2.2.3 直线的一般式方程-人教A版(2019)高中数学选修第一册课件(共22张PPT)
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直线的一般式方程(人教A版2019选修一)高二数学
解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经 过第四象限，则有a≤3.
变式探究2 本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若 直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过
第二象限，满足要求．
②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝
答案：2x－y＋1＝0
题型一 求直线的一般式方程 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－1，经过点 A(8，－2)； 2
(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3、－3；
2 (4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
解析：选择合适的直线方程形式．
②若 2a＋3＝0，即 a＝－32时，直线 l1：x＋5y－2＝0 与直线 l2： 5x－4＝0 不垂直．
③若 1－a≠0，且 2a＋3≠0，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存 在，k1＝－a1＋－2a，k2＝－2aa－＋13，
当 l1⊥l2 时，k1·k2＝－1，即(－a1＋－2a)·(－2aa－＋13)＝－1， 所以 a＝－1. 综上可知，当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
解析：∵kAB＝
m－2－3 －5－－2m
，直线x＋3y－1＝0的斜率为k＝－
13，∴由题意得－m5－＋52m＝－13，解得m＝4.故选A.
答案：A
4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 ________．
解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式 为：2x－y＋1＝0.
解析：(1)方法一 将直线 l 的方程整理为 y－35＝a(x－15)， ∴直线 l 的斜率为 a，且过定点 A(1，3)，
变式探究2 本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若 直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过
第二象限，满足要求．
②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝
答案：2x－y＋1＝0
题型一 求直线的一般式方程 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－1，经过点 A(8，－2)； 2
(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3、－3；
2 (4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
解析：选择合适的直线方程形式．
②若 2a＋3＝0，即 a＝－32时，直线 l1：x＋5y－2＝0 与直线 l2： 5x－4＝0 不垂直．
③若 1－a≠0，且 2a＋3≠0，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存 在，k1＝－a1＋－2a，k2＝－2aa－＋13，
当 l1⊥l2 时，k1·k2＝－1，即(－a1＋－2a)·(－2aa－＋13)＝－1， 所以 a＝－1. 综上可知，当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
解析：∵kAB＝
m－2－3 －5－－2m
，直线x＋3y－1＝0的斜率为k＝－
13，∴由题意得－m5－＋52m＝－13，解得m＝4.故选A.
答案：A
4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 ________．
解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式 为：2x－y＋1＝0.
解析：(1)方法一 将直线 l 的方程整理为 y－35＝a(x－15)， ∴直线 l 的斜率为 a，且过定点 A(1，3)，
新教材人教A版选择性必修第一册 2.2.3 直线的一般式方程 课件(43张)
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知直线l经过点P(2,3)且斜率为- 3 ,试求下列直线的一般式方程:
2
(1)直线l.
(2)与直线l平行,且过点(-3,1)的直线.
(3)与直线l垂直,且过点(0,-1)的直线.
【思维·引】1.化为斜截式,利用斜率、y轴上截距的符号判断. 2.根据条件,利用点斜式、斜截式写出直线方程,再化成一般式.
3.直线3x+2y+6=0在y轴上的截距为b,则b=
()
A.3 B.-2 C.2 D.-3
【解析】选D.3x+2y+6=0中,令x=0得y=-3,所以在y轴上的截距b=-3.
关键能力·素养形成
பைடு நூலகம்
类型一 直线的一般式方程
【典例】1.已知直线Ax+By+C=0(AB>0,BC>0),则直线不经过
()
A.第一象限
(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).
【解析】(1)由点斜式得y-(-2)=- 1(x-8),
2
即x+2y-4=0.
(2)由斜截式得y=2,即y-2=0.
(3)由截距式得 x ＋=y1,即2x-y-3=0.
3 3 2
(4)由两点式得 y 2 ＝,即x x3+y-1=0. 4 2 5 3
a
a
2,
则a-2= a 2,解得a=1或a=2,故直线l的方程为x+y+1=0或2x+y=0.
a
【内化·悟】 直线的一般式方程化斜截式方程时需要注意什么问题? 提示:必须考虑B是否为0,当B不等于0时才能化成斜截式方程,不确定时需要对B 分情况讨论.
2.2.3直线的一般式方程 ---(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
[易错警示] 利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所 求直线的斜率时要注意斜率不存在或者为0的情况.
[针对训练](1)过点(1,0),且与直线x-2y-2=0平行的直
线方程是( )
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
解析：(1)所求直线与直线x-2y-2=0 平行，故所求直线的斜 率 又直线过点(1,0),利用点斜式得所求直线方程为
在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一 条确定的 直线 ;反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一 个确定的 二 元 一 次 方 程 _表示.
