函数奇偶性案例

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函数单调性与奇偶性典型例题讲解

又∵f(x)在 R 上递减， ∴x2－x+3x＜3,∴x2+2x－3＜0∴－3＜x＜1.
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1 }．
变式：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0 时，f(x)>1，且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1； (2)证明：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； (3)证明：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)>1，求 x 的取值范围．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 x， y∈R，有 f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)． (1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)在 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中，令 x＝y＝0，得 f(0)＝0＋0＝0，即 f(0)＝0. 令 x＝y＝1，得 f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)， ∴f(1)＝0；

高一数学《函数的奇偶性》教案设计

高一数学《函数的奇偶性》教案设计高一数学《函数的奇偶性》教案设计（精选5篇）教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

下面是小编整理的高一数学《函数的奇偶性》教案设计，希望对大家有帮助!高一数学《函数的奇偶性》教案设计篇1一、教学目标【知识与技能】理解函数的奇偶性及其几何意义【过程与方法】利用指数函数的图像和性质,及单调性来解决问题【情感态度与价值观】体会指数函数是一类重要的函数模型,激发学生学习数学的兴趣二、教学重难点【重点】函数的奇偶性及其几何意义【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式三、教学过程(一)导入新课取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：1 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形;问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称;(2)若点(x，f(x))在函数图象上，则相应的点(-x，f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等(二)新课教学1.函数的奇偶性定义像上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数(1)偶函数(even function)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数(学生活动)：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义(2)奇函数(odd function)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)2.具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称3.典型例题(1)判断函数的奇偶性例1.(教材P36例3)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性(本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤) 解：(略)总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数(三)巩固提高1.教材P46习题1.3 B组每1题解：(略)说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数2.利用函数的奇偶性补全函数的图象(教材P41思考题)规律：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据(四)小结作业本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质课本P46 习题1.3(A组) 第9、10题， B组第2题四、板书设计函数的奇偶性一、偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数二、奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数三、规律：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的`图象关于原点对称高一数学《函数的奇偶性》教案设计篇2教学目标：了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性。

函数的奇偶性(经典)

奇函数：设函数y f ( x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有 x D 且f ( x) f ( x), 则这个函数叫做奇函数。
（一）奇函数、偶函数的定义
对于函数y=f(x),当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等. 这样的函数是偶函数
偶函数：设函数y f ( x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有 x D 且f ( x) f ( x), 则这个函数叫做偶函数。
函数的奇偶性
画出下列函数的图像，并研究图像的对称性. 1 2 (1) f ( x) ;(2) g ( x) x . x
1 2 (1) f ( x) ;(2) g ( x) x . x 这两个函数的图像的对称性如何通过数学语言描述.
（一）奇函数、偶函数的定义
对于函数y=f(x),当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数.这样的函数是奇函数
2
课本49页练习A 第1、2、3、4、5题
课本53页练习第8题
1 例2 研究函数y 2 的性质并作出它的图像. x
函数奇偶性的说明：（1）因此函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。
(2) 定义本身就是判断或证明函数奇偶性的方法。
练习
（1）已知f(x)=x5+bx3+cx 且f(-2)=10，那么f(2)等于
性质
f(-x)= - f(x) 奇函数图象关于原点对称
f(-x)=f(x)
偶函数图象关于y轴对称
例1 判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) x x x ;
3 5
(2) f ( x) x 1; (3) f ( x) x 1;

(2019版)函数的奇偶性(2)

1、2、4
2、已知函数 f(x) x 5 ax 3 bx 8 且f(-2)=10，则f(2)等于( ) A -26 B -18 C -10 D 10 3)若f（x） 2x2 （3 a 2）x 5是偶函数，则 a
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函数的奇偶性（２）
练习：判断下列函数的奇偶性：１）ｆ（ｘ）＝３ｘ
２）ｆ（ｘ）＝(ｘ－１)２
3）ｆ（ｘ）＝ｘ(１－ｘ) ｘ＞０ｘ(１＋ｘ) ｘ＜０
4) f (x) 1 x2 x2 2
例1.判断函数f(x)= √1-x2 的奇偶性。 |x+2|-2
解： 1-x2≥0 |x+2|≠2
-1≦x≦1 x≠0且x≠-4
包:；
今楚彊以威王此三人吴起亦位列其中 [71] 作战时必须遵循的战略原则退朝后他面带忧色三军惊惕黄道周·《广名将传》不复入卫于是赵人百里内悉入城以弱诛强备敌覆我及至宋代宣和五年籍赵王就一再强使李牧出来走废丘李日知--?” 5.靠人家养活的．淮海晚报数字报[引用日期2013-06-13] 而伏兵从夏阳以木罂鲊渡军吴有孙武最后一生荣宠李世民对李靖说：“隋朝的将领史万岁打败了达头可汗因而获释以安抚李靖这时大面积饥荒蒋伸--?”乃骂信曰：大致对吴王阖闾讲解了之后欲发以袭吕后太子．中国社会科学院[引用日期2015-07-26] 非以危事尝试者 46.威震于朔兼刚柔者蔡泽：“楚地方数千里筑垒环之犹发梁焚舟巳在东掖门项羽与刘邦签订鸿沟协议不过深明古今之事但从卫青得封大将军时“三子在襁褓中”封侯来看仇氏楚兵不利包围了右贤王；皇甫冲

案例：函数的奇偶性

案例：函数的奇偶性1说明本文可以认为是师范生教育实习的一个成果汇报，也可以认为是信息技术与数学内容整合的一个有益尝试．教案所使用的教材版本见人民教育出版社B版高中数学（必修一）第二章第一节第四小节，教学环境是多媒体教室．整个教学过程分为四个阶段：创设情境，提出课题；任务驱动，操作探究；合作交流，归纳发现；应用巩固，深化提高．（一）创设情境，提出课题教师：同学们，上一节课我们学习了函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生（众）：数形结合？教师：对，我们“利用函数的图像来理解函数的性质”，是先从图像看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后用函数的解析式（从数的角度）表示为“当210x x x∆=->时，有()()210y f x f x∆=->（增函数）或()() 210y f x f x∆=-<（减函数）”．这一节课我们继续学习函数的更多性质，首先，请大家观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？（教师先做出立正姿势，然后两手平伸，微笑状）学生1：男的？教师：不错，是男老师，但性别不属于数学特征，数学是从空间形式和数量关系上来看事物的，请再从数学上看看老师有什么样的特征？学生2：身高1米76．教师：这个说法有“数感”，估算眼力也不错．学生3：是个轴对称图形．教师：说得很好，把老师画下来是个“轴对称图形”．老师的左耳与右耳是1该案例获教育部第一届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第四名（主讲人：陕西师范大学数学与信息科学学院2005级高原同学；指导教师：罗增儒老师）。

