第四章 曲线运动万有引力定律(B卷)
4章末总结曲线运动与万有引力定律的应用
2.类平抛运动
【例3】 如图2所示, 一带电粒子以
竖直向上的初速度v0,自A处进入 电场强度为E、方向水平向右的匀 强电场中,它受到的电场力恰与重 图2
力大小相等.当粒子到达图中B处时,速度大小仍
专题讲座
专题一 曲线运动和平抛运动 1.物体做曲线运动的条件
2.曲线运动的特点
3.利用运动的合成与分解研究一般曲线运动的思 维流程 (欲知)曲线运动规律→经等效分解后,(只需)研 究两直线运动规律→经等效合成后,(得知)曲线
运动规律.
【例1】在抗洪战斗中,一摩托艇要到正对岸抢救灾 民.关于该摩托艇能否到达正对岸的说法中正确
为v0,但方向变为水平向右,那么A、B之间的电势
差等于多少?从A到B经历的时间为多长? 解析 带电粒子从A→B的过程中,竖直分速度减
小,水平分速度增大,表明带电粒子的重力不可忽
略,且带正电荷,受电场力方向向右.依题意有 mg=Eq.
根据动能定理:UABq-mgh=0(动能不变)
在竖直方向上做竖直上抛运动,则
v02-0=2gh,v0=gt
v0 v2 解得 h ,t 2g g
U AB Eqv0 Ev0 mgh mg v0 q q 2g 2 gq 2g
2 2 2
答案
Ev0 2g
2
v0 g
点评
带电粒子在电场中具有加速作用和偏转作
用.分析问题时,注意运动学、动力学、功和能等
有关规律的综合运用.当带电粒子在电场中的运动 不是类平抛运动,而是较复杂的曲线运动时,可以 把复杂的曲线运动分解到两个互相正交的简单的 分运动来求解.
高中物理第四章《第四节万有引力与航天》教学课件
8
2．星体表面上的重力加速度 (1)设在地球表面附近的重力加速度为 g(不考虑地球自转)，由 mg＝GmRM2 ，得 g＝GRM2 . (2)设在地球上空距离地心 r＝R＋h 处的重力加速度为 g′，由 mg′＝(RG＋Mhm)2，得 g′＝
GM (R＋h)2 所以gg′＝(R＋R2h)2.
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们的向心加速度大小分别为 a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为 v 金、v 地、v 已 火．
知它们的轨道半径 R 金<R 地<R 火，由此可以判定
()
A．a 金>a 地>a 火
B．a 火>a 地>a 金
C．v 地>v 火>v 金
D．v 火>v 地>v 金
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第四章 曲线运动 万有引力与航天
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
解析：选 C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根
据 GMRm2 ＝m4πT22R，M＝ρ·43πR3，得 ρ＝G3Tπ2，代入数据解得 ρ≈5×1015 kg/m3，C 正确．
地球引力，能够描述 F 随 h 变化关系的图象是
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第四章 曲线运动 万有引力与航天
12
[解析] 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着 h 的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述 F 随 h 变化 关系的图象是 D. [答案] D
Mm G R2
专题四 曲线运动和万有引力定律(教辅图书《新思路》第四章,附第一章到第四章的答案)
专题四曲线运动和万有引力定律一、知识梳理说明：1．对于平抛运动，除了熟练掌握其运动规律外，还要重视平抛实验中根据轨迹求平抛初速度的方法.（Ⅱ）2．对于圆周运动，熟练分析向心力的来源并熟练掌握其运动规律.（Ⅱ）3．万有引力定律，侧重于卫星问题，紧紧把握住万有引力是卫星做圆周运动的向心力，同时注意区分环绕问题和变轨问题. （Ⅱ）二、技能探究1．例题讲解**精例1：小船在d =200m 宽的河中横渡，水流速度是2m/s ，船在静水中的航行速度为4m/s ，求：（1）小船渡河的最短时间？（2）要使小船航程最短，又应该如何航行？问题1：当水流速度为零，即该船在静水中航行时，它的运动情况如何？答：由于在静水中，水对船的航行不会产生影响.因此船的航行情况由它相对于静水的航行速度船v ＝4m/s 决定，船v 的方向（即船头的方向）就是船实际运动的方向，其速度大小就是4m/s.如图4－1所示.问题2：当水流速度不为零，而船在静水中的航行速度＝0时，它的运动情况又如何？答：由于水在流动，即使船“自身不动”，即船在静水中的航行速度船v ＝0，该船也不会保持静止，它仍然会被流水向下游方向冲走，在岸边的观察者看来，船将以水流速度往下游方向移动. 如图4－2所示.问题3：当水流速度不为零，船在静水中的航行速度也不为零时，它的运动情况又如何？ 答：此时船同时参与两个运动：一个是船本身航行的运动，其速度为船在静水中的航行速度船v ；另一个是被水冲往下游的运动，其速度为水v .岸边的观察者看到的船的实际运动是这两个运动的合运动，而不是其中的任一个分运动.其实际速度（即合速度）是船v 和水v 的矢量和. 如图4－3所示.问题4：问题3中船的实际运动方向与船头的方向一致吗？ 答：多数情况下都不一致.如图4-3所示.问题5：问题3中根据运动的合成与分解，可不可以再把船速船v 分解呢？答：可以.如可以把船速船v 分解到平行于河岸方向（//v ）和垂直于河岸方向（⊥v ）.图4－1 0=船v 图4－2图4－3此时船的实际运动可看成三个分运动的合成. 如图4－4所示.问题6：怎样调整船头方向，才能使渡河的时间最短？答：由于河岸宽度一定，因此只要垂直于河岸方向的分运动速度取最大即可.显然，当船头垂直于河岸时，垂直河岸方向的分速度最大，渡河时间最短，其最短时间为s v d t 50==船.如图4－5所示.问题7：船过河时航程最短指的是什么？理想情况下的最短航程是多少？ 答：指实际运动（即合运动）的路程最短.理想情况下的最短航程就是河岸宽度. 问题8：怎样才能使航程最短呢？答：应该使实际运动（合运动）的方向垂直于河岸的方向.这就要求船头方向（即船速船v 的方向）朝上游方向倾斜.如图4－6所示.或者让船速的平行于河岸方向的速度分量（//v ）等于水速水v ，即水船v v v ==αcos //.本题中，5.042cos ＝＝船水v v =α，即030=α.如图4－7所示.问题9：船要能垂直于河岸渡河需要满足一定的前提条件吗？ 答：显然需满足水船v v v ==αcos //，即船速船v 大于水速水v . 问题10：若船速船v 小于水速水v ，怎样才能使航程最短呢？答：应该使实际运动（合运动）的方向尽量靠近垂直于河岸的方向，如图4-8所示，即θ越小越好.怎样讨论这个问题呢？其实用矢量合成的三角形法则最好，平移矢量船v ，使船v 和水v 首尾相接于点P ，如图4-9所示.为了讨论何种情况下θ取最小，我们可以以P 点为圆水船v //v 图4－4 水v 船v 合v 图4－5水船v 图4－6//v =水船v //v 图4－7心，船v 大小为半径画圆，船v 矢量以P 点为圆心转动，即表示船v 可取的若干种可能方向，而合运动速度合v 方向的可能性自然一目了然. 如图4－10所示.显然当合运动速度合v 方向与圆弧相切时θ取最小，即航程最短.此时，船速与上游河岸的夹角水船v v =αcos .如图4－11所示.*精例2：如图4－12所示，站在岸上的人通过跨过定滑轮的不可伸长的绳子拉动停在平静湖面上的小船，若人拉着自由端Q 以水平速度0v 匀速向左前进，试分析图示位置时船水平向左的运动速度v .问题1：在相同时间内，滑轮左侧绳子水平部分伸长量与滑轮右侧倾斜部分缩短量是否相等？答：由于绳子不可伸长，因此相等. 问题2：绳子拴在船头的端点P 沿绳子方向“缩短”的速度等于自由端Q 前进的速度吗？ 答：由问题1，它们显然相等，即端点P 沿绳子方向“缩短”的速度为0v .问题3：在一段时间t ∆内，自由端Q 前进的位移与船前进的位移相等吗？ 答：如图所示，小船前进到图中虚线位置，绳子拴在船头的端点P 到达P '位置，以O P '为半径画圆交OP 于P ''，显然P P ''等于自由端Q 前进的距离，而船前进的距离P P '与P P ''并不相等. 如图4－13所示.在t ∆很小且趋于零的情况下，090≈'''∠P P P ，则θc o s P P P P '=''.所以，在一段时间t ∆内，自由端Q 前进的位移小于船前进的位移，即自水船v 图4－8水v 图4－9图4－10v 图4－11图4－12由端Q 前进的速度小于船前进靠岸的速度.问题4：如图4－15所示.把端点P 沿绳子方向“缩短”的速度0v 分解到水平方向和竖直方向，水平分量就是船靠岸的速度吗？答：不是.因为，通过问题3的分析可知，船靠岸的速度应该大于0v .而如果如图所示分解的话，θcos 0v v = 反而是船靠岸的速度应该小于0v .问题5：由于船不断靠岸，端点P 不断左移，使得绳子的倾斜部分发生了哪些变化呢？ 答：倾斜部分一方面沿绳子方向不断缩短；另一方面与竖直方向的夹角越来越小，即以O 点为轴顺时针摆动.因此绳子端点从P 到达P '的过程，可以这样来看：先沿绳子缩短到P ''，在垂直于绳子从P ''摆动到P '.问题6：绳子端点P 的运动可看成哪几个运动的合成？哪个是合运动？哪些是分运动？ 答：岸边的观察者实际看到的端点P 的运动应该是水平向左靠近岸边的运动，这就是合运动.由问题5的分析可知，这个运动可以看出沿绳子方向的收缩的分运动和垂直与绳子摆动的分运动的合成.问题7：怎样分解端点P 的合运动（实际运动）呢？ 答：分解如图4－15所示.即：θcos 0v v =问题8：问题3中分析的结果与问题7中分析的结果一致吗？答：问题3中分析到，在t ∆很小且趋于零的情况下，θcos P P P P '=''而tP P v ∆'=tP P v ∆''=θcos 0v v =∴ 即θcos 0v v =因此问题3与问题7中分析的结果是一致的.图4－13图4－14**精例3：如图4－16所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v 1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为1α；当抛出速度为v 2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为2α，则（ ）A ．当v 1>v 2时，1α>2αB ．当v 1>v 2时，1α<2αC ．无论v 1、v 2关系如何，均有1α=2αD ．1α、2α的关系与斜面倾角θ有关问题1：平抛运动一般可以怎样进行处理？答：平抛运动一般分解成两个直线运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.这样我们就把平抛运动这种曲线运动变成了两个简单的直线运动的合成，处理起来变得比较简单.这就是我们常说的“变曲为直”.问题2：在研究平抛运动时我们经常会分析的角度是哪个？