例谈建立轴对称模型解决数学问题

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三维问题有限元分析(包括轴对称问题)

平衡方程
建立每个有限元的平衡方程，通过求解这些方程来得到近似解。
离散化
将连续的问题离散化，将整个求解域划分为有限个小的子域（称为有限元），每个子域上定义节点。
有限元方法的基本原理
解方程
通过求解整体矩阵的方程，得到各个节点的值，从整体矩阵，用于表示整个求解域上的问题。
详细描述
三维弹性力学问题的有限元分析
总结词
详细描述了三维热传导问题有限元分析的基本原理、方法和应用。
详细描述
三维热传导问题是有限元分析的另一个重要领域，主要研究热量在物体中的传递和分布。通过将连续的物体离散化为有限个小的单元，可以建立单元之间的热量传递关系，从而得到整个物体的温度分布。这种方法广泛应用于工程领域，如传热学、热能工程等。
边界条件处理
轴对称问题的有限元方法
轴对称问题有限元分析的实现流程
建立系统方程
根据有限元近似解法，将微分方程转化为离散化的系统方程。
划分网格
根据问题的几何形状和特点，将求解区域划分为一系列离散的网格单元。
建立数学模型
根据实际问题，建立相应的数学模型，包括物理方程、边界条件和初始条件。
求解系统方程
采用适当的数值方法（如直接法、迭代法等），求解离散化的系统方程，得到每个离散单元上的近似解。
轴对称问题具有旋转对称性，即其解在绕对称轴旋转时保持不变。
轴对称问题的定义和特性
特性
定义
将连续的物理问题离散化为有限个离散的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
离散化
在每个离散单元上，使用近似函数来逼近真实解。常用的近似函数包括多项式、样条函数等。
近似解法
对于轴对称问题，边界条件通常与对称轴相关。需要对边界条件进行特殊处理，以确保离散化后的系统方程满足原始问题的约束。

数学轴对称例1教案——展示学生探究式学习成果

数学轴对称例1教案——展示学生探究式学习成果
在现代教育中，越来越多的教育理论和实践呼吁学生学习能够通过自我探究和发现来实现真正的学习。

这种学习方法被称为探究式学习。

探究式学习是一种基于发现和体验的教学方式，通过让学生积极参与探究和发现，培养学生学习和解决问题的能力。

本文将介绍一种数学轴对称的探究式学习案例，并通过展示学生在该案例中的探究和学习成果，探讨探究式学习的有效性。

一、案例简介
本案例中，教师引导学生通过观察和探究轴对称的特性，发现并理解轴对称的概念和方法。

二、探究活动
1.引导学生观察
教师首先引导学生观察常见的轴对称图形，如“心型”“苹果图案”等。

学生通过观察，发现这些图形有什么相似之处，进一步认识轴对称的概念和特性。

2.自主实践
接着，教师要求学生自主制作一些轴对称的图形，并用其进行轴对称。

在实践过程中，学生不断尝试和发现，深入理解轴对称的方法和过程。

3.巩固知识
教师让学生完成一些书面练习，巩固对轴对称的理解和掌握。

三、学生学习成果展。

七年级数学下册第五章轴对称的应用将军饮马问题课件(新版)北师大版

A P
B l
B′
6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短呢？你能尝试证明吗？
探究新知
证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、QB、 QB/，如图所示。
∵PA+PB=PA+PB/=AB/ QA+QB=QA+QB/
又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和大于第三边）
∴PA+PB＜ QA+QB 即此时点P使得PA+PB的值最小
B
A P L
Q
B/
小试牛刀
如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，已知居民区A、B分别距离街道1km、2km，两居民区水平距离4km，请问奶站修建在什么地方才能使得A，B到它的距离之和最短？最短距离是多少？
C
居民区A 街道
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你知道海伦是如何帮助将军解决问题的吗？
B A
l
任务驱动启迪智慧
问题
A
1、截至目前，你学到那些最短问题？
2、如图，A,B 两点位于直线L
A
的两侧，你能
在直线L上找一
点P，使得点p
到A、B两点距
直线段路径
课后拓展延伸
课后作业
1、如图，菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=600，E是AB 的中点，点P是对角线AC上的一个动点，请找出使得 PE+PB的值最小时点P的位置（找出位置即可）
D
A
P C
E B
课后拓展延伸
☆一点P,让PB与PA 的差最大，并给出证明！

运用轴对称进行化归,解决几何最值问题

运用轴对称进行化归，解决几何最值问题作者：韩江来源：《初中生世界·八年级》2014年第10期未知问题可化归为已知问题，复杂问题可化归为简单问题. 化归是一种非常重要的数学思想方法，只要掌握了化归的方法，一切问题都将迎刃而解. 本文以轴对称变换为例，与同学们谈谈用化归思想解决几何最值问题.一、两个数学基本事实两点之间的所有连线中，线段最短. 如图1，线段AB最短. 把这个数学事实称为“模型1”，简称“模1”.在直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 如图2，垂线段PH最短. 把这个数学事实称为“模型2”，简称“模2”.很多几何最值问题，都可以通过化归的方法与这两个数学模型联系起来. 最经典的莫过于“将军饮马问题”.唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题. 如图3，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营. 请问怎样走才能使总路程最短？【解析】如图4，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接PA、PB，此时PA+PB最短. 数学原理：点A、B是定点，点P是动点，点A的对称点A′仍是定点，根据轴对称性质得PA=PA′，从而PA+PB=PA′+PB，问题就化归为“模1”，所以图4中A-P-B为最短路径，如果点P取在其他位置，都将违背“两点之间，线段最短”.把“将军饮马问题”称为“模型3”，简称“模3”. “模3”的特点是有两个定点、一个动点，两个定点在动点所在直线的同一侧.二、具体应用1. 单动点最值问题例1 如图5，正方形ABCD的边长是1，以AB为一边作等边△ABE，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为______.本题是一个较复杂的问题，它是“模1”与“模3”相结合的一个典型，熟知这两种模型，通过化归的方法，得到了一个解决此问题的好方法.三、基本策略运用轴对称进行化归，解决几何最值问题，基本策略是先找到一个定点（如果没有，可找一个合适的动点），再作此点的对称点，从而将某些线段通过轴对称进行位置变换，通常都可以将问题化归为文中的3种模型.同学们，初中数学的几何最值问题还有很多类型，比如还可以通过其他图形的变换进行化归，或者还可以用函数的方法解决，限于篇幅，本文不作赘述. 化归的方法和策略也有很多，希望通过本文能够抛砖引玉，引导你们归纳有用的数学模型，通过体悟，能够将陌生的数学问题化归为已知的数学问题. 只要掌握了化归的方法，你就找到了解决问题的钥匙.（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）。

