2008年高考数学理科试题汇编--立体几何

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2008高考解答题专题训练三立体几何参考答案

1.（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME .ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点.∵M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB . 又∵ME ⊂平面ACM ， -------------------------------3分又SB ⊄平面ACM ，∴SB //平面ACM . --------------------------------4分（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . -------------------------------------5分 ∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影. ∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC .∴FQM ∠为二面角D AC M --的平面角. 7分设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,2224a MF SA FQ DE a ====，∴tan aFQM ==∴ 二面角D AC M --的大小为. ------------------------------------------------------------9分（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ ---------------------------------------10分又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.SDC----------------------------------------11分 ∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN 方法二：解：（Ⅱ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， ---------------------------------------------5分由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M SA ⊥底面ABCD ，∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=．设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==,---------------------------------7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n .∴cos ,3||||AS AS AS ⋅<>===-⋅n n n , ∴二面角D ACM --的大小为．9分（III ）11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1,1CS =--，11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS ∴⊥ 12分又SC AN ⊥且AN AM A =SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC ⊥平面AMN . 14分 2．2.（Ⅰ）证明：连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结DE . D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1 //.DE AC ∴ ………….. 3分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄平面，平面， 11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 4分（Ⅱ）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h 在三棱锥1B BCD -中，11 B BCD B B CD V V --=，且1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅.易求得1111 2BCD B CD S S CD B D ∆∆==⋅=，，11 BCD B CD S B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面….. 9分（Ⅲ）解：在平面ABC 内作DF BC ⊥于点F ，过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.DG 易证明 11DF BCC B ⊥平面，从而GF 是DG 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得1.B C GD ⊥DGF ∴∠是二面角1B B C D --的平面角易求得112DF AC ==，12GF BE ==在Rt DFG ∆中， tan DFDGF GF==，∴ 二面角1B B C D --的大小是-------------------------------------------14分解法二：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===， AC BC ⊥，1 AC BC CC ∴、、两两垂直 .如图，以C 为原点，直线1CA CB CC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，，(1 1 0).D ，，（Ⅰ）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，，1111(1 0 1)(2 0 2) //.2DE AC DE AC DE AC =-=-∴=∴，，，，，，， ABCDA 1B 1C 1EF G111 DE CDB AC CDB ⊂⊄平面，平面，11 //.AC CDB ∴平面（Ⅱ）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h 在三棱锥1B BCD -中，11 B BCD B B CD V V --=，且 1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅易求得1111 2BCD B CDS S CD B D ∆∆==⋅=，，11 BCD B CD S B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面…….. 9分（Ⅲ）解：在平面ABC 内作DF BC ⊥于点F ，过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.DG 易证明 11DF BCC B ⊥平面，从而GF 是DG 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥DGF ∴∠是二面角1B B C D --的平面角.易知11(0 1 0)0 22F G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，11 2222GF GD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110，，-，1，，-， cos GF GDGF GD GF GD∴〈〉==，3∴ 二面角1B B C D --的大小是arccos 33．解法一：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥，又PB BC ⊥，∴⊥BC 平面PAB ， ∴PA BC ⊥. ………………2分同理PA CD ⊥， ………………4分∴⊥PA 平面ABCD ． ………5分（Ⅱ）解：设M 为AD 中点，连结EM ，又E 为PD 中点，可得PA EM //，从而⊥EM 底面ABCD ．过 M 作AC 的垂线MN ，垂足为N ,连结EN ．由三垂线定理有AC EN ⊥，∴E N M ∠为二面角D AC E --的平面角.………………7分在EMN Rt ∆中，可求得,22,1==MN EM ∴2tan ==MNEMENM ．………………9分 ∴ 二面角D AC E --的大小为2arctan ．（Ⅲ）解：由E 为PD 中点可知,要使得点E 到平面PAF 的距离为552，即要点D 到平面PAF 的距离为554. 过 D 作AF 的垂线DG ，垂足为G ,∵⊥PA 平面ABCD ，∴平面⊥PAF 平面ABCD ，∴⊥DG 平面PAF ，即DG 为点D 到平面PAF 的距离. ∴554=DG ， ∴552=AG ．……12分设x BF =，由ABF ∆与DGA ∆相似可得GA DG BF AB =，∴22=x，即1=x ． ∴在线段BC 上存在点F ，且F 为BC 中点，使得点E 到平面PAF 的距离为552．解法二：（Ⅰ）证明：同解法一．（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标xyz A -，则，，，)000(A ，，，)022(C )110(，，E . 设m ),,(z y x =为平面AEC 的一个法向量，则m ⊥，m ⊥．又),1,1,0(=AE ),0,2,2(=AC ⎩⎨⎧=+=+∴.022,0y x z y 令,1=x 则,1,1=-=z y得m )1,1,1(-=．………………8分又)2,0,0(=是平面ACD 的一个法向量，设二面角D AC E --的大小为 θ，则33232,cos cos =⋅=>=<=m θ． ∴ 二面角D AC E --的大小为33arccos．（Ⅲ）解：设),20()02(≤≤t t F ，，n ),,(c b a =为平面PAF 的一个法向量，则n ⊥，n ⊥．又)2,0,0(=，),0,,2(t =⎩⎨⎧=+=∴.02,02tb a c 令,t a =则,0,2=-=c b 得n )0,2,(-=t ． …………12分又),1,1,0(=∴点E 到平面PAF的距离422+==t ，∴=+422t 552，解得1=t ，即 )012(，，F .∴在线段BC 上存在点F ，使得点E 到平面PAF 的距离为552，且F 为BC 中点． 4．解法1：（Ⅰ）取A 1D ，则A 1D//B 1C 知，B 1C 与DE 所成角即为A 1D 与DE 所成角，连结A 1E.由正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为a ，分则3.5102cos ,25,2121221111 =⋅⋅-+=∠∴===DE D A E A DE D A DE A a DE E A a D A（Ⅱ）取B1C 的中点F ，B1D 的中点G ，连结BF ，EG ，GF..,,.,1111111CD B BF C C B CD C B BF BF DC B BCC BF B BCC CD 平面又平面且平面⊥∴=⋂⊥⊥∴⊂⊥∵GF CD 21，BE 21CD ， ∴BEGF ，∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴BF//GE..,.1111CD B D EB D EB GE CD B GE 平面平面平面平面⊥∴⊂⊥∴（Ⅲ）连结EF.分的余弦值为二面角中则在设正方体的棱长为的平面角是二面角平面又13.33.33cos ,23,21,,..,.,//,111111 D C B E EF GF EFG a EF a GF EFG a D C B E EFG C B EF CD B EG C B GF CD GF C B CD --∴==∠∴==∆--∠∴⊥∴⊥⊥∴⊥ 解法2：如图建立空间直角坐标系A —xyz .则A （0，0，0），B （2a ，0，0）,C(0，2a ，0) A 1（0，0，2a ），B （2a ，2，2a ），C 1（0，2a ，2a ）（Ⅰ）取AB 的中点H ，连结CH. )0,0,(),,0,(),,2,0(a H a a D a a EABCDE ABC DE ABC CH DE CH a a a a 面分平面而平面//4.,.