北京化工大学2002年硕士研究生入学考试高等数学试题
2002全国研究生考研数学二真题及解析
线性表出矛盾．故向量组
，
线性无关，选
1, 2, 3
2
(A) 方法 2：用排除法
B 选项：取 k
0 ，向量组
，k
1, 2, 3
1
1, 2, 3 k
1
2
即 1, 2 , 3 ，
2
2
线性相关不成
立，否则因为
， 线性相关，又
1, 2, 3
线性无关，故 可由
1, 2 , 3
线性表出．即存在常数
2
，使得
1, 2 , 3
2.
(2)【答案】 1 【详解】面积
S xe dx
xde
x
x
0
0
xe e dx
x
x
0
b
xe e
xe e
x
x
x
x
lim
0
b
0b
b
1
其中
．
lim be b lim
lim 0
洛
b
b
b
e
e
b
b
lim be b e b
11
(3)【答案】 y
x1
【详解】方法 1：这是属于缺 x 的 y
f ( y, y ) 类型．
命
dp dp dy ． dp
y p, y
p
dx dy dx
dy
原方程 yy
y 2 0 化为 yp dp p2 0 ，得
dy
p
y dp p 0
0
或
dy
p
dy 0
'
0
y
，即
，不满足初始条件
x0
dx
1
《高等数学》(经管类)期中考试试题
北京化工大学2014-2015学年第二学期《高等数学》（经管类）期中考试试题一、 填空题（3分×27=81分）1、=+∫−dt t t dx d x)1ln(2233_____________________________; 2、=+++⋅∫−dx x x x x x 1122423)1sin (____________________; 3、=⋅∫dx x x e1ln _________________; 4、=−∫−dx x x 223cos cos ππ__________________; 5、=+∫+∞dx x x 03)1(_____________________; 6、求双曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围平面图形的面积__________________; 7、xOy 面上的双曲线63222=−y x 绕x 轴旋转而成的旋转曲面方程为________________________________;8、曲线−+−=−−=2222)1()1(2y x z y x z 在xOy 面上的投影曲线方程为_______________________; 9、以点)1,2,2(−O 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________________________________;10、函数)ln(122xy y x z +−+=的定义域是____________________________________; 11、=+−→xy xy y x 11lim)0,0(),(________________________; 12、求曲线=+=2)1(y xy z y，在点)9,2,1(处的切线对于x 轴的斜率为________________; 13、设)sin()ln(),(y x xy y x f z +⋅==，则=∂∂x z _________________________________; 14、设二元函数xy z arctan =，则=)1,1(dz ____________________________________; 15、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),(00y x f x 、),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点连续的____________________________条件。
北京化工大学《660高等数学》历年考研真题(2013-2016)完整版
B. 如果 f (x) 在[a,b]连续, 则 f (x) 在[a,b] 可导;
C. 如果 f (x) 在[a,b]可导, 则 f (x) 在[a,b] 可积;
D. 如果 f (x) 在[a,b]可积, 则 f (x) 在[a,b] 连续
（4）若 f (x) 的一个原函数是 1 , 则 f (x) x
D
，使 T
A1T
D
。
0 2 3
第 四 页 共 13 页
北京化工大学 2014 年攻读硕士学位研究生入学考试
高等数学 试题
注意事项 4. 答案必须写在答题纸上，写在试卷上均不给分. 5. 答题时可不抄题，但必须写清题号. 6. 答题必须用蓝、黑墨水笔或圆珠笔，用红色笔或铅笔均不给分.
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.
3
有
(x 2)2
A. 仅有水平渐近线 B. 仅有铅直渐近线 C. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 D. 既无水平渐近线又无铅直渐近线
（2）设函数 f (x) x sin 1 ，当 x 0 时， f (x) 为 x
A. 无界变量
B. 无穷变量
C. 有界，但非无穷小量 D. 无穷小量
（3）下列命题正确的是 A. 如果 f (x) 在[a,b]有界, 则 f (x) 在[a,b] 连续;
北京化工大学 2013 年攻读硕士学位研究生入学考试
高等数学 试题
注意事项 1. 答案必须写在答题纸上，写在试卷上均不给分。 2. 答题时可不抄题，但必须写清题号。 3. 答题必须用蓝、黑墨水笔或圆珠笔，用红色笔或铅笔均不给分。
一、选择题：1 ~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.
