全国中考数学真题解析120考点汇编 分式的基本性质,负指数幂的运算
分式性质知识点总结
分式性质知识点总结一、分式的概念分式是由分子和分母组成的表达式，形式为a/b，其中a为分子，b为分母，a、b为整数且b≠0。
二、分式的分母不为0分式的分母不为0，这是因为分母为0时，分式的值就没有意义。
分式的分母不能为0是分式的基本性质之一。
三、分式的约分分式的约分是指将分子和分母的公因数约去得到分式的最简形式。
如2/4的最简形式为1/2，4/6的最简形式为2/3。
四、分式的等价两个分式的值相等时，称它们是等价分式，即a/b = c/d，记作a/b ≡ c/d。
例如2/3 = 4/6。
五、分式的加减当分式的分母相同时，分式的加减运算就像整数的加减一样。
当分式的分母不相同时，需要将分式化简成通分分式后再进行加减运算。
六、分式的乘法分式的乘法是分子相乘，分母相乘。
即(a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)。
七、分式的除法分式的除法是分子相除，分母相除。
即(a/b) ÷ (c/d) = (a×d)/(b×c)。
八、分式的倒数一个分式的倒数是将分子与分母交换位置得到的新的分式。
例如分式a/b的倒数是b/a。
九、分式的乘方分式的乘方是指分式本身或者分式的分子分母分别乘方。
例如(a/b)² = (a²)/(b²)，(a/b)² = (a²)/(b²)。
十、分式方程分式方程是指含有分式的方程。
解分式方程时需要化简分式并求解分式的值。
如2/x+1 = 3，则x的值为1。
十一、分式的实际应用分式的实际应用包括比例、百分比、利润、损失、利率等，这些都是日常生活中常见的分式应用。
总结：分式是数学中常见的一种数学表达式，掌握分式的性质和运算方法对于学习代数和数学计算有着重要的意义。
要熟练掌握分式的加减乘除和方程的解法，掌握这些知识点能够帮助我们更好地理解数学问题，并且在实际生活中做出正确的数学计算。
分式知识点归纳
分式知识点归纳一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子＄＼frac{A}｛B}＄就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分式的分母不能为 0，因为除数不能为 0。
如果分母 B 的值为 0，那么分式＄＼frac{A}｛B}＄就没有意义。
例如，＄＼frac{x}｛y}＄是一个分式，其中 x 是分子，y 是分母；而＄＼frac{5}｛3}＄就不是分式，因为它的分母 3 是一个常数，不含字母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即对于分式＄＼frac{A}｛B}＄，当＄B ＼neq 0$ 时，分式有意义。
例如，对于分式＄＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＄，要使其有意义，则＄x2 ＼neq 0$，即＄x ＼neq 2$。
三、分式值为 0 的条件分式值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0。
即对于分式＄＼frac{A}｛B}＄，当＄A ＝ 0$ 且＄B ＼neq 0$ 时，分式的值为 0。
例如，若分式＄＼frac{x^2 1}｛x ＋ 1}＄的值为 0，则＄x^2 1 ＝0$ 且＄x ＋ 1 ＼neq 0$。
由＄x^2 1 ＝ 0$ 可得＄x ＝＼pm 1$，又因为＄x ＋ 1 ＼neq 0$，所以＄x ＼neq 1$，因此＄x ＝ 1$ 时，该分式的值为 0。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：＄＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A ＼times C}｛B ＼times C}＄，＄＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A ＼div C}｛B ＼div C}＄（＄C ＼neq 0$）例如，＄＼frac{x}｛y} ＝＼frac{x ＼times 2}｛y ＼times 2} ＝＼frac{2x}｛2y}＄，＄＼frac{3a}｛5b} ＝＼frac{3a ＼div 3}｛5b ＼div 3} ＝＼frac{a}｛＼frac{5}｛3}b}＄五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
分式知识点归纳总结
《分式》知识点回顾及考点透视一、知识总览本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．二、考点解读考点1：分式的意义例1．（1）（2006年南平市）当x 时，分式11+x 有意义． 分析：要使分式有意义，只要分母不为0即可当x ≠-1时，分式11+x 有意义． （2）（2006年浙江省义乌市）已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1±分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点：（1）分子为零；（2）分母不为零，当x=1时，分子等于零，分母不为0，所以，当x=1时，原分式的值等于零，故应选C ． 评注：在分式的定义中，各地中考主要考查分式A B在什么情况下有意义、无意义和值为0的问题。
当B ≠0时，分式A B 有意义；当B=0时，分式A B无意义；当A=0且B ≠0时，分式A B 的值为0 考点2：分式的变形例2．（2006年山西省）下列各式与x y x y-+相等的是（ ） （A ）()5()5x y x y -+++（B ）22x y x y -+（C ）222()()x y x y x y -≠-（D ）2222x y x y-+ 解析：正确理解分式的基本性质是分式变形的前提，本例选项（C ）为原分式的分子、分母都乘以同一个不等于0的整式（x-y ）所得，故分式的值不变．考点3：分式的化简分式的约分与通分是进行分式化简的基础，特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等也必须注意的一个重要方面例2．（2006年临安市）化简：x －1x ÷(x －1x). 分析：本题要先解决括号里面的，然后再进行计算解：原式x x x x 112-÷-=)1)(1(1-+⨯-=x x x x x 11+=x 评注:分式的乘除法运算，就是将除法转化为乘法再进行约分即可．考点4：分式的求值例4．（2006年常德市）先化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．分析：本题先要将复杂的分式进行化简，然后再取一个你喜欢的值代入（但你取的值必须使分式有意义）．解：化简得：21x +，取x=0时，原式=1；评注：本题化简的结果是一个整式，如果不注意的话，学生很容易选1或-1代入，这是不行的，因为它们不能使分式有意义．考点5：解分式方程例5．（2006年陕西省）解分式方程：22322=--+x x x 分析：解分式方程的关键是去分母转化为整式方程解：)4(2)2(3)2(22-=+--x x x x ，82634222-=---x x x x ， 27-=-x 72=x ，经检验：72=x 是原方程的解，∴原方程的解为72=x 点评：解分式方程能考查学生的运算能力、合情推理等综合能力，解分式方程要注意检验，否则容易产生增根而致误！考点6：分式方程的应用例6．(2006年长春市)A 城市每立方米水的水费是B 城市的1.25倍，同样交水费20元，在B 城市比在A 城市可多用2立方米水，那么A 、B 两城市每立方米水的水费各是多少元？分析：本题只要抓住两城市的水相差2立方米的等量关系列方程即可解：设B 城市每立方米水的水费为x 元，则A 城市为1.25x 元,25.120220xx =- 解得x = 2经检验x = 2是原方程的解。
幂运算中考知识点总结
幂运算中考知识点总结一、指数和底数在幂运算中，指数和底数是两个非常重要的概念。
指数表示底数相乘的次数，底数则是进行乘方运算的数。
例如，在表达式a的n次幂中，n就是指数，a就是底数。
指数有几个基本的概念需要了解：1. 正指数和负指数正指数表示底数相乘的次数是正整数，负指数表示底数相乘的次数是负整数。
当指数为0时，任何非零数的零次幂都等于1，0的零次幂没有意义。
2. 零指数任何非零数的零次幂都等于1。
3. 幂与乘积的关系a的m次幂和a的n次幂的乘积等于a的m＋n次幂。
即a的m次幂乘以a的n次幂等于a的m＋n次幂。
4. 幂与幂的关系a的m次幂的n次幂等于a的m×n次幂。
即a的m次幂的n次幂等于a的m×n次幂。
二、幂运算的基本性质1. 乘方的取消律对于任意非零数a，b以及任意整数m，n，有以下基本性质：a的m次幂和b的m次幂相等，则a和b互为m次方根；a的m次幂和a的n次幂相等，那么m和n相等。
(前提是a不等于0)2. 乘方的运算规律对于任何非零数a和整数m，n，p，有以下基本性质：a的m次幂的n次幂等于a的m×n次幂；a的m次幂和a的n次幂的p次幂等于a的m×p次幂；a的m次幂的p次幂和a的n次幂的p次幂等于a的m＋n次幂。
3. 乘方的分配律对于任何非零数a和b以及整数m，n，有以下基本性质：a和b相乘后再进行m次幂等于a的m次幂和b的m次幂相乘；a的m次幂和a的n次幂相乘等于a的m＋n次幂。
三、幂运算的应用幂运算在实际生活和数学中有着丰富的应用，常见的应用有以下几种：1. 计算面积和体积在几何中，幂运算可以用来计算三角形、矩形、圆等的面积，以及立方体、球体等的体积。
2. 科学计数法幂运算在科学计数法中有着重要的应用，可以帮助我们用较小的数字表示非常大的数，或者较大的数字表示非常小的数。
3. 概率和统计在概率和统计中，幂运算可以用来计算事件发生的可能性，以及表示数据之间的关系。
分式知识点的总结及复习
分式知识点的总结及复习分式是数学中的一个重要概念，对于理解和解决各种问题非常有帮助。
分式的概念、性质以及操作都是数学中的基础知识点，非常值得我们重视和复习。
下面给出分式的总结及复习，希望能对大家有所帮助。
一、分式的定义和表示方法1.分式是由两个整数用除号连接起来的表达式，形如a/b，其中a和b都是整数，b不等于0。
a被称为分子，b被称为分母。
分子和分母都可以为正整数、负整数或零。
2.分式也可以表示为a÷b，即a除以b。
二、分式的化简1.如果分式的分子和分母都可以被同一个非零整数整除，则可以进行约分。
约分后得到的分式与原分式的值相等。
2.两个分数相加（减）时，要先找到它们的公共分母，然后将分子相加（减），再写上公共分母。
3.两个分数相乘时，将分子相乘，分母相乘。
4.两个分数相除时，将除号转为乘号，即分子乘以分母的倒数。
5.分子和分母同时乘以一个非零整数不改变分数的值。
这也是化简分式中常用的方法。
三、分式的乘除混合运算1.分式的乘法：把分子与分子相乘，分母与分母相乘。
然后可以进行约分。
2.分式的除法：用除号变成乘号，然后求倒数，即分子和分母交换位置。
然后进行乘法运算，可以进行约分。
四、分式的加减混合运算1.分式的加法：确定两个分式的公共分母，然后将分子相加，写上公共分母。
最后可以进行约分。
2.分式的减法：确定两个分式的公共分母，然后将分子相减，写上公共分母。
最后可以进行约分。
五、分式的化简与方程的解1.在代数中，分式经常出现在方程的求解中。
如果方程中含有分式，我们需要对方程进行化简，使得分母消失，然后求解方程。
2.常用的化简方法有通分、去括号、移项等。
六、分式的应用1.在实际生活中，分式的应用非常广泛。
比如：计算机网络中的带宽分配、物资的平均分配等都涉及到分式的应用。
2.分式在商业计算、金融投资等领域也有广泛应用。
七、分式的习题练习1.简化下列分式：(a)12/30(b)-18/12(c)40/802.求下列分式的值：(a)1/4+3/8(b)5/6-2/3(c)2/3×3/4(d)1/2÷2/33.解方程：2/(x-1)-3/(x+2)=1/(x+1)以上是分式知识点的总结及复习，对于掌握分式知识以及应用都有一定的帮助。
初二数学分式的性质重要知识点总结
初二数学分式的性质重要知识点总结
初二数学分式的性质重要知识点总结
在代数式的计算中，分式的性质知识要领运用还是很广泛的。
分式的性质
1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B=(A*C)/(B*C)，A/B=(A÷C)/(B÷C)(A,B,C为整式，且B、C≠0)。
2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
3.分式的约分步骤：
(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的'提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
5.通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。
6.分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。
同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。
分式的约分和通分是一组相反的运算过程，但其的最终目的都是一致的。