//),0,2,(),0,2,(∴⊄⊂∴-=-=∴)8(.,.,,00)2()(,0)()2()()().0,,(),,,(),2,,().0,,(),0,2,0(),0,0,2()1(111111分平面 AEF F B F AF EF AF F B EF F B a a a a a AF F E a a a a a a B a a a a a a a a B a a F a C a B ⊥∴=⋂⊥⊥∴=⋅-+⋅+⋅-=⋅=-⋅-+-⋅+⋅-=⋅∴=--=--=∴（Ⅲ）设平面AB 1E 的一个法向量为),,(z y x m =,02,022),,2,0(),2,0,2(11=+=⋅=+=⋅==az ay m az ax AB m a a a a AB ).,21,(,.21.a a a m a z z y z x --==⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴则令由于平面AEF 的一个法向量为),2,,(1a a a F B --= 故设B 1与m 所成角为θ..61236221cos 2221-=⋅--==∴a a a a a θ由于平面AB 1E 与平面AEF 所成的二面角为锐二面角，F AE B --∴1二面角的平面角的余弦值.6151的正切值为二面角F AE B --∴.5．解法一:（Ⅰ）连结BD ．在ABC ∆中，90B ︒∠=.∵AB BC =，点D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥． ∵,PB ABC ⊥面即BD 为PD 在平面ABC 内的射影， ∴PD AC ⊥．…………………………2分 ∵E F 、分别为AB BC 、的中点,∴//EF AC , ∴EF PD ⊥．…………4分（Ⅱ）∵,PB ABC ⊥平面∴EF PB ⊥．连结BD 交EF 于点O ，∵EF PB ⊥，EF PD ⊥ ∴PBD EF ⊥平面，∴FPO ∠为直线PF 与平面PBD 所成的EF PO ⊥.……………6分 ∵,PB ABC ⊥面∴PB AB ⊥，PB BC ⊥，又∵45PAB ︒∠=，∴2==AB PB .∵2241==AC OF ，∴522=+=BF PB PF ，∴在Rt △FPO 中，1010sin ==∠PF OF FPO ，∴1010arcsin =∠FPO ．……… 8分（Ⅲ）过点B 作BM PF ⊥于点F ，连结EM ，∵,,AB PB AB BC ⊥⊥∴,AB PBC ⊥平面即BM 为EM 在平面PBC 内的射影， ∴EM PF ⊥，∴EMB ∠为二面角E PF B --的平面角．………11分 ∵Rt P F B ∆中，PB BFPF BM ⋅==,∴tan 2EB EMB BM ∠==13分解法二：建立空间直角坐标系B −xyz,如图，则(),0,0,0B (),0,0,2A ()0,2,0C ，()0,1,1D ，()0,0,1E ，()0,1,0F ，()2,0,0P .（Ⅰ）∵()0,1,1-=，()2,1,1-=， ∴110EF PD ⋅=-+= ∴EF PD ⊥.………4分（Ⅱ）由已知可得，()0,1,1-=为平面PBD 的法向量，()2,1,0-=,∴ cos ,10PF EF PF EF PF EF⋅<>===⋅，∴直线PF 与面PBD ∴直线PF 与面PBD 所成的角为1010arcsin. （Ⅲ）设平面PEF 的一个法向量为a (),,x y z =，∵()0,1,1-=，()2,1,0-=∴ a 0EF x y =-+=，a 20PF y z =-=，令1=z，∴ a ()2,2,1=由已知可得，向量()0,0,2=BA 为平面PBF 的一个法向量，∴ cos < a 42,323a BA BA a BA⋅>===⨯⋅， ∴tan < a 5,BA >=.∴ 二面角E PF B --的正切值为25.………14分 6．（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BC ⊥．又AB ⊥BC ，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ．又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB ．（Ⅱ）∵PA ⊥底面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 内的射影．又∵PC ⊥AD ，∴AC ⊥AD ．在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB =BC ，得4BAC π∠=，∴4DCA BAC π∠=∠=．又AC ⊥AD ，故DAC ∆为等腰直角三角形．∴)2DC AB ==．连接BD ，交AC 于点M ，则 2.DM DCMB AB==在BPD ∆中，2PE DMEB MB==，∴//PD EM又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．（Ⅲ）在等腰直角PAB ∆中，取PB 中点N ，连结AN ，则AN PB ⊥．∵平面PAB ⊥平面PCB ，且平面PAB平面PCB =PB ，∴AN PBC ⊥平面．在平面PBC 内，过N 作NH ⊥直线CE 于H ，连结AH ，由于NH 是AH 在平面CEB 内的射影，故AH CE ⊥．∴AHN ∠就是二面角A —CE —P 的平面角---------------------12分在Rt PBC ∆中，设CB a =，则PB ==，13BE PB ==，16NE PB ==，CE ==，由NH CE ⊥，EB CB ⊥可知：NEH ∆∽CEB ∆， ∴.NH CBNE CE =代入解得：NH =．在Rt AHN ∆中，AN =，∴tan AN AHN NH== 即二面角A —CE —P的大小为解法二：（Ⅱ）以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系．设PA AB BC a ===，则()0,0,0A ，()0,,0B a ，(),,0C a a ()0,0,P a ，20,,33a a E ⎛⎫⎪⎝⎭.设(),,0D a y ，则()(),,,,,0CP a a a AD a y =--=，CP AD ⊥，∴20CP AD a ay ⋅=--=，解得：y a =-．2DC AB ∴=．连结BD ，交AC 于点M ，则2DM DCMB AB==.---------------7分在BPD ∆中，2PE DMEB MB ==， ∴//PD EM ．又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．（Ⅲ）设()1,,1x y =n 为平面EAC 的一个法向量，则11,AC AE ⊥⊥n n ，∴0,20.33ax ay ay a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：11,22x y ==-，∴111(,,1)22=-n ．设()2',',1x y =n 为平面EBC 的一个法向量，则22,BC BE ⊥⊥n n ，又(),0,0BC a =，(0,,)33a a BE =-，∴'0,'0,33ax ay a =⎧⎪-⎨+=⎪⎩HACBD1A1C1BEF解得：'0,'1x y ==，∴()20,1,1=n ． 121212cos ,6⋅==n n n n n n ．13分 ∴二面角A —CE —P 的大小为arccos 6．14分7．解法一：（Ⅰ）在直三棱柱111ABC A B C -中,11A B //AB .∴BAC ∠是11A B 与AC 所成的角. 2分在Rt ABC ∆中，,90AB BC ABC =∠=︒，45BAC ∴∠=︒. ∴11A B 与AC 所成角为45︒. （Ⅱ）取AC 中点E ，连结,DE BE ，D 是1A C 的中点，则1//DE AA .1AA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC . 则BE 是BD 在平面ABC 内的射影.AB BC =,BE AC ∴⊥.∴BD AC ⊥.同理可证1BD B C ⊥. 8分又1AC B C C =，BD ∴⊥平面1AB C .（III ）取1AB 中点F ，连结,CF BF ，1AB BB =,1BF AB ∴⊥1AC BC ==1.CF AB ∴⊥ 则BFC∠为二面角1C AB B --的平面角. 12分在Rt BFC ∆中，1,902BF BC FBC ==∠=︒，则tan BFC =∴BFC ∠=. 14分即二面角1C AB B --的大小为arctan . 解法二：（Ⅰ）同法一.（Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,1,0),C 1(0,0,1)B ，1(1,0,1)A ， D （111,,)222.------------------6分则111(,,)222BD =，1(1,1,0),(1,0,1)AC AB =-=-.10,0BD AC BD AB ∴⋅=⋅=. ---------------8分1,BD AC BD AB ∴⊥⊥，且1ACAB A =. BD ∴⊥平面1AB C .---------------9分（III ）11,,BC BB BC AB ABBB B ⊥⊥=,BC ∴⊥平面1ABB .(0,1,0)BC ∴=是平面1ABB 的法向量.由（Ⅱ）可知111(,,)222BD =是平面1AB C 的法向量.12cos ,3||||3BC BD BC BD BC BD ⋅<>===. 即二面角1C AB B --的大小为arccos 38．解法一：（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB平面ABC AB =，且BC AB ⊥，BC PAB ∴⊥平面 .PA ⊂平面 PAB ， PA BC ∴⊥.又PA PB ⊥，∴ PA PBC ⊥平面 .（Ⅱ）解：作PO AB ⊥于点O ，OM AC ⊥于点M ，连结PM . ∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ABC ∴⊥平面，根据三垂线定理得 PM AC⊥，PMO ∴∠是二面角P AC B --的平面角.………….. 6分设PA PB ==PA PB ⊥，AB PO BO AO ∴====， 30OM AM MAO ⊥∠=︒，，sin 302AOOM AO ∴=⋅︒=，tan 2PO AOPMO OM OM∴===，即二面角P AC B --的大小是arctan 2.（Ⅲ）解：在底面ABC 内分别过A C 、作BC AB 、的平行线，交于点D ，连结OC OD PD ，，.则PCD ∠是异面直线AB 和PC 所成的角或其补角.30AB BC BAC ⊥∠=︒，，tan302BC AB ∴=⋅︒=， OCPC ∴=.易知底面ABCD 为矩形，从而OC OD =，.PC PD =在PCD ∆中，12cos CDPCD PC =∴异面直线AB 和PC 所成角的大小为. 解法二：作PO AB ⊥于点O ，平面PAB ⊥平面ABC ， PO ∴⊥平面ABC .过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D .如图，以O 为原点，直线OD OB OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 . ………….. 2分PA PB ==设.PA PB ⊥，AB PO BO AO ∴====， 30AB BC BAC ⊥∠=︒，， tan302BC AB ∴=⋅︒=.(0 0 0)(0 (0(2O A B C ∴，，，，，，，(0 0P ，(1 0 0).D ，，----------------------------------------------4分（Ⅰ）证明：(0 33)(2 00)PA BC =--=，，，，，， 0PA BC ∴=，PA BC ∴⊥. 又 PA PB ⊥，∴PA PBC ⊥平面 .（Ⅱ）解：作OM AC ⊥于点M ，连结PM .PO ⊥平面ABC ，根据三垂线定理得 PM AC ⊥， PMO ∴∠是二面角P AC B --的平面角. 在Rt AMO ∆中， sin 3022AO OM AO =⋅︒==，3 04M ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，从而333044MO MP ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝，，，，5cos 5MO MP MOMP MO MP∴〈〉==，，即二面角PAC B --的大小是arccos 5. （Ⅲ）解：()( 023023AB PC ==，，，，，，30cos 10AB PCAB PC AB PC∴〈〉==，， ∴异面直线AB 和PC 所成角的大小为arccos10.9．解法一：（Ⅰ）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AC ，又BA ⊥AC ，B 1B ∩BA=B ， ∴AC ⊥平面 ABB 1A 1，又AC ⊂平面B 1AC ， ∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1. …………4分（Ⅱ）解：过A 1做A 1M ⊥B 1A 1，垂足为M ，连结CM ，∵平面B 1AC ⊥平面ABB 1A ，且平面B 1AC ∩平面ABB 1A 1=B 1A ，∴A 1M ⊥平面B 1AC. ∴∠A 1CM 为直线A 1C 与平面B 1AC 所成的角， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角，∴∠B 1CB=30°. 