安徽省铜陵市第一中学高二数学上学期期中试题文
2016-2017学年安徽省铜陵一中高二上学期期中数学试卷与解析(文科)
2016-2017学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交2．（5分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A． B．56πC．64πD．14π4．（5分）若点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c）、（e，f，d），则c与e的和为（）A．7 B．﹣7 C．﹣1 D．15．（5分）过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=06．（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直7．（5分）若直线y=﹣2x+3k+14与直线x﹣4y=﹣3k﹣2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是（）A．﹣6＜k＜﹣2 B．﹣5＜k＜﹣3 C．k＜﹣6 D．k＞﹣28．（5分）已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确命题的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个9．（5分）△ABC的斜二侧直观图如图所示，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．210．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA ⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC的四个面中，直角三角形的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个11．（5分）若实数x，y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，则的取值范围为（）A．[0，]B．[，+∞）C．（﹣]D．[﹣，0）12．（5分）等边三角形ABC的边长为1，BC上的高为AD，沿高AD折成直二面角，则A到BC的距离是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知直线l通过直线3x+5y﹣4=0和直线6x﹣y+3=0的交点，且与直线2x+3y+5=0平行，则直线l的方程为．14．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．15．（5分）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是．16．（5分）三个平面能把空间分为部分．（填上所有可能结果）三、解答题：本大题共6小题，共70分．（17题10分，18，19，20，21，22每题12分）17．（10分）一几何体的三视图如下，求这个几何体的体积．18．（12分）设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．19．（12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．20．（12分）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．21．（12分）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=a，G是EF的中点，（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．2016-2017学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：＜a，则圆心到已知直线的距离d=＞=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选：C．2．（5分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故选：C．3．（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A． B．56πC．64πD．14π【解答】解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：球的半径是：这个球的表面积：4 =14π故选：D．4．（5分）若点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c）、（e，f，d），则c与e的和为（）A．7 B．﹣7 C．﹣1 D．1【解答】解：∵点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy的对称点为（﹣4，﹣2，﹣3），点P（﹣4，﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标（4，﹣2，﹣3），点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c）、（e，f，d），∴c=﹣3，e=4，∴c+e=1，故选：D．5．（5分）过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：B．6．（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB与CD异面；如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则AB∥CE；∴∠DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60°；∴AB，CD异面但不垂直．故选：D．7．（5分）若直线y=﹣2x+3k+14与直线x﹣4y=﹣3k﹣2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是（）A．﹣6＜k＜﹣2 B．﹣5＜k＜﹣3 C．k＜﹣6 D．k＞﹣2【解答】解：解方程组，得，x=k+6，y=k+2∵直线y=﹣2x+3k+14与直线x﹣4y=﹣3k﹣2的交点位于第四象限，∴x=k+6＞0，y=k+2＜0，∴﹣6＜k＜﹣2．故选：A．8．（5分）已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确命题的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：由平行的传递性知若α∥β，β∥γ，则γ∥α，故①正确，两个平行平面有一个和第三个平面垂直，则另一个也与第三个平面垂直，即若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确，当一条直线同时和一条直线和一个平面垂直时，线面之间的关系是平行或在平面上即m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β，故③正确，总上可知有3个命题正确，故选：A．9．（5分）△ABC的斜二侧直观图如图所示，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：∵OA=1，OB=2，∠ACB=45°∴原图形中两直角边长分别为2，2，因此，Rt△ACB的面积为S==2故选：D．10．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA ⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC的四个面中，直角三角形的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】证明：∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形又∵PA⊥圆O所在平面，∴△PAC，△PAB是直角三角形．且BC在这个平面内，∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，∴BC⊥平面PAC，∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是：4．故选：A．11．（5分）若实数x，y满足x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，则的取值范围为（）A．[0，]B．[，+∞）C．（﹣]D．[﹣，0）【解答】解：令=t，即tx﹣y﹣2t+4=0，表示一条直线；又方程x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，表示圆心为（1，1），半径1的圆；由题意直线与圆有公共点，∴圆心（1，1）到直线tx﹣y﹣2t+4=0的距离d=≤1，∴t≥，即的取值范围为[，+∞）．故选：B．12．（5分）等边三角形ABC的边长为1，BC上的高为AD，沿高AD折成直二面角，则A到BC的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：等边△ABC的边长为1，BC边上的高为AD，∴AD⊥DB，AD⊥DC，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，作DE⊥BC于E，连AE，则AE⊥BC，因此A到BC的距离是AE．等边△ABC的边长=1，∴它的高AD=，BD=DC=，∠BDC=90°，∴BC=，DE==，在RT△ADE中，AE==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知直线l通过直线3x+5y﹣4=0和直线6x﹣y+3=0的交点，且与直线2x+3y+5=0平行，则直线l的方程为6x+9y﹣7=0．【解答】解：联立方程，可得解方程组可得∵直线l与直线2x+3y+5=0平行，∴可设方程为：2x+3y+c=0将代入，可得∴方程为：2x+3y=0即6x+9y﹣7=0故答案为：6x+9y﹣7=014．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2x﹣y=0或x+y﹣3=0．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=015．（5分）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是．【解答】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：=．剩下的凸多面体的体积是1﹣=．故答案为：．16．（5分）三个平面能把空间分为4，或6，或7，或8部分．（填上所有可能结果）【解答】解：若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，故答案为：4，或6，或7，或8．三、解答题：本大题共6小题，共70分．（17题10分，18，19，20，21，22每题12分）17．（10分）一几何体的三视图如下，求这个几何体的体积．【解答】解：由已知可得该几何体是一个正方体与圆锥的组合体，正方体的棱长为a，故体积为：a3，圆锥的底面直径为2a，半径r=a，高h=a，故体积为：，故组合体的体积V=18．（12分）设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．【解答】解：（1）∵圆x2+y2﹣2x﹣15=0化成标准方程得（x﹣1）2+y2=16，∴圆心为C（1，0），半径r=4．∵直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A、B，∴设弦AB的垂直平分线为l：2x﹣y+m=0，由垂径定理，可知点C（1，0）在l上，得2×1﹣0+m=0，解之得m=﹣2．因此，弦AB的垂直平分线方程为2x﹣y﹣2=0；（2）圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离为：d==．根据垂径定理，得|AB|=2=2，即弦AB的长等于2．19．（12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．【解答】证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．∴PA∥平面BDE．（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE20．（12分）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．【解答】解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），则，即，解得m=﹣1，n=2．即A（﹣1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y﹣3=0．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由，求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．21．（12分）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=a，G是EF的中点，（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：正方形ABCD⇒CB⊥AB，∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．∵AG，GB⊂面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∴AG=BG=，AB=2a，AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG，∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG⊂面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．（2）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．∴在Rt△CBG中，又BG=，∴．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）圆的方程可写成（x﹣6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2．代入圆方程得x2+（kx+2）2﹣12x+32=0，整理得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0．①直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k﹣3）2]﹣4×36（1+k2）=42（﹣8k2﹣6k）＞0，解得，即k的取值范围为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由方程①，②又y1+y2=k（x1+x2）+4．③而．所以与共线等价于（x1+x2）=﹣3（y1+y2），将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k．。
安徽省铜陵市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试语文试题含答案
铜陵市一中2018——2019学年度第一学期高二年级段（期中）考试语文试卷命题教师：方鸣审题教师：丁美安考试时间：150分钟满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）第Ⅱ卷（表达题）两部分。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷阅读题（70分）一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。
吟诵是一种既遵循语言特点，又根据个人理解，依循作品的平仄音韵，把诗中的喜怒哀乐、感情的起伏变化，通过自己抑扬抗坠的声调表现出来的方式，比普通朗诵对作品内涵有更深入的体会。
吟诵是一种细致的、创造性的、回味式的读书方法和表达方式，是文字、声音和情意的综合表达，是我们民族世代相传的宝贵的非物质文化遗产。
吟诵之目的不是为了吟给别人听，而是为了使自己的心灵与作品中诗人之心灵，借着吟诵的声音达到深微密切的交流和感应。
因此，吟诵之前有两点基础必不可省：一是对于作者与诗歌情意的了解；二是读诵的节奏平仄。
没有这两点基础的自由吟是不能通达的。
吟诵不但是读诗、欣赏诗、理解诗的重要法门，而且是写诗重要的入门途径。
诗要自己“跑”出来。
诗怎么自己“跑”出来？你要对诗歌中文字的音声、节奏、韵律非常熟悉。
你熟于吟诵，于是你的诗是随着声音跑出来的。
