高中数苏教必修四：第1章 1.2.1 任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数
0
tan 0 0 cos0 1 （2）因为当 时，x r y 0 ，所以 ， sin 0 cos 1 tan 0 3 （3）因为当 时， x 0， y r ，所以 2
3 sin 1 2
3 cos 0 2
sin 0 0
（ （
k , k Z 2
R R
[ 1,1] [ 1,1] R
（
（
值域
）
y
2.三角函数值在各象限的符号
（
x ）
sin
o ）（
）（ ） cos
o ）（ x ）
y
） （ ）
tan
o ） （ x ）
y
（
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
12,5
52 13
，
的三个三角函数值.
2 2
解：由已知可得：
r x y
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
12
2
x 12 cos r 13
探究：
1.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域
sin cos tan
Y
单位圆.
P(a,b)
MP sin OP
OM cos OP
b
O M X
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义（二）
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:（1）y 叫做
α的终边
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)
高中数学1.2.1 任意角的三角函数(一) 教案(苏教版必修4)
第 3 课时： 1.2.1 任意角的三角函数（一）【三维目标】： 一、知识与技能1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。
3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 二、过程与方法1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；3.通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
三、情感、态度与价值观1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。
【教学重点与难点】：重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。
难点：任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】： 1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题用),(αr 与用坐标),(y x 均可表示圆周上点P ，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说，● 用怎样的数学模型刻画),(y x 与),(αr 之间的关系？ 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是)0(22>+=y x r r 。
当α为锐角时，过P 作x PM ⊥轴，垂足为M ，在OPM Rt ∆中，sin y r α=,cos x r α=,tan yx α=●怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数？一般地，对任意角α，我们规定：（1）比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinyrα=；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cosα，即cosxrα=；（3）比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanyxα=；【说明】：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Zπαπ=+∈时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyxα=无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。
1.2.1任意角的三角函数(一)
R
例题与练习
例1. 求下列各角的四个三角函数值：
(1) ;
5 (2) . 3
例题与练习
例2. 已知角的终边经过点P(－ 3,－4)， 求角的四个三角函数值．
小结:若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) ,其三角函数可转化为
y x y 2 2 sin , cos , tan , ( r x y ) r r x
我们把它们统称为三角函数.
说 明：
①的始边与轴的非负半轴重合， 的终边没有表明一定是正角或负角，以 及的大小，只表明与的终边相同的角 所在的位置；
x
②根据相似三角形的知识，对于确 定的角，四个比值不以点P(x, y)在的 终边上的位置的改变而改变大小；
说 明：
2 在y轴上，终边上任意一点 的横坐标x都 y 等于0，所以tan 无意义；同理当 x x k ( k Z ) 时， cot 无意义； y
1.2.1任意角的 三角函数
复习引入
锐角三角函数的定义：
斜边 对边
sin
邻边
对边 斜边 _____;cos
邻边 斜边 _____; tan
对边 邻边 _____
锐角三角函数坐标化
O 重 设锐角 的顶点与原点 y P(a,b) 合,始边与 x 轴的非负半轴重合. P(a,b) 在 的终边上任取一点 P(a, b) ,它 r 与原点的距离 r a2 b2 α
（1）y叫做α 的正弦，记作sinα ， 即 y sinα =y； （2）x叫做α 的余弦，记作 cosα ，即cosα =x
P(x,y)
α
O
A(1,0) x
y （3） 叫做α 的正切，记作tanα ，即 x y
(教师参考)高中数学 1.2.1 任意角的三角函数课件1 苏教版必修4
精选ppt
7
自主探究
3.如何作正弦线、余弦线、正切线？
有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线
，余弦线，正切线.
精选ppt
8
自主探究
α的终边 y P α
MO
x
A(1,0)
(Ⅱ)
M
P α的终边
T
y
T
α
x
O A(1,0)
(Ⅲ)
y α的终边 PT
α x sinMP
O M A(1,0)
(Ⅰ) cosOM
与 O P 的 反 向 延 长 线 交 于 T 点 ， 则
2 3 的 正 弦 线 为 M P , 余 精弦 选pp线 t 为 O M ,正 切 线 为 A T 21
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线， 有向线段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正 切线.关键是作出各个点，O点为坐标原点，点 A(1,0)为单位圆与X正半轴的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交点P(x,y)，过P作X 轴的垂线 ，垂足为M ；过点A(1,0)作 单位圆的切线，它与 角α 的终边或其反向延长线交与点T .
精选ppt
5
自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段 的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看 成是线段的比呢？ 不能，因为任意角的三角函数有正负.
