江苏省无锡市2016届高考数学一模试卷(解析版)

2016年江苏省无锡市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，a，2}，若A∩B={﹣1，0}，则a=．2．若复数z=（i为虚数单位），则z的模为．3．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．4．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为．5．将函数f（x）=2sin2x的图象上每一点向右平移个单位，得函数y=g（x）的图象，则g（x）=．6．从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为．7．已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为．8．在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA=VO=1，则O到平面VAB的距离为9．设△ABC是等腰三角形，∠ABC=90°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为．10．对于数列{a n}，定义数列{b n}满足：b n=a n+1﹣a n（n∈N*），且b n+1﹣b n=1（n∈N*），a3=1，a4=﹣1，则a1=．11．已知平面向量，满足|β|=1，且与﹣的夹角为120°，则的模的取值范围为．12．过曲线y=x﹣（x＞0）上一点P（x0，y0）处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0=．13．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，线段EF在直线l：y=x+1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得•≤0，则线段EF长度的最大值是．14．已知函数f（x）=，若对于∀t∈R，f（t）≤kt恒成立，则实数k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若=•cosA，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．16．如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点．（1）若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC；（2）若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．17．在一个直角边长为10m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR 的花地，要求P，Q，R三点分别在△ABC的三条边上，且要使△PQR的面积最小，现有两种设计方案：方案﹣：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上．请问应选用哪一种方案？并说明理由．18．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为（x﹣c）2+y2=a2+c2（c为半焦距），直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别为A，B．（1）求椭圆方程和直线方程；（2）试在圆N上求一点P，使=2．19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）当a=2时，求出函数f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．20．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=q（b n+1﹣b n），n∈N*（1）若b n=2n﹣3，a1=1，q=2，求数列{an}的通项公式；（2）若a1=1，b1=2，且数列{b n}为公比不为1的等比数列，求q的值，使数列{a n}也是等比数列；（3）若a1=q，b n=q n（n∈N*），且q∈（﹣1，0），数列{an}有最大值M与最小值m，求的取值范围．附加题[选修4-2：矩阵与交换]21．已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3．（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P为曲线，（θ为参数）上一点，求P到直线l的距离的最大值．必做题.第23、24题，每小题0分，共20分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求实数a的取值范围．24．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=1，D1D=2，点P为棱CC1的中点．（1）设二面角A﹣A1B﹣P的大小为θ，求sinθ的值；（2）设M为线段A1B上得一点，求的取值范围．2016年江苏省无锡市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，a，2}，若A∩B={﹣1，0}，则a=﹣1．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】直接利用交集的运算求解x的值．【解答】解：A={﹣1，0，1}，B={0，a，2}，A∩B={﹣1，0}，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题．2．若复数z=（i为虚数单位），则z的模为．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的模运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=（i为虚数单位），则|z|=====．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．3．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是5．【考点】程序框图．【专题】计算题．【分析】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是乘以2加上1，故由此运算规律进行计算，经过次运算后输出的结果是63，故应填5【解答】解：由图知运算规则是对S=2S+1，故第一次进入循环体后S=2×1+1=3，第二次进入循环体后S=2×3+1=7，第三次进入循环体后S=2×7+1=15，第四次进入循环体后S=2×15+1=31，第五次进入循环体后S=2×31+1=63，由于A的初值为1，每进入一次循环体其值增大1，第五次进入循环体后A=5故判断框中M的值应为5，这样就可保证循环体只能被运行五次故答案为5．【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与最后运算结果，求运算次数的一个题．是算法中一种常见的题型．4．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为2．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图，求出样本中不小于40岁的人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数．【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10=0.2，∴不小于40岁的人的频数是100×0.2=20；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，在[50，60）年龄段抽取的人数为8×=8×=2．故答案为：2．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．5．将函数f（x）=2sin2x的图象上每一点向右平移个单位，得函数y=g（x）的图象，则g（x）=2sin（2x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin2x的图象上每一点向右平移个单位，得函数y=g（x）=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）的图象，故答案为：2sin（2x﹣）．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，先求出基本事件总数，再求出取出的数中一个是奇数一个包含的基本事件个数，由此能求出取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，基本事件总数n==6，取出的数中一个是奇数一个包含的基本事件个数m==4，∴取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，求得cos（α﹣45°），再由α=（α﹣45°）+45°，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入数据，即可得到．【解答】解：由于sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，则有cos（α﹣45°）==，则有cosα=cos（α﹣45°+45°）=cos（α﹣45°）cos45°﹣sin（α﹣45°）sin45°==，则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题．8．在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA=VO=1，则O到平面VAB的距离为【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；向量法；立体几何．