高三数学大一轮复习圆锥曲线综合板块一轨迹方程学案

合集下载

级高考数学一轮复习资料轨迹问题和圆锥曲线的综合

一、轨迹方程的求法：（1）条件直译法：（2）几何分析法：（3）相关点法：（4）定义法：（5）参数法：（6）交轨法：二、核心题型：圆锥曲线的定义及性质运用、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题、焦点弦问题、弦的中点问题（注意检验！！！）、面积问题、范围和最值问题、存在性问题、对称问题、直线过定点问题、定值问题以及解析几何与函数、数列、不等式等的综合。

核心思想：分析法思想明确解题目标和方向、转化意识、简化运算意识。

题型一、轨迹方程的基本求法（条件直译法、定义法、相关点法、参数法、交轨法）1、若,M N 是两定点，6MN =，动点P 满足1PM PN ⋅=，则P 的轨迹方程为．2、椭圆2212516x y +=的左右焦点为12,F F ，P 为椭圆上的一动点，M 为1F P 的中点．则M 的轨迹方程为；12PF F ∆重心G 的轨迹方程为．3、从双曲线221x y -=上一点Q 引直线:20l x y +-=的垂线，垂足为N ，则线段QN 的中点M 的轨迹方程为．4、过原点作28y x =的两互相垂直的弦,OA OB ，以,OA OB 为邻边作矩形OBMA ．则动点M 的轨迹方程为．弦AB 中点N 的轨迹方程为．5、直线l 垂直于x 轴且交双曲线22221x y a b-=于,M N 两点，12,A A 为双曲线的顶点，则直线1A M 与2A N 的交点P 的轨迹方程为．6、已知12,A A 为22194x y +=的长轴的两端点，12,P P 是垂直于12A A 的弦的两端点，则11A P 与22A P 的交点M 的轨迹方程为．7、已知双曲线2222x y -=．（1）求以(2,1)A 为中点的双曲线的弦所在直线的方程；（2）过(1,1)B 能否作出直线l ，使l 与双曲线交于12,Q Q ，且(1,1)B 为12Q Q 的中点？1、（08重庆20题）已知)0,2(),0,2(N M -，动点P 满足： 6.PM PN +=（1）求点P 的轨迹方程；（2）若2·1cos PM PN MPN-＝,求点P 的坐标。

高三数学一轮复习直线与圆锥曲线教案高三全册数学教案

芯衣州星海市涌泉学校第四讲直线与圆锥曲线一、考情分析直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考察的重中之重，主要涉及弦长、中点弦、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘〞．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维才能，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探究、敢于创新的精神，进一步进步学生“应用数学〞的程度．二、知识归纳〔一〕直线与圆锥曲线问题的解决思路“三十二字思路〞：设而不求，求而不设；联立消元，二次判别；韦达，解决问题；遇弦中点，点差优先．〔二〕直线与椭圆()()()2222222222222010y kx m a k b x mka x a m b x y a b a b=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=>>⎪⎩，显然，2220a k b +≠；〔1〕当0∆=时，直线与椭圆只有一个公一一共点，属于直线与椭圆相切；〔2〕当0∆>时，直线与椭圆有两个公一一共点，属于直线与椭圆相交；〔三〕直线与双曲线()()()22222222222220100y kx m a k b x mka x a m b x y a b a b=+⎧⎪⇒-+++=⎨-=>>⎪⎩，，〔1〕假设2220bak b k a-=⇔=±时，直线平行于双曲线的渐进线，此时， ①当0m =时，直线与渐进线重合，与双曲线无交点；②当0m ≠时，直线与双曲线只有一个公一一共点，属于一个交点的相交，而不是相切；〔2〕假设2220bak b k a-≠⇔≠±时，直线不平行于双曲线的渐进线，此时， ①当0∆=时，直线与双曲线只有一个公一一共点，属于直线与双曲线相切； ②当0∆>时，直线与双曲线有两个公一一共点，属于直线与双曲线相交；〔四〕直线与抛物线()()22222020y kx mk x mk p x m y px p =+⎧⎪⇒+-+=⎨=>⎪⎩，〔1〕假设0k=时，直线平行于抛物线的对称轴，此时，直线与抛物线只有一个公一一共点，属于一个交点的相交，而不是相切；〔2〕假设0k≠时，直线不平行于抛物线的对称轴，此时，①当0∆=时，直线与抛物线只有一个公一一共点，属于直线与抛物线相切； ②当0∆>时，直线与抛物线有两个公一一共点，属于直线与抛物线相交；三、精典例析例1：曲线22148x y C -=：，定点()10M ，，直线l 经过点()01，，斜率为t ，与曲线C 交于不同的两点A B 、，设AB 的中点为P ，求直线MP 的斜率k 关于t 的函数关系()k f t =．解析：设直线l 的方程为1l ytx =+：，()()()112200,A x y B x y P x y ，，，，，那么：()222212290148y tx t x tx x y =+⎧⎪⇒---=⎨-=⎪⎩， ∴22t≠，2904t ∆>⇔<，且1212002222x x y y tx y t ++===-， ∵()()120022112222tx tx t x y t t +++===--，，∴020212y kx t t ==-+-；故()()223321122222k t t t ⎛⎫⎛⎛⎫=∈-- ⎪ ⎪+-⎝⎝⎭⎝⎭，，，．例2：椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率36=e ，过点()0A b -，和()0B a ，的直线与原点的间隔为23．〔1〕求椭圆的方程．〔2〕定点()10E -，，假设直线()20y kx k =+≠与椭圆交于C D 、两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过()10E-，点？请说明理由．解析：〔1〕直线AB 方程为：0bx ay ab --=，那么：22633312c a a ab b a b⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪+⎩ ， ∴椭圆方程为1322=+y x ．〔2〕假假设存在这样的k 值，设()()1122Cx y D x y ，，，，那么：()22222131290330y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩　， ∴0)31(36)12(22>+-=∆k k ，且1212221291313k x x x x k k +=-=++⋅，，∵()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++⋅，∴要使以CD 为直径的圆过()10E-，点，当且仅当CE DE ⊥时，那么： 121212121(1)(1)011y y y y x x x x =-⇔+++=++⋅． ∴05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ，∴67=k，经历证，67=k 时符合题意．综上，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过()10E -，点．例3：双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2210200xy x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于A B 、两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2PA PB PC⋅=．