精选ppt
6
自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边上 取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简 单？
可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
精选ppt
22
• 1．角α（0<α<2π）的正、余
D
弦线4 的长 3度4 相等7 4 ，且3 正4 、7 4 余弦
1.2.1任意角三角函数1
正切为正
余弦为正
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余 割为正,其余均为负 第三象限正切、余切为正，其余为负，第四象限余弦及与之相关 的正割为正，其余皆为负。
例1：
已知角α 的终边经过点p(2，－3)，
求角α 的正弦、余弦和正切值。
例2
确定下列各三角函数值的符号：
自学检测：
P16 练习：1、 2、
锐角三角函数的定义：
sin _____; _____; _____ cos tan
y r
P(x,y)
x
α
o M
y x y sin ; cos ; tan r r x
定义： y y ①比值 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin ． r r x x ②比值 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos ． r r y 叫做 的正切，记作 ③比值 ， tan P(x,y) y x y 即 tan ． r
正弦、余弦、正切函数值在各个象限的符号
正弦值y对于第一、二象限的角是正的，对于第三、四 象限的角是负的。
余弦值x 对于第一、四象 限的角是正的，对于第二、 三象限的角是负的。
y 正切值 对于第一、三象限的角是正的， x 对于第二、四象限的角是负的。
三角函数值的符号问题
y
正弦为正
o
三角函数全为 正
11 (3) tan . 3
7 (1) cos . 12
(2) sin(465);
分层训练
• 必做题 P16 练习：3、4、5 • 选做题 P23 习题：6 • 作业 P23 ：习题：1、5
高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数温故知新 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第1章三角函数1.2.1 任意角的三角函数温故知新苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第1章三角函数1.2.1 任意角的三角函数温故知新苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第1章三角函数1.2.1 任意角的三角函数温故知新苏教版必修4的全部内容。
1。
2.1 任意角的三角函数温故知新新知预习1.三角函数的定义设点P 是α终边上任意一点，坐标为P （x ，y ），｜OP ｜=22y x =r ，则(1）比值_____________叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=_____________。
（2）比值_____________叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα=_____________。
（3)比值_____________叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=_____________.（4）比值_____________叫做角α的正割，记作secα，即secα=_____________。
（5)比值_____________叫做角α的余割，记作cscα,即cscα=_____________。
（6）比值_____________叫做角α的余切，记作cotα,即cotα=_____________.2。
三角函数在各象限的符号 sinα=ry ，当α是__________象限时,sinα＞0;当α是__________象限时，sinα＜0。
cosα=rx ,当α是__________象限时，cosα＞0;当α是__________象限时，cosα＜0。
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数课件苏教必修4
解析答案
②sin 3·cos 4·tan 5.
解 ②∵π2＜3＜π，π＜4＜32π，32π＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
解析答案
(2)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在第 四 象限 解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 (1)点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第 二 象限角. 解析 由题意知，tan α＜0且cos α＜0， ∴α是第二象限角. (2)若三角形的两内角A，B，满足sin Acos B＜0，试判断此三角形的形状. 解 由题意知，A，B∈(0，π)， ∴sin A＞0，cos B＜0，∴B为钝角. 故此三角形是钝角三角形.
有向线段 MP 即为正弦线
余弦线
有向线段 OM 即为余弦线
过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或α的终边的反 正切线
向延长线于点T，有向线段 A即T为正切线
答案
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 三角函数定义的应用 例 1 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x，求 sin θ，tan θ.
答 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT
答案
思考2 三角函数线的方向是如何规定的？ 答 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值. 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？ 答 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.
高中数学苏教版必修4《1.2.1任意角的三角函数》课件
例2 已知角的终边过点P（－3，－4），求角的正弦、 余弦和正切值.
思考2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
y
MA
O
x
P T
思考3：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P
（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯 于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函 数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函 数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合 ”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而 且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都 会影响学生对三角函数概念的理解.
思考6：若sinα=sinβ，则角α与β的终边一定相同吗？ 思考7：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功 能作用？
可将求任意角的三角函数值，转化为求0～ （或0°～360°)范 围内的三角函数值.
思考8：函数的对应情势有一对一和多对一两种，三角函数是哪 一种对应情势？
y
y
x O
x O
P（－3，－4）
（1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一 个位置所组成的图形. （2）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转 形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零角. （3）角的大小是任意的.
（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. （2）180°＝ rad.
高中数学苏教版必修四《1.2.1任意角的三角函数1》课件
• 单击试此一处试编辑：若母版角文的 本样终式边与单位圆交于P（- 35，- 45），
•
第二级
• 第•三第级四级则sin
__54_;cos
=___53_;tan
4 =__3__
• 第五级
2023/9/15
15
单击此变处式1：编已辑知角母的版终标边经题过点 样P0式(3, 4), 求角的正弦，余弦和正切值。
割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中
周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的运用。
2023/9/15
2
单击此锐角处三编角函辑数母版标题样式
• 单击此处图编辑形 母版文本样式定 义
• 第二级
• 第三级
• 第四级 B • 第五级
sin a
一样地，对任意角 ，我们规定：
• 单击此处编辑母版文本样式
•
第二级
•（第1三）级比值
y r
叫做
的正弦，记
做s•in第四• 级第,五即级sin
=
y r
y P(x，y)
（ 做2co）s比值,即 rxc叫os 做 =的rx余弦，记
（3）比值
y x
叫做
做tan ,即tan =
的正切，记
y x
（x≠0）
2023/9/15
9
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第•三第级三四级 角函数值的符号问题
• 第五级
2023/9/15
10
单击正此弦值处y对编于辑第一母、版二象标限题的角样是正式的，对于第三、四
象限的角是负的。
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.1第1课时 任意角的三角函数
方法技巧 分类讨论思想在三角函数定义中的应用 利用三角函数的定义求三角函数值，当角的终边上点的坐标以参 数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行讨 论． 【示例】 已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，求α的正
sin α＝yr＝－130kk＝－31010，co1s α＝xr＝ 1k0k＝ 10，
∴10sin α＋co3s α＝10×－31010＋3 10 ＝－3 10＋3 10 ＝0.
(2)当 k<0 时，r＝－ 10k，α 为第二象限角， sin α＝yr＝－－31k0k＝31010，
y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函 数值的大小只与角有关． 2．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并 且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选 取． 3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等，即 角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现 了三角函数特有的“周而复始”的变化规律.
2π＋25π
·tan(4π＋
0)＝
sinπ6＋
cos
2π 5
×0＝12. [规律方法] 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间
的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角
函数，即实现了“负化正，大化小”．
【活学活用 3】 求下列各式的值： (1)cos253π＋tan－154π； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数课件苏教版必修4
合为α2kπ＋π3π≤α≤2kπ＋23ππ，k∈Z
.
