第九节 函数模型及其应用 高考数学(文科)总复习精品专题PPT课件
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北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第2章 函数的概念与性质 第9节 函数模型及其应用
480 元.
规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知条件利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
对点训练1(1) 南方某镇盛产杨梅,杨梅果味酸甜适中,有开胃健脾、生津止
渴、消暑除烦、抑菌止泻、降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短,当地
②当 x>0 时,x= 时取最小值 2 ;当 x<0 时,x=- 时取最大值-2 .
2.函数
f(x)=
上是递增的.
+ (a>0,b>0,x>0)在区间(0,
]上是递减的,在区间( ,+∞)
2.三种函数模型的性质
性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
(3)反比例函数模型:f(x)= (k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
于神农时代.现代研究结果显示,饮茶时,茶的温度最好不要超过60 ℃.一杯
茶泡好后置于室内,1分钟,2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃.给
出三个茶的温度T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函
数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(0<a<1);③T=20+b·at(b>0,0<a<1).根
规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知条件利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
对点训练1(1) 南方某镇盛产杨梅,杨梅果味酸甜适中,有开胃健脾、生津止
渴、消暑除烦、抑菌止泻、降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短,当地
②当 x>0 时,x= 时取最小值 2 ;当 x<0 时,x=- 时取最大值-2 .
2.函数
f(x)=
上是递增的.
+ (a>0,b>0,x>0)在区间(0,
]上是递减的,在区间( ,+∞)
2.三种函数模型的性质
性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
(3)反比例函数模型:f(x)= (k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
于神农时代.现代研究结果显示,饮茶时,茶的温度最好不要超过60 ℃.一杯
茶泡好后置于室内,1分钟,2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃.给
出三个茶的温度T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函
数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(0<a<1);③T=20+b·at(b>0,0<a<1).根
高考总复习·数学(文科)学案 第二章 函数、导数及其应用 第九节 函数模型及其应用
答案：C
判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法： 1．构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函 数模型，再结合模型选图象． 2．验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题 中两变量的变化特点 ，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中 排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
如图，已知 l1⊥l2，圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t＝0 时与 l2 相切于点 A，圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直 线 l2 所截上方圆弧长记为 x，令 y＝cos x，则 y 与时间 t(0≤t≤1，单 位：s)的函数 y＝f(t)的图象大致为( )
b 为常数)．若该食品在 0℃的保鲜时间是 192 小时，在 22℃的保鲜
时间是 48 小时，则该食品在 33℃的保鲜时间是
()
解析：由已知条件，得 192＝eb，∴b＝ln 192. 又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2， ∴e11k＝1498212＝1412＝21.设该食品在 33℃的保鲜时间为 t 小时， 则 t＝e33k＋ln 192＝192e33k ＝192(e11k)3＝192×123＝24. 答案：C
求解所给函数模型解决实际问题的关注点 1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． 2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． 3．利用该模型求解实际问题． 提醒：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．
(2015·四川卷)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度
x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，
构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法 1.构建二次函数模型；常用配方法、数形结合、分类讨论思想求 解． 2.构建分段函数模型；应用分段函数分段求解的方法． 3.构建 f(x)＝x＋ax(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法： 1．构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函 数模型，再结合模型选图象． 2．验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题 中两变量的变化特点 ，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中 排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
如图，已知 l1⊥l2，圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t＝0 时与 l2 相切于点 A，圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直 线 l2 所截上方圆弧长记为 x，令 y＝cos x，则 y 与时间 t(0≤t≤1，单 位：s)的函数 y＝f(t)的图象大致为( )
b 为常数)．若该食品在 0℃的保鲜时间是 192 小时，在 22℃的保鲜
时间是 48 小时，则该食品在 33℃的保鲜时间是
()
解析：由已知条件，得 192＝eb，∴b＝ln 192. 又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2， ∴e11k＝1498212＝1412＝21.设该食品在 33℃的保鲜时间为 t 小时， 则 t＝e33k＋ln 192＝192e33k ＝192(e11k)3＝192×123＝24. 答案：C
求解所给函数模型解决实际问题的关注点 1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． 2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． 3．利用该模型求解实际问题． 提醒：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．
(2015·四川卷)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度
x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，
构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法 1.构建二次函数模型；常用配方法、数形结合、分类讨论思想求 解． 2.构建分段函数模型；应用分段函数分段求解的方法． 3.构建 f(x)＝x＋ax(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
高三数学一轮复习 2.9函数模型及其应用课件
f1 x , x D 1,
(6)分段函数模型:
y
f
2
x
,
x
D 2,
图象特点是每一段自变量
f
n
x
，
x
D
n
,
变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题,将各段的变
化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值
范围,特别是端点.