（1）曲线 y 1
北京化工大学招收硕士研究生入学考试试题及答案
2012年北京化工大学招收硕士研究生入学考试试题（考生注意：全部答案必须写在答题纸上否则后果自负!）考试科目代码：850考试科目：管理学一、判断题1.决策遵循的是满意原则，而不是最优原则（）。
2.部门划分的目的在于确定组织中各项任务的分配与责任的归属以求分工合理，职责分明，有效地达到组织的目标（）。
3.进行人员配备，寻找最合适的人选，就是要追求尽善尽美（）。
4.对薪金、地位等物质利益的追求是强烈的管理愿望的基础，是发挥全部管理才能的前提（）。
5.主管人员下达的命令越一致，领导与被领导者对最终成果的责任感也就越大（）。
二、多项选择题1.按地区划分部门的优点有（）。
A.有利于改善地区的协调B.有利于改善地区之间的协调C.有利于培养全面管理人才；D.有利于取得地区经营的经济效益E.有利于加强主管部门的控制2.现代的观点认为，人员配备要包括（）。
A.选人B.评人C.育人D.使用人E.留住人3.有效的管理幅度设计的应考虑的影响因素主要有：（）。
A.管理工作的内容和性质B.管理人员的工作能力情况C.下属人员的空间分布状况D.组织变革的速度E.信息沟通的情况4.上下级关系的数量增加就能（）。
A.增加管理宽度B.增加管理层次C.减少管理宽度D.减少管理层次E.对管理层次和管理宽度没有什么影响5.有效的授权必须掌握的原则是（）。
A.重要性原则B.适度原则C.责权一致原则D.级差授权原则6.计划按其所涉及综合性程度，可分为（）。
A.战略计划B.战术计划C.上层计划D.中层计划E.基层计划7.一般来说，越是组织的下层主管人员，所做出的决策越倾向（）。
A.战略型B.经验型C.常规型D.肯定型E.风险型8.主观决策法的特点是（）。
A.方法灵便B.易产生主观型C.缺乏严格论证D.易于一般于部所接受E.适合于非常规决策9.目标管理自身的缺点有（）。
A.目标管理理论尚未普及宣传B.适当的目标不易确定C.目标一般是短期的，而与长期目标脱节D.不灵活E.完成结果不易评价10.下列哪些属于计划工作的原理（）。
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及详解
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及详解试题部分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsine 1)(2tan x a x xx f xx在0=x 处连续，则=a ______．（2）位于曲线xxey -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______． （4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1nn Λ______． （5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（ ） （A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．（2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限 （ ）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．（4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（ ） （A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） （A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关． （B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关． （C ）321,,ααα21,ββk +线性无关． （D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程． 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式． 五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ． 六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？八、（本题满分8分） 设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．九、（本题满分8分） 设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵． （1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．详解部分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsine 1)(2tan x a x xx f xx在0=x 处连续，则=a ______．【答案】2-【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(x f 在0x x =处连续，有)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-== 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→===()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =- （2）位于曲线xxe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★【详解】解析：所求面积为1)(00=-=+-=-==+∞-∞+-+∞--∞+∞+-⎰⎰⎰xx xx xedx e xee xd dx xe S ．其中，()01lim lim lim =--=-+∞→+∞→-+∞→xx xx xx e e x xe洛必达.（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______．【答案】y =【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dydp py p y =''=',. 解析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=""+且21C =.于是特解y =方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之， 由0dp yp dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得22,y x C y =+=以01x y ==代入，得1=，所以应取“+”号且21C =.于是特解是y =（4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1nn Λ______．【考点】定积分的概念 【难易度】★★★【详解】解析：记1n u n =11n i n == 所以011lim lim n n n n i u n →∞→∞===⎰11coscos22xxdx dx ππ===⎰12sin2x πππ==.