湖南衡阳第八中学2019届高三上学期第二次月考数学(理)试题及答案
湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第二次月考试题数学(理)试卷(含答案)
（Ⅰ）若 a 3,b 2 ，求 h x的极值；
（Ⅱ）若函数
y
h x的两个零点为
x1, x2
x1
x2 ，记
x0
x1
2
x2
，证明：
hx0 0 ．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4：坐标系与参数方程（本题 12 分）
理科数学答案
命题人：罗欢
审题人：彭韬
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 D A D C B D D A C C C B
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.设集合 A＝[－1，2]，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则 A∩B＝( D )
衡阳市八中 2019 届高三第二次月考试题 理科数学
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.设集合 A＝[－1，2]，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则 A∩B＝( )
A.[1，4]
B.[1，2]
C.[－1，0]
D.[0，2]
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
1 2
，再向右平移
6
个单
位长度，得到函数 y g x的图象，则 y g x图象的一条对称轴是直线（ ）
A. x 12
B. x 6
C. x 3
D. x 2 3
10.已知 RtABC ，点 D 为斜边 BC 的中点， AB 6 2 ,
湖南省衡阳八中2019届高三上学期第二次月考数学(理科)试题
2018-2019学年湖南省衡阳八中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合[]1,2A =-，B ={}2,y y x x A =∈，则A B =（ ） A ．[]1,4B ．[]1,2C ．[]1,0-D ．[]0,22．设i 是虚数单位，复数1a ii++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．23．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 中，2a ，7a 是函数()242f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前8项和等于（ ）A ．﹣16B ．8C ．16D ．5．下列命题错误的是（ ）A ．命题“0x R ∃∈，20013x x +＞”的否定是“x R ∀∈，213x x +≤”B ．若p q ∧是假命题，则p ，q 都是假命题C ．双曲线22123x y -=的焦距为D ．设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a α∈，且//b a 6．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ） A ．45B ．35C ．45-D ．35-7．已知函数()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-=∈则()1f x dx π-⎰=（ ） A ．2π+ B ．2πC ．22π-+D ．24π-8．若()1,1x e -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，lnx c e =，则（ ）A ．b c a ＞＞B ．c b a ＞＞C ．b a c ＞＞D ．a b c ＞＞9．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（ ） A ．23x π=B ．3x π=C ．6x π=D ．12x π=10．已知Rt ABC ，点D 为斜边BC 的中点，62AB =，6AC =，12AE ED =，则A EE B等于（ ）A ．﹣14B ．﹣9C ．9D ．1411．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．316πB ．318πC ．48164πD 12．若函数()y f x =，x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时，()()212,0122,12x x f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪-⎩≤≤＜＜函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量a 与b 的夹角为30︒，且1a =，21a b -=，则b = ．14．设实数,x y 满足约束条件220402x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤，则yz x =的最大值是 ．15．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢．若甲先拿，则下列说法正确的有： ．①若4n =，则甲有必赢的策略； ②若6n =，则乙有必赢的策略； ③若7n =，则乙有必赢的策略； ④若9n =，则甲有必赢的策略．16．ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足4b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1a =，D 是以BC 为直径的圆上一点，则AD 的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．如图，已知AD 是ABC 内角BAC ∠的角平分线． （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求AD 的长．18．如图，OAB 由0y =，8x =，2y x =围成的曲边三角形，在曲线弧OB 上有一点()2,M t t ， （1）求以M 为切点2y x =的切线l 方程；（2）若l 与0y =，8x =两直线分别交于,P Q 两点，试确定M 的位置，使PQA 面积最大．19．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD 为等边三角形，2AD D E AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求二面角C BE D --的余弦值的大小．20．若数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足11b =，22b =，且1n n n n a b b nb ++=． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 满足11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--+＜对一切n N *∈，求实数λ的取值范围．21．已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =- （Ⅰ）若3a =，2b =，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为1x ，()212x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '＜． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题12分）22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，若8AB =，求α的值． [选修4-5：不等式选讲]（本题12分）23．已知定义在R 上的函数()f x x m x =-+，m N *∈，若存在实数x 使得()2f x ＜成立． （1）求实数m 的值；（2）若,1αβ＞，()()6f f αβ+=，求证：4194αβ+≥．2018-2019学年湖南省衡阳八中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】先分别求出集合A 和B ，由此利用交集定义能求出A B ． 【解答】解：∵集合[]1,2A =-，{}[]2,0,4B y y x x A ==∈=，∴[]0,2A B =． 故选：D ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简1a ii++，由整理出实部和虚部，由纯虚数的定义列出方程组，求出a 的值．【解答】解：由题意得，()()()()()1111112a i i a a ia i i i i +-++-+==++- 1122a a i +-=+， 因为复数1a ii ++为纯虚数，所以102102a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-， 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，以及纯复数的定义的应用，属于基础题． 3．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当()0f x '＜时，函数()f x 单调递减，当()0f x '＞时，函数()f x 单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数()y f x =的图象可能【解答】解：由当()0f x '＜时，函数()f x 单调递减，当()0f x '＞时，函数()f x 单调递增， 则由导函数()y f x '=的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A ，C ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B ， 故选：D ．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．4．【分析】由韦达定理得274a a +=，从而{}n a 的前8项和()8274S a a =+，由此能求出结果． 【解答】解：∵等差数列{}n a 中，2a ，7a 是函数()242f x x x =-+的两个零点， ∴274a a +=，∴{}n a 的前8项和()82744416S a a =+=⨯=． 故选：C ．【点评】本题考查等差数列的前8项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．【分析】利用命题的否定形式判断A 的正误；复合命题的真假判断B 的正误；双曲线的焦距判断C 正误；异面直线的位置关系判断D 的正误．【解答】解：命题“0x R ∃∈，20013x x +＞”的否定是“x R ∀∈，213x x +≤”满足命题的否定形式，A 正确；若p q ∧是假命题，则p ，q 都是假命题，不正确，因为两个命题一个是假命题，则p q ∧是假命题，所以B 不正确；双曲线22123x y -=的焦距为，正确；设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a α⊂，且//b α，满足直线与平面平行的判定定理，平面的基本性质，所以D 正确； 故选：B ．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查． 6．【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos sin sin sin 424445x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D ．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．7．【分析】由21cos 2arcsin cos 22t x tdt dt C +=⎰=⎰=+，得到()()0110100arcsin sin cos 2x f x dx xdx x πππ---⎛⎰=⎰+⎰=+- ⎝⎭， 由此能求出结果．【解答】解：∵()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-=∈，21cos2cos 2ttdt dt +=⎰=⎰sin 2arcsin 242t t x C C =++=++，∴()1100sin f x dx xdxππ--⎰=⎰+⎰()010arcsin cos 2x x π-⎛=+- ⎝⎭=﹣2．故选：D ．【点评】本题考查函数的定积分的求法，考查导数、不定积分、定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．【分析】利用对数函数的单调性判断出0a ＜；由于,b c 的指数相同，所以研究一个幂函数的单调性；利用幂函数的单调性判断出,b c 的大小，,b c 都是幂得到,b c 全正，比较出,,a b c 的大小．【解答】解：∵()1,1x e -∈ ∴ln ln10a x ==＜即0a ＜考察幂函数()ln x f t t = ∵ln 0x ＜∴当t ＞0时，()f t 是减函数 ∵12e ＜∴ln ln 102xx b c e ⎛⎫== ⎪⎝⎭＞＞所以有b c a ＞＞ 故选：A ．【点评】本题考查利用对数函数的单调性比较大小、考查利用幂函数的单调性比较大小． 9．【分析】首先利用正弦函数的图象的伸缩变换和平移变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．【解答】解：将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到：y=sin （2x+）的图象，再向右平移6π个单位长度， 得到函数：()sin 2sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，令262x k πππ-=+()k Z ∈，解得：23k x ππ=+()k Z ∈， 当0k =时，3x π=．故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用．10．【分析】建立坐标系，求出各点坐标再计算数量积． 【解答】解：以AC ，AB 为坐标轴建立平面直角坐标系，则()6,0C ，(B ，∴(D ，∵12AE ED =，∴(E ，∴(AE =，(EB =-， ∴AE EB =﹣1+10=9． 故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．11．【分析】可得该几何体是六棱锥，底面是正六边形，有一条侧面垂直底面．过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF 的外心M 作面PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心，根据三视图的数据求出球的半径即可．【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥P ABCDEF -，底面是正六边形，有一PAF 侧面垂直底面，且P 在底面的投影为AF 中点，过底面中心N 作底面垂线，过侧面PAF 的外心M 作面PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心O ， 设PAF 的外接圆半径为r ，()222122r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得1716r =，∴1516MH ON ==，则该几何体的外接球的半径R ，∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是2481464S R ππ==． 故选：C ．【点评】本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查几何体三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，是中档题．12．【分析】根据题意，由函数()f x 在[)0,2上的解析式，分析可得函数()f x 在[)0,2上的最值，结合a 级类周期函数的含义，分析可得()f x 在[]6,8上的最大值，对于函数()g x ，对其求导分析可得()g x 在区间()0,+∞上的最小值；进而分析，将原问题转化为()()min max g x f x ≤的问题，即可得382m +≤，解可得m 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数()f x ，当[)0,2x ∈时，()()212,0122,12x x f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪-⎩≤≤＜＜，分析可得：当01x ≤≤时，()2122f x x =-，有最大值()102f =，最小值()312f =-，当12x ＜＜时，()()2f x f x =-，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则此时有()3122f x -＜＜， 又由函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =； 则在[)6,8∈上，()()326f x f x =-，则有()124f x -≤≤， 则()()()()()82644821608f f f f f =====，则函数()f x 在区间[]6,8上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数()212ln 2g x x x x m =-+++，有()()()212221x x x x g x x x x x-++-'=-++==， 分析可得：在()0,1上，()0g x '＜，函数()g x 为减函数，在()1,+∞上，()0g x '＞，函数()g x 为增函数， 则函数()g x 在()0,1上，由最小值()312f m =+， 若[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立， 必有()()min max g x f x ≤，即382m +≤， 解可得132m ≤，即m 的取值范围为13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故选：B ．