三角函数辅助角公式化简(1)
辅助角公式的解说
关于辅助角公式的解说 对于辅助角公式，大家都很熟悉。
公式如下：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a 其中：ab =ϕtan 。
但是在实际运用中，最让大家感到头疼的是关于辅助角ϕ的大小确定。
下面就此公式的实际运用作如下解说。
一、辅助角使用的准备（1） 顺序：要使正弦在前，余弦在后；（2） 系数：分析好a 、b ，正弦系数为a 、余弦系数为b 。
二、象限的确定（1） 当a 、b 都是正数时，ϕ在第一象限！（2） 当a 、b 都是负数时，ϕ在第三象限！（3） 当a 是正数，b 是负数时，ϕ在第四象限！（4） 当a 是负数，b 是正数时，ϕ在第二象限！（5） 规律：x y a b ==ϕtan ，利用x 、y 的正负确定象限。
三、b a 22+的确定（系数，相当于辅助直角三角形中的斜边长） （1）b a 22+的大小不管a 、b 符号如何，b a 22+始终是正数。
（2） b a 22+的大小与a 、b 顺序无关。
（3） 1||||==b a 时，222=+b a （4） 2||||==b a 时，2222=+b a （5） 2||1||==b a ，时，522=+b a （6） 23||21||==b a ，时，122=+b a （7） 36||33||==b a ，时，122=+b a（8） 3||1||==b a ，时，222=+b a 三、ϕ角的大小确定（1）1=a b ，4πϕ=或45πϕ=（4ππ+k ）（2）1-=a b ，43πϕ=或4πϕ-=（4ππ-k ） （3）33=a b ，6πϕ=或67πϕ=（6ππ+k ） （4）33-=a b ，65πϕ=或6πϕ-=（6ππ-k ） （5）3=a b ，3πϕ=或34πϕ=（3ππ+k ） （6）3-=a b ，32πϕ=或3πϕ-=（3ππ-k ） 四、例说辅助角的运用（一）︒+︒75sin 15sin （2015年四川高考题）来分析：分析：先由诱导公式化为：︒+︒=︒+︒cos15sin1575sin 15sin ，然后直接利用辅助角公式得： 26232sin602)45sin(152cos15sin1575sin 15sin =⋅=︒⋅=︒+︒=︒+︒=︒+︒ （二）公式的灵活运用（1）直接运用辅助角公式 ︒=︒+︒=︒+︒sin502)45sin(52cos5sin5（2）化系数，利用两角和的三角函数变换︒=︒+︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒+︒sin502)45sin(525cos 45sin sin5(cos452)cos522sin522(2cos5sin5）（3）化系数，利用两角和的三角函数变换︒=︒-︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒+︒cos402)5cos(4525sin 45sin cos5(cos452)sin522cos522(2cos5sin5）（三）拓展分析︒-︒5sin cos5的思考：（1）利用辅助角公式︒=︒--=︒-︒-=︒-︒-=︒-︒sin40240sin(2)455sin(2)5cos 5(sin 5sin cos5）（2）利用辅助角公式︒=︒=︒+︒=︒+︒-=︒-︒sin402140sin(2)1355sin(25cos 5sin 5sin cos5）（3）利用两角和计算︒=︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒-︒sin40250cos 2)5sin 45sin 5cos 45(cos 2)5sin 225cos 22(25sin cos5（4）利用两角和计算 ︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒-︒40sin 2)5sin 45cos 5cos sin452)5sin 225cos 22(25sin cos5（。
辅助角公式
推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]?（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
[1]?在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。
他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。
辅助角公式
辅助角公式Revised on November 25, 2020推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。
辅助角公式
辅助角公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b 在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
三角函数辅助角公式化简
（2）若
且
，求
的值。
标准文案
19．已知 f x 2cosx sin x 6
3sinx cosx sin 2x ，
（1）求函数 y f x 的单调递增区间；
（2）设 △ABC的内角 A 满足 f A 2 ，而 AB AC 3 ，求边 BC的最小值．
20．已知函数 f x
cos x 2
3cosx cosx
（ 2）函数 得到函数
的图象向右平移 个单位后， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 的图象，求 的单调递减区间 .
