新青岛版八年级上册数学《5.2为什么要证明》精品课件
青岛版(新)数学八年级上册 5.2为什么要证明
青岛版（新）数学八年级上册 5.2为什么要证明在学习数学的过程中，我们不仅仅只需要记住公式和计算方法，还需要掌握数学推理和证明的能力。
提高证明能力对于我们未来的学习和职业发展都具有重要意义。
本文将重点讨论为什么要进行证明，并介绍一些基本的证明方法。
1. 为什么要证明？1.1 培养逻辑思维能力证明是数学中的一种重要思维方式，通过推理和演绎的方法，可以使我们更加深入地理解数学概念和定理。
证明要求我们严谨地思考和分析问题，培养了我们的逻辑思维和分析问题的能力。
这种思维方式不仅在学习数学时有用，也可以应用到其他学科和日常生活中。
1.2 增强问题解决能力证明是解决数学问题的有效方法之一。
通过证明，我们可以从根本上解决问题，找到事物之间的内在联系，更好地理解问题背后的原理和规律。
这种能力在解决一些复杂的实际问题时尤为重要，有助于我们找到最优解决方案。
1.3 培养严谨和批判性思维证明要求我们遵循一定的逻辑规则和推理步骤，需要严谨地思考和表达。
通过进行证明，我们不仅能够培养严密的思维方式，还可以培养批判性思维，即对于已有结论的质疑和思考。
这种思维方式能够帮助我们更加全面地理解问题，并提出比较合理的解决方案。
2. 基本的证明方法在进行证明时，我们可以使用多种不同的证明方法。
下面介绍一些常见的证明方法。
2.1 直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一。
在直接证明法中，我们通过运用已知条件、定义、公理和定理等前提，逐步推导出要证明的结论。
这种方法通常包括引入假设、使用已知条件、进行推理和演绎等步骤。
2.2 反证法反证法是一种常用的证明方法，尤其对于一些不易直接证明的问题十分有效。
在反证法中，我们假设要证明的结论不成立，利用逻辑推理推导出矛盾的结论，从而得出原结论成立的结论。
这种方法要求我们思维灵活，并能在矛盾的结论中找到错误。
2.3 数学归纳法数学归纳法是一种用于证明各种数学陈述的方法，尤其适用于类似于数列、等式、不等式等问题的证明。
八年级数学上册 5.2 为什么要证明 为什么要学证明素材 (新版)青岛版
为什么要学证明在初学证明时，好多同学都认为，前面我们都是通过实验、观察、操作得到正确的结论的，实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，为什么还要学习证明呢？这是因为仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，不能作为推理证明的依据，从下面的几个例子你就会明白的.一、视觉的错误例1、 如图1（1）中的两条线段a 与b 长度相等吗？请先观察再度量一下；图1（2）中三条线段a 、b 、c ，哪一条线段和线段d 在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.解：（1）对于图（1）直接观察可能得出结论，线段a 比线段b 长，而实际上经测量，线段a 与线段b 是一样长的；（2）对于图（2）直接观察可能得出结论，线段c 与线段d 在同一直线上，而实际上经测量，线段b 与线段d 在同一直线上.二、猜想的失误例2、当n =1，2，3，4，5时，代数式241n n ++的值是质数吗?你能否得到结论：对于所有自然数n ，241n n ++的值都是质数?解：通过计算，当n =1，2，3，4，5时，代数式241n n ++的值是质数，所以有人猜想：“对于所有的自然数n ，式子241n n ++的值都是质数．”其实可以验证40n =时，代数式241n n ++的值都是质数，但是当n=41时，241n n ++显然是个合数，所以猜想不成立。
三、直觉的误差 a b 图1（1） a b c 图1（2）d2图2 例3、假如用一根比地球赤道长1m 的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看作球形）？能伸进一根小手指吗？能放进一只拳头吗？解：本题的问题直觉上似乎是否定的，因为1m 与地球赤道相差太远了，1m 对地球赤道的长度来说，太微乎其微了，所以给予否定，但是只要实际计算一下，你会感到非常吃惊.设地球赤道的周长为c ，半径为R 1，铁丝的半径为R 2，则R 2- R 1=π21+c -π2c =π21≈0.16（m ）. 显然，这样的间隙不仅可以伸进一根小手指，而且也能放进一只拳头.由上面的例子可以看出，我们研究问题时，仅凭实验、观察、操作得到的结论有时却是错误的。
青岛版数学八年级上册5.2为什么要证明(共17张PPT)
5.2 为什么要证明
你看到这幅图片是不是在动呢？据心理医生说，图片与心理承受能力有关， 你的心理承受能力越强，图片运动的越慢.