【点评】本题考查函数的最值问题，注意将题目中“[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立”转化为函数的最值问题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【分析】根据,30a b =︒＜＞，1a =，对21a b -=的两边平方即可得出关于b 的方程，解方程即可得出b 的值．【解答】解：,30a b =︒＜＞，1a =，21a b -=； ∴()2222244cos304231a ba ab b b b -=-︒+=-+=；∴22330b b -+=； 解得3b =．【点评】考查向量夹角的概念，以及向量数量积的运算及计算公式．14．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识求出y z x=的最小值． 【解答】解：由y z x=的几何意义可知可行域内的点与坐标原点连线的斜率，作出实数,x y 满足约束条件220402x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤可行域如图：yz x=经过点A 时， 直线的斜率最大，由24y x y =⎧⎨+=⎩，解得()2,2A ．此时yz x=的最大值为：1， 故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 15． 【分析】考虑n 与4的关系，调整甲、乙取球的个数，可使赢球的可能性． 【解答】解：若4n =，由于甲先拿，最多3个，一定是乙赢，故①错误；若6n =，由于甲先拿，最少1个，最多3个，可以甲最多拿2个，甲可以拿到最后一个球， 则甲有必赢的策略，故②错误；若7n =，由于甲先拿，最少1个，最多3个，则甲有必赢的策略，故③错误； 若9n =，由于甲先拿，最少1个，最多3个，不管怎样甲可以拿到最后一个球， 甲有必赢的策略，故④正确． 故答案为：④．【点评】本题考查取球游戏，考查取胜的策略，考查推理能力，属于基础题．16．【分析】根据4b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a=1，利用正弦定理和三角形内角和定理即可求解A ，作ABC的外接圆，当AD 经过ABC 的外接圆的圆心且垂直于BC 时，AD 最大．即可求解．【解答】解：由4b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1a =，得a s i n 4b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦定理sin sin 4B A C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（C +），∴()sin sin 4A C A C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，可得cos sin sin sin A C A C =．∵sin 0C ≠， ∴cos sin A A = 即4A π=．作ABC 的外接圆，当AD 经过ABC 的外接圆的圆心且垂直于BC 时，AD 最大．设BC 中点为O ，此时OA=112tan 2tan 8OB OAB π==∠．那么：AD =OA OD +112+=+．1+．【点评】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理以及△ABC 的外接圆的最大值问题．属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【分析】（1）根据AD 是BAC ∠的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立； （2）根据余弦定理，先求出BC 的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出AD 的长． 【解答】解：（1）∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴BAD CAD ∠=∠， 根据正弦定理，在ABC 中，sin sin BAD ADBBD BA∠∠=， 在ADC 中，sin sin DAC ADCDC AC∠∠=，∵()sin sin sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠， ∴sin sin BAD DB ADB AB ∠=∠，sin sin DAC DC ADC AC ∠=∠，∴AB DBAC DC=； （2）根据余弦定理，222cos 2BA AC BC BAC AB AC+-∠=⋅⋅，即22221cos120221BC +-︒=⨯⨯，解得BC = 又AB DBAC DC =， ∴21DB DC =， 解得CD，BD； 设AD x =，则在ABD 与ADC 中， 根据余弦定理得，cos 60︒=22121x x +-⎝⎭⋅⋅， 且cos 60︒=222222x x +-⎝⎭⋅⋅， 解得23x =，即AD 的长为23．【点评】本题考查了角平分线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目． 18． 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，再用点斜式求得切线方程； （2）利用切线方程，得到,P Q 两点坐标．求出面积后，用导数方法求得最大值． 【解答】解：（1）∵2y x =，∴2y x '=，∴切线的斜率为2t ，∴切线方程为()()2208y t t x t t -=-＜≤，（2）令0y =，得2t x =，∴,02tP ⎛⎫⎪⎝⎭；令8x =，得216y t t =-，∴()28,16Q t t - ∴()232118162064224PQAt St t t t t ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 通过求导得知：当163t =时，面积取得最大值，此时16256,39M ⎛⎫⎪⎝⎭．【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，属中档题．19．【分析】（1）设22AD DE AB a ===，以AC ，AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF ∥平面BCE ．（2）求出平面BCE 的一个法向量和设平面BDE 的一个法向量，利用向量法能证明二面角C BED --的余弦值．【解答】证明：（1）设22AD DE AB a ===，以AC ，AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立如图所示的坐标系，()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,,,0,,2A C a B a D a E a a ．∵F 为CD 的中点，∴32a F ⎛⎫⎪⎪⎝⎭．32AF a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(),BE a a =，()2,0,BC a a =-， ∴()12AF BE BC =+，AF ⊄平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE ．解：（2）设平面BCE 的一个法向量m =(),,x y z ，则020m BE ax az m BC ax az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得()1,m =．设平面BDE 的一个法向量m =(),,x y z ，(),BD a a =-，则00n BE ax az n BD ax az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令x =()3,1,0n =-．∴6cos m n m n m n⋅=⋅＜,＞=．故二面角C BE D --的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20． 【分析】（I ）数列{}n b 满足11b =，22b =，且1n n n n a b b nb ++=．可得112a +=，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．可得12n n nb nb +=，化为12n n b b +=，利用等比数列的通项公式可得n b ． （Ⅱ）设数列{}n c 满足111222n n n n n a n nc b -++===，利用“错位相减法”可得数列{}n c 的前n 项和为n T ，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出．【解答】解：（I ）∵数列{}n b 满足11b =，22b =，且1n n n n a b b nb ++=． ∴112a +=，解得11a =．又数列{}n a 是公差为2的等差数列， ∴()12121n a n n =+-=-． ∴12n n nb nb +=，化为12n n b b +=， ∴数列{}n b 是等比数列，公比为2． ∴12n n b -=．（Ⅱ）设数列{}n c 满足111222n n n n n a n nc b -++===， 数列{}n c 的前n 项和为21231222n n nT -=++++， ∴21112122222n n nn nT --=++++， ∴2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--， ∴n T =1242n n -+-． 不等式()112nn n n T λ--+＜，化为：()12142nn λ---＜，()2n k k N *=∈时，1242n λ--＜，∴3λ＜． ()21n k k N *=-∈时，1242n λ---＜，∴2λ-＞．综上可得：实数λ的取值范围是()2,3-．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、数列递推关系、“错位相减法”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 21． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出()()()121211*********212ln 21x x x x x x x h x x x a b x x x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫+⎝⎭'-=---=- ⎪+⎝⎭+．令()1201x t t x =＜＜，则()()()21ln 011t r t t t t -=-+＜＜，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵()()23ln 2,0,2h x x x x x =--∈+∞，∴()()()()2311132132,0,x x x x h x x x x x x--+--+'=--==∈+∞ 令∴()()()3110x x h x x--+'==得：13x =当103x ＜＜时，()0h x '＞，即()h x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当13x ＞时，()0h x '＜，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()15ln 336h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极大值，()h x 极小值不存在．（Ⅱ）证明：∵函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，不妨设120x x ＜＜， ∴()21111ln 02a h x x x bx =-=，()222222ln 02h x x x bx =-=， ∴()()2212111222ln ln 22a a h x h x x x bx x x bx -=--- =()()22121212ln ln 02a x x x xb x x ----= 即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+- 又∵()()()()1h x f x g x ax b x'''=-=-+，1202x x x +=， ∴()1201222x x h x ab x x +⎛⎫'=-+ ⎪+⎝⎭， ∴()()()12120121222x x x x h x x x a b x x ⎛⎫+'-=---⎪+⎝⎭=()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤--+-⎢⎥+⎣⎦ =()()1212122ln ln x x x x x x ---+=12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+．令()1201x t t x =＜＜，则()()()21ln 011t r t t t t -=-+＜＜， ∴()()()()222141011t r t t t t t--'=-=++＜， ∴()r t 在()0,1上单调递减，故()()10r t r =＞，∴12112221ln 01x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+＞，∴()()120x x h x '-＞0，又∵120x x -＜，∴()00h x '＜．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想以及不等式的证明，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题12分）22． 【分析】（Ⅰ）直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 普通方程，曲线C 的极坐标方程转化为22cos 4sin ρθρθ=，再由cos x ρθ=，sin y ρθ=，能求出曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）代入曲线C ：24x y =，得到：22cos 4sin 40t t αα--=，由此利用弦长公式能求出α的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）．∴消去参数t ，得直线l 普通方程为sin cos cos 0ax ay α-+=， ∵曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=，即22cos 4sin ρθρθ=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为C ：24x y =．… （Ⅱ）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）代入曲线C ：24x y =，得到：22cos 4sin 40t t αα--=，…（8分）∴122488cos AB t t α=-===，∴cos α=，∴4πα=或34πα=．…【点评】本题考查直线的普通方程与曲线的直角坐标方程的求法，考查α的求法，考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]（本题12分）23． 【分析】（1）x m x x m x m -+--=≥，要使2x m x -+＜有解，则2m ＜，m N *∈，解得m ；（2）,1αβ＞，()()21216f f αβαβ+=-+-=，可得4αβ+=．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵x m x x m x m -+--=≥， ∴要使2x m x -+＜有解，则2m ＜，解得22m -＜＜． ∵m N *∈，∴1m =．（2）证明：,1αβ＞，()()21216f f αβαβ+=-+-=， ∴4αβ+=， ∴()411414αβαβαβ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥ =141955444βααββ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当4βααβ=即83α=，43β=时“=”成立，故4194αβ+≥．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第二次月考试题数学(文)Word版含答案
