例析中考试题中有关四边形的新题型

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中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合1.如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G。

1) 证明：因为 AD∥BC，所以∠DGE＝∠XXX，∠GDE＝∠BCE。

又因为 E 是 DC 的中点，即 DE＝CE，所以△DEG≌△CEB（AAS），从而 DG＝BC。

2) 解：当 F 运动到 AF＝AD 时，FD∥BG。

3) 解：结论：FH＝HD。

因为 GE＝BG，又因为△ABG为等腰直角三角形，所以 AE ⊥ BG。

由于 FD∥BG，所以 AE ⊥ FD。

又因为△AFD 为等腰直角三角形，所以 FH＝HD。

2.如图，在矩形ABCD中，过 BD 的中点 O 作 EF⊥BD，分别与 AB、CD 交于点 E、F。

连接 DE、BF。

1) 证明：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB∥CD。

因此∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠EOB 且 OD＝OB，所以△DOF≌△BOE（AAS），从而 DF＝BE。

因此四边形BEDF 是平行四边形。

又因为 EF⊥BD，所以四边形 BEDF 是菱形。

2) 解：因为 DM＝AM，DO＝OB，所以 OM∥AB，AB＝2OM＝8.设 DE＝EB＝x，在直角三角形 ADE 中，有 x^2＝4^2+（8﹣x）^2，解得 x＝5.因此 ON＝BE＝5√2.3.(1) 如图1，四边形 EFGH 中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点 A，B 分别在边 FG，GH 上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝XXX。

2) 如图2，四边形 EFGH 中，FE＝EH，点 M 在边 EH 上，连接 FM，EN 平分∠FEH 交 FM 于点 N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接 GN，HN。

①找出与 NH 相等的线段，并加以证明。

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图第4题图第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°，在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图第8题图第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ，又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ，又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ，又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图第31题图第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求，作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图第6题图第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图第10题图第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图第13题图第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2，又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ，又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ，由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9，解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系；解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。

与四边形相关的中考“新定义”题型举例

与四边形相关的中考“新定义”题型举例所谓"新定义"型试题,是指试题在某种运算、某个基本概念或几何图形基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件，构造一些创意新奇、情境熟悉但又从未接触过的新概念的试题。

新定义型试题是以运算模式、几何模式、函数模式等形式出现, 体现出新定义型试题结构。

渗透了一些新的数学知识,并且还具有一定的数学解题思想方法，反映出在新课标理念下命题方向的变化以及命题形式的变化。

"新定义"型试题,有利于考查学生的阅读理解、合理猜想、细心说明、探索归纳、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力，提出问题、分析并解决问题的能力。

解决此类问题常见思路：给什么，用什么。

即：要求学生用最短时间正确理解新定义，并将此定义作为解题的重要依据，分析并掌握其本质，用类比的方法迅速地同化到自身的认知结构中，然后解决新的问题。

中考“新定义”题型近些年试卷中出现非常多，其中以四边形为背景的新定义试题就是其中的一道亮丽的风景线，如“等对角线四边形、准等距点、勾股四边形、等对边四边形、筝形四边形、面积等分线、友好矩形、加倍矩形、损矩形、组合矩形、接近度、半菱形、半等角点、凸四边形的准内点”等等十几类。

这对引导学生改变学习几何方式、引导教师改变几何教学方法均具有积极的意义。

一、例题举例例1．如图(1)，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.≠；（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且αβ（2）在图(4)四边形ABCD中找一个半等角点P，保留作图痕迹（不需写出画法）；（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点，保留作图痕迹（不需写出画法）；（4）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点.例1图【题型特点】本例以四边形为载体，结合正方形、利用所熟悉的轴对称、全等三角形等知识进行解题。

中考数学复习《四边形》专题综合训练题含答案试卷分析解析

届初三数学中考复习四边形专题复习综合训练题1. 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点(点M 不与B 、C 重合)，CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连结OM 、ON 、MN .下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2＋CM 2＝MN 2；⑤若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是12，其中正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．52. 矩形具有而菱形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等A ．一个四边形如果既是矩形又是菱形，那么它一定是正方形B ．有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形4．若顺次连结四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形5. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，连结EF.若EF ＝3，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长为( )A ．4B ．4 6C ．47D ．286．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是( )A．4 3 B．3 3 C．2 3 D.37. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( D )A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 5 D．AF＝EF8. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是____，面积是____．9. 如图，已知矩形ABCD的对角线长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长等于____cm.10. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，P是对角线BC上一动点，则PE＋PC的最小值是____．11. 如图，平行四边形ABCD中，AD＝5 cm，AB⊥BD，点O是两条对角线的交点，OD＝2，则AB＝____cm.12. 如图：在ABCD中，E,F是对角线AC上的两个点；G,H是对角线B,D上的两点.已知AE=CF,DG=BH,求证：四边形EHFG是平行四边形.13. 已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD 的边AD,BC的中点。

四边形综合(解析版)--中考数学抢分秘籍(全国通用)

四边形综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）概率预测☆☆☆题型预测解答题☆☆☆①三角形全等的判定考向预测②特殊四边形的判定四边形综合题是全国中考常考题型。

好多学生因特殊四边形的定理弄混淆而失分。

1．从考点频率看，三角形的综合和四边形的综合会二选一，四边形综合题以考查特殊四边形性质和判定为主，除了考查四边形的性质和判定外，还会结合三角形的全等进行考查。

2．从题型角度看，以解答题为主，分值8-12分左右！平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等对角线互相垂直平分，每一条菱形对边平行，四边相等对角相等对角线平分一组对角对角线互相垂直平分、相等，正方形对边平行，四边相等四个角都是直角每一条对角线平分一组对角平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定图形判定平行四边形1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

矩形1：有三个角是直角的四边形是矩形2：有一个角是直角的平行四边形是矩形3：对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形1：四边都相等的四边形是菱形。

2：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形1：有一组邻边相等的矩形是正方形2：有一个角是直角的菱形是正方形3：对角线互相垂直的矩形是正方形4：对角线相等的菱形是正方形典例1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝DF ．求证：(1)△ABE ≌△CDF ；(2)四边形AECF 是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB CD ∥，AB CD =，根据平行线的性质可得ABE CDF ∠=∠，结合已知条件根据SAS 即可证明ABE CDF △≌△；（2）根据ABE CDF △≌△可得,AE CF AEB CFD =∠=∠，根据邻补角的意义可得AEF CFE ∠=∠，可得AE CF ∥，根据一组对边平行且相等即可得出．【详解】（1）证明：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，∴ABE CDF ∠=∠，又BE DF =，∴ABE CDF △≌△（SAS ）；（2）证明：∵ABE CDF △≌△，∴,AE CF AEB CFD=∠=∠AEF CFE∴∠=∠∴AE CF ∥，∴四边形AECF 是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．典例2．如图，在▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，EF 过点O 且分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接DE 、BF ．求证：(1)△DOF ≌△BOE ；(2)DE =BF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形ABCD 的性质，利用ASA 即可证明△DOF ≌△BOE ；（2）证明四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，O 是BD 的中点，∴AB ∥DC ，OB =OD ，∴∠OBE =∠ODF ．在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB OD BOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOE ≌△DOF （ASA ）；（2）证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴EO =FO ，∵OB =OD ，∴四边形BEDF 是平行四边形．∴DE =BF ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．典例3．如图，▱ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，延长EC 至点G ，使CG =CE ，连接DG 、DE 、FG ．(1)求证：△ABE ≌△FCE ；(2)若AD =2AB ，求证：四边形DEFG 是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB =∠CFE ，利用AAS 即可判定△ABE ≌△FCE ；（2）先证明四边形DEFG 是平行四边形，【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，再证明DF =EG ，即可证明四边形DEFG 是矩形．∴AB CD ，∴∠EAB =∠CFE ，又∵E 为BC 的中点，∴EC =EB ，∴在△ABE 和△FCE 中，EAB CFE BEA CEF EC EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FCE (AAS)；（2）证明：∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =DC ，∴DC =CF ，又∵CE =CG ，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵E 为BC 的中点，CE =CG ，∴BC =EG ，又∵AD =BC =EG =2AB ，DF =CD +CF =2CD =2AB ，∴DF =EG ，∴平行四边形DEFG 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE ≌△FCE 是解题的关键．典例4．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为EF ．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)163cm【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =xcm ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CD PDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴PDE CDF △≌△（ASA ）；（2）如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴223GF EF EG =-=cm,设AE =x cm ，∴EP =x cm ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x cm ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+，解得，76x =，∴BC =BG +GC =77163663++=(cm ）．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．典例5．如图，四边形ABCD 是菱形，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．(1)求证：△ABE ≌△ADF ；(2)若AE =4，CF =2，求菱形的边长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）利用AAS 即可证明△ABE ≌△ADF ；（2）设菱形的边长为x ，利用全等三角形的性质得到BE =DF =x −2，在Rt △ABE 中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD （菱形的四条边相等），∠B =∠D （菱形的对角相等），∵AE ⊥BC AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°（垂直的定义），在△ABE 和△ADF 中，AEB AFD B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADF (AAS)；（2）解：设菱形的边长为x ，∴AB =CD =x ，CF =2，∴DF =x −2，∵△ABE ≌△ADF ，∴BE =DF =x −2（全等三角形的对应边相等），在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∴AE 2+BE 2=AB 2（勾股定理），∴42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．典例6．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC <．点D 是AC 的中点，过点D 作DE AC ⊥交BC 于点E .延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接AE 、AF 、CF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若14BE EC =，则tan BCF ∠的值为_______．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；（2）设BE a =，则4EC a =，根据菱形的性质可得4AE EC a ==，AE FC ∥，勾股定理求得AB ，根据BCF BEA ∠=∠，tan BCF ∠=tan AB BEA BE∠=，即可求解．【详解】（1）证明： AD DC =，DE DF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵DE AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；（2）解： 14BE EC =，设BE a =，则4EC a =，四边形AECF 是菱形；4AE EC a ∴==，AE FC ∥，∴BCF BEA ∠=∠，在Rt ABE △中，()2222415AB AE BE a a a =-=-=，∴tan BCF ∠=15tan 15AB a BEA BE a∠===，故答案为：15．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．典例7．如图，已知四边形ABCD 是正方形，G 为线段AD 上任意一点，CE BG ⊥于点E ，DF CE ⊥于点F ．求证：DF BE EF =+．【答案】证明见解析【分析】先根据正方形的性质可得,90BC CD BCD =∠=︒，从而可得90BCE DCF ∠+∠=︒，再根据垂直的定义可得90BEC CFD ∠=∠=︒，从而可得CBE DCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理证出BCE CDF ≅ ，根据全等三角形的性质可得,BE CF CE DF ==，最后根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】证明：四边形ABCD 是正方形，,90BC CD BCD ∴=∠=︒，90BCE DCF ∴∠+∠=︒，,CE BG DF CE ⊥⊥ ，90BEC CFD ∴∠=∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒，CBE DCF ∴∠=∠，在BCE 和CDF 中，90BEC CFD CBE DCF BC CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CDF AAS ∴≅ ，,BE CF CE DF ∴==，CE CF EF BE EF ∴=+=+，DF BE EF ∴=+．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．典例8．四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH 称为中点四边形．（1）我们知道：无论四边形ABCD 怎样变化，它的中点四边形EFGH 都是平行四边形．特殊的：①当对角线AC BD =时，四边形ABCD 的中点四边形为__________形；②当对角线AC BD ⊥时，四边形ABCD 的中点四边形是__________形．（2）如图：四边形ABCD 中，已知60B C ∠=∠=︒，且BC AB CD =+，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD 的中点四边形EFGH 的形状并进行证明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析【分析】（1）①连接AC 、BD ，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH 都是平行四边形，根据邻边相等中考四边形综合题常考的是平行四边形、矩形、菱形和正方形。