设AB=BB 1=a ，可得B 1C=2a ，BC=a AC a 2,3=，.66sin ,22,311111====C A M A CM A a M A a C A 又从而∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66…………9分（III ）解：过A 做AN ⊥BC ，垂足为N ，过N做NO ⊥B 1C ，垂足为O ，连结AO ，由AN ⊥BC ，可得AN ⊥平面BCC 1B 1，由三垂线定理，可知AO ⊥B 1C ，∴∠AON 为二面角B —B 1C —A 的平面角，.36sin ,,3611==∴=⋅==⋅=AO AN AON a C B AC AB AO a BC AC AB AN ∴二面角B —B 1C —A 的大小为.36arcsin …………14分解法二：（Ⅰ）证明：同解法一. …………4分（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系A —xyz ， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°. 设AB=B 1B=1，).1,1,0(),1,0,0(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(.2,311B A C B A AC BC 则则==,6661||||,cos ),1,0,2(),1,1,0(,,11111111111==⋅>=<∴=-=C A B A A A A A AC B A B A 又的一个法向量易知连结∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66…………9分（III ）解：设),,(z y x n =为平面BCC 1B 1的一个法向量， .33232,cos cos ,,).0,2,1(,0,2,1,02,0),0,1,2(),1,0,0(,,1111111=⋅==<=--====⎩⎨⎧=-=∴-==⊥⊥B A n A C B B AC B A n z y x y x z BC BB n BB n θθ则的大小为设二面角的一个法向量是平面又得则令又则∴二面角B —B 1C —A 的大小为.33arccos …………14分ABCDPE FA BC DPxyz10．解法一：（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABC ，⊂AB 平面ABC ， ∴PC ⊥AB ．…………………………2分 ∵CD ⊥平面PAB ，⊂AB 平面PAB ， ∴CD ⊥AB ．…………………………4分又C CD PC = ，∴AB ⊥平面PCB ． …………………………5分（Ⅱ）过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．则 PA F ∠为异面直线PA 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ， ∴CF ⊥AF ．由三垂线定理，得PF ⊥AF ．则AF=CF=2，PF=6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中，tan ∠PAF=26AFPF==3，∴异面直线PA 与BC 所成的角为3π．（III ）取AP 的中点E ，连结CE 、DE ．∵PC=AC=2，∴CE ⊥PA ，CE=2． ∵CD ⊥平面PAB ，由三垂线定理的逆定理，得 DE ⊥PA ． ∴CED ∠为二面角C-PA-B 的平面角．由（Ⅰ）AB ⊥平面PCB ，又∵AB=BC ，可求得BC=2．在PCB Rt ∆中， PB=6B C PC 22=+，32622PB BC PC CD =⨯=⋅=．在CDE Rt ∆中，sin ∠CED=36232CECD==． ∴二面角C-PA-B 的大小为arcsin 36．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由(I) AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2，又∵AB=BC ，可求得BC=2．以B 为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0），C （2，０，0），P （2，０，2）．),22,2(AP -=，)0,0,2(B C =．则22⨯=⋅+0+0=2．,cos >=<=2222⨯=21．∴异面直线AP 与BC 所成的角为3π．（III ）设平面PAB 的法向量为m = (x ，y ，z)．)0,2,0(AB -=，),22,2(AP -=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0.m ,0m 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.02z y 2x 2,0y 2解得⎩⎨⎧-==z2x ,0y 令z = -1, 得 m = (2，0，-1)．设平面PAC 的法向量为n =('''z ,y ,x )．)0,-2,0(=，),02,2(-=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0.n ,0n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-.0y 2x 2,02z ''' 解得⎪⎩⎪⎨⎧=='''yx ,0z 令'x =1, 得 n = (1，1，0)．…………………12分n m n m n ,m cos ⋅>=<=33232=⨯． ∴二面角C-PA-B 的大小为arccos 33．………14分 11．ABCA B 1CEF 方法1：（Ⅰ）证明：依条件有CB ∥C 1B 1，又C 1B 1⊂平面A B 1C 1，CB ⊄平面A B 1C 1，所以CB ∥平面A B 1C 1.…………………3分（Ⅱ）解：因为D 为AB 的中点，依条件可知C 1D ⊥A 1B 1. 所以111B C AD V -=111C D AB V -=13×C 1D 1×(12×A 1A×D 1B 1)= 13×12×(12×1×2)=24.……………7分（Ⅲ）解：因为D 1是A 1B 1上一动点，所以当D 1与A 1重合时，二面角D 1-AC 1-C 的大小为π；当D 1与B 1重合时，如图，分别延长A 1C 1和AC 1，过B 1作B 1E ⊥A 1C 1延长于E ，依条件可知平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，所以B 1E ⊥平面ACC 1A 1.过点E 作EF ⊥A 1C 1，垂直为F. 连结FB 1，所以FB 1⊥A 1C 1.所以∠B 1FE 是所求二面角的平面角.容易求出B 1E=2，FE=4. 所以tan ∠B 1FE=1B EFE.所以∠B 1.（或arccos7）所以二面角D 1-AC 1-C 的取值范围是，π]（或[arccos 7，π]）.……13分方法2：（Ⅰ），（Ⅱ）略（Ⅲ）解：如图建立空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，B 1(-12，1)，C 1(0，0，1).因为D 1是A 1B 1上一动点，所以当D 1与A 1重合时，二面角D 1-AC 1-C 的大小为π；当D 1与B 1重合时，显然向量n 1=(0，1，1(D 1)0)是平面ACC 1A 1的一个法向量.因为1C A =(1，0，-1)， 11C B =(-121)，设平面C 1AB 1的法向量是n 2=(x ，y ，z )，由1C A ·n 2=0，11C B ·n 2=0，解得平面C 1AB 1的一个法向量n 2=(13，1).因为n 1·n 2=3，| n 1|=1，| n 2B 1-AC 1-C 的大小为β，所以cos β.即β.所以二面角D 1-AC 1-C 的取值范围是π]（或，π]）---------13分 12．解法一:（Ⅰ）证明：∵ P A ⊥底面ABCD,BC ⊂平面ABCD,PA BC ∴⊥，∠ACB =90︒，BC AC ∴⊥.又PA AC A ⋂=，∴ BC ⊥平面PAC .4分（Ⅱ）∵AB // CD , 0120DAB ∴∠=. ∠ADC=600, 又AD =CD=1,ADC ∴∆为等边三角形,且 AC=1.取AC 的中点O ，则DO AC ⊥，∵P A ⊥底面ABCD ，,PA DO DO ∴⊥∴⊥面PAC过O 作OH PC ⊥，垂足为H ，连DH ，由三垂线定理知DH PC ⊥.DHO ∴∠为二面角D PC A --的平面角.由OH DO ==tan 2,arctan 2DODHO DHO OH∴==∴∠=. ∴二面角D PC A --的大小为arctan 2.（Ⅲ）设点B 到平面PCD 的距离的距离为d .∵AB //CD ,AB ⊄平面,PCD CD ⊂面PCD ,//AB ∴平面PCD .∴点B 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离., A PCD P ACD V V --==分,5d ∴=. 解法二:（Ⅰ）同解法一 -----------4分（Ⅱ）取CD 的中点E ，则,AE CD AE AB ⊥∴⊥.又P A ⊥底面ABCD,AE ⊂面ABCD ,PA AE ∴⊥ --------------5分建立空间直角坐标系，如图. 则()(110,0,0,,,0,,022A P C D ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()31310,0,3,,,0,,,0,22AP AC PD ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭设()1111,,nx y z =为平面PAC 的一个法向量，()2222,,n x y z =为平面PDC 的一个法向量，则111111111002000n AC x y y z n AP ⎧⎧⋅=+==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎪⎩=⎩ 可取()13,3,0n =-；22122222200012002y n DC y x z x y n DP =⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩，可取()22,0,1n =. ------------ 9分121212cos , 10n n n n n n ⋅∴=⋅==分故所求二面角的大小为arccos 5.（Ⅲ）又()(0,2,0,0,2,B PB =.由（Ⅱ）取平面PCD 的一个法向量()22,0,1n =,∴点B 到平面PCD 的距离的距离为2213n PB d n ⋅=分.==分13．（Ⅰ）解： AB ∥平面DEF . 在△ABC 中，∵ E 、F 分别是AC 、BC 上的点，且满足CE CF k CA CB ==，∴ AB ∥EF .∵ AB ⊄平面DEF ，EF ≠⊂平面DEF ，∴ AB ∥平面DEF . …………… 3分（Ⅱ）过D 点作DG ⊥AC 于G ，连结BG ， ∵ AD ⊥CD , BD ⊥CD ,∴ ∠ADB 是二面角A -CD -B 的平面角. ∴ ∠ADB=90, 即BD ⊥AD . ∴ BD ⊥平面ADC . ∴ BD ⊥AC . ∴ AC ⊥平面BGD . ∴ BG ⊥AC .∴ ∠BGD 是二面角B -AC -D 的平面角. ……5分在ADC 中，AD =a , , AC=2a ,∴3AD DC a DG AC ===.在Rt △BDG 中，tanBD BGD DG ∠==∴ BGD∠=.即二面角B -AC -D 的大小为…… 8分（Ⅲ）∵ AB ∥EF , ∴ ∠DEF (或其补角)是异面直线AB 与DE 所成的角.… 9分 ∵AB =，∴EF =.又, 2CE kCA ak ==， ∴DF DE =GABCD EF===∴222cos 22DE EF DF EF DEF DE EF DE +-∠===∴234a k +解得 12k =.…………………… 13分 14．（Ⅰ）解：∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥面ABC ，∴B 1B ⊥AB . 又∵AB ⊥BC ， ∴AB ⊥面BCC 1B 1. 连结BC 1，则∠AC 1B 为AC 1与平面B 1BCC 1所成角. 依题设知，BC 1=22，在Rt △ABC 1中，.22222tan 11===∠BC AB B AC …………5分（Ⅱ）如图，连结DF ，在△ABC 1中， ∵D 、F 分别为AB 、BC 1的中点，∴DF ∥AC 1，又∵DF ⊂平面B 1DC ，AC 1⊄平面B 1DC ， ∴AC 1∥平面B 1DC .……10分（Ⅲ）PB 1=x ，.21=∆BCC S当点P 从E 点出发到A 1点，即]2,1[∈x 时，由（Ⅰ）同理可证PB 1⊥面BB 1C 1C ，.3231111xPB s V BCC BCC P =⨯=∴∆- 当点P 从A 1点运动到A 点，即]22,2[∈x 时，343111=⨯=∆-AB S V BCC BCC P . ∴三棱锥P —BCC 1的体积表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=].22,2[34]2,1[32)(x x xx V…………14分15．（Ⅰ）证明： E 是AB 的中点，AB 21BE =∴，又EB //DC ,AB 21DC ,AB //CD ∴= 且EB DC =∴四边形DCBE 是平行四边形，BC //ED ∴ ⊄DE 面PBC ，⊂BC 面PBC ，//DE ∴平面PBC 。

