直角三角形的性质和判定复习
1.2直角三角形的性质和判定
引导梳理
2、如图，BD、CE 分别是△ABC 的边 AC 和 AB 上的 如图，BD、 分别是△ 的延长线上，BP＝AC， 高，点 P 在 BD 的延长线上，BP＝AC，点 Q 在 CE 上， CQ=AB． CQ=AB． 求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥ 求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ
展示讨论
1、“如果一个点到角的两边的距离不相等， 、 如果一个点到角的两边的距离不相等， 那么这个点不在这个角的平分线上” 你认为正确 那么这个点不在这个角的平分线上”,你认为正确 吗？如果正确，你能证明它吗？ 如果正确，你能证明它吗？ 2、如图，△ABC的角平分线 、BE相交于 、如图， 的角平分线AD、 相交于 的角平分线 的平分线上吗？ 点o，点o在∠C的平分线上吗？ ， 在 的平分线上吗 证明你的结论。 证明你的结论。
反馈矫正
如图， ABC中 已知D BC中点 DE⊥AB， 中点， 8、如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E DE＝ DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF. 求证： 求证：AB=AC
A
E B
F D C
反馈矫正
9、已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E， 已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于 平分 CF⊥AD于 BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗 你能说明BE 相等吗？ CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？
直角三角形
第1章直角三角形§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? （一）直角三角形性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。
练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。
（3）与∠B相等的角有。
（二）直角三角形的判定定理1提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。
（三）直角三角形性质定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。
求证：（1）ED=EB(2)∠EBD=∠EDB（3）图中有哪些等腰三角形？练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。
如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）EDCBA提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）推理证明思路： ①作点D 1 ②证明所作点D 1 具有的性质 ③ 证明点D 1 与点D 重合 应用定理：例1、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别AB 、AC 的中点。
直角三角形的判定和性质
等腰直角三角形的面积可以通 过其直角边计算，面积=1/2 * a * a = 1/2 * a^2。
30°-60°-90°的直角三角形
30°-60°-90°的直角三角形是具有30°和60°锐角的直角三角形，其中30° 角所对的直角边等于斜边的一半，即c=2a，其中c为斜边，a为30°角所 对的直角边。
直角三角形中的三个角满足三角形内角和定理，即三角形的 三个内角之和等于180度。
直角三角形中的边长关系
直角三角形中，斜边是直角边中最长的一边，且斜边上的 中线等于斜边的一半。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即勾 股定理。
直角三角形的中线性质
直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。 直角三角形的中线性质还包括，中线与直角相对的边平行且等于该边的一半。
04
直角三角形的应用
在几何图形中的应用
01
勾股定理
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，在几何学中广泛应用于解决与
直角三角形相关的问题。
02
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其两腰相等，且一个角为90
度。在几何图形中，等腰直角三角形
直角三角形的判定和性质
目 录
• 直角三角形的定义 • 直角三角形的判定 • 直角三角形的性质 • 直角三角形的应用 • 直角三角形的特殊情况
01
直角三角形的定义
定义
01
直角三角形是有一个角为90度的 三角形。
02
在直角三角形中，斜边是最长的 一边，两个锐角的角度之和为90 度。
直角三角形的表示方法
运动学
在描述物体的运动轨迹时，我们经常需要使用直角三角形来计算角度、速度和加速度等物 理量。例如，在抛体运动中，我们可以使用直角三角形来计算物体的射程和仰角。
直角三角形的性质与判定
3.互逆命题与互逆定理
观察上面三组命题,你发现了什么?
1.两直线平行,内错角相等；
3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；
2.内错角相等,两直线平行；
5.一个三角形中相等的边所对的角相等；6.一个三角形中相等的角所对的边相等；
┏
归纳总结
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？
如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
1.直角三角形的性质与判定
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.