2020年中考数学中考真题分类专题解析汇编：专题10：四边形

2020年中考数学试题分类解析汇编专题10：四边形一、选择题1. （2019广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【】A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】A。

【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。

【分析】根据题意画出图形，如右图所示：连接AC，∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=12AC，EF∥AC，EF=12AC。

∴EF=GH，EF∥GH。

∴四边形EFGH是平行四边形。

由于四边形EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。

故选A。

2．（2019广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】A．26B．25C．21D．20【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。

【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形。

∴BE=AD=5。

∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4。

∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。

故选C。

3. （2019广东广州3分）在平面中，下列命题为真命题的是【】A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形【答案】C。

【考点】命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定。

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误。

2023年中考数学压轴题专题32 四边形与新定义综合问题【含答案】

专题32四边形与新定义综合问题【例1】（2022•汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝．【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．【例2】．（2022•赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D ＝度．（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A ＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．【例3】（2022•常州二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．【例4】（2022•工业园区模拟）【理解概念】如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE 即为△ABC的“矩形框”．（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的；（2）钝角三角形的“矩形框”有个；【巩固新知】（3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的最小值为cm；（4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周长；【解决问题】（5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值．一．解答题（共20题）1．（2022•罗湖区模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．2．（2022•越秀区校级模拟）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．（1）已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件的∠D的度数；（2）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长．3．（2022•嘉祥县一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．4．（2021•任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD 绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．5．（2022春•曾都区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填序号）；（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EC＝DF，连接EF，AF，求证：四边形ABEF是等角线四边形；（3）如图2，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为线段AB的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．6．（2022春•南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．7．（2022春•长汀县期末）在平面直角坐标系中，如果点p（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p 1（1，0），，．（2）如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围．（3）如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t＞0），当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围．8．（2022春•江北区期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：；．问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．9．（2022春•铜山区期末）新定义；若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形．（1）下列四边形为对直四边形的是（写出所有正确的序号）；①平行四边形；②矩形；③菱形，④正方形．（2）如图，在对直四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，O为AC的中点．①求证：BD的垂直平分线经过点O；②若AB＝6，BC＝8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度．10．（2022春•盐田区校级期末）给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．（1）如图1，格点四边形ABCD是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是“邻余四边形”；（3）如图3，四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，AD＝4，BC＝6．求EF的长．11．（2022春•玄武区期末）【概念认识】在四边形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC＝∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．【初步思考】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为°；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD 的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：∠ADP＝∠CEB．【综合运用】在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝α，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与α满足的关系及对应α的取值范围．12．（2022春•北仑区期末）定义：对角线相等的四边形称为对美四边形．（1）我们学过的对美四边形有、．（写出两个）（2）如图1，D为等腰△ABC底边AB上的一点，连结CD，过C作CF∥AB，以B为顶点作∠CBE＝∠ACD交CF于点E，求证：四边形CDBE为对美四边形．（3）如图2，对美四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD，DC∥AB．①若∠AOB＝120°，AB+CD＝6，求四边形ABCD的面积．②若AB⋅CD＝6，设AD＝x，BD＝y，试求出y与x的关系式．13．（2022春•玄武区校级期中）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB、EF、CD为铅直方向的边，AF、DE、BC为水平方向的边，点E在AB、CD之间，且在AF、BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“L图形”的等积线．（1）如图2所示四幅图中，直线L是该“L图形”等积线的是（填写序号）．（2）如图3，直线m是该“L图形”的等积线，与边BC、AF分别交于点M、N，过MN 中点O的直线分别交边BC、AF于点P、Q，则直线PQ（填“是”或“不是”）该图形的等积线．（3）在图4所示的“L图形”中，AB＝6，BC＝10，AF＝2．①若CD＝2，在图中画出与AB平行的等积线l（在图中标明数据）；②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边DE、BC分别交于P、Q，求PQ的最大值；③如果存在与水平方向的两条边DE、BC相交的等积线，则CD的取值范围为．14．（2022•姑苏区一模）定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝°；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD 是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH ＝6．①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为；②求△ABC的面积．15．（2022•江北区开学）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，CD＝3BE，QB＝6，求邻余线AB的长．16．（2022春•西城区校级期中）平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为：A（﹣，），B（﹣，﹣），C（，﹣），D（，），P、Q是这个正方形外两点，且PQ＝1．给出如下定义：记线段PQ的中点为T，平移线段PQ得到线段P'Q'（其中P'，Q'分别是点P，Q的对应点），记线段P'Q'的中点为T．若点P'和Q'分别落在正方形ABCD的一组邻边上，或线段P'Q'与正方形ABCD的一边重合，则称线段TT'长度的最小值为线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”，称此时的点T'为线段PQ到正方形ABCD 的“回归点”．（1）如图1，平移线段PQ，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段P1Q1和P2Q2，这两条线段的位置关系为；若T1，T2分别为P1Q1和P2Q2的中点，则点（填T1或T2）为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”；（2）若线段PQ的中点T的坐标为（1，1），记线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”为d1，请直接写出d1的最小值：，并在图2中画出此时线段PQ到正方形ABCD的“回归点”T'（画出一种情况即可）；（3）请在图3中画出所有符合题意的线段PQ到正方形ABCD的“回归点”组成的图形．17．（2022秋•福田区期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四边形ABCD 是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC．（1）请在图1中再找出一对这样的角来：＝；（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF 对角线的交点，连接BD．①四边形ABCD损矩形（填“是”或“不是”）；②当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由；③若∠ACE＝60°，AB＝4，BD＝5，求BC的长．18．（2022春•江阴市校级月考）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）在题（1）的矩形ABCD中，点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN 的值；②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝4，则DR的最小值＝．19．（2022春•柯桥区月考）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．（1）阅读与理解：如图1，四边形内接于⊙O，点A为弧BD的中点．四边形ABCD（填“是”或“不是”）等补四边形．（2）探究与运用：①如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；②如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，求DF的长．（3）思考与延伸：在等补四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BAD＝120°，当对角线AC长度最大时，以AC 为斜边作等腰直角三角形ACP，直接写出线段DP的长度．20．（2021秋•荔湾区期末）如图，共顶点的两个三角形△ABC，△AB′C′，若AB＝AB'，AC＝AC'，且∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△ABC与△AB′C'互为“顶补三角形”．（1）如图2，△ABC是等腰三角形，△ABE，△ACD是等腰直角三角形，连接DE；求证：△ABC与△ADE互为顶补三角形．（2）在（1）的条件下，BE与CD交于点F，连接AF并延长交BC于点G．判断DE与AG 的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，四边形ABCD中，∠B＝40°，∠C＝50°．在平面内是否存在点P，使△PAD 与△PBC互为顶补三角形，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由．【例1】2022•汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝90度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝5．【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．【分析】（1）①设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，利用“对补四边形”的定义列出方程，解方程即可求得结论；②连接AC，利用“对补四边形”的定义和勾股定理解答即可得出结论；（2）在DC上截取DE＝DA，连接BE，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和“对补四边形”的定义解答即可．【解答】（1）解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，∴设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠C＝180°，∴3x+x＝180，∴x＝45°．∴∠B＝2x＝90°．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°，∴∠D＝90°．故答案为：90；②连接AC，如图，∵∠B＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°．∴∠D＝90°．∴AD2+CD2＝AC2．