2019高考数学常考题型专题01三视图问题理
高考三视图(含解析)理试题(卷)汇总
专题21三视图SUBA. 2 n B • 3 n C【答案】B【解析】综合三视圄可知』几何体是一个半轻炸1的半个球体.且表面积是底面积与半球面积的和丿其表面枳3=丄敦4“+疋2=31t-故选B.2点睛：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.2.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧1 •某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(【解析】由正视图和俯视图还原几何体如图所示，由正视图和俯视图对应线段可得AB BD AD 2，当BC 平面ABD时，BC=2，ABD的边AB上的高为、3，只有B选项符合，当BC不垂直平面ABD时，没有符合条件的选项，故选 B.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图. 2•三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据3.某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）B【答案】BA. 4 B . 2.2 C . 20 D . 83【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形』正方形的边长为2. 口D=3,BF=1,将相同的两个几何体拼在V』构成一个高为斗的长方饥所臥该几何体的体积為煜x仁仪4.如图，正三棱柱ABC ABG的主视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为（）【答案】D【解析】依题意知，此正三棱拄底面定边长为4的正三角形，接柱高为也其侧视囹为矩形，其一边长为2語,一启一边长訶4,故其面积2斗><2曲=8曲；故选D点睛：三视图问题的常见类型及解题策略⑴由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图•先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式•当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.原几何体为组合体;上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示),A. 16 B 2 3 C . 4 3 D . 8,35.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )8 8 (C) 16 16 (D) 8 16将三视图还原为原来的几何体,再利用体积公式求解.其体积为V 4 2 2122 4 16 8 .故选A; 26•如图5，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为( )(A) 6,2 (B) 4、2 (C) 6 (D)4【答案】C原几何体为三機锥D-A^C, M 中Aff^BC=i r AC=^D^ = DC=2^ ?QN二旳*叭庁)+4 = 6,故最长的棱的长度为= 选C点睛：对于小方格中的三视图，可以放到长方体，或者正方体里面去找到原图，这样比较好找；7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()24 2【解析】如图所示A【解析】由已知三视图得到几何体是一个正方怀割去半轻为2的丄个球」所以表面积为S3 12试4&一亦於+ —><4亦囚・24巧故选：A4S&已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）iEttffl 博视图A. 12十2&+2后B . 12+ 也+2 后C . 12 + 2辽十曲D . |12 +V2 + .J【答案】A【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,1=-5< 2*2 = 221 =-X2M4=421S ABCD =~X（2+4）X2=69.一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体如图，P A丄平面ABCD , 朋=2 , AD = 4,医=2 ,经计算，PD = 2石，P匚=«亍，Dt = 2調，•••可••.,故选A.3D. 35 2.2【答案】A 【解析】试題分析；扌艮据三视图可知几何体是组合体；左边罡直三棱柱、右边是半个圆柱，直三棱柱的底面是等腰 亶角三角形，直角边是1,侧犧长是茶圆柱的底面半径是1,母线长是2,二该几何体的体积V =ixlxlx2十丄芝二臥十1・故选；乩2 2考点：由三视图求体积.10•如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积【答案】C 【解析】A.1 B2C. 2 1的体积是（为（3D. 41 2 体积为—2 2 2 1 4 —3 3试题分析：相当于一个圆锥和一个长方体，故考点：三视图.11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（【解析】试题分析：该几何休的直观團如园所示，连接妙,则该几何体由直三棱柱血D-和四棱锥一吨组合而成，其和易22 +扌心后专詈故应选扎12. 一个几何体的三视图如图所示 ，则该几何体的体积为A.14~316~3D. 6【答案】A考点：三视图.1【答案】-3【解析】本题考查三视图、四棱锥的体积计算等知识，难度中等•由三视图可知该几何体是底1 1面为长和高均为1的平行四边形，高为1的四棱锥，故其体积为V - 1 1 1 - •3 3。
2019年陕西省高考数学试题(理科)及答案解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x =M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 613. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13(D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D) 4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z = (D) 若12||z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定8.设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20(B) 20 (C) －15(D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是(A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30](D) [20,30]10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有(A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ] (C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.13. 若点(x, y)位于曲线|1|=-与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为.y x14. 观察下列等式:2=1122-=-123222-=+31262222+-=-310-124…照此规律, 第n个等式可为.15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为.x三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==1A(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数. (Ⅲ) 设a <b , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.。
2019数学(理)二轮精选讲义专题五 立体几何 第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积 含答案
专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正（主)视图的下面,长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正(主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝错误!S。
[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(）［解析］两个木构件咬合成长方体时，小长方体（榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A。
[答案］A2．（2018·河北衡水中学调研）正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为棱BB1的中点(如图),用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）[解析］过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C。
［答案］C3．（2018·江西南昌二中模拟）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A．8 B．4 C．4错误!D．4错误![解析］由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB ＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP ＝12，S△BCD＝错误!×4错误!×2＝4错误!，故选D。
［答案]D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析]直观图的面积S′＝错误!×（1＋1＋错误!)×错误!＝错误!.故原平面图形的面积S＝错误!＝2＋错误!.[答案]2＋错误![快速审题］（1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2）看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法,想到原图形与直观图的面积比为错误!.由三视图还原到直观图的3步骤(1）根据俯视图确定几何体的底面．(2）根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．（3）确定几何体的直观图形状．考点二空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式（1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；(2)S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高)；(3）S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′,c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；(2)V锥体＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）；(3)V台＝错误!(S＋错误!＋S′）h(不要求记忆）．3．球的表面积和体积公式S表＝4πR2(R为球的半径）,V球＝43πR3(R为球的半径）．[对点训练]1．(2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位:cm）,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6 cm3.[答案]C2．（2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（)A.错误!＋2B.错误!＋2C.错误!＋3 D。
2015-2019全国卷高考数学分类汇编——三视图
2014年1卷12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A. B.C .6 D .42014 26.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. 1727B. 59C. 1027D. 132015年1卷11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20π，则r ＝ (A )1 (B )2 (C )4 (D )82015年2卷（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）512016年1卷（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）2016-2（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π2016-3(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，学.科.网则该多面体的表面积为（）（A）18+（B）54+（C）90（D）812017-17．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．162017-24.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π2018-17．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．22018-33．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是。
2019版高考数学(理科)总复习5.1三视图与几何体的体积、表面积练习.docx
