【人教A版】高中数学同步辅导与检测：选修2-1 第二章2.1-2.1.2求曲线的方程

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12、【人教A版】高中数学同步辅导与检测(选修1-1)第二章2.2-2.2.2双曲线的简单几何性质

第二章圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.2 双曲线的简单几何性质A 级基础巩固一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4.答案：C2．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1解析：由已知可得c ＝6，所以 a ＝b ＝22c ＝32，所以双曲线的标准方程是x 218－y 218＝1.答案：D3．已知双曲线x 23－y 2b 2＝1(b >0)的焦点到其渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.233D.322解析：由题意及对称性可知焦点(b 2＋3，0)到bx －3y ＝0的距离为1，即|b 2＋3·b |b 2＋3＝1，所以b ＝1，所以c ＝2，又a ＝3，所以双曲线的离心率为233.答案：C4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .又离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .答案：C5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：双曲线的一条渐近线方程为x a －yb ＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c ，0)到该渐近线的距离为bca 2＋b 2＝bc c ＝3，故b ＝3，结合c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4.答案：C 二、填空题6．已知双曲线x 2n －y 212－n ＝1(0<n <12)的离心率为3，则n 的值为________．解析：因为0<n <12，所以a 2＝n ，b 2＝12－n . 所以c 2＝a 2＋b 2＝12.所以e ＝ca ＝12n ＝ 3.所以n ＝4. 答案：47．(2016·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝____，b ＝________．解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ，所以ba＝2.①又双曲线的一个焦点为(5，0)，所以a 2＋b 2＝5.② 由①②得a ＝1，b ＝2. 答案：1 28．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．解析：双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2，又因为e ∈(1，2)，则1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0答案：(－12，0) 三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b 2＝1.①又e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y214＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.(2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以 e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P (4，－10)，所以 16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6. 所以双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.10．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意⎩⎨⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0，所以 0＜a ＜2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a ＞0，解得a ＝1713.B 级能力提升1．若0＜k ＜a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1与x 2a 2－y2b 2＝1有( )A ．相同的虚线B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点解析：因为0＜k ＜a 2，所以 a 2－k ＞0.对于双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1，焦点在x轴上且c2＝a2－k＋b2＋k＝a2＋b2.同理双曲线x2a2－y2b2＝1焦点在x轴上且c2＝a2＋b2，故它们有共同的焦点．答案：D2．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2⊥MF1，在正三角形MF1F2中，|F1F2|＝2c，则|PF1|＝c，|PF2|＝3c.因为P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a而3c－c＝2a所以ca＝23－1＝2（3＋1）（3－1）（3＋1）＝3＋1.答案：3＋13．已知直线kx －y ＋1＝0与双曲线x 22－y 2＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)若x 轴上的点M (3，0)到A ，B 两点的距离相等，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1＝0，x 22－y 2＝1得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0.所以⎩⎨⎧1－2k 2≠0，Δ＝16k 2＋16（1－2k 2）＝16（1－k 2）>0，解得：－1<k <1，且k ≠±22.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 1－2k2，设P 为AB 中点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，k （x 1＋x 2）2＋1，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k 1－2k 2，11－2k 2，因为M (3，0)到A ，B 两点的距离相等，所以MP ⊥AB ，所以k MP ·k AB ＝－1，即k ·11－2k 22k1－2k2－3＝－1，解得k ＝12或k ＝－1(舍去)，1所以k＝2.。

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 含解析

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x 236+y235=1B.y 236+x235=1C.x 236+y21=1D.x 236+y235=1或y236+x235=12椭圆x 225+y2=1上的一个点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为() A.5 B.6 C.7 D.8a2=25,∴a=5,2a=10.设P到另一个焦点的距离为d,由椭圆的定义知,d+2=2a=10,故d=8.3如果方程x 2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是()A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-24已知椭圆x 225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.325若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为√3,则这个椭圆的方程为( ) A.x 212+y 29=1B.x 29+y 212=1 C.x 212+y 29=1或x 29+y 212=1D.以上都不对6椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=-12. 故∠F 1PF 2=120°.120°7已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9,则b= .,有{|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|·|PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,解得4c 2+36=4a 2,即a 2-c 2=9,故b=3.8已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(52,-32),求它的标准方程.椭圆的焦点在x 轴上,∴可设标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0). ∵2a=√(5+2)2+(-3)2+√(5-2)2+(-3)2=2√10,∴a=√10,a 2=10.∵c=2,∴c 2=4,∴b 2=a 2-c 2=6.故椭圆方程为x 210+y 26=1.9已知椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,求|PF 2|的长.F 1的坐标为(-√3,0).设P (-√3,y ),把P (-√3,y )代入椭圆的方程中,得|y|=12,即|PF 1|=12.根据椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=4,故|PF 2|=4-|PF 1|=4-12=72. 能力提升1已知两椭圆ax 2+y 2=8与9x 2+25y 2=100的焦距相等,则a 的值为( )A.9或917B.34或32C.9或34D.917或32椭圆9x 2+25y 2=100的标准方程为x 21009+y 24=1, ∴焦点在x 轴上,且c 2=1009-4=649, ∴c=83. 又∵椭圆ax 2+y 2=8的标准方程为x 28a +y 28=1, ∴8a -8=649或8-8a =649, 解得a=917或a=9.2已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1,F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 到x 轴的距离为( )A.2√3B.2√6C.√3D.√33若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8,得F (-1,0),设点P (x 0,y 0),则y 02=3(1-x 024), OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02=x 02+x 0+3(1-x 024)=14(x 0+2)2+2, 当x 0=2时,OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为6.4已知F 1,F 2是椭圆x 224+y 249=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则△PF 1F 2的面积等于( ) A.24 B.26 C.22√2 D.24√2a 2=49,a=7,所以|PF 1|+|PF 2|=2a=14.又因为|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,所以|PF 1|=8,|PF 2|=6.又因为|F 1F 2|=2c=2√49-24=10,所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,所以PF 1⊥PF 2.故△PF 1F 2的面积S=12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.5已知F 1,F 2为椭圆x 225+y 29=1的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F 2A|+|F 2B|=12,则|AB|= .,知|F 2A|+|F 1A|+|F 2B|+|F 1B|=4a=20,则|F 1A|+|F 1B|=|AB|=20-12=8.6若方程x 2a +ay 2=1表示椭圆,则实数a 满足的条件是 . 将x 2a +ay 2=1化为x 2a +y 21a =1. 由题意,得a>0,且a ≠1a ,解得a>0,且a ≠1.0,且a ≠17F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M ,N 分别为其短轴的两个端点,且四边形MF 1NF 2的周长为4,设过F 1的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,且|AB|=43,则|AF 2|·|BF 2|的最大值为 .8求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点A (√63,√3)和B (2√23,1)的椭圆; (2)过点(-3,2),且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆.设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ).∵椭圆过点A (√63,√3)和B (2√23,1), ∴{ m ·(√63)2+n ·(√3)2=1,m ·(2√23)2+n ·12=1, 解得m=1,n=19. ∴所求椭圆的标准方程为x 2+y 2=1. (2)∵已知椭圆x 2+y 2=1中a=3,b=2,且焦点在x 轴上,∴c 2=9-4=5.∴设所求椭圆方程为x 2a '2+y 2a '2-5=1. ∵点(-3,2)在所求椭圆上,∴9a '2+4a '2-5=1.∴a'2=15. ∴所求椭圆方程为x 2+y 2=1.★9已知点M 在椭圆x 236+y 29=1上,MP'垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P',并且M 为线段PP'的中点,求点P 的轨迹方程.P (x ,y ),点M 坐标为(x 0,y 0).∵点M 在椭圆x 236+y 29=1上,∴x 0236+y 029=1.∵M 是线段PP'的中点,∴{x 0=x ,y 0=y 2. 把{x 0=x ,y 0=y 2代入x 0236+y 029=1,得x 236+y 236=1, 即x 2+y 2=36.故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=36.。

