天津市部分区17—18学年高二上学期期末考试数学(理)试题(附答案)$834296
天津市南开区2017-2018学年高二上学期联考数学试卷(理科)Word版含解析
天津市南开区2017-2018学年高二上学期联考试卷（理科数学）一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）A．2：3 B．2：9 C．4：9 D．8：272．在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）之间的距离为（）A．6 B．2 C．D．3．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：①a∥γ，b∥γ⇒a∥b；②a∥c，c∥α⇒a∥α；③a⊥β，a∥α⇒α⊥β；④a⊂α，α⊥β⇒a⊥β．其中正确命题的序号是（）A．③B．②③ C．①②③D．①②④4．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）A．①②③B．②④ C．③④ D．②③④6．下列有关命题的说法错误的是（）A．“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”B．“x＞0”是“x≠0”的必要而不充分条件C．若p∧q为假命题，且“￢p”为假命题，则q为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥07．两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．：x2+y2﹣6x+6y﹣48=0与圆公切线的条数是（）8．圆C1A．0条B．1条C．2条D．3条9．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．设点A（﹣2，3）、B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）11．直线x﹣y+3=0的倾斜角为．12．一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是．13．过两直线l1：x﹣3y+4=0和l2：2x+y+15=0的交点，且垂直于直线y=2x+6的直线方程为．14．以N（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣7=0相切的圆的标准方程为．15．与圆x2+y2﹣x+2y=0关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程是．16．已知圆C：x2+y2+Dx﹣6y+1=0的周长被直线x﹣y+4=0平分，且圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则c= ．三、解答题（共4个大题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．18．已知过点P（4，1）的直线l被圆（x﹣3）2+y2=4所截得的弦长为，求直线l的方程．19．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中（底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱叫正三棱柱），各棱长都是4，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；（Ⅱ）求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值；（Ⅲ）证明在棱CC 1上存在一点F ，使得DF ⊥AC ，并求AF 的长．20．已知圆C 的方程：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+m=0．（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆D ：（x+3）2+（y+1）2=16相外切时，求直线l ：x+2y ﹣4=0被圆C 所截得的弦MN 的长．天津市南开区2017-2018学年高二上学期联考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）A．2：3 B．2：9 C．4：9 D．8：27【考点】球的体积和表面积．【分析】通过体积比等于相似比的立方，求出两个球的半径的比，表面积之比等于相似比的平方，即可求出结论．【解答】解：两个球的体积之比为8：27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为2：3，从而这两个球的表面积之比为4：9．故选：C．2．在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）之间的距离为（）A．6 B．2 C．D．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点之间的距离公式求解即可．【解答】解：在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）与点B（2，1，﹣1）之间的距离为：=．故选：D．3．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：①a∥γ，b∥γ⇒a∥b；②a∥c，c∥α⇒a∥α；③a⊥β，a∥α⇒α⊥β；④a⊂α，α⊥β⇒a⊥β．其中正确命题的序号是（）A．③B．②③ C．①②③D．①②④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间线线关系和面面关系的定理对四个命题分别分析判断即可．【解答】解：对于①，a∥γ，b∥γ⇒a∥b或者相交或者异面；故①错误；对于②，a∥c，c∥α⇒a∥α或者a⊂α；故②错误；对于③，a⊥β，a∥α根据线面平行、线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可得α⊥β；故③正确；对于④，a⊂α，α⊥β⇒a⊥β或者a∥β或者a与β相交；故④错误；故选A．4．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】把直线的方程化为斜截式，判断斜率及在y轴上的截距的符号，从而确定直线在坐标系中的位置．【解答】解：直线ax+by=c 即 y=﹣x+，∵ab ＜0，bc ＜0，∴斜率 k=﹣＞0，直线在y 轴上的截距＜0，故直线第一、三、四象限，故选C ．5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60°角④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据恢复的正方体可以判断出答案．【解答】解：根据展开图，画出立体图形，BM 与ED 垂直，不平行，CN 与BE 是平行直线，CN 与BM 成60°，DM 与BN 是异面直线，故③④正确．故选：C6．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆命题是“若a ，b 不全为0，则a 2+b 2≠0”B ．“x＞0”是“x≠0”的必要而不充分条件C ．若p ∧q 为假命题，且“￢p”为假命题，则q 为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用；四种命题；四种命题间的逆否关系；四种命题的真假关系；充分条件．【分析】本题考的是命题的四种形式，充分性必要性，简单的逻辑联接词及全称量词与存在量词【解答】解：A．考的是命题中的正面用词与反面用词，例如：全⇔不全，都是⇔不都是，至多有一个⇔至少有两个等等故A正确B．x＞0能推出x≠0，但X≠0就推不出X一定大于0故B不正确C．“￢p“为假命题，则p为真命题，又p∧q为假命题，所以q为假命题．故C正确D．存在性命题p：∃x∈M，p（x）；则存在性命题p的否定：“￢p”：∀x∈M，￢P（x）故D正确故选：B．7．两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】根据两直线平行（与y轴平行除外）时斜率相等，得到m的值，然后从第一条直线上取一点，求出这点到第二条直线的距离即为平行线间的距离．【解答】解：根据两直线平行得到斜率相等即﹣3=﹣，解得m=2，则直线为6x+2y+1=0，取3x+y﹣3=0上一点（1，0）求出点到直线的距离即为两平行线间的距离，所以d==．故选D8．圆C1：x2+y2﹣6x+6y﹣48=0与圆公切线的条数是（）A．0条B．1条C．2条D．3条【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．【分析】将两圆化成标准方程，可得它们的圆心坐标和半径大小，从而得到两圆的圆心距等于，恰好介于两圆的半径差与半径和之间，由此可得两圆位置关系是相交，从而得到它们有两条公切线．【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+6y﹣48=0化成标准方程，得（x﹣3）2+（y+3）2=64∴圆C1的圆心坐标为（3，﹣3），半径r1=8同理，可得圆C2的圆心坐标为（﹣2，4），半径r2=8因此，两圆的圆心距|C1C2|==∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2=16∴两圆的位置关系是相交，可得两圆有2条公切线故选：C9．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．10．设点A（﹣2，3）、B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】两条直线的交点坐标；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：∵直线ax+y+2=0过定点（0，﹣2），斜率为﹣a，如图，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则﹣a或﹣a．即a或．∴答案为：．故选：D．二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）11．直线x﹣y+3=0的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线x﹣y+3=0的倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+3=0的倾斜角为α，则tanα=﹣=，α∈[0，π），∴．故答案为：．12．一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等腰三角形，其底边上的高也为2的正四棱锥，故其体积V==．故答案为：．13．过两直线l1：x﹣3y+4=0和l2：2x+y+15=0的交点，且垂直于直线y=2x+6的直线方程为x+2y+9=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标．【分析】联立直线方程解方程组可得交点坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：联立方程组，解得，∴直线l1：x﹣3y+4=0和l2：2x+y+15=0的交点为（﹣7，﹣1），∵直线y=2x+6的斜率为2，∴由垂直关系可得所求直线的斜率为﹣，∴所求直线的方程为y+1=﹣（x+7），化为一般式可得x+2y+9=0故答案为：x+2y+9=014．以N（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣7=0相切的圆的标准方程为．【考点】圆的标准方程．【分析】要求圆的方程，已知圆心坐标，关键是要求半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线3x﹣4y﹣7=0的距离即为圆的半径，根据圆心坐标和求出的半径写出圆的方程即可．【解答】解：因为点N（1，3）到直线3x﹣4y﹣7=0的距离d=，由题意得圆的半径r=d=，则所求的圆的方程为．故答案为．15．与圆x2+y2﹣x+2y=0关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程是．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】本题求圆关于直线对称的圆的方程，只要求出圆心的对称点，即可求出对称圆的圆心，得出对称圆的方程．【解答】解：∵圆x2+y2﹣x+2y=0，∴，圆心C，半径．设圆心C关于直线l：x﹣y+1=0对称点为C′（x′，y′），由直线l垂直平分线段CC′得：，∴，∴圆心C′，∴与圆x2+y2﹣x+2y=0关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程是．16．已知圆C：x2+y2+Dx﹣6y+1=0的周长被直线x﹣y+4=0平分，且圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则c= 11或﹣29 ．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】圆的周长被直线平分，则直线过圆心，求出D的值，利用直线和圆的位置关系建立条件关系即可得到结论．【解答】解：∵圆C：x2+y2+Dx﹣6y+1=0的周长被直线x﹣y+4=0平分，∴圆心C（﹣，3）在直线x﹣y+4=0上，即﹣﹣3+4=0，解得D=2，则圆C：x2+y2+2x﹣6y+1=0，即圆C：（x+1）2+（y﹣3）2=9，圆心（﹣1，3），半径r=3，若圆C上恰有1个点到直线l：3x+4y+c=0的距离等于1，则圆心C到直线3x+4y+c=0的距离d=1+3=4，即，即|9+c|=20，解得c=11或c=﹣29．故答案为：11或﹣29三、解答题（共4个大题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．==∴kBC∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．18．已知过点P（4，1）的直线l被圆（x﹣3）2+y2=4所截得的弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心与半径、弦长和弦心距的关系，利用点到直线的距离公式，求出直线的斜率，即可求出对应直线的方程．【解答】解：圆（x ﹣3）2+y 2=4的圆心坐标为（3，0），半径长为r=2；…因为直线l 被圆所截得的弦长是，所以弦心距为；…（1）当直线l 的斜率不存在时，x=4，此时弦心距为1，符合题意；…（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ﹣1=k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k+1=0；由题意可得，…解得k=0，…所以所求直线方程为y=1；综上所述，所求直线方程为x=4或y=1．…19．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中（底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱叫正三棱柱），各棱长都是4，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；（Ⅱ）求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值；（Ⅲ）证明在棱CC 1上存在一点F ，使得DF ⊥AC ，并求AF 的长．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I ）转化为直线与直线的平行问题证明OD ∥A 1C ，（II ）利用直线与平面的垂直问题确定直线与平面的夹角：∠A 1CE 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角，转化为直角三角形求解．（III ）利用平面直线的性质得出Rt △CDF ∽Rt △C 1CE ，确定∠C 1CE+∠CFD=，即得证DF ⊥CE ，DF ⊥A 1C 判断Rt △ADF 在考虑边长关系求解．【解答】解：（Ⅰ）连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD∵四边形ABB 1A 1为正方形∴O 为A 1B 的中点又∵D 是BC 中点∴OD ∥A 1C∵OD ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D∴A 1C ∥平面AB 1D（Ⅱ）过A 1作A 1E ⊥B 1C 1，E ，连接CE∵平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1平面A 1B 1C 1∩平面BCC 1B 1=B 1C 1∴A 1E ⊥平面BCC 1B 1∴CE 为直线A 1C 在平面BCC 1B 1上的投影∴∠A 1CE 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角，在Rt △A 1C 1C 中A 1C==，在△A 1B 1C 1中A 1E=2在Rt △A 1CE 中，sin ∠A 1CE==（Ⅲ）当=时，DF ⊥A 1C在正方形BCC 1B 1中，D ，E 分别是BC ，B 1C 1的中点∴==，∴Rt △CDF ∽Rt △C 1CE∴∠CDF=∠C 1CE∵∠CDF+∠CFD=，∴∠C 1CE+∠CFD=，∴DF ⊥CE由（Ⅱ）可知A 1E ⊥平面BCC 1B 1DF ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1E ⊥DF∵A1E∩CE=E，∴DF⊥平面A1CE∵A1C⊂平面A1CE∴DF⊥A1C在Rt△ADF中 AF==．20．已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当圆C与圆D：（x+3）2+（y+1）2=16相外切时，求直线l：x+2y﹣4=0被圆C所截得的弦MN的长．【考点】直线与圆相交的性质；圆的一般方程．【分析】（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m的取值范围；（Ⅱ）根据圆与圆相切的等价条件求出m的值，结合直线的弦长公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m …令5﹣m＞0，得m＜5．…（Ⅱ）圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2），半径r=圆D：（x+3）2+（y+1）2=16，圆心D（﹣3，﹣1），半径R=4…∵圆C与圆D相外切∴，解得m=4 …圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为d=…∴|MN|=…。
2017-2018学年天津市滨海新区高二(上)期末数学试卷(理科)(a卷)(解析版)