2.勾股定理与逆定理
证明欣赏
b
a
c
b
a
c
1．总统证法：
美国第20任总统：詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 = c2+ ，
a2+2ab+b2 = c2+2ab，
中考解直角三角形知识点整理复习
x tan 21°
8 3
x
；
B
D
第 19 题图
在
Rt△CEG 中， tan
CGE
CE GE
，则 GE
tan
CE CGE
x tan 37°
4 3
x
∵ EF FG EG，∴ 8 x 50 4 x ． x 37.5 ，∴ CD CE ED 37.51.5 39 （米）．
3
3
答：古塔的高度约是 39 米． ························ 6 分
a2 b2
a 由 Sin A＝c，求∠A；∠B＝90°－A，b＝
c2 - a2
∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，c＝cosA
A bC 一
和
角 一锐角
锐角，对边 （如∠A，a）
∠B＝90°－A，b＝，c＝
斜边，锐角（如 c，∠A）
∠B＝90°－A，a＝c·Sin A， b＝c·cos A
2、测量物体的高度的常见模型
35º 40
CB
D
面 CD 有多长
º
(结果精确到 0.1m．参考数据：sin40º ≈，cos40º ≈，sin35º ≈，tan35º ≈
（2012）20.（8 分）
附历年真题标准答案：
（2007）19．（本小题满分 6 分）
解：过 C 作 AB 的垂线，交直线 AB 于点 D，得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD．
数学模型
所用 应测数据
工具
α β x
h1
h
皮尺
αβ a
h x
侧倾 器
仰角α 俯角β 高度 a
俯角α 俯角β
高度
数量关系
(完整版)直角三角形的性质和判定
直角三角形的性质和判定一、知识要点1、直角三角形的性质：(1)在直角三角形中，两锐角 _____________________ ;(2) _________________________________________ 在直角三角形中，斜边上的中线等于■勺一半；(3) _______________________________________________________________________ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于 _________________________________ ;(4) ________________________________________________________________________________ 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 ____________________ 。
2、直角三角形的判定：(1) ____________________ 有一个角等于■勺三角形是直角三角形；(2) ____________________ 有两个角■勺三角形是直角三角形；(3) _________________________________________ 如果三角形一边上的中线等于这条边的 ____________________ 那么这例2、如图，在Rt△ ABC中, CD是斜边上的中线, CEL AB 已知AB=10cm DE=2.5crr，求CD和/ DCE个三角形是直角三角形。
二、知识运用典型例题例1、在厶ABC中，/ C=90°，/ A=30°, CD丄AB,⑴若BD=8求AB的长；(2)若AB=8求BD的长。
例3、如图，在△ ABC 中，/ C=90°，Z A=x °，Z B=2 x。
(完整版)直角三角形的判定和性质
直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）【典型例题讲解】例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC.例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE：例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
【随堂练习】1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．3（2）在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．解答：（1已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.（2）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F 求证：CE=DF.B MC【课后习题】一、填空题:(每题5分,共20分)1.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”. 2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm.3.已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 4.如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下:∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知)∴△ABF,△DCE 是直角三角形∵BE=CF(已知)∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证)∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( )二、选择题:(每题5分,共25分) 5.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等 6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的()①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个7.如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对8.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A.AASB.SASC.HLD.SSS三、解答题:(共55分)10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,M 是AB 的中点,点N 在BC 上,MN ⊥AB.求证:AN 平分∠BAC.(7分)BA21N MCB A E FC B AEF C D11已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)B AE F D12知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE ⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)BAE CD13已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)C14已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)B AE MFC D直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°.【典型例题讲解】例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41.例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.【随堂练习】1.△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB 。
直角三角形-的性质判定(HL)
直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。
直角三角形两锐角互余。
2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。
3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。
1.1直角三角形的性质和判定4
点，连结CD, 求证：CD 1 AB
C
2 ∴△ACD≌ △BED（SAS）
∴AC=EB， ∴∠ACD=∠DEB，
∴AC//EB，
A
∵∠ACB=90°，∴∠CBE=90°，
D
B 在△ACB和 △EBC中:
BC=BC，
∠ACB=∠CBE，
证明：
E
AC=BE，
延长CD，使得CD=DE,连结BE, 在△ACD和△BED中:
AD=BD，
∠ADC=∠BDE，
∴△ACB≌ △EBC（SAS）
∴AB=CE，
∵CD
1 2 CE
∴CD
1 2 AB
CD=ED，
几何语言表示：
∵△ABC为Rt△，CD是斜边AB上的中线，
∴CD
1 2 AB
(在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半)
注意：在Rt△中，斜边上的中线把原直角三角形分成 面积相等的两个等腰三角形.