人教A版选修2-1第二章第2课时导学案§2.1.2 求曲线的方程

§2.1.2 求曲线的方程学习目标1．学会根据条件，选择适当的坐标系求轨迹方程；2．掌握求轨迹方程的基本方法．学习过程一、课前准备（预习教材理P 35~ P 37，找出疑惑之处）复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?复习3：求曲线方程的一般步骤是：(1) ；(2) ;(3) ；(4) ；(5) ．二、新课导学※ 学习探究引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．【基础练习】1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB 的方程是( )．(A)6x+y-17=0(B)6x+y-17=0(x ≥3)(C)6x+y-17=0(x ≤3)(D)6x+y-17=0(2≤x ≤3)2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( )． (A) 1=-y x (B) 1=-y x (C)1=-y x (D) 1=±y x ．3.设B A ,两点的坐标分别是()()7,3,1,1--,则线段AB 的垂直平分线的方程为：．4.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是()())0,2(,0,2,3,0C B A -,中线)(为原点O AO 所在直线的方程是．5.已知方程222=+by ax 的曲线经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛35,0A 和点(),1,1B 求b a ,的值．※ 典型例题例1（直接法）已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条直线的方程．例2 （相关点法）动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动，M 和定点B(3，O)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程，并指出点P 的轨迹．例3（定义法）已知直角三角形ABC, C ∠为直角，,求满足条件的点C 的轨迹方程．例4（参数法）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点())3,1(,1,3-B A 为，若点C 满足βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，求点C 的轨迹方程．三、总结提升※ 学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 知识拓展求曲线方程常用的方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、相关点法、待定系数法、向量法等．学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4O PO A ∙=,则点P 的轨迹方程是．5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是．课后作业1．以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·潍坊高二检测)如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D. 【答案】 D2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( )A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1D ．以上都不对【解析】设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y225＝1.【答案】 A3．(2016·合肥高二月考)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.【答案】 B4．椭圆mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)的焦点坐标为( ) 【导学号：18490042】 A ．(0，±m －n )B ．(±m －n ，0)C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)【解析】将mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)化成标准方程得x 2－n ＋y 2－m ＝1，由m <n <0⇒－m >－n >0，得焦点在y 轴上，即a 2＝－m ，b 2＝－n ，得c 2＝a 2－b 2＝n －m ，故选C.【答案】 C5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【解析】由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，即|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2， ∴△PF 1F 2为直角三角形．【答案】 B 二、填空题6．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．【解析】依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3. 【答案】 37．已知椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2，0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________．【解析】法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2，0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. 法二：依题意，可设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝18．已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．【解析】如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0)．又|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|QF 1|＝4，F 1(－1，0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16. 【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝16 三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点，∴（3）24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1， ∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)． 10．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【导学号：18490043】【解】 (1)由焦距是4，可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又因为c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.[能力提升]1．“0<t <1”是“曲线x 2t ＋y 21－t ＝1表示椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】曲线x 2t ＋y21－t＝1表示椭圆等价于⎩⎪⎨⎪⎧t >0，1－t >0，t ≠1－t ，得t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选B.【答案】 B2．已知椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍【解析】由已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由条件，知P ⎝⎛⎭⎪⎫3，±32，即|PF 2|＝32.由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4 3. 所以|PF 1|＝732. 所以|PF 1|＝7|PF 2|. 【答案】 A3．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．【解析】由条件可取F 1(－3，0)，∵PF 1的中点在y 轴上， ∴设P (3，y 0)，由P 在椭圆x 212＋y 23＝1上得y 0＝±32，∴M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±34.【答案】 ±344．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图2-2-3)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程. 【导学号：18490044】图2-2-3【解】由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ， ∴|F 2A |＝2|F 2B |，由椭圆的定义得|F 1B |＋|F 2B |＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ，在△F 1F 2B 中，由余弦定理得 (2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒m ＝2（a 2－c 2）2a ＋c.在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c ，所以2（a 2－c 2）2a ＋c ＝a 2－c 22a －c ，解得2a ＝3c ，可得m ＝5c 8，|AB |＝3m ＝15c 8＝152，c ＝4. 由c a ＝23，得a ＝6，b 2＝20，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 220＝1.。

高中数学人教a版高二选修2-1_第二章_圆锥曲线与方程_2.3.2 有答案

高中数学人教a版高二选修2-1_第二章_圆锥曲线与方程_2.3.2 有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是()A.y218－x218＝1 B.x218－y218＝1C.x28－y28＝1 D.y28－x28＝1【解析】设等轴双曲线方程为x2a2－y2a2＝1(a＞0)，∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，故双曲线方程为x218－y218＝1.【答案】 B2．已知双曲线方程为x2－y24＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l()A．4条B．3条C．2条D．1条【解析】因为双曲线方程为x2－y24＝1，所以P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的焦距等于()A．2B．2 2C．4D．4 2【解析】由已知得e＝ca＝2，所以a＝12c，故b＝c2－a2＝32c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±ba x＝±3x，由焦点到渐近线的距离为3，得32c＝3，解得c＝2，故2c＝4，故选C.【答案】 C4．若实数k满足0<k<5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解析】若0<k<5，则5－k>0，16－k>0，故方程x216－y25－k＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k4；同理方程x216－k－y25＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为16－k，虚半轴的长为5，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为() A．2 B. 3C. 2D.3 2【解析】双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y＝±x，即ba＝1，e＝ca＝ 2.【答案】 C 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．【解析】∵c2＝m＋m2＋4，∴e 2＝c2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 27．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 448．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为： ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m9b 2－a 2－m＝－3，即3b 2a 2－（9b 2－a 2）＝－3，化简得a 2＝4b 2，即a2＝4(c2－a2)，∴4c2＝5a2，∴e2＝54，∴e＝52.【答案】5 2三、解答题9．双曲线与椭圆x216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．【解】由椭圆x216＋y264＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，∵双曲线的一条渐近线为y＝x，∴设双曲线方程为y2a2－x2a2＝1.又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.∴所求双曲线的方程为y224－x224＝1.由a2＝24，c2＝48，得e2＝c2a2＝2，又e>0，∴e＝ 2.10．已知双曲线x23－y2b2＝1的右焦点为(2，0)．(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．【解】(1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x23－y2b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，∴双曲线的方程为x23－y2＝1.(2)∵a＝3，b＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±33x，令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积为S ，则S ＝12×433×2＝433.[能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3，0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 的方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程，得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B>2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

