高二上人教A版数学月考题(立体几何_圆锥曲线)
高中数学人教A版选修2-15月高二数学同步测试—圆锥曲线综合
Fxy A B C O 2016年5月海南省乐东民族中学高二数学同步测试—圆锥曲线综合姓名 班级 座位号一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为 （ ） A ．45 B ．25 C ．32 D ．45 2．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ）A ．y x 82=B ．y x 82-=C ．y x 162=D ．y x 162-=3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是 （ ） A ．π22 B ．π C ．π)21(+ D ．π2)221(+4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ） A ．x y 3= B ．x y 3-= C ．x y 33= D ．x y 33-= 5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 （ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是 （ ）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y xD ．1622=+y x 7．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到原点的最大距离为 （ ） A ． 1 B ．2 C ．2 D ．38．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy 最大值 （ ） A ．21 B ．33 C ．23 D ．3 9．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 （ ）A ．x y 232=B ．x y 32=。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD所在平面上，E是A1A的中点，且∠EPA=∠D1PD，则点P的轨迹是（）A．直线B．圆C．抛物线D．双曲线【答案】B【解析】由已知得即，在平面ABCD内以AD所在直线为x轴，AD中点为坐标原点建立直角坐标系，设A（1，0），B（-1，0），P（x，y），由建立等式化简得轨迹方程为，是圆的一般方程，所以答案选B。
【考点】1.直角三角形中的三角函数定义；2.轨迹方程的求解2.已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），，，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））（1）证明：平面；（2）求平面与平面的所成角的正切值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】（1）先以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标以及和的坐标，进而得到两向量共线，即可证明线面平行；（2）先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标，再求出这两个法向量所成角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系式可求得结果.试题解析：（1）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得，∴，∴，∴AF∥DE，又∥ 6分（2）由（1）得四点共面，，设平面，则不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一个法向量为∴，设平面与平面的所成角为∴所求角的正切值为 13分.【考点】1.直线与平面平行的判定；2.用空间向量求二面角.3.抛物线的焦点到准线的距离是 .【答案】【解析】由抛物线的定义知抛物线的焦点到准线的距离是P，又由题可知P=.【考点】抛物线的几何性质.4.如图，已知椭圆：的离心率为，点为其下焦点，点为坐标原点，过的直线：（其中）与椭圆相交于两点，且满足：.（1）试用表示；（2）求的最大值；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）设，联立椭圆与直线的方程，消去得到，应用二次方程根与系数的关系得到，，然后计算得，将其代入化简即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值；（3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可.试题解析：（1）联立方程消去，化简得 1分设，则有， 3分∵∴ 5分∴即 6分（2）由（1）知∴，∴ 8分∴∴离心率的最大值为 10分(3)∵∴∴ 12分解得∴即∴的取值范围是 14分.【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.二次方程根与系数的关系.5.求以椭圆的焦点为焦点，且过点的双曲线的标准方程.【答案】【解析】首先设出双曲线的标准方程，然后利用与椭圆的关系、双曲线过点建立组可求得a，b的值．试题解析：由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在轴上．设双曲线的标准方程为．根据题意，解得或（不合题意舍去），∴双曲线的标准方程为．【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的方程求法．6.已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于椭圆的离心率为，则可知b：a=1：2，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可知为正方形边长为4，则可知（2，2）在椭圆上，可知椭圆的方程为，选D.【考点】椭圆和双曲线点评：主要是考查了椭圆与双曲线的性质的运用，属于基础题。
最新人教版高二第一学期：圆锥曲线测试及答案
第一学期高二年级圆锥曲线测试、选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50 分)2 爲 1 ( a >b>0)离心率为,则双曲线 b 2 1. 椭圆爲 a A.- 4 B . 2. 抛物线顶点在原点，焦点在 A. x 2 8y 2 X~2 a 2 y b 2 1的离心率为3•圆的方程是(x — cos A. 2、" 2 4.若过原点的直线与圆 A. y 25.椭圆x 9. 5 2 y 轴上，其上一点 2 3 P(m , 1)到焦点距离为5，则抛物线方程为 ( 2 x 2 8y C. 1 )2+(y — sin )2= ,当 从0变化到2时，动圆所扫过的面积是 B . x 2 16y C. (1 , 2) x 2+ y 2 + 4x +3=0相切，若切点在第三象限,唾x3B . y .. 3x C. y 1的焦点为F i 和F 2,点P 在椭圆上, 如果线段 2 D. x 16yD (1邛2 则该直线的方程是 D 43 D. y T x PF i 中点在y 轴上, 那么|PF i | A. 7倍 B . 5倍 C. 4倍 D. 3倍以原点为圆心，且截直线 3x 4y 15 0所得弦长为 8的圆的方程是 ( A. 2 x 2 2 y 5 B . x 2 y 2 2 25 C. x y 4 D. 2 2x y 16 曲线 x 2cos (为参数)上的点到原点的最大距离为( y sin A. 1 B . 2 C. 2 D. .3( 6. 7.如果实数 (X 、 2 12是|PF 2|的 y 满足等式(x 2)2 A.- 23，贝V —最大值 x 仝 2 D. ..3 过双曲线 2Z=1 2 的右焦点F 作直线 交双曲线于A B 两点，若 | AB =4 , 则这样的直 线l 有( ) A. 1条 10.如图，过抛物线C. 3条 y 2 C,若 BC 2BF ，且 AF B . 2条 2px (p 0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点 3 ,则此抛物线的方程为D. 4条 A . B ,交其准线于点( )2y2C y2D. 3x 9x、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24 分）11•椭圆的焦点是F i （- 3, 0）F2 （3, 0）, P为椭圆上一点，且|F I F2|是|PF i|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为____________________________________ .12.若直线mx ny 3 0与圆x2 y2 3没有公共点，则m,n满足的关系式为_____________________ .2 2以（m,n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆J L L 1的公共点有个.7 313.设点P是双曲线x2 1 上一点，焦点F (2, 0),点A (3, 2),使|PA+ 1| PF 有最2小值时，则点P的坐标是 ____________________________________ .214. AB是抛物线y=x的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为.________三、解答题（本大题共6小题，共76分）215. P为椭圆251上一点，F1、F2为左右焦点，若F1PF2 60 （1）求厶F1PF2的面积;（2）求P点的坐标.（12分）16.已知抛物线y2 4x ,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程.（12分）17.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A（0,.. 2）为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y x对称.（1）求双曲线C的方程；（2）设直线y mx 1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线I经过M（—2, 0）及AB的中点，求直线I在y轴上的截距b的取值范围.（12分）18.如图，过抛物线y2 2px（p 0）上一定点P（X o，y。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实根，，则点（）A．必在圆内B．必在圆上C．必在圆外D．以上三种情况都有可能【答案】A【解析】本题只要判断与2的大小，时，点在圆上；时，点在圆内；时，点在圆外.由已知，，椭圆离心率为，从而，点在圆内，故选A.【考点】1.点与圆的位置关系；2.二次方程根与系数的关系.2.若抛物线y2＝4x上的点A到其焦点的距离是6，则点A的横坐标是( )A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】由抛物线的方程可知抛物线的准线为，根据抛物线的定义可知点到其准线的距离也为6，即，所以。
故A正确。
【考点】抛物线的定义。