衡阳市八中2019届咼三第二次月考试题文科数学命题人：彭源审题人：吕建设请注意：时量120分钟满分150分第I卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分•在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求•1•已知集合A= {1,2,3,4} , B = {x x 二 n2,n ? A}，则A“B二（）A. {1,2}B.{1,4}C.{2,3}D.{9,16}b + i2*•已知复数a+ 2i = （a,b是实数），其中i是虚数单位，则复数a+ bi的共轭复数是i（）A. 1+ 2iB.- 1+ 2iC.1- 2iD.- 1- 2ip 13*•已知直线l的倾斜角为q且过点（、、3,1），其中sin（q- £）=-，则直线l的方程为（）A. \ 3x- y- 2=0 B.3x + y - 4 = 0 C. x-、、3y = 0 D.3x+ 3y- 6= 04•中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第2天走了（）A • 24 里 B. 48 里 C • 96 里D.192 里b= log23, c = log4 7，则a,b,c 的大小关系为(6.已知向量a, b满足|a | = 1 , |a，b|—-7 ,A.PB.PC.2pD.虫A. a < b < cB. b < a < cC. c < a < bD. a< c< bb = 0 3, -1），则a, b的夹角等于（7•已知x, y满足约束条件右z= ax+ y的最大值为4，贝U a=（）A. 3B.2C.- 2D.- 35.已知a =3 6 3 68.设D,E,F 分别为DABC 三边BC,CA, AB 的中点，贝U EB+ FC =(f (2)= o ,则下列说法正确的是(范围为()第n 卷(非选择题，共 90分)4小题，每小题5分，共20分•把答案填在答题卡的相应位置.2 p13*.若 sin 2q= ?,，贝y cos (q+ -)=14.若过点P(2,3)作圆M :x 2 - 2x+ y 2= 0的切线I ，则直线l 的方程为 A. (- ? ,e]B. (- ? ,e)C. (- e, + ?)D.[- e,+ ?) 1 H A. BC 2 1 B. AD 2 C. BC D .T D2的正方体ABCD- A i B 1C 1D 1中，A^的中点是过点A 作与 截面PBC 平行的截面，则该截面的面积为A2、2 B2..3 C.2..6 D. 4大值，则d 的取值范围是 ai = 21， 公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当 n = 8时S n 取得最 ( ) 217A.卜 3,- )B.(- ,- 3) 8 2C. (- 3,- 21)D. [-?-3)11.已知函数 f(x)= 2si n( wx+j)(w> < p 相邻两条对称轴间的距离为A. w= 2B. 函数 y= f(x- p)是偶函数C.函数f(x)的图象关于点(乎，0)对称D. 函数 f(x)在轾p,- p 上单调递增12.已知函数f (x)=x —+ k(ln x- x)，若 x = 1 是函数 x f (x)的唯一极值点，贝U 实数k 的取值二、填空题：本大题共 9•如图，在棱长为 10*.在等差数列中｛a ｝。
湖南省衡阳市第八中学2019届高三数学上学期第二次月考试题文
衡阳市八中2019届高三第二次月考试题文科数学请注意： 时量120分钟 满分150分第I 卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求. 1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x x n n A ==?，则AB = ( )A.{}1,2B.{}1,4C.{}2,3D.{}9,16 2*.已知复数2b ia i i++=(,a b 是实数)，其中i 是虚数单位，则复数a bi +的共轭复数是( )A.12i +B.12i -+C.12i -D.12i --3*.已知直线l 的倾斜角为q且过点，其中1sin()22p q-=，则直线l 的方程为( )20y --=40y +-=C.0x -=360y +-=4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( )A ．24里 B. 48里 C ．96里 D.192里5.已知13241,log 3,log 72a b c 骣÷ç===÷ç÷ç桫，则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c << B.b a c << C.c a b << D.a c b << 6.已知向量,a b 满足||1=a，||+=a b1)=-b ，则,a b 的夹角等于( )A.3p B.6p C.23p D.56p 7.已知,x y 满足约束条件020x y x y y ì-?ïïï+?íïï³ïïî，若z ax y =+的最大值为4，则a =( )A.3B.2C.2-D.3-8.设,,D E F 分别为ABC D 三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( )C A 1A.12BC B.12AD C.BC D.AD 9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，11AB 的中点是P ，过点1A作与 截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( )A.410*.在等差数列中{}n a ，121a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围是( ) A. 21[3,)8--B.7(,3)2--C. 21(3,)8--D. 7[,3)2--11.已知函数()2sin()(0,0)f x x =w +j w><j <p 相邻两条对称轴间的距离为32p，且()02f p=，则下列说法正确的是( ) A. 2w= B. 函数()y f x =-p 是偶函数 C. 函数()f x 的图象关于点3(,0)4p 对称 D. 函数()f x 在,2轾p犏-p -犏臌上单调递增12.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为( )A. (,]e -?B.(,)e -?C.(,)e -+?D.[,)e -+?第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13*.若1sin 2,2q=，则2cos ()4pq+= . 14.若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为 .15*.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积是_______2cm ．16*.己知实数,,,a b c d 满足2ln ,21b a d c ==+，则22()()a c b d -+-的最小值 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.(本小题12分) ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知c o ss 3.C c a -= (1)求B ；(2)若3,7,a b D ==为AC边上一点，且sin 3BDC ?，求BD .18*.(本小题12分) 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且*2()n n S a n n N =-?．(1)证明：{}1n a +是等比数列；(2) 若数列2log (1)n n b a =+，求数列21211n n b b -+禳镲镲睚镲镲铪的前n 项和n T ．19.(本小题12分) 如图在三棱柱111ABC A BC -中，12AB AA CA CB ====，13BAA p?. (1)证明：1AB AC ^；(2*)若11cos 4CAA ?，求四棱锥111A BB C C -的体积.B 1C 120*.(本小题12分) 已知过点(0,2)P -的圆M 的圆心在x 轴的非负半轴．．．．上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为(1)求圆M 的标准方程；(2)若过点(0,1)Q 的直线l 交圆M 于,A B 两点，求当PAB D 的面积最大时直线l 的方程.21*.(本小题12分) 已知函数1ln ()(1),2a xf x x a x=+--，其中a R Î．(1)试讨论函数()()F x xf x =的单调性；(2)若a Z Î，且函数()f x 有两个零点，求实数a 的最小值．22.(本小题10分) (选修4-5：不等式选讲) 已知不等式|||3|6x x x +-<+的解集为(,)m n ．(1)求,m n 的值；(2)若0,0,0x y nx y m >>++=，求证：16x y xy +?．衡阳市八中2019届高三第二次月考试题文科数学参考答案命题人：彭源 审题人：吕建设请注意： 时量120分钟 满分150分第I 卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求. 1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x x n n A ==?，则AB = ( B )A.{}1,2B.{}1,4C.{}2,3D.{}9,16 2*.已知复数2b ia i i++= (,a b 是实数)，其中i 是虚数单位，则复数a bi +的共轭复数是( A )A.12i +B.12i -+C.12i -D.12i --3*.已知直线l 的倾斜角为q且过点，其中1sin()22p q-=，则直线l 的方程为( B )20y --=40y +-=C.0x -=360y +-=4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( C )A ．24里 B. 48里 C ．96里 D.192里5.已知13241,log 3,log 72a b c 骣÷ç===÷ç÷ç桫，则,,a b c 的大小关系为( D ) A. a b c << B.b a c << C.c a b << D.a c b << 6.已知向量,a b 满足||1=a，||+=a b1)=-b ，则,a b 的夹角等于( A )A.3p B.6p C.23p D.56p 7.已知,x y 满足约束条件020x y x y y ì-?ïïï+?íïï³ïïî，若z ax y =+的最大值为4，则a =( B )A.3B.2C.2-D.3-8.设,,D E F 分别为ABC D 三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( D )A.12BC B.12AD C.BC D.AD 9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，11A B 的中点是P ，过点1A作与 1截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( C )A.410*.在等差数列中{}n a ，121a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围是( C ) A. 21[3,)8--B.7(,3)2--C. 21(3,)8--D. 7[,3)2--11.已知函数()2sin()(0,0)f x x =w +j w><j <p 相邻两条对称轴间的距离为32p，且()02f p=，则下列说法正确的是( D ) A. 2w= B.函数()y f x =-p 是偶函数C. 函数()f x 的图象关于点3(,0)4p 对称D. 函数()f x 在,2轾p犏-p -犏臌上单调递增12.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为( A )A. (,]e -?B.(,)e -?C.(,)e -+?D.[,)e -+?第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.若1sin 2,2q=，则2cos ()4p q+= 14. 14.若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为 4310x y -+= 或 20x -= .15*.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积是_163p__2cm ．16*.己知实数,,,a b c d 满足2ln ,21b a d c ==+，则22()()a c b d -+-的最小值95. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.(本小题12分) ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知c o ss 3.C c a -= (1)求B ；(2)若3,7,a b D ==为AC边上一点，且sin 3BDC?，求BD . 解：(1)3cos sin cossin sin b C cB BC C B A -=\-=sin sin sin tan C B B C B \-=\=- 20,3B B p<<p \=(2)在ABC D 中，由2222cos b a c ac B =+-得23400c c +-=，5c ∴=由sin sin c b C B =得57sin 2sin sin 3C C π=∴=在BCD D 中，由sin sin BD a C BDC =∠得4514BD =.18*.(本小题12分) 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且*2()n n S a n n N =-?． (1)证明：{}1n a +是等比数列；(2) 若数列2log (1)n n b a =+，求数列21211n n b b -+禳镲镲睚镲镲铪的前n 项和n T ． 解：(1)当1n 时，111211S a a =-\=11122(1)21n n n n n n S a n S a n a a +++=-\=-+\=+112(1)n n a a +\+=+\{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得：212log 2nn n n a b n +=\==，212111111()(21)(21)22121n n b b n n n n -+\==--+-+111111(1)2335212121n nT n n n \=-+-++-=-++19.(本小题12分) 如图在三棱柱111ABC A BC -中，12AB AA CA CB ====，13BAA p?. (1)证明：1AB AC ^；(2*)若11cos 4CAA ?，求四棱锥111A BB C C -的体积.(1)证明：取AB 的中点O ，连结1,AO CO ，易证1,,AB AOAB CO ^^AB \^平面11,AOC AB AC \^(2)解：由22211112cos AC AA AC AA AC CAA =+-?得，1AC =，又2221111,AO CO AO CO AC AO CO ==\+=\^由(1)可知1AB AO ^，1AO \^平面ABC 1111111112223A BBC C ABC A B C A ABC A ABC ABC V V V V S AO ----D \=-===20*.(本小题12分) 已知过点(0,2)P -的圆M 的圆心在x 轴的非负半轴．．．．上，且圆M 截直线 20x y +-=所得弦长为1B 1C 1(1)求圆M 的方程；(2)若过点(0,1)Q 的直线l 交圆M 于,A B 两点，求当PAB D 的面积最大时直线l 的方程. 解：(1)设圆M 的方程为：222()(0)x a y r a -+=? 则圆心M 到直线20x y +-=由题意得：222242a r r ìï+=ïïïíï+=ïïïî由题意得204a r ì=ïïíï=ïî 所以所求圆M 的方程为：224x y +=(2) 由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+则圆心M 到直线lAB =(或由12()AB x x =+AB =又点(0,2)P -到直线l 的距离等于d=，所以13(42PAB S AB dD ==-因为20k ³，所以当0k =时，max()PAB S D =所以所求直线l 方程为：10y -=21*.(本小题12分) 已知函数1ln ()(1),2a x f x x a x=+--，其中a R Î．(1)试讨论函数()()F x xf x =的单调性；(2)若a Z Î，且函数()f x 有两个零点，求实数a 的最小值． 解：(1) 21()()(1)ln (0)2F x xf x x a x a x x ==+-->，则 (1)()()(1)a x x a F x x a x x+-¢=+--=当0a £时，()0F x ¢>，所以函数()F x 在(0,)+?上单调递增； 当0a >时，若(0,)a ，则()0F x ¢<，若(,)a +?，则()0F x ¢> 所以函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +?上单调递增；综上可知，当0a £时，，函数()F x 在(0,)+?上单调递增；当0a >时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +?上单调递增；(2) 函数()f x 有两个零点等价于21()(1)ln (0)2F x x a x a x x =+-->有两个零点. 由(1)可知，当0a £时，，函数()F x 在(0,)+?上单调递增，()F x 最多一个零点，不符合题意。
