2014届高考一轮复习数学4.1三角函数的基本概念、弧度制、任意角的三角函数

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高考数学一轮复习专题4.1 任意角和弧度制及任意角的

第01节任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测 1.任意角的概念、弧度制了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.无1.三角函数的定义；2.扇形的面积、弧长及圆心角.3.备考重点： (1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.2.三角函数的定义理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.无【知识清单】1．象限角及终边相同的角 1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．对点练习：下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋94π(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.kπ＋5π4(k ∈Z )【答案】C.确.2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线对点练习：【河南省林州一中2017-2018上学期开学】已知角α终边经过点3122P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则cos α=（） A.123312±【答案】B【解析】由于31,2r OP x ===，所以由三角函数的定义可得3cos 2x r α==，应选答案B.3. 扇形的弧长及面积公式弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.对点练习：已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】(1) 10π3(cm).(2)圆心角为12.(3)l ＝10，α＝2.【解析】(1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R＝π3×10＝10π3(cm).【考点深度剖析】高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．【重点难点突破】考点1 象限角及终边相同的角【1-1】已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M=18045,,N=18045,24k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=⨯+∈=⨯+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z o o o o ，判断两集合的关系．【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2)M N ⊆. 【解析】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而M N ⊆.【1-2】若sin 0θ>且sin 20θ>，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【1-3】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }【解析】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．【1-4】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上．综上所述，2的终边在第一象限或第三象限．【领悟技法】1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°(k ∈Z )的理解;(1)k ∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角3.已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置【触类旁通】【变式一】如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )【答案】C当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.考点2 三角函数的定义【2-1】已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114 C ．－4 D ．4【答案】C【解析】由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，又m <0，解得m ＝－4.【2-2】已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3B ．± 3 C.33D ．±33【答案】B【解析】由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12，tan α＝± 3.【2-3】已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2【答案】B【解析】根据已知条件得tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时，tan α取得最小值2.【2-4】已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6 【答案】D【领悟技法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【触类旁通】【变式一】已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.【变式二】已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．【答案】0【解析】设α终边上任一点为P (k ，－3k )，则r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.考点3 扇形的弧长及面积公式【3-1】【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【答案】833π 【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为rcm ，由sin60°=6r，得r=43cm ， ∴l=n πr 180=2π3×43= 833π cm. 【3-2】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【答案】当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大【领悟技法】(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【触类旁通】【变式一】一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C. 3 D. 2 【答案】C【变式二】一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．【答案】(7＋43)∶9【解析】设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝1＋233r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439. 【易错试题常警惕】易错典例：已知角α的终边过点(,2)m m ,0m ≠,求角α的的正弦值、余弦值. 易错分析：学生在做题时容易遗忘0m <的情况．正确解析：当0m <时，2555,sin ,cos r m αα=-=-=-；当0m >时，2555,sin ,cos r m αα=-== 温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

高三数学一轮复习知识点专题4-1任意角和弧度制及任意角的三角函数

高三数学一轮复习知识点专题专题专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考情分析】1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 【重点知识梳理】知识点一角的概念 1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．知识点二弧度制及应用 1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式知识点三任意角的三角函数有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线【典型题分析】高频考点一象限角的判断【例1】（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（） A. cos2α>0 B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0【答案】D 【解析】当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；【变式探究】（2020·黑龙江省宁安市一中模拟）设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅【答案】B【解析】由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B 。