（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算 【难易度】★★【详解】解析：22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（ ） （A ）－1． （B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='； 解析：在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx =≠时0x x dyx dx =∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dyx f x x x dx'∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）. （2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★【详解】解析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限 （ ）（A ）不存在． （B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式 【难易度】★★【详解】解析：方法1：220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛 方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（ ） （A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x【答案】B【考点】导数的概念 【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：排斥法 （A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但lim ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）． 方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） （A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关． （B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关． （C ）321,,ααα21,ββk +线性无关． （D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示 【难易度】★★★【详解】解析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关， 应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.） 排除（D ）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程． 【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①切线方程：)(000x x y y y -'=- ②法线方程：)(1000x x y y y -'-=- 解析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为31,,42- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为13()24y x -=-，即504x y -=法线方程为113()(()),24124y x --=---即104x y +-=. 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】解析： 当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰ 当01x ≤<时，011()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当 五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．【考点】导数的概念、一阶线性微分方程 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：e =∆+∆→∆10)1(lim ；∆-∆+='→∆)()(lim)(0x f x f x f ，其中∆可以代表任何形式；解析：11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=， 即 2()1()f x f x x '= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x fV bax ⎰=)(2π解析：一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y eedx C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤ 由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰,令6215()052dV C dC π=+=,得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？【考点】定积分的物理应用—压力 【难易度】★★★★【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =， 因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x y =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+ 解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．【考点】数列的极限 【难易度】★★★【详解】解析：方法1：考虑（1）19(3)3343222n n n x x x ----==222933()4203322n n n x x x -+---==≤+ 所以132n x +≤（当1,2,n =L ），即32n x ≤（当2,3,n =L ），数列{}2,3,n x n =L 有上界32.再考虑（2）21n n n x x x --==0.=≥ 2,3,n =L .所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1n x +a 2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2n n x →∞=.方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故)211130(3).22x x x *<≤+-= 设302k x <≤，则113(3).22k k k x x x +≤+-= 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.210.n n n x x x +≤=≥-所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a .再由1n x +=两边命n →∞取极限，得a =32a =或0a =，但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分） 设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑 先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b ax a b b aξξξ=-'==<<<-而22112a b a bξ>>+. 其中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边. 方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=.22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<）， 而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以x b =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命()ln ln ),x x a x aφ=---有()0a φ=，及21()0,x x φ'==<所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得ln ln ),b a b a-<-即ln ln b a b a -<-右边证毕.十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．