∴AB2+BC2＝AD2+CD2，∴CD2﹣CB2＝AB2﹣AD2，∵AB＝3，AD＝2，∴CD2﹣CB2＝32﹣22＝5．故答案为：5；（2）证明：在DC上截取DE＝DA，连接BE，如图，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠EDB．在△ADB和△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠DEB，AB＝BE，∵AB＝CB，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠C．∵∠DEB+∠BEC＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°，∴∠A+∠C＝180°，∴四边形ABCD是“对补四边形”．【例2】（2022•赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D ＝55度．（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A ＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．【分析】（1）由等邻角四边形的定义和四边形内角和定理可求解；（2）①由角平分线的性质和平行线的性质可得∠EDB＝∠ABD，可得结论；②由三角形内角和定理和四边形内角和定理可求∠C＝60°，即可求解；（3）由面积关系可求解；（4）由直角三角形的性质可得AM＝DM＝ME，EN＝NB＝CN，由勾股定理可求DG＝1，BG＝6，即可求解．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为等邻角四边形，∠A＝130°，∠B＝120°，∴∠C＝∠D，∴∠D＝55°，故答案为：55；（2）①证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠ABD，∴四边形ABDE为等邻角四边形；②解：△BDC是等边三角形，理由如下：∵∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∠DBC＝180°﹣2∠C，∵∠A+∠E+∠ABD+∠BDE＝360°，∴∠A+∠E＝360°﹣2∠ABD，∵∠A+∠C+∠E＝300°，∴300°﹣∠C＝360°﹣2（180°﹣2∠C），∴∠C＝60°，又∵BD＝BC，∴△BDC是等边三角形；（3）解：PM+PN＝CE，理由如下：如图，延长BA，CD交于点H，连接HP，∵∠B＝∠BCD，∴HB＝HC，＝S△BPH+S△CPH，∵S△BCH∴×BH×CE＝×BH×PM+×CH×PN，∴CE＝PM+PN；（4）解：如图，延长AD，BC交于点H，过点B作BG⊥AH于G，∵ED⊥AD，EC⊥CB，M、N分别为AE、BE的中点，∴AM＝DM＝ME，EN＝NB＝CN，∵AB2＝BG2+AG2，BD2＝BG2+DG2，∴52﹣（3+DG）2＝37﹣DG2，∴DG＝1，∴BG＝＝6，由（3）可得DE+EC＝BG＝6，∴△DEM与△CEN的周长之和＝ME+DM+DE+EC+EN+CN＝AE+BE+BG＝AB+BG＝（6+2）dm．【例3】（2022•常州二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．【分析】（1）根据邻余四边形的定义证明结论即可；（2）连接AB，在∠A+∠B＝90°的基础上选择合适的E点和F点连接作图即可；（3）邻余四边形的定义可得∠H＝90°，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：如图所示（答案不唯一），（3）解：如图3，延长AD，CB交于点H，∵四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，∴∠A+∠B＝90°，∵∠ADC＝135°，∴∠HDC＝45°，∴∠HDC＝∠HCD＝45°，∴CH＝DH，∵AB2＝AH2+BH2，∴225＝（6+DH）2+（3+DH）2，∴DH＝6（负值舍去），∴CD＝6．【例4】（2022•工业园区模拟）【理解概念】如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE 即为△ABC的“矩形框”．（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的；（2）钝角三角形的“矩形框”有1个；【巩固新知】（3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的最小值为（6+2）cm；（4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周长；【解决问题】（5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值．【分析】（1）利用同底等高的面积关系求解即可；（2）根据钝角三角形垂线的特点进行判断即可；（3）作A点关于DE的对称点F，连接BF，则△ABC周长≥AC+BF，求出BF+AC即可求解；（4）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长即可；（5）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长，取最小值即可．＝×AB×AE，S矩形ABDE＝AB×AE，【解答】解：（1）∵S△ABC＝S矩形ABDE，∴S△ABC故答案为：；（2）由定义可知，钝角三角形以钝角所对的边为矩形一边，能够构造出一个“矩形框”，故答案为：1；（3）如图①，作A点关于DE的对称点F，连接BF，∴CF＝AC，∴AC+BC≥BF，∴△ABC周长＝AB+AC+BC≥AC+BF，∵AB＝6cm，AE＝2cm，在Rt△ABF中，BF＝2，∴△ABC周长的最小值（6+2）cm，故答案为：（6+2）；（4）如图②﹣1，以AB边为矩形一边时，作“矩形框”ABDE，∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm，＝×3×4＝×5×AE，∵S△ABC∴AE＝，∴矩形ABDE的周长＝2×（5+）＝（cm）；如图②﹣2，以BC边为矩形一边时，作“矩形框”BCAF，∴矩形BCAF的周长＝2×（3+4）＝14（cm）；同理，以AB为矩形一边时，“矩形框”的周长为14cm；综上所述：△ABC的“矩形框”的周长为cm或14cm；（5）如图③﹣1，以AB为一边作“矩形框”ABDE，过点C作CG⊥AB交于G，∴CG2＝AC2﹣AG2＝BC2﹣BG2，AG+BG＝AB，又∵AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，∴AG＝9cm，BG＝5cm，∴CG＝12cm，∴“矩形框”ABDE的周长＝2×（14+12）＝52cm；如图③﹣2，以BC为一边作“矩形框”BCNM，过点A作AH⊥CB交于H，＝×CG×AB＝×12×14＝×AH×BC，∵S△ABC∴AH＝cm，∴“矩形框”BCNM的周长＝2×（13+）＝cm；如图③﹣3，以AC为矩形一边，作“矩形框”ACTS，过点B作BK⊥AC交于点K，＝×CG×AB＝×12×14＝×BK×AC，∵S△ABC∴BK＝cm，∴“矩形框”ACTS的周长＝2×（15+）＝cm；∵＜52＜，∴该木板的“矩形框”周长的最小值为cm．一．解答题（共20题）1．（2022•罗湖区模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF是（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根据正方形的性质得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案；（2）①首先证明四边形CDEF是矩形，则DE＝CF，EF＝CD＝2，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE＝CF，AE＝BF，等量代换即可得BE＝DE；由AE＝BF，EF＝CD＝2可得AE＝BE﹣2，设BE＝x，根据勾股定理求出x的值即可；②延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，证明△ABE∽△CGH，根据相似三角形的性质求出CH、HG的值，在Rt△BHG中，根据勾股定理求出BG，即可求解．【解答】解：（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°，∴∠EBF+∠D＝180°，∵∠EBF＝90°，BF＝BE，∴四边形BEDF是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥BE，∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF，EF＝CD＝2，∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∵DE＝CF，∴BE＝DE；∵四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝2，∵△ABE≌△BCF，∴AE＝BF，∴AE＝BE﹣2，设BE＝x，则AE＝x﹣2，在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102，解得：x＝8或x＝﹣6（舍去），∴BE的长是8；②∵△BCM周长＝BC+BM+CM，∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小，如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，∴点C与点G关于AD对称，∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小，在Rt△ABE中，AE＝＝＝6，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠GCH＝180°，∴∠A＝∠GCH，∵∠AEB＝∠H＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴＝＝＝，即＝，∴GH＝，CH＝，∴BH＝BC+CH＝10+＝，∴BG＝＝＝2，∴△BCM周长的最小值为2+10．2．（2022•越秀区校级模拟）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．（1）已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件的∠D的度数；（2）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长．【分析】（1）由题意得出∠D＝2∠B或∠B＝2∠D或∠A＝2∠C，根据梯形的性质可得出答案；（2）过点D作DE∥AB，交BC于点E，证明四边形ABED为平行四边形，得出AD＝BE，∠B＝∠DEC＝∠ADE，证出∠ADC＝2∠B，则可得出结论；（3）过点E作AE∥DC交BC于点E，由等腰三角形的性质求出∠B＝∠ACB＝36°，证明△ABE∽△CBA，由相似三角形的性质得出，设AE＝BE＝CD＝x，得出方程22＝x （x+2），求出x＝﹣1，则可得出答案．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝100°，∴∠B＝80°，∵四边形ABCD是倍角梯形，∴∠D＝2∠B或∠B＝2∠D或∠A＝2∠C，若∠D＝2∠B，则∠D＝160°；若∠B＝2∠D，则∠D＝40°，若∠A＝2∠C，则∠C＝50°，∴∠D＝130°，故所有满足条件的∠D的度数为160°或40°或130°；（2）证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵∠BAD+∠B＝180°，∴AD∥BC，∵DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD＝BE，∠B＝∠DEC＝∠ADE，∵BC＝BE+CE，∴BC＝AD+CE，又∵BC＝AD+CD，∴CE＝CD，BC＞AD，∴∠CDE＝∠DEC，∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝2∠B，∴四边形ABCD是倍角梯形；（3）过点E作AE∥DC交BC于点E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠D，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，设∠B＝α，则∠D＝2α，∵∠DAC+∠D+∠ACD＝180°，∴α+2α+2α＝180°，∴α＝36°，∴∠B＝∠ACB＝36°，∴∠BAC＝∠AEB＝108°，∵∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA，∴，设AE＝BE＝CD＝x，则BC＝2+x，∴22＝x（x+2），∴x＝﹣1（负值舍去），∴CD＝﹣1．∴BC＝AD+CD＝2+﹣1＝+1．3．（2022•嘉祥县一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）由等腰三角形的三线合一定理先证AD⊥BC，再证∠DAB+∠DBA＝90°，由邻余四边形定义即可判定；（2）由等腰三角形的三线合一定理先证BD＝CD，推出CE＝5BE，再证明△DBQ∽△ECN，推出＝＝，即可求出NC，AC，AB的长度．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FBA与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴＝＝，∵QB ＝3，∴NC ＝5，∵AN ＝CN ，∴AC ＝2CN ＝10，∴AB ＝AC ＝10．4．（2021•任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：矩形或正方形；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD ，BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连结AC ，BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC ）得到Rt △AB ′D ′（如图3），当凸四边形AD ′BC 为等邻角四边形时，求出它的面积．【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）结论：AC ＝BD ，证明△APC ≌△DPB （SAS ）；（3）分两种情况考虑：Ⅰ、当∠AD ′B ＝∠D ′BC 时，延长AD ′，CB 交于点E ，如图1，由S 四边形ACBD ′＝S △ACE ﹣S △BED ′，求出四边形ACBD ′面积；Ⅱ、当∠D ′BC ＝∠ACB ＝90°时，过点D ′作D ′E ⊥AC 于点E ，如图2，由S 四边形ACBD ′＝S △AED ′+S 矩形ECBD ′，求出四边形ACBD ′面积即可．【解答】解：（1）矩形或正方形是一个等邻角四边形．故答案为：矩形，正方形；（2）结论：AC＝BD，理由：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA＝PD，PC＝PB，∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝2∠PBC，即∠PAD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴＝，即＝，解得：D′F＝，∴S △ACE ＝AC ×EC ＝×4×（3+4.5）＝15；S △BED ′＝×BE ×D ′F ＝××4.5×＝，则S 四边形ACBD ′＝S △ACE ﹣S △BED ′＝15﹣＝；（ii ）当∠D ′BC ＝∠ACB ＝90°时，过点D ′作D ′E ⊥AC 于点E ，如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD ′是矩形，∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得：AE ＝＝，∴S △AED ′＝×AE ×ED ′＝××3＝，S 矩形ECBD ′＝CE ×CB ＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S 四边形ACBD ′＝S △AED ′+S 矩形ECBD ′＝+12﹣3＝12﹣．5．（2022春•曾都区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是②④（填序号）；（2）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且EC ＝DF ，连接EF ，AF ，求证：四边形ABEF 是等角线四边形；（3）如图2，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，D 为线段AB 的垂直平分线上一点，若以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．。