2019 版高考数学（理科）总复习5.1三视图与几何体的体积、表面积命题角度 1 空间几何体三视图的识别与画法高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼 ,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 ,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案 A解析根据三视图原则,从上往下看 ,看不见的线画虚线,则 A 正确 .2.(2018全国Ⅰ·7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N的路径中 ,最短路径的长度为()A .2 B.2 C.3 D.2答案 B解析如图所示 ,易知N 为的中点 ,将圆柱的侧面沿母线MC 剪开 ,展平为矩形MCC'M' ,易知CN=CC'= 4,MC= 2,从 M 到 N 的路程中最短路径为MN.2019 版高考数学（理科）总复习在Rt△MCN 中 ,MN== 2.3.(2017北京·7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3B.2C.2D.2答案 B解析由题意可知 ,直观图为四棱锥A-BCDE (如图所示 ),最长的棱为正方体的体对角线AE== 2.故选 B .4.(2014全国Ⅰ·12)如图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4答案 B解析如图所示的正方体ABCD-A 1B1C1D1的棱长为 4.取 B1B 的中点 G,即三棱锥 G-CC 1D 1为满足要2019 版高考数学（理科）总复习求的几何体 ,其中最长棱为D1G,D1G== 6.5.(2013全国Ⅰ·7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为 ()答案 A解析如图所示 ,该四面体在空间直角坐标系O-xyz 的图象为下图 :则它在平面zOx 上的投影即正视图为,故选 A .新题演练提能·刷高分1.(2018河北衡水调研)某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为()答案 B解析由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其侧视图为矩形内有一条虚线 ,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项 B 符合题意 ,故选 B .2.(2018 河南濮阳一模 )如图 ,O1,O2为棱长为 a 的正方体的上、下底面中心,若正方体以 O1O2为轴顺时针旋转 ,则该正方体的所有正视图中最大面积是()2019 版高考数学（理科）总复习22A. aB. aC.a2D.2a2答案 B解析所有正视图中面积最大的是长为a,宽为 a 的矩形 ,面积为 a2,故选 B.3.(2018河北保定模拟)已知一几何体的正视图、侧视图如图所示 ,则该几何体的俯视图不可能是()答案 D解析由图可知 ,选项 D 对应的几何体为长方体与三棱柱的组合,其侧视图中间的线不可视,应为虚线 ,故选 D.4.(2018江西赣州十四县(市 )期中 )某几何体的三视图如图所示,则此几何体的各面中最大面的面积为 ()A.2B.2C.3D.2答案 B解析由三视图可得 ,该几何体为如图所示的三棱锥A1-BCD.结合三视图中的数据可得2S△BCD=×2 = 2,×2×2= 2,×2= 2,故此几何体的各面中最大面的面积为 2.选 B.5.(2018安徽合肥第二次质检)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的所有棱中,最短的棱长为 ()A.2B.C.1D.2答案 C解析由三视图可知原几何体是图中的三棱锥P-ABC ,其中 C 为棱的中点 .从图中可以看出棱AC 最短 ,因为 AC= 1,所以最短的棱长为1,故选 C.6.(2018安徽合肥第二次质检)在正方体ABCD-A 1B1C1D1中 ,E 是棱 A1B1的中点 ,用过点A,C,E 的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左 )视图为 ()答案 A解析如图所示 ,取 B1C1的中点 F,则 EF∥AC ,即平面 ACFE 亦即平面ACE 截正方体所得的截面,据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左 )视图如选项 A 所示 .7.(2018河南濮阳二模)已知三棱柱HIG-EFD 的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角 (如图①所示 ,A,B,C 分别是△GHI 三边的中点 )后得到的几何体如图②,则该几何体的侧视图为 ()答案 A解析因为平面DEHG ⊥平面EFD ,所以几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选 A .命题角度 2 空间几何体的体积、表面积高考真题体验·对方向1.(2015 全国Ⅰ·6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角 ,下周八尺 ,高五尺 .问 : 积及为米几何 ?”其意思为 :“在屋内墙角处堆放米 (如图 ,米堆为一个圆锥的四分之一 ),米堆底部的弧长为 8 尺 ,米堆的高为 5 尺 ,问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺 ,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A .14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛答案 B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8 尺 ,∴·2πR= 8,∴R=.2∴体积 V= ·πR h=×π××5.∴堆放的米约为≈22(斛).2.(2015山东·7)在梯形ABCD中,∠ABC= ,AD∥BC,BC= 2AD= 2AB= 2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B.C. D.2π答案 C解析由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.22V 圆柱 = π×1 ×2= 2π,V 圆锥 =×π×1 ×1=.∴V 几何体 =V 圆柱 -V 圆锥 = 2π-.2019 版高考数学（理科）总复习3.(2018全国Ⅱ·16)已知圆锥的顶点为S,母线 SA,SB 所成角的余弦值为,SA 与圆锥底面所成角为 45° .若△SAB 的面积为 5.则该圆锥的侧面积为.答案 40π解析设 O 为底面圆圆心 ,∵c os∠ ASB=,∴s in∠ ASB=.∴S△ASB=× |AS|·|BS|·= 5.2∴S A=4.∵SA 与圆锥底面所成的角为45° ,∠ SOA= 90° .∴S O=OA=SA= 2.∴S 圆锥侧 = πrl= 4×2×π= 40π.新题演练提能·刷高分1.(2018云南保山第二次统测)我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题: “有个金球里面空 ,球高尺二厚三分,一寸自方十六两,试问金球几许金?”意思是 : 有一个空心金球,它的直径 12 寸 ,球壁厚 0.3 寸 ,1 立方寸金重 1 斤 ,试问金球重是多少斤?(注π≈3)()A.125 .77B.864C.123.23D.369.69答案 C解析由题意知 ,大球半径R=6,空心金球的半径 r= 6-0.3= 5.7,则其体积 V= π(63-5.73)≈123.23(立方寸 ).因为 1 立方寸金重 1 斤 ,所以金球重 123.23 斤 ,故选 C.2.(2018福建宁德期末)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有筑城 ,上广二丈 ,下广五丈四尺 ,高三丈八尺 ,长五千五百五十尺 ,秋程人功三百尺.问 :须工几何 ?”意思是 : “现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为 2 丈、下底为 5.4 丈、高为3.8 丈 ,直棱柱的侧棱长为 5 550 尺 .如果一个秋天工期的单个人可以筑出300 立方尺 ,问 :一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注: 一丈等于十尺 )()A.24 642B.26011C.52 022D.78 033答案 B解析根据棱柱的体积公式 ,可得城墙所需土方为×38×5 550= 7 803 300( 立方尺 ),一个秋天工期所需人数为 = 26 011,故选 B .3.(2018山西太原一模)三棱锥D-ABC中 ,CD ⊥底面ABC ,△ABC 为正三角形,若 AE ∥CD,AB=CD=AE=2,则三棱锥 D-ABC与三棱锥E-ABC 的公共部分构成的几何体的体积为()A. B. C. D.答案 B解析根据题意画出如图所示的几何体:2019 版高考数学（理科）总复习∴三棱锥 D-ABC 与三棱锥E-ABC 的公共部分构成的几何体为三棱锥F-ABC.∵△ABC 为正三角形 ,AB= 2,∴S△ABC=×2×2×.∵CD⊥底面 ABC,AE∥ CD ,CD=AE= 2,∴四边形 AEDC 为矩形 ,则 F 为 EC 与 AD 的中点 ,∴三棱锥 F-ABC 的高为 CD= 1, ∴三棱锥 F-ABC 的体积为 V=× 1=. 故选 B .4.(2018四川雅安模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图所示 ,四边形 ABCD 是矩形 ,棱 EF∥ AB ,AB= 4,EF= 2,△ADE 和△BCF 都是边长为 2 的等边三角形 ,则这个几何体的体积是 ()A. B. +2C. D.答案 C解析过点 E 作 EG⊥平面 ABCD ,垂足为点G,过点 F 作 FH ⊥平面 ABCD,垂足为点H,过点 G 作 PQ∥ AD ,交 AB 于点 Q,交 CD 于点 P,过点 H 作 MN ∥BC ,交 AB 于点 N,交 CD 于点 M,如图所示 :∵四边形 ABCD 是矩形 ,棱 EF∥ AB,AB= 4,EF= 2,△ADE 和△BCF 都是边长为 2 的等边三角形 ,∴四边形 PMNQ 是边长为 2 的正方形 ,EG= ,∴这个几何体的体积为V=V E-AQPD +V EPQ-FMN +V F-NBCM =×1×2××2+×2××2=+ 2.故选 C.5.(2018上海虹口期末质量监控)已知M,N 是三棱锥P-ABC 的棱AB,PC 的中点 ,记三棱锥P-ABC 的体积为V1,三棱锥 N-MBC 的体积为V2,则等于.答案解析如图 ,设三棱锥P-ABC 的底面积为S,高为 h.∵M 是 AB 的中点 ,∴S△BMC=S.∵N 是 PC 的中点 ,2019 版高考数学（理科）总复习∴三棱锥 N-MBC 的高为 h,则V1=Sh,V2=S× h=Sh,∴.故填 .6.(2018河北唐山二模)在四棱锥 S-ABCD 中 ,SD⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 是正方形 ,SD=AD= 2,三棱柱 MNP-M 1N1 P1的顶点都位于四棱锥S-ABCD 的棱上 ,已知 M,N,P 分别是棱 AB,AD,AS 的中点 ,则三棱柱 MNP-M 1N1P1的体积为.答案 1解析由题得 M1是 BC 中点 ,N1是 DC 中点 ,P1是 SC 中点 ,PN= 1,MN= ,且 PN⊥MN ,所以三棱柱MNP-M 1N1P1的底面积为×1×.由题得正方形的对角线长2,三棱柱 MNP-M 1N1P1的高为×2,所以三棱柱MNP-M 1N1P1的体积为 = 1,故填 1.命题角度 3 三视图还原与几何体的体积、表面积高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅰ·7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成 ,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形 ,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A .10 B.12 C.14 D.16答案 B解析由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为 2,则 S 梯= (2+ 4)×2÷2= 6,所以这些梯形的面积之和为12.2.(2017全国Ⅱ·4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()2019 版高考数学（理科）总复习A .90π B.63π C.42π D.36π答案 B解析由题意 ,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为 6 的圆柱截去一半后的图形和高为 4 的圆柱 ,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为 V=× π×32×6+ π×32×4=63π,故选B.3.(2016全国Ⅰ·6)如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 ()A.17 πB.18πC.20πD.28 π答案 A解析由三视图可知该几何体是球截去后所得几何体3,则×R= ,解得 R=2,所以它的表面积为×4πR2+×πR2= 14π+ 3π= 17π.4.(2016全国Ⅱ·6)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20 πB.24πC.28πD.32 π答案 C解析由题意可知 , 该几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成 , 圆柱的侧面积为S1= 2π×2×4= 16π,圆锥的侧面积为S2=×2π×2×=8π,圆柱的底面面积为S3= π×22= 4π,故该几何体的表面积为S=S1 +S2+S 3= 28π,故选 C.5.(2016 全国Ⅲ·9)如图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18 +36B.54 + 18C.90D.81答案 B解析由三视图知该几何体是平行六面体 ,且底面是边长为 3 的正方形 ,侧棱长为 3,所以该几何体的表面积为 S= 2×3×6+ 2×3×3+ 2×3×3= 54+ 18,故选 B.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山二模)如下图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图 ,则其表面积为()A.2 πB.5πC.8 πD.10 π答案 C解析由题得几何体原图是球被切割后剩下的, 所以它的表面积由三个部分组成,所以S=×4π×22+×π×22+×π×22= 8π.故选 C.2.(2018山西太原二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.答案 D解析三视图还原是四棱锥,如图所示 .AC⊥ AD ,PD ⊥底面 ABCD ,PD=AD=BC=AC= 1,所以体积 V=× (1×1)×1= ,故选 D .3.(2018河北石家庄一模)如图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.8 + 3πB.8+ 4πC.8+5πD.8+ 6π答案 D解析由题图可知 ,几何体为半圆柱挖去半球体,几何体的表面积为2×+4π+ 2×4-π+= 8+ 6π,故选D.4.(2018东北三省三校二模)如图所示 ,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,则该三棱锥的体积为 ()A.3B.4C.6D.8答案 B解析如图所示 ,在长、宽、高分别为4,2,3 的长方体中 ,三棱锥 P-ABC 对应几何体的三视图即题中的三视图 ,据此可得该几何体的体积:V=×S× PC=× ×2×4×3= 4.故选B.△ABC5.(2018福建福州3月质检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图 ,则该几何体的体积为()A. π+ 6B. +6C.+ 6D.+ 2答案 C解析由三视图可知,该几何体为组合体:上方为半个圆锥,下方为放倒的直四棱柱,∴该几何体的体积为×π×2+×(1+ 2)×2×2=+ 6,故选 C.6.(2018江西教学质量监测)若一个空间几何体的三视图如图所示,且已知该几何体的体积为π,则其表面积为 ()A.6 π+4B.6πC.π+ 2D.π+答案 A解析该几何体是半个圆锥 ,则 V=× πr2× r=π,解得 r= 2,母线长为 l= 2r ,所以其表面积为S=πrl+ πr2+×2r × r= r 2=6π+ 4,故选 A .7.(2018湖南、江西十四校第一次联考)已知一个棱长为 2 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图 (单位 :cm) 如图所示 ,则该几何体的体积是 ()A. cm 3B.4 cm 3C. cm3D. cm32019 版高考数学（理科）总复习答案 D解析由三视图得原几何体如图所示 ,在正方体 ABCD-A 1B1C1D 1中 ,由平面 AB1D1 ,平面 CB1D 1截得的几何体 ,它的体积为一个正方体的体积减去两个底面为等腰直角三角形的三棱锥的体积,即 V= 23-2×× S× 8h=-2××2= (cm 3).故选 D.8.