4 倍，纵坐标不变，
23．已知函数 f x cos4 x sin2x sin4 x . （ 1）求函数 f x 的递减区间； （ 2）当 x 0, 时，求函数 f x 的最小值以及取最小值时 x 的值 .
f （x）= a ?b 且 f （ －x）=f （ x）． 3
（Ⅰ）求 f （x）的解析式及单调递增区间；
（Ⅱ）将 f（ x）的图象向右平移 单位得 g（x）的图象， 若 g（x）+1≤ ax+cosx 在 x∈[0 ， ]
3
4
上恒成立，求实数 a 的取值范围．
18． 已知函数
（1）求函数
在 上的单调递增区间；
2
24．已知函数 f x 2 3sinxcosx 2sin2x 1.
（ 1）求函数 f x 的对称中心和单调递减区间；
（ 2）若将函数 f x 图象上每一点的横坐标都缩短到原来的
1（纵坐标不变） ，然后把所得图象向左平移
个
2
6
单位长度，得到函数 g x 的图象，求函数 g x 的表达式 .
标准文案
实用文档
17．已知函数 f x Asin x （ 1） 求函数 f x 的解析式；
高一数学专题辅导讲义7辅助角公式及其应用
高一数学补充讲义7：辅助角公式及其应用一．问题提出：三角恒等变换在函数中的常见问题、方法及注意点(1)常见问题：求三角函数的周期、值域、对称轴、单调区间等.(2)常见方法：利用辅助角公式把函数化成一个角的三角函数的形式，进而求以上问题.在变换过程中，常用换元、逆用公式等数学思想.二．教学过程：1．辅助角公式 引例：化简(1) （2（3公式：,b a b a ϕϕ其中所在象限由的正负决定，且tan = 推导：化为一个角的三角函数形式说明：1）对形如cos sin (,,y a x b x a b ωωω=+均为非零常数）的三角式，可以转化为形如sin()y A x ωϕ=+的三角式，使问题得到简化，体现了化归思想。
2）类似的cos sin a x b x ωω+也可以转化为cos()A x ωϕ±的形式，应用时可灵活处理3)对定义R 上的函数cos sin y a x b x ωω=+ 思考：若6sin ),(,),x x x ϕϕππϕ-=+∈-求的值sin cos a x b x +x x ⎫=+⎪⎭cos sin ϕϕ==（令)sin cos cos sin x x ϕϕ+=()x ϕ=+sin cos a x b x +()x ϕ=+1sin cos 22x x -cos x x+cos )x x -sin cos a x b x +2．应用例题讲解例1．化简下列各式，并求所给函数的最小正周期及值域()1cos y x x =()2y x x =()2312sin cos y x x x =-+()4sin(2)sin 23y x x π=-+变式：1．已知()cos ,(0,)f x x x x π=+∈，求()f x 的值域．2．分别求()3sin 4cos f x x x =+ 在下列范围的值域： ()1x R ∈； ()202x π≤≤．例2．已知()sin 2cos 2f x x a x =+的一条对称轴方程为8x π=-，求a 的值．变式：设函数()sin cos (0)f x a x b x ωωω=+>，已知函数()f x 的最小正周期为π，且当6x π=时()f x 取最大值为2，求满足()1f x >的x 的取值范围。
《辅助角公式》 讲义
《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。
为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。
二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。
这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。
三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。
三角函数公式与方法汇总
三角函数公式与方法汇总三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
掌握并熟练运用三角函数的公式与方法，对于解决各种问题具有重要意义。
下面是三角函数公式与方法的汇总。
一、基本公式及性质：1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期函数，周期为2π，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,+∞)-值域：[-1,1]- 奇函数：sin(-x) = -sin(x)- 辅助角公式：sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB- 和差化积公式：sin(A + B) + sin(A - B) = 2sinA cosB2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期函数，周期为2π，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,+∞)-值域：[-1,1]- 偶函数：cos(-x) = cos(x)- 辅助角公式：cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB- 和差化积公式：cos(A + B) + cos(A - B) = 2cosA cosB正切函数也是一个周期函数，周期为π，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,+∞)-值域：(-∞,+∞)- 奇函数：tan(-x) = -tan(x)- 辅助角公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)4. 