这样分析？答：在研究平抛运动时我们经常分析某一时刻的瞬时速度v 与平抛初速度0v 之间的夹角β.关于此角度我们常常这样来处理：平抛运动的某一时刻的瞬时速度v 由水平方向匀速运动的速度0v 和竖直方向自由落体的速度y v 合成，如图4-17所示，因此0tan v v y =β.问题3：题目中出现的小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角α可能与问题2中所分析的角度有什么联系呢？答：本题中出现的小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角α与问题2中所分析的v 与0v 之间的夹角β并非同一角度.但是，它们之间却有确定的关系即：θαβ+=.问题4：怎样找出与夹角α有关的物理关系式呢？ 答：由问题3的分析可知0)tan(tan v v y =+=θαβ，因此只需找出y v 即可.而由竖直方向的自由落体运动规律：gt v y =，我们应该进一步找出从抛出至达到斜面所经历的时间t .问题5：一般怎样确定平抛运动的时间呢？ 答：平抛运动的时间一般由下落高度来决定.即221gt y =.问题6：本题中由于下落高度也不确定，怎样求出时间呢？答：我们考虑到水平分运动：t v x 0=.并且本题中有斜面作为“背景”，水平位移与竖直位移之间有确定的关系：xy =θtan ，即002221tan v gt tv gt xy ===θ，gv t θtan 20=∴.如图4－18所示.问题7：根据上述分析可以找出与夹角α有关的物理关系式了吗？ 答：可以.根据问题4的分析，0)tan(tan v gt v v y ==+=θαβ，再根据问题6的分析，gv t θtan 20=，所以，θαθtan 2)tan(=+，这说明夹角α只与斜面倾角θ有关，与平抛初速度无关.故本题的正确答案选C .问题8：本题还有其他的解决办法吗？答：此题也可把平抛运动分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向.沿斜面方向：初速度为θcos v ，加速度为θsin g ；垂直于斜面方向：初速度为θsin v ，加速度为θcos g .这样从抛出到落回斜面，由垂直于斜面方向的分运动就能确定，gv g v t θθθtan 2cos sin 2==.同样可以解决.如果熟练，此法在类似问题中更简洁.同学们注意领会.**精例4：如图4－19所示，在“研究平抛物体的运动”的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长25.1=l cm ，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a 、b 、c 、d 所示，则小球平抛的初速度的计算式为0v = （用l 、g 表示），其值是 （取g =9.8m/s 2），小球在b 点的速率是 ．问题1：在学生分组实验中利用平抛轨迹求平抛初速度的常用办法是什么？答：知道抛出点的情况下，只需在轨迹上任找一个点，测出该点的横、纵坐标（即从抛出到此时的水平、竖直位移），利用221gt y =，t v x 0=，即可求出yg xv 20=问题2：本题可否用问题1中的办法求解？答：不能.因为本题中并不知道平抛抛出点.问题3：本题中求平抛初速度我们首先应该考虑到如何入手呢？答：我们应该首先考虑与平抛初速度有关的水平方向的分运动，t v x 0=.比如，我们知道轨迹上a 、b 两个点的水平距离l x 2=∆，只需再求出从a 点运动到b 点的时间T 即可.图4－19问题4：可否利用从a 点运动到b 点过程中的竖直分运动来求解从a 点运动到b 点的时间T 呢？答：不能.我们虽知道从a 点运动到b 点过程竖直方向的位移为l y =1，但由于a 点不是抛出点，即经过a 点时速度的竖直分量0≠ay v ，是未知量，因此我们没办法通过2121gT T v y ay +=来求出时间T .问题5：怎样求解从a 点运动到b 点的时间T 呢？答：从题目提供的数据来看，除了知道a 点运动到b 点过程竖直方向的位移l y =1外，我们还知道b 点运动到c 点过程竖直方向的位移l y 22=， c 点运动到d 点过程竖直方向的位移l y 33=.这些数据很容易让我们联想到匀变速运动的规律2aT s =∆，而平抛运动的竖直分运动就是匀变速运动，加速度g a =.a 点运动到b 点过程、b 点运动到c 点过程及c 点运动到d 点过程由于水平位移相等，因此这三段时间相等.因此有22312gTl y y y y ==-=-，即gl T =.问题6：能够求出平抛初速度了吗？答：可以.gl gll T x v 220===，代入数据得：7.00=v m/s 问题7：怎样求b 点的速率？答：b 点的速度由水平分速度0v 和竖直分速度by v 合成，即220by b v v v +=.因此只要求出竖直分速度by v 即可.问题8：怎样求出b 点的竖直分速度by v 呢？答：根据问题5的分析，我们还是充分利用竖直分运动是匀变速运动这个特点，根据匀变速运动的特点，某一过程中的平均速度等于该过程中间时刻的瞬时速度（在纸带问题中求瞬时速度也常用此法）. b 点是a 点运动到c 点过程的中间时刻，因此gl gl l l T y y v by 2322221=+=+=，b 点的速度为：875.0=b v m/s*精例5：如图4－20所示皮带传送装置，主动轮O 1的半径为R ，从动轮O 2的半径为r ，r R 23=.其中A 、B 两点分别是两轮缘上的点，C 点到主动轮轴心的距离R R 21='，设皮带不打滑，则有：=B A ωω:________；=C A ωω:________；=B A v v :________；=C A v v :________；=C B v v :________；向心加速度=B A a a :__________；=C B a a :__________.问题1：皮带传送装置中两轮边缘上的点（比如A 、B 两点）在运动上有什么关系？答：在皮带不打滑的情况下，主动轮上的点（如A 点）与从动轮上的点（如B 点）在相同时间内通过的弧长相等.匀速圆周运动的线速度间通过该段弧长所用的时弧长=，因此两轮轮缘上的点线速度相等.问题2：可以比较A 、B 两点的线速度、角速度和向心加速度了吗？ 答：根据问题1的分析，1:1:=B A v v ； 而r v ω=，所以32===R r r r A B B A ωω；又rva 2＝心，所以=BA a a 32==Rr r r AB （或根据v r a ωω=2＝心）问题3：同一轮上各点的运动情况有何特点？答：同一轮上各点都在绕同一圆心（或转轴）做匀速圆周运动，它们绕圆心运动一圈所用的时间相等，即运动周期T 相同.由于Tπω2=，所以它们运动的角速度也相同.问题4：可以比较A 、C 两点的线速度、角速度和向心加速度了吗？ 答：根据问题3的分析，=C A ωω:1:1， 而r v ω=，所以12='==R R r r v v C A CA ；又r a 2ω＝心，所以=CA a a 12='=R R r r CA （或根据v r a ωω=2＝心）问题5：怎样比较B 、C 两点的线速度、角速度和向心加速度呢？ 答：根据前面的分析，已知道=C A ωω:1:1，32=B A ωωC B ωω∴23==A B ωω12==CC B B CB r r v v ωω13=∴CB a a*精例6：如图4－21所示，用长为l 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是：A.小球过最高点时，绳子张力可以为零B.小球过最高点时的最小速度是零C.小球刚好过最高点时的速度是glD.小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反【答案】AC问题1：根据生活经验，小球要能够做完整的圆周运动通过最高点，它的速度是越大越好还是越小越好？答：应该是越大越好.问题2：如果小球能过最高点，在最高点时它的受力情况怎样？答：受力情况如图4－22所示，即受重力G 和绳子竖直向下的拉力T . 问题3：小球在最高点时受到绳子的作用力会不会向上？答：不会，因为绳子只会发生拉伸形变，只能产生拉力而不会产生支持力. 问题4：小球在最高点时受到的力所需满足的条件是什么？答：小球在最高点时受到的力应该提供小球在最高点时做圆周运动所需的向心力. 由牛顿第二定律和圆周运动的知识有：lvmT mg F 2=+=向显然，速度v 越大，T 越大；v 越小时，T 越小.问题5：根据问题4的分析，最高点时绳上拉力T 可否为零？若可以为零，则需满足的条件是什么？答：可以为零，由lvmT mg F 2=+=向，则：当T =0时，lvmmg F 2==向，得gl v =问题6：根据问题5的分析，我们怎样来看待拉力T 为零时的物理“涵义”？ 答：当最高点gl v =时，所需向心力mg lgl mlvmF ===22)(向，即重力刚好提供其所需向心力，不多也不少.若gl v >，则所需向心力大于小球所受的重力.重力不足以“维持”圆周运动了，小球有远离圆心的趋势（离心运动），但有绳子存在，绳子上将产生向下的拉力，从而弥补重力的不足. 若gl v <，则所需向心力小于小球所受的重力，重力提供向心力之外还有“剩余”，小球将奔圆心而去，圆周运动不能继续（其实，这种情况小球根本到不了最高点，在到达最高点之前就做斜抛运动离开圆轨迹了）.问题7：问题6的分析可以总结出小球能够过最高点继续做圆周运动的条件是什么？ 答：小球能够过最高点的临界速度（最小速度）为gl v =min .问题8：本题中若把绳子换成轻杆，又怎样呢？是否也需满足gl v =min 的条件呢？答：跟上述分析相似，只是杆上除了可产生对小球竖直向下的拉力外，还可产生竖直向上的支持力.所以不用担心小球会中途掉下来，只要小球达到最高点时还有速度即可过最高点，临界情况是速度为零时也恰好能过.上例中过最高点gl v =min 的条件不存在.**精例7：如图4－23所示，水平转盘（盘面垂直于纸面放置）的中心有个竖直小圆筒，质量为m 的物体A 放在转盘上，A 到竖直小圆筒中心的距离为r ，物体A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 质量相同.物体A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ（μ<1）倍，则圆盘转动的角速度在什么范围内，物体A 才与转盘相对静？问题1：物体A 与转盘相对静止时，物体B 的状态怎样？答：物体B 应该保持静止状态.这就要求，绳子对物体B 的拉力T 与它所受重力mg 平衡.即为了保证物体A 与转盘相对静止，绳子上的弹力T 大小始终恒定，且T ＝mg .问题2：如果物体A 与圆盘不转动，物体A 与转盘能相对静止吗？答：不能. 物体A 受到绳子拉力T 与圆盘对它的摩擦力，摩擦力最大可达到μmg ，由于μ<1，所以T >μmg .因此不可能保持静止.问题3：圆盘转动过程中物体A 与转盘相对静止时，物体A 的受力情况怎样？需满足什么条件？答：受力情况如图4－24所示，由牛顿第二定律及圆周运动的知识r m f T 2ω=-，要保持相对静止则T ＝mg .