2019届湖南省长沙市、衡阳八中等十校高三第二次联考数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届湖南省长沙市、衡阳八中等十校高三第二次联考数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，则（）A. B. C. D.2. 若复数满足，（）A. B. C. D.3. 在各项为正数的等比数列中，，，则（）A. 144B. 121C. 169D. 1484. 长郡中学夏季运动会上，铁饼项目运动员往一矩形区域进行扔饼训练，该矩形长为6，宽为4，铁饼是半径为1的圆，该运动员总能将铁饼圆心仍在矩形区域内，则该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为（）A. B. C. D.5. 若抛物线的焦点到双曲线的渐进线的距离为，则抛物线的标准方程为（）A. B.C. 或________D. 或6. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7. 函数的图象大致为（）A. B. C.D.8. 已知，如果方程，，的根分别为，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.9. 执行如图所示的程序框图，如果输出的，则输入的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 1010. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.11. 三棱锥的三条侧棱互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离最大值为（）A. B. C. D.12. 已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.二、填空题13. 已知向量，满足，，，则__________ ．14. 在（）的展开式中，的偶数次的项系数之和比的奇数次的项系数之和大1，则的值为 __________ ．15. 在等差数列中，，，则 __________ ．16. 2016年被业界称为（虚拟现实技术）元年，未来技术将给教育、医疗、娱乐、商业、交通旅游等多领域带来极大改变，某教育设备生产企业有甲、乙两类产品，其中生产一件甲产品需团队投入15天时间，团队投入20天时间，总费用10万元，甲产品售价为15万元/件；生产一件乙产品需团队投入20天时间，团队投入16天时间，总费用15万元，乙产品售价为25万元/件，、两个团队分别独立运作．现某客户欲以不超过200万元订购该企业甲、乙两类产品，要求每类产品至少各3件，在期限180天内，为使企业总效益最佳，则最后交付的甲、乙两类产品数之和为 __________ ．三、解答题17. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求，的值．18. 在正方形中，的中点为点，的中点为点，沿将向上折起得到，使得面面，此时点位于点处．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求面与面所成二面角的正弦值．19. 为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示：p20. ly:宋体; font-size:11.5pt">班级宏志班珍珠班英才班精英班参赛人数 20 15 15 10（Ⅰ）从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率；（Ⅱ）现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的2人中宏志班的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望．21. 动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为．（Ⅰ）求的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且．证明：过和中点的直线过定点．22. 已知函数（）．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值与曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若，且当时，恒成立，求的最大值．（）23. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长．24. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）若不等式的解集是空集，求实数的取值范围；（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
2019年湖南省衡阳市第八中学高三上学期模拟检测数学(理)试题(详细解析)
于 E, F 两点，若 OE OA ，
OF OB ，（
, 0 ），则 的最小值为（
）
A. 2 3 7
B. 3 3 7
C. 3 2 3 7
D. 4 2 3 7
【答案】D
【解析】
由
A,M,D
三点共线可知，存在实数
t，使得
A. [3, 4]
B. (3, )
C. (, 4]
D. (3, 4]
【答案】D 【解析】 【分析】 化简集合 Q,根据集合的并集运算即可.
【详解】由题意得， P [0, 4] ， Q (3, 3) ， ∴ P Q (3, 4] ，故选 D.
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.
【详解】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率 p 30 3 ， 100 10
设军旗的面积为 S ，由题意可得：
S 112
3 10
，∴ S
3 10
112
363 10
mm2
.
本题选择 B 选项.
【点睛】本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题.
6.在 OAB 中， OA 4OC ， OB 2OD ， AD, BC 的交点为 M ，过 M 作动线 l 分别交线段 AC, BD
粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A. 726 mm2 5
B. 363 mm2 10
C. 363 mm2 5
3
D. 363 mm2 20
【答案】B
【解析】 【分析】
根据实验结果的古典概型概率，可知军旗面积与圆形金币面积的比值，即几何概型的概率，从而求解.
衡阳市八中高三第二次月考数学试题答案.docx
衡阳市八中2017届高三第二次月考数学试题答案 （考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数） 共150分，考试用时120分钟。
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 答案：B2.已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D3.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ， b ，c 的大小关系是（A ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到（ D ）A. 向右平移π6B. 向左平移π6C. 向右平移 π12D. 向左平移 π125．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（ B ）A ．227-B ．154C ．227D ．54-6. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（B ） A ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭7．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos = （ A ） A ．97-B ．31- C ．31 D ．978.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A )【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由xy a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A符合题意，故选A ．9．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ C ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B ．(10,)+∞C ．(1,2)(10,)⋃+∞D ．（1，2）10. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( B )A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞) 【答案】B11．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ B ）. A ．()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B.1,0log 2=∴=∴ab ab 从而的两根是方程则记,12521,,log 422t x x d c t b =+-=2416,2416,40),12(2<<∴<<∴<<-=abcd cd t t cd 而512π 3π-xy 2O12．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为)(x f '，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( A )A .1B .3C . 5D .1或3 【答案】A仅一个零点又时时)(,0)0(.0)()(0.0)(,0x f f x f x f x x f x ∴=>--=>∴<<二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B = 【答案】{1,4}14.以曲线x y 2cos =为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为45|2sin 21|2sin 212cos 2cos :434412434412=-=-=⎰⎰ππππππππx x xdxxdx S 解15．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则(0)f 的值是 .解：353(),,241234T T ππππω=--=∴=∴=把5(,2)12π代入，得552sin()22662k ππϕπϕπ+=⇒+=+ 2,,3223k k Z ππππϕπϕϕ∴=-+∈-<<∴=-()2sin(2)(0)2sin()333f x x f ππ∴=-∴=-=-16. 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式为_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x ex --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．三 解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
衡阳八中高三数学上第二次月考检测(文)
衡阳八中2019秋高三数学上第二次月考检测（文）衡阳八中2019秋高三数学上第二次月考检测（文）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是()A. B. C. D.3.已知点在第三象限，则角的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限4.函数的定义域为( )A. B. C. D.5.设则( )A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是( )A. 是奇函数B. 的图像关于直线对称C. 的周期是D. 的图像关于对称7.函数在(0，1)内有零点.则( )A.bB.bC.08. 函数的图象大致为( )9. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A. B.C. D.10.已知函数，若恒成立，则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)二、填空题：本大题共5小题。
每小题5分，请将答案填写在答卷相应的位置上。
11. 已知，则12.曲线y= 在x=1处的切线方程为___________13.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________14. 设集合M={(x，y)|x2+y2= ，，yR}，N={(x，y)| ，，yR}，若MN恰有两个子集，则由符合题意的构成的集合为______15.已知定义域为R的函数，则=________;的解集为___________ .三、解答题：本大题共6个小题(要有解答过程)。
16.(本小题满分12分)已知函数.(1) 求的值; (2) 若，求.17. (本小题满分12分)已知函数在x=1处有极小值1.(1)求的值;(2)求出函数f(x)的单调区间.18.(本小题满分12分)如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面, .(1)求证: .(2)若19. (本小题满分13分)已知函数。
高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。
湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何
湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练立体几何一、选择、填空题1、（常德市2019届高三上学期检测）如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为 A ．83(1)3π+ B ．43(2)π+ C ．43(2)3π+ D ．83(1)π+2、（衡阳八中2019届高三上学期第二次月考）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ C ）A.316π B. 318π C. 48164πD. 313148π3、（怀化市2019届高三统一模拟（二））某组合体的三视图如图所示.则该组合体的体积为 A. 4 B. 8 C.43 D. 834、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8B.16C.24D.485、（邵阳市2019届高三10月大联考）已知三棱锥P ABCA B C在球O的同一个-底面的3个顶点,,大圆上，且ABC-体积的最大值为23，则球△为正三角形，P为该球面上的点，若三棱锥P ABCO的表面积为( )A.12πB.16πC.32πD.64π6、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）已知E，F分别是三棱锥P ABC-的棱AP，EF=，则异面直线AB与PC所成的角为（）PC=，33BC的中点，6AB=，6A.120︒B.45︒C.30︒D.60︒7、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8、（益阳市2019届高三上学期期末考试）如图，—个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图、侧28，则x =视图都是图1，俯视图是图2，若得到的几何体表面积为A.3B. 4C.5D.69、（永州市2019届高三上学期第二次模拟）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（）①平面平面；②直线平面；③异面直线与所成角的取值范围是；④三棱锥的体积不变.A. ① ②B. ①②④C. ③④D. ①④10、（岳阳市2019届高三教学质量检测（一模））个几何体的三视图如右图所示，已知这个几何10，则h为体的体积为3A. 23B.3 C. 33 D. 3511、（长郡中学2019届高三第六次月考）在三棱锥 P —ABC 中，PA 丄平面 ABC ，∠BAC =32π，AP=3，AB =32, Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P —ABC 的外接球的表面积为A.π45B.π57C. π63D. π8412、（雅礼中学2019届高三第五次月考）如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD 1＝1，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是13、（株洲市2019届高三教学质量统一检测（一））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为CC 1的中点．若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（ ）A ．32+25B ． 4+42C ． 22+25D ．