3.设一个焦点为,且离心率的椭圆上下两顶点分别为,直线交椭圆于两点,直线与直线交于点.(1)求椭圆的方程；(2)求证：三点共线.【答案】(1)(2)详见解析.【解析】(1)利用椭圆的定义和几何性质；(2)直线与圆锥曲线相交问题，可以设而不求，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题目条件来证明.试题解析：(1)由题知，，∴，3分∴椭圆.4分(2) 设点，由(1)知∴直线的方程为，∴.5分∴，，8分由方程组化简得:,,.10分∴,∴三点共线.12分【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交问题；3.韦达定理.4.已知双曲线的右焦点为，若过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由渐进线的斜率.又因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以.所以.故选A.本小题关键是对比渐近线与过焦点的直线的斜率的大小.【考点】1.双曲线的渐近线.2.离心率.3.双曲线中量的关系.5.点P是抛物线y2 = 4x上一动点，则点P到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 .【答案】【解析】抛物线y2 = 4x的焦点，点P到准线的距离与点P到点F的距离相等，本题即求点P到点的距离与到点的距离之和的最小值，画图可知最小值即为点与点间的距离，最小值为.【考点】抛物线的定义.6.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=-2px,将p代入可得y2=-4x．选A.【考点】抛物线的性质点评：本题主要考查抛物线的基本性质以及计算能力．在涉及到求抛物线的标准方程问题时，一定要先判断出焦点所在位置，避免出错．7.动点到两定点,连线的斜率的乘积为（）,则动点P在以下哪些曲线上（）（写出所有可能的序号）①直线②椭圆③双曲线④抛物线⑤圆A．①⑤B．③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤【答案】C【解析】由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零所以kPA •kPB=，整理得，点P的轨迹方程为kx2-y2=ka2（x≠±a）；①当k＞0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（除去A，B两点）②当k=0，点P的轨迹是x轴（除去A，B两点）③当-1＜k＜0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（除去A，B两点）④当k=-1时，点P的轨迹是圆（除去A，B两点）⑤当k＜-1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A，B两点）.故选C.【考点】圆锥曲线的轨迹问题．点评：本题考查圆锥曲线的轨迹问题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．8.已知F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则该椭圆的离心率等于【答案】－1【解析】根据题意，由于F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，且有△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则可知为点P到x轴的距离是Q到x轴距离的3：2倍，那么结合勾股定理可知该椭圆的离心率等于－1 ，故答案为－1 。
高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案
圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对2．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.A. 2B. 12 C. 2 D.14．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条A. 1B.2C. 3D.45．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A 02=-y xB 042=-+y xC 01232=-+y xD 082=-+y x7、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对8．方程02=+ny mx )0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）B 二、填空9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .10．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 11、抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标 。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C的方程。
【答案】【解析】动圆圆心到定点的距离与到定直线（切线）的距离相等（等于半径），由抛物线的定义可知动点的轨迹是抛物线，易得方程为.试题解析：依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L:y=-2为准线的抛物线上因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹方程是x2=8y.【考点】抛物线的定义与方程2.已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，若轴上一点满足，求直线的斜率的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据与离心率可求得a，b，c的值，从而就得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程，并与椭圆方程联立消去y可得到关于x的一元二次方程，然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决．试题解析：（1），∴，，∴，∴，椭圆的标准方程为．（2）已知,设直线的方程为，-，联立直线与椭圆的方程，化简得：，∴，，∴的中点坐标为．①当时，的中垂线方程为，∵，∴点在的中垂线上，将点的坐标代入直线方程得：，即，解得或．②当时，的中垂线方程为，满足题意，∴斜率的取值为.【考点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．3.已知曲线，求曲线过点的切线方程。
【答案】【解析】因为点不在曲线上，故先设所求切线的切点为，再求的导数则，由点斜式写出所求切线方程，再将切线上的已知点代入切线方程可求出，从而所求出切线方程.试题解析：，点不在曲线上，设所求切线的切点为，则切线的斜率，故所求的切线方程为.将及代入上式得解得：所以切点为或.从而所求切线方程为【考点】1、过曲线外一点求曲线的切线方程；2、导数的几何意义.4.已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点（x,y）,直线方程为，与联立方程组，并且有，，解得双曲线的离心率是，故选D.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线与抛物线的几何性质的运用，属于基础题。
高中数学人教A版选修2-1高二数学(文)《圆锥曲线》测试题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作命题人：刘在廷 审题人：周莉莉一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.） 1、到定直线距离与到定点距离之比等于23log 的点的轨迹是（ ）A 双曲线B 椭圆C 圆D 抛物线 2、方程2y ax b =+与(0)y ax b a =+≠表示的图形可能是（ ）3、抛物线y x 42=上一点A 纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点F 的距离为（ ） A 2 B 3 C 4 D 54、双曲线22(1)148x y --=的渐近线方程是（ ） A 2y x =± B 2y x =± C 2(1)y x =±- D 2(1)y x =±-5、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（ ）A2 B3 C3 D 26、已知平面上两定点A,B 间的距离是2，动点M 满足1MA MB ⋅=，则动点M 的轨迹是（ ）A 圆B 直线C 椭圆D 双曲线7、双曲线112322=-x y 的渐近线与准线的夹角的正切值为（ ）A14 B 12C 4D 2 8、已知双曲线22a x -22b y =1和椭圆22mx +22b y =1(0,0)a m b >>>的离心率互为倒数，那么以,,a b m 为边长的三角形是（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 锐角或钝角三角形9、已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，P 为双曲线左支上的一点，若221||8||PF a PF =，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A [3,)+∞ B (3,)+∞ C (1,3] D (1,3)10、若A 为椭圆221259x y +=上任意一点，B 为圆22(1)1x y -+=上任意一点，则A,B 两点间距离||AB 的最大值为（ ）A 6B 7 C1354 D 13514+ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知方程22121x y m m +=++表示双曲线，则实数m 的取值范围是 . 12．已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到)2,0(A 的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则这条曲线的方程是 .13、设P 是曲线1162522=+y x 上的一个动点，点P 到点)2,5(A 的距离记为PA ,点P 到直线7x =的距离记为PH ,则PH PA 53+的最小值为 ．14．如图，把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8 等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆上半部分于 127,,P P P ，F 是椭圆的一个焦点， 则127||||||PF P F P F +++= .15、已知P 是正四面体S-ABC 表面SAB 内任意一点，P 到点S 的距离为1d ，P 到直线AB 的距离为2d ，P 到面ABC 的距离为3d ，有以下四个命题： ①若31d d =，则P 的轨迹为椭圆的一部分； ②若31423d d =，则P 的轨迹为抛物线的一部分； ③若321,,d d d 成等差数列，则P 的轨迹为椭圆的一部分；SACP④若321,,d d d 成等比数列，则P 的轨迹为双曲线的一部分， 其中正确的命题有_____________成都七中高2014级数学测试题（文科）命题人：刘在廷 审题人：周莉莉二、填空题（每小题5分，共25分）11 —————————————————————————— 12 ————————————————————————————13 ————————————————————————— 14 ————————————————————————————15 ——————————————————————————三、解答题（16-19题每题12分，20题13分,21题14分）16、已知点)0,2(),0,1(B A -，不在x 轴上的动点M 满足MBA MAB ∠=∠2，求动点M 的轨迹方程.17、如图，矩形ABCD 的两条对角线交于)0,2(M ，AB 边所在直线方程为063=--y x ，点)1,1(-T 在AD 边所在直线上，（1）求AD 边所在的直线方程；（2）求矩形ABCD 的外接圆方程；（3）若动圆P 过)0,2(-N 且与ABCD 外接圆相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程.18、已知1(2,0)F -，2(2,0)F 两点，曲线C 上的动点P 满足121232PF PF F F += （1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 经过点(0,3)M ，交曲线C 于A 、B 两点，且12MA MB =，求直线l 的方程.19、在平面直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 、Q ， （1）若34||=PQ ；求直线l 的斜率k 的值； （2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OQ OP +与AB 共线，如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.N Bx y A C D T . M . .20、若12(1,0),(1,0)F F -，直线l ：3(4)3y x =+． 若从1F 发出的光线经l 上的点M 反射后过点2F ，以12,F F 为焦点且经过点M 的椭圆为C ． （1）求C 的方程。
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即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