【考点】无穷小的比较，洛必达法则 【难易度】★★★【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组123,,λλλ,1232()(2)(3)(0)lim0h f h f h f h f L h λλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++= （1）由洛必达法则，1232()(2)(3)(0)limh f h f h f h f L h λλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h hλλλ→'''++= （2） 分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即 123230λλλ++= （3） 对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入1232()(2)(3)(0)0limh f h f h f h f hλλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦， 上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于系数行列式11112320,149=≠ 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵． （1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 若有E AB =则称B A ,互逆.解析：（1）由题设条件124A B B E -=-两边左乘A ，得 24B AB A =- 即 24AB B A -=(2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+ (2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --=得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）.(2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦M0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：由题设条件 124A B B E -=- 等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解 【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r A r ααααβααααβ====M故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1TTk -+.（其中k是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为[]112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++==已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。
北京化工大学2012-2013(1)高等数理统计试卷
北京化工大学2012-2013(1)《高等数理统计》试卷1. Let n X X X ,,,21 be iid random samples with pdf given by: 1)|(-=θθθx x f for 10<<x , where 0>θ is the parameter.(1) Find the method of moment estimator (MME) for θ and denote it by θ~.(2) Find the maximum likelihood estimator (MLE) of θ and denote it by 1ˆθ. Find the MLE of θ1 and denote it by 2ˆθ. (3) Calculate the Cramer-Rao Lower Bound for the variance of any unbiased estimator of θ1. (4) Is 2ˆθ unbiased estimator of θ1? If 2ˆθ is unbiased estimator of θ1, is it the uniformly minimum variance estimator (UMVUE) of θ1? Justify your answer. 2. Let n X X X ,,,21 be iid with pdf θθθ<<=x x f 0,/1)|(.(1) Prove that i n i n X X ≤≤=1)(max a complete sufficient statistics for the parameter θ.(2) Based on )(n X , find the uniformly minimum variance estimator (UMVUE) of θ.3. Let n X X X ,,,21 be a random sample form a ),(2σθn population, where θ and 2σ are unknown. We are interested in testing 00:θθ=H versus 01:θθ≠H ,here 0θ is a specified value of θ.(1) Show that the test that rejects 0H whenn S t X n /22/,10αθ->- is a test of size α, where 2/,1α-n t satisfies /2)t (/2,1αα=≥n-T P with 1~-n t T .(2) Show that the test in part (1) can be derived as a likelihood ratio test (LRT).4. Let n X X X ,,,21 be a random sample form a ),(2σθn population,2σ is known. Consider testing 1:0=θH versus 2:1=θH . Construct a uniformly most powerful (UMP) test with the size of α.。
2002考研数一真题及解析
八【详解】(1)根据方向导数和梯度的定义，知方向导数的最大值是梯度 的模长，
(2) 命=，求在约束条件下的最大值点. 为此，构造拉格朗日函数 则
. 由第1、第2 两式相加可得 . 从而得或，再分别讨论之.
若，则解得 或 若，则解得 或 于是得到如上4个可能极值点. 将记为. 由于 故点可作为攀登起点.
五【详解】应先将写成分块表达式. 记 于是
从而
六【详解】(1) 记， 所以，. 故在上半平面()，该曲线积分与路径无关. (2)方法1：由该曲线积分与路径无关而只与端点有关所以用折线把两个端
点连接起来. 先从点到点 再到点. 有 经积分变量变换后，. 当时，推得.
方法2:原函数法. 由原函数法计算第二型曲线积分的公式(与定积分的牛顿—莱布尼
0，又由 得. 解联立方程组得，.
方法2：分别将按佩亚诺余项泰勒公式展开到，有 ，
从而 由题设条件知， 所以. 方法3：由题设条件，有 由于，所以. 再将代入，并凑成导数定义形式，有 从而 .
四【详解】由知，由变上限积分的求导公式得 所以
因此，过点的切线方程为 在点处与上述曲线有相同的切线方程， 于是.
方法2：证明(B)正确. 设存在，记，证明. 用反证法，若，则对于，存在，使当时，，即 由此可知，有界且大于.在区间上应用拉格朗日中值定理，有
从而，与题设有界矛盾.类似可证当时亦有矛盾. 故.
(4) 【答案】(B)
【详解】三张不同平面的方程分别为判断三个平面有无公共点即判 断方程组有无公共解，且方程组有多少公共解平面就有多少公共点，由 于方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是(未知量的个数)，所以方程组 有解且有无穷多解，故三个平面有无穷多个公共点，故应排除(A)三平 面唯一交点(即方程组只有唯一解)(C)、(D)三平面没有公共交点(即方程 组无解).