6214、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为(C)A.13B.12C.33D.3215、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三第二次调研联考）已知三棱锥的四个顶点都在半径为3的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是A ．B ．C ．D ． 6416、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3__．参考答案：1、C2、C3、D4、B5、B6、D7、A8、B9、B 10、B 11、12、C 13、A 14、【解析】如图，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO ∥SA ，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角．设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝32SA ＝3a ，OB ＝22SA ＝2a ，所以△EOB 为直角三角形，所以cos ∠BEO ＝OE BE ＝a 3a ＝33，故选C.15、A 16、【解析】依题意，记三棱锥P －ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P －ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝⎛⎭⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝⎛⎭⎫2332＝203，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3.二、解答题1、（常德市2019届高三上学期检测）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21111==C A B A ，321=CC ， ︒=∠120BAC ，O 为线段11C B 的中点，P 为线段1CC 上一动点（异于点1C C 、），Q 为线段BC 上一动点，且OP QP ⊥；（Ⅰ）求证：平面1A PQ ^平面1A OP ；（Ⅱ）若PQ BO //，求直线OP 与平面PQ A 1所成角的正弦值.2、（衡阳八中2019届高三上学期第二次月考）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点. (1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求二面角C －BE －D 的余弦值的大小.3、（怀化市2019届高三统一模拟（二））如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥底面A BCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB //CD ，AB=2AD=2CD=4，PC=4. (1)证明：当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC (2)求锐二而角A- PB-C 的余弦值.4、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA 丄底面ABCD,且PA=2AB ，F 是AB 的中点，点E 在线段PC 上，且PE ＝PC 31. （1）证明：平面DEF 丄平面ABCD; （2）求二面角B-AE-D 的余弦值.5、（邵阳市2019届高三10月大联考）如图，菱形ABCD 的边长为4，60DAB =∠°，矩形BDFE 的面积为8，且平面BDFE ⊥平面ABCD .(1)证明：AC BE ⊥；(2)求二面角E AF D --的正弦值.6、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，222AB AD DC ===E ，F 分别为PD ，PB 的中点.（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角为4，求PA 的长度.7、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为2的正三角形，，为的中点，为的中点.（1）证明：平面.（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.8、（益阳市2019届高三上学期期末考试）五面体ABCDEF 中，ADEF 是等腰梯形,AD = 2,AB=2,AF=FE = ED=BC = 1，∠SAD=900，平面 BAF 丄平面 ADEF 。
2019届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第二次月考试题 数学文试题
衡阳市八中2019届高三第二次月考试题文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x x n n A ==?，则A B = ( )A.{}1,2B.{}1,4C.{}2,3D.{}9,16 2*.已知复数2b ia i i++=(,a b 是实数)，其中i 是虚数单位，则复数a bi +的共轭复数是( ) A.12i + B.12i -+ C.12i - D.12i --3*.已知直线l 的倾斜角为q 且过点，其中1sin()22p q-=，则直线l 的方程为( )20y --= B.40y +-= C.0x -= 360y +-=4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( )A ．24里 B. 48里 C ．96里 D.192里5.已知13241,log 3,log 72a b c 骣÷ç===÷ç÷ç桫，则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c << B.b a c << C.c a b << D.a c b <<6.已知向量,a b 满足||1=a ，||+=a b 1)=-b ，则,a b 的夹角等于( )C A 1A.3p B.6p C.23p D.56p 7.已知,x y 满足约束条件020x y x y y ì-?ïïï+?íïï³ïïî，若z ax y =+的最大值为4，则a =( )A.3B.2C.2-D.3-8.设,,D E F 分别为ABC D 三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( ) A.12BC B.12ADC.BCD.AD 9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，11A B 的中点是P ，过点1A作与 截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( )A.B. C. D.410*.在等差数列中{}n a ，121a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围是( ) A. 21[3,)8--B.7(,3)2--C. 21(3,)8--D.7[,3)2--11.已知函数()2sin()(0,0)f x x =w +j w><j <p 相邻两条对称轴间的距离为32p ，且()02f p=，则下列说法正确的是( )A. 2w=B. 函数()y f x =-p 是偶函数C. 函数()f x 的图象关于点3(,0)4p 对称 D. 函数()f x 在,2轾p犏-p -犏臌上单调递增12.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为( ) A. (,]e -? B.(,)e -? C.(,)e -+? D.[,)e -+?第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13*.若1sin 2,2q=，则2cos ()4pq+= . 14.若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为 .15*.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积是_______2cm ．16*.己知实数,,,a b c d 满足2ln ,21b a d c ==+，则22()()a c b d -+-的最小值 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.(本小题12分) ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c cos sin .C c B -=(1)求B ；(2)若3,7,a b D ==为AC 边上一点，且sin 3BDC ?，求BD .18*.(本小题12分) 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且*2()n n S a n n N =-?．(1)证明：{}1n a +是等比数列；(2) 若数列2log (1)n n b a =+，求数列21211n n b b -+禳镲镲睚镲镲铪的前n 项和n T ．19.(本小题12分) 如图在三棱柱111ABC A BC -中，12AB AA CA CB ====，13BAA p?. (1)证明：1AB AC ^；(2*)若11cos 4CAA ?，求四棱锥111A BB C C -的体积. B 1C 120*.(本小题12分) 已知过点(0,2)P -的圆M 的圆心在x 轴的非负半轴．．．．上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为(1)求圆M 的标准方程；(2)若过点(0,1)Q 的直线l 交圆M 于,A B 两点，求当PAB D 的面积最大时直线l 的方程.21*.(本小题12分) 已知函数1ln ()(1),2a xf x x a x=+--，其中a R Î．(1)试讨论函数()()F x xf x =的单调性；(2)若a Z Î，且函数()f x 有两个零点，求实数a 的最小值．22.(本小题10分) (选修4-5：不等式选讲) 已知不等式|||3|6x x x +-<+的解集为(,)m n ． (1)求,m n 的值；(2)若0,0,0x y nx y m >>++=，求证：16x y xy +?．衡阳市八中2019届高三第二次月考试题文科数学参考答案请注意： 时量120分钟 满分150分第I 卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x x n n A ==?，则A B = ( B )A.{}1,2B.{}1,4C.{}2,3D.{}9,16 2*.已知复数2b ia i i++=(,a b 是实数)，其中i 是虚数单位，则复数a bi +的共轭复数是( A ) A.12i + B.12i -+ C.12i - D.12i --3*.已知直线l 的倾斜角为q且过点，其中1sin()22p q-=，则直线l 的方程为( B )20y --=B.40y +-=C.0x -=360y +-=4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( C )A ．24里 B. 48里 C ．96里 D.192里5.已知13241,log 3,log 72a b c 骣÷ç===÷ç÷ç桫，则,,a b c 的大小关系为( D ) A. a b c << B.b a c << C.c a b << D.a c b << 6.已知向量,a b 满足||1=a，||+=a b1)=-b ，则,a b 的夹角等于( A ) A.3p B.6p C.23p D.56p 7.已知,x y 满足约束条件020x y x y y ì-?ïïï+?íïï³ïïî，若z ax y =+的最大值为4，则a =( B )A.3B.2C.2-D.3-8.设,,D E F 分别为ABC D 三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( D ) A.12BC B.12ADC.BCD.AD 9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，11A B 的中点是P ，过点1A作与 截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( C )A.B.C. D.410*.在等差数列中{}n a ，121a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围是( C ) A. 21[3,)8-- B.7(,3)2-- C. 21(3,)8-- D.7[,3)2--C A 111.已知函数()2sin()(0,0)f x x =w +j w><j <p 相邻两条对称轴间的距离为32p ，且()02f p=，则下列说法正确的是( D )A. 2w=B.函数()y f x =-p 是偶函数C. 函数()f x 的图象关于点3(,0)4p 对称D. 函数()f x 在,2轾p犏-p -犏臌上单调递增12.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为( A )A. (,]e -?B.(,)e -?C.(,)e -+?D.[,)e -+?第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.若1sin 2,2q=，则2cos ()4p q+= 14. 14.若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为 4310x y -+= 或20x -= .15*.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积是_163p__2cm ．16*.己知实数,,,a b c d 满足2ln ,21b a d c ==+，则22()()a c b d -+-的最小值95. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.(本小题12分) ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c cos sin .C c B -=(1)求B ；(2)若3,7,a b D ==为AC 边上一点，且sin BDC ?，求BD . 解：(1) cos sin cos sin sin C c B B C C B A -=\-=sin sin sin tan C B B C B \-=\=- 20,3B B p<<p \=(2)在ABC D 中，由2222cos b a c ac B =+-得23400c c +-=，5c ∴=由sin sin c b C B =得57sin 2sin sin 3C C π=∴=在BCD D 中，由sin sin BD a C BDC =∠得4514BD =.18*.(本小题12分) 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且*2()n n S a n n N =-?． (1)证明：{}1n a +是等比数列；(2) 若数列2log (1)n n b a =+，求数列21211n n b b -+禳镲镲睚镲镲铪 的前n 项和n T ．解：(1)当1n =时，111211S a a =-\=11122(1)21n n n n n n S a n S a n a a +++=-\=-+\=+112(1)n n a a +\+=+\{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得：212log 2nn n n a b n +=\==，212111111()(21)(21)22121n n b b n n n n -+\==--+-+111111(1)2335212121n nT n n n \=-+-++-=-++ 19.(本小题12分) 如图在三棱柱111ABC A BC -中，12AB AA CA CB ====，13BAA p?. (1)证明：1AB AC ^；(2*)若11cos 4CAA ?，求四棱锥111A BB C C -的体积. B 1C 1(1)证明：取AB 的中点O ，连结1,AO CO ，易证1,,AB AOAB CO ^^AB \^平面11,AOC AB AC \^(2)解：由22211112cos AC AA AC AA AC CAA =+-?得，1AC =，又2221111,AO CO AO CO AC AO CO ==\+=\^由(1)可知1AB AO ^，1AO \^平面ABC 1111111112223A BBC C ABC A B C A ABC A ABC ABC V V V V S AO ----D \=-=== 20*.(本小题12分) 已知过点(0,2)P -的圆M 的圆心在x 轴的非负半轴．．．．上，且圆M 截直线 20x y +-=所得弦长为(1)求圆M 的方程；(2)若过点(0,1)Q 的直线l 交圆M 于,A B 两点，求当PAB D 的面积最大时直线l 的方程. 解：(1)设圆M 的方程为：222()(0)x a y r a -+=? 则圆心M 到直线20x y +-=由题意得：222242a r r ìï+=ïïïíï+=ïïïî由题意得204a r ì=ïïíï=ïî 所以所求圆M 的方程为：224x y +=(2) 由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ 则圆心M 到直线l的距离等于，所以AB =(或由AB =AB = 又点(0,2)P -到直线l的距离等于d =，所以12PAB S AB d D ==因为20k ³，所以当0k =时，max()PAB S D =所以所求直线l 方程为：10y -=21*.(本小题12分) 已知函数1ln ()(1),2a x f x x a x=+--，其中a R Î．(1)试讨论函数()()F x xf x =的单调性；(2)若a Z Î，且函数()f x 有两个零点，求实数a 的最小值． 解：(1) 21()()(1)ln (0)2F x xf x x a x a x x ==+-->，则 (1)()()(1)a x x a F x x a x x+-¢=+--= 当0a £时，()0F x ¢>，所以函数()F x 在(0,)+?上单调递增； 当0a >时，若(0,)a ，则()0F x ¢<，若(,)a +?，则()0F x ¢> 所以函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +?上单调递增；综上可知，当0a £时，，函数()F x 在(0,)+?上单调递增；当0a >时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +?上单调递增；(2) 函数()f x 有两个零点等价于21()(1)ln (0)2F x x a x a x x =+-->有两个零点. 由(1)可知，当0a £时，，函数()F x 在(0,)+?上单调递增，()F x 最多一个零点，不符合题意。