得 x2＋6x－11＝0②
记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以
A. B. C. D.
6．双曲线 离心率为2，有一个焦点与抛物线 的焦点重合，则mn的值为（）
A． B． C． D．
7.若双曲线 的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ()
(A)2(B)3(C)4(D)4
8．如果椭圆 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A B C D
9、无论 为何值，方程 所表示的曲线必不是（ ）
20在平面直角坐标系 中，点P到两点 ， 的距离之和等于4，设点P的轨迹为 ．（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线 与C交于A，B两点．k为何值时 ？此时 的值是多少？
21.A、B是双曲线x2－ ＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
（Ⅱ）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 ， 故 ．
，即 ． 而 ，
于是 ．
所以 时， ，故 ．
当 时， ， ．
，
而 ，
所以 ．
21A、B是双曲线x2－ ＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知点，，直线上有两个动点，始终使，三角形的外心轨迹为曲线为曲线在一象限内的动点，设，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意设，的外心为，则有即，又由得即，将代入化简得即，在中，由余弦定理可得即展开整理得即也就是，将、代入可得，整理可得，即的外心轨迹方程为设，则即，而又，所以所以，故选C.【考点】1.动点的轨迹；2.直线的斜率；3.两角和的正切公式.2.若点P到点的距离与它到直线y+3=0的距离相等，则P的轨迹方程为 () A．B．C．D．【答案】C【解析】根据抛物线的定义可知，条件为以为焦点的抛物线，所以轨迹为.【考点】抛物线的定义.3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且在直线上的射影分别是，则的大小为 .【答案】.【解析】如图，由抛物线的定义可知：,∴；根据内错角相等知；同理可证而,∴.【考点】抛物线的定义.4.已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。
(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若，且，求四边形的面积的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 2，【解析】(Ⅰ)依题意可得椭圆C的一个焦点为知，在代入点即可得得到一个关于的等式从而可求出的值，即可得椭圆的标准方程.(Ⅱ) 由于，所以直线都过F点，从而又因为所以直线与直线相互垂直.所以四边形的面积为.故关键是求出线段的长度.首先要分类存在垂直于轴的情况，和不垂直于轴的情况两种.前者好求.后者通过假设一条直线联立椭圆方程写出弦长的式子，类似地写出另一条所得到的弦长.通过利用基本不等式即可求得面积的范围.从而再结合垂直于轴的情况，求出最大值与最小值.试题解析：（Ⅰ）由题椭圆C的一个焦点为知故可设椭圆方程为，过焦点且与长轴垂直的直线方程为，设此直线与椭圆交于A,B两点则，又，所以，又，联立求得，，故椭圆方程为.（Ⅱ）由，知，点共线，点共线，即直线经过椭圆焦点。
又知，（i）当斜率为零或不存在时，（ii）当直线存在且不为零时，可设斜率为，则由知，的斜率为所以：直线方程为：。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.抛物线的焦点到准线的距离是 .【答案】【解析】由抛物线的定义知抛物线的焦点到准线的距离是P，又由题可知P=.【考点】抛物线的几何性质.2.过点的双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为 .【答案】8【解析】由题可设双曲线方程为：，把代入得=1，所以双曲线方程为：，设双曲线右焦点为，∵P在双曲线右支上及由双曲线定义可知，∴，当点P为线段与双曲线交点时.【考点】1.双曲线的定义；2.双曲线的标准方程；3.双曲线的几何性质.3.已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则；把坐标代入双曲线方程，用点差法可得，而，即，所以.【考点】双曲线的应用、点差法.4.如图，已知椭圆：的离心率为，点为其下焦点，点为坐标原点，过的直线：（其中）与椭圆相交于两点，且满足：.（1）试用表示；（2）求的最大值；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）设，联立椭圆与直线的方程，消去得到，应用二次方程根与系数的关系得到，，然后计算得，将其代入化简即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值；（3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可.试题解析：（1）联立方程消去，化简得 1分设，则有， 3分∵∴ 5分∴即 6分（2）由（1）知∴，∴ 8分∴∴离心率的最大值为 10分(3)∵∴∴ 12分解得∴即∴的取值范围是 14分【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.二次方程根与系数的关系.5.设连接双曲线与的四个顶点组成的四边形的面积为，连接其四个焦点组成的四边形的面积为，则的最大值是A．B．C． 1D．2【答案】B【解析】根据题意可知双曲线与的四个顶点的焦距相等，长半轴和短半轴恰好相反，那么可知因为，可知的最大值是，选B【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线的几何性质的运用，以及四边形的面积的求解，属于中档题。
高二数学上册常考题专练(人教A版2019选修一)专题16 圆锥曲线常考题型04-定值问题(解析版)
专题17圆锥曲线常考题型04——定值问题圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的另一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．1．过抛物线2:4C x y =的焦点为F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 两点，交圆22:(1)1F x y +-=于M ，N 两点(A ，M 两点相邻）．求证：12y y 为定值；【解答】证明：依题意直线l 的方程为1y kx =+，代入24x y =，得2440x kx --=，△2(4)160k =-+>，则124x x k +=，124x x =-．221212116x x y y ∴==为定值；2．已知椭圆22:143x y M +=的左、右顶点分别为A 、B ，设P 是曲线M 上的任意一点．当点P 异于A 、B 时，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 是否为定值？请说明理由；【解答】解：由椭圆的方程及题意可得：(2,0)A -，(2,0)B 设(,)P x y ，0y ≠，因为P 在椭圆上，所以22143x y +=，所以22243(1344x x y -=-= 则2222434322444PA PB x y y y k k x x x x -====-+--- ，所以由题意可得12k k 是为定值，且定值为34-；3．椭圆2222:1x y C a b+=，(0)a b >>的离心率2，点在C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．【解答】（1）解：椭圆2222:1x y C a b +=，(0)a b >>的离心率22，点在C 上，可得2a =，22421a b+=，解得28a =，24b =，所求椭圆C 方程为：22184x y +=．（2）证明：设直线:l y kx b =+，(0,0)k b ≠≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(M M x ，)M y ，把直线y kx b =+代入22184x y +=可得222(21)4280k x kbx b +++-=，故1222221M x x kb x k +-==+，221M M b y kx b k =+=+，于是在OM 的斜率为：12M OM M y K x k ==-，即12OM K k ⋅=-．∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2213x y -=有相同的焦点F ．（1）求C 的方程，并求其准线l 的方程；（2）过F 且斜率存在的直线与C 交于不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，证明：12x x ，12y y 均为定值．【解答】（1）解： 双曲线2213x y -=，∴2c ==，可得双曲线的右焦点为(2,0)，(2,0)F ∴，则22p =，即4p =，故C 的方程为28y x =，其准线l 的方程为2x =-；（2）证明：由题意直线AB 过点F 且斜率存在，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，联立2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得28160ky y k --=，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴121616k y y k -==-为定值，则2212122()(16)4864y y x x -===为定值．5．已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的焦点与双曲线22:1(0)2x y D t t-=>的焦点相同，且D 的离（1）求C 与D 的方程；（2）若(0,1)P ，直线:l y x m =-+与C 交于A ，B 两点，且直线PA ，PB 的斜率都存在．①求m 的取值范围；②试问两直线PA ，PB 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）因为D2=，解得1t =，则D 的方程为2212x y -=．因为C 的焦点与D 的焦点相同，所以2121a -=+，所以24a =，则C 的方程为2214x y +=．（2）①联立22,1,4y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2258440x mx m -+-=，其中△226420(44)0m m =-->，解得m <<又直线PA ，PB 的斜率都存在，所以1m ≠±，故m的取值范围是(1)(1,1)-- ．②设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1285m x x +=，212445m x x -=，则221212212128(1)(1)11(1)()(1)355111444(1)5PA PB m m m x m x m m x x m m k k m x x x x m --+--+--+---++-+⋅=⋅=+=+=--+，故直线PA ，PB 的斜率之积不是定值．6．设点P 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上任意一点，双曲线E点与椭圆22:1(0)63x y G t t t +=>++的右焦点重合．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）过点P 作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点A ，B ，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值，并求出此定值．【解答】解：（1）由双曲线E22:1(0)63x y G t t t +=>++的右焦点重合，得23c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得1a =，b ==c =，所以双曲线E 的方程为2212y x -=．（2）设P 点坐标为0(x ，0)y ，过点P 与渐近线平行的直线分别为1l ，2l ，方程分别为00)y y x x -=-，00)y y x x -=-，联立00)y y x x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得0022x y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩-，同理联立00)y y x x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得0022x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，又渐近线方程为y =，则22sin 3AOB ∠=，所以2_S OAPB 平行四边形，又点P 在双曲线上，则220022x y -=，所以2_S OAPB 平行四边形，所以平行四边形OAPB 的面积为定值，且定值为22．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，点3(1,2A 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得22222121914c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为：227x y +=，证明如下：假设存在符合条件的圆，且此圆为222(0)x y r r +=>，当直线的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：222(34)84120k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆有且仅有一个公共点，所以△2221(8)4(43)(412)0km k m =-+-=，即2243m k =+，由方程组222y kx m x y r=+⎧⎨+=⎩得2222(1)20k x kmx m r +++-=，则△22222(2)4(1)()0km k m r =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -=+，设直线1OP ，2OP 直线的斜率为1k ，2k ，所以1212121212()()y y kx m kx m k k x x x x ++⋅==22121212()k x x km x x m x x +++=222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k +-⋅+⋅+-++==--+，将2243m k =+，代入上式得221222(4)343r k k k k r -+⋅=+-，要使得以12k k ⋅为定值，则224343r r-=-，即27r =，所以当圆的方程为227x y +=时，圆与l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时圆与l 的交点1P ，2P 也满足以12k k ⋅为定值34-，综上，当圆的方程为227x y +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k ⋅定值34-．8．已知抛物线2:2E y px =的准线过点(1,2)T -．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）过点(4,0)M 作直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，证明：OA OB k k 为定值．【解答】（1）解：由题意可得，抛物线的准线方程为1x =-，2p ∴=，故抛物线E 的方程为24y x =；（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，直线方程为4x =，此时(4,4)A ，(4,4)B -，1AO OB k k =- ；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(4)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2(4)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得24160ky y k --=．