中国的好诗都有一种兴发感动的力量，这种兴发感动的力量从何而来？无论就作者还是读者而言，都是从吟诵得来的。
吟诵是一种律动，先于文字，语言文字伴随着这个节奏的律动自己“跑”出来。
真正的好诗绝不是查着字典、对着韵书一个字一个字拼凑出来的，一定是伴随吟诵的声音自然地“跑”出来的——所谓字从音出、字从韵出，使用的文字是从它的发音、它的声韵出来的。
所以作诗的时候为什么用这个字不用那个字，有时候是因为意思的关系，有时候是因为声音的关系。
安徽省铜陵市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试卷答案
铜陵市一中2015——2016年度第一学期 高二年级期中考试数学（文科）答案 选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D CC C C B BD D A C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、 cm3 14、 15、 5 16、 x－2y＋5＝0 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（10分）解：.提示：旋转后得到的几何体可以看作是一个圆台中挖去一个圆锥. 18、（12分） 解：由已知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，如图所示． 由已知，AB＝8，BC＝6，高h＝4， 由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO＝4，即为棱锥的高．作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接PM、PN，则PM⊥AB，PN⊥BC． ∴PM＝＝＝5，PN＝＝＝4． (1)V＝Sh＝×(8×6)×4＝64． (2)S侧＝2S△PAB＋2S△PBC＝AB·PM＋BC·PN＝8×5＋6×4＝40＋24． 19、（12分） 解：（1） 显然直线与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设的斜率为，则，则的方程为 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 即，解得： 所以直线的方程为或 20、（12分）解：设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为， 由条件可得：， 得，解得，即B(6,4)，同理可求得C点的坐标为(5,0)．故所求直线BC的方程为＝，即4x －y－20＝0． 21、（12分 解：(1)证明 因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1． 又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B， 所以B1C⊥平面A1BC1．又B1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1． (2)解 设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线． 因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE． 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即＝1． 22、（12分）解：(1)证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1． 连接AC1，则BC⊥AC1． 由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1． 又BC∩A1C＝C， 所以AC1⊥平面A1BC． 因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点． 又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC． (2)解 如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D， 连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角． 设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a． 在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝＝， 所以∠C1BD＝30°， 故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．。
2019-2020学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中考试数学试题 (Word版)
铜陵市一中期中考试 第 1页,共 9 页铜陵市一中2019—2020学年度第一学期高二年级学段（期中）考试数学试卷命题教师：聂鑫 审题教师：鲍光平考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若 a ,b 是异面直线,b ,c 是异面直线,则 a ,c 的位置关系为( )A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面2.已知直线 l 1:(k-3)x+(4-2k )y+1=0 与 l 2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则 k 的值是( )A.1 或 3B.1 或C.3 或D.1 或 23.圆锥的底面半径为 1，高为3 ，则圆锥的表面积为( )A .B .2C .3D .44.在直线 3x-4y-27=0 上到点 P (2,1)距离最近的点的坐标为()A .(5,-3)B .(9,0)C .(-3,5)D .(-5,3)5.若圆 C 1:x 2+y 2=1 与圆 C 2:x 2+y 2-6x-8y+m=0 外切,则 m=( )A.21B.19C.9D.-116.某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是( )A.72 cm 3B.90 cm 3C.108 cm 3D.138 cm 37.若圆 C :x 2+y 2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a ,b )向圆所作的切线长的最小 值是()铜陵市一中期中考试 第 2页,共 9 页A.2B.3C.4D.68.正四面体 ABCD 中，E 、F 分别是棱 BC 、AD 的中点，则直线 DE 与平面 BCF 所成角的正弦值为（ ）9.垂直于直线 y=x+1 且与圆 x 2+y 2=4 相切于第三象限的直线方程是( A.x+y+22=0B.x+y+2=0C.x+y-2=0D.x+y-2 2=010.如图,在正四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,BB 1=4,长为 1 的线段 PQ 在棱 AA 1上移动,长为3 的线段 MN 在棱 CC 1上移动,点 R 在棱 BB 1上移动,则四棱锥 R-PQMN 的体积是 ( )A.12B.10C.6D.不确定11.已知 A (-2,0),B (0,2),实数 k 是常数,M ,N 是圆 x 2+y 2+kx=0 上两个不同点,P 是圆 x 2+y 2+kx=0上的动点,如果点 M ,N 关于直线 x-y-1=0 对称,则△P AB 面积的最大值是( )A.3-2B.4C.3+2D.612.设圆C : x 2 y 2 3，直线l : x 3y 6 0 ，点P x 0, y 0l ，若存在点Q C ，使得OPQ 60（O 为坐标原点），则 x 0的取值范围是( )填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上))铜陵市一中期中考试 第 3页,共 9 页二、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)已知直线l : y 3x 3.(1)求点P 4,5关于直线l 的对称点坐标；(2)求直线l 关于点P 4,5对称的直线方程.18.(本小题满分 12 分)如图,AA 1B 1B 是圆柱的轴截面,C 是底面圆周上异于 A ,B 的一点,AA 1=AB=2.(1)求证:平面 A 1AC ⊥平面 BA 1C ;(2)求 1-鏸 的最大值.铜陵市一中期中考试 第 4页,共 9 页19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AP ⊥平面 PCD ,AD ∥BC ,AB=BC= AD ,E ,F 分别为线段 AD ,PC 的中点.求证: (1)AP ∥平面 BEF ;(2)BE ⊥平面 P AC.20.(本小题满分 12 分)已知圆 C 过点 M (0,-2),N (3,1),且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上. (1)求圆 C 的方程;(2)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A ,B 两点,是否存在实数 a ,使得过点 P (2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,P A ⊥底面 ABCD ,P A=AB=2,E 为 P A 的中点. (1)求证:PC ∥平面 EBD ;(2)求三棱锥 C-P AD 的体积 V C-P AD ;(3)在侧棱 PC 上是否存在一点 M ,满足 PC ⊥平面 MBD ,若存在,求 PM 的长;若不存在,说明理由.22.(本小题满分 12 分)已知以点 C (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O 和点 A ,与 y轴交于点 O 和点 B ,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值;(2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M ,N ,若 OM=ON ,求圆 C 的方程.1 2铜陵市一中期中考试 第 5页,共 9 页数学答案13. 1 14.2=x 或01043=+-y x 15. 0412322=--++y x y x 16.π617. (1)()7,2- ----------------------5分 (2)173-=x y ----------------------10分18.(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A ,B 的一点,且AB 为底面圆的直径,∴BC ⊥AC.又AA 1⊥底面ABC ,∴BC ⊥AA 1, 又AC ∩AA 1=A ,∴BC ⊥平面A 1AC. 又BC ⊂平面BA 1C ,∴平面A 1AC ⊥平面BA 1C. ----------------------6分(2)解：在Rt △ACB 中,设AC=x ,∴BC= - - (0<x<2),∴ -S △ABC ·AA 1=AC ·BC ·AA 1=-- )- - ) (0<x<2).∵0<x<2,∴0<x 2<4.∴当x2=2,即x=时,-的值最大,且-的最大值为. ----------------------12分19.证明：(1)设AC∩BE=O,连接OF,EC.因为E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,所以O为AC的中点.又在△P AC中,F为PC的中点,所以AP∥OF.又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF. ----------------------6分(2)由题意知,ED∥BC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面P AC,所以BE⊥平面P AC. ----------------------12分20.解：(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有-故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0. ----------------------6分(2)设符合条件的实数a存在,因为l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,铜陵市一中期中考试第6页,共 9 页铜陵市一中期中考试 第 7页,共 9 页所以l 的斜率k PC =-2. k AB =a=-,所以a=. ----------------------8分 把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C 的方程, 消去y ,整理得(a 2+1)x 2+6(a-1)x+9=0. 由于直线ax-y-1=0交圆C 于A ,B 两点, 则Δ=36(a-1)2-36(a 2+1)>0, 即-2a>0,解得a<0.则实数a 的取值范围是(-∞,0). 由于∉(-∞,0),故不存在实数a ,使得过点P (2,0)的直线l 垂直平分弦AB. ----------------------12分21.(1)证明：设AC ,BD 相交于点F ,连接EF ,∵四棱锥P-ABCD 底面ABCD 为菱形, ∴F 为AC 的中点,又∵E 为P A 的中点,∴EF ∥PC. 又∵EF ⊂平面EBD ,PC ⊄平面EBD ,∴PC ∥平面EBD. ----------------------4分(2)解：∵底面ABCD 为菱形,∠ABC=60°,∴△ACD 是边长为2的正三角形,又∵P A ⊥底面ABCD,∴P A为三棱锥P-ACD的高,∴V C-P AD=V P-ACD=S△ACD·P A=×22×2=. ----------------------8分(3)解：在侧棱PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明.∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵P A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥P A.∵AC∩P A=A,∴BD⊥平面P AC,∴BD⊥PC.在△PBC内,可求PB=PC=2,BC=2,在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,设PM=x,则有8-x2=4-(2-x)2,解得x=<2.连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM.∴PC⊥平面BDM.∴满足条件的点M存在,此时PM的长为. ----------------------12分22.(1)证明：∵圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+-=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=OA·OB=×|2t|=4,即△OAB的面积为定值. ----------------------6分铜陵市一中期中考试第8页,共 9 页(2)解：∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵k MN=-2,∴k OC=.∴t,解得t=2或t=-2. ----------------------8分当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时,C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=.圆C与直线y=-2x+4不相交,因此,t=-2不符合题意,舍去.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. ----------------------12分铜陵市一中期中考试第9页,共 9 页。
安徽省铜陵市第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
故该几何体的表面积是 20＋3π，
故选A.
考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.
6．D
【解析】
试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.
15．如图，在直四棱柱 中，点 分别在 上，且 ， ，点 到 的距离之比为 ，则三棱锥 和 的体积比 .
16．已知正四面体 的棱长为9，点 是 内（含边界）的一个动点，满足 到平面 、平面 、平面 的距离成等差数列，则点 到平面 的距离的最大值为________．
三、解答题
17．已知两直线 ： 和 ： 的交点为P.
