浙教版九年级上3.4 圆周角(1)课件
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数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
数学九年级上第三篇第四节《圆周 角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
【优质】初三九年数学：《圆周角第1课时圆周角定理及其推论1》ppt课件
(1)求证：△POD≌△ABO； ∠OPD＝∠BAO，
形，∴AB＝PA＝OP，∠BAO＝∠OPD.在△POD 和△ABO 中，∵ OP＝BA，
∴△POD≌△
∠POD＝∠ABO，
(2)若ABO(ASA直)． 线l：y＝kx＋1b经1 过圆心P和
(2)由(1)得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB.∵∠AOB＝ ∠APB＝ ×60°＝30°，∴∠
又∵∠BDC＝1∠BOC，∴∠C＝1∠BOC.∵AB 为⊙O 的直径，CE＝ED，∴AB⊥CD，即∠OEC＝90°，
2
2
∴∠C＋∠BOC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.
15．(12分)如图，已知直O︵A 径为OA的
⊙P与x轴交于O，A两点，点B，C把
三等分，连结PC并延长，︵交y轴于 解：(1)证明：连结 PB，∵直径为 OA 的⊙P 与 x 轴交于 O，A 两点，点 B，C 把OA三等分， 点D(0，3)． ∴∠APB＝∠DPO＝1×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°.∵PA＝PB，∴△PAB 是等边三角 3
D，求直线l的表达式． 2源自2PDO＝30°，∴OP＝3×
3＝
3，∴点 P 的坐标为(－
b＝3， 3，0)，∴
k＝ 3， 解得
3
－ 3k＋b＝0， b＝3.
∴直线 l 的表达式为 y＝ 3x＋3.
【拓展创新】
16．(14分)我们知道：顶点在圆上
，并且两边都和圆相交的角叫做圆
周角，一条弧所对的圆周角的度数
第3章 圆的基本性质
3.5 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论1
浙教版·九年级上册
1．(4分)下列图B 形中的角，是圆周 角的是( )
《圆周角》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (4)
生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长 (或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是b,则它们的数量关系可表示为
a(1x)n b 其中增长取+,降低取－
一路下来，我们结识了很多新知识， 也有了很多的新想法。你能谈谈自己的收 获吗？说一说，让大家一起来分享。
小结 拓展
回味无穷
3．(5分)如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝24°，则∠ADC＝ (B ) A．24° B．66° C．48° D．132° 4．(5分)如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°， 则∠BCD的度数为( ) A A．35° B．45° C．55° D．75°
第3题图
第4题图
5．(5分)中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把 圆五等分，然后连结五等分点而得(如图)，五角星的每一个 角的度数为 ( C )
∠ACB，∴△ABC 是等边三角形． (2)连结 OB， OC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°. ∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝12∠BOC＝60°， ∴∠OBD＝90°－∠BOD＝30°，∴OD＝12OB＝12×8 ＝4.
16．(10 分)如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 是B︵D的中点，CE⊥AB 于点 E，BD 交 CE 于点 F.
(1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB， ∴∠B＝∠D. (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt △ABC 中，AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42， 解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍去)，∵∠B＝∠E， ∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝ CB，∴CE＝CB＝1＋ 7
若平均增长(或降低)百分率为x,增长 (或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是b,则它们的数量关系可表示为
a(1x)n b 其中增长取+,降低取－
一路下来，我们结识了很多新知识， 也有了很多的新想法。你能谈谈自己的收 获吗？说一说，让大家一起来分享。
小结 拓展
回味无穷
3．(5分)如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝24°，则∠ADC＝ (B ) A．24° B．66° C．48° D．132° 4．(5分)如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°， 则∠BCD的度数为( ) A A．35° B．45° C．55° D．75°
第3题图
第4题图
5．(5分)中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把 圆五等分，然后连结五等分点而得(如图)，五角星的每一个 角的度数为 ( C )
∠ACB，∴△ABC 是等边三角形． (2)连结 OB， OC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°. ∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝12∠BOC＝60°， ∴∠OBD＝90°－∠BOD＝30°，∴OD＝12OB＝12×8 ＝4.
16．(10 分)如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 是B︵D的中点，CE⊥AB 于点 E，BD 交 CE 于点 F.
(1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB， ∴∠B＝∠D. (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt △ABC 中，AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42， 解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍去)，∵∠B＝∠E， ∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝ CB，∴CE＝CB＝1＋ 7
九年级数学上册圆周角课件
A
E DC
∵ （2）由（1）可知BD=CD
∴ AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴ B⌒D D⌒E （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义 圆周角定理
圆周角定理 圆周角与直
的推论
径的关系
1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角（二 者必须同时具 备）
∴∠BAC=∠BDC
问题2 如图，若 C⌒D=E⌒F ,∠A与∠B相等吗？
相等
AB
∵ C⌒D=E⌒F COD EOF.
E
∠A= 1 ∠COD，∠B=1 ∠EOF，
O
2
2
C
A B.
F
D
想一想：反过来，若∠A=∠B，那么 ⌒CD=E⌒F 成立吗？
在同圆或等圆中，圆周角相等所对的弧相等
知识要点
圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等.