3.建立函数模型解决实际应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:阅读理解、弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 弄清数据的单位等. (2)建模:正确选择自变量,将自然语言转化为数学语言,将文字 语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学问题还原为实际问题.
5.某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,存期
是x,本利和(本金加利息)为y元,则本利和y随存期x变化的函数
关系式是
.
【解析】已知本金为a元,利率为r,则 1期后本利和为y=a+ar=a(1+r), 2期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2, 3期后本利和为y=a(1+r)3, … x期后本利和为y=a(1+r)x,x∈N. 答案:y=a(1+r)x,x∈N
③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变;
④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本.
其中所有正确说法的序号是( )A.①③Fra bibliotekB.①④
C.②③
D.②④
【解析】选C.对于图(2),当x=0时,函数值比图(1)中的大,表示 成本降低,两直线平行,表明票价不变,故②正确;对于图(3),当 x=0时,函数值不变表示成本不变,当x>0时,函数值增大表明票 价提高,故③正确.
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
121n0≥1232，1n0≤32，解得 n≤15.
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
2019届高考文数一轮复习课件：第2章 第9讲 函数模型及应用
22k
∴x＝33时，y＝e
[答案] C
1 ＝48×2＝24.
[解析] 设矩形的另一边长为y m， x 40－y 则由三角形相似知，40＝ 40 ，所以y＝40－x. 因为xy≥300，所以x(40－x)≥300， 所以x2－40x＋300≤0，所以10≤x≤30.
[答案] [10,30]
题型一
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a， b， c 为常数， b≠0， a＞0 且 a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
2．三种基本初等函数模型的性质
函数
性质 在(0，＋∞) 单调 递增 上的增减性 增长速度 越来越快
[解] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s， 30 此时耗氧量为 30 个单位，故有 a＋blog310＝0， 即 a＋b＝0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s， 90 故 a＋blog310＝1，整理得 a＋2b＝1.
a＋b＝0， 解方程组 a＋2b＝1， a＝－1， 得 b＝1.
________
倍．
[解析] 根据题意，由 lg 1 000－lg 0.001＝6 得此次地震的震级 为 6 级． 因为标准地震的振幅为 0.001， 设 9 级地震的最大振幅为 A9， 则 lgA9－lg 0.001＝9，解得 A9＝106，同理 5 级地震的最大振幅 A5＝ 102，所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍．
[答案] 6；10 000
题型三 考向一
构建函数概型，解决实际问题(重点保分题，共同探讨) 构建一次、二次函数模型
∴x＝33时，y＝e
[答案] C
1 ＝48×2＝24.
[解析] 设矩形的另一边长为y m， x 40－y 则由三角形相似知，40＝ 40 ，所以y＝40－x. 因为xy≥300，所以x(40－x)≥300， 所以x2－40x＋300≤0，所以10≤x≤30.
[答案] [10,30]
题型一
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a， b， c 为常数， b≠0， a＞0 且 a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
2．三种基本初等函数模型的性质
函数
性质 在(0，＋∞) 单调 递增 上的增减性 增长速度 越来越快
[解] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s， 30 此时耗氧量为 30 个单位，故有 a＋blog310＝0， 即 a＋b＝0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s， 90 故 a＋blog310＝1，整理得 a＋2b＝1.
a＋b＝0， 解方程组 a＋2b＝1， a＝－1， 得 b＝1.