预 习自测
1.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )
A.x-2y+7=0
B.2x+y-1=0
C.x-2y-5=0
D.2x+y-5=0
解析：设与直线x-2y+3=0平行的直线是x-2y+c=0(c≠3), 代入点(-1,3)得-1-6+c=0,得c=7,所以直线方程是x-
2y+7=0.
2.若方程Ax+By+C=0表示直线，则A,B应满足的条件为
( D)
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2+B2≠0
解析：A,B不能同时为0,则A²+B²≠0.
3x+4y-9=0.
法二 由 I′与 I平行，可设I′的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),将点(-1,3) 代入得m=-9.所以直线I′ 的方程为3x+4y-9=0.
[例3] 已知直线1的方程为3x+4y-12=0, 求直线l′ 的方程，使1′
[针对训练](1)过点(1,0),且与直线x-2y-2=0平行的直
线方程是( )
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
解析：(1)所求直线与直线x-2y-2=0 平行，故所求直线的斜 率 又直线过点(1,0),利用点斜式得所求直线方程为
在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一 条确定的 直线 ;反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一 个确定的 二 元 一 次 方 程 _表示.
预 习自测
1.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )
A.x-2y+7=0
B.2x+y-1=0
C.x-2y-5=0
D.2x+y-5=0
解析：设与直线x-2y+3=0平行的直线是x-2y+c=0(c≠3), 代入点(-1,3)得-1-6+c=0,得c=7,所以直线方程是x-
2y+7=0.
2.若方程Ax+By+C=0表示直线，则A,B应满足的条件为
( D)
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2+B2≠0
解析：A,B不能同时为0,则A²+B²≠0.
3x+4y-9=0.
法二 由 I′与 I平行，可设I′的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),将点(-1,3) 代入得m=-9.所以直线I′ 的方程为3x+4y-9=0.
[例3] 已知直线1的方程为3x+4y-12=0, 求直线l′ 的方程，使1′
2.2.3一般式方程 课件-山东省滕州市第一中学人教A版(2019版)高中数学选择性必修一
m2－2m－3
6－2m
（2）解：由直线l化为斜截式方程得 y＝2m2＋m－1x＋2m2＋m－1，
m2－2m－3 则2m2＋m－1＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.
方法总结
(1)方程Ax＋By＋C＝0表示直线，需满 足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距. 令y＝0可得在x轴上的截距. 若确定直线斜率存在，可将一般式化为 斜截式. (3)解分式方程注意验根.
直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
学习新知 直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
探究：
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线为：
(1)平行于x轴 A=0
(2)平行于y轴 (3)与x轴重合 (4)与y轴重合
B=0 A=0 且C=0 B=0 且C=0
典型例题
例1 已知直线经过点A(6,-4),斜率为
4
，求直线
的点斜式和一般式方程.
3
例2.把直线l的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式，求出直线l的斜 率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
分析：求直线l在x轴上的载距，即求直线l与x轴交点的横坐标，只要在直线l的方程 中令y=0即可得x的值。
2.2.3直线的一般式方程
复习回顾
1.点斜式方程
yy0k(xx0)
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程
ykxb
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况 ①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
yy 0 0 或 yy 0
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
xx00 或 xx0
2.2.3 直线的一般式方程
过A，B两点作直线，得 l
如图所示
课堂练习
1 根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程.
（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
（2）斜率为 ，且在y轴上的截距为4；
（3）经过两点A（2，-3），B（-1，-5）；
（4）在x, y 轴上的截距分别为2，-4.
课堂练习
1 根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程.
这也是关于 x, y 的二元一次方程 ，此时方程中 y 的系数为0 .
综上①②知，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 x, y 的
二元一次方程表示.
新知讲解
思考
2. 任意一个关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线吗？
对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A , B不同时为0 ) ，
由①②知，关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线.
新知讲解
直线的一般式方程
关于 x, y 的二元一次方程
Ax+By+C=0
(A , B不同时为0 )
叫做直线的一般式方程，简称一般式.
合作探究
探究
在方程 Ax+By+C=0 中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
① 平行于 x 轴？
② 平行于 y 轴？
（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
解： 由直线的点斜式方程可得 y-3=2(x-1)
整理得 2x-y+1=0
所以直线的一般式方程为2x-y+1=0
（2）斜率为 ，且在y轴上的截距为4；
解： 由直线的斜截式方程可得
= +
得一般式方程为 − + =
如图所示
课堂练习
1 根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程.