例1：如图，已知：CD是△ABC的AB边上的中
线，且CD=12 AB，求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵
CD
1 2
AB
=
BD =
AD
∴ ∠1=∠A
∠2=∠B （ 等边对等角 ）
又 ∵ ∠A+∠B&∠A+∠B+∠1+∠2=180°
∴ 2(∠A+∠B)=180° ∴ ∠A+∠B =90°
有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言表示：
∵∠A+∠B=90° ∴△ABC为直角三角形， 即∠C=90°. (有两个角互余的三角形是直角三角形)
探究
画一个Rt△ABC，∠ACB=90°， CD是斜边AB上的中线，
直角三角形知识点及复习
直角三角形知识点、直角三角形的性质1、 R t △的两个锐角互余(/ A+ / B=90 ° )12、 斜边上的中线等于斜边的一半(若 D 为斜边AB 的中点，贝U CD = - AB )213、 30°角所对直角边等于斜边的一半(若/ A = 30°,/ C=90 ° , CB=q AB )4、 勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方(若/ C=90。
，贝U a 2 b 2 c 2) 二、直角三角形的判定1、有两个锐角互余的△是直角三角形。
2、 如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角为 90°3、 勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足a 2b 2c 2，则/ C = 90 °。
用法：(1)选出最大边；(2)计算较小两边的平方和;(2)直角三角形斜边上的咼=两直角边乘积除以斜边。
公式为 (3 )常见的勾股数：(3k , 4k , 5k ) (5k , 12k , 13k ) ( 7k , 24k , 25k ) (8k , 15k , 17k ) (9k , 40k , 41k ) (4)在求曲面上的最短距离时，先把曲面展开成平面图形，画出起点到终点的线段，就是 最短距离，一般需要用到勾股定理。
(1)蚂蚁沿着圆柱表面爬行，最短距离例1如图1有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面周长为10cm ，在圆柱的下底面 A 点上 A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少 ’ 分析：可以把圆柱的侧面展开，其展开图为矩形，如图 虫爬行的最短路线，可用勾股定理求得其长。
(3)比较最大边的平方与较小两边的三、常用几个结论:图23所示。
连接AC ,贝U AC 即为小平方和；(4)如果两者相等, 有D半周长解：①若沿着曲面走，则：AB=2 X 10=5 , BC =12，所以AC= .6 13•/ 12+ >13• • •最短路程为13cm 。
考点16 直角三角形【无答案】
考点16 直角三角形数学中考中，直角三角形一直是一个较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为：直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点。
出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向等。
一、直角三角形的性质和判定二、勾股定理及其逆定理三、勾股定理与弦图、拼图考向一：直角三角形的性质和判定一．直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半判定有一个角是90°的三角形时直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形摄影定理图形常见的三个应用方向1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在边AC 上点E 处，若∠B ＝65°，则∠ADE 的大小为（ ）A ．40°B ．50°C ．65°D ．75°2．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，若点D 恰好在边BC 的垂直平分线上，则∠C 的度数为（ ）1. 等积法（求斜边上的高）2. 同角的余角相等（得∠A=∠BCD ）3. 射影定理 在圆中因为直径所对圆周角=90°，转化得此图形，进而利用以上3个结论！A．36°B．30°C．40°D．45°3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF ∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．5.5B．6.5C．7.5D．64．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（）A．变小B．不变C．变大D．先变小再变大5．如图，在△ABC中，点D在AB边上且CD＝CB，BE⊥AC于点E，AB＝8，CE＝6，∠ABE＝30°，则AD的长等于（）A．1B．1.5C．1.6D．26．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（）A．4B．5C．6D．5.57．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝°．8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝15°，∠ADB＝30°，AB＝3，则CD＝cm．9．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．考向二：勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理形勾股定理方向去想。
初二直角三角形复习同步讲义