人教a版高中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案

⼈教a版⾼中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～1 全册章节同步检测试题⽬录1.1.1课时同步练习1.2课时同步练习1.3课时同步练习1.4.1、2课时同步练习1.4.3课时同步练习第1章单元过关试卷同步练习2.1.1课时同步练习2.1.2课时同步练习2.2.1课时同步练习2.2.2（第1课时）同步练习2.2.2（第2课时）同步练习2.3.1课时同步练习2.3.2（第1课时）同步练习2.3.2（第2课时）同步练习2.4.1课时同步练习2.4.2（第1课时）同步练习2.4.2（第2课时）同步练习第2章单元过关试卷同步练习3.1.1课时同步练习3.1.2课时同步练习3.1.3课时同步练习3.1.4课时同步练习3.1.5课时同步练习3.2第3课时同步练习3.2第4课时同步练习3.2（第1课时）同步练习3.2（第2课时）同步练习第3章单元过关试卷同步练习模块质量检测A卷同步练习模块质量检测B卷同步练习第1章 1.1.1⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③⼤边所对的⾓⼤于⼩边所对的⾓；④2是⽆理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直⾓相等”的条件和结论分别是“直⾓”和“相等”B．语句“最⾼⽓温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对⾓线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，⽅程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个⾓是直⾓，则这两个⾓相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“⽤边长为3的等边三⾓形与底边为3，腰为2的等腰三⾓形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正⽅形}是{x|x是平⾏四边形}的⼦集吗？④3⼩于2；⑤矩形的对⾓线相等；⑥9的平⽅根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是⾃然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选⼀个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数⼜是增函数；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ⾄多有⼀个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ?2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析：①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确．④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ?2x ＋π2的图象．答案：①②③6．命题“⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此⽅程有两个不相等的实数根假三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题的条件p 和结论q ：(1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果⼀个函数的图象是⼀条直线，那么这个函数为⼀次函数．解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数．(2)条件p ：⼀个函数的图象是⼀条直线，结论q ：这个函数为⼀次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0解析：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1，∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4.∴x ≥4或x ≤－1.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满⾜的条件．⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1ax 2，求a 满⾜的条件．解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，⽅程有解x ＝－1b . 当a ≠0时，⽅程为⼀元⼆次⽅程，有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)∵命题当x 1a x 2为假命题，∴应有当x 1即a x 2－x 1x 1x 2≤0. ∵x 1∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∴a ≤0.第1章 1.2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |?x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ?|x |＝|y |.故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件．答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成⽴的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，⽽tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成⽴的充分不必要条件．故选A. 答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；⽽x 2＋y 2≥4不⼀定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成⽴，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分⼜不必要条件解析：由题意得：故D 是A 的必要不充分条件答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号)(1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件(2)A ∩B ≠?是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形解析： (1)因x >2且y >3?x ＋y >5， x ＋y >5?/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件．(2)因A ∩B ≠??/ A B, A B ?A ∩B ≠?.故A ∩B ≠?是A B 的必要不充分条件．(3)因b 2－4ac <0?/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ， ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ?a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件．(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形．答案： (1)(2)(3)6．设集合A ＝x |x x －1<0，B ＝{x |0x |x x －1<0＝{x |0∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ?q 但q ?/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1. ∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满⾜条件的a 的取值范围为0，12. 8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．证明：充分性：∵0，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．⽽当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴，∴a ＝0或 a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45. 故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ?B ，从⽽有 a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3.或 a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )A ．p 为真命题，p 且q 为假命题B ．p 为假命题，q 为假命题C ．q 为假命题，p 或q 为真命题D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析：∵p 为真命题，q 为假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题；③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：∵綈p ∨綈q 是假命题∴綈(綈p ∨綈q )是真命题即p ∧q 是真命题答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题．若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件．答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是() A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝? ????12x在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－? ????12x在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B和D，q2：p1∧p2是假命题，q3：綈p1是假命题，(綈p1)∨p2是假命题，故q3是假命题，排除A.故选C.答案： C⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．“a≥5且b≥3”的否定是____________；“a≥5或b≤3”的否定是____________．答案：a＜5或b＜3 a＜5且b＞36．在下列命题中：①不等式|x＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A?A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“⾮p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的⼀个解，所以p是真命题，所以⾮p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“⾮p”的形式，其中p：A?A∪B.因为p为真命题，所以“⾮p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8?{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：⽅程x2－x＋1＝0有实根；(2)p ：函数y ＝tan x 是周期函数；(3)p ：??A ；(4)p ：不等式x 2＋3x ＋5<0的解集是?.解析：题号判断p 的真假綈p 的形式判断綈p 的真假 (1)假⽅程x 2－x ＋1＝0⽆实数根真 (2)真函数y ＝tan x 不是周期函数假 (3)真 ? A 假 (4)真不等式x 2＋3x ＋5<0的解集不是? 假尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满⾜x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满⾜ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.⼜a >0，所以a当a ＝1时，1即p 为真命题时实数x 的取值范围是1由 x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2所以q 为真时实数x 的取值范围是2若p ∧q 为真，则 1所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ?綈q 且綈q ?/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以03，即1所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章 1.4.1、2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列命题中的假命题是( )A ．?x ∈R ，lg x ＝0B ．?x ∈R ，tan x ＝1C ．?x ∈R ，x 2>0D ．?x ∈R,2x>0 解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题． C 中当x ＝0时，x 2＝0不⼤于0，是假命题．D 中?x ∈R,2x>0是真命题．答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )．∴f (x )是偶函数⼜∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.答案： A3．下列4个命题： p 1：?x ∈(0，＋∞)，? ????12xx ； p 2：?x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：?x ∈(0，＋∞)，? ????12x >log 12x ； p 4：?x ∈? ????0，13，? ????12xx . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有? ????12x >? ??13x 成⽴．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平⾯直⾓坐标系中作出函数y ＝? ??12x 与函数 y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝? ????12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x 图象的上⽅，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：?x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3或a >2B ．a ≥2C ．a >－2D ．－2即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成⽴，所以有： a ＋2>0，16－4a ＋2a －1≤0 a >－2，a 2＋a －6≥0?a ≥2.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题“有些负数满⾜不等式(1＋x )(1－9x )>0”⽤“?”或“?”可表述为________．答案： ?x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：?x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题； x 2－x ＋1＝? ????x －122＋34>0恒成⽴，∴命题q 为真命题，∴“p 且q ”为真命题．答案：真三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)?x0∈R，使x20＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成⽴，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的⼀个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(?、?)，加在p(x)的前⾯，使其成为⼀个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是⽆理数，则x2是⽆理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表⽰)解析：(1)?x∈R，x>2.(2)?x∈R，x2≥0；?x∈R，x2≥0都是真命题．(3)?x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是⽆理数，则x2是⽆理数．(如42)(5)?a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，⼆次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成⽴，即4m2＋4am＋1≥0恒成⽴．⼜4m2＋4am＋1≥0是⼀个关于m的⼆次不等式，恒成⽴的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章 1.4.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．命题：对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p ：?m 0∈R ，使⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( )A ．?m 0∈R ，使得⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0⽆实根B ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根C ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．⾄多有⼀个实数m ，使得⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根”．故选B.答案： B3．“?x 0?M ，p (x 0)”的否定是( )A ．?x ∈M ，綈p (x )B ．?x ?M ，p (x )C ．?x ?M ，綈p (x )D ．?x ∈M ，p (x )答案： C 4．已知命题p ：?x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧?q ”是假命题；③命题“?p ∨q ”是真命题；④命题“?p ∨?q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1∴p ∧q 为真，p ∧?q 为假，?p ∨q 为真，?p ∨?q 为假．答案： D⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题p ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成⽴，所以命题p是假命题．答案：特称命题假?x∈R，x2＋2x＋5≥0真6．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案：(1)?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3(2)?x∈R，x2＋2x＋5≠0三、解答题(每⼩题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)所有正⽅形都是矩形；(2)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)?θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正⽅形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：?α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：?θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在⼀个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，并说明理由．(2)若存在⼀个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成⽴，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成⽴，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)?a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a·c＝b·c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等⽐数列．。