(2018安徽江南十校 3 月联考 )某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成 ,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为 ()A.3 π+4B.4( π++ 1)C.4(π+ )D.4( π+ 1)答案 A解析由三视图知几何体的上半部分是半圆柱, 圆柱底面半径为1,高为2,其表面积为S1= π×2×1×+π×12= 3π,下半部分为正四棱锥 ,底面棱长为 2,斜高为 ,其表面积 S2= 4× ×2× = 4,所以该几何体的表面积为S=S1+S 2= 3π+ 4.故选 A .9.(2018山东济南一模)某几何体的三视图如图所示,其中正视图的轮廓是底边为2,高为 1 的等腰三角形 ,俯视图的轮廓为菱形 ,侧视图是个半圆.则该几何体的体积为.答案π解析由三视图可知 ,该几何体是一个组合体 ,它由两个底面重合的半圆锥组成 ,圆锥的底面半径为 1,高为 ,所以组合体的体积为 2××π×12×π,故答案为π.命题角度 4 球与几何体的切、2019 版高考数学（理科）总复习接问题高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·10)设A,B,C,D是同一个半径为 4 的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为 9,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为()A .12 B.18 C.24 D.54答案 B解析由△ABC 为等边三角形且面积为9,设△ABC 边长为 a,则 S=a·a= 9.∴a= 6,则△ABC 的外接圆半径 r=a= 2<4.设球的半径为R,如图 ,OO 1== 2.当D 在 O 的正上方时 ,V D-ABC =S△ABC·(R+|OO 1|)=×9×6= 18,最大 .故选 B.2.(2017全国Ⅲ·8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A. πB.C.D.答案 B解析由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,则AC= 1,AB= ,底面圆的半径r=BC= ,所以圆柱的体积是3.(2016全国Ⅲ·10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1 BC,AB= 6,BC= 8,AA1= 3,则 V 的最大值是 ()2V= πr h= π××1= ,故选 B.内有一个体积为V 的球 . 若AB ⊥A.4 πB.C.6 πD.答案 B解析由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切 .设球的半径为R,易得△ABC 的内切球的半径为=2,则 R≤ 2.因为 2R≤ 3,即 R≤ ,所以 V max= ,故选 B .4.(2015全国Ⅱ·9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB= 90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 ()A.36 πB.64πC.144πD.256π答案 C解析由△AOB 面积确定 ,若三棱锥 O-ABC 的底面 OAB 的高最大 ,则其体积才最大 .因为高最大为半径 R,所以 V O-ABC =R2× R=36,解得 R=6,故 S 球 = 4πR2= 144π.新题演练提能·刷高分1.(2018河南六市一模)在三棱锥S-ABC 中 ,SB⊥ BC,SA⊥ AC,SB=BC,SA=AC ,AB=SC ,且三棱锥。
专题1 空间几何体的三视图(1)-2019年高考数学考点讲解与真题分析
专题2 空间几何体的三视图（1）-2019年高考数学考点讲解与真题分析复习目标：（1）柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画出它们的直观图。
（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. 空间几何体的分类及基本概况1、棱柱（1）基本图形及三视图；（2）结构特征：有两个互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行，上、下两个全等的面为棱柱的底面，其它各面为棱柱的侧面，侧面的个数与底面多边形的边数相同，根据底面的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。
2、圆柱（1）基本图形及三视图（2）结构特征：由三个面组成，有上、下两个底面，这两个底面是半径相同的圆，其侧面可展成一个长方体，圆柱的侧面不同于棱柱的侧面，棱柱的侧面是平的，而圆柱的侧面是曲的，圆柱与一个底面相交只有一条线，它是一个圆。
3、棱锥（1）基本图形及三视图（2）结构特征：它有两个本质特征有一个面是多边形；其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可，因此棱锥是有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面所围成的几何体。
4、圆锥（1）基本图形及三视图（2）结构特征：有一个底面，且底面是圆，一个顶点，其侧面一定可以展成扇形。
5、棱台（1）基本图形及三视图（2）结构特征：上、下两个不等的面为棱台的底面，这两个底面及平行于底面的截面都是相似多边形；其它各面为棱台的侧面，棱台的侧面都是梯形，棱台的侧棱延长后都相交于同一点，过不相邻的侧棱的截面是梯形。
6、圆台（1）基本图形及三视图（2）结构特征：由三个面组成，上、下底面为半径不等的圆形，侧面可展成扇环形。
三视图高考类型题-老师专用汇总
三视图类型题题型一三视图识图例1将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧(左)视图为()破题切入点根据三视图先确定原几何体的直观图和形状，然后再解题．答案 B解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．题型二空间几何体的表面积和体积例2如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为()A．363(π＋2) B．363(π＋2)C．1083π D．108(3π＋2)破题切入点先根据三视图的结构特征确定几何体的构成——半圆锥与棱锥的组合体，然后把三视图中的数据转化为该组合体的数字特征，分别求出对应几何体的体积，则两者体积之和即该组合体的体积．答案 B解析由俯视图，可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成，结合正视图和侧视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的，并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合，两个锥体的高相等．由三视图中的数据，可得该圆锥的底面半径r ＝6，三棱锥的底面是一个底边长为12，高为6的等腰三角形，两个锥体的高h ＝122－62＝63， 故半圆锥的体积V 1＝12×13π×62×63＝363π.三棱锥的底面积S ＝12×12×6＝36，三棱锥的体积V 2＝13Sh ＝13×36×63＝72 3.故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝363π＋72 3 ＝363(π＋2)．故选B.题型三 立体几何中的计算综合问题例3 (2014·陕西)四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四面体EFGH 是矩形．破题切入点 由三视图和几何体得知原几何体中各元素的量和性质来求解． (1)解 由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明 ∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ， ∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形．总结提高 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高． (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)立体几何中有关表面积、体积的计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等．1．(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.2．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727 B.59C.1027D.13答案 C解析 由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4 cm ，底面半径为2 cm ，右面圆柱的高为2 cm ，底面半径为3 cm ，则组合体的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm 3)，原毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)，则所求比值为54π－34π54π＝1027.3．(2014·浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2答案 D解析 该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm ，3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm,5 cm ，所以表面积S ＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋⎝⎛⎭⎫5×3＋4×3＋2×12×4×3＝99＋39＝138(cm 2)．4．(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72答案 B解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，直角梯形ABP A 1的面积为12×(2＋5)×4＝14，计算可得A 1P ＝5.直角梯形BCC 1P 的面积为12×(2＋5)×5＝352.因为A 1C 1⊥平面A 1ABP ，A 1P ⊂平面A 1ABP ，所以A 1C 1⊥A 1P ，故Rt △A 1PC 1的面积为12×5×3＝152.又Rt △ABC 的面积为12×4×3＝6，矩形ACC 1A 1的面积为5×3＝15，故几何体ABC －A 1PC 1的表面积为14＋352＋152＋6＋15＝60.5．两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内部，且互相外切，若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切，球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切，则球O 1和球O 2的表面积之和的最小值为( ) A ．(6－33)π B ．(8－43)π C ．(6＋33)πD ．(8＋43)π答案 A解析 设球O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2， 由题意知O 1A ＋O 1O 2＋O 2C 1＝3，而O 1A ＝3r 1，O 1O 2＝r 1＋r 2，O 2C 1＝3r 2， ∵3r 1＋r 1＋r 2＋3r 2＝ 3.∴r 1＋r 2＝3－32， 从而S 1＋S 2＝4πr 21＋4πr 22＝4π(r 21＋r 22)≥4π·(r 1＋r 2)22＝(6－33)π.6．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S —ABC 的体积为( ) A ．3 3B ．2 3C. 3D ．1答案 C解析 如图，过A 作AD 垂直SC 于D ，连接BD .由于SC 是球的直径，所以∠SAC ＝∠SBC ＝90°，又∠ASC ＝∠BSC ＝30°，又SC 为公共边， 所以△SAC ≌△SBC . 由于AD ⊥SC ，所以BD ⊥SC . 由此得SC ⊥平面ABD .所以V S —ABC ＝V S —ABD ＋V C —ABD ＝13S △ABD ·SC .由于在Rt △SAC 中，∠ASC ＝30°，SC ＝4， 所以AC ＝2，SA ＝23，由于AD ＝SA ·CA SC ＝ 3.同理在Rt △BSC 中也有BD ＝SB ·CBSC ＝ 3.又AB ＝3，所以△ABD 为正三角形，所以V S —ABC ＝13S △ABD ·SC ＝13×12×(3)2·sin 60°×4＝3，所以选C.7．(2014·辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4答案 B解析 这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2， V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.8．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )A.2π3＋12 B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12答案 C解析 由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，所以三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt △ABC 是半球底面的内接三角形，所以球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，所以半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.9．(2014·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．答案 2 2解析 根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P －ABC .由三视图的形状特征及数据，可推知P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2. 底面为等腰三角形，AB ＝BC ， 设D 为AC 的中点，AC ＝2， 则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ， PC ＝P A 2＋AC 2＝2 2.10．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________． 答案33解析 如图，作PM ⊥平面ABC ，设P A ＝a ，则AB ＝2a ，CM ＝63a ， PM ＝33a . 设球的半径为R ， 所以⎝⎛⎭⎫33a －R 2＋⎝⎛⎭⎫63a 2＝R 2， 将R ＝3代入上式，解得a ＝2，所以d ＝3－233＝33.11．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示．因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R H x ，所以S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR H x 2(0<x <H )．(2)因为－2πRH<0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H2时，S 圆柱侧最大．故当x ＝H2，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．12．(2014·北京)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点． (1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积．(1)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1， 又因为AB ⊂平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明 取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG . 又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.。