所以，角速度越小，物体A 向圆心靠近的趋势越大，摩擦力越大.问题4：角速度最小可达到多少？答：由r m f T 2ω=-，当转盘角速度很小时，A 将要沿盘向圆心滑动时，A 所受的静摩擦力达到最大值mg f μ=max 且背离圆心， 可得rg )1(min μω-=.再小就不能保持相对静止.问题5：上述分析完善吗？如果角速度特别大呢？答：不完善.如果角速度很大，所需向心力r m F 2ω=心很大，大于绳子上的拉力T ＝mg .此时物体A 有背离圆心而去的趋势，静摩擦力将改变方向变为指向圆心方向，与拉力一起提供所需向心力，r m f T 2ω=+，如图4－25所示.显然，角速度越大，静摩擦力越大.问题6：角速度最小可达到多少？答：由r m f T 2ω=+，当转盘角速度很大时，A 将要沿盘向外滑时，A 所受的静摩擦力达到最大值mg f μ=max 且指向圆心，有：rg )1(max μω+=问题7：可以总结出角速度需满足的条件了吗？答：所以要使物体与盘相对静止随盘转动，圆盘转动的角速度应满足：rg rg )1()1(μωμ+≤≤-问题8：本题中若没有摩擦力，结果如何？若没有物体B ，结果又如何？ 答：若没有摩擦力，则r m T 2ω=，有rg =ω若没有挂物体B ，则r m f 2ω=，而mg f μ≤，有rg μω≥**精例8：如图4－26所示，A 、B 、C 三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因素均为μ，A 的质量为2m ，B 、C 质量均为m ，A 、B 离轴R ，C 离轴2R ，则当三个物体随圆台旋转时：（设A 、B 、C 都没有滑动）A ．C 物的向心加速度最大；B ．B 物的静摩擦力最小；C ．当圆台转速增加时，C 比A 先滑动；D ．当圆台转速增加时，B 比A 先滑动。
模块四曲线运动万有引力定律
模块四曲线运动万有引力定律【知识网络】产生条件：速度与力不在同一条直线上研究方法：运动的合成与分解特例周期2Tπω=曲线运动圆周运动匀速圆周运动线速度v=st, 角速度ω=tφ向心加速度22va rrω==向向心力22vF ma m mrrω===向变速圆周运动一般变速运动:向心力沿半径方向22m vF m rrω==向竖直平面内的圆周运动过最高点的临界条件:v=v=（杆）平抛物体的运动运动规律位移速度动力学分析力a y=ga x=0加速度第一节运动的合成与分解平抛运动【考点透视】一、考纲指要1．运动的合成和分解（Ⅰ）2．曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向，且必具有加速度（Ⅰ）3．平抛运动（Ⅱ）二、命题落点1．互成角度的两个直线运动的合成。
如例12．根据平抛运动的轨迹求平抛运动的初速度。
如例23．不同斜面上的平抛运动。
如例3【典例精析】例1：关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下属说法正确的是A ． 一定是直线运动B ． 一定是抛物线运动C ．可能是直线运动，也可能是曲线运动D ．以上说法都不对解析：当合速度与合加速度在一条直线上时，合运动是一条直线，当合速度与合加速度不在一条直线上时，合运动是一条曲线。
所以，C 正确例2：如图4－1－1所示，为利用闪光照相法拍摄到的小球做平抛运动的部分背景，闪光灯的闪光时间间隔为0.1秒，若以A 处做坐标原点建立坐标系，则小球做平抛运动的初速度为多少？小球做平抛运动的起始位置的坐标是多少？解析：竖直方向相邻相等时间内位移差2)(t g s ∆=∆得0.12s m a ∆== （a 为小边框边长） 即a =5cm 所以平抛运动的初速度ta v ∆=40=2m/s因S AB =3a ， S BC =5a 所以S O ˊA =a ， x AB =x BC =x O ˊA =4a则起始位置O ˊ坐标为（－4a ，－a ） 即（－20cm ，－5cm ） 例3：在倾角为37°的斜面上，从A 点以6m/s 的速度水平抛出一小球，小球落在B 点，如图4－1－2所示，求小球刚落到斜面时的速度方向，AB 两点间距离和小球在空中飞行时间。
高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第一节曲线运动运动的合成与分解课件
解析：工件同时参与了水平向右的匀速运动和竖直方向的匀速 运动，水平和竖直方向的速度都不变，根据矢量合成的平行四 边形法则，合速度大小和方向均不变。
考点一 物体做曲线运动的条件及轨迹分析
1．曲线运动的条件：物体所受合外力(或加速度)方向与运动方 向不共线。 2．曲线运动的类型 (1)匀变速曲线运动：合力(加速度)恒定不变。 (2)变加速曲线运动：合力(加速度)变化。 3．合外力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹 在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力 方向指向轨迹的“凹”侧。
[解析] (1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在 静水中的运动。因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船
渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即
t
＝d＝ v船
200 4
s＝50 s。小船沿水流方向的位移 s 水＝v 水t＝2×50 m＝100 m，
即船将在正对岸下游 100 m 处靠岸。
小船渡河的时间为
t＝v船sdin
，当 θ
θ＝90°，即船头与河岸垂直时，
渡河时间最短，最短时间为 tmin＝50 s。
(4)因为 v 船＝3 m/s<v 水＝5 m/s，所以船不
可能垂直于河岸横渡，不论航向如何，总
被水流冲向下游。如图丙所示，设船头(v 船)
与上游河岸成 θ 角，合速度 v 与下游河岸成
考点三 运动分解中的两类模型
1．小船渡河模型 渡河时 间最短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短， 最短时间 tmin＝vd船
渡河位 移最短
如果 v 船>v 水，当船头方向与上游夹角 θ 满 足 v 船 cos θ＝v 水时，合速度垂直于河岸，渡 河位移最短，等于河宽 d 如果 v 船<v 水，当船头方向(即 v 船方向)与合 速度方向垂直时，渡河位移最短，等于dv水
高三物理一轮复习精品教案——第四章 曲线运动万有引力定律
第四章 曲线运动 万有引力与航天第一讲 曲线运动 运动的合成和分解一、基本概念1.曲线运动(1)曲线运动中的速度方向速度的方向时刻在改变，在某点(或某一时刻)的速度方向是曲线上该点的切线方向.(2)曲线运动的性质 曲线运动一定是变速运动，一定存在加速度.(3)物体做曲线运动的条件物体所受合外力(或加速度)的方向与它的速度方向不在同一直线上. ①如果这个合外力的大小和方向都是恒定的，物体就做匀变速曲线运动，如平抛运动. ②如果这个合外力大小恒定，方向始终与速度方向垂直，物体就做匀速圆周运动.③做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲，即合外力总是指向曲线的内侧. 说明：当力与速度夹角为锐角（钝角）时，物体做曲线运动的速率将增大（减小）。
2.运动的合成与分解(1)合运动与分运动的特征①等时性：合运动和分运动是 同时 发生的，所用时间相等.②等效性：合运动跟几个分运动共同叠加的效果 相同 .③独立性：一个物体同时参与几个分运动，各个分运动 独立 进行，互不影响.(2)运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，遵循 平行四边形 定则.①两分运动在同一直线上时，先规定正方向，凡与正方向相同的取正值，相反的取负值，合运动为各分运动的代数和.②不在同一直线上，按照平行四边形定则合成(如图所示).③两个分运动垂直时，x 合＝22y x x x +，v 合＝22y x v v +，a 合＝22y x a a +(3)已知合运动求分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解.二、重点难点突破（一）确定物体的运动轨迹（主要看合加速度与合速度的方向）1.同一直线上的两个分运动的合成，其合运动一定是直线运动.2.不在同一直线上的两分运动的合成.(1)若两分运动为匀速运动，其合运动一定是匀速运动.(2)若两分运动为初速度为零的匀变速直线运动，其合运动一定是初速度为零的匀变速直线运动.(3)若两分运动中，一个做匀速运动，另一个做匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动(如平抛运动).(4)若两分运动均为初速度不为零的匀加(减)速直线运动，其合运动不一定是匀加(减)速直线运动，如图甲、图乙所示.图甲情形为匀变速曲线运动；图乙情形为匀变速直线运动(匀减速情形图未画出)，此时有2121a a v v =. （二）船过河问题1.处理方法：船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中船的运动)，船的实际运动是这两种运动的合运动.（注意：船头指向的是分运动，一般与实际运动不同）2.对船过河的分析与讨论.设河宽为d ，船在静水中速度为v 2，水的流速为v 1.(1)船过河的最短时间(2)船过河的最短位移①v 2>v 1如上图所示，设船头斜指向上游，与河岸夹角为θ.当船的合速度垂直于河岸时，此情形下过河位移最短，且最短位移为河宽d .此时有v 2cos θ＝v 1，即θ＝arccos 船水v v . ②v 2<v 1三、如何分解用绳(或杆)连接物体的速度三、例题【例1】光滑平面上一运动质点以速度v 通过原点O ，v 与x 轴正方向成α角(如图所示)，与此同时对质点加上沿x 轴正方向的恒力F x 和沿y 轴正方向的恒力F y ，则( )A.因为有F x ，质点一定做曲线运动B.如果F y ＞F x ，质点向y 轴一侧做曲线运动C.质点不可能做直线运动D.如果F x ＞F y cot α，质点向x 轴一侧做曲线运动【解析】当F x 与F y 的合力F 与v 共线时质点做直线运动，F 与v 不共线时做曲线运动，所以A 、C 错；因α大小未知，故B 错，当F x ＞F y cot α时，F 指向v 与x 之间，因此D 对.【答案】D【例2】小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m/s.(1)若船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，求：①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)若船在静水中的速度v 2＝1.5 m/s ，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？【解析】(1)若v 2＝5 m/s①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向.