【中考数学分项真题】分式(共38题)-(解析版)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题4分式（共38题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、单选题1．（2021·陕西中考真题）计算：()23a b -=（ ）A ．621a b B ．62a bC ．521a b D ．32a b -【答案】A 【分析】根据积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂运算法则计算即可． 【详解】 解：()23621a ba b-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂等知识点，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 2．（2021·天津中考真题）计算33a ba b a b---的结果是（ ） A ．3 B ．33a b +C ．1D ．6aa b- 【答案】A 【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可． 【详解】 原式33a ba b -=-， 3()a b a b-=-3=．故选A ． 【点睛】本题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答本题你的关键．3．（2021·山东临沂市·中考真题）计算11()()a b b a-÷-的结果是（ ）A ．ab-B ．a bC ．b a-D ．b a【答案】A 【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：11a b b a ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11ab ab b b a a ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =11ab ab ab-⨯- =a b-故选A ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 4．（2021·江西中考真题）计算11a a a+-的结果为（ ） A ．1 B ．1- C ．2a a+D ．2a a- 【答案】A 【分析】直接利用同分母分式的减法法则计算即可． 【详解】 解：11111a a aa a a a++--===． 故选：A ． 【点睛】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A ．1x + B ．21x -C ．11x + D ．()21x +【答案】C【分析】分别找到各式为0时的x 值，即可判断． 【详解】解：A 、当x =-1时，x +1=0，故不合题意； B 、当x =±1时，x 2-1=0，故不合题意； C 、分子是1，而1≠0，则11x +≠0，故符合题意； D 、当x =-1时，()210x +=，故不合题意； 故选C ． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 6．（2021·浙江宁波市·中考真题）要使分式12x +有意义，x 的取值应满足（ ） A ．0x ≠ B ．2x ≠-C ．2x ≥-D ．2x >-【答案】B 【分析】由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】 解：分式12x +有意义， 20,x ∴+≠2.x ∴≠-故选：.B 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键． 7．（2021·浙江金华市·中考真题）12a a+=（ ） A ．3 B ．32aC ．22aD ．3a【答案】D 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】 解：原式123a a+==， 故选：D ． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 8．（2021·四川南充市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．232496b a b a b ⋅= B ．2312332b b ab a ÷=C ．11223a a a += D ．2112111a a a -=-+- 【答案】D 【分析】根据分式的加减乘除的运算法则进行计算即可得出答案 【详解】 解：A.2324916b a a b b⋅=，计算错误，不符合题意； B. 2231213=333221b a ab a ab b b÷=⨯，计算错误，不符合题意；C.23111=2222a a a a a+=+，计算错误，不符合题意； D.+--=--+---22211112=11111a a a a a a a ，计算正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了分式的加减乘除的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键9．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，则b aa b+等于（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A 【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果． 【详解】解：∵22=b a b a a b ab++，∵()2222==a b ab b a b a a b ab ab+-++， ∵两个不等于0的实数a 、b 满足0a b +=，∵()22-2===-2a b ab b a ab a b ab ab+-+， 故选：A ． 【点睛】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．10．（2021·四川眉山市·中考真题）化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．1a + B ．1a a+ C ．1a a- D ．21a a + 【答案】B 【分析】小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简． 【详解】 解：原式()()()()221111111=11a a a a a aa a a a a a+-+--++⨯=⨯=-- 故答案是：B ． 【点睛】本题考察分式的运算和化简、因式分解，属于基础题，难度不大．解题关键是掌握分式的运算法则． 11．（2021·四川遂宁市·中考真题）下列说法正确的是（ ） A ．角平分线上的点到角两边的距离相等B ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，x π，42b a+是分式D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【答案】A【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C.在代数式1a ，2x，xπ，985，42ba+，13y+中，1a，42ba+是分式，故选项错误；D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；故选：A．【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．二、填空题12．（2021·0(1)π-=__________．【答案】2【分析】根据算数平方根的定义和零指数幂的性质进行计算即可．【详解】(1)3-1=2π-=；故答案为：2【点睛】本题考查了算数平方根和零指数幂，熟练掌握性质是解题的关键．13．（2021·浙江中考真题）计算：122-⨯=_____．【答案】1【分析】根据负整指数幂的意义，可得答案．【详解】解：1122212-⨯=⨯=，故答案为：1． 【点睛】本题考查了负整指数幂，熟知负整数指数为正整数指数的倒数是解题的关键． 14．（2021·四川自贡市·中考真题）化简：22824a a -=-- _________． 【答案】22a + 【分析】利用分式的减法法则，先通分，再进行计算即可求解． 【详解】 解：22824a a --- ()()28222a a a =--+- ()()()()()2282222a a a a a +=-+-+-()()()2222a a a -=+-22a =+， 故答案为：22a +． 【点睛】本题考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键．15．（2021·四川遂宁市·中考真题）若20a -=，则b a =_____． 【答案】14【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，然后计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， a −2=0，a +b =0，解得a =2，b =-2， ∵2124ba -==． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了两个非负数之和为零的性质，绝对值与算术平方根的非负性，负整数指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键．16．（2021·四川乐山市·中考真题）计算：0(2021)π-=__________．【答案】1 【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案． 【详解】解：0(2021)1π-=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查零指数幂，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 17．（2021·四川资阳市·中考真题）若210x x +-=，则33x x-=_________． 【答案】3 【分析】先由210x x +-=可得21x x -=，再运用分式的减法计算33x x-，然后变形将21x x -=代入即可解答．【详解】解：∵210x x +-= ∵21x x -=∵()2231333333x x x x x x x x---====．故填：3． 【点睛】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为解答本题的关键．18．（2021·四川南充市·中考真题）若3n m n m +=-，则2222m n n m+=_________ 【答案】174【分析】先根据3n m n m +=-得出m 与n 的关系式，代入2222m n n m+化简即可； 【详解】 解：∵3n mn m+=-， ∵()3n m n m +=-， ∵2n m =，∵22222222417+=44m n m m n m m m += 故答案为：174【点睛】本题考查了分式的混合运算，得出2n m =是解决本题的关键．19．（2021·浙江丽水市·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数,a b 同时满足2222,22a a b b b a +=++=+，求代数式b aa b+的值．结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当a b =时，a 的值是__________． （2）当ab 时，代数式b aa b+的值是__________． 【答案】2-或1 7 【分析】（1）将a b =代入222a a b +=+解方程求出a ，b 的值，再代入222b b a +=+进行验证即可； （2）当a b 时，求出30++=a b ，再把b aa b+通分变形，最后进行整体代入求值即可． 【详解】解：已知222222a a b b b a ⎧+=+⎨+=+⎩①②，实数a ，b 同时满足∵，∵，∵-∵得，22330a b a b -+-= ∵()(3)0a b a b -++= ∵0a b -=或30++=a b ∵+∵得，22+=4a b a b --（1）当a b =时，将a b =代入222a a b +=+得，220a a +-=解得，11a =，22a =- ∵11b =，22b =-把=1a b =代入222b b a +=+得，3=3，成立； 把=2a b =-代入222b b a +=+得，0=0，成立； ∵当a b =时，a 的值是1或-2 故答案为：1或-2； （2）当ab 时，则30++=a b ，即=3a b +-∵22+=4a b a b -- ∵22+=7a b∵222()=+2+9a b a ab b += ∵1ab =∵227=71b a a b a b ab ++== 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．三、解答题20．（2021·四川广安市·中考真题）先化简：2221211a a a a a a -+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭，再从-1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值． 【答案】1a ，12【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a 的值代入计算即可． 【详解】解：2221211a a a a a a -+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭=()()()()21112111a a a a a a a a -+⎡⎤÷-+-⎢+⎣+⎥⎦=()()()()211111a a a a a a +-+⨯--=1a由原式可知，a 不能取1，0，-1， ∵a =2时，原式=12． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．21．（2021·湖南邵阳市·中考真题）先化简，再从1-，0，1，21中选择一个合适的x 的值代入求值．2211121x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭． 【答案】1;11x --（答案不唯一） 【分析】小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简，再结合分式有意义的条件和除数不为0，即可代值计算．【详解】解：原式()()()()()()2211111=1111111x x x xx x x x x x x +++-⨯=⨯=++-++-- 代数式有意义，分母和除数不为0∴()()110x x +-≠即1x ≠± ∴当0x =时，原式=111101x ==---（答案不唯一）． 【点睛】本题考察分式的化简求值、分式有意义的条件、因式分解和分母有理化，属于基础题，难度不大．解题的关键是掌握分式的运算法则和分式有意义的条件．22．（2021·江苏苏州市·中考真题）先化简再求值：21111x x x -⎛⎫+⋅⎪-⎝⎭，其中1x =．【答案】1x +【分析】先算分式的加法，再算乘法运算，最后代入求值，即可求解． 【详解】 解：原式()()111111x x x x x x+--+=⋅=+-．当1x =时，原式=【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键．23．（2021·四川成都市·中考真题）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中3=a ．【答案】13a +【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷⎪+++⎝⎭2311(3)a a a a ++=⋅++ 13a =+，当3=a 时，原式3===． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 24．（2021·江苏扬州市·中考真题）计算或化简：（1）013|tan603⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭； （2）()11a b a b ⎛⎫+÷+ ⎪⎝⎭．【答案】（1）4；（2）ab 【分析】（1）分别化简各数，再作加减法；（2）先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算． 【详解】解：（1）013|tan603⎛⎫-++︒ ⎪⎝⎭=13+=4；（2）()11a b a b ⎛⎫+÷+ ⎪⎝⎭ =()a b a b ab ++÷=()aba b a b+⨯+=ab【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．