第二十六页，共34页。
(2)作直线 x＝－12交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD，则 OC 与 OD 围
成的区域(图②阴影部分)即为角 α 终边的范围，故满足条件的角 α 的集合为
α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z
.
第二十七页，共34页。
第三十二页，共34页。
5．已知角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sin α，cos α，tan α 的值．
【解】 ∵角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t，－3t)(t≠0)，则 x＝4t，y＝－3t，r＝ x2＋y2＝ 4t2＋－3t2＝5|t|，
阶
段
(j
iē
阶
d
段
u
三
à
n) 一
1.2 任意角的三角函数
学
阶 段
1.2.1 任意角的三角函数
业 (x
(j
u
iē
é
d
y
u
è)
à
分
n)层ຫໍສະໝຸດ 二测评第一页，共34页。
1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点) 2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点) 3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范 围．(难点)
第十页，共34页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
苏教版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数新
灿若寒星整理制作
复习回顾 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
a
Ob M
a
sin c
b
cos c
a
tan b
新课引入 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
Ob M y
x
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 :
OM a
MP b
例题精讲
例2 确定下列三角函数值的符号：
（1）cos
250（2）tan(
672)（3）sin
解： （1）因为
250 是第三象限角，所以cos250 0
4
；
（2）因为 672 =
48 2 360
，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（3）因为
是 第 四象限角，所以
4
s
in
4
.
0
练习 确定下列三角函数值的符号
cos16
5
sin( 4 )
3
tan(17 )
8
例题精讲
cosx tan x 例3求函数 y cos x tan x 的值域
解： 定义域：cosx0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx0 ∴x的终边不在y轴上
r 5a 5
x 4a 4
(2)当a 0时, r 5a, sin y 3a 3 ,
r 5a 5
cos x
4a
4,
tan yBiblioteka 3a
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数课件苏教版必修4
3．一些特殊角的三角函数值需要记住，这对平时的学习很有帮助 (bāngzhù)．如下表：
角 α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360°
角α
的
π
π
π
π
2π 5π
3π
弧度 0
6
4
3
2
3
6
π
2
2π
数
sin α 0
1 2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
0
[解] (1)∵tan x 的定义域是{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}， tan x≠0 的解集为{x|x≠kπ，k∈Z}， ∴函数的定义域是{x|x≠k2π，k∈Z}．
第二十二页，共32页。
(2)要使函数有意义，需cos sin
x≤0， x≥0，
∴2kπ＋π2≤x≤2kπ＋32π（k∈Z）， 2kπ≤x≤2kπ＋π（k∈Z）.
解析：∵tan α>0，∴α∈kπ，kπ＋π2 (k∈Z)是第一、三
象限角． ∴2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)， 结合三角函数线可知，sin 2α>0 恒成立．
第二十一页，共32页。
求简单(jiǎndān)三角函数的定义
域 求下列函数的定义域：
(1)y＝sin
x＋cos tan x
x；
(2)y＝ －cos x＋ sin x.
第十一页，共32页。
3．已知角 α 的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－153，
5 则 x 的值为____2____．
解析：P(－x，－6)，设 OP＝r，则 r＝ x2＋36，
高中数学 1.2.1 任意角的三角函数(1)教案 苏教版必修4(2021年整理)
阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省镇江市丹徒镇高中数学1.2.1 任意角的三角函数（1）教案苏教版必修4的全部内容。
教学目标:1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号．教学过程备课札记一、问题情境问题:用（r, ）与用坐标（x, y）均可表示圆周上点P,这两种表示有什么内在联系?确切地说，●用怎样的数学模型刻画（x，y）与（r,)之间的关系?引导学生画出单位圆，作出对应的图形,在为锐角时，学生可以发现：（x，y）与(r,）之间具有的关系正是初中学习了的锐角三角函数．提问题:●在初中时我们学了锐角三角函数，你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?二、学生活动1．用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数．2．引导学生思考：如果改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么?3．引导学生思考：能否利用已学知识通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化？三、建构数学1．三角函数定义（1)比值错误!叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝错误!。
（2）比值错误!叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝错误!.（3）比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝错误!。
2．我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数。
如图1所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；（3) 错误!叫做α的正切，记作tanα,即tanα= 错误! (x≠0)．3．探究三角函数值在各象限的符号:一全正，二正弦,三正切，四余弦．4．探究三角函数的定义域：四、数学应用例1已知角α的终边经过点P(2,-3），求角α的正弦、余弦、正切值．变式：已知角α的终边经过点P(﹣2a，3a）(a〉0）,求角α的正弦、余弦、正切值．例2确定下列三角函数值的符号：（1）cos错误!（2)sin(—465°) （3）tan 错误!变式：若cosα＜0且tanα＜0,试确定α为第几象限角．2．练习．（1）已知α的终边经过P（—3，4)，求2sinα＋cosα的值．（2)试判断下列三角函数值的符号．sin256°； cos（-406°)； tan错误!课题。
高中数学苏教版必修四教学案：第1章 1.2 任意角的三角函数 Word版含答案
第1课时 任意角的三角函数如图，直角△ABC .问题1：如何表示角A 的正弦、余弦、正切值？ 提示：sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b.问题2：如图，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P (a ，b )，作PM ⊥x 轴，如何用图中的数据表示sin α，cos α，tan α？提示：∵PM ⊥x 轴，∴△OPM 为直角三角形， ∴|OP |＝|OM |2＋|PM |2＝a 2＋b 2，∴sin α＝|PM ||OP |＝b a 2＋b 2，cos α＝|OM ||OP |＝aa 2＋b 2，tan α＝|MP ||OM |＝ba.在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离为r (r ＝x 2＋y 2>0)规定：三角函数定义定义域正弦 sin α＝y r R 余弦cos α＝x rR正切 tan α＝y x{α|α≠k π＋π2，k ∈Z }问题1：由三角函数的定义知sin α在什么条件下函数值为正？ 提示：α的终边在第一、二象限或y 轴正半轴． 问题2：tan α在什么情况下为负数？提示：因tan α＝y x，则x 、y 异号为负数，即α的终边在二、四象限为负数．三角函数值在各象限内的符号，如图所示：如图，由单位圆中的三角函数的定义可知sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 问题：sin α是否等于PM 的长？若不等，怎样才能相等？提示：不一定，可能等于PM 的长，也可能等于PM 长的相反数，把MP 看成有向线段即可．1．有向线段规定了方向(即规定了起点和终点)的线段． 2．有向线段数量根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量．3．单位圆圆心在原点，半径等于单位长度的圆．4．三角函数线设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M.(1)则有向线段MP、OM就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP＝sin α，OM＝cos α；(2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线交于点T，则有向线段AT就是角α的正切线，即AT＝tan_α.1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．