学习目标
(1)经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观 察、实验、归纳所得到的结论未必可靠. (2)初步感受证明的意义以及必要性，发展推理意识.
(3)代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=1，2，3，4，5试一试，你 能否由此得到结论：对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数？
解：将n=1，2，3，4，5分别代入代数式n2-n+11得 11,13,17,23,31.这些数都是质数.
但是根据上面的结果不能归纳出对于所有自然数n， n2-n+11的值都是质数. 当n=11时， n2-n+11=121，121不是质数.
(2)把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将 地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？ 能放进一个拳头吗？先凭感觉想一下，再具体算一算，看 看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流.
解：设赤道周长为c,铁丝与地球赤道之间的间隙为： 答：它们的间隙有16cm,能放下一个拳头.
你的直觉欺骗你了吗？
2.图中三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？
请你先观察，再用直尺验证一下.来自a bc解：线段b和线段d在同一条直线上.
直尺验证如右图.
d
3.如图，甲，乙两只小虫从A点同时出发，甲虫沿着大的半 圆爬行，乙虫沿着内部的三个半圆爬行，如果两虫爬行的
速度相同，则先到达B点的小虫是（ B ）
A.甲 B.同时到达 C.乙 D.不能确定
课堂小结
1.证明的必要性: (1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的； (2)图形的性质并不都是通过测量得出的； (3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不 能保证一般情况下都成立 (4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质.
山东省潍坊高新技术产业开发区八年级数学上册 5.2 为什么要证明课件 (新版)青岛版.ppt
对于所有自然数n，代数式 n2+3n+1的值都是质数吗？
11
解: 结论错误. 当n=6时, n2+3n+1 =36+18+1 =55.
∵55为合数, ∴当n为正整数时， n2+3n+1的值一定是质数错误. 仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步 一步、有根有据地进行推理.
Ａ．嫌疑犯A
Ｂ．嫌疑犯B
Ｃ．嫌疑犯C
Ｄ．嫌疑犯A和C
5.用长为L的铁丝围成如图的圆 和正方形，则圆的面积与正方形
的面积的关系是（ A ）
A.圆的面积大于正方形的面积
B.圆的面积小于正方形的面积
C.圆的面积等于正方形的面积
D.不能确定
16
5.2 为什么要证明
1
它
2
3
平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!
你觉得观察得到的结论正确吗？ 4
眼见未必为实！
5
a
a bc
b
线段a与线段b哪个 比较长？
d
谁与线段d在 一条直线上？
6
a
b
a=b
a bc d
7
假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将 地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间 隙能有多大（把地球看成球形）？
3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（ D ）
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形
15
4.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，
三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：
①罪犯不在A,B,C三人之外；②C作案时总得有A作从犯；
初中数学青岛版八年级上册高效课堂资料5.2为什么要证明
1.知道利用观察、实验、归纳和类比等方法得到 的命题不一定正确； 2.知道要确定命题是真命题要有理有据的进行推 理。
过去我们利用观察、实验、归纳和类比等方法 发现了不少数学命题、规律和结论，你能举出类似 的例子吗？与同学交流。
是 静 还 是 动 ？
这 不 是 螺 旋 ， 而 是 一 些
见导学案 作业： 课本第160页 习题第1,2,3题
结论：通过类比得到的结论，也不一定正确。
小亮从（a b) 2 a 2 2ab b 2 联想到（a b) 3 a 3 3ab b 3 , 他的结论正确吗？
由观察、实验、归纳和类比得到的命题都 仅仅是一种猜想，要确定它的正确性， 必须一步一步、有根有据地进行推理。
达标检测
结论：只经验猜测出的结论，也不一定正确。
我们都知道，周长相等的两个圆全等，周长相等 的两个正方形全等，那么周长相等的两个三角形全等 吗？
2 n （3）小亮通过计算发现，当n=1,2,3,4,5时，代数式 3n 1
的值都是质数。于是他就说，当n为正整数时， n 2 3n 1 的值一定是质数。小亮的结论正确吗？ 解: 小亮的结论错误. 当n=6时 n2+3n+1 =36+18+1 =55 ∵55为合数 ∴当n为正整数时， n2+3n+1的值一定是质数错误.
