郑州大学振动力学作业习题答案7
《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结
令 引起的静变形为 ，则有：
，即
令 + 引起的静变形为 ，同理有：
得：
则系统的自由振动可表示为：
其中系统的固有频率为：
注意到 与 方向相反，得系统的自由振动为：
1.9质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角 为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？
解：
（1）保持水平位置：
（2）微幅转动：
故：
2.10求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
图T 2-10答案图T 2-10
解：
m的位置：
， ，
，
，
2.11图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为 。
（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；
（2）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率 为1.5 Hz，m为1.8 kg时，测得频率为0.75 Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？
图E1.2
解：
如图，令 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
利用 和 可得：
1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为 ， 和 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。
图E1.3
解：
系统的动能为：
和 相当于串联，则有：
以上两式联立可得：
系统的势能为：
利用 和 可得：
1.4在图E1.4所示的系统中，已知 ，横杆质量不计。求固有频率。
图E1.4答案图E1.4
解：
对m进行受力分析可得：
振动力学参考答案
请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k则其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知=则 =设静平衡位置水平向右为正方向，则有所以固有频率2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： 其中2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为，，2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
其中、和是mg k δ=δδ324mgh EJ =k 324EJ h "m x kx =-3n 24mh EJ p =2aah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθg h a l ga h l p T n 3π23π2π222===1k 3k 21211k k k k k+='212132k k kk k k ++='4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1J 2J 3J θF sin α2θαFhmgθF三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。
振动力学(高教版)部分课后习题答案
3c 1 2a mk 1 c 2m n l 3
l mgl k 0 a a ， 0 2 2ka2 1.12 面积为 S、质量为 m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图 E1.12 所示。作用于 mg
薄板的阻尼力为 Fd 2Sv ，2S 为薄板总面积，v 为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 T0 ， 在粘性流体中自由振动的周期为 Td 。求系数 。
k2 m x1 k1 c1 m c2 k2 x2 k1
c2
k2 x
m x
m
c2 x
c1 x1
x 1 k1 x x1 c1 x
图 E2.1 解：
答案图 E2.1(a)
答案图 E2.1(b)
等价于分别为 x1 和 x2 的响应之和。先考虑 x1 ，此时右端固结，系统等价为图（a） ，受力为图（b） ， 故：
考虑到 x2 t 的影响，则叠加后的 xt 为：
xt
i 1
2
k
Ai ki2 ci2i2 k2 m
2 2 i
1
c c c sin it tg 1 1 2 2i tg 1 i i 2 k1 k2 i m ki c1 c2 i2
ax2 x1 a 2 k1 b 2 k2 mg ab a b2 k1k2
a 2 k1 b 2 k2 1 1 x x0 x3 mg mg 2 k0 a b k1k2 k3
则等效弹簧刚度为：
ke
则固有频率为：
a b2 k1k2k3 2 a 2 k1k3 b 2 k2 k3 a b k1k2
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）1.1质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动， 如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