新课改高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角和弧度制任意角的三角函数讲义含解析

新课改版高考数学一轮复习第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数突破点一角的概念[基本知识]1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)第二象限角大于第一象限角．( )(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角．( ) (3)终边在y ＝x 上的角构成的集合可表示为{ α| α＝π4＋k π，k ∈Z }.()答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.答案：220°2．已知角α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝________.解析：因为角α与β的终边关于直线y ＝x 对称．所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，则α＝2k π＋56π，k ∈Z.所以sin α＝sin 56π＝12.答案：123．已知α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．解析：由α是第二象限角可得，90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ，所以180°－(180°＋k ·360°)<180°－α<180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°<180°－α<90°－k ·360°(k ∈Z)．所以180°－α为第一象限角．答案：一象限角及终边相同的角(1)要使角β与角α的终边相同，应使角β为角α与π的偶数倍(不是整数倍)的和． (2)注意锐角(集合为{α|0°<α<90°})与第一象限角(集合为{α|k ·360°<α<90°＋k ·360°，k ∈Z})的区别，锐角是第一象限角，仅是第一象限角中的一部分，但第一象限角不一定是锐角．[典例感悟]1．(2019·长春普通高中一模)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{ α⎪⎪⎪ α＝k π－π3，k ∈Z }.故选D.2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z)，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z)，解得－765360≤k <－45360(k ∈Z)，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°3．若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．解析：∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z.当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．答案：一或三[方法技巧]1．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．2．求θn或n θ(n ∈N *)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k ，且k ∈Z)表示． (2)两边同除以n 或乘以n .(3)对k 进行讨论，得到θn或n θ(n ∈N *)所在的象限．[针对训练]1．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与角β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，所以角α与角β的终边关于x 轴对称．2．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角．突破点二弧度制及应用[基本知识]1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关．( ) (2)1弧度是长度等于半径长的弦所对圆心角的大小．( ) (3)60°＝π6 rad.( )答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题1．一条弦的长度等于半径，这条弦所对圆心角大小为________弧度．解析：弦与两条半径构成等边三角形，圆心角为π3.答案：π32．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．解析：设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案：π3[典例感悟]1．已知扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2. 解析：由弧长公式l ＝|α|r ，得r ＝20100π180＝36π，∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π.答案：360π2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6，所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·23r2πr ＝518.答案：518[方法技巧]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．[针对训练]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或4解析：选 C 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.2．(2019·平罗月考)已知扇形的周长为20 cm ，当它的面积最大时，它的圆心角的弧度数为________．解析：因为扇形的周长为20，所以l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，所以扇形的面积S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25，所以当半径r ＝5时，扇形的面积最大为25，此时α＝2(rad)．答案：23.(2018·湖北黄石三中阶段性检测)分别以边长为1的正方形ABCD 的顶点B ，C 为圆心，1为半径作圆弧AC ，BD ，两弧交于点E ，则曲边三角形ABE 的周长为________．解析：连接BE ，CE .因为两圆弧所在圆的半径都是1，正方形边长也是1，所以△BCE 为正三角形，所以圆心角∠EBC ，∠ECB 都是π3，∠EBA ＝π2－π3＝π6.所以弧BE 的长为π3×1＝π3，弧AE 的长为π6×1＝π6，所以曲边三角形ABE 的周长是1＋π3＋π6＝1＋π2. 答案：1＋π2突破点三任意角的三角函数[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若角θ的终边在直线y ＝2x 上，则tan α＝2.( ) (2)若sin θcos θ>0，则θ在第一象限内．( ) (3)0<α<π2，则sin α<tan α.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ 二、填空题1．已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝________. 解析：因为|OP |＝－2＋22＝5(O 为坐标原点)，所以sin α＝25＝255.答案：2552．在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，且点A 在第二象限，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－353．比较大小．(填“>”、“<”或“＝”) (1)sin π4________cos π4；(2)sin π5________cos π5；(3)sin 2π3________tan 2π3.答案：(1)＝ (2)< (3)>[全析考法]考法一三角函数值的符号判断[例1] (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)(2019·沈阳重点高中期末联考)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b[解析] (1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(2)b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，c ＝tan 35°>sin 35°＝b ，∴c >b >a .故选A.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]1．三角函数值符号及角的位置判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．2．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．考法二三角函数的定义[例2] (1)(2018·榆林第一次测试)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边经过点P ( 35，－45)，则cos α·tan α的值是( )A ．－45B.45C ．－35D.35(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，cos α＝－35，则点A 的坐标为________．[解析] (1)因为角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，所以cos α＝35，tan α＝－43，所以cos α·tan α＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－45.(2)∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. [答案] (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 [方法技巧]三角函数定义应用策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(4)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．考法三三角函数线的应用[例3] 函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． [解析] ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z) [方法技巧]利用三角函数线求解三角不等式的方法对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．[集训冲关]1.[考法一]设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A.2.[考法二]已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选 C sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，角α终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，又0°≤α<360°，所以角α为300°，故选C.3.[考法二]在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m＝ 3.答案： 34.[考法三]在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，11 sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4。

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件理

(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α 用集合可表示为_(2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__56_π_)_(k_∈__Z__) . 答案解析
在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π， ∴所求角的集合为2kπ＋4π，2kπ＋56π(k∈Z).
弧度数是答案解析
π
π
A.3
B.6
C.－π3
D.－π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 1 . 6
即为－16×2π＝－π3.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
π
π
A.6
B.3
C.3
D. 3
答案
解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个
负数，零角的弧度数是 0 .
π
180
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝180 rad，1 rad＝

π

.
1 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. 解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r， S＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，当r＝5时，S的最大值为25. 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2(rad). 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.