当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 2＝5 m/st ＝51802==⊥v d v d s ＝36 s v 合＝2221v v +=525 m/s s ＝v 合t ＝905 m②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一角度α.垂直河岸过河这就要求v ∥＝0，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，由v 2sin α＝v 1得α＝30°所以当船头向上游偏30°时航程最短.s ＝d ＝180 mt ＝324s 32518030 cos 2==︒=⊥v d v d s (2)若v 2＝1.5 m/s设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程s ＝αsin d ，欲使航程最短，需α最大，如图所示，由出发点A 作出v 1矢量，以v 1矢量末端为圆心，v 2大小为半径作圆，A 点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v 合与水平方向夹角最大，应使v 合与圆相切，即v 合⊥v 2.sin α＝535.25.112==v v 解得α＝37°t ＝2.118037 cos 2=︒=⊥v d v d s ＝150 s v 合＝v 1cos 37°＝2 m/ss ＝v 合•t ＝300 m【例3】如图所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动.在某一时刻卡车的速度为v ，绳AO 段与水平面夹角为θ，不计摩擦和轮的质量，则此时小船的水平速度多大？【解析】小船的运动为平动，而绳AO 上各点的运动是平动加转动.以连接船上的A 点为研究对象，如图所示，A 的平动速度为v ，转动速度为v n ，合速度v A 即与船的平动速度相同.则由图可以看出v A ＝θcos v 四、练习1、如图所示，一物体在水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲线运动，当物体从M 点运动到N 点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体在M 点到N 点的运动过程中，物体的动能将( )A.不断增大B.不断减小C.先减小后增大D.先增大后减小2、一船准备渡河，已知水流速度为v 0=1m/s ，船在静水中的航速为v ’ =2m/s ，则：①要使船能够垂直地渡过河去，那么应向何方划船？②要使船能在最短时间内渡河，应向何方划船？3、如图所示，纤绳以恒定速率v 沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠岸，当纤绳与水面夹角为θ时，船靠岸的速度是 ，若使船匀速靠岸，则纤绳的速度是 。
高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力定律(第4课时)课时作业(含解析)-人教版高三全册物理试
课时作业【根底练习】一、天体质量的估算1．(多项选择)我国将于2017年11月发射“嫦娥五号〞探测器，假设“嫦娥五号〞到达月球后，先绕月球外表做匀速圆周运动，然后择机释放登陆器登陆月球．“嫦娥五号〞绕月球飞行的过程中，在较短时间t 内运动的弧长为s ，月球半径为R ，引力常量为G ，如此如下说法正确的答案是( )A ．“嫦娥五号〞绕月球运行一周的时间是πRtsB ．“嫦娥五号〞的质量为s 2R Gt2C ．“嫦娥五号〞绕月球运行的向心加速度为s 2t 2RD ．月球的平均密度为3s24πGR 2t2CD 解析：因绕月球外表做匀速圆周运动的“嫦娥五号〞在较短时间t 内运动的弧长为s ，可知其线速度为v ＝st，所以其运行一周的时间为T ＝2πRts，选项A 错误；天体运动中只能估算中心天体质量而无法估算环绕天体质量，选项B 错误；由a ＝v 2R 知a ＝s 2t 2R，选项C 正确；根据万有引力提供向心力有G Mm R 2＝m v 2R ，再结合M ＝ρ·43πR 3可得ρ＝3s24πGR 2t2，选项D 正确． 2．(2018漯河二模)宇航员站在某一星球外表h 高处，以初速度v 0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t 后小球落到星球外表，该星球的半径为R ，引力常量为G ，如此该星球的质量为( )A.2hR2Gt 2B.2hR2GtC.2hRGt2D.Gt 22hR2 A 解析：设该星球的质量为M 、外表的重力加速度为g ，在星球外表有mg ＝GMmR 2，小球在星球外表做平抛运动，如此h ＝12gt 2.由此得该星球的质量为M ＝2hR2Gt2.二、卫星运行参量的分析与计算3．(2015山东理综)如图，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以一样的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a 1，a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的答案是( )A ．a 2＞a 3＞a 1B ．a 2＞a 1＞a 3C ．a 3＞a 1＞a 2D ．a 3＞a 2＞a 1D 解析：地球同步卫星受月球引力可以忽略不计，地球同步卫星轨道半径r 3、空间站轨道半径r 1、月球轨道半径r 2之间的关系为r 2>r 1>r 3，由GMm r 2＝ma 知，a 3＝GM r 23，a 2＝GMr 22，所以a 3>a 2；由题意知空间站与月球周期相等，由a ＝(2πT)2r ，得a 2>a 1.因此a 3>a 2>a 1，D 正确．4．(2014浙江理综)长期以来“卡戎星(Charon)〞被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r 1＝19 600 km ，公转周期T 1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r 2＝48 000 km ，如此它的公转周期T 2最接近于( )A ．15天B ．25天C ．35天D ．45天B 解析：由开普勒第三定律可知r 31T 21＝r 32T 22，得出T 2＝r 32T 21r 31＝〔4.8×107〕3×6.392〔1.96×107〕3天≈25天，应当选项B 正确．5．(2017广东华南三校联考，19)(多项选择)石墨烯是目前世界上的强度最高的材料，它的发现使“太空电梯〞的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯〞进入太空．设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星A 的高度延伸到太空深处，这种所谓的太空电梯可用于降低本钱发射绕地人造卫星．如下列图，假设某物体B 乘坐太空电梯到达了图示的位置并停在此处，与同高度运行的卫星C 相比拟( )A ．B 的线速度大于C 的线速度 B ．B 的线速度小于C 的线速度C ．假设B 突然脱离电梯，B 将做离心运动D ．假设B 突然脱离电梯，B 将做近心运动BD 解析：A 和C 两卫星相比，ωC ＞ωA ，而ωB ＝ωA ，如此ωC ＞ωB ，又据v ＝ωr ，r C＝r B ，得v C ＞v B ，故B 项正确，A 项错误．对C 星有GMm C r 2C ＝m C ω2C r C ，又ωC ＞ωB ，对B 星有G Mm B r 2B＞m B ω2B r B ，假设B 突然脱离电梯，B 将做近心运动，D 项正确，C 项错误．6．(2014江苏卷，2)地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，如此航天器在火星外表附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )A ．3.5 km/sB ．5.0 km/sC ．17.7 km/sD ．35.2 km/sA 解析：由万有引力提供向心力可得：G Mm r 2＝m v 2r，在行星外表运行时有r ＝R ，如此得v＝GMR ∝M R ，因此v 火v 地＝M 火M 地×R 地R 火 ＝110×2＝55，又由v 地＝7.9 km/s ，故v 火≈3.5 km/s ，应当选A 正确．三、卫星变轨问题分析7．(2017湖南长沙三月模拟，20)(多项选择)暗物质是二十一世纪物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命．为了探测暗物质，我国在2015年12月17日成功发射了一颗被命名为“悟空〞的暗物质探测卫星．“悟空〞在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于其运动周期)，运动的弧长为s ，与地球中心连线扫过的角度为β(弧度)，引力常量为G ，如此如下说法中正确的答案是( )A ．“悟空〞的线速度大于第一宇宙速度B ．“悟空〞的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度C ．“悟空〞的环绕周期为2πtβD. “悟空〞的质量为s 3Gt 2βBC 解析：“悟空〞的线速度小于第一宇宙速度，A 错误．向心加速度a ＝GM r2，因r 悟空<r同，如此a 悟空>a 同，B 正确．由ω＝βt ＝2πT ，得“悟空〞的环绕周期T ＝2πtβ，C 项正确．由题给条件不能求出悟空的质量，D 错误．关键点拨 第一宇宙速度是卫星最小的发射速度，是最大的环绕速度．卫星做匀速圆周运动时ω＝2πT ＝βt.8．(2019哈尔滨师范大学附中)卫星 信号需要通过地球同步卫星传送，地球半径为r ，无线电信号传播速度为c ，月球绕地球运动的轨道半径为60r ，运行周期为27天。
曲线运动+万有引力定律知识点总结
曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。
（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。
即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。
（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。
（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。
）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。
2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。
也可以说是：合外力不变的运动。