（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
（2）斜率为 ，且在y轴上的截距为4；
（3）经过两点A（2，-3），B（-1，-5）；
（4）在x, y 轴上的截距分别为2，-4.
课堂练习
1 根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程.
这也是关于 x, y 的二元一次方程 ，此时方程中 y 的系数为0 .
综上①②知，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 x, y 的
二元一次方程表示.
新知讲解
思考
2. 任意一个关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线吗？
对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A , B不同时为0 ) ，
由①②知，关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线.
新知讲解
直线的一般式方程
关于 x, y 的二元一次方程
Ax+By+C=0
(A , B不同时为0 )
叫做直线的一般式方程，简称一般式.
合作探究
探究
在方程 Ax+By+C=0 中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
① 平行于 x 轴？
② 平行于 y 轴？
（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
解： 由直线的点斜式方程可得 y-3=2(x-1)
整理得 2x-y+1=0
所以直线的一般式方程为2x-y+1=0
（2）斜率为 ，且在y轴上的截距为4；
解： 由直线的斜截式方程可得
= +
得一般式方程为 − + =
2.2.3 直线的一般式方程(课件)高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)
解得
，所以a＞1.
a
≤
−2或a＞1
≥ 0，
综上可知a≥1.
归纳总结
求直线过定点的2种方法
【变式练】已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，
直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
D．－
4
3
4
3
4
解析：直线方程的斜截式为：y＝－ x－3，斜率为－ .
3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为( B )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：根据题意，易知直线x－y－1＝0的斜率k＝1，由tan α＝k＝1，得α＝45°.
4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( D )
x y
所以直线为 1 ，即 x y 5 0 .
5 5
错因分析
求经过点 P 2,3 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
分析：讨论截距是否0,分别求出直线即可.
解：(1) 当截距为 0 时，即直线经过原点，方程为 3x 2 y 0 ；
(2) 当截距不为 0 时，设截距为,则直线为 + = 1，
即x＋0·y－x1＝0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程.
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By
＋C＝0(A，B不同时为0)来表示.
问题2
每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
C
，所以a＞1.
a
≤
−2或a＞1
≥ 0，
综上可知a≥1.
归纳总结
求直线过定点的2种方法
【变式练】已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，
直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
D．－
4
3
4
3
4
解析：直线方程的斜截式为：y＝－ x－3，斜率为－ .
3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为( B )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：根据题意，易知直线x－y－1＝0的斜率k＝1，由tan α＝k＝1，得α＝45°.
4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( D )
x y
所以直线为 1 ，即 x y 5 0 .
5 5
错因分析
求经过点 P 2,3 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
分析：讨论截距是否0,分别求出直线即可.
解：(1) 当截距为 0 时，即直线经过原点，方程为 3x 2 y 0 ；
(2) 当截距不为 0 时，设截距为,则直线为 + = 1，
即x＋0·y－x1＝0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程.
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By
＋C＝0(A，B不同时为0)来表示.
问题2
每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
C
人教A版选择性必修一课件2.2.2直线的两点式方程2.2.3直线的一般式方程
条件
两点式
P1(x1，y1)和 P2(x2，y2) 其中 x1≠x2，y1≠y2
截距式
在 x 轴上截距 a，在 y 轴上截距 b
图形
方程
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
xa＋by＝1
不表示垂直于坐标轴
适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 的直 线及过原点的 直
线
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
[母题探究] (变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反 数”变为：“在 x 轴上的截距是 y 轴上截距的 2 倍”，其它 条件不变，如何求解？ 解：①当直线 l 在两坐标轴上的截距均为 0 时，方程为 y＝25x， 即 2x－5y＝0 适合题意．
②当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为 0 时，可设方程为2xa＋ay ＝1，又 l 过点(5,2)，∴25a＋2a＝1，解得 a＝92. ∴l 的方程为 x＋2y－9＝0.
(1)不经过原点的直线都可以用方程xa＋by＝1 表示． (
)
(2)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都
可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． ( )
答案：(1)× (2)√
2．直线 x－2y＝4 的截距式方程是____________． 解析：求直线方程的截距式，必须把方程化为xa＋by＝1 的 形式，即右边为 1，左边是和的形式． 答案：x4＋－y2＝1
[想一想] 1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x，y 的
二元一次方程表示吗？ 提示：都可以． 2．每一个关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不 同时为零)都能表示一条直线吗？ 提示：都能表示一条直线．
人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 直线的两点式方程2.2.3 直线的一般式方程
(1)斜率是 3 ,且经过点A(5,3);
(2)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(3)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
分析:根据条件,选择恰当的直线方程的形式,最后化成一般式方程.
解:(1)由点斜式方程,得 y-3= 3(x-5),整理得 3x-y+3-5 3=0.
-5
(2)由两点式方程,得-1-5
方程
使用范围
x
a
斜率存在且不
为 0,不过原点
的直线
+
y
=1
b
2.过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是(
A.
3
+ =0
2
B.
2
+ =0
3
C.
2
+ =1
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D.
2
− =1
3
解析:由截距式,得所求直线的方程为2
答案:C
)
+
=1.
3
三、直线的一般式方程
1.我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做
使用范围
斜率存在,
且不为 0
的直线
2.在P1(x1,y1),P2(x2,y2)中,如果x1=x2或y1=y2,那么直线P1P2没有两点式方程.
当x1=x2时,直线P1P2垂直于x轴,直线方程为x-x1=0,即x=x1;当y1=y2时,直线
P1P2垂直于y轴,直线方程为y-y1=0,即y=y1.
3.过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是(
(2)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(3)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
分析:根据条件,选择恰当的直线方程的形式,最后化成一般式方程.
解:(1)由点斜式方程,得 y-3= 3(x-5),整理得 3x-y+3-5 3=0.
-5
(2)由两点式方程,得-1-5
方程
使用范围
x
a
斜率存在且不
为 0,不过原点
的直线
+
y
=1
b
2.过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是(
A.
3
+ =0
2
B.
2
+ =0
3
C.
2
+ =1
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D.
2
− =1
3
解析:由截距式,得所求直线的方程为2
答案:C
)
+
=1.
3
三、直线的一般式方程
1.我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做
使用范围
斜率存在,
且不为 0
的直线
2.在P1(x1,y1),P2(x2,y2)中,如果x1=x2或y1=y2,那么直线P1P2没有两点式方程.
当x1=x2时,直线P1P2垂直于x轴,直线方程为x-x1=0,即x=x1;当y1=y2时,直线
P1P2垂直于y轴,直线方程为y-y1=0,即y=y1.
3.过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是(
【数学课件】直线的点斜式、两点式、一般式方程课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
解：设直线方程为：y=kx+b
由已知得：43
kb 2k b
解方程组得：
k 1 b2Βιβλιοθήκη 所以，直线方程为: y=x+2
方程思想
由斜率公式得斜率 直线的点斜式方程为 所以，直线方程为: y=x+2
01 两点式方程
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上, 根据斜率相等可得：
2．直线 l 经过点 P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2 C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3
3．(教材二次开发：例题改编)在 y 轴上的截距为 2，且与直线 y＝－3x－4 平行的 直线的斜截式方程为________.
【练习】过点 P(6，－1)的直线 l 与 x 轴、y 轴的正方向分别交于点 A，B，且△AOB 的面积为 4，则 l 的方程是________.
a
直线的两点式方程
北京师范大学南山附属学校 陈诗韵 2023.09
00 复习
点斜式方程：y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点
截距式方程：y=kx+b k为斜率，b为截距
01 两点式方程
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
即：y 3 4 3 得: y=x+2
x 1 21
推广 已知直线经过P1(x1, y1)和P2(x2, y2)两点,求直线的方程．
即：y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
直线的一般式方程课件年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
叫做直线的一般式方程,简称一般式.