中考数学几何模型专题专题五—轴对称

专题五轴对称模型21 将军饮马之“两点一线”模型模型故事唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?模型展现基础模型怎么用?1.找模型遇到两个定点和一条定直线,求定直线上一点,与两点的连线和最小,考虑“两点一线”求最值模型2.用模型异侧两点则直接连接,同侧两点,则需要通过轴对称性质转化为异侧,利用“两点之间线段最短”求最值结论分析结论1:连接AB交直线l于点P,此时P A+PB值最小,最小值为AB的长证明:当点A,B,P共线时,P A+PB=AB，当点A,B,P不共线时,P A+PB>AB，∴P A+PB≥AB，∴当点A,B,P共线时,P A+PB的值最小,最小值是线段AB的长.结论2:作点B关于直线∴的对称点B',连接AB',交直线l于点P,此时P A+PB值最小,最小值为AB'的长证明:由轴对称性质可知,PB=PB'，∴P A+PB=P A+PB'≥AB'，∴当点A,B' ,P共线时,P A+PB的值最小,最小值是线段AB'的长.(也可以作点A关于直线l的对称点A',同理也可求出P A+PB的最小值)满分技法1.两点之间,线段最短.如图,点A和点B之间的3条线中,线段AB的距离最短,是线路∴.2.对称的性质.如图,若点A,A’关于直线l对称,P是直线l上一点，则P A= P A'.模型拓展模型拓展巧学巧记“两点一线”型问题简记为:线段和最小时,异侧直接连,同侧找对称;线段差最大时,同侧直接连,异侧找对称.典例小试例1 （2020贺州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=6√3，BD=6，点P是AC上一动点（点拨：一动点P），点E是AB的中点，则PD+PE（点拨：两定点D，E，一定线AC，求线段和最小值）的最小值为_________.考什么？轴对称的性质，两点之间线段最短（三角形三边关系），菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判断与性质思路点拨线段和最值问题，先根据已知条件判断定点、动点的个数及定点与定线的位置关系，确定模型，再按照模型结论确定最值点。

小学数学_轴对称教学设计学情分析教材分析课后反思

轴对称【教学内容】人教版数学四年级（下册）教材第82、83页例1、例2【教学目标】1、在具体情境中进一步认识轴对称图形，能在方格纸上补全一个轴对称图形的另一半，探索轴对称图形的特征和性质。

2、通过各种小组合作活动，培养学生的观察能力、动手操作能力和创新思维能力。

3、在欣赏图形变换所创造出的美的过程，培养审美意识，感受对称在生活中的应用，体会教学的价值。

【教学重难点】探索画轴对称图形的方法,在作图中探索轴对称的本质特征。

【教学准备】多媒体课件，铅笔，尺子，作业纸【教学内容】课前交流玩游戏:猜一猜,老师给你几个点，你来猜他能连成什么图形？上课一、唤起与生成1、复习旧知：出示游戏中我们在脑海中画出的这些图形，说一说有什么发现。

2、说一说什么样的是轴对称图形？让学生明确什么样的是轴对称图形及其对称轴。

像这样，对折以后两边能够完全重合的图形，我们把它叫做轴对称图形。

那这些图形都是轴对称图形吗？师：这只是我们目测的结果，我们来折一折,看。

（课件出示）3、谈话引入课题看来你们对以前学过的知识掌握的很好。

今天这节课就让我们来进一步研究与轴对称有关的知识(板书课题)二、探究与解决1、画对称轴其实刚才的这些轴对称图形，在我们的现实生活中，都能找到它们的影子。

看（出示）见过它们吗？那如果让你们来画出它们的对称轴，会画吗？老师为大家准备了一号作业纸，从中任选两个图形，用铅笔和直尺，画出这些轴对称图形的对称轴。

注意：对称轴要用虚线画。

生独立完成试画对称轴。

完成之后请同学们看大屏幕，对照一下，你画的对吗？（出示）有什么发现吗？2、找生活中的对称图形其实在我们的生活中，轴对称图形还有很多。

说一说，你都见过哪些轴对称图形？3、补全轴对称图形既然轴对称图形在生活中应用这么广泛，我们就应该进一步认识它。

今天老师要加大难度，我们来画一画轴对称图形。

（出示）你能补全这个轴对称图形吗？（1）想象一下补全之后是什么图案？（2）独立思考：如何画出它的右边？有什么好方法？生说方法并验证（3）小组活动：对照作业纸二，讨论补全轴对称图形的方法并试画。

初中数学《生活中的轴对称》优秀教案

初中数学《生活中的轴对称》优秀教案
知识目标
1.掌握轴对称的概念及其表示方法；
2.理解轴对称的性质；
3.运用轴对称的知识，解决生活中有关轴对称的问题。

教学重点
1.轴对称的概念及其表示方法；
2.轴对称的性质。

教学难点
1.运用轴对称的知识，解决生活中有关轴对称的问题。

教学准备
1.准备一些有轴对称的物品照片；
2.让学生自带一些具有轴对称的物品。

教学过程
1. 导入
1.引入“轴对称”概念，并与学生共同探讨轴对称在生活中的应用；
2.给学生展示一些有轴对称的物品照片，引导学生尝试找出其中的轴对称轴线；
3.让学生自带一些有轴对称的物品并与全班分享。

2. 讲解
讲解轴对称的概念、表示方法及其性质，让学生对轴对称进行深入理解。

3. 实践
1.按照学生自带的轴对称物品，让学生分组讨论寻找它们的轴对称轴线，让每组发言表述他们的思路；
2.让每个小组选出一位代表，在班内展示他们找到的轴对称轴线；
3.集体讲解每个物品的轴对称轴线是否正确。

4. 练习
1.布置课堂作业，让学生完成练习册中有关轴对称的习题；
2.监督学生自主学习、相互合作解决问题。

教学反思
此次课堂，针对初中学生的认知能力及情感需求，采用了以实物为重点，注重小组讨论，共同的展示交流等方式来启发学生思考，激发学习兴趣，鼓励他们互相合作解决问题，提升了学生的自主学习能力和发现问题能力，课堂气氛融洽。

在下一次教学中，我们将针对学生能力水平的不同，采用不同的实践方式，以便更好地满足学生需求，使教学更高效。

北师大版七年级下册数学第五章生活中的轴对称中考重难点(模型观念)挖掘教材中的轴对称与最短路径模型

DA延长线AH，
因为∠DAB＝130°，
所以∠AA'E＋∠ A'' ＝180°－∠A'A A'' ＝50°.
因为∠EA'A＝∠EAA'，∠FAD＝∠ A'' ，
所以∠EAA'＋∠ A'' AF＝50°.
所以∠EAF＝130°－50°＝80°.
答案图
·数学
模型四：两动两定型 (模型来源——人教8上P93) (1)问题：如图1，点P，Q在∠AOB的内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得四边形PQDC的周长最小.
(2)解决方案：如图2，分别作点P，Q关于OA，OB的对称点P'，Q'，连接P'Q'，分别交OA，OB于点C，D，此时，PC＋CD＋DQ的最小值为P'Q'，所以四边形PQDC周长的最小值为PQ＋P'Q'.
·数学 4.(跨学科融合)(人教8上P93)如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径. 解：如图，最短路径AQ＋QP＋PB为所求.
·数学 3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝ 90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点.当△AEF的周长最小时，求∠EAF的度数.
·数学
解：如图，作A关于BC和CD的对称点A'，A''，连接A'A''，
交BC于E，交CD于F，则A' A''即为△AEF的周长最小值.作
答案图
·数学
模型五：两定点一定长型 (模型来源——人教8上P86)
(造桥选址问题) (1)问题：如图1，l1∥l2，l1，l2间的距离为d，在l1，l2分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB的值最小.