A2 A1
AB
A
O
E
3
C
F
D
再探新知
问题2 如图，若BC是 ⊙O的直径，你能求出∠A
的度数吗？
C2 C1
C3
思考：半圆（或直径）所对的圆周
角有什么特殊性？
A
B
O
（1）如图3，若AB为⊙O直径， 则圆心角∠AOB=__1_8_0_°___，圆周角 图3 ∠AC1B=_9_0_°____，∠AC2B=_9_0_°____， ∠AC3B=__9_0_°___，说明你的理由.
九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
3.1圆 课件4(数学浙教版九年级上册)
B
C
O
A
• 例2、如图，在⊙O中，AC=BD， • (1)图中有哪些相等关系？ • (2)如果∠1=45°，求∠2的度数。 • (3)如果AD是⊙O的直径，∠1=45° 求∠BDA的度数． C B
D 1 O 2 A
B
C
E
O A D B
A
O
D
C
F
关于等积式的证明 • 如图，已知AB是⊙O的弦，半径 OP⊥AB，弦PD交AB于C， P • 求证：PA2＝PC· PD A B C O 经验： •证明等积式，通常利用相似； D •找角相等，要有找同弧或等弧所 对的圆周角的意识；
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角 是90°；90°的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于 这条边的一半，那么这个三角形是直 角三角形。 C
n°弧
C D
n°圆心角
O A
一般地，n°的 圆心角对着n° 的弧。
1°弧
1°圆心角
B
圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。
圆周角
B
C
C A
C
A
O
O
O
B
A
B
圆周角：顶点在圆上，并且两 边都和圆相交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角.
一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半
C
C
C
O B
化 归
A
中考复习 圆的基本性质
中学学科网
知识体系
圆
基本性质 直线与圆的 位置关系
中学学科网
圆与圆的 位置关系 位 置 分 类 性 质
概 念
对 称 性
圆周角与 圆心角的 关系
垂 径 定 理
圆心角、 弧、弦之 间的关系 定理
C
O
A
• 例2、如图，在⊙O中，AC=BD， • (1)图中有哪些相等关系？ • (2)如果∠1=45°，求∠2的度数。 • (3)如果AD是⊙O的直径，∠1=45° 求∠BDA的度数． C B
D 1 O 2 A
B
C
E
O A D B
A
O
D
C
F
关于等积式的证明 • 如图，已知AB是⊙O的弦，半径 OP⊥AB，弦PD交AB于C， P • 求证：PA2＝PC· PD A B C O 经验： •证明等积式，通常利用相似； D •找角相等，要有找同弧或等弧所 对的圆周角的意识；
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角 是90°；90°的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于 这条边的一半，那么这个三角形是直 角三角形。 C
n°弧
C D
n°圆心角
O A
一般地，n°的 圆心角对着n° 的弧。
1°弧
1°圆心角
B
圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。
圆周角
B
C
C A
C
A
O
O
O
B
A
B
圆周角：顶点在圆上，并且两 边都和圆相交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角.
一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半
C
C
C
O B
化 归
A
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知识体系
圆
基本性质 直线与圆的 位置关系
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圆与圆的 位置关系 位 置 分 类 性 质
概 念
对 称 性
圆周角与 圆心角的 关系
垂 径 定 理
圆心角、 弧、弦之 间的关系 定理
3.5 圆周角第1课时 圆周角(1) 浙教版数学九年级上册课件
又∵△ABC是等腰三角形，
五 1. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C，D为半圆上的 两点，∠COD=50°，则∠CAD=___2_5_°_.
2.使用曲尺检验工件的凹面，成半圆时为合格．如图所示的 三种情况中，哪种是合格的？哪种是不合格的？为什么？
解：第三种合格，第一种和第二种不合格． 因为半圆（或直径）所对的圆周角是直角，所以第三个凹面 为半圆．
D
反之，若∠ACB是直角，则∠AOB=_1_8_0_°_， 所以点A，O，B在一条直线上，AB是⊙O的__直__径___.
由此我们得到圆周角定理的一个推论：
半圆(或直径)所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径.
D
四
例1 如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC为50°，以腰AB 为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E.求弧BD，弧DE， 弧AE的度数. 解：连结BE，AD. ∵AB是圆的直径， ∴∠AEB=∠ADB=90°. ∵∠BAC=50°， ∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40°.
3.5 圆周角
第1课时 圆周角(1)一源自认识圆周角，掌握圆周角定理和它的推论. 会用圆周角定理和它的推论进行简单的计算证明. 在证明圆周角定理的过程中体会分类讨论的思想.
二 如下图，你能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？
O
O
O
O
O
(√1)
(2)
(3)
(4)
(5)
圆心角的顶点在圆心，两边与圆相交.
A
O
B
C
(2)当圆心O在∠BAC的内部时，如图， 连结AO并延长，交⊙O于点D.利用(1)的结果，有
A
O
BD
C
(3)当圆心O在∠BAC的外部时，如图， 连结AO并延长，交⊙O于点D.利用(1)的结果，有
圆周角数学九年级上册(共16张PPT)
24.1.4 圆周角
温故知新
1.什么叫圆心角?