________
倍．
[解析] 根据题意，由 lg 1 000－lg 0.001＝6 得此次地震的震级 为 6 级． 因为标准地震的振幅为 0.001， 设 9 级地震的最大振幅为 A9， 则 lgA9－lg 0.001＝9，解得 A9＝106，同理 5 级地震的最大振幅 A5＝ 102，所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍．
[答案] 6；10 000
题型三 考向一
构建函数概型，解决实际问题(重点保分题，共同探讨) 构建一次、二次函数模型
2016届高三文科数学总复习课件：2.9函数模型及其应用
第十五页，编辑于星期五：二十点 二十四分。
(2)(2015·武汉模拟)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪 记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,
测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级
为
级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的
(3)解决实际应用问题的一般步骤: ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; ②建模:将自然语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③求模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将数学问题还原为实际问题.
第五页，编辑于星期五：二十点 二十四分。
以上过程用框图表示如下:
答案:180
第三十五页，编辑于星期五：二十点 二十四分。
2.(2015·福州模拟)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实
行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过200元,则不予优惠;
【典例1】(1)(2015·西安模拟)某电信公司推出两
种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月
租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话
费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这
两种方式电话费相差( )
A.10元
B.20元
C.30元
D. 元
40
3
第十九页，编辑于星期五：二十点 二十四分。
通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆 /千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0; 当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200 时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
高三数学一轮复习 第2篇 第9节 函数模型及其应用课件 理
市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图(1);B 产品 的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2)(注:利润和投资 单位:万元).
2.几种常见的函数模型 见附表
固双基
y=xn(n>0)
单调递增函数
相对平稳 随 n 值变化而 不同
精选ppt
5
3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学 模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言, 利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
精选ppt
6
基础自测 1.下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是( A )
(A)v= 1 ·ex (B)v=100ln x 100
(C)v=x100
(D)v=100×2x
解析:只有 v= 1 ·ex 和 v=100×2x 是指数函数, 100
并且 e>2,
所以 v= 1 ·ex 的增大速度快, 100
答案:②⑤
精选ppt
11
考点突破
考点一 一次函数、二次函数模型
剖典例 找规律
【例 1】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下, 进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)
精选ppt
14
反思归纳 解函数应用题时首先要把求解目标表示为一个变量的 函数,这个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来,同时注意 实际问题的函数定义域(指定的、根据实际意义的),一般不是由求 出的函数解析式确定的.
2.几种常见的函数模型 见附表
固双基
y=xn(n>0)
单调递增函数
相对平稳 随 n 值变化而 不同
精选ppt
5
3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学 模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言, 利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
精选ppt
6
基础自测 1.下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是( A )
(A)v= 1 ·ex (B)v=100ln x 100
(C)v=x100
(D)v=100×2x
解析:只有 v= 1 ·ex 和 v=100×2x 是指数函数, 100
并且 e>2,
所以 v= 1 ·ex 的增大速度快, 100
答案:②⑤
精选ppt
11
考点突破
考点一 一次函数、二次函数模型
剖典例 找规律
【例 1】 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下, 进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)
精选ppt
14
反思归纳 解函数应用题时首先要把求解目标表示为一个变量的 函数,这个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来,同时注意 实际问题的函数定义域(指定的、根据实际意义的),一般不是由求 出的函数解析式确定的.
2012高考(文科)数学一轮复习课件第2章第9节函数模型及其应用(新课标版)
• 解：设每天应从报社买进x份报纸．
• 由题意知250≤x≤400.
• 设每月赚y元，得
• y ＝ 0.5x×20 ＋ 0.5×250×10 ＋ (x － 250)×0.08×10 － 0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．
• 因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数，
• 关键提示：每月所赚的钱＝卖报总的收入－付给报社的 钱．而总的收入分为3部分：①在可卖出400份的20天里， 卖出x份，收入为0.5x×20元；②在可卖出250份的10天 里 ， 在 x 份 报 纸 中 ， 有 250 份 报 纸 可 卖 出 ， 收 入 为 0.5×250×10元；③没有卖掉的(x－250)份报纸可退回报 社，报社付出(x－250)×0.08×10元．注意写出函数式的 定义域．
• 当x＞40，
• f(x)＜60 000－100×400＜25 000.