A．0.27，78B．54，0.78C．27，0.78D．54，78
8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）
A． ห้องสมุดไป่ตู้． C． D．
9．已知平面 平面 ，直线 ，直线 ，点 ,点 ，记点A、B之间的距离为 ,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若 是使 恒成立的最小正整数
①求 的值； ②求三角形 的面积的最小值．
参考答案
1．C
【详解】
若 由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有 错误；
若 此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面外时,才有 错误；
由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若 ， ， ，则 为真命题,正确；
安徽省铜陵市第一中学高二数学10月月考试题(含解析)
铜陵市第一中学2017-2018学年度第一学期高二年级10月月考测试卷数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线l经过，则直线l的倾斜角为（）A. 20°B. 70°C. 160°D. 110°【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，则直线的斜率选D2. 下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】 A. ，直线和平面垂直的性质定理；B. ，直线与平面平行的性质定理；C. ，直线与平面垂直的判定定理D，利用面面垂直判定线面垂直的性质定理故选C3. 已知两条直线与互相平行，则( )A. B. -1 C. 1,0 D. -1,0【答案】B【解析】由题两条直线与互相平行，显然则解得，故选B4. 在正三棱柱中，，则异面直线与所成的角是（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°【答案】C【解析】不妨设如图连接，则即为异面直线与所成的角（或其补角），则，选C5. 过平面外一点A作的两条互相垂直的斜线AB、AC，它们与面所成的角分别为15°和75°，则的内角B=（）A. 75°B. 15°C. 30°D. 60°【答案】B【解析】如图，由题意可知，，且选B6. 点P是直线上一点，O为坐标原点，则的最小值为（）A. 13B.C. 8D.【答案】B【解析】点P是直线上一点，为坐标原点，则的最小值就是到直线的距离：故选B7. 已知点A（1，1），B（3，5）到经过点（2，1）的直线l的距离相等，则l的方程为（）A. B. C. 或 D. 以上都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率垂存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得所以直线的方程为综上，直线的方程为或．故选C【点睛】此题考查点到直线的距离公式．解题时容易把斜率不存在的情况遗漏，做题时应充分注意8. 四面体ABCD的棱长AB=CD=6，其余棱长均为，则该四面体外接球半径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，将四面体还原长方体，其棱长分别为，则该四面体外接球半径9. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PC中点，则平面ABE分该四棱锥的两部分的体积比是（）A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3:8【答案】C【解析】如图所示，，则平面分该四棱锥的两部分的体积比是，故选C10. 在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC且AC=1，AB=2，PA=3，过AB作截面交PC于D，则截面ABD的最小面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，当时，截面ABD的面积最小，此时应有故选C11. 设点M是棱长为2的正方体的棱AD的中点，P是平面内一点，若面分别与面ABCD和面所成的锐二面角相等，则长度的最小值是（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】如图，过点作的平行线交于点、交于点，连接，则是平面与平面的交线，是平面与平面的交线．，交于点，过点作垂直于点，则有与平面垂直，所以，，即角是平面与平面的所成二面角的平面角，且交于点，过点作于点，同上有：，且有，又因为，故而，故，而四边形一定是平行四边形，故它还是菱形，即点一定是的中点，点长度的最小值是点到直线的距离，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∴长度的最小值故选A．【点睛】本题考查空间中两点间最小距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，对学生化归与转化思想、数形结合思想有较高要求12. 已知异面直线a,b成70°角，A为空间中一点，则过A且a,b都成55°的平面个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】过作，设直线确定的平面为，∵异面直线成角，∴直线确所成锐角为．设过点的平面与所成的角相等，该平面的垂线与直线都成角，过只能作一条这样的垂线，故此时符合条件的平面只有一个．选A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知直线l经过A（-1，2）且原点到直线l的距离为1，则l的方程为__________. 【答案】或【解析】当直线斜率不存在时，方程为，当然满足到原点的距离为1；当直线斜率存在时，设方程为，即，由点到直线的距离公式可得，解之可得故方程为故答案为：或14. 一个几何体的三视图如图，则它的体积为__________.【答案】36【解析】如图所，该几何体为一个三棱柱和一个长方体的组合体，它的体积为即答案为6915. 已知二面角为60°，P为二面角内一点，PA，PB，垂足分别为A和B 且PA=PB=3，则P到棱l的距离为___________.【答案】6【解析】如图所示，与确定平面，与交于点，则即为二面角的平面角，，从而即为所求，16. 在三棱锥A-BCD中，，点P到三个侧面的距离均等于，则PA=__________.【答案】3【解析】分别在上取点使得且三棱锥外接于半径为的球三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知直线垂直于直线，且在两坐标轴上的截距之和为-2，求直线l的方程.【答案】...............试题解析;设，令，令由题意知：故18. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，是PC中点.(1)求证：BE//面PAD；（2）求证：BE⊥面PCD.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）取的中点F，连接为中点，证明四边形为平行四边形，推出，然后证明（2）首先证明，然后证明，即可得到试题解析;:证明：（1）取PD中点F，连接EF，AF，则(2)由题意知：19. 如图，在三棱锥P-ABC中，P B⊥AC，PB与底面ABC成30°角，的面积为1.(1)若PC⊥AB，求证：P在底面ABC的射影H是的垂心;(2)当二面角P-AC-B为多少时，的面积最大？【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）设法证明，同理：AB⊥CH，所以H为的垂心；(2)将问题转化为而，可求出，的面积的最大值试题解析：（1）证明：由题意知：同理：AB⊥CH，所以H为的垂心；(2)过B作BD⊥AC于D，连接PD，由（1）知：∠PDB即为二面角P-AC-B的平面角，记∠PDB=，在中，当且仅当时等号成立.20. 已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求的最小值及此时直线l的方程.【答案】(1)8，；(2)8；.【解析】试题分析; 设，则(1)，当且仅当时，等号成立，即(2)，当且仅当试题解析 :设，则(1)，当且仅当时，等号成立，即(2)，当且仅当时等号成立，即21. 在边长为2的正方体中，M是棱CC1的中点.(1)求B到面的距离；(2)求BC与面所成角的正切值；(3)求面与面ABCD所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】试题分析：（1）法1 ，利用等体积法易求法2 作出并证明即为到面的距离.(2)设B1M和AM的延长线相交于G，由（1）知即为所求.(3)法1 过B作BE⊥AN，垂足为E，连接B1E，则即为所求.法2 取A1D1中点F，连接BF，则∠FBB1即为所求.法3 .试题解析：（1）法1法2 连接A1B交AB1于E，D1C交MN于F，连接EF，过B作BH⊥EF，垂足为H，则BH即为所求. 如图，易知：BH=.(2)设B1M和AM的延长线相交于G，由（1）知即为所求.(3)法1 过B作BE⊥AN，垂足为E，连接B1E，则即为所求.法2 取A1D1中点F，连接BF，则∠FBB1即为所求.法3 .22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥面ABCD，PA=AB=2，.(1)求证：面PBD⊥面PAC；(2)求AC与PB所成角的余弦值；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【解析】试题分析; （1）推导出，从而，由此能证明平面法1：如图由余弦定理可求法2(3)过B作BF⊥PC，垂足为F，连接DF可知即为所求，由余弦定理可得二面角的余弦值.试题解析：．(1)证明：又(2)法1：如图法2(3)过B作BF⊥PC，垂足为F，连接DF由（1）知：BD⊥PC，所以，则∠BFD即为所求，BD=DF=【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查两条异面直线所成的角以及二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。
安徽省铜陵市第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(1)
A． B． C． D．
7．若圆C: 关于直线 对称，则由点 向圆所作的切线长的最小值是（）
A．2B．4C．3D．6
8．正四面体 中，E、F分别是棱 、 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
9．垂直于直线 且与圆 相切于第三象限的直线方程是( )
21．如图，四棱锥 的底面 为菱形， ， 底面 ， ，E为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积 ；
（3）在侧棱 上是否存在一点M，满足 平面 ，若存在，求 的长；若不存在，说明理由.
22．已知以点C （t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．
【详解】
根据题意可知：所求点即为过P点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，
因为已知直线3x﹣4y﹣27=0的斜率为 ，所以过P点垂直于已知直线的斜率为 ，
又P（2，1），
则该直线的方程为：y﹣1= （x﹣2）即4x+3y﹣11=0，
与已知直线联立得：
①×4+②×3得：25x=125，解得x=5，
把x=5代入①解得y=﹣3，
【解析】
试题分析：因为 ,所以 且圆 的圆心为 ,半径为 ,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得
,故选C.
考点：圆与圆之间的外切关系与判断
6．B
【解析】
由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，
长方体的长宽高分别为：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是：4，3，高是3.
其几何体的体积： ．
（2）求几何体 的最大体积 .
安徽省铜陵一中高二数学上学期期中试卷 文(含解析)
2015-2016学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（）A．B．C．D．3．直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A． B．C．D．4．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的5．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（）A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、6、4 D．5、4、66．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④ C．③④ D．②③④7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A． B． C．D．8．已知平面α，β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P作直线与α，β都成30°的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C． D．10．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A．b≤a≤c B．a≤c≤b C．c≤a≤b D．c≤b≤a11．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤212．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A．4 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是．14．如图所示，正方体的棱长为2，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么M到截面ABCD的距离是．15．设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为．16．已知△ABC的顶点是A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6），直线l平行于AB，且分别交AC、BC于E、F，△CEF的面积是△CAB面积的，则直线l的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其它题目每题12分）17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．18．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．19．（1）已知直线的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点M（2，﹣1），求直线l的方程；（2）已知直线l过点P（﹣2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．20．如图，已知△ABC中A（﹣8，2），AB边上中线CE所在直线的方程为x+2y﹣5=0，AC 边上的中线BD所在直线的方程为2x﹣5y+8=0，求直线BC的方程．21．如图，棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．2015-2016学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】综合题．【分析】利用圆柱、圆锥、圆台的定义，母线的性质即可判断①②③④的正误得到正确选项．【解答】解：根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质可知，只有②④两个命题是正确的，①③可能是弦，所以选D故选D【点评】本题是基础题，考查旋转体的定义及其性质，考查空间想象能力，是易错题．2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【专题】作图题．【分析】由斜二测画法的规则可知：平行与x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变即可选出答案．【解答】解：设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的A和B点，再由平行与x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变，作出原图可知选C故选C【点评】本题考查平面图形的直观图与原图的关系，属基础知识的考查．3．直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A． B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知得△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，B到平面AA′D的距离=B到AC的距离=AB=a，由此能求出三棱锥A﹣A′BD的体积．【解答】解：∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴AC⊥AA′，AA′∥CD，∴△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴B到平面AA′D的距离=B到AC的距离=AB=a，∴三棱锥A﹣A′BD的体积：V==．故选：C．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的【考点】棱锥的结构特征．【分析】正三棱锥的棱长都相等，三棱锥的四个面到球心的距离应相等，所以圆心不可能在三棱锥的面上【解答】解：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示；（2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示；（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的．故答案选C．【点评】本题考查了三棱锥的截面图，综合了球的截面图，增加了难度，考查学生的空间想象力．从点线面入手，想一下有没有可能．5．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（）A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、6、4 D．5、4、6【考点】棱柱的结构特征．【专题】常规题型．【分析】本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到各个面上的数字，即可求得结果．【解答】解：第一个正方体已知1，2，3第二个正方体已知1，3，4第三个正方体已知2，3，5且不同的面上写的数字各不相同，则可知1对面标的是5，2对面标的是4，3对面标的是6故选D．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的数字问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，本题是一个基础题．6．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④ C．③④ D．②③④【考点】棱柱的结构特征．【专题】作图题；压轴题．