初二直角三角形复习同步讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN授课类型T(知识点梳理) C 直角三角形的复习T （学法与能力主题）授课日期及时段教学内容一、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半二、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形三、勾股定理和它的逆定理：1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形注意：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。
（请画图）4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形边角线判定直角 三角形222c b a =+两锐角互余CD=AD=BD (斜边上的中线等于斜边的一半)应用：①斜边上的中线把Rt △分成两等腰三角形；②等腰Rt △斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt △。
①若∠A+∠B=90°，则△ABC 为Rt △; ②若222c b a =+， 则△ABC 为Rt △;③若CD=AD=BD ， 则△ABC 为Rt △;黄金 直角 三角形2:3:1::=c b a等腰 直角 三角形2:1:1::=c b a四、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到 的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在注意：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是 的点的集合。
直角三角形的性质与判定
．1直角三角形的性质和判定。
[教学目标]1．使学生掌握直角三角形的第一条性质和判定。
2.培养学生观察发现思考归纳的能力。
[教学重点与难点]重点:性质1：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
难点:性质的推导。
[教学设计]一. 复习引入1．什么是直角三角形？2．直角三角形除具有一般三角形的性质外，还会有哪些性质呢？二. 了解：角的性质请学生看图，提问：1．直角三角形ABC中，∠C=90,∠A与∠B有什么关系？为什么？2．归纳小结：定理1 直角三角形的两个锐角互余。
3．反之，有两个角互余的直角三角形是直角三角形。
三：探究：直角三角形的性质定理1：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
1．实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形纸片。
（1）量一量斜边AB的长度。
（2）找到斜边的中点，用字母D表示。
（3）画出斜边上的中线。
（4）量一量斜边上中线的长度。
让学生猜想斜边上的中线与斜边的长度之间有何关系？2．提出问题：是否每一个直角三角形都有“斜边上的中线等于斜边的一半呢”？3．证明命题：（过程略）[设计说明]：建议先让学生自主探究，然后再交流讨论。
四：提高应用知识的能力和解决问题的能力例1如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。
分析：（1）例1实质上是性质定理1的逆命题，它们交换了条件与结论。
（2）弄清命题证明的步骤：画图、写已知、写求证、写证明过程(3)强调条件中没有直角三角形。
双边活动：师生讲练结合。
归纳判定定理：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
例2 教材P87（见课件）五：练习：例2 AC⊥DB于C，F是AC上一点，且FC=BC,AC=DC,延长DF交AB 于E,则⊿DEB是直角三角形，请说明理由。
（见《每课必练》P51 T10教材P87双边活动：师生讲练结合六：小结(见课件)作业：《每课必练》P50-51 T1-9 反思：。
直角三角形的性质复习
直角三角形的性质总复习教案
教学目标：（1）在复习的过程中，让学生进一步理解和掌握直角三角形的概念和性质，直角三角形中几条重要的性质定理的运用。
（2）继续巩固几何证明的分析方法，懂得推理过程的因果关系，数学知识的相互联系和相互转化的规律。
（3）使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的巩固运用的过程中，增强学生的主体意识，综合意识。
教学重点;直角三角形的性质定理的熟练灵活的运用。
教学难点：直角三角形的性质定理的综合运用。
教学过程;
一，考点管理
1，直角三角形的概念;
2，直角三角形的性质:（1）直角三角形中30锐角----------（2）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半--------（3）直角三角形中，斜边上的中线------------
3，直角三角形的判定:
4，勾股定理及逆定理：
5，注意事项：
二，归类探究
（1）直角三角形的性质的运用;
（2）勾股定理及其逆定理的运用
（3）勾股定理与拼图
（4）平面展开中的最短线段问题
三，当堂练习设计
见PPT课件
三，全课小结
四，作业布置。
专项1.3 直角三角形的性质与判定(解析版)