中考压轴题—三角形、四边形综合(解析版)--2024年中考数学

中考压轴题-三角形、四边形综合1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

4.几何图形的归纳、猜想问题中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。

对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。

5.阅读理解问题如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。

阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。

对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。

所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键。

解题策略1.学会运用数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

中考数学四边形热点题型分类解析华东师大版

2006年中考数学四边形热点题型分类解析【专题考点剖析】本专题只有《四边形》一章内容，它是《平行线》和《三角形》这两章知识的应用和深化．试题所反映出的考点主要有：1．能根据多边形的内角和、外角和公式确定多边形的边数，•会用分割法确定多边形的对角线数、三角形数等变化规律．2．会借助平行四边形的性质定理解决线段相等、角相等和求值等问题．3．能借助定义及判定定理判断四边形中的特殊四边形．4．会根据性质定理确定特殊四边形具有性质，•并结合定义和判定定理判断与四边形有关的真假命题．5．能根据三角形中位线定理，•梯形中位线定理证明有关线段平行及等量关系的问题． 6．既会作特殊四边形的图形，又会借助平行线等分线段定理等分已知线段．7．•利用特殊四边形的面积公式解决一类与面积有关的几何问题（包括应用问题），并会解答折叠问题．8．本单元重点考查了方程思想、对称思想以及转化思想，•而且考查了学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力．【解题方法技巧】1．平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的包含关系．•注意把握特殊平行四边形与一般平行四边形的异同点才能准确、灵活地运用，中考中以矩形为主，也可与相似、圆的知识综合运用．2．梯形的运用．有关梯形问题，常常用添加辅助线的方法把梯形转化成特殊四边形与三角形的问题来解决，常见的辅助线如图：3．三角形、梯形中位线的应用．（1）注意三角形的中位线与三角形中线的区别．（2）在实际问题中常过一边的中考作另一边的平行线，•从而运用中位线定理解决问题．【热点试题归类】题型1 平行四边形1．（2006，南安）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，•那么这个多边形的边数n=_______．2．（2006，浙江温州）如图1，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC，△HFG，• △DCE，已知BC=12CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．•设图中三个平行四边形的面积依次是S1、S2、S3，若S1+S2=10，则S2=______．（1）（2）（3）（4）3．（2006，攀枝花）如图2，AD=BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需补充的一个条件是：__________．4．（2006，晋江）不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ．AB=CD ，AD=BCB ．AB=CD ，AB ∥CDC ．AB=CD ，AD ∥BC D ．AB ∥CD ，AD ∥BC5．（2006，广东课改区）如图3，在ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中一定成立的是（）A ．AC ⊥BDB ．OA=OC C ．AC=BD D ．AO=OD6．（2006，苏州）如图4，如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°，那么∠BCD 的度数等于（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°7．（2006，淄博）如图5，在△MBN 中，BM=6，点A 、C 、D 分别在MB、NB 、MN 上，四边形ABCD 为平行四边形，∠NDC=∠MDA ，那么ABCD 的周长是（）A ．24B ．18C ．16D ．128．（2006，海淀区）已知：如图所示，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 和AD•上的点，且BE=DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．9．（2006，旅顺口）如图，在ABCD 中，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：AE=CF ．（5）10．（2006，福建泉州）已知：如图，在ABCD中，E、F是对角线AC•上的两点，• AE=CF．求证：BE=DE．11．（2006，南京）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形AECF是平行四边形．12．（2006，大连）如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD•所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）．（1）连结__________；（2）猜想：_________．（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）．题型2 矩形、菱形、正方形1．（2006，深圳）如图1所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD•相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________．(1) (2) (3) (4) 2．（2006，陕西）如图2，矩形ABCG（AB<BC）与矩形CDEF全等，点B、C、D•在同一条直线上，∠APE的顶点在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2006，黄冈）如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连结BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．BE=AF B．∠DAF=∠BECC．∠AFB+∠BEC=90° D．AG⊥BE4．（2006，浙江）如图4，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，• 那么ABCD的周长是（）A．4 B．8 C．12 D．165．（2006，成都）把一张长方形的纸片按如图5所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A．85° B．90° C．95° D．100°(5) (6) (7) 6．（2006，白云山区）菱形的两条对角线分别为6cm，8cm，则它的面积为（）A．6cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm27．（2006，广州）如图6（1），将一块正方形木板用虚线划分成36•个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板，用这副七巧板拼成如图（2）所示的图案，则图6（2）•中的阴影部分的面积是整个图案面积的（）AB．14C．17D．188．（2006，天津）下列判断中正确的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形9．（2006，绵阳）如图7，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性10．（2006，广安）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角 D．四条边相等11．如图8，平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若再增加一个条件________，就可推得BE=DF．12．（2006，上海）在下列命题中，真命题是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两要对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平行的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形13．（2006，晋江）已知：如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，• 连结BE、DG，求证：BE=DG．(8)14．（2006，盐城）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC 分别相交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．15．（2006，哈尔滨市）已知：如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，连结BE，•过点A作AH⊥BE，垂足为H，延长AH交CD于点F．求证：DE=CF．16．（2006，海淀区）下图是由三个小正方形组成的图形，•请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．17．（2006，成都）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC•延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．题型3 梯形1．（2006，南安市）已知等腰梯形的一个内角为100°，•则其余三个角的度数分别是______．2．（2006，成都）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠AD，对角线AC、BD•相交于点O，如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC=∠DCA；③△AOB≌△DOC；④△AOD∽△BOC．请把其中正确结论的序号填在横线上：________．(1) (2)3．观察图2所示图形并填表：4．（2006，福建泉州）下列命题中，假命题的是（）A．四条边都相等的四边形是菱形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形．5．（2006，哈尔滨）下列各命题正确的是（）AB．梯形同一底上的两个角相等C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等6．（2006，白云山区）四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：1：1：2，则四边形ABCD 的形状是（）A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．平行四边形7．（2006，哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．矩形 C．正五边形 D．等腰梯形8．（2006，天津）如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点，若EF=18cm，MN=8cm，则AB的长等于（）A．10cm B．13cm C．20cm D．26cm(3) (4) (5)9．（2006，温州）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD•的长是（）A．6 B．5 C．4 D．310．（2006，浙江绍兴）如图5，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（）A．2：1 B．1：2 C．3：2 D．2：311．（2006，攀枝花）若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（） A．90° B．60° C．45° D．30°12．（2006，深圳市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠ADC=120°．（1）求证：BD⊥DC；（2）若AB=4，求梯形ABCD的面积．题型4 综合创新1．（2006，深圳）如图1，在ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cosA的值等于（）A ．33.6666B C D(1) (2) (3)2．（2006，晋江）将n 个边长都为1cm 的正方形按如图2所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A ．14cm 2B ．21..44n n cmC -cm 2D ．（14）n cm 2 3．（2006，南京）如图3，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10，在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH ，矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ，令MN=x ，当x•为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？4．（2006，旅顺口）如图，•已知边长为4•的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=1，试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．5．（2006，攀枝花）某社区拟筹资金2 000元，计划在一块上、下底分别是10米、•20米的梯形空地上种植花木（如图所示），他们想在△AMD 和△BMC•地带种植单价为10元/平方米的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，•若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．6．（2006，白云区）在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”（小正方形的边长设为1个长度单位），以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题．（1）把格点△ABC向右平移6个长度单位，得△A′B′C′，请画出该三角形．（2）以a、b交点O为对称中心，画出△A′B′C′关于点O的中心对称图形△A•″B″C″；（3）如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（-3，4），请写出△A″B″C″各顶点的坐标，并求出△A″B″C″的周长（结果用根号表示）．7．（2006，江西南昌）如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．（1）求证：四边形CDC′E是菱形；（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明．8．（2006，旅顺口区）如图①②③，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、• 正五边形ABCMN中心C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．（1）求图①中∠APD的度数．（2）图②中∠APD的度数为_____，图③中∠APD的度数为_______．（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，若能，•写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．9．（2006，南京）有矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图①），AF=23，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G（如图②），△AED•的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG的长．10．（2006，绵阳）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、•D•作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足为E、F，如图①．（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P在DC的延长线上（如图②），•那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论．（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．11．（2006，陕西）如图，D为ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；（2）求证：∠MAE=∠NCF．12．（2006，温州）如图，在ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A•出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连结AM，设AP=x．（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由．（2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等？13．（2006，陕西）观察如图所示网格中的图形，解答下列问题：（1）将网格中左图沿水平方向向右平移，使点A移至点A′处，作出平移后的图形；（2）（1）中作出的图形与右边原有的图形组成一个新的图形，•这个新图形是中心图形还是轴对称图形？14．（2006，陕西）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm•的正方形板子，另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①），•王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．（1）求FC的长．（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．①②15．（2006，广安）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是底边BC•的中点，连结AE、DE，求证：△ADE是等腰三角形．16．（2006，重庆）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，•BC=•2，tan ∠ADC=2．（1）求证：DC=BC；（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值．17．如图①所示，有一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．•沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图②所示）．将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移．在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、B2C2分别交于点F、P．（1）当△AC1D1平移到如图③所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x•的函数关系式，以及自变量的取值范围．（3）对于（2）的结论是否存在这样的x的值，使得重叠部分面积为△ABC面积的14？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．18．（2006，上海市）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F、G•分别在边AB、BC、CD上，AE=GF=GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形．（2）当∠FGC=2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形．题型5 中考新题型1．下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，•又能拼出三角形的图形是_______．（请填图形下面的代号）．2．（2006，浙江）小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（）3．（2006，海淀区）在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是（）A．先向下移动1格，再向左移动1格B．先向下移动1格，再向左移动2格C．先向下移动2格，再向左移动1格D．先向下移动2格，再向左移动2格4．（2006，温州）如图，在边长为1的正方形网格中，按下列方式得到“L•”形图形，第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是12，则第n个“L”形图形的周长是________．5．（2006，广州）下图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF，从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B→D→A→E，•路线2是B→C→F→E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．6．（ 2006，浙江）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（•称为一次操作），如图①（虚线表示折痕）．除图①外，请你再给出三种不同的操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图①和图②表示相同的操作）．7．