2017-2018学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）经过两点A（4，2y+1），B（y，﹣3）的直线的倾斜角为，则y＝（）A．﹣8B．﹣3C．0D．82．（5分）如果命题“￢（p∨q）”为假命题，则（）A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题3．（5分）已知两条直线y＝ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1＝0互相平行，则a等于（）A．﹣1或3B．﹣1或3C．1或3D．1或﹣34．（5分）已知条件p：k＝；条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β②若l∥α，α∥β，则l∥β③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥β其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3 个D．4个7．（5分）直线ax+by+c＝0与圆x2+y2＝9相交于两点M，N，若c2＝a2+b2，则•（O 为坐标原点）等于（）A．﹣7B．﹣14C．7D．148．（5分）已知抛物线C1：y2＝8x的焦点F到双曲线C2：的渐近线的距离为，P是抛物线C1的一动点，P到双曲线C2的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x+2＝0的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）一个圆锥的母线长为2cm，底面半径为1cm，则圆锥的体积为cm3 10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3＝0，那么a等于．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的表面积为．12．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的交点F恰好是双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为．13．（5分）已知圆锥曲线E的方程为：命题p：E的方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：圆锥曲线E的离心率，若命题￢p∧q为真命题，则实数k 的取值范围是．14．（5分）如图，设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，、过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2的内切圆的面积为4，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则|y1﹣y2|值为．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（12分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4＝0．（I）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（II）设直线/与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，P A⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点，P A＝AB＝2．（I）求证：EF∥平面PCD；（II）求直线EF与平面P AB所成的角．17．（13分）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD ＝，AD＝2，DE＝．（Ⅰ）异面直线AE与DC所成的角余弦值；（Ⅱ）求证平面AEF⊥平面CEF；（Ⅲ）在线段AB取一点N，当二面角N﹣EF﹣C的大小为60°时，求|AN|．18．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：k＝tan＝＝﹣1，解得y＝﹣8，故选：A．2．【解答】解：命题“￢（p∨q）”为假命题，则命题p∨q为真命题，则p或q中至少有一个为真命题．故选：C．3．【解答】解：∵两条直线y＝ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1＝0互相平行，∴﹣（a+2）≠0，，解得a＝1或﹣3．故选：D．4．【解答】解：由直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，可得：＝1，解得k＝．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．5．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为五面体ABCEFG，是正三棱柱截去一个角，其体积V＝．6．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在①中，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故①错误；在②中，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故②错误；在③中，若l⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故③正确；在④中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故④错误．∴其中正确命题的个数是1．故选：A．7．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由方程组，消去y，得（a2+b2）x2+2acx+（c2﹣9b2）＝0，∴x1x2＝；消去x，得（a2+b2）y2+2bcy+（c2﹣9a2）＝0，∴y1y2＝；∴•＝x1x2+y1y2＝＝＝＝﹣7；故选：A．8．【解答】解：抛物线C1：y2＝8x的焦点F（2，0），双曲线C2：一条渐近线的方程为ax﹣by＝0，∵抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：渐近线的距离为，＝，∴2b＝a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x＝﹣2的距离之和的最小值为3，∴丨FF1丨＝3，∴c2+4＝9，∵c2＝a2+b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1，∴双曲线的方程；故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：圆锥的母线长为2cm，底面半径为1cm，所以圆锥的高为：＝，所以圆锥的体积为：＝（cm3）故答案为：．10．【解答】解：∵点M（0，﹣1），N（2，3），∴k MN＝＝2，∵直线MN垂直于直线ax+2y﹣3＝0，∴2×＝﹣1，解得a＝1．故答案为1．11．【解答】解：∵正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，∴正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：π×＝，解得a＝，∴正方体的表面积为，故答案为：18．12．【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得﹣＝1，又＝c∴﹣4×＝1，化简得c4﹣6a2c2+a4＝0∴e4﹣6e2+1＝0∴e2＝3+2＝（1+）2∴e＝+1故答案为：．13．【解答】解：命题P：0＜k＜2；命题q：因为离心率e∈（），∴圆锥曲线是双曲线，∴k＜0，a2＝2，b2＝﹣k，c2＝2﹣k，＜；∴﹣4＜k＜﹣2，又￢p∧q为真命题，所以，∴﹣4＜k＜﹣2，实数k的取值范围是：（﹣4，﹣2）．14．【解答】解：∵椭圆椭圆中，a2＝25且b2＝9，∴a＝5，b＝3，c＝＝4，可得椭圆的焦点分别为F1（﹣4，0）、F2（4，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆面积为S＝πr2＝4，∴r＝，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）r＝×20×＝10，又△ABF 2的面积S＝+＝|y1|•|F1F2|+|y2|•|F1F2|＝（|y1|+|y2|）•|F1F2|＝4|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧）∴4|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．【解答】解：（Ⅰ）由已知，直线l的方程为y＝x，圆C圆心为（0，3），半径为，∴圆心到直线l的距离为．∴所求弦长为2；（Ⅱ）设A（x1，y1），∵A为OB的中点，则B（2x1，2y1）．又A，B在圆C上，∴x12+y12﹣6y1+4＝0，4x12+4y12﹣12y1+4＝0．解得y1＝1，x1＝±1，即A（1，1）或A（﹣1，1）．∴直线l的方程为y＝x或y＝﹣x．16．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则E（1，1，0），F（1，0，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），＝（0，﹣1，1），（2，0，0），＝（0，﹣2，2），设平面PCD的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，1），∵＝0，EF⊄平面PCD，∴EF∥平面PCD．解：（II）平面P AB的法向量＝（0，1，0），设直线EF与平面P AB所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴θ＝45°，∴直线EF与平面P AB所成的角为45°．17．【解答】解：（Ⅰ）∵AB∥DC，∴∠BAE就是异面直线AE与DC所成的角，连接BE，在△ABE中，，∴，∴异面直线AE与DC所成的角余弦值为．…（4分）证明：（Ⅱ）取EF的中点M．由于ED⊥面ABCD，ED∥FB，∴ED⊥AD，ED⊥DC，FB⊥BC，FB⊥AB，又ABCD是菱形，BDEF是矩形，∴△ADE，△EDC，△ABF，△BCF是全等三角形，∴AE＝AF，CE＝CF，∴AM⊥EF，CM⊥EF，∴∠AMC是二面角A﹣EF﹣C的平面角…（6分）由题意，，∴AM2+CM2＝AC2，即AM⊥MC．∴∠AMC＝90°，∴平面AEF⊥平面CEF．…（8分）解：（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由AD＝2，则M（），C（0，2，0），，，．平面CEF的法向量．（10分）设，则，设平面NEF的法向量，则，即，令x＝1，则，得．（11分）因为二面角N﹣EF﹣C的大小为60°，所以，…（12分）整理得λ2+6λ﹣3＝0，解得，…（13分）所以…（14分）18．【解答】解：（1）a＝2，b＝c，a2＝b2+c2，∴b2＝2；∴椭圆方程为（4分）（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2＝4，得（6分）∵x1＝﹣，∴，∴，∴（8分）∴（定值）（10分）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）（12分）则由，从而得m＝0∴存在Q（0，0）满足条件（14分）。
2017-2018年天津市部分区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．23．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．故选：C．2．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．2【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的离心率是=．故选：B．3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．故选：B．4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，∴=0﹣3+3（3+λ）=0，解得实数λ=﹣2．故选：A．5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，反之不成立，即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．故选：D．7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），圆心坐标为C（2，0），半径r=，则|AC|=2﹣1=1＜，则点A在圆内，则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，故选：A．8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．故选：B．9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设A（x 1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1M（3，3），则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．故选：C．10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．∴|PM|==，当|PF|最大时，切线长|PM|最大．当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，最小值为：5+3=8，∴|PM|==3，|PM|的取值范围[，3]，故选：D．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左∴焦点坐标为（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4∴|PF2|=4﹣=．故答案为：．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．则m+n=﹣1．故答案为：﹣1．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，AF=，DF=，∴∴．故答案为：15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是∪．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化为：k2，解得k或k．∴k的取值范围是∪．故答案为：∪．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4即有x1x2+y1y2=0，则•=0=0，即有OA⊥OB；（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，=•|OA|•|OB|=××2=3．∴S△OAB18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣BCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=．在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．==2．∴S△BCD==．∴V P﹣BCD19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，a，2a），∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），=（﹣a，1，0），=（0，1，1），则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，∴所求椭圆C的方程为；…（3分）（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，x 1+x2=﹣，x1x2=，∴y 1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）∵以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，∴k AD •k BD =﹣1，∴y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4=0，∴7m 2+16mk +4k 2=0， ∴m 1=﹣2k ，m 2=﹣k ，且均满足3+4k 2﹣m 2＞0，（9分）当m 1=﹣2k 时，l 的方程为y=k （x ﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾， 当m 1=﹣k 时，l 的方程为y=k （x﹣），则直线过定点（，0） ∴直线l 过定点，定点坐标为（，0）．（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为yxo减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
天津五区联考2017-2018高三上学期期末数学(理)试题及答案
13．3
14． ,
1 1 3 e
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ） f x cos x sin x 2 3 sin x cos x
2 2
cos 2 x 3 sin 2 x
由 g n 1 g n
2 n 1 7 2
n 3
2n 7 9 2n n 3 …………………………11 分 2n 2 2
得：当 9 2n 0 2 n 4 n N 时， g 2 g 3 g 4 g 5 ； 当 9 2n 0 n 5 n N 时， g 5 g 6 g 7 ； 所以对任意 n 2 ，且 n N 均有 g 5 g n ，故 k 5 .………………13 分
（18） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）设数列 an 的公比为 q ，则由条件得：
2 a3 2 a2 a4 ，
……………………………1分
又 a1 2 ，则 2 2q 2 2 2q 2q 3 4 q 2 1 2q 1 q 2 ， 因为 1 q 0 ，解得： q 2 ， 故 an 2 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得： bn 2nan n 2 则 Sn 1 2 2 2 n 2
3 , 0 , 0 ， C 0 ,1, 0 ，
由 AC 2 DE 3 得 E 0, 0 ,
3 ， A 0 ,1, 3 …………6 分 2
依题意 AE 0 , 1,
2017-2018学年天津市和平区高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)