4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1．速度：xyv vv gt=⎧⎨=⎩合速度:22yxvvv+=方向：oxyvgtvv==θtan2．位移212x v ty gt=⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：22x x y=+合方向：ovgtxy21tan==α3．时间由:221gty=得gyt2=（由下落的高度y决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
5．tan 2tan θα= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。
6.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
【人教2019版新教材课件】曲线运动和万有引力定律(四)
曲线运动和万有引力定律（四）一、选择题1．下列说法正确的是A ． 在恒力作用下，物体不可能做曲线运动B ． 在变力作用下，物体不可能做曲线运动C ． 做曲线运动的物体，其运动状态可能不改变D ． 物体做曲线运动时，其加速度与速度的方向不可能一致2．关于互成角度的两个初速度为零的匀加速直线运动的合成结果，下列说法中正确的是A ． 一定是直线运动B ． 一定是曲线运动C ． 可能是直线运动，也可能是曲线运动D ． 以上说法都不对3．中国的吴桥杂技享誉世界，如图甲是杂技演员表演传统节目水流星。
用细绳系着装有水的小桶。
在竖直面内做圆周运动，当小桶运动到最高点时，可简化为图乙所示情形，已知水的质量为m ，水的重心到转轴O 的距离为L ，则下列说法正确的是A ． 最高点水刚好不流出时，水和小桶的最小速率为零B ． 最高点水刚好不流出时，水对桶底的作用力大小为mgC ． 最高点水刚好不流出时，水对桶底的作用力为零D ． 最高点水刚好不流出时，绳上的拉力大小大于mg4．我国高铁技术目前发展迅猛，银川作为省会城市没有高铁的历史即将结束。
目前已经开始铺轨的银西高铁，横跨陕甘宁三省，极大的缩短了银川到西安的运行时间。
设计图纸在一处半径为3000m 的弯道处标明设计时速为144km/h （此时车轮轮缘不受力）。
已知我国的轨距为1500mm ，且角度较小时可认为tan θ=sin θ，重力加速度g =10m/s 2，则高铁在通过此弯道时内、外轨高度差为A ． 8cmB ． 9cmC ． 10cmD ． 11cm5．如图，空客A380飞机在无风条件下，以一定速率v 在水平面内转弯。
则机身倾角θ（机身与水平面的夹角）与转弯半径r 的关系正确的是（ ）A ．θtan 2g v r =B ．θtan 2g v r = C ．g v r θtan 2= D ．θtan g v r = 6．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍,仍做圆周运动,则A ． 根据公式v =ωr ,可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍( )B ． 根据公式F =mv 2/r ,可知卫星所受的向心力将减小到原来的1/2C ． 根据公式F =GMm/r 2,可知地球提供的向心力将减小到原来的√2/2D ． 根据上述B 、C 中给出的公式,可知卫星运动的线速度将减小到原来的√2/27．2018年7月25日消息称,科学家们在火星上发现了第一个液态水湖,这表明火星上很可能存在生命。
高中物理必修2-4-1
运动， 以曲线运动一定是 变速 运动，即必然具有 加速度． 加速度． 2．物体做曲线运动的条件 ． (1)从动力学角度看：物体所受 从动力学角度看： 从动力学角度看 不在同一条直线上． 不在同一条直线上． (2)从运动学角度看：物体的 加速度 从运动学角度看： 从运动学角度看 向不在同一条直线上． 向不在同一条直线上．
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必考部分 必修2 第四章 曲线运动 万有引力与航天
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一、曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系 曲线运动的合力、轨迹、 1．轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一 ．轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间， 侧弯曲． 侧弯曲． 2．合力的效果：合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向 ．合力的效果：合力沿切线方向的分力改变速度的大小， 的分力改变速度的方向，如下图所示的两个情景． 的分力改变速度的方向，如下图所示的两个情景．
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(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大； 当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大； 当合力方向与速度方向的夹角为锐角时 (2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小； 当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小； 当合力方向与速度方向的夹角为钝角时 (3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变． 当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变． 当合力方向与速度方向垂直时
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3．位移变化规律 ． (1)任意相等时间间隔内，水平位移不变，即∆x＝v0∆t. 任意相等时间间隔内，水平位移不变， 任意相等时间间隔内 ＝ (2)连续相等的时间间隔 内 ， 竖直方向上的位移差不变 ， 即 ∆y＝ 连续相等的时间间隔∆t内 竖直方向上的位移差不变， 连续相等的时间间隔 ＝ g∆t2. (3)连续相等时间内的竖直位移之比为： 连续相等时间内的竖直位移之比为： 连续相等时间内的竖直位移之比为 1∶3∶5∶…∶(2n－1)(n＝1,2,3，…) ∶ ∶ ∶ － ＝ ，
第四节 曲线运动 万有引力定律
第四章 曲线运动 万有引力定律[考点解读]顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。
本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。
根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。
另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。
A[解题方法指导][例题1]关于互成角度的两个匀变速直线运动的合运动，下述说法中正确的是[ ] A．一定是直线运动B．一定是曲线运动C．一定是匀变速运动D．可能是直线运动，也可能是曲线运动[思路点拨] 本题概念性很强，正确进行判定的关键在于搞清物体曲线运动的条件：物体运动方向与受力方向不在同一直线上．另外题目中“两个匀变速直线运动”并没讲是否有初速度，这在一定程度上也增大了题目的难度．[解题过程] 若两个运动均为初速度为零的匀变速直线运动，如图5－1(A)所示，则合运动必为匀变速直线运动．若两个运动之一的初速度为零，另一个初速度不为零，如图5－1(B)所示，则合运动必为曲线运动．若两个运动均为初速度不为零的匀变速直线运动，则合运动又有两种情况：①合速度v与合加速度a不共线，如图5－1(C)所示．②合速度v与合加速度a恰好共线．显然前者为曲线运动，后者为直线运动．由于两个匀变速直线运动的合加速度必恒定，故不仅上述直线运动为匀变速直线运动，上述曲线运动也为匀变速运动．本题正确答案应为：C和D．[小结] 正确理解物体做曲线运动的条件是分析上述问题的关键．曲线运动由于其运动方向时刻改变(无论其速度大小是否变化)，必为变速运动．所以曲线运动的物体必定要受到合外力作用，以改变其运动状态．由于与运动方向沿同一直线的力，只能改变速度的大小；而与运动方向相垂直的力，才能改变物体的运动方向．故做曲线运动的物体的动力学条件应是受到与运动方向不在同一直线的外力作用．[例题2] 一只小船在静水中速度为u，若水流速度为v，要使之渡过宽度为L的河，试分析为使渡河时间最短，应如何行驶？[思路点拨] 小船渡河是一典型的运动合成问题．小船船头指向(即在静水中的航向)不同，合运动即不同．在该问题中易出现的一个典型错误是认为小船应按图5－2(A)所示，逆水向上渡河，原因是这种情况下渡河路程最短，故用时也最短．真是这样吗？[解题过程] 依据合运动与分运动的等时性，设船头斜向上游并最终垂直到达对岸所需时间为tA，则设船头垂直河岸渡河，如图5－2(B)所示，所需的时间为tB，则比较上面两式易得知：tA＞tB．又由于从A点到达对岸的所有路径中AB最短，故[小结] (1)如果物体同时参加两个(或两个以上)分运动，可以使之依次参加各分运动，最终效果相同，即物体同时参与的分运动是相互独立的、彼此互不干扰，称之为运动的独立性原理．(2)通过本题对两个互成角度分运动的合成的研究方法已见一斑，关键就是正确使用矢量计算法则．为使之理解更深刻，请参看下面问题．若已知小船在静水中航速为u，水流速度为v(v＞u)，试用矢量运算法则研究船向何方向航行时，船被河水向下游冲的距离最小．做有向线段AB，用以表示水流速度v，再以B端为圆心，以表示小船在静水中速度u大小的线段BC为半径做圆弧，得到图5－3．依矢量合成法则，该图中从A点向圆弧任意点C所做的有向线段，就应该是此状态下的合速度．现从A点作圆的切线AD，(由图可知)显然有向线段AD所表示的即为向下游所冲距离最小时合速度．由图5－3也不难看出此时船头指向应由图中α角表示【例3】小船在200 m宽的河中横渡,水流速度为2 m/s,船在静水中的航速是4 m/s,求: (1)小船怎样过河时间最短,最短时间是多少.(2)小船怎样过河位移最小,最小位移是多少?[拓展]上题中如果水流速度是4m/s,船在静水中的航速是2m/s,求(1)小船怎样过河时间最短,最短时间是多少?(2)小船怎样过河位移最小,最小位移是多少?[小结] 解决这类问题时,首先要明确哪是合运动,哪是分运动,然后根据合运动和分运动的等时性及平行四边形定则求解,解题时要注意画好示意图.【例4】如图所示，在离水面高H 的岸边有人以大小为V的速度匀速收绳使船靠岸。
高中物理 第四章 曲线运动 万有引力定律练习
第四章曲线运动万有引力定律[考点解读]本章内容包括圆周运动的动力学部分和物体做圆周运动的能量问题，其核心内容是牛顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。