【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；故选C．【点评】本题考查正方体的结构特征，异面直线，直线与直线所成的角，直线与直线的垂直，是基础题．7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A． B． C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故选B．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．8．已知平面α，β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P作直线与α，β都成30°的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】过P作平面A垂直于α、β的交线l，并且交l于点0，连接PO，则PO垂直于l，过点P在A内做OP的垂线L'，以PO为轴在垂直于PO的平面内转动L'，根据三垂线定理可得有两条直线满足题意．以P点为轴在平面A内前后转动L'，根据三垂线定理可得也有两条直线满足题意．【解答】解：首先给出下面两个结论①两条平行线与同一个平面所成的角相等．②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．图1．（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB=80°设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=40°，与平面α，β所成的角都是30°，此时过P且与OP1平行的直线符合要求，当OP1以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，会对称的出现两条符合要求成30°情形．图2．（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′的平分线，则∠P2OA=∠P2OB=50°，与平面α，β所成的角都是50°．当OP2以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β′的平分面上转动时，OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现30°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．综上所述，直线的条数共有4条．故选：D．【点评】本题主要考查线面角，以及考查解决线面角的特殊方法的应用，考查空间想象能力，体现了转化的思想和运动变化的思想方法，此题是个难题．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C． D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．10．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A．b≤a≤c B．a≤c≤b C．c≤a≤b D．c≤b≤a【考点】平面与平面平行的性质．【分析】此题根据平面与平面平行的判断性质，判断c最小，再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大．【解答】解：由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的最短距离．而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于或等于c，判断a和b时，因为B是n上任意一点，则a大于b．故选D．【点评】此题主要考查平面间与平面平行的性质．考查点到直线距离．11．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤2【考点】直线的斜率．【分析】首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选C．【点评】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况．12．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A．4 B．C．D．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】直线与圆．【分析】根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得m的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．【解答】解：直线3x+2y﹣3=0即 6x+4y﹣6=0，根据它和6x+my+1=0互相平行，可得，故m=4．可得它们间的距离为 d==，故选：D．【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】综合题．【分析】先有三视图得到几何体的形状及度量关系，利用棱锥的体积公式求出体积．【解答】解：由三视图可得几何体是四棱锥V﹣ABCD，其中面VCD⊥面ABCD；底面ABCD是边长为20cm的正方形；棱锥的高是20cm由棱锥的体积公式得V===cm3【点评】三视图是新增考点，根据三张图的关系，可知几何体是正方体的一部分，是一个四棱锥．本题也可改编为求该几何体的外接球的表面积，则必须补全为正方体，增加了难度．14．如图所示，正方体的棱长为2，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么M到截面ABCD的距离是．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】延长BC，AD与过M的正方体的竖直的棱的延长线交于F．取AB的中点E，连接ME，EF．过M做EF⊥MO，与EF交于O点，利用三角形的面积公式可求得答案．【解答】解：延长BC，AD与过M的正方体的竖直的棱的延长线交于F．取AB的中点E，连接ME，EF．过M做EF⊥MO，与EF交于O点．由题知，ME⊥AB．又因为AF=BF，AE=BE；所以AB⊥EF．所以AB⊥面EMF．所以AB⊥MO．因为MO⊥EF，AB∩EF=O．所以MO⊥面ABCD．所以MO是M到面ABCD的距离．AM=2，推出ME=，故FE：FM=3：4．所以FM=4，所以EF=3．所以MO==．故答案为：．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算．考查了学生对立体几何知识的理解和运用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．15．设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为5．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4=0的对称点为A′（a，b），求出A′．可得|PA|+|PB|的最小值=|A′B|．【解答】解：设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4=0的对称点为A′（a，b），则，解得A′（3，﹣3）．则|PA|+|PB|的最小值=|A′B|=5．故答案为：5．【点评】本题考查了点关于直线对称点的求法、互相垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知△ABC的顶点是A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6），直线l平行于AB，且分别交AC、BC于E、F，△CEF的面积是△CAB面积的，则直线l的方程为x﹣2y+5=0 ．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】由平行和斜率公式易得直线EF的斜率为．再由面积易得E是CA的中点，可得点E的坐标，进而可得直线的点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：由题意直线AB的斜率k==，∵EF∥A B，∴直线EF的斜率为．∵△CEF的面积是△CAB面积的，∴E是CA的中点，∴点E的坐标是（0，）．∴直线EF的方程是 y﹣=x，即x﹣2y+5=0，故答案为：x﹣2y+5=0．【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及平行关系和中点公式，属基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其它题目每题12分）17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积．【解答】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===．体积V=V圆台﹣V圆锥=[25π++4π]×4﹣×2π×2×2=×39π×4﹣×8π=．所求表面积为：，体积为：．【点评】本题是基础题，考查旋转体的表面积与体积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．18．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，分析出图形之后，再利用公式求解即可．【解答】解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．（1）几何体的体积为V=•S矩形•h=×6×8×4=64．（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h1==5．左、右侧面的底边上的高为：h2==4．故几何体的侧面面积为：S=2×（×8×5+×6×4）=40+24．【点评】本题考查了学生的空间想象能力，图形确定后，本题就容易了，是中档题．19．（1）已知直线的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点M（2，﹣1），求直线l的方程；（2）已知直线l过点P（﹣2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】（1）由斜率求出角的大小吗，由角的大小求出直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程；（2）显然直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，则l 的方程为y﹣3=k（x+2），利用三角形的面积求出k的值，问题得以解决．【解答】解：（1）直线的倾斜角为α，∴tanα=，∴α=30°，∴β=2α=60°，∴tanβ=，∵过点M（2，﹣1），∴直线l的方程为y+1=（x﹣2），即（2）显然直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，则l的方程为y﹣3=k（x+2），当x=0时，y=2k+3，当y=0时，x=﹣﹣2，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为即，解得：所以直线l的方程为x+2y﹣4=0或9x+2y+12=0．【点评】本题考查了直线方程的求法，点斜式是常用的方法，属于基础题．20．如图，已知△ABC中A（﹣8，2），AB边上中线CE所在直线的方程为x+2y﹣5=0，AC 边上的中线BD所在直线的方程为2x﹣5y+8=0，求直线BC的方程．【考点】直线的两点式方程．【专题】直线与圆．【分析】根据条件分别求出点B和C的坐标即可得到结论．【解答】解：∵AB边上中线CE所在直线的方程为x+2y﹣5=0，∴当y=0时，x=5，即C点的坐标为（5，0）．设B（a，b），则AB中点E的坐标为（，），则，解得，即B（6，4），故所求直线BC的方程为=，即4x﹣y﹣20=0．【点评】本题主要考查直线方程的求解，设出B的坐标，利用中线关系联立方程组是解决本题的关键．21．如图，棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【专题】作图题；证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）证明平面AB1C内的直线B1C垂直平面A1BC1，内的两条相交直线A1B，BC1，即可证明平面AB1C⊥平面A1BC1；（Ⅱ）D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，BC1交B1C于点E，连接DE，E是BC1的中点，推出D为A1C1的中点，可得A1D：DC1的值．【解答】（Ⅰ）证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，又B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．（Ⅱ）解：设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D：DC1=1．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）由BC⊥AC，BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，连接AC1，则BC⊥AC1．侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点，又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，从而MN⊥平面A1BC；（Ⅱ）根据AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角，设AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．【解答】证明：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，所以BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，侧面ACC1A1是矩形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．（Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角．设AC=BC=CC1=a，则C1D=a，BC1=a．在Rt△BDC1中，sin∠C1BD=，所以∠C1BD=30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成角的度量，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．。
安徽省铜陵市第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
【全国百强校】安徽省铜陵市第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．2．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A ．16+8πB ．8+8πC ．16+16πD ．8+16π3．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．15B ．25C ．35D ．454．直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0的倾斜角是( )A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°5．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0,0)，A(1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)6．直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2 B ．2或3- C ．3- D ．2-或3- 7．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为( )A ．4x －3y ＋9＝0B ．4x ＋3y ＋9＝0C ．3x －4y ＋9＝0D ．3x ＋4y ＋9＝08．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，若A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定9．圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称，则13a b+的最小值是( )A ．B ．263C ．4D ．15310．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H.D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A ．452 BC ．45D ．11．已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．B ．C ．D ．12．已知点P(x ，y)在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，则x ＋y 的最大值与最小值是( )A ．6+-B ．6+-C ．44+-D ．44+二、填空题 13．已知a R ∈，若方程()22224850a x a y x y a +++++=表示圆，则此圆心坐标是________．14．已知点A (－3，－4)，B (6，3)到直线l :ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 等于______．15．如图，四棱锥P －ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，则下列结论：①AD∥平面PBC ；②平面PAC⊥平面PBD ；③平面PAB⊥平面PAC ；④平面PAD⊥平面PDC ．其中正确的结论序号是________．16．在平面直角坐标系xOy 中，A （-12,0），B （0,6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若PA ·PB≤20，则点P 的横坐标的取值范围是_________三、解答题17．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：（1）//PA 平面BDE ；（2）平面BDE ⊥平面PAC .18．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直线l 上求一点P ，使|PA|＋|PB|最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB|－|PA||最大．19．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点．(1)点A(5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A(5,0)到l 的距离的最大值．20．在三棱锥P ABC -中，PAB △是等边三角形，,PA AC PB BC ⊥⊥．（1）证明：AB PC ⊥；（2）若2PC =，且平面2PC =平面PBC ，求三棱锥P ABC -的体积．21．已知圆C 经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为，半径小于5.（Ⅰ）求直线PQ 与圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ∥PQ ，直线l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．