2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=14．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=08．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m=1”是“双曲线的离心率为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线离心率的定义求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由双曲线的方程得a2=m，（m＞0），b2=3，则c2=3+m，∵双曲线的离心率e=2，∴e2===4，即3+m=4m，即3m=3，m=1，则“m=1”是“双曲线的离心率为2”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的离心率公式是解决本题的关键．2．（3分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=（）A． B． C． D．【分析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式，计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|==．故选：B．【点评】本题考查了空间中两点间的距离应用问题，是基础题．3．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1【分析】设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），利用双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），建立方程组，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），∴，∴a=，b=1，∴双曲线的标准方程为﹣y2=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的方程，正确运用待定系数法是关键．4．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x【分析】求出双曲线的c，由离心率公式，解方程求得a，再由双曲线的渐近线方程即可得到．【解答】解：双曲线﹣y2=1（a＞0）的c=，则离心率e===2，解得，a=．则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x．故选D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，抛物线y2=x的焦点为（，0），从而求椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=x的焦点为（，0）；抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，故c=，b=，a==；故e===；故该椭圆的离心率为：；故选D．【点评】本题考查了抛物线及椭圆的性质以及应用，属于基础题．6．（3分）已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=【分析】由l1∥l2，可得存在实数使得=k，【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得=k，∴，解得x=6，y=．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（3分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得：9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得：9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：C．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】设H（x0，y0），则=．可得k MH k NH==∈，即可得出．【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．设H（x0，y0），则=．∴k MH k NH====∈，可得：=e2﹣1∈，∴e∈．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）若双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=4．【分析】求出双曲线的左焦点坐标，代入抛物线的准线方程，求出P即可．【解答】解：双曲线（p＞0）的左焦点（﹣，0），双曲线（p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，可得：﹣=，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．10．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为．【分析】求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，可得交点A，B的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求弦长．【解答】解：椭圆的a=，b=2，c==1，右焦点为（1，0），直线的方程为y=2（x﹣1），代入椭圆方程，可得6x2﹣10x=0，解得x=0或x=，即有交点为A（0，﹣2），B（，），则弦长为|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点和弦长，考查运算能力，属于基本知识的考查．11．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．【分析】由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的倾斜角为150°，可得k l=．进而得到直线EF的方程为：，与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．【解答】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的倾斜角为150°，∴k l=tan150°=．∴直线EF的方程为：y=﹣（x﹣1），联立，解得y=．∴E．∵PE⊥l于E，∴y P=，代入抛物线的方程可得，解得x P=．∴|PF|=|PE|=x P+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．12．（6分）如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为0．【分析】利用向量三角形法则、数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵，OB=OC，∴===﹣=0，故答案为：0．【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．13．（6分）设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．【分析】先求出公共焦点分别为F1，F2，再联立方程组求出P，由此可以求出和，利用向量的数量积求解cos∠F1PF2．【解答】解：由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），解方程组，得取P点坐标为（，），=（﹣2﹣，﹣），=（2﹣，﹣）cos∠F1PF2==．故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．【解答】解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．∴|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，则e=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程．（Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．【点评】本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2﹣6x+1=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x﹣1，进而由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3由抛物线定义得，∴p=2故抛物线的方程为y2=4x；（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8又O到直线y=x﹣1的距离，∴△ABO的面积．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．17．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．【分析】（Ⅰ）连接BC1，AC1，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）连接A1M，CM，运用面面垂直的判定定理，证得MN⊥平面A1B1C，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）连接BC1，AC1，在△ABC1中，由AM=MB，AN=NC1，可得MN∥BC1，MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，则MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=BB1=2，可得四边形BCC1B1为正方形，即有BC1⊥B1C，MN⊥B1C，连接A1M，CM，由AM=BM，AA1=BC，∠A1AM=∠MBC=90°，可得△AMA1≌△BMC，可得A1M=CM，又N是A1C的中点，则MN⊥A1C，B1C∩A1C=C，MN⊥平面A1B1C，MN⊂平面AMN，则平面AMN⊥平面A1B1C．【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．18．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；（2）方法一：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+=1，②解得：a2=9，b2=5，∴椭圆E的标准方程为+=1；（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：x2=，y2=则直线直线AB的斜率k==；直线AB的斜率=【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）∴，，设面SBC的法向量为由可取∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为|cos|=，∵二面角S﹣BC﹣A为锐角．二面角S﹣BC﹣A的余弦值为（2）由（1）知E（1，0，1），则，，设，（0≤λ≤1）．则，易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取|cos|=，解得λ=或λ=（舍去）．此时，∴||=，∴线段CP的长为【点评】本题考查了空间向量求解面面角，线面角，解题时要仔细运算，合理转化，属于中档题．。
2017-2018年天津市部分区高三(上)期末数学试卷和答案(理科)
程序，则输出 S 的值为（ A． B． C． D．
）
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5． （5 分）已知双曲线
（a＞0，b＞0）的一个焦点为 F（﹣2，0） ，且 ）
双曲线的两条渐近线的夹角为 60°，则双曲线的方程为（ A． B．
C．
或 x2
D．
或
6． （5 分） 在△ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c． 已知 sin C=sin 2B， 且 b=2，c= A． B． ，则 a 等于（ C．2 D．2 ）
（Ⅰ）求证：BD⊥平面 ACDE；
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（Ⅱ）求平面 BCD 与平面 BAE 所成角（锐角）的大小； （Ⅲ）若 F 为 AB 的中点，求直线 EF 与平面 BDE 所成角的大小．
18． （13 分）已知{an}是等比数列，满足 a1=2，且 a2，a3+2，a4 成等差数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn=2nan，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，g（n）= N*） ，求正整数 k 的值，使得对任意 n≥2 均有 g（k）≥g（n） ． 19． （14 分）设椭圆 M：x2+y2+2x﹣15=0 的圆心． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知过椭圆右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，过 F2 且与 l 垂直的直 线 l1 与圆 M 交于 C，D 两点，求四边形 ABCD 面积的取值范围． 20． （14 分）已知函数 f（x）=ln x+a（1﹣x） （a∈R） ． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）当 a=﹣ 时，令 g（x）=x2﹣1﹣2f（x） ，其导函数为 g′（x） ．设 x1，x2 是 函数 g（x）的两个零点，判断 是否为 g′（x）的零点？并说明理由． （a＞b＞0）的左焦点为 F1，离心率为 ．F1 为圆 （n≥2，n∈
天津市部分区2017～2018学年度高二第一学期期末考试
天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高二英语温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上。
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（三大题，共85分）第一部分：听力理解（共两节，满分20分）做题时，先将答案划在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面五段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A 、B 、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. How many classes does the woman have on Wednesday?A. Two.B. Four.C. Five. 2. When did the woman finish her paper?A. At 9 am.B. At 11 am.C. At 12 am.3. Why was Paul at the hospital?A. He was ill.B. He was visiting Celia.C. He was visiting his sister. 4. What can we know from the dialogue?A. The woman fell ill this morning.B. The woman’s mother fell ill this morning.C. The woman told a lie.5. What kind of job does the woman probably apply for?A. A teacher.B. A social worker.C. A secretary.第二节（共10小题；每小题1.5分，满分15分）听下面几段材料。
2017-2018学年天津市高二上学期末考试理科数学试题(解析版)
2017-2018学年天津市高二上学期末考试理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若a,b是异面直线，a//α，则b与α的位置关系是（）A. b//α或b⊂αB. b与α相交或b//αC. b与α相交或b⊂αD. b与α相交或b⊂α或b//α【答案】D【解析】∵a,b是异面直线，a//α，∴b与α的位置关系是b与α相交或b⊂α或b//α故选：D2. 在x轴、y轴上的截距分别是2、−3的直线方程为（）A. x2+y3=1 B. x2−y3=1 C. y3−x2=1 D. x2+y3=−1【答案】B即x2−y3=1故选：B3. 已知直线的倾斜角为300，则直线的斜率为（）A. √33B. √22C. 1D. √3【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为300，∴直线的斜率为tan30°=√33故选：A4. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π【答案】B【解析】试题分析：∵圆柱的轴截面为正方形，故圆柱的底面直径等于高即h=2r，又圆柱的侧面积为4π,∴2πrℎ=4π,∴r=1,h=2,∴圆柱的体积等于πr2ℎ=2π，故选B考点：本题考查了圆柱的性质点评：熟练掌握圆柱的定义及性质是解决此类问题的关键5. 过点A(1,−1)与B(−1,1)且圆心在直线x+y−2=0上的圆的方程为（）A. (x−3)2+(y+1)2=4B. (x+3)2+(y−1)2=4C. (x+1)2+(y+1)2=4D. (x−1)2+(y+1)2=4【答案】D【解析】∵圆心在直线x+y﹣2=0上，∴可设圆的圆心M（a，2﹣a），根据圆过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），可得（1﹣a）2+（﹣1﹣2+a）2=（﹣1﹣a）2+（1﹣2+a）2，解得a=1，故圆的圆心为（1，1），半径等于MA=2，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故选：D6. 若一个长方体的长、宽、高分别为√3、√2、1，则它的外接球的表面积为（）A. 3πB. 5πC. 6πD. 24π2【答案】C【解析】长方体的体对角线长即外接球的直径，∴2r=√3+2+1=√6∴S球=4πr2=6π故选：C点睛：设几何体底面外接圆半径为x,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为a,b,c则其体对角线长为√a2+b2+c2;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为a,b,c，则其外接球半径公式为: 4R2=a2+b2+c2.7. 已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α,A∈l，直线AB//l，直线AC⊥l，直线m//α,m//β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A. AB⊥βB. AC⊥mC. AB//βD. AB//m【答案】A【解析】如图所示，对于A，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故不成立．对于B，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B成立；对于C，AB∥l⇒AB∥β，D成立；对于D，AB∥l∥m；A成立；故选A ．点睛：判断线面关系的方法：①利用平行垂直的定理与性质进行直接联想与推导；（2）借助特殊几何体进行判断，比如正方体，正四面体，教室等等.8. 过点P(−2,4)作圆C ：x 2+y 2−4x −2y −20=0的切线，直线m ：ax −3y =0与直线平行，则直线与m 之间的距离为（ ）A. 85B. 125C. 4D. 2【答案】C【解析】求得圆的圆心为C （2，1）设点Q （x 、y ）为切线l 上一个动点，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+2，y ﹣4），CP⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣4，3） ∵PQ ⊥CP ，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •CP⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣4（x+2）+3（y ﹣4）=0 化简得4x ﹣3y+20=0∵直线m ：ax ﹣3y=0与直线l 平行，∴a=4，可得m 方程为4x ﹣3y=0，两条平行线的距离为d=√16+9=4． 