〔1〕求双曲线G 的渐近线的方程；〔2〕求双曲线G 的方程；〔3〕椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．假设S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解析：〔1〕设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，那么：∵渐近线与圆2210200xy x +-+=12k =⇔=±．故双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±．〔2〕设双曲线G 的方程为：224xy m -=，那么：()2221438164044y x x x m x y m ⎧=+⎪⇒---=⎨⎪-=⎩， ∴8164 33A B A B mx x x x ++==-，， ∵2PA PB PC ⋅=，P A B C 、、、一一共线且P 在线段AB 上，∴()()()()()()244164320P A B P P C B A A B A B x x x x x x x x x x x x --=-⇔+--=⇔+++=，例4：〔05年卷〕设A B 、是椭圆λ=+223y x 上的两点，点()13N ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C D 、两点．〔1〕确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；〔2〕试判断是否存在这样的λ，使得A B 、、C D 、四点在同一个圆上？并说明理由．解析：〔1〕法1：显然，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，设1122()()A x y B x y ，，，，那么：22222(1)3(3)2(3)(3)03y k x k x k k x k x y λλ=-+⎧⇒+--+--=⎨+=⎩， ∴224[(3)3(3)]0k k λ∆=+-->，且21212222(3)(3)33k k k x x x x k k λ---+=⋅=++，，∵点()13N，是线段AB 的中点，∴2121(3)312x x k k k k +=⇔-=+⇒=-，直线AB 的方程是： ()3140y x x y -=--⇔+-=．∴12λ>，故λ的取值范围是()12,+∞．法2：设1122()()A x y B x y ，，，，那么：221112121212222233()()()()03x y x x x x y y y y x y λλ⎧+=⎪⇒-++-+=⎨+=⎪⎩， ∴12123()ABx x k y y +=-+；∵点()13N ，是线段AB 的中点，∴121226x x y y +=+=，，∴1AB k =-，直线AB 的方程是()3140y x x y -=--⇔+-=．∵点()13N，在椭圆的内部，∴2231312λ>⨯+=．故λ的取值范围是()12,+∞．〔2〕法1：∵直线CD 垂直平分线段AB ，∴直线CD 的方程为3120y x x y -=-⇔-+=，又设3344()()C x y D x y ，，，，CD 的中点00()M x y ，，那么：2222044403x y x x x y λλ-+=⎧⇒++-=⎨+=⎩， ∴103λ∆>⇔>，且341x x +=-，03400113()2222x x x y x =+=-=+=，，即1322M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴34||||CD x x =-=又22240481603x y x x x y λλ+-=⎧⇒-+-=⎨+=⎩，2012λ∆>⇔>，同理可得：12||AB x x =-=∴当12λ>AB CD >⇒<．假设在在12λ>，使得A B 、、C D 、四点一一共圆，那么CD 必为圆的直径，点M 为圆心，点M 到直线AB的间隔为：13|4|d-+-===，∴222229123||||||||22222AB CDMA MB dλλ--==+=+==．故当12>λ时，A B、、C D、四点均在以M为圆心，2||CD为半径的圆上．〔注：上述解法中最后一步也可如下解法获得：∵A B、、C D、一一共圆⇔△ACD为直角三角形，A为直角2||||||AN CN DN⇔=⋅，∴2||222CD CDABd d⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵3912 2222222CD CDd dλλ⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-=-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即A、B、C、D四点一一共圆．〕例5：〔05年卷〕如图，设抛物线2C y x=：的焦点为F，动点P在直线20l x y--=：上运动，过P作抛物线C的两条切线PA PB、，且与抛物线C分别相切于A B、两点．〔1〕求△APB的重心G的轨迹方程；〔2〕证明：PFA PFB∠=∠．解析：〔1〕设切点()()()22001101A x xB x x x x≠，，，，那么：切线PA的方程为：20020x x y x--=，切线PB的方程为：21120x x y x--=，联立，解得：P点的坐标为01012x xP x x+⎛⎫⎪⎝⎭，；∴△APB的重心G的坐标为：PPGxxxxx=++=310，2222010*******()43333P P PGy y y x x x x x x x x x yy+++++--====，∴234P G Gy y x=-+，∵点P在直线20l x y--=：上运动，∴从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20(42)3x y xy x x --+-=⇔=-+．〔2〕法1：∵22010001111114244x x FA x x FP x x FB x x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，　，，　，， ∴cos ||||FP FA AFP FP FA ⋅∠=201001001201114||||x x x x x x x x FP FP x +⎛⎫⎛⎫⋅+--+⎪⎪⎝==；同理，20110110122211112444cos ||||||1||x x x x x x x x FP FBBFP FP FB FP FP x +⎛⎫⎛⎫⋅+--+⎪⎪⋅⎝⎭⎝⎭∠===⎛⎫+；故PFA PFB ∠=∠．法2：①当100x x =时，由于01x x ≠，不妨设00x =，那么：00y =，∴P 点坐标为102x P ⎛⎫⎪⎝⎭，，那么P 点到直线AF 的间隔为：11||2x d =；而直线BF 的方程212111111114()0444x y x x x x y x x --=⇔--+=，∴P 点到直线BF 的间隔为：22111111221||11|()|()||42124x x x x x x d x -++===+； ∴12d d =，故PFA PFB ∠=∠．②当001≠x x 时，直线AF 的方程：2020********(0)()04044x y x x x x y x x --=-⇔--+=-；直线BF 的方程：212111111114(0)()04044x y x x x x y x x --=-⇔--+=-； ∴P 点到直线AF 的间隔为：22201010010001120111|()()||)()||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-===+，同理，P 点到直线BF 的间隔：2||012x x d -=， ∴12d d =，故PFA PFB ∠=∠．四、课后反思．。

