高中数学人教A版必修二 第三章 直线与方程 学业分层测评20 Word版含答案
2016-2017学年高一人教A版数学必修二：第三章 直线与方程 复习+练习 Word版含答案
第3章 直线与方程一、倾斜角与斜率 知识要点：1．当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．则直线l 的倾斜角α的范围是0≤＜απ．2．倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=．如果知道直线上两点1122()()P x y P x y ，，，，则有斜率公式2121y y k x x -=-．特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0．注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合．当α=0°时，斜率k =0；当090＜＜α︒︒时，斜率0＞k ，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180＜＜α︒︒时，斜率0＜k ，随着α的增大，斜率k 也增大．这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题．例1已知过两点22(23)A m m +-，，2(32)B m m m --，的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值．解：∵202232tan 4512(3)m mm m m --==+---，∴2320m m ++=，解得1m =-或2-． 但当1m =-时，A 、B 重合，舍去．∴2m =-．例2已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (－2，－9a )在一条直线上，求实数a 的值．解： 72533AB k a a-==--，7(9)793(2)5BC a a k --+==--．∵A 、B 、C 三点在一条直线上， ∴AB BC k k =，即57935aa +=-，解得2a =或29a =．二、两条直线平行与垂直的判定 知识要点：1．对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =； （2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-．2．特例：两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴．例1四边形ABCD的顶点为(2,2A +、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状．解：AB 边所在直线的斜率AB k ==，CD 边所在直线的斜率CD k ==，BC 边所在直线的斜率BC k ==，DA 边所在直线的斜率DA k ==∵AB CD BC DA k k k k ==，，∴AB //CD ，BC //DA ，即四边形ABCD 为平行四边形．又∵2(1AB BC k k =⨯=-， ∴AB ⊥BC ，即四边形ABCD 为矩形．例2已知ABC ∆的顶点(2,1)(6,3)，B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．解：设顶点A 的坐标为(,)x y ． ∵,AC BH AB CH ⊥⊥，∴11AC BHAB CHk k k k ⋅=-⎧⎨⋅=-⎩，即31()16511()123y x y x -⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，化简为53335y x y x =+⎧⎨=-⎩，解之得：1962x y =-⎧⎨=-⎩．∴A 的坐标为(19,62)--．例3（1）已知直线1l 经过点M （－3，0）、N （－15，－6），2l 经过点R （－2，32）、S （0，52），试判断1l 与2l 是否平行？ （2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （－2，－1）、Q （3，－6），问1l 与2l 是否垂直？解：（1）10(6)13(15)2l k --==---，235122202l k -==--，∴12l l k k =，∴1l ∥2l ． （2）1tan 451l k =︒=，11(6)123l k ---==---，∴121l l k k ⋅=-，∴1l ⊥2l ． 点评：当1l 与2l 的斜率存在时，1212//k k l l =⇒，12121k k l l ⋅=-⇒⊥．斜率不存在时，进行具体的分析．由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直．三、直线的点斜式方程 知识要点：1．点斜式：直线l 过点000()P x y ，，且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-． 2．斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+．3．点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线，若直线l 过点000()P x y ，且与x 轴垂直，此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =． 4．注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000()P x y ，，后者才是整条直线． 例1写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4；（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30．解：（1）54(2)y x -=-； （2）tan3013)∵k y x =︒=+=-． 例2已知直线31y kx k =++．（1）求直线恒经过的定点；（2）当33≤≤x -时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围． 解：（1）由(3)1y k x =++，易知3x =-时，1y =，所以直线恒经过的定点(3,1)-．（2）由题意得(3)3103310＞＞k k k k -++⎧⎨++⎩，解得16＞k -．例3光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程．解：∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上，同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上，∴k 2A B =6423+--=－2．故所求直线方程为y －6=－2（x +2），即2x +y －2=0．点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称，光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题．注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透． 例4已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程． 解：由已知得l 与两坐标轴不垂直．∵直线l 经过点(5,4)P --，∴可设直线l 的方程为(4)[(5)]y k x --=--，即4(5)y kx +=+．则直线l 在x 轴上的截距为45k -，在y 轴上的截距为54k -．根据题意得14|5||54|52k k--=，即2(54)10||k k -=．当0＞k 时，原方程可化为2(54)10k k -=，解得122855，k k ==；当0＜k 时，原方程可化为2(54)10k k -=-，此方程无实数解．故直线l 的方程为24(5)5y x +=+，或84(5)5y x +=+．即25100x y --=或85200x y -+=． 点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解．而直线在坐标轴上的截距，可正可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距．四、直线的两点式方程 知识要点：1．两点式：直线l 经过两点111222()()P x y P x y ，，，，其方程为112121y y x x y y x x --=--． 2．截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=．3．两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线．4．线段12P P 中点坐标公式1212()22x x y y ++，．例1已知△ABC 顶点为(28)(40)(60)A B C -，，，，，，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程．解：求出AC 中点D 的坐标(4,4)D ，则直线BD 即为所求，由直线方程的两点式得044044y x -+=-+，即240x y -+=． 例2菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程．解：设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如右图所示．根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称．所以A (－4，0)，C （4，0），B （0，3），D （0，－3）． 由截距式，得直线AB 的方程：43x y +-＝1，即3x －4y ＋12＝0；直线BC 的方程：43x y+＝1，即3x ＋4y －12＝0；直线AD 的方程：43x y+--＝1， 即3x ＋4y ＋12＝0； 直线CD 的方程：43x y +-＝1，即3x －4y －12＝0．五、直线的一般式方程 知识要点： 1．一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B不同时为0．直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线．2．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为0Ax By C '++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为0Bx Ay C '-+=．过点00()P x y ，的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=．经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=．3．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A C ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210AB A B ⇔-≠． 如果2220A BC ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠． 例1已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l ．解：（1）12l l ⊥时，12120A A B B +=，则110m m ⨯+⨯=，解得m ＝0．（2）12//l l 时，12211m m m m--=≠--， 解得m ＝1．例2已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为34-，再由点斜式求出所求直线的方程．解：直线l ：3x +4y －12=0的斜率为34-，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率为34-， 又由于所求直线过点（－1，3），∴所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程．此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得．六、两条直线的交点坐标 知识要点：1．一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合． 2．方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点．例1判断下列直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．直线l 1：1nx y n -=-，l 2：2ny x n -=．解：解方程组12nx y n ny x n-=-⎧⎨-=⎩，消y 得 22(1)n x n n -=+．当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l ．当1n =-时，方程组有无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合．当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =-，211n y n -=-，l 1与l 2相交．∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合；当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21()11n n n n ---，． 例2求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程． 解：设所求直线的方程为28(21)0x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)80x y λλλ++-+-=． ∵平行于直线4370x y --=，∴(2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=，则所求直线方程为4360x y --=．七、两点间的距离 知识要点：1．平面内两点111()P x y ，，222()P x y ，，则两点间的距离为：12||PP ．特别地，当12P P ，所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12P P ，所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12P P，在直线y kx b =+上时，1212|||PP x x -． 2．坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系．例1在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(58)M ，的距离为5，并求直线PM 的方程． 解：∵点P 在直线20x y -=上，∴可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得：22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即，解得3225a a ==或，∴3264(2,4)()55P 或，． ∴直线PM 的方程为858548258555y x y x ----==----或，即4340247640x y x y -+=--=或． 例2直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值． 解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点， 设()A a b '，，则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以线段||A B '== 例3已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）．解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xOy ． 设点A(a ，b )、B (－c ，0)、C (c ，0)，由两点间距离公式得：|AB |AC |AO ，|OC |=c ． ∴|AB |2＋|AC |2=2222()a b c ++，|AO |2＋|OC |2=222a b c ++． ∴|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）．八、点到直线的距离及两平行线距离 知识要点：1．点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2．利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-．这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d ==． 例1求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程．解：设所求直线l 的方程为310(3)0y x x y λ+-+-=，整理得(31)(3)100x y λλ++--=．由点到直线的距离公式可知，1d ==，解得3λ=±． 代入所设，得到直线l 的方程为14350x x y =-+=或．例2在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离．解：直线方程化为450x y --=， 设2(,4)P a a ，则点P 到直线的距离为 222d ==．当12a =时，点1(,1)2P例3求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3．解：由点线距离公式，得d =．假设3d =，得到222(3)9[(2)(1)]m m m +=+++，整理得21748360m m ++=．∵248417361400＜∆=-⨯⨯=-，∴21748360m m ++=无实根．∴3d ≠，即直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3．点评：此解妙在反证法思路的运用， 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m ，但求解的结果是m 无解．从而假设不成立，即距离不等于3．另解：把直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=按参数m 整理，得(4)260x y m x y --+--=． 由{40260x y x y --=--=，解得{22x y ==-．所以直线L 恒过定点(2,2)Q -．点P 到直线L 取最大距离时，PQ ⊥L ，即最大距离是PQ 3，∴直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3．点评：此解妙在运用直线系111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=恒过一个定点的知识，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点，由运动与变化观点，当直线PQ ⊥L 时，点线距离为最大．本章总结：。