故选：C第Ⅱ卷（共60分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 若点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)三点共线，则a 的值等于______.【答案】4【解析】解：因为若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线则⇒AB →=λAC→⇔(a −2，−2)//(−2,2)⇔2(a −2)−4=0⇔a =410. 圆(x−3)2+(y−3)2=9上到直线3x+4y−11=0的距离等于1的点有_______个.【答案】3【解析】试题分析：(x−3)2+(y−3)2=9是一个以为圆心，为半径的圆．圆心到3x+4y−11=0的距离为，所以作与直线3x+4y−11=0距离为的直线，会发现这样的直线有两条（一条在直线的上方，一条在直线的下方），上面的那条直线与圆有两个交点，下面的与圆有一个交点，所以圆上共有三个点与直线距离为．考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式．11. 一个圆锥的母线为20cm，母线与轴的夹角为300，则圆锥的高为_______cm.【答案】10√3【解析】由题设条件可知，在直角三角形中，=10√3．圆锥的高：h=20cos30°=20×2故答案为：10√3．12. 若直线与平面α相交于点O，A,B∈l，C,D∈α，且AC//BD，则O,C,D三点的位置关系是_______.【答案】在同一条直线上【解析】O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，∴l⊂β，∵l∩α=O，∴O∈α，O∈β，∴O=α∩β．∵C，D∈α，∴α∩β=CD，∴O∈直线CD．∴O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．故答案为在同一条直线上．13. 三棱锥P−ABC中，D,E分别为PB,PC的中点，记三棱锥D−ABE的体积为V1，P−ABC的体积为V2，则V1:V2=_________.【答案】1:4考点：三棱锥体积14. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①D1C//平面A1ABB1；②A1D1与平面BCD1相交；③AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1，其中正确结论的序号是_______.【答案】①④【解析】对于①，由于平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C⊂平面CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1正确；对于②，由于A1D1∥BC，所以A1D1⊂平面BCD1，错误；对于③，AD与BD显然不垂直，错误；对于④，容易证明BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，故平面BCD1⊥平面A1ABB1．正确．故答案为：①④．点睛：在正方体中判断线面关系要充分利用好正方体的特殊性质，比如BD⊥平面BD D1B1，四面体C1BD A1为正四面体，A1C⊥平面BD A1等.三、解答题（本大题共5题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知方程x2+y2−2x−4y+m=0.（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y−4=0相交于M,N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值.【答案】(1)m<5；(2)85.【解析】解：（1）方程x2+y2−2x−4y+m=0变形为(x−1)2+(y−2)2=5−m∵此方程表示圆∴5−m>0∴m<5（2）由{x2+y2−2x−4y+m=0x+2y−4=0消去x得5y2−16y+m+8=0设M(x1,y1)，N(x2,y2)∴{y1+y2=165 y1y2=m+85∵OM⊥ON∴又∵x1=4−2y1，x2=4−2y2∴(4−2y1)(4−2y2)+y1y2=0∴16−8(y1+y2)+5y1y2=0∴16−8×165+5×m+85=0∴m=8516. 已知直线经过直线3x+4y−2=0与直线2x+y+2=0的交点P .（1）若直线垂直于x−2y−1=0，求直线的方程；（2）若直线与经过两点A(8,−6)，B(2,2)的直线平行，求直线的方程.【答案】(1)2x+y+2=0；(2)4x+3y+2=0.【解析】试题分析:（1）易得点P的坐标为(−2,2)，利用垂直关系得到斜率即可求出直线的方程；（2）利用平行关系得到斜率即可求出直线的方程.试题解析：由{3x+4y−2=0 2x+y+2=0，解得{x=−2y=2∴点P的坐标为(−2,2).（1）∵直线x−2y−1=0的斜率为12，∴与该直线垂直的直线的斜率为−2，∴直线的方程为y−2=−2(x+2)，即2x+y+2=0.（2）直线AB的斜率为k AB=−6−28−2=−43，∵直线与直线AB平行，∴k AB=k l=−43，∴直线的方程为y−2=−43(x+2)，即4x+3y+2=0.17. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C1=B1C1，AC1⊥A1B，M,N分别是A1B1,AB的中点，求证：（1）C1M⊥平面A1ABB1；（2）A1B⊥AM；（3）平面AMC1//平面NB1C.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析: 1）根据线面垂直的判定定理即可证明C1M⊥平面AA1B1B；（2）根据线面垂直的性质先证明A1B⊥平面AC1M，即可证明A1B⊥AM；（3）根据面面平行的判定定理即可证明平面AC1M∥平面B1NC．试题解析：（1）证法一：由直三棱柱ABC−A1B1C1得AA1⊥平面A1B1C1，∵C1M⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1M，又∵A1C1=B1C1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，又∵AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面A1ABB1.证法二：由直三棱柱ABC−A1B1C1得平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，且平面A1ABB1∩平面A1B1C1=A1B1，∵A1C1=B1C1，M为A1B1的中点，111又∵C1M⊂平面A1B1C1，∴C1M⊥平面A1ABB1.（2）由（1）知，C1M⊥平面A1ABB1∵A1B⊂平面A1ABB1，∴C1M⊥A1B，∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AMC1，∵AM⊂平面AMC1，∴A1B⊥AM.（3）证法一：由直三棱柱ABC−A1B1C1知，四边形A1ABB1是矩形，∵M,N分别是A1B1,AB的中点，∴AN//B1M，且AN=B1M，∴四边形AMB1N是平行四边形，∴AM//B1N，∵AM⊄平面NB1C，B1N⊂平面NB1C，∴AM//平面NB1C，连接MN，则四边形BB1MN是矩形，∴BB1//MN，且BB1=MN，又∵BB1//CC1，BB1=CC1，∴MN//CC1，且MN=CC1，∴四边形MNCC1是矩形，1∵C1M⊄平面NB1C，CN⊂平面NB1C，∴C1M//平面NB1C又∵AM∩C1M=M,CN∩B1N=N，∴平面AMC1//平面NB1C.证法二：由（2）知，A1B⊥平面AMC1，∵AM⊂平面AMC1，∴A1B⊥AM，∵AM//NB1，∴A1B⊥NB1，∵CN⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴CN⊥A1B，∵NB1∩CN=N，∴A1B⊥平面NB1C，∴平面AMC1//平面NB1C.点睛: 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18. 已知O为坐标原点，设动点M(s,t).（1）当s=0,t=4√3时，若过点M的直线与圆C：x2+y2−8x=0相切，求直线的方程；（2）当s=2,t>0时，求以OM为直径且被直线3x−4y−5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）当s=2,t>0时，设A(1,0)，过点A作OM的垂线，与以OM为直径的圆交于点N，垂足为H，试问：线段ON的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由.【答案】(1)x=0或x+√3y−12=0；(2)(x−1)2+(t−2)2=5；(3)ON的长为定值为√2.【解析】试题分析: （1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4，分类讨论即可求直线l的方程；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）由于ΔOHN∽ΔONM，∴ON2=OH⋅OM，直线NH的方程为2x−ty+2=0，，OM=√4+t2把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，求出H=√4+t2从而得到线段ON的长为定值．试题解析：(1)解：依题意M(0,4√3)，将圆C：x2+y2−8x=0化为标准方程为：(x−4)2+y2=16，则圆心C(4,0)，半径为r=4，∵直线过点M ，∴当斜率不存在时，直线的方程为x =0，符合题意；当斜率存在时，设过点M 的直线的方程为y =kx +4√3，即kx −y +4√3=0. ∵直线与圆C 相切，∴圆心C 到直线的距离为4，即d =√3|√1+k 2=4，解得k =−√33， ∴y =−√33x +4√3，即x +√3y −12=0，综上可得，所求直线的方程为x =0或x +√3y −12=0.（2）依题意得，M(2,t)（t >0），∴以OM 为直径的圆圆心为(1,t2)，半径为r =√1+t 24，∴圆的方程为(x −1)2+(y −t 2)2=t 24+1，∵以OM 为直径的圆被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2，∴圆心到直线3x −4y −5=0的距离为d =√r 2−1=√(t 24+1)−1=t2，∴√32+(−4)2=t2(t >0)，解得t =4.∴圆心为(1,2)，半径为r =√5，∴所求圆的方程为(x −1)2+(t −2)2=5.（3）ON 的长为定值.理由如下：依题意得M(2,t)（t >0）由于ΔOHN ∽ΔONM ，则OHON =ONOM ，即ON 2=OH ⋅OM ，∵直线NH的方程为y=−2(x−1)，即2x−ty+2=0t，∴由点到直线的距离公式得OH=√4+t2又由两点间的距离公式得OM=√4+t2，∴ON2=⋅√4+t2=2，√4+t2∴ON=√2，∴ON的长为定值为√2.19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E,F分别是AB,PD的中点，PA=AD.（1）求证：AF//平面PEC；（2）求二面角P−CD−B的大小；（3）若AD=2,CD=2√2，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值..【答案】(1)证明见解析；(2)45°；(3)√33【解析】试题分析:（1）取PC的中点G，要证AF//平面PEC，即证AF//EG，构造平行四边形即可；（2）根据题意易知∠PDA为二面角P−CD−B的平面角，求出即可；（3）易证EG⊥平面PCD，∠EPG为直线PE与平面PCD所成的角，即可求出直线PE与平面PCD所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：取PC的中点G，连接EG,FG，∵F是PD的中点，∴FG//DC，且FG=1DC，2∵四边形ABCD是矩形，∴AB//DC，且AB=DC，∴FG//AB，且FG=1AB，2又∵E是AB的中点，∴AE=1AB，2∴FG//AE，且FG=AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF//EG，∵AF⊄平面PEC，GE⊂平面PEC∴AF//平面PEC.（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD ∴PA⊥CD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∵PA∩AD=A，PA、AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又∵PD⊂平面PAD，CD⊥PD∴∠PDA为二面角P−CD−B的平面角，∵PA=AD，∴ΔPAD为等腰直角三角形∴∠PDA=450，即二面角P−CD−B的大小为450. （3）由（2）知，ΔPAD为等腰直角三角形∵F是斜边PD的中点，∴AF⊥PD，由（1）知，AF//EG，∴EG⊥PD，又由（2）知，CD⊥平面PAD，AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，∴CD⊥EG，又∵PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD，∴EG⊥平面PCD，∴PG是直线PE在平面PCD上的射影，∴∠EPG为直线PE与平面PCD所成的角，在RtΔPAE中，PA=2，AE=12CD=12AB=12×2√2=√2，∴PE=√AE2+PA2=√(√2)2+22=√6，在等腰直角ΔPAD中，PD=√22+22=2√2∵F是PD的中点，∴AF=12PD=√2，∴EG=√2∴sin∠EPG=EGPE =√2√6=√33，即直线PE与平面PCD所成角的正弦值为√33.点睛:求直线与平面所成角问题主要有两个方法:①定义法,在斜线上取一点,过此点引平面的垂线,连接垂足与斜足得到射影,斜线与射影所夹较小角即线面角;②等积法:直接求得斜线上一点到平面的距离，其与斜线段长的比值即线面角的正弦值，关键求点到平面距离，往往利用等积法来求.。
2017-2018学年天津市和平区高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年天津市和平区高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的离心率为”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵的离心率为，，∴“”是“双曲线的离心率为”的充要条件。
选C。
2. 在空间直角坐标系中，已知（）【答案】B选B。
3. ，且经点，则双曲线的标准方程为（）【答案】AA.4. 若双曲线（）的离心力为，则该双曲线的渐近线方程为（）B.【答案】C，即为 C.5. 已知抛物线的一个焦点，则椭圆的离心率为（）【答案】BB.6. 已知向量，则（），【答案】D【解析】∵∥，∴∥，D。
7. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）【答案】C，可得，所以这条弦所在的直线方程为C.【方法点睛】本题主要考查待定点斜式求直线的方程及“点差法”的应用，属于难题 . 对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.8. 已知椭圆：），，为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点，，则离心率的取值范围为（）【答案】AA.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题 . 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用.二、填空题（每题6分，满分24分，将答案填在答题纸上）9. ．【答案】4【解析】的左焦点，解得，故答案为.10. 已知斜率为的直线经过椭圆的长为__________．【解析】椭圆或，故答案为11. 的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点，作于，若直线的倾斜角为，．【答案】的方程为，于代入抛物线的方程可得，解得，，故答案为.12. 空间四边形，则的值为__________【答案】0【解析】∴。
【真题】2017-2018年天津市部分区高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
2017-2018学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.评卷人1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4≤0}，集合B={x|1﹣x＞0}，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）2．（5分）“”是“cos 2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的取值范围是（）A．[6，+∞）B．[5，+∞） C．[5，6]D．[0，5]4．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b分别是1，2，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（﹣2，0），且双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的方程为（）A．B．C．或x2D．或6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知sin C=sin 2B，且b=2，c=，则a等于（）A．B．C．2 D．27．（5分）如图，平面四边形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，BC=CD=2，点E在对角线AC上，AC=4AE=4，则的值为（）A．17 B．13 C．5 D．18．（5分）已知函数f（x）=e x+e﹣x（其中e是自然对数的底数），若当x＞0时，mf（x）≤e﹣x+m﹣1恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（0，）B．（]C．[）D．[]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.评卷人9．（5分）已知i为虚数单位，则=．10．（5分）在（2x﹣）6的展开式中x2的系数为．（用数字作答）11．（5分）一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为．12．（5分）已知曲线y=x3与直线y=kx（k＞0）在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则k=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（t为参数）的焦点为F，动点P在抛物线上，动点Q在圆（α为参数）上，则|PF|+|PQ|的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）=若函数f（x）﹣ax=0恰有3个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）求f （x）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x）在区间[]上的最大值与最小值．