2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。

高中数学人教a版高二选修2-1_第二章_圆锥曲线与方程_2.3.1_word版有答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( ) A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.【答案】 A2．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3)【解析】由题意知，轨迹应为以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．【答案】 D3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C.【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3【解析】椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C5．若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线【解析】原方程化为标准方程为x 2k 2－11－k＋y k 2－1＝1， ∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0，∴此曲线表示焦点在y 轴上的双曲线．【答案】 C二、填空题6．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________．【解析】由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4.于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16；(2)若点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4.综上，|PF 2|＝16或4.【答案】 16或47．已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P的值等于________. 【导学号：18490058】【解析】由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45三、解答题9．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2，1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上．依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6. ①又点P (2，1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴4a 2－1b 2＝1.②由①②联立得a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1 B.2 C ．2 D ．3 【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A.【答案】 A2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2 B．4C．6 D．8【解析】不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝2，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝22，∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·1 2，∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴8＝4＋|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝4.故选B.【答案】 B3．已知双曲线x216－y225＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．【解析】设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝12|PF′|，又|FN|＝|OF|2－|ON|2＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－12|PF′|＝12(|PF|－|PF′|)－|FN|＝12×8－5＝－1.【答案】－14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离；【导学号：18490059】(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，② 由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。

人教版高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题

人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。

人教A版选修2-1第二章第2课时同步练习§2.1.2求曲线的方程

§2.1.2 求曲线的方程1．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=4 (B) x 2+y 2=4 (x>O)(C)y=24x -- (D) y=24x --（0<x<2）2．等腰直角三角形底边两端点是A(3-，0)，B(3，0)，顶点C 的轨迹是( )．(A)一条直线 (B)一条直线去掉一点(C)一个点 (D)两个点3．与点A(一1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为一l 的动点P 的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=3 (B)x 2+2xy=1(x ≠±1)(C)y=21x - (D)x 2+y 2=9(x ≠0)4．已知两点A(一2，0)、B(6，0)，三角形ABC 的面积为1 6，则C 点的轨迹方程为．5．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A ，B ，APB ∠=60，则动点P 的轨迹方程为．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)、B(2，2)，若点C 满足)(OA OB t OA OC -+=，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是．7．已知B A ),0,21(-是圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x F （F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则点P 的轨迹方程为：．８．经过定点())0(,≠a b a A 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于C B , 两点，求线段BC 的中点M 的轨迹方程．9．已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(O ，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程．10．已知一曲线是到两个点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1：2的点的轨迹，求这条曲线的方程．11．设P 为曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段PO 的中点，求点M 的轨迹方程．12．如图，已知F(1，O)，直线l ：x = -1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，FQ FP QF QP ⋅=⋅，求动点P 的轨迹方程．13．定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．14．如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2=4。

人教a版-高中数学-选修2-1-第二章-圆锥曲线_2.3双曲线_-2.3.2_双曲线的简单几何性质-练习与答案

C．6
D．4 3
23、如图， ax－ y ＋ b＝ 0 和 bx2＋ ay2＝ ab(ab≠ 0)所表示的曲线只可能是 ( )
24、已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点，且 AB 的中点为 N( －12 ，－ 15) ，则 E 的方程为 ( )
10．已知 F1、F2 是双曲线 a2－b2＝1( a>0，b>0) 的两个焦点， PQ是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲
线的弦．如果∠ PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
2
2
11. 求 x y 1 的准线方程、两准线间的距离 .
34
5 12．设双曲线中心是坐标原点，实轴在 y 轴上，离心率为 2 ，已知点 P(0,5) 到这双曲线上的
17．与椭圆 x2 y 2 1有共同焦点，渐近线方程为 x 16 8
3y 0 的双曲线方程为 ________.
18．求与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点 M(2，－ 2) 的双曲线方程．
19. 求与双曲线 x2 y2 1有公共渐近线，且经过 A 2 3, 3 点的双曲线的标准方程及离心率． 16 9
x2 y2
(A)
1
36
x2 y2
(B)
1
45
(C)
x2 y2 1
63
x2 (D)
5
y2 1 4
x2 25.直线 2x-y-10=0 与双曲线
y2
1 的交点是 _______.
20 5
26. 经过点 M(2,2) 作直线 l 交双曲线 x2 y 2 1于 A,B 两点，且 M为 AB中点 . 4

高中数学人教a版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.2.2第2课时含答案

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题1．已知椭圆x 23＋y 24＝1上的焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝( )A ．23B ．4 3C ．4D ．8【解析】由题可得a ＝2.如图，设F 1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF 1，BF 1，CF ，FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1为平行四边形，∴|AF 1|＝|FD|，同理可得|BF 1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＝8，故选D.【答案】 D2．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(1，3)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(－3，0)D ．(1，3)【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，消去y ，整理得(3＋m)x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2－4m （3＋m ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m<0或m>1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m>0且m ≠3.综上可知，m>1且m ≠3，故选B. 【答案】 B3．若点P(a ，1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－233，233B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－233C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－43【解析】因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123＞1，解得a ＞233或a ＜－233，故选B.【答案】 B4．椭圆mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0且m ≠n)与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn的值是( )A.22B.233C.922D.2327【解析】联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1，得(m ＋n)x 2－2nx ＋n －1＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，MN 的中点P(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝nm ＋n ，y 0＝1－x 0＝1－nm ＋n ＝mm ＋n .∴k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.故选A.【答案】 A5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF交椭圆C 于点B ，若FA→＝3FB →，则|AF →|＝( )A. 2 B ．2 C.3D ．3【解析】设点A(2，n)，B(x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F(1，0)．由FA →＝3FB →，得(1，n)＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13n.将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1， ∴|AF→|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝2.【答案】 A 二、填空题6．若直线x －y －m ＝0与椭圆x 29＋y 2＝1有且仅有一个公共点，则m ＝________. 【18490053】【解析】将直线方程代入椭圆方程，消去x ，得到10y 2＋2my ＋m 2－9＝0，令Δ＝0，解得m ＝±10. 【答案】 ±107．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A|＋|F 1B|的值为________．【解析】设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1＜x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0. ∴A(0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，13.∴|AB|＝423，∴|F 1A|＋|F 1B|＝4a －|AB|＝42－423＝823.。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y【解析】由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.【答案】 B2．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x【解析】因为双曲线x216－y29＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.【答案】 A3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A. 2B. 3C ．2D ．2 3【解析】抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.【答案】 B4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】 A5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p .故选C.【答案】 C 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．【解析】抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.【答案】 27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④8．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上， ∴准线方程为y ＝－18. 【答案】 y ＝－18 三、解答题9．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程．【解】由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0. ∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上， ∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .10．已知平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程. 【导学号：18490069】【解】法一设点P 的坐标为(x ，y )，则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1. 两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （x ≥0），0（x ＜0），即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二由题意知，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[能力提升]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2D.322＋1【解析】将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1，0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A. 【答案】 A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2【解析】根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cosθ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322，故选C.【答案】 C3．如图2-4-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2-4-1【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．则A (2，－2)，代入方程得p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为2 6 m. 【答案】 2 64．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】(1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程．【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263代入方程y 2＝2px ，得p ＝2，因此抛物线的方程为y 2＝4x .(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1，0)，于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝23，因此a ＝13.又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝89，于是，双曲线的方程为x 219－y 289＝1.。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.1.1、2.1.2 Word版含答案.doc

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4，0)和(－1，0) B ．(4，0)和(－2，0) C ．(4，0)和(1，0)D ．(4，0)和(2，0)【解析】在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)．【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x ＋y ＝4 B ．2x ＋y ＝4 C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1，2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1，2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆【解析】原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C. 【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】必要不充分 7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN→|，则点N 的轨迹方程是________. 【导学号：18490037】【解析】由于|PM→|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2-1-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2-1-1【解】以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2，0)，O2(2，0)．连结PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC 内切圆上一点，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】注意到|AB |＝5，则满足到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P 到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为()A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)【解析】设P(x，y)，由题意得（x－1）2＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P(x，y)，依题意|P A|＝2|PB|，∴（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S＝π·22＝4π.【答案】4π4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【导学号：18490038】【解】法一设点M的坐标为(x，y)，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x ，0)，B 点的坐标为(0，2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2，4)， ∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1，而k P A ＝4－02－2x ＝21－x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1，∴21－x·2－y 1＝－1(x ≠1)，整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝（x －2）2＋（y －4）2， |AB |＝（2x ）2＋（2y ）2，∴2（x －2）2＋（y －4）2＝4x 2＋4y 2，化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.1 含解析

02第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课时过关·能力提升基础巩固1已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为()A.π3B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6(cos α-2)2+sin2α=3,得cos α=12.∵0≤α<2π,∴α=π3或5π3.2方程(x-2)2+(y+2)2=0表示的图形是()A.圆B.两条直线C.一个点D.两个点3已知等腰三角形ABC底边两端点是A(-√3,0),B(√3,0),则顶点C的轨迹是()A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点4已知动点P在曲线2x2-y=0上,则点A(0,-1)与点P连线的中点的轨迹方程是()A.y=2x 2B.y=8x 2C.y=8x 2-1D.2y=8x 2-1AP 的中点为M (x ,y ),点P (x 1,y 1),由中点坐标公式,得{x =x12,y =y 1-12⇒{x 1=2x ,y 1=2y +1. 由于P (x 1,y 1)在曲线2x 2-y=0上, 代入化简,得2y=8x 2-1.5在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ) A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=06方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线是( ).由xy<0,当x>0时,y<0,曲线应在第四象限;当x<0时,y>0,曲线应在第二象限,且与坐标轴均无交点.7若点A (m3,m)在方程x 2+(y+1)2=5表示的曲线上,则m= .3或658已知两点M (-2,0),N (2,0),点P 满足PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点P 的轨迹方程为 .P 的坐标为(x ,y ),由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-y )·(2-x ,-y )=x 2-4+y 2=0,得x 2+y 2=4,则点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=49已知点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,也在曲线g (x ,y )=0上,求证:点P 在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,∴f (x 0,y 0)=0.同理g (x 0,y 0)=0,∴f (x 0,y 0)+λg (x 0,y 0)=0+λ·0=0(λ∈R ),即点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.10已知A ,B 两点的坐标分别为A (0,-4),B (0,4),直线MA 与MB 的斜率之积为-1,求点M 的轨迹方程.M 的坐标为(x ,y ).∵直线MA 与MB 的斜率之积为-1,∴直线MA ,MB 都存在斜率,∴x ≠0.由A (0,-4),B (0,4),得k MA =y+4x ,k MB =y -4x. 又k MA ·k MB =-1,∴y+4x ·y -4x=-1,化简得x 2+y 2=16. 故点M 的轨迹方程为x 2+y 2=16(x ≠0).能力提升1如图所示的曲线方程是( ) A.|x|-y=0 B.x-|y|=0 C.x|y |-1=0 D.|x |y -1=0选项中应是函数y=|x|,y ≥0,C,D 项中y ≠0,故选B .2已知点A (1,0),直线l :y=2x-4,点R 是直线l 上的一点,若RA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点P 的轨迹方程为( ) A.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8D.y=2x+4R A⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知R ,A ,P 三点共线,且A 为RP 的中点.设P (x ,y ),R (x 1,y 1), 则由RA⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(1-x 1,-y 1)=(x-1,y ), 则{1-x 1=x -1,-y 1=y ,即x 1=2-x ,y 1=-y ,将其代入直线y=2x-4中,得y=2x.故选B.3已知O 是平面上的一个定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |),λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心由AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与∠BAC 的平分线共线,又λ>0,设λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=AP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (P'为∠BAC 的平分线上的点),则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即点P'与点P 重合.于是点P 在∠BAC 的平分线上,即点P 的轨迹过△ABC 的内心.4已知两定点A (-2,0),B (1,0),若动点P 满足|PA|=2|PB|,则点P 的轨迹所围的面积等于( ) A.9πB.8πC.4πD.πP (x ,y ),则√(x +2)2+y 2=2√(x -1)2+y 2,化简得x 2-4x+y 2=0.即(x-2)2+y 2=4,点P 轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=π×22=4π.5已知由动点P 向圆O :x 2+y 2=1引两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,且∠APB=60°,则动点P 的轨迹方程为 .,得OP=2,为定长,于是点P 的轨迹是以定点O 为圆心,以2为半径的圆. 故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=46已知过点A (4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B (2,1),则圆C 的方程为 .C 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,圆心(a ,b )到直线x-y-1=0的距离 d=√2=r.①又圆C 过A (4,1),B (2,1), 故(4-a )2+(1-b )2=r 2,② (2-a )2+(1-b )2=r 2.③ 由①②③,得a=3,b=0,r=√2. 因此,圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.x-3)2+y 2=27在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13,则动点P 的轨迹方程为 .2-3y 2=-2(x ≠±1)8一个动点到直线x=8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.(x ,y ),则动点到直线x=8的距离为|x-8|, 到点A 的距离为√(x -2)2+y 2. 由已知,得|x-8|=2√(x -2)2+y 2, 化简得3x 2+4y 2=48.故动点的轨迹方程为3x 2+4y 2=48.★9如图所示,已知A (-3,0),B ,C 两点分别在y 轴和x 轴上运动,点P 为BC 延长线上一点,并且满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求动点P 的轨迹方程.P (x ,y ),B (0,y'),C (x',0),则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x',-y'),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x',y ). 由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x',-y')=12(x-x',y ), 即x'=x,y'=-y , 故B (0,-y2),C (x3,0).又A (-3,0),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-y 2),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,32y).由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故3x-34y 2=0,得y 2=4x , 即为动点P 的轨迹方程.。

高中数学人教A版选修2-1同步辅导与检测1.1.2命题的相互关系

跟踪训练 1．判断下列命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假． (1)当c>0时，若a>b，则ac>bc； (2)若ab≤0，则a≤0或b≤0. 解析：(1)由于原命题与其逆命题“当c>0时，若 ac>bc，则a>b”均为真命题，因此它的否命题与逆否命题也为真命题．
(2)其逆命题“若a≤0或b≤0，则ab≤0”为假命题，其否命题与逆命题等价；其逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞ 0”为真命题．所以其逆命题与否命题为假，而逆否命题为真．
四种命题真假的判断写出下列命题的等价命题并判断真假．
①若x＋y≠3，则x≠1或y≠2；
②如果a· b≠a· c，则b≠c(a，b∈R)．
解析：①：若x＝1且y＝2，则x＋y＝3，真命题．
②：如果b＝c，则a· b＝a· c，真命题．
跟踪训练 2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个
命题中( C )
________.
答案：若a2≠1，则a≠－1
一、选择填空题 ①③ 为真命题． 1．下列命题中________
①“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题，
②“全等三角形是相似三角形”的逆命题， ③“圆内接四边形对角互补”的逆否命题． 2．集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}， C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，又a∈A，b∈B，则有( B )
例：命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的等价命题是：若sin x＝sin y，则x＝y “________________________ ”，这是一个假命题，故原命
题也是一个假命题．
2．反证法是我们常用的一种证明方法．用反证法证明命题的一般步骤为： (1)假设命题的结论不成立，即假设命题的结论的反面成立． (2)从这一假设出发，经过一系列的推理论证得出矛盾．

【人教A版】高中数学同步辅导与检测：选修1-2全集第二章2.1-2.1.2演绎推理

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理A级基础巩固一、选择题1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a∈R”，结论是“a2>0”，那么这个演绎推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误．答案：A2．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边长的一半C．E，F为AB，AC的中点D．EF∥BC解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．答案：A3．下列四个推导过程符合演绎推理“三段论”形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理“三段论”形式．答案：B4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：只有指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)满足条件．答案：C5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M 是P ”必须是所有的M ，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C二、填空题6．已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B ，∴a <b ，画线部分是演绎推理的________．解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．答案：小前提7．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________．解析：要使函数有意义，则log 2x －2≥0，解得x ≥4，所以函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)．答案：函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)8．下面几种推理过程是演绎推理的是________(填序号)．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }。

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第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．方程x 2sin θ－1＋y 22sin θ＋3＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析 ∵sin θ－1<0,2sin θ＋3>0，∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线．答案 D2．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－1020D.102解析把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2－3m＝1，则a 2＝－3m ，b 2＝－1m ，∴c 2＝a 2＋b 2＝－4m＝4，∴m ＝－1.答案 A3．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(12，1)D ．(0,1)解析把方程x 2＋ky 2＝2化为标准形式x 22＋y 22k＝1，依题意有2k>2，∴0<k <1.答案 D4．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )A ．1B ．0C ．1或0D ．1或3解析验证知，当k ＝0时，有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y 2＝8x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.适合题意．当k ＝1时，有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y 2＝8x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.也适合题意，∴k ＝0或1. 答案 C5．已知曲线x 2a ＋y 2b＝1和直线ax ＋by ＋1＝0(a ，b 为非零实数)在同一坐标系中，它们的图像可能为( )解析直线ax ＋by ＋1＝0中，与x 轴的交点为P (－1a，0)，与y轴的交点为(0，－1b)，在图A ，B 中，曲线表示椭圆，则a >b >0，直线与坐标轴负半轴相交，图形不符合．在图C 中，a >0，b <0，曲线为双曲线，直线与x 轴负半轴相交，与y 轴正半轴相交，适合．答案 C6．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝2y －1D ．x 2＝2y －2解析由y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点F (0,1)，设PF 中点为Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0＋x 0，2y ＝1＋y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －1.又P (x 0，y 0)在抛物线上，∴(2x )2＝4(2y －1)，即x 2＝2y －1. 答案 C7．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析将方程mx 2＋ny 2＝1变形为x 21m＋y 21n＝1，它表示焦点在y 轴上的椭圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，1m <1n ，⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n .⇔m >n >0.答案 C8．如图正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的侧面AB 1内有动点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为( )解析点P 到B 1的距离等于到AB 的距离，符合抛物线的定义．∵点P 在正方形ABB 1A 1内运动，当P 在BB 1的中点适合，当点P 与A 1重合时，也适合，因此选C.答案 C9．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)解析直线x ＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．答案 B10．设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．1 B.52C ．2D. 5解析由题设知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝4 ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝20 ②②－①2得|PF 1|·|PF 2|＝2.∴△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝1.答案 A11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c ，若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12 B.22 C.32D.34解析由椭圆的定义可知d 1＋d 2＝2a ，又由d 1,2c ，d 2成等差数列，∴4c ＝d 1＋d 2＝2a ，∴e ＝c a ＝12.答案 A12．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54 B ．(1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 D ．(2,4)解析设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线2x －y ＝4的距离d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝|(x －1)2＋3|5.∴当x ＝1时，d 有最小值355，此时，P (1,1)．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)13．(2012·安徽模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是________．答案 (2,0)14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程为________．解析双曲线x 212－y 212＝1的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．离心率e＝ 2.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，1a·2＝1，∴a 2＝2，b 2＝1.故椭圆方程为x 22＋y 2＝1.答案x 22＋y 2＝115．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．解析设双曲线的一条渐近线为y ＝bax ，一个顶点A (a,0)，一个焦点F (c,0)．则|a ·0－ab |a 2＋b 2＝2，|a ·0－bc |a 2＋b 2＝6，即ab ＝2c ，bc ＝6c ，∴b ＝6，c ＝3a ，∴e ＝c a＝3. 答案 316．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于__________．解析设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －1)，y 2＝4x ，得y 2＋4y －4＝0，∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－4)2＋4×4＝4 2. ∴S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2.答案 2 2三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55的椭圆的标准方程．解把方程4x 2＋9y 2＝36写成x 29＋y 24＝1，则其焦距2c ＝25，∴c ＝ 5.又e ＝c a ＝55，∴a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝52－5＝20，故所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1，或y 225＋x 220＝1.18．(12分)已知直线x ＋y －1＝0与椭圆x 2＋by 2＝34相交于两个不同点，求实数b 的取值范围．解由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋by 2＝34，得(4b ＋4)y 2－8y ＋1＝0.因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4≠0Δ＝64－4(4b ＋4)＞0，解得b ＜3，且b ≠－1.又方程x 2＋by 2＝34表示椭圆，所以b ＞0，且b ≠1.综上，实数b 的取值范围是{b |0＜b ＜3且b ≠1}．19．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．解设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2、y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2，∵x 1＋x 22＝－23， ∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1.20．(12分)如右图线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0)，端点A ，B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A ，O ，B 三点作抛物线．(1)求抛物线方程；(2)若OA →·OB →＝－1，求m 的值．解 (1)设直线AB 为y ＝k (x －m )，抛物线方程为y 2＝2px .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －2pkm ＝0.∴y 1·y 2＝－2pm .又∵y 1·y 2＝－2m ，∴p ＝1， ∴抛物线方程为y 2＝2x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224＋y 1y 2＝m 2－2m .又OA →·OB →＝－1，∴m 2－2m ＝－1，解得m ＝1.21．(12分)已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围，使：(1)直线l 与双曲线有两个公共点； (2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2－y 2＝4，消去y 得x 2－k 2(x －1)2＝4，即(1－k 2)x 2＋2k 2x －4－k 2＝0.(*)当1－k 2≠0时，Δ＝16－12k 2＝4(4－3k 2)．(1)当⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＞0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解；(2)当⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜0，1－k 2≠0，即k ＜－233，或k ＞233时，方程(*)无实数解．而当k ＝±1时，方程(*)变形为2x －5＝0，x ＝52，方程(*)也只有一解．∴当－233＜k ＜－1，或－1＜k ＜1，或1＜k ＜233时，直线与双曲线有两个公共点；当k ＝±1，或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k ＜－233，或k ＞233时，直线与双曲线没有公共点．22．(12分)如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB 中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°.曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E，F. 若△OEF 的面积不小于22，求直线l斜率的取值范围．解(1)以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(3，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12＝22<|AB|＝4，∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线．设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2,2a＝22，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.(2)依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线C 的方程并整理得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.①∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋4×6(1－k 2)>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≠±1，－3<k < 3.∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得 x 1＋x 2＝4k 1－k 2，x 1x 2＝－61－k 2，于是|EF |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·2 2 3－k 2|1－k 2|.而原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2， ∴S △OEF ＝12d ·|EF |＝12·21＋k 2·1＋k 2·223－k 2|1－k 2| ＝223－k 2|1－k 2|. 若△OEF 面积不小于22，即S △OEF ≥22，则有 223－k 2|1－k 2|≥22⇔k 4－k 2－2≤0，解得－2≤k≤2③综合②③知，直线l的斜率的取值范围为[－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]．。

人教版数学高二选修2-1第二章同步检测2-1-2曲线方程的求法

2.1 第2课时曲线方程的求法一、选择题1．已知0≤α≤2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3 B.5π3 C.π3或5π3D.π3或π6[答案] C[解析] 将P 坐标代入曲线方程为(cos α－2)2＋sin 2α＝3， ∴cos 2α－4cos α＋4＋sin 2α＝3. ∴cos α＝12.∵0≤α≤2π，∴α＝π3或53π.2．下面所给的方程是图中曲线的方程的是( )[答案] D[解析] A 不是，因为x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(22，－22)的坐标适合方程x 2＋y 2＝1，但不在所给曲线上；B 不是，理由同上，如点(－1,1)适合x 2－y 2＝0，但不在所给曲线上；C 不是，因为曲线上的点的坐标都不是方程的解，如(－1，－1)在所给曲线上，但不适合方程lg x ＋lg y ＝1.3．平行四边形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 的轨迹方程为( )A ．3x －y －20＝0B ．3x －y －10＝0C ．3x －y －12＝0D ．3x －y －9＝0[答案] A[解析] 设AC 、BD 交于点O∵A 、C 分别为(3，－1)(2，－3) ∴O 为(52，－2)，设B 为(x ，y )∴D 为(5－x ，－4－y )∵D 在3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0 即3x －y －20＝0，选A.4．设动点P 是抛物线y ＝2x 2＋1上任意一点，点A (0，－1)，点M 使得PM →＝2MA →，则M 的轨迹方程是( )A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－13[答案] A[解析] 设M 为(x ，y ) ∵PM →＝2MA →A (0，－1)， ∴P (3x,3y ＋2)∵P 为y ＝2x 2＋1上一点， ∴3y ＋2＝2×9x 2＋1＝18x 2＋1 ∴y ＝6x 2－13.故选A.5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π [答案] B[解析] 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，∴(x －2)2＋y 2＝4，可知圆面积为4π. 6．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R )的交点个数是( ) A ．4个 B ．2个C ．0个D ．与a 的取值有关 [答案] B [解析] 曲线y ＝－1－x 2即x 2＋y 2＝1(y ≤0)，曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R )，即y ＝－|ax |，两曲线如图所示，必有2个交点．故选B.7．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [答案] A[解析] 设P 1、P 2为P 的轨迹上两点，则AP 1⊥BD 1，AP 2⊥BD 1.∵AP 1∩AP 2＝A ， ∴直线AP 1与AP 2确定一个平面α，与面BCC 1B 1交于直线P 1P 2，且知BD 1⊥平面α， ∴P 1P 2⊥BD 1，又∵BD 1在平面BCC 1B 1内的射影为BC 1，∴P 1P 2⊥BC 1，而在面BCC 1B 1内只有B 1C 与BC 1垂直，∴P 点的轨迹为B 1C .8．一条线段长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上，且AM →＝4MB →，则M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋16y 2＝64B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8[答案] B[解析] 设M (x ，y )，因为AM →＝4MB →，且A 、B 分别在x 轴和y 轴上，则A (5x,0)，B (0，54y )，又(AB )＝10所以(5x 2)＋(54y )2＝100，即16x 2＋y 2＝64，故选B. 9．已知log 2x ，log 2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )[答案] A[解析] 由2log 2y ＝log 2x ＋2得 log 2y 2＝log 2x ＋log 24＝log 24x ，即y 2＝4x ，又x >0，y >0，故选A.10．(2010·湖北理，9)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22] C. [1－22，3]D ．[1－2，3][答案] C [解析] 由y ＝3－4x －x 2可知其图像为圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的下半圆，当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时b ＝3，当直线与圆相切时|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍去)，故当1－22≤b ≤3时直线和半圆有交点．二、填空题11．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为______．[答案] x 2＋y 2＝4[解析] 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ， ∵∠APB ＝60°，OB ＝2，∴x 2＋y 2＝4.12．与点(2，－3)的连线的倾斜角为2π3的点M 的轨迹方程是________．[答案]3x ＋y ＋3－23＝0(x ≠2)13．如图，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] y 2＝4x[解析] 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →得，(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .14．直线x －3y ＝0和直线3x －y ＝0的夹角的角平分线所在直线方程为________． [答案] x ＋y ＝0或x －y ＝0[解析] 设P (x ，y )为角平分线上任意一点，根据角平分线的性质，P 到直线x －3y ＝0和3x －y ＝0的距离相等，∴|x －3y |12＋32＝|3x －y |32＋12，∴|x －3y |＝|3x －y |，∴x －3y ＝±(3x －y )， ∴x －3y ＝3x －y 或x －3y ＝－(3x －y )， ∴x ＋y ＝0或x －y ＝0∴所求角平分线方程为x ＋y ＝0或x －y ＝0. 三、解答题15．设△ABC 的两顶点分别是B (1,1)、C (3,6)，求第三个顶点A 的轨迹方程，使|AB |＝|BC |. [解析] 设A (x ，y )为轨迹上任一点，那么 (x －1)2＋(y －1)2＝(3－1)2＋(6－1)2，整理，得(x －1)2＋(y －1)2＝29.因为A 点不在直线BC 上，虽然点C (3,6)及点C 关于点B 的对称点C ′(－1，－4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)点)．16．如图，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4.过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 为切点)，使得PM ＝2PN .试建立平面直角坐标系，求动点P 的轨迹方程．[解析] 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知PM ＝2PN ， ∴PM 2＝2PN 2.又∵两圆的半径均为1，所以PO 21－1＝2(PO 22－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33.∴所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.17．已知两点M (－1,0)，N (1,0)且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于0的等差数列．则点P 的轨迹是什么曲线？[解析] 设P (x ，y )由M (－1,0)，N (1,0)得 PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y ) PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)，∴MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )于是MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →是公差小于零的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(1＋x )＋2(1－x )]2(1－x )－2(1＋x )<0即⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3x >0∴点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点．)18．已知点H (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ⊥PM ，PM →＝－32MQ →.当点P 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )，P (0，b )，Q (a,0)，其中a >0，则PM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵PM →＝－32MQ →，即(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴y －b ＝－32(－y )，b ＝－y2.∴PH →＝(－3，y 2)，PM →＝(x ，32y )．∵PH ⊥PM .∴PH →·PM →＝0，即－3x ＋y 2·3y 2＝0，y 2＝4x .∴动点M 的轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．。