同
心 圆
。
能 看 到 很 多 同 心 圆 吗 其 实 里 面 ,虽然它们看起来相差很大!
东平县初中数学
“直观”可靠吗?
直观是重要的,但它有时也会骗人.观察下列图形,回 答问题: a b a b 线段a,b相等吗?
线段a,b相等吗?
a bc
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∵55为合数 ∴当n为正整数时， n2+3n+1的值一定是质数错误.
试一试
小亮2从 1， 31， 41， 归纳出“任何 数一 都个 大正 于整 它的 234
小亮的结论正确吗？
解: 小亮的结论错误.
∵当这个正整数为1时,1的倒数等于1.
∴小亮的结论错误.
探究四：
（4）由“两个正数相加，和大于每一个加数”类比得 到“两个有理数相加，和大于每一个加数”，结论对 吗？
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 •7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 •8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
结论：通过类比得到的结论，也不一定正确。
试一试
小亮 ab)从 2a2（ 2a b b2联想 ab)到 3a3 （ 3a b b3, 他的结论正确吗？
课堂小结
由观察、实验、归纳和类比得到的命题都 仅仅是一种猜想，要确定它的正确性， 必须一步一步、有根有据地进行推理。
达标检测
见导学案
作业： 课本第160页 习题第1,2,3题
§5.2 为什么要证明
教学目标
1.知道利用观察、实验、归纳和类比等方法得到 的命题不一定正确；
2.知道要确定命题是真命题要有理有据的进行推 理。
问题导入
5.2为什么要证明课件 青岛版数学八年级上册
当n=0，1，2，3，4时， 22n+1= 3，5，17，257，65537 都是质数
对于所有自然数n，22n+1的值都是质数.
费马
当n=5时， 22n+1=4294967297=641×6700417 不是质数
欧拉
只对部分对象进行研究就归纳出一般的结论，也未必正确。
2.下列结论你能肯定的是（ B ）
A、今天下雨，明天必定还下雨 B、三个连续整数的积一定能被6整除 C、小明在数学竞赛中一定能中奖 D、两种照片看起来很想，则相片里肯定是一个人
3、当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？ 不一定是质数，
如当n=6时，原式=6²+3×6+1=55=5×11.
图中图形是正方形吗？ 1：是 2：不是
闯关2.0版本
正方形内的红色线段是平行的吗？
1：不平行
2：平行
凭直观得到的结论并不一定正确
“猜想”靠得住吗
小时候，大家都玩过数数游戏：从 1，2，3，⋯ 一直数到 100， 1 000，或是一些更大的数.可是你想过吗，如果按1分钟数100个数 字的速度，从 1，2，3，⋯ 依次往下数，数到10 000要用多少时间？ 凭你自己的经验，先猜一猜，你用几小时就能数完？
八年级上册第五单元
5.2 为什么要证明
1、通过实例，了解通过观察、实验、归纳、类比、猜想 等活动得到的命题，其正确性有待确认。概念的产生和形成 的过程。
2、知道证明的意义及证明的必要性。
1. 什么是命题？ 表示判断的语句叫做命题。
2.什么是真命题和假命题？ 当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题。
青岛版数学八年级上册课件5.2 为什么要证明 (共25张PPT)
小结 拓展
不过要证明一个结论是错误的， 只需举出反例即可.
由此可知，要检验一个数学 结论是否正确，常用的方法有 实验验证、举出反例 、推理 .
小结
• 仅仅依靠经验、观察或实验 是不够的，必须一步一步、 有根有据地进行推理。
开动脑筋
下面的判断是否正确，请说明理由：
1.昨天晚上下了一夜大雨，因此今天晚上也会 下一夜大雨. 2.这一期彩票开奖的号码有04，07，09，16， 20，因此下一期彩票开奖时这几个号码不会出 现了. 3.从书架上抽三本书都是小说，因此这个书架 上的书都是小说.
分析：这三个命题前后无因果关系，不能 由前者推出后者，所以是错误的
4.当n≥2时，2n一定能被4整除. 5.任何一个整数平方后的末尾数字都不会是 2，3. 6.一个平行四边形有一条边长为6，那么另 外三边中还有一边长为6.
这三个数学命题需要进行推理证明，才 能判断结论是否正确
探索:
生日Party
切
怎样切才能使块数最多?
按要求在相应的图形中
切
画出分割图形完成表格.