2．三角函数值的符号，用角α的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直的线段．这些线段分别可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示．[例1] 已知角α的终边上有一点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．[思路点拨] 由三角函数的定义求三角函数时，应先确定α终边位置．由于含有参数a，而a 的条件为a ≠0，所以必须对a 进行分类讨论．[精解详析] ∵x ＝－3a ，y ＝4a ， ∴r ＝－3a2＋4a2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，角α为第二象限角，∴sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝2×45－35＝1.当a <0时，r ＝－5a ，角α为第四象限角， ∴sin α＝y r ＝4a －5a ＝－45，cos α＝x r ＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－1.[一点通] 已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r ，再由三角函数的定义求出三角函数值．当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．1．角α的终边过点P (－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值是____________．解析：P (－8m ，－3)，由cos α＝－45可得－8m 64m 2＋9＝－45， 解得m ＝12(m ＝－12不合题意，舍去)．答案：122．已知角α终边上点P (x,3)(x ≠0)，且cos α＝1010x ，求sin α，tan α. 解：∵r ＝x 2＋9，cos α＝x r， ∴1010x ＝xx 2＋9. 又x ≠0，则x ＝±1.∵y ＝3＞0，∴α在第一或第二象限．当α在第一象限时，sin α＝31010，tan α＝ 3.当α在第二象限时，sin α＝31010，tan α＝－3.3．已知角的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解：(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1，2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2. (2)当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝ －12＋－22＝5，得sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2.[例2] 确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π 3；(3)tan 191°－cos 191°；(4)sin 3·cos 4·tan 5.[思路点拨] 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号．[精解详析] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.从而tan 108°·cos 305°<0，∴式子符号为负．(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角．∴cos 5π6<0，tan 11π6<0，sin 2π3>0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3>0.∴式子符号为正． (3)∵191°是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0. ∴tan 191°－cos 191°>0. ∴式子符号为正．(4)∵π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. ∴sin 3·cos 4·tan 5>0. ∴式子符号为正．[一点通] 对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．4．判断下列各式的符号： (1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3.解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin 105°＞0，cos 230°＜0. 于是sin 105°·cos 230°＜0. (2)∵π2＜3＜π，∴3是第二象限角，∴cos 3＜0，又－2π3是第三象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＞0， ∴cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＜0.5．已知sin α·tan α>0，则α是第几象限角？解：∵sin α·tan α>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，tan α>0，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α<0，tan α<0.当sin α>0，且tan α>0时，α为第一象限角； 当sin α<0，且tan α<0时，α为第四象限角． ∴α为第一、四象限角.[例3] 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3与sin 4π5，cos2π3与cos 4π5，tan 2π3与tan 4π5的大小．[思路点拨] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时依据三角函数线的长度和正负．[精解详析] 在直角坐标系中作单位圆如图，以Ox 轴正方向为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox 轴，垂足为M ，由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT .同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.由图形可知：MP >M ′P ′，符号相同⇒sin 2π3>sin 4π5，OM >OM ′，符号相同⇒cos2π3>cos 4π5，AT <AT ′， 符号相同⇒tan 2π3<tan 4π5.[一点通] 利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．6．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 解析：在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较可得． 答案：sin 1.5>sin 1.2>sin 17．利用三角函数线，求满足下列条件的角x 的集合． (1)sin x ≤12； (2)cos x ＜32.解：(1)利用角x 的正弦线，作出满足sin x ≤12的角x 的终边所在位置的范围．如图(1)的阴影部分，由图形得角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－7π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .(2)利用角x 的余弦线，作出满足cos x ＜32的角x 的终边所在位置的范围，如图(2)的阴影部分，由图形得角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜x ＜2k π＋11π6，k ∈Z .1．准确理解三角函数的定义根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的．2．确定三角函数的符号根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y 、横坐标x 的符号；正切值则是纵坐标y 、横坐标x 同号时为正，异号时为负．3．三角函数线的应用三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小．课下能力提升(三)一、填空题1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________.解析：∵α是第三象限角， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：0 2．有下列命题：(1)若sin α>0，则α是第一、二象限的角； (2)若α是第一、二象限角，则sin α>0； (3)三角函数线不能取负值；(4)若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的序号是________．解析：只有(2)正确；∵sin π2＝1>0，但π2不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴(3)不正确；(4)应是cos α＝x x 2＋y 2(∵α是第二象限角，已有x <0)，∴(4)不正确．答案：(2)3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．解析：由cos α≤0及sin α＞0知角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上．故⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.答案：(－2,3]4．角α的终边上有一点P (a,4)，且tan α＝43，则3sin α－2cos α的值为________． 解析：∵tan α＝43，∴a ＝3.∴r ＝32＋42＝5，sin α＝45，cos α＝35，∴3sin α－2cos α＝125－65＝65.答案：655．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4； ③tan π8>tan 3π8；④sin 3π5>sin 4π5.其中判断正确的有________．