1216y y ∴=-．则121212161OA OB y y k k x x y y ===- ．OA OB k k ∴ 为定值1-．9．已知平面上的动点(,)P x y 及两定点(2,0)A -，(2,0)B ，直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k 且1214k k =- ．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ．①若(OM ON O ⊥为坐标原点），证明点O 到直线l 的距离为定值，并求出这个定值②若直线BM ，BN 的斜率都存在并满足14BM BN k k =-，证明直线l 过定点，并求出这个定点．【解答】解：（1）由题意得1224y y x x =-+- ，(2)x ≠±，即2244(2)x y x +=≠±．∴动点P 的轨迹C 的方程是221(2)4x y x +=≠±．（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化为222(14)8440k x kmx m +++-=，∴△2222226416(1)(14)16(14)0k m m k k m =--+=+->．∴122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+．2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++，①若OM ON ⊥，则12120x x y y +=，∴221212(1)()0k x x km x x m ++++=，∴2222222(1)(44)801414k m k m m k k +--+=++，化为224(1)5m k =+，此时点O 到直线l 的距离255d ==．②14BM BN k k =- ，∴12121224y y x x =---，1212122()440x x x x y y ∴-+++=，∴22121212122()444()40x x x x k x x km x x m -++++++=，代入化为2228(42)4444014km km m m k---++=+，化简得(2)0m m k +=，解得0m =或2m k =-．当0m =时，直线l 恒过原点；当2m k =-时，直线l 恒过点(2,0)，此时直线l 与曲线C 最多有一个公共点，不符合题意，综上可知：直线l 恒过定点(0,0)．10．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点22，离心率为22，直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且MA AF λ= ，MB BF μ= ，当直线l 的倾斜角变化时，λμ+是否为定值？若是，请求出λμ+的值；否则，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，则有22222111222a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(1,0)F ，由条件得直线l 的斜率必存在，设方程为(1)y k x =-，又(0,)M k -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得2222(12)4220k x k x k +-+-=，所以22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，因为MA AF λ= ，则有1(x ，11)(1y k x λ+=-，1)y -，所以111x x λ=-，同理可得221x x μ=-，所以2222121212221212122244(1)212124422111()11212k k x x x x x x k k k k x x x x x x k k λμ--+-+++=+===-----++-+++，即λμ+是定值4-．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点(0,2)C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究M ，N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：点(,0)A a ，(0,)B b -，ABC ∆ 的面积为3，∴1(2)32b a ⨯+⨯=，又∴c e a ==，2a b ∴=，∴1(2)232b b ⨯+⨯=，解得1b =，2a ∴=，∴椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）由题意可知，直线PQ 的斜率存在，故设直线PQ 的方程为2y kx =+，点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M x x y =+，直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N x x y =+，∴121212212121212(1)(1)(3)(3)()3()9M N x x x x x x x x y y kx kx k x x k x x ===+++++++ ，把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得：22(14)16120k x kx +++=，∴1212221612,1414k x x x x k k +=-=++，∴2222221212414149121633()9141414M N k k x x k k k k k k ++===+-++++ ，12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点；1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，△112B F B 是边长为4的等边三角形．（Ⅰ）写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥．求证：△12PB B 与△12RB B 的面积之比为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为△112B F B 是边长为4的等边三角形，所以2,b c ==．所以4a =．所以，椭圆的标准方程为221164x y +=．（Ⅱ）设直线1PB ，2PB 的斜率分别为k ，k '，则直线1PB 的方程为2y kx =+．由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为(2)0x k y +-=．将2y kx =+代入221164x y +=，得22(41)160k x kx ++=，因为P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，所以21641P k x k =-+．所以214P P y k x k +'==-．由22RB PB ⊥，所以直线2RB 的方程为42y kx =-．由(2)042x k y y kx +-=⎧⎨=-⎩，得2441R k x k =+．所以1212221641||||4441PB B P RB B R k S x k k S x k -+===+ ．13．给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O的圆是椭圆C 的“卫星圆”．若椭圆C 的离心率22，点在C 上．()I 求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线1l ，2l ，使得12l l ⊥，与椭圆C 都只有一个交点，且1l ，2l ，分别交其“卫星圆”于点M ，N ，证明：弦长||MN 为定值．【解答】解：（Ⅰ）由条件可得：222421c aa b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2a b ==所以椭圆的方程为22184x y +=，⋯（3分）卫星圆的方程为2212x y +=⋯（4分）()II 证明：①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-，当1l方程为x =1l与“卫星圆”交于点和2)-，此时经过点2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，所以12l l ⊥，所以线段MN应为“卫星圆”的直径，所以||MN =（7分）②当1l ，2l 都有斜率时，设点0(P x ，0)y ，其中220012x y +=，设经过点0(P x ，0)y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y t x x y =-+，则，联立方程组0022()184y tx y tx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得2220000(12)4()2()80t x t y tx x y tx ++-+--=，⋯（9分）所以2220000(648)163280x t x y t y =-++-=⋯ （10分）所以2200122200328328(12)1648648y x t t x x ---===-⋯-- （11分）所以121t t =- ，满足条件的两直线1l ，2l 垂直．所以线段MN 应为“卫星圆”的直径，所以||MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点0(P x ，0)y ，又分别交其“卫星圆”于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN 为“卫星圆”220012x y +=的直径，所以||MN =为定值⋯（12分）14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是E 、F ，离心率74e =，过点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，ABE ∆的周长为16．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，圆222:(3)(0)D x y r r -+=>与椭圆C 交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证：||||OG OH 为定值．【解答】解：（1）由题意和椭圆的定义得||||||||416AF AE BF BE a +++==，则4a =，由74c a =，解得c =则2229b a c =-=，所以椭圆C 的方程为221169x y +=；（2）证明：由条件可知，M ，N 两点关于x 轴对称，设1(M x ，1)y ，0(P x ，0)y ，则1(N x ，1)y -，由题可知，22111169x y +=，22001169x y +=，所以221116(9)9x y =-，220016(9)9x y =-．又直线PM 的方程为100010()y y y y x x x x --=--，令0y =得点G 的横坐标100101G x y x y x y y -=-，同理可得H 点的横坐标100101H x y x y x y y +=+，所以222210011001100122010101||||||||x y x y x y x y x y x y OG OH y y y y y y -+-==-+- 22222210010122220101116161|[(9)(9)]||16()|1699y y y y y y y y y y =---=-=-- ，即||||OG OH 为定值．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，0)，2F ，0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，问：12k k +是否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1） 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F 0)，2F ，0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M ，∴2221c b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得a =1b =，∴椭圆C 的方程为2213x y +=．（2）12k k +是定值．证明如下：设过M 的直线：(1)y k x kx k =-=-或者1x =①1x =时，代入椭圆，y =∴令A，(1,B ，12331k -=-，22331k +=-，122k k ∴+=．②y kx k =-代入椭圆，2222(31)6(33)0k x k x k +-+-=设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，312336223131k k y y k k k -+=-=++，222212121222()31k y y k x x k x x k k =-++=-+，11123y k x -=-，22223y k x -=-，1221211212126326322(3)(3)y x x y y x x y k k x x --++--+∴+=--．16．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点)A ，问直线AP 与AQ的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知22c a =，1b =，结合222a b c =+，解得a =，∴椭圆的方程为2212x y +=；（Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1y k x =-+(2)k ≠，代入2212x y +=，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，由已知△0>，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，120x x ≠，则1224(1)12k k x x k -+=+，1222(2)12k k x x k-=+，从而直线AP 与AQ 的斜率之和：121212121122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=+=+121212112(2)()2(2)x x k k k k x x x x +=+-+=+-4(1)2(2)22(1)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-．17．已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点（Ⅰ）当1t =时，求MAB ∆面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF 为定值．【解答】解：（Ⅰ）当1t =时，将1x =代入22142x y +=，解得：y =∴||AB 当M 为椭圆C 的顶点(2,0)-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，MAB ∴∆面积的最大值是362．（Ⅱ）设A ，B 两点坐标分别为(,)A t n ，(,)B t n -，从而2224t n +=．设0(M x ，0)y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．直线MA 的方程为00()y n y n x t x t --=--，令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而000||||ty nx OE y n-=-．直线MB 的方程为00()y n y n x t x t ++=--，[（10分）]令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而000||||ty nx OF y n+=+．所以222200000022000||||||||||ty nx ty nx t y n x OE OF y n y n y n -+-==-+- ，222200220(42)(42)||n y n y y n ---=-，22022044||4y n y n -==-．||||OE OF ∴ 为定值．18．如图，已知点(2,2)P 是抛物线2:2C y x =上一点，过点P 作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于A 、B 两点，直线PA 的斜率为(0)k k >．