2020—2021八年级下学期专项冲刺卷（北师大版）专项1.3直角三角形的性质与判定姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟 满分：120分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）A ．1，2B ．6，8，10C ．5，12，16D ．3，4，5 【答案】C解：A ：12+22=5=2，可以作为直角三角形的边长；B ：62+82=100=102，可以作为直角三角形的边长；C ：52+122=169≠162，不能作为直角三角形的三边长；D ：32+42=25=52，可以作为直角三角形的边长．故选：C ．2．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．4，5，6D ．5，13，12【答案】D解：A 、12+22=5≠32，故不能组成直角三角形，错误；B 、22+32=13≠42，故不能组成直角三角形，错误；C 、42+52=41≠62，故不能组成直角三角形，错误；D 、52+122=169=132，故能组成直角三角形，正确．故选：D ．3．在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，下列条件中不能说明ABC是直角三角形的是（ ）A ．222b a c =-B ．C A B ∠=∠+∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．::5:12:13a b c = 【答案】CA ．222b a c =-，即222b c a +=，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故A 不符合题意．B ．根据三角形内角和180A BC ∠+∠+∠=︒与C A B ∠=∠+∠，得出2180C ∠=︒，即90C ∠=︒，所以ABC 是直角三角形，故B 不符合题意．C ．设3A x ∠=，则4B x ∠=，5C x ∠=，根据三角形内角和180A B C ∠+∠+∠=︒，即345180x x x ++=︒，解得15x =︒，即45A ∠=︒、60B ∠=︒、75C ∠=︒．所以ABC 不是直角三角形，故C 符合题意．D ．设5a x =，则12b x =，13c x =，由222(5)(12)(13)x x x +=可知222+=a b c ，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故D 不符合题意．故选：C ．4．如图，在等腰Rt △ABC ，90ABC ∠=︒，O 是ABC 内一点，10OA =，OB =6OC =，O '为ABC 外一点，且CBO ABO '≅△△，则四边形AO BO '的面积为（ ）A ．10B ．16C ．40D ．80【答案】C 解：如图，连结OO′．∵△CBO ≌△ABO′，∴OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA ，∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA ，∴∠O′BO=90°，∴O′O 2=OB 2+O′B 2=32+32=64，∴O′O=8．在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，∴OA 2+O′O 2=O′A 2，∴∠AOO′=90°，∴S 四边形AO′BO =S △AOO′+S △OBO′=12×6×8+12． 故选：C ．5．若ABC 的三边a 、b 、c 满足2(3)50a c --=，则ABC 的面积是（ ）A ．3B ．6C ．12D ．10 【答案】B解：∵2(3)50a c --=，∴30,40,50a b c -=-=-=，解得3,4,5a b c ===，又∵222223425a b c +=+==，∴△ABC 为直角三角形， ∴13462ABC S =⨯⨯=△． 故选：B ．6．已知ABC ∆的三边a ，b ，c 2|4|10250b c c -+-+=，则c 边上的高为（ ）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．4.8【答案】C2|4|10250b c c -+-+=()2|4|50b c -+-=， ()2|4|50b c -+-=，30a ∴-=，40b -=，50c -=， 解得：3a =，4b =，5c =，22222291653452a b c =+=+=+==，ABC ∆∴是直角三角形，设C 边上的高为h ，由直角三角形ABC 的面积为：1122c h a b =， 整理得3412===2.455a b h c ⨯=， c ∴边上的高为：2.4，故选择：C ．7．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在边AC ，AB 上，若B ADE ∠=∠，则下列结论正确的是（ ）A ．A ∠与B 互为补角B ．B 与ADE ∠互为补角C ．A ∠与ADE ∠互为余角D ．ADE ∠与DEB ∠互为余角【答案】C解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠B=∠ADE ，∴∠A+∠ADE=90°， ∴∠A 和∠ADE 互为余角．∠B+∠ADE 小于180°，故选C ．8．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3 =（ ）A ．150°B ．135°C ．120°D ．90°【答案】B 解：如图，由6个边长相等的正方形的组合图形，∴AG=DE ，AE=BG ，AF=CF ，∠AGB=∠DEA=∠AFC=90°，∴△AGB ≌△DEA ，∠2=45°，∴∠1=∠DAE ，∵∠DAE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°；故选B ．9．在ABC 中，若满足下列条件，则一定不是直角三角形的是（ ）A ．ABC ∠=∠+∠B ．1123AC B ∠=∠=∠ C ．一个外角等于与它相邻的内角D ．::2:3:4A B C ∠∠∠=【答案】D①由∠A+∠B+∠C=180°，得∠C+∠B=∠A=90°；故一定是直角三角形；②∵由∠A+∠B+∠C=180°，且1123A CB ∠=∠=∠，∴∠B=90°，故一定是直角三角形； ③一个外角和它相邻的内角互为补角，则每一个角等于90°，故一定是直角三角形； ④由∠A+∠B+∠C=180°，∠A ∶∠B ∶∠C=2∶3∶4, ∠C=180°49⨯=80°,故一定是锐角三角形，故选D.10．如图，BC AE ⊥于点C ，//CD AB ，60B ∠=︒，则ECD ∠的度数是（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°【答案】B 在Rt ABC 中，9030A B ∠=︒-∠=︒，//CD AB ，30A ECD ∴∠=∠=︒，故选：B ．11．