lxm 1 m 图E1.1解：系统的动能为： T 1 2 m x l 2 1 2I x2 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： I l 0 m 1 l dx 2 x l 0 m 1 lx 2 dx 1 3 ml 1 2 则有： T 1 2 ml 11 22223 xmlx1 66m m 1 l 2 2 x 系统的势能为： Umgl1cosx mg 1 l 21 cos x1 2mglx 2 1 4 mglx 1 21 42m m 1 glx2 n 和TU 可得： 利用xx 32m m 1 gn23mm 1l1.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
kAaCR图E1.2解：如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：T 12I B212mR212mR2234mR22U122kRakRa222利用n和TU可得：24kRaRa4kn23mRR3m1.3转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 k ，k 和 12k 的轴约束，如图E1.3所示。
3 求系统的固有频率。
Jk1k2k3图E1.3解：系统的动能为：1 2TJ2k 和k 3相当于串联，则有： 22,kk32233 以上两式联立可得：k 3 2,kk 233k 2 k 2 k 3系统的势能为：U 1 2 k 1 2 1 2 k 2 2 2 1 2 k 3 2 3 1 2 k 1 k 2 k 2 k 3 k3k k 2 3 2 利用n 和TU 可得： kk 23 k 1 k 2 k 3nJ k 2 k 31.4在图E1.4所示的系统中，已知kimab i1,2,3,,和，横杆质量不计。
求固有 频率。
振动力学习题集含答案
解：
，
动量守恒：
，
平衡位置：
，
，
故：
故：
2.4在图E2.4所示系统中，已知m， ， ， 和 ，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。
图E2.4答案图E2.4
解：
取坐标轴 和 ，对连接点A列平衡方程：
即：
（1）
对m列运动微分方程：
即：
（2）
由（1），（2）消去 得：
图E2.7
解：
，
s=1时共振，振幅为：
（1）
远离共振点时，振幅为：
（2）
由（2）
由（1）
， ，
故：
2.7求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 及 ，悬臂梁的质量忽略不计。
图T 2-7答案图T 2-7
解：
和 为串联，等效刚度为： 。（因为总变形为求和）
和 为并联（因为 的变形等于 的变形），则：
图E1.9答案图E1.9
解：
利用动量矩定理得：
，
，
，
，
1.12面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于薄板的阻尼力为 ，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 ，在粘性流体中自由振动的周期为 。求系数 。
图E1.12
解：
平面在液体中上下振动时：
和 为串联（因为总变形为求和），故：
故：
2.9如图T 2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
振动力学答案
为 pd ，在简谐激振力作用下出现最大位移值的
激振频率为m ，求系统的无阻尼固有频率 pn 、
相对阻尼系数 及对数衰减率 。
解：m pn 1 2 2 ， pd
三个方程联立，解得：
pn2 n2
，
n pn
；
pd 2 m2 2 pd 2 m2
pn 2 pd2 2m
2
k1
k1k 2 k1 k2
k 2 ，
k3
k1k 2 k1 k2
，
k
k1k2k4 k2k3k4 k1k2k4
k1k3 k2k3 k1k2 k1k4 k2k4
p2
k1k2k4 k2k3k4 k1k2k4
m(k1k3 k2k3 k1k2 k1k4 k2k4 )
word 文档 可自由复制编辑
2-4 求题 2-4 图所示的阶梯轴一圆盘系统扭 转振动的固有频率。其中 J1 、 J 2 和 J 3 是三个轴 段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个
轴段的转动惯量不 计，材料剪切弹性模 量为 G。 解：
k1 GJ 1 / l1
k2 GJ 2 / l2 k3 GJ 3 / l3 k23 GJ 2 J 3 /(J 2 l3 J 3 l2 )
的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为
x
p
2 n
x
2nx
360 cos3t m
得到稳态解
x B cos(3t )
B
0.45
0.45 1.103
(1 0.838)2 4 0.2232 0.8382 0.408
tg 2 0.223 0.838 0.374 1.255
振动力学习题集含答案
解：
利用动量矩定理得：
，
，
，
，
面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为 ，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 ，在粘性流体中自由振动的周期为 。求系数 。
图
解：
平面在液体中上下振动时：
，
，
图所示系统中，已知m，c， ， ， 和 。求系统动力学方程和稳态响应。
（2）
若取下面为平衡位置，求解如下：
，
图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：
（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
图T 2-17
解：
（1） ，
（2） ，
如图T 2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
因此有：
图所示阶梯杆系统中已知m，ρ，S，E和k。求纵向振动的频率方程。
图
解：
模态函数的一般形式为：
题设边界条件为：