2008高考山东数学理科试卷含详细解答(全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，，．如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =，，，的集合M 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。

集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B. 2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =，则zz等于（） A ．i B ．i - C ．1± D ．i ±解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。

可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±选D.3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（）xxA ．B ．C ．D ．解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。

ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cos 1lncos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.4．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（） A ．3B ．2C ．1D ．1-解：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，他们的和()1f x x x a =++-关于1x =对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以） 5．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（） A．5-B．5C ．45-D ．45解：：3cos()sin sin 62παααα-+=+=14cos 25αα=，714sin()sin()cos .6625ππαααα⎫+=-+=-+=-⎪⎪⎝⎭6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（） A ．151B ．168C ．1306D ．1408解：古典概型问题，基本事件总数为31817163C =⨯⨯。

(word完整版)2008年高考理科数学试题及答案(全国卷2),推荐文档

绝密★启用前【考试时间：6月7日 15:00—17:00】2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k本卷12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一．选择题（1）设集合}23{<<-∈=m Z m M ,}31{≤≤-∈=n Z n N ,则=⋂N MA ．}1,0{ B. }1,0,1{- C. }2,1,0{ D }2,1,0,1{- (2)设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数3bi)(a +是实数，则A ． 223a b = B. 223b a = C. 229a b = D.229b a =(3)函数x xx f -=1)(的图像关于 A ． y 轴对称 B.直线y=-x C.坐标原点对称 D.直线y=x(4)若)1,(1-∈e x ，x ln =a ,x ln 2=b ,x 3ln =c ,则A ．c b a << B. b a c << C. c a b << D. a c b <<（5）设变量x,y 满足约束条件：2,22,-≥≤+≥x y x x y 则y x z 3-=的最小值为：A ．-2 B.-4 C. -6 D.-8（6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径A ．299 B. 2910 C. 2919 D. 2920 （7）()()4611x x +-的展开式中x 的系数是A ．-4 B.-3 C.3 D.4（8）若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为 A ．1 B. 2 C.3 D.2（9）设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 A ．)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2(（10）已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为 A ．31 B. 32 C. 33 D. 32（11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和047=--y x ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 A ．3 B. 2 C. 31-D. 21- （12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于A ．1 B. 2 C. 3 D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2008年高考数学试题分类汇编——立体几何

2008年高考数学试题分类汇编立体几何一．选择题：1．（上海卷13）给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ C ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 2.（全国一11）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ）A ．13B．3C．3D ．233.（全国二10）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ C ）A ．13B．3C．3D ．234.（全国二12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．25.（北京卷8）如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ B ）7.（四川卷８）设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过ABC D MNP A 1B 1C 1D 1,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )（Ａ）3,5,6 （Ｂ）3,6,8 （Ｃ）5,7,9 （Ｄ）5,8,98.（四川卷９）设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( B )（Ａ）１条（Ｂ）２条（Ｃ）３条（Ｄ）４条9.（天津卷5）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是C（A ）βαβα⊥⊥,//,b a （B ）βαβα//,,⊥⊥b a （C ）βαβα//,,⊥⊂b a （D ）βαβα⊥⊂,//,b a10.（安徽卷4）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（D ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖11.（山东卷6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是D (A)9π （B ）10π (C)11π (D)12π 12.（江西卷10）连结球面上两点的线段称为球的弦。

2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)

2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1} 2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A．B．C．D．4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A．2B．1C．0D．﹣15．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．236．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+27．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣28．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96B．84C．60D．48二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D 的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数的定义域．【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}故选：C．【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一定非负，分式中分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底数大于0且不等于1．另外还要注意正切函数的定义域．2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选：A．【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A．B．C．D．【考点】9B：向量加减混合运算．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选：A．【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A．2B．1C．0D．﹣1【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围．5．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．23【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选：C．【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+2【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵，∴，∴x=（e y﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2∴答案为A．【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．7．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．8．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】16：压轴题．【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后结合f（x）的单调性解出答案．【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故选：D．【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r，∴，故选：D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为==；（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，过B1作AB的垂线段，垂足为F，F=A1S=，AF=3，BF=1，B在直角三角形B1AF中用勾股定理得：AB1=2，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故选：B．【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96B．84C．60D．48【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】16：压轴题．【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84．故选：B．【点评】本题也可以这样解：按A﹣B﹣C﹣D顺序种花，可分A、C同色与不同色有4×3×（1×3+2×2）=84．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　9　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；13：作图题．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　2　．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得，，则与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为故答案为2【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设AB=BC=1，，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．【解答】解：设AB=BC=1，，则，∴，．答案：．【点评】本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算．16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D 的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故EM，AN所成角的余弦值故答案为：【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB ＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0当且仅当时，等号成立，故当时，tan（A﹣B）的最大值为．【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE 即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．再根据，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角．作CH⊥AB，H为垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC ，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．∵CE=，∴CH=EH=．直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD为直角三角形，AD===，故CG===，DG==，，又，则，∴，即二面角C﹣AD﹣E的大小．【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．【专题】16：压轴题．【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上为减函数，∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．设，则∵x∈时，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上递减，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束），∴乙只用两次的概率为．若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，∴渐近线的倾斜角范围为（0，），∴渐近线斜率为：，∴．∵||、||、||成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=，而由对称性可知：OA的斜率为k=tan，∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；∴，∴，∴．（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，∴c=b．由于AB的倾斜角为+∠AOB，故AB的斜率为tan（+∠AOB ）=﹣cot（∠AOB）=﹣2，∴AB的直线方程为y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴4=•=•，即16=﹣112b2，∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值，属于中档题．22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．【专题】16：压轴题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而进行证明．（2）由题意数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n），求出a n+1=a n﹣a n lna n，然后利用归纳法进行证明；（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，a n+1=f（a n）可得a k+1=a k﹣b﹣a k，然后进行讨论求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx，∴f′（x）=﹣lnx，当x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1，∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，∴f（x）在区间（0，1]是增函数，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立，（ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时，a k＜a k+1＜1成立，即0＜a1≤a k＜a k+1＜1，那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤a k＜a k+1＜1，得f（a k）＜f（a k+1）＜f（1），而a n+1=f（a n），则a k+1=f（a k），a k+2=f（a k+1），a k+1＜a k+2＜1，也就是说当n=k+1时，a n＜a n+1＜1也成立，根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，a n＜a n+1＜1恒成立．（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，a n+1=f（a n）可得a k+1=a k﹣a k lna k=，1）若存在某i≤k，满足a i≤b，则由（Ⅱ）知：a k+1﹣b＞a i﹣b≥0，2）若对任意i≤k，都有a i＞b，则a k+1=a k﹣a k lna k==≥a1﹣b1﹣ka1lnb=0，即a k+1＞b成立．【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．。

2008各省数学立体几何高考题

（2008安徽理）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离(2008福建理)如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱P A =PD ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点. （Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PB 与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD ？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由. ACBP（2008广东理）如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，60ABD ∠= ，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD，PD =，E F ，分别是PB CD ，上的点，且PE DF EB FC=，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ．（1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值；（2）证明：EFG △是直角三角形；（3）当12PE EB =时，求EFG △的面积．(2008 海南、宁夏)如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°. （1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小.（2008湖北）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明. F C PGEA B图5 D1A(2008湖南)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.（2008江苏）在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点，求证（I ）直线EF D 面AC ；（II ）EFC D ⊥面面BC 。

2008年高考理科数学全国一卷真题

(II)由（I）得 tanA=4tanB，故 A、B 都是锐角，于是 tanB>0
tan(A-B)= = tan A tan B 1 tan A tan B
3 tan B 1 4 tan 2 B
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≤3 ， 4
1 3 且当 tanB= 时，上式取等号，因此 tan(A-B)的最大值为 2 4
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 a= c sin A sin C acosB-bcosA=( = = = ,b c sin B sin C sin A sin C cos B sin B sin C cos A )c
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P (k ) C k P k (1 P )n k (k 0 ， 1 2，，n) ,
n n
一、选择题 1．函数 y x(x 1) x 的定义域为（ A．x | x ≥ 0 C．x | x ≥1 0 ）
2008 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 I)
理科数学
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷，第 II 卷．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么 P( A B) P( A) P(B) 如果事件 A，B 相互独立，那么 P( AB) P( A ) P ( B ) 球的表面积公式 S 4πR2 其中 R 表示球的半径球的体积公式 4 V πR 3 3 其中 R 表示球的半径
sin A cos B sin B cos A c sin( A B) sin A cos B cos Asin B c sin A cos B cos Asin B

2008高考全国卷Ⅰ数学理科试题含答案(全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，，一、选择题1．函数y =）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）3．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ，， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，D ．(10)(01)- ，， 10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A ．B ．C ．D ．ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．CDE AB方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案1. C. 由()10,0,1,0;x x x x x -≥≥≥=得或2. A ．根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图像可知；3. A. 由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+ ，1233AD c b =+ ；4. D. ()()()22221210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-；5. C. 由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=；6. B.由()()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==；7.D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==----； 8.A.55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=22111a b+1,≥. 另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1a bαα+= 由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO===（即点1B到底面ABC的距离），故1AB与底面ABC所成角的正弦值为113AOAB=另解：设1,,AB AC AA为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA的两两间的夹角为060长度均为a，平面ABC的法向量为111133OA AA AB AC=--,11AB AB AA=+211112,33OA AB a OA AB⋅===则1AB与底面ABC所成角的正弦值为11113OA ABAO AB⋅=.12.B.分三类：种两种花有24A种种法；种三种花有342A种种法；种四种花有44A种种法.共有234444284A A A++=.另解：按A B C D---顺序种花，可分A C、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯=13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线:20l x y-=，将l平移至过点A处时，函数2z x y=-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax=-的焦点坐标为1(0,1)4a-为坐标原点得，14a=，则2114y x=-与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38.设1AB BC==，7cos18B=-则222252cos9AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅= 53AC=，582321,21,3328ca c ea=+====.16.答案：16.设2AB=，作CO ABDE⊥面，OH AB⊥，则CH AB⊥，CHO∠为二面角C AB D--cos1CH OH CH CHO=⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=- ,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-= 12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,(,2222M N ---,则31131(,(,,22222AN EM AN EM ==-⋅= 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM ANEM ⋅= .17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；（Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥． tan tan CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠= ，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．3AC CD CG AD ==，3DG =，3EG ==，CE =222cos 210CG GE CE CGE CG GE +-∠==- ，πarccos 10CGE ⎛∴∠=- ⎝⎭，即二面角C AD E --的大小πarccos 10⎛- ⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -=即()f x在⎛-∞ ⎝⎭递增，⎝⎭递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增（2）23133a -⎨-+⎪-⎪⎩，且23a>解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.4⨯+．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。

(2008年-2020年)高考数学分类汇编全国1卷(理)--立体几何(含全部答案解析)

（D）8
16（2016）（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 28 ，则它的表面积是 3
（A）17 （B）18 （C） 20 （D） 28
17(2016（) 11）平面过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A ， // 平面 CB1D1 ，平面 ABCD m ，平面 ABB1 A1 n ，则 m, n 所成角的正弦值为
A.14 斛
B.22 斛
C.36 斛 D.66 斛
李老师数学
3
高考真题分类汇编
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15（2015）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r =
（A）1
（B）2
（C）4
8(2011)（15）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB 6, BC 2 3 ,则棱锥 O ABCD 的体积为。
9（2012）7.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A）6
(B)9
（C）12
（D）18
10（2012）11.已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为1的正三角形， SC 为 O 的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为
（A） 2 3
（B） 3 3
（C） 2 3
6(2010)（12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值
( A) 2 3 3

7,2008年全国各地高考试题汇编_8_立体几何

的余弦值等于
.
12. ( 四川卷, 15) 已知正四棱柱的对角线的长
为
6, 且对角线与底面所成角的余弦值为
3 3
,
则
该
正四棱柱的体积等于
.
13. ( 陕西卷, 14) 长方体 AB CD A 1 B1 C1 D1 的各
顶点都在球 O 的球面上, 其中 AB AD A A 1 = 1
梯形 BEF C 所在平面互相垂直, BE / / CF , BCF =
CEF = 90 , AD = 3, EF = 2.
( ) 求证: A E / / 平面 DCF ;
( ) 当 A B 的长为何值
时, 二面角 A EF C 的大
小为 60 ?
26. ( 辽宁卷, 19) 如图
AD,
BE
1 2
AF .
( ) 证明: C, D, F, E 四点图 8 共面;
第 20 题图
( ) 设 A B = BC = BE , 求二面角 A ED B 的大小;
21. ( 安徽卷, 18) 如图 9, 在四棱锥 O A BCD 中, 底面
AB CD 是边长为 1 的菱形,
AB C = 4 , OA 底面
()
复习参考
数学通讯 2009 年第 3 期( 上半月)
37
( A) 2 2.
( B) 2 3.
( C) 4.
( D) 2 5.
11. ( 全国卷 , 16) 等边三角形 A BC 与正方形
A B DE 有一公共边 A B , 二面角 C A B D 的余弦值为
33, M , N 分别是 A C, BC 的中点, 则 EM , A N 所成角

2008年高考数学试题

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kk n P k C p p k n -=-=，，，，一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【答案】B【解析】{}1,0,1,2--=M ，{}3,2,1,0,1-=N ，∴{}1,0,1-=N M【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别。

【评注】历年来高考数学第一个小题一般都是集合问题，都超简单。

其实集合问题是可以出难题的，但高考中的集合问题比较简单。

需要注意的是：很多复习书都把集合作为高考数学复习的起点，我认为这是不妥当的，高中的集合问题涉及到的集合知识并不多（就是一种表达方式），其难度主要体现在知识的综合性上，学生应当先学习其他知识，再在集合中综合。

建议把“数学的基本运算”作为高考数学复习的起点，学生花1个月的时间温习、强化初等数学的基本运算是必要的，重要的，也是值得的。

2008年高考中的“空间向量与立体几何”试题汇编大全

2008年高考中的“空间向量与立体几何”试题汇编大全一、选择题：1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ）A ．13B．3CD ．231.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB，棱柱的高1AO ==（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AO AB =.另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--,11AB AB AA =+ 2111126,,333OA AB a OA AB ⋅===则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=.二、填空题：1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C ABD --M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 61． 1.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面，OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO =⋅∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,222222M N ---,则3121321(,,),(,,),,32222222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===,故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=.三、解答题： 1．（2008安徽文）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。

2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)

2008年全国统一高考数学试卷(理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分)1．（5分）函数的定义域为（)A．｛x|x≥0}B．{x｜x≥1｝C．｛x|x≥1｝∪｛0｝D．{x｜0≤x≤1} 2．（5分）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2,则（）A．p1＜p2B．p1＞p2C．p1=p2D．不能确定3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A． B．C．D．4．(5分）设a∈R，且（a+i)2i为正实数，则a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．（5分）已知等差数列｛a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（) A．138 B．135 C．95 D．236．（5分）若函数y=f(x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称,则f （x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1 D．e2x+27．(5分）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（) A．2 B．C．D．﹣28．（5分）为得到函数的图象,只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5分）设奇函数f（x)在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪(1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪(0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪(1，+∞）D．（﹣1，0)∪（0，1)10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点,则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分)如图，一环形花坛分成A，B，C,D四块，现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(）A．96 B．84 C．60 D．48二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分)13．（5分）若x，y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为．14．(5分)已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．(5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．16．（5分)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点,则EM，AN所成角的余弦值等于．三、解答题(共6小题，满分74分）17．（10分）设△ABC的内角A,B，C所对的边长分别为a，b,c，且acosB﹣bcosA=c．(Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan(A﹣B）的最大值．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2，,AB=AC．(Ⅰ）证明：AD⊥CE;（Ⅱ)设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分）已知函数f（x)=﹣x2+ax+1﹣lnx．(Ⅰ）当a=3时，求函数f(x）的单调递增区间;（Ⅱ）若f（x）在区间(0，)上是减函数，求实数a的取值范围．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病．下面是两种化验方法:方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．(Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．21．（12分)双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1,l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A,B两点．已知｜｜、｜｜、|｜成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率;(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程．22．(12分）设函数f(x)=x﹣xlnx．数列｛a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f(a n）．(Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；(Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；(Ⅲ）设b∈(a1，1),整数．证明：a k+1＞b．2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）(2008•全国卷Ⅰ）函数的定义域为(）A．{x|x≥0｝B．｛x｜x≥1}C．{x｜x≥1｝∪{0｝D．｛x|0≤x≤1｝【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x(x﹣1)≥0，x≥0,解关于x的不等式组，即为函数的定义域．【解答】解:由x（x﹣1）≥0，得x≥1,或x≤0．又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1｝∪{0｝故选C．2．（5分)(2008•全国卷Ⅰ）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1,拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（)A．p1＜p2B．p1＞p2C．p1=p2D．不能确定【分析】计算出各种情况的概率,然后比较即可．【解答】解：大于2小于5的数有2个数,∴p1==;投掷一次正面朝上的概率为,两次正面朝上的概率为p2=×=，∵＞，∴p1＞p2．故选B．3．（5分)(2008•全国卷Ⅰ）在△ABC中，=，=．若点D满足=2,则=（）A． B．C．D．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发,尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解:∵由，∴，∴．故选A4．（5分）（2008•全国卷Ⅰ)设a∈R,且（a+i）2i为正实数，则a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】注意到a+bi（a，b∈R)为正实数的充要条件是a＞0，b=0【解答】解：(a+i）2i=(a2+2ai﹣1)i=﹣2a+（a2﹣1)i＞0,a=﹣1．故选D．5．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知等差数列{a n｝满足a2+a4=4，a3+a5=10,则它的前10项的和S10=(）A．138 B．135 C．95 D．23【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式,即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6,∴d=3,a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选C6．(5分）（2008•全国卷Ⅰ)若函数y=f(x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=()A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2【分析】由函数y=f（x)的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数,故只要求出函数y=f(x）的反函数即可，欲求原函数的反函数,即从原函数y=ln中反解出x,后再进行x，y互换,即得反函数的解析式．【解答】解:∵，∴,∴x=（e y﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2∴答案为A．7．(5分)(2008•全国卷Ⅰ）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=(）A．2 B．C．D．﹣2【分析】(1）求出已知函数y在点(3，2）处的斜率；（2)利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1,求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•(﹣a)=﹣1得a=﹣2故选D．8．(5分）（2008•全国卷Ⅰ）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象(）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．9．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设奇函数f（x)在（0，+∞）上为增函数，且f(1）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪(1,+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪(0，1）C．(﹣∞，﹣1）∪（1，+∞) D．（﹣1，0)∪(0,1）【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后结合f（x）的单调性解出答案．【解答】解：由奇函数f(x）可知，即x与f（x)异号，而f（1）=0，则f（﹣1)=﹣f(1）=0,又f（x)在（0,+∞）上为增函数，则奇函数f(x）在(﹣∞,0）上也为增函数，当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0,得＜0,满足；当x＞1时，f（x）＞f（1）=0,得＞0，不满足，舍去；当﹣1＜x＜0时，f（x)＞f（﹣1）=0,得＜0，满足；当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1)=0，得＞0,不满足,舍去；所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故选D．10．（5分）(2008•全国卷Ⅰ）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点,则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点,即直线与圆相切或相交得:d≤r，∴故选D．11．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高,由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．【解答】解：(法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2,则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==,所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为==;(法二)由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，如图,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D,故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，易得A1S=,所以AB1==2，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故选B．12．（5分）(2008•全国卷Ⅰ）如图，一环形花坛分成A，B,C,D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法;种三种花有2A43种种法;种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84．故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2008•全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为9．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0:y=2x,将l0平移与可行域有公共点,直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值,求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如图，作出可行域,作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时,函数z=2x﹣y有最大值9．14．(5分)（2008•全国卷Ⅰ)已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2．【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得，,则与坐标轴的交点为（0,﹣1）,（﹣2，0），（2,0）,则以这三点围成的三角形的面积为故答案为215．(5分)（2008•全国卷Ⅰ)在△ABC中，AB=BC,．若以A,B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．【分析】设AB=BC=1,，则,由此可知，从而求出该椭圆的离心率．【解答】解：设AB=BC=1，,则，∴,．答案:．16．（5分)（2008•全国卷Ⅰ)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M,N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示,然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解:设AB=2,作CO⊥面ABDE,OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故EM，AN所成角的余弦值故答案为:三、解答题（共6小题,满分74分）17．（10分)(2008•全国卷Ⅰ)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b,c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan(A﹣B）的最大值．【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（Ⅰ）由正弦定理的边角互化,我们可将已知中,进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．(Ⅱ）由（Ⅰ)的结论，结合角A,B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan(A﹣B)可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B)的最大值．【解答】解:(Ⅰ）在△ABC中,，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则;（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0当且仅当时，等号成立，故当时,tan(A﹣B)的最大值为．18．（12分)（2008•全国卷Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE，BC=2,，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．【分析】（1)取BC中点F，证明CE⊥面ADF,通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．（2）在面AED内过点E作AD的垂线,垂足为G,由(1）知,CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角,△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．【解答】解：(1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE,∴AF⊥面BCDE,∴AF⊥CE．再根据，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°,即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF,∴CE⊥AD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．∵CG⊥AD，CE⊥AD,∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD,则∠CGE即为所求二面角的平面角．作CH⊥AB，H为垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE,矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．∵CE=,∴CH=EH=．直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1;直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+(AC﹣1）2，∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD为直角三角形，AD===,故CG===,DG==,，又，则,∴，即二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分)（2010•大纲版Ⅱ)已知函数f(x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x)的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，)上是减函数,求实数a的取值范围．【分析】（1)求单调区间，先求导,令导函数大于等于0即可．(2)已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x)≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x)＞0，即:2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x)=﹣2x+a﹣，∵f(x)在上为减函数，∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．设，则∵x∈时，＞4,∴g′（x)＜0，∴g（x）在上递减，∴g（x）＞g(）=3,∴a≤3．20．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法:方案甲:逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;(Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【分析】(1)由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率,写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．(2）根据上一问乙的化验次数的分布列,利用期望计算公式得到结果．【解答】解：(Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能:①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有,均可以在第二次结束），∴乙只用两次的概率为．若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性,再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数，∴ξ的期望为Eξ=2×0。