对称的，左眼与右眼是对称的，左手与右手也是对称的，这是我们初中学过的图形对称图性知识．那么，大家还记得什么叫做轴对称图形？什么叫做中心对称图形吗？定义：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形．绕某一点旋转180︒后的图形能和原图形完全重合的图形叫中心对称图形．教师：大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽．图1 大自然中的图形教师：这一章我们学习的是函数，函数的图像也是一种图形，当函数的图像也是轴对称或中心对称时，我们如何利用函数的解析式来刻画函数图像的几何特征呢？这就是本节课我们要共同探究的课题——函数的奇偶性．（板书§2．1．4函数的奇偶性）（二）任务驱动，操作探究教师：同学们，大家一定已经发现了，在每个人的桌面上有一个大信封，信封里装的是什么呢？（引发好奇心）让我们打开来看看．（参见本案例后附录1）教师：哦，原来是一张《函数的奇偶性》数学试验单，试验单内有A类、B 类“任务函数”各一组，每类“任务函数”各有三个具体的函数，接下来我们要借助Microsoft Math软件完成三项任务（见试验单）：任务1：在同一坐标系上分别作出两类任务函数的图像,并在实验单对应项下方绘制出函数图像．任务2：利用Create Table（制表）功能，在每类函数中任取一个具体的函数，取定自变量范围为9-到9的10个点，填写对应的数据表．任务3：分析函数的图像和数据表，从对称性的角度找出共同的几何特征，再找出自变量x 和函数值y 之间的本质关系．下面大家就分小组，利用Microsoft Math 软件完成数学试验．（同学们小组合作，用Microsoft Math 软件完成三个实验任务，教师巡视各小组任务进展情况，对存在困难的小组给予适当的帮助，待全班都完成任务后，交流共享各小组的发现成果）（三）合作交流，归纳发现教师：大家都已完成了实验任务，下面我们进行交流，通过具体操作和图像观察，各个小组都有什么发现？哪个小组首先将自己的成果与大家共享交流？小组1：（通过计算机报告A 类函数的图像，屏幕5打出图2）我们小组通过观察发现：●A 类任务函数的定义域关于原点对称，图像关于y 轴对称．小组2：（通过计算机报告B 类函数的图像，屏幕6打出图3）我们小组通过观察发现：●B 类任务函数的定义域是关于原点对称的，图像是关于原点对称的．图2 A 类任务函数图像图3 B 类任务函数图像教师：非常好！大家通过函数图像的观察发现了：●A 类函数和B 类函数的定义域都是关于原点对称的；●A 类任务函数的图像是关于y 轴对称的，B 类任务函数的图像是关于原点对称的．我们知道，“关于y 轴对称”就是对应点111(,),(,)P x y P x y 的连线（线段）以y轴为垂直平分线，这时， 1,P P 的横坐标之间有什么关系？1,P P 的纵坐标之间有什么关系？小组3：（通过计算机报告A 类函数中()2f x x =-的图像及其数据表，屏幕7打出图4）我们小组通过图像和数据表的观察发现：●对应点1,P P 的横坐标成相反数时纵坐标相等．或者说●A 类任务函数的自变量互为相反数时，其函数值相等．图4 函数2y x =-的图像及其数据表教师：对，（屏幕7继续打出）●关于y 轴对称的数值特征：横坐标成相反数时纵坐标相等；或自变量互为相反数时函数值相等．那么，这个数值特征怎样用纵横坐标的字母表示出来呢？学生4：1x x =-时1y y =． ① 教师：对，这是轴对称的一个数值表示．同样，“关于原点对称”就是对应点111(,),(,)Q x y Q x y 的连线（线段）以原点为中点，这时1,Q Q 的横坐标之间有什么关系？1,Q Q 的纵坐标之间有什么关系？小组4：（通过计算机报告B 类函数中()2f x x =-的图像及其数据表，屏幕8打出图6）我们小组通过图像和数据表的观察发现：●对应点1,Q Q 的横坐标成相反数时纵坐标也成相反数．或者说B 类任务函数的自变量互为相反数时，其函数值也互为相反数．图5 函数2y x =-的图像及其数据表教师：对，（屏幕8继续打出）●关于原点对称的数值特征：横坐标成相反数时纵坐标也成相反数．或自变量互为相反数时函数值也互为相反数．那么，怎样用纵横坐标的字母表示出来呢？学生5：1x x =-时1y y =-． ② 教师：现在我们已经从函数图像的图形特征得出了函数图像的数值特征，下面，我们分别验证A 类任务函数中的()2f x x =-和B 类任务函数中的()2f x x =-，看看如何用函数的表达式来刻画“自变量互为相反数时，其函数值相等或互为相反数”．学生6：我通过验证A 类任务函数()2f x x =-，有()22()f x x x x f -=--=-=，确实是自变量互为相反数时，函数值相等．（学生叙述，教师板书）教师：就是说A 类任务函数满足()()f x f x -=，这正是用函数解析式表达的本质特征．学生7：我通过验证B 类任务函数()2f x x =-，有()2()2()f x x x f x -=--==-，确实是自变量互为相反数时，函数值也互为相反数．（学生叙述，教师板书），教师：这样一来，就把上面的①式“1x x =-时1y y =”改写为()()f x f x -=， ③把②式“1x x =-时1y y =-”改写为()()f x f x -=-． ④同学们，我们的上述活动实际上已经完成了这样的数形对应（屏幕9打出对照表）：形的特征数的特征图像横坐标成相反数函数自变量成相反数图像纵坐标相等（成相反数）函数值相等（成相反数）横坐标成相反数时纵坐标相等（成相反数）1x x =-时1y y = （1x x =-时1y y =-）图像性质：关于y 轴对称（关于原点对称）函数性质： ()()f x f x -=（()()f x f x -=-）教师：同学们，如果称A 类这样的函数为偶函数，称B 类这样的函数为奇函数，你们能给偶函数和奇函数下个定义吗？（学生通过独立思考和合作交流，得出定义．屏幕10打出偶函数和奇函数的定义）定义 1 设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈且()()f x x f -=，则这个函数叫偶函数．定义 2 设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈且()()f x x f -=-，则这个函数叫奇函数．教师：对于偶函数的定义需要强调三点（屏幕11打出三点解释）：一是对“任意一个x ”都成立，是整体性质而非局部性质；二是“都有x D -∈”，即()f x -是存在的；三是“()()f x x f -=”，这是偶函数的本质属性，是它的标志．同学们，对于奇函数的定义你们认为需要强调什么呢？（同样，同学们得出奇函数的定义需要强调的三点认识，屏幕12打出）：一是对“任意一个x ”都成立，是整体性质而非局部性质；二是“都有x D -∈”，即()f x -是存在的；三是“()()f x x f -=-”，这也是奇函数的本质属性，是它的标志.教师：记忆这个定义，可借助函数()n f x x =（n 为正整数），当n 为奇数时，()n f x x =为奇函数；当n 为偶数时，()n f x x =为偶函数．（四）应用巩固，深化提高教师：下面我们利用奇函数和偶函数的定义来做练习．（屏幕13打出题目）例1 用定义来判断下列函数的奇偶性．（1）2()1f x x =--（见A 类函数）；（2）3()f x x =（见B 类函数）；（3）()21f x x =-+；（4）()f x a =．教师：首先，我们一起来分析第（1）题．（屏幕14打出分析）分析：第1步，先看2()1f x x =--的定义域，易知定义域为R ，是关于原点对称的；第2步，计算()f x -，看()f x -与()f x 之间的关系，通过计算，有22()()11()f x x x f x -=---=--=，第3步，下结论：2()1f x x =--是偶函数．具体的解题过程如下．（屏幕14继续打出）解：函数2()1f x x =--的定义域为R ，当x R ∈时x R -∈，因为22()()11()f x x x f x -=---=--=，所以2()1f x x =--是偶函数．下面请同学们继续做第（2）、（3）、（4）题．学生8：（通过计算机报告第（2）题的解法，由屏幕15打出）教师：很好，判断正确，书写规范.我们再来看看第（3）题．学生9：（通过计算机报告第（3）题的解法，由屏幕16打出）教师：这个解法的两个判断都正确，但是还没有给出结论．到底这是个什么函数呢？