（Ⅰ）若直线PA 、PB 恰好为圆22(2)1x y -+=的切线，求直线PA 的斜率；（Ⅱ）求证：直线AB 的斜率为定值．并求出当PAB ∆为直角三角形时，PAB ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意，:2(2)(0)PA y k x k -=->，由直线PA 与圆22(2)1x y -+=相切，211k =+，解得3k =（Ⅱ）设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，联立直线PA 与抛物线方程22(2)2y k x y x -=-⎧⎨=⎩，消去x 可得：22440ky y k -+-=，∴44A P k y y k -=，22A k y k-=，∴222(1)22(,k k A k k--．用k -代替k 可得：22B k y k+=-，∴222(1)22(,)k k B k k+--．因此，221222A B A B AB A B A B A B y y y y k y y x x y y --====--+-，即直线AB 的斜率为定值12-，1︒当90PAB ∠=︒时，由1AB k k ⋅=-得2k =，此时(2,2)P ，1(,1)2A -，9(,3)2B -，求得3||52PA =||25AB =，11315||||5252222PAB S PA AB ∆===，2︒当90APB ∠=︒时，可得1k =，此时(2,2)P ，(0,0)A ，(8,4)B -，求得||22PA =，||62PB =，11||||2621222PAB S PA PB ∆=⋅=⋅=，3︒当90ABP ∠=︒时，无解．综上所述，当PAB ∆为直角三角形时，PAB ∆的面积为152或12．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F，点P ，1)在椭圆C 上，且12||||4PF PF +=（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF 为定值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，即2a =．[（2分）]将点P ，1)的坐标代入22214x y b+=，得22114b +=，解得：b =．[（4分）]∴椭圆C 的方程是22142x y +=．[（5分）]（Ⅱ）证明：由Q 关于x 轴于P对称，得Q 1)-．设0(M x ，0)y ，则有220024x y +=，0x ≠，01y ≠±．[（6分）]直线MP的方程为1y x -=-，[（7分）]令0y =，得00021x x y -=-，[（8分）]000||||1x OE y -∴=-．直线MQ的方程为：1y x +=-，[（9分）]令0y =，得0001x x y +=+，[（10分）]0002||||1x OF y +∴=+．22220000000022000022(42)||||||||||||4[1111x x y x y y OE OF y y y y -+---∴====-+-- （12分）]||||4OE OF ∴= ||||OE OF 为定值．[（14分）]20．椭圆C 焦点在y 轴上，离心率为32，上焦点到上顶点距离为2（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ ∆的面积1OPQ S ∆=，则22||||OP OQ + 是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2c e a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得2,a c ==，可得2221b a c =-=，即有椭圆C 的标准方程为：2214y x +=；（Ⅱ）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y （1）当l 斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，11||||1OPQ S x y ∆=⋅=，又221114y x +=，解得22111,22x y ==，2222111||||2()2(2)52OP OQ x y +=+=⨯+= ；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，由题意知0m ≠，将其代入2214y x +=，得222(4)240k x kmx m +++-=，即有222221222122(2)4(4)(4)042444km k m k m km x x k m x x k ⎧⎪=-+⋅->⇒+>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩，则||PQ =O 到PQ距离d =，则1||12OPQ S PQ d ∆=⋅===，解得2242k m +=，满足△0>，则212122224,42km k m x x x x k m m -+=-=-⋅=+，即有2222221122||||()()OP OQ x y x y +=++ 2221212123()83()68x x x x x x =-++=-++⋅+222222433123(6883852k m k m m m m --+-=--+⋅+=+=-+=，综上可得22||||OP OQ + 为定值5．21．已知圆22:100M x y ++-=和点N Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线和QM 相交于点P ，记P 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点A 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，过点(0,2)的直线交E 于B 、C 两点，直线AB ，AC 的斜率分别是1k ，2k ，试探索12k k ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】（1）圆22100x y ++-=的圆心为(M，半径为，点N 在圆M内，||||||PM PN MN +=>，所以曲线E 是M ，N为焦点，长轴长为的椭圆，由a c ==，得2321b =-=，所以曲线E 的方程为2213x y +=．（2）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，(0,1)A ，由已知直线BC 的斜率存在，设直线:2BC y kx =+，联立方程组22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(13)1290k x kx +++=，∴121222129,1313k x x x x k k +=-=++．∴222222212121212121212122912()111(1)(1)()1912311131399913k k k y y kx kx k x x k x x k k k k k k k x x x x x x k -⋅+⋅+--+++++-++++⋅=⋅=====+（定值）．22．如图，已知动圆M 过点(1,0))E -，且与圆22:(1)8F x y -+=内切，设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过圆心F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点P ，使当直线l 绕点F 任意转动时，PA PB ⋅ 为定值？若存在，求出点P 的坐标和PA PB ⋅ 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由圆F 的方程知，圆心为(1,0)F ，半径为设圆M 和圆F 内切于点D ，则D ，M ，F 三点共线，且||DF =因为圆M 过点E ，则||||ME MD =，于是||||||||||||2ME MF MD MF DF EF +=+==>=，所以圆心M 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆．因为2a =，则a =1c =，则2221b a c =-=，所以曲线C 的方程：2212x y +=．（2）当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1x ty =+，代入2212x y +=，得22(1)22ty y ++=，即22(2)210t y ty ++-=．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+．设点(,0)P m ，则11(,)PA x m y =- ，22(,)PB x m y =- ，则12121212()()(1)(1)PA PB x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+ 2222212122212(1)(1)(1)()(1)(1)22t t m t y y t m y y m m t t +-=++-++-=--+-++222(32)1(1)2m t m t -+=-+-+．若PA PB ⋅ 为定值，则32112m -=，解得54m =，此时2157(1)2416PA PB ⋅=-+-=- 为定值．当直线l 与x轴重合时，点(A，B ．对于点5(,0)4P，则5(,0)4PA =．5,0)4PB = ，此时25721616PA PB ⋅=-=- ．综上分析，存在点5(,0)4P ，使得716PA PB ⋅=- 为定值．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，离心率为12．设过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，1ABF ∆周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点(4,0)T ，证明：当直线l 变化时，总有TA 与TB 的斜率之和为定值．【解答】解：()I 由题意知，48a =，所以2a =．因为12e =，所以1c =，则b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）证明：当直线l 垂直于x 轴时，显然直线TS 与TR 的斜率之和为0，当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22222(34)844120k x k x k x k +-++-=，△4222644(34)(412)10k k k k =-+-=+>恒成立，2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，由1212211212(1)(4)(1)(4)44(4)(4)TA TB y y k x x k x x k k x x x x --+--+=+=----121212[25()8](4)(4)k x x x x x x -++=--，TA ，TB 的斜率存在，由A ，B 两点的直线(1)y k x =-，故11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，由22212122824408(34)25()8034k k k x x x x k--++-++==+，0TA TB k k ∴+=，∴直线TA 与TB 的斜率之和为0，综上所述，直线TA 与TB 的斜率之和为定值，定值为0．24．在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A 、B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；（2）证明过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线22y x mx =+-与x 轴交于A 、B 两点，可设1(A x ，0)，2(B x ，0)，由韦达定理可得122x x =-，若AC BC ⊥，则1AC BC k k =- ，即有121010100x x --=--- ，即为121x x =-这与122x x =-矛盾，故不出现AC BC ⊥的情况；（2）证明：设过A 、B 、C 三点的圆的方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，由题意可得0y =时，20x Dx F ++=与220x mx +-=等价，可得D m =，2F =-，圆的方程即为2220x y mx Ey +++-=，由圆过(0,1)C ，可得01020E +++-=，可得1E =，则圆的方程即为2220x y mx y +++-=，另解：设过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的交点为(0,)H d ，则由相交弦定理可得||||||||OA OB OC OH = ，即有2||OH =，再令0x =，可得220y y +-=，解得1y =或2-．即有圆与y 轴的交点为(0,1)，(0,2)-，则过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值3．25．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点．（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【解答】（1）解： 椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点，2a ∴=，1b =，则c ==，∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为32e =；（2）证明：方法一、如图，设0(P x ，0)y ，则002PA y k x =-，PA 所在直线方程为00(2)2y y x x =--，取0x =，得0022M y y x =--；001PB y k x -=，PB 所在直线方程为0011y y x x -=+，取0y =，得001N x x y =-．0000022||2211N x y x AN x y y --∴=-=-=--，00000222||1122M y x y BM x x x +-=-=+=--．∴000000222211||||2212ABNM y x x y S AN BM y x --+-=⋅⋅=⋅⋅--22220000000000000000000000(22)(2)4(2)4444841112(1)(2)222222x y x y x y x x y y x y y x x y x y x y x y +-+-++++--+=-==--+--+--000000004(22)11422222x y x y x y x y +--==⨯=+--．∴四边形ABNM 的面积为定值2．方法二、由题意设(2cos ,sin )P θθ，其中3(,2πθπ∈，则02:sin 2cos 2y x PA θθ--=-，取0x =，得sin (0,)1cos M θθ-，同理求得2cos (,0)1sin N θθ-，∴112212211ABNMcos sinS AN BMsin cosθθθθ⎛⎫⎛⎫==--⎪⎪--⎝⎭⎝⎭四边形21(sin cos1)2(1sin cos sin cos) 2||||2 2(1sin)(1cos)1sin cos sin cosθθθθθθθθθθθθ+-+--=⨯== --+--．。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.方程所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则；②若曲线C为双曲线，则或；③曲线C不可能为圆；④若曲线C表示焦点在上的双曲线，则。
以上命题正确的是。
