ ⎝⎛=与的图像还有另一交点在y=x 上，共有三个交
点
从代数角度可以验证，但图像非常不清
楚，改动数据为x y y x
661log 661=⎪⎭⎫ ⎝⎛=与 如右图清晰的显示了图像的交点
由函数的单调性和连续性，我们可以得
出，当0<a <1时函数x y a y a x log ==与的图像不可能与y=x 的图像相切，所以它们的交点情况共有以下几种：一个、或三个。

至此，我们就把互为反函数图像的交点问题、指数函数与对数函
数图像的交点问题弄清楚了，可构造命题如下：
1． 在点⎪⎭
⎫ ⎝⎛41,21),3,2(),2,1(),1,1(N M Q P 四点中，函数x a y =的图象与反函数的图象的公共点只可能是（ ）
A ．P
B ．Q
C ．M
D ．N
2．下列命题
① 若点（m,n ）在函数x a y =图象上，则点（n,m ）在函数x y a log =图象上
② 当a >1时，函数x y a log =的图象与直线y=x 无公共点 ③ 若点（m,n ）既在函数x a y =图象上，也在函数x y a log =图象上，则m=n
④ 当0<a<1时，函数x a y =的图象与直线y=x 有且只有一个公共点
其中正确的命题的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3．已知a >1,则方程|log |x a a x =实根的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．1个或2个
D ．1个或2个或3个
4．已知0<a<1，则方程|log |||x a a x =的实根的个数为（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．2个或3个
D ．2个或4个
5．已知0<a<1，则方程0|||log |||=-x a a x 的实根的个数为（ ）
A ．2个
B ．4个
C．2个或4个 D．4个或8个
6．求a的取值范围，使方程)1
x的实根的个数为
-a
x
a
=
log>
(
a
①0个；②1个；③2个。