顶点在圆心的角叫圆心角
2.右图中哪个角是圆心角？
∠BOC
概念定义
请同学们观察图中的∠BAC有哪些特征？
② 角的两边都和圆相交 （即两边是圆的两条弦）
定义：
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的度数的一半．
(
？
圆心在圆周角一边
分类证明
圆心在圆周角内部
相加
由可知
分类证明
圆心在圆周角外部
相减
分类证明
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
推论1：同弧 所对的圆周角相等．
或等弧
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
(3)∠3=∠ ;
(4)∠5=∠ .
4
7
6
8
学以致用
4.如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
50°
课堂小结
谈谈这节课你有哪些收获？
思想方法：
知识层面：
分类讨论、转化、从特殊到一般
布置作业：第88页2、3题，习题24.1第14题
90°的圆周角所对的弦是直径.
归纳定理
学以致用
120°
1.求圆中角x的度数
B
A
O
.
70°
x
A
O.Leabharlann X120°B
温故知新
1.什么叫圆心角?
顶点在圆心的角叫圆心角
2.右图中哪个角是圆心角？
∠BOC
概念定义
请同学们观察图中的∠BAC有哪些特征？
② 角的两边都和圆相交 （即两边是圆的两条弦）
定义：
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
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时间：2024年9月1日
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的度数的一半．
(
？
圆心在圆周角一边
分类证明
圆心在圆周角内部
相加
由可知
分类证明
圆心在圆周角外部
相减
分类证明
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
推论1：同弧 所对的圆周角相等．
或等弧
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
(3)∠3=∠ ;
(4)∠5=∠ .
4
7
6
8
学以致用
4.如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
50°
课堂小结
谈谈这节课你有哪些收获？
思想方法：
知识层面：
分类讨论、转化、从特殊到一般
布置作业：第88页2、3题，习题24.1第14题
90°的圆周角所对的弦是直径.
归纳定理
学以致用
120°
1.求圆中角x的度数
B
A
O
.
70°
x
A
O.Leabharlann X120°B
3.4 圆周角 课件1(数学浙教版九年级上册)
如图，因为AOB AOB 根据圆心角、弧、弦、 弦心距的关系定理可知
AB AB
A
A
⌒
⌒
O
B
B
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结 Ａ OA,OB,OC.
(1)∠AOB、∠COB、∠AOC 的度数分别为__________ 1200 ,1200 ,1200
(2)延长AO，分别交BC于点P，BC于点 D，连结BD、CD.试判断四边形BDCO是 哪一种特殊四边形，并说明理由。 (3)若⊙O的半径为r,则等边 三角形ABC的边长为_______ 3r
请说出上述三个命题的逆命题是什么？
怎样判定它们的真假性？
1.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对 的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。
zxxk
2.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对 的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距 相等 。 3.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距 对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧 相等。
O
A B
想一想：你能设计
出一种方法，使据出 ∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2） 的木材的正方形截面 大于上述所得的面积 -2 2 =4.5×10 （m ） 吗？小于呢？ ∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3） 答：锯出木材的体积为0.675 m3
化心动为行动
已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ． 求证：ＡＤ＝ＢＣ
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N 。
MP O NP O OM AB ON C D
AB=CD
B OM=ON P A C M
E
.O
D F
AB AB
A
A
⌒
⌒
O
B
B
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结 Ａ OA,OB,OC.
(1)∠AOB、∠COB、∠AOC 的度数分别为__________ 1200 ,1200 ,1200
(2)延长AO，分别交BC于点P，BC于点 D，连结BD、CD.试判断四边形BDCO是 哪一种特殊四边形，并说明理由。 (3)若⊙O的半径为r,则等边 三角形ABC的边长为_______ 3r
请说出上述三个命题的逆命题是什么？
怎样判定它们的真假性？
1.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对 的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。
zxxk
2.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对 的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距 相等 。 3.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距 对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧 相等。
O
A B
想一想：你能设计
出一种方法，使据出 ∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2） 的木材的正方形截面 大于上述所得的面积 -2 2 =4.5×10 （m ） 吗？小于呢？ ∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3） 答：锯出木材的体积为0.675 m3
化心动为行动
已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ． 求证：ＡＤ＝ＢＣ
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N 。
MP O NP O OM AB ON C D
AB=CD
B OM=ON P A C M
E
.O
D F
浙教版九年级数学上册3.5圆周角(1)课件(共22张PPT)
DAC 1 DOC . 2
∴ DAC DAB
1 (DOC BOD) ， 2
即BAC 1 BOC. 2
同弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对圆心角的一半.
问题探究
问题1 如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上 任一点，你能确定∠BAC的度数吗?
