2019—2020学年第二学期期末考试《高等数学(A)Ⅱ》试卷及答案
第二学期高等数学期末考试试卷及答案1
第二学期高等数学期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．过点()121-，，P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ，，，垂直的平面方程为_____________________________． 2．设()22ln y x z +=，则=∂∂==11y x xz ， ________________________．3．交换累次积分的顺序()=⎰⎰12xxdyy x f dx， ______________________．4．设222lnz y x u ++=，则()=u grad div ___________________．5．设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为1R ，幂级数∑∞=0n n n x b 的收敛半径为2R ，且+∞<<<210R R ，则幂级数()∑∞=+0n nn n x b a 的收敛半径为_____________．答案：⒈ 043=+--z y x ； ⒉ 1；⒊ ()⎰⎰1yydx y x f dy ，；⒋2221zy x ++；⒌ 1R ．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1．函数()y x f ，在点()00y x ，处连续是函数()y x f ，在该点处存在偏导数的【 】． （A ）．充分条件； （B ）．必要条件； （C ）．充分必要条件； （D ）．既不是必要，也不是充分条件．2．设D 是xOy 平面上以()11，、()11，-、()11--，为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则积分()⎰⎰+Ddxdyy x xy sin cos等于【 】．（A ）．⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x ； （B ）．⎰⎰12D xydxdy ；（C ）．()⎰⎰+1sin cos 4D dxdy y x xy ； （D ）．0．3．下列级数中，属于条件收敛的是【 】．（A ）．()()∑∞=+-111n nnn ； （B ）．()∑∞=-1si n 1n nn nn π ；（C ）．()∑∞=-121n nn； （D ）．()∑∞=+-1131n nn ．4．设函数()x f 是以π2为周期的周期函数，它在[)ππ，-上的表达式为()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x xx f 000 ，再设()x f 的Fourier （傅立叶）级数的和函数为()x s ，则()=πs 【 】． （A ）．2π-； （B ）．π- ； （C ）．0 ； （D ）．π ．5．设向量a 、b 、c 满足：0c b a =++，则=⨯+⨯+⨯a c c b b a【 】．（A ）．0 ； （B ）．c b a⨯⨯；（C ）．c b ⨯； （D ）．()b a⨯3． 答案： ⒈ （A ）； ⒉ （C ）； ⒊ （B ）； ⒋ （A ）； ⒌ （D ）． 三．（本题满分7分）设()xy y x f z ，22-=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，试求xz ∂∂，yx z ∂∂∂2．解：212f y f x xz '+'=∂∂ ，()2221222112224f xyffyx xyf yx z ++-+-=∂∂∂ ．四．（本题满分7分） 计算三重积分()⎰⎰⎰Ω+=dxdydzz x I ，其中Ω是由曲面22y x z +=及221y x z --=所围成的空间区域．解：作球坐标变换θϕρcos sin =x ，θϕρsin sin =y ，ϕρcos =z ， 则空间区域Ω变为，104020≤≤≤≤≤≤Ω'ρπθπθ，，：，因此，()⎰⎰⎰Ω+=dxdydzz x I()⎰⎰⎰Ω+=ρϕθϕρϕρθϕρd d d s i n c o s c o s s i n 2()⎰⎰⎰+=12420s i n c o s c o s s i n ρϕρϕρθϕρϕθππd d d8π=五．（本题满分8分） 计算曲面积分()()⎰⎰∑-+++=dxdy z dzdx z y dydz xz I 322912其中∑为曲面122++=y x z ()21≤≤z ，取下侧．解：取平面21=∑z ：，取上侧．则∑与1∑构成封闭曲面，取外侧．令∑与1∑所围空间区域为Ω，由Gauss 公式，得 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-=11I()⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω--=132229y x dxdydxdydz⎰⎰⎰⎰⎰≤+--=121120222y x rdxdydz rdr d πθ2π-=六．（本题满分8分） 判别级数()()()()()∑∞=++++12222!2!!3!2!1n n n的敛散性．解： ()()()()()!2!!3!2!102222n n u n ++++=≤()()()()()!2!!!!2222n n n n n ++++≤， ()()n v n n n =⋅=!2!2而()()()()()()()!2!!12!11limlim221n n n n n n v v n nn n ⋅++⋅+=→∞+→∞()()()14122121lim3<=+++=→∞n n n n n所以，由比值判别法，知级数()()∑∑∞=∞=⋅=121!2!n n n n n n v 收敛．再由比较判别法知级数()()()()()∑∑∞=∞=++++=122221!2!!3!2!1n n nn n u 收敛．七．（本题满分8分） 选取a 与b ，使得dy yx b y x dx yx y ax 2222++--++成为某一函数()y x u ，的全微分，并求()y x u ，． 解：()22y x y ax y x P ++=，，()22y x by x y x Q ++-=， 由()()()dy y x Q dx y x P y x du ，，，+=，得xQ yP ∂∂=∂∂即有()()()()222222222222yxxb y x y x yxyy ax y x +⋅+--+=+⋅+-+解得，1=a ，0=b ．所以，()()()()()⎰+--+=y x yx dyy x dx y x y x u ，，，0122⎰⎰+--=yxdy yxyx xdx 0221()⎰⎰+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=yyyx y x d x y x y d x 0222202211ln()x yx xy x ln ln 21arctan ln 22-++-=()xyyx a r c t a n ln 2122-+=八．（本题满分8分） 过直线⎩⎨⎧=-+=-+0272210z y x z y x 作曲面273222=-+z y x 的切平面，求此切平面的方程． 解：过已知直线作平面束方程()0272210=-++--+z y x z y x λ，即()()()0272210=-+-+++z y x λλλ，其法向量为{}λλλ--++=2210，，n．设所求切平面的切点坐标为()000z y x ，，，则有()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+++=-+---=+=+02722102732222610000202020000z y x z y x z y x λλλλλλ ， 解得1113000-====λ，，，z y x ．或1917173000-=-=-=-=λ，，，z y x ．因此，所求切平面方程为027339=--+z y x ，或02717179=-+--z y x ．九．（本题满分8分）求极限：()422221lim xx tu t x x eduedt ---→-⎰⎰+．解：交换积分()⎰⎰--222x tu t x du edt 中的顺序，有()()⎰⎰⎰⎰----=uu t x x tu t x dt edu du edt 022222，u t v -=，则有()⎰⎰-----=uvuu t dv edt e22所以()()4242222221lim 1lim xuu t xx xx tu t x x edt edueduedt---→---→-=-⎰⎰⎰⎰++4242002222221l i m 1l i mxx vx xxuvx ex d veed ud v e---→---→⎰⎰⎰-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++212lim lim 1lim424222==-⋅=-→--→-→+++⎰xx x vx xx ex dvee十．（本题满分8分）利用⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x dx d 1cos 的幂级数展开式，求级数()()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--122!2121n nn n n π的和．解： 设()⎪⎭⎫⎝⎛-=x x dx d x s 1cos ，由于()()()()∑∑∞=-∞=-=--=-11202!211!211c o s n n nn nnn xxn xxx ()-∞<<∞-x因此，()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞=-112!211c o s n n n n xdx d x x dx d x s()()∑∞=---=122!2121n n nxn n另一方面， ()21c o s s i n 1c o s x x x x x x dxd x s +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=所以，()()∑∞=---=+--1222!21211c o s s i n n n nxn n xx x x ()-∞<<∞-x当2π=x 时，()()∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛1222!21212n n nn n s ππ，所以，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛--∑∞=222!2121212πππs n n n nn2221c o s s i n 2ππ=+--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x22212c o s 2s i n24⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋅=πππππ21π-=十一．（本题满分8分）已知x 、y 、z 为实数，而且32=++z y e x证明：32≤z y e x．（提示：考虑函数()()223ye y e y xf xx--=，．） 解： 设()()223ye y e y xf xx--=，，由题设32=++z y e x ， 得 32≤+y e x， 即 32=+y e x为其边界．下面只需证明：()()223ye y e y xf xx--=，在区域32≤+y ex上的最大值为1．令：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='0232023222y e y e y x f y e y e y x f x x y x x x ，，， 解方程组得驻点()10，，()10-，和()0，x ．对于驻点()10，和()10-，，有 ()110=，f ，()110=-，f对于驻点()0，x ，()00=，x f ；在边界32=+y e x 上，()002=⋅=y e y x f x，，所以，函数()()223y e y e y x f x x --=，的最大值为1，即()()1322≤--=ye y e y xf xx，即32≤z ye x．。