22．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1．D【解析】由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A 和选项C ．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B ．故选D ．2．A【解析】试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，故半圆柱的底面积1222=2S ππ=⨯⨯，半圆柱的高4h =． 故半圆柱的体积为8π，长方体的长宽高分别为422，，，故长方体的体积为42216⨯⨯=， 故该几何体的体积为168π+，选A考点：三视图，几何体的体积3．D【详解】设AA 1=2AB=2，因为11//AD BC ，所以11A BC ∠异面直线A 1B 与AD 1所成角， 11115524A BC 255cos A BC +-∠==⋅在中，由余弦定理：，故选D. 4．B【解析】【分析】求出直线斜率，再求出倾斜角.【详解】直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0 斜率k=00000cos140sin50tan50sin40cos50--=-=倾斜角为50°故选B【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系（k=tan α）、三角函数诱导公式，在解题中主要是将斜率转化为倾斜角，然后利用三角函数诱导公式化解出正切的三角函数.5．D【分析】点A 坐标已知，只需求出点B 的坐标，则直线AB 的方程即可求解.【详解】在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0,0)，A(1,3), 点B 在x 轴的正半轴上，由等腰三角形的对称性可知点B （2,0），直线AB 斜率k=-3则直线AB 方程为：y －3＝－3(x －1)故选D【点睛】本题考查求解直线方程，确定直线方程一般有两中方法：1.确定直线上的两个不同点，即两点确定一条直线，由两点式写出直线方程；2.确定直线的斜率和直线上的一点，由点斜式写出直线方程.6．B【解析】【分析】两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解.【详解】当10m +=即1m =-时，两直线为240x +=，320x y -+-=，两直线不平行，不符合题意；当0m =时，两直线为240x y ++= ，320y -=两直线不平行，不符合题意；当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时，直线2(1)40x m y +++=的斜率为21m -+ ， 直线320mx y +-=的斜率为3m -， 因为两直线平行，所以213m m -=-+， 解得2m =或3-，故选B.【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.7．A【分析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.【详解】2310340x y x y ⎧⎨⎩＋＋＝－＋＝解得5379x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直所以所求直线方程：4x －3y ＋9＝0故选A【点睛】本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定. 8．B【解析】∵正方体棱长为a ，A 1∴122,33MB A B CN CA == ∴122MB 33MB BC CN A B BC CA =++=++=11122()()33A B B B BC CD DA ++++ =∵CD 是平面B 1BCC 1的法向量， 且11121·()?033MN CD BB B C CD =+=∴MN CD ⊥∴MN ∥平面B 1BCC 1．故选B9．D【分析】求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【详解】 解：圆222610x y x y ++-+=， 22(1)(3)9x y ∴++-=圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称， ∴该直线经过圆心(1,3)-，把圆心(1,3)-代入直线30(0,0)ax by a b -+=>>，得：330a b --+= 33a b ∴+=，0a >，0b >∴1311313311(3)101053333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当33b a a b=时取得最小值为153 故选：D ．【点睛】本题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用． 10．A【分析】如果直线SB∥平面DEFH,则H 、F 是SA 、SC 的中点，即四边形DEFH 是矩形,由矩形面积公式即可得.【详解】因为直线SB∥平面DEFH所以SB∥HD又因为D 是AB 的中点所以H 为SA 的中点，则DEFH 是平行四边形又因为三棱锥S －ABC 是正三棱锥所以SB 垂直AC即SB 垂直DE即四边形DEFH 是矩形,由矩形面积公式即可得S=452. 故选A【点睛】本题考查空间直线平行、垂直的位置关系的证明，解题中用到了三角形中位线性质、线面平行的性质定理等.11．D【分析】圆内过定点的最长弦是直径，最短的弦是与最长弦垂直的弦.【详解】圆的标准方程：()22x 2y 1-++=（） 5由题意可得：最长弦为直径：最短的弦是则四边形ABCD 的面积为故选D【点睛】本题考查圆中弦长相关的知识，解题中关键是找到过定点的最长弦与最短弦，且能分析出这两条弦是相互垂直的，这样可以为后面计算四边形面积提供简便算法.12．A【分析】令z= x ＋y ，变形为y=-x+z ，有z 的几何意义（在y 轴上的截距）即可求得最值.【详解】令z= x ＋y ，则y=-x+z圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0的标准方程是：22x 3y 34-+-=（）（）2= 解得z=66+-故选A【点睛】本题考查求解代数式最值，一般处理方法是：1.利用代数式的几何意义求解最值；2.构造函数求最值.13．(2,4)--【分析】二元二次方程表示圆，首先二次项系数要相等，其次22D E 4F 0+->【详解】方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆 2a 240a a ⎧=+⎨->⎩ 解得：a=2（舍）或-1 圆的方程是：x 2＋y 2＋4x ＋8y-5＝0圆心坐标是()2,4--【点睛】本题考察了圆的一般方程的条件应用，解题中需要把握两个条件：1. 二次项系数要相等；2.满足条件22 D E 4F 0+->;两个条件缺一不可.14．13a =-或79a =-【解析】∵两点()34A --，，()63B ，到直线10l ax y ++=：的距离相等，，化为3364a a +=+．∴()6433a a +=±+， 解得79a =-或13a =-，故答案为79a =-或13a =-. 15．①②④【分析】利用线面平行、面面垂直的判定定理等判断.【详解】①AD∥BC 可得：AD∥平面PBC ；②AC⊥BD，AP⊥BD则BD⊥平面PAC则平面PAC⊥平面PBD③PA⊥底面ABCD,底面ABCD 为正方形若平面PAB⊥平面PAC则AB⊥AC 这与已知：底面ABCD 为正方形矛盾所以错误④AD⊥DC，AP⊥DC 则DC⊥平面PAD ，所以平面PAD⊥平面PDC.所以①②④正确.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判定定理和空间观察能力.证明空间线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系时要善于转化.16．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB上，结合限制条件x -≤≤P横坐标的取值范围为[-．点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．17．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）连接OE ，证明//PA OE 后即得线面平行；（2）可证明BD ⊥平面PAC ，然后得面面垂直．【详解】（1）如图，连接OE ，∵,O E 分别是,AC PC 中点，∴//PA OE ，又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴//PA 平面BDE ；（2）∵，PO ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴PO BD ⊥，又正方形中BD AC ⊥，POAC O =，∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC .【点睛】本题考查证明线面平行和面面垂直，掌握线面平行和面面垂直的判定定理是解题关键． 18．(1)(－2，3) （2）(12,10)【分析】(1)首先判定A 、B 两点在直线的同侧还是异侧，在同侧需要找对称点，利用三点共线求最小值.（2）首先判定A 、B 两点在直线的同侧还是异侧，在异侧需要找对称点，利用三角形两边之差小于第三边求最大值.【详解】（1）根据题意可知：A 、B 在直线同侧，设A 点关于直线l 的对称点为1A ，的坐标（11x y ，）. 则有：11x 2y 28022+-+=，112y 11x 2-=- 解得：11x 2y 8=-=，直线1A B 的方程为：x=-2，直线1A B 与l 的交点为（-2，3）.则|PA|＋|PB|的值最小值.(2)由（1）知A 、B 在直线同侧，求得直线AB 方程：y=x-2,直线AB 与l 的交点为（12,10）时，||PB|－|PA||最大.【点睛】本题考查点与直线的位置关系，点关于直线的对称问题，以及平面几何知识.19．（1）2,4350x x y =--= （2【解析】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y)＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0．＝3． 即2λ2－5λ＋2＝0， ∴λ＝2或12． ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0．(2)由250{20x y x y +-=-=解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴d max＝|PA|．20．（1）见解析；（2）13．【分析】(1)求出AC和BC,取AB中点M,连结PM,CM,说明AB⊥PM,AB⊥MC,证明AB⊥平面PMC,然后证明AB⊥PC(2)在平面PAC内作AD⊥PC,垂足为D,连结BD,证明ABD为等腰直角三角形,设AB=PA=PB=a,求解a,然后求解底面面积以及体积即可【详解】(1)证明:在Rt△PAC和Rt△PBC中取AB中点M,连结PM,CM,则AB⊥PM,AB⊥MC,∴AB⊥平面PMC,而PC⊆平面PMC,∴AB⊥PC.（2）在平面PAC内作AD⊥PC,垂足为D,连结BD平面PAC⊥平面PBC,∴AD⊥平面PBC,又BD⊆平面PBC,∴AD⊥BD,又Rt△PAC≌ Rt△ PBC,∴AD=BD,∴△ABD为等腰直角三角形设AB=PA=PB=a,则AD=2在Bt△PAC中:由PA﹒AC=PC·AD得2a 4a -=解得∴S △ABD =11AD BD 22= V P-△ABC =ABD 11S PC 33= 【点睛】本题考查几何体的体积的求法,直线与平面垂直的判定与性质的应用,考查空间想象能力以及计算能力21．（1）x+y-2=0，（x-1）2+y 2=13；（2）x+y-4=0或x+y+3=0．【解析】试题分析：（Ⅰ）直线PQ 的方程为：x ＋y －2＝0，设圆心C(a ，b)半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1， 所以b ＝a －1. ①又由在y 轴上截得的线段长为r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2， ②由①②得： a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37不满足题意，故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ，A(x 1，m －x 1)，B(x 2，m －x 2)，由题意可知OA ⊥OB ，即OA OB ⋅＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m(x 1＋x 2)＋m 2＝0. ③由1)22{(13x y x m y -=-++=得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝2122m -. 代入③式，得m 2－m·(1＋m)＋m 2－12＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足判别式Δ>0，∴y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.考点：圆的标准方程，直线方程，直线与圆的位置关系，向量垂直的条件．点评：中档题，求圆的方程，一般利用待定系数法，本题解法是从确定圆心、半径入手，体现解题的灵活性．直线与圆的位置关系问题，往往涉及圆的“特征三角形”，利用勾股定理解决弦长计算问题．利用代数法研究直线与圆的位置关系，常常应用韦达定理，简化解题过程．22．（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）存在，k ≤≤或34k =±． 【分析】（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论【详解】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，∴11C M AB k k ⋅=-即13y y x x⋅=--，∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且5,33E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛ ⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆L32=得34k =±，又03754DE DF k k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当3325,,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点．考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程。
数学-高二-安徽省铜陵一中高二(上)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．直线的倾斜角是（）A．30°B．120°C．60°D．150°2．直线2x+y+1=0与圆（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定3．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．4．若直线过点P（11，1）且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．以上都有可能5．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）6．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确命题的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个7．圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（）A．1：（﹣1）B．1：2 C．1：D．1：48．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．9．设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．3x﹣2y+1=0 D．x+2y+3=010．不论m为何实数，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有公共点，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤2 B．0≤a≤2 C．﹣1≤a≤3 D．1≤a≤311．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB ⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为．14．过点P（1，0），且圆心为直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0交点，则该圆标准方程为．15．直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．16．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M 为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法正确的是．（填序号）①MB∥平面A1DE；②|BM|是定值；③A1C⊥DE．三、解答题：本大题共6小题，共70分．（17题10分，18，19，20，21，22每题12分）17．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．18．已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x 轴正半轴于点B，（1）当OP⊥AB时，求AB所在直线的直线方程；（2）求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC 且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．20．已知圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，（1）求圆C的方程；（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．21．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E 为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，（1）求证：AC⊥平面DEF；（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．22．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x 轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．2016-2017学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．直线的倾斜角是（）A．30°B．120°C．60°D．150°【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】设直线的倾斜角是θ，则有tanθ=，再由θ∈0，π），∴θ=150°，故选：D．