郑州大学振动力学作业习题答案7

第7章 弹性体振动

7-3 一端受弹簧支承的均质杆,试导出其频率方程。 解: 左端边界条件(0,)0u t =， 右端边界条件：(,)

(,)x l x l

u x t EA

ku x t x ==∂=-∂。

则关于固有振型的边界条件为()

(0)0,()x l

d x EA

k l dx =ΦΦ==-Φ

代入振型函数，得到频率方程：cot ξξη=

，其中：kl EA

ξω==-

当依次计算出正根i ξ(i ＝1，2，…)后，即可计算出固有频率和相应的固有振型

i ω=

，()()sin

i i i x x A l

ξΦ= ，(i ＝1，2，…)。

7-7 求如图所示均质杆纵向振动u (x 、t )的稳态响应。

解: （1）边界条件(0,)0u t =，(,)

0x l

u x t EA

x =∂=∂。 关于固有振型的边界条件(0)0,()0l 'Φ=Φ=，

代入振型函数，得到频率方程： cos 0l a

ω=，

固有频率与相应的固有振型为

i ω=

，()(21)()sin

2i i i x

x A l

π-Φ= ，(i ＝1，2，…)。 （2）由正规化条件

1l

i i A dx ρ=⎰

ΦΦ确定系数A i

后得到(21)()2i i x

x l

π-=

Φ。 （3）标准标准下的响应方程2

11()()()sin i i i i i q q x F t x F t ωω+==ΦΦ，

由单自由度谐和激励下的响应公式得：

22

()(21)()sin sin (1)2i i i i l F

i q t t t t πωωωωω+-=

==--Φ （4）广义坐标响应1

22

1

1

2(21)(,)()()(1)sin sin 2i i i i i i F i x

u x t x q t t Al l

πωρωω∞∞

+==-=

=--∑∑Φ。 7-8 一简支梁在中间受荷载作用下挠曲10mm ，若激振力加在同一位置且ω/ω1=1/2，其中ω1为梁的基频，求其稳态响应。

解: （1）由边界条件得出简支梁的频率方程为sin 0l β=，固有频率和固有振型为

2i i

a ωβ=()()sin

i i x

x C l

πΦ=（i ＝1，2，……） （2）由正规化条件

1l

i i A dx ρ=⎰

ΦΦ确定系数A i

后得到()()i i x x l

πΦ=

。

题 7-3 图

t )

Fsinωt

题 7-7 图

（3）标准标准下的响应方程211()()()sin i i i i i q q x F t x F t ωω+==ΦΦ， 由题意知3

1048Fl EI =，3

480EI F l =，212

122EI

l πωωρ

==

由单自由度谐和激励下的响应公式得：22

22(/2)2()sin sin sin 2

i i i i l F

F i q t t t l π

ωωωωρωω=

=

--Φ

（4）广义坐标响应22

1

1

2

(,)()()sin sin sin 2i

i

i i i F i i x u x t x q t t l l ππωρω

ω

∞

∞

===

=-∑∑Φ。 【说明：以下习题中，各均质杆、弦或梁的部分参数都相同，长度为l ，横截面积为A ，弹性模量为E ，截面惯性矩为I ，单位体积的质量为ρ ，单位长度的质量为l ρ】

7-12 均质简支梁若受如图所示突加分布载荷()cx

p x t l

=

、的作用求其动响应。

解: （1）由边界条件得出简支梁的频率方程为sin 0l β=，固有频率和固有振型为

22

22

i i

i EI

a l

πωβρ

==，()()sin

i i x

x C l

πΦ=（i ＝1，2，……） （2）由正规化条件

1l

i i A dx ρ=⎰

ΦΦ确定系数A i 后得到()2()sin i i x x l l

πρΦ=

。 （3）由杜哈美积分计算广义坐标响应。

1

(,)(,)sin[()]l

t

i

i i i i

u x t f x t d dx τωττω∞

==-∑

⎰

⎰ΦΦ

00121sin sin sin[()]l t i i i

i x i x cx

t d dx l l l l ππωττρω∞==-∑⎰⎰=…… 7.13 一根两端固定的弦，在弦线上作用着均匀分布的横向力f （x ，t ），方向铅垂向上。证明弦的振动微分方程为：

22(,)(,)()(,)()()y x t y x t F x f x t x A x x x t ρ∂∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂∂⎣⎦

证明：F 为张力。研究长度为d x 的微元体有 22sin sin y F Adx F dx dx F fdx t x x θρθθ∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪∂∂∂⎝

⎭⎝⎭

x

l

c

题 7-12 图

f d x

F

F dx x

∂+

∂