北京化工大学考研题库
北京化工大学考研题库北京化工大学作为一所以化学工程与技术、材料科学与工程等学科为特色的高等学府，其考研题库涵盖了多个学科领域。
以下是一些模拟题，供同学们参考：化学工程与技术1. 请简述化学反应工程中的“三传一反”原理，并举例说明其在工业生产中的应用。
2. 描述化学工程中的热力学平衡与动力学控制的区别，并解释在实际过程中如何判断是哪一种控制。
3. 阐述化工设备设计中，材料选择的重要性及其对设备性能的影响。
材料科学与工程1. 解释材料的微观结构如何影响其宏观性能，并给出一个具体材料的例子。
2. 论述纳米材料在现代科技中的应用及其潜在的挑战。
3. 描述复合材料的制备方法及其在航空航天领域的应用。
环境科学与工程1. 简述水污染控制的主要方法，并讨论其优缺点。
2. 阐述大气污染对人类健康的影响及其控制策略。
3. 论述固体废物处理与资源化利用的策略。
生物工程1. 描述基因工程在医药领域的应用，并给出具体实例。
2. 论述生物反应器的设计原理及其在生产过程中的作用。
3. 简述生物技术在食品工业中的应用。
机械工程1. 解释机械设计中的强度、刚度和稳定性的概念，并讨论它们在设计中的重要性。
2. 描述机械制造过程中常见的加工方法及其适用性。
3. 论述现代机械工程中的自动化与智能化趋势。
计算机科学与技术1. 简述计算机操作系统的基本原理及其在多任务处理中的作用。
2. 论述数据库管理系统的设计原则及其在信息管理中的应用。
3. 描述人工智能技术在数据分析和决策支持中的应用。
结束语考研是一个漫长而艰辛的过程，但通过不断的学习和实践，同学们可以不断提升自己的专业能力。
希望以上的模拟题能够帮助同学们更好地准备考研，实现自己的学术目标。
预祝大家考研顺利，取得理想的成绩。
2002考研数一真题解析
P1AP
0
0
，即
淘宝店铺：光速考研工作室
6 0 0 A 0 0 0
0 0 0 相似矩阵具有相同的特征值，知 0 是 A 的特征值，根据特征值的定义，有 0E A A 0
a22
a4 2 2
A 2 a 2 把第2，3列加到第1列 a 4 a 2
22a
a4 2 a
12 2
12 2
提取第1列 (a
解之得， y2 x C2, y x C2 .以 y x0 1 代入，得1 C2 ，所以应取“+”号
且 C2 1. 于是特解是 y x 1 .
方法 2：将
yy
y2
0 改写为 ( yy) 0 ，从而得
yy C1 .
以初始条件
y(0) 1, y(0)
1 2
代
入
，
有
1
1 2
(2) lim F (x) 0, lim F (x) 1; (3) F (x) 右连续.
x
x
我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导.
【详解】方法 1：
(A)选项不可能，因为
[ f1(x) f2 (x)]dx f1(x)dx f2 (x)dx 11 2 1
n1
un un1
淘宝店铺：光速考研工作室
淘宝店铺：光速考研工作室
Sn
1 ( u1
1 u2
)( 1 u2
1 u3
)
( 1 u3
1 u4
)
(1)n1( 1 un
1 )
un1
1 u1
(1)n1 1 un1
n 由 lim
u n n
1 0 知，当 n 充分大时， un
北京化工大学研究生新生入学考试总题库
A
A-
B
B+
58
申请硕士生英语一外免修者国家英语六级考试成绩为630免修后成绩记为（ ）
B
A
A-
B
B+
59
申请硕士生英语一外免修者国家英语四级考试成绩为570免修后成绩记为（ ）
C
A
A-
B-
B+
60
考生考试获得B对应绩点为（ ）
D
4
3
61
考生考试获得A对应绩点为（ ）
A
4
3
62
考生考试获得C+对应绩点为（ ）
9
考试作弊的课程成绩记为（）
A
F
C
D
不知道
10
研究生若对课程成绩有异议，可在研究生院公布的复议期内，应首先向（）提出书面申请复议。
B
课程所在学院
本学院
研究生院
不知道
11
研究生对于成绩低于或等于（）时可以申请重修
C
A
B
C+
D
12
同门课程最多可重修（）次
B
1
2
3
4
13
同门课程的每次重修成绩（）计入GPA
都可以
98
研究生课程可以试听，开课（）可以在网上进行退课或改选
B
一周内
两周内
一个月内
随时可以
99
研究生因参加各类团体活动而缺课的，须由团体活动负责人提出书面申请并带有效文件，报（）审核批准
B
学生所在学院
研究生院
活动举办方
都可以
100
博士研究生在（）后，按照《北京化工大学博士、硕士学位授予工作实施细则》申请论文答辩
北京化工大学2015-2016第二学期高等数学(Ⅱ)期末试卷