《精编》湖南衡阳市八中高三数学第二次月考 理 新人教A版.doc
衡阳市八中2021届高三第二次月考试题数学〔理〕一．选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．(){}(){},R ,,0,,R ,,0,∈=-=∈=+=y x y x y x B y x y x y x A 那么集合A B 的元素个数是 A ．0 B. 1 C. 2 D. 32. 以下四类函数中,具有性质“对任意的x >0,y >0,函数f (x )满足f 〔xy 〕＝f 〔x 〕+f 〔y 〕〞的是A.幂函数B.对数函数C.指数函数3. 命题p ：1k >;q ：函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R , 那么p 是q 的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分又不必要条件4.设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能．．．正确的选项是A B C D5. 曲线1xy x =+在2x =-处的切线方程为A.40x y ++=B.40x y -+=C.0x y -=D.40x y --=33sin()cos 6παα--=，那么7cos()6πα+的值是 A.23 23C.35-D.3522652(,]()2ln (,)x x e e x e f x x x x e ⎧-++--∈-∞=⎨-∈+∞⎩，假设2(6)()f a f a ->那么实数a 的取值范围是A.(,3)(2,)-∞-+∞B.(,2)(3,)-∞-+∞C.(3,2)-D.(2,3)-f (x )的定义域为D ，假设对于任意12,x x D ，当12x x 时，都有12()()f x f x ，那么称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：○1(0)0f ； ○21()()32x f f x ； ○3(1)1()f x f x . 那么11()()38f f 等于A. 34B. 12C. 1D. 23二．填空题:本大题共7小题,每题5分,共35分.把答案填在答题卡．．．对应题号后的横线上.2()f x =，那么其定义域为： ▲ 。
湖南省衡阳八中2019届高三上学期第二次月考数学(理科)试题(含答案)
2018-2019学年湖南省衡阳八中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合[]1,2A =-，B ={}2,y y x x A =∈，则A B =（ ） A ．[]1,4B ．[]1,2C ．[]1,0-D ．[]0,22．设i 是虚数单位，复数1a ii++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．23．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 中，2a ，7a 是函数()242f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前8项和等于（ ） A ．﹣16B ．8C ．16D ．5．下列命题错误的是（ ）A ．命题“0x R ∃∈，20013x x +＞”的否定是“x R ∀∈，213x x +≤”B ．若p q ∧是假命题，则p ，q 都是假命题C ．双曲线22123x y -=的焦距为D ．设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a α∈，且//b a 6．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．35-7．已知函数()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-=∈则()1f x dx π-⎰=（ ） A ．2π+ B ．2πC ．22π-+D ．24π-8．若()1,1x e -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，lnx c e =，则（ ）A ．b c a ＞＞B ．c b a ＞＞C ．b a c ＞＞D ．a b c ＞＞9．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（ ） A ．23x π=B ．3x π=C ．6x π=D ．12x π=10．已知Rt ABC ，点D 为斜边BC 的中点，62AB =6AC =，12AE ED =，则AE EB 等于（ ）A ．﹣14B ．﹣9C ．9D ．1411．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．316πB ．318πC ．48164πD 12．若函数()y f x =，x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时，()()212,0122,12x x f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪-⎩≤≤＜＜函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量a 与b 的夹角为30︒，且1a =，21a b -=，则b = ．14．设实数,x y 满足约束条件220402x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤，则yz x =的最大值是 ．15．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢．若甲先拿，则下列说法正确的有： ．①若4n =，则甲有必赢的策略； ②若6n =，则乙有必赢的策略； ③若7n =，则乙有必赢的策略； ④若9n =，则甲有必赢的策略．16．ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足24b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1a =，D 是以BC 为直径的圆上一点，则AD 的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．如图，已知AD 是ABC 内角BAC ∠的角平分线． （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求AD 的长．18．如图，OAB 由0y =，8x =，2y x =围成的曲边三角形，在曲线弧OB 上有一点()2,M t t ， （1）求以M 为切点2y x =的切线l 方程；（2）若l 与0y =，8x =两直线分别交于,P Q 两点，试确定M 的位置，使PQA 面积最大．19．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求二面角C BE D --的余弦值的大小．20．若数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足11b =，22b =，且1n n n n a b b nb ++=． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足11n n n ac b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式()112n n n n T λ--+＜对一切n N *∈，求实数λ的取值范围．21．已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =-（Ⅰ）若3a =，2b =，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为1x ，()212x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '＜． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题12分）22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，若8AB =，求α的值． [选修4-5：不等式选讲]（本题12分）23．已知定义在R 上的函数()f x x m x =-+，m N *∈，若存在实数x 使得()2f x ＜成立． （1）求实数m 的值；（2）若,1αβ＞，()()6f f αβ+=，求证：4194αβ+≥． 2018-2019学年湖南省衡阳八中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】先分别求出集合A 和B ，由此利用交集定义能求出A B ． 【解答】解：∵集合[]1,2A =-，{}[]2,0,4B y y x x A ==∈=，∴[]0,2A B =． 故选：D ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简1a ii++，由整理出实部和虚部，由纯虚数的定义列出方程组，求出a 的值．【解答】解：由题意得，()()()()()1111112a i i a a ia i i i i +-++-+==++- 1122a a i +-=+， 因为复数1a ii ++为纯虚数，所以102102a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-， 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，以及纯复数的定义的应用，属于基础题．3．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当()0f x '＜时，函数()f x 单调递减，当()0f x '＞时，函数()f x 单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数()y f x =的图象可能【解答】解：由当()0f x '＜时，函数()f x 单调递减，当()0f x '＞时，函数()f x 单调递增，则由导函数()y f x '=的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A ，C ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B ， 故选：D ．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．4．【分析】由韦达定理得274a a +=，从而{}n a 的前8项和()8274S a a =+，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{}n a 中，2a ，7a 是函数()242f x x x =-+的两个零点，∴274a a +=，∴{}n a 的前8项和()82744416S a a =+=⨯=． 故选：C ．【点评】本题考查等差数列的前8项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．【分析】利用命题的否定形式判断A 的正误；复合命题的真假判断B 的正误；双曲线的焦距判断C 正误；异面直线的位置关系判断D 的正误．【解答】解：命题“0x R ∃∈，20013x x +＞”的否定是“x R ∀∈，213x x +≤”满足命题的否定形式，A 正确；若p q ∧是假命题，则p ，q 都是假命题，不正确，因为两个命题一个是假命题，则p q ∧是假命题，所以B 不正确；双曲线22123x y -=的焦距为设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a α⊂，且//b α，满足直线与平面平行的判定定理，平面的基本性质，所以D 正确； 故选：B ．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查． 6．【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos sin sin sin 424445x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D ．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．7．【分析】由21cos 2arcsin cos 22t x tdt dt C +=⎰=⎰=++，得到()()0110100arcsin sin cos 2x f x dx xdx x πππ---⎛⎰=⎰+⎰=+- ⎝⎭， 由此能求出结果．【解答】解：∵()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-=∈，21cos2cos 2ttdt dt +=⎰=⎰sin 2arcsin 242t t x C C =++=，∴()110sin f x dx xdxππ--⎰=⎰+⎰()010arcsin cos 2x x π-⎛=++- ⎝⎭=﹣2．故选：D ．【点评】本题考查函数的定积分的求法，考查导数、不定积分、定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．【分析】利用对数函数的单调性判断出0a ＜；由于,b c 的指数相同，所以研究一个幂函数的单调性；利用幂函数的单调性判断出,b c 的大小，,b c 都是幂得到,b c 全正，比较出,,a b c 的大小． 【解答】解：∵()1,1x e -∈ ∴ln ln10a x ==＜ 即0a ＜考察幂函数()ln xf t t =∵ln 0x ＜∴当t ＞0时，()f t 是减函数 ∵12e ＜∴ln ln 102xx b c e ⎛⎫== ⎪⎝⎭＞＞所以有b c a ＞＞ 故选：A ．【点评】本题考查利用对数函数的单调性比较大小、考查利用幂函数的单调性比较大小．9．【分析】首先利用正弦函数的图象的伸缩变换和平移变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．【解答】解：将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到：y=sin （2x+）的图象，再向右平移6π个单位长度， 得到函数：()sin 2sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，令262x k πππ-=+()k Z ∈，解得：23k x ππ=+()k Z ∈， 当0k =时，3x π=．故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用．10．【分析】建立坐标系，求出各点坐标再计算数量积． 【解答】解：以AC ，AB 为坐标轴建立平面直角坐标系，则()6,0C ，(B ，∴(D ， ∵12AE ED =，∴(E ，∴(AE =，(EB =-， ∴AE EB =﹣1+10=9． 故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．11．【分析】可得该几何体是六棱锥，底面是正六边形，有一条侧面垂直底面．过底面中心N 作底面垂线，过侧面PAF 的外心M 作面PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心，根据三视图的数据求出球的半径即可．【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥P ABCDEF -，底面是正六边形，有一PAF 侧面垂直底面，且P 在底面的投影为AF 中点，过底面中心N 作底面垂线，过侧面PAF 的外心M 作面PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心O ， 设PAF 的外接圆半径为r ，()222122r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得1716r =，∴1516MH ON ==，则该几何体的外接球的半径R 22215481ON NF ⎛⎫+=， ∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是2481464S R ππ==． 故选：C ．【点评】本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查几何体三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，是中档题．