(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《任意角和弧度制及任意角的三角函数》理新人教B版

[第17讲任意角和弧度制及任意角的三角函数](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．[2013·石家庄检测] 若α是第四象限的角，则下列函数值一定是负值的是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．tan α2D ．cos2α2．[2013·东北师大附中检测] 已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( )A ．第二或第四象限B ．第一或第三象限C ．第二或第四象限或x 轴上D ．第一或第四象限或x 轴上3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4C ．1或4D ．2或44．点P 从点(0，1)开始沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针第一次运动到点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22时，转过的角是________．能力提升5．[2013·唐山检测] 已知sin θ＝34，且角θ的终边在第二象限，那么2θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．[2013·山西实验中学检测] 下列说法正确的是( ) A ．第二象限的角比第一象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 7．记a ＝sin(cos2 010°)，b ＝si n(sin2 010°)，c ＝cos(sin2 010°)，d ＝cos(cos2 010°)，则a ，b ，c ，d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d8．已知角α的终边上一点的坐标为sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正角是( )A.11π6 B.12π7 C.2π3 D.π39．已知△ABC 是锐角三角形，则点P cos B －sin A ，tan B －1tan C在第________象限．10．[2013·长春实验中学检测] 已知扇形AOB 的圆心角∠AOB 为120°，半径长为6，则弓形AOB 的面积是________．11．函数y ＝sin x ＋lg(2cos x －1)的定义域为________________．12．(13分)如图K17－1，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限．C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形． (1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .难点突破13．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点P 12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．课时作业(十七)【基础热身】1．C [解析] ∵2k π＋3π2<α<2k π＋2π，k∈Z ，∴k π＋3π4<α2<k π＋π，k ∈Z ，∴α2在第二或第四象限，tan α2<0一定成立． 2．C [解析] |cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，∴cos θ≥0，tan θ≤0，即θ的终边在第四象限或x 轴正半轴上．∴θ2在第二或第四象限或x 轴上．3．C [解析] 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.4．－34π [解析] 点P 转过的角的绝对值为34π，顺时针旋转应为负角，所以转过的角是－34π.【能力提升】5．C [解析] 由θ的终边在第二象限，得π2＋2k π<θ<π＋2k π(k ∈Z )，又sin θ＝34>22，则π2＋2k π<θ<3π4＋2k π(k ∈Z )，∴π＋4k π<2θ<3π2＋4k π(k ∈Z )，即2θ的终边在第三象限，故选C.6．D [解析] 排除法可解．第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A 错误；当sin α＝12时，也可能α＝5π6，所以B 错误；当三角形内角为π2时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角．7．C [解析] 注意到2 010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2 010°＝－sin30°＝－12，cos2 010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0，0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－sin 32<0，b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－sin 12<0，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos 12>0，d ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝cos 32>0，∴c >d ，因此选C. 8．A [解析] 由sin 2π3＞0，cos 2π3＜0知角α的终边在第四象限，又tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，故α的最小正角为11π6. 9．二 [解析] ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2，且A ＋B >π2，B ＋C >π2，∴π2>A >π2－B >0，π2>B >π2－C >0. ∵y ＝sin x 与y ＝t an x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上都是增函数，∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，tan B >tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C ， ∴sin A >cos B ，tan B >1tan C，∴P 在第二象限．10．12π－9 3 [解析] ∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，如图所示，∵S扇形OAB ＝12×4π×6＝12π，S △OAB ＝12·OA ·OB ·sin120°＝12×6×6×sin120°＝93，∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－∴弓形AOB 的面积为12π－9 3. 11.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >12，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，2k π－π3<x <2k π＋π3(k ∈Z )．∴2k π≤x <2k π＋π3(k ∈Z )，故此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z .12．解：(1)因为A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45. (2)因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°，sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，所以cos ∠COB ＝cos (∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos60°－sin ∠COA sin60°＝35×12－45×32＝3－4310.【难点突破】13．解：(1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23，所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010.。