• 综上，当x＝300时，有最大值25 000.
• 所以月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润 是25 000元．
• 点评：(1)本题中的总收益满足的函数关系式已经给出， 将利润表示为月产量的函数，只需利用“总收益＝总成 本＋利润”这一关系直接求出即可．
解：根据题意，商品的价格随着时间 t 变化，所以应分类 讨论，设日销售额为 F(t)．
当 0≤t＜20，t∈N 时， F(t)＝12t＋11－13t＋433＝－16t－2212＋164441＋946， 所以当 t＝10 或 t＝11 时，F(t)max＝176. 当 20≤t≤40，t∈N 时， F(t)＝(－t＋41)－13t＋433＝13(t－42)2－13. 所以当 t＝20 时，F(t)max＝161. 综上，当 t＝10 或 t＝11 时，日销售额最大，最大值为 176.
• 由题意知250≤x≤400.
• 设每月赚y元，得
• y ＝ 0.5x×20 ＋ 0.5×250×10 ＋ (x － 250)×0.08×10 － 0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．
• 因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数，
• 关键提示：每月所赚的钱＝卖报总的收入－付给报社的 钱．而总的收入分为3部分：①在可卖出400份的20天里， 卖出x份，收入为0.5x×20元；②在可卖出250份的10天 里 ， 在 x 份 报 纸 中 ， 有 250 份 报 纸 可 卖 出 ， 收 入 为 0.5×250×10元；③没有卖掉的(x－250)份报纸可退回报 社，报社付出(x－250)×0.08×10元．注意写出函数式的 定义域．
• 当x＞40，
• f(x)＜60 000－100×400＜25 000.
• 综上，当x＝300时，有最大值25 000.
• 所以月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润 是25 000元．
• 点评：(1)本题中的总收益满足的函数关系式已经给出， 将利润表示为月产量的函数，只需利用“总收益＝总成 本＋利润”这一关系直接求出即可．
解：根据题意，商品的价格随着时间 t 变化，所以应分类 讨论，设日销售额为 F(t)．
当 0≤t＜20，t∈N 时， F(t)＝12t＋11－13t＋433＝－16t－2212＋164441＋946， 所以当 t＝10 或 t＝11 时，F(t)max＝176. 当 20≤t≤40，t∈N 时， F(t)＝(－t＋41)－13t＋433＝13(t－42)2－13. 所以当 t＝20 时，F(t)max＝161. 综上，当 t＝10 或 t＝11 时，日销售额最大，最大值为 176.
高三数学复习第二章函数第九节函数模型及其应用文省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
10
A.240吨 B.200吨 C.180吨 D.160吨
答案 B 依题意,得每吨成本为 =y x+ 4 -03000,则 ≥y2 - x 4 000
x 10 x
x
10 x
30=10,
当且仅当 x =4 00,即0 x=200时取等号,
10 x
所以,当每吨成本最低时,年产量为200吨.
17/28
考点三 指数函数、对数函数模型 典例3 (1)(四川,7,5分)某企业为激励创新,计划逐年加大研发资金 投入.若该企业整年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入 研发资金比上一年增加12%,则该企业整年投入研发资金开始超出 200万元年份是 ( ) (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A. B. C. D. (2)(四川,8,5分)某食品保鲜时间y(单位:小时)与储备温度x(单位: ℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数底数,k,b为常数).若该 食品在0 ℃保鲜时间是192小时,在22 ℃保鲜时间是48小时,则该食 品在33 ℃保鲜时间是 ( ) A.16小时 B.20小时 C.二十四小时 D.28小时
(2)建变模:将自然语言步转化表为现数学为语言,将文逐字步语表言转现化为符改号语变言而,利用
数学知识建立对应数与学⑥模型; y
为与
不一样
(3)求模:求解数学模轴型,得出平数行学结论; ⑦ x (4)还原:将用数学方法得到结论还原为实轴际问题平意行义.