2019—2020学年第二学期期末考试《高等数学(A)Ⅱ》试卷及答案
201X2020学年第二学期考试卷(B )卷课程名称： 高等数学（A ） ∏考试时间：120分钟 考试方式：闭卷:号序班小学教、填空题侮题3分，共15分）1. 2 3、函数f (x, y) X y 在点(1, 1)处的梯度grad f 2. {(χ,y)49},则 d D 3.{(x, y,z)0 X1,1 y 1,0 z 1},贝U x 2dv4. 级数:级班学教5.:号学:名姓nn3—的和n n 14曲线积分 (1,1) (0,0)(yX)dx(X y)dy二、选择题（每题3分,1.函数f(χ,y) X A. (12)B.( 2.设D {(x, y)A. 3.设A.C.15分)24xy2, 1)'d 1f (r 2)dr0 0由曲面X 24.级数 n ( 1A.发散5.微分方程 A. y C. yB.4d4d1) 5y 2C.2x 且y2d2y 的驻点是（）1, 2) D. 0},则 f (X 2D1r f(0,0)y 2)d2(r )dr C. 02d2cos2f(r )dr D.2d2cos2rf (r )dry 2围成，则 f ( . X 2y 2z 2)dv10f(1f( B.4d2f ( ) Si ndSin d D.4d1f( )=cos d.1 / Sin T .nB.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性不确定Sin X 的通解为 X C 1x C 2COS X C 1X C 2y Sin) B. y Sin X D. y COS XC 1XC 2C 1x C 2装三、解答题（每题7分，共42分）1∙求函数Z （X 3y ）e xy 在点（1,1）处的全微分3. 利用柱面坐标求I J x 2 y 2dv,其中 由曲2.求曲线y2x 2 3X在点（1,2,1）处的切线方程与法平面 方程面Z X2y2与平面Z 4围成4.求I (4x y2)ds其中C是连接A(1,0), O(O,O)与B(0,3)的折线段C装15.求幂级数n,n^χn的收敛半径及收敛域6.求微分方程Xy y xe×的通解线O四、综合题（每题10分，共20分）21.用格林公式求I c （e y cosx 2y 2）dx （e y sinx 与）dy,其中C 为直线y x,y 3x 及X 1围成区域D 的边界，取逆时针方向2.求微分方程y 5y 6y 6x 7的通解2 2 2(1!) (2!) (n!)收敛(2n)!五、证明题（8分）利用比较判别法和比值判别法证明级数201—2020学年第二学期期末考试《高等数学(A)H 》答案及评分标准一、 填空题(每题3分，共15分) 2 1. { 2,3} 2. 5 3. 4. 2 5. 1 3二、 选择题(每题3分，共15分) 1. B 2. D 3. B 4. C 5. A 三、 计算题(每题7分，共49分) 1.解：Z X e xy y(x 3y)e xy , Z y 3e xy X(X 3y)e xyZ X (1, 1) 2.解：y 4x,z故切线方程为—11 法平面方程为 X 2d 0 3.解: 3e 5 分，Zy (1, 1)3X 2 ， 口4 4( y 4 r 21 2 dr 2 r 0 2e 1，故 dz Z X dX Z y dy 3e 1dx e切向量TZ 1 32) 3( Z 2 {1,4,3}1)rdz0 分, 2 2 r (4即 x 4y 3z 12 2 64 I d 0 15 r 2)dr 4•解: AO (4xy 2)ds 5•解: lim 1/(n I)n2时，级数 n(4x OB X2门1 n 1 /n 2 丄收敛， y 2)ds 14xdxOy 2dy 2x6.解：原方程化为y _y e x1dy0 128 15133y311Iim nn 2(n 1)2时，级数 -发散，故收敛域为［ 2,2) -，则原方程化为 XIdu 1dx e e U dU 1dx ， X 四、综合题(每题10分, I n 共20分) 1•解: e y cos X 2y 2，Q 4y)dxdy X C ，故所求通解为 In X X ln( In XC)e y Sin X 2•解: 故y (X D 特征方程为r 2 6 y 0的通解为 5y 设特解y* ax b ， 五、证: a 1、b 证明题 2(1!)1 dx 0 3x(X X 4y)dy ,则-P yI 。
2019—2020学年第二学期期末考试试卷和答案
收敛收敛收敛 =-==∞→+=121211)(D. C. 3B. 0lim A.n n n n n n nn n u uuu u{81 D. 61 C. 41 B. 21 A.)(d }20,10,10),,( 4 则，设、=≤≤≤≤≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv xy z y x z y xnn n n n n n n n n n n n nn n n n n x x x x x f x xx f x x )1(3)1( D. )1(3)1( C. )1(4)1( B. )1(4)1( A. )()(131)()1(11 50100100--------=-+=-=+∑∑∑∑∑∞=+∞=∞=+∞=∞=的幂级数为展开成，则已知、三、计算题 (共5题，每题8分，共40分)方程处的切平面方程与法线，，在点求曲面、)1 2 1(1123 1222P z z y x +=++,d 122222222≥≤++Ω++=⎰⎰⎰Ωz a z y x v z y x I 为上半球体其中，分利用球面坐标求三重积、的线段，，与点，，为连接点其中，求曲线积分、)3 5 2()1 2 3( d )( 3B A L s z y x I L⎰+-=装的收敛半径及收敛域求幂级数、∑∞=14 4n nn x n订的通解求微分方程、y y x '='' 5线四、综合题 (共3题，每题10分，共30分)的极值求函数、23),( 133++-=xy y x y x f取顺时针方向是圆其中，分利用格林公式求曲线积、,4d )31e (d )31e ( 22233=+++-=⎰y x C y x x y y I x C x的通解、求微分方程123-='+''x y y2019—2020学年第二学期期末考试 《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准一、填空题(每题3分，共15分)11、 ；收敛、 2；213、；44、；)(e 5C x y x +=、二、选择题(每题3分，共15分) D 1、；A 2、；C 3、；A 4、；B 5、 三、计算题(每题 8分，共40分)1123),,( 1222--++=z z y x z y x F 令解：、1246-='='='z F y F x F z y x ，，则 ，}1,8,6{=⇒n023860)1()2(8)1(6=-++=-+-+-z y x z y x ，即故切平面方程为118261-=-=-z y x 法线方程为⎰⎰⎰=aI 022 0 d sin d d 2ρϕρϕθππ、解：⎰⎰=222 0d sin 21d ππϕϕθa ⎰=πϕ2 02d 21a 2a π= 3、}2 3 1{，，解： -==AB s ， 线段AB 的方程为213213-=-=--z y x ，即参数方程)10(21 323≤≤⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t t z t y t x ， 2,3,1='='-='⇒z y x t t ， 故原式⎰-=1d 14)22(t t 102)2(14t t -=14=414lim /4)1/(4lim 41=+=+=∞→+∞→n n nn n n n n ρ 、解： ，41=∴R 时当41-=x ， 收敛级数∑∞=-1)1(n n n ，时当41=x ，发散级数∑∞=11n n，)41,41[-故收敛域为 )( 5x p y ='令解：、，则原方程化为x xp p d 1d 1= ⎰⎰=⇒x xp pd 1d 1，1ln ln ln C x p +=故，x C y x C p 11='=⇒，即 故所求通解为22112d C x Cx x C y +==⎰四、综合题 (每题10分，共30分)1、解：x y f y x f y x 33 3322+-='+='，，解⎩⎨⎧=+-=+03303322x y y x 得)1 1( )0 0(-，，， 又y f f x f yy xy xx 6 3 6-=''=''=''，， ， 在点)0 0(，处，092>=-=∆AC B ，不取极值在点)1 1(-，处，060272>=<-=-=∆A AC B 且，取极小值，极小值为1)1 1(=-，f 3331e 31e 2x Q y y P x x +=-=，令解：、，则22e e x x Q y y P x x +=∂∂-=∂∂， ⎰⎰+-=⇒Dy x y x I d d )(22r r d d 232 0 ⎰⎰-=πθ⎰-=πθ2 04d π8-=0 32=+r r 特征方程为、解：，1 0 21-==⇒r r 、，x C C Y -+=e 21故齐次方程的通解为)(*b ax x y +=设特解，1222 *-=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧-=+=⇒1222b a a 3 1-==⇒b a 、，x x y 3*2-=⇒x x C C y x 3e 221-++=-故通解为。
2019-2020学年高数下试卷5及答案
2019—2020学年第二学期考试卷5高等数学(A)Ⅱ课程 工科 类别：必 闭卷（√）试卷编号： (A)卷考生注意事项：1、本试卷共 4 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
3、考试独立完成，发现雷同试卷一律按零分处理。