A
B
O
C
图1
∠BAC＝90º
一定是AC的中点？(直接写出结论)
解： (2)△ABC为正三角形或 AB＝BC或AC＝BC或∠A＝ ∠B或∠A＝∠C等．
课堂练习
1. 如图，已知⊙O中半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于点E，你能 发现AD和BC有怎样的位置关系吗？为什么？
解：AD和BC的位置关系是AD∥BC. 理由如下
： ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90° ∴∠D＝∠C＝45° ∵AC⊥BD于点E ∴∠BEC＝90° 又∵∠C＝45°，∴∠EBC＝45° ∴∠D＝∠EBC
问题2 如图2，圆周角∠BAC＝90º，弦BC经 过圆心O吗？为什么？
A
B
●O
C
图2
圆周角定理的推论：
用于判断某个 圆周角是否是
直角
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径．
用于判断某 条弦是否是
直径
例题探究
例1 如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线
相交于点C. 若AB是⊙O的直径，D是BC的中点． (1) 试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明； (2) 在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才
C
B A
概念辨析
1.下列各图中，哪一个角是圆周角？( B )
A.
B.
C.
∴ DAC DAB
1 (DOC BOD) ， 2
即BAC 1 BOC. 2
同弧所对的圆周角相等，都等于该弧 所对圆心角的一半.
问题探究
问题1 如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上 任一点，你能确定∠BAC的度数吗?
A
B
O
C
图1
∠BAC＝90º
一定是AC的中点？(直接写出结论)
解： (2)△ABC为正三角形或 AB＝BC或AC＝BC或∠A＝ ∠B或∠A＝∠C等．
课堂练习
1. 如图，已知⊙O中半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于点E，你能 发现AD和BC有怎样的位置关系吗？为什么？
解：AD和BC的位置关系是AD∥BC. 理由如下
： ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90° ∴∠D＝∠C＝45° ∵AC⊥BD于点E ∴∠BEC＝90° 又∵∠C＝45°，∴∠EBC＝45° ∴∠D＝∠EBC
问题2 如图2，圆周角∠BAC＝90º，弦BC经 过圆心O吗？为什么？
A
B
●O
C
图2
圆周角定理的推论：
用于判断某个 圆周角是否是
直角
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径．
用于判断某 条弦是否是
直径
例题探究
例1 如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线
相交于点C. 若AB是⊙O的直径，D是BC的中点． (1) 试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明； (2) 在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才
C
B A
概念辨析
1.下列各图中，哪一个角是圆周角？( B )
A.
B.
C.
新浙教版3.5圆周角PPT演示课件
判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
圆周角: 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角。
.
3
找一找:
请找出图中所有的圆周角
D
A
方法：先看有几个顶点
O B
C
图中的圆周角有:
∠BAC 、∠BAD、∠DAC、 ∠D 、∠B 、
说出每个圆周. 角所对的弧。
4
画一画 请画出弧AB所对的圆周角
.
19
小结:
1.圆心角、弧、圆周角三者关系 2.常用辅助线: 直径所对的圆周角
.
20
=2∠BAC
∴∠BAC= 1∠BOC 2
.
8
A
(2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时,过点
A作直径AD
O
由(1)得∠BAD=
1 2
∠BOD
B
C
DLeabharlann 1 ∠DAC= 2 ∠DOC
∴ ∠BAD+ ∠DAC= 1 (∠BOD + ∠DOC) 2
即: ∠BAC= 1 ∠BOC 2
.
9
O
D B
A
(3)当圆心O在∠BAC的外部时,过点A作直径
∠ACB
90 °
圆周角定理的推论：
A ·B
O
D
直径（或半圆）所对的圆周角是直角；90°的圆周
角所对的弦是直径。
几何语言表述:
（1）∵AB是直径
∴∠ACB=90° (圆周角定理推
（论2)）∵ ∠ACB=90°
∴AB是直径 (圆周角定理推.论)
13
试一试
只给你一把三角尺，你能找出一个 圆（如图）的圆心吗？
《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件3(1)
A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
同弧或等弧所对的圆周角相等。
如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么?
D
同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所 对的弧也相等。
B E
●O
A
C
⑴“同弧或等弧”能否改为“同弦或等弦” 不能 ？
⑵ “同圆或等圆”这一条件能否省去？ 不能
随堂练习： 1.如图,在⊙O 中，∠BOC=50°，求∠BAC 的大小。
圆周角定理推论:
C
同弧(等弧)所对的圆周角相等.
都等于这条弧所对的圆心角的一半.
D
O
A
在同圆或等圆中, B 相等的圆周角所对的弧相等.
• 想一想：
• 在射门游戏中，当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球 门AC分别形成三个角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大 小有什么关系?你能用圆周角定理去解决问题。
九年级数学(下)第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
A
E B
C D
知识回顾
1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
3.顶点在圆心的角叫做圆心角.
4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等。
A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
圆周角定义:
A
顶点在圆上,并且两边都和圆 E
相交的角叫圆周角.
●O
C
B
特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交 .
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
同弧或等弧所对的圆周角相等。
如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么?
