2.4.2 等比数列(二) 教师版

2.4.2等比数列（二）编制人:高二数学组 审核人: 【使用说明】:1.课前认真研读课本,完成自主研读学习单设计的问题..2.课堂内限时完成合作探究学习单,书写规范.3.找出疑问和不能独立解决的问题,通过合作探究,教师指导等方式解决.4.课后认真完成反馈巩固学习单. 【学习目标】1．灵活应用等比数列的定义及通项公式． 2．熟悉等比数列的有关性质．3．系统了解判断是否成等比数列的方法．※自主研读学习单※1．等比数列的通项公式：a n ＝ ，推广形式：a n ＝a m · (n ，m ∈N *)．2．如果一个数列{a n }的通项公式为a n ＝aq n ，其中a ，q 都是不为0的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为 ，公比为 .3．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有 __________，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝ .4．若{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，即a 1·a n ＝a 2· ＝…＝a k · .探究点一 等比数列的单调性探究 观察下面几个等比数列中项的变化趋势： ①1,2,4,8,16，…②－1，－12，－14，－18，－116，…③9,3,1，13，19，…④－1，－2，－4，－8，－16，…⑤1，－12，14，－18，116，…通过上面的例子，可以得出下列结论：当q ＜0时，等比数列既不是递增数列，也不是递减数列，而是 _____数列；当a 1＞0，q ＞1时，等比数列是 数列； 当a 1＞0,0＜q ＜1时，等比数列是 数列； 当a 1＜0，q ＞1时，等比数列是 数列； 当a 1＜0,0＜q ＜1时，等比数列是 数列．综上所述，等比数列单调递增⇔ ； 等比数列单调递减⇔ . 摆动 递增 递减 递减 递增 ⎩⎨⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎨⎧ a 1＜00＜q ＜1 ⎩⎨⎧a 1＞00＜q ＜1或⎩⎨⎧a 1＜0q ＞1探究点二 等比数列的性质探究1 在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝s ＋t ，证明a m ·a n ＝a s ·a t (m ，n ，s ，t ∈N *)． 证明 ∵a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，∴a m ·a n ＝a 21·q m ＋n －2，同理，a s ·a t ＝a 21q s ＋t －2， ∵m ＋n ＝s ＋t ，∴a m ·a n ＝a s ·a t .探究2 在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝2k ，证明a m ·a n ＝a 2k (m ，n ，k ∈N *)． 证明 ∵a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，∴a m ·a n ＝a 21q m ＋n －2，∵a k ＝a 1q k －1，∴a 2k ＝a 21·q 2k －2. ∵m ＋n ＝2k ，∴a m ·a n ＝a 2k .问题 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 3a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝_____. 解析 ∵a 3a 5＝a 24＝4，a n >0，∴a 4＝2. ∴a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1a 7)·(a 2a 6)·(a 3a 5)·a 4＝43×2＝128. 探究点三 等比数列的判断方法探究1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？答 (1)定义法：a n ＋1a n ＝q (常数)；(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)； (3)通项法：a n ＝a 1q n －1(a 1q ≠0，n ∈N *)．问题1 若数列{a n }为等差数列，公差为d ，b n ＝n a c (c >0且c ≠1)，试问数列{b n }是什么数列？并证明你的结论． {b n }为等比数列．问题2 若数列{a n }为等比数列，公比为q ，且a n >0，b n ＝lg a n ，试问数列{b n }是什么数列？并证明你的结论． 答 数列{b n }是等差数列．∵b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ＝lg q (常数)． ∴{b n }为等差数列．※合作探究学习单※【典型例题】例1已知{a n}为等比数列．(1)若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25，∵a n>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95.∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝5log39＝10.跟踪训练1设{a n}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝215，求a2·a5·a8·…·a29的值．解a1·a2·a3·…·a30＝(a1a30)·(a2a29)·…·(a15·a16)＝(a1a30)15＝215，∴a1a30＝2.a2·a5·a8·…·a29＝(a2a29)·(a5a26)·(a8a23)·(a11a20)·(a14a17)＝(a2a29)5＝(a1a30)5＝25＝32.例2已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，(1)求证：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求{a n}的通项公式．1)证明∵a n＋1＝2a n＋1，∴a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴a n＋1＋1a n＋1＝2，且a1＋1＝2.∴{a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)知{a n＋1}是等比数列．公比为2，首项为2.∴a n＋1＝2n.∴a n＝2n－1.小结利用等比数列的定义a n＋1a n＝q(q≠0)是判定一个数列是等比数列的基本方法．要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如a22≠a1a3.跟踪训练2设{a n}、{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n＝a n＋b n，证明数列{c n}不是等比数列．证明设{a n}、{b n}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，p≠q，c n＝a n＋b n.要证{c n}不是等比数列，只需证c22≠c1·c3成立即可事实上，c22＝(a1p＋b1q)2＝a21p2＋b21q2＋2a1b1pq，c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝a21p2＋b21q2＋a1b1(p2＋q2)．由于c1c3－c22＝a1b1(p－q)2≠0，因此c22≠c1·c3，故{c n}不是等比数列．例3某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)解记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，a n，….则依题意可得a1＝5，a na n－1＝1.2(n≥2且n∈N*)，从而a n＝5×1.2n－1，这里a n＝30，故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝lg 6lg 1.2＝0.7780.079≈9.85.故n＝11.答从2021年开始该糖厂年制糖量开始超过30万吨．跟踪训练3在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的第一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染到多少万台计算机？解每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为a1＝80，公比为q＝20的等比数列．则a5＝a1q4＝80×204＝1 280×104＝1 280(万台)．答到第5轮可以感染到1 280万台计算机．1．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A．100 B．－100C．10 000 D．－10 000解析∵lg(a3a8a13)＝lg a38＝6，∴a38＝106⇒a8＝102＝100.又a1a15＝a28＝10 000.2．某种产品平均每两年降低价格13，目前售价为8 100元，则4年后此产品的价格为()A．2 700元B．3 600元C．4 800元D．5 400元解析6年后此产品售价为8 100×(1－13)2＝8 100×49＝3 600元．3．一直角三角形的三边边长成等比数列，则() A．三边边长之比为3∶4∶5B．三边边长之比为1∶3∶3C．较小锐角正弦值为5－1 2D．较大锐角正弦值为5－1 2解析设三边为a，aq，aq2 (q>1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝5＋1 2.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q2＝5－12.4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．解析设这8个数组成的等比数列为{a n}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n＋1a n＝q (与n无关的常数)．(2)利用等比中项：a2n＋1＝a n a n＋2 (n∈N*)．2．解等比数列的问题的基本方法是基本量法，但利用等比数列的性质会大大提高解题速度，这些性质在课本中没有提出，但在习题中却时有出现，所以有必要总结一些，并会推证，但不必过多、过细．3．解与等比数列有关的应用题，要抓住其中带有等比数列特征的关键性语言，如“每年平均增长P%”“每次是上次的几分之几”等，建立等比数列的模型，再用数列的相关知识解之．※反馈巩固学习单※一、选择题1．在等比数列{a n}中，a1＝1，公比|q|≠1.若a m＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9 B．10C．11 D．12答案 C解析在等比数列{a n}中，∵a1＝1，∴a m＝a1a2a3a4a5＝a51q10＝q10.∵a m＝a1q m－1＝q m－1，∴m－1＝10，∴m＝11.2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于() A．3 B．2 C．1 D．－2答案 B解析∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋cn ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析 设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c2， 则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q＝2.4．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35. ∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310. ∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝5 2.5．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( ) A.43 B.34 C ．2 D ．343 答案 A解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. 6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32 答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1， 由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32.二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________. 答案 4解析 由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4.8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6. 9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }， 则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎨⎧y 2＝x (18－y )2(18－y )＝y ＋(21－x )，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可． 事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ， c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． 能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D 解析依题意有⎩⎨⎧2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎨⎧a ＋c ＝4，a 2＝2c⇒a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符， ∴a ＝－4.14．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋94依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝13a 6＝323求⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝323a 6＝13当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 6＝323时q ＝2∴a n ＝13·2n －123a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列，∴a n ＝13·2n －1当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n23a 2＋a 4＋49≠2a 23， ∴不符合题意，∴通项公式a n ＝13·2n －1.1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在a n ，a n＋1，a n ＋2，使a 2n ＋1≠a n ·a n ＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。