高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数

高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识 1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总 (1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角三、考点解析考点一象限角及终边相同的角例、(1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 (2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．跟踪训练1．集合},4{Z k k k ∈+≤≤ππαπα中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．考点二三角函数的定义典例、已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．跟踪训练1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15 B.3715 C.3720 D.13152．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－35 C ．35 D ．45考点三三角函数值符号的判定例、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解题技法]三角函数值符号及角所在象限的判断：三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0. 跟踪训练1．下列各选项中正确的是( )A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎪⎭⎫⎝⎛-322π>0 D ．sin 10<0 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限课后作业1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150° B ．135° C ．300° D ．60°3．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.},32{Z k k ∈-=ππαα B.},322{Z k k ∈+=ππαα C.},32{Z k k ∈-=ππαα D.},3{Z k k ∈-=ππαα4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( )A.3 B ．－5 C.5 D.3或56．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________． 9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛m ,53，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．12．已知α为第三象限角．(1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．提高训练1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α 2．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．。

第一轮复习41---任意角、弧度制及任意角的三角函数

B
三角函数概念
已知角的终边过点P - 8m， - 6sin30 ，

4 且cos - ，则m的值为（ ) 5 1 1 3 3 A. B. C. D. 2 2 2 2
B
象限与符号
cos 若sintan 0, 且 0, 则是 tan 第( )象限角 A.一 B.二 C.三 D.四
角及其表示
如果是第三象限角，那么（ 1）的终边落在__________ _ 2 (2)2的终边落在__________ _

三角函数概念
已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x上，则cos 2等于（ 4 A. 5 3 B. 5 3 C. 5 ） 4 D. 5
C
象限与符号
sincos 若是第二象限角，试判断 cos(sin ) 的值的符号。
负
2
2,
2 sin 1cm.
任意角的三角函数（坐标法）
y
P ( x, y )

O
X
y sin , r x cos , r y t an x
3．任意角的三角函数任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，sin α＝， cos α＝，tan α＝下表：三角函数 sin α cos α tan α 定义域第一象第二象第三象第四象限符号限符号限符号限符号＋＋＋＋－－－－＋－＋－

180
1 ,

扇形
弧长公式：l | | r , 1 1 2 面积公式：S lr | | r 2 2
扇形
已知扇形的周长为 4cm，当它的半径为 ____和圆心角为_____弧度时，扇形的面积最大，这个最大面积是 ____

高三理数一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

-23-
(2)由题意,得 sin x≥√23,作直线 y=√23交单位圆于 A,B 两点,连接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终
Байду номын сангаас
边的范围,故满足条件的角 x 的集合为
��
2��π
+
π 3
≤
��
≤ 2��π +
2π 3
,��∈Z
考点1
考点2
考点3
-18-
(3)方法一(角的集合表示):
∵2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z),
∴kπ+π2
<
�� 2
<kπ+34π
(k∈Z).
当
k=2n(n∈Z)时,2nπ+π2
<
�� 2
<2nπ+34π
,
�� 2
是第二象限角;
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π < ��<2nπ+7π , ��是第四象限角.
-12-
知识梳理双基自测
12345
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ
的终边一定落在第
象限.
关闭
由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边
.
思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角

高考数学一轮总复习第四章 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

3.任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时， y
则sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ x (x≠0).
三个三角函数的性质如下表：
三角函数
sin α cos α
定义域
_R__ __R__
第一象第二象第限符号限符号限
＋
＋
＋
－
4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
题组二教材改编 2.[P10A组T7]角－225°＝－54π 弧度，这个角在第二象限.
3.[P15T2]若角 α 的终边经过点 Q－ 22， 22，则 sin α＝
2 2，
4.[P10A组T6]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大
题组三易错自纠
5.集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
2.弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数
零角的弧度数是 0 . π
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π rad,1°＝ 180 rad，1 r 1
(3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
A.－3
√B.3
16 C. 3
解析 sin θ＝ 16m＋m2＝35，且 m>0，解得 m＝3.
D.±3
4.点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动23π弧长到达 Q
标为
√A.－12，
3 2
B.－ 23，－12
C.－12，－
3 2
解析点 P 旋转的弧度数也为23 Nhomakorabea，当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，

2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切
设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(u，v)，那么定义
v 叫做 α 的正 u 叫做 α 的
弦函数，记作余弦函数，记 sin α 作 cos α
v u 叫做 α 的正
切函数，记作 tan α
三角函数各象限符号
正弦正正负负
余弦
正切正负正负
若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方
形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析：设圆半径为 R，则圆内接正方形的对角线长为 2R， 2R ∴正方形边长为 2R，∴圆心角的弧度数是 R ＝ 2.
答案： 2
1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度
制下更方便、简捷．
1 1 2 2．记住下列公式： ①l＝αR； ②S＝ lR； ③S＝ αR . 2 2 其中 R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角， S 是扇形面积．
式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、
π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．
1．(1)给出下列四个命题： 3π 4π ①－是第二象限角；② 是第三象限角；③－400° 4 3 是第四角限角；④－315° 是第一象限角．其中正确的命题有 ( )
A．1个 C．3个
[小题能否全取]
1．在 0° ～360° 范围内与－870° 终边相同的角是(
A．－150° C．210° B．150° D．－210°
)
解析：－870° ＝－3×360° ＋210° .
答案：C
2．已知角 α 的终边经过点( 3，－1)，则角 α 的最小正值是
2π A. 3 5π C. 6 11π B. 6 3π D. 4

2014届高考江苏专用(理)一轮复习第四章第1讲弧度制与任意角的三角函数

C (2)扇形周长 C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝， 2＋α 1 2 1 C 2 ∴S 扇＝ α· ＝ α· R 2 2 2＋α C2 1 C2 1 C2 ＝ α· ＝ · ≤ . 2 4＋4α＋α2 2 4 16 4＋α＋α C2 当且仅当 α2＝4，即 α＝2 时，扇形面积有最大值 . 16
程中合理的思维方法是关键．
一、特殊化与一般化的方法
【示例】 (2010· 重庆卷)如图，图中的实线是由三段圆弧连结而成的一条封闭曲线 C，各段弧所在的圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)且半径相等．设第 i 段弧所对的圆心角为 αi(i＝1,2,3)， α2＋α3 α2＋α3 α1 α1 则 cos · cos －sin · sin 3 3 3 3 ＝________.
解析
π 由－＜α＜0， cos α＞0 且 sin α＜0，得所以点 P(cos 2
α，sin α)位于第四象限．
答案
四
y 3．若点 A(x，y)是 300° 角终边上异于原点的一点，则x的值为________． y 解析 x＝tan 300° ＝－tan 60° ＝－ 3.
答案－ 3
4．(2012· 无锡模拟)下列命题：①第二象限角为钝角；②锐角是第一象限角；③若α是第二象限角，则α＋180°是
半径 ①1弧度的角：长度等于_____的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角
．
负数 ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为_____，零角 l 零 r 的弧度数为____，|α|＝____，l 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． l ③用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制．比值r与所取的 r 的大小无关，仅与角的大小有关．

高考数学一轮复习任意角和弧度制、三角函数的概念

3．(忽视对参数的讨论)已知角α的终边过点P(－8m，6m)(m≠0)，则sin α＝ ________.
解析：由题意得 x＝－8m，y＝6m，所以 r＝10|m|. 当 m> 0 时，sin α＝160mm＝53；当 m< 0 时，sin α＝－61m0m＝－53. 答案：35或－35
Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．掌握 5 个常用结论 (1)若 α∈0，π2，则 tan α> α> sin α. (2)α，β终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (3)α，β终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (4)α，β终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (5)α，β终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
数时，α2为第二象限角；当 k 为奇数时，α2为第四象限角，而 2α 的终边落在第一、二象限或 y 轴的非负半轴上．答案：二、四第一、二象限或 y 轴的非负半轴上
[一“点”就过] 1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
限角，故 C 正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象
限角，故 D 正确，故选 B 、C 、D . 答案：B C D
3．集合α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：当 k＝2n(n∈Z )时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时 α 表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当 k＝2n＋1(n∈Z )时，2nπ＋π＋π4 ≤α≤2nπ＋π＋π2，此时 α 表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选 C . 答案：C
4．设集合 M＝x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z，