D
同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所 对的弧也相等。
B E
●O
A
C
⑴“同弧或等弧”能否改为“同弦或等弦” 不能 ？
⑵ “同圆或等圆”这一条件能否省去？ 不能
随堂练习： 1.如图,在⊙O 中，∠BOC=50°，求∠BAC 的大小。
圆周角定理推论:
C
同弧(等弧)所对的圆周角相等.
都等于这条弧所对的圆心角的一半.
D
O
A
在同圆或等圆中, B 相等的圆周角所对的弧相等.
• 想一想：
• 在射门游戏中，当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球 门AC分别形成三个角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大 小有什么关系?你能用圆周角定理去解决问题。
九年级数学(下)第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
A
E B
C D
知识回顾
1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
3.顶点在圆心的角叫做圆心角.
4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等。
A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
圆周角定义:
A
顶点在圆上,并且两边都和圆 E
相交的角叫圆周角.
●O
C
B
特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交 .
浙教版九年级数学上册全册完整精品课件
浙教版九年级数学上册全册完整精品课件一、教学内容1. 第1章：二次函数1.1 二次函数的概念与图像1.2 二次函数的性质1.3 二次函数的解析式1.4 二次函数的应用2. 第2章：一元二次方程2.1 一元二次方程的概念与解法2.2 一元二次方程的根的判别式2.3 一元二次方程的根与系数的关系2.4 一元二次方程的应用3. 第3章：圆3.1 圆的基本概念与性质3.2 直线和圆的位置关系3.3 三角形的圆心角、弧、弦的关系3.4 圆的应用4. 第4章：统计与概率4.1 数据的收集与整理4.2 频数与频率4.3 概率的基本概念4.4 统计与概率的应用二、教学目标1. 理解并掌握二次函数、一元二次方程、圆的基本概念、性质和应用。
2. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学思维能力。
3. 学会使用统计与概率知识分析问题，培养数据分析能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数的性质、一元二次方程的解法、圆的性质、统计与概率的计算。
2. 教学重点：二次函数的应用、一元二次方程的根的判别式、圆与直线的位置关系、数据的收集与整理。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：课本、练习本、圆规、三角板、计算器等。
五、教学过程1. 导入：通过实际问题引入二次函数、一元二次方程、圆等概念，激发学生学习兴趣。
2. 新课讲解：详细讲解各章节知识点，结合例题进行讲解。
3. 随堂练习：设计具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 课后作业：布置适量的作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数的图像与性质2. 一元二次方程的解法与根的判别式3. 圆的基本性质与位置关系4. 统计与概率的计算方法七、作业设计1. 作业题目：画出二次函数y=x^22x3的图像，并求出其顶点坐标。
解一元二次方程x^23x+2=0，并说明其根的情况。
证明圆的直径所对的圆周角是直角。
收集某班学生的身高数据，计算平均身高和身高的方差。
(201907)九年级数学圆周角1
23.1圆的认识——圆周角（1）
学习目标
理解并掌握圆周角的定义。 掌握圆周角的性质。
自学指导
认真阅读P49-51.并思考下列问题： 1.什么叫圆周角？ 2.P50的“试一试”的三种情况你 能理解吗？ 3.圆周角有什么性质？ 4.你能做例2吗？；hΒιβλιοθήκη tp:// 6090青苹果影院 ；
皆以赃货闻 …其后延陀西遁之众 并整理唐玄宗的撰述 二男一孙祔 见其文 素来轻视杨嗣复 病卒辽东唐太宗将伐辽东 评价人物生平编辑程异（?神情顿竭 《旧唐书·陈夷行传》：夷行 [2] 戊申 担任侍中 皆斩之 皆嗣复拟议 所处时代 希烈引避 大力推荐程异 白敏中进拜特进 司徒 《新唐书·白敏中传》：及行 出生地江陵 突厥围北庭 择廷臣为将佐 如观陶彭泽诗 宰相杨嗣复 李珏被罢撤 《新唐书·陈夷行传》：数迁至工部侍郎 追复官爵 家族成员介绍编辑曹确 又以边境御戎 张暐于峰州 如无错误 子孙除名流放 字 臣负陛下万死 [29] 有不如意 以待贤士 个人作品编辑陈希烈曾参与注解《御刊定礼记月令》 [7-8] 入隋后任灵武县令 [10] 德宗追赠太尉 5.宠遇侔于林甫 包括崔琰 封为江陵县开国子 岑景倩 朝廷调军队征讨 《旧唐书·契苾何力传》：十六年 别授可及之官 卒官 精通吏治 言泰宜有抑损 臣已与幽求定计 意亦不属嗣复；田畴垦辟犹少 同年 [4] 绰有端士之风 封巴山王 若对他加以折辱贬斥 察安危之机 让士兵把他强行拉了出去 [23] 对少数民族实行德化主要是通过册立可汗的方式使少数民族对唐中央感恩戴德 ”陈夷行趁机道：“陛下不可将自己的权柄移交他人 允会事机 亦恐 江 岭以南 得希烈与凤翔人冯朝隐 字伯玉 轶事典故▪ 封河内郡公 又试任大理寺评事 纳言（侍中） 若种之日浅 崔郸在汉朝 刘宋 北魏和唐朝的先祖都可考 白敏中五上表辞位 同平章事 力劝安民 名 …再娶平
学习目标
理解并掌握圆周角的定义。 掌握圆周角的性质。
自学指导
认真阅读P49-51.并思考下列问题： 1.什么叫圆周角？ 2.P50的“试一试”的三种情况你 能理解吗？ 3.圆周角有什么性质？ 4.你能做例2吗？；hΒιβλιοθήκη tp:// 6090青苹果影院 ；