（2006，浙江台州）善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，•对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形，他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）从特殊梯形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位线（如图①），根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似？•（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形_______（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）．问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？（1）从特殊平行线入手探究，梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形________（•填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）．（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，•AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P、Q在梯形的两腰上，如图②），•使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由．（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定_______（•填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似．若存在，则确定这条平行线位置的条件是APPB=________（不妨设AD=a，BC=b，AB=c，CD=d，不要求证明）．①②③8．（2006，晋江）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD，一动点P 从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2s时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2s时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB•上以1cm/s的速度匀速运动（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动），过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为ts（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）．①求S关于t的函数关系式；②求S的最大值．【热点试题详解】题型11．6 点拨：（n-2）·180°=360°×2，解得n=6．2．4 点拨：设S△ABC=S，则S1=S△ABC -2S△BMF =S-2×14S=12S，S2=94S-14S-S=S，S3=4S-2S=2S．∵S1+S3=10，即12S+2S=10，解得S=4．∴S2=S=4．3．答案不唯一，如①AD∥BC，②AB=CD，③∠A+∠B=180°，④∠C+∠D=180°等．4．C 5．B 6．C7．D 点拨：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠NDC=∠NMB．∵∠NDC=∠MDA，∴∠NMB=∠MDA，∴AD=AM．∴ABCD的周长=2AD+2AB=2（AM+AB）=2BM=12．8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，在△ABE和△CDF中，,,, AB CDB D BE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△CDF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠CFD=90°（垂直定义）．∴∠ABE=∠CDF（等角的余角相等）．∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）．10．证明：如图，∵ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠1=∠2．又∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF．∴BE=DF．11．证明：（1）ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．∵E、F分别是AB、CD的中点，∴DF=12CD，BE=12AB，∴DF=BE．∴△AFD≌△CEB．（2）在ABCD中，AB=CD，AB∥CD．由（1）得BE=DF，∴AE=CF．∴四边形AECF是平行四边形．12．解：（1）CF；（2）CF=AE；（3）证明：∵ABCD是平行四边形（已知），∴AD//CB（平行四边形的对边平行且相等）．∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）．∴∠ADE=∠CBF（等角的补角相等）．在△CBF和△ADE中，,,,CB ADCBF ADE BF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBF≌△ADE（SAS）．∴CF=AE（全等三角形的对应边相等）．题型21．答案不唯一，如AC=BD或∠BAD=90°，2．C 3．C4．D 点拨：∵EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=4，∴ABCD的周长=4BC=16．5．B 点拨：∠EMF=∠EMB′+∠FMB′=12∠BMC′+12∠CMC′=12×180°=90°．6．C 点拨：S菱形=12×6×8=24（cm2）．7．D 8．D 9．D 10．A11．答案不唯一，如AE=CF或DE=BF或BE∥DF等．12．C13．证明：∵四边形ABCD、EFGC是正方形，∴∠ECB=∠GCD=90°，BC=DC，EC=GC，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG．14．证明：∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°．∵ABCD是平行四边形，∴∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF．∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．又EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．15．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，∵AH⊥BE，∴∠AHB=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠DAF=∠ABE．在△ADF与△BAE中，,,.,DAF ABEAD BA ADF BAED BAE∠=∠⎧⎪=∴∆≅∆⎨⎪∠=∠⎩∴AE=DF，∴AD-AE=CD-DF，即DE=CF．16．解：如图．17．（1）证明：∵AF∥CE，∴∠FAD=∠ECD．在△ADF和△CDE中，,,,FAD ECDADF CDE AD DC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF≌△CDE．∴AF=CE．（2）解：∵AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形．∵AC=EF，∴四边形AFCE是矩形．题型31．100°，80°，80° 2．①③④3．21，25，4n+1 4．D5．A 点拨：选项A选项B，应为等腰梯形同一底上的两个角相等；选项C，应为过直线一点；选项D，应为两条平行直线．6．C 点拨：∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴四边形ABCD是等腰梯形．7．B 点拨：等边三角形、正五边形、等腰梯形仅是轴对称图形．8．D 点拨：EM=FN=12（EF-MN）=5cm，CD=2EM=10cm，AB+CD=2EF=36cm，∴AB=36-CD=26cm．9．B 点拨：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵CA平分∠BCD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD=5．10．A11．B 点拨：如图，过点D作DE∥AB，交BC于E，则△DEC是等边三角形，∴∠C=60°．12．（1）证明：∵AD∥BC，AB=DC=AD，∴ABCD是等腰梯形，∴∠BAD=∠ADC=120°，∠ADB=∠ABD=12（180°-∠BAD ）=30°． ∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°，∴BD ⊥DC ．（2）解：过点D 作DE ⊥BC 于E ，过A 作AF ⊥BC 于F ．在Rt △DCE 中，DC=AB=4，∠C=60°，∴DE=DC ·sinC=4sin60°∴BC=2CE+EF=2×2+4=8．∴S 梯形ABCD =12×（4+8）× 题型41．A2．C 点拨：每一个重叠部分的面积为正方形面积的14． 3．解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ，∴MN MF AD AB=， ∵AB=2AD ，MN=x ，∴MF=2x ．∴EM=EF-MF=10-2x ．∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2（x-52）2+252． ∴当x=52时，S 有最大值为252． 4．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x ≤4），易知CN=4-x ，EM=4-y ．且有NP BC BF CN AF-=．即34y x --=12，∴y=-12x+5．S=xy=-12x 2+5x （2≤x ≤4）．此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5．∴当x ≤5时，函数值是随x 的增大而增大，对2≤x ≤4来说，当x=4时，S 有最大值，S 最大=-12×42+5×4=12． 5．解：∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴△AMD ∽△BMC ，∵AD=10，BC=20，2101()204AMD BMC S S ∆∆==． ∵S △AMD =500÷10=50（平方米），∴S △BMC =200平方米．还需要资金200×10=2 000（元），而剩余资金为2 000-500=1 500（元）<2 000（元），∴资金不够用．6．解：（1）图形略．（2）图形略．（3）A ″（-3，-4），B ″（-1，-1），C ″（-3，-1）．∵A ″C ″=3，B ″C ″=2，∴A ″B ″∴△A ″B ″C ″的周长为A ″C ″+B ″C ″+A ″B ″7．（1）证明：根据题意可得：CD=C ′D ，∠C ′DE=∠CDE ，CE=C ′E ，∵AD ∥BC ，∴∠C ′DE=∠CED ．∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE，∴CD=C′D=C′E=CE，∴四边形CDC′E为菱形．（2）解：当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形，理由：（1）知CE=CD，又∵BC=CD+AD，∴BE=AD，又∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形．8．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°．∵BE=CD，∴△ABE≌△BCD．∴∠BAE=∠CBD．∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．（2）90°，108°．（3）能．点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=•CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数为(2)180nn-︒．9．解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=23，∠D=90°，根据轴对称的性质，得EF=AF=23，∴DF=AD-AF=13．在Rt△DEF中，=（2）如图，设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO=EO．取AD的中点M，连结MO．则MO=12DE，MO∥DC，设DE=x，则MO=12x．在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°．∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心，延长MO交BC于点N，则ON∥CD，∴∠CNM=180°-∠C=90°，∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形，∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=2-12x．∵△AED的外接圆与BC相切，∴ON是△AED的外接圆的半径，∴OE=ON=2-12x，∴AE=2ON=4-x．在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，∴12+x2=（4-x）2，解这个方程，得x=158．∴DE=158，OE=2-12x=1716．根据轴对称的性质，得AE⊥FG，∴∠FOE=∠D=90°．又∵∠FEO=∠AED，∴△FEO ∽△AED ，∴,FO OE OE FO AD DE DE=∴=·AD ．可得FO=1730．又AB ∥CD ，∴∠EFO=∠AGO ，∠FEO=∠GAO ，∴△FEO ≌△GAO ，∴FO=GO ，∴FG=2FO=1715． ∴折痕FG 的长是1715． 10．解：（1）图①中，BE=DF+EF ；图②中，BE=DF-EF ；图③中，BE=EF-DF ．（2）证明：如图题①，∵ABCD 是正方形，∴AB=AD ．∵BE ⊥PA ，DF ⊥PA ，∴∠AEB=∠AFD=90°，∠ABE+∠BAE=90°．∵∠DAF+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠DAF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF ．∴BE=AF ，AE=DF ，而AF=AE+EF ，∴BE=DF+EF ．11．解：（1）有4对全等三角形，分别为△AMO ≌△CNO ，△OCF ≌△OAE ，△AME ≌△CNF ，△ABC ≌△CDA ．（2）证明：∵OA=OC ，∠1=∠2，OE=OF ，∴△OAE≌△OCE，∴∠EAO=∠FCO．在ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∴∠MAE=∠NCF．12．解：（1）四边形PMCN不可能是菱形．理由是：∵PM∥AB∥CD，PN∥AD∥BC，∴PMCN是平行四边形．∵AC=BC，AC⊥BC，∴∠ABC=∠BAC=45°，∴∠CMP=∠MPC=45°，∴PC=CM≠PM，∴四边形PMCN不可能是菱形．（2）S四边形PMCN=CM·PC=PC2=（2-x）2，S△ABM=12AC·BM=12×2×x=x．∴（2-x）2=x，解得x1=1，x2=5（舍）．所以当x=1时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等．13．略．14．解：（1）由题意，得△DEF∽△CGF，∴6030,60 DF DE FCFC CG FC-=∴=，∴FC=40（cm）．（2）如题图，矩形顶点B所对顶点为P，则①当顶点P在AE上时，x=60，y的最大值为60×30=1 800（cm2）．②当顶点P在EF上时，根据题意，得△GFC∽△GPN，∴PN FCNG CG，∴NG=32x，∴BN=120-32x，∴y=x（120-32x）=-32（x-40）2+2 400．∴当x=40时，y的最大值为2400（cm2）．③当顶点P在FC上时，x=40，y的最大值为60×40=2 400cm2．综合①②③，得x=40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2 400cm2．（3）根据题意，正方形的面积y（cm2）与边长x（cm）满足的函数表达式为y=-32x2+120x，又正方形的最大面积为x2，∴x2=-32x2+120x，解得x1=0（舍），x2=48（cm）．15．证明：∵ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C．∵E是BC中点，∴BE=CE．又AB=CD，∴△ABE≌△DCE．∴AE=DE，∴△ADE是等腰三角形．16．（1）证明：过A作DC的垂线AM交DC于M，则AM=BC=2，又tan∠ADC=2，∴DM=22=1，即DC=BC．（2）解：△ECF是等腰直角三角形．理由：∵DE=BF，∠EDC=∠FBC，DC=BC，∴△DEC≌△BFC．∴CE=CF，∠ECD=∠BCF，∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°．即△ECF是等腰直角三角形．（3）设BE=k，则CE=2k，∴EF=2k，∵∠BEC=135°，又∠CEF=45°，∴∠BEF=90°，∴，∴sin∠BFE=1 33kk=．17．解：（1）D1E=D2F．∵C1D1∥C2D2，∴∠C1=∠AFD2．又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，∴∠C1=∠A，∴∠AFD2=∠A，∴AD2=D2F．同理：BD1=D1E．又∵AD1=BD2，∴AD1=BD1，∴D1E=D2F．（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴由勾股定理，得AB=10．即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5．又∵D2D1=x，∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x．∴C2F=C1E=x．在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，为245．设△BED1的BD1边上的高为h，由探究，得△BC2D2∽△BED1，∴52455h x-=，∴h=24(5)25x-．S△BED1=12×BD1×h=1225（5-x）2．又∵∠C1+∠C2=90°，∴∠EPC1=90°．又∵∠C2=∠B，sinB=45，cosB=35．∴PC2=35x，PF=45x，S△FC2P=12PC2×PF=625x2，而y=S△BC2D2 -S△BED1 -S△FC2P=12S△ABC -1225（5-x）2-625x2．∴y=-1825x2+245x（0≤x≤5）．（3）存在．当y=14S△ABC时，即-1825x2+245x =6．整理，得3x2-20x+25=0，解得x1=53，x2=5．即当x=53或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的14．18．（1）证明：∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF．∵AD∥BC，AB=DC，∴∠GCF=∠B．∴∠GFC=∠B，∴GF∥AB，即GF∥AE．∵AE=GF．∴四边形AEFG是平行四边形．（2）在△GFC中，∠FGC=180°-2∠GFC，∵∠FGC=2∠EFB，∴2∠EFB=180°-2∠GFC，∴∠EFB+∠GFC=90°．∴∠EFG=180°-（∠EFB+∠GFC）=90°，∴四边形AEFG是矩形．题型51．② 2．A 3．C 4．4n+45．解：两条路线的路程相等．理由：延长FD交AB于G．∵AB∥DC，即DE∥AG，又点F是AF中点，∴FD=DG=AD．而四边形BCDG和四边形BCFD都是平行四边形．∵路线1的路程=BD+DA+AE，路线2的路程=BC+CF+FE，其中BD=CF，AE=FE，DA=BC，∴两条路线的路程相等．6．解：操作如图：7．解：问题一：（1）不相似．∵MN 是梯形中位线，∴MN=12（AD+BC ）=12（2+8）=5． ∴AM DN MN AD AB DC BC AD =≠≠， ∴梯形AMND 与梯形ABCD 不相似．（2）不相似．问题二：（1）不相似．（2）能．28PQ PQ =， ∴PQ 2=16，∴PQ=4．此时2PA PB PQ ==12，∴PA=2，PB=4． DQ QC =12，∴DQ=43，QC=83，有AD PQ PA DQ PQ BC PB QC===．又两梯形中的对应角相等，∴梯形APQD ∽梯形PBCQ ．（3）存在，APPB =． 8．解：（1）当点P 运动2s 时，AP=2cm ，在Rt △PAE 中，由∠A=60°知AE=1，S △APE （2）①∵在Rt △ABD 中，AD=4，∠A=60°，∴AB=8．（a ）当0≤t ≤6时（如图）．点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，在Rt △AFQ 中，由∠AFQ=90°，∠A=60°，AQ=t ，可得AF=2t ，t ．在Rt △AGP 中，由∠AGP=90°，∠A=60°，AP=t+2，可得AG=12AP=1+2t ，AP=．此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S=S △APG -S △AQF =2t+2．（b ）当6<t ≤8时（如图）．点P 在BC 上运动，点Q 在AB 上运动，设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则MP ⊥BC 于P ．AQ=t ，AF=2t ，． ∵BP=t+2-8=t-6，CP=10-t ，∴在Rt △CPG 中，由∠CPG=90°，∠C=60°，可得10-t ），而故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为 S=（S △ABD -S △AQF ）+（S △BCD -S △CPG ）=-8t 2故S 关于t 的函数关系式为S=26,8.8t t +≤≤⎨⎪-+-<≤⎪⎩②当0≤t ≤6时，， S 随t 的增大而增大，∴当t=6时，S2；当6<t ≤8时，t 2=-8（t-8）2∴当t=8时，S 的最大值为2．综上，当t=8时，S 有最大值为2．。