像这样的既不满足奇函数定义也不满足偶函数定义的函数，我们就叫它非奇非偶函数吧．下面提个问题，函数()21f x x =-+既不是奇函数也不是偶函数，那么，它的图像是不是“既非轴对称图形又非中心对称图形”？学生10 ：应该是吧．教师：理由呢？学生10：不是偶函数就不会关于y 轴对称，不是奇函数就不会关于原点中心对称，所以是“既非轴对称图形又非中心对称图形”．教师：不以y 轴对称有没有可能以别的直线为轴对称？不以原点对称有没有可能以别的点为中心对称？学生10：（恍然大悟）哦，明白了．函数()21f x x =-+虽然既不是奇函数也不是偶函数，但它的图像是一条直线，既是轴对称图形又是中心对称图形．教师：这是一个有趣的发现．因为直线的任意一条垂线都是它的对称轴，直线的任一点都是它的对称中心，所以“非奇非偶函数”()21f x x =-+的图像，“既是轴对称图形又是中心对称图形”．再看第（4）小题．学生11：（通过计算机报告第（4）题的解法，由屏幕17打出）教师：解法出来了，对任意的实数a ，()f x a =均为偶函数的判断过程有疑问吗？学生（齐）：没有．教师:那么0a =呢？学生12：()0()f x f x -==，满足偶函数的定义．学生13：我觉得当0a =时,()0()f x f x -==-也成立，还满足奇函数的定义．老师，这样的函数叫啥？教师: 当0a =时, ()f x 既满足奇函数的定义又满足偶函数的定义，我们就把这样的函数叫做既奇且偶函数．这道题的完整求解可分0a ≠与0a =两种情况来讨论:当0a ≠时()f x a =为偶函数；当0a =时()0f x =为既奇且偶函数．那么，以函数的奇偶性为标准我们可以对函数作怎样的分类？学生（齐）：分四类．教师:哪四类？学生14：是奇函数而非偶函数；是偶函数而非奇函数；既奇且偶函数；非奇非偶函数．教师：非常好！下面，根据做例1的过程，我们再来总结一下判断函数奇偶性的方法．第一步看什么？学生（齐）：看定义域是否关于原点对称．教师：对，如果定义域关于原点不对称，就不是奇函数也不是偶函数.那怎么确定“定义域关于原点不对称”呢？学生15：只要定义域上有一个取值0x 使0()f x -不存在，则定义域就关于原点不对称.教师：很好，只要定义域上有一个取值0x 使0()f x -不存在，则()f x 就既不是奇函数也不是偶函数．第二步呢？学生（齐）：计算()f x -，看是否满足()()f x x f -=或者()()f x x f -=-．教师：对，这一步的实质是验证一个恒等式，只要有定义域的一个取值0x 使00()()f x x f -≠（或00()()f x x f -≠-），则()f x 就不是偶（奇）函数．根据恒等式证明的经验，请进一步思考你们能对这一步发表些什么看法呢？学生16：证明()()f x x f -=可以转为证()()0f x x f --=；证明()()f x x f -=-可以转为证()()0f x x f -+=．学生17：当()0f x ≠时，证明()()f x x f -=还可以转为证()1()f x x f -=；而证明()()f x x f -=-又可以转为证()1()f x x f -=-．教师：这又是一些小小的发现，很好.第三步呢？学生（齐）：下结论，判断为上述说的4类函数之一．教师：总结得不错，下面看第2个练习（屏幕18打出题目）例2 选择题（1）给出4个命题：①如果一个图形是轴对称图形，那么这个图形一定是某个偶函数的图像； ②如果一个函数的图像是轴对称图形，那么这个函数一定是偶函数； ③奇、偶函数的定义域必定关于原点对称；④如果奇函数()f x 在原点有定义，那么()00f =；其中为真命题的个数是（）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（（2）函数xx x x f +--=24)(2的奇偶性为（）．（A ）是奇函数而不是偶函数（B ）是偶函数而不是奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）既不是奇函数也不是偶函数教师：看第（1）小题，大家先判断四个命题的真假．学生18：命题①是假命题，比如圆是轴对称图形，但不是函数的图像．教师：因为存在这样的x ，有两个y 与之对应，不满足函数的定义，是吗？学生18：是的．教师：很好，谁来判断命题②？学生19：命题②是假命题，比如函数()()21f x x =-的图像是轴对称图形，但这个函数不是偶函数．学生20：，例1中的函数()21f x x =-+也是一个反例．教师：只要把一个偶函数的图像左右平移一下就可以得到反例．继续说命题③．学生21：命题③是真命题，若不然，就存在一个0x D ∈，使0x D -∉，既然0()f x -都不存在，更谈不上00()()f x f x -=或00()()f x f x -=-．教师：对，比如函数3()f x x =在R 上为奇函数，但在[1,1)-上就成了非奇非偶函数了（因为1x =时()f x -没有定义）．“奇、偶函数的定义域必定关于原点对称”可以成为判断函数奇偶性的一个必要条件．继续说命题④.学生22：命题④是真命题，由奇函数的定义，令0x =有(0)(0)f f -=-，移项得(0)0f =．教师：“如果奇函数()f x 在原点有定义，那么()00f =”可以成为奇偶性的一个必要条件．现在四个命题都判断清楚了，下来应该选什么？学生（齐）：选（B ）．教师：回答得很好．再看第（2）小题．学生23：（学生口述，教师板书）因为 ()()2244()22x x f x f x x x x x----=≠=--+-+， ⑤ ()()2244()22x x f x f x x x x x----=≠-=---+-+， ⑥ 所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数，选（D ）．教师：你是说对定义域内的每一个x ，不等式⑤、⑥都成立？学生23：不，我的⑤、⑥式是说恒等式()()f x f x -=，()()f x f x -=-都不成立．教师：既然是否定恒等式，那有定义域内的一个值就够了．大家把0x =代入看看．学生23：有(0)1(0),(0)(0)f f f f -==-≠-．可见，()()f x f x -=-肯定不是恒等式，至于⑤式我想取别的值会使左右两边不相等的．教师：好，我们一块来找使③式左右两边不相等的x 值？（学生验证了3(1)(1),(2)0(2)2f f f f -==-==，终于有学生省悟）学生24：根据例1的总结，判断函数的奇偶性应该先求定义域，并看它是否关于原点对称．教师：继续说，函数的定义域是什么？学生24：由被开方式非负知，函数的定义域为24022x x -≥⇔-≤≤，是关于原点对称的．教师：很好，在这个前提下，函数的表达式能否化简？学生24：可以，在定义域内有20x -≤，函数表达式的分母为()222x x x x -+=-+=，得 2244()22x x f x x x --==-+．教师：这就思路清晰了，我们请学生23再作一次判断．学生23：函数的定义域为24022x x -≥⇔-≤≤，得20x -≤，则函数表达式可化简为 ()222444()222x x x f x x x x x ---===-+-+．有 ()2244()()22x x f x f x ----===，得()f x 是偶函数．又(0)0f ≠，不满足奇函数的必要条件，所以()f x 是偶函数而不是奇函数．选（B ）．教师：非常完满．最后，让我们来总结一下：今天学习了什么？经历了什么？感悟到了什么？同学们七嘴八舌，谈到：●学习了奇函数和偶函数的概念.●学习了用定义判断函数奇偶性的方法.●知道了奇函数的图像关于原点对称，但不知道图像关于原点对称的函数为什么叫做奇函数.●知道了偶函数的图像关于y 轴对称；但不知道图像关于y 轴对称的函数为什么叫做偶函数.●经历了从初中“图形对称性”到高中“函数奇偶性”的提炼过程.●经历了从几个具体函数提炼函数本质属性的过程.●经历了小组讨论和课堂交流.●感悟到判断函数奇偶性的关键是证明恒等式.●感悟到了数学思想方法，如函数思想、数形结合思想等.●感悟到了数学的对称美．……教师：时间关系先谈到这里．今天的作业有3个，作业1是课本53页练习A 第1题，作业2是课本54页练习B第2题（选做题），作业3是完成实验单上的几个问题（参见附录1：《函数的奇偶性》数学实验单）：●通过本节课，你收获了什么？●通过本节课，你发现了什么？●在本节课的学习中，你还有什么不明白的？●本节课后，你还想继续探究什么？让我们“带着问题走进课堂，带着思考走出课堂”．。