一、填空题（共6题，每题2分，共12分）ln 1x x yzx z y y=∂∂=则，设、)d (d d ) (d 2 1 01 02⎰⎰⎰⎰=yyxx x y x f yy y x f x，，交换积分次序、34d 1 3222π==++Ω⎰⎰⎰Ωv z y x 则围成，由球面设、 41d )1 1()0 0( 42==⎰Cx xy A O x y C 则，，到，从点为曲线设、∑∞=+-=+=012)1( )(21)( 5n n n n x x f x x x f 的幂级数为展开成函数、 044 2 6=+'-''y y y 则该方程为，的实根方程的特征方程有相同设二阶常系数线性齐次、二、计算题（58分）1、多元函数微分学应用（共2题，每题6分，共12分）切平面方程处的，，在点求曲面)2 1 1()1(32-+=y x z 的极值求函数x y xy x y x f 3),( )(222++-=23 2 y z x z y x ='='，解：Θ y x f y x f y x 2 32 +-='+-='，解： }1 3 2{ --=∴，，法向量n ρ )1 2( 02032--⎩⎨⎧=+-=+-，得解y x y x 0)2()1(3)1(2 =---++-z y x 故切平面方程为2 1 2 =''-=''=''yy xy xxf f f ，，又 0332 =++-z y x 即 02 03C 2>=<-=-A A B 且，故 3)1 2(-=--，因此所求极小值为f2、重积分（共2题，每题6分，共12分）围成和由抛物线其中，利用直角坐标求2 d d )1(x y x y D y x y xI D===⎰⎰⎰⎰=xx y y x xI 1 02d d 解： ⎰⎰=yy x y x yI 12d d⎰-=1 0343)d (32x x x x ⎰-=14)d (21y y y y556)51114(32105411=-=x x556)11252(211021125=-=y y围成、及平面由柱面其中，利用柱面坐标求1 04 d )2(2222===+Ω+=⎰⎰⎰Ωz z y x v y x I⎰⎰⎰=122 0 2 0d d d z r rI πθ解：⎰⎰=2 022 0 d d r r πθ⎰=πθ2 0d 38316π=3、曲线积分（共2题，每题6分，共12分）的一段弧，与，上点为抛物线其中，求曲线积分)2 2()0 0( 2 d )(12A O x y C s y C=⎰y x y x y ='∴= 22，解：Θ xy 21='⎰⎰+=22d 1dy y y s y C故⎰⎰+=2d 2112d x xx s y C22322 0 22)1(31)d(1121y y y y +=++=⎰ ⎰++=2 0 )2d(12121x x 2023)21(31x +=)155(31-= )155(31-=所做的功，，求此过程力，，，移动到点，，从点：一质点沿曲线} { )1 1 1()0 0 0( )2(32x y z F A O tz t y t x L -=⎪⎩⎪⎨⎧===ρ⎰+-=Lz x y y x z W d d d 解：⎰⋅+⋅-=1223d )32(t t t t t t2121d 210413===⎰t t t4、无穷级数（共2题，第(1)题4分，第(2)题6分，共10分）的敛散性判断级数∑∞=+151)1(n n n2/3511 nn n <+Θ解：收敛又∑∞=12/31n n收敛∑∞=+∴1511n n装 的收敛域求幂级数∑∞=121)2(n n x n1)1(lim /1)1/(1lim 2222=+=+=∞→∞→n n n n n n ρΘ解： 1 =∴R收敛级数时，当∑∞=--=12)1( 1n nn x 收敛级数时，当∑∞==1211n nx 订 ]1 1[，故收敛域为-5、微分方程（共2题，每题6分，共12分）的通解求微分方程xyx y y 2)1(+='xyu =令解： x x u ud 1d 21 =则原方程化为C x u +=ln 两边积分得 2)(ln lnC x x y C x xy+=+=即，所求通解为线 的通解求微分方程x y cos )2(=''' 1sin d cos C x x x y +==''⎰解：211cos d )(sin C x C x x C x y ++-=+='⎰3221212sin d )cos (C x C x C x x C x C x y +++-=++-=⎰通解、三、综合题（共2题，每题10分，共20分）的通解求微分方程、1234 1+=+'+''x y y y034 2=++r r 特征方程为解： 3 1 21-=-=⇒r r 、 x x C C Y 321e e --+=故齐次方程的通解为 b ax y +=*设特解 12343 *+=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧=+=⇒13423b a a 95 32-==⇒b a 、 9532*-=⇒x y9532e e 321-++=--x C C y x x 故通解为)1 1(2)0 0(d )e (d )2e ( 222，到点沿曲线，从点其中，求曲线积分、A x y x O C y y x x x I Cy y =++++=⎰y x Q x P yy+=+=e 2e ，令解：，y y xQy P e e =∂∂=∂∂，则无关故曲线积分与积分路线， yP x Q ∂∂=∂∂⇒ ⎰⎰+++=BAOB y Q x P y Q x P I d d d d 因此 ⎰⎰+++=BAOB y Q x P y Q x P I d d d d⎰⎰+++=10 1 0d )e (d )21(y y x x y⎰⎰++=110 d )2e (d x x y y102102)21e ()(y x x y+++= 102102)e (21x x y ++= 23e += 23e +=四、证明题（共2题，第1题6分，第2题4分，共10分）z yz y x z x u f x y f x z -=∂∂+∂∂= )( )(1 1证明：可导，其中，设、f xy f x x z '--=∂∂321 Θ证： ， f x y z '=∂∂21z f x f xy f x y f x y z y x z x -=-='+'--=∂∂+∂∂∴11 22发散证明级数，常数收敛，设级数、∑∑∞=∞=+≠11)( 0 2n nn n a u a u0lim 1=∴∞→∞=∑nn n n u u 收敛，证：Θ发散故，∑∞=∞→+≠=+=+⇒1)( 00)(lim n nn n a ua a a u。
2019-2020年高二下学期期末考试理数试题 含解析
2019-2020年高二下学期期末考试理数试题 含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面上表示的点位于 （ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且，则 （ ）A ．-6或-2B ．-6C ．2或-6D ．2【答案】 【解析】试题分析：，若,则两直线平行，或直线过点两种情况，当平行时，，当过点时，代入，解得：，故先A.考点：1.集合的运算；直线的位置关系.3.已知具有线性相关的两个变量x,y 之间的一组数据如下：0 1 2 3 42.24.3t4.86.7且回归方程是,则t= （ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.54.设是两个单位向量,其夹角为,则“”是“”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设集合,,从集合中任取一个元素,则这个元素也是集合中元素的概率是( )A. B. C. D.【答案】【解析】试题分析：，，，所以考点：1.解不等式；2.几何概型.6.下列四个结论：①若，则恒成立；②命题“若”的逆命题为“若”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是 ( )A.1个B.2个C.3个 D.4个7.已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是( ) A． B． C． D．8.设随机变量X服从正态分布，则成立的一个必要不充分条件是（）A．或2 B．或2 C． D．【答案】【解析】试题分析：若等式成立，那么，解得，解得或，所以必要不充分条件是.考点：1.正态分布；2.必要不充分条件.9.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为（）A.2k+1B.2（2k+1）C.D.10.设，则的最小值为（）A. 2B.3C.4D.11.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标，若是3的倍数，则满足条件的点的个数为（）A．252 B．216 C．72 D．42【答案】【解析】试题分析：将集合分为：,,,若是3的倍数，那么3个集合各取3个数，共有,或各取1个，共,所以考点：排列12.设函数，则函数的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，含项的系数为_________.（用数字作答）14.已知函数是上的奇函数，且为偶函数．若，则__________ 【答案】 【解析】试题分析：因为是偶函数，所以，所以函数关于对称，那么，所以函数满足，所以函数是的周期函数，所以 考点：函数的性质15.函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是______.据此规律，第个等式可为____________________________________. 【答案】nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 【解析】试题分析：根据归纳推理，观察所得，等号左边，第行有个数字加减，等号有边，第行有个数字相加，并且是后个，所以，猜想第个等式是nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-.考点：归纳推理三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题共10分）已知函数 （1）解关于的不等式;（2）若的解集非空，求实数的取值范围.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值不等式的性质.18.（本小题共12分）在极坐标系中，曲线23)3cos(:),0(cos 2=->=πθρθρl a a C ：,曲线C 与有且仅有一个公共点. （1）求的值；（2）为极点，A ，B 为C 上的两点，且，求的最大值.1 9.（本题满分12分）某中学一名数学老师对全班名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分分），其中分（含分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（I）根据以上两个直方图完成下面的列联表：（II）根据中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（Ⅲ）若从成绩在的学生中任取人，求取到的人中至少有名女生的概率．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）【解析】试题分析：(Ⅰ)每一个小矩形的面积，表示此分数段的频率，频率=人数，将不同等级的燃烧，填入表格；（Ⅱ）根据表格，计算相关系数，根据表，得到结论；（Ⅲ）根据频率分布直方图得到成绩在的学生共有男生4人，女生2人，取到2人至少有1名女生的对立事件是2人都是男生，所以可以先按对立事件计算概率，然后用1减.试题解析：解：(1)成绩性别优秀不优秀总计男生13 10 23女生7 20 27总计20 30 50……………4分20.（本小题满分12分）如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，∥，，，．⑴证明：平面平面；⑵当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】(1)详见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)根据面面垂直的判定定理，线面垂直，则面面垂直，，所以证明平面,又可证明,得证；（2）第一步，要先证明点在什么位置时，体积最大，首先根据上一问的垂直关系，和即，可以判断与二面角的平面角互补二面角的余弦值为.…………………12分考点：1.面面垂直的判定定理；2.空间向量求二面角；3.基本不等式求最值.21.已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点,且它的离心率.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(Ⅱ) 因为直线:与圆相切22.（本小题满分12分）已知函数，（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若k为正常数，设，求函数的最小值；（Ⅲ）若，证明：.【答案】(Ⅰ)的单调递增区间是，单调递减区间是;(Ⅱ)；（Ⅲ）详见解析.【解析】试题分析：利用导数考察函数的综合问题，（Ⅰ）第一步，求函数的导数，定义域，第二步，求函数的极值点，并判断导数的正负区间，即单调区间；（Ⅱ）首先求函数和函数的定义域，然后求函数的导。