人教版八年级数学上册第13章《轴对称》教学设计

人教版八年级数学上册第13章《轴对称》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册第13章《轴对称》是学生学习几何知识的重要章节，主要内容包括轴对称的定义、性质、判定及其在实际问题中的应用。

本章教材通过丰富的实例，引导学生探究轴对称的规律，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二. 学情分析八年级的学生已具备一定的几何基础，对图形的变换有一定的了解。

但轴对称的概念较为抽象，学生对其理解可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动的实例和丰富的活动，帮助学生建立轴对称的概念。

三. 教学目标1.理解轴对称的定义及其性质。

2.学会判断一个图形是否为轴对称图形。

3.能够运用轴对称的知识解决实际问题。

4.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.轴对称的定义和性质。

2.判断一个图形是否为轴对称图形。

3.轴对称在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的实例，引导学生感受轴对称的现象。

2.合作学习法：鼓励学生分组讨论，共同探究轴对称的性质。

3.引导发现法：教师引导学生发现问题，总结规律。

4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示轴对称的实例和性质。

2.练习题：准备适量练习题，巩固学生对轴对称的理解。

3.教学道具：准备一些实际物品，如卡片、纸张等，用于展示轴对称的现象。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如剪纸、折叠等，引导学生发现轴对称的现象，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）展示教材中的实例，引导学生总结轴对称的定义和性质。

如：一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能够完全重合，则这个图形关于这条直线对称。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，判断教材中的图形是否为轴对称图形。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，巩固对轴对称的理解。

教师及时批改，给予反馈。

5.拓展（10分钟）引导学生思考轴对称在实际问题中的应用，如设计图案、解决几何问题等。

轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳(学生版)-初中数学

轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳目录解题知识必备压轴题型讲练类型一、“2定点1动点”作图问题类型二、“2定点1动点”求周长最小值问题类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题类型五、“1定点2动点”-角度问题压轴能力测评(11题)基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使P A+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,P A+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，P A+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得P A+PB值最小(或△ABP的周长最小)解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线性质得：P A=P A´，要使P A+PB最小，则需P A´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.类型一、“2定点1动点”作图问题1.如图，在平面直角坐标系中，点A4,4．，B2,-4(1)若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C，D，请分别描出点C，D并写出点C，D的坐标；(2)在y轴上求作一点P，使P A+PB最小．(不写作法，保留作图痕迹)2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点(不写作法，但要保留作图痕迹)．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A-5,1．，B-4,4，C-1,-1(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；(2)已知点D2,2，请在x轴上找到一点P且PB+PD的值最小(作图)．4.如图，阳光明媚的周六，小明在学校(A)练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里(B)．请画出小明行走的最短路径．5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A.6B.8C.10D.166.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，则△ABP周长的最小值是()A.12B.6C.7D.87.如图，等腰△ABC的底边BC=4cm，面积为8cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为多少？()A.4B.6C.8D.108.如图：等腰△ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为．9.已知，等腰△ABC中，AB=AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC=5，BD=3，AD=4，那么线段BE+EF的最小值是()A.5B.3C.D.7210.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为．11.如图，△ABC的面积为14，AB=AC，BC=4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为．12.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为()A.21B.7C.4D.2类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB，AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是．14.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为．15.如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB=AC=10，AD=8，BC=12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为()A.10B.12.8C.12D.9.616.如图，在△ABC中，AB=AC=5，AD⊥BC于点D，AD=4，BD=3，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是．类型五、“1定点2动点”-角度问题17.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.76°B.84°C.96°D.109°18.如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=BC，AE=DE，∠BCD+∠CDE=230°，点P，Q分别在边BC，DE上，连接AP，AQ，PQ，当△APQ的周长最小时，∠P AQ的度数为()A.50°B.80°C.100°D.130°19.如图，四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，M，N分别是AB，AD上的点，当△CMN的周长最小时，则∠MCN的度数为()A.40°B.80°C.90°D.100°20.如图，四边形ABCD中，∠C=62°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为．21.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°22.如图，直线l是一条河，A、B是两个新农村定居点，欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()A. B.C. D.23.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N分别是线段BD、BC上一动点，AB>BD且S△ABC=10，AB=5，则CM+MN的最小值为．24.如图，AD是等边△ABC的中线，点E，F分别是AD,AC上的动点，当EC+EF最小时∠ACE的度数为．25.如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．26.如图，钝角三角形ABC的面积为12，最长边AB=6，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为27.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM=°28.如图，∠AOB=30°，M，N分别为射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接PM，PN，MN．若OP=5，则△PMN周长的最小值为．29.如图，等边△ABC和等边△A B C的边长都是4，点B，C，B 在同一条直线上，点P在线段A C上，则AP+BP的最小值为．30.如图所示，在△ABC中，AB=AC，直线EF是线段AB的垂直平分线，点D是线段BC的中点，点P是直线EF上一个动点．若△ABC的面积为48，BC=12，则△PBD周长的最小值是．31.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1,C3,4．,B4,2(1)若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在网格中画出△A1B1C1(2)写出△A1B1C1三顶点坐标：A1，B1，C1；(3)若点P为x轴上一点，使P A+PB最小(保留作图痕迹)．32.如图所示，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．。

四年级轴对称教案(优秀11篇)

四年级轴对称教案(优秀11篇)四年级轴对称教案篇一教学目标：1.初步认识轴对称的概念，能找出轴对称图形的对称轴。

2.在画、折、剪等自主探索的活动中培养学生的观察、表达、思维、空间想象能力，同时进一步培养学生的探索意识和合作精神。

3.联系生活实际，通过感知、认识、欣赏、制作轴对称图形，渗透美育，感悟学习的价值。

教学准备：教具：多媒体课件、剪刀、彩纸。

学具：图片、剪刀、彩纸。

教学过程：一、创设情境，初步感知1.小游戏师：今天我们先来做一个小游戏，老师这里有一些图形只能看到一半，你能不能猜出来它原来是什么？（出示图案的一半，随着学生的回答逐一显示整个图形）师：你们是怎么猜出来的？2.师：它们的两边真的都是一样的吗？我们来动手折一折。

师：你发现了什么？师：对折以后，图形左右或上下两边完全合在一起，我们叫作“完全重合”。

3.揭示课题：像这样沿一条直线对折，两侧的图形能够完全重合的图形叫作“轴对称图形”。

师：你认识“轴”这个字吗？师：和你的同桌说一说你手中的图形是什么图形？二、自主探究，体验新知1.想一想：如果沿着其它的线折，两边会不会完全重合？师：所以只有沿着这条折痕对折，两侧的图形才能够完全重合，你知道这条特殊的线的名字吗？板书：对称轴（齐读）2.介绍生活中的“轴”。

出示汽车模型上的两个轮胎中间的“轴”。

3.师：你能画出手中的图形（游戏中的图形）的对称轴吗？学生画完后交流并展示。

4.出示生活中的轴对称图形，找找它的对称轴在哪里？师：看，我们的许多汉字都是“轴对称图形”，像“中、品、田”等，还有数字“8、0”也是。

5.判断图中的线是不是对称轴？为什么？出示图片，想一想怎样画的线才是对称轴？你能画几条？6.师：大家一起来试一试，看书第5题，是对称轴的打勾，不是的打叉。

师：为什么茶壶上的红线不是对称轴呢？生：左边是壶嘴，右边是壶柄，两边不一样。

出示一个茶壶，请4个小朋友从不同的角度观察它，其他同学猜一猜哪个小朋友看到的茶壶是轴对称图形，哪个小朋友看到的不是？师：是呀，不同的物体，从不同的角度去看，会有不同的发现。

人教版八年级数学上册第13章《轴对称》说课稿

人教版八年级数学上册第13章《轴对称》说课稿一. 教材分析《轴对称》是人教版八年级数学上册第13章的内容，主要介绍了轴对称的概念、性质和应用。

本章通过引入轴对称图形，使学生了解轴对称的定义，掌握轴对称的性质，并能运用轴对称解决实际问题。

教材内容安排合理，由浅入深，通过丰富的实例和练习，帮助学生理解和掌握轴对称的知识。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对图形的变换和性质有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能对轴对称的概念和性质理解不够深入，对轴对称的应用范围和解决实际问题的方法不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握轴对称的基本概念和性质，并通过实例和练习，让学生学会运用轴对称解决实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，能够运用轴对称解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：轴对称的概念和性质，以及轴对称在实际问题中的应用。

2.教学难点：对轴对称概念的理解，以及如何运用轴对称解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学工具，帮助学生直观地理解轴对称的概念和性质。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的对称现象，如剪纸、建筑等，引导学生关注对称现象，激发学生对轴对称的兴趣。

2.新课导入：介绍轴对称的定义和性质，引导学生通过观察和操作，理解和掌握轴对称的概念。

3.实例分析：通过分析一些实际问题，如剪纸设计、建筑布局等，让学生学会运用轴对称解决实际问题。

4.练习与讨论：学生分组进行练习，讨论如何运用轴对称解决实际问题，教师进行巡回指导。

《轴对称》教案范文

本文将围绕着《轴对称》这一数学知识点的教学展开讨论，结合教案的编写和实施，探究如何推动学生对于数学知识的发掘和应用。

一、教学目标1、了解轴对称的概念和性质，能够正确识别轴对称的图形。

2、能够在平面直角坐标系中确定图形的轴对称中心，进行轴对称图形的绘制。

3、掌握轴对称的基本变换思想和方法，能够利用轴对称将图形转化为重合的形式。

二、教学内容1、轴对称的概念及性质轴对称是指以某一条直线为轴线，将图形对称复制另一侧的运算。

即在一侧能找到一条直线，若经过这条直线将物体上下或左右对称，物体是轴对称的。

轴对称的性质包括：对称轴上的点对图形的对称点在轴上，轴对称保持图形的面积和形状不变。

2、轴对称的基本变换思想和方法轴对称是一种基本的几何变换，在许多数学问题中具有重要意义。

通过轴对称对图形进行变换，可以充分利用轴对称的性质，将图形转化为重合的形式，进而解决许多实际问题。

3、轴对称的绘制和应用在平面直角坐标系中，可以通过作出轴对称图形的对称轴，确定轴对称中心，并将图形沿着轴对称中心移动到另一侧，得到轴对称的图形。

对于一些实际的问题，可以通过轴对称将问题进行转化和简化。

三、教学策略1、引导学生发现和掌握轴对称的基本性质，以及轴对称变换的基本特点和思想。

2、引导学生根据不同的图形和问题，利用轴对称的方法将问题进转化和简化，实现优化求解。

3、引导学生在实际问题中，能够准确地找出轴对称中心，并将图形进行移动，得出轴对称的图形。

四、教学过程1、引入环节通过组织学生的先验知识，激活学生对于几何变换和数学图形的兴趣和思考，为的学习做好准备。

2、讲解环节通过教师的讲解和示范，引领学生逐步认识轴对称的概念和性质，以及轴对称变换的基本特点和方法。

3、演练环节通过不同难度的轴对称练习题目，检验学生掌握轴对称的技能和运用能力。

4、交流环节引导学生进行分组讨论和互动交流，学生能够相互学习和提高，在多方位交流中达到提高的效果。

5、练习环节通过集体讨论和个人实践操作，巩固轴对称的知识体系，为以后的学习打好良好的基础。

轴对称中的最值模型问题(将军饮马)重难点题型专训(学生版)-初中数学

轴对称中的最值模型问题(将军饮马等)重难点题型专训题型一将军饮马之线段和最值题型二将军饮马之线段差最值题型三将军饮马之两定一动最值题型四三点共线最大值题型五双对称关系求周长最小值题型六两定两动型最值题型七两动一定最值题型八费马点最值问题将军饮马中最短路径问题四大模型一两定点在直线的异侧问题1作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A+PB 的和最小。

连接AB ，与直线l 的交点P 即为所求。

两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和最小。

二两定点在直线的同侧问题2：将军饮马作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A +PB 的和最小。

作B 关于直线l 的对称点C ，连AC ，与直线l 的交点P 即为所求。

化折为直；两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和AC 最小。

三两动点一定点问题问题3：两个动点作法图形原理作P 关于OA 的对称点P 1，作P 关于OB 的对称两点之间，线段最短，此时PC +PD +CD点P 在锐角∠AOB 的内部，在OA 边上找一点C ,在OB 边上找一点D ,,使得PC +PD +CD 的和最小。

点P 2，连接P 1P 2。

的和最小。

四造桥选址问题问题4：造桥选址作法图形原理直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M 、N ，使MN ⊥m ，MN ⊥n ，且AM +MN +BN 的和最小。

将点A 乡向下平移MN 的长度得A 1，连A 1B ，交n 于点N ，过N作NM ⊥m 于M 。

两点之间，线段最短，此时AM +MN +BN 的最小值为A 1B +MN 。

注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．勾股定理公式：a 2+b 2=c 2【经典例题一将军饮马之线段和最值】1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E 、F ，画直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点，若BC =5，△ABC 的面积为15，则BM +MD 的最小长度为()A.5B.6C.7D.82.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠BAC，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.1.2B.2.4C.4.8D.9.63.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．4.唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．(1)如图2，作点B关于直线l的对称点B ，连接AB 与直线l交于点C，点C就是所求的位置．理由：如图3，在直线l上另取不同于点C的任一点C ，连接AC ，BC ，B C ，因为点B、B 关于直线l对称，点C、C 在直线l上，所以CB=，C B=，所以AC+CB=AC+CB =，在△AC B 中，依据，可得AB <AC +C B ，所以AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，AD=6，M是AD上的一个动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是．【经典例题二将军饮马之线段差最值】5.如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当AM-DN的值最大时，∠ACE的度数为．6.如图，AB⎳DP，E为DP上一动点，AB=CB=CD，过A作AN⊥EC交直线EC于N，过D作DM ⊥EC交直线EC于点M，若∠B=114°，当AN-DM的值最大时，则∠ACE=．7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A B C ；(2)△A B C 的面积是(3)在直线DE上找出点P，使P A-PC最大，并求出最大值为．(保留作图痕迹)8.如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．(1)画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线MN对称；(2)在直线MN上画出点D，使∠BDM=∠CDN．(3)在直线MN上画出点P，使P A-PC最大．【经典例题三将军饮马之两定一动最值】9.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( )．A. B.C. D.10.(2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．12.(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出P A+PC的最小值为．【经典例题四三点共线最大值】13.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A-PB的最大值为.14.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=10，M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值为()A.12B.15C.18D.2015.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,M在△ABC的内部，∠ACM=4∠BCM，P为射线CM上一点，当|P A-PB|最大时，∠CBP的度数是．16.如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．(2)若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为0，5，则△ABC关于x轴对称△A2B2C2，写出点A2,C2的坐标．(3)在直线MN上找点P使PB-P A的最大值．最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出PB-P A【经典例题五双对称关系求周长最小值】17.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°18.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF=()A.110°B.112°C.114°D.116°19.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=9cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为．20.在草原上有两条交叉且笔直的公路OA、OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB=30°，OP=6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．21.几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为线段A B的长．(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点(不同于点O)，使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．22.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM+MN+EN的最小值是．23.如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为．【经典例题七两动一定最值】24.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．25.如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是()A.BC边上高的长B.线段EF的长度C.BC边的长度D.以上都不对26.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于()A.4B.245C.5 D.48527.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是．【经典例题八费马点最值问题】28.【问题提出】(1)如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．【问题解决】(3)如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和(即AE+ BE+CE)最小时，平行四边形公园ABCD的面积．29.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点(Fermat po int)．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=()A.6B.32+6C.63D.930.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC=18，则这个等边三角形的高的长度为；(2)如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．31.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是高为3的等边△ABC的费马点，则OA+OB+OC=；(2)如图2，已知P是等边△ABD外一点，且∠APB=120°，请探究线段P A，PB，PD之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：①点P是△ABC的费马点；②P A+PB+PC=CD．32.若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC的值最小．(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，连接PP ，此时△ACP ≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=．(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠P AC，求证：BE=P A+PB+PC．(3)如图4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出P A+PB+PC的值．33.(2024八年级上·浙江·专题练习)如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接P A、PE，若P A+PE最小，则点P应该满足()A.P A=PCB.P A=PEC.∠APE=90°D.∠APC=∠DPE34.(24-25八年级上·全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,CD⊥AD，P是CD边上的一动点，要使P A+PB的值最小，则点P应满足的条件是()A.P A=PBB.PC=PDC.∠APB=90°D.∠BPC=∠APD35.(23-24八年级下·四川巴中·期末)如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=5，△ABC 的面积为15，则BM+MD的最小长度为()A.5B.6C.7D.836.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.60°B.120°C.90°D.45°37.(23-24八年级上·湖南湘西·期末)在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB=30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP=4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是( )．A.4B.6C.8D.1238.(22-23八年级下·福建漳州·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=18，D是BC中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为()A.3B.6C.9D.1239.(23-24八年级上·福建福州·期中)在平面直角坐标系xOy中，A0,4，动点B在x轴上，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°至AC，连接OC，则线段OC长度最小为()A.0B.1C.2D.340.(22-23七年级下·山东济南·阶段练习)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°41.(21-22八年级上·四川广元·期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小；则PC+PB的最小值为()A.4B.3C.5D.642.(21-22八年级上·广东广州·期中)在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，点P 是边AC 上一定点，此时分别在边AB ，BC 上存在点M ，N 使得△PMN 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC 的值为()A.12B.1C.32D.243.(2024七年级下·全国·专题练习)如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =5，S △ABC =15，AD ⊥BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB +PD 最小，则这个最小值为．44.(23-24七年级下·陕西西安·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使△AMN 周长最小，此时∠MAN =80°，则∠BAD 的度数为．45.(23-24七年级下·山东济南·期末)在草原上有两条交叉且笔直的公路OA 、OB ，在两条公路之间的点P 处有一个草场，如图，∠AOB =30°，OP =6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．46.(22-23七年级下·广东河源·期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF周长最小，此时∠EDF=．47.(22-23八年级上·广东东莞·期中)如图，点A-2，1，点P是在x轴上，且使P A+PB最小，写，B2，3出点P的坐标．48.(22-23八年级上·湖南岳阳·期中)如图，直线l垂直平分△ABC的AB边，在直线l上任取一动点O，连结OA、OB、OC．若OA=5，则OB=．若AC=9，BC=6，则△BOC的最小周长是．49.(22-23八年级上·四川绵阳·期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是0,2，点B在x轴的负半轴上且∠ABO=30°，点P与点O关于直线AB对称，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为．50.(22-23八年级上·海南海口·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小．此时∠EDF的大小是．51.(22-23八年级上·湖北黄石·期末)如图，已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM=103cm，现要在OC,OA上分别找点Q，N，使QM+QN最小，则其最小值为cm．52.(21-22八年级上·福建厦门·期末)小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由P A、PB 跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置(仅为示意图)，能使三条水管长PQ+P A+PB的和最小.已知P A=1.6km，PB=3.2km，PQ=0.1km，在A村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是．53.(22-23八年级上·云南昆明·期末)如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A2,3．，B1,1，C5,3(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．(2)求△A1B1C1的面积；(3)在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标．54.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知A-3,4，B-1,2，C1,3．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，将△ABC平移得到△A B C ，已知A 1,-1，则C 坐标是．(2)求出△ABC的面积；(3)在x轴上有一点P，使得P A+PB的值最小，保留作图痕迹．55.(23-24八年级下·广东深圳·期末)【综合实践活动】【问题背景】如图1，A，B表示两个村庄，要在A，B一侧的河岸边建造一个抽水站P，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图2，A，B是直线l同侧的两个点，点P在直线l上．P在何处时，P A+PB的值最小．画图：如图3，作B关于直线l的对称点B ，连结AB 与直线l交于点P，点P的位置即为所求．证明：∵B和B 关于直线l对称∴直线l垂直平分BB∴PB=，∴P A+PB=P A+PB根据“”(填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．)可得P A+ PB 最小值为(填线段名称)，此时P点是线段AB 和直线l的交点．【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C(河流两侧河岸平行，即GD∥EF)，为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN(桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直)，请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置(保留画图痕迹，否则不给分)．【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线(折线AM-MN-BN)，A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变(MN =40米)，且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．2156.(2023九年级·四川成都·专题练习)在△ABC 中，AC =BC ，点E 在是AB 边上一动点(不与A 、B 重合)，连接CE ，点P 是直线CE上一个动点．(1)如图1，∠ACB =120°，AB =16，E 是AB 中点，EM =2，N 是射线CB 上一个动点，若使得NP +MP 的值最小，应如何确定M 点和点N 的位置？请你在图2中画出点M 和点N 的位置，并简述画法；直接写出NP +MP 的最小值；(2)如图3，∠ACB =90°，连接BP ，∠BPC =75°且BC =BP ．求证：PC =P A ．57.(23-24七年级下·广东深圳·期末)【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A ，B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A ，B 到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作A 关于直线m 的对称点A ，连接A B 与直线m 交于点C ，点C 就是所求的位置．(1)请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：证明：如图3，在直线m 上另取任一点D ，连结AD ，A D ，BD ，∵直线m 是点A ，A 的对称轴，点C ，D 在m 上，22∴CA =，DA =，∴AC +CB =A C +CB =．在△A DB 中，∵A B <A D +DB ，∴A C +CB <A D +DB ．∴AC +CB <AD +DB ，即AC +CB 最小．(2)如图4，在等边△ABC 中，E 是AB 上的点，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上的点，若AD =5，则PE +PB 的最小值为．【拓展应用】(3)“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A 表示龙潭公园，点B 表示宝能广场，点C 表示万科里，点D 表示万科广场，点E 表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B 宝能广场和D 万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C 万科里、D 万科广场和E 龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A 与点C 关于BD 对称，请你用尺子在BD 上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G 表示)．58.(24-25八年级上·全国·假期作业)如图，B、C 两点关于y 轴对称，点A 的坐标是0,b ，点C 坐标为-a ,-a -b ．(1)直接写出点B 的坐标为；(2)用尺规作图，在x 轴上作出点P ，使得AP +PB 的值最小；(3)∠OAP =度．59.(21-22七年级上·陕西商洛·期末)点C 为∠AOB 内一点．23(1)在OA上求作点D,OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若∠AOB=30°，OC=10，求△CDE周长的最小值．60.(23-24八年级上·湖南长沙·期末)在四边形ABCD中，∠BAD=BCD=90°，∠ABC=135°，AB=32，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值．61.(2023八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动．(1)点P在CA上运动的过程中，当CP时，△CPD与△CBD的面积相等；(直接写出答案)(2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD度数；(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度(直接写出答案)．。

轴对称之“将军饮马”模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(浙教版)(解析版)

重难点：轴对称之“将军饮马”模型【知识梳理】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？如图，在直线上找一点P 使得PA +PB 最小？这个问题的难点在于PA +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接PA ’，则PA ’=PA ，所以PA +PB =PA ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，PA ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）B 将军营河类型一：两定一动在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．类型二：两定两动在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。

类型三：一定两动在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。

此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）BBBBBB【考点剖析】类型一：两定一动例1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】在中，，AD 是的中线，可得点B 和点D 关于直线AD 对称，连结CE ，交AD 于点P ，此时最小，为EC 的长，故选B.【变式1】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM+PN+MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P’、P’’，化PM+PN+MN 为P’N+MN+P’’M ．当P’、N 、M 、P’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．P OBAMNP''A类型二：两定两动例2.如图，已知直线l 1∥l 2，l 1、l 2之间的距离为8，点P 到直线l 1的距离为6，点Q 到直线l 2的距离为4，PQ =304，在直线l 1上有一动点A ，直线l 2上有一动点B ，满足AB ⊥l 2，且P A +AB +BQ 最小，此时P A +BQ =______．【答案】16．【详解】作PE ⊥l1于E 交l2于F ，在PF 上截取PC=8，连接QC 交l2于B ，作BA ⊥l1于A ，此时PA+AB+BQ 最短．作QD ⊥PF 于D ．在Rt △PQD 中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB ∥PC ，∴四边形ABCP 是平行四边形，∴PA=BC ，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．【变式1】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为A()A．3B．4C．D．【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C’在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C’E+EF，当C’、E、F共线时得最小值，C’F为CB的一半，故选C．【变式2】如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是A B．2C．D．4【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN’．因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C．EAFC D B()NMDCBAB C类型三：一定两动例3、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。

2024专题2.1轴对称---将军饮马模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)

考点3-3
D
【例3-2】如图,菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=60º,M,N
2 5
是AC上两动点,且MN=2,则BM+BN的最小值为_____.
M
A
C
M
N
N
B
B´
课堂小结
将军饮马
知识梳理
将军饮马：这个将军饮的不是马,是数学！
解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折,对称.
解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直.
的最小值为_____.
D
A
H
B
E
G´
G
F C
M
强化训练
将军饮马
提升能力
5.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60º,将△ABD沿射线BD的方向平移
得到△A´B´D´,分别连接A´C,A´D,B´C,则A´C+B´C的最小值为_____.
3
A´´
造桥选址---一定两动(定长)
A´
A
B
B´
D´
B＇
将军沿A-P-B走路程最短.
P1A+P1B=_______
P1A+P1B´ ＞AB´
图形特征：两定一动；
适用模型：将军饮马；
N 基本策略：同侧化异侧、折线化直线；
基本方法：一个动点一条河,一次对称跑不脱；
基本原理：两点之间线段最短.
两点之间线段最短
模型分析
考点3-1
派生知识
核心知识
C
A
10
M(8/3,0)N(4,1)
A.如果动点G走过的路程最短为____,则点M、N的坐标为______________.