，
边界条件可化作：
，
导出C2= 0及频率方程：
，其中
长为l、密度为ρ、抗扭刚度为GIp的的等直圆轴一端有转动惯量为J的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k的弹簧，如图所示。求系统扭振的频率方程。
《振动力学》习题集（含答案）
质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
系统的动能为：
其中I为杆关于铰点的转动惯量：
振动习题答案
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
《振动力学》习题集[含答案]
![《振动力学》习题集[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/bf1e364afad6195f302ba63b.png)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得：()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学习题答案
请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ =则 k =324EJ h设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =-所以固有频率3n 24mh EJ p =2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12c o s s i n ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222=== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kkk k++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学参考答案
2-6
如题 2-6
图所示，刚性曲臂 绕支点的转动惯量 为
I0
盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转 动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间 的摩擦力，求此系统的固有频率。 解：此系统是一个保守系统，能量守恒 系统的动能为：
1 1 11 1 x x 2 m2 x 2 m2 r 2 I T m1 x 2 2 22 2 R2 r
两根长 h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题 2-2 图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作 微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
p2
k1 k 2 k 4 k 2 k 3 k 4 k1 k 2 k 4 m(k1 k 3 k 2 k 3 k1k 2 k1k 4 k 2 k 4 )
k1 GJ1 / l1 k 2 GJ 2 / l 2
k 3 GJ 3 / l3 k 23 GJ 2 J 3 /( J 2 l3 J 3 l 2 )
（1） （2） （3） （4）
R1 3 I x m1 2 m2 R 2 k1 R k 2 x 0 2 2
解：由于两根杆都是弹性的， 可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为 k 则
其中
sin cos 1 2 2 1 mg a 0 ml 2 12 4h 2 3ga 2 pn 2 l h 2π l 2h 2π l h T 2π 2 pn a 3g 3ga
n 0.797 0.223 p n 3.579 0.45 (1 0.838) 2 4 0.223 2 0.838 2 2 0.223 0.838 0.374 1.255 0.298 1 0.838 2 0.45 1.103 0.408
振动力学参考答案
代入初始条件，得
kb ca 2 ml 4m 2l 4
2
2
4
C1 x0 0, C 2
1 4kmb 2l 2 c 2 a 4 2ml 2 2-10 如题 2-10 图所示，质量为 2000 kg 的重
物以 3 cm/s 的速度匀速运动， 与弹簧及阻尼器相 撞后一起作自由振动。已知 k =48020 N/m， c =1960 Ns/m，问重 物在碰撞后多少时 间达到 最大振 幅 ? 最大振幅是多少? 解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动 微分方程为
得
c 3ka 2 0 m ml 2 3ka 2 ml 2
1 1 1 k1 2 a 2 k 3 2 b 2 k 2 2 l 2 2 2 2
2 pn
所以，有 2-7
k1 a 2 k 3b 2 k 2 l 2 p I O m1 a 2 m2 l 2
2 n
2-6
如题 2-6
图所示，刚性曲臂 绕支点的转动惯量 为
I0
盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转 动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间 的摩擦力，求此系统的固有频率。 解：此系统是一个保守系统，能量守恒 系统的动能为：
1 1 11 1 x x 2 m2 x 2 m2 r 2 I T m1 x 2 2 22 2 R2 r
总能量
m
O
(F ) 0
，
k1 1a m1 ga k3 3b k 2 2 l 0
2-8
一长度为 l、 质量为 m 的均质刚性杆铰
（A） 由题意可知，系统势能为
V