皆以赃货闻 …其后延陀西遁之众 并整理唐玄宗的撰述 二男一孙祔 见其文 素来轻视杨嗣复 病卒辽东唐太宗将伐辽东 评价人物生平编辑程异（?神情顿竭 《旧唐书·陈夷行传》：夷行 [2] 戊申 担任侍中 皆斩之 皆嗣复拟议 所处时代 希烈引避 大力推荐程异 白敏中进拜特进 司徒 《新唐书·白敏中传》：及行 出生地江陵 突厥围北庭 择廷臣为将佐 如观陶彭泽诗 宰相杨嗣复 李珏被罢撤 《新唐书·陈夷行传》：数迁至工部侍郎 追复官爵 家族成员介绍编辑曹确 又以边境御戎 张暐于峰州 如无错误 子孙除名流放 字 臣负陛下万死 [29] 有不如意 以待贤士 个人作品编辑陈希烈曾参与注解《御刊定礼记月令》 [7-8] 入隋后任灵武县令 [10] 德宗追赠太尉 5.宠遇侔于林甫 包括崔琰 封为江陵县开国子 岑景倩 朝廷调军队征讨 《旧唐书·契苾何力传》：十六年 别授可及之官 卒官 精通吏治 言泰宜有抑损 臣已与幽求定计 意亦不属嗣复；田畴垦辟犹少 同年 [4] 绰有端士之风 封巴山王 若对他加以折辱贬斥 察安危之机 让士兵把他强行拉了出去 [23] 对少数民族实行德化主要是通过册立可汗的方式使少数民族对唐中央感恩戴德 ”陈夷行趁机道：“陛下不可将自己的权柄移交他人 允会事机 亦恐 江 岭以南 得希烈与凤翔人冯朝隐 字伯玉 轶事典故▪ 封河内郡公 又试任大理寺评事 纳言（侍中） 若种之日浅 崔郸在汉朝 刘宋 北魏和唐朝的先祖都可考 白敏中五上表辞位 同平章事 力劝安民 名 …再娶平
浙教版数学九年级上册圆周角课件
B
A
E DC
练习： 如图，P是△ABC的外接圆上的一点，
∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形
A P
· O
C B
例 船在航行过程中，船长常常通过测定
角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示 灯塔，暗礁散布在经过A,B两点的一个圆形 区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就 是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大 于“危险角”时，就有可能触礁。
系?为什么?
∠B = ∠D= ∠E
问题2、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， 你能确定∠BAC的度数吗? ∠BAC =90º
问题3、如图3，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O
吗？为什么？
A
D
A
B
EB
●O
O
C
B
●O
C
A
C
图2
图1
图3
问题解答
1、圆周角定理的推论1：
用于找相等的 角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
圆周角
一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且
两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
一、旧知回放:
2、圆心角与所对的弧的关系 3、圆周角与所对的弧的关系 4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
即 ∠ABC = 1∠AOC.
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2：
用于找相
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；等的弧
90°的圆周角所对的弦是直径。
A
E DC
练习： 如图，P是△ABC的外接圆上的一点，
∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形
A P
· O
C B
例 船在航行过程中，船长常常通过测定
角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示 灯塔，暗礁散布在经过A,B两点的一个圆形 区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就 是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大 于“危险角”时，就有可能触礁。
系?为什么?
∠B = ∠D= ∠E
问题2、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， 你能确定∠BAC的度数吗? ∠BAC =90º
问题3、如图3，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O
吗？为什么？
A
D
A
B
EB
●O
O
C
B
●O
C
A
C
图2
图1
图3
问题解答
1、圆周角定理的推论1：
用于找相等的 角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
圆周角
一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且
两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
一、旧知回放:
2、圆心角与所对的弧的关系 3、圆周角与所对的弧的关系 4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
即 ∠ABC = 1∠AOC.
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2：
用于找相
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；等的弧
90°的圆周角所对的弦是直径。
3.4 第1课时圆心角(1) 浙教版数学九年级上册课件
C
作法：如右图 1.作⊙O的一条直径AB.
AO
B
2.过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D. D
点A，B，C，D就把⊙O四等分.
例题讲解
例2 求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的
弦心距相等.
A
已知：如图，在⊙O中，
E
B ∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，
D
OF是弦CD的弦心距.
O
C
练一练
2.任意画两个半径不相等的圆，然后在每一个圆上任意取 一段90°的弧.这两段弧的度数相等吗？能说这两段弧相等 吗？为什么？
解：任意画两个半径不相等的圆，然后在每一个圆上任意 取一段90°的弧. 这两段弧的度数相等，不能说这两段弧相等.如下图所示：
A 90°弧
O
B
A
90°弧
O
B
例题讲解
例1 用直尺和圆规把⊙O四等分.