（填上所有正确命题的序号）【答案】②④【解析】①若曲线C为椭圆，则系数都为正且不相等，解得且；②若曲线C为双曲线，则系数符号相反，解得或；③当系数相等且为正即t=3时曲线C为圆；④若曲线C表示焦点在上的双曲线，则的系数为正且的系数为负，解得，故②④正确.【考点】圆锥曲线的方程2.已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），，，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））（1）证明：平面；（2）求平面与平面的所成角的正切值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】（1）先以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标以及和的坐标，进而得到两向量共线，即可证明线面平行；（2）先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标，再求出这两个法向量所成角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系式可求得结果.试题解析：（1）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得，∴，∴，∴AF∥DE，又∥ 6分（2）由（1）得四点共面，，设平面，则不妨令，故，由已知易得平面ABCD的一个法向量为∴，设平面与平面的所成角为∴所求角的正切值为 13分.【考点】1.直线与平面平行的判定；2.用空间向量求二面角.3.若一个动点到两个定点的距离之差的绝对值等于8，则动点M的轨迹方程为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，由双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线。
此时，即，，所以点的轨迹方程是。
故C正确。
【考点】双曲线的定义。
4.若θ是任意实数，则方程x2+4y2=1所表示的曲线一定不是 ( )A．圆B．双曲线C．直线D．抛物线【答案】D【解析】当时，方程x2+4y2=1即为，表示两条直线；当时，方程x2+4y2=1即为，表示圆；当时，方程x2+4y2=1表示双曲线；当且时，方程x2+4y2=1表示椭圆。
人教A版高中数学选修一高二单元测试题-圆锥曲线.docx
南海中学高二单元测试题-圆锥曲线数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共120分．考试时间105分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。
1．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ． 2D ．42. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是32，则双曲线22221x y a b -=的离心率是（ ）A ．54B ．52C ．32D ． 543．若双曲线1922=-my x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为 A ．2 B ．14 C ．5 D ．254、直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b =（ ）.2A .2B - .1C .1D -5、若直线l 过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于N M 、两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ） A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x 7、设离心率为e 的双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，直线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（ ）A ．221k e -<B ． 221k e ->C ．221e k -<D ．221e k ->（实验班）已知定点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：① 4x +2y -1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足 MP P N =的所有曲线方程是 （ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 8、双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（ ）A ．332或2B ．332或2 C ．3或2 D ．3或29、若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（ ）A.(3,3)-B.3,3⎡⎤-⎣⎦C.(2,2)-D.[]2,2-10、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．32（实验班做）如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为( )A .相交B .相切C .相离D .以上情况都有可能O A 2A 1 F 1xPy南海中学高二单元测试题-圆锥曲线数学（理）第 Ⅱ 卷 （非选择题 共70分）注意事项：⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚． 题号 二三 总分 15 16 17 18分数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.抛物线2(0)x ay a =>的焦点坐标是 ；12. 椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21cos PF F ∠的值是__________________。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知点的坐标为，点为轴负半轴上的动点，以线段为边作菱形，使其两对角线的交点恰好在轴上,则动点的轨迹E 的方程 .【答案】【解析】试题解析：依题意，设对角线的交点为，因为在轴上，又顶点与关于对称，所以始终在直线上，根据菱形的特点，亦即轴，有到定点的距离与到定直线的距离相等，显然，的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线即，所以，抛物线方程为：，动点D的轨迹E 的方程为：.【考点】动点的轨迹方程.2.已知实数1，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为_________．【答案】或2【解析】因为实数1，m ，9构成一个等比数列，所以即m=3或m=-3，当m=3时，曲线为焦点在x轴的椭圆，离心率为；当m=-3时，曲线为焦点在y轴的双曲线，离心率为2，答案为或2.【考点】1.等比数列的性质；2.圆锥曲线的性质3.在中，，给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程①周长为10②面积为10③中，则满足条件①、②、③的点轨迹方程按顺序分别是A. 、、B. 、、C. 、、D. 、、【答案】A【解析】①周长为10，即，轨迹为椭圆；②面积为10，即，∴所以轨迹为；③中，，即为圆周上一点，所以轨迹为圆.【考点】圆锥曲线问题、轨迹问题.4.若抛物线y2＝4x上的点A到其焦点的距离是6，则点A的横坐标是( )A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】由抛物线的方程可知抛物线的准线为，根据抛物线的定义可知点到其准线的距离也为6，即，所以。
故A正确。
【考点】抛物线的定义。
5.若一个动点到两个定点的距离之差的绝对值等于8，则动点M的轨迹方程为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，由双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线。
此时，即，，所以点的轨迹方程是。
故C正确。
【考点】双曲线的定义。
6.设椭圆的方程为，斜率为1的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.（1）问：直线与能否垂直？若能，之间满足什么关系；若不能，说明理由；（2）已知为的中点，且点在椭圆上.若，求椭圆的离心率.【答案】（1）直线与不能垂直；（2）【解析】（1）设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去整理为关于的一元二次方程，因为有两个交点则判别式应大于0，由韦达定理可得根与系数的关系，用中点坐标公式求点的坐标。
高二数学 人教A版：圆锥曲线
当且仅当 M 、 P 、 N 三点共线时取等号，故 D 正确；
故选：BCD
11．已知
F1 ，
F2 是双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左右焦点，过
F1 的直线
l
与双曲线
C
交于，M、N
4，
可得
1 e12
3 e22
4
则
3e12+e22
1 4
1 ( e12
3 e22
)(3e12+e22)
1 4
(6
e22 e12
9e12 e22
)
1 4
(6+2
当且仅当
e22 e12
9e12 e22
，即 e2
3e1 ，取得最小值 3．
9 )＝3，
故选：B．
8．已知点 A(
3, 0), B(
3, 0) ，若曲线
变为 | PM | | PF | 1 ,求得答案.
【详解】设焦点为 F (0,1) ， P 到准线的距离为 d ，则 d d 1 ，
所以 d PM PM d 1 |PM | | PF | 1 | MF | 1 32 (3 1)2 1 5 1 4 ，
当且仅当 P,M,F 三点共线时取等号，
第三章 圆锥曲线 综合测试
一、单选题
第 I 卷（选择题）
1．已知椭圆
C：
x2 a2
y2 4
1的一个焦点为（2，0），则椭圆
C
的离心率为（
）
A．
1 3
B．
1 2
高中数学人教A版选修2-1高二单元测试题-圆锥曲线.docx
安丘一中高二单元测试题-圆锥曲线第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共有12个小题，每小题5分）1．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ A ）A ．14B ．12C ． 2D ．42．动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M （2，0）的距离之差等于2，则点P 的轨迹是（ D ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是32，则双曲线22221x y a b-=的离心率是（B ）A ．54B ．52C ．32D ． 544、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于（ B ） A ．2B ．4C ．6D ．325．若双曲线1922=-my x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为( C )A ．2B ．14C ．5D ．256、双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（ A ）A ．332或2 B ．332或2 C ．3或2 D ．3或2 7、直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b =（A ）.2A .2B - .1C .1D -8、若直线l 过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ C ）A.1条B.2条C.3条D.4条9、若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（ B ）A.(3,3)-B.3,3⎡⎤-⎣⎦C.(2,2)-D.[]2,2-10、已知m n ，为两个不相等的非零实数，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是（ C ）11、设离心率为e 的双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，直线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（ D ）A ．221k e -<B ． 221k e ->C ．221e k -<D ．221e k ->12．已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22mx +22b y =1(a >0,m>b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是（B ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.抛物线2(0)x ay a =>的焦点坐标是 ；1(,0)4a 14、已知B(-5,0)，C(5,0)是△ABC 的两个顶点，且sinB-sinC=53sinA ，则顶点A 的轨迹方程是；221(3)916x y x -=≤- 15、圆心在抛物线22(0)x y x =>上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程是__ _；221(1)()12x y -+-=16．对于曲线C ∶1422-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜25。
高二数学人教A版习题练习第二章圆锥曲线与方程单元练习Word版含答案
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单元形成性评价(二)(第二章)(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为(－ 3 ，0)，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为( ) A ．x 24 ＋y 2＝1B ．x 23 ＋y 2＝1C ．x 2＋y24 ＝1D ．x 2＋y23 ＝1【解析】选A.由题可知：a ＝2b ，c ＝ 3 ，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝1，a 2＝4，焦点在x 轴上，故椭圆的方程为：x 24＋y 2＝1. 2．已知抛物线的方程为y ＝2ax 2，且过点(1，4)，则焦点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 C ．(1，0) D ．(0，1)【解析】选A.因为抛物线过点(1，4)，所以4＝2a ，所以a ＝2，所以抛物线方程为x 2＝14 y ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，116 .3．若方程y 24 －x 2m ＋1 ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－1)【解析】选B.由已知，m ＋1>0，即m>－1.4．嫦娥五号月球探测器于2020年11月24日在文昌航空发射场发射.11月28日，嫦娥五号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道Ⅲ所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3 476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )A ．125B ．340C ．18D ．35【解析】选B.如图，设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，月球的半径为R ，F 为月球的球心，R ＝12 ×3 476＝1 738.由已知，|AF|＝100＋1 738＝1 838，|BF|＝400＋1 738＝2 138.则2a ＝1 838＋2 138，解得a ＝1 988，a ＋c ＝2 138，c ＝2 138－1 988＝150，故椭圆的离心率为e ＝c a ＝1501 988 ≈340 .5．已知双曲线x 2a 2 －y 2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( ) A ．y ＝±5 x B ．y ＝±55 x C ．y ＝±3 x D ．y ＝±33 x【解析】选D.因为抛物线y 2＝8x 的焦点是(2，0)，所以c ＝2，a 2＝4－1＝3，所以a ＝ 3 ，所以b a ＝33 .所以此双曲线的渐近线方程是y ＝±33 x.6．(2021·全国乙卷)设B 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 【解析】选C.B 点坐标为(0，b)，由题意知，以B 为圆心，2b 为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 2＋（y －b ）2＝4b 2至多有一个解，消去x 得b 2－a 2b 2 y 2－2by ＋a 2－3b 2＝0，令Δ＝0，即(a 2－2b 2)2＝0，得e ＝22 ，所以e ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，22 .7．