高三数学高考一轮复习系列教案第八章圆锥曲线大纲版

第八章圆锥曲线知识结构高考能力要求1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．高考热点分析圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。

纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p 五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．高考复习建议1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．2．计算能力的考查已引起高考命题者的重视,这一章的复习要注意突破“运算关”,要寻求合理有效的解题途径与方法．3．加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习，注重数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理的运用．4．重视圆锥曲线与平面向量、函数、方程、不等式、三角、平面几何的联系，重视数学思想方法的训练，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．８．1 椭圆知识要点1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的，定直线l 是，常数e 是．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y a x ，其中( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足：．3．椭圆的几何性质(对12222=+by a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3) 顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4) 离心率：=e ( 与的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越；e 越接近0，椭圆越接近于．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== ．(6) 椭圆的参数方程为． 4．焦点三角形应注意以下关系： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)例题讲练【例1】中心在原点，一个焦点为F 1(0，52)的椭圆被直线y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为21，求此椭圆的方程．【例2】已知点P(3, 4)是椭圆2222b y a x +＝1 (a >b >0) 上的一点，F 1、F 2是它的两焦点，若PF 1⊥PF 2，求：(1) 椭圆的方程； (2) △PF 1F 2的面积．【例3】如图，射线OA 、OB 分别与x 轴、 y 轴所成的角均为︒30；已知线段PQ 的长度为2，并且保持线段的端点),(11y x P 在射线OA 上运动，点),(22y x Q 在射线OB 上运动(1) 试求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程(2) 求轨迹C 上的动点N 到直线03=--y x 的距离的最大值和最小值．【例4】（2005年全国卷I ）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与＝(3, －1)共线.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设M 是椭圆上任意一点，且＝μλ+(λ、μ∈R)，证明22μλ+为定值.小结归纳 1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a 、b 、c 、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a 、b 、c ，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是],[c a c a +-．4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，在2005年的考题中足以说明了这一点，应引起重视．基础训练题一、选择题1．动点M 到定点)0,4(1-F 和)0,4(2F 的距离的和为8，则动点M 的轨迹为（） A ．椭圆 B ．线段 C ．无图形 D ．两条射线2． (2005年全国高考试题III) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A ．22 B ．212- C ．2－2D ．2－13．（2004年高考湖南卷）F 1、F 2是椭圆C ：14822=+y x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为（） A ．2个 B ．4个 C ．无数个 D ．不确定4．椭圆171622=+y x 的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为（） A ．32 B ．16 C ．8 D ．45．已知点P 在椭圆(x －2)2＋2y 2＝1上，则xy的最小值为（）A ．36-B ．26-C ．6-D ．66-6．我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”，设)0(12222>>=+b a by a x 是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于（） A ．︒60 B ．︒75 C ．︒90 D ．︒120二、填空题 7．椭圆400162522=+y x 的顶点坐标为和，焦点坐标为，焦距为，长轴长为，短轴长为，离心率为，准线方程为．8．设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1，2， )，使得|FP 1|、|FP 2|、|FP 3|…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是． 9．设1F ，2F 是椭圆14322=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且121=-PF PF ，则得=∠21PF F ． 10．若椭圆2222)1(-+m y m x ＝1的准线平行于x 轴则m 的取值范围是．三、解答题11．根据下列条件求椭圆的标准方程(1) 和椭圆1202422=+y x 共准线，且离心率为21．(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当∠21PF F 为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．13．(2005年高考湖南卷)已知椭圆C ：12222=+by a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为e ．直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A 、B 、M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ． (Ⅰ)证明：λ＝1－e 2；(Ⅱ)若λ＝43，△MF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；(Ⅲ)确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．提高训练题14．(2006年高考湖南卷)已知C 1：13422=+y x ，抛物线C 2：(y －m )2＝2px (p ＞0)，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；(Ⅱ)若p ＝34，且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程．15．（成都市2006届毕业班摸底测试）设向量i ＝(1, 0)，j ＝(0, 1)，＝(x ＋m )i ＋y j ，＝(x －m )i ＋y j ，且||＋||＝6，0< m < 3，x >0，y ∈R ． ( I )求动点P(x ，y )的轨迹方程；( II ) 已知点A(－1, 0)，设直线y ＝31(x －2)与点P 的轨迹交于B 、C 两点，问是否存在实数m ，使得AC AB ⋅＝31？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8．2 双曲线知识要点 1．双曲线的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．(2) 平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l (F 不在上)的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线．设P 到1F 的对应准线的距离为d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e d PF d PF ==22112．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在轴上；12222=-bx ay ，焦点在轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,122>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3) 顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长为，虚轴长为，准线方程为，渐近线方程为．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越，e 越小，双曲线开口越，焦准距P ＝．(5) 焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若),(00y x P 是双曲线右支上任意一点，=1PF ，=2PF ，若),(00y x P 是双曲线左支上任意一点，=1PF ，=2PF ． (6) 具有相同渐近线x aby ±=的双曲线系方程为 (7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为，离心率为．(8) 12222=-b y a x 的共轭双曲线方程为．例题讲练【例1】根据下列条件，写出双曲线的标准方程 (1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．【例2】（04年高考湖北卷）直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【例3】在双曲线1121322-=-y x 的一支上有不同的三点A(x 1，y 1)，B(x 2，6)，C(x 3，y 3)与焦点F(0，5)的距离成等差数列．(1)求y 1＋y 3；(2)求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．【例4】（2004年高考全国卷II ）设双曲线C ：)0(1222>=-a y a x 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点．(1) 求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2) 设直线l 与y 的交点为P ，且＝125，求a的值．小结归纳1．复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a 、b 、c 、e 的关系．2．双曲线的渐近线的探求是一个热点．①已知双曲线方程求渐近线方程；②求已知渐近线方程的双曲线方程．3．求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（曲条件求参数）．4．求双曲线的方程的常用方法： (1) 定义法．(2) 待定系数法．涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”．5．例2的第(1)问是数材P 132第13题的引申，因此高考第一轮复习要紧扣教材．6．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．基础训练题一、选择题1． A 、B 是平面内两定点，动点P 到A 、B 两点的距离的差是常数，则P 的轨迹是（） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．不能确定2．（04年高考湖南卷）如果双曲线1121322=-y x 上一点p 到右焦点的距离等于13，那么点p 到右焦线的距离是（）A ．513 B ．13 C ．5D ．1353．已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为（）A ．152022=-y x B ．152022±=-y x C ．120522=-y xD ．120522±=-y x4．（2005年高考湖南卷）已知双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右焦线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a ，（0为原点）则两条渐近线的夹角为（） A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°5．已知双曲线14922=-y x ，则过点A(3，1)且与双曲线仅有唯一的公共点的直线有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6． (2005年江苏高考最后冲刺题) 设双曲线16x 2－9y 2＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为（9，2），则|MA|＋53|MF 2|的最小值为（）A ．9B ．536C ．542D ．554二、填空题7．中心在原点，坐标轴为对称轴，实轴与虚轴长之差为2，离心率为45的双曲线方程为．8． (2004年高考·吉林、四川)设中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆方程为．9．（2006年高考湖南卷）过双曲线M ：1222=-b y x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|＝|BC|，则双曲线M 的离心率是．10．可以证明函数x bax y +=(b ≠0)的图象是双曲线，试问双曲线C ：xx y 33+=的离心率e 等于．三、解答题11．(1) 已知双曲线的渐近线方程为032=±yx ，且过点(2，－6)，求双曲线的方程；(2) 已知双曲线的右准线为x ＝4，右焦点为F(10，0)，离心率为e ＝2，求双曲线的方程． 12．ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．13．双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围．提高训练题 14．已知动点p 与双曲线13222=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－91．(1) 求动点p 的轨迹方程；(2) 若已知点D(0，3)，点M 、N 在动点p 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围．15．(2005年武汉市高三调考)已知等轴双曲线C ：)0(222>=-a a y x 上一定点P(00,y x )及曲线C 点上两个动点A 、B ，满足0=⋅PB PA(1) M 、N 分别为PA 、PB 中点，求证：0=⋅ON OM (O 为坐标原点)；(2) 求|AB|的最小值及此时A 点坐标．抛物线 1．抛物线定义：离的点的轨迹叫抛物线，焦点，叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程① px y 22=，焦点为，准线为． ② px y 22-=，焦点为，准线为． ③ py x 22=，焦点为，准线为． ④ py x 22-=，焦点为，准线为． 3．抛物线的几何性质：对)0(22>=p px y 进行讨论． ① 点的范围：、． ② 对称性：抛物线关于轴对称． ③ 离心率=e ．④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=PF ．⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB ＝，21y y ．ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()0≠θ则AB ＝．特别地，当θ2π=时，AB 为抛物线的通径，且AB ＝．iii) S △AOB ＝（表示成P 与θ的关系式）．iv) ||1||1BF AF +为定值，且等于．例题讲练【例1】已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(n A -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．【例2】已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ．(1) 若316=AB ，求直线l 的方程．(2) 求AB 的最小值．【例3】若A(3，2)，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PA PF +的最小值及取得最小值时的P 的坐标．【例4】（05全国卷(Ⅲ)）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论？(2)当直线l 的斜率为2时，求在y 轴上的截距的取值范围．小结归纳 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．基础训练题一、选择题1．过抛物线)0(22>=P px y 的焦点作直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B 两点，若P x x 321=+，则AB等于（）A ．2PB ．4PC ．6PD ．8P2．已知动点),(y x P 满足22)2()1(5-+-y x ＝|1243|++y x ，则P 点的轨迹是（）A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆3．已知抛物线212:x y C =与抛物线2C 关于直线x y -=对称，则2C 的准线方程是（）A ．81-=x B ．21=xC ．81=x D ．21-=x4．（2005年高考上海卷）过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无数条 D ．不存在5． (2003年新课程卷)抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（）A ．81B ．81-C ．8D ．8-6．（04年高考湖北卷）与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是（） A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0二、填空题7．点M 与点F(4，0)的距离比它到连线l ：x ＋5＝0的距了小1，则点M 的轨迹方程为． 8．某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为米(精确到0.1米)． 9．过点（3，3）的直线与抛物线y 2＝3x 只有一个公共点，则这样的直线的条数为．10．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2)200(2≤≤=y y ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是三、解答题11．求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．12．正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积．13．设A 和B 为抛物线y 2＝4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？提高训练题 14．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，试问：以AB 为直径的圆与抛物线的准线是相交、相切还是相离？若把抛物线改为椭圆12222=+b y a x 或双曲线12222=-b y a x ，结果又如何呢？15．(2004年高考上海卷)如图，直线x y 21=与抛物线4812-=x y 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5-=y 交于Q 点． (1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB(含点A 、B)下方的动点时，求OPQ ∆面积的最大值．8．4 直线与圆锥曲线的位置关系知识要点 1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB 端点的坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2),直线AB 的斜率为k ，则：｜AB ｜=————————或：—————————．利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M(x 0，y 0)为AB 的中点，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y ax b y a x 两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--即．对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．例题讲练【例1】直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．(1) 当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？x【例2】已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【例3】在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．【例4】（2006届苏州市高三调研测试）已知椭圆222y ax +＝1(a 为常数，且a >1)，向量m ＝(1, t ) (t >0)，过点A(－a , 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B ，直线BO 交椭圆于点C （O 为坐标原点）．(1) 求t 表示△ABC 的面积S( t )；(2) 若a ＝2，t ∈[21, 1]，求S( t )的最大值．小结归纳1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．基础训练题一、选择题1．曲线x 2＋4y 2＋D x ＋2E y ＋F ＝0与x 轴有两个交点，且这两个交点在原点的两侧的充要条件是（） A ．D ≠0，E ＝0，F ＞0 B ．E ＝0，F ＜0 C ．D 2－F ＞0 D ．F ＜0 2．若椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（） A ．2 B ．－2C ．31D ．－213．经过抛物线)0(22>=p px y 的所有焦点弦中，弦长的最小值为（） A ．p B ．2p C ．4p D ．不确定4．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若∣AB ∣=4，则这样的直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5．（华师大二附中2005年模拟试卷2）直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)椭圆E ：1422=+y m x ，若直线l 被椭圆E 所截弦长为d ，则下列直线中被椭圆E 截得的弦长不是d 的是（） A ．kx ＋y ＋1＝0 B ．kx －y －1＝0 C ．kx ＋y －1＝0 D ．kx ＋y ＝06．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M 、N 两点，过两点O 与线段MN 之中点的直线的斜率为22，则xnm的值是（）A ．22B ．332 C ．229D ．2732二、填空题7．已知直线x －y ＝2与抛物线y 2－4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 .8．对任意实数k ，直线y ＝kx ＋b 与椭圆⎩⎨⎧==θθs i n 4c o s 2y x (0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是．9．已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标为（0，2），则2111y y +＝．10．若直线mx ＋ny －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，则m 、n 的关系式为___________;以(m ，n )为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有____个.三、解答题 11．已知直线l 交椭圆162022y x +＝1于M 、N 两点，B(0，4)是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线l 的方程.12．已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.13．（05重庆）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 的满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围．提高训练题14．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M 、N ，当AN AM =时，求m 的取值范围．15．（04湖南）过抛物线x 2＝4y 的对称轴上任一点P(0，m )(m ＞0)，作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点． (Ⅰ)设点P 分有向线段所成的比为λ，证明：)(λ-⊥；(Ⅱ)设直线AB 的方程是x －2y ＋12＝0，过A 、B 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．8．5 轨迹方程知识要点1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．例题讲练【例1】一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．【例2】已知抛物线过点N(1，－1)，且准线为l：x ＝－3，求抛物线顶点M的轨迹．【例3】已知直线l与椭圆12223=+byax(a>b>0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴交于R、S，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS的顶点P的轨迹方程．【例4】已知点H（0，－3），点P在x轴上，点Q 在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足PMHP⋅＝0，MQPM23-=．(1) 当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C 的方程；(2) 过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．小结归纳1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．4．参数法求轨迹关键在于如何选择好参数，建立起x ，y 的参数方程，以便消参，选择n 个参数，要建立n ＋1个方程，消参时，要注意等价性．5．求轨迹比求轨迹方程多一个步骤，求轨迹最后须说明轨迹的形状、大小、位置、方向．基础训练题一、选择题1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得| PQ |＝| PF 2 |，那么动点Q 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线2．动点P 与定点)0,1(,)0,1(B A -的连结的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1)1(±≠x C ．x 2＋y 2＝1)0(≠x D ．21x y -=3．已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y＋2|，则动点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定4．设P 为椭圆12222=+by a x 上一点，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是（） A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 5．设P 为双曲线12222=-b y a x 上一点，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的内角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是（） A ．圆 B ．抛物线 C ．直线 D ．椭圆 6．已知点P(x ，y )在以原点为圆心，半径为1的圆上运动，则点(x ＋y ，xy )的轨迹是（） A ．半圆 B ．抛物线的一部分 C ．椭圆 D ．双曲线的一支二、填空题7．长为2a 的线段AB 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点的轨迹方程为．8．经过定点M(1，2)，以y 轴为准线，离心率为21的椭圆左顶点的轨迹方程． 9．已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=，当m 变化时抛物线焦点的轨迹方程为． 10．（04北京）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是．三、解答题 11．以动点P 为圆心的圆与圆A ：(x ＋5)2＋y 2＝49及圆B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切，求动点P 的轨迹.12．已知双曲线2222ny m x -＝1(m ＞0，n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q. (1) 求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程； (2) 当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.13．设直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆C ：ax 2＋y 2＝2(a ＞1)交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．(1)若k ＝1，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值； (2)若a ＝2，当k 变化时，(k ∈R)，求点P 的轨迹方程．提高训练题14．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M(0，1)的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：(1) 动点P 的轨迹方程； (2) ||NP 的最小值与最大值.A1。

高考数学一轮复习导学案：轨迹与轨迹方程【A】(含答案)

轨迹与轨迹方程(教案)A一、知识梳理：1.求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同时具备一定的推理能力和运算能力。

2.求曲线的轨迹方程常采用的方法有：直接法、定义法、参数法、几何法、交轨法(1)、定义法:若动点的轨迹条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆,双曲线,圆等)可用定义直接求解.(2)、直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程（也就是常说的五步法）(3)、相关点法（轨迹转移法）：根据相关点所满足的方程,通过转换而求出动点轨迹的方程.(4)、参数法:若动点的坐标(x，y)中的x,y,分别随另一个变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数建立轨迹的参数方程.(5)、交轨法:求两动曲线交点的轨迹时,可由方程直接消去参数,例如:求两动直线交点的轨迹时常用此方法,也可以引入参数来建立这些动曲线之间的联系,然后消去参数得到轨迹方程.3.易错点提示:(1):要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”这两个不同的概念；（2）：检验是否有不符合条件或漏掉的点。

二、题型探究探究1：定义法例1：（1）、由动点p向圆错误！未找到引用源。

=1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，错误！未找到引用源。

，求动点P的轨迹方程。

(2)已知错误！未找到引用源。

三边AB,BC,AC的长度成等差数列,点B,C的坐标分别是(-1,0),C(1,0),求点A的轨迹方程.探究2：直接法：例2：已知错误！未找到引用源。

中，BC=2，错误！未找到引用源。

，求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是图形。

探究3：相关点法：例3：已知P是圆错误！未找到引用源。

=1上任意一点，由P向x轴作垂线段PM，M 为垂足，求线段PM的中点N的轨迹。

高考数学一轮复习总教案：9.5 圆锥曲线综合问题

9.5 圆锥曲线综合问题典例精析题型一求轨迹方程【例1】已知抛物线的方程为x2＝2y ，F 是抛物线的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.(1)求证：l1⊥l2；(2)求点M 的轨迹方程.【解析】(1)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12. 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22121x y kx y 消去y 整理得x2－2kx －1＝0.设A 的坐标为(x1，y1)，B 的坐标为(x2，y2)，则有x1x2＝－1，将抛物线方程改写为y ＝12x2，求导得y′＝x. 所以过点A 的切线l1的斜率是k1＝x1，过点B 的切线l2的斜率是k2＝x2. 因为k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.(2)直线l1的方程为y －y1＝k1(x －x1)，即y －x212＝x1(x －x1). 同理直线l2的方程为y －x222＝x2(x －x2). 联立这两个方程消去y 得x212－x222＝x2(x －x2)－x1(x －x1)，整理得(x1－x2)(x －x1＋x22)＝0，注意到x1≠x2，所以x ＝x1＋x22. 此时y ＝x212＋x1(x －x1)＝x212＋x1(x1＋x22－x1)＝x1x22＝－12. 由(1)知x1＋x2＝2k ，所以x ＝x1＋x22＝k ∈R. 所以点M 的轨迹方程是y ＝－12. 【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.【变式训练1】已知△ABC 的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1 C.x29－y216＝1(x ＞3)D.x216－y29＝1(x ＞4)【解析】如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x ＞3)，故选C. 题型二圆锥曲线的有关最值【例2】已知菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD 所在直线的斜率为1.当∠ABC ＝60°时，求菱形ABCD 面积的最大值.【解析】因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD.于是可设直线AC 的方程为y ＝－x ＋n.由⎩⎨⎧+-==+n x y y x ,4322得4x2－6nx ＋3n2－4＝0.因为A ，C 在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－433＜n ＜433. 设A ，C 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝3n 2，x1x2＝3n2－44， y1＝－x1＋n ，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝n 2. 因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.所以菱形ABCD 的面积S ＝32|AC|2. 又|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S ＝34(－3n2＋16) (－433＜n ＜433). 所以当n ＝0时，菱形ABCD 的面积取得最大值4 3.【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n 的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.【变式训练2】已知抛物线y ＝x2－1上有一定点B(－1,0)和两个动点P 、Q ，若BP ⊥PQ ，则点Q 横坐标的取值范围是 .【解析】如图，B(－1,0)，设P(xP ，x2P －1)，Q(xQ ，x2Q －1)，由kBP ·kPQ ＝－1，得x2P －1xP ＋1·x2Q －x2P xQ －xP＝－1. 所以xQ ＝－xP －1xP －1＝－(xP －1)－1xP －1－1. 因为|xP －1＋1xP －1|≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3. 题型三求参数的取值范围及最值的综合题【例3】(2019浙江模拟)已知m ＞1，直线l ：x －my －m22＝0，椭圆C ：x2m2＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C 的左、右焦点.(1)当直线l 过右焦点F2时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G ，H.若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.【解析】(1)因为直线l ：x －my －m22＝0经过F2(m2－1，0)，所以m2－1＝m22，解得m2＝2，又因为m ＞1，所以m ＝ 2.故直线l 的方程为x －2y －1＝0.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1,22222y m x m my x 消去x 得2y2＋my ＋m24－1＝0，则由Δ＝m2－8(m24－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，且有y1＋y2＝－m 2，y1y2＝m28－12. 由于F1(－c,0)，F2(c,0)，故O 为F1F2的中点，由AG ＝2GO ， BH ＝2HO ，得G(x13，y13)，H(x23，y23)， |GH|2＝(x1－x2)29＋(y1－y2)29. 设M 是GH 的中点，则M(x1＋x26，y1＋y26)，由题意可知，2|MO|＜|GH|，即4[(x1＋x26)2＋(y1＋y26)2]＜(x1－x2)29＋(y1－y2)29，即x1x2＋y1y2＜0.而x1x2＋y1y2＝(my1＋m22)(my2＋m22)＋y1y2＝(m2＋1)(m28－12). 所以m28－12＜0，即m2＜4. 又因为m ＞1且Δ＞0，所以1＜m ＜2.所以m 的取值范围是(1,2).【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.【变式训练3】若双曲线x2－ay2＝1的右支上存在三点A 、B 、C 使△ABC 为正三角形，其中一个顶点A 与双曲线右顶点重合，则a 的取值范围为 .【解析】设B(m ，m2－1a )，则C(m ，－m2－1a)(m ＞1)，又A(1,0)，由AB ＝BC 得(m －1)2＋m2－1a＝(2m2－1a )2，所以a ＝3m ＋1m －1＝3(1＋2m －1)＞3，即a 的取值范围为(3，＋∞). 总结提高1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.。

高三数学第一轮复习圆锥曲线(小结)教案

高三数学第一轮复习圆锥曲线(小结)教案高三数学第一轮复习圆锥曲线(小结)教案圆锥曲线一．课前预习：1．设抛物线y2x，线段AB的两个端点在抛物线上，且|AB|3，那么线段AB的中点M到y轴的最短距离是（B）231(B)1(C)(D)222x2y22．椭圆221(ab0)与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点，在劣弧abAB上取一点C，则四边形OACB的最大面积为（B(A)）(A)1ab2(B)2ab2(C)3ab2(D)ab111,0)，C(,0)，且满足sinCsinBsinA，则动点A222的轨迹方程是（D）1616(A)16x2y21(y0)(B)16y2x21(x0)33161161(C)16x2y21(x)(D)16x2y21(x)3434224．已知直线yx1与椭圆mxny1(mn0)相交于A,B两点，若弦AB 中点的横3．ABC中，A为动点，B(x2y214坐标为，则双曲线221的两条渐近线夹角的正切值是．mn335．已知A,B,C为抛物线yx1上三点，且A(1,0)，ABBC，当B点在抛物线上移动时，点C的横坐标的取值范围是(,3][1,)．二．例题分析：2x2y2例1．已知双曲线C：221(a0,b0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正ab半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF|成等比数列，过点F作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线l，垂足为P，（1）求证：PAOPPAFB；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围．a（1）证明：设l：y(xc)，bay(xc)a2abb由方程组得P(,)，ccybxaa2∵|OA|,|OB|,|OF|成等比数列，∴A(,0)，ca2abb2abab∴PA(0,)，OP(,)，FP(,)，ccccca2b2a2b2∴PAOP2，PAFP2，∴PAOPPAFB．cc用心爱心专心（2）设D(x1,y1),E(x2,y2)，ay(xc)a422a4ca4c2b222由2得(b2)x2x(2ab)0，2bbbxy1a2b2a4b2(2a2b2)c0，∴b2a2，即c22a2，∴e2．∵x1x20，∴4ab22b所以，离心率的取值范围为(2,)．2例2．如图，过抛物线x4y的对称轴上任一点P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点，（1）设点P分有向线段AB所成的比为，证明：QP(QAQB)；（2）设直线AB的方程是x2y120，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．2解：（1）设直线AB的方程为ykxm，代入抛物线方程x4y得x24kx4m0设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x24m，xx2x∵点P分有向线段AB所成的比为，得10，∴1，1x2又∵点Q是点P关于原点的对称点，∴Q(0,m)，∴QP(0,2m)，y∴QAQB(x1x2,y1y2(1)m)A∴QP(QAQB)2m[y1y2(1)m]Px12x1x22x1B2m[(1)m]4x24x2xOx1x24m4m4m2m(x1x2)2m(x1x2)04x24x2Q∴QP(QAQB)．（2）由2x2y120x4y2得点A(6,9),B(4,4)，121x，∴yx，∴抛物线在点A处切线的斜率为y|x63，42222设圆C的方程是(xa)(yb)r，1b9则a6，3(a6)2(b9)2(a4)2(b4)23232125解得a,b，,r22232312522∴圆C的方程是(x)2(y)2，即xy3x23y720．222由x4y得y三．课后作业：班级学号姓名用心爱心专心x2y2xy1．直线1与抛物线1相交于A,B两点，该椭圆上的点P使ABP 的面16943积等于6，这样的点P共有（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2．设动点P在直线x1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰RtOPQ，则动点Q的轨迹是（）(A)圆(B)两条平行线(C)抛物线(D)双曲线3．设P是直线yx4上一点，过点P的椭圆的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为．x2y24．椭圆1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么123|PF1|是|PF2|的倍．x2y25．已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线的右支上，ab且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．6．直线l：ykx1与双曲线C：2xy1的右支交于不同的两点A,B，（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．7．22用心爱心专心8．如图，P是抛物线C：y12x上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，2l与抛物线C相交于另一点Q，（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（2）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短用心爱心专心yQMPlOx-4-距离．扩展阅读：高三数学一轮复习精析教案15《圆锥曲线方程及性质》第33讲圆锥曲线方程及性质一．【课标要求】1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质二．【命题走向】本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。

2019-2020学年高三数学一轮复习专题圆锥曲线的参数方程导学案.doc

2019-2020学年高三数学一轮复习专题圆锥曲线的参数方程导学案一、教学目标：知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

(1)圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）（二）、讲解新课： 1.焦点在x 轴的椭圆：12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） 2. 焦点在y 轴的椭圆22221(0)y x b a b a +=>>的参数方程是c o ss i n (2x b y a θθθθ==≤≤π⎨为参数，且0）.★在利用⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作（acos θ,bsin θ）。

例1、已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数)求（1）6πθ=时对应的点P 的坐标（2）直线OP 的倾斜角例2、求椭圆2211612x y +=上的点到直线l ：2120x y --=的最大距离和最小距离。

变式：已知椭圆2214x y +=上任意一点M （除短轴以外）与短轴两端点1B 、2B 的连线分别交x 轴与P 、Q 两点，求证：OP OQ ∙为定值。

【课堂练习】1、当参数θ变化时，动点P （cos ,3sin 2θθ）所确定的曲线必过（）A ．点（2,3）B .点（2,0）C ．点（1,3） D.点（0，2π） 2、设O 是椭圆3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ 的中心，P 是椭圆上对应于6πϕ= 的点，那么直线OP 的斜率为（）B.C.3、椭圆22194x y +=上的点到直线240x y +-=的距离最小值为（）4、定点（2a ,0）和椭圆cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）上个点连线段的中点轨迹方程是 A.2222()144x a y a b -+= B.2222()144x a y a b++= B.2222()144x a y a b --= D.2222()144x a y a b +-={3322x t C y t =+⎧⎨=-+⎩5、已知椭圆的方程为22(1)(2)135x y -++=，则它的参数方程为＿＿＿＿＿＿ 6、点P （x,y ）在椭圆2244x y +=上，则x+y 的最大值为＿＿＿＿；最小值为＿＿＿＿7、已知极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，若曲线1C 的极坐标方程为cos()4πρθ-=曲线2C的参数方程2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），试求曲线1C 、2C 的焦点的直角坐标.8、已知曲线1C ：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）（1）化1C 、2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为t=2π，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3C ：322x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值.（三）、巩固训练1、曲线)(11为参数t t t y t t x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=的普通方程为2、曲线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（） A ．21 B ．22 C ．1 D ．2 4、已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数)求（1）6πθ=时对应的点P 的坐标（2）直线OP 的倾斜角（四）、小结：本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。

2019-2020学年高考数学一轮复习-圆锥曲线与方程学案-

圆锥曲线与方程离心率,ab a ac e 22222-==，e 越大椭圆越，e 越小椭圆越。

准线方程准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：顶点到准线的距离顶点1A （2A ）到准线1l （2l ）的距离为a ca -2顶点1A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a ca +2焦点到准线的距离焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为椭圆上到焦点的最大（小）距离最大距离为：最小距离为：相关应用题：远日距离：近日距离：直线和椭圆的位置椭圆12222=+by a x 与直线y kx b =+的位置关系：利用22221x y a b y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩转化为一元二次方程用判别式确定。

相离：相切：相交：相交弦AB 的弦长2212121()4AB k x x x x =++- 通径：21AB y y =-=过椭圆上一点的切线 12020=+byy a x x 利用导数 00221y y x xa b+= 利用导数焦半径左焦半径：右焦半径：上焦半径：下焦半径：焦点弦左焦点弦：右焦点弦：上焦点弦：下焦点弦：椭圆中解题技巧：例8、已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b = .例9、焦点在x 轴上的椭圆c 的一顶点为B （0，-1），右焦点到直线m ：x-y+22=0的距离为3，（1）求c 的方程；（2）是否存在斜率k ≠0的直线与c 交于两点M 、N ，使|BM|=|BN|？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，注明理由。

例10、（2010年高考浙江卷理科21）（本小题满分15分）已知m>1,直线l:x-my-2m 2=0, 椭圆C ：（x m）2+y 2=1 ，F 1,,F 2分别为椭圆C 的左右焦点。

高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题

备考例题 3
已知
F1，F2
为椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A a2 b2
是椭圆上位于第一象限内的一点，点
B
也在椭圆上，且满足O→A＋O→B＝
0(O 为坐标原点)，且A→F2·F→1F2＝0，若椭圆的离心率等于 2. 2
(1)求直线 AB 的方程；
(2)若△ABF2 的面积为 4 2，求椭圆的方程；
则 P 到直线 y＝ 2x 的距离为 2
|2
2cosθ－2 6
2sinθ|＝4 3
6|cos(θ＋π)|≤4 43
6＜4，故椭圆上不存在点 M 使△MAB 面积为 8
3.
2
题型四
圆锥曲线与其他知识交汇的问题
1－ky0－1＋ky0
∴kEF＝yxEE－－yxFF＝(1－kky
－k 0)2－(1＋ky
0)2
k2
k2
2
＝ k ＝－ 1 (定值)，－4ky0 2y0
k2 所以直线 EF 的斜率为定值.
题型二最值与范围问题
①正确理解圆锥曲线的定义、标思维提准方程；
示 ②联立方程组，对有关参数进行讨论.
[解] (1)∵F0(c,0)，F1(0， b2－c2)，F2(0，－ b2－c2)，
∴|F0F1|＝ (b2－c2)＋c2＝b＝1，
|F1F2|＝2 b2－c2＝1⇒c2＝3， 4
于是 a＝1 (x≥0) 7
所求“果圆”的方程为 y2＋4x2＝1 (x≤0)
.
m2 m2－1
(2)设 Q(x1，y1)， ∵P(m，y0)，P→F＝λF→Q，
2
1－m＝λ(x1－1)
∴2
，
－y0＝λy1

高考数学一轮复习专题01 圆锥曲线方程(轨迹方程)(解析版)

解析几何专题一：轨迹方程一、知识储备 1、曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0F x y =的解； ②以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点．此时，把方程(,)0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法：（1）定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

(2)直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

(3)参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标,x y 与该参数t 的函数关系()x f t =，()y g t =，进而通过消参化为轨迹的普通方程(,)0F x y =.(4)代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P '的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线y x 、方程），则可以设出(,)P x y ，用(,)x y 表示出相关点P '的坐标，然后把P '的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

高三数学一轮 8.3 圆锥曲线精品复习学案

高三数学一轮 8.3 圆锥曲线精品复习学案【高考目标导航】一、曲线与方程1．考纲点击(1)了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系;(2)了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法;(3)能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.2．热点提示（1）求轨迹方程是高考的重点和热点；（2）常以解答题的第一问的形式出现. 一般用直接法、定义法或相关点法求解，所求轨迹一般为圆锥曲线，属中低档题。

二、椭圆1．考纲点击（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；（2）了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用。

（3）理解数形结合的思想2．热点提示（1）椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。

（2）定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中高档题目。

三、双曲线1．考纲点击（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。

（2）了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用。

（3）理解数形结合的思想。

2．热点提示（1）双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；双曲线与其他圆锥曲线的交汇命题是热点。

（2）主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。

四、抛物线1．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。

（2）理解数形结合的思想。

（3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。

2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。

（2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。

有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。

【考纲知识梳理】一、曲线与方程1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。

高三数学大一轮复习圆锥曲线综合板块一轨迹方程(1)学案

【例1】平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()()2113A B --，，，，若点C 满足OC OA OB αβ=+其中01αβ≤，≤，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为（）A ．2340x y +-=B ．()2211252x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．()435012x y x +-=-≤≤D ．()38012x y x -+=-≤≤【例2】 P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【例3】已知P 为抛物线22(0)x py p =>上的动点，F 为抛物线的焦点，过F 作抛物线在P 点处的切线的垂线，垂足为G ，则点G 的轨迹方程为（） A ．222x y p +=B ．2py =- C ．22224p p x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．0y =【例4】已知定点(30)B ，，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且13AM MB =，则点M 的轨迹方程是___________．【例5】若点11()P x y ，在圆221x y +=上运动，则点1111()Q x y x y +，的轨迹方程是______________典例分析板块一.轨迹方程（1）【例6】由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=°，则动点P 的轨迹方程为【例7】动点P 是抛物线221y x =+上任一点，定点为(01)A -，，点M 分PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为_____________．【例8】线段AB 过x 轴正半轴上一点(0)M m ，(0)m >，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为【例9】到直线20x y -=和20x y -=的距离相等的动点的轨迹方程是．【例10】已知102A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B 是圆221:()4(2F x y F -+=为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为．【例11】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在A 上，且13AM AB =，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线11A D 的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是．A D【例12】点M 与点(40)F ，的距离比它到直线l ：50x +=的距离小于1，则点M 的轨迹方程是__________【例13】过抛物线24x y =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________【例14】已知动点P 到定点(10)F ，和直线3x =的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．【例15】已知点()x y ，在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的第一象限上运动．求点y xy x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，的轨迹1C 的方程．【例16】圆C ：22(5)(4)6x y -+-=内的一定点(43)，A ，在圆上作弦MN ，使90MAN ︒∠=，求弦MN 的中点P 的轨迹方程．【例17】已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，12()2AD AE AB AD ==+，．①求点E 的轨迹方程；②过A 作直线交以A ，B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程．【例18】 AB 是圆O 的直径，且||2AB a =，M 为圆上一动点，作MN AB ⊥，垂足为N ，在OM上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹方程．【例19】求到两不同定点距离之比为一常数(0)λλ≠的动点的轨迹方程．【例20】已知点P 到两个定点(10)M -，、(10)N ，N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．【例21】已知点(30)P -，，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，且0PA AQ ⋅=．点M 在直线AQ 上，满足32AM MQ =-．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程．【例22】已知ABC ∆中，A B C ∠∠∠，，所对的边分别为a b c ，，，且a c b >>成等差数列，2AB =，求顶点C 的轨迹方程．【例23】过点(13)P ，作两条相互垂直的直线12l l ，，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【例24】已知动点P 与双曲线221x y -=的焦点12F F ，的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-．求动点P 的轨迹方程．【例25】已知圆1M ：22(4)25x y ++=，圆2M ：22(4)1x y -+=，一动圆与这两个圆都外切．求动圆圆心P 的轨迹方程；【例26】设1F ，2F 分别是椭圆C ：2222162x y m m +=(0)m >的左，右焦点．⑴当P C ∈，且210PF PF ⋅=，12||||8PF PF ⋅=时，求椭圆C 的左，右焦点1F 、2F ． ⑵1F 、2F 是⑴中的椭圆的左，右焦点，已知圆2F 的半径是1，过动点Q 作圆2F 切线QM ，使得12QF =（M 是切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．MQ (x , y )yxF 2F 1O【例27】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1||2F Q a =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足220||0PT TF TF ⋅=≠，．求点T 的轨迹C 的方程．【例28】已知(70)(70)(212)A B C --，，，，，，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一焦点的轨迹．【例29】已知点A B ，分别是射线()1:0l y x x =≥，()2:0l y x x =-≥上的动点，O 为坐标原点，且OAB ∆ 的面积为定值2，求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程．【例30】已知点(40)A m ，，(0)B m ，，（m 是大于0的常数，）动点P 满足(4)6||AB AP x m m PB ⋅=-，求点P 的轨迹C 的方程．【例31】在ABC △中，A 点的坐标为()3,0，BC 边长为2，且BC 在y 轴上的区间[]3,3-上滑动．⑴求ABC △外心的轨迹方程；⑵设直线l ：3y x b =+与⑴的轨迹交于E 、F 两点，原点到直线l 的距离为d ，求EF d的最大值．并求出此时b 的值．【例32】点P 是曲线22412390x y x y ++-+=上的动点，直线10x y -+=是线段PQ 的中垂线，求点Q 的轨迹方程．【例33】已知点(22)A ，，(22)B --，，点P 满足22PA PB -=，求点P 满足的轨迹方程．【例34】设A B ，是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．【例35】在ABC △中，BC 固定，顶点A 移动．设||2BC =，当三个角A B C ，，满足条件1|sin sin |sin 2C B A -=时，求顶点的轨迹方程．【例36】已知直线1l ：523(31)0x y m m -++=和2l ：263(920)0x y m m +-+=，⑴求此两直线的交点P 的轨迹方程；⑵当m 为何值时，直线1l 、2l 的交点P 到直线43120x y --=的距离最短．【例37】直线y kx =与圆2264100x y x y +--+=相交于两个不同点A B ，，当k 取不同实数值时，求AB 中点的轨迹方程．【例38】已知(20)A -，，(20)B ，，动点P 与A B ，两点连线的斜率分别为1k 和2k ，且满足12(01)k k t t =≠-，．⑴求动点P 的轨迹C 的方程；⑵当0t <时，C 的两个焦点为12F F ，，若曲线C 上存在点Q 使得12120FQF ∠=，求t 的取值范围．。

2020年高三数学一轮复习导学案：圆锥曲线综合

第53课时圆锥曲线综合（一）【复习目标】⒈理解圆锥曲线的统一定义并能应用定义分析解决问题； ⒉能熟练地运用圆锥曲线方程及性质解题。

【教学过程】一、基础训练题:1．动点P 与点)0,1(F 间的距离比点P 到直线2:=x l 的距离小1，则点P 的轨迹方程为。

2．过点)0,2(-M 的直线l 与椭圆2222=+y x 交于21,P P 两点，线段21P P 的中点为P ，设直线l 的斜率为)0(11≠k k ，直线OP 的斜率为2k ，则21k k ⋅的值为； 3．已知21,F F 是椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从焦点2F 引∠21QF F 外角平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是。

4．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是准线上一点，且21PF PF ⊥，ab PF PF 4||||21=⋅则双曲线的离心率是5．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交与点A ，l AK ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是 6．已知P 为抛物线241x y =上的任意一点，F 为抛物线的焦点，点A 坐标为)1,1(，则PA PF +的最小值是____________。