12．【分析】根据题意，由函数()f x 在[)0,2上的解析式，分析可得函数()f x 在[)0,2上的最值，结合a级类周期函数的含义，分析可得()f x 在[]6,8上的最大值，对于函数()g x ，对其求导分析可得()g x 在区间()0,+∞上的最小值；进而分析，将原问题转化为()()min max g x f x ≤的问题，即可得382m +≤，解可得m 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数()f x ，当[)0,2x ∈时，()()212,0122,12x x f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪-⎩≤≤＜＜，分析可得：当01x ≤≤时，()2122f x x =-，有最大值()102f =，最小值()312f =-， 当12x ＜＜时，()()2f x f x =-，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则此时有()3122f x -＜＜，又由函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =；则在[)6,8∈上，()()326f x f x =-，则有()124f x -≤≤，则()()()()()82644821608f f f f f =====，则函数()f x 在区间[]6,8上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数()212ln 2g x x x x m =-+++，有()()()212221x x x x g x x x x x-++-'=-++==， 分析可得：在()0,1上，()0g x '＜，函数()g x 为减函数， 在()1,+∞上，()0g x '＞，函数()g x 为增函数， 则函数()g x 在()0,1上，由最小值()312f m =+， 若[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立， 必有()()min max g x f x ≤，即382m +≤， 解可得132m ≤，即m 的取值范围为13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故选：B ．【点评】本题考查函数的最值问题，注意将题目中“[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立”转化为函数的最值问题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【分析】根据,30a b =︒＜＞，1a =，对21a b -=的两边平方即可得出关于b 的方程，解方程即可得出b 的值．【解答】解：,30a b =︒＜＞，1a =，21a b -=； ∴()2222244cos304231a b a a b b b b -=-︒+=-+=；∴22330b b -+=； 解得3b =．【点评】考查向量夹角的概念，以及向量数量积的运算及计算公式．14．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识求出y z x=的最小值． 【解答】解：由y z x=的几何意义可知可行域内的点与坐标原点连线的斜率，作出实数,x y 满足约束条件220402x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤可行域如图：yz x=经过点A 时， 直线的斜率最大，由24y x y =⎧⎨+=⎩，解得()2,2A ． 此时y z x=的最大值为：1， 故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 15． 【分析】考虑n 与4的关系，调整甲、乙取球的个数，可使赢球的可能性． 【解答】解：若4n =，由于甲先拿，最多3个，一定是乙赢，故①错误；若6n =，由于甲先拿，最少1个，最多3个，可以甲最多拿2个，甲可以拿到最后一个球， 则甲有必赢的策略，故②错误；若7n =，由于甲先拿，最少1个，最多3个，则甲有必赢的策略，故③错误； 若9n =，由于甲先拿，最少1个，最多3个，不管怎样甲可以拿到最后一个球， 甲有必赢的策略，故④正确． 故答案为：④．【点评】本题考查取球游戏，考查取胜的策略，考查推理能力，属于基础题．16．【分析】根据4b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a=1，利用正弦定理和三角形内角和定理即可求解A ，作ABC 的外接圆，当AD 经过ABC 的外接圆的圆心且垂直于BC 时，AD 最大．即可求解．【解答】解：由4b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1a =，得sin 4b C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦定理sin sin 4B A C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（C+），∴()sin sin 4A C A C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，可得cos sin sin sin A C A C =． ∵sin 0C ≠， ∴cos sin A A = 即4A π=．作ABC 的外接圆，当AD 经过ABC 的外接圆的圆心且垂直于BC 时，AD 最大．设BC 中点为O ，此时OA=12tan tan 8OB OAB π==∠那么：AD =OA OD +112+=+．故答案为：12+．【点评】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理以及△ABC 的外接圆的最大值问题．属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【分析】（1）根据AD 是BAC ∠的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立；（2）根据余弦定理，先求出BC 的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出AD 的长． 【解答】解：（1）∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴BAD CAD ∠=∠， 根据正弦定理，在ABC 中，sin sin BAD ADBBD BA∠∠=， 在ADC 中，sin sin DAC ADCDC AC∠∠=，∵()sin sin sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠， ∴sin sin BAD DB ADB AB ∠=∠，sin sin DAC DC ADC AC ∠=∠，∴AB DBAC DC=； （2）根据余弦定理，222cos 2BA AC BC BAC AB AC +-∠=⋅⋅，即22221cos120221BC +-︒=⨯⨯，解得BC =， 又AB DBAC DC =， ∴21DB DC =， 解得CD，BD 27； 设AD x =，则在ABD 与ADC 中， 根据余弦定理得，cos60︒=22121x x +-⎝⎭⋅⋅， 且cos60︒=222222x x +-⎝⎭⋅⋅， 解得23x =，即AD 的长为23．【点评】本题考查了角平分线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目． 18． 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，再用点斜式求得切线方程； （2）利用切线方程，得到,P Q 两点坐标．求出面积后，用导数方法求得最大值． 【解答】解：（1）∵2y x =，∴2y x '=，∴切线的斜率为2t ，∴切线方程为()()2208y t t x t t -=-＜≤，（2）令0y =，得2t x =，∴,02t P ⎛⎫⎪⎝⎭；令8x =，得216y t t =-，∴()28,16Q t t - ∴()232118162064224PQAt St t t t t ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 通过求导得知：当163t =时，面积取得最大值，此时16256,39M ⎛⎫⎪⎝⎭．【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，属中档题．19．【分析】（1）设22AD DE AB a ===，以AC ，AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF ∥平面BCE ． （2）求出平面BCE 的一个法向量和设平面BDE 的一个法向量，利用向量法能证明二面角C BE D --的余弦值．【解答】证明：（1）设22AD DE AB a ===，以AC ，AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立如图所示的坐标系，()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,,,0,,2A C a B a D a E a a ．∵F 为CD 的中点，∴332a a F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．32AF a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(),BE a a =，()2,0,BC a a =-， ∴()12AF BE BC =+，AF ⊄平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE ．解：（2）设平面BCE 的一个法向量m =(),,x y z ，则020m BE ax az m BC ax az ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得()1,m =．设平面BDE 的一个法向量m =(),,x y z ，(),BD a a =-，则00n BE ax az n BD ax az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令x ()3,1,0n =-．∴6cos m n m n m n⋅=⋅＜,＞=．故二面角C BE D --．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20． 【分析】（I ）数列{}n b 满足11b =，22b =，且1n n n n a b b nb ++=．可得112a +=，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．可得12n n nb nb +=，化为12n n b b +=，利用等比数列的通项公式可得n b ． （Ⅱ）设数列{}n c 满足111222n n n n n a n nc b -++===，利用“错位相减法”可得数列{}n c 的前n 项和为n T ，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出．【解答】解：（I ）∵数列{}n b 满足11b =，22b =，且1n n n n a b b nb ++=． ∴112a +=，解得11a =．又数列{}n a 是公差为2的等差数列， ∴()12121n a n n =+-=-． ∴12n n nb nb +=，化为12n n b b +=， ∴数列{}n b 是等比数列，公比为2． ∴12n n b -=．（Ⅱ）设数列{}n c 满足111222n n n n n a n nc b -++===， 数列{}n c 的前n 项和为21231222n n nT -=++++， ∴21112122222n n nn nT --=++++， ∴2111111122121222222212n n n n n nn n n T --+=++++-=-=--，∴n T =1242n n -+-． 不等式()112nn n n T λ--+＜，化为：()12142nn λ---＜，()2n k k N *=∈时，1242n λ--＜，∴3λ＜． ()21n k k N *=-∈时，1242n λ---＜，∴2λ-＞． 综上可得：实数λ的取值范围是()2,3-．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、数列递推关系、“错位相减法”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出()()()121211201211222212ln 21x x x x x x x h x x x a b x x x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫+⎝⎭'-=---=- ⎪+⎝⎭+．令()1201x t t x =＜＜，则()()()21ln 011t r t t t t -=-+＜＜，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵()()23ln 2,0,2h x x x x x =--∈+∞，∴()()()()2311132132,0,x x x x h x x x x x x --+--+'=--==∈+∞ 令∴()()()3110x x h x x--+'==得：13x = 当103x ＜＜时，()0h x '＞，即()h x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当13x ＞时，()0h x '＜，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()15ln 336h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极大值，()h x 极小值不存在． （Ⅱ）证明：∵函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，不妨设120x x ＜＜， ∴()21111ln 02a h x x x bx =-=，()222222ln 02h x x x bx =-=， ∴()()2212111222ln ln 22a a h x h x x x bx x x bx -=--- =()()22121212ln ln 02a x x x xb x x ----= 即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+- 又∵()()()()1h x f x g x ax b x'''=-=-+，1202x x x +=，∴()1201222x x h x a b x x +⎛⎫'=-+ ⎪+⎝⎭， ∴()()()12120121222x x x x h x x x a b x x ⎛⎫+'-=---⎪+⎝⎭=()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤--+-⎢⎥+⎣⎦ =()()1212122ln ln x x x x x x ---+=12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+．令()1201x t t x =＜＜，则()()()21ln 011t r t t t t -=-+＜＜， ∴()()()()222141011t r t t t t t--'=-=++＜， ∴()r t 在()0,1上单调递减，故()()10r t r =＞，∴12112221ln 01x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+＞，∴()()120x x h x '-＞0，又∵120x x -＜，∴()00h x '＜．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想以及不等式的证明，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题12分）22． 【分析】（Ⅰ）直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 普通方程，曲线C 的极坐标方程转化为22cos 4sin ρθρθ=，再由cos x ρθ=，sin y ρθ=，能求出曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）代入曲线C ：24x y =，得到：22cos 4sin 40t t αα--=，由此利用弦长公式能求出α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）．∴消去参数t ，得直线l 普通方程为sin cos cos 0ax ay α-+=，∵曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=，即22cos 4sin ρθρθ=， ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为C ：24x y =．… （Ⅱ）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤＜）代入曲线C ：24x y =，得到：22cos 4sin 40t t αα--=，…（8分）∴122488cos AB t t α=-===，∴cos α=，∴4πα=或34πα=．…【点评】本题考查直线的普通方程与曲线的直角坐标方程的求法，考查α的求法，考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]（本题12分）23． 【分析】（1）x m x x m x m -+--=≥，要使2x m x -+＜有解，则2m ＜，m N *∈，解得m ；（2）,1αβ＞，()()21216f f αβαβ+=-+-=，可得4αβ+=．再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：（1）∵x m x x m x m -+--=≥， ∴要使2x m x -+＜有解，则2m ＜，解得22m -＜＜． ∵m N *∈，∴1m =．（2）证明：,1αβ＞，()()21216f f αβαβ+=-+-=， ∴4αβ+=， ∴()411414αβαβαβ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥ =141955444βααββ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当4βααβ=即83α=，43β=时“=”成立， 故4194αβ+≥． 【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2019年湖南省衡阳市上架中学高三数学理月考试卷含解析