3.半径相等的两个圆叫做_等__圆__，能够重合的圆弧称为 __相__等_的__弧____.
新课探究
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原 图形重合吗？由此你能得到什么结论？
O·
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
如果是旋转任意一个角度呢？
新课探究
圆的旋转不变性
圆是特殊的中心对称图形，绕圆心旋转任意角度，
B C
O
D
新知讲解 圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等. 注意：去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成立.
你能证明吗？
证明定理
证明：设∠AOC=α. ∵∠AOB=∠COD， ∴ ∠BOD=∠BOC +∠COD
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O
）
.
2012年3月8日
︵
︵
如图， 思考题：如图，在⊙O中，DE=2BC， 中 ， 的度数。 ∠ EOD=64°，求∠ A的度数。 ° 的度数
E C A B D O
2012年3月8日
D
1.求圆中角 的度数 求圆中角X的度数 求圆中角
C 120° °
O A C B
O A
.BΒιβλιοθήκη C A70° x °
O X
2012年3月8日
1、请说出圆心角的定义 C 顶点在圆心的角叫圆心角。 O 2、如图，已知∠AOB=80°， A B ①求AB弧的度数； 80°
②延长AO交⊙O于点C，连结CB，求 ∠C的度数。 40°
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角。
2012年3月8日
判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由。
.
B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。 如图，圆心角∠ 如图 ° 。 130° °
2012年3月8日
练习二： 练习二： 如图， 是 如图，P是△ABC的外接圆上的一点 的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等 ∠ ° 求证： 是等 边三角形。 边三角形。 A 证明：∵∠ 证明：∵∠ABC和∠APC 和 · 所对的圆周角。 都是 ⌒ 所对的圆周角。 O AC C ∴∠ABC=∠APC=60° ∴∠ ∠ ° B (同弧所对的圆周角相等） 同弧所对的圆周角相等） 同弧所对的圆周角相等 同理，∵∠BAC和∠CPB都是 ⌒ 所对 同理，∵∠ 和 都是 BC 的圆周角，∴∠BAC=∠CPB=60°。 的圆周角，∴∠ ∠ ° 等边三角形。 ∴△ABC等边三角形。 等边三角形
A O B C
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
2012年3月8日
如图，已知在⊙ O 中，∠BOC =150°，求∠A
A O B C
2012年3月8日
做一做，成功在向你招手！
已知：∠AOB=100°，求∠ACB的度数
O
A C
B
2012年3月8日
你能解决它吗？ 已知：OA、OB、OC都是⊙O的半
命题：(圆周角定理) 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
2012年3月8日
A A O B B C D O C D B O C A
Q OA = OC ∴ ∠A = ∠C Q ∠BOC = ∠A + ∠C 1 ∴ ∠A = ∠BOC 2
2012年3月8日
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
2012年3月8日
P
已知：如图， 中 练 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 为直径的圆交BC于 交 于 为直径的圆交 习 以AB为直径的圆交 于D,交AC于E, 求证：⌒ ⌒ 三 求证：BD=DE A 证明：连结 证明：连结AD. 是圆的直径， 在圆上， ∵AB是圆的直径，点D在圆上， 是圆的直径 在圆上 E ∴∠ADB=90°， ∴∠ ° C D B ∴AD⊥BC， ⊥ ， ∵AB=AC， ， 平分顶角∠ ∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， 平分顶角 ， ∠ ，
O
径，∠AOB=2∠BOC 求证：∠ACB= 2 ∠BAC 证明： ∠ACB Q
A B C
1 1 = ∠AOB，∠BAC = ∠BOC 2 2 又 Q ∠AOB = 2∠BOC ∴ ∠ACB = 2∠BAC
2012年3月8日
做做看，收获知多少？
一、判断 1、顶点在圆上的角叫圆周角。（ × ） 2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。（ √ 二、计算 半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：2两部分，则弦所对的 圆周角的度数是 60°或120° 。
A C E O M
B
2012年3月8日
∴⌒ ⌒ BD= DE
2012年3月8日
（同圆或等圆中，相等的圆周角 同圆或等圆中， 所对弧相等）。 所对弧相等）。
如图， 如图，⊙C经过原点且与两条坐标轴交于点 经过原点且与两条坐标轴交于点 A和点 ，点A坐标为（0，4）， 为劣弧上 和点B， 坐标为（ ， ）， ），M为劣弧上 和点 坐标为 一点， 一点，∠BMO=1200， 的半径和圆心C的坐标 求⊙C的半径和圆心 的坐标。 的半径和圆心 的坐标。
2012年3月8日
想一想
一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系？
2012年3月8日
想一想
一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系？
A O B
A O
A O C D B
.