2019-2020学年高中人教A版数学必修二习题：第3章 直线与方程 学业分层测评19 Word版含答案
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)一、选择题1．直线4x ＋2y －2＝0与直线3x ＋y －2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(1，－1)D ．(1,1) 【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋2y －2＝0，3x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．【答案】 C2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24【解析】 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. 【答案】 C3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32，∴三角形为等腰三角形．故选B.【答案】 B4．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)．【答案】 B5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3,4C ．4,3D ．－4，－3 【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.【答案】 B二、填空题6．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为__________．【解析】 设P 点的坐标是(a ，a ＋4)，由题意可知|PM |＝|PN |， 即＋＋＋4＋＝ －＋＋4－，解得a ＝－32， 故P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52 7．点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________.【解析】 设对称点坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2)三、解答题8．设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程.【解】 设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0，整理得(2＋3λ)x －(4λ＋3)y －2λ＋2＝0，由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1， 解得λ＝－1，或λ＝－57.所以所求的直线方程为x －y －4＝0，或x ＋y －24＝0.9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．【解】 若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5，∴x ＝1为所求；当l 不与x 轴垂直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0，y ＋1＝－，得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2(k ≠－2)． 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5， 解得k ＝－34. ∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)【解析】 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．【答案】 A11．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，如图332.试用坐标法证明：|AE |＝|CD |.图332【证明】 如图所示，以B 点为坐标原点，取AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，则A (－a,0)，C (c,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，3a 2，于是由距离公式，得|AE |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2－－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c －02 ＝a2＋ac ＋c2，同理|CD |＝a2＋ac ＋c2，所以|AE |＝|CD |.。
人教A版高中数学必修二第三章《直线与方程》测试题(Word最新版)
人教A版中学数学必修二第三章《直线与方程》测试题通过整理的人教A版中学数学必修二第三章《直线与方程》测试题相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！必修二第三章《直线与方程》测试题一、单选题1．若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行，则m的值为（）A．7 B．0或7 C．0 D．4 2．已知直线l过点且与直线垂直，则l的方程是（）A．B．C．D．3．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A．1 B．C．或1 D．2或1 4．已知直线，，则它们的图象可能为（）A．B．C．D．5．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6．当点到直线的距离最大时，m的值为（）A．3 B．0 C．D．1 7．已知直线和相互平行，则它们之间的距离是（）A．4 B．C．D．8．一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则这条直线的方程是( ) A．B．C．D．9．若三条直线，与直线交于一点，则（）A．-2 B．2 C．D．10．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最终经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．B．C．6 D．11．直线过点，且、到的距离相等，则直线的方程是() A．B．C．或D．或12．已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题13．若A(-2,3),B(3,-2),C(4,m)三点共线则m的值为________. 14．设直线的倾斜角是直线的倾斜角的，且与轴的交点到轴的距离是3，则直线的方程是____________. 15．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的全部值为________．16．过点作直线，若直线经过点，且，则可作直线的条数为__________.三、解答题17．已知直线，. (1)若，求的值；(2)若，求的值.18．过点的直线，（1）当在两个坐标轴上的截距的确定值相等时，求直线的方程；（2）若与坐标轴交于、两点，原点到的距离为时，求直线的方程以及的面积.19．如图，已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：(1)直线AB的方程；(2)AB边上的高所在直线的方程；(3)AB的中位线所在的直线方程．20．已知一组动直线方程为. (1) 求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标; (2) 若直线与轴正半轴，轴正半分别交于点两点，求面积的最小值.21．在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为．（1）求点和点的坐标；（2）求边上的高所在的直线的方程．22．已知直线经过点，斜率为（Ⅰ）若的纵截距是横截距的两倍，求直线的方程；（Ⅱ）若，一条光线从点动身，遇到直线反射，反射光线遇到轴再次反射回点，求光线所经过的路程。
人教A版高中数学必修二第三章《直线与方程》检测题含答案.docx
第三章《直线与方程》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1. 不论刃为何值，直线(m —\)x+ (2/7?—l)y=/77—5恒过定点()( \\ A. 1,—— B. (-2,0) C. (2,3) D. (9, -4) I 2丿 '2.x — y — 3 S 02. 已知不等式组x + y-3>0表示的平面区域为M,若以原点为圆心的圆0与M 无公x — 2y + 3 n 0共点，则圆。
的半径的取值范围为()A. (0,—)B. (3匹,+8)C. (0,VK)U(3^,+8)D. (0,—)U(3V2,+oo) 3. 若直线厶：x+ay+6=0与厶：U-2)%+3y+2a=0平行,则厶与厶之间的距离为 ()A. V2B.吨C. V3D.出3 84. 若点A (l,l)关于直线y = kx + b 的对称点是3(-3,3),则直线y = kx + b 在y 轴上 的截距是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知直线/I ：x-y-l=0,动直线?2：(k + l)x +炒+ k = 0(kw/?)，则下列结论够 误的是( )A.存在k, I 、使得厶的倾斜角为90。
B.对任意的k, I 、与厶都有公共点C.对任意的4人与厶都不重合D.对任意的人与厶都不垂皐 3(-3,-2),直线1过点且与线段AB 相交，则1的斜 率k 的取值范围( A. k> — ^ik<-4 43 C. — 一 <^<4 D.4 7.图中的直线/,,/2,/3的斜率分别是，则有( )B. k y <k }< k 2C. k 3<k 2< k 、D. k 2<k y < k 、6.设点 A (2,—3),)B. -4<k<-4 以上都不对A. ky<k 2< k 3TV TV 27V 5 7TA. 3 B . 6 c. 3 D . 69. 直线3x + y-4 = 0的斜率和在y 轴上的截距分别是（）A. 一3,4B. 3,-4C. -3,-4D. 3,410. 过点（一2, 1）,且平行于向量v=（2, 1）的直线方程为（）A. % — 2y + 4 = 0B. % 4- 2y — 4 = 0C. % — 2y — 4 = 0D. % + 2y + 4 =11・过点水3, 3）且垂直于直线4x + 2y - 7 = 0的直线方程为A. y = -x + 2B. y = —2x + 7 C ・ y = -x + - D. y = -x - 丿 2 J 丿 22 丿 2212. 在平面直角坐标系中，己知A （l,-2）, B （3,0）,那么线段A3中点的坐标为（）. A.（2,-1） B.（2,1） C.（4,-2） D. （-1,2）二、填空题13. 已知G,b,c 为直角三角形的三边长，C 为斜边长，若点在直线Z ：Q + by + 2c = 0上，则加2 +/?2的最小值为 __________ ・14. me R ,动直线 l }\x + my -1 =（）过定点 动直线 /2: nix - y- 2m + A /3 = 0 定点3,若直线1与人相交于点P (异于点A,B),则\PAB 周长的最大值为15. ______________________________________________________________ 过点(2, —3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ________________________ 16. 定义点POoJo)到直线上似+ By + C = 0(护+ B 2^ 0)的有向距离为d =已知点Pi ，P2到直线2的有向距离分别是心,〃2,给出以下命题: ① 若di — d.2 - ② 若心+ d = =0,则直线P1P2与直线2平行；=0,则直线EE 与直线/平行；③若心+ 〃2 = 0,则直线RE 与直线2垂直；④若didzVO,则直线ED 与直线2相交; 其中正确命题的序号是 ___________________ •三、解答题17. 求符合下列条件的直线方程：(1) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0平行;(2) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0垂直;(3) 过点P(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等.18.己知ZMBC的三个顶点坐标分别为＞1(-4,-2), B(4,2), C(1 , 3).(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)求边4B上的中线所在直线的一般式方程.19.已知直线/ :3x + 2y-2 + 22x + 4y + 22 = 0(1)求证：直线1过定点。
高中数学 人教A版 必修2 第三章 直线与方程 高考复习习题(解答题1-100)含答案解析
高中数学 人教A 版 必修2 第三章 直线与方程 高考复习习题（解答题1-100）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题 1．设椭圆的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2）设 为坐标原点，证明： . 2．如图，圆 ： ． （1）若圆 与 轴相切，求圆 的方程； （2）求圆心 的轨迹方程；（3）已知 ，圆 与 轴相交于两点 （点 在点 的左侧）．过点 任作一条直线与圆 ： 相交于两点 ．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理由。
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点()()5,1,1,5A B .（1）若A 为ABC ∆的直角顶点，且顶点C 在y 轴上，求BC 边所在直线方程； （2）若等腰ABC ∆的底边为BC ，且C 为直线:23l y x =+上一点，求点C 的坐标. 4．过点()2,1P 作直线l 分别交,x y 轴的正半轴于,A B 两点. 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程； 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程； 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程.5．在直角坐标系 中，椭圆的离心率为，点在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程；（2）若斜率存在，纵截距为 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若直线 的斜率均存在，求证：直线 的斜率依次成等差数列． 6．设 、 分别是椭圆的左、右焦点.若 是该椭圆上的一个动点，的最大值为1. （1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与椭圆 交于 两点，点 关于 轴的对称点为 ( 与 不重合)，则直线 与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC , D 为AB 的中点，(Ⅰ) 求证：直线1//BC 平面1ACD ； (Ⅱ) 若12,AB BB E ==是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积；8．如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ， AB BC ⊥，点,D E 在线段AC 上，且2AD DE EC ===， 4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF 平面PBC .（1）证明： //EF BC ； （2）证明： AB ⊥平面PEF ；（3）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长.9．（题文）（题文）已知两条直线 ． （1）若 ，求实数 的值； （2）若 ，求实数 的值．10．已知直线l 经过点P （2，2）且分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于A 、B 两点，O为坐标原点.(1)求AOB ∆面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)l 的方程.11．为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的 次数学测试成绩（满分 分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中 处的数字模糊不清,已知甲同学成绩的中位数是 ，乙同学成绩的平均分是 分.甲 乙（1）求 和 的值;（2）现从成绩在 之间的试卷中随机抽取两份进行分析,求恰抽到一份甲同学试卷的概率.12．在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线 的极坐标方程为：，点 ，参数 .（1）求点 轨迹的直角坐标方程； （2）求点 到直线 距离的最小值.13．如图，四棱锥P ABCD -中， PA ⊥平面A B C D ， AD BC ，3AB AD AC ===， 4PA BC ==， M 为线段AD 上一点， 2AM MD =， N为PC 的中点.（1）证明： MN 平面PAB ；（2）求异面直线AN 与CD 所成角的余弦值.14．已知圆 ，圆 的圆心为 ， 与 交于点 ，过点 且斜率为 的直线 分别交 、 于点 ． （1）若 且 ，求的方程；（2）过点 作垂直于 的直线 分别交 、 于点 ，当 为常数时，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．15．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱2AB =， ,D E 分别为棱11,AC B C 的中点， ,M N 分别为线段1AC 和BE 的中点.（1）求证：直线//MN 平面ABC ； （2）求二面角C BD E --的余弦值.16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，右顶点分别为A ， B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ， Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ， BQ 的斜率分别为1k ， 2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．17（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围.18．已知圆 与圆 ：关于直线 对称，且点在圆 上． （1）判断圆 与圆 的公切线的条数；（2）设 为圆 上任意一点，，， 三点不共线， 为 的平分线，且交 于 ，求证： 与 的面积之比为定值．19 2F 为椭圆C 的右焦点，12,A A 分别为椭圆C 的左，右两个顶点.若过点()4,0B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且线段12,MA MA 的斜率之积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明： 2,,G P F 三点共线.20．已知 = ，- ， =，若存在非零实数k ，t 使得 ， ，且 ⊥,试求：的最小值． 21．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，求yx的最大值与最小值． 22．设点()11A --，， ABC ∆是正三角形，且点B C 、在曲线10xy x =（＞）上． （1）证明：点B C 、关于直线y x =对称； （2）求ABC ∆的周长． 23．已知椭圆的左右顶点分别为 、 ， 为椭圆 上不同于 ， 的任意一点.(1)求 的正切的最大值并说明理由；(2)设 为椭圆 的右焦点，直线 与椭圆 的另一交点为 ， 的中点为 ，若 ，求直线 的斜率.24．（双鸭山）已知圆22:4230P x y x y +-+-=和圆外一点(4,8)M -． （1）过点M 作圆的割线交圆于,A B 两点，若||4AB =，求直线AB 的方程； （2）过点M 作圆的两条切线，切点分别为,C D ，求切线长及CD 所在直线的方程． 25．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ,时，求k 的值.（2是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线,PC PD ，切点为,C D ，探究：直线CD 是否过定点；（3）若,EF GH 为圆22:2O x y +=边形FGFH 的面积的最大值.26．（题文）在直角坐标系中，椭圆 ：的左、右焦点分别为 ， ，其中 也是抛物线 ： 的焦点，点 为 与 在第一象限的交点，且． （1）求椭圆的方程；（2）过 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 、 两点，若线段 上存在定点 使得以 、 为邻边的四边形是菱形，求 的取值范围．27．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ， 分别为 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求证：平面 平面 ； （Ⅲ）求三棱锥 的体积．28．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线上横坐标为12的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等。
高中人教A版数学必修二习题第3章 直线与方程 学业分层测评18 Word版含答案
学业分层测评(十八)(建议用时：分钟)一、选择题．下列说法正确的是( )．经过定点(，)的直线都可以用方程－＝(－)表示．经过任意两个不同点(，)、(，)的直线都可以用方程(－)(－)＝(－)(－)表示．不经过原点的直线都可以用方程＋＝表示．经过定点(，)的直线都可以用方程＝＋表示【解析】当直线与轴重合时，斜率不存在，选项、不正确；当直线垂直于轴或轴时，直线方程不能用截距式表示，选项不正确；当≠，≠时由直线方程的两点式知选项正确，当＝，≠时直线方程为－＝，即(－)(－)＝(－)(－)，同理≠，＝时也可用此方程表示．故选.【答案】．以()，(－)为端点的线段的垂直平分线方程是( )．＋＋＝．－－＝．－＋＝．＋＋＝【解析】＝＝，的中点坐标为(－)，所以所求方程为：－＝－(＋)，化简为＋＋＝.【答案】．若直线＋＋＝经过第一、二、三象限，则( )．>，>．>，>．<，<．<，>【解析】直线经过第一、二、三象限，则由＝－－可知，(\\(－()>，,－()>))⇒(\\(<，<，))选.【答案】．已知直线：(－)＋(－)＋＝与直线：(－)－＋＝垂直，则的值是( )．．．或－．或【解析】∵⊥，∴(－)－(－)＝，即－＋＝，得＝或＝.【答案】．两条直线：－＝和：－＝在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】化为截距式＋＝，＋＝.假定，判断，，确定的位置，知项符合．【答案】二、填空题．过点()且在两坐标轴上截距和为的直线方程为．【解析】当直线过原点时，在两坐标轴上的截距均为，满足题意．此时直线方程为＝，当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为.可设直线方程为＋＝，即－＝，因为直线过()，所以－＝，所以＝－，直线方程为－＋＝【答案】＝或－＋＝．直线过点(－)，分别与，轴交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为．【解析】设()，(，)．由(－)为的中点，∴(\\((＋)＝－，,(＋)＝，))∴(\\(＝－，＝.))由截距式得的方程为＋＝，即－＋＝.【答案】－＋＝三、解答题．若方程(－＋)＋(－)－＋＝表示直线．()求实数的范围；()若该直线的斜率＝，求实数的值．【解】()由(\\(－＋＝，－＝，))解得＝，若方程表示直线，则－＋与－不能同时为，故≠.()由－＝，解得＝.．已知三角形的三个顶点()，(－)，(－)．()求三角形三边所在直线的方程；()求边上的垂直平分线的方程．。
《必修2》第三章“直线与方程”测试题(含答案)
《必修2》第三章“直线与方程”测试题(含答案)《必修2》第三章“直线与方程”测试题一．选择题：1. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）x y O x y O x y O xyOA B C D2．若直线20x ay ++=和2310x y ++=互相垂直，则a =（ ）A ．32-B ．32C ．23- D ．23 3．过11(,)x y 和22(,)x y 两点的直线的方程是( )111121212112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x y y x x A B y y x x y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y ----==---------=-----=4．直线2350x y +-=关于直线y x =对称的直线方程为（ ） A 、3x+2y-5=0 B 、2x-3y-5=0C 、3x+2y+5=0D 、3x-2y-5=05 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）23-二．填空题：11. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程方程1=+y x 表示的图形所围成的封闭区域的面积为_________13 点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22xy +的最小值是________14 直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转090得直线l ，则直线l 的方程是15 已知直线,32:1+=x y l若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________；23y x =-+三、解答题16．求过点(5,4)A --的直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为517． 一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点为(0,0)时，求此直线方程18．直线313y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等， 求m 的值19．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B （-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。
高中数学人教A版必修二 第三章 直线与方程 学业分层测评17 Word版含答案
学业分层测评一、选择题1．与直线y ＝2x ＋1垂直且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4【解析】 ∵直线y ＝2x ＋1的斜率为2∴与其垂直的直线的斜率是－12∴直线的斜截式方程为y ＝－12x ＋4故选D【答案】 D2．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图3-2-2所示则有( )图3-2-2A ．k 1<k 2且b 1<b 2B ．k 1<k 2且b 1>b 2C ．k 1>k 2且b 1>b 2D ．k 1>k 2且b 1<b 2【解析】 设直线l 1l 2的倾斜角分别为α1α2由题意可知90°<α1<α2<180°所以k 1<k 2又b 1<0b 2>0所以b 1<b 2故选A【答案】 A3．过点(10)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )【09960106】A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0【解析】 直线x －2y －2＝0的斜率为12又所求直线过点(10)故由点斜式方程可得所求直线方程为y ＝12(x －1)即x －2y －1＝0【答案】 A二、填空题6．经过点(02)且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线l 的方程为________．【解析】 由已知所求直线l 的斜率k ＝±1故其方程为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋2【答案】 y ＝x ＋2或y ＝－x ＋27．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点________．【解析】 将直线方程变形为y －2＝a (x －3)由直线方程的点斜式可知直线的斜率为a 过定点(32)．【答案】 (32)三、解答题8．分别求满足下列条件的直线方程．(1)过点A (2－1)且与直线y ＝3x －1垂直；(2)倾斜角为60°且在y 轴上的截距为－3【解】 (1)已知直线的斜率为3设所求直线的斜率为k由题意得3k ＝－1∴k ＝－13故所求的直线方程为y ＋1＝－13(x －2)．(2)由题意得所求的直线的斜率k ＝tan 60°＝3又因为直线在y 轴上的截距为－3代入直线的斜截式方程得y ＝3x －39．求满足下列条件的m 的值：(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行；(2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直【09960107】【解】 (1)∵l 1∥l 2∴两直线斜率相等．∴m 2－2＝－1∴m ＝±1(2)∵l 1⊥l 2∴(2m －1)·(－2)＝－1∴m ＝34[自我挑战]10．方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是图中的( )【解析】 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a 在y 轴上的截距1a 当a >0时斜率a >0在y轴上的截距1a >0则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限四个选项都不符合；当a <0时斜率a <0在y 轴上的截距1a <0则直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限仅有选项B 符合．【答案】 B11．已知在△ABC 中A (00)B (31)C (13)．(1)求AB 边上的高所在直线的方程；(2)求BC 边上的高所在直线的方程； (3)求过A 与BC 平行的直线方程．【解】 (1)直线AB 的斜率k 1＝1－03－0＝13AB 边上的高所在直线斜率为－3且过点C 所以AB 边上的高所在直线的方程为y －3＝－3(x －1)．(2)直线BC 的斜率k 2＝3－11－3＝－1BC 边上的高所在直线的斜率为1且过点A 所以BC 边上的高所在直线的点斜式方程为y ＝x(3)由(2)知过点A 与BC 平行的直线的斜率为－1其点斜式方程为y ＝－x。
高中数学人教A版必修二 第三章 直线与方程 学业分层测评含答案
学业分层测评(1)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C ．与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【解析】 选项A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确．【答案】 D2．若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( )A ．45°，1B ．135°，－1C ．90°，不存在D ．180°，不存在【解析】 由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.【答案】 C3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π 【解析】 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 B4．(2015·陕西府谷高一检测)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l的倾斜角为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【解析】直线l可能有两种情形，如图所示，故直线l的倾斜角为30°或150°.故选C.【答案】 C5．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是() A．0 B．1C.12D．2【解析】如图，k OA＝2，k l′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k∈[0,2]．故直线l的斜率k的最大值为2.【答案】 D二、填空题6．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．【解析】∵A、B、C三点在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴2－(－1)0－(－3)＝4－2m－0，∴m＝2.【答案】 27．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB 所在直线的斜率之和为________．【解析】如图，易知k AB＝3，k AC＝－3，则k AB＋k AC＝0.【答案】 0 三、解答题8．已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线P A 的倾斜角为60°. 【解】 (1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)， ∵A (1,2)，∴k P A ＝0－2a －1＝－2a －1. 又∵直线P A 的倾斜角为60°， ∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0,2－3)．9．已知直线l 上的两点A (－2,3)，B (3，－2)． (1)求直线AB 的斜率；(2)若C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系式；当a ＝12时，求b 的值． 【解】 (1)由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. (2)∵点C 在直线l 上， ∴k BC ＝b ＋2a －3＝k AB＝－1. ∵a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝12.[自我挑战]10．斜率为2的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )A ．4,0B ．－4，－3C ．4，－3D ．－4,3【解析】 由题意，得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2，解得a ＝4，b ＝－3. 【答案】 C11．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围.【解】 y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]， ∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)， 设直线NA ，NB 的斜率分别为k NA ，k NB . ∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.学业分层测评(2)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4【解析】需考虑两条直线重合的情况，②④都可能是两条直线重合，所以①③正确．【答案】 B2．已知过(－2，m)和(m,4)两点的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是()A．－8 B．0C．2 D．10【解析】由题意知m≠－2，m－4－2－m＝－2，得m＝－8.【答案】 A3．若点A(0,1)，B(3，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为() A．－30°B．30°C．150°D．120°【解析】k AB＝4－13－0＝3，故l1的倾斜角为60°，l1⊥l2，所以l2的倾斜角为150°，故选C. 【答案】 C4．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 【解析】 ∵k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角． 【答案】 C5．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，则下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ∵k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35， k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14.又P 、Q 、S 、R 四点不共线， ∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS . 故①②④正确． 【答案】 C 二、填空题6．已知直线l 1过点A (－2,3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1,0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是______.【解析】 由l 1⊥l 2，得k AB ·k MN ＝－1， 所以m －34－(－2)·m －40－1＝－1，解得m ＝1或6.【答案】 1或67．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，则第四个顶点D 的坐标为________．【解析】 设D 点坐标为(x ，y )，∵四边形ABCD 为长方形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ， 即y －2x －3＝－1， ① y －1x ＝1，②联立①②解方程组得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，所以顶点D 的坐标为(2,3)． 【答案】 (2,3) 三、解答题8．(2016·泰安高一检测)已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？【解】 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a (a ≠2)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3×12－a＝－1，解得a ＝32. 当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在． ∴直线AB 与CD 不垂直．∴当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直．9．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形．【解】 (1)设D (a ，b )，由四边形为平行四边形，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝6，所以D(－1,6)．(2)因为k AC＝4－23－1＝1，k BD＝6－0－1－5＝－1，所以k AC·k BD＝－1，所以AC⊥BD，故▱ABCD为菱形．[自我挑战]10．已知两点A(2,0)，B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，有O，A，B，C四点共圆，那么y的值是()A．19 B.19 4C．5 D．4【解析】由题意知AB⊥BC，∴k AB·k BC＝－1，即4－03－2×4－y3－0＝－1，解得y＝194，故选B.【答案】 B11．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).【解】设所求点D的坐标为(x，y)，如图，由于k AB＝3，k BC＝0，所以k AB·k BC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD.因为k BC＝0，所以CD的斜率不存在，从而有x＝3.又k AD＝k BC，所以y－3x＝0，即y＝3.此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3,3)．②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD.因为k AD ＝y －3x ，k CD ＝yx －3，由于AD ⊥AB ，所以y －3x ·3＝－1. 又AB ∥CD ，所以yx －3＝3. 解上述两式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝185，y ＝95.此时AD 与BC 不平行．综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，95.学业分层测评(3)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为( ) A ．y ＋2＝3(x －3) B ．y －2＝33(x ＋3) C ．y －2＝3(x ＋3) D ．y ＋2＝33(x ＋3)【解析】 因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，由直线方程的点斜式，可得方程为y －2＝3(x ＋3)．【答案】 C2．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12【解析】 当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12.【答案】 D3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4 B ．y ＝2x ＋4 C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4【解析】 ∵直线y ＝2x ＋1的斜率为2， ∴与其垂直的直线的斜率是－12，∴直线的斜截式方程为y ＝－12x ＋4，故选D. 【答案】 D4．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图3-2-2所示，则有( )图3-2-2A ．k 1<k 2且b 1<b 2B ．k 1<k 2且b 1>b 2C ．k 1>k 2且b 1>b 2D．k1>k2且b1<b2【解析】设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，由题意可知90°<α1<α2<180°，所以k1<k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2，故选A.【答案】 A5．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0【解析】直线x－2y－2＝0的斜率为12，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.【答案】 A二、填空题6．经过点(0,2)，且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线l的方程为________．【解析】由已知所求直线l的斜率k＝±1，故其方程为y＝x＋2或y＝－x＋2.【答案】y＝x＋2或y＝－x＋27．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．【解析】将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a，过定点(3,2)．【答案】(3,2)三、解答题8．分别求满足下列条件的直线方程．(1)过点A(2，－1)且与直线y＝3x－1垂直；(2)倾斜角为60°且在y轴上的截距为－3.【解】(1)已知直线的斜率为3，设所求直线的斜率为k，由题意，得3k＝－1，∴k ＝－13.故所求的直线方程为y ＋1＝－13(x －2)．(2)由题意，得所求的直线的斜率k ＝tan 60°＝3，又因为直线在y 轴上的截距为－3，代入直线的斜截式方程，得y ＝3x －3.9．求满足下列条件的m 的值：(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行； (2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直. 【解】 (1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等． ∴m 2－2＝－1.∴m ＝±1.(2)∵l 1⊥l 2，∴(2m －1)·(－2)＝－1，∴m ＝34.[自我挑战]10．方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是图中的( )【解析】 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距1a >0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距1a <0，则直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．【答案】 B11．已知在△ABC 中，A (0,0)，B (3,1)，C (1,3)． (1)求AB 边上的高所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线的方程；(3)求过A与BC平行的直线方程．【解】(1)直线AB的斜率k1＝1－03－0＝13，AB边上的高所在直线斜率为－3且过点C，所以AB边上的高所在直线的方程为y－3＝－3(x－1)．(2)直线BC的斜率k2＝3－11－3＝－1，BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，所以BC边上的高所在直线的点斜式方程为y＝x.(3)由(2)知过点A与BC平行的直线的斜率为－1，其点斜式方程为y＝－x.学业分层测评(4)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2015·淄博高一检测)下列说法正确的是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示【解析】当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x－x1＝0，即(x －x 1)(y 2－y 1)＝(y －y 1)(x 2－x 1)，同理x 1≠x 2，y 1＝y 2时也可用此方程表示．故选B.【答案】 B2．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0【解析】 k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.【答案】 B3．若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则( ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0【解析】 直线经过第一、二、三象限， 则由y ＝－a b x －cb 可知， ⎩⎪⎨⎪⎧－a b >0，－c b >0⇒⎩⎨⎧ab <0，bc <0，选D. 【答案】 D4．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－3【解析】 ∵l 1⊥l 2，∴2(k －3)2－2(3－k )＝0， 即k 2－5k ＋6＝0，得k ＝2或k ＝3. 【答案】 C5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合． 【答案】 A 二、填空题6．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为________． 【解析】 当直线过原点时，在两坐标轴上的截距均为0，满足题意．此时直线方程为y ＝2x ，当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，因为直线过P (1,2)，所以1－2＝a ，所以a＝－1，直线方程为x －y ＋1＝0【答案】 y ＝2x 或x －y ＋1＝07．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0， 分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3、－d4， ∴6＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 4＝d 224.∴d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3. 【答案】 3或－3 三、解答题8．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 的范围；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【解】 (1)由⎩⎨⎧m 2－3m ＋2＝0，m －2＝0，解得m ＝2，若方程表示直线，则m 2－3m ＋2与m －2不能同时为0，故m ≠2. (2)由－(m 2－3m ＋2)m －2＝1，解得m ＝0.9．已知三角形的三个顶点A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求三角形三边所在直线的方程； (2)求AC 边上的垂直平分线的方程． 【解】 (1)直线AB 的方程为y －46－4＝x －0－2－0，整理得x ＋y －4＝0；直线BC 的方程为y －06－0＝x ＋8－2＋8，整理得x －y ＋8＝0；由截距式可知，直线AC 的方程为x －8＋y4＝1，整理得x －2y ＋8＝0.(2)线段AC 的中点为D (－4,2)，直线AC 的斜率为12，则AC 边上的垂直平分线的斜率为－2，所以AC 边的垂直平分线的方程为y －2＝－2(x ＋4)，整理得2x ＋y ＋6＝0.[自我挑战]10．(2016·潍坊高一检测)已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图3-2-3所示，则( )图3-2-3A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c【解析】 由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a >0，k 2＝－1c >0且k 1>k 2，∴a <0，c <0且a >c .又l 1的纵截距－b a <0，l 2的纵截距－dc >0， ∴b <0，d >0，故选C. 【答案】 C11．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解】 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)， 若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. ① 又∵直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1.②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1， 即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 若满足条件(2)，则ab ＝12， ③ 由题意得：43a ＋2b ＝1， ④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1， 即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.学业分层测评（5）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·西安高一检测)直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)【解析】 解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴交点坐标为(－2,2)． 【答案】 C2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24【解析】 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.【答案】 C3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形．故选B. 【答案】 B4．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0. 由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)． 【答案】 B5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3,4C ．4,3D ．－4，－3【解析】 由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.【答案】 B 二、填空题6．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．【解析】 法一 由⎩⎨⎧ 2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3，则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)， 即3x ＋y ＝0.法二 设所求直线方程为2x －y －5＋λ(x ＋y ＋2)＝0. 即(2＋λ)x ＋(－1＋λ)y －5＋2λ＝0， 则2＋λ3＝－1＋λ1≠－5＋2λ－1，解得λ＝52，则所求直线的方程为92x ＋32y ＝0， 即3x ＋y ＝0. 【答案】 3x ＋y ＝07．(2016·潍坊四校联考)点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________．【解析】设对称点坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2) 三、解答题8．(2016·珠海高一检测)设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．【解】 设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0，整理得(2＋3λ)x －(4λ＋3)y －2λ＋2＝0， 由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1， 解得λ＝－1，或λ＝－57.所以所求的直线方程为x －y －4＝0，或x ＋y －24＝0.9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．【解】 若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1， 由⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5， ∴x ＝1为所求；当l 不与x 轴垂直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)． 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2(k ≠－2)． 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5， 解得k ＝－34.∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.[自我挑战]10．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0【解析】 设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)．则AC 的方程为y －10－1＝x －31－3， 即x －2y －1＝0. 【答案】 C11．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，如图3-3-2.试用坐标法证明：|AE |＝|CD |.图3-3-2【证明】 如图所示，以B 点为坐标原点，取AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，则A (－a,0)，C (c,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，3a 2，于是由距离公式，得|AE |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2－(－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c －02 ＝a 2＋ac ＋c 2， 同理|CD |＝a 2＋ac ＋c 2， 所以|AE |＝|CD |.学业分层测评（6）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为() A．(8,0) B．(－12,0)C．(8,0)或(－12,0) D．(－8,0)或(12,0)【解析】设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得|3x－4×0＋6|32＋(－4)2＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．【答案】 C2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于()A.75 B.715C.415 D.23【解析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝|－6＋10|92＋122＝415.【答案】 C3．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为() A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意|c－(－11)|32＋(－4)2＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.【答案】 B4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为()A．0或－12 B.12或－6C．－12或12D．0或12【解析】由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝4－2－1－3或m×3－12＋2＋42＋3＝0，∴m＝12或m＝－6.【答案】 B5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.43 B.75C.85 D.203【解析】设P(x0，－x20)为y＝－x2上任意一点，则由题意得P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝|4x0－3x20－8|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎪⎫x0－232－2035，∴当x0＝23时，d min＝2035＝43.【答案】 A二、填空题6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.【答案】2 27．已知x ＋y －3＝0，则(x －2)2＋(y ＋1)2的最小值为________． 【解析】 设P (x ，y )，A (2，－1)， 则点P 在直线x ＋y －3＝0上， 且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|P A |.|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2.【答案】 2三、解答题8．已知直线l 1和l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0，直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1d 2＝12，求直线l 的方程．【解】 由题意知l 1∥l 2，故l 1∥l 2∥l . 设l 的方程为7x ＋8y ＋c ＝0， 则2·|c －9|72＋82＝|c －(－3)|72＋82， 解得c ＝21或c ＝5.∴直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.9．已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边所在直线的方程．【解】 ∵由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0，∴中心坐标为(－1,0)． ∴中心到已知边的距离为|－1－2|12＋32＝310. 设正方形相邻两边方程为x ＋3y ＋m ＝0和3x －y ＋n ＝0. ∵正方形中心到各边距离相等， ∴|－1＋m |10＝310和|－3＋n |10＝310. ∴m ＝4或m ＝－2(舍去)，n ＝6或n ＝0.∴其他三边所在直线的方程为x ＋3y ＋4＝0,3x －y ＝0,3x －y ＋6＝0.[自我挑战]10．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ， 即kx －y ＋b ＝0. ∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立， 解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43. 故所求直线共有两条． 【答案】 B11．如图3-3-3，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．图3-3-3【解】 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >0)，则题图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．所以AD ＝2，BC ＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，所以b 2＝9，b ＝±3.但b >1，所以b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.。
高中数学人教A版必修二 第三章 直线与方程 学业分层测评16 Word版含答案.doc
学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．若l 1与l 2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k 1，k 2，有下列说法：①若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2；②若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2；③若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l 2.其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 需考虑两条直线重合的情况，②④都可能是两条直线重合，所以①③正确．【答案】 B2．已知过(－2，m )和(m,4)两点的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( )A ．－8B ．0C ．2D ．10【解析】 由题意知m ≠－2，m －4－2－m＝－2，得m ＝－8. 【答案】 A3．若点A (0,1)，B (3，4)在直线l 1上，l 1⊥l 2，则直线l 2的倾斜角为( )A ．－30°B ．30°C ．150°D ．120°【解析】 k AB ＝4－13－0＝3， 故l 1的倾斜角为60°，l 1⊥l 2，所以l 2的倾斜角为150°，故选C.【答案】 C4．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【解析】 ∵k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．【答案】 C5．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，则下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 ∵k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35， k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14. 又P 、Q 、S 、R 四点不共线，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS .故①②④正确．【答案】 C二、填空题6．已知直线l 1过点A (－2,3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1,0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是______.【导学号：09960101】【解析】 由l 1⊥l 2，得k AB ·k MN ＝－1，所以m －34－(－2)·m －40－1＝－1，解得m ＝1或6.【答案】 1或67．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，则第四个顶点D 的坐标为________．【解析】 设D 点坐标为(x ，y )，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，即y －2x －3＝－1， ①y －1x ＝1，② 联立①②解方程组得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，所以顶点D 的坐标为(2,3)．【答案】 (2,3)三、解答题 8．(2016·泰安高一检测)已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？【解】 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a (a ≠2)． 由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3×12－a＝－1，解得a ＝32. 当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在．∴直线AB 与CD 不垂直．∴当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直．9．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形．【解】 (1)设D (a ，b )，由四边形为平行四边形，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝6， 所以D (－1,6)．(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，所以k AC ·k BD ＝－1， 所以AC ⊥BD ，故▱ABCD 为菱形．[自我挑战]10．已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，有O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194C ．5D ．4【解析】 由题意知AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即4－03－2×4－y 3－0＝－1，解得y ＝194，故选B. 【答案】 B11．已知A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列).【导学号：09960102】【解】 设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图，由于k AB ＝3，k BC ＝0，所以k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直，故AB ，BC 都不可作为直角梯形的直角腰．①若CD 是直角梯形的直角腰，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD .因为k BC ＝0，所以CD 的斜率不存在，从而有x ＝3.又k AD ＝k BC ，所以y －3x ＝0，即y ＝3.此时AB 与CD 不平行．故所求点D 的坐标为(3,3)．②若AD 是直角梯形的直角腰，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD .因为k AD ＝y －3x ，k CD ＝y x －3， 由于AD ⊥AB ，所以y －3x ·3＝－1.又AB ∥CD ，所以y x －3＝3. 解上述两式可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝185，y ＝95.此时AD 与BC 不平行．综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，95.。
高中数学 第三章 直线与方程单元质量测评(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
第三章 单元质量测评对应学生用书P77 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的X 围是( ) A ．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180° 答案 B解析 ∵k＝2＞1，即tanα＞1，∴45°＜α＜90°． 2．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．y ＝－x ＋2 B ．y ＝－x －2 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝x －2 答案 A解析 由题可知直线方程为y ＝tan135°·(x－2)，即y ＝－x ＋2． 3．若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，b)共线，则下列结论正确的是( ) A ．2a －b ＝3 B ．b －a ＝1 C ．a ＝3，b ＝5 D ．a －2b ＝3 答案 A解析 由k AB ＝k AC 可得2a －b ＝3，故选A ．4．若实数m ，n 满足2m －n ＝1，则直线mx －3y ＋n ＝0必过定点( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13答案 D解析 由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x ＋2)m＋(－3y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13，所以此直线必过定点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－13，故选D ．5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 B解析 直线ax ＋y ＋2＝0过定点C(0，－2)，k AC ＝－52，k BC ＝43．由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a 的取值X 围为－52＜－a ＜43，解得a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52．6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．5x ＋4y ＋1＝0 B ．5x ＋4y －1＝0 C ．－5x ＋4y －1＝0 D ．－5x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 设所求直线上的任一点为(x′，y′)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x′，－y′)．因为点(x′，－y′)在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x′＋4y′＋1＝0，即所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0．7．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD( )A ．平行B ．垂直C ．不确定D ．相交 答案 D解析 易知A(2，1)，B(4，2)，原点O(0，0)，∴k OA ＝k OB ＝12，∴直线AB 过原点，同理，C(2，lg 2)，D(4，2lg 2)，k OC ＝k OD ＝lg 22≠12，∴直线CD 过原点，且与AB 相交．8．过点M(1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为 ( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0 答案 B解析 设P(x 0，0)，Q(0，y 0)．∵M(1，－2)为线段PQ 的中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1，即2x －y －4＝0．故选B ．9．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n)到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.把(1，2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得m ＋2n ＋5＝0， ∴m＝－5－2n ，∴点(m ，n)到原点的距离d ＝ m 2＋n 2＝5＋2n 2＋n 2＝5n ＋22＋5≥5，当n ＝－2时等号成立，此时m ＝－1．∴点(m ，n)到原点的距离的最小值为5．故选A ．10．点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A ． 3 B ．3m C ．3 D ．3m 答案 A解析 由点到直线的距离公式得点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝3．11．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值X 围是(－3，3)，则其斜率的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 在平面直角坐标系中作出点A(1，2)，B(－3，0)，C(3，0)，过点A ，B 作直线AB ，过点A ，C 作直线AC ，如图所示，则直线AB 在x 轴上的截距为－3，直线AC 在x 轴上的截距为3．因为k AB ＝2－01－－3＝12，k AC ＝2－01－3＝－1，所以直线l 的斜率的取值X 围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．12．已知△ABC 的边AB 所在的直线方程是x ＋y －3＝0，边AC 所在的直线方程是x －2y ＋3＝0，边BC 所在的直线方程是2x －y －3＝0．若△ABC 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322D ． 5答案 B解析 联立直线方程，易得A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A ，B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A ，B 两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l 的方程为________．答案 x ＝3解析 直线y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°．直线l 的倾斜角是已知直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，所以直线l 的倾斜角为90°，直线l 的斜率不存在，所以直线l 的方程为x ＝3．14．直线x 3＋y4＝t 被两坐标轴截得的线段长度为1，则t ＝________．答案 ±15解析 直线与x ，y 轴的交点分别为(3t ，0)和(0，4t)，所以线段长为3t2＋4t2＝1，解得t ＝±15．15．已知点A(2，4)，B(6，－4)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为________．答案 58解析 设点P 的坐标为(a ，b)．∵A(2，4)，B(6，－4)，∴|PA|2＋|PB|2＝[(a －2)2＋(b －4)2]＋[(a －6)2＋(b ＋4)2]＝λ，即2a 2＋2b 2－16a ＋72＝λ．又∵点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，∴3a－4b ＋3＝0，∴509b 2－803b ＋90＝λ．又∵满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8032－4×509×(90－λ)＝0，解得λ＝58．16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 因为y ＝|x －a|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －1，x≥a，－x ＋a －1，x<a ，所以该函数的大致图象如图所示．又直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则2a ＝－1，即a ＝－12．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知Rt△ABC 的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求斜边所在直线的方程．解 (1)解法一：依题意，Rt△ABC 的直角顶点坐标为B(－1，－22)， ∴AB⊥BC，∴k AB ·k BC ＝－1．又∵A(－3，0)，∴k AB ＝0＋22－3－－1＝－2，∴k BC ＝－1k AB ＝22，∴边BC 所在的直线的方程为y ＋22＝22(x ＋1)，即x －2y －3＝0． ∵直线BC 的方程为x －2y －3＝0，点C 在x 轴上，由y ＝0，得x ＝3，即C(3，0)． 解法二：设点C(c ，0)，由已知可得k AB ·k BC ＝－1，即0＋22－3－－1·0＋22c ＋1＝－1，解得c ＝3，所以点C 的坐标为(3，0)． (2)由B 为直角顶点，知AC 为直角三角形ABC 的斜边． ∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y ＝0．18．(本小题满分12分)点M(x 1，y 1)在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x 1∈[2，5]时，求y 1＋1x 1＋1的取值X 围． 解y 1＋1x 1＋1＝y 1－－1x 1－－1的几何意义是过M(x 1，y 1)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．点M 在直线y ＝－2x ＋8的线段AB 上运动，其中A(2，4)，B(5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y 1＋1x 1＋1≤53，∴y 1＋1x 1＋1的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53． 19．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．解 (1)联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，则两直线的交点为P(－2，2)．∵直线x －2y －1＝0的斜率为k 1＝12，所求直线垂直于直线x －2y －1＝0，那么所求直线的斜率k ＝－112＝－2，∴所求直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0．(2)对于方程2x ＋y ＋2＝0，令y ＝0则x ＝－1，则直线与x 轴交点坐标A(－1，0)， 令x ＝0则y ＝－2，则直线与y 轴交点坐标B(0，－2)， 直线l 与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB ， ∴S＝12|OA||OB|＝12×1×2＝1．20．(本小题满分12分)一条光线经过点P(2，3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：(1)入射光线所在直线的方程； (2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度．解 (1)设点Q′(x′，y′)为点Q 关于直线l 的对称点，QQ′交l 于点M ．∵k l ＝－1，∴k QQ′＝1， ∴QQ′所在直线的方程为y －1＝1·(x－1)， 即x －y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12，∴交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x′2＝－12，1＋y′2＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2，y′＝－2，∴Q′(－2，－2)．设入射光线与l 交于点N ，则P ，N ，Q′三点共线， 又∵P(2，3)，Q′(－2，－2)，∴入射光线所在直线的方程为y －－23－－2＝x －－22－－2，即5x －4y ＋2＝0．(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′| ＝[2－－2]2＋[3－－2]2＝41，即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41．21．(本小题满分12分)设直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解 设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋2y C －1＝0，x C －y C －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C(1，0)⎩⎪⎨⎪⎧x D ＋2y D －3＝0，x D －y D －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23． 则C ，D 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 即直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13． 又直线l 经过点(－1，1)，由两点式得直线l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0． 22．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72．又因为a ＞0，解得a ＝3．(2)假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0．若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0． 若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①．所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。
高中数学(人教版必修2)第三章直线方程检测(AB卷)Word版含答案
直线方程阶段质量检测（三）(A 卷 学业水平达标)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1.如图，直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则有( )A ．α1＜α2＜α3B ．α1＜α3＜α2C ．α3＜α2＜α1D ．α2＜α1＜α3 2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．135° 3．点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．22D. 2 4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A ．13 B ．－13C ．3D ．－35．已知P (－1,0)在直线l ：ax ＋by ＋c ＝0上的射影是点Q (－2，3)，则直线l 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．90°6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1 7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0 8．若点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－99．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6) D ．(0,2)10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk ≥34，或k ≤－4 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫k －4≤k ≤34 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫k －34≤k ≤4 D ．以上都不对二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．不论a 为何实数，直线(a ＋3)x ＋(2a －1)y ＋7＝0恒过定点________． 12．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________． 13．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．14．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)．（1）求直线l 的方程；（2）求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2：（1）相交？（2）平行？（3）重合？17．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．（1）求AB 边上的高CE 所在直线的方程； （2）求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A和点C 的坐标．19.(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．求：（1）AD 边所在直线的方程； （2）DC 边所在直线的方程．20．(本小题满分12分)已知直线l ：3x ＋4y ＋1＝0和点A (1,2)，求： （1）过A 点且与l 平行的直线l 1的方程； （2）过A 点且与l 垂直的直线l 2的方程．(B 卷 能力素养提升)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．不能确定2．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 4．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是( ) A ．3x －4y ＋4＝0 B ．3x －4y ＋4＝0或3x －4y －12＝0 C ．3x －4y ＋16＝0 D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝06．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[30°，60°) B ．(30°，90°) C ．(60°，90°) D ．[30°，90°] 7．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是()8．已知点A (2,0)，B (－2,4)，C (5，8)，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是( ) A ．(6,7) B ．(7,6) C ．(－5，－4) D ．(－4，－5)9．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫225，0 D.⎝⎛⎭⎫0，225 10．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．不论m 取何实数，直线(3m ＋4)x ＋(5－2m )y ＋7m －6＝0都恒过一个定点P ，则P 点的坐标是________． 12．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l ⊥l 1，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于________．13．过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线的方程是________________．14．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)，若直线l 上存在点P 使得|PA |＋|PB |最小，则点P 的坐标为________．三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点(3，－1)； （2）在y 轴上的截距是－5.16．(本小题满分12分)直线y ＝－33x ＋1和x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点P ⎝⎛⎭⎫m ，12使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值．17．(本小题满分12分)若直线l 1：x ＋y ＋a ＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：ax ＋y ＋1＝0能构成三角形，求a 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值．（1）l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；（2）l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．19．(本小题满分12分)一直线经过P (3,2)，并且和两条直线x －3y ＋10＝0与2x －y －8＝0都相交，且两交点连线的中点为P ，求这条直线的方程．20．(本小题满分12分)已知A (1,1)，B (2,2)，C (3，－1)． （1）求直线AB 、AC 的斜率和倾斜角；（2）若D 为△ABC 的边BC 上一动点，求直线AD 的斜率k 的取值范围．阶段质量检测（三） (A 卷 学业水平达标) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1.如图，直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则有( ) A ．α1＜α2＜α3 B ．α1＜α3＜α2 C ．α3＜α2＜α1 D ．α2＜α1＜α3 答案：B2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．135°答案：D3．点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1 B ．2 C.22D. 2 答案：C4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－13C ．3D ．－3答案：B5．已知P (－1,0)在直线l ：ax ＋by ＋c ＝0上的射影是点Q (－2，3)，则直线l 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．90° 答案：B6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1答案：D7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝0 答案：A8．若点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9答案：D9．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6) D ．(0,2)答案：A10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk ≥34，或k ≤－4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k －4≤k ≤34C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k －34≤k ≤4D ．以上都不对 答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．不论a 为何实数，直线(a ＋3)x ＋(2a －1)y ＋7＝0恒过定点________． 答案：(－2,1)12．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________． 答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝013．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________． 答案：2x ＋y －5＝014．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3× －1 ＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．17．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.18．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得顶点A (－1,0)．又AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ x ＋1 ，y －2＝－2 x －1 .得顶点C 的坐标为(5，－6)．所以点A 的坐标为(－1,0)，点C 的坐标为(5，－6)．19.(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)DC 边所在直线的方程．解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB ⊥AD ， 又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0， ∴AD 所在直线的斜率k AD ＝－3， 而点T (－1,1)在直线AD 上．∴AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0. (2)由ABCD 为矩形可得，AB ∥DC ， ∴设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0. 由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等∴|2－3×0－6|1＋ －32＝|2－3×0＋m |1＋ －32解得m ＝2或m ＝－6(舍)．∴DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.20．(本小题满分12分)已知直线l ：3x ＋4y ＋1＝0和点A (1,2)，求： (1)过A 点且与l 平行的直线l 1的方程； (2)过A 点且与l 垂直的直线l 2的方程． 解：法一：(1)已知直线l 的斜率为k ＝－34，设直线l 1斜率为k 1， ∵l 1∥l 2， ∴k 1＝k ＝－34，又∵l 过点A (1,2)，∴l 1的点斜式方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.(2)直线l 的斜率k ＝－34，设直线l 2的斜率为k 2，∵k 2⊥l 1，∴k ·k 2＝－1，即－34·k 2＝－1，∴k 2＝43.又直线l 2过点A (1,2)，则l 2的点斜式方程为y －2＝43(x －1)，即所求直线l 2的方程为4x －3y ＋2＝0. 法二：(1)∵直线l 1∥l 2，∴设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 又∵l 2经过点A (1,2)， ∴3×1＋4×2＋m ＝0. 解得m ＝－11，故所求的直线l 1的方程为3x ＋4y －11＝0.(2)∵直线l 2⊥l ，则设l 2的方程为4x －3y ＋n ＝0. ∵直线l 2过点A (1,2)， ∴4×1－3×2＋n ＝0， 解得n ＝2.故所求直线的方程为4x －3y ＋2＝0.(B 卷 能力素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 两条直线的斜率分别为k 1＝－2，k 2＝－12，故两直线相交但不垂直．2．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案：B3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 解析：选A ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线的斜率为k ＝12，排除C 、D.又直线过点(1,0)，排除B ，故选A.4．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．5．到直线3x －4y ＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是( ) A ．3x －4y ＋4＝0B ．3x －4y ＋4＝0或3x －4y －12＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0 解析：选D 设直线方程为3x －4y ＋c ＝0，∴|c －1|32＋42＝3， ∴|c －1|＝15， ∴c ＝16或c ＝－14.6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[30°，60°) B ．(30°，90°) C ．(60°，90°)D ．[30°，90°]解析：选B 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k PA ＝33，则直线PA 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是(30°，90°)．7．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )解析：选C 假定y ＝ax 与y ＝x ＋a 中的一条直线的图象正确，验证另一条是否合适．8．已知点A (2,0)，B (－2,4)，C (5，8)，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是( ) A ．(6,7) B ．(7,6) C ．(－5，－4)D ．(－4，－5)解析：选A 设点D 的坐标为(x ，y )，由题意知k AB ＝k CD ， 即 －1＝y －8x －5， ①易知直线AB 的垂直平分线方程为y ＝x ＋2，线段CD 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋52，y ＋82， 所以y ＋82＝x ＋52＋2, ②由①②解得y ＝7，x ＝6，即点D 的坐标为(6,7)．9．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫225，0D.⎝⎛⎭⎫0，225 解析：选B A (－3,8)关于x 轴的对称点A ′(－3，－8)，通过两点式求出直线A ′B 的方程，再求出直线A ′B 与x 轴的交点为(1,0)．10．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A 设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝22，由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝2，由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t 2＋t －2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个．二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．不论m 取何实数，直线(3m ＋4)x ＋(5－2m )y ＋7m －6＝0都恒过一个定点P ，则P 点的坐标是________．解析：令m ＝1，m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3y ＋1＝0，4x ＋5y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.答案：(－1,2)12．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l ⊥l 1，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于________．解析：由题意知直线l 1斜率为33－a＝1，解得a ＝0；又因为l 1∥l 2，所以－2b ＝1，即b ＝－2，故a ＋b ＝－2.答案：－213．过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线的方程是________________． 解析：过点A 且垂直于AO 的直线． 答案：3x －y ＋10＝014．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)，若直线l 上存在点P 使得|PA |＋|PB |最小，则点P 的坐标为________．解析：根据题意画出图形，如下图所示：设点A 关于直线x －2y ＋8＝0的对称点A 1(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2·12＝－1，m ＋22－2×n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，此时直线A 1B 为x ＝－2，所以当P 是直线A 1B 与x －2y ＋8＝0的交点时|PA |＋|PB |最小，把x ＝－2与x －2y ＋8＝0联立可得点P 的坐标为(－2,3)．答案：(－2,3)三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线的方程为y ＝－3x ＋1， ∴k ＝－3，倾斜角α＝120°，由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为33. (1)∵直线经过点(3，－1)，所求直线方程为y ＋1＝33(x －3)，即3x －3y －6＝0. (2)∵直线在y 轴上的截距为－5，∴由斜截式知所求直线方程为y ＝33x －5，即3x －3y －15＝0. 16．(本小题满分12分)直线y ＝－33x ＋1和x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点P ⎝⎛⎭⎫m ，12使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值． 解：由已知可得直线CP ∥AB ， 设CP 的方程为y ＝－33x ＋c ，(c >1)，则点B 到直线CP 的距离等于△ABC 中AB 边上的高，则c －11＋13＝AB ×32，又因为AB ＝2，所以c －11＋13＝3，解得c ＝3，即直线CP 的方程为y ＝－33x ＋3， 又因为直线CP 过点P ⎝⎛⎭⎫m ，12， 所以12＝－33m ＋3，解得m ＝532.17．(本小题满分12分)若直线l 1：x ＋y ＋a ＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：ax ＋y ＋1＝0能构成三角形，求a 的取值范围．解：∵三条直线能构成三角形， ∴三条直线两两相交且不共点． (1)共点时a ＝1或a ＝－2.(2)l 1∥l 2时a ＝1，l 1∥l 3时，a ＝1，l 2∥l 3时a ＝±1， ∴a 的取值范围是{a |a ≠±1且a ≠－2}．18．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值．(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)由已知可得l 2的斜率必存在，∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)．∴此种情况不存在，即k 2≠0. 若k 2≠0，即k 1、k 2都存在，∵k 1＝ab ，k 2＝1－a ，l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即ab (1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4b＝－(－b )．④ 由③④联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ，b 的值分别为2，－2，或23，2.19．(本小题满分12分)一直线经过P (3,2)，并且和两条直线x －3y ＋10＝0与2x －y －8＝0都相交，且两交点连线的中点为P ，求这条直线的方程．解：∵点P 是两交点的中点，∴两交点关于点P 对称．设所求直线与直线x －3y ＋10＝0的交点A 的坐标为(x 0，y 0)，则它与另一直线2x －y －8＝0的交点B 的坐标为(6－x 0,4－y 0)．∵点B (6－x 0,4－y 0)在直线2x －y －8＝0上． ∴有2(6－x 0)－(4－y 0)－8＝0. 即－2x 0＋y 0＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋y 0＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝4.所求直线方程为y －24－2＝x －32－3.即2x ＋y －8＝0.20．(本小题满分12分)已知A (1,1)，B (2,2)，C (3，－1)． (1)求直线AB 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边BC 上一动点，求直线AD 的斜率k 的取值范围． 解：(1)k AB ＝2－12－1＝1，k AC ＝－1－13－1＝－1.∴直线AB 的倾斜角为45°，直线AC 的倾斜角为135°. (2)如图，直线AD 的倾斜角α满足0°≤α≤45°或135°≤α＜180°，当0°≤α≤45°时，0≤k ≤1；当135°≤α＜180°时，－1≤k ＜0.所以，直线AD 的斜率k 的取值范围为[－1,1]．。
高中数学人教A版必修2习题第3章 直线与方程3.2.1 Word版含解析
第三章一、选择题．已知直线的方程是＋＝－－，则( )．直线经过点(－)，斜率为－．直线经过点(，－)，斜率为－．直线经过点(－，－)，斜率为－．直线经过点(－，－)，斜率为[答案][解析]直线方程＋＝－－可化为－(－)＝－[－(－)]，故直线经过点(－，－)，斜率为－. ．直线＝－－在轴上的截距为，在轴上的截距为，则、的值是( )．＝－，＝－．＝－，＝－．＝－，＝．＝－，＝－[答案][解析]令＝，得＝－，即＝－，令＝，得＝－，即＝－.．若直线＝－－与直线＝－垂直，则的值为( )．－．．－．[答案][解析]由题意，得－×＝－，∴＝.．与直线＝＋垂直，且在轴上的截距为的直线的斜截式方程为( )．＝＋．＝＋．＝－＋．＝－＋[答案]．已知两条直线＝－和＝(－)＋互相平行，则等于( )．．．．－[答案][解析]根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是＝，＝－.两直线平行，则有＝. 所以＝－，解得＝.．直线＝－通过( )．第一、二、三象限．第一、二、四象限．第一、三、四象限．第二、三、四象限[答案][解析]＝－过点()、(，－)，因此直线过一、三、四象限，选．二、填空题．已知直线过点()且与直线：＝＋垂直，则的点斜式方程为[答案]－＝－(－)[解析]设的斜率为，的斜率为，∵⊥，∴＝－.又＝，∴＝－.∴的点斜式方程为－＝－(－)．．已知点(，－)和(－)是直线＝＋上的两点，则＝，＝[答案]－－[解析]由题意，得(\\(－＝＋＝－＋))，解得＝－，＝－.三、解答题．已知直线的方程为＝－＋，的方程为＝－，直线与平行且与在轴上的截距相同，求直线的方程[解析]由斜截式方程知直线的斜率＝－.又∵∥，∴的斜率＝＝－.由题意知在轴上的截距为－，∴在轴上的截距＝－，∴由斜截式可得直线的方程为＝－－.．求斜率为且与两坐标轴围成的三角形周长为的直线方程[解析]设直线方程为＝＋，令＝，得＝；令＝，得＝－.∴＋－＋＝.∴＋＋＝，∴＝±.∴所求直线方程为＝±.一、选择题．方程－＝(－)．可以表示任何直线．不能表示过原点的直线．不能表示与轴垂直的直线．不能表示与轴垂直的直线。
高中数学人教A版必修2习题第3章 直线与方程3.2.2 Word版含解析
第三章一、选择题．直线－＝在轴、轴上的截距分别为( )．．，－．－，－．－[答案][解析]将－＝化成直线截距式的标准形式为＋＝，故直线－＝在轴、轴上的截距分别为、－.．已知点(，－)、()，若线段的垂直平分线的方程是＋＝，则实数的值是( )．－．－．．[答案][解析]由中点坐标公式，得线段的中点是(，)．又点(，)在线段的垂直平分线上，所以＋＝，所以＝，选．．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李，行李费用(元)与行李质量()的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为( )．．．．[答案][解析]由图知点()、()，由直线方程的两点式，得直线的方程是＝，即＝－.依题意，令＝，得＝，即旅客最多可免费携带千克行李．．如右图所示，直线的截距式方程是＋＝，则有( )．>，>．>，<．<，>．<，<[答案][解析]很明显()、(，)，由图知在轴正半轴上，在轴负半轴上，则>，<.．已知△三顶点()、()、()，为中点，为中点，则中位线所在直线方程为( )．＋－＝．－＋＝．＋－＝．－－＝[答案][解析]点的坐标为()，点的坐标为()，由两点式方程得＝，即＋－＝.．过两点(－)和()的直线在轴上的截距为( )．－．－．．[答案][解析]直线方程为＝，化为截距式为＋＝，则在轴上的截距为－.二、填空题．已知点(－－)在经过(，－)、(－)两点的直线上，则＝[答案][解析]解法一：的直线方程为：＝，即＋－＝，代入(－－)得＝.解法二：、、三点共线，∴＝，解得＝.．过点()，且在两坐标轴上截距之和等于的直线方程是[答案]＋－＝[解析]设直线方程为＋＝，则(\\(＝＋＝))，解得＝，＝，则直线方程为＋＝，即＋－＝.三、解答题．已知点(－)、()，线段的中点为，求过点且平行于直线－＝的直线的方程[解析]由题意得()，直线－＝的方程化为斜截式为＝－，其斜率为，所以直线的斜率为.所以直线的方程是－＝(－)，即－＋＝.．求分别满足下列条件的直线的方程：()斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是；()经过两点()、()；()经过点(，－)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[解析]()设直线的方程为＝＋.令＝，得＝－，∴·(－)＝，＝±.∴直线的方程为＝±.()当≠时，直线的方程是。
高中人教A版数学必修二习题第3章 直线与方程 章末综合测评3 Word版含答案
章末分层突破
①°≤α<°
②＝α
③
④·＝－
⑤＝，≠
⑥＝
⑦＝
⑧＝
(教师用书独具)
()
化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．
()运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．
过点(－，－)作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为，求直线的方程．
【精彩点拨】已知直线过定点，且与两坐标轴都相交，围成的直角三角形的面积已知．求直线方程时可采用待定系数法，设出直线方程的点斜式，再由面积为列方程，求直线的斜率．
【规范解答】由题意知，直线的斜率存在．设直线为＋＝(＋)，交轴于点，交轴于点(－)，
＝××－＝，
得－＋＝(无实根)，或－＋＝，
解得＝，或＝，
所以所求直线的方程为－－＝，或－＋＝.
．过点(－)，()分别作两条互相平行的直线，使它们在轴上截距之差的绝对值为，求这两条直线的方程．
【解】()当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为＝－，＝，它们在轴上截距之差的绝对值为，满足题意；
()当直线的斜率存在时，设其斜率为，
则两条直线的方程分别为＝(＋)，＝＋.
令＝，分别得＝－，＝－.
由题意得＝，即＝.
则直线的方程为＝＋，＝＋，
即－＋＝，－＋＝.
综上可知，所求的直线方程为＝－，＝，或－＋＝，－＋＝.
可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法：
直线：＋＋＝，
：＋＋＝.
()∥时，可令－＝，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；
()⊥时，可利用＋＝直接求参数的值．。
高中数学人教A版必修二 第三章 直线与方程 学业分层测评20 Word版含答案
学业分层测评（二十）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为() A．(8,0) B．(－12,0)C．(8,0)或(－12,0) D．(－8,0)或(12,0)【解析】设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得|3x－4×0＋6|32＋(－4)2＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．【答案】 C2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于()A.75 B.715C.415 D.23【解析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝|－6＋10|92＋122＝415.【答案】 C3．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为() A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意|c－(－11)|32＋(－4)2＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.【答案】 B4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为()A．0或－12 B.12或－6C．－12或12D．0或12【解析】由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝4－2－1－3或m×3－12＋2＋42＋3＝0，∴m＝12或m＝－6.【答案】 B5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.43 B.75C.85 D.203【解析】设P(x0，－x20)为y＝－x2上任意一点，则由题意得P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝|4x0－3x20－8|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎪⎫x0－232－2035，∴当x0＝23时，d min＝2035＝43.【答案】 A二、填空题6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.【导学号：09960122】【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.【答案】2 27．已知x＋y－3＝0，则(x－2)2＋(y＋1)2的最小值为________．【解析】设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|P A |.|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2. 【答案】2三、解答题8．已知直线l 1和l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0，直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1d 2＝12，求直线l 的方程． 【解】 由题意知l 1∥l 2，故l 1∥l 2∥l .设l 的方程为7x ＋8y ＋c ＝0，则2·|c －9|72＋82＝|c －(－3)|72＋82， 解得c ＝21或c ＝5.∴直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.9．已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边所在直线的方程．【解】 ∵由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0，∴中心坐标为(－1,0)．∴中心到已知边的距离为|－1－2|12＋32＝310. 设正方形相邻两边方程为x ＋3y ＋m ＝0和3x －y ＋n ＝0.∵正方形中心到各边距离相等， ∴|－1＋m |10＝310和|－3＋n |10＝310. ∴m ＝4或m ＝－2(舍去)，n ＝6或n ＝0.∴其他三边所在直线的方程为x ＋3y ＋4＝0,3x －y ＝0,3x －y ＋6＝0.[自我挑战]10．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 由题可知所求直线显然不与y 轴平行，∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1， d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立， 解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条．【答案】 B11．如图3-3-3，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．图3-3-3【解】 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >0)，则题图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．所以AD ＝2，BC ＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，所以b 2＝9，b ＝±3.但b >1，所以b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.。
高中数学人教A版必修二 第三章 直线与方程 学业分层测评19 Word版含答案
学业分层测评（十九）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·西安高一检测)直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)【解析】 解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴交点坐标为(－2,2)． 【答案】 C2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( ) A ．－24 B ．6 C ．±6D ．24【解析】 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.【答案】 C3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形．故选B. 【答案】 B4．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0. 由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)． 【答案】 B5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3,4C ．4,3D ．－4，－3【解析】 由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.【答案】 B 二、填空题6．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．【导学号：09960117】【解析】 法一 由⎩⎨⎧ 2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3，则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)， 即3x ＋y ＝0.法二 设所求直线方程为2x －y －5＋λ(x ＋y ＋2)＝0. 即(2＋λ)x ＋(－1＋λ)y －5＋2λ＝0， 则2＋λ3＝－1＋λ1≠－5＋2λ－1，解得λ＝52，则所求直线的方程为92x ＋32y ＝0， 即3x ＋y ＝0.【答案】 3x ＋y ＝07．(2016·潍坊四校联考)点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________．【解析】设对称点坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2) 三、解答题8．(2016·珠海高一检测)设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．【解】 设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0， 整理得(2＋3λ)x －(4λ＋3)y －2λ＋2＝0， 由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1， 解得λ＝－1，或λ＝－57.所以所求的直线方程为x －y －4＝0，或x ＋y －24＝0.9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．【解】 若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1， 由⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5， ∴x ＝1为所求；当l 不与x 轴垂直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)． 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2(k ≠－2)．由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5， 解得k ＝－34.∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.[自我挑战]10．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( )【导学号：09960118】A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0【解析】 设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)．则AC 的方程为y －10－1＝x －31－3， 即x －2y －1＝0. 【答案】 C11．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，如图3-3-2.试用坐标法证明：|AE |＝|CD |.图3-3-2【证明】 如图所示，以B 点为坐标原点，取AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，则A (－a,0)，C (c,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，3a 2，于是由距离公式，得|AE |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2－(－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c －02 ＝a 2＋ac ＋c 2， 同理|CD |＝a 2＋ac ＋c 2， 所以|AE |＝|CD |.。
高中数学人教A版必修2：阶段质量检测(三) 直线与方程 Word版含解析
阶段质量检测（三） 直线与方程(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过A (2,0)，B (5,3)两点的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．90°D ．60°解析：选A ∵A (2,0)，B (5,3)， ∴直线AB 的斜率k ＝3－05－2＝1.设直线AB 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)， 则tan θ＝1，∴θ＝45°.故选A.2．点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A. 3 B.3m C ．3D ．3m解析：选A 由点到直线的距离公式得点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝ 3.3．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.4．如果直线l 过(－2，－2)，(2,4)两点，点(1 344，m )在直线l 上，那么m 的值为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选D 由两点式，得y ＋24＋2＝x ＋22＋2，∴当x ＝1 344时，m ＝2 017，故选D. 5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，则顶点D 的坐标为( )A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(3,1)D ．(3,8)解析：选A 设D (m ，n )，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4，∴点D 的坐标为(3,4)．6．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.7．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)D ．(0,2)解析：选A 设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0×y －3x －3＝－1，(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.8．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， 则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5.答案：(1，－5) 10．若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2<0，得－2<a <1.答案：(－2,1)11．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∴12|ab |＝3，且－b a ＝16，解得a ＝－6，b ＝1或a ＝6，b＝－1，∴直线l 的方程为x－6＋y ＝1或x6－y ＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝012．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则m ＝________，n ＝________.解析：依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n ＝－3，－m n ＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.答案：3 113．设两直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，若l 1∥l 2，则m ＝____________；若l 1⊥l 2，则m ＝____________.解析：由l 1∥l 2得(3＋m )(5＋m )－4×2＝0，解得m ＝－1或m ＝－7，当m ＝－1时，两直线重合，舍去．由l 1⊥l 2得(3＋m )×2＋4×(5＋m )＝0，解得m ＝－133.答案：－7 －13314．已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＝______________，n ＝______________.解析：由题意，所给两条直线平行，∴n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)． 答案：2 －215．已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)，则求直线l 的方程为________，点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)． 答案：x ＋y －2＝0 (－2，－1)三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5.解：设点P 的坐标为(a,0)(a >0)，点P 到直线AB 的距离为d .由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d＝12(3－1)2＋(3－2)2·d ＝5，解得d ＝2 5.由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0， 所以d ＝|a ＋3|1＋(－2)2＝25，解得a ＝7或a ＝－13(舍去)， 所以点P 的坐标为(7,0)．17．(本小题满分15分)一条光线从点A (2,3)出发，经y 轴反射后，通过点B (4，－1)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：点A (2,3)关于y 轴的对称点为A ′(－2,3)，点B (4，－1)关于y 轴的对称点为B ′(－4，－1)．则入射光线所在直线的方程为AB ′：y ＋13＋1＝x ＋42＋4，即2x －3y ＋5＝0.反射光线所在直线的方程为A ′B ：y ＋13＋1＝x －4－2－4，即2x ＋3y －5＝0.18．(本小题满分15分)已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．解：(1)因为A ，B ，C 三点共线，且x B ≠x C ，则该直线斜率存在，则k BC ＝k AB ，即m 2－m －22＝1m －2，解得m ＝1或1－3或1＋ 3. (2)由已知，得k BC ＝m 2－m －22，且x A －x B ＝m －2.①当m －2＝0，即m ＝2时，直线AB 的斜率不存在，此时k BC ＝0，于是AB ⊥BC ； ②当m －2≠0，即m ≠2时，k AB ＝1m －2，由k AB ·k BC ＝－1，得1m －2·m 2－m －22＝－1，解得m ＝－3.综上，可得实数m 的值为2或－3.19．(本小题满分15分)直线过点P ⎝⎛⎭⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由条件①可知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.由条件②可得12ab ＝6.又直线过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1， 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，12ab ＝6，43a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴所求直线方程为x 4＋y3＝1.20．(本小题满分15分)已知点P (2，－1)． (1)求过点P 且与原点O 的距离为2的直线的方程；(2)求过点P 且与原点O 的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点O 的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x ＝2符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为 y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 根据题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.则直线方程为3x －4y －10＝0.故符合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线．则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.最大距离为 5.(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6>5，故不存在这样的直线．。
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学业分层测评（二十）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为() A．(8,0) B．(－12,0)
C．(8,0)或(－12,0) D．(－8,0)或(12,0)
【解析】设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得
|3x－4×0＋6|
32＋(－4)2
＝6，
解得x＝8或x＝－12.
所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．
【答案】 C
2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于()
A.7
5 B.
7
15
C.4
15 D.
2
3
【解析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，
由平行线间的距离公式得d＝|－6＋10|
92＋122
＝
4
15.
【答案】 C
3．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为() A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意|c－(－11)|
32＋(－4)2
＝2，解得c
＝－1或c＝－21.故选B.
【答案】 B
4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为()
A．0或－1
2 B.
1
2或－6
C．－1
2或
1
2D．0或
1
2
【解析】由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m
＝
4－2
－1－3
或m×
3－1
2＋
2＋4
2＋3＝0，∴m＝
1
2或m＝－6.
【答案】 B
5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()
A.
4
3 B.
7
5
C.
8
5 D.
20
3
【解析】设P(x0，－x20)为y＝－x2上任意一点，则由题意得P到直线4x＋
3y－8＝0的距离d＝|4x0－3x20－8|
5＝
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
－3
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x0－
2
3
2－
20
3
5，
∴当x0＝2
3时，d min＝
20
3
5＝
4
3.
【答案】 A
二、填空题
6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.
【导学号：09960122】
【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝|0＋0－4|
1＋1
＝2 2.
【答案】2 2
7．已知x＋y－3＝0，则(x－2)2＋(y＋1)2的最小值为________．【解析】设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|P A |.
|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12
＝ 2. 【答案】
2
三、解答题
8．已知直线l 1和l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0，直线l 平行于
l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1d 2
＝12，求直线l 的方程． 【解】 由题意知l 1∥l 2，故l 1∥l 2∥l .
设l 的方程为7x ＋8y ＋c ＝0，
则2·|c －9|72＋82＝|c －(－3)|72＋82， 解得c ＝21或c ＝5.
∴直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.
9．已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边所在直线的方程．
【解】 ∵由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝－1，y ＝0，
∴中心坐标为(－1,0)．
∴中心到已知边的距离为|－1－2|12＋32＝310. 设正方形相邻两边方程为x ＋3y ＋m ＝0和3x －y ＋n ＝0.
∵正方形中心到各边距离相等， ∴|－1＋m |10＝310和|－3＋n |10＝310
. ∴m ＝4或m ＝－2(舍去)，n ＝6或n ＝0.
∴其他三边所在直线的方程为x ＋3y ＋4＝0,3x －y ＝0,3x －y ＋6＝0.
[自我挑战]
10．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有
( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
【解析】 由题可知所求直线显然不与y 轴平行，
∴可设直线为y ＝kx ＋b ，
即kx －y ＋b ＝0.
∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1
＝1， d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1
＝2，两式联立， 解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.
故所求直线共有两条．
【答案】 B
11．如图3-3-3，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．
图3-3-3
【解】 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >0)，则题图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．所以AD ＝2，BC ＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，所以b 2＝9，b ＝±3.但b >1，所以b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.。