2019年湖南省衡阳市上架中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知A={x|2≤x≤π}，定义在A上的函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的最大值比最小值大1，则底数a的值为（）A．B．C．π﹣2 D．或参考答案：D【考点】对数函数的值域与最值．【分析】由题意讨论a的取值以确定函数的单调性及最值，从而求解．【解答】解：当0＜a＜1时，f（x）=log a x（a＞0且a≠0）在[2，π]上是减函数，故log a2﹣log aπ=1；故a=；当a＞1，f（x）=log a x（a＞0且a≠0）在[2，π]上是增函数，故log aπ﹣log a2=1；故a=故选D．2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是线段C1D1上的动点，点P为正方体对角线AC1上的动点，若三棱锥的体积为正方体体积的，则直线A1P与底面A1B1C1D1所成角的正切值为（）A. B. C. 2 D.参考答案：A【分析】根据线面角的定义作出直线与底面所成的角，根据三棱锥的体积和正方体的体积关系列方程，求得到底面的距离，进而求得线面角的正切值. 【详解】设正方体的边长为1，连，在上取一点，使得.由底面，得底面，直线与底面所成的角为，记为，则.又由，则，得，可得，则.故选A.【点睛】本小题主要考查线面角的正切值的求法，考查线面角的概念，考查空间想象能力，属于中档题.3. 函数的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π参考答案：C【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），利用三角函数的周期公式即可求值得解．【解答】解：∵=2sin（2x+），∴最小正周期T==π．故选：C．4. 已知双曲线的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为A. B. C. D. 参考答案：A5. 某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：A6. 函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（，1）C．（2，3）D．（e，+∞）参考答案：C【分析】利用函数的零点判定定理，化简求解即可．【解答】解：函数f（x）=lnx﹣的定义域为：x＞0，函数是连续函数，f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0．f（3）=ln3﹣＞1﹣=0．f（2）f（3）＜0，由函数零点判定定理可知，函数的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力．7. 如图所示，矩形的对角线相交于点，的中点为，若（为实数），则（）A．1 B． C． D．参考答案：,,所以，故选C.考点：平面向量基本定理8. 设为等差数列的前项和，，，若的的前项和为，则的值为（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：B设数列的首项为，公差为，，，又因为，所以=9【考点】裂项相消法求和9. 小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为A.30％B.10％C.3％D.不能确定参考答案：C由图2可知，鸡蛋占食品开支的比例为，结合图1可知小波在一个星期的鸡蛋开支占总开支的比例为，选C.7.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A． B.5 C.4 D.【答案】D【解析】由三视图可知这是一个高为1的直六棱柱。
2019届湖南省衡阳市高三第二次联考(二模)数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省衡阳市高三第二次联考（二模）数学（理）试题一、单选题1．在三个复数，，中，有且仅有一个纯虚数，则实数为（）A．0或2 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】分别假设为纯虚数，分析可得的值。
【详解】若为纯虚数，则，也为纯虚数，不符合题意；，显然不为纯虚数，故为纯虚数，，故选D。
【点睛】本题考查纯虚数与合情推理，旨在考查学生基本知识的掌握以及逻辑推理能力，属基础题。
2．集合的子集个数为（）A．4 B．5 C．16 D．32【答案】C【解析】根据定义域可得，又x为整数，解得，根据子集个数的计算公式，即可得结果。
【详解】依题：，∵，，共有4个元素，∴的子集个数为16.【点睛】考查集合的表示，定义域，一元二次不等式解法，子集等知识。
旨在考查学生简化题意的能力，转化思想，以及基本的求解运算能力，属基础题。
3．若的展开式中存在常数项，则下列选项中，可为（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】写出二项式展开通项公式，存在常数项，即x指数可为0，分析即可得结果。
【详解】由二项式展开式通项可得：，依题须：，观察选项可知，选C.【点睛】本题考查二项式定理应用，旨在考查考生的求解运算能力，属基础题。
4．记为等差数列前项和，若数列的第六项与第八项之和为4，则等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】根据题意得，结合等差数列的前n项和公式，即可求出的值。
【详解】依题：，∴.【点睛】考查等差数列的求和与性质，处理多样，重在考查考生的基本量思想与整体思想，分析能力以及求解运算能力，属基础题。
5．执行如图所示程序框图，若输入，则输出的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据程序框图循环结构运算，依次带入数值即可求解。
【详解】依题：，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，，跳出循环，输出的值为.【点睛】考查程序框图，循环结构与条件结构交织，结合简单的比较大小；重在考查考生的分析能力，逻辑推理及求解运算能力，属基础题。
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衡阳市八中2019届高三第二次月考试题理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝[－1，2]，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A.[1，4]B.[1，2]C.[－1，0]D.[0，2]2.设i 是虚数单位，复数a ＋i1＋i为纯虚数，则实数a 的值为( )A.－1B.1C.－2D.23.函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是( )4．已知等差数列{}n a 中，27,a a 是函数2()42f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前项和等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列命题错误的是（ ）A.命题“ 2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“ 2,13x R x x ∀∈+≤”;B.若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题C. 双曲线22123x y -=的焦距为D.设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α6．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．35- 7．已知函数()[](],,0, 0,1,sinx x f x x π∈-=∈则()1f x dx π-=⎰（ ）A. 2π+B.2π C. 22π-+ D. 24π-8.若()1,1x e -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln xc e =，则（ ）A ． b c a >>B ．c b a >> C. b a c >> D ．a b c >> 9得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（） A.B. C. 3 D. 310.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，62AB =, 6AC =, 12AE ED =,则AE EB ⋅等于 （ ）A. 14-B. 9-C. 9D.14 11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A.316πB. 318πC. 48164πD.12．若函数()y f x =， x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时， ()()212,01,22,12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩函数()212l n 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D. 13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 的夹角为030，且1a =，21a b -=，则b = ．14．设实数,x y 满足约束条件220402 x y x y y --⎧⎪⎨+≤-≥⎪⎩≤，则y z x =的最大值是_______.15．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢。
若甲先拿，则下列说法正确的有： __________．① 若n =4，则甲有必赢的策略； ②若n =6，则乙有必赢的策略； ③ 若n =7，则乙有必赢的策略； ④若n =9，则甲有必赢的策略。
16. ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别,,,a b c且满足)4b C π=+，1a =，D 是以BC 为直径的圆上一点，则AD 的最大值为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题12分）如图，已知AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，交BC 边于点D . （1）证明：AB BDAC DC=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长．18．（本题12分）如图，OAB 由20,8,y x y x ===围成的曲边三角形，在曲线弧OB 上有一点2(,)M t t ，（1）求以M 为切点2y x =的切线l 方程；（2）若l 与0,8y x ==两直线分别交于,P Q 两点，试确定M 的位置，使PQA ∆面积最大。
19.（本题12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点. (1)求证：AF∥平面BCE ；(2)求二面角C －BE －D 的余弦值的大小.20.（本题12分）若数列{a n }是公差为2的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝a n ＋1b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n λ<T n ＋n2n －1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.21.（本题12分）已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =- （Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（本题12分） 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，若8AB =，求a 的值． 23.选修4-5：不等式选讲（本题12分）已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，若存在实数x 使得f (x )<2成立. (1)求实数m 的值；(2)若,1,()()6,f f αβαβ>+=求证：4194αβ+≥。
衡阳市八中2019届高三第二次月考试题理科数学答案命题人：罗欢 审题人：彭韬一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝[－1，2]，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( D )A.[1，4]B.[1，2]C.[－1，0]D.[0，2]2.设i 是虚数单位，复数a ＋i1＋i为纯虚数，则实数a 的值为( A ) A.－1B.1C.－2D.23.函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是( D)4．已知等差数列{}n a 中，27,a a 是函数2()42f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前项和等于（ C ） A ．B ．C ．D ．5．下列命题错误的是（ B ）A.命题“ 2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“ 2,13x R x x ∀∈+≤”;B.若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题C. 双曲线22123x y -=的焦距为D.设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α6．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ D ）A ．45B ．35C ．45-D ．35- 7．已知函数()[](],,0, 0,1,sinx x f x x π∈-=∈则()1f x dx π-=⎰（ D ）A. 2π+B.2π C. 22π-+ D. 24π-8.若()1,1x e -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln xc e =，则（ A ）A ． b c a >>B ．c b a >> C. b a c >> D ．a b c >> 9得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（ C ）A.B. C. 3D. 310.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，62AB =, 6AC =, 2AE ED =,则AE EB ⋅等于（ C ）A. 14-B. 9-C. 9D.14 11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ C ）A.316πB. 318πC. 48164πD. 12．若函数()y f x =， x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时， ()()212,01,{ 22,12,x x f x f x x -≤≤=-<<函数()212l n 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈，()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ B ）A. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D. 13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 的夹角为030，且1a =，21a b -=，则b = ．14．设实数,x y 满足约束条件220{40 2x y x y y --≤+-≥≤，则yz x=的最大值是_______.1 15．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢。