余角、补角、对顶角课件

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第12讲角及余角、补角、对顶角(9大考点)(解析版)

第12讲角及余角、补角、对顶角（9大考点）考点考向一、角的相关概念1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形．如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的160为1分，记作“1′”，即l°＝60′.1′的160为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．二、角的比较1）角的比较方法(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF 等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF 大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF 小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.2）角的和、差由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．3）角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图4-4-9所示，射线OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC ＝∠COA ＝21∠BOA ,∠BOA ＝2∠BOC ＝2∠COA . 4）方向的表示○1方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。

6.3余角、补角和对顶角

A．2个B．3个C．4个D．6个
A．20°B．40°C．50°D．60°
A．B．C．D．
A．B．C．D．
2、相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
【练习】
1（2006•河南）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A．一定有一个锐角B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角D．一定有一个不是钝角
3（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）
A．∠2和∠3B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠1和∠2
4（2009•南平）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，则∠1+∠2的度数是（）
A．45°B．60°C．90°D．180°。

《余角和补角》图形初步认识PPT课件

因为∠1与∠2和∠3都互为补角，所以∠2＝180º－∠1，∠3＝180º－∠1．所以∠2＝∠3.
探究新知
已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补．若∠1＝∠3，那么∠2和∠4
相等吗？为什么？
1
2
3 4
由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180º，所以 ∠2＝180º－∠1.
由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º，所以∠4=180º－∠3. 又因为∠1＝∠3，所以180º－∠1＝180º－∠3，所以∠2＝∠4.
北 A
30°
C
60°
西
东
O
25°
B 南
课堂小结
1.余角的定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角. 2.补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. 3.余角与补角的性质：同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等. 4.方位角
又因为∠1＋∠ADC＝∠CDE＝90°，
且∠1＝∠2，
所以∠ADC＝∠BDC．
课堂练习
（2）∠ADF＝∠BDE．
理由：因为∠ADF＝180°－∠1，∠BDE＝180°－∠2，
又因为∠1＝∠2，
所以∠ADF＝∠BDE．
C
A
B
E
1
2
D
F
课堂练习
6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α 与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中 ∠α与∠β相等？
课堂小结
本图片资源介绍了两角互余与互补的概念及余（补）角的性质，适用于余角和补角的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】互余与互补.

(名师整理)最新北师大版数学七年级下册第2章第1节《两条直线的位置关系——对顶角、余角和补角》精品课件

× ）×
√
×
四、余角和补角的性质
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图2-2抽象成图2-3，ON与DC 交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2。
D
O
C
1
2
34
图2—2
A
N
图2-3
小组合作交流，解决下列问题：在图2—3中问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
A
证明： ∵∠1 +∠AOC =180° (平角定义)
∠2 +∠AOC =180°(平角定义) ∴∠1 =180°-∠AOC ∴∠2 =180°-∠AOC ∴∠1 = ∠2 (等式性质)
C
）2 1（ O
B D
算一算
(3)如图，已知∠DOE=90°，AB是经过点O的一条直线。如果 ∠AOC=700，那么∠BOF等于多少度?为什么?
小关系是________∠_2，=∠理3由：______同_角__的__补__角__相. 等
1 23
作业：
如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90 。 ∠AOF与∠DOE、∠BOF与∠COE有怎样的大小关系？为什么？
E F
D
A
0
B
C
学习了本课后，你有哪些收获和感想？告诉大家好吗？
4.不相交的两条直线一定是平行线吗？.
相交
平行
大家来找茬
1.判断下面说法同一是平否面内正确:
（1）不相交的两条直线叫做平行线。（ ×）
（2）在同一平面内，不相交的两条线段

6.3余角、补角、对顶角(2)课件

课堂小结
• 学习了对顶角的概念及其性质；学习了对顶角的概念及其性质； • 经历“观察－－猜想－－说理”的经历“观察－－猜想－－说理” －－猜想－－说理认知过程，发展空间观念和有条理认知过程，的表达能力．的表达能力．
因为OE平分∠ 因为平分∠AOC，平分， A 所以∠ 所以∠AOE= ∠EOC=25O E ∠AOC=2 ∠AOE=50O C 因为∠ 是对顶角, 因为∠AOC与∠BOD是对顶角与是对顶角所以∠ 所以∠BOD= ∠AOC=50O 又∠AOE与∠BOE互补，互补， ∠ 与互补 COE与 DOE互补互补， ∠COE与∠DOE互补， ∠AOC与∠COB互补与互补所以∠ 所以∠BOE=180O- ∠AOE=155O ∠DOE=180O- ∠COE=155O ∠COB=180O- ∠AOC=130O 因为∠ 是对顶角, 因为∠AOD与∠BOC是对顶角与是对顶角所以∠ 所以∠BOC= ∠AOD=130O
Ｂ ∠AOD与∠DOB互补与互补
2、如图，∠AOC=900，∠BOD=900，、如图，的关系是_____，则∠１与∠３的关系是相等，其理由同角的余角相等是__________________________.
B A
C
３２１
o
D
0， 3、如图，∠1＋∠2＝180 、直线AB、相交于点相交于点O，例1 如图，直线、CD相交于点， OE平分∠AOC，∠AOE=250。你能说平分∠ 平分，出图中哪些角的度数？出图中哪些角的度数？
A E O C B D
练习1 练习 1.如图直线、DE相交于点，OE 如图,直线相交于点O，如图直线AC、相交于点的平分线，是∠AOB的平分线，∠COD=500，的平分线试求∠ 的度数。试求∠AOB的度数的度数

苏科版数学七年级上册6.3 余角、补角、对顶角课件

4. 一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 .
例1 如图 6.3 － 3，点O为直线AB上一点，∠ AOC=∠ DOE=90°.
解题秘方：由已知条件，结合互为余角、互为补角的定义解答 .
方法点拨从图形中找互余或互补的角，可从两个方面进行：一个方面从角的度数入手，和为90°互余，和为180°互
(2)图中互补的角有几对？各是哪些？
解：由已知得，∠ 1+ ∠ BOD=180°，∠ 4+ ∠ AOE=180°，由(1)易知，∠ 1= ∠ 3，∠ 2= ∠ 4，所以∠ 3+ ∠ BOD=180°，∠ 2+ ∠ AOE=180°. 又因为∠ AOC+ ∠ BOC=180°，∠ AOC+ ∠ DOE=180°， ∠ DOE+ ∠ BOC=180°，
课堂小结
归纳新知
6.3 余角、补角、对顶角
数量关系两个角
位置关系
互余和互补
对顶角
同角（等角）的余角（补角）相等
对顶角相等
特别提醒 (1)如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角. (2)“同角” 指同一个角，“等角”指度数相等的角. (3)余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.
例2 如图 6.3 － 4，直线 AB 与∠ COD 的两边 OC， OD 分别相交于点 E， F，∠ 1+ ∠ 2=180° . 找出图中与∠ 2 相等的角，并说明理由 .
解：由对顶角相等，得∠ 2= ∠ 3=25°，因为 OC 平分∠ AOB，所以∠ 1= ∠ 2=25° .
方法技巧进行角的计算时， “对顶角相等”这个结论常常被用

人教版七年级数学上 4.3.3《余角和补角》课件(共18张PPT)课件

理由：由（1）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180° 由（2）可知 ∠1+∠3=∠2+∠4=∠1+∠4=∠2+∠3=90°
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
第3关：合作展示求知、求真、求健，求美
2.若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角. 解：设这个角是x°，则 180－x= 4 ( 90－x) 解得x = 60 答：这个角是60°.
第3关：合作展示求知、求真、求健，求美
1.如下图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平
分∠AOC和∠BOC，
（1）∠AOC与∠BOC的关系是什么？
互补（2）图中有哪几对相等的角？
因为OD平分∠AOC，所以∠1=∠2，
23
1
4
同理，∠3=∠4
（3）图中有哪几对互余的角？
∠2和∠3， ∠1和∠4， ∠1和∠3， ∠2和∠4.
的角？ ∠1=∠A ，∠2=∠B
因为∠1与∠2互余
因为∠1与∠2互余
∠A与∠2互余恭喜大家∠1！与∠B互余
所以∠1=∠A 闯关所成以功∠2！=∠B
（同角的余角相等）（同角的余角相等）
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
课堂小结
求知、求真、求健，求美
思考：直角和平角中，被分成的两个角的度数分别有什么关系呢？
1 2
3
4
∠1+∠2=__9_0_°，
∠3+∠4=__1_8_0.°
结论：两个角的数量关系与角的位置无关.
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m

人教版数学七年级上册 4.余角与补角课件(24张)

解得： x =60 答：这个角的度数是60 °。
已知一个角的补角是它的3倍,这个角是多度?
解:设这个角为x°, 则这个角的补角是(180－x)° 由题意得180－x=3x 解得 x = 45 则这个角的度数为45°
变式训练: 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的度数
探究:余角和补角的性质如图∠1 与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
注意点
1 互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，与位置无关。
2 互余、互补概念中的角是成对出现的。
3 角的余角是 90 ，补角是 180 ,
同一个锐角的补角比90余。角大 90 。
4 只有锐角才有余角。 5 同角的余角（补角）相等；
•
2.对于这种能力，人们普遍存在一种疑问，即为什么只有一部分人会发生联觉现象。一些人用基因来解释这个问题。有研究者已经注意到，如果一个家族中有一人具有联觉能力，那么很可能会出现更多这样的人。
•
3.科学研究指出，联觉现象大多出现在数学较差的人身上，此外，左撇子、方向感较差以及有过预知经历的人也通常会出现联觉现象。也有人认为，联觉能力与一个人的创造力有关，许多著名的科学家和艺术家都具备联觉能力。
DC
E
1
23 4
A
O
B
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
小结
互余
互补
两角间 1 2 90 1 2 180

第一节余角与补角、对顶角

第一节余角、补角与对顶角1.互为余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。

注：互为余角仅仅表明了两个角之间的度量关系，与角的位置无关。

2.互为补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

注：和是平角，说明了互为补角仅仅表明了两个角之间的度量关系，与角的位置无关。

3.对顶角直线AB 与CD 相交于点O ，∠AOC 与∠BOD 有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

注:(1)两条直线相交；(2)有公共顶点；(3)无公共边（4）对顶角是成对的，是具有特殊位置的两个角。

4.角的重要性质：（1）同角或等角的余角相等。

（2）同角或等角的补角相等。

（3）对顶角相等。

例1：判断题（1）.若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余.（）（2）.若∠A 与∠B 互补，则∠A +∠B =180°.（）（3）.若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3互补.（）（4）.若∠AOB +∠BOC =180°，则点A 、O 、C 必在同一直线上.（）（5）.若∠α+∠β+∠γ=90°，则∠α、∠β、∠γ互余.（）例2：如图1，直线l 1与l2相交，∠1=50°，则∠2=_________，∠3=_________.图1 图2例3：如图2，直线AB 与CD 相交于O 点，且∠AOD =90°，则∠AOC =_________=_________=_________=_________.例4：如图3，若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，∠BOC=150°，则∠DOC=________，∠AOD =________.图3 图4 图5AOBCA BCODOBA C例5：如图4，直线AB 与CD 相交于O ，∠EOD =90°，正确填写下列两角关系的名称.∠1与∠2:______________________ ∠2与∠3:______________________ ∠2与∠4:______________________ ∠1与∠4:______________________ 例6：如图5，AO ⊥BO ，直线CD 经过点O ，∠AOC =30°，求∠BOD 的度数. 例7：两条直线相交于一点，则共有对顶角的对数为（）A.1对B.2对C.3对D.4对例8：下面说法正确的个数为（）①对顶角相等 ②相等的角是对顶角 ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角 ④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等A.1个B.2个C.3个D.4个例9：若∠1和∠2互余，∠2与∠3互余，∠1=40°，则∠3等于（）A.40°B.130°C.50°D.140°例10：如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（）A.（1）（3）B.（2）（3）C.（3）D.（3）（4）例11：如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COB ，:4:1AOD DOC ∠∠=,AOF ∠的度数。

余角、补角(课件)六年级数学下册(沪教版)

7.6余角、补角
操作
用量角器量出、、的度数，分别仔细观察和、和的每两个角之间的数量关系，你有什么发现吗?
概念辨析：
1.互为余角：
1 2
如果两个角的度数的和是90°，那么这两个角叫做互为余角，简称互余．其中一个角称为另一个角的余角(complementary angle),简称互余.其中一个角称为另一个角的余角.．
150° 135° 104°
180°-x°
从这张表格中，比较同一个锐角的余角和补角的度数，你能发现什么规律？
同一个锐角的补角比它的余角大90度
6.如图，直线CD经过点O，且OC平分∠AOB. 试判断∠AOD与∠BOD的大小关系，并说明理由.
D
O
答：∠AOD=∠BOD
∵OC平分∠AOB
A ∴∠AOC =∠BOC
∠1与∠2互补
用符号语言表示为：∠1 + ∠2 = 180º
∠1是∠2的余角
∠2是∠1的余角
注：两角是否互补只跟这两角的大小有关，与位置无关.
在研究角的度量时，往往需要比度更小的单位，
分： 1分记作：1′
秒： 1秒记作：1"
把1度的角分成60等份，那么每1份就是1分，记作1′；
1°=60′ 1'（ 1 ）
∵ ∠AOC+∠BOC=1800 A ∴ ∠AOC和∠BOC互补
∵ ∠AOD+∠BOD=1800 ∴ ∠AOD和∠BOD互补
CD
O
B
3、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC是直角，OD是 ∠BOC内的一条射线，图中有哪些角互补？有哪些角互余？说明你的理由。
解： ∵ ∠AOC+∠BOC=1800 ∴ ∠AOC和∠BOC互补

6.3 《余角补角对顶角》课件苏科版 (7)

1
2
∵ ∠3与∠4互余， ∴ ∠4=90°－ ∠3 ∵ ∠ 1 = ∠ 3， ∠2 =∠4 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿。
3
4
余角的性质2: 等角的余角相等；
符号语言: ∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， ∠1=∠3 ∴∠2=∠4
动手画图，探索性质
请你只用直尺，在原图上画出∠AOB 所有的补角。 ∠2、∠3
D
你能用一句话概括以上规律吗?
∠AOC 、∠BOD
同角的余角相等
余角的性质1: 同角的余角相等；
符号语言: ∵∠1与∠2互余，∠1与∠3互余， ∴∠2=∠3
等角的余角相等余角的性质2：
如图:∠1 与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
结论：理由：
∠2=∠４ ∵ ∠1 与∠2互余， ∴ ∠2= 90 °－＿＿； ∠1
那么这两个角互为补角，简称互补。
其中的一个角叫做另一个角的补角。
如图:若∠1与∠2的和等于180°(平角），
就说∠1与∠2互为补角，简称互补。
2
1
符号语言1 符号语言2
∵∠1+∠2=180°， ∴∠1与∠2互为补角 ∵∠1与∠2互为补角 ∴∠1+∠2=180°
注:1.是两个角之间的关系；2.和位置无关,只和数量有关。
那么这两个角互为余角，简称互余。
其中的一个角叫做另一个角的余角。
定义：如果两个角的和是一个直角（90°），
那么这两个角互为余角，简称互余。
1、定义中的“互为”一词如何理解？回顾：（1）若两数a、b满足a+b=0，则a、b的关系？（2）若两数a、b满足a· b=1，则a、b的关系？类比：若1+2=90°，则1与2互为余角，即：1的余角是2 ，2的余角是1。 2、互余两角是否一定有公共顶点或公共边？