函数奇偶性经典例题

函数的奇偶性一、典型例题例1 判断下列函数的奇偶性（1）1()(1)1x f x x x +=-- （2）2lg(1)()|2|2x f x x -=--（3）22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ （4）22()11f x x x =--（5）()11f x x x =-+- （6）2211()11x x f x x x ++-=+++例2 已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3()(1)f x x x =+，则()f x 的解析式为________________.例 3 ①已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是________________.②已知()f x 是奇函数,满足()()2f x f x += ,当[]0,1x ∈时,()21xf x =- ,则=)2(f _____,21log 24f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_________ .例 4 ()f x 和()g x 的定义域都是非零实数，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且21()()1f xg x x x +=-+，求()()f x g x 的取值范围。

二、课后练习1、判断下列函数的奇偶性（1）x xy a a -=+ （2）x xy a a-=-（3）x x x xa a y a a ---=+ （4）11x x a y a -=+（5）1log 1a x y x-=+ （6）2log (1)a y x x =+-（7）若0,1,()a a F x >≠是一个奇函数，讨论11()()12xG x F x a ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的奇偶性。

2、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=（）(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 3、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f4、已知3()sin 4f x a x b x =++（,a b 为实数）且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____5、函数1(1)1y x x =≠±-可以表示成一个偶函数()f x 与一个奇函数()g x 的和，则()f x =____6、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2)1()(-=x x f ;若当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为( ) A.1 B. 21 C. 31 D. 43。

高中数学函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析

函数奇偶性知识点归纳考点分析及经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：是偶函数；奇函数；4、等价性：；；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。

()f x x ()()f x f x -=()f x ()f x x ()()f x f x -=-()f x x )()(x f x f =-⇔)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f )()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f y y y即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

指数型函数的奇偶性及应用举例

ʏ田发胜我们知道,指数函数f (x )=a x(a >0,a ʂ1)本身没有奇偶性,但通过运算后,许多指数型函数就有了奇偶性,此时利用相应的奇偶性处理问题,就可以提高解题效率㊂下面介绍一些具有奇偶性的指数型的函数,并举例说明其应用㊂函数f (x )=a x +a -x(a >0,a ʂ1)在R 上是偶函数;函数f (x )=a x -a -x(a >0,a ʂ1)在R 上是奇函数;f (x )=a x-a-xa x +a-x =a x-1a x a x+1ax=a 2x-1a 2x+1(a >0,a ʂ1)在R 上是奇函数;f (x )=a x+a -xa x -a -x =a 2x+1a 2x-1(a >0,a ʂ1)在(-ɕ,0)ɣ(0,+ɕ)上是奇函数㊂这几个函数的奇偶性可利用函数奇偶性的定义给出证明,请同学们自己完成㊂例1 已知函数f (x )=3x-3-x3x +3-x +2,若f (a )+f (a -2)>4,求实数a 的取值范围㊂解:令F (x )=f (x )-2=3x-3-x3x +3-x,易知F (x )是奇函数,且是增函数㊂f (a )+f (a -2)>4,即f (a )-2>-f (a -2)-2 ,也即F (a )>-F (a -2)㊂由F (x )是奇函数,可得F (a )>F (2-a )㊂由F (x )是增函数,可得a >2-a ,所以a >1,即实数a ɪ(1,+ɕ)㊂评注:通过构造函数,适时的转化,利用其奇偶性㊁单调性,使得问题轻松获解㊂例2 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )+g (x )=a x -a -x+2(a >0,a ʂ1),若g (2)=a ,则f (2)=㊂解:由条件得f (2)+g (2)=a 2-a-2+2,所以f (-2)+g (-2)=a -2-a 2+2㊂由奇偶性得-f (2)+g (2)=a -2-a 2+2㊂由此解得g (2)=2,f (2)=a 2-a -2㊂所以a =2,f (2)=22-2-2=154㊂评注:仔细观察题目的结构,利用f (2)=a 2-a -2是解题的关键㊂例3 函数f (x )=e x-e-xx2的图像大致形状为( )㊂解:易知此函数为奇函数,其图像关于坐标原点对称,排除A ㊂当x >0时,f (x )>0,排除D ㊂当x ң+ɕ时,f (x )ң+ɕ,排除C ㊂应选B ㊂评注:在给出函数解析式,选择与之对应的图像时,函数的奇偶性是需要考虑的重要因素㊂例4 已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e-x +1)有唯一零点,则a =㊂解:函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)的零点,即方程x 2-2x =-a (e x -1+e-x +1)的根,亦即函数y =x 2-2x 与函数y =-a (e x -1+e -x +1)的交点的横坐标㊂函数y =x 2-2x 的图像关于直线x =1对称,其顶点坐标为(1,-1),而函数y =-a (ex -1+e-x +1)是由偶函数y =-a (e x+e -x)向右平移1个单位得到的,其图像也关于直线x =1对称,所以它们有唯一的交点时,一定相交于点(1,-1),所以-1=-a (e1-1+e-1+1)=-2a ,即a =12㊂评注:题中方程的根是求不出来的,从而转化为相应两个函数的交点㊂y =-a (ex -1+e-x +1)是由偶函数y =-a (e x +e -x)向右平移1个单位得到的,这是解题的关键㊂作者单位:山东省淄博四中(责任编辑郭正华)21 知识结构与拓展高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