《高等数学（Ⅱ）》期末考试试卷一、 填空题（3分*6=18分） 1．设x xye z =,则________|)1,1(=dz .2．函数xx f 1)(=，在区间），（02-上展开为1+x 的幂级数为____________. 3．设D 是由||,1122y x y x ≥≤+-）（所确定的平面区域，则二重积分dxdy y xf D⎰⎰+)(22在极坐标下的二次积分为_______________.4．设∑为球面2222R z y x =++，则曲面积分___________222=++⎰⎰∑z y x dS。
5．已知),,(2yzy z xy xy A +=，则向量场A 在点M （2,1,1）的散度A div =_______.6．微分方程02'''=--y y y 的通解为_________. 二、 计算题（6分*4=24分） 1. 计算二重积分dy dx y x D⎰⎰22，其中D 是由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域。
2. 计算变力j y e x i x xe F y y )()(222-++=沿着有向曲线25x x y -=从原点移动到)2,1(A 点处所做的功。
3. 已知微分方程为x e y y 4''=+，求该方程通解。
4. 一构件形如曲线132:22=+y x L ，设的L 曲线长度为l ，线密度为2223y x e +，计算该构建的质量。
三．解答题（7分*6=42分）1.设),(y x z z =由方程)2(222z f z y x =++确定，且)(x f 二阶可导，求x z ∂∂,yx z∂∂∂2.2.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++2322z z y x z z y x 在点(-1,-1,1)处的切线方程与法平面方程。
3.计算ω的体积，其中ω是由z z y x 2222≤++和22y x z +≥所围成的空间区域。
北京化工大学 2002 年攻读硕士学位研究生入学考试.
第2 页 共3页
B1 B2
y y
+ +
C1 z C2 z
+ +
D1 D2
=0 =0
，
l2 :
A3;
B3 B4
y y
+ +
C3 z C4 z
+ +
D3 D4
= =
0 0
相交，则
A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 = 0 A3 B3 C3 D3 A4 B4 C4 D4
二、（30 分） 1.判断 z=xy 表示什么曲面。 2.z=xy 是否中心曲面? 若是，求其对称中心。 3.z=xy 有无对称轴? 若有，求其对称轴。 4.z=xy 有无对称平面? 若有， 求其对称平面。 5.z=xy 是否直纹面? 若是，求其直母线族。
值域，即象。
证明：若 1、 A2 = A, B 2 = B ,即 A 、 B 都是幂等变换； 2、 A + B =1V ；
则 1、Im A =Ker B , Im B =Ker A ； 2、V= Im A ⊕ Im B 。
五、（30 分）设 A 是 n 级矩阵， mA (x) 是 A 的最小多项式， f (x) 是多
三、（30 分）设 P 是数域，P n = {(x1, x2 ,L, xn ) xi ∈ P,i = 1,2,L, n} 是
数域 P 上的 n 维向量空间, 证明： Pn 的每一个真子空间都是数域 P 上某个齐次线性方程组的解空间。
第1 页 共3页
四、（30 分）设 A 、 B 是线性空间 V 中的线性变换，1V 是 V 中的单位变 换，Ker A ,Ker B 分别是 A 、 B 的核，Im A ,Im B 分别是 A 、 B 的
北京化工大学硕士研究生入学考试
北京化工大学硕士研究生入学考试《无机化学（含分析化学）》考试大纲一、参考书目1.大连理工大学无机化学教研室编，《无机化学》（第五版），高等教育出版社，北京, 20062.彭崇慧等，《分析化学—定量化学分析简明教程》（第3版），北京大学出版社，北京，20093.董慧茹，《仪器分析》（第二版），化学工业出版社，北京，2010二、考试内容第1xx数据处理定量分析对反应的要求和滴定方式，定量分析过程以及滴定分析的计算。
有关误差的基本概念，包括误差来源、分类、减免或消除方法，误差的表示方法，精密度与准确度的概念和相互关系；有限数据的统计处理方法，包括标准偏差的计算，t检验，F检验和Q检验，置信区间的计算；有效数字的正确表示及其运算规则。
第2xxxx、熵和Gibbs函数热化学方程式的书写、反应焓变、Hess定律及有关计算。
化学平衡的概念，标准平衡常数和平衡组成的计算。
反应商判据和Le Châtelier原理，浓度、压力、温度对化学平衡移动的影响及有关的简单计算。