二元一次方程的系数对直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线：
(1)平行于x轴；
(2)平行于y轴;
(3)与x轴重合;
A=0 , B≠0 ,C≠0
A≠0 , B=0 , C≠0
A=0 , B≠0 ,C=0
y
y
l
o
C
y
B
x
o
C
B
B
C
(3) 直线在x轴的截距a,令y=0，解出 x
A
C
值，则 a
A
直线系方程
1.与直线l：Ax By C 0 平行的直线系方程为：
Ax By m 0 (其中m≠C，m为待定系数)
Ax By C 0 垂直的直线系方程为：
2.与直线l：
Bx Ay m 0 (其中m为待定系数)
:
A
x
B
y
C
0
，
l
:
A
x
B
y
C
0
3.直线 l
1
1
1
1
2
2
2
2
1 1 1
1 2 − 2 1 = 0
⇔
或
1 ∥ 1 ⟺
=
≠
1 2 − 2 1 ≠ 0
2 2 2
1 2 − 2 1 = 0
1 2 − 2 1 ≠ 0
1 ⊥ 2 ⇔ 1 2 + 1 2 = 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
二元一次方程的系数对直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线：
(1)平行于x轴；
(2)平行于y轴;
(3)与x轴重合;
A=0 , B≠0 ,C≠0
A≠0 , B=0 , C≠0
A=0 , B≠0 ,C=0
y
y
l
o
C
y
B
x
o
C
B
B
C
(3) 直线在x轴的截距a,令y=0，解出 x
A
C
值，则 a
A
直线系方程
1.与直线l：Ax By C 0 平行的直线系方程为：
Ax By m 0 (其中m≠C，m为待定系数)
Ax By C 0 垂直的直线系方程为：
2.与直线l：
Bx Ay m 0 (其中m为待定系数)
:
A
x
B
y
C
0
，
l
:
A
x
B
y
C
0
3.直线 l
1
1
1
1
2
2
2
2
1 1 1
1 2 − 2 1 = 0
⇔
或
1 ∥ 1 ⟺
=
≠
1 2 − 2 1 ≠ 0
2 2 2
1 2 − 2 1 = 0
1 2 − 2 1 ≠ 0
1 ⊥ 2 ⇔ 1 2 + 1 2 = 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
2_2_3直线的一般式方程课件-数学人教A版(2019)选择性必修第一册
•4.过点P(1,4)作直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上
•的截距之和最小时，求此直线的方程. •解1 由已知可设直线方程为 y 4 k( x 1). ： 令 x 0 , 得纵截距为 b k 4 ; 令 y 0 , 得横截距为 a 4 1 . k
•y
. •P(1,4)
试讨论：(1) l1 // l2 的条件是什么？
(2)l1 l2 的条件是什么？
方法一 (A2 0,
A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 A2 B2
B2
0l,1C与2 l2重0) 合方法1二l1
//
l2
BA11CB22
A2 B1 B2C1
•y
. •P(1,4)
•O
•x
即a 3, b 6时，a b达到最小值9，
此时直线的方程为x y 1, 即2x y 6 0. 36
优化设计小本
12.(多选题)三条直线 x+y=0,x-y=0,x+ay=3 围成一个三角形,则 a 的取值可以是 ( )
A.-1
B.1
C.2
D.5
典例
设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
解 由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1， 令 y＝0，则 x＝m22－m2－m6－3， ∴m22－m2－m6－3＝－3，得 m＝－53或 m＝3(舍去). ∴m＝－53.
12.CD 直线 x+y=0,x-y=0 都经过原点,而无论 a 为何值,直线 x+ay=3 总不能经过原点,
故只需直线 x+ay=3 与另两条直线均不平行即可,即 a≠±1.
2.2.3直线的一般式方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件
系数的几何意义： ①当 B≠0 时，则－AB＝k(斜率)，－CB＝b(y 轴上的截距)； ②当 B＝0，A≠0 时，则－CA＝a(x 轴上的截距)，此时不存在斜
率．
例1 已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 - 4 ，求直线
的点斜式和一般式方程.
3
经过点A(6，-4),斜率为 4 的直线点斜式方程为
（A、B不同时为0）.
思考2 每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不 同时为0）都表示一条直线吗？
当B≠0时，Ax+By+C=0可变y为 A x C
BB
表 示 过 点 （ 0 ， C ),斜 率 为 A 的 直 线 .
B
B
当B=0呢？ Ax+By+C=0可变x为 C .
表示．
约定：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现 分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.
思考：当 A＝0 或 B＝0 或 C＝0 时，方程 Ax＋By＋C＝0 分别表 示什么样的直线？
[提示] (1)若 A＝0，则 y＝－CB，表示与 y 轴垂直的一条直线． (2)若 B＝0，则 x＝－CA，表示与 x 轴垂直的一条直线． (3)若 C＝0，则 Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．
A1A2B1B2 0
【例 2】 (1)已知直线 l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 l2：mx＋
3y－2＝0 平行，求 m 的值；
(2)当 a 为何值时，直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0 与直线 l2：
(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0 互相垂直． 点拨：
[解] 法一：(1)由 l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0两，直线斜率存在，斜率相等，
数学人教A版(2019)选择性必修第一册2.2.3直线的一般式方程(共17张ppt)
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程， 我们发现 , 它们都是关于x，y的二元一次方程 . 直线与二 元一次方程是否都有这种关系呢?下面我们探讨这个问题.