• 值比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax
18/28
答案 (1)B (2)C 解析 (1)设第n(n∈N*)年该企业整年投入研发资金开始超出200万 元. 依据题意得130(1+12%)n-1>200, 则lg[130(1+12%)n-1]>lg 200, ∴lg 130+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n> 24,
A.240吨 B.200吨 C.180吨 D.160吨
答案 B 依题意,得每吨成本为 =y x+ 4 -03000,则 ≥y2 - x 4 000
x 10 x
x
10 x
30=10,
当且仅当 x =4 00,即0 x=200时取等号,
10 x
所以,当每吨成本最低时,年产量为200吨.
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考点三 指数函数、对数函数模型 典例3 (1)(四川,7,5分)某企业为激励创新,计划逐年加大研发资金 投入.若该企业整年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入 研发资金比上一年增加12%,则该企业整年投入研发资金开始超出 200万元年份是 ( ) (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A. B. C. D. (2)(四川,8,5分)某食品保鲜时间y(单位:小时)与储备温度x(单位: ℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数底数,k,b为常数).若该 食品在0 ℃保鲜时间是192小时,在22 ℃保鲜时间是48小时,则该食 品在33 ℃保鲜时间是 ( ) A.16小时 B.20小时 C.二十四小时 D.28小时
(2)建变模:将自然语言步转化表为现数学为语言,将文逐字步语表言转现化为符改号语变言而,利用
数学知识建立对应数与学⑥模型; y
为与
不一样
(3)求模:求解数学模轴型,得出平数行学结论; ⑦ x (4)还原:将用数学方法得到结论还原为实轴际问题平意行义.
• 值比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax
18/28
答案 (1)B (2)C 解析 (1)设第n(n∈N*)年该企业整年投入研发资金开始超出200万 元. 依据题意得130(1+12%)n-1>200, 则lg[130(1+12%)n-1]>lg 200, ∴lg 130+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n> 24,
高考数学 第9节 函数模型及其应用课件
当甲的用水量超过 4 吨，乙的用水量不超过 4 吨，即 3x≤4，且 5x>4 时， y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 当乙的用水量超过 4 吨，即 3x>4 时， y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
14.4x， 所以 y＝ 20.4x－4.8，
思路点拨：由于(yóuyú)用水量不同，收费标准不同，当甲、乙两户的用水量分别为5x,3x时，需分段列 出y与x的函数关系式．根据分段函数式，分析求解共交水费26.4元时，甲、乙应各交多少．
第十四页，共47页。
解：(1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x≤4，乙的用水量也不超过 4 吨，y＝1.8(5x＋ 3x)＝14.4x；
第八页，共47页。
二次函数模型
(对应学生用书第 28～30 页)
【例 1】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(万元)与 年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y＝x52－48x＋8000，已知此生产线年产量最
大为 210 吨． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？
第十一页，共47页。
(2)设年总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8000 ＝－x52＋88x－8000 ＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)． 将年总利润表示成关于 x 的函数 ∵R(x)在[0,210]上是增函数， 判断函数 R(x)在[0,210]上的单调性，进而求最值 ∴x＝210 时，R(x)有最大值，为－15(210－220)2＋1680＝1660. 求得函数 R(x)在[0,210]上的最值 ∴当年产量为 210 吨时，可以获得最大利润，最大利润为 1660 万元． 将数学问题的解还原成实际问题的解
14.4x， 所以 y＝ 20.4x－4.8，
思路点拨：由于(yóuyú)用水量不同，收费标准不同，当甲、乙两户的用水量分别为5x,3x时，需分段列 出y与x的函数关系式．根据分段函数式，分析求解共交水费26.4元时，甲、乙应各交多少．
第十四页，共47页。
解：(1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x≤4，乙的用水量也不超过 4 吨，y＝1.8(5x＋ 3x)＝14.4x；
第八页，共47页。
二次函数模型
(对应学生用书第 28～30 页)