高考第一轮复习--三角函数

三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1sinα/cosα=tanαtanαcotα=1 正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A ，ω，φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctanx 表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．三角函数的概念一、知识回顾1、角的概念：角的形成，角的始边,终边，顶点．2、正角；负角；零角.3、终边相同的角：与α角终边相同的角的集合（连同α角在内），可以记为{ββ|＝k ·360＋α，k ∈Z }．4、象限角：顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，则终边落在第几象限，就称这个角是第几象限的角.5、（请写出各象限角的集合及各轴线角的集合）6、区间角、区间角的集合：角的量数在某个确定的区间内（上），这角就叫做某确定区间的角．由若干个区间构成的集合称为区间角的集合．7、角度制： 8、弧度制：9、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0.01745（rad ）10、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形11、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 ry =αsin ； rx =αcos ； xy =αtan ；yx =αcot ； xr =αsec ；. yr =αcsc .12、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）13、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 二、基本训练1、集合},42|{Z k k x x M ∈+==ππ，},24|{Z k k x x N ∈+==ππ，则( )A 、N M =B 、N M ⊃C 、N M ⊂D 、Φ=N M2、若α是第二象限角，则2α是第_____象限角，2α的范围是________________，απ-2是第_____象限角。

高考数学一轮复习任意角和弧度制及任意角的三角函数

(1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0)，当 α 为多少弧度时，该扇形有最大面积？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[分析]
(1)直接套用公式 l＝αR 可求弧长，利用 S 弓＝S 扇
－S△可求弓形面积． (2)将 S 扇表示为 α 的函数，转化为函数求最大值问题．
[答案] B
[解析] 边相同．
)
B．k· 360° ＋250° ，k∈Z D．k· 360° ＋270° ，k∈Z
由于 610° ＝360° ＋250° ，所以 610° 与 250° 角的终
4．(文)(教材改编题)已知 cosθ· tanθ<0，那么角 θ 是( A．第一或第二象限角 C．第三或第四象限角 B．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角
)
[答案] C
[解析]
当角 α 的终边在 x 轴上时，可表示为 k· 180° ，k
∈Z.当角 α 的终边在 y 轴上时，可表示为 k· 180° ＋90° ，k∈Z. ∴当角 α 的终边在坐标轴上时，可表示为 k· 90° ，k∈Z.
(理)设角 α 终边上一点 P(－4a,3a)(a<0)，则 sinα 的值为 ( ) 3 A. 5 4 C.5 3 B．－ 5 4 D．－5
)
[答案] C
[解析]
∵cosθ· tanθ<0，
∴sinθ<0 且 cosθ≠0，即 θ 是第三或第四象限角．
3π (理)若－π>θ>－，则点(tanθ，sinθ)在( 2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
)
[答案] B
[解析] 易知 θ 在第二象限，则 tanθ<0，sinθ>0.