已知双曲线x 2－y23 ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ·2PF 的最小值为( ) A ．1 B ．0 C ．－2 D ．－8116 【解析】选C.设点P(x 0，y 0)，则x 20－y 203 ＝1，由题意得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，则1PA ·2PF ＝(－1－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0) ＝x 20 －x 0－2＋y 20 ，由双曲线方程得y 20 ＝3(x 20 －1)， 故1PA ·2PF ＝4x 20－x 0－5(x 0≥1)， 可得当x 0＝1时，1PA ·2PF 有最小值－2.8．已知点P 是双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)右支上一点，F 1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF 1的中垂线，则该双曲线的离心率 是( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5【解析】选D.设直线PF 1：y ＝a b (x ＋c)，则与渐近线y ＝－ba x 的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c ，因为M 是PF 1的中点，利用中点坐标公式，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2c ＋c ，2ab c ，因为点P 在双曲线上，所以满足（b 2－a 2）2a 2c 2 －4a 2b 2b 2c2 ＝1，整理得c 4＝5a 2c 2，解得e ＝ 5 (负值舍去). 9．若双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋116 相切，则C 的离心率为( )A ．52 B ．3 C ．2 D ． 5【解析】选A.由题意得，联立直线与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2＋116，得x 2－kx＋116 ＝0，由Δ＝0得k ＝±12 ，即b a ＝12 ，所以e ＝a 2＋b 2a＝52 . 10．已知定点A ，B 且|AB|＝4，动点P 满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值 为( )A ．12B ．32C ．72 D ．5【解析】选C.如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在M 处时|PA|最小，最小值为a ＋c ＝32 ＋2＝72 .11．P 是双曲线x 29 －y 216 ＝1的右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【解析】选D.设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5，0)与F 2(5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M ，F 1三点共线以及P 与N ，F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝6＋3＝9.12．已知直线y ＝k(x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k ＝( ) A ．13 B ．23 C ．23 D ．223 【解析】选D.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 易知x 1＞0，x 2＞0，y 1＞0，y 2＞0，由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.①因为|FA|＝x 1＋p2 ＝x 1＋2， |FB|＝x 2＋p2 ＝x 2＋2，且|FA|＝2|FB|，所以x 1＝2x 2＋2.②由①②得x 2＝1，所以B(1，2 2 )，代入y ＝k(x ＋2)， 得k ＝223 .二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)13．(2021·桂林高二检测)已知某椭圆过点⎝⎛⎭⎫2，1 ，⎝⎛⎭⎪⎫3，22 ，则椭圆的标准方程为________．【解析】设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0且m≠n)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝13m ＋12n ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14n ＝12，所以椭圆的标准方程为x 24 ＋y 22 ＝1. 答案：x 24 ＋y 22 ＝114．已知椭圆C ：x 225 ＋y 216 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于________. 【解析】由x 225 ＋y 216 ＝1知，a ＝5，b ＝4，所以c ＝3， 即F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝6. 又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝10， 所以|PF 1|＝10－6＝4， 于是1PFF2S ＝12 ·|PF 1|·h ＝12 ×8 2 .答案：8 215．已知双曲线x 2－y2b 2 ＝1的离心率等于 2 ，直线y ＝kx ＋2与双曲线的左右两支各有一个交点，则k 的取值范围是________．【解析】因为双曲线x 2－y 2b 2 ＝1的离心率等于 2 ，所以a ＝1，c a ＝2 ，c ＝ 2 ，b ＝2－1 ＝1，所以双曲线为x 2－y 2＝1，直线y ＝kx ＋2与双曲线联立可得(1－k 2)x 2－4kx －5＝0， 因为直线y ＝kx ＋2与双曲线的左右两支各有一个交点，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ>0，5k 2－1<0， 所以－1<k<1，即k 的取值范围是(－1，1). 答案：(－1，1)16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ，直线l 与双曲线x 22 －y 23 ＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，||AB ＝ 3 ，则p 的值为__________．【解析】抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ：x ＝－p2 ， 双曲线x 22 －y 23 ＝1的两条渐近线方程为y ＝±62 x ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，64p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－64p ，则||AB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪64p －⎝⎛⎭⎪⎫－64p ＝ 3 ，可得p ＝ 2 .答案： 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是抛物线C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l 的方程． 【解析】显然直线l 的斜率存在， 故可设直线l ：y ＝k(x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2＝1， 故x 1＝1x 2，①又|FA|＝2|BF|，所以FA → ＝2BF → ， 则x 1－1＝2(1－x 2)②由①②得x 2＝12 (x 2＝1舍去)，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±2 ， 得直线l 的斜率为k ＝k BF ＝±2 2 ， 所以直线l 的方程为y ＝±2 2 (x －1).18．(12分)已知动点E 到点A(2，0)与点B(－2，0)的直线斜率之积为－14 ，点E 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程；(2)过点D(1，0)作直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且OP → ·OQ → ＝－35 .求直线l 的方程．【解析】(1)设E(x ，y)，因为动点E 到点A ⎝⎛⎭⎫2，0 与点B ⎝⎛⎭⎫－2，0 的直线斜率之积为－14 ，所以y x ＋2 ·y x －2＝－14 ()x≠±2 ，化为x 24 ＋y 2＝1()x≠±2 ，即为点E 的轨迹曲线C 的方程．(2)设P ⎝⎛⎭⎫x 1，y 1 ，Q ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2 .当l ⊥x 轴时，l 的方程为：x ＝1，代入：x 24 ＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 ，Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32 .OP → ·OQ → ＝1－34 ＝14 ≠－35.不符合题意，舍去． 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －1 ()k≠0 ，代入：x 24 ＋y 2＝1，化为⎝⎛⎭⎫1＋4k 2 x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＞0. 则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2 ，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2， 所以OP → ·OQ → ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－1 ⎝⎛⎭⎫x 2－1＝⎝⎛⎭⎫1＋k 2 x 1x 2－k 2⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2 ＋k 2＝k 2－41＋4k2＝－35 ，解得k ＝±1. 所以直线l 的方程为x±y －1＝0.19．(12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点P(4，m)到焦点的距离为6. (1)求此抛物线的方程．(2)若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．【解析】(1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px ，p>0，其准线方程为x ＝－p 2 ，因为P(4，m)到焦点的距离等于P 到其准线的距离， 所以4＋p2 ＝6，所以p ＝4，所以此抛物线的方程为y 2＝8x.(2)由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，消去y 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，设直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧k≠0，Δ>0，解得k ＞－1且k≠0，且x 1＋x 2＝4k ＋8k 2 ＝4，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)，所以所求k 的值为2.20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的离心率为32 ，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12 . (1)求椭圆C 的方程；(2)与x 轴不垂直的直线l 经过N(0， 2 )，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，求直线l 斜率的取值范围．【解析】(1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝ 32，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24 ＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋ 2 ， 代入x 24 ＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2＋8 2 kx ＋4＝0，Δ＝(8 2 k)2－16(1＋4k 2)>0 解得k>12 或k<－12 ，又x 1＋x 2＝－82k 1＋4k 2 ，x 1·x 2＝41＋4k 2， 所以y 1y 2＝k 2x 1x 2＋ 2 k(x 1＋x 2)＋2， 因为坐标原点O 在以AB 为直径的圆内， 所以OA → ·OB→ <0， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋ 2 k(x 1＋x 2)＋2 ＝(1＋k 2)41＋4k2＋2 k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－82k 1＋4k 2 ＋2<0，解得k<－62 或k>62 ，故l 斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－62 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞ . 21．(12分)设有三点A ，B ，P ，其中点A ，P 在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)上，A(0，2)，B(2，0)，且OA → ＋OB → ＝62 OP → . (1)求椭圆C 的方程．(2)若过椭圆C 的右焦点的直线l 倾斜角为45°，直线l 与椭圆C 相交于E ，F ，求三角形OEF 的面积． 【解析】(1)由题意知，b ＝2， 设P(x ，y)，A(0，2)，B(2，0)，由OA → ＋OB → ＝62 OP → ，得(2，2)＝62 (x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝46，y ＝46，椭圆方程为x 2a 2 ＋y 24 ＝1，可得166a 2 ＋1624 ＝1，即a 2＝8.所以椭圆方程为x 28 ＋y 24 ＝1. (2)c ＝a 2－b 2 ＝2.所以直线l 的方程为y ＝x －2， 代入椭圆方程x 28 ＋y 24 ＝1，整理得：3x 2－8x ＝0，则x ＝0或x ＝83 .所以交点坐标为(0，－2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫83，23 ，所以|EF|＝83 2 ，O 到直线l 的距离d ＝|－2|2 ＝2 .所以S △OEF ＝12 ×2 ×83 2 ＝83 .22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32 ，且焦距为2 3 .(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△F 1AB 面积S 的最大值并求出相应直线l 的方程． 【解析】(1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋34b 2＝1，a 2－b 2＝3， 解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 方程为x 24 ＋y 2＝1.(2)易知F 1(－ 3 ，0)，F 2( 3 ，0)， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若直线l 的倾斜角为0，显然F 1，A ，B 三点不构成三角形，故直线l 的倾斜角不为0，可设直线l 的方程为x ＝my ＋ 3 ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 24＋y 2＝1，消x 可得(m 2＋4)y 2＋2 3 my －1＝0. 则y 1＋y 2＝ －23m m 2＋4 ，y 1y 2＝ －1m 2＋4 .所以|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝12m 2（m 2＋4）2＋4m 2＋4 ＝4m 2＋1m 2＋4， 所以△F 1AB 的面积S ＝12 |F 1F 2|·|y 1－y 2| ＝43 ·m 2＋1m 2＋4 ＝4 3 ·m 2＋1m 2＋1＋3＝4 3 ·1m 2＋1＋3m 2＋1≤4 3 ·12m 2＋1·3m 2＋1＝2，当且仅当m 2＋1＝3，即m ＝±2 时，等号成立，S 取得最大值2，此时直线l 的方程为x ＋ 2 y － 3 ＝0，或x － 2 y － 3 ＝0.关闭Word 文档返回原板块。