【例 1】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(万元)与 年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y＝x52－48x＋8000，已知此生产线年产量最
大为 210 吨． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？
第十一页，共47页。
(2)设年总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8000 ＝－x52＋88x－8000 ＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)． 将年总利润表示成关于 x 的函数 ∵R(x)在[0,210]上是增函数， 判断函数 R(x)在[0,210]上的单调性，进而求最值 ∴x＝210 时，R(x)有最大值，为－15(210－220)2＋1680＝1660. 求得函数 R(x)在[0,210]上的最值 ∴当年产量为 210 吨时，可以获得最大利润，最大利润为 1660 万元． 将数学问题的解还原成实际问题的解
第9节 函数模型及其应用-2023年高考数学一轮总复习 课件(共20张PPT)
的函数，且日销售量近似地满足 g(t)＝－13t＋1132(1≤t≤100，t∈
N)．前 40 天价格为 f(t)＝14t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后 60 天价格为 f(t)
＝－12t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额 S(t)的最大
值和最小值．
解析
练一练：函数建模在高考的考点应用。
函数模型 一次函数模型
反比例函 数模型
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) f(x)＝kx＋b(k，b 为常数且 k≠0)
函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
函数解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
f(x)＝bax＋c (a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
第九节
函数模型及其应用
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以 用函数刻画。
1.了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数 关系式的方法.(重点)
2. 增强应用数学的意识以及分析问题、解决 问题的能力.(难点)
•具体的数学核心素养，是三个方面 (六个关键词): •(1)用数学的眼光观察世界： •发展数学抽象、直观想象素养。 •(2)用数学的思维分析世界： •发展逻辑推理、数学运算素养。 •(3)用数学的语言表达世界： •发展数学建模、数据分析素养。
3.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践, 旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关 系：
每间每天房价 住房率
20元 18元 16元 65％ 75％ 85％
14元 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ C） A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
第九讲+函数模型及其应用课件-2025届高三数学一轮复习
(2)由(1)得 f(x)＝6x＋38x＋005(0≤x≤10). 令 3x＋5＝t，t∈[5，35]，
则 f(t)＝2t＋80t 0－10≥2 2t·80t 0－10＝70，当且仅当 2t＝ 80t 0，即 t＝20 时等号成立，
此时 x＝5，因此 f(x)的最小值为 70. ∴隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元.
图 2-9-4
解析：由题意，易得 AD＝BC＋x，所以 9 3＝12(2BC＋x) 23x，
解得 BC＝1x8－2x.由1x283－x≥2x>0，3，
得 2≤x<6，
所以 y＝2x＋BC＝1x8＋32x≥2 1x8·32x＝6 3.
当且仅当1x8＝32x(2≤x<6)，即 x＝2 3时等号成立. 答案：2 3
解析：根据题图， 求得 y＝－(x－6)2＋11(x>0)，
∴年平均利润xy＝12－x＋2x5，
∵x＋2x5≥2 x·2x5＝10，当且仅当 x＝2x5，即 x＝5 时等号成立.
∴要使年平均利润最大，每辆客车营运年数为 5. 答案：5
【题后反思】
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出， 而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系， 应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：
解析：当 t＝8 时，y＝ae-8b＝21a，所以 e-8b＝12.容器中的沙子 只有开始时的八分之一时，即 y＝ae－bt＝81a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b， 所以－bt＝－24b，则 t＝24.所以再经过 16 min，容器中的沙子只 有开始时的八分之一.