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° .
(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α(rad),半径为 r,又 l=rα,则扇形的面积为 S= lr= |α|·2. r
1 2 1 2
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4.任意角的三角函数
三角函数定义各象限符号各象限符号口诀一二三四正弦 y 叫做 α 的正弦,记作 sinα 正正负负余弦 x 叫做 α 的余弦,记作 cosα 正负负正正切
当 t>0 时,r=5t,sinα= = 当
�� t<0 时,r=-5t,sinα= ��
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任意角的三角函数值与终边所在的位置有关,与点在终边上的位置无关,故要首先判定 P 点所在的象限,确定 r,最后根据广东东莞调研)已知角 α 的终边与单位圆的交点为 P ��, 则 tanα=( A. 3 【答案】B 【解析】由|OP|2=x2+ =1 得 x=± ,tanα=± 3.
- ≤k< ,k∈Z.故 k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与相同的角为
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(1)利用终边相同的角的集合 S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角 β 所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和,然后判断角 α 的象限. (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角.
�� = 2��π + ,k∈Z 2
�� = 2��π +
{α|α=kπ,k∈Z}
在 y 轴的非正半轴上在 x 轴上在 y 轴上
3�� ,k∈Z 2 �� ,k∈Z 2
�� = ��π +
6π 7 �� 3
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【解】(1)由 α 是第三象限角,得 π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z)⇒ - -2kπ< -α<-π-2kπ(k∈Z),即 +2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z).即角-α 的终边在第二象限; 由 π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z)得 2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z). 故角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴. π (2)在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上的角是 ,
第四章
三角函数、三角恒等变换及解三角形
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第 1 讲三角函数的基本概念、弧度制、任意角的三角函数
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考纲展示
1.任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念; (2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.
考纲解读
三角函数这部分内容在高考中主要考查运用三角函数的概念解题,以及判断三角函数的象限及符号,主要考查基本知识与基本技能及化归思
π 3
) B.
2π 3
C. 3
D.2
【答案】C 【解析】设圆半径为 R,则其内接正三角形的边长为 3R,于是圆心角的弧度数为
3R ��
= 3.
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T 题型三三角函数的定义
例 3 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sinα,cosα,tanα 的
值. 【解】∵ α 的终边在直线 3x+4y=0 上, 角 ∴ 在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t)(t≠0), 则 x=4t,y=-3t. r= �� 2 + �� 2 = (4��)2 + (-3t)2 =5|t|,
在坐标轴上
k�� = ,k∈Z 2
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1.在直角坐标系中,终边在 y 轴上的角的集合是( A.{90° } B.{270° } C.{α|α=k· +90° 180° }(k∈Z) D.{α|α=k· +90° 360° }(k∈Z) 【答案】C 2.若角 α 的终边经过点 P(1,-2),则 sinα 的值为( A.1 2
1 2 1 2 1 2
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(1)在求最值时,要合理选择参数,常用方法有: ①基本不等式法;②配方法. (2)应用弧长公式时应注意以下两点:①公式中的圆心角的单位是弧度;②扇形的周长是弧长与半径 2 倍的和.
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2.(2012·浙江宁波模拟)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( A.
)
) D.2 5 5
B.-2
C.- 5
【答案】D 【解析】sinα= =-2 5 2 5 . 5
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3.(2012·吉林长春检测)下列各对角中,终边相同的是( A. 和 2kπ- (k∈Z) B.- 和 C.D.
π 5 22π 5 3π 2 2π 3
)
7π 11π 和 9 9
20π 122π 和 3 9
第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合
�� α 2kπ < α < 2�� + ,k∈Z 2 �� 2��π + < α < 2��π + π,��∈Z 2 3 �� 2��π + π < �� < 2��π + π,��∈Z 2 �� 2��π- < α < 2��π,��∈Z 2
2.三角函数想,从题型上看,主要出现在选择题和填空题中, 理解任意角三角函数(正弦、难度一般不大. 余弦、正切)的定义.
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1.角的有关概念 (1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角. (2)从终边位置来看,可分为象限角和轴线角. (3)若 α 与 β 是终边相同的角,则 β 可用 α 表示为 S={β|β=α+k· ,k∈Z}(或{β|β=α+2kπ,k∈Z}). 360° 2.象限角
y 叫做 α 的正切,记作 x
设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 tanα 正负正负
一全正,二正弦,三正切,四余弦
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终边相同的角的三角函数值 (k∈Z) (公式一) sin(α+k· 2π)=sinα cos(α+k· 2π)=cosα tan(α+k· 2π)=tanα
3 3π 2 π 2
3π 2
3π 2
故终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 �� = + kπ,k∈Z . (3)∵ θ= +2kπ,∴ =
3 7 18 7 6π 7 �� 3 2π 2��π + (k∈Z).依题意 7 3 �� 3
�� 3 2π 2��π 0≤ + <2π⇒ 7 3 2π 20π 34π , , . 7 21 21
-3�� 3 �� 4�� 4 �� -3�� 3 =- ,cosα= = = ,tanα= = =- ; 5�� 5 �� 5�� 5 �� 4�� 4 -3�� 3 �� 4�� 4 �� -3�� 3 = = ,cosα= = =- ,tanα= = =- . 5 �� 4�� 4 -5�� -5�� 5
3 4 1 2
3 2
,
) B.± 3 C.
3 3
D.±
3 3
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T 题型四三角函数线的应用
例 4 求函数 y=lg(2sin��+1)的定义域.
在单位圆中描画出满足条件的 x 的终边所在的区域.
2cos��-1
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【解】要使函数有意义,应满足条件
1 cos�� ≥ , 2cos��-1 ≥ 0, 2 2sin�� + 1 > 0, ⇒ 1 sin�� > - , 2sin�� + 1 ≠ 1 2
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T 题型二扇形的弧长、面积公式的应用
例 2(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角. (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最
大?
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【解】(1)设圆心角是 θ,半径是 r,则 2�� + �� = 10, �� = 4, �� = 1, ⇒ (舍), 1 1 �� = . θ·�� 2 = 4 �� = 8 2 2 故扇形圆心角的弧度数为 . (2)设圆心角是 θ,半径是 r, 则 2r+rθ=40. S= θ·r2= r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100. 当且仅当 r=10 时,Smax=100. 故当 r=10,θ=2 时,扇形面积最大.
【答案】C 【解析】终边相同的角是指具有同一终边的角的集合,由公式 β=α+2kπ(k∈Z)可得选项 C 中7π 9 11π -2π,故 9
=
C 正确.
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