接于 O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题 2-8 图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数
《振动力学》习题集(含答案解析)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
《振动力学》习的题目集(含问题解释)
解：（1）
利用 ，
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（3）
故：
由（3）得：
2.5在图E2.3所示系统中，已知m，c，k， 和 ，且t=0时， ， ，求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。
图E2.3
解：
，
求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。
2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为 时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为 。已知偏心重W= 125.5N，偏心距e=15.0cm，支承弹簧总刚度系数k= 967.7N/cm，测得垂直方向共振振幅 ，远离共振时垂直振幅趋近常值 。求支承阻尼器的阻尼比及在 运行时机器的垂直振幅。
，
，
2.1图E2.2所示系统中，已知m，c， ， ， 和 。求系统动力学方程和稳态响应。
图E2.1答案图E2.1(a)答案图E2.1(b)
解：
等价于分别为 和 的响应之和。先考虑 ，此时右端固结，系统等价为图（a），受力为图（b），故：
（1）
， ，
（1）的解可参照释义（2.56），为：
（2）
其中：
，
，
代入各单元状态变量的第一元素，即：
得到模态：
，
5.10在图E5.10所示系统中，已知GIpi(i= 1 , 2)，li(i= 1 , 2)和Ji(i= 1 , 2)。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第7章 弹性体振动7-3 一端受弹簧支承的均质杆,试导出其频率方程。
解: 左端边界条件(0,)0u t =， 右端边界条件：(,)(,)x l x lu x t EAku x t x ==∂=-∂。
则关于固有振型的边界条件为()(0)0,()x ld x EAk l dx =ΦΦ==-Φ代入振型函数，得到频率方程：cot ξξη=，其中：kl EAξω==-当依次计算出正根i ξ(i ＝1，2，…)后，即可计算出固有频率和相应的固有振型i ω=，()()sini i i x x A lξΦ= ，(i ＝1，2，…)。
7-7 求如图所示均质杆纵向振动u (x 、t )的稳态响应。
解: （1）边界条件(0,)0u t =，(,)0x lu x t EAx =∂=∂。
关于固有振型的边界条件(0)0,()0l 'Φ=Φ=，代入振型函数，得到频率方程： cos 0l aω=，固有频率与相应的固有振型为i ω=，()(21)()sin2i i i xx A lπ-Φ= ，(i ＝1，2，…)。
（2）由正规化条件1li i A dx ρ=⎰ΦΦ确定系数A i后得到(21)()2i i xx lπ-=Φ。
（3）标准标准下的响应方程211()()()sin i i i i i q q x F t x F t ωω+==ΦΦ，由单自由度谐和激励下的响应公式得：22()(21)()sin sin (1)2i i i i l Fi q t t t t πωωωωω+-===--Φ （4）广义坐标响应122112(21)(,)()()(1)sin sin 2i i i i i i F i xu x t x q t t Al lπωρωω∞∞+==-==--∑∑Φ。
7-8 一简支梁在中间受荷载作用下挠曲10mm ，若激振力加在同一位置且ω/ω1=1/2，其中ω1为梁的基频，求其稳态响应。
解: （1）由边界条件得出简支梁的频率方程为sin 0l β=，固有频率和固有振型为2i ia ωβ=()()sini i xx C lπΦ=（i ＝1，2，……） （2）由正规化条件1li i A dx ρ=⎰ΦΦ确定系数A i后得到()()i i x x lπΦ=。
题 7-3 图t )Fsinωt题 7-7 图（3）标准标准下的响应方程211()()()sin i i i i i q q x F t x F t ωω+==ΦΦ， 由题意知31048Fl EI =，3480EI F l =，212122EIl πωωρ==由单自由度谐和激励下的响应公式得：2222(/2)2()sin sin sin 2i i i i l FF i q t t t l πωωωωρωω==--Φ（4）广义坐标响应22112(,)()()sin sin sin 2iii i i F i i x u x t x q t t l l ππωρωω∞∞====-∑∑Φ。
【说明：以下习题中，各均质杆、弦或梁的部分参数都相同，长度为l ，横截面积为A ，弹性模量为E ，截面惯性矩为I ，单位体积的质量为ρ ，单位长度的质量为l ρ】7-12 均质简支梁若受如图所示突加分布载荷()cxp x t l=、的作用求其动响应。
解: （1）由边界条件得出简支梁的频率方程为sin 0l β=，固有频率和固有振型为2222i ii EIa lπωβρ==，()()sini i xx C lπΦ=（i ＝1，2，……） （2）由正规化条件1li i A dx ρ=⎰ΦΦ确定系数A i 后得到()2()sin i i x x l lπρΦ=。
（3）由杜哈美积分计算广义坐标响应。
1(,)(,)sin[()]ltii i i iu x t f x t d dx τωττω∞==-∑⎰⎰ΦΦ00121sin sin sin[()]l t i i ii x i x cxt d dx l l l l ππωττρω∞==-∑⎰⎰=…… 7.13 一根两端固定的弦，在弦线上作用着均匀分布的横向力f （x ，t ），方向铅垂向上。