专题1 三视图方法总结及例题(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题1：三视图方法总结及例题（解析版）一.空间几何体的三视图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 二.空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350）③画对应图形在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：42S ⋅=原图形直观图S一，切割法例1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A．20B．24C．18D．16【答案】A【分析】由三视图还原出该几何体的直观图，如图所示，该几何体是一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的，然后计算体积即可【详解】解：由几何体的三视图还原出该几何体的直观图，如图所示．该几何体是一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的．由题中数据可得三棱柱的体积为1344=242⨯⨯⨯，截去的三棱锥的体积为4，故该几何体的体积是20．故选：A【点睛】此题考查由三视图求几何体的体积，需熟记锥体的体积公式，属于基础题.切割法规律总结：1、还原到常见几何体中2、实线当面切，虚线背后切3、切完后对照三视图进行检验二，三点交汇法例2某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为( )A．4B．8C．12D．24【答案】A【分析】由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.【详解】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D ABC-是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得，所以11423432D ABCV-=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题. 三点交汇法规律：三线交汇得顶点，各顶必在其中选多顶可能用不完，个中取舍是关键:三、拔高法例3：3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．424+B ．228+C ．428+D ．12【答案】B 【分析】由三视图可得此几何体为如图所示的四棱锥，然后求出各个面的面积即可 【详解】解：由三视图可得此几何体为如图所示的四棱锥E ABCD -， 由题可得，2AB BC CD AD CE =====,22DE BE ==， 所以该几何体的表面积为112222222282222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选：B拔高法规律总结：1.标出俯视图所有结点，画出俯视图对应的直观图2.由主、侧视图的左中右找出被拔高的点.四、去点法例4：某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．6B．12C．24D．36【答案】B【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示，可得1334=123V=⨯⨯⨯，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.去点法规律：画立方体删多余点连剩余点六字真言：先去除、再确定针对练习1．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A．4B．23C．23＋2D．6【答案】C【分析】首先把几何体进行转换，进一步求出几何体的高，最后求出侧视图的面积．【详解】根据几何体的三视图，转换为几何体为：2的正方形，故底面的对角线长为2.所以四棱锥的高为12×2＝1，故四棱锥的侧面高为h22212⎛⎫+⎪⎪⎝⎭6则四棱锥的表面积为164222322S=⨯+=.故选C.【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．某几何体的三视图如下图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π【答案】B 【解析】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，几何体的底面是边长为2 的等边三角形，侧棱长为2 ，三棱柱的两个底面中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是半径，2227(3)133r =⨯+=，球的表面积为27284433r πππ=⨯= ，故选B. 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A．25B．26C．42D．43【答案】C【分析】依据多面体的三视图，画出它的直观图并放入棱长为4的正方体中，求出最长的棱长为AB可得答案．||【详解】依据多面体的三视图，画出它的直观图，如图所示；在棱长为4的正方体中，四面体ABCD就是满足图中三视图的多面体，其中A、B点为所在棱的中点，所以，四面体ABCD最长的棱长为22AB+=||4442故选：C．【点睛】方法点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查学生空间想象能力，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（）A ．3B ．6C ．5D ．3【答案】B 【分析】画出直观图，然后计算出最长的棱长. 【详解】画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示四棱锥P ABCD -.1AB BC CD AD ====，22112PA =+=，2221113PB =++=，22125PD =+=，2221216PC =++=.所以最长的棱长为6. 故选：B【点睛】本小题主要考查三视图，属于基础题.5．某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为( )A．4B．8C．12D．24【答案】A【分析】由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.【详解】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D ABC-是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得，所以11423432D ABCV-=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题.6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）A ．442+B ．262+C ．332+D ．8【答案】A 【分析】由三视图还原棱锥的直观图，即可求棱锥的表面积. 【详解】由已知三视图，可得：此棱锥ABCD 的直观图如下图所示：ABD △和CBD 都是直角边为2和2 ABC 和ADC 均是腰长为2的等腰直角三角形，所以其表面积为21122222244222S =⨯⨯⨯⨯⨯=+. 故选：A. 【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的表面积，空间想象能力，属于基础题.7．一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为（）A．3a B．33aC．36aD．356a【答案】D【分析】试题分析：由三视图可知该几何体为正方体去掉一角，其直观图如图缩小，正方体的体积，去掉的三棱锥的体积，因此组合体的体积，故答案为D．考点：由三视图求几何体的体积．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积的最大值为（）A ．12B ．32C ．5 D ．102【答案】B 【分析】根据三视图，画出原图，根据原图，判断各个面的面积大小，即可得解. 【详解】如图：棱锥P ABC -即为所求图形，5PC PA ==2AC =，1AB BC ==所以△PAC 面积为32， 而△PBC ，△PAB ，△ABC 的面积分别为551222，，， 故△PAC 的面积最大， 故选：B. 【点睛】本题考查了立体几何的三视图，本题所用方法是利用长方体的割补进行还原原图，是解三视图的一个重要方法，考查了空间想象能力和空间感，计算量不大，属于中档题. 9．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为（ ）A ．()2123cm+B ．()2103cm+C ．()21023cm +D ．()21223cm+【答案】D 【分析】由三视图可知，该正三棱柱的底面是边长为2cm 的正三角形，高为2cm ，根据面积公式计算可得结果. 【详解】 正三棱柱如图，有2AB BC AC ===，1112AA BB CC ===， 三棱柱的表面积为122322312232⨯⨯+⨯⨯=+故选：D 【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，考查了正三棱柱的结构特征，属于基础题.10．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（ ）A ．3B ．5πC ．4πD ．6π【答案】D【分析】根据三视图可知几何体为圆柱体，由已知条件得底面直径2r 和高h 都为2，即可求圆柱体表面积. 【详解】由题意知：几何体为底面直径2r 和高h 都为2的圆柱体， ∴表面积2226S rh r πππ=+=， 故选：D 【点睛】本题考查了由几何体三视图求表面积，应用了圆柱体表面积的求法，属于简单题.11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．735+B ．725+C ．11352+D ．11252+ 【答案】A 【解析】分析：通过三视图可知，该多面体为棱长为2的正方体切割而成的四棱锥O ABCD -，A D 、为棱的中点，再计算该四棱锥各面面积之和即可．详解：根据三视图可知，该几何体为四棱锥O ABCD -，由棱长为2的正方体切割而成． 底面ABCD 为矩形，22=21+2=25ABCDS ⨯211===2=222OCD OBC S SS 正方形⨯ 1==52OADABCDSS易得5,3,22AB OA OB ===由余弦定理2223(22)(5)2cos 22322OAB +-∠==⨯⨯，得4OAB π∠= 12322322OABS∴=⨯⨯⨯= 四棱锥的表面积255223735S =++⨯+=+ 故选A ．点睛：（1）当已知三视图去还原成几何体时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性．（2）表面积计算中，三角形的面积要注意正弦定理和余弦定理的运用． 12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）A ．22B ．25C ．26D ．42 【答案】C 【分析】将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可. 【详解】由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥11 A BCC B -如图所示.其中1AC 为最长棱.由勾股定理得222142226AC =++=.故选：C 【点睛】本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题.13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．18B ．14C ．23D ．16【答案】C 【分析】观察三视图并将其“翻译”成直观图，要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 【详解】如图所示，三棱锥D ABC -即为所求，正方体的棱长都是2， B 点到底面DAC 的距离是2，所以11121223323D ABC ADCV Sh -=⨯=⨯⨯⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力. 14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23πB ．πC ．43π D ．2π【答案】A 【分析】由三视图可知该几何体为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，由圆柱体积减去两个半球体积可得． 【详解】由三视图可知该几何体为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球， 所以该几何体的体积V V =柱－2V ⨯半球231421221233πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯=故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查几何体的体积，解题关键是由三视图得出几何体的结构．15．某几何体的三视图如图，则几何体的体积为A．8π﹣16B．8π+16C．16π﹣8D．8π+8【答案】A【解析】根据三视图恢复原几何体为两个底面为弓形的柱体，底面积为一个半圆割去一个等腰直角三角形，其面积为221422422ππ⋅-⨯⨯=-，高为4，所以柱体体积为()424π-=816π-.选A【点睛】由于正视图和侧视图均为矩形，所以原几何体为柱体，底面为两个弓形，所以原几何体是由圆柱截得的，三视图问题是近些年高考必考题，根据三视图恢复原几何体，数据要根据“长对正、高平齐，宽相等”的原则，标清几何体中线段的长度，利用面积或体积公式计算.16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．163D ．16【答案】B 【分析】由三视图画出其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得； 【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（有一条侧棱PA 垂直于底面ABCD ），其直观图如图所示：四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形ABCD （上底为1BC =，下底为3AD =，高为2AB =），四棱锥的高是2PA =，所以直角梯形ABCD 的面积为()()132422ABCD BC AD AB S +⨯+⨯===直角梯形，所以该四棱锥P ABCD -的体积为11842333P ABCD ABCD V S PA -=⨯⨯=⨯⨯=直角梯形．故选:B ．【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题.17．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4 C．D．3【答案】B【详解】试题分析：如图，阴影平行四边形表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，122242V=⨯⨯⨯=.考点：1.三视图；2.正方体的体积18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．5252++ B ．2552++ C ．552++ D ．525++【答案】D 【分析】依题意，由三视图得到直观图，再求出四棱锥的表面积即可； 【详解】解：由三视图可得如下直观图则SA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，且2SA =，2AB =，1AD =，所以12222SAB S=⨯⨯=，12112SAD S =⨯⨯=，122ABCD S =⨯=，22121252SCD S =⨯+=22112222SCB S =⨯+=所以表面积为552故选：D 【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，属于基础题.走进高考1，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727B ．59C ．1027D ．13【答案】A 【详解】因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积154V π=，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积2161834V πππ=+=，所以削掉部分的体积与原体积之比为5434105427πππ-=，故选A.考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力.2，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）如图,已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π 【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．考点：外接球表面积和椎体的体积．3，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．63B．6C．62D．4【答案】B【详解】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究， 如图所示，该四面体为D ABC -，且4AB BC ==,42AC =,25DB DC ==,2(42)46DA =+=，故最长的棱长为6，选B ．4，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为111111326⨯⨯⨯⨯=，∴剩余部分体积为15166-=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为15．故选D ．考点：由三视图求体积5，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】 【详解】【分析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：22222111142222542222r r r r r r r r r πππππ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+ ，又∵该几何体的表面积为16+20π， ∴22541620r r ππ+=+ ，解得r=2， 本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．6，2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．B．C．90D．81【答案】B【解析】【详解】试题分析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：，故棱柱的表面积为：．故选：B．点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.7，2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和。
2015-2019 三视图高考真题(含解析)
专题19 三视图以及表面积体积2019年1.（2019全国II 文16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）2.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．3.(2019全国III 文16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.4.（2019江苏9）如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 .5.（2019天津文12）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.6.（2019北京文12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．7.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．322015-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π2．(2018全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为BAA ．217B ．25C ．3D ．23．(2018全国卷Ⅰ)在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8B ．2C ．82D ．834．(2018全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是5．(2018全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为3，则三棱锥D ABC 体积的最大值为 A ．123B ．183C ．3D ．36．(2018浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是俯视图正视图2211A ．2B ．4C ．6D ．87．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为俯视图侧(左)视图正(主)视图1221A ．1B ．2C ．3D ．48．（2017新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．34πC．2πD．4π9．（2017北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．60 B．30 C．20 D．1010．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是俯视图11311A．12π+B．32π+C．312π+D．332π+11．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π12．（2016年山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为A ．1233π+ B ．123π+ C ．123π+ D ．21π+ 13．（2016年全国I ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 14．（2016年全国II ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π15．（2016年全国III ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．18+ B．54+ C ．90 D ．81 二、填空题16．(2018天津)如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为__．D 1C 1B 1A 1D CBA17．(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．18．（2017新课标Ⅰ）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________．19．（2017新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 ．20．（2017天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 21．（2017山东）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．俯视图侧视图（左视图）正视图（主视图）22．（2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
2019-2021全国高考数学真题汇编：三视图(教师版)
2019-2021全国高考数学真题汇编：三视图一．选择题（共6小题）1．（2020•北京）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）A．6+B．6+2C．12+D．12+22．（2020•新课标Ⅲ）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+23．（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A．+B．3+C．+D．3+4．（2019•浙江）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）3）是（）A．158B．162C．182D．3245．（2020•浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．3D．66．（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．3C．D．3二．填空题（共1小题）7．（2019•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为．2019-2021全国高考数学真题汇编：三视图参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2020•北京）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）A．6+B．6+2C．12+D．12+2【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】解：几何体的直观图如图：是三棱柱，底面边长与侧棱长都是2，几何体的表面积为：3×3×2+2××2＝12+5．故选：D．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，是基本知识的考查．2．（2020•新课标Ⅲ）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+2【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是正方体的一个角P A＝AB＝AC＝2，P A、AC两两垂直，故PB＝BC＝PC＝2，几何体的表面积为：3×＝6+7，故选：C．【点评】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．3．（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A．+B．3+C．+D．3+【分析】由三视图还原原几何体，其中P A⊥底面ABC，AB⊥AC，P A＝AB＝AC＝2，再由三角形面积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，P A⊥底面ABC，AB⊥AC，则△PBC是边长为的等边三角形，则该四面体的表面积为S＝．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．4．（2019•浙江）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）3）是（）A．158B．162C．182D．324【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即＝27，高为6，则该柱体的体积是V＝27×8＝162．故选：B．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5．（2020•浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．3D．6【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图，下部是直三棱柱，棱锥的高为2，一个侧面与底面等腰直角三角形垂直，所以几何体的体积为：＝．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．6．（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．3C．D．3【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直四棱柱，底面四边形ABCD为等腰梯形，由已知三视图求得对应的量，再由棱柱体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直四棱柱，底面四边形ABCD为等腰梯形，其中AB∥CD，由三视图可知，且AD⊥BC，且AB＝，CD＝1＝1，等腰梯形的高为＝，则该几何体的体积V＝＝．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．二．填空题（共1小题）7．（2019•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为40．【分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V＝．故答案为：40．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．。
2019年高考数学理科考点一遍过28空间几何体的结构及其三视图与直观图(含解析)
空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.一、空间几何体的结构1．多面体①底面互相平行.②侧面都是平行四边形.③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.2之间满足关系式.1．空间几何体的三视图（1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴O，Oy，再作O轴使∠O=90°，且∠yO=90°.②画直观图时，把它们画成对应的轴O′′，O′y′，O′′，使∠′O′y′=45°(或135°)，∠′O′′=90°，′O′y′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于轴、y轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于′轴、y′轴或′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原的一半.⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.（3）直观图的面积与原图面积之间的关系①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，②直观图面积是原图面积的倍.考向一空间几何体的结构特征关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.典例1 给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是A．0 B．1C．2 D．3【答案】A1．正三棱锥内有一个内切球,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的图是典例2 边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是A．10 cm B．cmC．cm D．cm【答案】D【名师点睛】求几何体的侧面上两点间的最短距离问题，常常把侧面展开，转化为平面几何问题处理．2．已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,为的中点,则从拉一条绳子绕过侧棱到达点的最短绳长为A．B．C．D．考向二空间几何体的三视图三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.典例3 如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是A B C D 【答案】B【解析】A选项三棱锥、C选项圆台、D选项的正视图都不是矩形，而B选项圆柱的正视图为矩形.故选B．3．如图，在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的侧视图为典例4 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【答案】B4．某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为A．B．C． D．考向三空间几何体的直观图斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”；“三不变”.典例5 如图是水平放置的平面图形的直观图,则原平面图形的面积为A．3 B．C．6 D．【答案】C【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答的关键是牢记原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图面积的倍.5．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是A． B．C．D．1．有下列三个说法：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有A．0个 B．1个C．2个 D．3个2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的正视图为A B C D 3．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，则该正四棱锥的侧棱长是A． B．C．D．5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原的图形是A．B．C．D．6．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的A．①②B．②③C．③④D．①④7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的正视图为A．B．C．D．8．已知用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1∶4，截去的棱锥的高是，则棱台的高是A． B．C． D．9．一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为A．B．C． D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，则这些梯形的面积之和为A．28 B．30C．32 D．3611．长方体中，，，设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离是A． B．C．D．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为A．B．C．D．13．如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A'B'C'D'的面ADD'A'、面BCC'B'的中心,现给出图①~④的4个平面图形,则四边形BFD'E在该正方体的面上的射影可能是图.(填上所有正确图形对应的序号)14．如图所示是一个几何体的表面展开平面图,该几何体中与“数”字面相对的是“”.15．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有_____________.（填序号）16．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为____________.17．正三棱锥P−ABC中，，，AB的中点为M，一小蜜蜂沿锥体侧面由M爬到C点，最短路程是____________.1．（2018新课标全国Ⅰ理科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A．B．C．3 D．22．（2018新课标全国Ⅲ理科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是3．（2017新课标全国Ⅰ理科）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12C．14 D．164．（2017北京理科）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A．3B．2C．2D．21．【答案】C【解析】正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心,所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对的面的高线,故C正确.4．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的直四棱柱，在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体的体对角线，为=，故选B．5．【答案】B【解析】根据斜二测画法，原的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，则原高为，而横向长度不变，且梯形是直角梯形，如图，，故选B.1．【答案】A【解析】本题主要考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．2．【答案】D【解析】所得几何体的正视图为一个长方形，且有一条从左下到右上的对角线，如下所示：故选D．5．【答案】A【解析】根据斜二测画法知，平行于轴的线段长度不变,平行于y的线段变为原的，由此得原的图形是A．故选A．6．【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长也不成立．所以其俯视图不可能为②正方形；③圆，故选B．7．【答案】D【解析】根据空间直角坐标系中点的位置，画出直观图如图，则正视图为D中图形.故选D．【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径．10．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体如图所示，各个面中有两个梯形，一个矩形，两个直角三角形，则这两个梯形的面积和为.故选C．11．【答案】A12．【答案】C【解析】由三视图可知：原三棱锥为，其中，，如图，∴这个三棱锥最长棱的棱长是.故选C．13．【答案】②③【解析】四边形BFD'E在正方体ABCD-A'B'C'D'的面BCC'B'上的射影是③;在面ABCD上的射影是②;易知①④的情况不可能出现.14．【答案】学【解析】由图形可知,该几何体为三棱台，两个三角形为三棱台的上下底面，∴与“数”字面相对的是“学”.15．【答案】①②③④16．【答案】【解析】由题意得，水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，其面积为，又原图形与直观图的面积比为，所以原图形的面积为．17．【答案】【解析】由题意，将侧面PBC展开，那么点M到C的距离，就是在中的长度，由题中数据易得，，，如果将侧面PAC展开，同理可得.1．【答案】B【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.2．【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A．3．【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B．【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.4．【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度为，故选B．【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.。
重庆市2019届高三数学一轮复习微专题 空间几何体_第2节 空间几何体的三视图数学试题及答案解析
重庆市2019届高三数学一轮复习微专题空间几何体_第2节空间几何体的三视图一、选择题1、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A．1 B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而，故C不可能．考点：三视图．2、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：根据左视图可以看到矩形以及挡住的线为虚线可得D符合，故选择D 考点：三视图3、某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )A． B．4C． D．【答案】C【解析】试题分析：由三视图知该几何体为棱锥S-ABD，如图，其中平面ABCD；四面体S-ABCD的四面体中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为的等比三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为．考点：简单空间图形的三视图．4、一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为（）①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的A．①② B．②③C．③④ D．①④【解析】试题分析：若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.考点：三视图.5、如图，三棱锥V－ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为，则其俯视图的面积为()A． B．C． D．【答案】B【解析】试题分析：设三棱锥的底面边长为a，高为h，则正视图的面积为，因此，所以侧视图的面积为，答案选B.考点：三视图6、下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是()A．①② B．①③ C．③④ D．②④【解析】图①的三种视图均相同；图②的正视图与侧视图相同；图③的三种视图均不相同；图④的正视图与侧视图相同．故选D．7、如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为()A．2 B．C．2 D．4【答案】A【解析】由题意可知，该三棱柱的侧视图应为矩形，如图所示．在该矩形中，MM1＝CC1＝2，CM＝C1M1＝·AB＝.所以侧视图的面积为S＝2.8、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）【答案】D【解析】试题分析：俯视图的实线部分、虚线部分都是圆，由此可知该几何体的上下两部分都不可能是方形的，故只可能是D.考点：三视图.9、如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是()A． B． C．D．【答案】D【解析】由AA'∥BB'∥CC'及CC'⊥平面ABC,知AA'⊥平面ABC,BB'⊥平面ABC.又CC'=BB'=3AA',且△ABC为正三角形,故正视图应为D中的图形.10、一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )【答案】C【解析】试题分析：A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选C．考点：简单空间图形的三视图．11、一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,若上面两个几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有A．V1<V2<V4<V3 B．V1<V3<V2<V4 C．V2<V1<V3<V4 D．V2 <V3<V1<V4【答案】C【解析】由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V1＝π×(12＋22＋1×2)×1＝π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是棱长为2的正方体，其体积V3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V4＝×(22＋2×4＋42)×1＝，比较大小可知答案选C.12、一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()A． B． C． D．【答案】C【解析】考点：简单空间图形的三视图．分析：从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选C．二、填空题13、如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由________块木块堆成．【答案】4【解析】考点：由三视图还原实物图．分析：求解本问题需要正确由三视图还原实物图，由图（1）可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排有三个，故可得；解答：解：由图（1）可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成．故答案为（1） 4点评：本题考点是由三视图还原实物图，考查利用三视图的作图规则，由三视图还原实物图的能力，这是三视图的一个重要应用，也是三视图在实际问题中的主要运用.14、一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．【答案】①②③⑤【解析】略15、一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．【答案】4＋【解析】点睛：三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．16、已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为________cm2.【答案】2【解析】这个正四面体的正视图为等腰三角形(底边边长为 ,底边上高为2),面积为三、解答题17、已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．【答案】见解析【解析】试题分析:①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．②根据三视图的形成原理，结合具体柱、锥的三视图,空间想象将三视图还原为实物图．试题解析:图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．18、画出三视图.【答案】见解析【解析】试题分析: ①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．试题解析:原几何体的三视图如下：点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．。
2019高考数学常考题型专题01三视图问题文
专题01 三视图问题1．（2018新课标全国Ⅰ文科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，点M 在上底面上，点N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为B.【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.2．（2018新课标全国Ⅲ文科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A.3．（2017新课标全国Ⅱ文科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为221π36π3463π2V =⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B ．【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． （2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．4．（2016新课标全国Ⅰ文科）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是A．17πB．18πC．20πD．28π【答案】A【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.1．三视图的识别及三视图与空间几何体相结合的表面积、体积问题，常在选择题或填空题中出现，一般题目的难度不大.2．本部分主要考查由空间几何体的三视图确定其直观图，并求其表面积、体积.其中求解空间几何体的表面积、体积问题是高考命题的热点，以空间几何体的三视图为基准，识别该几何体，并计算其表面积、体积，通常情况下以计算体积为主，这是高考主要的考查方式.指点1：空间几何体与三视图（1）在画三视图时，要做到正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相等，并注意能够看到的线画成实线，不能看到的线画成虚线．若是简单组合体，要先分清组合体由哪些简单几何体构成，并确定正视的方向，最后按照三视图的画法规则画出三视图.由三视图还原几何体的方法：先根据俯视图确定底面，再根据正视图及俯视图确定几何体的棱及侧面，最后调整实线和虚线确定几何体的形状.（2）对于由几何体的个别视图确定其他视图的问题，若已知空间图形的大致结构，则第三个视图的形状是唯一的，否则空间图形无法确定，则第三个视图的形状不唯一.【例1】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【答案】A【解析】根据三视图还原几何体，常在正方体或长方体中进行还原，本题考虑构造棱长为4的正方体，在此正方体中进行还原.由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P,B分别为相应棱的中点,故选A．指点2：由三视图求空间几何体的表面积及体积求空间几何体的表面积及体积，首先需要根据三视图还原，确定原几何体后，利用简单几何体的表面积及体积公式进行求解，注意公式的正确记忆.求简单组合体的表面积和体积问题，首先应清楚该组合体是由哪些简单几何体组合而成的，其次注意组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积，组合体的体积是各简单几何体的体积之和（或差）.【例2】如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为，则该几何体的体积等于A B．5π12 3+C D．5π4 3+【答案】A1．将正方体(如图1)截去三个三棱锥后,得到如图2所示的几何体,侧视图的视线方向如图2所示,则该几何体的侧视图为A B C D【答案】D【解析】由该几何体的直观图可知，答案为D ．2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，若一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A ．80+B ．80C ．80+D ．80+【答案】C【解析】该几何体为棱长是4的正方体截去三棱锥E ABD -所得的几何体，如图所示.则该几何体的表面积为111443(24)4244222S =⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯80=+故选C ．3．中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥Q ABC -为鳖臑，QA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥， 3QA BC ==， 5AC =，则三棱锥Q ABC -外接球的表面积为A ．16πB ．20πC ．30πD ．34π【答案】D【解析】将三棱锥Q ABC -补全为长方体，如图，则外接球的直径为2R ==,所以2R =，故外接球的表面积为24π34πR =.4．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为A BC ．168π+D 【答案】A【解析】由三视图，知原几何体为组合体，上面是四棱锥（底面为矩形，两边分别为4和2，高为2），下面是圆柱的一半（圆柱的底面半径为2，高为4），如图所示，则该几何体的体积为A ．5．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．【答案】13【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥（如图），其中底面为边长为1、高为1的平行四边形，棱锥的高为1，所以V ()11113=⨯⨯⨯13=．6．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有_____________.（填序号）【答案】①②③④。
2019年高考数学总复习：几何体的三视图和表面积、体积
2019年高考数学总复习：几何体的三视图和表面积、体积1．(2018·黑龙江哈尔滨六中模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积是( )A ．4＋26B ．4＋ 6C ．4＋2 2D ．4 2答案 A解析 由三视图可以看出，几何体是有一个与底面垂直且全等的侧面，另外两侧面为全等三角形的三棱锥．由图中数据知底面为等腰三角形，底边长为2，高为2，故面积为12×2×2＝2.在底面上，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，将垂足与三棱锥顶点连接起来即得此两侧面的高．由图中数据，得侧面的底边长为5，高为265，所以此两侧面的面积均为12×265×5＝6，故此三棱锥的表面积为2＋2＋6＋6＝4＋2 6.故选A. 2．(2018·四川攀枝花质检)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋ 5答案 C解析 该几何体是高为1，底面四边形为对角线长为2的菱形的四棱锥A －BCDE ，如图所示．在直角三角形ABE 中，AB ＝1，BE ＝2，∴AE ＝ 3.在三角形AED 中，AE ＝3，ED ＝2，AD ＝5， ∴AE 2＋DE 2＝AD 2，∴三角形AED 是直角三角形，则该几何体的侧面积为S ＝2×(12×2×1)＋2×(12×2×3)＝2＋6，故选C.3．(2018·安徽师大附中、马鞍山二中高三测试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30答案 C解析 由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再减去一个三棱锥后得到的，该几何体的体积V ＝12×4×3×5－13×12×4×3×(5－2)＝24，故选C.4．(2018·安徽淮北一模)如图是某空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为( )A.33B.32C.233D. 3答案 D解析 如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ABCD ⊥底面PAB ，侧面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，DA ⊥AB ，该几何体的体积V ＝13×1＋22×2×3＝3，故选D.5．(2017·合肥一检)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为( )A ．64，48＋16 2B ．32，48＋16 2 C.643，32＋16 2 D.323，48＋16 2 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其直观图如图所示． 体积V ＝12×4×4×4＝32，表面积S ＝2×12×42＋4×(4＋4＋42)＝48＋16 2.6．(2016·课标全国Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π答案 C解析 该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长c ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋（23）2＝4，圆柱的高h ＝4，∴S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.7．(2018·山东师大附中模拟)如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为( )A.153B.3235π27C.1282π81D.833答案 C解析 作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路为PP ′，∵OP ＝OP ′＝4，PP ′＝43，由余弦定理可得cos ∠P ′OP ＝OP 2＋OP ′2－PP ′22OP ·OP ′＝－12，∴∠P ′OP ＝2π3.设底面圆的半径为r ，圆锥的高为h ，则有2πr ＝2π3×4，∴r ＝43，h ＝l 2－r 2＝823，∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝1282π81.8．(2018·甘肃兰州一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．(9＋5)πB ．(9＋25)πC ．(10＋5)πD ．(10＋25)π答案 A解析 该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥． S 表面积＝π·12＋2π·1·4＋π·1·5＝(9＋5)π.9．(2017·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 答案 A解析 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V ＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A.10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π答案 C解析 由三视图可知，该几何体的体积是一个四棱柱的体积减去半个圆柱的体积，即V ＝2×2×2－12×π×12×2＝8－π.故选C.11．(2018·河北唐山模拟)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( )A ．24－πB ．24－3πC ．24＋πD ．24－2π答案 A解析 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方18球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为2×2×6－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π，故选A.12．(2018·福建晋江联考)如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为3的半圆和相同的正三角形，其中正三角形的上顶点是半圆弧的中点，底边在直径上，则该几何体的表面积是( )A ．6πB ．8πC ．10πD ．11π答案 C解析 由三视图可知，该几何体是一个半球挖去一个圆锥后得到的几何体，且半球的底面半径为3，圆锥的轴截面为等边三角形，其高为3，故圆锥的底面半径为1，母线长为2.该几何体的表面由半球的侧面、圆锥的侧面以及半球的底面除去圆锥的底面三部分构成．半球的侧面积S 1＝12×4π×(3)2＝6π，圆锥的侧面积S 2＝π×1×2＝2π，半球的底面圆的面积S 3＝π×(3)2＝3π，圆锥的底面积S 4＝π×12＝π，所以该几何体的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3－S 4＝6π＋2π＋3π－π＝10π.故选C.13．(2018·贵州贵阳模拟)甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积V 甲，乙的体积为V 乙，则( )A ．V 甲<V 乙B ．V 甲＝V 乙C ．V 甲>V 乙D ．V 甲，V 乙的大小关系不能确定答案 C解析 由三视图知，甲几何体是一个以边长为1的正方形为底面的四棱锥，乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥，所以V 甲>V 乙，故选C.14．(2018·郑州质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( ) A.π27 B.8π27C.π3D.2π9 答案B 解析 如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r)＝2π(r 2－r 3)(0<r<1)．设V(r)＝2π(r 2－r 3)(0<r<1)，则V ′(r)＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0，得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π[(23)2－(23)3]＝8π27，故选B.15．(2018·沧州七校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案 π解析 该几何体是一个半圆柱，底面半径为1，高为2，则其体积V ＝12×π×12×2＝π.16．(2018·江苏盐城一模)将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，其中AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O －EFG 体积的最大值是________． 答案 4解析 由题意，易知所得圆柱如图所示，其中圆柱的底面半径为2，高为3，∴三棱锥O －EFG 的高为3，∴当△EFG 的面积最大时，三棱锥O －EFG 的体积最大．由△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则可设EF 为直径，∴当点G 在EF 的垂直平分线上时，△EFG 的面积最大，最大值(S △EFG )max ＝12×4×2＝4，∴三棱锥O －EFG 体积的最大值V max ＝13×(S △EFG )max ×3＝13×4×3＝4.17.