余切函数（cot）：余切函数是正切函数的倒数，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,+∞)-值域：(-∞,+∞)- 奇函数：cot(-x) = -cot(x)- 辅助角公式：cot(A ± B) = (cotA cotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)5. 正割函数（sec）：正割函数是余弦函数的倒数，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,-1]∪[1,+∞)-值域：(-∞,-1]∪[1,+∞)- 偶函数：sec(-x) = sec(x)- 辅助角公式：sec(A ± B) = (secA secB ± tanA tanB) / (secB ± secA)余割函数是正弦函数的倒数，具有以下重要性质：-定义域：(-∞,-1]∪[1,+∞)-值域：(-∞,-1]∪[1,+∞)- 奇函数：csc(-x) = -csc(x)- 辅助角公式：cs c(A ± B) = (cscA cscB ± cotA cotB) / (cscB ± cscA)二、三角函数的基本关系式：1. 余弦和正弦关系：cos^2(x) + sin^2(x) = 12. 正切与余切关系：tan(x) = 1 / cot(x)3. 正割与余割关系：sec(x) = 1 / cos(x)4. 余切与直角三角形关系：cot(x) = adjacent / opposite5.三角函数的平方关系：- cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2- sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2- tan^2(x) = (1 - cos(2x)) / (1 + cos(2x))三、三角函数的周期性及对称性：1. 正弦函数的周期性：sin(x + 2πn) = sin(x)2. 余弦函数的周期性：cos(x + 2πn) = cos(x)3. 正切函数的周期性：tan(x + πn) = tan(x)4.正割、余切、正切函数的奇偶性：- sec(-x) = sec(x)- csc(-x) = -csc(x)- tan(-x) = -tan(x)四、三角恒等式：1.基本恒等式：- sin^2(x) + cos^2(x) = 1- 1 + tan^2(x) = sec^2(x)- 1 + cot^2(x) = csc^2(x)2.余弦的恒等式：- cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB- cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB3.正弦的恒等式：- sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB- sin(A - B) = sinA cosB - cosA sinB4.正割与余割的恒等式：- sec(A + B) = secA secB + tanA tanB- sec(A - B) = secA secB - tanA tanB- csc(A + B) = cscA cscB - cotA cotB- csc(A - B) = cscA cscB + cotA cotB五、解三角函数方程的方法：1.化简法：根据已知条件和三角函数的性质，将复杂的三角方程化简为简单的形式，然后求解。
三角函数辅助角公式 推导过程是什么
三角函数辅助角公式推导过程是什么辅助角公式是一种高等三角函数公式，下面小编整理了三角函数辅助角公式公式及推导过程，供大家参考！1 三角函数辅助角公式是什幺辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]（a>0）。
虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。
设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) (tanM=b/a)以下是证明过程：设asinA+bcosA=xsin(A+M)∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)由题,（a/x) +(b/x) =1,sinM=a/x,cosM=b/x∴x=√(a +b )∴asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a1 三角函数辅助角公式推导过程三角函数辅助角公式推导：asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφasinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同. 简单例题：（1）化简5sina-12cosa5sina-12cosa=13(5/13sina-12/13cosa)。
三角函数辅助角公式化简57567
∴函数 的单调增区间为 , 、
(2)∵ ,即 、
∴ 、
可得 , 、
∵ ,
∴ 、
由 ,且 的面积为 ,即 、
∴ 、
由余弦定理可得: 、
∴ 、
13.(1) , (2)a最小值为1、
【解析】试题分析:(1)利用二倍角公式与两角与差公式将原式子化一;(2)由 得
到 , ;由余弦定理得 最小为1;
(1)
14.已知 ,其中 ,若 的最小正周期为 、
(1)求函数 的单调递增区间;
(2)锐角三角形 中, ,求 的取值范围、
15.已知 =(sinx,cosx), =(cosφ,sinφ)(|φ|＜ ).函数
f(x)= • 且f( －x)=f(x).
(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调递增区间;
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移 单位得g(x)的图象,若g(x)+1≤ax+cosx在x∈[0, ]上恒成立,求实数a的取值范围.
∴ +φ= +kπ,k∈Z,又|φ|＜ ,∴φ=
∴f(x)=sin(x+ ),
由2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ 可得2kπ- ≤x≤ 2kπ+ ,
∴函数的递增区间为[2kπ- ,2kπ+ ],k∈Z;
(Ⅱ)由图象平移易知g(x)=sinx,即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0, ]上恒成立.
也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0, ]上恒成立、
【解析】试题分析:
(1)整理函数的解析式可得 ,则函数的最小正周期为 ;对称轴方程为 ;
(2)结合函数的定义域与(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为 、
试题解析:
辅助角公式及其推导过程
辅助角公式及其推导过程辅助角公式是解决三角函数运算中角度变化的一种方法，它是通过将一个角转换成一个补角或余角，从而简化计算的过程，减轻难度。
本文将介绍辅助角公式的概念、应用以及推导过程。
一、辅助角公式概念辅助角公式是数学中三角函数计算中常使用的一种转换公式。
在三角函数计算中，有时我们需要将一个角度转换成另一个角度，从而使得计算更加简单。
这时就可以用到辅助角公式，将原来的角度转换成一个补角或余角，从而达到计算的目的。
辅助角公式的应用：1、sin(a+b) = sinacosb + cosasinb2、cos(a+b) = cosacosb - sinasinb3、tan(a+b) = (tana + tanb)/(1 - tana tanb)4、sin(a-b) = sinacosb - cosasinb5、cos(a-b) = cosacosb + sinasinb6、tan(a-b) = (tana-tanb)/(1+tana tanb)以上公式都是辅助角公式，我们可以通过它们将一个角度转换成另一个角度来达到简化计算的目的。
二、辅助角公式的推导过程下面我们以sin(a+b)和cos(a+b)的推导过程为例，阐述辅助角公式的推导过程。
1、sin(a+b)的推导过程根据三角函数的定义，可以得到如下关系：sin(a+b) = sin[(a/2)+(b/2)]cos[(a/2)-(b/2)] + cos[(a/2)+(b/2)]sin[(a/2)-(b/2)]将上式中的一个角用其余角或补角代替，即可得到辅助角公式：(1) 如果把b用余角代替，即b=90-a，则sin(a+b) = sin[(a/2)+(90-a)/2)]cos[(a/2)-(90-a)/2)] + cos[(a/2)+(90-a)/2)]sin[(a/2)-(90-a)/2)]= sin(45)cos((a-45)/2) + cos(45)sin((a-45)/2)= (√2/2)cos((a-45)/2) + (√2/2)sin((a-45)/2)= √2/2(sin(a/2) + cos(a/2))即sin(a+b) = sinacosb + cosasinb(2) 如果我们把a用补角代替，即a=90-b，则sin(a+b) = sin[(90-b)/2 + b/2]cos[(90-b)/2 - b/2] + cos[(90-b)/2 + b/2]sin[(90-b)/2 - b/2] = cos(45)cos((45-b)/2) + sin(45)sin((45-b)/2)= √2/2(cos(b/2) - sin(b/2))即sin(a+b) = cosacosb - sinasinb2、cos(a+b)的推导过程根据三角函数的定义，可以得到如下关系：cos(a+b) = cos[(a/2)+(b/2)]cos[(a/2)-(b/2)] - sin[(a/2)+(b/2)]sin[(a/2)-(b/2)]将上式中的一个角用其余角或补角代替，即可得到辅助角公式：(1) 如果我们把b用余角代替，即b=90-a，则cos(a+b) = cos[(a/2)+(90-a)/2]cos[(a/2)-(90-a)/2] - sin[(a/2)+(90-a)/2]sin[(a/2)-(90-a)/2]= cos(45)cos((a-45)/2) - sin(45)sin((a-45)/2)= √2/2(cos(a/2)-sin(a/2))即cos(a+b) = cosacosb - sinasinb(2) 如果我们把a用补角代替，即a=90-b，则cos(a+b) = cos[(90-b)/2 + b/2]cos[(90-b)/2 - b/2] - sin[(90-b)/2 + b/2]sin[(90-b)/2 - b/2] = sin(45)cos((45-b)/2) - cos(45)sin((45-b)/2)= √2/2(sin(b/2)+cos(b/2))即cos(a+b) = sinacosb + cosasinb三、结论辅助角公式是数学中必备的工具之一，通过它们可以简化计算过程，便于我们在实际应用中更快捷地求出正弦、余弦、正切等三角函数的值。
辅助角公式及应用课件
复数方法是一种有效的推导辅助角公式的方法。通过将三角函数表示为复数形式，我们 可以利用复数的基本运算规则和三角函数的性质来推导辅助角公式。这种方法能够直观 地揭示辅助角公式的内在逻辑和数学结构，有助于深入理解辅助角公式的应用和推广。
CHAPTER 03
辅助角公式的应用
在三角函数化简中的应用
详细描述
三角函数的和差化积公式是推导辅助角公式的关键工具之一。通过利用这些公式，我们可以将两个或多个三角函 数的和或差转化为单一的三角函数形式，从而简化问题。例如，我们可以将正弦函数和余弦函数的和或差转化为 正切函数或余切函数，进一步推导出辅助角公式。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为两个角之和或差的三角函数值，从 而推导出辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
CONTENTS 目录
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的扩展 • 辅助角公式的注意事项
CHAPTER 01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
01
辅助角公式是三角函数中用于将 一个复杂的三角函数式转化为简 单三角函数式的一组公式。
02
误差大小
误差的大小取决于角度、参数的选择 以及使用的近似方法。
THANKS
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辅助角公式的局限性
近似性
辅助角公式通常基于近似 计算，因此结果的精度可 能受到限制。
适用性
辅助角公式可能不适用于 某些特定问题或复杂情况 。
计算复杂性
对于一些复杂问题，辅助 角公式的计算可能较为繁 琐。
辅助角公式的误差分析
误差来源
误差控制
三角函数辅助角公式推导
三角函数辅助角公式推导三角函数辅助角公式是指在三角函数中，通过辅助角的变化来简化和转化函数的形式。
它们是三角函数中的重要理论基础，广泛应用于解题和化简复杂的三角函数表达式。
下面将详细推导出三角函数辅助角公式，以帮助我们更好地理解和应用。
我们首先回顾一下三角函数的定义及其基本性质：正弦函数：sin(x)余弦函数：cos(x)正切函数：tan(x)1.正弦函数辅助角公式的推导：利用勾股定理可知，在直角三角形ABC中，设角C是直角，AB为斜边，BC为底边（即c=AB,a=BC，而角A和角B分别为锐角和钝角）。
则根据正弦函数的定义，sin(A) = a/c，转化为sin(A) = BC/AB。
现在我们引入辅助角，设A'是A的相关角，则有A+A'=90°。
根据勾股定理，并利用三角形内角和等于180°的性质，我们可以得到：tan(A') = BC/AB，即 A' = arctan(BC/AB)。
进一步，根据三角函数之间的关系sin(x) = cos(90°-x)，我们有：si n(A) = sin(90° - A') = cos(A')然后我们利用三角函数的定义及其基本性质，可知：cos(A') = cos(arctan(BC/AB))。
这时，我们需要使用反函数来求解。
设角A'= arctan(BC/AB)，则有：A' = arccos(cos(arctan(BC/AB)))再利用三角函数之间的关系cos(x) = sin(90°-x)，我们有：A' = arccos(sin(arctan(BC/AB)))综上所述，正弦函数辅助角公式为：sin(A) = cos(arctan(BC/AB)) = sin(arctan(AB/BC))2.余弦函数辅助角公式的推导：同样地，我们利用勾股定理可知，在直角三角形ABC中，设角C是直角，AB为斜边，BC为底边（即c=AB,a=BC，而角A和角B分别为锐角和钝角）。
高中数学三角函数辅助角公式
高中数学三角函数辅助角公式三角函数辅助角公式是高中数学中常用的一种算法，也是三角函数研究的基础。
此外，三角函数辅助角公式也是高中数学的一大重点，它可以帮助学生理解与分析三角函数在数学中的作用。
三角函数辅助角公式主要是针对特定三角形求出它的定理，从而求出各个三角函数的值，它的精确性极高，可以避免数学运算过程中出现的误差。
首先要掌握的是三角函数的定义以及其在数学中的应用，其次要了解三角函数图像及其与图像轴线的关系，这些都是三角函数辅助角公式的基础。
接下来，我们将学习三角函数辅助角公式的正确的使用方法，介绍其几个重点：一、直角三角形的使用直角三角形的三角函数辅助角公式主要涉及对以它的直角边为主干的三角形应用两个角的余弦定理和正弦定理。
二、二元一次三角形的使用二元一次三角形的三角函数辅助角公式是它的三个边长之和等于180度，然后采用角B（角A+角C）=180-角A-角C，推出它两个角的大小，再用三角函数关系式计算出另外一个角。
三、平行四边形的使用平行四边形三角函数辅助角公式的应用，主要是通过它的两条对角线交点的两个夹角，以此来计算出它四个角的值。
四、菱形的使用菱形三角函数辅助角公式的使用，是通过它的四个边和内角，以及它的两条对角线的夹角，来计算出它的八个内角的值以上是三角函数辅助角公式的基础知识，已经介绍了它的使用方法，接下来要介绍的是对它的应用。
三角函数辅助角公式通常用于计算某个三角形的定理，从而求出三角函数的值，而且它也可以帮助我们精确计算出某一三角形的各个参数，让数学问题具有更多的细节。
此外，三角函数辅助角公式也能够应用于物理学中的相关问题，比如求解力矩、牛顿运动定律以及坐标变换等。
另外，三角函数辅助角公式可以应用于电子计算机科学领域。
它可以帮助我们计算出平面投影、三维坐标系统和三角函数变换等等。
综上所述，三角函数辅助角公式是高中数学教学中的重要算法，学习它有助于学生更好地理解三角函数的应用，也有助于学生更好地掌握基本的数学知识，让学生在接下来的学习和生活中能够更好地运用这一重要的算法。
3关于辅助角公式的一个定理及其应用
3关于辅助角公式的一个定理及其应用定理：辅助角公式在三角形ABC中，设∠A=α，∠B=β，∠C=γ，辅助角公式指出：sin α = sin(β+γ)sin β = sin(α+γ)sin γ = sin(α+β)证明：由三角形的内角和可知：α+β+γ=180°根据三角函数的定义：sin α = BC / AC，sin β = AC / BC，sin γ = BC / AC而辅助角公式又可以写作：sin α = sin(β+γ)，sin β =sin(α+γ)，sin γ = sin(α+β)因此，我们只需要证明两个三角形的对边与邻边比值相等即可。
以辅助角公式的第一个式子sin α = sin(β+γ)为例：根据三角函数的定义，我们有：BC / AC = sin α = sin(β+γ)进一步展开，sin(β+γ) = sin β cos γ + cos β sin γ代入三角形 ABC 中的对应边长关系，得到：BC/AC = AC/BC * cos γ + BC/AC * sin γ得出两边通分，化简得：(BC^2 - AC^2) / AC * BC = 2 * BC * AC * sin γ进一步变换为：AC^2 - BC^2 = 2 * AC * BC * sin γ再将γ角所对的边记为a，则有：AC^2 - BC^2 = 2 * AC * BC * sin a我们知道在三角形ABC中，AC和BC是确定的，而辅助角公式表明，只要两个角度α、β或γ中的一个改变，那么第三个角度的值也会发生相应改变。
而当γ角度改变时，我们可以由辅助角公式推导得到较为简洁的表达式：AC^2 - BC^2 = 2 * AC * BC * sin γ应用：辅助角公式在解决三角形问题时有广泛的应用。
以下是三个辅助角公式的一些具体应用。
应用1：角度相同的三角形当两个三角形的一个角度相等时，可以利用辅助角公式求解对应的边长。
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辅助角公式1、推导过程变形得为利用两角和差公式化简，设-π/2<φ<π/2令（注意到a >0 ）则其等价于tanφ=b/a则即其中tanφ=b/a若令则（b>0 ）其等价于tanφ=a/b则即其中tanφ=a/b注意：两种令法中初相用了同一个字符φ表示，但含义不同，要区分。
2、分析意义我们需要分析公式中每一个量的意义。
先看等式左边是两个分别增大（或减小）一定倍数的正弦与余弦函数的和。
再看等式右边是一个增大（或减小）一定倍数并且被改变了初相的正弦函数。
从代数意义上讲，辅助角公式是为了将几个同频率的正弦型函数求和，转化为一个单独的正弦型函数而诞生的。
频率相同意味着ω 相同，所以对于辅助角公式而言，为了方便起见，我们只讨论ω=1 时的特殊情况。
在这种情况下，对于一个正弦型函数，我们只有A（增大的倍数）与φ （初相）两个量需要讨论。
我们可以把A 看作大小，把φ 看作角度。
而角度和大小恰是极坐标系确定位置的两个要素。
辅助角公式与极坐标系有什么关系吗？简化验证简化问题，使a=b=1 ，得而在极坐标系中平面向量的加即为两者之间有异曲同工之妙。
即sin 与cos 都只是单位向量，而a、b 两者是单位向量的变化幅度，是两向量和的模，φ 则是和向量与横轴的夹角。
推广延伸之前的验证只是在a=b=1下进行的。
其实，这一结果具有普适性。
注：这种几何意义同样适合推导诱导公式等部分三角函数恒等变换公式，但三角函数间乘法不等价于单位向量间点乘（即数量积）。