利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略(学生版)

利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】【类型二实际问题中的最短路径问题】【类型三一次函数中线段和最小值问题】【类型四一次函数中线段差最大值问题】【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F 分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是()A.6B.4C.3D.2【变式训练】1(2023春·山东济南·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF 周长的最小值为()A.7B.9C.10D.142(2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点C为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为()A.4B.9C.11D.133(2022春·七年级单元测试)如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AB =4，点E 在BC 上，且BE =2，点P 在∠ABC 的平分线BD 上运动，则PE +PC 的长度最小值为()A.1B.2C.3D.44(2023秋·甘肃·八年级统考期末)如图，∠AOB =15°，M 是边OA 上的一个定点，且OM =12cm ，N ，P 分别是边OA 、OB 上的动点，则PM +PN 的最小值是．5(2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末)如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，BC =7，作AD ⊥BC 于点D ，AD =12AB ，点E 为AC 边上的中点，点P 为BC 上一动点，则PA +PE 的最小值为．6(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，点C ，D 分别是角∠AOB 两边OA 、OB 上的定点，∠AOB =20°，OC =OD =4．点E ，F 分别是边OB ，OA 上的动点，则CE +EF +FD 的最小值是．7(2023春·广东佛山·八年级校考期中)如图，已知△ABC ≌△CDA ，将△ABC 沿AC 所在的直线折叠至△AB C的位置，点B的对应点为B ，连结BB ．(1)直接填空：B B与AC的位置关系是；(2)点P、Q分别是线段AC、BC上的两个动点(不与点A、B、C重合)，已知△BB C的面积为36，BC=8，求PB+PQ的最小值；(3)试探索：△ABC的内角满足什么条件时，△AB E是直角三角形？8(2023春·广东深圳·七年级统考期末)【初步感知】(1)如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．求证：△ABD≌△ACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：．【拓展应用】(3)如图3，在等边△ABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【类型二实际问题中的最短路径问题】1(2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中)如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=2km，BD=5km，CD=6km，现在要在河岸CD上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【变式训练】1(2023春·八年级课时练习)如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．(只需作图，不需要证明)(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．2(2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习)如图，小区A与公路l的距离AC=200米，小区B与公路l的距离BD=400米，已知CD=800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．3(2023春·全国·七年级专题练习)问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上是否存在点P，使得PA+PB的值最小？小明的解法如下：如图，作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且PA+ PB的最小值为A B．问题提出：(1)如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，求PB+PE的最小值．问题解决：(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池M，从蓄水池M处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为AC=3千米，BD=9千米，CD=9千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CD上选择蓄水池M的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．【类型三一次函数中线段和最小值问题】1(2023春·山东德州·八年级校考阶段练习)如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x22,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【变式训练】1(2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中)一次函数y=kx+b的图像经过两点A4,0，B0,8．点D m,4在这个函数图像上(1)求这个一次函数表达式；(2)求m的值；(3)点C为OA的中点，点P为OB上一动点，求PC+PD的最小值．2(2023春·湖南长沙·八年级校联考期中)如图，直线l1经过点A4,0，与直线l2：y=x交于点B a,43．(1)求a的值和直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴交于点C，求△BOC的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使得PB+PA的值最小，若存在，请求出PB+PA的最小值，若不存在，请说明理由．3(2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中)如图1，直线l1:y=-14x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点C的坐标为( -2,0)，点P的横坐标为-45．(1)直接写出点A、P的坐标，并求出直线l2的函数表达式；(2)如图2，过点A作x轴的垂线，交直线l2于点M，点Q是线段AM上的一动点，连接QD，QC，当△QDC 的周长最小时，求点Q的坐标和周长的最小值．(3)在第(2)问的条件下，若点N是直线AM上的一个动点，以D，Q，N三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点N的坐标．【类型四一次函数中线段差最大值问题】1(2023秋·四川成都·八年级统考期末)如图所示，直线l1:y=x-1与y轴交于点A，直线l2:y=-2x-4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．(1)求点A,C的坐标；(2)点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC=S△ABC且异于点A的点P的坐标；(3)点D(2,0)为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出DQ-BQ的最大值．【变式训练】1如图①，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A(-10，0)，与y轴交于点B，与直线y= x交于点C(a，7)．-73(1)求直线AB的表达式；(2)如图②，在(1)的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y=-7x于点F，交直线y=kx+b于点G，若3点E的坐标是(-15，0)，求△CGF的面积；(3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM-PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；2在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C ，连结AC ,BC ,B C ，∵点B，B 关于直线l对称，点C，C 在l上，∴CB=，C B=，∴AC+CB=AC+CB =．在△AC B 中，∵AB <AC +C B ，∴AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M2,2,N4,-1,MN=13，P是坐标轴上的点，则PM-PN的最大值为，此时P点坐标为．(直接写答案)3如图，在直角坐标系中，直线l：y=43x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x=-2交AB于点C，D是直线x=-2上一动点，且在点C的上方，设D(-2，m)(1)求点O到直线AB的距离；(2)当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E(8，0)，在y轴上找一点M，使|ME-MD|最大，请求出|ME-MD|的最大值以及M点的坐标；(3)在(2)的条件下，将直线l：y=43x+8左右平移，平移的距离为t(t>0时，往右平移；t<0时，往左平移)平移后直线上点A，点B的对应点分别为点A′、点B′，当△A′B′D为等腰三角形时，求t的值．。

轴对称图形(教案)沪教版三年级上册数学

轴对称图形（教案）沪教版三年级上册数学教学内容本节课主要学习轴对称图形的概念、性质和运用。

首先，引导学生观察和发现生活中的轴对称现象，从而引入轴对称图形的定义。

接着，通过实例讲解和练习，让学生掌握轴对称图形的性质，如对称轴的确定、对称点的坐标关系等。

最后，通过解决实际问题，让学生了解轴对称图形在生活中的应用。

教学目标1. 知识与技能：使学生理解轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的性质，并能运用轴对称图形的性质解决实际问题。

2. 过程与方法：培养学生观察、分析、归纳和解决问题的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的审美情趣和合作意识。

教学难点1. 轴对称图形的概念和性质的理解。

2. 对称轴的确定和对称点的坐标关系的掌握。

3. 轴对称图形在实际问题中的应用。

教具学具准备1. 教具：挂图、多媒体课件、实物模型等。

2. 学具：练习本、彩笔、剪刀、直尺等。

教学过程1. 导入：通过展示生活中的轴对称现象，引导学生发现轴对称图形，引入课题。

2. 新课：讲解轴对称图形的概念、性质和运用，配合实例和练习，让学生理解和掌握。

3. 练习：布置课堂练习，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。

4. 小结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。

5. 作业布置：布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

板书设计1. 板书轴对称图形2. 板书内容：- 轴对称图形的概念- 轴对称图形的性质- 轴对称图形的应用作业设计1. 基础题：让学生画出给定图形的对称轴，并找出对称点。

2. 提高题：让学生解决实际问题，运用轴对称图形的性质。

3. 拓展题：让学生探讨轴对称图形在艺术、建筑等领域的应用。

课后反思本节课通过观察生活中的轴对称现象，引导学生学习轴对称图形的概念、性质和运用。

在教学过程中，注意让学生动手操作、观察、思考和讨论，培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。