2008年高考立体几何试题汇编整理

2008年高考数学试题分类汇编立体几何1.（全国一18）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45o，求二面角C AD E --的大小．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ， Q AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．2tan tan 2CED FDC ∠=∠=，∴90OED ODE ∠+∠=o ，90DOE ∴∠=o ，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．Q CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．233AC CD CG AD ==g ，63DG =，22303EG DE DG =-=，6CE =，则22210cos 210CG GE CE CGE CG GE +-∠==-g ，10πarccos 10CGE ⎛⎫∴∠=- ⎪ ⎪⎝⎭，即二面角C AD E --的大小10πarccos 10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．2.（全国二19）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD A C ⊥．在平面1A CA 内，连结EF 交1A C 于点G ，由于122AA ACFC CE==，故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1A C ⊥平面BED ．（Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． 223EF CF CE =+=， CDEA BA B CD EA 1B 1C 1D 1 AB CDE A 1B 1C 1D 1 FH G23CE CF CG EF ⨯==，2233EG CE CG =-=．13EG EF =，12315EF FD GH DE ⨯=⨯=．又221126AC AA AC =+=，11563A G A C CG =-=．11tan 55AGA HG HG∠==．所以二面角1A DE B --的大小为arctan 55．解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB ==u u u r u u u r ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=u u u r u u u u r ，，，，，．（Ⅰ）因为10AC DB =u u u r u u u r g ，10AC DE =u u u r u u u rg ，故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥．又DB DE D =I ，所以1A C ⊥平面DBE ．（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥u u u r n ，1DA ⊥u u u u r n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ．1AC u u u r ，n 等于二面角1A DE B --的平面角，4214,cos 111=•=CA n C A n C A n ．所以二面角1A DEB --的大小为14arccos42． 3．（北京卷16）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP =Q ，PD AB ∴⊥．AC BC =Q ，CD AB ∴⊥． PD CD D =Q I ，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂Q 平面PCD ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =Q ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=o，即AC BC ⊥，且AC PC C =I ，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，．AB BP =Q ，BE AP ∴⊥．EC Q 是BE 在平面PAC 内的射影，CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．A B C DEA 1B 1C 1D 1 yx z A C BDPA CBE P A CBP在BCE △中，90BCE ∠=o，2BC =，362BE AB ==， 6sin 3BC BEC BE ∴∠==．∴二面角B AP C --的大小为6arcsin 3．（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ，∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ．Q 平面APB I 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ．CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =I ，PC ∴⊥平面ABC ．CD ⊂Q 平面ABC ，PC CD ∴⊥．在Rt PCD △中，122CD AB ==，362PD PB ==，222PC PD CD ∴=-=．332=⨯=PD CD PC CH ． ∴点C 到平面APB 的距离为233．解法二：（Ⅰ）AC BC =Q ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．AC BC C =Q I ，PC ∴⊥平面ABC ．AB ⊂Q 平面ABC ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．设(00)P t ，，．22PB AB ==Q ，2t ∴=，(002)P ，，．取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =Q ，AB BP =， CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E Q ，，，(011)EC =--u u u r ，，，(211)EB =--u u u r，，， 33622cos =⨯=•=∠EBEC EB EC BEC ．∴二面角B AP C --的大小为3arccos3．（Ⅲ）AC BC PC ==Q ，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =u u u r u u u r Q ，∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，．A CBD P H AC BP z x y HE233CH ∴=u u u r ．∴点C 到平面APB 的距离为233．4.（四川卷19）．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF与ABCD 都是直角梯形，090,BAD FAB BC ∠=∠=//=12AD ，BE //=12AF（Ⅰ）证明：,,,C D F E 四点共面；（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小；【解1】：（Ⅰ）延长DC 交AB 的延长线于点G ，由BC //=12AD 得12GB GC BC GA GD AD ===延长FE 交AB 的延长线于'G ，同理可得 ''''12G E G B BE G F G A AF === 故''G B GB G A GA=，即G 与'G 重合因此直线CD EF 、相交于点G ，即,,,C D F E 四点共面。

2008高考辽宁数学理科试卷含详细解答(全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=42R π如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P(A ·B)＝P(A)·P(B) 球的体和只公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 V =243R π()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C P p k n -=-= 其中R 表示球的半径一、选择题 1.已知集合{}30,31x M x N x xx ⎧+⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭,则集合{}1x x为( )A.M NB.M NC.()RMN D.()RMN答案：C解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。

依题{}{}31,3M x x N x x=-<<=-，∴{|1}M N x x ⋃=<，()RMN ={}1.x x2.135(21)lim(21)n n n n →∞++++-+等于( )A.14 B.12C.1D.2 答案：B解析：本小题主要考查对数列极限的求解。

依题22135(21)1limlim .(21)22n n n n n n n n →∞→∞++++-==++ 3.圆221x y +=与直线2y kx =+没有公共点的充要条件是( )A.(k ∈B.(,(2,)k ∈-∞+∞C.(k ∈D.(,(3,)k ∈-∞+∞答案：C解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。

依题圆221x y +=与直线2y kx =+没有公共点1d ⇔=>⇔(k ∈4.复数11212i i +-+-的虚部是( ) A.15i B.15 C.15i - D.15-答案：B解析：本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念。

2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编

2008-2018 江苏高考数学立体几何真题汇编（2008 年第16 题）在四面体ABCD 中，CB＝CD ，AD⊥BD，且E、F 分别是AB、BD 的中点，求证：（1）直线EF∥平面ACD（2）平面EFC⊥平面BCDBFEDC AE，F分别为AB，BD的中点? EF∥AD证明：（1）且AD? 平面ACD ，EF?平面ACD ? 直线EF ∥平面ACD?直线BD⊥平面EFCCB＝CD? CF⊥BDF是BD的中点A D⊥BD（2）? EF⊥BDEF ∥AD又BD? 平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD（2009 年第16 题）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1 中，E，F 分别是A1B，A1C 的中点，点 D 在B1C1 上，A1D⊥B1C .求证：（1）EF∥平面ABC（2）平面A1FD⊥平面BB1C1CA? C?DB?FEA CB证明：（1）由E，F 分别是A1B，A1C 的中点知EF∥BC，因为EF?平面ABC，BC? 平面ABC，所以EF∥平面ABC（2）由三棱柱ABC—A1B1C1 为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，又A1D? 平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，又因为A1D⊥B1C，CC1 ∩B1C＝C，CC1、B1C? 平面BB1C1C故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D? 平面A1FD ，故平面A1FD⊥平面BB1C1C（2010 年第16 题）如图，在四棱锥P—ABCD 中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD ＝90°．P （1）求证：PC⊥BC；（2）求点 A 到平面PBC 的距离．DCABPF证明：（1）因为PD⊥平面ABCD，BC? 平面ABCD，所以PD⊥BC．D由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，C 又PD∩DC＝D，PD、DC? 平面PCD，所以BC⊥平面PCD．AE B因为PC? 平面PCD，故PC⊥BC．解：（2）（方法一）分别取AB、PC 的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E 到平面PBC 的距离相等．又点 A 到平面PBC 的距离等于 E 到平面PBC 的距离的 2 倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD 于PC，因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF ⊥PC，所以DF⊥平面PBC 于F．易知DF＝22，故点 A 到平面PBC 的距离等于2．（方法二）等体积法：连接AC．设点 A 到平面PBC 的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD ＝90°，所以∠ABC＝90°．从而AB＝2，BC＝1，得△ABC 的面积S△ABC＝1．1由PD⊥平面ABCD 及PD＝1，得三棱锥P—ABC 的体积V＝×PD＝3S△ABC 13．因为PD⊥平面ABCD，DC? 平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD＝DC＝1，所以PC＝PD2＋DC 2＝2．由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC 的面积S△PBC ＝22．1由V A——PBC＝V P——ABC，×h＝V＝S3 △PBC 13，得h＝2，故点 A 到平面PBC 的距离等于2．（2011 年第16 题）如图，在四棱锥P－ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F 分别是AP、AD 的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD证明：（1）在△PAD 中，∵E，F 分别为AP，AD 的中点，∴BC∥AB，又∵EF ?平面PCD ，PD? 平面PCD，∴直线EF∥平面PCD（2）连接BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△PAD 为正三角形∵F 是AD 的中点，∴BF⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，BF? 平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面PAD又∵BF? 平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD（2012 年第16 题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，A1B1＝A1C1，D、E 分别是棱BC、CC1上的点（点 D 不同于点C），且AD⊥DE，F 为B1C1 的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1 ；（2）直线A1F∥平面ADE．证明：（1）∵是ABC－A1B1C1 直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC又∵AD? 平面ABC，∴CC1⊥AD又∵AD⊥DE，CC1，DE? 平面ADE，CC1∩DE＝E∴平面ADE⊥平面BCC1B1（2）∵A1B1＝A1C1，F 为B1C1 的中点，∴A1F⊥B1C1∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1 B1C1∴CC1⊥A1F又∵CC1，B1C1? 平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1∴A1F⊥平面BCC1B1，由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD又∵AD? 平面ADE ，A1F ?平面ADE，∴A1F∥平面ADE（2013 年第16 题）如图，在三棱锥S－ABC 中，平面平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AB＝AS，过A 作AF⊥SB，垂足为F，点E, G 分别是棱SA, SC 的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC ；（2）BC⊥SA．SE GFA CB证：（1）∵SA＝AB 且AF⊥SB，∴F 为SB 的中点．又∵E，G 分别为SA，SC 的中点，∴EF∥AB，EG∥AC．又∵AB∩AC＝A，AB 面SBC，AC? 面ABC，∴平面EFG∥平面ABC．（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF? 平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC? 平面SBC，∴AF⊥BC．又∵AB⊥BC，AF ∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA? 平面SAB，∴BC⊥SA．（2014 年第16 题）如图，在三棱锥P－ABC 中，D, E, F 分别为棱PC, AC, AB 的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF ＝5．求证：（1）直线PA∥平面DEF ；（2）平面BDE⊥平面ABC．证明：（1）∵D, E 为PC, AC 中点∴DE∥P A∵PA ?平面DEF ，DE? 平面DEF∴PA∥平面DEF（2）∵D, E 为PC, AC 中点∴DE＝P A2＝3∵E, F 为AC, AB 中点BC∴EF＝＝42∴DE2＋EF2＝DF 2∴∠DEF ＝90°，∴DE⊥EF ∵DE∥P A，PA⊥AC∴DE⊥AC∵AC∩EF＝ E∴DE⊥平面ABC∵DE? 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（2015 年第16 题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1 的中点为D，B1C∩BC1＝E求证：（1）DE∥平面 A A1CC1(2) BC1⊥AB1A CBD EA1 C1B1证明：（1）由题意知， E 为B1C 的中点，又 D 为AB1 的中点，因此DE∥AC.又因为DE ?平面A A1C1C，AC? 平面 A A1 C1C，所以DE∥平面 A A1C1C（2）因为三棱柱ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC因为AC? 平面ABC，所以AC⊥CC1，又因为AC⊥BC，CC1? 平面BCC1B1，BC? 平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1? 平面BCC1B1，所以BC1⊥AC因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1 是正方形，因此BC1⊥B1C因为AC，B1C? 平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC，又因为AB1 ? 平面B1AC，所以BC1⊥A B1（2016 年第16 题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，D、E 分别为AB、BC 的中点，点 F 在侧棱B1B 上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．C1B1A1FCEBA D证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，A1C1∥AC在△ABC 中，因为D、E 分别为AB，BC 的中点，∴DE∥AC，于是DE∥A1C1又∵DE ?平面A1C1F，A1C1? 平面A1C1F，∴直线DE∥平面A1C1F（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，A1A⊥平面A1B1C1，∵A1C1? 平面A1B1C1，∴A1A⊥A1C1又∵A1C1⊥A1B1，A1A? 平面ABB1A1，A1 B1? 平面ABB1 A1，A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1∵B1D? 平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D又∵B1D⊥A1F，A1C1? 平面A1 C1F，A1F? 平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F∵B1D? 平面B1DE∴平面B1DE⊥平面A1C1F（2017 年第15 题）如图，在三棱锥A－BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E 与A、D 不重合）分别在棱AD，BD 上，且EF⊥AD .求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥ACAEB DFC证明：（1）在平面内，∵AB⊥AD，EF⊥AD∴EF∥AB又∵EF ? 平面ABC，AB? 平面ABC∴EF∥平面ABC（2）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BDBC? 平面BCD，BC⊥BD∴BC⊥平面ABD∵AD? 平面ABD∴BC⊥AD又∵AB⊥AD，BC∩AB＝B ，AB? 平面ABC，BC? 平面ABC∴AD⊥平面ABC又∵AC? 平面ABC，∴AD⊥AC（2018 年第15 题）在平行六面体ABCD－A1 B1C1 D1 中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：（1）AB∥平面A1 B1C；（2）平面ABB1 A1⊥平面A1 BCD1C1A1B1D CBA证明：（1）平行六面体ABCD－A1B1C1 D1 中，AB∥A1B1AB∥A1B1A1B1? 平面A1B1CAB?平面A1B1C? AB∥平面A1B1C（2）平行六面体ABCD－A1B1C1 D1AB∥A1B1?四边形A1B1BA 为菱形? AB1⊥A1B平行六面体ABCD－A1B1C1 D1 ? BC∥B1C1AB1⊥B1C1?AB1⊥BCAB1⊥A1BAB1⊥BCA1B∩BC＝B ? AB1⊥平面A1BCAB1? 平面A1BCBC? 平面A1BCAB1⊥平面A1 BCAB1? 平面A1B1BA? 平面ABB1 A1⊥平面A1BC。