3、疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2) ？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k∈Z) 。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ 后函数值不变，况且在(-π/2,π/2) 内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
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（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
8．（1） （2） 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
三角函数辅助角公式化简
一、解答题
1．已知函数 ，
（1）求 的对称中心；
（2）讨论 在区间 上的单调性.
2．已知函数 .
（1）将 化简为 的形式，并求 最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值及取得最值时 的值.
3．已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的单调递增区间及最大值与最小值．
试题解析：1）由已知
令 ，得 ，对称中心为 ， .
（2）令 ，
得 ， ,增区间为
令 ，
得 ， ,增区间为
上的增区间为 ，减区间为 .
2．（1） ， ；（2） 时， ， 时， .
【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得 ，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得 的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．
（2）将f（x）的图象向右平移 单位得g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0， ]上恒成立，利用数形结合分别研究h（x）=sinx-cosx和φ（x）=ax—1即可.
试题解析：
（Ⅰ）∵f（x）= =sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），
再由f（ -x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x= 对称，
6．(1) (2)
【解析】试题分析：(1) ，令 解得x即可(Ⅱ)求 在 上的单调区间，则令 解得x,对k赋值得结果.
试题解析：
(Ⅰ)
令 ，得 ，
故所求对称中心为
(Ⅱ)令 ，解得
又由于 ，所以
故所求单调区间为 .
点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成 类型，把wx+ 看成整体进行分析.
试题解析：
(1)f(x)＝2cosxcos(x－ )－ sin2x＋sinxcosx
＝
＝ cos2x＋sin2x
＝2sin ，
∴T＝π.
(2)
画出函数 在x∈ 的图像，由图可知 或
故a的取值范围为 .
11．（1） （2）
【解析】试题分析：（1）由三角恒等变换化简得 ，由 可解得增区间(2) 由 得 ， ，由余弦定理得 ，即 即得
试题解析：
（1）
．
所以 的最小正周期 ．
（2）令 ，函数 的单调递增区间是 ， ．
由 ，得 ， ．
设 ， ，易知 ．
所以，当 时， 在区间 上单调递增。
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 最大值为2，最小值为-1．
点睛：解题的关键是将函数化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式后，把ωx＋φ看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”，如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
=
的最大值为2．
要 使取最大值 ,
故 的集合为 .
（2） ,
化简得 ,
，只有
在 中，由余弦定理， ,
由 当 时等号成立， 最小为1.
点睛：（1）要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式；
（2）巧妙利用三角函数值求得角A，再利余弦定理得边的关系，得到最值；
14．（1） （2）
【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数： ，再根据正弦函数周期性质求 ，并根据单调性性质求单调增区间（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得 ，即得 ，根据锐角三角形得A取值范围，根据正弦函数性质求 的取值范围.