如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （∠C 除外）相等的角的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ∵AD 是斜边BC 上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠C=∠BDF=∠BAD ，∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，∴∠C=∠ADE ，∴图中与∠C （除之C 外）相等的角的个数是3，故选C ．12．如图，在ABC ∆中， ,90,BC AC ACB AD =∠=︒平分,BAC BE AD ∠⊥交AC 的延长线于点F ，垂足为E ．则结论：①AD BF =；②CF=CD ；③AC CD AB +=；④BE CE =；⑤2BF BE =．其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D解： ,90BC AC ACB =∠=︒，45CAB ABC ∴∠=∠=︒， AD 平分BAC ∠,22.5BAE EAF ∴∠=∠=︒，在Rt ACD ∆与Rt BFC ∆中，90,90EAF F FBC F ∠+∠=︒∠+∠=︒EAF FBC ∴∠=∠，,BC AC EAF FBC BCF ACD =∠=∠∠=∠，，BC AC EAF FBC BCF ACD =∠=∠∠=∠，，Rt ADC Rt BFC ∴∆∆≌，AD BF ∴=，故①正确． ②①中Rt ADC Rt BFC ∆∆≌，CF CD ∴=，故②正确． ③①中 Rt ADC Rt BFC ∆∆≌，,CF CD AC CD AC CF AF ∴=+=+=，22.5CBF EAF ∠=∠=︒，在Rt AEF ∆中，9067.5F EAF ∠=︒-∠=︒45CAB ∠=︒，18018067.54567.5ABF F CAF ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，ABE AFE ∴∆∆≌，AF AB ∴=，即AC CD AB +=，故③正确．④由③可知， AF AB =，易知22.5CBF EAB ∠=∠=︒，若BE CF =，则有BCF AEB ∆∆≌，则有AB BF =，则可得ABF ∆为等边三角形，这与①中的45CAB ∠=︒矛盾，故④错误．⑤由③可知，BE EF =，2BF BE ∴=，故⑤正确．∴①②③⑤四项正确，故选D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，飞机P 在目标A 的正上方，飞行员测得目标B 的俯角为30°，那么APB ∠的度数为______°．【答案】60∵飞机P 在目标A 的正上方，飞行员测得目标B 的俯角为30°，∴∠A=90︒，∠CPB=30,∵CP∥AB，∴∠B=∠CPB=30,∠=90︒-∠B=60︒,∴APB故答案为：60．14．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中90C=∠，90∠=，F∠+∠等于___________度．30A∠=，则12D∠=，45【答案】210解：如图，给两三角板的两个交点标上G、H符号，则∠1=∠D+∠DGA=∠D+CGH ，∠2=∠F+∠FHB=∠F+∠CHG ，∴∠1+∠2=∠D+CGH+∠F+∠CHG=∠D+∠F+（CGH+∠CHG ）=30°+90°+90°=210°，故答案为210 ．15．在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边的中线，若50BAD ∠=︒，则B 的大小为______．【答案】40︒∵AB AC =，AD 是BC 边的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90︒，∵50BAD ∠=︒，∴∠B=90︒-∠BAD=40︒，故答案为：40︒．16．如图AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，则图形ABCD 的面积=______________．【答案】24解：连接AC ，，在Rt ACD △中，90ADC ∠=︒，4=AD ，3CD =，∴5AC =，∵13AB =，12BC =，∴222AC BC AB +=，∴ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒， ∴112422ABCD ABC ACD S S S AC BC AD CD =-=⋅-⋅=， 故答案为：24．17．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，5AB =，13AC =，6AD =，则BC =_______．【答案】延长AD 到点E ，使6DE AD ==，连接CE ，AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ABD ∆和CED∆中，BC CD ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD CED SAS ∴∆≅∆，5CE AB ∴==，BAD CED ∠=∠，212AE AD ==，5CE =，13AC =，222CE AE AC ∴+=，90CED ∴∠=︒，90BAD ∴∠=︒，222BD AB AD ∴=+，BD ∴=2BC BD ∴==18．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=2，CD=1，AD=3，若∠B=90°，则∠BCD 的度数为____________________．【答案】135°连接AC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ==∵AB=BC ，∴∠BAC=∠ACB=45°，∵CD=1，AD=3，∴AC 2+CD 2=AD 2，∴∠ACD=90°，∴∠DCB=90°+45°=135°，故答案为135°．