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2008年高考数学试题分类汇编立体几何一．选择题：1．（上海卷13）给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ C ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要2.（全国一11）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ）A ．13B ．23C ．33D ．233.（全国二10）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ C ） A ．13B ．23C ．33D ．234.（全国二12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．25.（北京卷8）如图，动点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ B ）7.（四川卷８）设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )（Ａ）3,5,6 （Ｂ）3,6,8 （Ｃ）5,7,9 （Ｄ）5,8,98.（四川卷９）设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( B )A BCD MN P A 1B 1C 1D 1 yxA ．OyxB ．OyxC ．Oyx D ．O（Ａ）１条（Ｂ）２条（Ｃ）３条（Ｄ）４条9.（天津卷5）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是C（A ）βαβα⊥⊥,//,b a （B ）βαβα//,,⊥⊥b a （C ）βαβα//,,⊥⊂b a （D ）βαβα⊥⊂,//,b a10.（安徽卷4）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（D ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖11.（山东卷6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是D(A)9π （B ）10π (C)11π (D)12π12.（江西卷10）连结球面上两点的线段称为球的弦。

半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题的个数为CA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13.（湖北卷3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为B A.38π B. 328πC. π28D. 332π 14，（湖南卷5）设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( D )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α15.（湖南卷9）长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一球面上，且AB =2,AD =3,AA 1=1,则顶点A 、B 间的球面距离是( C )A.22πB.2πC.22πD.24π 16.（陕西卷9）如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈ ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ D ） A ．m n θϕ>>， B ．m n θϕ><， C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，17.（陕西卷14）长方体1111ABCD A BC D -的各顶点都在球O 的球面上，其中1::1:1:2A B A D A A =．A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则mn的值为．1218.（重庆卷 9)如解（9）图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是D （A ）V 1=2V (B) V 2=2V （C ）V 1> V 2（D ）V 1< V 219.（福建卷6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为DA.63 B.265C. 155D.10520.（广东卷5）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）21.（辽宁卷11）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF D IA HGBC EF D ABC侧视图1图2BEA ．BEB ． BEC ．BED ．A B a bl αβEF ，CD 都相交的直线（ D ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条22.（海南卷12）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ C ） A. 22 B. 32 C. 4 D. 5223.（海南卷15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。

已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为 ______43π 二．填空题：1.（天津卷13）若一个球的体积为π34，则它的表面积为________________．12π2.（全国一16）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于．61 3.（全国二16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）（两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．） 4.（四川卷15）已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于_______2_________。

5.（安徽卷16）已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =213,AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是43π6.（江西卷16）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。

如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）。

有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满PP图12图其中真命题的代号是： B,D （写出所有真命题的代号）．7.（福建卷15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 9π 8.（浙江卷14）如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于___________。

9π29.（辽宁卷14）在体积为43π的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BC =2，A ，C 两点的球面距离为33π，则球心到平面ABC 的距离为_________．32三．解答题： 1.（全国一18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ， AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ， ∴AF CE ⊥．2tan tan 2CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠= ，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．233AC CD CG AD ==，63DG =，22303EG DE DG =-=， 6CE =，则22210cos 210CG GE CE CGE CG GE +-∠==- ， 10πarccos 10CGE ⎛⎫∴∠=- ⎪ ⎪⎝⎭，即二面角C AD E --的大小10πarccos 10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．F OG A C D EB CD EAB2.（全国二19）（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥． ······················· 3分在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于122AA ACFC CE==，故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1AC ⊥平面BED ． ·························· 6分（Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角．·················· 8分 223EF CF CE =+=， 23CE CF CG EF ⨯==，2233EG CE CG =-=． 13EG EF =，12315EF FD GH DE ⨯=⨯=．又221126AC AA AC =+=，11563AG AC CG =-=． 11tan 55A GA HG HG∠==． AB CDEA 1B 1C 1D 1AB CDEA 1B 1C 1D 1 FH G所以二面角1A DE B --的大小为arctan55． ··············· 12分解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB == ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······················ 3分（Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =，故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥．又DB DE D = ，所以1AC ⊥平面DBE ． ·························· 6分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥ n ，1DA ⊥ n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ················· 9分 1AC，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 4214,cos 111=∙=CA n C A n C A n ．所以二面角1A DEB --的大小为14arccos42． ··············· 12分 3．（北京卷16）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP = ， PD AB ∴⊥．AC BC = ，ABC D EA 1B 1C 1D 1yx zP A CB PCD AB ∴⊥．PD CD D = ， AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂ 平面PCD ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC = ，AP BP =， APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC PC C = ，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP = ，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，362BE AB ==， 6sin 3BC BEC BE ∴∠==． ∴二面角B AP C --的大小为6arcsin3．（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ．平面APB 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ．CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A = ， PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂ 平面ABC ， PC CD ∴⊥．在Rt PCD △中，122CD AB ==，362PD PB ==， 222PC PD CD ∴=-=．332=⨯=PD CD PC CH ． ACBE P ACBDPH∴点C 到平面APB 的距离为233．解法二：（Ⅰ）AC BC = ，AP BP =， APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C = ，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂ 平面ABC ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．设(00)P t ，，． 22PB AB == ，2t ∴=，(002)P ，，．取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC = ，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =-- ，，，(211)EB =--，，，33622cos =⨯=∙=∠EBEC EB EC BEC ． ∴二面角B AP C --的大小为3arccos3．（Ⅲ）AC BC PC == ，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE = ，∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，．AC BP z x y HE233CH ∴= ． ∴点C 到平面APB 的距离为233． 4.（四川卷19）．（本小题满分12分）如，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，090,BAD FAB BC∠=∠=//=12AD ，BE //=12AF （Ⅰ）证明：,,,C D F E 四点共面；（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小；【解1】：（Ⅰ）延长DC 交AB 的延长线于点G ，由BC //=12AD 得12GB GC BC GA GD AD === 延长FE 交AB 的延长线于'G 同理可得''''12G E G B BE G F G A AF === 故''G B GB G A GA=，即G 与'G 重合因此直线CD EF 、相交于点G ，即,,,C D F E 四点共面。