解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sin π6＝－sin 7π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4，tanπ8<tan 3π8，sin 3π5>sin 4π5，∴②④正确． 答案：②④ 二、解答题6．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴，若角α终边过点P (－3，y )，且sinα＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α的值． 解：依题意，P 到原点O 的距离r ＝|OP |＝－32＋y 2＝3＋y 2. ∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16. ∴y 2＝73，y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限， 且cos α＝－33＋y2＝－33＋73＝－34.7．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.8．已知π4<θ<π2，试用三角函数线比较sin θ，cos θ，tan θ的大小．解：如图，在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线， sin θ＝MP >0, cos θ＝OM >0， tan θ＝AT >0，由图知OM <MP <AT ， 即cos θ<sin θ<tan θ.第2课时 同角三角函数关系若角α的终边与单位圆交于P (x ，y )，如图．问题1：角α的三角函数值是什么？ 提示：sin α＝y .cos α＝x .tan α＝y x. 问题2：sin α与cos α有什么关系？ 提示：sin 2α＋cos 2α＝y 2＋x 2＝1.问题3：sin αcos α的值与tan α有什么关系？提示：sin αcos α＝y x＝tan α.同角三角函数的基本关系式平方关系 sin 2_α＋cos 2_α＝1商数关系tan α＝sin αcos α，其中α≠π2＋k π，k ∈Z同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而tan α＝sin αcos α并不是对任意角α∈R 都成立，此时α≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] (1)若sin α＝－45，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；(2)已知tan α＝2，求2sin α－2cos α4sin α－9cos α的值．[思路点拨] 第(1)题应先利用平方关系求余弦，再由商的关系求正切； 第(2)问先把所求式化为只含tan α的代数式，再代入求值． [精解详析] (1)∵sin α＝－45，α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35，tan α＝sin αcos α＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.(2)∵tan α＝2， ∴2sin α－2cos α4sin α－9cos α＝2tan α－24tan α－9＝2×2－24×2－9＝－2.[一点通] 已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意： (1)角所在的象限；(2)用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；(3)用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tan α＝sin αcos α代入sin α、cos α的值即可求得tan α.1．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________.解析：∵sin α＋cos α＝12，∴(sin α＋cos α)2＝14，即1＋2sin αcos α＝14.∴sin αcos α＝－38.答案：－382．若sin θ－cos θ＝2，则tan θ＋1tan θ＝__________.解析：由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， ∴sin θcos θ＝－12.∴tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－2. 答案：－23．若cos α＝513，求sin α和tan α.解：∵cos α＝513>0，∴α是第一或第四象限角．当α是第一象限角时，sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝125；当α是第四象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－5132＝－1213.∴tan α＝sin αcos α＝－125.4．保持本例(2)的条件不变，求4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α的值． 解：4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.[例2] 化简：tan α＋tan αsin αtan α＋sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α·sin α1＋sin α. [思路点拨] 采用切化弦，减少函数种类，以达到化简的目的． [精解详析]原式＝tan α1＋sin αtan α＋sin α·1＋cos αcos α·sin α1＋sin α＝sin αcos αsin αcos α＋sin α·1＋cos αcos α· sin α＝11＋cos α·1＋cos αcos α·sin α＝sin αcos α＝tan α.[一点通] 化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简． (2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的．5.sin θ－cos θtan θ－1＝________.解析：sin θ－cos θtan θ－1＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cos θ.答案：cos θ6．化简1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为________． 解析：原式＝sin 210°－2 sin 10°cos 10°＋cos 210°sin10°－cos 210° ＝sin 10°－cos 10°2sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. 答案：－17．若3π2＜α＜2π，化简：1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α.解：∵3π2＜α＜2π，∴0＜cos α＜1，－1＜sin α＜0，∴原式＝ 1－cos α21＋cos α1－cos α＋1＋cos α21－cos α1＋cos α＝1－cos α21－cos 2α＋1＋cos α21－cos 2α＝ （1－cos α）2sin 2α＋ （1＋cos α）2sin 2α ＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α.[例3] 求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ. [思路点拨] 从较复杂的一边入手，采用切化弦的方式，即把左边的正切值用tan θ＝sin θcos θ替换． [精解详析] 左边＝sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos θsin θ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θcos θ＋cos θ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θsin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． ∴原式成立．[一点通] 证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有： (1)从一边开始证明它等于另一边； (2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．8．求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x1－tan x.证明：法一：右边＝1＋sin x cos x 1－sin x cos x＝cos x ＋sin xcos x －sin x＝cos x ＋sin x2cos x －sin x cos x ＋sin x＝cos 2x ＋sin 2x ＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝左边，∴原式成立． 法二：左边＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos xcos 2x －sin 2x ＝sin x ＋cos x 2cos x ＋sin x cos x －sin x ＝sin x ＋cos xcos x －sin x＝tan x cos x ＋cos x cos x －tan x cos x ＝1＋tan x1－tan x＝右边，∴原式成立．9．求证：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α.证明：左边＝sin α－cos α＋1sin α＋cos α＋1sin α＋cos α－1sin α＋cos α＋1＝sin α＋12－cos 2αsin α＋cos α2－1＝sin 2α＋2sin α＋1－cos 2α1＋2sin αcos α－1＝2sin α1＋sin α2sin αcos α＝1＋sin αcos α＝右边．∴原等式成立．1．对同角三角函数的基本关系式的理解“同角”有两层含义，一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．如：sin 23α＋cos 23α＝1，tan α2＝sinα2cosα2.2．同角三角函数的基本关系式的应用(1)应用同角三角函数关系式时，应灵活选择和使用．如cos 2α＝1－sin 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos α＝sin αtan α，sin α＝tan α·cos α等，上述关系都必须在定义域允许的范围内才成立．