右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC ＝2. (1)画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥B －CEPD 的体积． 答案 (1)略 (2)2 解析 (1)如图所示：(2)∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， ∴平面PDCE ⊥平面ABCD. ∵BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PDCE.∵S 梯形PDCE ＝12(PD ＋EC)·DC ＝12×3×2＝3，∴四棱锥B －CEPD 的体积V B －CEPD ＝13S 梯形PDCE ·BC ＝13×3×2＝2.18．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC ′，证明：BC ′∥平面EFG . 答案 (1)略 (2)2843 cm 3 (3)略解析 (1)如图所示．(2)所求多面体的体积是：V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843 cm 3.(3)如图所示，复原长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，连接AD ′，则AD ′∥BC ′.∵E ，G 分别是AA ′，A ′D ′的中点， ∴AD ′∥EG.从而EG ∥BC ′. 又BC ′⊄平面EFG ， ∴BC ′∥平面EFG .1．(2018·重庆巴蜀中学期中)我国的神舟十一号飞船已于2016年10月17日7时30分在酒泉卫星发射中心成功发射升空，并于19日凌晨，与天空二号自动交会对接成功，如图所示为飞船上某零件的三视图，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画的是该零件的三视图，则该零件的体积为( )A ．4B ．8C ．12D ．20答案 C解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，且底面是长为6，宽为2的矩形，高为3，所以该几何体的体积V ＝13×6×2×3＝12，故选C.2．(2018·宜昌一中期中)某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是( )A ．2B ．4C ．2＋ 5D ．4＋2 5答案 C解析 由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO ＝2，底面△ABC 是腰长为2的等腰直角三角形，该几何体中，直角三角形是底面△ABC和侧面△PBC.事实上，∵PO ⊥底面ABC ，∴平面PAC ⊥底面ABC ，而BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC.∴PC ＝22＋12＝5，S △PBC ＝12×2×5＝5，S △ABC ＝12×2×2＝2.∴面积和为2＋5，故选C.3.(2018·河北廊坊模拟)如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．12 B ．6 C ．2 D ．3 答案 B解析 由三视图知该几何体是底面为直角梯形的四棱柱，其高为2，梯形的上底为2，下底为22，高为2，其体积为(2＋22)×2×12×2＝6.故选B.4.(2018·广州检测)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( ) A.14B.13 C.12 D.23答案 C解析 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱体积的48＝12，故选C.5．(2018·广东清远一模)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．24C ．40D ．72答案 C解析 由三视图可知几何体为长方体上面放了一个四棱锥．所求体积V ＝3×4×2＋13×3×4×4＝40.6．(2018·河南八市重点质检)如图是某几何体的三视图，当xy 最大时，该几何体的体积为( )A ．215＋15π12 B ．1＋π12C.15＋15π4D ．1＋15π4答案 A解析 由三视图可知，几何体是一个四分之一的圆锥与一个三棱柱的组合体．设该几何体的高为h ，则⎩⎪⎨⎪⎧h 2＋y 2＝31，h 2＋12＝x 2，所以x 2＋y 2＝32.由不等式xy ≤x 2＋y 22可知，当且仅当x ＝y ＝4时，xy 取到最大值，此时h ＝15，所以组合体的体积为12×1×15×4＋14×13×1×1×π×15＝215＋15π12，故选A.7.(2015·福建，文)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) A ．8＋2 2 B ．11＋2 2 C ．14＋2 2 D ．15答案 B解析 由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋22，故选B.8．(2018·重庆荣昌中学期中)如图所示，在边长为2的正方形ABCD 中，圆心为B ，半径为1的圆与AB ，BC 分别交于点E ，F ，则阴影部分绕直线BC 旋转一周形成几何体的体积等于( ) A ．π B ．6π C.4π3 D ．4π 答案 B解析 由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线BC 旋转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥．该圆柱的底面半径R ＝BA ＝2，母线长l ＝AD ＝2，故该圆柱的体积V 1＝π×22×2＝8π，半球的半径为1，其体积V 2＝12×43π×13＝2π3，圆锥的底面半径为2，高为1，其体积V 3＝13π×22×1＝4π3，所以阴影部分绕直线BC 旋转一周形成的几何体的体积V ＝V 1－V 2－V 3＝6π.9.(2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17 C.16 D.15答案 D解析 如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分三棱锥A －A 1B 1D 1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.故选D. 10．(2017·山东济宁模拟)若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．75＋210B ．75＋410C ．48＋410D ．48＋210答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个四棱柱．两个底面面积之和为2×4＋52×3＝27，四个侧面的面积之和是(3＋4＋5＋10)×4＝48＋410，故表面积是75＋410.11．(2018·湖南长沙模拟)如图(单位：cm)，则图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积为________．答案1403π 解析 图中阴影部分绕AB 旋转一周后形成的几何体是一个圆台，从上面又挖去了一个半球．12．(2018·天津和平区校级月考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3.答案163解析 由三视图可得，该几何体是三棱锥和三棱柱的组合体，它们的底面面积为12×2×2＝2(cm 2)，它们的高均为2 cm ，故该几何体的体积V ＝2×2＋13×2×2＝163(cm 3)．13．(2018·北京西城区期末)在空间直角坐标系O －xyz 中，四面体ABCD 在xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的一组正投影图形如图所示(坐标轴用细虚线表示)，则该四面体的体积是________．答案 43解析 由右图可知，该三棱锥A －BCD 的底面是底为1，高为4的△BCD ，三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×4×1×2＝43.14．(2017·衡水中学调研卷)若一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案 16π解析 由三视图，可知该几何体是一个球体挖去14之后剩余的部分，故该几何体的表面积为球体表面积的34与两个半圆面的面积之和，即S ＝34×(4π×22)＋2×(12π×22)＝16π.15．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．答案 16解析 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16.16．(2017·烟台模拟)某几何体的主(正)视图与俯视图如图所示，左(侧)视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A.203 B.43 C ．6 D ．4答案 A解析 由三视图可知该几何体是由棱长为2的正方体，挖去一个底面边长为2的正方形，高为1的正四棱锥，该几何体体积为V ＝23－13×22×1＝203.17．(2017·辽宁五校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．答案 11解析 由三视图知，该几何体为长方体去掉一个三棱锥，其体积V ＝2×2×3－13×(12×2×1)×3＝11.18．(2018·广东清远三中月考)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．答案（8＋π）36解析 由已知中的三视图可知，该几何体由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，他们的高均为3，则V ＝13·(12·π＋4)·3＝（8＋π）36.。
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专题01 三视图问题
1．（2018新课标全国Ⅰ理科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A ．172
B ．52
C ．3
D ．2
【答案】B
【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.
2．（2018新课标全国Ⅲ理科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
【答案】A
【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A.
3．（2017新课标全国Ⅱ理科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．90πB．63π
C．42πD．36π
【答案】B
【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规
则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
4．（2016新课标全国Ⅰ理科）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半
径.若该几何体的体积是28π
3
,则它的表面积是
A．17πB．18π
C．20πD．28π
【答案】A
1．三视图的识别及三视图与空间几何体相结合的表面积、体积问题，常在选择题或填空题中出现，一般题目的难度不大.
2．本部分主要考查由空间几何体的三视图确定其直观图，并求其表面积、体积.其中求解空间几何体的表面积、体积问题是高考命题的热点，以空间几何体的三视图为基准，识别该几何体，并计算其表面积、体积，通常情况下以计算体积为主，这是高考主要的考查方式.
指点1：空间几何体与三视图
（1）在画三视图时，要做到正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相等，并注意能够看到的线画成实线，不能看到的线画成虚线．若是简单组合体，要先分清组合体由哪些简单几何体构成，并确定正视的方向，最后按照三视图的画法规则画出三视图.
由三视图还原几何体的方法：先根据俯视图确定底面，再根据正视图及俯视图确定几何体的棱及侧面，最后调整实线和虚线确定几何体的形状.
（2）对于由几何体的个别视图确定其他视图的问题，若已知空间图形的大致结构，则第三个视图的形状是唯一的，否则空间图形无法确定，则第三个视图的形状不唯一.
【例1】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是
A．三棱锥B．三棱柱
C．四棱锥D．四棱柱
【答案】A
【解析】根据三视图还原几何体，常在正方体或长方体中进行还原，本题考虑构造棱长为4的正方体，在此正方体中进行还原.
由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P,B分别为相应棱的中点,故选A．
指点2：由三视图求空间几何体的表面积及体积
求空间几何体的表面积及体积，首先需要根据三视图还原，确定原几何体后，利用简单几何体的表面积及体积公式进行求解，注意公式的正确记忆.
求简单组合体的表面积和体积问题，首先应清楚该组合体是由哪些简单几何体组合而成的，其次注意组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积，组合体的体积是各简单几何体的体积之和（或差）.
【例2】如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为，则该几何体的体积等于
A B．5π
12 3
+
C D．5π
4 3
+
【答案】A
1．将正方体(如图1)截去三个三棱锥后,得到如图2所示的几何体,侧视图的视线方向如图2所示,则该几何体的侧视图为
A B C D
【答案】D
【解析】由该几何体的直观图可知，答案为D ．
2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，若一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为
A ．80+
B ．80
C ．80+
D ．80+【答案】C
【解析】该几何体为棱长是4的正方体截去三棱锥E ABD -所得的几何体，如图所示.则该几何体的表
面积为111
443(24)4244222
S =⨯⨯+
⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯80=+故选C ．
3．中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥Q ABC -为鳖臑，QA ⊥平面ABC ，
AB BC ⊥， 3QA BC ==， 5AC =，则三棱锥Q ABC -外接球的表面积为
A ．16π
B ．20π
C ．30π
D ．34π
【答案】D
【解析】将三棱锥Q ABC -补全为长方体，如图，则外接球的直径为2R ==,所以
R =
，故外接球的表面积为24π34πR =.
4．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为
A B
C ．168π+
D 【答案】A
5．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．
【答案】
13
【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥（如图），其中底面为边长为1、高为1的平行四边形，棱锥的高为1，所以V ()11113=
⨯⨯⨯13
=．
6．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有_____________.（填序号）
【答案】①②③④。