函数奇偶性的六类经典题型

奇偶性类型一：判断奇偶性[例1] 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且∴奇函数（2），关于原点对称∴奇函数（3），关于原点对称∴既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶（5）且，关于原点对称∴为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，∴当x<0时，－x>0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －1 2.求函数的解析式（1）为R 上奇函数，时，，解：时，∴∴ （2）为R 上偶函数，时，解：时，∴类型三：根据奇偶性求参数1.若函数f(x)= xln （2a x +a=【解题指南】f(x)= xln （x+2a x +2ln()y x a x =+是奇函数，利用()()0f x f x -+=确定a 的值.【解析】由题知2ln()y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x ++-+=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 答案：1.2.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝______.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－13.已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( )A.17 B ．－1 C ．1D ．7解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.4.若函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝______. （特殊值法）解析：由题意知，函数f(x)＝2x －|x ＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a ＝0. 答案：05.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ≤0，ax 2＋bx ， x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.（待定系数法）解析：当x >0时，－x <0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以x 2－x ＝－ax 2－bx ，从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0. 答案：06.（1），为何值时，为奇函数；（2）为何值时，为偶函数。

奇偶性与单调性及典型例题

奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考察内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场(★★★★)设a>0(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.案例探究［例1］函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)(y)(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：此题对思维能力要求较高，如果"赋值"不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)(y)(),令0,得f(0)=0,令－x,得f(x)(－x)()(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,那么f(x2)－f(x1)(x2)－f(－x1)()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a21)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数()的单调递减区间.★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：此题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过此题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x1<x2,那么－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)(x2)(－x1)(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.由f(2a21)<f(3a2－2a+1)得：2a21>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函数()的单调减区间是［，+∞］结合0<a<3,得函数()的单调递减区间为［，3).锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性假设为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.假设为抽象函数，在依托定义的根底上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的"磁场"及"训练"认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握根本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决根本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)以下函数中的奇函数是( )(x)=(x－1) (x)=(x)= (x)=2.(★★★★★)函数f(x)=的图象( )二、填空题3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，那么(1|)的一个单调递减区间是.4.(★★★★★)假设函数f(x)32满足f(0)(x1)(x2)=0 (0<x1<x2),且在［x2∞上单调递增，那么b的取值范围是.三、解答题5.(★★★★)函数f(x) (a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；()存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.(★★★★★)函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f()(m)(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)(－x),即.整理，得(a －)(－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴1(2)证法一：设0＜x1＜x2,那么f(x1)－f(x2)=由x1>02>02>x1,∴>0,1－e＜0,∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0∞)上是增函数证法二：由f(x)－x，得f′(x)－e－－x·(e2x－1).当x ∈(0∞)时，e－x>02x－1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f(－x)=－f(x)(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令1|,那么t在(－∞,－1上递减，又(x)在R 上单调递增，∴(1|)在(－∞,－1上递减.答案：(－∞,－14.解析：∵f(0)(x1)(x2)=0,∴f(0)0(x)(x－x1)(x－x2)3－a(x12)x21x2x，∴－a(x12),又f(x)在［x2∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x12>0,∴－a(x12)＜0.答案：(－∞,0〕三、5.证明：(1〕设－1＜x1＜x2＜+∞,那么x2－x1>0, >1且>0,∴>0,又x1+1>02+1>0∴>0,于是f(x2)－f(x1) >0∴f(x)在(－1，+∞〕上为递增函数.(2〕证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,那么且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,假设－1＜x0＜0,那么＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，假设x0＜－1,那么>0, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x≠0,∴f(x)=,设1＜x1＜x2＜+∞,那么.∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞〕上是减函数.(此题也可用求导方法解决〕7.证明：(1〕不妨令1－x2,那么f(－x)(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2〕要证f(4a)(x),可先计算f()(2a).∵f()［x－(－a)］=.∴f(4a)［(2a)+2a］(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1〕证明：设x1＜x2,那么x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)［(x2－x1)1］－f(x1)(x2－x1)(x1)－1－f(x1)(x2－x1)－1(x2－x1)(－)－1［(x2－x1)－］>0, ∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=21.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握根本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［2(x2+54)］≥0.●案例探究［例1］奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)(x2－3)<0,设不等式解集为A，∪{1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：此题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的"f"号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去"f"号，转化为不等式，利用数形结合进展集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即{2<x<},∴∪{1≤x≤}={1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)(1)=－4.［例2］奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(2θ－3)(4m－2θ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？假设存在，求出符合条件的所有实数m的范围，假设不存在，说明理由.命题意图：此题属于探索性问题，主要考察考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(2θ－3)>f(2θ－4m),即2θ－3>2θ－4m,即2θ－θ+2m－2>0.设θ,那么问题等价地转化为函数g(t)2－2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2,∴4－2<m≤2.当>1,即m>2时，g(1)－1>0m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为根本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞∞)上的奇函数，f(2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x),那么f(7.5)等于( )A.0.52.(★★★★)定义域为(－1，1)的奇函数(x)又是减函数，且f(a－3)(9－a2)<0,那么a的取值范围是( )A.(2，3)B.(3，)C.(2，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)假设f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,那么(x)<0的解集为.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(2)=－f(x),试比拟f()()(1)的大小关系.三、解答题5.(★★★★★)f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈,解不等式f－1(x)>.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－)≤f(－2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)函数(x)= (∈>0>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［2(x2+54)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0〕上为减函数且f(－2)(2)=0∴不等式可化为2(x2+54)≥2①或2(x2+54)≤－2②由①得x2+54≥4∴x≤－5或x≥0③由②得0＜x2+54≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、 1.解析：f(7.5)(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)(3.5)(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1〕上的奇函数又是减函数，且f(a－3)(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0〕∪(0，3〕4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f()=－f(－)()=－f(－)(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>－>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0〕上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)(x1)(－x2)(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1〕1.(2)f(x)= (x∈R)f－-1(x)2 (－1＜x＜1.(3)由2>22(1－x)＜2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{1－k＜x＜1;当k≥2时，不等式解集为{－1＜x＜1.7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［,3］∪{}.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴0,∵a>0>0>0,∴f(x)=≥2，当且仅当时等号成立，于是2=2,∴2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－52＜0,解得＜b＜2，又b ∈N,∴1,∴1,∴f(x).(2)设存在一点(x00)在(x)的图象上，并且关于(1，0〕的对称点(2－x0,－y0)也在(x)图象上，那么消去y0得x02－2x0－1=00=1±.∴(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握根本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［2(x2+54)］≥0.●案例探究［例1］奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)(x2－3)<0,设不等式解集为A，∪{1≤x≤ },求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：此题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f〞号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f〞号，转化为不等式，利用数形结合进展集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x< ,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x< ,即{2<x< },∴∪{1≤x≤ }={1≤x< },又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－ )2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)(1)=－4.［例2］奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(2θ－3)(4m－2θ)>f(0)对所有θ∈［0, ］都成立？假设存在，求出符合条件的所有实数m的范围，假设不存在，说明理由.命题意图：此题属于探索性问题，主要考察考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(2θ－3)>f(2θ－4m),即2θ－3>2θ－4m,即2θ－θ+2m－2>0.设θ,那么问题等价地转化为函数g(t)2－2m－2=(t－ )2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当 <0,即m<0时，g(0)=2m－2>0 m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－ +2m－2>04－2 <m<4+2 ,∴4－2 <m≤2.当 >1,即m>2时，g(1)－1>0 m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 .●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为根本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞∞)上的奇函数，f(2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x),那么f(7.5)等于( )A.0.5B.－0.52.(★★★★)定义域为(－1，1)的奇函数(x)又是减函数，且f(a－3)(9－a2)<0,那么a的取值范围是( )A.(2 ，3)B.(3， )C.(2 ，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)假设f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,那么(x)<0的解集为.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(2)=－f(x),试比拟f( )( )(1)的大小关系.三、解答题5.(★★★★★)f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈,解不等式f－1(x)> .7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－)≤f( － 2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)函数(x)= (∈>0>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)< .(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［2(x2+54)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0〕上为减函数且f(－2)(2)=0∴不等式可化为2(x2+54)≥2①或2(x2+54)≤－2 ②由①得x2+54≥4∴x≤－5或x≥0③由②得0＜x2+54≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、 1.解析：f(7.5)(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)(3.5)(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1〕上的奇函数又是减函数，且f(a－3)(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2 ,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0〕∪(0，3〕4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f( )=－f(－ )( )=－f(－ )(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－ >－ >－1.∴f(－ )>f(－ )>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).答案：f( )＜f( )＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0〕上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)(x1)(－x2)(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1〕1.(2)f(x)= (x∈R) f－-1(x)2 (－1＜x＜1 .(3)由2 >2 2(1－x)＜2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{1－k＜x＜1 ;当k≥2时，不等式解集为{－1＜x＜1 .7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［ ,3］∪{ }.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴0,∵a>0>0>0,∴f(x)= ≥2 ，当且仅当时等号成立，于是2 =2,∴2,由f(1)＜得＜即＜ ,∴2b2－52＜0,解得＜b＜2，又b ∈N,∴1,∴1,∴f(x) .(2)设存在一点(x00)在(x)的图象上，并且关于(1，0〕的对称点(2－x0,－y0)也在(x)图象上，那么消去y0得x02－2x0－1=00=1± .∴(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1－ ,－2 )关于(1，0)对称.。