（3）求 在区间 上的最大值和最小值.
8．设函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）讨论 在区间 上的单调性.
9．已知函数 ，
（I）求 的最大值和对称中心坐标；
(Ⅱ)讨论 在 上的单调性。
10．已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)若关于 的方程 在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围.
11．设 .
同理可求得f(x)的单调减区间 ，，在 上的减速区间有 .
递增区间： 和 ；递减区间： .
10．（1） ；（2） 的取值范围为
【解析】试题分析：
(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为：f(x)＝2sin ，结合三角函数的周期公式可知T＝π.
(2)原问题等价于 ，结合函数的图象可得 或 ，求解不等式可得a的取值范围为 .
（2）当 时，求 的值域.
22．已知函数 为偶函数，且函数 图象的两相邻对称轴间的距离为 .
（1）求 的值；
（2）函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 的单调递减区间.
23．已知函数 .
（1）求函数 的递减区间；
（2）当 时，求函数 的最小值以及取最小值时 的值.
7．（1） ；（2）单调递增区间为 ；（3） ， .
【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得： ，进而得最小正周期；
（2）由 可得增区间；
（3）由 得 ，根据正弦函数的图象可得最值.
试题解析：
(1)
.
的最小正周期 .
（2）由
解得
函数 的单调递增区间为
(3)
当 时， ，
当 时， ， .
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
得： .
∴函数 的单调增区间为 ， .
（2）∵ ，即 .
∴ .
可得 ， .
∵ ，
∴ .
由 ，且 的面积为 ，即 .
∴ .
由余弦定理可得： .
∴ .
13．(1) , (2)a最小值为1.
【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一；（2）由 得
到 ， ；由余弦定理得 最小为1；
（1）
4．（1） ，最大值为1（2）
【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期 及最大值；（2）根据正弦函数性质列不等式 ，解得函数 的单调递增区间.
试题解析：解：
（1）
当
即 时
取最大值为1
（2）令
∴ 的单调增区间为
5．(1)答案见解析；(2) .
24．已知函数 .
（1）求函数 的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数 图象上每一点的横坐标都缩短到原来的 （纵坐标不变），然后把所得图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求函数 的表达式.
参考答案
1．（1）对称中心为 ， ；（2）增区间为 ，减区间为 .
【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．
【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式可得 ，则函数的最小正周期为 ；对称轴方程为 ；
(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为 .
试题解析：
（1）
由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以当 时， 取最大值1
又 ，当 时， 取最小值
所以函数 在区间 上的值域为
试题解析：（1） ，最小正周期为 ，
∴ ，令 ，即 ，
∴ 的单调递增区间为 .
（2）∵ ，∴ ，
整理得： ， ， ，∵锐角三角形 ，∴ 且 ，
∴ ，∴ ，∴ .
15．（Ⅰ）f（x）=sin（x+ ）， ；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：（1）利用向量的坐标运算得到 ，再由f（ -x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x= 对称，所以 +φ= +kπ，进而得到φ= ，利用三角函数的性质求解单调区间即可；
∴ +φ= +kπ，k∈Z，又|φ|＜ ，∴φ=
∴f（x）=sin（x+ ），
由2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ 可得2kπ- ≤x≤ 2kπ+ ，
∴函数的递增区间为[2kπ- ，2kπ+ ]，k∈Z；
（Ⅱ）由图象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0， ]上恒成立．
也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0， ]上恒成立.
16．已知向量 =（2cos ， sin ）， =（cos ，2cos ），（ω＞0），设函数f（x）= ，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求f（x）的单调递增区间．
17．已知函数 的部分图象如图所示.
（1） 求函数 的解析式；
（2） 如何由函数 的通过适当图象的变换得到函数 的图象， 写出变换过程;
(1)求 的单调递增区间；
(2)锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ， ， ，求 的值.
12．已知函数 .
（1）求函数 的单调增区间；
（2） 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ，且 的面积为 ，求 的值.
13．设函数 .
（1）求 的最大值，并写出使 取最大值时 的集合；
（2）已知 中,角 的边分别为 ，若 ，求 的最小值.