16．（13分）某大学现有6名包括A在内的男志愿者和4名包括B在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会志愿服务工作，从这些人随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作．（Ⅰ）求参加田赛服务工作的志愿者中包含A但不包含B的概率；（Ⅱ）设X表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）在如图所示的几何体中，DE∥AC，∠ACB=∠ACD=90°，AC=2DE=3，BC=2，DC= 1，二面角B﹣AC﹣E的大小为60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACDE；（Ⅱ）求平面BCD与平面BAE所成角（锐角）的大小；（Ⅲ）若F为AB的中点，求直线EF与平面BDE所成角的大小．18．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a1=2，且a2，a3+2，a4成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2na n，数列{b n}的前n项和为S n，g（n）=（n≥2，n∈N*），求正整数k的值，使得对任意n≥2均有g（k）≥g（n）．19．（14分）设椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F1，离心率为．F1为圆M：x2+y2+2x﹣15=0的圆心．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=ln x+a（1﹣x）（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=﹣时，令g（x）=x2﹣1﹣2f（x），其导函数为g′（x）．设x1，x2是函数g（x）的两个零点，判断是否为g′（x）的零点？并说明理由．2017-2018学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.评卷人1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4≤0}，集合B={x|1﹣x＞0}，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）【解答】解：集合A={x|x2﹣4≤0}={x|﹣2≤x≤2}，集合B={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣2≤x＜1}=[﹣2，1）．故选：C．2．（5分）“”是“cos 2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由cos 2α=0得2α=kπ+，即α=+，k∈Z，则“”是“cos 2α=0”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的取值范围是（）A．[6，+∞）B．[5，+∞） C．[5，6]D．[0，5]【解答】解：画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，如图：将目标函数变形为z=x+2y，作出目标函数对应的直线，直线过A（0，3）时，直线的纵截距最小，z最小，最小值为5；则目标函数z=x+2y的取值范围是[5，+∞）故选：B．4．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b分别是1，2，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=2，n=1满足条件n≤3，执行循环体，S=1+=，a=2，b=，n=2满足条件n≤3，执行循环体，S=2+=，a=，b=，n=3满足条件n≤3，执行循环体，S=+=，a=，b=，n=4此时，不满足条件n≤3，退出循环，输出S的值为．故选：D．5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（﹣2，0），且双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的方程为（）A．B．C．或x2D．或【解答】解：根据题意双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（﹣2，0），有a2+b2=c2=4，①，双曲线的两条渐近线的夹角为60°，一条渐近线的斜率为，或渐近线的斜率为：=或，②联立①、②可得：a2=1，b2=3，或a2=3，b2=1；则要求双曲线的方程为：x2或；故选：C．6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知sin C=sin 2B，且b=2，c=，则a等于（）A．B．C．2 D．2【解答】解：∵sinC=sin2B=2sinBcosB，且b=2，c=，∴由正弦定理可得：，由于sinB≠0，可得：cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+3﹣2×，可得：2a2﹣3a﹣2=0，∴解得：a=2，或﹣（舍去）．故选：C．7．（5分）如图，平面四边形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，BC=CD=2，点E在对角线AC上，AC=4AE=4，则的值为（）A．17 B．13 C．5 D．1【解答】解：由题意可知CE=3，∠BCE=60°，∴EB==，∴cos∠BEC==．∴cos∠BED=2cos2∠BEC﹣1=．∴==1．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=e x+e﹣x（其中e是自然对数的底数），若当x＞0时，mf（x）≤e﹣x+m﹣1恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（0，）B．（]C．[）D．[]【解答】解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.评卷人9．（5分）已知i为虚数单位，则=．【解答】解：原式==，故答案为：．10．（5分）在（2x﹣）6的展开式中x2的系数为240．（用数字作答）==（﹣1）r26﹣r x6﹣2r，令6﹣2r=2，【解答】解：通项公式T r+1解得r=2．∴（2x﹣）6的展开式中x2的系数==240．故答案为：240．11．（5分）一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为36．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，四棱柱，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AB=2AD=2，侧棱AA1=6，∴该四棱柱的体积为V=．故答案为：36．12．（5分）已知曲线y=x3与直线y=kx（k＞0）在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则k=4．【解答】解：联立方程可得，解得x=0，或x=，先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为0直线y=kx与曲线y=x3所围图形的面积S=∫0（kx﹣x3）dx而（kx﹣x3）dx=（kx2﹣x4）|=k2﹣k2=k2=4∴解得k=4，故答案为：413．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（t为参数）的焦点为F，动点P在抛物线上，动点Q在圆（α为参数）上，则|PF|+|PQ|的最小值为3．【解答】解：根据题意，抛物线参数方程为，其普通方程为y2=4x，其焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，动点P在抛物线上，设P到准线的距离为d，则d=|PF|，圆的参数方程为（α为参数），其普通方程为（x﹣3）2+y2=1，动点Q在圆上，则|PF|+|PQ|=d+|PQ|，分析可得：当P为抛物线的顶点时，|PF|+|PQ|取得最小值，且其最小值为3，故答案为：3．14．（5分）已知函数f（x）=若函数f（x）﹣ax=0恰有3个零点，则实数a的取值范围为[，）．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图所示：，若函数f（x）﹣ax=0恰有3个零点，则f（x）=ax恰有3个交点，当a=时，y=x和y=f（x）有3个交点，（如红色直线），直线y=ax和f（x）相切时，（如绿色直线），设切点是（m，lnm），由（lnx）′=，故a=，故lnm=1，解得：m=1，故a=，故直线y=x和f（x）相切时，2个交点，综上，a∈[，），故答案为：[，）．三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）求f （x）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x）在区间[]上的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x …（2分）=2（cos2x+sin2x）=2sin（2x+）；…（4分）所以T==π，所以f（x）的最小正周期为π；…（6分）（Ⅱ）由x∈[﹣，]，得2x+∈[﹣，]，…（7分）所以当2x+∈[﹣，]，即x∈[﹣，]时，函数f（x）单调递增；当2x+∈[，]，即x∈[，]时，函数f（x）单调递减；…（9分）且当2x+=﹣，即x=﹣时，sin（2x+）=﹣，此时f（x）=2sin（2x+）=﹣1；当2x+=，即x=时，sin（2x+）=1，此时f（x）=2sin（2x+）=﹣2；当2x+=，即x=时，sin（2x+）=，此时f（x）=2sin（2x+）=﹣；…（12分）所以当x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1；当x=时，f（x）取得最大值2．…（13分）16．（13分）某大学现有6名包括A在内的男志愿者和4名包括B在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会志愿服务工作，从这些人随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作．（Ⅰ）求参加田赛服务工作的志愿者中包含A但不包含B的概率；（Ⅱ）设X表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）记参加田赛服务工作的志愿者中包含A但不包含B的事件为M，则基本事件的总数为，事件M包含基本事件的个数为，则P（M）==．（II）由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4．则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4 ）==．因此X分布列为：∴X的数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．17．（13分）在如图所示的几何体中，DE∥AC，∠ACB=∠ACD=90°，AC=2DE=3，BC=2，DC= 1，二面角B﹣AC﹣E的大小为60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACDE；（Ⅱ）求平面BCD与平面BAE所成角（锐角）的大小；（Ⅲ）若F为AB的中点，求直线EF与平面BDE所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠ACB=∠ACD=90°，∴AC⊥CD，AC⊥CB，∴∠BCD为二面角B﹣AC﹣E的平面角，即∠BCD=60°，在△BCD中，BC=2，CD=1，∠BCD=60°，∴，∴BD2+DC2=BC2，即BD⊥DC，由AC⊥CD，AC⊥CB，且BC∩DC=C，可知AC⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD，又∵AC∩CD=C，AC⊂平面ACDE，DC⊂平面ACDE，∴BD⊥平面ACDE；（Ⅱ）解：由BD⊥平面ACDE，得BD⊥DC，BD⊥DE，又AC⊥CD，即DB，DC，DE两两垂直，则分别以DB，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由（Ⅰ）知，BD=，则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，1，0），由AC=2DE=3，得E（0，0，），A（0，1，3），∴，，设平面BAE的一个法向量为，则，取y=3，可得，由AC⊥平面BCD，可知平面BCD的一个法向量为，设平面BCD与平面BAE所成的角（锐角）为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，于是，∴平面BCD与平面BAE所成的角（锐角）为；（Ⅲ）解：若F为AB的中点，则由（II）可得F（），∴，依题意CD⊥平面BDE，可知平面BDE的一个法向量为，设直线EF与平面BDE所成角为α，则sinα=|cos＜＞|=||=，∴直线EF与平面BDE所成角的大小．18．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a1=2，且a2，a3+2，a4成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2na n，数列{b n}的前n项和为S n，g（n）=（n≥2，n∈N*），求正整数k的值，使得对任意n≥2均有g（k）≥g（n）．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，则由条件得：2（a3+2）=a2+a4，又a1=2，则2（2q2+2）=2q+2q3，因为1+q2＞0，解得：q=2，故a n=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：b n=2na n=n•2n+1，则前n项和为S n=1•22+2•23+…+n•2n+1①2S n=1•23+2•24+…+n•2n+2②，①﹣②得：﹣S n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2=﹣n•2n+2，化简可得S n=4+（n﹣1）•2n+2，则g（n）==（n≥2，n∈N*），由g（n+1）﹣g（n）=﹣=，得当9﹣2n＞0，即2≤n≤4时，g（2）＜g（3）＜g（4）＜g（5）；当9﹣2n＜0，即n≥5时，g（5）＞g（6）＞g（7）＞…；所以对任意n≥2，且n∈N*均有g（5）≥g（n），故k=5．19．（14分）设椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F1，离心率为．F1为圆M：x2+y2+2x﹣15=0的圆心．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知=，则a=2c，圆M的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），即c=1，所以a=2，又b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为：+=1．（Ⅱ）可知椭圆右焦点F2（1，0）．（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时K不存在，直线l：x=1，直线l1：y=0，可得：|AB|=3，|CD|=8，四边形ABCD面积12．（ⅱ）当l与x轴平行时，此时k=0，直线l：y=0，直线l1：x=1，可得：|AB|=4，|CD|=4，四边形ABCD面积为8．（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B （x2，y2）．由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．则x1+x2=．x1x2=所以|AB|=•|x1﹣x2|=．过点F2（1，0）且与l垂直的直线当l与x轴不垂直时，l1：y=﹣（x﹣1），则圆心到l1的距离为，所以|CD|=2=4故四边形ABC面积：S=|AB|•|CD|=12．可得当l与x轴不垂直时，四边形ABCD面积的取值范围为（12，8）．综上，四边形ABCD面积的取值范围为[12，8]．20．（14分）已知函数f（x）=ln x+a（1﹣x）（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=﹣时，令g（x）=x2﹣1﹣2f（x），其导函数为g′（x）．设x1，x2是函数g（x）的两个零点，判断是否为g′（x）的零点？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意，知函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）=﹣a，1°当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，2°当a＞0时，令f′（x）=0，得x=，x（0，）（，+∞）f′（x）+0f（x）↗极大值↘所以，f（x）在区间（0，）内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减．（Ⅱ）不是导函数g′（x）的零点，由（Ⅰ）知，g（x）=x2﹣2lnx﹣x，∵x1，x2是函数g（x）的两个零点，不妨设0＜x1＜x2，∴x12﹣2lnx1﹣x1=0，x22﹣2lnx2﹣x2=0，两式相减，得（x1﹣x2）（x1+x2﹣1）=2（lnx1﹣lnx2），即x1+x2﹣1=，又g′（x）=2x﹣﹣1，∴g′（）=x1+x2﹣﹣1=﹣=[（lnx1﹣lnx2）﹣]，设t=，则0＜t＜1，令φ（t）=lnt﹣，∴φ′（t ）=﹣=＞0在（0，1）恒成立，∴φ（t ）在（0，1）上是增函数， ∴φ（t ）＜φ（1）=0， ∴lnt ﹣＜0，从而（lnx 1﹣lnx 2）﹣＜0，∵＜0，∴[（lnx 1﹣lnx 2）﹣]，∴g ′（）＞0，∴不是导函数g′（x ）的零点，赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q) ()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。
天津市部分区17—18学年高二上学期期末考试数学(理)试题(附答案)$834296