2．直线2x+y+1=0与圆（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心（﹣1，1）到直线2x+y+1=0的距离小于半径，可得直线和圆相交．【解答】解：由于圆心（﹣1，1）到直线2x+y+1=0的距离为d==0，小于半径，故直线和圆相交，故选：A．3．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．【考点】平面图形的直观图．【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果．【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2=2故选D．4．若直线过点P（11，1）且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．以上都有可能【考点】直线的截距式方程．【分析】分类讨论①当此直线经过原点时，直接求出②当此直线不经过原点时，设直线方程为x+y=a，把点代入即可．【解答】解：①当此直线经过原点时，k=，此时直线方程为y=x；②当此直线不经过原点时，设直线方程为x+y=a，把点（11，1）代入得a=12，∴直线方程为x+y=12．综上可知：满足条件的方程有且仅有两条．故选B．5．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由点P的坐标，利用点关于x轴对称的条件，建立相等关系，可得其对称点的坐标．【解答】解：设p（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标为（x，y，z），则x=1，y=﹣3，z=﹣6，所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）．故选：C．6．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确命题的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由平行的传递性知①正确，两个平行平面有一个和第三个平面垂直，则另一个也与第三个平面垂直，知②正确，当一条直线同时和一条直线和一个平面垂直时，线面之间的关系是平行或在平面上，知③正确【解答】解：由平行的传递性知若α∥β，β∥γ，则γ∥α，故①正确，两个平行平面有一个和第三个平面垂直，则另一个也与第三个平面垂直，即若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确，当一条直线同时和一条直线和一个平面垂直时，线面之间的关系是平行或在平面上即m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β，故③正确，总上可知有3个命题正确，故选：A7．圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（）A．1：（﹣1）B．1：2 C．1：D．1：4【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据题意，由相似边的比与面积比的关系，先求出截面分圆锥的高与原来圆锥的高的比值，再求出所求的比值．【解答】解：根据面积比是对应边之比的平方得，此截面分圆锥的高与原来圆锥的高的比是1：，∴此截面分圆锥的高为上、下两段的比为1：（﹣1）．故选A．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正方体的结构特征，我们取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，可证得∠OEF 即为异面直线OE与AD1所成角，解△OEF即可得到答案．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF=，OE=故cos∠OEF==故选D9．设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．3x﹣2y+1=0 D．x+2y+3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由可得反射点A（﹣1，﹣1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），根据点B（0，1）关于y=x 的对称点C（1，0）在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．【解答】解：由可得反射点A（﹣1，﹣1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），则点B（0，1）关于y=x 的对称点C（1，0）在反射光线所在的直线上．根据点A（﹣1，﹣1）和点C（1，0）的坐标，利用两点式求得反射光线所在的直线方程是，化简可得x﹣2y﹣1=0．故选：A．10．不论m为何实数，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有公共点，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤2 B．0≤a≤2 C．﹣1≤a≤3 D．1≤a≤3【考点】直线与圆相交的性质．【分析】直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内．【解答】解：直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0过（0，1）点的直线系，曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0表示圆圆心（a，0），半径为：，直线与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内，即：，所以，﹣1≤a≤3故选：C．11．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK==，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB ⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4D．3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】运用题意判断出三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，几何体的性质，在求解体积的值．【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，△ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN==，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以球的直径：=4，所以外接球的半径为：2．所以这个球的表面积：4π×22=16π．故答案为：16π．14．过点P（1，0），且圆心为直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0交点，则该圆标准方程为x2+（y﹣1）2=2．【考点】圆的标准方程．【分析】联立两直线方程求得其交点坐标，求得圆的圆心，进而利用两点间的距离公式求得远的半径，则圆的方程可得．【解答】解：联立直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0，解得x=0，y=1∴圆的圆心为（0，1），∴圆的半径为∴圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】利用两条平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：把l2：2x+2y+3=0化为．∵l1∥l2，∴l1与l2的距离d==．故答案为：．16．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M 为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法正确的是①②．（填序号）①MB∥平面A1DE；②|BM|是定值；③A1C⊥DE．【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得①正确；由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，可得②正确，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故①正确．由∠A1DE=∠MNB，MN=A1D=定值，NB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，故②正确．∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴故③不正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共70分．（17题10分，18，19，20，21，22每题12分）17．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知找出异面直线BC1与AA1所成角，求解直角三角形得正三棱柱底面边长，再由棱柱体积公式求解．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1∥AA1．∴∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C=30°．在Rt△BCC1中，BC=CC1•tan∠BC1C=6×=2，=BC2•sin60°=3，从而S△ABC•AA1=3×6=18．因此该三棱柱的体积V=S△ABC18．已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x 轴正半轴于点B，（1）当OP⊥AB时，求AB所在直线的直线方程；（2）求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）由垂直关系可得k AB=，由AB过点P（6，4）可得点斜式方程，化为一般式可得；（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，可得△OAB面积为S=××4a=，即10a2﹣Sa+S=0，由判别式△=S2﹣40S≥0可得S≥40，即S的最小值等于40，代入解此时的方程可得B坐标．【解答】解：（1）∵点P（6，4），∴k OP=，∵OP⊥AB，∴k AB=，∵AB过点P（6，4），∴AB的方程为y﹣4=（x﹣6）化为一般式可得：3x+2y﹣26=0（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，则直线PA的斜率为=，解得b=，故B的坐标为（，0），故△OAB面积为S=××4a=，即10a2﹣Sa+S=0．由题意可得方程10a2﹣Sa+S=0有解，故判别式△=S2﹣40S≥0，S≥40，故S的最小值等于40，此时方程为a2﹣4a=4=0，解得a=2．综上可得，△OAB面积的最小值为40，当△OAB面积取最小值时点B的坐标为（10，0）．19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC 且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM ∥VB ，利用线面平行的判定定理证明VB ∥平面MOC ；（2）证明：OC ⊥平面V AB ，即可证明平面MOC ⊥平面V AB（3）利用等体积法求三棱锥V ﹣ABC 的体积．【解答】（1）证明：∵O ，M 分别为AB ，V A 的中点，∴OM ∥VB ，∵VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，∴VB ∥平面MOC ；（2）∵AC=BC ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∵平面VAB ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥平面VAB ，∵OC ⊂平面MOC ，∴平面MOC ⊥平面V AB（3）在等腰直角三角形ACB 中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S △V AB =，∵OC ⊥平面VAB ，∴V C ﹣V AB =•S △V AB =， ∴V V ﹣ABC =V C ﹣V AB =．20．已知圆C 经过原点O ，与x 轴另一交点的横坐标为4，与y 轴另一交点的纵坐标为2， （1）求圆C 的方程；（2）已知点B 的坐标为（0，2），设P ，Q 分别是直线l ：x +y +2=0和圆C 上的动点，求|PB |+|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）结合条件即可求圆C 的方程；（2）求出点B 关于直线l ：x +y +2=0的对称点，根据对称性的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵圆C 经过原点O ，与x 轴另一交点的横坐标为4，与y 轴另一交点的纵坐标为2，即点A （4，0），B （0，2）是圆的一条直径，则圆心坐标为（2，1）．半径r=，则圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5．（2）点B 关于直线l ：x +y +2=0的对称点为B ′（﹣4，﹣2），则|PB |+|PQ |=|PB ′|+|PQ |≥|B ′Q |，又B′到圆上的点的最短距离为|B′C|﹣r，∴|PB|+|PQ|的最小值为，直线B′C的方程为y=，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标满足，解得，即P（﹣，﹣）．21．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E 为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，（1）求证：AC⊥平面DEF；（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AC的中点H，推导出BH⊥AC，EF⊥AC，DE⊥BC，AB⊥DE，DE⊥AC．由此能证明AC⊥平面DEF．（2）取AC中点G，以E为原点，EC为x轴，EG为y轴，ED为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．而E为BC的中点，∴EF∥BH．∴EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∵AC⊂平面ABC，∴DE⊥AC．而DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．解：（2）取AC中点G，以E为原点，EC为x轴，EG为y轴，ED为z轴，建立空间直角系，设AB=BC=2，则E（0，0，0），C（1，0，0），A（﹣1，2，0），F（，，0），B（﹣1，0，0），D（0，0，），=（，0），=（0，0，），设平面EFP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设平面ABD的法向量=（a，b，c），=（0，﹣2，0），=（1，﹣2，），，取c=1，得=（），设平面DEF与平面ABD所成的锐二面角为θ，则cosθ===．∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为．22．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x 轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由已知中直线l1过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l1的方程；（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为y=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k=0…又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，所以直线l1的方程为，即或…（2）对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．解方程组，得，同理可得：．…所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为，半径长．所以圆C的方程为，…即=0即，又s2+t2=1故圆C的方程为，令y=0，则（x﹣3）2=8，所以圆C经过定点，y=0，则x=，所以圆C经过定点且定点坐标为2016年12月22日。