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，在四边形ABCD 中，AB =13，BC =5，CD =15，AD =9，对角线AC ⊥BC ． （1）求AC 的长；（2）求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）12；（2）84．（1）AC BC ⊥，ABC ∴是直角三角形，13,5AB BC ==，2222213514412AC AB BC AC ∴=-=-==，；（2）15,9,12CD AD AC ===，222AC AD CD ∴+=， ACD ∴是直角三角形，则四边形ABCD 的面积为1122Rt ABC Rt ACD S S AC BC AC AD +=⋅+⋅， 1112512922=⨯⨯+⨯⨯， 84=，即四边形ABCD 的面积为84．20．如图，已知四边形ABCD 中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°． （1）在BD 的上方作△A'BD ，使△A'BD ≌△ADB （点A 与点'A 不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见详解；（2）234解：（1）如图1所示，△A′BD即为所求；（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，如图2，∵∠ADB+∠CBD=90°，∴∠A′BD+∠CBD=90°，即∠A′BC=90°，∴A′B 2+BC 2=A′C 2，∵A′B=15，BC=20，∴A′C=25，在△A′CD 中，A′D=24，CD=7，∴A′D 2+CD 2=576+49=625，∵A′C 2=625，∴A′D 2+CD 2=A′C 2．∴△A′DC 是直角三角形，且∠A′DC=90°，∴S 四边形A′BCD ＝S △A′BC +S △A′CD 11201524723422⨯⨯+⨯⨯＝＝， ∵S △A'BD =S △ABD ，∴S 四边形ABCD =S 四边形A'BCD =234．21．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线．（1）已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；（2）设∠B ＝α，∠C ＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE 的关系式 ．【答案】（1）10︒；（2）1122βα- （1）∵∠B ＝40°，∠C ＝60°，∴∠BAC=18080B C ︒-∠-∠=︒，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=1402BAC ∠=︒， ∴∠AED=∠B+∠BAE=80︒,∵AD 是高线，∴AD ⊥BC ，∴∠DAE=9010AED ︒-∠=︒；（2）∵∠B ＝α，∠C ＝β，∴∠180180BAC B C αβ=︒-∠-∠=︒--,∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=121902B C ︒-∠-∠=121902αβ︒-- ∴∠AED=∠B+∠BAE=121902B C ︒+∠-∠=121902αβ︒+- ∵AD 是高线，∴AD ⊥BC ，∴∠DAE=190212AED C B ︒-∠=∠-∠=1122βα-， 故答案为：1122βα-． 22．如图，在Rt △ABD 中，∠ABD ＝90°，AD ＝10，AB ＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD ，使BC ＝8，CD ＝AB ∥DC ．【答案】证明过程见解析．证明：∵在Rt △ABD 中，90ABD ∠=︒，AD=10，AB=8，∴6==，∵BC=8，CD=∴(22222268BD CD BC +=+==,∴△BDC 是直角三角形，∴90ABD BDC ∠=∠=︒，∴//AB CD ．23．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，∠B ＝90°． （1）连接AC ，求证：△ACD 是直角三角形；（2）求△ACD 中AD 边上的高．【答案】（1）证明见解析；（2）6013． （1）证明：如图连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2+BC 2＝32+42＝25，∴AC ＝5，∵CD ＝12，AD ＝13，∴AC 2+CD 2＝AD 2，∴∠ACD ＝90°，∴△ACD 是直角三角形；（2）解：过点C 作CH ⊥AD 于点H ，则S △ACD 12=AD ×CH 12=AC ×CD ， ∴12⨯13×CH 12=⨯5×12， ∴CH 6013=． ∴△ACD 中AD 边上的高为6013．24．如图，四边形ABCD 中，2AB BC CD ==，//AB CD ，90C ∠=︒，E 是BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，连接DE ．（1）求证：ABE △≌BCD △．（2）判断线段AE 与BD 的数量关系及位置关系，并说明理由．（3）若5CD =，试求AED 的面积．【答案】（1）见解析；（2）AE=BD ，AE ⊥BD ，理由见解析；（3）AED 的面积为37.5． （1）∵AB ∥CD ，∴∠ABE+∠C=180°，∵∠C=90°，∴∠ABE=90°=∠C ，∵E 是BC 的中点，∴BC=2BE ，∵BC=2CD ，∴BE=CD ，在△ABE 和△BCD 中，AB BC ABE C BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCD （SAS ）；（2）AE=BD ，AE ⊥BD ，理由如下：由（1）得：△ABE ≌△BCD ，∴AE=BD ，∵∠BAE=∠CBD ，∠ABF+∠CBD=90°，∴∠ABF+∠BAE=90°，∴∠AFB=90°，∴AE ⊥BD ；（3）∵△ABE ≌△BCD ，∴BE=CD=5，∵AB=BC=2CD=10，∴CE=BC -BE=5，∴CE=CD=5，∴△AED 的面积=梯形ABCD 的面积-△ABE 的面积-△CDE 的面积 ()1115101010555222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯ 37.5=．答：AED 的面积为37.5．。