天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学（理科）温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过两点4,A a（），,3B（2）的直线的倾斜角为4π，则a=（）A．3B．4C．5D．62．双曲线2214xy-=的离心率是（）A B．2C．3D．23．命题“∃m N∈，曲线221xym+=是椭圆”的否定是（）A．∀m N∈，曲线221xym+=是椭圆B．∀m N∈，曲线221xym+=不是椭圆C．∃*m N∈，曲线221xym+=是椭圆D ．∃*m N ∈，曲线221x y m+=不是椭圆 4．已知向量(,1,3)λ=a ，(0,3,3)λ=-+b ，若⊥a b ，则实数λ的值为（ ）A ．2-B ．32-C ．32D ．25．“直线a 与平面M 垂直”是“直线a 与平面M 内的无数条直线都垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ） AB ．32π CD ．3π7．直线y kx k =-与圆22(2)3x y -+=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．与k 取值有关8．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）A ．若////m n αα，，则//m nB ．若//m m αβ⊥，，则αβ⊥C ．若////m ααβ，，则//m βD ．若,//m n m α⊥，则n α⊥9．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为2，则点M 到该抛物线的准线的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．已知(,)P x y 为椭圆22:12516x y C +=上一点，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足1MF =且MP MF ⊥，则PM 的取值范围是（ ）A ．[2,8]B．C．D．第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．11．抛物线24y x =-的焦点坐标为__________.12．椭圆22143x y+=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =__________.13．已知三条直线1:220l x my ++=()m R ∈，2:l 210x y +-=，3:l 10x ny ++=()n R ∈.若1213//,l l l l ⊥，则m n +的值为__________．14．如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，点D在棱1BB 上，且1BD =，则直线AD 与平面11AAC C 所成角的余弦值为________．15．平面上一质点在运动过程中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等．若质点接触不到过点(2,0)P -且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是__________.三、解答题：本大题共5小题, 共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知圆的方程222230x y x y m +-++-= ()m R ∈.（1）求m 的取值范围；（2）若1m =,求圆截直线40x y --=所得弦的长度.17．（本小题满分12分）已知顶点为O 的抛物线22y x =与直线(2)y k x =-相交于不同的,A B 两点. （1）求证：OA OB ⊥； （2）当k =OAB ∆的面积.18．（本小题满分12分）如图，在多面体P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，PAD ∆是等边三角形，已知24BDAD ==,2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥P BCD -的体积．19．（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，11AB AA ==，E 为BC 中点． （1）求证：11C D D E ⊥；（2）动点M 满足1AM AA λ=uuu r uuu r(01)λ<<，使得//BM 平面1AD E ，求λ的值；（3）若二面角11B AE D --的大小为90o ，求线段AD 的长．20．（本小题满分12分）椭圆:C 22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为12，经过椭圆右焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得弦的长度为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点(,A B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点. 求证:直线l 过定点，并求出该定点的坐标．天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．(1,0)- 12．52 13．1- 14 15. ,22⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）解：（1）由题意知()()2222430m -+-->，解得5m <.……………4分（2）当1m =时,由222220x y x y +-+-=得()()22114x y -++=，………………………………………………………6分 所以圆心坐标为(1,1)-，半径2r =，圆心到直线40x y --==……………………8分所以弦长的一半==分∴弦长为分17．（12分）解：（1）由方程22y x =，(2)y k x =-消去x 后，整理得2240ky y k --= 设11(,)A x y 22(,)B x y ，由韦达定理122y y k +=,124y y =-，……………2分 ∵,A B 在抛物线22y x =上， ∴2112y x =,2222y x =，∴221212144x x y y ==.…………………………4分A∵12121OA OB y y k k x x ==-， ∴2AOB π∠= (6)分（2）因为k=由（1）可得12y y ==代入抛物线方程可得121,4x x == ∴(1,A ，(4,B ……………………………………………………9分∴1122OAB S OA OB ∆=⋅==分 18．（12分）解：（1）证明：在ABD V 中，∵2,4,AD BD AB ===，∴222AD BD AB +=∴AD BD ⊥．……………………………………………………3分 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面PAD ，又BD ⊂面BDM ，∴平面MBD ⊥平面PAD ．………………………6分 （2）解：过P 作PO AD ⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P BCD -的高． 又PAD ∆是边长为2的等边三角形， ∴PO ．………………………9分在底面四边形ABCD 中，AB DC //，2AB DC =， 在Rt ABD ∆中，斜边AB5=， 此即为BCD ∆的高．∴1225BCD S ∆==．…………………11分∴123P BCD V -=⨯=…………………12分 19．解：（12分）（1）证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设2AD a =,则(0,0,0)D ，(2,0,0)A a ，(2,1,0)B a ，()12,0,1A a ，()10,1,1C ,()10,0,1D ,()12,1,1B a ，(,1,0)E a ，所以1(0,1,1)C D =--uuu r ,1(,1,1)D E a =-uuu r，所以110C D D E ⋅=uuu r uuuu r，所以11C D D E ⊥.……………………3分 （2）由1AM AA λ=uuu r uuu r ,则(2,0,)M a λ，连接BM ，所以(0,1,)BM λ=-u u u r ，(,1,0)AE a =-u u u r，1(2,0,1)AD a =-uuu r，设平面1AD E 的法向量为n r(,,)x y z =，则1020AE n ax y AD n ax z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩uu u r r uuu r r ，取1x = 所以平面1AD E 的一个法向量为n r(1,,2)a a =，因为BM //平面1AD E ，所以BM n ⊥uuu r r ，即20BM n a a λ⋅=-+=u u u r r ，所以12λ= (7)分（3）连接1AB ，1B E ，设平面1B AE 的法向量为m u r(,,)x y z '''=，(,1,0)AE a =-u u u r ，1(0,1,1)AB =uuu r，则100AE m ax y AB m y z ⎧''⋅=-+=⎪⎨''⋅=+=⎪⎩uu u r u r uuu r u r ,取1x '= 所以平面1B AE 的一个法向量为m u r(1,,)a a =- ……………………9分因为二面角11B AE D --的大小为90o，所以m n ⊥u r r ，所以22120m n a a ⋅=+-=u r r ，因为0a >，所以1a =，即2AD =.……………………12分 20．（12分）解：（1）由题意可得12c e a ==,223b a=,又222a b c =+，解得2,1a b c ===. 所以所求椭圆C 的方程为22143x y +=.……………………………………3分 （2）设11(,)A x y 22(,)B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得()()222348430k x mkx m +++-=， ()()222264163430m k k m =-+->V ,化为2234k m +>. 所以122834mk x x k -+=+，212241234m x x k -=+.…………………………7分 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++ 22231234m k k -=+. 因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点(2,0)D ，1DA DB k k =-， 所以1212122y y x x ⋅=---， 所以()121212240y y x x x x +-++=， 所以2222223124121640343434m k m mk k k k --+++=+++. 化为2271640m mk k ++=， 解得1222,7k m k m =-=-.……………………………………………10分 且满足2234k m +>.当2m k =-时，():2l y k x =-，直线过定点(2,0)与已知矛盾； 当27k m =-时，2:7l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点2(,0)7. 综上可知，直线l 过定点2(,0)7.…………………………………………12分。
学17—18学年上学期高二期末考试数学(理)试题(附答案)
一、选择题（共12个小题，每小题5分，合计60分，每题只有一个正确的选项！） 2、在△ABC 中，︒=︒==75,60,18C B a ，则b=（ ） A.66 B. 69 C. 34 D. 39 3、不等式 8)1)(5(≥-+x x 的解集是（ ） A.{}5或,1|-≥≤x x x B.{}1或,3|-≥-≤x x xC.{}15|≤≤-xx D. {}13|-≤≤-x x4、已知焦点在y 轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为3，焦距为4，则该椭圆的标准方程为（ ） A ．192522=+y x B ．192522=+x y C ．191322=+y x D ．113922=+y x5、等比数列{}n a 中，24,3121110321==a a a aa a ，则=151413a a a （ ）A.48B.72C.144D.1926、在△ABC 中，C B A B A 222sin sin sin sin sin =++，则角C 等于（ ）A.30︒B. 60︒C.120︒D. 150︒ 7、已知，x>0,y>0,y x yx+=+则,291的最小值为（ ）A.6B.8C.12D.168、已知两定点)5,0(),5,0(f F -,平面内动点 P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则点P 的轨迹方程为( )A.221916x y -= B.221169x y -= C.116922=-x y D. 191622=-x y9、在△ABC 中，32,4,60==︒=∆ABC S AB A ，则BC 边等于（ ）吉林市第五十五中学2017——2018年度上学期期末考试高二数学（理科）试卷（时间：120分钟，满分：150分）A.22B.32C.3D.23 10、已知数列{}n a 中，n n n a a a2,111+==+，则=10a （ ）A.623B.841C.1023D.2047 11、 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是（ ）A. tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使B.tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使C.tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使 D.tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使12、在平面直角坐标系中，(2,3),(3,2)A B --，沿x 轴把直角坐标系折成60°的二面角，则AB 的长为 （ ）C.D.二、填空题（共4个小题，每个小题6分，合计24分，要求：答案书写时规范、标准。
17—18学年上学期高二期末考试数学(理)试题(附答案)
2017-2018-1高二理科数学期末试题考试总分： 150 分考试时间： 120注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“若，则的逆否命题为真命题C.命题“，使得”的否定是：“，均有”D.命题“若，则的逆命题为真命题2.在命题“若抛物线的开口向下，则”的逆命题、否命题、逆否命题中真命魉的个数（）A. B. C. D.3.已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（）A. B.C.D.4.已知点是椭圆上的动点，，是椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上一点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.5.命题，方程有实根，则￢是（）A.，方程无实根B.，方程无实根C.不存在实数，使方程无实根D.至多有一个实数，使方程有实根6.已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则A. B. C. D.7.空间四边形中，若向量，点，分别为线段，的中点，则的坐标为（）A. B.C. D.8.空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A.B.或C.D.或9.已知是空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组基底．若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（）A. B. C. D.10.在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题表示“甲的试跳成绩超过米”，命题表示“乙的试跳成绩超过米”，则命题表示（）A.甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过米B.甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过米C.甲、乙两人的试跳成绩都没有超过米D.甲、乙至少有一人的试跳成绩超过米11.如果方程表示双曲线，则的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知，，，则动点的轨迹是（）A.双曲线B.双曲线左支C.双曲线右支D.一条射线二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知关于面的对称点为，则________．14.若，，则________．15.已知动圆与圆：外切，与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为________．16.已知函数恒过抛物线的焦点，若，是抛物线上的两点，且，直线的斜率不存在，则弦的长为________．三、解答题（共 6 小题，共 70 分）17.（10分）设命题：函数在上单调递增；：关于的方程的解集只有一个子集．若“”为真，“￢￢”也为真，求实数的取值范围．18.(12分) 已知椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上．求椭圆的方程若椭圆上存在一点，使，求的面积．19.(12分) 已知为实数，：点在圆的内部；，都有．若为真命题，求的取值范围；若为假命题，求的取值范围；若“且”为假命题，且“或”为真命题，求的取值范围．20.(12分) 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点．若，求证：平面平面；若平面平面，且，点在线段上，试确定点的位置，使二面角大小为，并求出的值．21.（12分）已知点，，动点到、两点的距离之差的绝对值为，点的轨迹与直线交于、两点，求线段的中点坐标及其弦长．22.(12分) 如图，棱锥的底面是矩形，平面，，．求证：平面；求二面角余弦值的大小；求点到平面的距离．高二数学期终试题答案一、选择题.BBCBB BB.CA.D .B.C二、填空题 13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：当命题是真命题时，应有；当命题是真命题时，关于的方程无解，所以，解得．由于“”为真，所以和中至少有一个为真，又“￢￢”也为真，所以￢和￢中至少有一个为真，即和中至少有一个为假，故和中一真一假．假真时，无解；真假时，．综上所述，实数的取值范围是．18.解：设椭圆的方程为．∵，∴①，∵点在椭圆上，∴②，由①、②得：，，∴椭圆的方程为：．由题意知，，、∴又∵点在椭圆上，∴、①由余弦定理知：②把①两边平方得，③③-②得，∴，∴、19.解：∵：点在圆的内部∴，解得，故为真命题时的取值范围为．∵，都有∴若为真命题，则，解得，故为假命题时的取值范围．∵“且”为假命题，且“或”为真命题∴与一真一假，从而①当真假时有，无解；②当假真时有，解得或．∴实数的取值范围是．20.证明：∵，为的中点，∴，又∵底面为菱形，，∴，又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面．∵平面平面，平面平面，，∴平面．以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：，，，，设，则，平面的一个法向量是，设平面的一个法向量为，则，取，∵二面角大小为，∴，解得，此时．21.解：∵，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线，，，∴，，∴，∴点的轨迹方程为．把直线代入化简可得，，设、两点的坐标分别为（）、，∴，．∴线段的中点坐标为，．22.解：建立如图所示的直角坐标系，则、、．在中，，，∴．∴、，∴∵，即，，又因为，∴平面．解：由得．设平面的法向量为，则，即，∴，故平面的法向量可取为∵平面，∴为平面的法向量．设二面角的大小为，依题意可得．由得，设平面的法向量为，则，即，∴，故可取为．∵，∴到面的距离为。
2018届天津市部分区高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