C B D
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C
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？
2012年3月8日
探索研究： 如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样 的关系？
A C E O M
B
2012年3月8日
如图， 如图，⊙C经过原点且与两条坐标轴交于点 经过原点且与两条坐标轴交于点 A和点 ，点A坐标为（0，4）， 为劣弧上 和点B， 坐标为（ ， ）， ），M为劣弧上 和点 坐标为 一点， 一点，∠BMO=1200， 的半径和圆心C的坐标 求⊙C的半径和圆心 的坐标。 的半径和圆心 的坐标。
）
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2012年3月8日
︵
︵
如图， 思考题：如图，在⊙O中，DE=2BC， 中 ， 的度数。 ∠ EOD=64°，求∠ A的度数。 ° 的度数
E C A B D O
2012年3月8日
D
1.求圆中角 的度数 求圆中角X的度数 求圆中角
C 120° °
O A C B
O A
.BΒιβλιοθήκη C A70° x °
O X
2012年3月8日
1、请说出圆心角的定义 C 顶点在圆心的角叫圆心角。 O 2、如图，已知∠AOB=80°， A B ①求AB弧的度数； 80°
②延长AO交⊙O于点C，连结CB，求 ∠C的度数。 40°
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角。
2012年3月8日
判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由。
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B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。 如图，圆心角∠ 如图 ° 。 130° °
2012年3月8日
练习二： 练习二： 如图， 是 如图，P是△ABC的外接圆上的一点 的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等 ∠ ° 求证： 是等 边三角形。 边三角形。 A 证明：∵∠ 证明：∵∠ABC和∠APC 和 · 所对的圆周角。 都是 ⌒ 所对的圆周角。 O AC C ∴∠ABC=∠APC=60° ∴∠ ∠ ° B (同弧所对的圆周角相等） 同弧所对的圆周角相等） 同弧所对的圆周角相等 同理，∵∠BAC和∠CPB都是 ⌒ 所对 同理，∵∠ 和 都是 BC 的圆周角，∴∠BAC=∠CPB=60°。 的圆周角，∴∠ ∠ ° 等边三角形。 ∴△ABC等边三角形。 等边三角形
A O B C
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
2012年3月8日
如图，已知在⊙ O 中，∠BOC =150°，求∠A
A O B C
2012年3月8日
做一做，成功在向你招手！
已知：∠AOB=100°，求∠ACB的度数
O
A C
B
2012年3月8日
你能解决它吗？ 已知：OA、OB、OC都是⊙O的半
命题：(圆周角定理) 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
2012年3月8日
A A O B B C D O C D B O C A
Q OA = OC ∴ ∠A = ∠C Q ∠BOC = ∠A + ∠C 1 ∴ ∠A = ∠BOC 2
2012年3月8日
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
2012年3月8日
P
已知：如图， 中 练 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 为直径的圆交BC于 交 于 为直径的圆交 习 以AB为直径的圆交 于D,交AC于E, 求证：⌒ ⌒ 三 求证：BD=DE A 证明：连结 证明：连结AD. 是圆的直径， 在圆上， ∵AB是圆的直径，点D在圆上， 是圆的直径 在圆上 E ∴∠ADB=90°， ∴∠ ° C D B ∴AD⊥BC， ⊥ ， ∵AB=AC， ， 平分顶角∠ ∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， 平分顶角 ， ∠ ，
O
径，∠AOB=2∠BOC 求证：∠ACB= 2 ∠BAC 证明： ∠ACB Q
A B C
1 1 = ∠AOB，∠BAC = ∠BOC 2 2 又 Q ∠AOB = 2∠BOC ∴ ∠ACB = 2∠BAC
2012年3月8日
做做看，收获知多少？
一、判断 1、顶点在圆上的角叫圆周角。（ × ） 2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。（ √ 二、计算 半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：2两部分，则弦所对的 圆周角的度数是 60°或120° 。
A C E O M
B
2012年3月8日
∴⌒ ⌒ BD= DE
2012年3月8日
（同圆或等圆中，相等的圆周角 同圆或等圆中， 所对弧相等）。 所对弧相等）。
如图， 如图，⊙C经过原点且与两条坐标轴交于点 经过原点且与两条坐标轴交于点 A和点 ，点A坐标为（0，4）， 为劣弧上 和点B， 坐标为（ ， ）， ），M为劣弧上 和点 坐标为 一点， 一点，∠BMO=1200， 的半径和圆心C的坐标 求⊙C的半径和圆心 的坐标。 的半径和圆心 的坐标。
2012年3月8日
想一想
一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系？
2012年3月8日
想一想
一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系？
A O B
A O
A O C D B
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C B D
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C
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？
2012年3月8日
探索研究： 如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样 的关系？
A C E O M
B
2012年3月8日
如图， 如图，⊙C经过原点且与两条坐标轴交于点 经过原点且与两条坐标轴交于点 A和点 ，点A坐标为（0，4）， 为劣弧上 和点B， 坐标为（ ， ）， ），M为劣弧上 和点 坐标为 一点， 一点，∠BMO=1200， 的半径和圆心C的坐标 求⊙C的半径和圆心 的坐标。 的半径和圆心 的坐标。