中考数学新定义题型专题05 四边形中的新定义问题(学生版)

专题05 四边形中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型：(1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识";(3)定义新概念。

这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题1．阅读与探究我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．请结合上述阅读材料，解决下列问题：（1）在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是；（写出一种即可）（2）下面图1，图2均为66的正方形网格，点A，B，C均在格点上，请在图中标出格点D，并连接AD，CD，使得四边形ABCD符合下列要求：图1中的四边形ABCD是勾股四边形，并且是轴对称图形；图2中的四边形ABCD是勾股四边形且对角线相等，但不是轴对称图形．2．阅读理解：定义：有三个内角相等的四边形叫“和谐四边形”．（1）在“和谐四边形”ABCD中，若135∠=；B∠=︒，则A（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C 处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是“和谐四边形”．3．定义：长宽比为:1(n n为正整数）的矩形称为n矩形．通过下面的操作方式我们可以折出一个2矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BD．1操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为2矩形．证明：设正方形ABCD 的边长为1，则BD由折叠性质可知1BG BC ==，90CFE BFE C ∠=∠=∠=︒，则四边形BCEF 为矩形．90A BFE ∴∠=∠=︒．//EF AD ∴． ∴BG BFBD AB =1BF =． ∴BF =∴:BC BF ==．∴四边形BCEF阅读以上内容，回答下列问题：（1）已知四边形BCEF 矩形，沿用上述操作方式，得到四边形BCMN ，如图②，求证：四边形BCMN（2）在图②中，求2tan D BC ∠的值．（3）若将矩形沿用上述方式操作m 次后，得到一个矩形，求k 和1tan k D BC -∠的值．（用含m 和n 的代数式表示，直接写出结论即可）4．我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180)︒，则称这个四边形为圆满四边形．（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有矩形，正方形．（2）问题探究：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若ADB ACB ∠=∠，问四边形ABCD 是圆满四边形吗？请说明理由．小明经过思考后，判断四边形ABCD 是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明AOD BOC ∆∆∽，得到比例式OA OD OB OC =，再证明AOB DOC ∆∆∽，得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补．请你帮助小明写出解题过程．（3）问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题．如图，四边形ABCD 中，AD BD ⊥，AC BC ⊥，AB 与DC 的延长线相交于点E ，BE BD =，5AB =，3AD =，求CE 的长．5．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．（1）矩形垂等四边形（填“是”或“不是” )；（2）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AD ，AB ，BC 边上．若四边形DEFG 是垂等四边形，且90EFG ∠=︒，AF CG =，求证：EG DG =；（3）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC=，25AB =，以AB 为对角线，作垂等四边形ACBD ，过点D 作CB 的延长线的垂线，垂足为E ，且ABC ∆与BDE ∆相似，求四边形ACBD 的面积．6．阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，55A B DEC ∠=∠=∠=︒，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，5AB =，2BC =，A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个最小正方形的边长为1)的格点（即每个最小正方形的顶点）上，若图2中，矩形ABCD 的边AB 上存在强相似点E ，则:AE EB = ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．7．我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图点E 是四边形ABCD 内一点，已知BE EC =，AE ED =，90BEC AED ∠=∠=︒，对角线AC 与BD 交于O 点，BD 与EC 交于点F ，AC 与ED 交于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是垂美四边形；（2）猜想四边形ABCD 两组对边AB 、CD 与BC 、AD 之间的数量关系并说明理由；（3）若3BE =，4AE =，6AB =，则CD 的长为．8．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．（1）如图1，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，1AB =，2CD ，BCD DBC ∠=∠，判断四边形ABCD 是不是“等邻边四边形”，并说明理由；（2）如图2，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，1BC =，现将Rt ABC ∆沿ABC ∠的平分线BB '方向平移得到△A B C '''，连接AA '，BC '，若平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，求BB '的长．9．我们学过了特殊的四边形，体验了通过作平行线、垂线、延长线等常用方法，把四边形问题转化为三角形问题的重要思想．除了我们学过的特殊四边形，还有很多特殊四边形．我们定义：四边形中，除一边以外其余的部分都在这条边的同侧，这个四边形就叫做凸四边形；有一组邻角相等的凸四边形就叫做“等邻角四边形”，根据这个定义，请解决下列问题．（1）概念理解如图（1），在ABC∆中，CH AB⊥于H，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连接DF、EF、EH、DE、FH，写一个图形中的“等邻角四边形”：（不再添加除图形以外的字母）；（2）解决问题如图（2），四边形ABCD是“等邻角四边形”，且DAB ABC∠=∠，延长AB、DC交于点P．求证：AD PC BC PD⋅=⋅；（3）探索研究如图（3），Rt ABCAC=，3AD=，点E是BC边上的一个AB=，4∠=︒，8∆中，90BAC动点，当四边形ADEC成为“等邻角四边形”时，求四边形ADEC的面积．10．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是；（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG 是垂等四边形，且90=．∠=︒，AF CGEFG①求证：EG DG =；②若BC n BG =⋅，求n 的值；（3）如图2，在Rt ABC ∆中，2AC BC =，5AB =，以AB 为对角线，作垂等四边形ACBD ．过点D 作CB 的延长线的垂线，垂足为E ，且ACB ∆与DBE ∆相似，求四边形ACBD 的面积．11．新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”， A C ∠≠∠，60A ∠=︒，70B ∠=︒，求C ∠，D ∠的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形” ABCD （如图2)，其中ABC ADC ∠=∠，AB AD =，此时她发现CB CD =成立．请你证明此结论（3）已知：在“等对角四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，10AB =，8AD =．求对角线AC 的长．12．定义：长宽比为:1(n n 为正整数）的矩形称为n 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a 所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为2矩形．（1）证明：四边形ABCD为2矩形；（2）点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM ON⊥，连接MN．求tan OMN∠的值；②若AM AD=，点N在边BC上，当DMN∆的周长最小时，求CNNB的值；③连接CM，作BR CM⊥，垂足为R．若22AB=，则DR的最小值=．13．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，ABC∆的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）①如图2，在四边形ABCD中，80ABC∠=︒，140ADC∠=︒，对角线BD平分ABC∠．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若4BD=，求AB BC⋅的值．运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，30EFH HFG∠=∠=︒．连接EG，若EFG∆的面积为63FH的长．14．新定义：两邻角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）四边形ABDE 是邻余四边形，则下列说法正确的是（填序号）．①AE ，BD 的延长线的夹角为90︒；②若AB 为邻余线，则AB 是最长边；③若AB 为邻余线，则D ABD ∠>∠．（2）在64⨯的方格纸中，A ，B 在格点上，请在图①，图②中各画出一个符合条件的邻余四边形ABHG ，使AB 不是邻余线，G ，H 在格点上．（3）如图③，四边形ABDE 是邻余四边形，AB 为邻余线，点F 为DE 的中点，连接AF ，BF ，恰有AF ，BF 分别平分EAB ∠，DBA ∠．若8AE BD ⋅=，求DE 的长．15．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在44⨯的正方形网格中，有一个网格Rt ABC ∆和两个网格四边形ABCD 与ABCE ，其中是被AC 分割成的“友好四边形”的是；（2）如图2，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，点B '落在边AC ，过点A 作//AD A B ''交CA '的延长线于点D ，求证：四边形ABCD 是“友好四边形”；（3）如图3，在ABC ∆中，AB BC ≠，60ABC ∠=︒，ABC ∆的面积为63，点D 是ABC ∠的平分线上一点，连接AD ，CD ．若四边形ABCD 是被BD 分割成的“友好四边形”，求BD 的长．16．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3BC =．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．（1）如图1，四边形CDEF 是ABC ∆的内接正方形，则正方形CDEF 的边长1a 等于；（2）如图2，四边形DGHI 是（1）中EDA ∆的内接正方形，那么第2个正方形DGHI 的边长记为2a ；继续在图2中的HGA ∆中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，⋯⋯则第n 个内接正方形的边长n a = ．(n 为正整数）17．有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．（1）已知四边形ABCD 是倍角梯形，//AD BC ，100A ∠=︒，请直接写出所有满足条件的D ∠的度数；（2）如图1，在四边形ABCD 中，180BAD B ∠+∠=︒，BC AD CD =+．求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC ，当2AB AC AD ===时，求BC 的长．18．我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边．（1）下列选项中一定是“奇妙”四边形的是．（填写序号）；①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形（2）如图，在722⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD 的四个顶点均在格点（小正方形的顶点）上，连接AC ．①图中ACD ∆中CD 边上的高的长为．②请判断四边形ABCD 是否为“奇妙”四边形，说明理由；③请用图中的ABC ∆和ADC ∆拼成一个新的图形（两个三角形不重叠），使得该图形为轴对称图形，在网格图中画出两个你所拼后的图形（全等的图形只能算一个），所拼的两个图形分别为、（在原图上作图，或在空余网格处作图均可，注明图形顶点字母并表示在横线上）；（3）已知在“奇妙”四边形ABCD 中，其中一条“奇妙”边2AB =，对角线2BD =，60ADC ∠=︒，请直接写出该“奇妙”四边形的周长．19．定义：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”．如图1，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，满足2AC AB AD =⋅，四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是亮线．（1）以下说法正确的是（填写序号）①正方形不可能是闪亮四边形；②矩形中存在闪亮四边形；③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60︒．（2）如图2，四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，9AD =，12AB =，20CD =，判断哪一条线段是四边形ABCD 的亮线？请你作出判断并说明理由．（3）如图3，AC 是闪亮四边形ABCD 的唯一亮线，90ABC ∠=︒，60D ∠=︒，4AB =，2BC =，请直接写出线段AD 的长．20．我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）如图①，请你在图中画出格点M ，使得四边形OAMB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形；（2）如图②，将ABC ∆绕顶点B 按顺时针方向旋转60︒，得到DBE ∆，连接AD ，DC ，CE ．若30DCB ∠=︒，则四边形ABCD 是勾股四边形，为什么？。