天津市部分区2017-2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合A={x|x2﹣4≤0}={x|﹣2≤x≤2}，集合B={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜1}=[﹣2，1）．故选：C．2. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】由cos 2=0得2=kπ+，即=+，k∈Z，则“”是“cos 2=0”的充分不必要条件，故选：A．3. 设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，如图：将目标函数转化为，作出目标函数对应的直线，直线过A（0，3）时，直线的纵截距最小，z最小，最小值为5；则目标函数z=x+2y的取值范围是[5，+∞）故选：B．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4. 阅读如图所示的程序框图，若输入的分别为1，2，运行相应的程序，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】执行程序框图，可得a=1，b=2，n=1满足条件n≤3，执行循环体，S=1+=，a=2，b=，n=2满足条件n≤3，执行循环体，S=2+=，a=，b=，n=3满足条件n≤3，执行循环体，S=+=，a=，b=，n=4此时，不满足条件n≤3，退出循环，输出S的值为．故选：D．点睛：点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可5. 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（）A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】根据题意双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（﹣2，0），有a2+b2=c2=4，①，∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率为，或渐近线的斜率为：∴=或，②联立①、②可得：a2=1，b2=3，或a2=3，b2=1；则所求双曲线的方程为：或；故选：C．6. 在中，内角的对边分别为，已知，且，，则等于（）A. B. C. 2 D.【答案】C【解析】∵sinC=sin2B=2sinBcosB，且b=2，c=，∴由正弦定理可得：，由于sinB≠0，可得：cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+3﹣2×，可得：2a2﹣3a﹣2=0，∴解得：a=2，或﹣（舍去）．故选：C．7. 如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，则的值为（）A. 17B. 13C. 5D. 1【答案】D【解析】由题意可知CE=3，∠BCE=60°，∴EB==，∴cos∠BEC==．∴cos∠BED=2cos2∠BEC﹣1=．∴==1．故选：D．8. 已知函数（其中是自然对数的底数），若当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若当时，恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．故选：B．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知为虚数单位，则__________．【答案】【解析】.故答案为：10. 在的展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】240【解析】通项公式T r+1==（﹣1）r26﹣r x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2．∴的展开式中x2的系数==240．故答案为：24011. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为__________．【答案】36【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，四棱柱，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AB=2AD=2，侧棱AA1=6，∴该四棱柱的体积为V=．故答案为：36．12. 已知曲线与直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则__________．【答案】4【解析】联立方程可得，解得x=0，或x=，先根据题意画出图形，直线y=kx与曲线y=x3所围图形的面积S=而=（kx2﹣x4）=k2﹣k2=k2=4∴解得k=4，故答案为：4点睛：点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．13. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为参数）的焦点为，动点在抛物线上，动点在圆（为参数）上，则的最小值为__________．【答案】3【解析】根据题意，抛物线参数方程为，其普通方程为y2=4x，其焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，动点P在抛物线上，设P到准线的距离为d，则d=|PF|，圆的参数方程为（α为参数），其普通方程为（x﹣3）2+y2=1，动点Q在圆上，则|PF|+|PQ|=d+|PQ|，分析可得：当P为抛物线的顶点时，|PF|+|PQ|取得最小值，且其最小值为3，故答案为：3．14. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】画出函数f（x）的图象，如图所示：若函数f（x）﹣ax=0恰有3个零点，则f（x）=ax恰有3个交点，当a=时，y=x和y=f（x）有3个交点，直线y=ax和f（x）相切时，设切点是（m，lnm），由（lnx）′=，故a=，故lnm=1，解得：m=1，故a=，故直线y=x和f（x）相切时，2个交点，综上，a∈，故答案为：．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）当时，取得最小值；当时，取得最大值【解析】试题分析：（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，再求出它的最小正周期；（Ⅱ）由x∈求得f（x）的单调区间，从而求得f（x）的最大、最小值．试题解析：（1），所以，所以的最小正周期为．（2）由，得，所以当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；且当，即时，，此时；当，即时，，此时;当，即时，，此时;所以当时，取得最小值；当时，取得最大值16. 某大学现有6名包含在内的男志愿者和4名包含在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作.（1）求参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的概率；（2）设表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据组合数公式和古典概型概率公式计算；（2）利用超几何分布的概率公式求出概率卖得出分布列，再计算数学期望．试题解析：（1）记参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的事件为，则基本事件的总数为，事件包含基本事件的个数为，则.(2)由题意知可取的值为：.则因此的分布列为的数学期望是=点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17. 在如图所示的几何体中，，，，，，二面角的大小为.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的角（锐角）的大小；（3）若为的中点，求直线与平面所成的角的大小.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可得AC⊥CD，AC⊥CB，即∠BCD为二面角B﹣AC﹣E的平面角，即∠BCD=60°，求解三角形可得BD⊥DC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCD，得到AC⊥BD，进一步得到BD⊥平面ACDE；（Ⅱ）由BD⊥平面ACDE，得BD⊥DC，BD⊥DE，可得DB，DC，DE两两垂直，分别以DB，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BAE与平面BCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面BCD与平面BAE所成的角；（Ⅲ）若F为AB的中点，由（II）可得，进一步得到，由已知可得平面BDE的一个法向量为，由与所成角的余弦值的绝对值可得直线EF与平面BDE所成角的大小．试题解析：（1）因为，则，，所以为二面角的平面角，即，在中，，，，所以，所以，即，由，，且，可知平面，又平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面．（2）由平面得，，又，即，，两两垂直，则以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．由（I）知，则，，，由得，依题意，，设平面的一个法向量为，则，即，不妨设，可得，由平面可知平面的一个法向量为设平面与平面所成的角（锐角）为，所以，于是，所以平面与平面所成的角（锐角）为．（3）若为的中点，则由（II）可得，所以，依题意平面，可知平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的大小．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18. 已知是等比数列，满足，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，，求正整数的值，使得对任意均有.【答案】（1）；（2）5【解析】试题分析：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，运用等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，即可得到所求通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，运用数列的求和方法：错位相减法，可得S n，（n≥2，n∈N*），求得g（n+1）﹣g（n）的符号，可得g（n）的单调性，进而得到所求值．试题解析：（1）设数列的公比为，则由条件得：，又，则，因为，解得：，故.（2）由（Ⅰ）得：，则①②①- ②得：，所以则，则由得：当时，；当时，；所以对任意，且均有，故19. 设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意求得a，b的值即可确定椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，根据点到直线的距离公式可求出|CD|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围试题解析：（1）由题意知，则，圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，所以，又，得．所以椭圆的方程为：.（2）可知椭圆右焦点．（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线，可得：，，四边形面积为12.（ⅱ）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，可得：，，四边形面积为.（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为，并设，.由得.显然，且，.所以.过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，所以.故四边形面积：.可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,).综上，四边形面积的取值范围为．20. 已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=x2﹣2lnx﹣x，x1，x2是函数g（x）的两个零点，不妨设0＜x1＜x2，可得x12﹣2lnx1﹣x1=0，x22﹣2lnx2﹣x2=0，两式相减化简可得x1+x2﹣1=，再对g（x）求导，判断的符号即可证明试题解析：（1）依题意知函数的定义域为，且.①当时，，所以在上单调递增.②当时，由得：，则当时；当时.所以在单调递增，在上单调递减.（2）不是导函数的零点.证明如下：由（Ⅰ）知函数.∵，是函数的两个零点，不妨设，∴，两式相减得：即：又.则.设，∵，∴，令，.又，∴，∴在上是増函数，则，即当时，，从而，又所以，故，所以不是导函数的零点.。
天津市红桥区2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试题 含答案 精品
天津市红桥区2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题01,:2≥+∈∀x R x p ，则p ⌝为（ ）A ．01,20>+∈∃x R xB ．01,20≤+∈∃x R xC ．01,20<+∈∃x R x D ．01,2<+∈∀x R x2.抛物线x y 42-=的焦点坐标是（）A ．()01，B ．()01，-C ．()02，D ．()02，-3.椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（）A ．23B ．25C ．3D ．54.圆心为()10，且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()11122=-+-y xB ．()()11122=+++y xC.()()21122=+++y x D ．()()21122=-+-y x5.若双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x y ±=，则双曲线的离心率为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．36．设命题:p 大于 90的角为钝角，命题:q 所有的有理数都是实数”，则p 与q 的复合命题的真假是（）A.”“q p ∨假B.”“p ⌝假C.”“q p ∧真D.”“q p ∨真7.已知c b a ,,是实数，则“b a >”是“22bc ac >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.过双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的左焦点()()00,>-c c F ，作圆4222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若()+=21．则双曲线的离心率为（） A ． 10 B ．510 C ．210 D ．2 第Ⅱ卷二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.抛物线2x y =的准线方程为 ．10.椭圆12922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上.若41=PF ，则=2PF ．(用数字填写) 11.若双曲线()013222>=-a y a x 的离心率为2，则=a ． 12. 抛物线x y 82=的焦点到直线03=-y x 的距离是 ．13.若抛物线x y 42=上一点P 到其焦点的距离为4．则点P 的坐标为 ． 三、解答题 （本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14. 已知圆042:22=--+y x y x C ，直线063:=--y x l .(I)求圆C 的圆心及半径；(Ⅱ)求直线l 被圆C 截得的弦AB 的长度． 15.已知()0,012222>>=-b a b y a x 的渐近线方程x y 43±=，与椭圆1244922=+y x 有相同的焦点． (I)求双曲线的方程；(Ⅱ)求双曲线的离心率．16.已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的一个顶点坐标为()1,0B ,若该椭圆的离心等于23， （I)求椭圆的方程；(Ⅱ)点Q 是椭圆C 上位于x 轴下方一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点,直线1QF 的倾斜角为6π，求21F QF ∆的面积.17.已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C ，()()0,1,0,121F F -分别是椭圆的左、右焦点，过点()0,12F 作直线l 于椭圆C 交于B A ,两点，1ABF ∆的周长为34.(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若OB OA ⊥．求直线l 的方程．试卷答案一、选择题1-5:CBADB 6-8:DBC二、填空题 9.41-=y 10.211.1 12.113. )32,3(± 三、解答题14.（1）圆C :04222=--+y x y x 整理得5)2()1(22=-+-y x ，圆心)2,1(，半径为5=r .圆心)2,1(到直线l ：063=--y x 的距离2200B A CBy Ax d +++==10623--=210 弦AB 的长度222d r AB -==2552-=10 （Ⅰ）因为离心率45=e ，则45=a c ，相同的焦点)0,5(， 即5=c ，4=a ，双曲线222b a c +=，得3=b ， 双曲线方程191622=-y x （Ⅱ）因为离心率a c e =，所以45=e . 16.（Ⅰ）解：因为1=b ,23==a c e , 且222c b a +=，所以2=a ，3=c ， 则椭圆方程1422=+y x . （Ⅱ）解：因为)0,3(1-F , 6tan π=k =33直线1QF :)3(33+=x y ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+)3(331422x y y x , 整理得：03872=+x x ， 解得：738,021-==x x ，则)71,738(--QQ QF F y F F s ⋅=∆212121=713221⨯⨯=73 17.（Ⅰ）解：因为244=a ,2=a ,1=c 且222c b a +=，得1=b ,则椭圆方程:1222=+y x （Ⅱ）解：设),(11y x A ，),(22y x B当AB 垂直于x 轴时，直线l 的方程1=x ，不符合题意； 当AB 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为)1(-=x k y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(1222x k y y x ，得0)1(24)21(2222=-+-+k x k x k ， 2221214k k x x +=+，222121)1(2k k x x +-=⋅[]1)(2121221++-=⋅x x x x k y y =2221kk +- 因为⊥，所以0=⋅，则，02121=⋅+⋅y y x x ， 021222=+-kk 得2±=k ， 直线l 的方程为)1(2-±=x y .。