思考? (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x， y的二元一次方程表示吗？ (2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
y
B(0, 3),过A, B两点作直线,就得到直线l. 4
在直角坐标系中画直
3B
线时，通常找出直线与两
2
条坐标轴的交点，然后连 A
1 x
接这两个点．
6 5 4 3 2 1 O 1 2 3
1
结合例6，我们可以从几何角度看一个二元一次方程，
即一个二元一次方程表示一条直线．
直线系方程:
1)与直线l：Ax+By+C =0 平行的直线系方程为：
y 1 x 3.
因此,
直线l的斜率k
1
,
2 它在y轴上的截距是3.
2
在直线l的方程x 2 y 6 0中, 令y 0, 得x 6,
即直线l在x轴上的截距是 6.
例6 把直线的一般式方程x 2 y 6 0化为斜截式,求
出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距, 并画出图形.
由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(6, 0),
化为一般式, 得4x 3 y 12 0.
例6 把直线的一般式方程x 2 y 6 0化为斜截式,求
出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距, 并画出图形.
分析：求直线l在x轴上的截距, 即求直线l与x轴交点的
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程， 我们发现 , 它们都是关于x，y的二元一次方程 . 直线与二 元一次方程是否都有这种关系呢?下面我们探讨这个问题.
思考? (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x， y的二元一次方程表示吗？ (2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
y
B(0, 3),过A, B两点作直线,就得到直线l. 4
在直角坐标系中画直
3B
线时，通常找出直线与两
2
条坐标轴的交点，然后连 A
1 x
接这两个点．
6 5 4 3 2 1 O 1 2 3
1
结合例6，我们可以从几何角度看一个二元一次方程，
即一个二元一次方程表示一条直线．
直线系方程:
1)与直线l：Ax+By+C =0 平行的直线系方程为：
y 1 x 3.
因此,
直线l的斜率k
1
,
2 它在y轴上的截距是3.
2
在直线l的方程x 2 y 6 0中, 令y 0, 得x 6,
即直线l在x轴上的截距是 6.
例6 把直线的一般式方程x 2 y 6 0化为斜截式,求
出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距, 并画出图形.
由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(6, 0),
化为一般式, 得4x 3 y 12 0.
例6 把直线的一般式方程x 2 y 6 0化为斜截式,求
出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距, 并画出图形.
分析：求直线l在x轴上的截距, 即求直线l与x轴交点的
【课件】直线的一般式方程+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
法二 由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直
解（2）法一 ∵ kl=－34, l′与 l 垂直，∴l′的斜率为43，又 l′过点(－1,3)，
2
63
ly
y
l
y
5
l
O
4x
• (-2,1)
yl
2 3
O5 x
3
(1)
-5
(2)
O
x
4 O
x
7
(3)
(4)
练习3、若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)求实数m的范围； (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
[解] (1)由mm2－－23＝m0＋，2＝0， 解得 m＝2，
A=k B=－1 C
y 直线l的斜率为k l
O P0
x
②倾斜角α=90°,k不存在
x x0 0 即x 0 y x0 0
A=1 B=0 C 结论：1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示
二元一次方程: Ax By C 0
思考2：所有二元一次方程都表示直线吗？
①当B≠0时，y
A B
x
x y 1 （4）已知直线 l 过点 A(3, 0), B(0, 4) ，则直线 l 方程为_____3___4________.
【发现】
（1） y 3 3(x 5) 3x y 3 5 3 0 ，
（2） y 5x 3 5x y 3 0
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直
解（2）法一 ∵ kl=－34, l′与 l 垂直，∴l′的斜率为43，又 l′过点(－1,3)，
2
63
ly
y
l
y
5
l
O
4x
• (-2,1)
yl
2 3
O5 x
3
(1)
-5
(2)
O
x
4 O
x
7
(3)
(4)
练习3、若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)求实数m的范围； (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
[解] (1)由mm2－－23＝m0＋，2＝0， 解得 m＝2，
A=k B=－1 C
y 直线l的斜率为k l
O P0
x
②倾斜角α=90°,k不存在
x x0 0 即x 0 y x0 0
A=1 B=0 C 结论：1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示
二元一次方程: Ax By C 0
思考2：所有二元一次方程都表示直线吗？
①当B≠0时，y
A B
x
x y 1 （4）已知直线 l 过点 A(3, 0), B(0, 4) ，则直线 l 方程为_____3___4________.
【发现】
（1） y 3 3(x 5) 3x y 3 5 3 0 ，
（2） y 5x 3 5x y 3 0