25．（2021·甘肃武威市·中考真题）先化简，再求值：2224(2)244x x x x x --÷--+，其中4x =． 【答案】42,23x --+ 【分析】小括号内先通分计算，将除法变成乘法并因式分解，根据乘法法则即可化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式2242(2)()22(2)(2)x x x x x x x --=-⨯--+- 4222x x x --=⨯-+ 42x =-+ 当4x =时，原式42423=-=-+． 【点睛】本题考察分式的化简求值，难度不大，属于基础题型．解题的关键在于熟悉运算法则和因式分解． 26．（2021·甘肃武威市·中考真题）计算：011(2021)()2cos 452π--+-︒．【答案】3 【分析】先进行零指数幂和负整数指数幂，余弦函数值计算，再计算二次根式的乘法，合并同类项即可． 【详解】解：011(2021)()2cos 452π--+-︒，1222=+-⨯，3=-【点睛】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，特殊角三角函数值，掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．27．（2021·云南中考真题）计算：201tan 452(3)1)2(6)23-︒-++-+⨯-． 【答案】6 【分析】原式分别利用乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，乘法法则分别计算，再作加减法． 【详解】解：201tan 452(3)1)2(6)23-︒-++-+⨯- =1191422++--=6 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2021·山东泰安市·中考真题）（1）先化简，再求值：23169111a a a a a a --+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中3a =+； （2）解不等式：7132184x x ->--．【答案】（1）3aa --；1-（2）1x < 【分析】（1）先根据分式混合运算法则化简，然后代入条件求值即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：（1）原式2231111(3)a a a a a --++=⋅+- 2(3)11(3)a a a a a --+=⋅+-3aa =--当3a =+时，原式1===--（2）8(71)2(3x 2)x -->-87164x x -+>- 7649x x -->-- 1313x ->- 1x <．【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式等，掌握相应的运算法则，注意分母有理化是解题关键．29．（2021·浙江温州市·中考真题）（1）计算：()0438⨯-+--．（2）化简：()()215282a a a -++． 【答案】（1）-6；（2）22625a a -+． 【分析】（1）直接利用有理数乘法法则以及绝对值的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案； （2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算再合并即可得出答案． 【详解】解：（1）()0438⨯-+-12831=-+-+6=-；（2）()()215282a a a -++ 2210254a a a a =-+++ 22625a a =-+．【点睛】此题主要考查了实数运算、整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．30．（2021·四川资阳市·中考真题）先化简，再求值：222211111x x x x x x ⎛⎫++-÷ ⎪---⎝⎭，其中30x -=． 【答案】原式=13．【分析】利用分式的混合运算法则进行化简，再将3x =代入原式，即可求解． 【详解】解：原式=()()()22111111x x x x x x⎡⎤+--⋅⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦ =211111x x x x x+-⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭ =211x x x x -⋅- =1x303x x -=∴=将3x =代入原式，原式=13． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算．需要掌握分式的混合运算法则、完全平方公式、平方差公式、同分母分式相加减等相关知识．进行分式的混合运算时，要细心． 31．（2021·重庆中考真题）计算（1）()()22x y x x y -++；（2）2241244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭． 【答案】（1）222x y +；（2）22a - 【分析】（1）利用完全平方公式和整式的乘法运算法则计算即可； （2）根据分式混合运算的运算法则计算即可． 【详解】解：（1）()()22x y x x y -++ =x 2﹣2xy +y 2+x 2+2xy =2x 2+y 2；（2）2241244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭ =22(2)(2))22(2)a a a a a a a ++--÷+++（ =22(2)2(2)(2)a a a a +⨯++- =22a -． 【点睛】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．32．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知112,1x y x y-=-=，求22x y xy -的值． 【答案】-4 【分析】根据已知求出xy =-2，再将所求式子变形为()xy x y -，代入计算即可．【详解】解：∵2x y -=， ∵1121y x x y xy xy---===， ∵2xy =-，∵()()22224xy x x y xy y ==---⨯=-．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．33．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）（1）计算：12sin 30-+︒；（2）化简并求值：11a a -+，其中12a =-．【答案】（1）（2）11a +，2【分析】（1）先分别化简负整数指数幂，二次根式，特殊角三角函数，然后再计算； （2）先计算异分母分式的减法进行化简，然后代入求值． 【详解】解：（1）12sin 30-︒1122=+=（2）11aa -+ 11a aa +-=+ =11a + 当12a =-时，原式12112==-+． 【点睛】本题考查负整数指数幂，特殊角三角函数及异分母分式的加减法计算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．34．（2021·四川遂宁市·中考真题）先化简，再求值：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭，其中m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m 是整数． 【答案】32m m --；12【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m 的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭222(2)99(2)33m m m m m m ⎛⎫--÷+ ⎪---⎝⎭=2223m m m m ÷--= 2232m m m m -⋅-= 32m m --=， ∵m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ∵3-2＜m ＜3+2，即1＜m ＜5， ∵m 为整数， ∵m =2、3、4， 又∵m ≠0、2、3 ∵m =4， ∵原式=431422-=-． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 35．（2021·四川泸州市·中考真题）化简：141()22a a a a a --+÷++． 【答案】1a -． 【分析】首先将括号里面进行通分运算，进而合并分子化简，再利用分式除法法则计算得出答案． 【详解】 解：141()22a a a a a --+÷++ =22141()222a a a a a a a +--+÷+++ =221122a a a a a -+-÷++ =2(1)221a a a a -++- =1a -． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行分式的通分运算是解答此题的关键．36．（2021·四川泸州市·中考真题）计算：0120211423cos304． 【答案】12．【分析】根据零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．【详解】 解：0120211423cos304314423 144312=．【点睛】本题考查了零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值等知识点，熟悉相关知识点是解题的关键37．（2021·重庆中考真题）计算：（1）2(23)()a a b a b ++-； （2）22293211x x x x x x ⎛⎫--÷+ ⎪+++⎝⎭． 【答案】（1）223++a ab b ；（2）-31x x + 【分析】（1）根据单项式乘以多项式以及完全平方公式计算即可；（2）利用分式的混合运算法则进行计算即可．【详解】解：（1）2(23)()a a b a b ++- 2222+3+2+=a ab a ab b -22=3++a ab b（2）22293211x x x x x x ⎛⎫--÷+ ⎪+++⎝⎭()()()222+3-3+3=11+x x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭()()()2+3-31=31x x x x x +++ -3=1x x + 【点睛】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．38．（2021·四川乐山市·中考真题）已知2612(1)(2)A B x x x x x --=----，求A 、B 的值． 【答案】A 的值为4，B 的值为-2【分析】根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，即可得到答案．【详解】(2)(1)12(1)(2)(1)(2)A B A x B x x x x x x x ---=+------， ∵(2)(1)26(1)(2)(1)(2)A xB x x x x x x -+--=----， ∵(2)(1)26A x B x x -+-=-，即()(2)26A B x A B x +-+=-．∵226A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得：42A B =⎧⎨=-⎩ ∵A 的值为4，B 的值为2-．【点睛】本题考查了分式、整式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、整式加减运算、二元一次方程组的性质，从而完成求解．。
2024年中考数学一轮复习考点03 分式(精讲)(解析版)23
考点03.分式（精讲）【命题趋势】分式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，其中分式的有意义（无意义）和分式值为零（负数、正数、整数等）、最简分式等概念，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算（化简求值）考查常以选择题、填空题、计算题的形式命题。
【知识清单】1：分式的相关概念（☆☆）（1）分式的概念：如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A 为分子，B 为分母。
（2）对于分式A B 来说：①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0；④当A =B ≠0时，分式的值为1；⑤若A B >0，则A 、B 同号，若AB<0，则A 、B 异号。
2：分式的性质（☆☆）（1）分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A CC B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式。
（2）约分及约分法则1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。
（3）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。
（4）通分及通分法则1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分。
2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。
【初中数学】中考数学分式知识点精讲
【初中数学】中考数学分式知识点精讲
【—
高中入学考试
数学分式精讲】对于数学的学习，下面是老师对分式知识的内容讲解，希望给同学们
的学习很好的帮助哦。
小部分
1、分式定义：形如的式子叫分式，其中a、b是整式，且b中含有字母。
（1）分数无意义：当B=0时，分数无意义；当B≠ 0，分数是有意义的。
（2）分
数的值是0：当a=0，B≠ 0，分数的值等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
方法是
把分子、分母因式分解，再约去公因式。
（4）最简单分数：当一个分数的分子和分母之间没有公因子时，它被称为最简单分数。
如果分数运算的最终结果是分数，则必须将其简化为最简单的分数。
（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫
做分式的通分。
（6）最简单公分母：每个分数的分母与所有因子的最高幂的乘积。
（7）有理公式：积分和分数统称为有理公式。
2、分式的基本性质：
（1）（2）分子分母的任何分母的符号不变，且分母的分母的符号发生变化。
3、分式的运算：
（1）加减法：加减分母相同的分数。
分母不变，分子加减；加减不同分母的分数。
首先把它们分成分母相同的分数，然后加和减。
（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（3）除以：除以一个分数等于乘以它的倒数。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