谈高中函数中的奇偶性和对称性

谈高中函数中的奇偶性和对称性
高中函数中的奇偶性和对称性是基本的概念，它们在数学分析中被广泛使用。

下面我将详细介绍奇偶性和对称性，并给出一些例子：
一、奇偶性
1. 定义：奇偶性指函数图像围绕其中心(原点)对称，若函数关于原点对称，则称其具有奇偶性。

2. 表示方法： $$f(-x)=f(x)\text{ 即成对函数 }$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=-x$
二、对称性
1. 定义：对称性指函数图像沿某条直线对称，若函数关于这一条直线对称，则称其具有对称性。

2. 表示方法： $$f(x)=-f(x-a)\text{ 其中$a$是平移量}$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=sin(x)$。

综上，奇偶性和对称性是高中数学中非常重要的概念，它们可以帮助我们有效地进行数学分析，提高解题速度和效率。

原创_常见函数的奇偶性的判断与证明(超经典)

讲义：常见奇函数与偶函数的分类与判定一、常见奇函数与偶函数的分类：类型一：奇数次方实例f(x)＝x n，(n为奇数)是奇函数x1，x3，x5，x7，x9，x11，x13，x15，x17，x19，x21，x23，x25，x27，……类型二：偶数次方实例f(x)＝x n，(n为偶数)是偶函数x2，x4，x6，x8，x10，x12，x14，x16，x18，x20，x22，x24，x26，x28，……类型三：奇数次方根实例f(x)＝n x，(n为奇数)是偶函数3x，5x，7x，9x，11x，13x，15x，17x，19x，21x，23x，25x，27x，29x，31x，……二、函数奇偶性的合成运算：法则一：1f(x)与f(x)的奇偶性相同.文字语言：奇函数的倒数还是奇函数，偶函数的倒数还是偶函数.实例符号语言：1f(x)与f(x)的奇偶性相同.1x，1x3，1x5，1x7，1x9，1x11，1x13，1x15，……都是奇函数. 1x2，1x4，1x6，1x8，1x10，1x12，1x14，1x16，……都是偶函数.法则二：k·f(x)(k≠0)与f(x)的奇偶性相同.文字语言：将一个函数乘一个非零实数，其奇偶性不变.实例符号语言：k·f(x)(k≠0)与f(x)的奇偶性相同.x3与2x3,-5x3的奇偶性相同，都是奇函数；x2与4x2,-7x2的奇偶性相同，都是奇函数；法则三：加减法则.文字语言：奇±奇＝奇偶±偶＝偶实例符号语言：f(x)，g(x)都是奇函数，则f(x)±g(x)也是奇函数f(x)＝x3＋2x，g(x)＝1x＋2x5-5x7都是奇函数；符号语言：f(x)，g(x)都是偶函数，则f(x)±g(x)也是偶函数f(x)＝x4＋2x2，g(x)＝1x2＋2x2-5x6都是奇函数；归纳：同性相加减，奇偶性不变.法则四：乘除法则.文字语言实例奇×奇＝奇f(x)，g(x)都是奇函数，则f(x)×g(x)，f(x)g(x)都是偶函数f(x)＝x 3·1x ，g(x)＝2x 5-5x 7x都是偶函数；偶×偶＝偶f(x)，g(x)都是偶函数，则f(x)×g(x)，f(x)g(x)都是偶函数f(x)＝x 4＋2|x|，g(x)＝2x 2-5x 6|x|都是偶函数；奇×偶＝奇f(x)，g(x)一奇一偶，则f(x)×g(x)，f(x)g(x)都是奇函数f(x)＝x 3·|x|，g(x)＝2x 5-5x 7x 2都是奇函数；归纳：同性相乘得偶，异性相乘得奇.三、一些常见的奇函数、偶函数的判定及其证明（1）f(x)＝|x|是偶函数.证明一：∵函数f(x)＝|x|的定义域为实数集R ，关于原点对称．又∵f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，∴函数f(x)＝|x|是偶函数．证明二：∵函数f(x)＝|x|的图像关于Y 轴对称；∴f(x)＝|x|是偶函数.（2）f(x)＝|x －3|＋|x ＋3|是偶函数.证明：∵函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称．又∵f(－x)＝|－x －3|＋|－x ＋3|＝|x ＋3|＋|x －3|＝f(x)，∴函数f(x)＝|x －3|＋|x ＋3|是偶函数．归纳：形如f(x)＝|x －a|＋|x ＋a|的函数都是偶函数.（3）f(x)＝x 是奇函数.方法一：定义法.∵函数f(x)＝x 的定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，又∵f(－x)＝－x ＝－f(x)，∴f(x)＝x 是奇函数.方法二：图像法.∵函数f(x)＝x 的图像关于原点对称，∴f(x)＝x 是奇函数.方法三：特殊值验证法（仅适用于选填题）.∵函数f(x)＝x 的定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，又∵f(1)＝1f(－1)＝－f(－1)＝－f(1)，符合f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x 是奇函数.（4）f(x)＝1x 是奇函数.判定方法一：定义法.∵函数f(x)＝1x 的定义域(－∞,0)∪(0，＋∞)关于原点对称；又∵f(－x)＝1－x＝－1x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.判定方法二：图像法.∵函数f(x)＝x 的图像关于原点对称，∴f(x)＝x 是奇函数.判定方法三：特殊值验证法（仅适用于选填题）.∵函数f(x)＝x 的定义域(－∞,0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又∵f(1)＝1f(－1)＝－f(－1)＝－f(1)，符合f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x 是奇函数.（5）f(x)＝x 2＋2是偶函数.证明：∵函数f(x)＝x 2＋2的定义域R 关于原点对称；又∵f(－x)＝(－x)2＋2＝x 2＋2＝f(x)，∴f(x)是偶函数.（6）f(x)＝x 3(x ∈(－1,1))是奇函数.证明：∵函数f(x)＝x 3的定义域(－1,1)关于原点对称；又∵f(－x)＝(－x)3＝－x 3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.（7）f(x)＝x 3(x ∈(－1,1))是奇函数.证明：∵函数f(x)＝x 3的定义域(－1,1)关于原点对称；又∵f(－x)＝(－x)3＝－x 3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.（8）f(x)＝1x 是奇函数.判定方法一：定义法.∵函数f(x)＝1x 的定义域(－∞,0)∪(0，＋∞)关于原点对称；又∵f(－x)＝1－x＝－1x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.判定方法二：合成法.∵y ＝x 是奇函数，∴f(x)＝1x 也是奇函数.f(x)与1f(x)具有相同的奇偶性.（9）f(x)＝3x 是奇函数.证明：∵函数f(x)＝3x 的定义域(－∞,＋∞)关于原点对称；又∵f(－x)＝3－x ＝－3x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.（10）f(x)＝－x 3(x ∈(－1,1))是奇函数.证明：方法一：定义法.∵函数f(x)＝x 3的定义域(－1,1)关于原点对称；又∵f(－x)＝－(－x)3＝x 3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.方法二：合成法.∵y ＝x 是奇函数，∴f(x)＝1x也是奇函数.f(x)与－f(x)具有相同的奇偶性.（11）f(x)＝1－x2|x＋3|－3是奇函数.证明：－x2≥0①＋3|－3≠0②由①得－1≤x≤1，那么x＋3＞0，则|x＋3|=x＋3,从而分母|x＋3|－3＝x＋3－3＝x，则f(x)＝1－x2x，定义域为[－∞，0)∪(0，＋∞]，关于原点对称.又∵f(－x)＝1－(－x)2－x＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.（12）f(x)2＋2，x＞0x2－2，x＜0是奇函数.证明：方法一.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；①当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)．②∴函数f(x)2＋2，x＞0x2－2，x＜0是奇函数．方法二：特殊值验证法（仅适用于选填题）.∵函数f(x)＝x的定义域(－∞,0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又∵f(1)＝12＋2＝3f(－1)＝－(－1)2＋2＝－f(－1)＝－f(1)，符合f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x是奇函数.（13）f(x)＝－x2＋1是偶函数.证明：方法一：定义法.∵函数f(x)＝－x2＋1的定义域为R，关于原点对称，又∵f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，∴y＝－x2＋1是偶函数．方法二：合成法.∵x2是偶函数，那么－x2也是偶函数f(x)与－f(x)具有相同的奇偶性，又∵1也是偶函数，∴f(x)＝－x2＋1是偶函数.（14）f(x)＝1－x 2x －1是非奇非偶函数.证明：∵函数f(x)＝1－x 2x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，∴函数f(x)＝1－x 2x －1是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（15）函数y ＝2－x 是非奇非偶函数.证明：∵函数y ＝2－x 的定义域是(－∞，2]，不关于原点对称，∴函数y ＝2－x 是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（16）函数y ＝1x －4是非奇非偶函数.证明：∵函数y ＝1x －4的定义域是(－∞，4)∪(4，＋∞)，不关于原点对称，∴函数y ＝1x －4是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（17）函数y ＝（x －1）2x －1是非奇非偶函数.证明：∵函数y ＝（x －1）2x －1的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，∴函数y ＝（x －1）2x －1是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（18）函数y ＝x 2x －2是非奇非偶函数.证明：∵函数y ＝x 2x －2的定义域是(－∞，2)∪(2，＋∞)，不关于原点对称，∴函数y ＝x 2x －2是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（19）f(x)＝x 3＋3x ＋1x(x ∈(－1,1))是奇函数.证明：方法一：定义法.∵函数f(x)＝x 3＋3x ＋1x 的定义域(－1,1)关于原点对称；又∵f(－x)＝－(－x)3＋3－x ＋1－x ＝－(x 3＋3x ＋1x )＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.方法二：合成法.∵x 3，3x ，1x 都是奇函数，∴f(x)＝x 3＋3x ＋1x 也是奇函数.奇＋奇＝奇.（20）f(x)＝－x ＋1x(x ∈(－1,1))是奇函数.证明：方法一：定义法.∵函数f(x)＝－x ＋1x 的定义域(－1,1)关于原点对称；又∵f(－x)＝－(－x)＋1－x ＝x －1x ＝－(－x ＋1x )＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.方法二：合成法.∵－x ，1x都是奇函数，∴f(x)＝－x ＋1x (x ∈(－1,1))也是奇函数.奇＋奇＝奇.（21）f(x)＝2x 2＋4x是奇函数.证明：方法一：定义法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(－x)＝2(－x )2＋4－x ＝－2x 2＋4x ＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．方法二：合成法.∵2x 2＋4是偶函数，x 是奇函数，∴f(x)＝2x 2＋4x 是奇函数.奇×偶=奇，奇÷偶=奇.（22）f(x)＝2x 2＋4|x|是偶函数.证明：方法一：定义法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(－x)＝2(－x )2＋4|－x |＝2x 2＋4x f(x)，∴函数f(x)是奇函数．方法二：合成法.∵2x 2＋4是偶函数，|x|是奇函数，∴f(x)＝2x 2＋4|x|是奇函数.偶×偶=偶，偶÷偶=偶.（23）f(x)＝2x 3＋4xx是偶函数.证明：方法一：定义法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(－x)＝2(－x )3＋4×(－x )－x ＝－2x 3－4－x ＝2x 3＋4xx ＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．方法二：合成法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵2x 3，4x 都是奇函数，则2x 3＋4x 也是奇函数，又∵x 是奇函数，∴f(x)＝2x 3＋4xx 是偶函数.同性相乘除得偶，即：奇×奇=偶，奇÷奇=偶.（24）f(x)＝2x 2－x 是非奇非偶函数.证明：方法一：定义法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(－x)＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x2x 2＋x ≠2x 2－x 且2x 2＋x ≠－(2x 2－x )，f(x)≠f(－x)且f(x)≠－f(x)，∴函数f(x)是偶函数．方法二：合成法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵2x 2是偶函数，又∵x 是奇函数，∴f(x)＝2x2－x是偶函数.奇±偶=非奇非偶函数.（25）函数y＝x2＋x是非奇非偶函数.证明：∵函数y＝x2＋x的定义域是[0，＋∞)，不关于原点对称，∴函数y＝x2＋x是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（26）f(x)＝5x4－4x2＋7是偶函数.证明：方法一：定义法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(－x)＝f(x)＝5×(－x)4－4×(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．方法二：合成法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵5x4，4x2，7都是偶函数，∴f(x)＝5x4－4x2＋7是偶函数.偶±偶=偶.。