切 (不考虑切蛋糕的厚度和切割后每块蛋糕的大小)
三刀
四刀
五刀
探索: 当切割次数增加到n刀时,最多可得到几 块蛋糕?
切 切 切
切割 次数
0
最多 块数
1
计算 方法
1
12
1+1
2 4 1+1+2
3
7 1+1+2+3
4
11 1+1+2+3+4
如图，四边形ABCD四边 的中点分别是E，F，G，H，
H
A
D
度量四边形的边和角.你能 E
青岛版八年级上册数学为什么要证明共23页文档
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
八年级数学上册(青岛专用)课件5.2 为什么要证明 (共16张PPT)
并且今天是艳阳高照，那么晚上不会下 雨，这个判断是 ____A_ 的.（填“正 确”或“不正确”）
2.下列说法不正确的是（ ） A.若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角.
3.如图，甲沿着ACB由A到B，乙
C
沿着ADEFB由A到B，同时出发，速度
相等，则（ ）
4.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别 是AB、CD的中点，连结EF,EF与AD和BC有怎样 的位置关系和数量关系？你的结论对所有的 梯形都成立吗？
01 学习目标 02 情境引入 03 问题探究 04 新知探究 05 随堂练习 06 课堂小结
1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验 证某些问题的结论正确与否．
2.经历观察、验证、归纳等过程,认识证明的必要性， 培养推理意识．
3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反 E分别是AB， AC的中点，连接DE。DE与BC有怎样的位置关系 和数量关系？
归纳
实验、观察、归纳得到的结论可能正确， 也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是 否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的， 必须进行有根有据的证明.
1.最近有很长一段时间没有下雨了.
颜回是孔子最得意的门生，有一次孔子周游列国， 困于陈蔡之间七天没饭吃，颜回好不容易找到一点粮 食，便赶紧埋锅造饭，米饭将熟之际，孔子闻香抬头， 恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中；等到颜回 请孔子吃饭，孔子假装说：“我刚刚梦到我父亲，想 用这干净的白饭来祭拜他．”颜回赶快接着说：“不 行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅 中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了．”孔子这才知道 颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子说：“所 信者目也，而且犹不可信；所恃者心也，而心犹不足 恃．弟子记之，知人固不易矣！”
八年级数学上册第5章几何证明初步5.2为什么要证明
2021/12/13
第一页，共八页。
பைடு நூலகம்
“直观(zhíguān)”可靠吗?
直观是重要的,但它有时也会骗人.观察(guānchá)下列图形,回答问
题:
a
b
线段(xiànduàn)a,b相等吗?
a bc
a b
线段a,b相等吗?
d
线段d与哪条线段在同一条
直线上?
2021/12/13
2021/12/13
第四页，共八页。
练习
2021/12/13
第五页，共八页。
通过这节课的学习你有什么收获?
小结
2021/12/13
第六页，共八页。
2021/12/13
第七页，共八页。
内容 总结 (nèiróng)
为什么(shén me)要证明。直观是重要的,但它有时也会骗人.观察下列图形,回答问题:。线段d与哪条 线段在同一条直线上。n2+3n+1。=36+18+1。∴当n为正整数时， n2+3n+1的值一定是质数错误.。∵当这
No 个正整数为1时,1的倒数等于1.。通过这节课的学习你有什么(shén me)收获
Image
12/13/2021
第八页，共八页。
第二页，共八页。
红色线围成的图形是正方形吗?
精讲点拨 1.
解: 小亮(xiǎo liànɡ)的结论错误.
当n=6时
n2+3n+1
=36+18+1
=55
∵55为合数
∴当n为正整数时， n2+3n+1的值一定(yīdìng)是质数错误.