2019-2020年高二下学期期末考试 数学理 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学理含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，则A. B. C. D.2．已知是虚数单位，则等于A．B．C．D．3．公差不为零的等差数列第项构成等比数列，则这三项的公比为A．1 B．2 C．3 D．44．从中任取个不同的数，设表示事件“表示事件“取到的个数均为偶数”，则A．B．C．D．5.在中,已知,且,则A.B.C. D.6．执行如右图所示的程序框图，输出的值为A．B．C．D．7. 如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为锐角的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为A．B．C．D．8．函数的图象是A．B．C．D．9. 已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为A．B．C．D．10．已知球的直径，是球球面上的三点，是正三角形，且，则三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）俯视图11. 过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.12．已知函数的两个极值点分别为且，记分别以为横、纵坐标的点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数的取值范围为A．B．C．D．试卷Ⅱ（共90 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．某市有A、B、C三所学校共有高二理科学生1500人，且A、B、C三所学校的高二理科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二理科学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_____人.14．过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为.15. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为．16．观察下列算式：，若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17. （本题满分12分）已知中，角所对的边分别是，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值．18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （Ⅱ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分）在三棱柱中，侧面为矩形，为 中点，与交于点，丄面．(Ⅰ )证明：(Ⅱ)若求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率且经过点，抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合．（Ⅰ）过的直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，求直线的交点的轨迹方程； （Ⅱ）从圆上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为，试问的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。
2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
1. 已知集合6,2,0,4,2,1B A ，则B A _________。
2. 如果复数mi i 11是实数，则实数m _________。
3. 已知2053cos x x ，则x 2sin 的值为_________。
4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m,作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5y x 上的概率为_________。
5. 已知函数0,log 0,22xx x x x f ，则2f f 的值为_________。
6. 执行下边的程序框图，若4p ，则输出的S _________。
7. 直线b x y平分圆082822y x y x 的周长，则b __________。
8. 等比数列n a 的各项均为正数，31a ，前三项的和为21，则654a a a __________。
9. 已知实数y x,满足2211y x y x xy ，若y x z 3在y x,处取得最小值，则此时y x,__________。
10. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b b a ab 2，则满足x ⊙02x 的实数x 的取值范围是__________。
11. 在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，D 为斜边BC 的中点，则AD AB 的值为__________。
12. 已知函数2,0,6sin 2x x x f ，则该函数的值域为__________。
13. 把数列n 21的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k 行有12k 个数，第k 行的第s 个数（从左数起）记为s k,，则20121可记为__________。
14. 如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动，设顶点y x P ,的纵坐标与横坐标的函数关系式是x f y ，x f y 在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积记为S ，则S=__________。
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案一、选择题（共12小题，共60分） 1．设，则下列不等式一定成立的是（ ） (A) (B) (C) (D)2．已知实数x ，y 满足，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、03．若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.或4．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2975．已知，则“”是“成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 7．已知，则“”是“成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知变量x,y 满足约束条件 则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．(3,6] 9．当时，的最小值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16 10．已知实数满足，则目标函数的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( )A ．1B ．C ．D ．2 12．已知数列是公比为2的等比数列，若，则= ( )A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13．已知向量，若⊥，则16x +4y 的最小值为 ．14．在锐角中,，三角形的面积等于，则的长为___________. 15．已知数列中，，，则=___________. 16．不等式的解是___________. 三、解答题（8小题，共70分）17．已知等比数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 4=a 6． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列b n =，求该数列{b n }的前n 项和S n ．18．已知数列的各项均为正数，是数列的前n 项和，且． （1）求数列的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．19．在中，已知内角，边.设内角,面积为. (1)若，求边的长； (2)求的最大值. 20．等差数列中，，（），是数列的前n 项和. （1）求；（2）设数列满足（），求的前项和．21．已知的三个内角成等差数列，它们的对边分别为，且满足，． （1）求；（2）求的面积．22．已知函数，且的解集为． （1）求的值；（2）若，且，求证：． 23．已知数列满足首项为，，．设，数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 24．已知正实数、、满足条件， （1）求证：；（2）若，求的最大值．参考答案 1．D 【解析】试题分析：本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D ，事实上由于函数是增函数，故是正确的． 考点：不等式的性质． 2．B 【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8考点：线性规划. 3．D【解析】根据0220x y x y y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩画出平面区域（如图1所示），由于直线斜率为，纵截距为，自直线经过原点起，向上平移，当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 4．B【解析】由已知及等差数列的性质得， 所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.5．B【解析】解得其解集，解得， 因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 6．B【解析】由已知及等差数列的性质得， 所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.7．B【解析】解得其解集，解得， 因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 8．A 【解析】试题分析：画出可行域，可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（），（）则可知k ＝的范围是. 考点：线性规划，斜率. 9．D 【解析】试题分析：因为所以＝16.考点：基本不等式的应用.10．C【解析】试题分析：作出可行域如图：再作出目标函数线，并平移使之经过可行域，当目标函数线过点时纵截距最小但最大，此时.故C正确.考点：线性规划问题.11．A【解析】试题分析：由正弦定理得，即。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)WI
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．(0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin2t在相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线和法平面方程。