函数奇偶性的典型例题

函数奇偶性的典型例题[例1]设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1-x)，当-1≤x≤0时， f (x)=-21x ，则f (8.6) = _________.[解析]∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴x = 0是y =f(x)对称轴. 又∵f(1+x)=f(1-x)，∴x=1也是y=f(x)对称轴. 故y=f(x)是以2为周期的周期函数， ∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3.[答案]0.3苏州进步网: szjjedu 整理[例2]定义在(-1，1)上的函数f(x)是奇函数，并且在(-1，1)上f(x)是减函数，求满足条件f(1-a)+f(1-a 2)＜0的a 取值范围.[解析]∵f(x)的定义域是(-1，1)，∴-1＜1-a ＜1①，-1＜1-a 2＜1 ②. 又∵f(x)是奇函数，∴-f(1-a 2)=f[-(1-a 2)]=f(a 2-1). 又∵f(1-a)+f(1-a 2)＜0，有f(1-a)＜-f(1-a 2)=f(a 2-1). ∵f(x)在(-1，1)是减函数，∴1-a ＞a 2-1③由①②③组成不等式组：221111110111a a a a a -<-<⎧⎪-<-<<<⎨⎪->-⎩得∴所求a 的范围为：0＜a ＜1. [答案]0＜a ＜1[例3]定义在区间(-∞，+∞)上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在[0，+∞)上的图象与f(x)的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是( )①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)A.①④B.②③C.①③D.②④[解析]本题可采用三种解法：解法一：直接根据奇、偶函数的定义：由f(x)是奇函数得：f(-a)=-f(a)，f(-b)=-f(b)，g(a)=f(a)，g(b)=f(b)，g(-a)=g(a)，g(-b)=g(b)∴以上四个不等式分别可简化为①f(b)＞0；②f(b)＜0；③f(a)＞0；④f(a)＜0苏州进步网: szjjedu 整理又∵f(x)既是奇函数又是增函数，且a＞b＞0，故f(a)＞f(b)＞f(0)=0，从而以上不等式中①③成立.故选C.解法二：结合函数图象由如图(下图)，分析得：f(a)=g(a)=g(-a)=-f(-a)，f(b)=g(b)=g(-b)=-f(-b)，从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选C.解法三：利用间接法，即构造满足题意的两个模型函数：f(x)=x，g(x)=x，取特殊值a，b.如：a=2，b=1，可验证正确的是①与③，故选C.[答案]C[点拨](1)本题考查了函数的奇偶性和单调性等性质，还考查了图象的对称性和不等式，体现了高考突出重点知识的考查及在各知识网络交汇点上出题这一观点，函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.[例4]设f(x)为定义在R 上的偶函数，当x≤-1时，y=f(x)的图象是经过点(-2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(-1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.[解析](1)当x≤-1时，设f(x)=x+b ，则∵射线过点(-2，0)， ∴0=-2+b 即b=2.∴f(x)=x+2.(2)当-1<x<1时，设f(x)=ax 2+2. ∵抛物线过点(-1，1)， ∴1=a·(-1)2+2，即a=-1，∴f(x)=-x 2+2. (3)当x≥1时，f(x)=-x+2.综上可知：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者自己完成.[答案]见解析[例5]设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时， f (x)=x ，则f (7.5) =( ) 苏州进步网: szjjedu 整理A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5[解析]∵y=f(x)是定义在R 上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心. 又∵f (x+2 )=-f(x)=f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)，∴直线x = 1是y = f (x)的对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数.∴f (7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f (0.5) =-0.5. [答案]B[例6]已知函数f(x)是定义在区间[-2，2]上的偶函数，当x ∈[0，2]时，f(x)是减函数，如果不等式f(1-m)＜f(m)成立，求实数m 的取值范围.[解析]∵f(x)在[0，2]上是减函数，在[-2，0]上是增函数，故分类可得： (1)当⎩⎨⎧≤≤-≤≤∴⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-023102012m m m m 解得m ∈∅，故此情况不存在；(2)当⎩⎨⎧≤≤≤≤-∴⎩⎨⎧≤≤≤-≤201120210m m m m 解得0≤m≤1；∵f(x)在[0，2]上为减函数，∴f(1-m)＜f(m)可转化为1-m ＞m.∴m ＜21.∴0≤m ＜21.苏州进步网: szjjedu 整理(3)当⎩⎨⎧≤≤-≤≤-∴⎩⎨⎧≤≤-≤-≤021102210m m m m 解得-1≤m≤0；∵f(1-m)=f(m-1)，∴f(1-m)＜f(m)可转化为f(m-1)＜f(m). ∵f(x)在[-2，0]上是增函数，∴m-1＜m .∴-1≤m≤0.(4)当⎩⎨⎧≤≤≤≤∴⎩⎨⎧≤≤≤-≤-203120012m m m m 解得1≤m≤2.∴0≤m -1≤1.∴f(1-m)=f(m-1).∴f(1-m)＜f(m)可转化为f(m-1)＜f(m). ∵f(x)在[0，2]上是减函数，∴m-1＞m 无解.综上所述，满足条件的实数m 的取值范围为-1≤m ＜21.[答案]-1≤m ＜21[例7]设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(-∞，0)内单调递增，f(2a 2+a+1)<f(3a 2-2a+1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132+-a a 的单调递减区间.[解析]设0<x 1<x 2，则-x 2<-x 1<0，∵f(x)在区间(-∞，0)内单调递增， ∴f(-x 2)<f(-x 1).∵f(x)为偶函数，∴f(-x 2)=f(x 2)，f(-x 1)=f(x 1). ∴f(x 2)<f(x 1). ∴f(x)在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f(2a 2+a+1)<f(3a 2-2a+1)得：2a 2+a+1>3a 2-2a+1.解得0<a<3. 又a 2-3a+1=(a-23)2-45.∴函数y=(21)132+-a a 的单调减区间是[23，+∞].结合0<a<3，得函数y=(23)132+-a a 的单调递减区间为[23，3].[答案][23，3] 苏州进步网: szjjedu 整理[例8]已知函数y=f(x)是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为-5.(1)证明：f(1)+f(4)=0；(2)试求y=f(x)，x ∈[1，4]的解析式； (3)试求y=f(x)在[4，9]上的解析式.[解析](1)证明：∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4-5)=f(-1)，又y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=-f(-1)=-f(4).∴f(1)+f(4)=0.(2)当x ∈[1，4]时，由题意，可设f(x)=a(x-2)2-5(a≠0)，由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0，解得a=2，∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).(3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=-f(-0)，∴f(0)=0，又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1)，∵f(1)=2(1-2)2-5=-3，又f(1)=k·1=k ，∴k=-3.∴当0≤x≤1时，f(x)=-3x ，当-1≤x ＜0时，f(x)=-3x ，当4≤x≤6时， -1≤x -5≤1，∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15，当6＜x≤9时，1＜x-5≤4，f(x)= f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.∴f(x)=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64(1532x x x x . [答案]见解析苏州进步网: szjjedu 整理[例9])(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是( )A.),3()0,3(+∞⋃-B.)3,0()0,3(⋃-C.),3()3,(+∞⋃--∞D.)3,0()3,(⋃--∞[解析]结合新知识导数的应用与函数的性质在其交汇处知识重构，画出函数草图.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(x)g(x)是奇函数.由题设可知当x<0时，f(x)g(x)的导数值大于0，故此时函数f(x)g(x)为增函数，结合已知条件及奇函数的图象关于原点对称，可画出函数草图，选出正确答案为D.[答案]D[例10]设奇函数f(x)的定义域为[-5，5].若当x ∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为_________.苏州进步网: szjjedu 整理[解析]根椐函数的奇偶性作出图象.由图象易知不等式的解集是(-2，0)∪(2，5][答案](-2，0)∪(2，5][例11]已知函数y= f (x)在(0，2)上是增函数，y= f(x+2)是偶函数，则下列结论正确的是( )A.)27()25()1(f f f <<B.)25()1()27(f f f <<C.)1()25()27(f f f <<D.)27()1()25(f f f <<[解析]y= f(x+2)是偶函数，f(x)关于x=2对称，f(x)在(0，2)上是增函数，如图所示，由图可知距x=2越近，函数值越大，所以答案选B.[答案]B[例12]若奇函数f(x)在区间[3，7]上的最小值是5，那么f(x)在区间[-7，-3]上( ).A.最小值是5B.最小值是-５C.最大值是-５D.最大值是5[解析]用定义去求，可设x 为[-7，-3]上任意一个值，则-x ∈[3，7]，由题意f(-x)≥５，由于f(x)是奇函数，所以有f(-x)=-f(x)，则-f(x)≥５，得f(x)≤-５，故，-５为f(x)在[-7，-3]上的最大值，故选C.[答案]C苏州进步网: szjjedu 整理[例13]解方程：2)1x(222221)1x(1x1x4x2-=++++++[解析]两边取以2为底的对数得x)1xx(log)x(f)1x()1)1x(1x(logx2)1x4x2(log1x2x)1)1x(1x(log)1x4x2(log)1x(1)1x(1x1x4x2log2222222222222222222222+++=++++++=++++-=++++-++-=++++++构造函数即即于是f(2x)=f(x2+1)易证f(x)为奇函数，且是R上的增函数，所以2x=x2+1.解得x=1.[答案]{}1x x=[点拨]本题构造函数，巧妙地运用函数奇偶性和单调性来解决方程问题.苏州进步网: szjjedu 整理[例14]函数y=f (x) (x≠0)是奇函数，且当x∈R+时是增函数，若f (1)=0，求不等式0)]21([<-xxf的解集.[解析]由函数y=f(x)是奇函数且当x∈R+时是增函数，可得y=f(x)的图象形状大致如图所示，f (-1)=f (1)=0.①若0)21(>-xx时，∵)1()]21([fxxf<-，∴0<1)21(<-xx.解得02171<<-x 或217121+<<x . ②若0)21(<-x x 时，)1()]21([-<-f x x f ，1)21(-<-x x ，解得x ∈Φ. 所以，02171<<-x 或217121+<<x . [答案]02171<<-x 或217121+<<x 苏州进步网: szjjedu 整理。

高三数学函数的奇偶性

1 (3) a n f (2n )，求 a n ? 2n
4、设函数f(x)定义域R， f(x+4)=f(x),当x在[4,6]时， x f(x)=2 +1.求f(x)在区间[-2，0]上的表达式。
课堂小结：
1、奇偶性的判断
2、奇偶性的运用 3、数形结合、正负相对
；护加宜护加宜；
2、设f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，f(x)与g(x)的图象关于x=1对成，且x∈[2,3] ，g(x)=a(x-2)-2(x-2)3(a 为常数)，求f(x)的解析式。
平移或对称
f(x)=f(2-x) 3、设f(x)是偶函数，且关于直线 x=1对称，任意x1,x2∈[0，1/2]，总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) 且f(1)=a>0 (1)求f(1/2),f(1/4), (2)证明：f(x)是周期函数，
二、运用：关注一半 ①对称性研究图象 ②函数值 ③单调性（奇不变偶变）
|x| 画出y=(1/2)
、y=-x/(1+|x|)的图象,并研究其值域、单调区间。
重要思想：数形结合
例4：若奇函数f(x)在［－3，－2］上是减函数，且最大值为6，则f(x) 在［2,3］上 A.是减函数且最大值－6 B.是减函数且最小值－6 C.是增函数且最大值－6 D.是增函数且最小值－6 变：已知函数f(x)是偶函数，y=f(x-2) 在[0,2]上是单调减函数，比较
变：已知f(x)为奇数， g(x)=f(x-2)为奇数，且f(3)=5, 则f(1997)=?
综合题：
1、(1)若奇函数f(x)在定义域(-1,1) 上是减函数，求满足
2 f(1-m)+f(1-m )<0的实数

根据函数的奇偶性知识点,给出10个例子。

根据函数的奇偶性知识点，给出10个例子。

根据函数的奇偶性知识点，给出10个例子下面是根据函数的奇偶性知识点给出的10个例子：1. 函数 y = x^2 是一个偶函数，因为对于任意 x，有 y = (-x)^2 = x^2，图像关于 y 轴对称。

2. 函数 y = x^3 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = -x^3 = -(x^3)，图像关于原点对称。

3. 函数 y = sin(x) 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = sin(-x) = -sin(x)，图像关于原点对称。

4. 函数 y = cos(x) 是一个偶函数，因为对于任意 x，有 y = cos(-x) = cos(x)，图像关于 y 轴对称。

5. 函数 y = tan(x) 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = tan(-x) = -tan(x)，图像关于原点对称。

6. 函数 y = e^x 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = e^(-x) = 1/e^x，图像关于原点对称。

7. 函数 y = ln(x) 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = ln(-x) = ln(x)，图像关于 y 轴对称。

8. 函数 y = |x| 是一个偶函数，因为对于任意 x，有 y = |-x| = |x|，图像关于 y 轴对称。

9. 函数 y = sqrt(x) 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y =sqrt(-x) = sqrt(x)，图像关于原点对称。

10. 函数 y = 1/x 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = 1/(-x)= -1/x，图像关于原点对称。