直角三角形的性质和判定
直角三角形的性质和判定一、小题引路1、在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数为；2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．3、在△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________．4、在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________.5、顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是________6、若直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边为__________7、已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________cm时，这三条线段能组成一个直角三角形8、如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于点D、E是AC的中点，AB=6，求DE的长。
二、典例精析1、已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点。
求证：EF⊥BD2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于D ，AB 于E,求证AD=2BC.三、达标训练1、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上中线，若CD=5cm, 则AB=________。
2、.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上中线， 图中有__________个等腰三角形。
3、等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________4、三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=______________5、/如图，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于点D ，且BD ＝21AB ，则∠C 的度数是________.6、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1，则 AC=___________。
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鱼市中学八年级数学下册导学案
第1章直角三角形
1课时
课题：直角三角形的性质和判定课型：复习授课班级：142、143、144班
时间：2015年3月10日备课人：唐思梁、吴沅林
参与备课：杨树华、杨焕良、吴垚波、罗海建审核人：
学习目标：
A层、掌握解直角三角形的性质，区别斜边上的中线（或30°角所对直角边）与斜边的关系；B层、理解并运用勾股定理及其逆定理解决简单几何问题；
C层、利用作辅助线的方法解直角三角形。
学习重点：能运用勾股定理及其逆定理解决简单几何问题。
学习难点：运用所学知识计算中线、30°角所对直角边或斜边。
导学过程:
一、回顾已知引入新课
1、在Rt△ABC中，两条直角边AB、BC的长分别是103和10.
（1）计算斜边AC的长，再判定∠A的度数； C
（2）作斜边AC上的高BD，求BD的长；
（3）写出图中所有的直角三角形，再写出相等的两对锐角；
B A （4）作△ABD斜边AB的中线DE交AB于E，求DE的长； A
2、右图，AB=AC,AD是BC的中线，且AD=BD=DC,
试说明△ABC的形状
B D C
二、自主学习探究新知
1、自主学习。
已知：∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点。
（1）图中有哪些等腰三角形？求证：（2）ED=EB；(3)∠EBD=∠EDB .
B
2、合作探究。
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的
平分线，E、F分别AB、AC的中点。
求证：DE=DF F
E
D C
B
A
三、精讲点拨 精练提升 A 1、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=70°，作DE 垂直平分AB ， E
垂足为点E ，交BC 边于点D,BD=16cm ，求AC 的长。
提示：作辅助线将四边形ACDE 分成两个直角三角形。
C D B
2、如图在△ABC 中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD ⊥AC 于
点A,BD=3，（1）求BC 的长；（2）求AB 的长.
四、达标检测 当堂过关
A 层：如图，在△ABC 中，∠AC
B ＝900 ，AB ＝5cm ，B
C ＝3cm ， A
CD ⊥AB 于D ，求CD 的长. D
C B
B 层：如图，△AB
C 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝900
，作DE ⊥AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ， 求证：DE 2+DF 2=AD 2 .
C 层：如图，AE 与BC 相交于点
D ，BD=CD ，AD=ED ， A
(1)证明ΔADC ≌ΔBDE.（2）若C A ⊥AE,∠1=30°且AB=3cm ，求AC 的长。
B C E
五、布置作业 知识延伸
完成第16面习题A 、B 。
六、课后反思 教学相长
我的收获： D C
A B D 1
存在疑惑：。