学生可以很好地掌握上述数学分数知识的讲解和学习。
稍后，我们将总结并学习更多
知识点。
数学中考《第五章 分式》知识点聚焦
第五章 分式知能图谱分式的有关概念⎩⎪⎨⎪⎧区分豆芽和分式：分母中是否含有字母分工有意义的条件：分母不为0分工的值为0的条件：分子为0，分母不为0最简公分母⎩⎪⎨⎪⎧系数：取各分母系数的最小公倍数字母因式：一是各分母中所有字母(或因式)都要取到；二是同底数幂取次数最高的依据：分式的基本性质A A MB B M ⋅=⋅，A A M B B M÷=÷(M 是不等于0的整式) 关键：确定最简公分母 依据：分式的基本性质方法：⎩⎨⎧⎭⎬⎫分子、分母是单项式的约分分子、分母是多项式的约分最简分式或整式 关键：确定分子与分母的公因式分式的加减⎩⎪⎨⎪⎧同分母分式相加减b c b ca a a±±=异分母分式相加减b d bc ada c ac±±=分式的乘除⎩⎪⎨⎪⎧分式的乘法()0,0b d bda c a c ac⋅=≠≠分式的除法()0,,0b d b c bca c d a c a d ad÷=⋅=≠≠≠分式的乘方nnn a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭(n 为正整数，0b ≠)分式的混合运算：结果化为最简分式或整式第11讲 分式及其性质知识能力解读知能解读 (一)分式的概念分式通分约分 分式的基本性质分式的运算一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫作分式．分式会AB中A 叫作分子，B 叫作分母． 注意：(1)判断一个式子是否为分式，关键是看分母中是否有字母．(2)分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母，如12，2x 是整式，而2x是分式． (3)分式有无意义的条件：①若0B ≠，则分式A B 有意义；②若0B =，则分式AB无意义．(4)分式的值为零的条件：若{0A B =≠，则分式A B的值为零，反之也成立． (二)分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是：A A MB B M ⋅=⋅，()0A A M M B B M÷=≠÷，其中A ，B ，M 是整式． 注意：(1)分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆．利用分式的基本性质，可以在不改变分式的值的条件下，对分式作一系列的变形．(2)当分式的分子(或分母)是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子(或分母)用括号括上．再将分子与分母同乘(或除以)相同的整式． (三)约分、最简分式及通分的概念(1)约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式，找公因式的方法：(1)当分子和分母都是单项式时，先找出它们系数的最大公约数，再确定相同字母的最低次幂，它们的乘积就是分子与分母的公因式．(2)当分子、分母是多项式时，先将分子、分母因式分解，把分子、分母化为几个因式的积后，再找出分子、分母的公因式．约分应注意一定要把公因式约尽，还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式．当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项．例如2233a x ab x b+=+是错误的．(2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式．判断一个分式是否为最简分式，关键是确定其分子与分母是否有公因式(1除外)．分式的约分，一般要约去分子和分母的所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式． 注意：(1)最简分式与小学学过的最简分数类似．(2)最简分式是对一个独立的分式而言的，最大的特点是只有一条分数线．形如322x y++，233ax y ++的分式都不是最简分式． (3)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．(4)最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积，叫作最简公分母． 注意：确定最简公分母的一般方法：(1)如果各分母都是单项式，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的．这样得到的积就是最简公分母．(2)如果各分母都是多项式，就要把它们分解因式，再按照分母是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求．方法技巧归纳方法技巧 (一)应用分式概念解题的规律1．分式的判别方法根据定义判定式子AB是否为分式要注意两点：一是A ，B 都是整式，二是B 中含字母且0B ≠．判断一个代数式是否为分式，还应注意不能把原式变形(如约分等)，而只能根据它的最初形式进行判断．如根据()()()()22222a b a b a b a b a b a b +---==++，判定()222a b a b -+不是分式，这是错误的．2．对分式有无意义或值为0的条件判断 (二)分式基本性质的应用分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键．利用分式的基本性质可将分式恒等变形，化简分式，简化计算等．1．约分 2．通分(三)分式值的特殊情况(拓展)1．分式的值为1或1-的讨论若分成()10AB B=≠，则A B =，反之也成立；若分式()10A B B =-≠，则A 与B 互为相反数，反之也成立．2．分式的值为正数的讨论 分式的值为正数时，分式的分子与分母同号，利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范围．3．分式的值为负数的讨论 分式的值为负数时，分式的分子与分母异号，利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范范围．4．分式的值为整数的讨论若分式的值为整数，则分母必为分子的约数，利用这一关系可对分母进行讨论．易混易错辨析易混易错知识1．误认为只要分子等于0，就能使分式的值为0．2．利用分式基本性质把分子、分母都乘(或除以)非零整式M 时，只乘(或除以)其中某些项，有漏乘(或漏除)的项．3．分式变号时极易出错，易误只将分子或分母的第一项改变符号． 易混易错 (一)分式基本性质的误用 (二)忽视分式值为0的前提条件 (三)约分时易出现符号错误 (四)确定最简公分母出错中考试题研究中考命题规律本讲考点是考查分式有无意义、分式的值为零条件的判断，以及用分式基本性质进行变形；以填空题、选择题及简单的解答题的形式出现． 中考试题 (一)对分式概念的理解 (二)分式基本性质的应用 (三)确定最简公分母第12讲 分式的运算知识能力解读知能解读 (一)分式的乘除法分式的乘除法与分数的乘除法类似，法则如下：(1)乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示是：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．(2)除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示是：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．(3)分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示是：n nna ab b⎛⎫=⎪⎝⎭(n是正整数)．注意：(1)法则中的字母a，b，c，d所代表的可以是单项式，也可以是多项式．(2)运算的结果必须是最简分式或整式．(二)分式的加减法1．同分母分式加减法的法则与同分母的分数加减法类似，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：a b a bc c c±±=．注意：(1)“同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减，即当分子是多项式时，应将各分子加括号，括号不能省略，(2)运算结果必须化为最简分式或整式．2．异分母分式加减法的法则与异分母的分数加减法类似，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示是：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．(三)分式的混合运算分式的混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后算加减；遇到括号，先算括号内的；在同级运算中，从左向右依次进行．注意：(1)实数的运算律对分式同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度．(2)结果必须化为最简分式或整式．(3)分子或分母的系数是负数时，要把“－”提到分数线的前边．(4)对于分式的乘除混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，分子、分母是多项式时，可先将分子、分母分解因式，再相乘．方法技巧归纳方法技巧(一)分式的乘除法及乘方运算的解题技巧1．分式的乘除法分式的乘除运算可以统一成乘法运算，分式的乘法一般情况下是先约分再相乘，这样做省时简单易行，又不易出错；当除式(或被除式)是整式时，可以看作分母是1的式子，然后再按分式的乘除法则计算．2．分式的乘方做分式乘方时，一是注意养成先确定结果的符号，再做其他运算的良好习惯；二是注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减．(二)分式加减运算的解题技巧分式的加减法与分数的加减法的运算法则实质是相同的，分为同分母加减法和异分母加减法，所不同的是分式的加减运算比分数的加减运算要复杂得多，它是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用．分式加减运算需要运用较多的基础知识，运算步骤增多，符号变换复杂，解题方法灵活多样．(三)分式化简、求值的解题技巧分式的化简、求值问题，一是化简要求值的分式，只要能化简就考虑化简；二是化简已知条件，化到最简后，再考虑代入求值．(四)分式混合运算的解题技巧分式的混合运算，除了掌握运算顺序外，在运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律使运算简化，值得提醒的是最后结果必须是最简分式或整式． (五)分式通分的解题技巧分式的加减运算，分同分母分式相加减和异分母分式相加减，对于异分母分式的加减法，有时直接通分会很繁琐，我们可以根据式子的特点，灵活的采用不同的方法通分，从而起到事半功倍的效果．1．分组通分 2．逐项通分3．公式()11111n n n n =-++的运用 易混易错辨析易混易错知识在分式的乘除运算或混合运算中，运算顺序易出错．在分式的混合运算中，若有括号，先算括号里面的，同级运算应按从左到右的顺序依次进行．易混易错 (一)运算顺序有误 (二)分子符号出错(三)运算结果不是最简分式 (四)错用运算律中考试题研究中考命题规律本讲考查的知识面广，综合性强．中考热点是分式的运算及分式的化简、求值，常与二次根式、三角函数等知识结合起来命题，题型以解答题为主，也出现填空题．近几年又出现了开放式的新题型，应给予关注． 中考试题 (一)分式的加减 (二)分式的乘除 (三)分式的混合运算 (四)分式的化简求值。
2017年全国中考真题分类汇编 7.分式与分式方程
分式与分式方程考点一、分式 （8~10分）1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质 （1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则;;bcadc d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯一、选择题1．（2017·山东省滨州市·3分）下列分式中，最简分式是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2017·山东省德州市·3分）化简﹣等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣3.（2017·广西百色·3分）A、B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是（）A．﹣＝30 B．﹣＝C．﹣＝D．＋＝304.（2017·广西桂林·3分）当x＝6，y＝3时，代数式（）•的值是（）A．2 B．3 C．6 D．95. （2017·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝6. （2017·重庆市A卷·4分）函数y＝中，x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣27.（2017贵州毕节3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（）A．B．C．D．8．（2017海南3分）解分式方程，正确的结果是（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．无解10. （2017·湖北武汉·3分）若代数式在31x实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3 D．x＝312.（2017·四川攀枝花）化简＋的结果是（）13．（2017·四川内江）甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地，已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C 地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( ) A ．1102x +＝100x B ．1100x ＝1002x + C ．1102x -＝100xD ．1100x ＝1002x - 14．（2017·四川内江）在函数y 3x -x 的取值范围是( )A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ＞4D ．x ≥3且x ≠415．（2017·四川南充）某次列车平均提速20km /h ，用相同的时间，列车提速行驶400km ，提速后比提速前多行驶100km ，设提速前列车的平均速度为xkm /h ，下列方程正确的是（ ）A ． ＝B ． ＝C ． ＝D ． ＝16. （2017·黑龙江龙东·3分）关于x 的分式方程＝3的解是正数，则字母m 的取值范围是（ ）A ．m ＞3B ．