标准摩尔熵(Sm)、标准摩尔生成Gibbs函数(fGm)的概念；反应的标准摩尔熵((△r Sm)和反应的摩尔Gibbs函数变(△rGm)的简单计算；△rGm与△rHm和△rSm的关系，用△rGm和rGm判断反应进行的方向和程度。
第3章酸碱平衡、酸碱滴定酸、碱质子理论的基本要点和酸碱电子理论的基本概念。
水的解离平衡、水的标准离子积常数和强酸、强碱溶液的pH值的计算。
溶液中存在的三种平衡关系。
不同体系下的质子条件式。
通过质子条件计算各种溶液的pH值以及各种形态的分布。
同离子效应和缓冲溶液的概念，缓冲溶液的pH值的计算，酸碱滴定基本原理和酸碱指示剂的作用原理；酸碱滴定方式及其应用；滴定结果的计算和终点误差的计算，尤其是直接滴定条件以及利用滴定体积判断混合酸碱组成及其含量。
第4章沉淀-溶解平衡、沉淀滴定溶解度和溶度积。
沉淀的生成和溶解。
两种沉淀的之间的平衡。
北京化工大学 2015-16-2《高等数学》(经管类)期末试卷
北京化工大学2015——2016学年第二学期《高等数学》（经管类）期末考试试卷班级： 姓名： 学号： 任课教师： 分数：一、填空题（每题3分，共30分）1. 已知22(,),yf xy x y x+=-则(,)f x y =______________________. 2. 求曲线221()42z x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线对于y 轴的倾角为___________. 3. 100x x y dx e dy +⎰⎰=________________. 4. 20x xe dx +∞-=⎰_______________________ 5.改换积分的次序212(,)x dx f x y dy -=⎰⎰__________________________.6. 用待定系数法求微分方程''2'5cos2x y y y e x -+=⋅的一个特解时，我们可以设特解为=*y _________________________________7. 若一球面以点(1,3,2)-为球心且过原点，则其方程为________________8. 设()f t 连续，且lim ()1t f t →+∞=，()limx x f t dt =_________________________ 9. 幂级数1(1)2nn n x n ∞=-⋅∑的收敛域为__________________________ 10. 设22{(,)1}D x y x y =+≤，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标下可表示为__________二、计算题（每题6分，共42分）1.求2y D I e d σ-=⎰⎰，期中D 是由直线y x =，1y =及y 轴所围成的闭区域。
2.设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，求yz x z ∂∂+∂∂及dz3.求函数3322(,)33f x y x y x y =+--的极值，并指出是极大值还是极小值。
北京化工大学考研真题-334高等数学样题
北京化工大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试高等数学 样题注意事项1. 答案必须写在答题纸上，写在试卷上均不给分.2. 答题时可不抄题，但必须写清题号.3. 答题必须用蓝、黑墨水或圆珠笔，用红色笔或铅笔均不给分。
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设曲线的参数方程表达式为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-,)1ln(322t y e x t+∞<<∞-t 则其垂直于x y -=的法线方程为 . （2）微分方程10122-='+''x y y 的通解为 . （3）设)(x f 有连续导函数，2)1(=-'f ，且)1ln()(cos lim20x x f x +→存在，则)1ln()(cos lim20x x f x +→= . （4）=-++⎰-dx xa a x x x aa222cos 2 .（5）设),(y x z z =由方程y e z z x +=-3确定，则=∂∂-∂∂yzx z 3（6）设B A ,均是n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位阵，且=+-1)2(E ABE AB +2，则=AB .