解：1cos ,sin ,2cos2t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{}1cos ,sin ,2cos 2t T t t =-, 已知平面的法向量为{1,1,2n =.且T ∥n ,故2cos 1cos sin 11tt t-==解得π2t=，相应点的坐标为π2⎛- ⎝.且{1T = 故切线方程为π11211x y -+-==法平面方程为π1102x y z -++--=即 π042x y ⎛⎫+-=+⎪⎝⎭.2．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x y x y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x y x y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号．3．证明：22d d x x y yx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22x P x y =+，22yQ x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22d d x x y yx y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦知()()221ln ,2u x y x y =+．4．验证下列P (x , y )d x +Q (x , y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x , y )的全微分，并求这样的一个函数u (x , y )： (1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ． 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x y x y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Qx y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y，2316∂∂=+=∂∂P Q x xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyy y y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x y x∂=-∂， 有P Qy x∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰5．求下列线性微分方程的通解：(1)e x y y -'+=;解：由通解公式d de e e e d e ()e e d xx x x x x x y x c x c x c -----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==⋅+=+⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2(2)32xy y x x '+=++；解：方程可化为 123y y x x x'+=++ 由通解公式得11d d 22e (3) e d 12(3)d 132.32x x x x y x x c x x x x c x x c x x x-⎡⎤⎰⎰=++⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⋅+⎢⎥⎣⎦=+++⎰⎰ sin (3)cos e ;x y y x -'+=解： cos d cos d sin sin e e ().e e d x xx x x x y x c x c ---⎰⎡⎤⎰==+⋅+⎢⎥⎣⎦⎰(4)44y xy x '=+;解： 22(4)d (4)d 22e e 4e d 4e d x xx x x x y x x c x x c ----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()222222e e e 1x x x c c -=-+=-.3(5)(2)2(2)x y y x '-=+-;解：方程可化为2d 12()d 2y y x x x x -=-- 11d d 222ln(2)2ln(2)3e 2(2)e d e 2(2)e d (2)2(2)d (2)(2)x x x x x x y x x c x x c x x x c x c x --------⎰⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=--+⎣⎦=-+-⎰⎰⎰22(6)(1)24.x y xy x '++=解：方程可化为 2222411x x y y x x '+=++ 222222d d 1123ln(1)224e ed 14e 4d 3(1)xxx x x x x x y x c x x c x x c x -++-+⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=+=⎣⎦+⎰⎰6．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2= a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向； (2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2= 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； (4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z2= 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式22d d dcos cos cos ddπy x z y x zR Q Q PP Rsy z x yz xssaaΓ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++-⎪⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)记为Σ为平面32x y z++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ（是一个边长为2的正六边形）；Σ的单位法向量为{}cos,cos,cosαβγ==n．由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡+----=--⎢⎣=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x 2+y 2+z 2=9，z =0实际就是xOy 面上的圆x 2+y 2=9，z =0，取Σ：z =0，D xy ：x 2+y 2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d 3d d d d d d d d 000032d d d d π39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyD y x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑7．计算下列对面积的曲面积分： （1）4d 23s z x y ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第I 卦限中的部分； （2）()2d 22s xy xx z ∑--+⎰⎰，其中∑为平面2x +2y +z =6在第I 卦限中的部分；(3)()d s x y z ∑++⎰⎰,其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分； (4)()d s xy yz zx ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分； (5)()222d s R x y ∑--⎰⎰，其中∑为上半球面z =解：（1）4:423z x y ∑=--(如图10-69所示)图10-69d d d s x y x y ==故4d 4d d d d 23331232xy xy D D s x y x y z x y ∑⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭=⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)∑:z =6-2x -2y (如图10-70所示)。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ACQ
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,z v ∂∂； (2)z ＝arc tanx y , x ＝u ＋v ,y ＝u －v , 求z u ∂∂,z v ∂∂； (3)ln(e e )x y u =+, y ＝x 3, 求d d u x; (4) u ＝x 2＋y 2＋z 2, x ＝e cos t t , y ＝e sin t t , z ＝e t , 求d d u t. 解：（1） 222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z y xy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y u y x y u v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vy x x y y y x u x y u v -∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x xx y x y x y x y x x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.2．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0LP x y x =⎰其中P (x , y )在L 上连续．证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x a b t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰3．在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+=证：方程22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得22x y y x y-'=- 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==证：方程ln()y xy =两端对x 求导：11y y x y ''=+ () 得(1)y y x y '=-. ()式两端对x 再求导得22211(1)1y y x x y y ⎡⎤''+=-⎢⎥--⎣⎦将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.4．计算下列对弧长的曲线积分：(1)22()d n L x y s +⎰，其中L 为圆周x =a cos t , y =a sin t (0≤t ≤2π); (2)()d Lx y s +⎰,其中L 为连接（1,0）及（0，1）两点的直线段；(3)d Lx s ⎰,其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界； (4)22e d x y L s +⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2，直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；(5)2221d s x y zΓ++⎰，其中Γ为曲线x =e t cos t ,y =e t sin t ,z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧；(6)2d x yz s Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A ，B ，C ，D 依次为点（0,0,0）,(0,0,2),(1,0,2),。