高中数学人教A版选修2-1第二章阶段质量检测

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作(时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，所以1<m <3；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．答案：B2．(2011·广东高考)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆解析：由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等.根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．答案：A3．若双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的顶点到渐近线的距离为22，则双曲线的离心率e ＝( )A ．2 B. 2 C ．3D. 3解析：由双曲线方程知a ＝1，∴c ＝1＋b 2， ∴一条渐近线的方程为y ＝bx ，即bx －y ＝0. ∴|b －0|b 2＋1＝22，解得b ＝1， ∴c ＝2，∴e ＝ca ＝ 2. 答案：B4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点为直线3x －4y ＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：由双曲线的实轴在x 轴上知其焦点在x 轴上，直线3x －4y ＋12＝0与x 轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c ＝4.由c 2＝2a 2，得a 2＝8，所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.答案：A5．已知F 1为椭圆的左焦点，A ,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，且PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)，则椭圆的离心率为( )A.12B.32C.22D.34解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c,0)，c 2＝a 2－b 2，则P (－c ，b1－c 2a2)，即P (－c ，b 2a )．∵AB ∥PO ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b2ac .∴b ＝c .又a ＝b 2＋c 2＝2c ，∴e ＝c a ＝22.答案：C6．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 24－y 212＝1(x >0)B.x 24－y 212＝1(x <0)C.x 24－y 212＝1D.y 24－x 212＝1 解析：设动圆M 的半径为r ，依题意有|MB |＝r .另设A (4，0)，则有|MA |＝r ±4，即|MA |－|MB |＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4.又4<|AB |，所以动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4,2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1. 答案：C7．双曲线x 2n －y 2＝1(n >1)的左、右两焦点分别为F 1,F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A.12B ．1C ．2D ．4解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2n . 由|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |F 1F 2|＝2n ＋1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以∠F 1PF 2＝90°. 所以12PF F S＝12|PF 1|·|PF 2|＝1. 答案：B8．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，定点A 的坐标为(72，4)，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A.112 B ．4 C.92D ．5解析：如图，设点P 到抛物线y 2＝2x 准线的距离为|PN |，抛物线焦点为F (12，0)，则|PA |＋|PM |＝|PN |＋|PA |－12.连接AF 交抛物线于点P ，此时|PN |＋|PA |＝|PF |＋|PA |＝|AF |取最小值5，所以|PA |＋|PM |的最小值是92.答案：C9．(2011·山东高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，c ＝3.根据已知得3b a 2＋b 2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝c 2－b 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1. 答案：A10.(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2B.2 2 C .4D.8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝20. 又∵|F 2A |＋|F 2B |＝12， ∴|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＝8. 答案：812．已知两点M (－2,0),N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN |·|MP |＋MN ·NP ＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则MN ＝(4,0)，MP ＝(x ＋2，y )，NP ＝(x －2，y )． ∴|MN |＝4，|MP |＝(x ＋2)2＋y 2，MN ·NP ＝4(x －2)．根据已知条件得4(x ＋2)2＋y 2＝4(2－x )，整理得y 2＝－8x .∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x13．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为________．解析：设圆心坐标为O ′(x 0，y 0)，过圆心O ′向x 轴作垂线，交x 轴于H . 由题意可知，点H 为一顶点与焦点的中点， ∴x 0＝5＋32＝4.代入x 29－y 216＝1中，得y 20＝1129， ∴|OO ′|＝x 20＋y 20＝16＋1129＝163. 答案：16314．已知二次曲线x 24＋y 2m ＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x 24－y 2－m ＝1，曲线为双曲线，∴e ＝4－m2.∵m ∈[－2，－1]， ∴52≤e ≤62. 答案：[52，62] 三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)一个椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．解：①焦点在x 轴上，椭圆为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4.∵e 双e 椭＝73，∴a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.∵椭圆和双曲线的半焦距为13， ∴b 2＝36，n 2＝4.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.16．(本小题满分12分)已知抛物线方程为y 2＝2x ，在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点.若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋2，消去x 得ky 2－2y ＋4＝0. ∵直线l 与抛物线相交，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝4－16k >0⇒k <14且k ≠0.设M (x 1，y 1) ，N (x 2，y 2)，则y 1y 2＝4k ，从而x 1x 2＝y 212·222y ＝4k 2. ∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4k 2＋4k ＝0，解得k ＝－1符合题意， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋2.17．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2. 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.18.(本小题满分14分)(2012·福建高考)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.解：法一 (1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3. 故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (－4k m ，3m ). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m ). 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上. 设M (x 1,0)，则MP ·MQ ＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立. 因为MP ＝(－4k m －x 1，3m )，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )，所以－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12km ＋3＝0，整理，得(4x 1－4)k m ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 法二(1)同法一. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点 P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (－4k m ，3m). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m ). 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上. 取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－12，m ＝2，此时P (1，32)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为(x －52)2＋(y －34)2＝4516，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0).所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0). 以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(－4k m －1，3m)，MQ ＝(3,4k ＋m )，从而MP ·MQ ＝－12k m －3＋12km＋3＝0，故恒有MP ⊥MQ ，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .。

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第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
A 级基础巩固
一、选择题
1．平面内有两定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|PA →＋PB →|＝4，
则点P 的轨迹是( )
A ．线段
B ．半圆
C ．圆
D ．直线
解析：以AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴建立直角
坐标系，则A (－2，0)、B (2，0)．设P (x ，y )，则PA →＋PB →＝2PO →＝2(－
x ，－y )．所以x 2＋y 2＝4.
答案：C
2．若点M 到两坐标轴的距离的积为2 015，则点M 的轨迹方程是( )
A ．xy ＝2 015
B ．xy ＝－2 015
C ．xy ＝±2 015
D ．xy ＝±2 015(x ＞0)
解析：设M (x ，y )，则由题意知：|x |·|y |＝2 015，
所以xy ＝±2 015.
答案：C
3．与点A (－1，0)和点B (1，0)的连线的斜率之积为－1的动点
P的轨迹方程是()
A．x2＋y2＝1 B．y2＋y2＝1(x≠±1)
C．y＝1－x2D．x2＋y2＝9(x≠0)
答案：B
4．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，
所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，
所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，
整理得，x2＋y2＝4.
因为M，N，P不共线，所以x≠±2，
所以轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案：D
5．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C 的轨迹方程是()
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：由两点式，得直线AB的方程是y－0
4－0
＝
x＋1
2＋1
，即4x－3y
＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝（2＋1）2＋42＝5.设C点的坐标为
(x，y)，则1
2×5×|4x－3y＋4|
5＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
答案：B
二、填空题
6．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．
答案：x2＋y2＝4
7．动点P与平面上两定点A(－2，0)，B(2，0)连线的斜率的
积为定值－1
2，则动点P的轨迹方程为________．
答案：x2＋2y2－2＝0(x≠±2)
8．已知为A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是__________________________________．解析：设点B(x0，y0)，则y0＝2x20＋1.①
设线段AB中点为M(x，y)，则x＝x0
2，y＝
y0－1
2，从而得x0＝2x，
y0＝2y＋1.代入①式，得2y＋1＝2×(2x)2＋1即y＝4x2.
答案：y＝4x2
三、解答题
9．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程．
解：设动点P坐标为(x，y)，则动点P到直线x＝8的距离d＝|x －8|，到点A的距离|PA|＝（x－2）2＋y2，
由已知d＝2|PA|得：
|x－8|＝2（x－2）2＋y2，化简得：
3x2＋4y2＝48.
故动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
10．若动点P 在y ＝2x 2＋1上移动，求点P 与点Q (0，－1)连线的中点的轨迹方程．
解：设PQ 的中点为M (x ，y )，P (x 0，y 0)，
则⎩⎨⎧x ＝x 0＋02
，y ＝y 0－12，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1. 又因为点P 在y ＝2x 2＋1上，
所以y 0＝2x 20＋1，
所以2y ＋1＝8x 2＋1，
所以y ＝4x 2即为所求的轨迹方程．
B 级能力提升
1．曲线f (x ，y )＝0关于直线x －y －3＝0对称的曲线方程为( )
A ．f (x －3，y )＝0
B ．f (y ＋3，x )＝0
C ．f (y －3，x ＋3)＝0
D ．f (y ＋3，x －3)＝0 解析：设P ′(x ，y )为对称曲线上任意一点，它关于直线x －y －3＝0对称点的坐标为(x ′，y ′)，
依据题意有⎩⎨⎧y －y ′x －x ′
＝－1，x ＋x ′2－y ＋y ′2－3＝0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ＋3，y ′＝x －3. 又(x ′，y ′)适合方程f (x ，y )＝0，
故所求对称曲线方程为f (y ＋3，x －3)＝0.
答案：D
2．直线x a ＋y 2－a
＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是_______．解析：(参数法)直线x a ＋y 2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a ，0)，B (0，
2－a)，设AB中点为M(x，y)，则x＝a
2，y＝1－a
2，消去a，得x＋y ＝1.因为a≠0，a≠2，所以x≠0，x≠1.
答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)
3．已知B(－3，0)、C(3，0)，△ABC中BC边上的高的长为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程．
解：设H的坐标为(x，y)，则A点的坐标为(x，3)或(x，－3)，当A的坐标为(x，3)时，
因为AB⊥CH，
所以k AB·k CH＝－1，
即
3－0
x－（－3）
·
y－0
x－3
＝－1(x≠±3)．
化简，整理，得y＝－1
3x
2＋3(x≠±3)．又x＝±3，y＝0时也适合此方程，
所以方程y＝－1
3x
2＋3为所求轨迹方程．
当A的坐标为(x，－3)时，同理可得H的轨迹方程为y＝1
3x
2－
3.
总之，△ABC的垂心H的轨迹方程是y＝－1
3x
2＋3或
y＝1
3x
2－3.。