圆锥曲线测试题 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册(含答案)
圆锥曲线测试题一、单选题（分）1.双曲线1251622=-y x 的焦距是（ ）A.3B.6C.41D.2412.已知△ABC 的顶点,B C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A.2 3B.6C.4 3D.123.过双曲线221x y -=的右焦点F 且斜率是1的直线与双曲线的交点个数是 ( )A.0个B.1个C.2个D.3个4.已知双曲线C :22221x y a b-=的焦距为10 ,点(2,1)P 在双曲线C 的渐近线上, 则C 的方程为（ ）A ．220x 25y -=1B ．25x 220y -=1C ．280x 220y -=1 D ．220x 280y -=1 5. 对于常数m ，n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1122||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A ．14 B．5 C ．12D7.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）A．2 B ．22 C ． 4 D ． 88.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22182y x +=B ．221126y x +=C ．221164y x +=D ．221205y x +=二、多选题（分）9.已知点，直线，动点P 到点F 的距离是点P 到直线的一半，若某直线上存在这样的点P ,则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）A.点P 的轨迹方程是B.直线是“最远距离直线”C.平面上有一点，则的最小值为358⨯54⨯()0,1F 4:=x l l 1422=+y x 042:=-+y x l ()1,1A PF PA 2+D.点P 的轨迹与圆没有交点 10.设抛物线的焦点为F ，点M 在C 上，，若以MF 为直径的圆过点，则抛物线C 的方程为（ ）A. B. C. D.11.椭圆的左右焦点分别为、，O 为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A.椭圆的离心率为B.若过点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则的周长为8C.椭圆C 上存在一点P ，使得D.若P 为椭圆上一点，Q 为圆上一点，则点P 、Q 最大距离为212.已知点P 在以点F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，且满足PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率不正确的是( )A ．52B ．3C ．5D ．102三、填空题（分）13.若过抛物线的焦点的直线与其交于M 、N 两点，做平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为_______________14.已知点，，动点P 满足，则动点P 的轨迹与直线有两个交点的充要条件为_____________15.已知圆与x 轴交点分别为A ，B ，点P 是直线上的任意一点，椭圆C 以A ，B 为焦点且过点P ，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是_____________ 16.已知A 、B 是过抛物线的交点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足，，则_________ 四、解答题（70分）17.（10分）已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．⑴求、的值；⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围．021222=+-+x y x ()02:2>=p px y C 5=MF ()2,0x y 82=x y 42=x y 162=x y 22=14:22=+y x C 1F 2F 212F 1ABF ∆021=•PF PF 14:22=+y x C 122=+y x 54⨯x y 42=()0,2-A ()0,2B 2=-PB PA ()2-=x k y ∈k 4x 22=+y 6:+-=x y l ()022>=p px y BF AF 2=AB S OAB 32=∆=p C )0( 12222>>=+b a by a x 23O 21l C A B 102||=AB a b 1)(22=+-y m x C l m18.（12分）一束光线从点1(1,0)F -出发，经直线:260l x y ++=上一点M 反射后，恰好穿过点2(1,0)F .(1) 求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； (2) 求以12F F 、为焦点且过点M 的椭圆C 的方程； (3) 若P 是(2)中椭圆C 上的动点，求12PF PF 的取值范围.19.（12分）设1F 、2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点。
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数学试题（理科）（本卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷（选择题 共60分）一、 选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
把答案填在机读卡上。
） 1、已知向量(2,3,5)a =-与向量),,4(y x -=共线,则x,y 的值分别是（ ） A. 6和-10 B. –6和10 C. –6和-10 D. 6和102、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．②④C ．①④D ．①③3．椭圆2214x y m +=的焦距为2,则m 的值等于（ ）A ．5或3B ．8C ．5D ． 35或4、已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ）A ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥C ．m n m ⊥=,βα 且βα⊥，则α⊥nD ．βα//,//n m 且βα//，则n m //5．已知P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =,则2PF =（ ）A ．3B ．6C ．5D ．76、如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A 02=-y x B 042=-+y xC 082=-+y xD 01232=-+y x7、已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，○1正方体 ② 圆锥 ③ 三棱台 ④正四棱锥过点F垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ． (1,1D ． (2,1 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0≤λ≤1）则点G 到平面D 1EF 的距离为（）A9．抛物线24x y =上一点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标是（ ）A ． )2,1(B ．)0,0(C ．)4,1(D ．)1,21(10、方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）A B C D11、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为（ ） A.1 B.1D. 112、已知21,F F 是两个定点，点P 是以1F 和2F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且21PF PF ⊥，1e 和2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（ ）A ．221≥e eB ．42221≥+e eC ．2221≥+e eD ．2112221=+e e 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题。
（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡上．）13. 如图在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=，60BAA DAA ''∠=∠=，则AC '的长是 。
14、如果从抛物线x y 162=上各点向x 轴作垂线段，那么 （13题图） 线段中点的轨迹方程为 。
15、已知直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 有且只有一个公共点，那么=k 。
16、已知定点(2,0)N ，动点,A B 分别在图中抛物线28y x =及椭圆22195x y += 的实线部分上运动，且//AB x 轴，则△NAB 的周长L 的取值范围是 。
（16题图）三、解答题（本大题共6小题，共74分，17—20题各12分，最后一题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案填在答题卡上。
）17、（本小题共12分）已知双曲线与椭圆192522=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求：（1）双曲线的标准方程； （2）双曲线的渐近线方程。
如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC ，（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小。
19、（本题共1212,F F 在坐标轴上，一条渐近线方程为y x =，且过点(4,．（1）求双曲线方程；A MCBNPQ （2）设A 点坐标为()0,2，求双曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离PA．20、（本题共12分）已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，Q 在线段PA 上，且PA =4PQ =4，底面为直角梯形，90,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD === ,M N 分别是PD,PB 的中点．（1）求证：MQ // 平面PCB ；（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小； （3）求点A 到平面MCN 的距离．21、（本题共12分）设12F F 、分别是椭圆M :2214x y +=的左、右焦点，P 是该椭圆上的一个动点，O 为坐标原点。
（1）求12PF PF ∙的取值范围；（2）若经过点（0,2）的直线l 与椭圆M 交于P,Q 两点，满足0OP OQ ∙=，求l 的方程。
22、（本题共14分）如图所示，已知圆22:(1)8,(1,0),C x y A M ++=定点为圆上一动点，点P 在A M 上，点N 在C M 上，且满足2,0AM AP NP AM =∙=，点N 的轨迹为曲线Q .（1）求曲线Q 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交曲线Q 于E 、F 两点，在y 轴上是否存在定点G ，满足GT=GE+GF 使四边形GETF 为矩形？若存在，求出G 的坐标和四边形GETF 面积的最大值；若不存在，成都市树德协进中学高2013级月考数学试题（理科）答案13、||85AC '= 14、x y 42= ；15、1,± ；16．265（,6）。
三、解答题。
17、（1）解:由于椭圆焦点为F(±4，0),离心率为e=45,所以双曲线的焦点为F(±4，0),离心率为2,从而所以求双曲线方程为: 112422=-y x（2）渐近线方程为x y x y 33-==或18、解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .∴BC ⊥平面PAC .（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴12DE BC =，又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ，∴△ABP 为等腰直角三角形，∴AD AB =， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒∠=，∴12BC AB =.∴在Rt △ADE 中，sin 24DE BC DAE AD AD ∠===，∴AD 与平面PAC 所成的角的大小arcsin4.【解法2】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设PA a =，由已知可得()()10,0,0,,0,,0,0,0,2A B a C P a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅰ）∵()10,0,,,0,02AP a BC a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴0BC AP ⋅=，∴BC ⊥AP .又∵90BCA ︒∠=，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC .（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点，∴111,,,0,,44242D a a a E a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵13131,,,0,,44242AD a a a AE a a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴14cos 4AD AE DAE AD AE⋅∠==⋅.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小. 19、解：（1）由题意，设双曲线方程为22(0)x y λλ-=≠将点(4,代入双曲线方程，得(224λ-=，即6λ= 所以，所求的双曲线方程为226x y -=设双曲线上任意一点11(,)P x y ，则22126x y -=，从而||PA ==当11y =时||PA 有最小值所以当P 的坐标为(时||PA 有最小值20、∴M Q ∥平面PCB …………4分 （2）设平面的MCN 的法向量为(),,n x y z =，又()2,1,2,2,0,2CM CN ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则有：22、解：（Ⅰ）∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.又∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.∴曲线Q 的方程为（2）动直线的方程为：由得设1122(,),(,)E x y F x y则假设在y 上存在定点G （0，m ），满足题设，则由假设得对于任意的,=0k R GE GF ∈∙使得恒成立，即解得m=1。
因此，在y 轴上存在定点G ，使得以EF 为直径的圆恒过这个点， 点G 的坐标为（0，1）这时，点G到EF的距离设则得所以当且仅当时，上式等号成立。
因此，面积的最大值是。