2019-2020学年度高二下数学期末考试答案
2019～2020学年度第二学期期末考试高二数学参考答案及评分标准 2020．7一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．BCDA BCDD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．ACD 10．BC 11．BCD 12．ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1m - 14．8 15．(,1][2,)-∞+∞ 16． 157301()22 674四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）………………………………………………………………………………4分（2）22105(15302040)211.9095550357011K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯． ······································· 8分 因为2 1.909 2.706K ≈<，所以没有90%的把握认为“成绩与班级有关”． ································· 10分 18．（本小题满分12分）解：（1）当0x 时，0x ， ··································································· 1分 因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 故22()()()2()323f x f x x x x x ． ································ 5分 所以2223, 0 ,()23, 0 x x x f x x x x ．······················································· 6分（2）223yx x 图象的对称轴为直线10x．又223yx x 的图象开口向上，所以()f x 在[0,)上单调递增． ········· 7分又()f x 是定义在R 上的偶函数， 故(21)(|21|)f m f m ，(2)(|2|)f m f m ． ································ 9分 由(21)(2)f m f m ，得(|21|)(|2|)f m f m ．又()f x 在[0,)上单调递增，所以|21||2|m m ，即22(21)(2)m m ． ····································· 11分 解得11m ．故m 的取值范围是(1,1)．········································· 12分 19．（本小题满分12分） 解：（1）2(4(1)40)ax a bx f x b ．由题意，2(41)40ax a x b 的解集为{|12}x x ，则0a ．且11x ，22x 是方程2(41)40ax a x b 的两个实根．··············· 2分 故12(41)3a x x a，1242b x x a，解得1,6.a b ·················· 4分（2）()0f x ，即(1)(4)0ax x ．·························································· 5分 ①当0a 时，有40x ，得4x ． ··············································· 6分 ②当0a 时，有1()(4)0xx a ，此时14a ．解得14x a ． ············· 7分 ③当0a 时，有1()(4)0xx a． ···················································· 8分 若104a ，则14a ．解得4x ，或1x a ； ···································· 9分 若14a ，此时不等式为2(4)0x ．解得4x ；······························· 10分若14a，此时14a．可得1xa ，或4x ． ······································ 11分 综上，0a 时，解集为1{|4}x x a ；0a 时，解集为{|4}x x ；104a 时，解集为{|4x x ，或1}x a ；当14a 时，解集为{|4}x x ≠；当14a 时，解集为1{|x x a，或4}x ． ············································································· 12分 20．（本小题满分12分）（1）A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=； ············································ 2分 （2）B 恰好答对两个问题的概率为223214C ()339⋅=． ········································ 4分 （3）X 所有可能的取值为1,2,3．124236C C 1(1)C 5P X ===；214236C C 3(2)C 5P X ===；304236C C 1(3)C 5P X ===． ···································································· 7分所以131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=． ·················································· 8分 由题意，随机变量Y ～2(3,)3B ，所以2()323E Y =⨯=． ·························· 9分 2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=． ····························· 10分 212()3333D Y =⨯⨯=． ····································································· 11分 因为()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定．所以选择投票给学生A ． ·································································· 12分 21．（本题满分12分）解：（1）由题意，判别式214104a ∆=-⨯⨯， ·············································· 2分 解得11a -．所以实数a 的取值范围是11a -． ······························· 4分 （2）当1x >时，()ln 0g x x =-<，()min{(),()}()0h x f x g x g x =<，所以()h x 在(1,)+∞上无零点． ····························································· 6分由题意，()h x 在(0,1]上有三个零点． 5(1)4f a =+，(1)0g =， 若(1)(1)f g ，则54a -，(1)(1)0h g ==，1是()h x 的一个零点；若(1)(1)f g <，则54a <-，(1)(1)0h f =<，1不是()h x 的一个零点． ········· 8分当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->．由题意，1是()h x 的一个零点，且21()4f x x ax =++在(0,1)上有两个零点． ····································································································· 9分所以54a -，且21410,401,21(0)0,45(1)0,4a a f f a ⎧∆=-⨯⨯>⎪⎪⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪⎪⎪=+>⎩解得514a -<<-． ······················ 11分综上，若()h x 有三个零点，a 的取值范围是514a -<<-． ······················· 12分 22．（本小题满分12分）证明：（1）()f x 的定义域为R ．由()(1)e 1x f x x x =---，得()e 1x f x x '=-，()(1)e x f x x ''=+． ················· 1分()01f x x ''<⇔<-；()01f x x ''>⇔>-．所以()f x '在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． ······················· 2分 所以1min ()(1)e 10f x f -''=-=--<． 当1x <-时，显然()0f x '<；当1x >-时， 1211()e 1022f '=-<，(1)e 10f '=->， ······························· 3分故存在唯一的实数01(,1)2x ∈，使得0()0f x '=．综上，()f x 在0(,)x -∞上单调递减，()f x 在0(,)x +∞上单调递增．因此，()f x 存在唯一的极值点，且为极小值点． ···································· 4分 （2）由（1）知，0()(1)20f x f <=-<，2(2)e 30f =->，且()f x 在0(,)x +∞上单调递增．所以()0f x =在0(,)x +∞上存在唯一的实根α，且(1,2)α∈． ··················· 5分 由12α<<，得21α-<-<-．()(1)e 1f αααα--=--+-e [(1)e 1]αααα-=---e ()f αα-=0=， ············ 6分 由（1），01(,1)2x ∈，所以0x α-<．又()f x 在0(,)x -∞上单调递减，所以()0f x =在0(,)x -∞上存在唯一的实根α-． 综上所述，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数． ············· 7分 （3）由()(1)e 1n f n n n --=--+-e [(1)e 1]n n n n -=---e ()n f n -=，可得()e ()n f n f n =-，因此|()|e |()|n f n f n =-． 由（2）可知，对*n ∀∈N ，()0f n ≠，()0f n -≠．22|()|(22)|()|f n n n f n >++-⇔21|()|(1)|()|2f n n n f n >++-⇔21e |()|(1)|()|2n f n n n f n ->++-⇔21e 12n n n >++． ································ 9分令21()e 12x h x x x =---，求导得()e 1x h x x '=--，()e 1x h x ''=-．当0x >时，()e 10x h x ''=->，因此()e 1x h x x '=--在(0,)+∞上为增函数． 因此，当0x >时，()(0)0h x h ''>=，所以21()e 12x h x x x =---在(0,)+∞上为增函数． ································· 11分 所以，当0x >时，()(0)0h x h >=，即21e 102x x x --->．因此21e 12x x x >++．因为*n ∈N ，所以21e 12n n n >++． 因此原不等式成立．······················· 12分。