本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。
根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿A第二定律对这一时刻列出相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。
另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。
[[例题1]关于互成角度的两个匀变速直线运动的合运动，下述说法中正确的是[ ]A．一定是直线运动B．一定是曲线运动C．一定是匀变速运动D．可能是直线运动，也可能是曲线运动[思路点拨] 本题概念性很强，正确进行判定的关键在于搞清物体曲线运动的条件：物体运动方向与受力方向不在同一直线上．另外题目中“两个匀变速直线运动”并没讲是否有初速度，这在一定程度上也增大了题目的难度．[解题过程] 若两个运动均为初速度为零的匀变速直线运动，如图5－1(A)所示，则合运动必为匀变速直线运动．若两个运动之一的初速度为零，另一个初速度不为零，如图5－1(B)所示，则合运动必为曲线运动．若两个运动均为初速度不为零的匀变速直线运动，则合运动又有两种情况：①合速度v与合加速度a不共线，如图5－1(C)所示．②合速度v与合加速度a恰好共线．显然前者为曲线运动，后者为直线运动．由于两个匀变速直线运动的合加速度必恒定，故不仅上述直线运动为匀变速直线运动，上述曲线运动也为匀变速运动．本题正确答案应为：C和D．[小结] 正确理解物体做曲线运动的条件是分析上述问题的关键．曲线运动由于其运动方向时刻改变(无论其速度大小是否变化)，必为变速运动．所以曲线运动的物体必定要受到合外力作用，以改变其运动状态．由于与运动方向沿同一直线的力，只能改变速度的大小；而与运动方向相垂直的力，才能改变物体的运动方向．故做曲线运动的物体的动力学条件应是受到与运动方向不在同一直线的外力作用．[例题2] 一只小船在静水中速度为u，若水流速度为v，要使之渡过宽度为L的河，试分析为使渡河时间最短，应如何行驶？[思路点拨] 小船渡河是一典型的运动合成问题．小船船头指向(即在静水中的航向)不同，合运动即不同．在该问题中易出现的一个典型错误是认为小船应按图5－2(A)所示，逆水向上渡河，原因是这种情况下渡河路程最短，故用时也最短．真是这样吗？[解题过程] 依据合运动与分运动的等时性，设船头斜向上游并最终垂直到达对岸所需时间为tA，则设船头垂直河岸渡河，如图5－2(B)所示，所需的时间为tB，则比较上面两式易得知：tA＞tB．又由于从A点到达对岸的所有路径中AB最短，故[小结] (1)如果物体同时参加两个(或两个以上)分运动，可以使之依次参加各分运动，最终效果相同，即物体同时参与的分运动是相互独立的、彼此互不干扰，称之为运动的独立性原理．(2)通过本题对两个互成角度分运动的合成的研究方法已见一斑，关键就是正确使用矢量计算法则．为使之理解更深刻，请参看下面问题．若已知小船在静水中航速为u ，水流速度为v(v ＞u)，试用矢量运算法则研究船向何方向航行时，船被河水向下游冲的距离最小．做有向线段AB ，用以表示水流速度v ，再以B 端为圆心，以表示小船在静水中速度u 大小的线段BC 为半径做圆弧，得到图5－3．依矢量合成法则，该图中从A 点向圆弧任意点C 所做的有向线段，就应该是此状态下的合速度．现从A 点作圆的切线AD ，(由图可知)显然有向线段AD 所表示的即为向下游所冲距离最小时合速度．由图5－3也不难看出此时船头指向应由图中α角表示【例3】 小船在200 m 宽的河中横渡,水流速度为2 m/s,船在静水中的航速是4 m/s,求: (1)小船怎样过河时间最短,最短时间是多少.(2)小船怎样过河位移最小,最小位移是多少?[拓展] 上题中如果水流速度是4m/s,船在静水中的航速是2m/s,求(1)小船怎样过河时间最短,最短时间是多少?(2)小船怎样过河位移最小,最小位移是多少?[小结] 解决这类问题时,首先要明确哪是合运动,哪是分运动,然后根据合运动和分运动的等时性及平行四边形定则求解,解题时要注意画好示意图.【例4】如图所示，在离水面高H 的岸边有人以大小为 V 0的速度匀速收绳使船靠岸。
专题四曲线运动万有引力定律
(2)欲使船航行的距离最短，船应怎样渡河？渡河使船头(即船在静水中的 速度方向)垂直河岸方向行驶，如图22所示．由合运动与分运 动的等时性可知
图22 最短时间 tmin＝vd2＝1400 s＝25 s 船的合速度 v＝ v21＋v22＝ 32＋42 m/s＝5 m/s 船的位移 s＝vtmin＝5×25 m＝125 m.
动分解为沿绳子方向的运动(使得绳子在 沿绳方向被拉出)和垂直绳子方向(使得绳子绕定滑轮旋转)的运 动；两个绳连接的物体沿绳子方向的速度大小相等． (2)方法：确定物体实际运动；沿绳方向分解；沿垂直绳度和船在静水中的速度大小 的比例，先从出发点 A 开始作矢量 v 水，再以 v 水末端为圆心， v 船为半径画圆弧，自出发点 A 向圆弧作切线即为船位移最小时 的合运动的方向．这时船头与河岸的夹角 θ 满足 cosθ＝vv船 水，最 短位移 s 短＝codsθ，过河时间 t＝v船sdinθ.
热点2 运动的合成与分解——小船渡河问题 【例2】(2011年江苏卷)如图4－1－7所示，甲、乙两同学 从河中O点出发，分别沿直线游到 A点和B点后，立即沿原路 线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝ OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时 间t甲、t乙的大小速度与合初速度不在 同一直线上，则为曲线运动，A 错误；两个匀速直线运动的合 成，合加速度为零，只有合初速度，所以为匀速直线运动，B 正确；两个初速度为零的匀加速直线运动的合成，合初速度为 零，只有合加速度，所以为匀加速直线运动，故C正确；匀加 速直线运动与匀速直线运动的合成，若合加速度方向与合初速 度方向不在一条直线上，做曲线运动，D 错误．
高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第1讲 曲线运动 运动的合成与分解学生用书
第1讲曲线运动运动的合成与分解一、曲线运动1．速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的________．2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是________运动．3．运动的条件：二、运动的合成与分解1．分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即________，物体的实际运动即________．2．运动的合成：已知________________，包括位移、速度和加速度的合成．3．运动的分解：已知________________，解题时应按实际效果分解或正交分解．4．遵循的法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循________________．,生活情境右图为建筑工地塔吊示意图，在驾驶工人的操作下，小车A可在起重臂上左右移动，同时又可使重物上下移动，若起重臂不转动，则(1)小车A向左匀速运动，同时拉重物的绳子匀速缩短，则重物相对地面为直线运动．( )(2)小车A向左匀加速运动，同时拉重物的绳子匀速缩短，则重物相对地面为曲线运动．( )(3)小车A向左运动的速度v1，重物B向上运动的速度v2，则重物B对地速度为v＝√v12+v22.( )(4)做曲线运动的物体．其速度时刻变化，所以物体所受合力一定不为零．( )(5)两个互成角度的初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动．( )考点一物体做曲线运动的条件及轨迹分析1．合力方向与轨迹的关系无力不拐弯，拐弯必有力．曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．2．合力方向与速率变化的关系跟进训练1.[人教版必修2P6演示实验改编]在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其速度方向上放置条形磁铁，第二次在其速度方向上的一侧放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小球的运动轨迹．观察实验现象，以下叙述正确的是( )A．第一次实验中，小钢球的运动是匀变速直线运动B．第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其轨迹是一条抛物线C．该实验说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上2．(多选)一个质点在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿图示中( )A．F1的方向 B．F2的方向C．F3的方向 D．F4的方向3．春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福．如图所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动．孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的( )A．直线OA B．曲线OBC．曲线OC D．曲线OD考点二运动的合成与分解运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则．跟进训练4.如图所示，乒乓球从斜面上滚下，它以一定的速度做直线运动，在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口时，对着乒乓球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )A．乒乓球将偏离原有的运动路径，但不能进入纸筒B.乒乓球将保持原有的速度方向继续前进C．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒5．2020年3月3日消息，国网武汉供电公司每天用无人机对火神山医院周边线路进行巡检，一次最长要飞130分钟，它们是火神山医院的电力“保护神”．如图所示，甲、乙两图分别是某一无人机在相互垂直的x方向和y方向运动的vt图象．在0～2 s内，以下判断正确的是( )A．无人机的加速度大小为10 m/s2，做匀变速直线运动B．无人机的加速度大小为10 m/s2，做匀变速曲线运动C．无人机的加速度大小为14 m/s2，做匀变速直线运动D．无人机的加速度大小为14 m/s2，做匀变速曲线运动6．[2022·广东深圳模拟]我国五代战机“歼20”再次闪亮登场．表演中，战机先水平向右，再沿曲线ab向上(如图所示)，最后沿陡斜线直入云霄．设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变，则沿ab段曲线飞行时，战机( )A．