m ＞﹣3C ．m ＞﹣3D ．m ＜﹣317．（2017·黑龙江齐齐哈尔·3分）若关于x 的分式方程＝2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ）A ．1，2，3B ．1，2C ．1，3D ．2，318．（2017·湖北荆门·3分）化简的结果是（ ）A ．B ．C ．x ＋1D ．x ﹣119.（2017·内蒙古包头·3分）化简（）•ab ，其结果是（ ）A ．B ．C ．D ．20. （2017·山东潍坊·3分）计算：20•2﹣3＝（ ）A ．﹣B ．C ．0D ．821. （2017·山东潍坊·3分）若关于x 的方程＋＝3的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜B ．m ＜且m ≠C ．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m ≠﹣ 22. （2017·四川眉山·3分）已知x 2﹣3x ﹣4＝0，则代数式的值是（ ）A ．3B ．2C ．D ． 二、填空题1.（2017·山东省济宁市·3分）已知A ，B 两地相距160km ，一辆汽车从A 地到B 地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h 到达，这辆汽车原来的速度是 km /h ．2. （云南省昆明市·3分）计算：﹣＝ ．3. （2017·浙江省湖州市·4分）方程＝1的根是x ＝ ．4.（2017·贵州安顺·4分）在函数中，自变量x 的取值范围是 ．5．（2017贵州毕节5分）若a 2＋5ab ﹣b 2＝0，则的值为 ．6．（2017·四川南充）计算： ＝ ．7．（2017·四川攀枝花）已知关于x 的分式方程＋＝1的解为负数，则k 的取值范围是 ．8．（2017·四川泸州）分式方程﹣＝0的根是 ．9．（2017·四川内江）化简：(23a a -＋9)÷3a +＝______． 10. （2017·湖北荆州·3分）当a ＝﹣1时，代数式的值是 ．三、 解答题1. （2017·湖北随州·6分）先化简，再求值：（﹣x ＋1）÷，其中x ＝﹣2．2. （2017·湖北随州·6分）某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．3. （2017·吉林·5分）解方程：＝．4. （2017·江西·6分）先化简，再求值：（＋）÷，其中x＝6．5. （2017·辽宁丹东·10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？6.（2017·四川泸州）化简：（a＋1﹣）•．7．（2017·四川宜宾）2017年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？8.（2017·四川宜宾）化简：÷（1﹣）9.（2017·黑龙江龙东·6分）先化简，再求值：（1＋）÷，其中x＝4﹣tan45°．10．（2017·黑龙江齐齐哈尔·5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2＋2x﹣15＝0．11．（2017·湖北黄石·6分）先化简，再求值：÷•，其中a＝2017．12．（2017·湖北荆州·12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k＝m＋2，n＝1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．13.（2017·青海西宁·7分）化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．14. （2017·陕西）化简：（x﹣5＋）÷．15. （2017·四川眉山）先化简，再求值：，其中a＝3．16. （2017·四川眉山）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，A、B两种型号车的进货和销售价格如表：17．（2017·山东省滨州市·4分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a ＝．18．（2017·山东省东营市·4分）化简，再求值：（a ＋1－4a －5a －1）÷（1a －1a 2－a ），其中a ＝2＋3．19．（2017·山东省东营市·8分）东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；(2)2017年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？20．（2017·山东省菏泽市·3分）列方程或方程组解应用题：为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）21. （2017·重庆市A卷·5分）（＋x﹣1）÷．22. （2017·重庆市B卷·5分）÷（2x﹣）23. （2017·浙江省绍兴市·4分））解分式方程：＋＝4．24.（2017·福建龙岩·6分）先化简再求值：，其中x＝2＋．25.（2017·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？26.（2017·贵州安顺·10分）先化简，再求值：1211)1(+-+÷-x x x ），从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x 值代入．27.（2017·黑龙江哈尔滨·7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a ＝2sin 60°＋tan 45°．28.（2017·黑龙江哈尔滨·10分）早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？29．（2017广西南宁）在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？30．（2017河南）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．答案分式与分式方程一、选择题1．（2017·山东省滨州市·3分）下列分式中，最简分式是（）A．B．C．D．【考点】最简分式．【专题】计算题；分式．【分析】利用最简分式的定义判断即可．【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；B、原式＝＝，不合题意；C、原式＝＝，不合题意；D、原式＝＝，不合题意，故选A【点评】此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式．2．（2017·山东省德州市·3分）化简﹣等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】分式的加减法．【专题】计算题；分式．【分析】原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝＋＝＋＝＝，故选B【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.（2017·广西百色·3分）A 、B 两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A 地出发到B 地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x 千米/小时，则所列方程是（ ）A ．﹣＝30 B ．﹣＝C ．﹣＝ D ．＋＝30【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设甲车平均速度为4x 千米/小时，则乙车平均速度为5x 千米/小时，根据两车同时从A 地出发到B 地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可．【解答】解：设甲车平均速度为4x 千米/小时，则乙车平均速度为5x 千米/小时，根据题意得，﹣＝．故选B ．4.（2017·广西桂林·3分）当x ＝6，y ＝3时，代数式（）•的值是（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9 【考点】分式的化简求值．【分析】先对所求的式子化简，然后将x ＝6，y ＝3代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（）•＝＝，当x ＝6，y ＝3时，原式＝，故选C ．5. （2017·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：由题意可得，﹣＝，故选C．6. （2017·重庆市A卷·4分）函数y＝中，x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2【分析】由分式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：x＋2≠0，解得x≠﹣2．故选：D．【点评】本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件；由分式有意义得出不等式是解决问题的关键．7.（2017贵州毕节3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵，根据：现在植树400棵所需时间＝原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．【解答】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵，根据题意，可列方程： ＝，故选：A ．8．（2017海南3分）解分式方程，正确的结果是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．无解 【考点】解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：1＋x ﹣1＝0， 解得：x ＝0， 故选A【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验． 9.(2017河北3分）下列运算结果为x －1的是（ ）A ．11x-B ．211x x x x -∙+ C ．111x x x +÷- D ．2211x x x +++ 答案：B解析：挨个算就可以了，A 项结果为—— , B 项的结果为x －1，C 项的结果为—— D 项的结果为x ＋1。
分式综合知识点总结
分式综合知识点总结一、分式的定义分式是指两个整数的比值，通常用分数形式表示，分数由分子和分母两部分组成，分子在分数线上方，分母在分数线下方。
分子表示被分成若干等分中的几份，分母表示整块被分成的份数。
例如，1/2、2/3、3/4等都是分式的例子。
在分式中，分子与分母都可以是整数或多项式，分式也可以是一个数字或者一个代数表达式。
二、分式的基本性质1. 分式的值是有意义的，当分子不为0时分式有值，当分子为0且分母不为0时，分式的值为0。
2. 分式可以化简，即可以约分，化简后保持原分式的值不变。
3. 分式可以进行运算，包括加减乘除等运算。
4. 分式可以化简为整数、真分数或带分数。
三、分式的简化分式的简化是指将分式化为最简形式的过程。
简化分式的方法有：1. 将分子和分母化为最简式；2. 将分子和分母互换位置，即倒数；3. 化为整数或带分数。
四、分式的运算1. 分式的加减运算：分式的加减运算要求先找到它们的公共分母，然后按照公共分母的要求进行加减。
2. 分式的乘除运算：分式的乘除运算可以转化为分数的乘除运算，即分子与分子相乘，分母与分母相乘。
3. 分式的混合运算：分式可以与整数混合进行运算，运算规则与普通的加减乘除运算类似。
五、分式方程和不等式1. 分式方程：分式方程是指含有分式的方程，解分式方程的关键是找到使得方程成立的变量的值。
2. 分式不等式：分式不等式是指含有分式的不等式，解分式不等式的关键是找到不等式的解集合。
六、分式函数与分式图形1. 分式函数：分式函数是指自变量和因变量都是分式的函数，例如f(x) = 1/x。
2. 分式图形：分式函数对应的图形通常为双曲线、双曲线的反比例函数等。
七、分式在实际问题中的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，例如在比例、百分比、利润、利率、速度等实际问题中都会涉及到分式的运算。
因此，掌握好分式的概念和运算规则对于解决实际问题具有重要意义。
以上是对分式的综合知识点总结，分式作为数学中的一个重要概念，其应用范围非常广泛。
2024年全国各省市数学中考真题汇编 专题5分式及其运算(37题)含详解
专题05分式及其运算（37题）一、单选题1．（2024·甘肃·中考真题）计算：4222a ba b a b-=--（）A ．2B ．2a b-C ．22a b-D ．2a b a b--2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（）A ．()2139--=B ．()222a b a b +=+C 93=±D ．()3263x y x y -=3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（）A ．32622a a a ⋅=B ．331(2)8a b a b-÷⨯=-C ．()322a a a a a a++÷=+D ．2233aa -=4．（2024·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（）A ．5510x x x +=B ．21m m n n n÷⋅=C ．624a a a ÷=D ．()325a a -=-5．（2024·广东广州·中考真题）若0a ≠，则下列运算正确的是（）A ．235a a a+=B ．325a a a ⋅=C ．235a a a⋅=D ．321a a ÷=6．（2024·天津·中考真题）计算3311x x x ---的结果等于（）A ．3B ．xC ．1x x -D ．231x -7．（2024·河北·中考真题）已知A 为整式，若计算22A y xy y x xy-++的结果为x yxy -，则A =（）A ．xB ．yC ．x y +D ．x y-二、填空题8．（2024·四川南充·中考真题）计算---a ba b a b的结果为．9．（2024·湖北·中考真题）计算：111m m m +=++．10．（2024·广东·中考真题）计算：333a a a -=--．11．（2024·吉林·中考真题）当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为．12．（2024·山东威海·中考真题）计算：2422x x x+=--．13．（2024·四川内江·中考真题）在函数1y x=中，自变量x 的取值范围是；14．（2024·四川眉山·中考真题）已知11a x =+（0x ≠且1x ≠-），23121111,,,111-==⋯=---n n a a a a a a ，则2024a 的值为．三、解答题15．