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题(每空3 分，共15 分）1。
设,则.2。
曲面在点处的切平面方程是.3.交换累次积分的次序：.4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成，则：使得格林公式：成立的充分条件是：。
其中L是D的取正向曲线；5.级数的收敛域是。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.当，时,函数的极限是A。
等于0； B. 等于；C。
等于; D. 不存在.2.函数在点处具有偏导数,是函数在该点可微分的A.充分必要条件；B。
充分但非必要条件；C。
必要但非充分条件； D. 既非充分又非必要条件。
3.设,则A。
; B。
；C.；D。
4.若级数在处收敛，则此级数在处A。
绝对收敛; B。
条件收敛；C.发散；D.收敛性不确定。
5。
微分方程的特解应设为A.;B.；C.;D.。
三。
（8分）设一平面通过点，而且通过直线,求该平面方程.解：平行该平面该平面的法向量所求的平面方程为：即：四.（8分)设，其中具有二阶连续偏导数,试求和.解：令，五.（8分）计算对弧长的曲线积分其中是圆周与直线在第一象限所围区域的边界.解：其中：：：：而故：六、（8分)计算对面积的曲面积分，其中为平面在第一卦限中的部分.解：：,七。
（8分）将函数,展开成的幂级数.解:，而,,,八。
（8分)求微分方程：的通解。
解:，原方程为：通解为：九。
幂级数:1。
试写出的和函数；（4分）2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分)解:1、于是2、令：由1知：且满足：通解：由，得:；故:十.设函数在上连续,且满足条件其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与平面(参数)所围成的空间区域。
1、将三重积分写成累次积分的形式；（3分) 2、试求函数的表达式。
（7分）解:1、旋转曲面方程为：由，得：故在面的投影区域为：：2、由1得：记：则:两边乘以：，再在上积分得：解得：故:第二学期期末高数（下)考试试卷及答案2三、填空题(每空3 分，共15 分)1.曲线，绕轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程是。
西南交通大学期末真题及答案19-20高等数学II半期考试试卷参考解答
西南交通大学2019－2020学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。
要求独立完成，诚信参考！考试诚信承诺书。
我郑重承诺：我愿意服从学校本次考试的安排，承认考试成绩的有效性，并已经认真阅读、了解了《西南交通大学考试考场管理办法》和《西南交通大学本科生考试违规处理办法》，我愿意在本次考试过程中严格服从监考教师的相关指令安排，诚信考试。
如果在考试过程中违反相关规定，我愿意接受《西南交通大学本科生考试违规处理办法》的规定处理。
您是否同意：A. 同意B. 不同意选择B 选项，本次考试无效。
一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。
解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。
二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂z x。
2019-2020年高二下学期期末考试 数学理含答案
2019-2020年高二下学期期末考试 数学理含答案一、选择题1.集合{}{}2|2,,|1,,A x y x x R B y y x x R A B ==-∈==+∈⋂则=（ ）A ． B. C. D.2.复数的值是（ ）A. B. C. D.3.下列各组函数是同一函数的是（ ）A.与B.与C.与D.与4.函数的图象是（ ）5.若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）A. B.C. D.6.若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ．（0，1）B ．[0，2]C ．（2，3）D ．（2，4）7.若函数为奇函数，则=（ ）A. B. C. D.18.已知函数在上满足 ，则曲线在 处的切线方程是( )A. B. C. D.9.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则的取值范围是 （ ）A ．B ．或C ．或D ．或10.方程的解所在区间为（ ）A.（-1，0）B.（0，1）C. （1,2）D.（2,3）11.函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的值为（ ）A. B. C.或 D.或 12．已知R 上的不间断函数 满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。
又函数 满足：对任意的，都有成立，当时，。
若关于的不等式对恒成立，则的取值范围( )A. B. C. D.第II 卷（非选择题）二、填空题13．函数的单调递减区间为_______14.若函数在区间上是单调递减函数，则实数的取值范围是 ．15．设 ，若，则 ．16．为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：（1）如果不超过200元，则不予优惠；（2）如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；（3）如果超过500元，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。
2019-2020年高二数学期末试题及答案
2019-2020年高二数学期末试题及答案说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．试卷满分150，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在指定的答题栏内．1．⎩⎨⎧〉〉21y x 是⎩⎨⎧〉--〉+0)2)(1(3y x y x 的 ( )(A)充分条件 (B)必要条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件2．设两函数)(x f 与)(x g 的定义域都为R ，若不等式)(x f ＞0的解集为的解集为F )(x g ＜0的解集为G ，则不等试组⎩⎨⎧〈〉0)(0)(x g x f 的解集是 ( )(A)Φ (B) R (C) U F (D) G F3.设a 、b ∈R ，且3=+b a ，则ba 22+的最小值 ( )(A)6 (B)42 (C)22 (D)26 4.若锐角三角形的两边边长为1和2，则第三边的边长x 的取值范围是 ( ) (A)1＜x ＜3 (B)1＜x ＜3 (C)1＜x ＜5 (D)3＜x ＜5 5.若直线012)1(2=+---m y x m 不过第一象限，则实数m 的取值范围是 ( ) (A)21＜m ＜1 (B)-1＜m ≤21 (C)-21≤m ＜1 (D)21≤m ≤16.如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是 ( ) (A)- 31 (B)-3 (C)31 (D)37.方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围为 ( ) (A)a ＜-2或a ＞32 (B)- 32＜a ＜2 (C)-2＜a ＜0 (D)-2＜a ＜32 8.椭圆19252=+yx 的一个焦点为1F ，M 为椭圆上一点，且21=MF ，N 为线段1MF 的中点，则ON 的长(O 为原点)为 ( ) (A)23 (B)2 (C)4 (D)89.双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)，过左焦点1F 与左支相交的弦AB 长为m ，另一焦点为2F ，则Δ2ABF 的周长为 ( ) (A)a 4 (B)m a -4 (C) m a 24+ (D) m a 24- 10.抛物线的24ax y =(a ＜)0焦点坐标为 ( )(A) )0,41(a(B) )161,0(a (C) )161,0(a - (D) )0,161(a11.若双曲线12222=-b y a x 与12222-=-bya x (a ＞0，b ＞0)的离心率为1e 、2e ，当a 、b 变化时，2221e e +的最小值是 ( ) (A)4 (B)42 (C) 2 (D)2 12.过点(0，1)与抛物线)0(22〉=p px y 只有一个公共点的直线条数是 ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.13.设1=+y x ，x ≥0，y ≥0，则22y x +的最大值为 ．14.ΔABC 两个顶点是A (1，0)，B (0，3)重点G (2，2)，则C 点的坐是 ． 15.若圆422=+y x 与圆044422=+-++y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程是 ．16.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则椭圆离心率为 三、解答题：本大题共6小题，满发74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算骤.17.(本小题12分)解不等式325+--x x ＜1.18.(本小题12分)设a 、b ∈R ，求证：122+++ab b a ＞b a +.19.(本小题12分)有一批国产彩电，原价为每台2000元，甲、乙两家商场有销售.甲商场用如下办法促销：购买一台优惠2.5％，购买2台优惠5％，购买3台优惠7.5％，依次类推，即每多买一台，每台再优惠2.5个百分点，但每台最低价不能低于1500元.乙商场一律按原价的8折销售.某单位需购买一批彩电.问去哪家商场购买花费较少?请说明你的理由.20.(本小题12分)己知ΔABC 的顶点为A (1，1)，B (5，3)，C (4，5)，直线l 平分ΔABC 的面积，且l ∥AB ，求直线l 的方程.21.