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活动二----接力数数
要求
剩 陈禾谷原创 余
时
④监督员监督发言者每个数字
间
必须读清楚，不能含糊不清，
漏读。
时间到
⑤若本组同学已数到1000，监
督员大声报告，停止计时。
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图中图
形是正 方形吗？
1：是 2：不是
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正方形内的红色线段是平行的吗？ 1：不平行 2：平行
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新课学习------归纳
当n=0，1，2，3，4，5时，代数 式 n2 -n+11的值是质数吗？
n
0 12345
n2 -n+11 11 11 13 17 23 31
n
6 7 8 9 10 11
n2-n+11 41 53 67 83 101 121
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1
： 运 动 的
图 片 是 静 止
的
： 静 止 的
还 是 运 动 的
？
2
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闯关3.0版本
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《5.2 为什么要证明》
教学设计
学习目标
1、我能通过大量实例，了解通过“观察、实验、归纳、类比等方法”得到的命题不一定正确。
2、我能了解证明的意义和必要性。
一、新课学习
合作活动一
【总结】通过得到的命题不一定正确。
【设计意图】
①以大量图片或动画的形式出现，设计为闯关游戏，激发学生学习兴趣，活跃课堂气氛。
②让学生体会到生活中处处有数学，证明在生活中的重要性。
合作活动二
【总结】通过得到的命题不一定正确。
合作活动三
☆知识链接：一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数
完成表格，并讨论结论是否正确。
【总结】通过得到的命题不一定正确。
【设计意图】
①使用坐庄法进行讨论，使小组讨论更加规范，明确了小组内每个成员的分工，不让任何学生游离在课堂讨论之外。
②加上倒计时，让讨论不再拖沓，使讨论更加有效果。
③站立发言，让发言者有主导意识，更有责任意识。
合作活动四
【总结】通过得到的命题不一定正确。
二、课堂小结
由观察、实验、归纳和类比得到的命题都仅仅是一种猜想，不能保证它是真命题. 要确定命题的正确性，还需
进一步有根据地说明理由，经过严密地加以证实，才能承认它是真命题.
三、课堂练习
1、当n为正整数时，n2+3n+1的值总是质数吗？请说明理由。
2、观察下列各式的规律：
（1）猜想：
（2）你能应用数学方法验证上述结论吗？
四、当堂小测
课本习题
P160 T1、2、3。
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结论：只经验猜测出的结论，也不一定正确。
我们都知道，周长相等的两个圆全等，周长相等 的两个正方形全等，那么周长相等的两个三角形全等 吗？
2 n （3）小亮通过计算发现，当n=1,2,3,4,5时，代数式 3n 1
的值都是质数。于是他就说，当n为正整数时， n 2 3n 1 的值一定是质数。小亮的结论正确吗？ 解: 小亮的结论错误. 当n=6时 n2+3n+1 =36+18+1 =55 ∵55为合数 ∴当n为正整数时， n2+3n+1的值一定是质数错误.
§5.2 为什么要证明
1.知道利用观察、实验、归纳和类比等方法得到 的命题不一定正确； 2.知道要确定命题是真命题要有理有据的进行推 理。
过去我们利用观察、实验、归纳和类比等方法 发现了不少数学命题、规律和结论，你能举出类似 的例子吗？与同学交流。
是 静 还 是 动 ？
这 不 是 螺 旋 ， 而 是 一 些
红色线围成的图形是 正方形吗?
结论：由观察得到的结论，不一定正确。
（2）数数游戏，从1,2,3， „一直数到100,1000，或 是一些更大的数，可是你想过吗，若按1分钟数100个 数字的速度，从1,2,3，„依次往下数，数到10000要 用多少时间？凭自己的经验，猜一猜，你用几个小时 就能数完？
同
心 圆
。
能 看 到 很 多 同 心 圆 吗 其 实 里 面 没 有
~~ ~~
线段AB和CD长度完全相等,虽然它们看起来相差很大!
“直观”可靠吗?
直观是重要的,但它有时也会骗人.观察下列图形,回 答问题: a a b b 线段a,b相等吗?
线段a,b相等吗?
a bc
d
线段d与哪条线段在同 一条直线上?
见导学案 作业： 课本第160页 习题第1,2,3题
结论：只对部分对象进行研
究归纳出的一般结论，不一 定正确。
1 1 1 小亮从2 ， 3 ， 4 ， 归纳出“任何一个正整 数都大于它的倒数”， 2 3 4 小亮的结论正确吗？
解: 小亮的结论错误.Fra bibliotek∵当这个正整数为1时,1的倒数等于1.
∴小亮的结论错误.
（4）由“两个正数相加，和大于每一个加数”类比得 到“两个有理数相加，和大于每一个加数”，结论对 吗？
结论：通过类比得到的结论，也不一定正确。
小亮从（a b) 2 a 2 2ab b 2 联想到（a b) 3 a 3 3ab b 3 , 他的结论正确吗？
由观察、实验、归纳和类比得到的命题都 仅仅是一种猜想，要确定它的正确性， 必须一步一步、有根有据地进行推理。
达标检测