（2024·广东·中考真题）计算：011233-⨯-+．16．（2024·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：22391a a a a a ---÷+，其中4a =．17．（2024·四川泸州·中考真题）化简：2222y x y x y x x ⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭．18．（2024·四川广安·中考真题）先化简2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，再从2-，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．19．（2024·山东·中考真题）（11122-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：212139a a a +⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中1a =．20．（2024·上海·中考真题）计算：102|124(1++-．21．（2024·江苏连云港·中考真题）计算0|2|(π1)-+-22．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算21211m m ---的解题过程：解：2121211(1)(1)(1)(1)m m m m m m m +-=---+-+-①(1)2m =+-②1m =-③上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．23．（2024·江西·中考真题）（1）计算：0π5+-；（2）化简：888x x x ---．24．（2024·江苏苏州·中考真题）计算：()042-+-．25．（2024·福建·中考真题）计算：0(1)5-+-26．（2024·陕西·()()0723-+-⨯．27．（2024·湖南·中考真题）先化简，再求值：22432x x x x x-⋅++，其中3x =．28．（2024·北京·中考真题）已知10a b --=，求代数式()223232a b ba ab b -+-+的值.29．（2024·甘肃临夏·中考真题）计算：10120253-⎛⎫+ ⎪⎝⎭．30．（2024·甘肃临夏·中考真题）化简：21111a a a a a +⎛⎫++÷⎪--⎝⎭．31．（2024·浙江·中考真题）计算：1154-⎛⎫-- ⎪⎝⎭32．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：22222a a b a ba b a ab b a b--÷---++，其中a ，b 满足20b a -=．33．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：2669x x x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，并从1-，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．34．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m 是其显示结果的平方根，先化简：27442393mm m m m m --⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，再求值．35．（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：2212124x x xx x +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭．其中3x =-．36．（2024·贵州·中考真题）（1）在①22，②2-，③()01-，④122⨯中任选3个代数式求和；（2）先化简，再求值：()21122x x -⋅+，其中3x =．37．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：22142x x x ---，其中3x =．小乐同学的计算过程如下：解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--…①()()()()222222x x x x x x +=-+-+-…②()()2222x x x x -+=+-…③()()222x x x +=+-…④12x =-…⑤当3x =时，原式1=．(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．专题05分式及其运算（37题）一、单选题1．（2024·甘肃·中考真题）计算：4222a ba b a b-=--（）A ．2B ．2a b -C ．22a b-D ．2a b a b-【答案】A【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：()42422222222a b a b a b a b a a b a bb --===-----，故选：A ．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（）A ．()2139--=B ．()222a b a b +=+C 93=±D ．()3263x y x y -=【答案】A【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解．【详解】解：A.()2139--=，故该选项正确，符合题意；B.()2222a b a ab b +=++，故该选项不正确，不符合题意；C.93=，故该选项不正确，不符合题意；D.()3263x y x y -=-，故该选项不正确，不符合题意；故选：A ．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（）A ．32622a a a ⋅=B ．331(2)8a b a b-÷⨯=-C ．()322a a a a a a++÷=+D ．2233aa -=【答案】D【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答．【详解】解：A 、32522a a a ⋅=，故该选项是错误的；B 、33218(2)a a b b b-÷⨯=-，故该选项是错误的；C 、()3221a a a a a a ++÷=++，故该选项是错误的；4．（2024·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（）A ．5510x x x +=B ．21m m n n n÷⋅=C ．624a a a ÷=D ．()325a a -=-5．（2024·广东广州·中考真题）若0a ≠，则下列运算正确的是（）A ．235a a a +=B ．325a a a ⋅=C ．235a a a⋅=D ．321a a ÷=6．（2024·天津·中考真题）计算11x x x ---的结果等于（）A ．3B ．xC ．1x x -D ．231x -【答案】A【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对7．（2024·河北·中考真题）已知A 为整式，若计算22A y xy y x xy-++的结果为xy -，则A =（）A ．xB ．yC ．x y+D ．x y-二、填空题8．（2024·四川南充·中考真题）计算-a b a b a b的结果为．9．（2024·湖北·中考真题）计算：111m m m +=．10．（2024·广东·中考真题）计算：333a a a -=--．【答案】1【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可．11．（2024·吉林·中考真题）当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为．12．（2024·山东威海·中考真题）计算：22x x+=．13．（2024·四川内江·中考真题）在函数1y x=中，自变量x 的取值范围是；【答案】0x ≠【分析】本题考查函数的概念，根据分式成立的条件求解即可．熟练掌握分式的分母不等于零是解题的关键．【详解】解：由题意可得，0x ≠，故答案为：0x ≠．14．（2024·四川眉山·中考真题）已知11a x =+（0x ≠且1x ≠-），23121111,,,111-==⋯=---n n a a a a a a ，则2024a 的值为．三、解答题16．（2024·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：2391a a a a a---÷，其中4a =．17．（2024·四川泸州·中考真题）化简：2222y x y x y x x ⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭．18．（2024·四川广安·中考真题）先化简111a a a ++⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，再从2-，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．∴当0a =时，原式1=-；当2a =时，原式0=.19．（2024·山东·中考真题）（11122-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：212139a a a +⎛⎫-÷ ⎪，其中1a =．21．（2024·江苏连云港·中考真题）计算0|2|(π1)-+-【答案】1-【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行去绝对值，零指数幂和开方运算，再进行加减运算即可．【详解】解：原式2141=+-=-22．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算21211m m ---的解题过程：解：2121211(1)(1)(1)(1)m m m m m m m +-=---+-+-①(1)2m =+-②1m =-③上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．23．（2024·江西·中考真题）（1）计算：0π5+-；（2）化简：888x x x ---．24．（2024·江苏苏州·中考真题）计算：()042-+-．【答案】2【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可．【详解】解：原式413=+-2=．25．（2024·福建·中考真题）计算：0(1)5-+-【答案】4【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；【详解】解：原式152=+-4=．26．（2024·陕西·()()0723-+-⨯．27．（2024·湖南·中考真题）先化简，再求值：22x x x-⋅+，其中3x =．28．（2024·北京·中考真题）已知10a b --=，求代数式222a ab b -+的值.29．（2024·甘肃临夏·中考真题）计算：10120253-⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【答案】0【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可．【详解】解：原式2310=-+=．30．（2024·甘肃临夏·中考真题）化简：21111a a a a a +⎛⎫++÷ ⎪．31．（2024·浙江·中考真题）计算：1154-⎛⎫-- ⎪⎝⎭32．（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：222a b a ab b a b--÷-，其中a ，b 满足20b a -=．33．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，并从1-，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．34．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m 是其显示结果的平方根，先化简：27442393m m m m m m --⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，再求值．35．（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：2124x x +-⎛⎫+÷ ⎪--．其中3x =-．36．（2024·贵州·中考真题）（1）在①22，②2-，③()01-，④22⨯中任选3个代数式求和；（2）先化简，再求值：()21122x x -⋅，其中3x =．37．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：242x x ---，其中3x =．小乐同学的计算过程如下：解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--…①()()()()222222x x x x x x +=-+-+-…②()()2222x x x x -+=+-…③()()222x x x +=+-…④12x =-…⑤当3x =时，原式1=．(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．。
分式的基本性质
分式的基本性质分式（Fraction）是数学中常常遇到的一种数值表达形式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的部分，而分母表示分割的总共的部分。
例如，分数1/2表示将一个整体分成2个相等的部分，而分数3/4表示将一个整体分成4个相等的部分中的3个部分。
在学习分式的过程中，我们需要了解分式的一些基本性质，以帮助我们更好地理解和应用分式。
1. 分式的定义分式可以用以下形式表示：a / b其中，a和b为整数，且b不等于0。
a称为分式的分子，b称为分式的分母。
分子表示分割的部分，分母表示分割的总共的部分。
2. 分式的化简分式的化简是指将一个分式表示为最简形式的过程。
一个分式被称为是最简的，当且仅当分式的分子和分母没有公因数。
通过化简分式，我们可以更方便地进行运算和比较。
2.1 约分约分是将分子和分母同时除以它们的公因数，以得到最简分式的过程。
约分的步骤如下：1.找出分子和分母的公因数；2.将分子和分母都除以它们的公因数，得到最简分式。
例如，对于分式6/8，我们可以找到2是6和8的一个公因数，所以可以约分为3/4。
2.2 强化约分在某些情况下，为了进一步简化分式，我们可以继续进行约分的操作。
例如，对于分式12/16，我们不仅可以约分为3/4，还可以继续约分为3/8。
这是因为12和16都可以被2整除，所以我们可以连续约分两次。