2019-2020学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系为( ) A ．相交、平行或异面 B ．相交或平行 C ．异面 D ．平行或异面【答案】A【解析】根据异面直线的定义可得直线a ，c 的位置关系可能相交，可能平行，可能是异面直线． 【详解】因为a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线．如下图所示，满足题意的条件，图①中a ，c 相交，图②中a ，c 平行，图③中a ，c 是异面直线.故选：A ． 【点睛】本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，属于基础题．2．已知直线1l :()()34210k x k y -+-+=与2l ：()23230k x y --+=平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或52C ．3或52D ．1或2【答案】C【解析】当30k -=时，求出两直线的方程，检验是否平行；当30k -≠时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k 的值．【详解】当30k -=，即3k =时，两直线的方程分别为12y = 和32y =，显然两直线平行． 当30k -≠时，由()43123232k k k --=≠--，可得52k = 综上，k 的值是 3或52， 故答案为：3 或52. 【点睛】本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想．3．圆锥的底面半径为1 ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】C【解析】先得出母线的长，再根据圆锥表面积公式计算． 【详解】圆锥的底面半径为1，则母线长l ==2 圆锥的表面积S ＝S 底面+S 侧面＝πr 2+πrl ＝π+2π＝3π 故选：C ． 【点睛】本题考查了圆锥表面积的计算．属于基础题．4．在直线34270x y --=上到点()2,1P 距离最近的点的坐标是（ ） A ．()5,3- B ．()9,0 C ．()3,5-D ．()5,3-【答案】A【解析】根据题意可知，当过点P 的直线与已知直线垂直时，两直线的交点到点P 的距离最短，所以根据已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，求出过点P 直线的斜率，又根据点P 的坐标和求出的斜率写出该直线的方程，然后联立两直线的方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解即可得到点B 的坐标． 【详解】根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点， 因为已知直线3x ﹣4y ﹣27=0的斜率为34，所以过P 点垂直于已知直线的斜率为43-， 又P （2，1），则该直线的方程为：y﹣1=43 -（x﹣2）即4x+3y﹣11=0，与已知直线联立得：4311034270x yx y+-=⎧⎨--=⎩①②①×4+②×3得：25x=125，解得x=5，把x=5代入①解得y=﹣3，所以53xy=⎧⎨=-⎩，所以直线3x﹣4y﹣27=0上到点P（2，1）距离最近的点的坐标是（5，﹣3）．故选：A．【点睛】本题的考点是两直线的交点坐标，考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标．解本题的关键是过点P垂直于已知直线的直线，垂足即为已知直线上到点P的最短距离的点．5．若圆与圆222:680C x y x y m+--+=外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．-11【答案】C【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m+--+=⇒-+-=-,所以250m->25m⇒<且圆2C的圆心为()3,4,半径为25m-,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得()()223040125m-+-=+-9m⇒=,故选C.【考点】圆与圆之间的外切关系与判断6．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A ．372cmB ．390cmC ．3108cmD ．3138cm【答案】B【解析】由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别为：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是：4，3，高是3.其几何体的体积：31V 34634390?2cm =⨯⨯+⨯⨯⨯=． 故选B.7．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．3 D ．6【答案】B【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=， 由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .【考点】圆的几何性质，点到直线距离公式.8．正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为( ) A 22B 3C 6D ．22【答案】B【解析】连接EF ，由BF CF =，我们易得FED ∠是线面所成角，设棱长为a ，求出三角形FED 的各边长，代入余弦定理，求出FED ∠的余弦后，再根据同角三角函数关系，即可得到直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值． 【详解】连接EF ，由题意得BF CF =，BD CD =，则FE BC ⊥，DE BC ⊥，∴BC ⊥面DEF ，∴DF BC ⊥，又DF CF ⊥，∴DF ⊥面CFB ，FED ∴∠是线面所成角设棱长a ，CD a =，3ED BF CF == 三角形BCF 是等腰三角形，则22EF a =由余弦定理得，6cos FED ∠ 则3sin FED ∠= 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，解答的关键是根据已知条件，求出FED ∠即为直线DE 与平面BCF 所成角的平面角．9．垂直于直线1y x =+且与圆224x y +=相切于第三象限的直线方程是( ) A ．20x y ++= B ．20x y ++= C ．20x y +-= D ．220x y +-=【答案】A【解析】根据两直线垂直求出所求切线的斜率，由此设出切线方程，利用圆心到直线的距离d r =，即可求出切线的方程，再验证是否满足条件即可． 【详解】设所求的直线为l ，Q 直线l 垂直于直线1y x =+，可得直线l 的斜率为1k =-，∴设直线l 方程为y x b =-+，即0x y b +-=，又直线l 与圆224x y +=相切，∴圆心(0,0)O 到直线l 的距离22d ==，解得22b =±当22b =-时，可得切点坐标()2,2--，切点在第三象限； 当22b =时，可得切点坐标()2,2，切点在第一象限；Q 直线l 与圆221x y +=的切点在第三象限，∴取22b =-，此时的直线方程为220x y ++=．故选：A ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，3AB =，14BB =，长为1的线段PQ 在棱1AA 上移动，长为3的线段MN 在棱1CC 上移动，点R 在棱1BB 上移动，则四棱锥R PQMN -的体积是( )A ．12B ．10C ．6D ．不确定【答案】C【解析】先求出底面PQMN 的面积，再求R 到底面PQMN 的距离，然后求四棱锥R PQMN -的体积．【详解】由题意可知，底面PQMN 的面积是1332622+⨯R 到PQMN 的距离为322∴四棱锥R PQMN -的体积是：1632⨯=故选：C ． 【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，是基础题．11．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．3【答案】D【解析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最1+，PAB S ∆最大值为3. 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2）， ∴直线AB 的方程为2x -+2y=1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB .∴△PAB 面积的最大值是11||1)22AB +=⨯= 故选D ． 【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.12．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：2220PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故2222000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟 即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．二、填空题13．若圆224x y +=与圆()222600x y ay a ++-=>的公共弦长为a =________.【答案】1【解析】将两个方程两边相减可得220ay -=，即1y a=代入224x y +=可得x ==2143a -=，解之得1a =，应填1．14．过点(2,4)A 向圆224x y +=所引的切线方程为__________． 【答案】234100x x y =-+=或【解析】若斜率不存在，直线2x =与圆224x y +=相切，符合题意；若斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=，32,4k ==，∴切线方程为2x =或34100x y -+=，故答案为2x =或34100x y -+=.15．经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为______.【答案】2231240x y x y ++--=【解析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出λ的值，即可确定所求圆的方程. 【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：()2242420x y x y x y λ+-+-+-=∵所求圆过点()1,0 ∴70λ-+= 解得7λ=所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=.故答案为：2231240x y x y ++--=. 【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键. 16．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是__________． 【答案】6π．【解析】取AC 中点D ，连接,,2,SD BD AB BC BD AC ==∴⊥Q ，2,,SA SC SD AC AC ==∴⊥⊥Q 平面,SDB SDB ∴∠为二面角S AC B --，在ABC ∆中，,2,2AB BC AB BC AC ⊥===，取等边SAC ∆的中心E ，作EO ⊥平面SAC ，过D 作DO ⊥平面,ABC O 为外接球球心，3ED ∴=，二面角S AC B --的余弦值是362cos EDO OD ∴∠==6,BO OA OS OC O ∴====∴点为四面体的外接球球心，其半径为62为64=64πππ⨯，故答案为6π.三、解答题17．己知直线l ：33y x =+.（1）求点()4,5P 关于直线l 的对称点坐标； （2）求直线l 关于点()4,5P 对称的直线方程. 【答案】（1）()2,7-；（2）317y x =-.【解析】（1）设点(4,5)P 关于直线l ：33y x =+的对称点的坐标为(,)a b ，则有题意可得5314543322b a b a -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯+⎪⎩，求得a 、b 的值，即可得到点(4,5)P 关于直线l 的对称点坐标．（2）在直线l ：33y x =+上任意取出两个点(0,3)C 、(1,0)D -，求出这两个点关于点()4,5P 对称点分别为C '、D '的坐标，由题意可得C '、D '是所求直线上的两个点，由两点式求得所求直线的方程．【详解】（1）设点(4,5)P 关于直线l ：33y x =+的对称点的坐标为(,)a b ， 则由题意可得5314543322b a b a -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯+⎪⎩，解得27a b =-⎧⎨=⎩， 故点(4,5)P 关于直线l 的对称点的坐标为(2,7)-．（2）在直线l ：33y x =+上任意取出两个点(0,3)C 、(1,0)D -，由中点坐标公式，可求得这两个点关于点()4,5P 对称点分别为(8,7)C '、(9,10)D '， 由题意可得(8,7)C '、(9,10)D '是所求直线上的两个点，由两点式求得所求直线的方程为9878107y x --=--，即317y x =-． 【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，还考查了中点公式，用两点式求直线的方程，属于中档题．18．如图，已知面11AA B B 垂直于圆柱底面，AB 为底面直径，C 是底面圆周上异于,A B 的一点，12AA AB ==.求证:（1）平面1AAC ⊥平面1BA C ； （2）求几何体1A ABC -的最大体积V .【答案】（1）见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）证明两个平面垂直，应用两面垂直的判定定理，在其中一个面内找一条直线与另一个面垂直。
2018-2019学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中考试数学试题答案
GD 2 DE 2 3 ， GC 2 CF 2 4 ，所以 EF 5 ，
由 GC 4 2 ， CF 4 ，得 BF FG
在 △EFG 中 ，有 EF 2 GE 2 FG 2 ，所以 EG GF ， 又因为 CF EF ， CF FG ，得 CF 平面 EFG ，
19、 （12 分） 解：(1)散点图如下： 3＋4＋5＋6 2.5＋3＋4＋4.5 (2) x ＝ ＝4.5， y ＝ ＝3.5， 4 4
4
∑xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
i＝1 4 i＝1
2 2 2 2 ∑x2 i＝3 ＋4 ＋5 ＋6 ＝86，
^
∑xiyi－4 x
1 1 1 x 1 ，点 E 0， 所以 BE 1 2 k k k 4k 2 2k 4 2 1 k 2
2
k 1 又圆心 C 到 l2 的距离为 ，所以 PQ 2 5 2 1 k 2 1 k
故 S DEPQ
4 ，当 k 0 时，直线 l1 与 y 轴无交点，不合题意，舍去. 3
4 时直线 l2 的方程为 4 x 3 y 4 0 .（6 分） 3 x y 1 ，即 2 x ty 2t 0 . t 2
（2）设 M ( x, y ) ，由点 M 在线段 AD 上，得
2 2 由 AM 2 BM ，得 ( x ) ( y )
由余弦定理可得 BD 2 3 . AD 2 BD 2 AB 2 ， AD BD . 平面 PBD 平面 ABCD ，交线为 BD ， AD 平面 PBD ， AD PB . （6 分）
（2）解：作 EF ∥ BC ，交 PB 于点 F ，连接 AF ， 由 EF ∥ BC ∥ AD 可知 A ， D ， E ， F 四点共面， 连接 DF ，所以由（1）的结论可知， PB 平面 ADE ，当且仅当 PB DF . 在 △PBD 中，由 PB 4 ， BD 2 3 ， PD 2 5 ， 余弦定理求得 cos BPD
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷(理科)
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·漳州期末) 已知集合A={0，1，m}，B={x|0＜x＜2}，若A∩B={1，m}，则m的取值范围是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （0，1）∪（1，2）D . （0，2）2. （2分）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（）A .B . A1C⊥平面AEFC . 三棱锥A-BEF的体积为定值D . 异面直线所成角为定值4. （2分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n值是8，则S0值为下列各值中的（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）圆和的位置关系为（）A . 外切B . 内切C . 外离D . 内含6. （2分） (2016高二上·重庆期中) 一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路程是（）A . 3 ﹣1B . 2C . 4D . 57. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A .B .C .D .8. （2分）(2019高二下·温州月考) 平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为A .B .C .D .9. （2分）圆在点处的切线方程为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·宁波期中) 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A . 2B . 3C . 1D .11. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 已知直线l：3x+4y+m=0（m＞0）被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣6=0所截的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m=（）A . 6B . 8C . 9D . 1112. （2分）(2014·大纲卷理) 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A .B . 16πC . 9πD .二、二.填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知点P（0，﹣1），Q（0，1），若直线 l：y=mx﹣2 上至少存在三个点 M，使得△PQM 为直角三角形，则实数 m 的取值范围是________14. （2分） (2017高三上·嘉兴期中) 已知的方程为，直线与交于两点，当取最大值时________，面积最大时， ________．15. （1分） (2016高三上·连城期中) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为________．16. （1分） (2016高二上·桂林开学考) 曲线y=1+ 与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．三、三.解答题 (共6题；共46分)17. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知椭圆的左焦点，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且的最大值为 .（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过椭圆的左焦点，与椭圆交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.18. （5分） (2017高二下·湖州期中) 如图，点B是以AC为直径的圆周上的一点，PA=AB=BC，AC=4，PA⊥平面ABC，点E为PB中点．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PBC；（Ⅱ）求直线AE与平面PAC所成角的大小．19. （10分） (2016高一下·湖北期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，已知a1=1，an+1= Sn（n∈N*）．（1）证明：数列{ }是等比数列；（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．20. （1分）(2018·宁德模拟) 设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为________．21. （10分）(2017·大理模拟) 如图（1）所示，在直角梯形ABCD中，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图（2）所示．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．22. （10分） (2016高二上·沭阳期中) 已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0，点E（3，4）．（1）过点E的直线l与圆交与A，B两点，若AB=2 ，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点记为M，O为坐标原点，且满足PM=PO，求使得PM 取得最小值时点P的坐标．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、二.填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题 (共6题；共46分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
铜陵市一中2019年秋高二数学(文)上学期12月月考试卷附答案详析
D．1008
【答案】A
【解析】模拟执行程序框图，逐步写出各变量取值的变化，判断循环条件是否成立，最终可得答案.