所受合外力大小为零B．所受合外力方向竖直向上C．竖直方向的分速度逐渐增大D．水平方向的分速度不变考点三小船渡河模型和关联速度模型素养提升角度1小船渡河问题1.合运动与分运动合运动→船的实际运动v合→平行四边形对角线分运动→船相对静水的运动v船水流的运动v水→平行四边形两邻边．两类问题、三种情景例1.如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝3400直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是( ) A．小船渡河的轨迹为直线B．小船在河水中的最大速度是5 m/sC．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度D．小船渡河的时间是160 s角度2关联速度问题例2. 如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是( )A．货箱向上运动的速度大于vB．缆绳中的拉力F T等于(m0＋m)gC．货箱向上运动的速度等于v cos θD．货物对货箱底部的压力等于mg[思维方法]绳(杆)关联问题的解题技巧(1)先确定合速度的方向(物体实际运动方向)．(2)分析合运动所产生的实际效果；一方面使绳(杆)伸缩；另一方面使绳(杆)转动．(3)确定两个分速度的方向：沿绳(杆)方向的分速度和垂直绳(杆)方向的分速度，而沿绳(杆)方向的分速度大小相同．跟进训练7．如图所示，小球a、b用一细直棒相连，a球置于水平地面，b球靠在竖直墙面上，释放后b球沿竖直墙面下滑，当滑至细直棒与水平面成θ角时，两小球的速度大小之比为( )A．v av b ＝sin θ B．v av b＝cos θC．v av b ＝tan θ D．v av b＝1tanθ8．如图所示，一船夫以摇船载客为生往返于河的两岸．若该船夫摇船从河岸A点以v1的速度用最短的时间到对岸B点．第二次该船以v2的速度从同一地点以最短的路程过河到对岸B点，船轨迹恰好与第一次船轨迹重合．假设河水速度保持不变，则该船两次过河所用的时间之比是 ( )A．v1∶v2 B．v2∶v1C.v:12v22D.v22 v12第1讲曲线运动运动的合成与分解必备知识·自主排查一、1．切线方向2．变速二、1．分运动合运动2．分运动求合运动3．合运动求分运动4．平行四边形定则生活情境(1)√(2)√(3)√(4)√(5)√关键能力·分层突破1．解析：本题考查曲线运动的轨迹问题．第一次实验中，小钢球受到沿着速度方向的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小吸引力变大，加速度变大，则小钢球的运动是非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，方向与大小均改变，是变力，故小钢球的运动不是类似平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向，故选项C错误，D正确．答案：D2．解析：曲线运动受到的合力总是指向曲线凹的一侧，但和速度永远不可能达到平行的方向，所以合力可能沿着F3的方向、F4的方向，不可能沿着F1的方向或F2的方向，C、D 正确，A、B错误．答案：CD3．解析：孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知运动轨迹可能为曲线OD，故D正确．答案：D4．解析：当乒乓球经过筒口时，对着乒乓球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，故一定不会进入纸筒，要提前吹气才会进入纸筒，故A正确，B、C、D错误．答案：A5．解析：在0～2 s内，由速度－时间图象可知，x方向初速度为v0x＝0，加速度为a x ＝6 m/s2，y方向初速度为v0y＝0，加速度为a y＝8 m/s2，根据平行四边形定则可以得到合初速度为v＝0，合加速度为a＝10 m/s2，而且二者方向在同一直线上，可知合运动为匀变速直线运动，故A正确，B、C、D错误．答案：A6．解析：战机在同一竖直面内做曲线运动，且运动速率不变，由于速度方向是变化的，则速度是变化的，故战机的加速度不为零，根据牛顿第二定律可知，战机所受的合力不为零，故A错误；战机在同一竖直平面内做匀速率曲线运动，所受合力与速度方向垂直，由于速度方向时刻在变化，则合外力的方向也时刻在变化，故B错误；由以上分析可知，战机所受合力始终都与速度方向垂直，斜向左上方，对合力和速度进行分解，竖直方向上做加速运动，水平方向上做减速运动，即竖直分速度增大，水平分速度减小，所以选项C正确，D错误．答案：C例1 解析：小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，速度与加速度不共线，小船的合运动是曲线运动，选项A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，v水＝3 m/s，此时小船的合速度最大，最大值v m＝5 m/s，选项B正确；小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，选项C错误；小船的渡河时间t＝dv船＝8004s＝200 s，选项D错误．答案：B例2 解析：将货车的速度进行正交分解，如图所示．由于绳子不可伸长，货箱和货物整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，有v1＝v cos θ，故选项C正确；由于θ不断减小，v1不断增大，故货箱和货物整体向上做加速运动，加速度向上，故选项A错误；拉力大于(m0＋m)g，故选项B错误；货箱和货物整体向上做加速运动，加速度向上，属于超重，故箱中的物体对箱底的压力大于mg，故选项D错误．答案：C7．解析：如图所示，将a球速度分解成沿着杆与垂直于杆方向，同时b球速度也是分解成沿着杆与垂直于杆两方向．对于a球v＝v acos θ，对于b球v＝v bsin θ，由于同一杆，则有v acosθ＝v bsin θ，所以v av b＝tan θ，故选C.答案：C8．解析：由题意可知，船夫两次驾船的轨迹重合，知合速度方向相同，第一次船的静水速度垂直于河岸，第二次船的静水速度与合速度垂直，如图所示．船两次过河的合位移相等，则渡河时间之比等于船两次过河的合速度之反比，则t1 t2＝v2合v1合＝v2tanθv1sinθ＝v2v1cos θ，而cos θ＝v2v1可得t1t2＝v22v12，故D项正确．答案：D。
高考物理总复习专题四：曲线运动_万有引力定律
例与练 小船过河，河宽为90 m，船在静水中航行速度是3 m/s， 水流速度是4 m/s，则( AC ) A.船渡过河的最短时间为30 s B.小船渡河的最短路程为90 m C.船头偏向上游某一角度可使船以最短路程过河 D.小船渡河的最短路程为150 m
三、平抛运动的推论
推论 Ⅰ ：做平抛 ( 或类平抛 ) 运动的 物体在任一时刻任一位置处，设其 末速度方向与水平方向的夹角为 α ， 位移与水平方向的夹角为 θ ，则 tan α＝2tan θ.
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物 体，任意时刻的瞬时速度方向的反 向延长线一定通过此时水平位移的 中点．
解析：各个方向的运动都是匀速直线运动和自由落体 运动的合运动。
v0t
v0t O v0t v0t v0t
1 2 gt 2
v0t
1 2 gt 2
O
v0t
v0t
v0t
1 2 gt 2
1 2 gt 2
v0t
1 2 gt 2
答案：在同一个圆周上
三、运动合成与分解的两种模型 1．小船过河模型分析 (1)把握三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速 度)、v合(船的实际速度即合速度) (2)分清三种情景 ①过河时间最短：船头正对河岸如图(甲)所示．最短时
① 任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0 ②任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下， 且Δv＝Δvy＝gΔt。因此平抛 运动是典型的匀变速曲线运动。
⑵平抛运动位移变化规律 ①任意相等时间间隔内，水平位移相等，即Δx＝v0Δt。 ②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不 变，即Δy＝gΔt 2。
答案：(1)0.28 m/s，与水平方向成45° (2)0.45 m (3)曲线运动
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第四章曲线运动万有引力定律（B卷）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确,有的小题有多个选项正确.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分）1.如图所示，一个带正电的质量为m的液滴在有界的匀强电场外的上方A点自由下落，当液滴进入匀强电场后在电场中的运动轨迹可能是（以水平向右为x轴的正方向，竖直向下为y轴的正方向）()解析：液滴刚进入电场时就有一个竖直向下的速度，进入电场后受到重力和电场力的作用，其合力为恒力，方向斜向右下方向，故运动的轨迹只有A符合.答案：A2.如图所示为一种“滚轮 天平无级变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成.由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动.如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴转速n 1、从动轴转速n 2、滚轮半径r 以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x 之间的关系是()A.n 2=n 1xr B.n 2=n 1r xC.n 2=n 122x rD.n 2=n解析：根据主动轴的平盘与从动轴上滚轮接触处的线速度相等求得A 选项正确.答案：A3.如图所示，半径为R 的大圆盘以角速度ω绕过O 点的竖直轴在水平面内旋转，有人站在盘边P 点面对O 随盘转动，他想用枪击中盘中心的目标O ，若子弹的速度为v ，则在他看来()A.枪应瞄准O 射击B.枪应向PO 的右方偏过θ角射击，cos θ=wRvC.枪应向PO的左方偏过θ角射击，tanθ=wRvD.枪应向PO的左方偏过θ角射击，sinθ=wRv解析：射击后可认为子弹做匀速直线运动，要子弹射中目标，需使合速度指向O点，其中一分速度沿P点圆的切线方向，由平行四边形定则可知如右图所示，sinθ=wR，故选项D正确.v答案：D4.科学家推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说它是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”，由此根据以上信息可以推测()A.