(本小题12分)己知直线032=-+y x 交圆0622=+-++F y x y x 于点P 、Q 、O 为原点，问F 为何值时，OQ OP ⊥.22.(本小题12分)己知抛物线p px y (22=＞0)有一内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，一直角边所在的方程为x y 2=，斜边长为134，求抛物线方程.河北雄县中学02-03年上学期高二数学期末考试答案(测试范围：不等式、直线与圆、圆锥曲线)一、选择题(每小题5分，共60分)二、填空题(每小题4分，共16分)13.1 14.(5，3) 15.02=+-y x 16.215- 三、简答题(74分)17.解：原不等式同解于⎪⎩⎪⎨⎧〈++--≤132523x x x ……………………………………………………（2’）或⎪⎩⎪⎨⎧〈---≤〈-1325523x x x ………………………………………………………………………………（4’） 或⎩⎨⎧〈---〉13255x x x …………………………………………………………………………………(6’) ∴x ＜-7或31＜x ≤5或x ＞5 ……………………………………………………………………(10’) ∴原不等式的解集为{xx ＜-7或x ＞}31…………………………………………………………(12’)18.证明：(1)∵b a ab b a --+++122 …………………………………………………(2’)=032)31(43)212(22〉+-+-+b b a ……………………………………………………(10’) ∴b a ab b a +〉+++122 ……………………………………………………………(12’)或证明(2)∵2()(2122b a ab b a +-+++…………………………………………………………(2’) =)2()12()12(2222b ab a b b a a ++++-++- ……………………………………(8’)=0)()1()1(222〉++-+-b a b a ………………………………………………………(10’) (∵b a b a +--,1,1不可能同时为0)∴b a ab b a+〉+++122…………………………………………………………………(12’)19.解：设该单位购买x 台彩电，则在甲商场的花费为⎪⎩⎪⎨⎧-=xx x x f 1500)1005.21(2000)( )10()100(≥〈〈x x ……(2’)在乙商场的花费为x x x g 1600100802000)(=∙= …………………………………… (4’)显然当x ≥10时，)(x f ＜)(x g …………………………………………………………(6’)当0＜x ＜10时，,40050)()(2x x x g x f +-=-解,0400502≥+-x x 得0＜x ≤8…………………………………………………… (10’)综上所述，若购买不超过7台，则到乙商场购买花费较少； 若购买8台，则到甲、乙商场购买花费一样；若购买超过8台，则到甲商场购买花费较少.……………………………………………………(12’)20.解：如图所示，∵l ∥AB ，∴2122==∆∆ACCD S S ABC CDF …………………………………………(4’) ∴12+=ACCD ……………………………………………… (6’)设D),(y x ，由定比分点公式得：225,2238-=-=y x …… (8’)又21=AB K ………………………………………………………………………………………(10’) ∴直线l 的方程这0251242=-+-y x ………………………………………………… (12’)21.解：由⎩⎨⎧=+-++=-+0603222F y x y x y x ………………………………………………………… (2’)消去y 得02741052=-++F x x ……………………………………………………… (4’)∴2,52742121-=+-=x x F x x ………………………………………………………… (6’)则51223232121Fx x y y +=-∙-=……………………………………………… (8’) ∵OQ OP ⊥，则02121=+y y x x …………………………………………………… (10’) 得F =3. …………………………………………………………………………………… (12’) 22.解：设直线OA 为x y 2=，∵OB OA ⊥,则OB 方程为x y 21-=…………………………………………………（2’） 由⎩⎨⎧==x y px y 222得⎩⎨⎧==00y x 或⎪⎩⎪⎨⎧==py px A A 2………………………………………………… (4’)∴222245p y x OA A A =+=………………………………………………………………（6’）由⎪⎩⎪⎨⎧-==x y px y 2122得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧-==p y p x B B 48………………………………………………（8’） ∴222280p y x OB B B =+=……………………………………………………………（12’）∴222280p OB OA AB =+=，而134=AB ，∴5825641316432522=→=→⨯=p p p …………………………………………（12’） ∴所求的抛物线方程为x y 5162=………………………………………………………（14’）。
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2019—2020学年第二学期考试卷
（B ）卷
一、填空题(每题3分，共15分)
1. __________grad )(),(=-=f y x y x f 处的梯度，在点函数11
32 2. _________d }),{(=≤+≤=⎰⎰D
y x y x D σ，则设9422
3. _______d }),,{(=≤≤≤≤-≤≤=Ω⎰⎰⎰Ω
v x z y x z y x 2101110，则，，设
4. ________=-∑∞
=S n n
n
n 的和级数1
423 5. _______d )(d )()
()
(=++-⎰
1100，，曲线积分y y x x x y
二、选择题(每题 3 分，共 15 分)
1. ) (),(的驻点是函数y y xy x y x f 25422++-=
0)0( D. )( C. )( B. 2(1 A.，，，），2112----
d )(d D. d )(d C. d )(d B. d )(d A.)
(d )(}),{( .cos 0
cos 20
1
2
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+≥≤+=θ
π
θ
π
π
π
θθθθσ22220
2
1
2
20
2
2222022r r rf r r f r r rf r r f y x f y x y x y x D D
，则且设
d sin )(d d B. d )(d d A.)()d ( .0
20
40
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
=+++=
=++ΩΩ
421
1
20
2
222222213π
π
π
π
ρϕρρϕθρρρϕθf f v z y x f y x z z y x 围成，则及由曲面设
d cos )(d d D. d sin )(d d C.0
20
40
⎰⎰⎰⎰⎰⎰421
10
20
π
π
π
π
ρϕρρϕθρϕρρϕθf f
D. C. B. A.)
(sin
)( .敛散性不确定条件收敛绝对收敛发散 级数∑∞
=-1
1
14n n n
cos D. cos C. sin B. sin A.)(sin .212121215C x C x y C x C x y C x C x y C x C x y x y ++=++-=++=++-=='' 的通解为微分方程
姓名： 学号： 教学班级： 教学小班序号：
4. 的折线段，与，，，是连接其中，求) () ( ) ( d )(30000142B O A C s y x I C
⎰+=
5. 的收敛半径及收敛域求幂级数∑∞
=⋅12
1n n
n
x n
6. 的通解求微分方程x
y x y y x e +='
装
Ｏ
订
Ｏ
线
Ｏ
2019—2020学年第二学期期末考试《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准
一、填空题(每题3分，共15分) 1. }{32，- 2. π5 3.
3
2
4. 2
5. 1 二、选择题(每题3分，共15分)
1. B
2. D
3. B
4. C
5. A 三、计算题(每题 7分，共49分)
1. xy xy x e y x y e z )( 3++='Θ解：, xy xy
y e y x x e
z )(33++=' 1113--='∴e z x
)
,( 5分，111--='e z y
)
,(，dy e dx e dy z dx z dz y x 1
13--+='+'=故
2. 2
34x z x y ='=',Θ解：
，},,{341=∴T ρ切向量 3
1
4211-=
-=-z y x 故切线方程为 ， 013241=-+-+-)()(z y x 法平面方程为分，即01234=-++z y x
3. ⎰⎰⎰⋅=4020 2 2d d d r z r r r I πθ解：⎰⎰-=2022204 )d (d r r r πθ⎰=πθ201564 d 15
128π=
4. ⎰⎰+++=OB AO ds y x ds y x I )()( 2244解：⎰⎰+=302104dy y xdx 3031023
12y x +=11= 5. 21
12212111=+=⋅⋅+=∞→+∞→)(lim /)/(lim n n n n n n
n n ρΘ解： ，2=∴R
时当2-=x ，收敛级数
∑
∞
=-1)1(n n n ，时当2=x ，发散级数∑
∞
=1
1
n n ，),[22-故收敛域为 6. x y
e x y y +='原方程化为解： ，x y u =令，x x u e
u d d 1
1=则原方程化为
x x
u e u d d ⎰⎰=⇒-1，C x e u +=-⇒-ln ，)ln ln( ln C x x y C x e x y ---=+=--即，故所求通解为
四、综合题(每题 10分，共20分)
1. 2222
x x e Q y x e P y
y
-=+=sin cos ，令解：，则x x e x
Q
y x e y P y y -=∂∂+=∂∂cos cos ，4，
⎰⎰+=⇒D
y x y x I d d )(4y y x x x
d )(d x
⎰⎰+=310
4⎰
=
1
218 d x x 1036x =6=
2. 0652
=++r r 特征方程为解：
， 3221-=-=⇒r r 、， x x C C Y y y y 3221065--+==+'+''e e 的通解为故
b ax y +=*设特解，76656-=++x b a ax y *代入原方程得把 ，⎩
⎨⎧-=+=⇒7656
b a a 6
21-==⇒b a 、，2-=⇒x y *，23221-++=--x C e C y x x e 故所求通解为 五、证明题 ( 8分)
)!
()!()!()!()!()!(n n n n n 22212
222≤+++ΛΘ证：
141
122121211222<=++=⋅+++=∞→∞→)()(lim )
!()!()]!([])!)[((lim n n n n n n n n n n n ρ又
收敛级数∑∞
=∴1
2
2n n n n )!()!( ，收敛故级数∑
∞
=+++1222221n n n )!()!()!()!(Λ。