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外的三角函数值，且因为利用“平方”关系公式，最终需求平方根，会出现两解，所以要注意角所在的象限．这类问题通常会出现以下这几种情况：①如果已知三角函数值，且角的象限已被指定，那么只有一组解；②如果已知三角函数值，但没有指定角所在的象限，那么先由三角函数值确定角所在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；③如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角所在的象限，则需要分类讨论．课下能力提升(四)一、填空题 1．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m ＝________. 解析：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1， ∴⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1.即(m －3)2＋(4－2m )2＝(m ＋5)2，∴4m 2－32m ＝0. ∴m ＝0或m ＝8 答案：0或82．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝________.解析：∵sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，∴tan α＋12tan α－1＝2.∴tan α＋1＝4tan α－2 即3tan α＝3，∴tan α＝1. 答案：13．化简：cos 4α＋sin 2α·cos 2α＋sin 2α＝________. 解析：cos 4α＋sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＋sin 2α ＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：14．已知tan α＝m (π＜α＜3π2)，则sin α＝________.解析：∵tan α＝m ，π＜α＜3π2.∴m ＞0且sin α＜0.又tan 2α＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α＝m 2. ∴sin 2α＝m 21＋m2.∵sin α＜0，∴sin α＝－m1＋m2.答案：－m1＋m25．若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________. 解析：∵sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α. 又角α的终边落在x ＋y ＝0上， 故角α的终边在第二、四象限． 当α在第二象限时， 原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时， 原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0.答案：0 二、解答题6．已知tan x ＝2，求： (1)cos x ＋sin x cos x －sin x 的值； (2)23sin 2x ＋14cos 2x 的值． 解：(1)cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝1＋21－2＝－3.(2)23sin 2x ＋14cos 2x ＝23sin 2x ＋14cos 2xsin 2x ＋cos 2x＝23tan 2x ＋14tan 2x ＋1＝23×4＋144＋1＝712. 7．求证：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.证明：法一：左边＝sin 2αsin α－sin α cos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin α cos αsin 2α＝1＋cos αsin α， 而sin 2α＝1－cos 2α， ∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，故左边＝右边，∴原式成立．法二：tan α·sin αtan α－sin α－tan α＋sin αtan α·sin α＝tan 2αsin 2α－tan 2α－sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝tan 2αsin 2α－1＋sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝－tan 2αcos 2α＋sin 2αtna α－sin αtan αsin α＝－sin 2α＋sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝0，∴tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.8．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15.求sin x －cos x 的值．解：法一：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75.法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15 ①，sin 2x ＋cos 2x ＝1 ②，由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0， 解得cos x ＝－35，或cos x ＝45.∵－π2<x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos x ＝45，sin x ＝－35，∴sin x －cos x ＝－75.第3课时 三角函数的诱导公式一～四对于任意角α.问题1：2k π＋α(k ∈Z )与α的三角函数之间有什么关系？提示：由于α与2k π＋α(k ∈Z )的终边相同，所以三角函数值对应相等．问题2：观察下图，角π－α，π＋α，－α的终边与角α的终边之间有什么关系？你能利用它们与单位圆的交点的坐标之间的关系推导出它们的三角函数之间的关系吗？提示：π－α，π＋α，－α的终边与α的终边分别关于y 轴，坐标原点，x 轴对称．能.诱导公式角的终边间关系公式公式一终边相同sin(α＋2k π)＝sin_α(k ∈Z )cos(α＋2k π)＝cos_α(k ∈Z ) tan(α＋2k π)＝tan_α(k ∈Z )公式二终边关于x 轴对称sin(－α)＝－sin_αcos(－α)＝cos_α tan(－α)＝－tan_α 公式三终边关于y 轴对称sin(π－α)＝sin_αcos(π－α)＝－cos_α tan(π－α)＝－tan_α 公式四终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_α tan(π＋α)＝tan_α公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：(1)记忆方法：2k π＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，一句话概括：即“函数名不变，符号看象限”．(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.[例1] 求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6；(3)tan(－945°)． [思路点拨] 利用诱导公式进行化简求值．[精解详析] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan 945° ＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°) ＝－tan 45°＝－1.[一点通] 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．要准确记忆特殊角的三角函数值．1．tan 690°的值为________．解析：tan 690°＝tan(720°－30°)＝－tan 30°＝－33. 答案：－332．cos 29π6＝________.解析：cos 29π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos(⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.答案：－323．求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos 585°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解：(1)原式＝sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋7π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π4＝22cos 7π6tan π4 ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝22(－cos π6) ＝－22×32＝－64. (2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6－cos(360°＋225°)⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan 37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π＋π4＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4 ＝－3×33sin 60°－22＝－2＋32.[例2] 化简下列各式：(1)cos π＋α·sin α＋2πsin －α－π·cos －π－α； (2)cos 190°·sin －210°cos －350°·tan －585°. [思路点拨] 利用诱导公式一、二、四将函数值化为α角的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．[精解详析] (1)原式＝－cos α·sin α－sin α＋π·cos π＋α＝－cos α·sin αsin α·－cos α＝1.