天津市五区县高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．54π 12．22(4)64x y +-= 13．6- 14．1 15. 13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分） 解：（1） 解法一：设圆C 的方程为 222()()x a y a r -+-=（0r >）．依题意得222222(3),(3)(2),a a r a a r ⎧+-=⎨-+-=⎩……………………………………………………3分 解得 1a =，25r =，所以圆C 的方程为 22(1)(1)5x y -+-=． …………………………………………6分 解法二：依题意易得线段AB 的中垂线方程为 32y x =-．…………………………………3分联立方程组 32y xy x =⎧⎨=-⎩解得 11x y =⎧⎨=⎩ 所以圆心 (1,1)C ，所以圆 的方程为 22(1)(1)5x y -+-=．………………………………………6分（2）直线l 的倾斜角为45∴tan 451k == ………………………………………8分 ∴可设直线l 的方程为y x b =+ 由（Ⅰ）可知圆心C 到直线l 的距离d == ………………………………………11分解得b =∴直线l的方程为y x =± ………………………………………12分17．（12分）解： （1）5,3,4AC CB AB ===∴222AC BC AB =+ ∴AB BC ⊥………………2分 又四边形11CBB C 是矩形∴1CB BB ⊥………………3分又1ABBB B =∴BC ⊥平面11ABB A 又BC ⊂平面1CA B∴平面1CA B ⊥平面11ABB A ………………………………………6分（2）取AB 的中点D ，连结1,A D CD160A AB ∠=，1AA AB =∴1AA B ∆为正三角形∴1A B D A ⊥ …………………………8分 由（Ⅰ）可知BC ⊥平面11ABB ABC ⊂平面ABC1ACBA1B1C D∴平面ABC ⊥平面11ABB A 又平面ABC平面11=ABB A AB∴1A D ⊥平面ABC∴CD 是1A C 在平面ABC 上的投影∴1A CD ∠是直线1A C 与平面ABC 所成的角 …………………………10分在Rt ∆1A CD 中，1A D CD ==∴11tan A D A CD CD ∠==∴直线1A C 与平面ABC …………………………12分 18．（12分）解： （1）抛物线C 的准线方程为：2p x =- 由抛物线的定义可知：542p=- ∴2p =∴抛物线C 的标准方程为24y x =． …………………………………………4分 （2）由已知，(1,0)F ，直线AB 的方程为1y x =-，……………………6分联立214y x y x=-⎧⎨=⎩ 消y 得：2610x x -+=， 所以 126x x += ……………………………8分 所以128AB x x p =++= ， …………………10分又因为O 到直线AB 的距离2d == ，所以1822OMN S ∆=⨯=． ……………………………………12分 19．（12分）解：（1）连接BD交AC于O，连接OP四边形ABCD为矩形∴O为BD的中点，又P是DF中点∴//OP BF………………………………2分ACPOP⊂平面，ACPBF⊄平面∴//BF ACP平面 (3)（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz-,依题意得(000)A，，，1,0,0B（），(1,2,0)C，(0,2,0)D，1(,0,1)2E，(0,0,1)F，1(0,1,)2P，………………………………………………4分易得1(0,1,)2AP =，1(,2,1)2CE=--…………………5分cos,35||||CE APCE APCE AP⋅<>==-⋅………………………6分∴所求异面直线CE与AP 7分（3）由题意可知：AB PAD⊥面平面DAP的一个法向量为(1,0,0)AB=…………………………8分又可解得1(1,2,0),(0,1,)2AC AP==故设平面APC的一个法向量为(,,)n x y z=则n ACn AP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2012x yy z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令2x=，可得(2,1,2)n=-……10分于是2cos,3||||AB nAB nAB n⋅<>==⋅所以二面角D AP C --的余弦值为23…………………………12分 20．（12分）解： (1)由题意可知：1c = …………………………1分222a c += …………………………2分∴a∴b ==∴椭圆1C 的方程为：22132x y += ……………………………3分 (2) 设点1122(,),(,)A x y B x y ，由方程组2210132x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得25630x x --= ………………4分求解可得1265x x +=，123-5x x ⋅= ………………………………5分5AB ==………………………………6分 （3）由方程组2222101x y x y a b+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-= 设点1122(,),(,)A x y B x y ，222222(2)4()(1)0a a b a b =--+⋅->212222a x x a b +=+，221222(1)a b x x a b -⋅=+ ……………………………7分以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，∴OA OB ⊥ ∴121212122()10x x y y x x x x +=-++=∴22112a b +=① ……………………………8分又e = ∴221223b a ≤≤ 由①可知22221a b a =- ………………………………10分 ∴21122213a ≤≤-a ≤≤ 2a ≤≤ ……………………………12分。
天津市部分区高三上学期期末考试数学(理)试卷Word版含答案
天津市部分区2017-2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A．．2.）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要3.）A．4.1，2（）2016A5.）AC.6.）A7.如图，）A． 17 B．13 C. 5 D．18.，）A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.10.的系数为．（用数字作答）11.一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为．12.4，则13.物线上，上，的最小值为 ．14.3个零点，围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（1（2. 16.某大学现有6410名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作.（1（2.17.（1（2（3.18. .（1（219..（1）求椭圆的方程；（2）.20.（1（2.天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）参考答案一、选择题:1－8CABDC CDB二、填空题：910111213．3 14三、解答题：（15）解：（16）解：（I(II)（17）解：方法一：（IDC C=BD ，DC C =平面ACDE（II两垂直，由（I(33,-4n ACACn AC⋅==⨯（III II 3⎛)2DC EF EF DC EF⋅==方法二：（I 90ACD =∠=DC C =BD ，DC C =平面ACDE（18）解：①②①-（19（ⅰ）当l与xl12. （ⅱ）当l与x（iii）当l与x轴不垂直时，设ll可得当l与x20.解：（1.（2..∴，两式相减得：即：是増函数，即.。
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天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学（理科）温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过两点4,A a（），,3B（2）的直线的倾斜角为4π，则a=（）A．3B．4C．5D．62．双曲线2214xy-=的离心率是（）A B．2C．3D．23．命题“∃m N∈，曲线221xym+=是椭圆”的否定是（）A．∀m N∈，曲线221xym+=是椭圆B．∀m N∈，曲线221xym+=不是椭圆C．∃*m N∈，曲线221xym+=是椭圆D ．∃*m N ∈，曲线221x y m+=不是椭圆 4．已知向量(,1,3)λ=a ，(0,3,3)λ=-+b ，若⊥a b ，则实数λ的值为（ ）A ．2-B ．32-C ．32D ．25．“直线a 与平面M 垂直”是“直线a 与平面M 内的无数条直线都垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ） A．2B ．32π CD ．3π7．直线y kx k =-与圆22(2)3x y -+=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．与k 取值有关8．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）A ．若////m n αα，，则//m nB ．若//m m αβ⊥，，则αβ⊥C ．若////m ααβ，，则//m βD ．若,//m n m α⊥，则n α⊥9．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为2，则点M 到该抛物线的准线的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．已知(,)P x y 为椭圆22:12516x y C +=上一点，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足1MF =且MP MF ⊥，则PM 的取值范围是（ ）A ．[2,8]B．C．D．第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．11．抛物线24y x =-的焦点坐标为__________.12．椭圆22143x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =__________.13．已知三条直线1:220l x my ++=()m R ∈，2:l 210x y +-=，3:l 10x ny ++=()n R ∈.若1213//,l l l l ⊥，则m n +的值为__________．14．如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，点D在棱1BB 上，且1BD =，则直线AD 与平面11AAC C 所成角的余弦值为________．15．平面上一质点在运动过程中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等．若质点接触不到过点(2,0)P -且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是__________.三、解答题：本大题共5小题, 共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知圆的方程222230x y x y m +-++-= ()m R ∈.（1）求m 的取值范围；（2）若1m =,求圆截直线40x y --=所得弦的长度.17．（本小题满分12分）已知顶点为O 的抛物线22y x =与直线(2)y k x =-相交于不同的,A B 两点. （1）求证：OA OB ⊥； （2）当k =OAB ∆的面积.18．（本小题满分12分）如图，在多面体P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，PAD ∆是等边三角形，已知24BDAD ==,2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥P BCD -的体积．19．（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，E 为BC 中点． （1）求证：11C D D E ⊥；（2）动点M 满足1AM AA λ=uuu r uuu r(01)λ<<，使得//BM 平面1AD E ，求λ的值； （3）若二面角11B AE D --的大小为90o ，求线段AD 的长．20．（本小题满分12分）椭圆:C 22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12，经过椭圆右焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得弦的长度为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点(,A B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点. 求证:直线l 过定点，并求出该定点的坐标．天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．(1,0)- 12．5213．1- 14 15.,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）解：（1）由题意知()()2222430m -+-->，解得5m <.……………4分 （2）当1m =时,由222220x y x y +-+-=得()()22114x y -++=，………………………………………………………6分 所以圆心坐标为(1,1)-，半径2r =，圆心到直线40x y --==……………………8分所以弦长的一半==分∴弦长为分17．（12分）解：（1）由方程22y x =，(2)y k x =-消去x 后，整理得2240ky y k --= 设11(,)A x y 22(,)B x y ，由韦达定理122y y k+=,124y y =-，……………2分 ∵,A B 在抛物线22y x =上，∴2112y x =,2222y x =，∴221212144x x y y ==.…………………………4分A∵12121OA OB y y k k x x ==-， ∴2AOB π∠=……………………………………………………………………6分（2）因为k =由（1）可得12y y ==，代入抛物线方程可得121,4x x ==∴(1,A ，(4,B ……………………………………………………9分∴1122OAB S OA OB ∆=⋅==分 18．（12分）解：（1）证明：在ABD V 中，∵2,4,AD BD AB ===∴222AD BD AB +=∴AD BD ⊥．……………………………………………………3分 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面PAD ，又BD ⊂面BDM ，∴平面MBD ⊥平面PAD ．………………………6分 （2）解：过P 作PO AD ⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P BCD -的高． 又PAD∆是边长为2的等边三角形， ∴PO =………………………9分在底面四边形ABCD 中，AB DC //，2AB DC =， 在Rt ABD ∆中，斜边AB5=， 此即为BCD ∆的高．∴122BCD S ∆==．…………………11分∴123P BCD V -=⨯=．…………………12分 19．解：（12分）（1）证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设2A D a =,则(0,0,0)D ，(2,0,0)A a ，(2,1,0)B a ，()12,0,1A a ，()10,1,1C ,()10,0,1D ,()12,1,1B a ，(,1,0)E a ，所以1(0,1,1)C D =--uuu r ,1(,1,1)D E a =-uuu r，所以110C D D E ⋅=uuu r uuu u r，所以11C D D E ⊥.……………………3分（2）由1AM AA λ=uuu r uuu r,则(2,0,)M a λ，连接BM ，所以(0,1,)BM λ=-u u u r ，(,1,0)AE a =-u u u r ，1(2,0,1)AD a =-u u u r，设平面1AD E 的法向量为n r(,,)x y z =，则1020AE n ax y AD n ax z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩uu u r r uuu r r ，取1x = 所以平面1AD E 的一个法向量为n r(1,,2)a a =，因为BM //平面1AD E ，所以BM n ⊥uuu r r ，即20BM n a a λ⋅=-+=uuu r r ，所以12λ= (7)分（3）连接1AB ，1B E ，设平面1B AE 的法向量为m u r(,,)x y z '''=，(,1,0)AE a =-u u u r ，1(0,1,1)AB =uuu r，则100AE m ax y AB m y z ⎧''⋅=-+=⎪⎨''⋅=+=⎪⎩uu u r u r uuu r u r ,取1x '= 所以平面1B AE 的一个法向量为m u r(1,,)a a =- ……………………9分因为二面角11B AE D --的大小为90o ，所以m n ⊥u r r ，所以22120m n a a ⋅=+-=u r r ，因为0a >，所以1a =，即2AD =.……………………12分 20．（12分）解：（1）由题意可得12c e a ==,223b a=,又222a b c =+，解得2,1a b c ===. 所以所求椭圆C 的方程为22143x y +=.……………………………………3分 （2）设11(,)A x y 22(,)B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得()()222348430k x mkx m +++-=， ()()222264163430m k k m =-+->V ,化为2234k m +>. 所以122834mk x x k -+=+，212241234m x x k -=+.…………………………7分 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++22231234m k k -=+. 因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点(2,0)D ，1DA DB k k =-， 所以1212122y y x x ⋅=---， 所以()121212240y y x x x x +-++=， 所以2222223124121640343434m k m mk k k k --+++=+++. 化为2271640m mk k ++=， 解得1222,7k m k m =-=-.……………………………………………10分 且满足2234k m +>.当2m k =-时，():2l y k x =-，直线过定点(2,0)与已知矛盾； 当27k m =-时，2:7l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点2(,0)7. 综上可知，直线l 过定点2(,0)7.…………………………………………12分。