答案：16
B.1
C.ln 2
D.e
高考一轮文数课件：第二章 第九节 函数模型及应用
3．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长
率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( C )
A．1.5%
B．1.6%
C．1.7%
D．1.8%
4.(必修1·习题3.2A组改编)有一批材料可以建 成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠 墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的 材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最 大面积为_2__5_0_0_m__2．(围墙厚度不计)
解析
考点一
考点二
考点三
(2)当0<x<8时，L(x)＝－
1 3
(x－6)2＋9，此时，当x＝6时，
L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．
当x≥8时，L(x)＝35－x＋10x0≤35－2 x·10x0＝35－20＝
15(万元)．此时，当且仅当x＝
100 x
，即x＝10时，L(x)取得
养率为mx ，故空闲率为1－mx ，由此可得y＝kx1－mx (0<x<m)．②对 原二次函数配方，得y＝－mk (x2－mx) ＝－mk x－m2 2＋k4m.即当x＝m2 时，y取得最大值k4m. ③由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增
长量的和小于最大畜养量，即0<x＋y<m.因为当x＝
C．y＝12(x2－1)
D．y＝2.61cos x
2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一
个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝
1 2
x2＋2x＋
20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业
一个月应生产该商品数量为( B )
A．36万件
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(2017·河南实验中学高三二模)为了降低能源损耗，某
体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建 筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝3xk＋5(0≤x≤10，k 为常数)， 若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔 热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法 1.构建二次函数模型；常用配方法、数形结合、分类讨论思想求 解． 2.构建分段函数模型；应用分段函数分段求解的方法． 3.构建 f(x)＝x＋ax(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
(1)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为________(m)．
b 为常数)．若该食品在 0℃的保鲜时间是 192 小时，在 22℃的保鲜
时间是 48 小时，则该食品在 33℃的保鲜时间是
()
解析：由已知条件，得 192＝eb，∴b＝ln 192. 又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2， ∴e11k＝1498212＝1412＝21.设该食品在 33℃的保鲜时间为 t 小时， 则 t＝e33k＋ln 192＝192e33k ＝192(e11k)3＝192×123＝24. 答案：C
解析：圆半径为 1，设弧长 x 所对的圆心角为 α，则 α＝x，如图 α
所示，cos 2 ＝1－t，
即 cosx2＝1－t，则 y＝cos x＝2cos2x2－1＝2(1－t)2－1＝2(t－1)2 －1(0≤t≤1)．
其图象为开口向上，对称轴为 t＝1，在[0，1]上的一段抛物线． 答案：B
某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产 品的利润与投资成正比，其关系如图 1；B 产品的利润与投资的算术 平方根成正比，其关系如图 2(注：利润和投资单位：万元)
(1)分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A，B 两种 产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业 获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
解：(1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2 x(x≥0) (2)①由(1)得 f(9)＝2.25，g(9)＝2 9＝6.所以总利润 y＝8.25 万元． ②设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入(18－x)万元，该企业可获 总利润为 y 万元． 则 y＝14(18－x)＋2 x，0≤x≤18. 令 x＝t，t∈[0，3 2]， 则 y＝14(－t2＋8t＋18)＝－14(t－4)2＋127. 所以当 t＝4 时，ymax＝127＝8.5， 此时 x＝16，18－x＝2. 所以当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企 业获得最大利润，约为 8.5 万元．
如图，已知 l1⊥l2，圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t＝0 时与 l2 相切于点 A，圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直 线 l2 所截上方圆弧长记为 x，令 y＝cos x，则 y 与时间 t(0≤t≤1，单 位：s)的函数 y＝f(t)的图象大致为( )
答案：C
判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法： 1．构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函 数模型，再结合模型选图象． 2．验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题 中两变量的变化特点 ，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中 排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
第二章 函数、导数及其应用
第途中因交通堵塞停留了 一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图 象是( )
解析：小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来 越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变， 故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除 B.
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最 小值．
解：(1)当 x＝0 时，C＝8，∴k＝40， ∴C(x)＝3x4＋0 5(0≤x≤10)， ∴f(x)＝6x＋230x×＋450＝6x＋3x8＋005(0≤x≤10)． (2)f(x)＝2(3x＋5)＋38x＋005－10. 令 3x＋5＝t，t∈[5，35]， 则 y＝2t＋80t0－10，∴y′＝2－8t020，
当 5≤t<20 时，y′<0，y＝2t＋80t0－10 为减函数； 当 20<t≤35 时，y′>0，y＝2t＋80t0－10 为增函数． ∴函数 y＝2t＋80t0－10 在 t＝20 时取得最小值，此时 x＝5，因 此 f(x)的最小值为 70. ∴隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万 元．
(2)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此 外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(x∈N*)件．当 x≤20 时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当 x>20 时，年销售总收 入为 260 万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元， 则 y(万 元 )与 x(件 )的 函 数 关 系 式 为 ________， 该 工 厂 的 年 产 量 ________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投 资)
求解所给函数模型解决实际问题的关注点 1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． 2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． 3．利用该模型求解实际问题． 提醒：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．
(2015·四川卷)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度
x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，