(2)原式＝cos 190°·－sin 210°cos 350°·－tan 585°＝cos 180°＋10°·sin 180°＋30°cos 360°－10°·tan 360°＋225°＝－cos 10°·－sin 30°cos 10°·tan 225°＝sin 30°tan 180°＋45°＝sin 30°tan 45°＝12.[一点通] 三角函数式的化简有如下方法：(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.4．化简：sin540°＋α·cos －αtan α－180°＝____________.解析：sin 540°＋α·cos －αtan α－180°＝sin[360°＋180°＋α]cos α－tan 180°－α＝sin180°＋αcos αtan α＝－sin αcos αtan α＝－sin αcos αcos αsin α＝－cos 2α.答案：－cos 2α5．设k 为整数，化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α.解：当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )， 原式＝sin 2m π－αcos[2m －1π－α]sin[2m ＋1π＋α]cos 2m π＋α＝sin －αcos π＋αsin π＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )， 原式＝sin 2m π＋π－αcos 2m π－αsin[2m ＋2π＋α]cos[2m ＋1π＋α]＝sin π－αcos －αsin αcos π＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上可知，当k 为整数时sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α＝－1.6．若sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求sin π－α＋5cos 2π－α3cos π－α－sin －α的值．解：由sin(α－π)＝2cos(2π－α)， 得－sin α＝2cos α，所以tan α＝－2.所以原式＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝tan α＋5－3＋tan α＝－2＋5－3＋－2＝－35.[例3] 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos x －1； (2)g (x )＝x 3sin x ；(3)h (x )＝sin 2(π＋x )＋cos(π－x )cos(－x )－3. [思路点拨](1)判断函数的定义域是否关于原点对称． (2)通过判断f (－x )与f (x )的关系得出结论． [精解详析] (1)∵x ∈R ，又f (－x )＝3cos(－x )－1＝3cos x －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数． (2)∵x ∈R ，又g (－x )＝(－x )3sin(－x )＝x 3sin x ＝g (x )， ∴g (x )为偶函数．(3)∵x ∈R ，h (x )＝sin 2x －cos 2x －3， 又h (－x )＝sin 2x －cos 2x －3＝h (x )， ∴h (x )为偶函数．[一点通] 根据诱导公式可知，正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，余弦函数y ＝cos x 为偶函数，正切函数y ＝tan x 为奇函数．7．函数y ＝cos(sin x )的奇偶性为________． 解析：令f (x )＝cos(sin x )，则f (－x )＝cos[sin(－x )]＝cos(－sin x ) ＝cos(sin x )＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．答案：偶函数8．若函数f (x )＝2cos 3x －sin 2x ＋π－2cos －x －π＋12＋2cos 27π＋x ＋cos －x ，(1)求证：y ＝f (x )是偶函数；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值． 解：(1)证明：∵f (x )＝2cos 3x －sin 2x ＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x ＝2cos 3x －1－cos 2x ＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x ＝2cos 3x ＋cos 2x ＋2cos x 2＋2cos 2x ＋cos x＝cos x 2cos 2x ＋cos x ＋22cos 2x ＋cos x ＋2＝cos x ， 即f (x )＝cos x ，x ∈R .则f (－x )＝cos(－x )＝cos x ＝f (x )， ∴y ＝f (x )是偶函数． (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.诱导公式的应用利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意负角的三角函数――→用公式一或二 任意正角的三角函数――→用公式一0～2π的角的三角函数――→用公式三或四锐角三角函数 可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角再求值”．课下能力提升(五)一、填空题1．sin 480°的值等于________． 解析：sin 480°＝sin(360°＋120°) ＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. 答案：322．化简：cos －αtan 7π＋αsin π＋α＝________.解析：原式＝cos α·tan π＋αsin π＋α＝cos αtan α－sin α＝sin α－sin α＝－1.答案：－13．已知cos(π＋α)＝－12，3π2＜α＜2π，则sin(2π－α)的值是________．解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，又3π2＜α＜2π，∴sin α＝－32， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝32. 答案：324．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：∵cos(508°－α)＝1213，∴cos[360°＋(148°－α)]＝1213，即cos(148°－α)＝1213.∴cos(212°＋α)＝cos[360°－(148°－α)] ＝cos(148°－α)＝1213.答案：12135．设函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 013)＝－1，则f (2 014)的值为________．解析：∵f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝－1， ∴f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β) ＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：1 二、解答题 6．求值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． 解：(1)∵cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝cos π3＝12， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋－4π＝tan π4＝1，∴cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(60°＋360°)cos(30°＋2×360°)＋sin[30°＋(－2)×360°]cos[60°＋(－2)×360°]＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60° ＝32×32＋12×12＝1. 7．已知sin(3π＋θ)＝14，求cos π＋θcos θ[cos π＋θ－1]＋cos θ－2πcos θ＋2πcos π＋θ＋cos －θ的值．解：sin(3π＋θ)＝－sin θ，∴sin θ＝－14.原式＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos θcos θ－cos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2 θ＝32. 8．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角．求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．解：∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．又cos(75°＋α)＝13>0，α为第三象限角，可知角75°＋α为第四象限角， 则有sin(75°＋α)＝－1－cos 275°＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－13.第4课时 三角函数的诱导公式五～六如图，设角α，π2－α，π2＋α的终边分别与单位圆交于P 1，P 2，P 3.问题1：若点P 1的坐标为(x ，y )，那么P 2，P 3的坐标分别是什么？ 提示：P 2(y ，x )，P 3(－y ，x )．问题2：你能根据P 1，P 2，P 3的坐标间的关系得出α，π2－α，π2＋α的三角函数之间的关系吗？提示：根据三角函数的定义可求出α，π2－α，π2＋α的三角函数值，从而可推出它们之间的关系．诱导公式角的终边间关系 公式公式五 角的终边关于y ＝x 对称sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α 公式六π2＋α的终边与π2－α的终边关于y 轴对称 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α诱导公式五～六的巧记方法π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号看象限”．[例1] 化简：tan 3π－αsin π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos 2π＋α.