证明弦的振动微分方程为：22(,)(,)()(,)()()y x t y x t F x f x t x A x x x t ρ∂∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂∂⎣⎦证明：F 为张力。
研究长度为d x 的微元体有 22sin sin y F Adx F dx dx F fdx t x x θρθθ∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭xlc题 7-12 图f d xFF dx x∂+∂微振动时展开sin dx x θθ∂⎛⎫+ ⎪∂⎝⎭得sin sin dx dx x x θθθθ∂∂⎛⎫+≈+ ⎪∂∂⎝⎭ 代入前式忽略高价微量且yxθ∂=∂得 22sin y FAdx F dx dx fdx t x x θρθ∂∂∂=++∂∂∂()F dx fdx xθ∂=+∂ 即22(,)(,)()(,)()()y x t y x t F x f x t x A x x x t ρ∂∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂∂⎣⎦。
7.14 设弦振动的振型()sinn n n xU x C l π=中，C n为待定常数，用正规化方法证明n C = 证明：将()sinn n n xU x C lπ=代入由正规化条件01ln n U AU dx ρ=⎰即可求得n C =7.15左端固定的杆，右端连接一刚度为k 的弹簧，试导出杆纵向振动的主振型相对于刚度的正交条件为：0()()()()0li j i j EA U x U x dx kU l U l ''+=⎰。
解: 求出频率方程：cot ξξη=，其中：klEAξωη==-。
当依次计算出正根n ξ(n ＝1，2，…)后，即可计算出固有频率和相应的固有振型n ω=()sinn n n x U x A lξ= ，(n ＝1，2，…)。
将分离变量解代入波动方程得2221()1()()()()()d q t d dU x EA x q t dt A x U x dx dx ωρ⎛⎫==- ⎪⎝⎭则第i ，j 阶振型函数满足2i i i d dU EA AU dx dx ωρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2j j j dU d EA AU dx dx ωρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭分别用U j ，U i 乘上两式两端，并积分()20000[]ll l l j i j i i j i j i d U EAU dx EAU U EAU U dx U AU dx dx ωρ''''=-=-⎰⎰⎰ ()20000[]l l l l i j j i i j j j i d U EAU dx EAU U EAU U dx U AU dx dx ωρ''''=-=-⎰⎰⎰ 根据边界条件()(0)0,()x ldU x U EAkU l dx ===-，上两式变为20()()ll i j i j i j i kU l U l EAU U dx U AU dx ωρ''--=-⎰⎰20()()lli j i j jjikU l U l EAU U dx U AU dx ωρ''--=-⎰⎰两式相减22()0li j j i U AU dx ωωρ-=⎰，即得两个正交条件0lj i U AU dx ρ=⎰，0()()()()0li j i j EA U x U x dx kU l U l ''+=⎰。
7.16 左端固定右端自由的杆，已知左端支承相当于地面的纵向运动为200(/)s u u t t =，在初瞬时杆静止。
试确定支承运动引起杆纵向振动的响应。
解: （1）同题7.7，固有频率与相应的固有振型为i ω=，(21)()2i i xx lπ-=Φ，(i ＝1，2，…)。
（2）相对基础的响应22001(,)sin[()]l tisr i i i id u u x t A t d dx dt ρωττω∞==--∑⎰⎰ΦΦ02102sin[()]ltii i i i u At d dx t ρωττω∞==--∑⎰⎰ΦΦ 02201022(21)(21)(1cos )sin sin 22l i i i u A i x i xt dx t Al l l ρππωωρ∞=--=--∑⎰ 022108(21)(1cos )sin (21)2i i i u i x t t i lπωωπ∞=-=---∑221,3,5081sin 2i i u i xt i lπωπ∞=⎛=-- ⎝∑响应：200221,3,5008(,)(,)(12s r i i t u i xu x t u u x t u t t i lπωπ∞=⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭∑。
7.20 一杆左端固定，左端自由，假设杆的右半部分在t ＝0时具有沿轴向的初速度v 0，试求杆纵向振动的响应。
解: （1）同题7.7，固有频率与相应的固有振型为i ω=，(21)()2i i xx lπ-=Φ，(i ＝1，2，…)。
（2）初始条件：000()0,()(/2)u x u x v l x l ==≤≤变换到标准坐标下000()0li i q A u x dx ρ==⎰Φ，0000/2(21)()2lli i l i x q A u x dx v dx l πρρ-==⎰⎰Φ(21)4i π-= （3）响应011(,)()()()sin i ii i i i i iq u x t x q t x t ωω∞∞===Φ=Φ∑∑1(21)1(21)cos sin 2(21)4i ii x i t l i ππωω∞=--=- 21,3,51cos sin 42i i x i l ππ∞==∑。