这颗行星的公转周期与地球相等B.这颗行星的自转周期与地球相等C.这颗行星的质量等于地球的质量D.这颗行星的密度等于地球的密度解析：由于第十颗行星在地球轨道上且一直在太阳的背面，人类一直未能发现它，说明它的公转周期与地球相等，故选项A正确，但无法推测它的自转情况、质量及其密度.答案：A5.如图，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端有固定轴O，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦转动.已知小球通过最低点Q时，速度的大小为( )A.小球能达到圆周轨道的最高点P，且在P点受到轻杆向上的弹力B.小球能到达圆周轨道的最高点P，且在P点受到轻杆向下的弹力C.小球能到达圆周轨道的最高点P，且在P点不受轻杆的作用力D.小球不可能到达圆周轨道的最高点P解析：假设小球能到达最高点，由机械能守恒12mv2=2mgL+12mv′2得小球到达最高点的速度为v′=0，由此可知小球能到达最高点，且受到轻杆向上的弹力，大小为mg.故正确选项为A.答案：A6.如图所示，质量为m的小球在竖直面内的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，通过最高点且刚好不脱离轨道时的速度为v，则当小球通过与圆心等高的A点时，对轨道内侧的压力大小为()A.mgB.2mgC.3mgD.5mg解析：由于小球通过最高点且刚好不脱离轨道，故小球在最高点时的速度大小为设小球通过与圆心等高的A 点时的速度为v ′，则由机械能守恒12mv 2+mgR=12mv ′2，得v ′仅由轨道对它的支持力提供，F=m 2v R'=3mg,故小球对轨道内侧的压力大小也为3mg ，正确选项为C.答案：C7.在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地.若不计空气阻力，则()A.垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定解析：垒球落地时瞬时速度的大小，其速度方向与水平方向的夹角满足：tan α，由此可知，A 、B 错；垒球在空中运动的水平位移x=v 0t=v，故C 错；垒球在空中运动的时间D 正确. 答案：D8.宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体从距月球表面高h 处自由释放，经时间t 后落到月球表面（设月球半径为R).据上述信息判断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( )A.t 解析：根据自由落体知识可得：h=12gt 2,根据万有引力定律和圆周运动公式可得：222Mm v Mm G m ,G mg,v R R R===，因此,v=t ,故选项B 正确.答案：B二、非选择题（本题共7小题，共68分.按题目要求作答.解答题应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤.只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）9.(8分）在做“研究平抛物体的运动”的实验中，为了确定小球在不同时刻所通过的位置，实验时用如图所示的装置，先将斜槽的末端调整水平，在一块平木板表面钉上复写纸，并将该木板竖直立于紧靠槽口处，使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止开始释放，小球撞到木板并在木板上留下痕迹A ；将木板向远离槽口平移距离x ，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止开始释放，小球撞到木板上留下痕迹B ；又将木板向远离槽口平移距离x ，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止开始释放，小球撞到木板上留下痕迹 C.若测得木板每次平移的距离x=10.00 cm ，A 、B 间距离y 1=4.78 cm,B\,C 间距离y 2=14.82 cm.(g 取9.8 m/s 2)（1）根据以上直接测量的物理量导出测小球平抛的初速度的公式为v 0=___（用题中所给字母表示）.(2)小球平抛的初速度的测量值为___m/s.解析：由于小球在竖直方向的分运动为自由落体运动，且下落y 1与y 2所用的时间相同，设为t ，则y 2-y 1=gt 2,x=v 0t ，解得小球的初速度为v 0代入数据得v 0=0.998 m/s. 答案：10.(9分）探究能力是物理学研究的重要能力之一.物体因绕轴转动而具有的动能叫转动动能，转动动能的大小与物体转动的角速度有关.为了研究某一砂轮的转动动能Ek与角速度ω的关系，某同学采用了下述实验方法进行探索：先让砂轮由动力带动匀速旋转测得其角速度ω，然后让砂轮脱离动力，由于克服转轴间摩擦力做功，砂轮最后停下，测出砂轮脱离动力到停止转动的圈数n，通过分析实验数据，得出结论.经实验测得的几组ω和n的数据如下表所示：另外已测得砂轮转轴的直径为1 cm，转轴间的摩擦力为10/πN.(1)计算出砂轮每次脱离动力时的转动动能，并填入上表中.（2）由上述数据写出该砂轮的转动动能E k与角速度ω的关系式；（3）若测得脱离动力后砂轮的角速度为 2.5 rad/s，则它转动45圈后的角速度为多大？答案：（1）(2)E k =2ω2(J) (3)2 rad/s11.（9分）如图所示，长为L 的轻绳一端固定在O 点，另一端系一小球（可视为质点），小球在竖直平面内做逆时针圆周运动.已知小球运动过程中轻绳拉力T 和轻绳与竖直方向OP 的夹角θ的关系为：T=b+bcos θ,b 为已知的常数，当地重力加速度为g.求小球的质量.解析：当θ=0°时，T=2b ，小球在最低点，设其速度为v 1，由向心力公式得：2b-mg=m 21v L当θ=180°时，T=0，小球在最高点，设其速度为v 2，由向心力公式得：mg=m 22v L从最低点到最高点，由机械能守恒得：12m 21v =12m 22v +2mgL 解得：m=3b g . 答案：m=3b g12.(10分）地球赤道上的重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球自转的角速度应为原来的多少倍？解析：赤道上的物体随地球自转时的向心力是由万有引力和地面的支持力的合力提供，即：G2Mm R-N=m ω2R=ma ① 其中N=mg ②要使赤道上的物体飘起来，即变为近地卫星，应有N=0，于是： G2Mm R=m ω′2R ③由①②③得：'w w =答案 13.（10分）“黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊的天体，它的密度极大，对周围物质（包括光子）有极强的吸引力.根据爱因斯坦的理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也将被吸入，最多恰能绕黑洞表面做圆周运动，它自身发出的光子也不能向外射出，人们无法用光学方法观察到它，故称它为“黑洞”.根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该可能黑洞6.0×1012 m 远的某星体正以 2.0×106 m/s 的速度绕它旋转，取G=6.7×10-11 N ·m 2/kg 2，试估算该可能黑洞的最大半径.（取两位有效数字）解析：黑洞作为一个特殊的天体一直受到人们的广泛关注，种种迹象表明它确实存在于人们的视野之外.由于黑洞的特殊性，一定要抓住其“黑”的原因，即光子也逃不出它的约束，光子绕黑洞做圆周运动时，它的轨道半径就是黑洞的最大半径.根据爱因斯坦理论，光子有质量，所以黑洞对光子的万有引力就等于光子做匀速圆周运动的向心力.设黑洞的质量为M ，光子的质量为m ，光速为c,R 为黑洞的最大半径，则：G 22Mm c m R R=①银河系中的某星体绕黑洞旋转时，也认为作的是匀速圆周运动，其向心力为二者之间的万有引力.设该星体的质量为m ′，轨道半径为R+h ，则：G 'Mm R h+=m ′2v R h +②由①②式得：R=222v h c v- =2.7×108 m.答案：R=2.7×108 m14.（10分）如图所示，在圆柱形房屋天花板中心O 点悬挂一根长为L 的细绳，绳的下端挂一个质量为m 的小球，已知绳能承受的最大拉力为2mg,小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳子断裂后，小球恰好以速度v2.求:（1）绳断裂瞬间小球的速度v 1; (2)圆柱形房屋高度H 和半径R.解析：(1)绳断前瞬间小球受力如图所示，由于Fm=2mg,cos θ=12mg Fm =,θ=60° mgtan60°=m 21v r,r=Lsin60°解得. （2）绳断后小球做平抛运动，根据机械能守恒定律12m 21v v21+mgh 1=12m 22v ,式中h 1为绳断裂时小球距地面的高度，由上式解得h 1=22212v v g - =114L.设绳断裂时小球距天花板的高度为h 2，则h 2=Lcos60°=2L ，故房屋的高度H=h 1+h 2=134L. 绳断裂后小球沿圆周的切线方向做平抛运动，设小球从抛出至落地的水平射程为x ，如右图所示，x=v 1t,h 1=12gt 2，，解得R=3L.答案：（1）L R=3L(2)H=13415.（12分）如图1所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带AB的长度为L=8 m,传送带的皮带轮的半径均为R=0.2 m，传送带的上部距地面的高度为h=0.45 m，现有一个旅行包（可视为质点）以初速度v0=10 m/s水平地滑上水平传送带A端.已知旅行包与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.6，皮带轮与皮带之间始终不打滑,g取10 m/s2.讨论下列问题：（1）若传送带静止，旅行包滑到B点时，人若没有及时取下，旅行包将从B端滑落，则包的落地点距B端的水平距离为多少？（2）设皮带轮顺时针匀速运动，若皮带轮的角速度ω1=40 rad/s，旅行包落地点距B 端的水平距离又为多少？（3）设皮带轮以不同的角度顺时针匀速转动，在图2中画出旅行包落地点距B 端的水平距离s 随皮带轮的角速度ω变化的图象.解析：（1）从A 到B 过程中，旅行包做匀减速运动a=μg=6 m/s 2旅行包到达B 端的速度为=包的落地点距B 端的水平距离为m=0.6 m. (2)当ω1=40 rad/s ，皮带速度为v 1=ω1R=8 m/s ，当旅行包的速度也为v 1=8 m/s 时，在传送带上运动了位移s 1=220110064122v v a--= m=3 m<8 m 以后旅行包做匀速直线运动，所以旅行包到达B 点的速度也为v1=8 m/s ，包的落地点距B 端的水平距离为s 2=v 1t=v × 2×m=2.4 m. （3）如下图所示.答案：(1)s=0.6 m(2)s=2.4 m(3)见解析。