3. 分式的运算分式有加法、减法、乘法和除法四种基本的运算。
下面将对这四种运算进行详细介绍。
3.1 分式的加法和减法分式的加法和减法的规则是：a/b + c/d = (a * d + b * c) / (b * d)a/b - c/d = (a * d - b * c) / (b * d)其中，a/b和c/d为两个分式，分子表示分割的部分，分母表示分割的总共的部分。
加法运算将两个分式的分子相乘后相加，然后将两个分式的分母相乘。
减法运算将两个分式的分子相乘后相减，然后将两个分式的分母相乘。
分式、二次根式知识点(中考复习专用)
分式、二次根式知识点 1、形如A B 的式子，其中A 、B 为整式，除式B 中 且 叫做分式。
分式A B 有意义： 分式A B 无意义： 分式A B 值为零： 分式A B 值为正数： 分式A B 值为负数：
2、分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（除以） 分式的值不变。
3、分式的符号法则：分式的 、 及 三个符号，任意两项同时变号，分式的值不变。
4、最简公分母确定：先分解因式，再系数找 ，字母找 ， 字母的指数取 。
5、若分式的分子与分母是多项式，须把分子与分母 ，再进行约分通分等运算。
6、科学记数法：a ╳10n ，其中a 的取值范围是
7、分式的拆分：1n(n+1)= 1n(n+3)=
8、二次根式：式子√a 叫做二次根式。
9、最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含 ； ⑶分母中不含 。
10、同类二次根式：二次根式化成 后，若 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
11、二次根式的性质：
（1）（√a ）2= （ ）； （2）√a 2= ={ ( )
( ) ( )
（3）双重非负性： ，
12、二次根式的运算：
⑴加减运算：先把二次根式化成 ，然后 即可。
⑵乘除运算：√ab = （ ）； √a b = (
)。
专题06分式及分式方程-2024年中考数学考点总动员系列
分式及其方程是中考数学重要的考点之一、理解掌握这一知识点，对提高中考数学成绩非常重要。
本文将从分式的定义、性质、运算以及分式方程四个方面进行讲解和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、分式的定义分式是由分子与分母用分数线隔开的数，通常记作a/b，其中a为分子，b为分母。
分子和分母都可以是整数、分数或者代数式。
分式也可以称为有理式。
例如，1/2、3/4、5/(x+1)等都是分式。
二、分式的性质2.分式的相等性：两个分式相等，当且仅当它们的值相等。
即，如果a/b=c/d，那么a*d=b*c。
3.真分式和假分式：当分子的绝对值小于分母的绝对值时，分式称为真分式；当分子的绝对值大于或等于分母的绝对值时，分式称为假分式。
三、分式的运算1.分式的加法和减法：对于两个分式a/b和c/d，可以先通分，然后按整式的加减法规则进行运算，最后将结果化简为最简分式。
例如，(2/3)+(1/4)=[(2*4)/(3*4)]+[(1*3)/(4*3)]=(8/12)+(3/12)=(8+3)/12=11/122.分式的乘法：对于两个分式a/b和c/d，将它们的分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，然后将结果化简为最简分式。
例如，(2/3)*(3/4)=(2*3)/(3*4)=6/12=1/23.分式的除法：对于两个分式a/b和c/d，将它们的分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母的倒数，然后将结果化简为最简分式。
例如，(2/3)/(3/4)=(2/3)*(4/3)=8/9四、分式方程分式方程是含有未知数的分式的等式。
解分式方程就是要找出使得该分式方程成立的未知数的值。
解分式方程的基本步骤如下：1.按分式方程的形式，把分式方程的分子、分母用一个符号表示出来，得到一个关于该符号的方程。
2.通过移项和化简，将方程转化为一个整式方程。
3.对整式方程进行求解，得到方程的解。
4.将整式的解带入原分式方程，验证是否为方程的解。
分式考点归纳总结
分式考点归纳总结分式是数学中一种重要的数书形式，广泛应用于各个领域，如代数、几何、物理等。
在解题过程中，掌握了分式的性质和运算法则，能够更加灵活地处理各种数学问题。
本文将对常见的分式考点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握分式的相关知识。
一、分式的基本概念和性质在学习分式之前，我们首先需要了解分式的基本概念和性质。
分式的基本形式为a/b，其中a是分子，b是分母，a和b都是整数。
需要注意的是，分母b不能为零，否则分式无意义。
分式可以表示两个整数之间的比值，也可以表示一个数在另一个数中的比例关系。
分式的性质包括：1. 分式的大小比较：当分母相同时，分子越大，分式越大；当分母相同时，分母越大，分式越小。
2. 分式的约分与通分：可以将分子和分母的公约数约去，得到分式的最简形式；将分式的分母约分为相同的数，得到通分分式。
3. 分式的倒数：将分式的分子和分母交换位置，得到分式的倒数。
4. 分式的加减乘除：分式的加减可以通过通分转化为同一分母的分式进行运算；分式的乘除可以通过分子相乘、分母相乘的方式进行运算。
二、分式的运算法则在运算分式的过程中，需要严格遵守一定的运算法则，才能得到正确的结果。
下面我们将对分式的加减乘除四种运算法则进行详细介绍：1. 分式的加法对于两个分式a/b和c/d的加法运算，可以按照以下步骤进行：（1）将两个分式的分母进行通分，得到通分分母。
（2）将两个分式的分子相加，得到通分后的分子。
（3）将得到的通分分子和通分分母组合起来，得到最终的结果。
2. 分式的减法对于两个分式a/b和c/d的减法运算，可以按照以下步骤进行：（1）将两个分式的分母进行通分，得到通分分母。
（2）将两个分式的分子相减，得到通分后的分子。
（3）将得到的通分分子和通分分母组合起来，得到最终的结果。
3. 分式的乘法对于两个分式a/b和c/d的乘法运算，可以按照以下步骤进行：（1）将两个分式的分子相乘，得到乘积的分子。
中考分式考点归类
【知识网络】—、基本概念1. 形如A （A 、B 是整式，且B 中含有字母，B M 0）的式子，叫做分式.其中?A 叫B做分式的分子,B 叫做分式的分母.「整式2. 整式和分式统称 有理式,即有理式 丿分式、分式的基本性质 1. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变•用式子表示即是:注意：在分式中，分母的值不能是零。
如果分母的值是零，则分式没有意义2. 符号规则:分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
用式子表示即3. 加减法则：同分母加减法则：（1）旦一 仝上c c c a c ad be ad 二 be——土 ---- = ---- 土 ---- = -------------一 d bd _bd bdb四.分式方程及其解法1 .分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫分式方程 2.分式方程的解法分式4.乘方法则：f \n na丨—a（n 为正整数，b 式0） lb 丿 b nA _ AxM A _ A-M B_B是:-a a a -a—■ -bb-bb ， 三、运算法则1.乘法法则：a c ac • --- = ----------b d bd2.除法法则：a c a dad■bd b cbcb异分母加减法则:（1）去分母法的步骤:（0去分母法：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母中检验，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去•在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母进行运算•（2）换元法用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后再求出原来的未知数.分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质；2. 与分式运算有关的运算法则3. 分式的化简求值（通分与约分）4. 幕的运算法则分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法；2. 分式方程产生增根的原因3. 分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数；2. 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程；方程两边同乘以最简公分母.3. 解分式方程的应用题关健是准确地找岀等量关系，恰当地设末知数.重要考点考点一、分式的基本概念考点二、当分式有（无）意义和值为0时，字母的取值范围考点三、分式的基本性质考点四、分式的化简与混合计算一一分式的加减、分式的乘除考点五、负指数与科学记数法考点六、分式方程的概念及其解、分式方程中的增根型问题考点七、列分式方程解应用题考点一、分式的概念x例1.使分式有意义的x的取值范围为（）x +2A. x = 2B. x -2C. x>-2 C. x 2解析：根据分式的概念可知，当分式的分母不为0时，分式有意义.所以有2x - 4工0,得X K2.选考点二、分式的约分与通分例2. 2计算：XX • X —1解析：2x _x x(x -1) xx -1 X -1点评： 本题主要考查分式的约分，应先把能分解因式的分子分解因式，再将分子与分母的公因式约去.4例3 •已知两个分式 A =—x，所以A 与B 互为相反数•答案为 C .点评：其实，解决本题的关键还是分式的通分，但它又不完全等同于分式的一般通分题型，它需 要我们先进行分析，然后再找岀解决问题的方法.考点三分式的乘除1的实数，原式的值不变•故当 x 分别取3，5 -2'. 2，732点评：本题意在说理，题型新颖活泼，化简时，除法运算应转化为乘法运算，运算过程中，能约 分的一定要约分. 考点四分式的加减2 b 2例5•化简：—-a —b a —b解析：按冋分母分式相加减的法则进行计算，分母不变，分子相加减.原式=」Jab)(^b).a b •a —ba — b点评： 本题主要考查冋分母分式相加减的法则.考点五分式的混合运算1x例6•先化简(1)-—，再选择一个你喜欢的恰当的x 的值代入并求值.1 1+—2，其中x 工±，贝U A 与B 的关系是(-xA.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A大于B解析:把B 通分后再和A 进行比较，B(x —2)—(x 2)二，而x 2 x -2 (x 2)(x - 2) X 2 _4 例4•课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当2x 2-2x 1 2x —2x-2x 2的值•小明一看：太复杂了,x 2 -1 x 1写出具体解题过程.x 分别取怎么算呢? 3，5-2.、2，7：3时，求代数式”你能帮小明解决这个问题吗？请你2 2解析：x -2x仁―2 一 (x -1)十 一二=一二一'丄------------X x 2 -1 x 1 (x 1)(x -1)2(x -1) 2，所以，不论x 为任何不等于1或—x —1 x -1解析：原式彳一1 . 1) (x "(XT) X(x 1)(x -1)=x1 •当x=2006 时，原x -1 x -1 X X -1 X 式=2006 + 1=2007 •点评：字母x 的值不是由题目给岀的，而是自己选取，这大大增强了题目的灵活性•此题难度并 不大，但要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式•在选取 x 的数值时，一定要保证原式有意义，即x 要取不等于—1，0，1的其他数值.考点六、解分式方程例7.1 12 解方程：6x _22 1 _3x解析：2首先将分式方程整式化”直接求解可得X =3点评： 解简单的分式方程并不难，关键是不要忘了检验，因为解分式方程有时会产生增根. 考点七、说理型问题当 x=2 时，原式=2X 2— 2=2 .上述解答正确吗？如不正确，请你写岀正确解答.解析：2本题明显的错误是在化简过程中将分母去掉了， 改变了原式的值.化简的结果应是2，X +1当x=2时， 2 原式.3点评： 解分式题首先应化简，化简过程中一定要细心、谨慎.考点九、探究题1 1 1 1用上述方法计算，其结果是（ ）1 汇3 3汉5 5汉799^101A 50c 49 c 10099A.B.-C.-D.例8.2 2(1)已知 y / -2xx -xx 2 -111，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论xx 为何值,y 的值始终不变.先把原式化简，得 不论x 为何值，y的值始终不变.解析: y=l ，说明 y 的值与x 的取值无关•所以只要保证右边代数式有意义,考点八、改错题例9 •对于试题：先化简，再求值: 罕3L ，其中x=2某同学写岀了如下解答:x 2 -11 -x解: x _3 1 x 一3x 2-1"(x 1)(x -1)1 111 111 1 1 -— ———1 2 22 3 2 33 4 3 41 丄 n(n 1) n将以上等式相加得到 n(n 1)=1例10.观察下列等式:101101 101 101解析： 由上述方法可知：1 1 (1 - --)； 11 1 111 _ 1-丄)1 32 3 3 5 2 3 5 5 757点评：探究型试题以其综合性强，富有思考价值，注重考查探索精神和创新意识等特征逐渐成为 中考热点•因此同学们要重视此种题型的训练.考点十列分式方程解应用题例11•南水北调东线工程已经开工，某施工单位准备对运河一段长 2240m 的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现计划每天加固的长度比原计划增加了 20m ，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短 2天，若设现在计划每天加固河堤xm ，则得方程为 _________________________ .解析：解岀本题关键是找岀等量关系：原计划的时间一现在的时间的时间=2小时.2240 2240— =2.x -20 x例12 •在我市公路改建工程中，某段工程拟在 30天内（含30天）完成•现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做 18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成•请问:（1 ）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天?（2）已知甲工程队每天的施工费用为 0 . 6万元，乙工程队每天的施工费用为 0 . 