2024年中考数学压轴题型-专题02 与特殊四边形有关问题的压轴题之四大题型(解析版)

专题02与特殊四边形有关问题的压轴题之四大题型目录【题型一与矩形有关问题的压轴题】 (1)【题型二与菱形有关问题的压轴题】 (14)【题型三与正方形形有关问题的压轴题】 (25)【题型四与特殊平行四边形中新定义探究问题压轴题】 (37)【题型一与矩形有关问题的压轴题】由题意知，60DAN ∠=︒，4AD AB ==∴cos 602AN AD =⋅︒=，sin DN AD =⋅∴3tan 2DN DGN GN ∠==，∵FBG △是等腰三角形，∴11124BM GM BG AB ====，∴3AM =，由题意，设5AB BC x ==，则4OB x =【变式训练】1．（2023·浙江·一模）如图1，菱形ABCD 中，=60B ∠︒，2AB =，E 是边BC 上一动点（不与点B 、C 重合）连结DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C '，连结AC '并延长交直线DE 于点P 、F 是AC '的中点，连结DC '、DF ．(1)填空：DC '=________；FDP ∠=________．(2)如图2，将题中条件“=60B ∠︒”改成“90B Ð=°”，其余条件均不变，连结BP 线段间的数量关系，并对你的猜想加以证明．(3)在（2）的条件下，连结AC ．①若动点E 运动到边BC 的中点处时，求ACC '△的面积；90GAP∴∠=︒，四边形ABCD是菱形，Ð∴四边形ABCD是正方形，90ADC BAD∴∠=∠=︒，AB AD=，由（1）得：12 FDP ADC ∠=∠AD C D'=，AF C F'=，∠=∠=由（2）得：APB G∴∠=∠+∠= BPD BPA DPFBPD BCD∴∠=∠=︒，90∴B、P、C、D四点共圆，四边形ABCD是正方形，∴=，OA OC上，∴在OA12ACC S AC C M ''∴=⋅ ，222AC AB == ，1222ACC S C M ''∴=⨯= ∴当C M '取最大时，S △22BD AC == ，122DM BD ∴==，2C M C D DM ''∴=-=-()2222ACC S '∴=-= 故ACC '△面积的最大值为=，求证：(1)在线段BC上取一点T，使CE CT(2)图中7AE=．AB=，1∆周长的最大值和最小值；①点F在线段BC上，求EFG②记点F关于直线AB的轴对称点为点【答案】(1)见解析(2)①最小值为93，最大值为343；60FEG ∠=︒ ，60TEC ∠=︒，FET TEG GEC TEG ∴∠+∠=∠+∠，FET GEC ∴∠=∠，在FET ∆和GEC ∆中，FET GEC ET CE FTE GCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ΔΔEFT EGC ASA ∴≅，FT CG ∴=；（2）解：①如下图，当点F 与点B 重合时，同（1）可得，FE GF =，60FEG ∠=︒ ，FEG ∴∆是等边三角形，同理可得，当点F 在BC 边上时，FEG ∆均是等边三角形，当FE BC ⊥时，EF 最短，如下图，7AB AC == ，1AE =，716CE AC AE ∴=-=-=，又60ACF ∠=︒ ，30CEF ∴∠=︒，过点E 作EH BC ⊥于H ，则3CH =，33EH =，734BH BC CH ∴=-=-=，在Rt BHE 中，2BE BH EH =+∴作CM AB ⊥于M ，点F 关于AB 的对称点N 在OF ON CM ∴==，37322CM BC ABC BC =⋅∠==，732OF ∴=，连接BN，点N与点F关于AB对称，ABN ABC∴∠=∠=︒，60，∠=︒BAC602CF BC BF ∴=-=，02CF ∴<<或14CF >．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是证明三角形相似．【题型二与菱形有关问题的压轴题】(1)求证：CBE FEB ∠=∠．(2)当A ，F ，C 三点共线时，用含(3)若5AB AE =，BCF △能否是等腰三角形？若能，求【答案】(1)见解析由对称得BE AC ⊥，∴90ABE BAC ∠+∠=︒，∵90DAC BAC ∠+∠=︒，∴ABE DAC ∠=∠．=(如图3)，则5a=若FB BCn=，∴5若FC BC =（如图4），由NC (2260251313a na a na ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得132n =∴n 的值为5013或5或132．【点睛】题目主要考查矩形及折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，进行分类讨论，作出相应图形是解题关键．【变式训练】1．（2023·浙江金华·校联考三模）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，动点P 从点A 开始以每秒2个单位长度沿AB 向终点B 运动，同时，动点Q 从点C 开始沿C D A --以每秒3个单位长度向终点A 运动，它们同时到达终点．连接PQ 交AC 于点E ．过点E 作EF PQ ⊥，交直线CD 于点F ．1AQ AD DQ =-=，(23AP CD =同理：AME ABC ∽△△，∴12EM BC AM AB ==，∴22AM EM h ==．若点F 在Q 的右侧，如图3，当FEQ △作PH CD ⊥于点H ，而B PHQ ∠=∠=∴ABC PHQ ∽，则2AB H PH Q BC ==，∴112QH PH ==．∵222242=+=+AC AB BC 又∵32CE AE =∴24555AE AC ==．∵由FEQ ABC ∽△△结合对顶角可得：由90FEQ NEG ∠=∠=︒，得FEN ∠∴Rt Rt FEN QEG ∽△△，∴2EN EF EG EQ==．同理可得：12AG BC EG AB ==，(1)如图（1），当0α=︒，求n m的值．(2)如图2，若090α︒≤≤︒，求m 关于n 的数量关系．(3)若CEF △旋转至A ，E ，F 三点共线，求m 的值．【答案】(1)5 四边形ABCD 是矩形，90ADC BCE ∴∠=∠=︒，AD =在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：在Rt CEF ∆中，4CE =，3EF =，5CF ∴=，∴3EF =，63AB ==，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：在Rt CEF ∆中，4CE =，3EF =，5CF ∴=，∴34EF CE =，6384AB BC ==，同理得：AFC BEC ∆∆∽，∴54AC AF BC BE ==，AF =48211255BE AF -∴==综上，821125BE +=或BE 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握【题型三与正方形形有关问题的压轴题】(1)如图1，过点E 作EG CD ⊥，EF BC ⊥，连接(2)如图2，连结EC ，过点E 作EC 的垂线交①求证：EQC 为等腰三角形；②连结PC ，若2BQ k CQ =，且2DE =，求【答案】(1)结论：AE FG =，AE FG ⊥．详见解析(2)①详见解析；②2244k k ++FG EC =，可得结论；（2）①过点E 作EM AB ⊥于点M ，EN BC ⊥于点N ，分别证明EP EC =，EQ EP =，可得结论；②延长ME 交CD 与点K ．则四边形EKCN 是矩形，证明2CQ =，BQ k =，利用勾股定理求解．【详解】（1）解：结论：AE FG =，AE FG ⊥．理由：连接EC ，延长AE 交FG 与点J ，交CD 于点K ．四边形ABCD 是正方形，BA BC ∴=，AB ∠45E CBE =∠=︒，90BCD ∠=︒，BE BE = ，()SAS ABE CBE ∴≌ ，AE CE ∴=，BAE BCE ∠=∠，EG CD ⊥ ，EF CB ⊥，90EGC EFC FCG ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形EFCG 是矩形，∴=FG CE ，AE FG ∴=，EG FC = ，90GEF CFE ∠=∠=︒，EF FE =，()SAS GEF CFE ∴≌△△，ECF EGF ∴∠=∠，BAE EGF ∠=∠ ，∵AB CD ∥，BAE EKG ∴∠=∠，EGF EKG ∴∠=∠，90GEK EKG ∠+∠=︒ ，90GEK EGJ ∴∠+∠=︒，四边形ABCD是正方形，∴∠=∠，EBA EBC⊥，EN CB EM AB⊥∴=，EM ENEMB ENB MBN∠=∠=∠【变式训练】(1)判断线段AE、BF的位置关系并说明理由．(2)连接AC交BF于点H，连接EH，如图②；①若点E是BC的中点，当5HF=时，求线段AE②设正方形ABCD的面积为1S，四边形CEHF的面积为【答案】(1)垂直，理由见解析(1)探索并证明AG 与BF 有怎样的位置和数量关系；(2)转动DEF 至如图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．(3)若122DE AD ==，DEF 绕着点D 旋转过程中，请直接写出【答案】(1)2BF AG =，BF AG ⊥，证明见解析(2)仍然成立，证明见解析(3)221221CG -≤≤+四边形ABCD 为正方形，AB BC CD AD ∴===，DE DF = ，AD DE CD DF ∴-=-，即在ABE 和CBF V 中，AB CB BAE BCF =⎧⎪，四边形ABCD 为正方形，AB BC CD AD ∴===，90BAE BCF ∠=∠=︒，9090ADE EDC CDF EDC ∠+∠=︒∠+∠=︒ ，，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE V 和CDF 中，AD CD ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADE CDF ∴≌V V ，AE CF ∴=，DAE DCF ∠=∠，在BGM 和EGA △中，BG GE AGE MGB AG MG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BGM EGA ∴ ≌，AE BM GAE M ∴=∠=∠，，90180M MBC BAM ∠+∠+︒+∠=︒ ，90BAM GAE DAE ∠+∠+∠=︒，MBC EAD ∴∠=∠，9090ABM MBC BCF DCF ∠=︒+∠∠=︒+∠ ，，ABM BCF ∴∠=∠，在ABM 和BCF △中，令E 点所在圆的半径为R ，G 点所在圆的半径为 122DE AD ==，4AB AD ∴==，2AC BD AB ==+1222BO CO BD ∴===，:1:2BG BE = ，:1:2r R ∴=，(1)求证：DG FG=．(2)如图2，当点E是中点时，求tan CGE∠的值．(3)如图3，当23BEDG=时，连接CF并延长交AB于点，求CFCH的值．【答案】(1)见解析(2)3 4 2∴EFM EGC △∽△，△∴EF EM EG EC =，即25x x =CF CM CH CB =，即12CF CH =2CF 【题型四与特殊平行四边形中新定义探究问题压轴题】【解决问题】：(3)如图3，点P 是正方形ABCD 的AB 边上一动点（不与A 、B 重合）位置，连接DE 并延长，与CP 的延长线交于点F ，连接AF ，若∵四边形ABCD 和四边形∴ABF ABD ∠=∠∴B ，F ，D 三点在一条直线上．∵GF AB ⊥，DA ∴BGF 和BAD∵四边形ABCD 和四边形∴45ABD GBF ∠=∠=∴BGF ∆和BAD ∆为等腰直角三角形，∴ABG ABF ∠+∠=∠∴ABG DBF ∠=∠，∴ABG DBF ∽，∴2DF BD ==；∵ABG DBF ∽，∴GAB BDF ∠=∠．∵ANM DNB ∠=∠，∴BAG AMN ∠+∠=∴AMN ABD ∠=∠=即直线DF 与直线AG∵四边形ABCD为正方形，=，∴BC CD由折叠的性质可得：=，∴CE CD⊥，∵CQ DF∠=∠．∴ECQ DCQ【变式训练】(1)如图1，在四边形ABCD 中，,90AD BC A ∠=︒∥，对角线BD 平分ADC ∠四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A ，B ，C 三点均在格点上，若四边形ABCD 合条件的格点D ．（3）如图，过C 作CQ AD ⊥于Q ，可得四边形ABCQ 是矩形，AQ BC =，AD BC ∥，证明四边形ACBE 为平行四边形，可得8BE AC ==，AE BC =，设BC AE x ==，而10DE =，10AD x =-，()10210DQ x x x =--=-，由新定义可得CD CB x ==，由勾股定理可得：()22222108x x x --=-，再解方程可得答案．【详解】（1）解：∵,90AD BC A ∠=︒∥，∴18090ABC A ∠=︒-∠=︒，ADB CBD ∠=∠，∵对角线BD 平分ADC ∠，∴ADB CDB ∠=∠，∴CBD CDB ∠=∠，∴CD CB =，∴四边形ABCD 为邻等四边形．（2）解：1D ，2D ，3D 即为所求；（3）如图，过C 作CQ AD ⊥于Q ，∵90DAB ABC ∠=∠=︒，∴四边形ABCQ 是矩形，∴,AQ BC AB CQ ==，AD BC ∥，∵BE AC ∥，∴四边形ACBE 为平行四边形，∴8BE AC ==，AE BC =，设BC AE x ==，而10DE =，问题探究：(1)如图1，等边ABC 边长为3，垂直于BC 边的等积垂分线段长度为______；(2)如图2，在ABC 中，8AB =，63BC =，30B ∠=︒，求垂直于BC 边的等积垂分线段长度；(3)如图3，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，6AB BC ==，3AD =，求出它的等积垂分线段长．∵ABC 是等边三角形，∴3sin 602AD AB ︒==，∴332AD =，（2）解：如图2中，线段在Rt ABH 中，∵90AHB ∠=︒，∴142AH AB ==，3BH AH =∵63BC =，11在Rt ABC △中，∵90A ∠=∴2223BD AD BD =+=+∵EH AB ∥，∴EH DH DE AB DB AD==，∵EF AD∥，∴ADH EHD∠=∠，∵ADB BDC∠=∠，∴EDH EHD∠=∠，∴ED EH=，论的思想解决问题是关键．。