同时，注重激发学生的兴趣，培养学生的审美情趣和合作意识。

高考数学复习---《利用轴对称解决函数问题》典型例题讲解

高考数学复习---《利用轴对称解决函数问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2022·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =−，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意1152x x −=，故有2225log x x −= 故1x 和2x 是直线5y x =−和曲线2xy =、曲线2log y x =交点的横坐标．根据函数2xy =和函数2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故曲线2xy =和曲线2log y x =的图象交点关于直线y x =对称．即点（x 1，5﹣x 1）和点（x 2，5﹣x 2）构成的线段的中点在直线y =x 上，即12125522x x x x +−+−=，求得x 1+x 2=5，故选：D ．例2、（2021春·高一单元测试）设函数()21228log (1)31f x x x =+++，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥的解集为（）A ．（0，2]B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2，＋∞）D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦∪[2，＋∞）【答案】B【解析】由题意，函数()21228log (1)31f x x x =+++的定义域为R ，且()()2211222288log [()1]log (1)3()131f x x x f x x x −=−++=++=−++，所以函数()f x 为R 的偶函数，且在[0,)+∞上为单调递减函数，令2log t x =，可得12log x t=−，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥可化为()()2f t f t +−≥，即()22f t ≥，即()1f t ≥，又因为()1281log 2131f =+=+，且()f x 在[0,)+∞上单调递减，在R 为偶函数，所以11t −≤≤，即21log 1x −≤≤，解得122x ≤≤，所以不等式的解集为1[,2]2．故选：B ．例3、（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数()()11332cos 1x x x f x −−+=+−−，则()()0.52310.5log 9log 2f f f −⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（） A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f −⎛⎫>> ⎪⎝⎭ B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f −>> C ．0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f −>> D ．0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f −>> 【答案】A【解析】令()(1)332cos x x g x f x x −=+=+−，()()g x g x −=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x −'=−+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数，将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像，所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增． ∵23log 94<<，0.50.5−()3312log 2log 22,32−=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512−>>−>>，∴()()0.5231log 92log 0.52f f f −⎛⎫>−> ⎪⎝⎭，又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()0.5231log 9log 0.52f f f −⎛⎫>> ⎪⎝⎭．故选：A。

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●
考的能力要求更加符合时代的精神．而
我们一线数学教师在践行新课程标准理念的过程中，有着不可替代的地位和作用，也就是说，新一轮课程改革的成败与我们一线教师能否树立新的教学
图１
把上面的两种模式分别构建出来，把这两类问题统称为：一个动点与两个定点之问距离的最值问题．针对这两种情况下的问题，我们分别建立模型一和模型二．模型一：如图２所示，在直线ｆ同侧
对于② ，需要应用转化思想．要求四边
形ＡＢＣＤ的周长最短，注意到线段日
和ＣＤ的长是定值，从而可把问题转化
坐标为（３，０），点的坐标为（０，４），所以
直线４曰的方程为Ｙ — ｍｘ＋４．所以点Ｃ
本题是利用轴对称变换求最小值的经典之作，无论在理论上，还是在实践中，都有广泛的应用价值，充分体现
理念有着密不可分的关系，因为推行新
课程的主阵地还是课堂，特别是新课程标准的理念和目标，最终还需要课堂来承载和体现．我们知道初中数学中最常见的思想方法有很多，如整体思想、转化（化归）
决人教版八年级《数学》上册第４２页的探
投褊掷籀：ｓ￣ｊｋ＠ｒｉｐ＇６３ＣＯｒｎ
一一数学教学通讯（初等教育）
试题研究＞解题技巧
交１于一点，则该点即为符合题意的点Ｃ．（２）作点Ａ（或点关于直线啪对称点（或曰），连结Ａ曰（或ＡＢ）交Ｚ于一点，则该点即为符合题意的点ｃ（作图略）
［关键词］轴对称；最小值；方案
第二轮新课程标准已于２０１１年重
供气．泵站应该修在管道的什么地方，
究题后，可以引导学生进一步反思，及时
新颁布，这一轮的课程标准经历了前十多年的摸索、实验和总结，相比第一轮更加完善，对于学生创新精神和独立思
例如，新人教版八年级《数学》上册
第４２页的探究题如图１所示，要在燃气
管道ｌ上修建一个泵站，分别向Ａ，两镇
（１）使ＡＣ＋ＢＣ最小；（２）使ＩＡＣ — ＢＣＩ最大．
求法：（１）情况比较简单，连结ＡＢ
教学过程中，关键在于要让学生亲身经
历问题解决的过程，真正体会到模型蕴涵的数学思想方法：利用变换，化曲为直，进而求最小值．熟练以后他们就会建立起一种数学式的思维模式，以后遇到类似的问题，他们就能想到应用轴对称知识去解决问题，即应用这种方法去解决此类问题．根据上面的分析我们会发现，在解
了数学来源于生活，又服务于生活．在
后续的学习过程中，我们常常应用这个
有两个定点Ａ，，在直线ｆ』：找一点ｃ，使
得４Ｃ＋口Ｃ最／Ｊ、．
模型来解决最小值问题，实际应用时就
是利用轴对称模型求最短距离．经过最近几年的研究，笔者发现在
于一点，则该点即为符合题意的点Ｃ．
（作图略）
要，本文拟从数学建模思想的方面来谈
谈对学生能力的培养，特选择中考常见的一类问题——轴对称问题加以说明．
图２
模型二：如图３所示，在直线ｌ异侧有两个定点Ａ，Ｂ，在直线ｌ上找一点Ｃ，
才能使所用的输气管线最短？
曰
●
归纳、总结得出两种模型： “ 利用轴对称可在直线ｆ上找到唯一的点Ｐ到Ａ，Ｂ两点的距离之和最小（或者是点尸到，Ｂ两点的距离之差的绝对值最大） ” ，依据是“ 两点之间，线段最短” ．更具体地，我们可以
Ａ
求法：作点Ａ（或点Ｂ）关于直线ｌ的对称点Ａ（或Ｂ），连结ＡＢ（或曰Ａ）交ｚ
思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程与函数思想、数学建模思想等，对于学生数学能力的提升，特别是解决问题
的能力培养来说，数学建模思想非常重
要］总结教学经验我们发现：从学生的角度来说数学能力是学好数学的根本，建立数学思想是学好数学的核心从教师的角度来说，数学教学的目的是培养学生的数学思维，让他们养成用数学的模式去思考数学问题的习惯．这就需要我们在课堂中对学
生进行数学思想和方法的培养，而初中数学中数学建模思想很重要．本文拟从数学建模思想的方面来谈谈特选择中考常见的一类问题—— 轴对称问题加以说明．
试题研究＞解题技巧 பைடு நூலகம்
数学教学通讯（初等教育）
投稿鄄鞴：ｆｋ＠ｖｆｐ豫３ＣＯｆ￣＊ｔ
例谈建立轴对称模型解决数学问题
段振富
刘晓艳
福建福州第十六中学
３５０００７
福建福州铜盘中学
３５０００７
［摘
曰
●
轴对称的建模思想，这里的两个问题就
（２￣４－＿４
显得容易多了，特别是① ，只要能画出
图形则与（１）的解答步骤是一样的．而
＋４：０，解得１＝１：
３，所以点Ｃ的坐标为（１，０）．因为点的