7．已知P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，P 与两焦点连线互相垂直，且到两准线距离分别为6，12，则椭圆方程为_____________________。

8．若P 点到定点（0，10）的距离与它到定直线y =185的距离之比是53，则点P 的轨迹方程为。

9．已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，D C ,是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线BD AC ,的斜率分别为12,k k ，且12120.||||k k k k ≠+若的最小值为3，则椭圆的离心率为。

高三数学第一轮复习单元讲座第35讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题教案新人教版

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座35）—曲线方程及圆锥曲线的一．课标要求：1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3．了解圆锥曲线的简单应用。

二．命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。

但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。

1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。

预测07年高考：1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。

三．要点精讲1．曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。

这是求曲线方程的基本方法。

转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。

即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。

几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。

参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。

如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。

2．圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

【例1】平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()()2113A B --，，，
，若点C 满足OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r
其中01αβ≤，≤，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为（）
A ．2340x y +-=
B ．()2
211252x y ⎛
⎫-+-= ⎪⎝
⎭
C ．()435012x y x +-=-≤≤
D ．()38012x y x -+=-≤≤
【例2】 P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足
为M ，则点M 的轨迹是（） A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
【例3】已知P 为抛物线22(0)x py p =>上的动点，F 为抛物线的焦点，过F 作抛物线在P 点
处的切线的垂线，垂足为G ，则点G 的轨迹方程为（） A ．222x y p +=
B ．2
p
y =- C ．2
22
24p p x y ⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭
D ．0y =
【例4】已知定点(30)B ，，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且
13
AM MB =u u u u r u u u r
，则点M 的轨迹方程是___________．
【例5】若点11()P x y ，在圆221x y +=上运动，则点1111()Q x y x y +，
的轨迹方程是______________
典例分析
板块一.轨迹方程（1）
【例6】由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=°，
则动点P 的轨迹方程为
【例7】动点P 是抛物线221y x =+上任一点，定点为(01)A -，，点M 分PA u u u r
所成的比为2，
则M 的轨迹方程为_____________．
【例8】线段AB 过x 轴正半轴上一点(0)M m ，(0)m >，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，
以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为
【例9】到直线20x y -=和20x y -=的距离相等的动点的轨迹方程是．
【例10】已知102A ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
，B 是圆221:()4(2F x y F -+=为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为．
【例11】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在A 上，且1
3
AM AB =，点P 在平
面ABCD 上，且动点P 到直线11A D 的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是．
A D
【例12】点M 与点(40)F ，的距离比它到直线l ：50x +=的距离小于1，则点M 的轨迹方程
是__________
【例13】过抛物线24x y =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨
迹方程是________
【例14】已知动点P 到定点(10)F ，和直线3x =的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．
【例15】已知点()x y ，在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的第一象限上运动．
求点y xy x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，的轨迹1C 的方程．
【例16】圆C ：22(5)(4)6x y -+-=内的一定点(43)，A ，在圆上作弦MN ，使90MAN ︒∠=，
求弦MN 的中点P 的轨迹方程．
【例17】已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，
12()2
AD AE AB AD ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，．
①求点E 的轨迹方程；
②过A 作直线交以A ，B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为
4
5
，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程．
【例18】 AB 是圆O 的直径，且||2AB a =，M 为圆上一动点，作MN AB ⊥，垂足为N ，在OM
上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹方程．
【例19】求到两不同定点距离之比为一常数(0)λλ≠的动点的轨迹方程．
【例20】已知点P 到两个定点(10)M -，、(10)N ，N 到直线PM 的距离为
1．求直线PN 的方程．
【例21】已知点(30)P -，，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，且0PA AQ ⋅=u u u r u u u r
．点M 在
直线AQ 上，满足32
AM MQ =-u u u u r u u u
u r ．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方
程．
【例22】已知ABC ∆中，A B C ∠∠∠，，所对的边分别为a b c ，，，且a c b >>成等差数列，
2AB =，求顶点C 的轨迹方程．
【例23】过点(13)P ，作两条相互垂直的直线12l l ，
，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．
【例24】已知动点P 与双曲线221x y -=的焦点12F F ，的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最
小值为1
3
-．求动点P 的轨迹方程．
【例25】已知圆1M ：22(4)25x y ++=，圆2M ：22(4)1x y -+=，一动圆与这两个圆都外切．求
动圆圆心P 的轨迹方程；
【例26】设1F ，2F 分别是椭圆C ：22
22
162x y m m +=(0)m >的左，右焦点．
⑴当P C ∈，且210PF PF ⋅=u u u r u u u r
，12||||8PF PF ⋅=时，求椭圆C 的左，右焦点1F 、2F ．
⑵1F 、2F 是⑴中的椭圆的左，右焦点，已知圆2F 的半径是1，过动点Q 作圆2F 切线QM ，使得12QF =（M 是切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．
M
Q (x , y )
y
x
F 2
F 1
O
【例27】已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，Q 是椭圆外的动点，满
足1||2F Q a =u u u r
．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足220||0PT TF TF ⋅=≠u u u r u u u r u u u r ，．求点T 的轨迹C 的方程．
【例28】已知(70)(70)(212)A B C --，，，，，，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，求椭
圆另一焦点的轨迹．
【例29】已知点A B ，分别是射线()1:0l y x x =≥，()2:0l y x x =-≥上的动点，O 为坐标原点，
且OAB ∆ 的面积为定值2，求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程．
【例30】已知点(40)A m ，，(0)B m ，，（m 是大于0的常数，）动点P 满足
(4)6||AB AP x m m PB ⋅=-u u u r u u u r u u u r
，求点P 的轨迹C 的方程．
【例31】在ABC △中，A 点的坐标为()3,0，BC 边长为2，且BC 在y 轴上的区间[]3,3-上滑
动．
⑴求ABC △外心的轨迹方程；
⑵设直线l ：3y x b =+与⑴的轨迹交于E 、F 两点，原点到直线l 的距离为d ，求EF d
的最大值．并求出此时b 的值．
【例32】点P 是曲线22412390x y x y ++-+=上的动点，直线10x y -+=是线段PQ 的中垂
线，求点Q 的轨迹方程．
【例33】已知点(22)A ，，(22)B --，
，点P 满足22PA PB -=，求点P 满足的轨迹方程．
【例34】设A B ，是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分
线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．
【例35】在ABC △中，BC 固定，顶点A 移动．设||2BC =，当三个角A B C ，，满足条件
1
|sin sin |sin 2
C B A -=时，求顶点
的轨迹方程．
【例36】已知直线1l ：523(31)0x y m m -++=和2l ：263(920)0x y m m +-+=，
⑴求此两直线的交点P 的轨迹方程；
⑵当m 为何值时，直线1l 、2l 的交点P 到直线43120x y --=的距离最短．
【例37】直线y kx =与圆2264100x y x y +--+=相交于两个不同点A B ，，
当k 取不同实数值时，求AB 中点的轨迹方程．
【例38】已知(20)A -，，(20)B ，，动点P 与A B ，两点连线的斜率分别为1k 和2k ，且满足
12(01)k k t t =≠-，．
⑴求动点P 的轨迹C 的方程；
⑵当0t <时，C 的两个焦点为12F F ，，若曲线C 上存在点Q 使得12120FQF ∠=o
，
求t 的取值范围．。

高三数学大一轮复习 圆锥曲线综合 板块一 轨迹方程学案