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‘ ．．
评析本题由一道普通的几何证明题改
编来的，包含 “ 明一拓展一猜想一判断一证证明” 一系列数学活动。体现出思维活动的整个
过程．
２０年７８月０８ —
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解法二由正方形的轴对称性，可得Ｂ＝Ｐ
ＤＰ．
（）２不是总成立．
当四边形ＰＣＥＦ绕点ｃ按逆时针方向旋
转，Ｐ旋转到Ｂ点Ｃ边上时，ＰＤ＞Ｐ此时Ｄ＞ＣＢ，
Ｂ＝Ｐ不成立．ＰＤ
１３
（）３连接Ｂ、Ｆ则ＢＥＤ，Ｅ与ＤＦ始终相等．
在图１０中，可证四边形ＰＣＥＦ为正方形，
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・．
‘
・．．
图８
’ ．．
四边形ＡＣＢＤ是平行四边形，
。
’
．
ＡＥＥＣ，．ＡＦＥＣ＝ ’ ＝．．
’ ．．
Ｄ／Ｂ．／Ｃ
Ｄ＝ＥＣＧ．
又。／Ｅ．．／ＣＦ
・．．
。
．．
四边形ＡＣＥＦ是平行四边形．
断四边形ＡＣＥＦ是什么特殊四边形？明你的证
结论．
４
证明：四边形ＡＣＥＦ是菱形．
由折叠可知Ａ＝Ｃ１２ＥＥ．＿．－
・．。
四边形ＡＣＢＤ是平行四边形．
・．．
Ａ／Ｂ．Ｄ／Ｃ
２＝３．ＡＦＡＥ．＝．１３・．＝．
又。Ｂ＝Ｒ。．。ＡＣＡＲ＝＝Ｄ．ＢＣＣ
‘ ．．
△ ４Ｂ
△ Ｃ尺Ｄ．
。
。
（） ∥Ｑ，ＳＤ知，Ｒ在Ｑ２由Ｐ＃Ｒ点Ｄ上，如图３故Ｂ＃Ａ．。ＣＤ因为ｓＰ／ＡＲＱ／，颐以ＬＲ＝Ａ＝ＢＳＤＬ
单些．
‘ ．
．
’ ．
。
ＦＡＥ＝ＤＡＥ．．ＦＥ＝Ｇ．。．Ａ
Ｆ＝ＡＦＧ。
ＥＦ上Ｅ．
‘ ．．
三、猜想探究型例３（０７年辽宁省大连市）图５小２０如，明在研究正方形ＡＣＢＤ的有关问题时。得出： “ 在正方形ＡＣＢＤ中。如果点Ｅ是ＣＤ的中点。点Ｆ是ＢＣ边上的一点，且／ＡＥ＿Ｆ＝Ｄ，那
解：（）动点出发ｔ后，Ｐ到达点１设秒点Ａ且点Ｑ正好到达点ｅ时，ＣＢ＝，Ｂ＝Ａｔ则５嘶： ×× ＝０．＝０ｓ． △ ６３ｔ１（）
厶
在ＡＢＣ与ＡＤＣ中，可证ＡＢＣＥＦＥ￣ＡＤＣＦ，
从而有Ｂ＝ＥＥＤ
ＣＡ。而Ｓ＝ＤＤ从ＲＳ．
由Ｐ＃８Ｓｃ及Ｂ＝Ｄ知Ｓ＝ＤＣＣＰＳ．（）１当点Ｐ与点Ｂ重合时，１为图２图变，
若ＬＢ＝０，ＡＤ９￣求证：ＢＡＡＲ￣ＡＣＤ；Ｒ（）于图１若四边形ＰＤ２对，ＲＳ也是平行
评析：解答本题时，同学们要在旋转变换中探索基本图形和规律，揭示图形变化中的
数量关系．
则Ｂ＝０ｃ，＝（ｍ）Ａ１（ｍ）ＡＤ２ｃ；
（）２可得坐标为（０３）Ⅳ（２３）１，０，１，０．
（当在Ｂ上－，Ｃｘｔｉ＝３点ＰＡｍ）ｔｘｎ）ｆ＝ｘｓ，Ｂ
而Ｓ＝Ｒ．ＰＤ所以Ｓ＝ＤＲ．ＲＳ＝Ｄ故ＬＣＡ６。Ｄ＝０．
因此四边形ＡＣＢＤ还应满足ＢｌＤ．Ｃ／Ａ
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厶ＤＡ＝０．６
（：推出的条件为Ｂ／ＡＬＢＤ注若ＣｌＤ，Ａ＝６。ＢＡ／ＢＤ１０等亦可．０或ＣｌＤ。Ｃ＝２。／＿）
评析：此类问题给出了结论，解答时。需
要同学们自己分析、探索，使该结论存在所具
备的条件．常常要用逆向思维来思考．
二、探求结论型
例２（０７年山东省青岛市）２０将平行四边
形纸片ＡＣＢＤ按如图４方式折叠，使点Ｃ与重合。Ｄ落到Ｄ’ ，痕为Ｅ．点处折Ｆ连接Ｃ，Ｆ判
・．
’
四边形ＡＣＢＲ是平行四边形。
ＢＣ尺＝ＬＢＡＲ．删Ｒ＝ＤＣＲ．
均为锐角，点Ｐ是对角线ＢＤ上的一点， ∥
’ ．．
鲋交ＡＤ于点ＱＰ＃８交Ｄ，ＳｃＣ于点ｓ四边。
形成｜是平行四边形．ｓ
ＣＣ
。．．
ＡＦ＝ＡＥ，
．
・．
。
Ｅ为ＤＣ的中点，・ＥＥ．．Ｄ＝Ｃ．
△ ＤＥＥ＝Ｇ．
。目
‘ ．
。
又 ‘／ＤＥＣＧ．．。Ａ＝Ｅ
‘ ．．
・
．
四边形ＡＣＥＦ是菱形．
评析：此类问题只要求同学们根据所给条件进行合理推测，并说明理由，相对来说简
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缈
一
应满
一
、
探求条件型
。．
．
乙ＲＬＢＤ．
例１（０７年安徽省）２０如图１在四边形，
。
ＢＣ＝ＣＤ，．ＢＣＲ＝Ｄ。．
．
ＡＣＢＤ中，已知４＝ｃＣＬＢＤ和ＬＣＡＢＢ＝Ｄ。ＡＤ