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）设0→x 时，x x -tan 是与n x 同阶的无穷小，则n 为（A ）1（B ）3（C ）2 （D ）4[ ]（2）设函数⎰-=xdt t f x t x F 0)()2()(，其中)(x f 可导，且0)('>x f 在区间)1,1(-成立，则 （A ）)(x F 必在0=x 处取得极大值 （B ）)(x F 必在0=x 处取得极小值（C ）)(x F 不在0=x 处取得极值，但点))0(,0(F 是曲线)(x F y =的拐点（D ）)(x F 不在0=x 处取得极值，点))0(,0(F 也不是曲线)(x F y =的拐点[ ]（3）dx e x x M x 21121sin ⎰-+=，⎰-+=113)(sin 2dx e x N x ，⎰-+=11)cos (dx e x x P x，则有（A ）M P N << （B ）N P M <<（C ）P M N <<（D ）P N M <<[ ]（4）设函数)(x f 可导，则（A ） 当)(x f 是奇函数时，⎰xdt t f 0)(必是偶函数（B ） 当)(x f 是奇函数时，)('x f 必是奇函数 （C ） 当)(x f 是周期函数时，⎰xdt t f 0)(必是周期函数（D ） 当)(x f 是单调增函数时，)('x f 也是单调增函数[ ]（5）设)(x f y =，在],0[a 上可导，从定性上看区间],0[a 上，下列三个图形分别是)(x f y =，)('x f y =，⎰=xdt t f y 0)(的图形是（A ）132,,L L L （B ）231,,L L L（C ）321,,L L L（D ）213,,L L L[ ]（6）A 是n 阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，下列等式错误的是第三页共五页（A ）nA AA =*（B ）2)1()(-**=n AA（C ）12-*=n AA A （D ）nA A A =*[ ]（7）设函数)(x f 连续，区域{}y y x y x D 2),(22≤+=，则⎰⎰Ddxdy xy f )(等于（A ）⎰⎰----221111)(x x dy xy f dx . （B ）⎰⎰-2102)(2x dx xy f dy .（C ）⎰⎰θπθθθsin 2020)cos sin (dr r f d .（D ）⎰⎰θπθθθsin 2020)cos sin (rdr r f d [ ]三、（本题满分9分）求⎰++41sin cos πdx x xx四、（本题满分9分）求)cos 112(lim 0xx x --+→ 五、（本题满分9分）设)(x y y =由方程⎰-=--y x tdt y x x 02sec )tan(2确定，求122=x dxyd .六、（本题满分11分）设函数)(x f 满足方程x x f x xf 4)(2)('-=-，且由曲线)(x f y =，直线1=x 与x 轴所围成的平面图形S 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求S 的面积. 七、（本题满分12分）设凸曲线(在x 轴上方)上每一点处的曲率半径等于该点处法线在曲线上与x 轴间的长度,且曲线在)1,0(处的切线斜率为0,求曲线方程. 八、（本题满分10分）⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0arctan 0tan )(x e x x a x xx f x(1)a 为何值时,)(x f 在0=x 处连续 (2)求)('x f ,并讨论其连续性. 九、（本题满分9分）就常数a 的各种可能取值讨论方程x ae x =2的实根个数及每个根所在范围. 十、（本题满分12分）设),(22xy e y x f z --=，其中f 具有连续二阶偏导数，求yx zy z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,. 十一、（本题满分9分）已知A A =2,E AB B A =--2(E 为单位矩阵),证明B A -可逆,当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260130001A 时,求B .十二、（本题满分12分） 已知T )2,0,4,1(1=α T )3,1,7,2(2=α Ta ),1,1,0(3-=αT b )4,,10,3(=β(1)b a ,为何值时β不能由321,,ααα线性表出;(2)b a ,为何值时β可由321,,ααα线性表出,写出表出式.。