35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用 解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x 天、y 天，由题意得方程组:Xy18 18 10 ,1x y x解之得：x=40，y=60 .（2）已知甲工程队每天的施工费用为 0 .6万元，乙工程队每天的施工费用为 0. 35万元，根据题意, 要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工 30天，其余工程由甲工程队完 30 1 成.由（1）知，乙工程队 30天完成工程的 60 21 1 •••甲工程队需施工1 40=20 （天）.最低施工费用为 0. 6X 20+ 0. 35 X 30=2 . 25 （万元）答：（1 ）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需 40天和60天; （2）要使该工程的施工费最低， 甲、乙两队各做20天和30 天,最低施工费用是 2.25 万元. 评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下， 易激活学生的数学思维. 三、易错点剖析 1•符号错误亠b例1•不改变分式的值，使分式的分子、分母第一项的符号为正.,99 101- 1!（1 -）=-5° .答案为 5 799 1012 101 101错解：原式(2a —|b) 24a 「3b (2a b) 3 32a 3b诊断：应用分式的基本性质时，分式的分子、分母必须同乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，而此题分子乘以 2，分母乘以3，分式的值改变了.(2a_3b)x6正解：原式=2—(2a b) 6 34.约分中的错误12a - 9b 4a 6b例4 .约分:a 2 ab2 2a 2ab b 错解：原式1 1 212b2 3 b 2诊断：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先 分解因式，再约去公因式.正解：原式=空马(a+b)例5 •计算： x 3y x 2y 2x _3y 2 2 2 2 2 2 x -y x _y x -y错解：原式=(x 创)弋型 3 护x - y x - y-a -b a -b诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号.正解：_a - b _(a -b) a _b _a -b - (ab) a b2 •运算顺序错误2a — 4a _ 2例 2•计算：—2a 4” ・(a - 3)a +4a +3 a +3 错解：原式=-^2^亠(a -2) =22a +4a +3 a +4a + 3 诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算，运算顺序应从左至右.错解:「a b a b正解：原式2a 「4 a 3a 2 4a 3 \ - 2• (a 3)2(a 3) a -13 •错用分式基本性质例3•不改变分式的值，把分式2a —?b亠的分子、分母各项系数都化5 •结果不是最简分式诊断：分式运算的结果必须化为最简分式，而上面所得结果中分子、分母还有公因式，必须进 步约分化简.正解：原式=(x 3八(X 2y)(2X _3y ) 2x-2y 6 •误用分配律2 2 X -y 2(x-y) (x y)(x- y)m +2例6•计算： (m • 2 2m —4m^). m -2错解：原式= 一—(m 2) 2(m —2) 2(m —2) m —2 2(m -2) 1 _ 2 一2(m诊断：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律.2 正解：原式=m 2 m 5一6 m 2 2(m —2) m 「2m -2 一 2(m -2) '(m 2)(m -3) 一 2(m -3)7 •忽略分数线的括号作用例7. 3X2 计算：—X 2 x —1 -X -1此题错误在于添加分数线时，忽略了分数线的括号作用.3 2 3 正解：原式=丄X X 1 Xx—1 (x _1)(x2 x 1)x—1 x—1X3X3 -1 1 X -1 x — 1 x -1错解:3 2X X 原式=—X—1—X—12 2(x -1)(x -x-1) 2x -1一x -1 X -1 X—1 诊断:。
2019年全国中考试题解析版分类汇编-分式的基本性质,负指数幂的运算
2019年全国中考试题解析版分类汇编-分式的基本性质，负指数幂的运算注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.〔2017广东珠海，5，3分〕假设分式ba a ＋2的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，那么此分式的值〔〕A 、是原来的20倍B 、是原来的10倍C 、是原来的101倍D 、不变考点：分式的基本性质专题：分式分析：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘〔或除以〕一个不等于0的整式，分式的值不变；可知该运算中分式的值没有改变，应选D 、解答：D点评：抓住分式的基本性质，分式的基本性质是分式通分、约分的依据、〔1〕在运用分式的基本性质进行通分或约分时，容易漏掉分子或分母中的某一项，从而出现运算错误、〔2〕分式本身、分子和分母三个当中，任意改变其中的两个符号，分式值不变，这也是一个易错点、2.计算-22+〔-2〕2-〔-12〕-1的正确结果是〔〕A 、2B 、-2C 、6D 、10考点：负整数指数幂；有理数的乘方、分析：根据负整数指数幂和有理数的乘方计算即可、解答：解：原式=-4+4+2=2、应选A 、 点评：此题考查了有理数的乘方以及负整数指数幂的知识，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数、3.〔2017四川遂宁，2，4分〕以下分式是最简分式的〔〕Ａ、b a a 232B 、a a a 32-C 、22b a b a ++D 、222b a aba -- 考点：最简分式；分式的基本性质；约分。
专题：计算题。
分析：根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断、解答：解：A 、ab b a a 32322=，故本选项错误；B 、3132-=-a a a a ，故本选项错误；C 、22b a b a ++，不能约分，故本选项正确；D 、()()b a b a b a a b a ab a -+-=--)(222=b a a +，故本选项错误；应选C 、点评：此题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解此题的关键、5.〔2017丽江市中考，4,3分〕计算101()(12-+=3、考点：负整数指数幂；零指数幂。
中考数学专题训练第6讲分式(知识点梳理)
分式知识点梳理考点01 分式一、分式的概念1.概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫作分式，A 叫作分子，B 叫作分母。
2.分式的三个要素：（1）形如BA 的式子. （2）A ，B 是整式.（3）分母B 中含有字母。
3.分式有意义的条件：分母不等于0。
4.分式无意义的条件：分母等于0.5.分式的值为0的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
二、分式的基本性质1.分式的意义：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
2.用式子表示：)0(,≠÷÷=••=C CB C A B A C B C A B A ，其中A ，B ，C 均为整式。
三、分式的约分、最简分式1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫作分式的约分。
2.分式约分的依据：分式的基本性质。
3.约分的方法：（1）先确定分式的分子、分母的公因式，当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积.当分子、分母是多项式时，应先将多项式因式分解，再根据确定公因式的方法确定公因式.（2）根据分式基本性质，分子分母都除以它们的公因式.（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。
4.分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式。
四、分式的通分、最简公分母1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫作分式的通分。
2.通分的依据：分式的基本性质。
3.最简公分母：异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母。
4.确定最简公分母的方法：（1）取各分母的系数的最小公倍数.（2）各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到.（3）相同字母（或因式）的幂取指数最大的.（4）所得系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。
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(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆分式
的基本性质，负指数幂的运算
一、选择题
1. （2011广东珠海，5，3分）若分式
b a a ＋2的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 （ ）
A ．是原来的20倍
B ．是原来的10倍
C ． 是原来的10
1倍 D ．不变 考点：分式的基本性质
专题：分式
分析：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；可知该运算中分式的值没有改变，故选D ．
解答：D
点评：抓住分式的基本性质，分式的基本性质是分式通分、约分的依据．
（1）在运用分式的基本性质进行通分或约分时，容易漏掉分子或分母中的某一项，从而出现运算错误．（2）分式本身、分子和分母三个当中，任意改变其中的两个符号，分式值不变，这也是一个易错点．
2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1的正确结果是（ ）
A 、2
B 、-2
C 、6
D 、10 考点：负整数指数幂；有理数的乘方．
分析：根据负整数指数幂和有理数的乘方计算即可． 解答：解：原式=-4+4+2=2．
故选A ．
点评：本题考查了有理数的乘方以及负整数指数幂的知识，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
3. （2011四川遂宁，2，4分）下列分式是最简分式的（ ）
Ａ．b a a 232 B ．a a a 32- C ．22b
a b a ++ D ．222b a ab a -- 考点：最简分式；分式的基本性质；约分。
专题：计算题。
分析：根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．
解答：解：A 、ab b a a 32322=，故本选项错误； B 、3132-=-a a
a a ，故本选项错误； C 、22
b a b a ++，不能约分，故本选项正确； D 、()()b a b a b a a b a ab
a -+-=--)(222=b
a a +，故本选项错误；故选C ． 点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分
5.（2011丽江市中考，4,3分）计算10()(12-+= 3 ．
考点：负整数指数幂；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算． 解答：解：原式=2+1=3．
故答案为3．
点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：
a -p =（a≠0，p 为正整数）；零指数幂：a 0
=1（a≠0）．
二、填空题
1. （2011•江苏徐州，11，3）0132--= ．
考点：负整数指数幂；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算． 解答：解：原式=1﹣
12= 12， 故答案为12
． 点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：1p p a
a -=（a≠0，p 为正整数）；零指数幂：a 0=1（a≠0）．
2. （2011江苏镇江常州，9，3分）计算：－(－12)＝12；︱－12︱＝12； 01()2-= 1 ；11()2
--= ﹣2 ． 考点：负整数指数幂；相反数；绝对值；零指数幂． 专题：计算题．
分析：分别根据绝对值．0指数幂及负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
解答：解：－(－12)＝12
； ︱－12︱＝12；01()2-= 1 ；11()2--= ﹣2 ．
故答案为：，，1，﹣2．
点评：本题考查的是绝对值．0指数幂及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
3. （2011云南保山，4，3分）计算10
1()(12-+= .
考点：负整数指数幂；零指数幂。
专题：计算题。
分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂的考点，在计算时，针对每个考点分别计算． 解答：解：原式=2+1=3．
故答案为3．
点评：本题考查了整数指数幂、零指数幂的考点，负整数指数幂：1a (0,p p a p a
-=
≠为正整数）；零指数幂：0a 1(0)a =≠． 4. （2011北京，1，5分）计算：︒-++︒--)2(2730cos 2)21(1π． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
专题：计算题。
分析：根据负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．
解答：解：原式=2﹣2×2
3+33+1=2﹣3+33+1=23+3． 点评：本题主要考查了负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．
5. 计算：|-3|+20110+6×2-1．
考点实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
分析本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答解：原式=3+112
=4﹣4+3=3． 点评本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
三、解答题。