[思路点拨] 充分利用诱导公式及同角三角函数的基本关系进行化简． [精解详析] ∵tan(3π－α)＝－tan α， sin(π－α)＝sin α，sin(2π－α)＝－sin α，cos (2π＋α)＝cos α， sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α， ∴原式＝－tan αsin α－cos α＋－sin α－sin α－cos α·cos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1. [一点通] (1)本题化简主要采用“异角化同角，导名化同名”的解题策略． (2)注意同角三角函数关系的应用，如sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α等．1．化简sin(π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos(π＋α)＝________.解析：原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－(sin 2α＋cos 2α)＝－1. 答案：－12．化简：sin π－α·cos π＋α·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos 3π－α·sin 3π＋α·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝________.解析：原式＝sin α·－cos α·sin α－cos α·－sin α·cos α＝－tan α.答案：－tan α3．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan π－αtan －α－πsin －α－π.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－tan αtan π＋α·sin π＋α＝－cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·－tan αtan α·－sin α＝cos α·sin α－sin α＝－cos α.(2)由于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α＝15，所以sin α＝－15.又α是第三象限角， 所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265，故f (α)＝－cos α＝265.[例2]若sinα＝55，求cos3π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2－αcos 3π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α的值．[思路点拨] 可利用诱导公式首先把所求式进行化简，使化简的结果与已知条件sin α＝55建立联系，最后求得数值． [精解详析]cos 3π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2－αcos 3π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α＝cos[2π＋π－α]cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π2＋α－1＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αcos α－cos α－1＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α. ∵sin α＝55，∴2sin 2α＝10. 即原式＝10.[一点通] (1)利用公式五、六化简时一定要注意符号的准确性及名称的变化． (2)求值时整体把握角与角之间的相互关系及恒等变形，这是常用的解题策略．4．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，则sin(3π－α)＝________.解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，∴－sin α＝12，即sin α＝－12.∴sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝－12.答案：－125．已知sin 2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝1，求3sin 2θ＋3sin θ cos θ＋2cos 2θ的值． 解：∵sin 2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝sin θtan θtan π－θ－sin θtan π＋θ＝－sin θtan 2θ－sin θtan θ ＝tan θ＝1. ∴3sin 2θ＋3sin θ cos θ＋2cos 2θ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2 ＝3＋31＋3＋2＝1.6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．解：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－33， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－33＋33＝0.[例3] 求证： tan2π－αsin －2π－αcos 6π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.[思路点拨] 解答本题可直接把左边利用诱导公式进行化简推出右边． [精解详析]左边＝tan －α·sin －α·cos －αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－tan α·－sin α·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．[一点通] 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活运用，其主要思路是利用诱导公式化同角后，利用同角三角函数关系进行化简证明，可从左边推得右边，也可从右边推得左边．7．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，求证：sinB ＋C2＝cos A2. 证明：∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＋C ＝π－A . ∴B ＋C 2＝π2－A2∴sinB ＋C2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.8．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. 证明：左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原式成立．1．利用诱导公式解决条件求值问题的基本思路 化简条件三角代数式的常见思路有：(1)若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件； (2)若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式； (3)若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止． 2．利用诱导公式证明三角恒等式(1)三角函数式证明的过程也是化简的过程，它是一个经历多次化归，由负角变正角，由大角变小角，一直变到0°～90°角的过程．对同一角的化归方式可以多种多样．(2)证明条件等式，一般有两种方法：一是从被证等式一边推向另一边的适当时候，将条件代入，推出被证式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法．课下能力提升(六)一、填空题1．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α)＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α2．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案：－2。
推荐-高中数学苏教版必修四课件第1章 1.2.1 任意角的三角函数
与坐标轴负方向相同,切线AT与y轴正方向相同.
∴tan α>cos α>sin α,即c>b>a.
典例导学 即时检测 1 2 3 4 5
3.已知角α的终边经过点P(5,12),则sin α=
,cos α=
,tan
α=
.
答案:1123
5 13
判断下列各式的符号:
(1)tan 120°·sin 269°;(2)cos 4·tan
-
23π 4
.
思路分析此类问题的解决一是要弄清角的终边所在的象限,二 是要熟记三角函数值在各象限的符号.
典例导学 即时检测 一 二 三
解(1)∵120°是第二象限角,∴tan 120°<0.
∵269°是第三象限角,∴sin 269°<0.
典例导学 即时检测 一 二 三
在单位圆中画出满足 sin α=12的角 α 的终边. 解所给函数是正弦函数,故作直线 y=12交单位圆于点 P,Q,连接 OP,OQ,则射线 OP,OQ 即为角 α 的终边.
典例导学 即时检测 一 二 三
作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点, 然后过此点作x轴的垂线,得垂足,从而可得正弦线与余弦线.作正切 线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线,与角的终边(角α为第一或第四 象限角时)或终边的反向延长线(角α为第二或第三象限角时)交于 一点T,即可得到正切线AT.三角函数线的主要作用是求函数定义域、 值域、解三角不等式、比较两三角函数值的大小等.
123
1.三角函数的定义
如图,P(x,y),OP=r,一般地,对任意角 α,我们规定: (1)比值������������叫做 α 的正弦,记作 sin α,即 sin α=������������; (2)比值������������叫做 α 的余弦,记作 cos α,即 cos α=������������; (3)比值������������(x≠0)叫做 α 的正切,记作 tan α,即 tan α=������������.