这些函数的奇偶性特点可以通过对其自变量取相反数来验证，如果等式成立，则该函数具有奇函数特点；如果等式成立且符号不变，则该函数具有偶函数特点。

希望以上例子可以帮助您理解函数的奇偶性知识点。

函数的奇偶性典型例题

函数的奇偶性典型例题一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。

二、函数的奇偶性的几个性质①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；③、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；④、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下：①、定义域是否关于原点对称；②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2432)(x x x f += ⑶、1)(23--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。

例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。

.)(),()()()()()(,0,0)()()(,0,0)(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。

函数的单调性和奇偶性典型例题

函数的单调性和奇偶性例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝-（2）f（x）＝（x-1）．解：（1）f（x）的定义域为R．因为f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．所以f（x）为奇函数．（2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．例3已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性．（2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论．解：因为f（x）的定义域为R，又f（-x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数．（2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．其证明：取x1＜x2＜0，f（x1）-f（x2）＝- ＝＝．因为x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1+x2＜0，x21+1＞0，x22+1＞0，得 f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反．例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F （x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．分析根据函数的增减性的定义，可以任取x1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝- ＝的正负．为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出．解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．①又∵f（x）是奇函数，∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1）②由①、②得 f（x2）＞f（x1）＞0．于是F（x1）-F（x2）＝＞0，即F（x1）＞F（x2），所以F（x）＝在（-∞，0）上是减函数．评析本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在（-∞，0）内的任意性而导致错误．避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．例5讨论函数f（x）＝（a≠0）在区间（-1，1）内的单调性．分析根据函数的单调性定义求解．解：设-1＜x1＜x2＜１，则f（x1）-f（x2）＝-＝∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，（1-x21）（1-x22）＞0于是，当a＞0时，f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）．故当a＞0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1，1）上为减函数．评析根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性．例6求证：f（x）＝x+ （k＞0）在区间（0，k］上单调递减．解：设0＜x1＜x2≤k，则f（x1）-f（x2）＝x1+ -x2-＝∵0＜x1＜x2≤k，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）＝x+ 中（0，k］上是减函数．评析函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，若要证明f（x）在［a,b］上是增函数（减函数），就必须证明对于区间［a,b］上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））类似可以证明：函数f（x）＝x+ （k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例7判断函数f（x）＝的奇偶性．分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜＝2-x．∴f（x）＝，∴f（-x）＝＝＝f（x）．且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x）＝是偶函数，不是奇函数．评析由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了．这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程．-----精心整理，希望对您有所帮助!。

函数的奇偶性-PPT精品课件

2
0
-1 1
x
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）
如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
f(x)=2x+1
f(x)=
(2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4)
思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？
x
∴f(x)为非奇非偶函数
∵ 定义域不关于原点对称
01
（1）
观察下面两组图像，它们是否也有对称性
呢？
（2）
y
-1 O
1
x
f(x)=x2
fx = x3
fx = x y
x
O
x0
x
0
f (x)1(x0) x
例如：函数f(x)=x2 ，如下：
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-2)=(-2)2=4 f(f2(-)x=)4=(-x)2=x2
f(-1)=f(1) f(-2)=f(2) f(-x)=f(x)
结论
练习: 说出下列函数的奇偶
性:
①f(x)=x4 ____偶__函__数
② f(x)= x -1 ____奇___函__数_
③ f(x)=x _____奇__函_ 数 ⑤ f(x)=x5 ____奇___函__数_
④ f(x)=x -2 ____偶__函__数__ 奇函数
⑥f(x)=x -3 _______________
0 -1 1
x
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
f(x)=0
01
奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数
02
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
课堂小结

函数的奇偶性-PPT精品课件

(2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4)
解: 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数
解: ∵定义域不关于原点对称或 ∵ f(-4)=(-4)2 =16; f(4)在定义域里没有意义. ∴f(x)为非奇非偶函数
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇
函数，有的是偶函数，也有非 y 奇非偶函数。那么有没有这样
y
（1）
（2）
-1 O 1 x
f(x)=x2
fx = x
y
-
x0 O
x0
x
fx = x3
f (x) 1 (x 0) x
例如：函数f(x)=x2 ，如下：
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-x)=(-x)2=x2
f(-1)=f(1)
f(-2)=f(2)
理解定义
f (x) x2 , x [2,4]的图像如图所示
y
-2 o
4x
能说f (x) x2 , x [2,4]为偶函数吗？
函数具有奇偶性的前提是什么？
函数的定义域关于原点对称
对于奇、偶函数定义的几点说明:
（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就是说函数f(x) 具有奇偶性。
f(-x)=f(x)
-x
x
结论:当自变量x任取定义域
中的一对相反数时,对应的
函数值相等，即f(-x) f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3 f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)

函数奇偶性典例精析

函数的奇偶性【例1】判定下列函数是否为偶函数或奇函数：（1）f （x ）=x 4；（2）f （x ）＝x 5；（3）f （x ）＝x +x1；（4）f （x ）=21x . 方法引导：（1）函数f （x ）=x 4的定义域是R .因为对于任意的x ∈R ，都有f （－x ）=（－x ）4=x 4=f （x ），所以函数f （x ）=x 4是偶函数.（2）函数f （x ）＝x 5的定义域是R .因为对于任意的x ∈R ，都有f （－x ）＝（－x ）5＝－x 5＝－f （x ），所以函数f （x ）＝x 5是奇函数.（3）函数f （x ）＝x +x1的定义域是{x |x ≠0}. 因为对于任意的x ∈R ，都有f （－x ）＝－x +x -1＝－（x +x 1）=－f （x ），所以函数f （x ）＝x +x1是奇函数. （4）函数f （x ）=21x 的定义域是{x |x ≠0}. 因为对于任意的x ∈R ，都有f （－x ）＝2)(1x -＝21x =f （x ），所以函数f （x ）=21x 是偶函数. 【例2】（1）判断下列图象是否是偶函数的图象.（1）（2）方法引导：图（1）是偶函数的图象，因为它关于y 轴对称.而图（2）当自变量取±2时，我们观察到f （2）与f （－2）并不相等，这就违背了偶函数定义中，自变量取值的任意性，即不能使函数定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ），所以该图象不是偶函数的图象.（2）判断函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-<+.0,,0,22x x x x x x 的奇偶性.方法引导：函数的定义域关于原点对称.当x ＞0时，－x ＜0，f （－x ）=x 2－x =－（x －x 2）；当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）=－x －x 2=－（x 2+x ），即f （－x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-.0),(,0),(22x x x x x x =－f （x ）.∴此函数为奇函数.【例3】设F （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，F （x ）的解析式是2x 2－x ，求F （x ）在R 上的表达式.方法引导：任取x ＜0，设P （x ，y ）是函数F （x ）图象上的一个点.由于F （x ）是奇函数，所以，其图象关于原点对称.因此P ′（－x ，－y ）必然也是F （x ）图象上的一个点.由于－x ＞0，此时P ′（－x ，－y ）必满足解析式y =2x 2－x ，即－y =2（－x ）2－（－x ）⇒y =－2x 2－x .上式就是点P （x ，y ）的坐标满足的关系式，即x ＜0时F （x ）的解析式.当x =0时，F （－0）=－F （0），即F （0）=0.所以奇函数F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-.0,2,0,0,0,222x x x x x x x 【例4】定义在（－1，1）上的函数f （x ）是奇函数，并且在（－1，1）上f （x ）是减函数，求满足条件f （1－a ）+f （1－a 2）＜0的a 的取值范围.方法引导：函数的奇偶性与单调性的综合问题需要熟练把握两个重要性质.解：∵f （x ）的定义域是（－1，1），∴－1＜1－a ＜1， ①－1＜1－a 2＜1. ②又∵f （x ）是奇函数，∴－f （1－a 2）=f ［－（1－a 2）］=f （a 2－1）.又∵f （1－a ）＋f （1－a 2）＜0，有f （1－a ）＜－f （1－a 2）=f （a 2－1）.∵f （x ）在（－1，1）上是减函数，∴1－a ＞a 2－1. ③由①②③组成不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-11,111,11122a a a a得0＜a ＜1.∴所求a 的范围为0＜a ＜1.例1判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x 2,x ∈［-1,2］;（2）f(x)=122--x x x ；（3）f （x ）=42-x +24x -；（4）f （x ）=111122+++-++x x x x . 解：（1）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x 2,x ∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数.（2）因为它的定义域为{x|x ∈R 且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=122--x x x 既不是奇函数又不是偶函数.（3）∵x 2－4≥0且4－x 2≥0，∴x ＝±2，即f （x ）的定义域是{－2，2}.∵f （2）＝0，f （－2）＝0,∴f （2）＝f （－2），f （2）＝－f （2）.∴f （－x ）＝－f （x ），且f （－x ）＝f （x ）.∴f （x ）既是奇函数也是偶函数.（4）函数的定义域是R .∵f(-x)+f(x)=111111112222+++-++++-+--+x x x x x x x x =)11)(11()1(1)1(1222222++++-+--+++-+x x x x x x x x =)11)(11(121121222222++++-+-+-++---+x x x x x x x x x x =0,∴f （－x ）＝－f （x ）.∴f （x ）是奇函数.。