【详解】
执行程序框图，各变量的值依次变化如下：
n 6, m 3, k 1, p 1;
p 1 (6 3 1) 4, k m 成立；
k 2, p 4 (6 3 2) 20 ， k m 成立；
②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附：问归方程 yˆ bˆx aˆ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
n
n
x1y1 nx y
x1 x y1 y
bˆ
i 1 n
x12
2
nx
i1
n
2
x1 x
， aˆ y bˆ x .
i 1
i 1
S
3
本题正确选项： C
【点睛】
本题考查根据直线垂直的位置关系求解参数值的问题，属于基础题.
3．已知点 M 2,t,t ， N 1 t,1 t,t t R ，则 MN 的最小值为（ ）．
11
A．
5
B． 5 5
C． 3 5 5
D． 55 5
6
【答案】C
【解析】先写出 MN 的表达式，然后分析最小值.
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知直线 a 2 x 2ay 1 0 与直线 3ax y 2 0 垂直，则实数 a 的值是( )
A．0
B． 4 3
C．0 或 4 3
D． 1 或 2 23
3．已知点 M 2,t,t ， N 1 t,1 t,t t R ，则 MN 的最小值为（ ）．
11
铜陵市一中 2019 年秋高二数学（文）上学期 12 月月考试卷
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷(理科)
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知实数a，b，c，d满足==1，其中e是自然对数的底数，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A . 4B . 8C . 12D . 182. （2分） (2016高二上·自贡期中) 已知直线l经过两个点A（0，4），B（3，0），则直线l的方程为（）A . 4x+3y﹣12=0B . 3x+4y﹣12=0C . 4x+3y+12=0D . 3x+4y+12=03. （2分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A . 4B . 8C . 16D . 324. （2分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A . x+y﹣2=0B . x+y﹣4=0C . x﹣y+4=0D . x﹣y+2=05. （2分）直线l过点（-1，0）且与圆相切,若切点在第四象限,则直线l的方程为（）A .B .C .D .6. （2分）当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是（）A . (2，3)B . (－2，3)C .D . (－2，0)7. （2分）(2017·温州模拟) 若直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点，则实数b的取值范围是（）A . [﹣1，1]B . [0，1]C . [0， ]D . [﹣， ]8. （2分）已知直线l：y=x+1平分圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=4，则直线x=3同圆C的位置关系是（）A . 相交B . 相切C . 相离D . 不能确定9. （2分）已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .10. （2分）已知抛物线y2=4x，其焦点坐标是（）A . (1,0)B . (0,1)C . (-1,0)D . (0,-1)11. （2分）过双曲线x2﹣=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条12. （2分）过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在轴上的射影恰好为右焦点F，若则椭圆离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高一上·福建期末) 若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+ =0所截得的线段的长为2 ，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是________．（写出所有正确答案的序号）14. （1分）已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB 的面积均为5，则r的取值范围是________15. （1分）(2018·景县模拟) 如图所示，是椭圆的短轴端点，点在椭圆上运动，且点不与重合，点满足，则＝________。
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D
C
B
A
安徽省铜陵市第一中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题 文
考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.点M(x 0,y 0)是圆x 2
+y 2
=a 2
(a>0)内不为圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2
与该圆的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．相切或相交 2.圆x 2
+2x+y 2
+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）
A ．
2
7π
B ．56π
C ．14π
D ．64π 4.若点P (4,2,3)--关于坐标平面xoy 及y 轴的对称点的坐标分别是（a,b,c ）、（e,f,d ）,则c 与e
的和为 （ ）
A ．7 B.－7 C.－1 D.1 5.过点（1，2）且与原点的距离最大的直线方程是（ ）
A.2x+y-4=0
B. x+2y-5=0
C.x+3y-7=0
D.3x+y-5=0 6.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB 与CD 的 位置关系为（ ）
A.相交
B.平行
C.异面而且垂直
D.异面但不垂直
7. 若直线2314y x k =-++与直线432x y k -=--的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是（ ）
A.62k -<<-
B.53k -<<-
C.6k <-
D.2k >- 8. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下有三种说法： ①若α∥β，β∥γ，则γ∥α； ②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β； ③若m ⊥β，m ⊥n ，n β⊆/,则n ∥β.其中正确命题的个数是 （ ） A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
9.ABC 的斜二侧直观图如图所示，则ABC 的面积为（ ） A. 1 B. 2
O
x
y
12
()
C A
B
O
C A
P
B
C.
2
2
D. 2 10.如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，
PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的
个数有（ ）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个 11.若实数,x y 满足2
4
,012222--=+--+x y y x y x 则
的取值范围为（ ）． A.]34,0[ B.),34[+∞ C.]3
4,(--∞ D.)0,3
4[-
12.等边三角形ABC 的边长为1，BC 上的高为AD ，沿高AD 折成直二面角，则A 到BC 的距离是 （ ）
A.2
B.
2
2
C.23
D.414
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l 通过直线3540x y +-=和直线630x y -+=的交点，且与直线2350x y ++=平行，则直线l 的方程为 .
14．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ．
15．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ．
16. 三个平面能把空间分为 部分.（填上所有可能结果）
正视图
侧视图
俯视图
a
a
a
a
2a
2a
2a
三、解答题：本大题共6小题，共70分．(17题10分,18,19,20,21,22每题12分) 17. 一几何体的三视图如下，求这个几何体的体积.
18.设直线240x y ++=和圆2
2
2150x y x +--=相交于点,A B 。
(1)求弦AB 的垂直平分线方程； (2)求弦AB 的长。
19．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．
求证：（1）PA ∥平面BDE ；
（2）平面PAC ⊥平面BDE ．
20．已知直线l 过点P （1，1），并与直线l 1：x －y+3=0和l 2：2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分，求： （1）直线l 的方程
（2）以坐标原点O 为圆心且被l 截得的弦长为5
5
8的圆的方程．
21．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，
且1
2
AF AD a =
=，G 是EF 的中点， （1）求证：平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2
2
12320x y x +-+= 的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为
k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，．
（1）求k 的取值范围；
（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
铜陵市一中2016-2017学年度第一学期 高二年级期中（学段）考试数学（文）参考答案
一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。
1. C
2.C
3. C 4．D 5．B 6. D 7. A 8. A 9. B 10. A 11. B 12. D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.6970x y +-=; 1
4.30 20x y x y +-=-=或; 1
5.
5
6
; 16. 4，或6，或7，或8 三．解答题：本大题共6小题，共70分．(17题10分,18,19,20,21,22每题12分)
17. 3
33
a π+
18、（1）：220x y --=。
（2）2
2
2211AB r d =-=。
19．略
20．（Ⅰ）03y 2x =-+ （Ⅱ）5y x 22=+．
21．（1）证明：正方形ABCD AB CB ⊥⇒ ∵面ABCD ⊥面ABEF 且交于AB ，∴CB ⊥面
ABEF ∵AG ，GB ⊂面ABEF ， ∴CB ⊥AG ，CB ⊥GB
又2AD a =，AF a =，ABEF 是矩形，G 是EF 的中点， ∴2AG BG a ==
，2AB a =，222AB AG BG =+，∴AG BG ⊥ ∵CG BG B ⋂= ∴AG ⊥
平面CBG 而AG ⊂面AGC ， 故平面AGC ⊥平面BGC
（2）解：由（Ⅰ）知面AGC ⊥面BGC ，且交于GC ，在平面BGC 内作BH GC ⊥，垂足为
H ，则BH ⊥平面AGC ， ∴BGH ∠是GB 与平面AGC 所成的角
∴在Rt △CBG 中2223
BC BG BH CG BC BG
⋅=
==+ 又2BG a =，
∴ 6
sin BH BGH BG ∠=
=22. 解：（Ⅰ）圆的方程可写成2
2
(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，半径2=r . 设过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+，即02=+-y kx ．
因为直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，，所以圆心Q 到直线的距离21
|26|2
=<++=
r k k d .
整理得0342<+k k . 解得304k -
<<，即k 的取值范围为304⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
． （Ⅱ）直线方程2y kx =+代入圆方程得2
2
(2)12320x kx x ++-+=， 整理得2
2
(1)4(3)360k x k x ++-+=．
设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，
122
4(3)
1k x x k
-+=-
+ ① 又1212()4y y k x x +=++． ②
而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，
，，，． 若OA OB +与PQ 共线，则
2
62
121-+=+y y x x ，即)(32121y y x x +-=+， 将①②代入上式，得：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++---=+--
41)3(431)3(422k k k k k ， 解得3
4
k =-
． 由（Ⅰ）知k 的取值范围为304
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
，故没有符合题意的常数k ．。