【分析】以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OV为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出O到平面VAB的距离．【解答】解：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OV为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意：O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），V（0，0，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，1，0），设平面VAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），则O到平面VAB的距离d===．故答案为：．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9．设△ABC是等腰三角形，∠ABC=90°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为1+．【考点】双曲线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|AB|=2c，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，可求得该双曲线的实轴长2a=|CA|﹣|CB|的值，从而可求得其离心率．【解答】解：设|AB|=2c，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，∵△ABC为等腰直角三角形，∴|CA|=•（2c）=2c，|CB|=2c，∴由双曲线的定义可得，该双曲线的实轴长2a=|CA|﹣|CB|=（2﹣2）c，∴双曲线的离心率e====+1．故答案为：1+．【点评】本题考查双曲线的简单性质，建立适当的坐标系，得到实轴长与焦距是关键，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．10．对于数列{a n}，定义数列{b n}满足：b n=a n+1﹣a n（n∈N*），且b n+1﹣b n=1（n∈N*），a3=1，a4=﹣1，则a1=8．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出b n，进而得出b2，b1，a1．【解答】解：∵b n=a n+1﹣a n（n∈N*），a3=1，a4=﹣1，则b3=a4﹣a3=﹣2．∵b n+1﹣b n=1，∴数列{b n}是等差数列，公差为1．∴b n=b3+（n﹣3）×1=n﹣5．∴b2=a3﹣a2=1﹣a2=﹣3，解得a2=4．∴b1=a2﹣a1=4﹣a1=﹣4，解得a1=8．故答案为：8．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了观察推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知平面向量，满足|β|=1，且与﹣的夹角为120°，则的模的取值范围为（0，]．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】设=，=，得到∠ABC=60°由正弦定理得：||=sinC≤，从而求出其范围即可．【解答】解：设=，=如图所示：则由=﹣，又∵与﹣的夹角为120°∴∠ABC=60°又由||=||=1由正弦定理=得：||=sinC≤，∴||∈（0，]故答案为：（0，]．【点评】本题主考查了向量的加法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，综合性较大．12．过曲线y=x﹣（x＞0）上一点P（x0，y0）处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x=0和y=0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式，解方程可得切点的横坐标．【解答】解：由题意可得y0=x0﹣，x0＞0，∵y′=1+，∴切线的斜率为1+，则切线的方程为y﹣x0+=（1+）（x﹣x0），令x=0得y=﹣；令y=0得x=，∴△OAB的面积S=••=，解得x0=（负的舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及三角形面积的计算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．13．已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，线段EF在直线l：y=x+1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得•≤0，则线段EF长度的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】不妨设圆的切线为PM，PN，则由•≤0，得∠APB≥90°，故∠MPN≥90°，求得PC≤2，结合题意点E、F到点C的距离等于2．再利用勾股定理求得EF的最大值．【解答】解：由题意，圆心到直线l：y=x+1的距离为=＞2（半径），故直线l和圆相离．从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，则由•≤0，得∠APB≥90°，∴∠MPN≥90°．∴sin∠MPC=≥sin45°=，∴PC≤2．故在直线l上，当EF最大时，点E、F到点C的距离等于2．故EF的长度的最大值为2=2=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，直线和圆的位置关系，勾股定理的应用，属于中档题．14．已知函数f（x）=，若对于∀t∈R，f（t）≤kt恒成立，则实数k的取值范围是[，1]．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】由x＜1时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，由图象观察得出k的取值范围．【解答】解：当x＜1时，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，当x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函数；当0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数；画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），则由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）的图象相切于点（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），则有k=1，由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，以及与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）≤kt恒成立，∴k的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．【点评】本题考查不等式恒成立以及分段函数的应用问题，利用导数以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若=•cosA，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）根据⊥，结合正弦定理和余弦定理求出B 的值即可，（2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）∵=（sinB ﹣sinC ，sinC ﹣sinA ），=（sinB+sinC ，sinA ），且⊥， ∴（sinB ﹣sinC ）•（sinB+sinC ）+（sinC ﹣sinA ）•sinA=0，∴b 2=a 2+c 2﹣ac ，∴2cosB=1，∴B=；（2）∵⊥，∴△ABC 是RT △，而B=，故C=，由==2R ，得：==2，解得：a=1，b=，故S △ABC =••1=． 【点评】本题考察了向量数量积的运算，考察三角恒等变换，是一道中档题．16．如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PE ∥CB ，M 是AE 的中点．（1）若N 是PA 的中点，求证：平面CMN ⊥平面PAC ；（2）若MN ∥平面ABC ，求证：N 是PA 的中点．【考点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知得BC ⊥平面PAC ，MN ∥PE ，从而MN ∥BC ，进而MN ⊥平面PAC ，由此能证明CMN ⊥平面PAC ．（2）由MN∥平面ABC，PE∥CB，得MN∥PE，由此能证明N是PA的中点．【解答】证明：（1）∵平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∵PE∥CB，M是AE的中点，N是PA的中点，∴MN∥PE，∴MN∥BC，∴MN⊥平面PAC，∵MN⊂平面CMN，∴平面CMN⊥平面PAC．（2）∵MN∥平面ABC，PE∥CB，∴MN∥PE，∵M是AE的中点，∴N是PA的中点．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点是线段中点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．在一个直角边长为10m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR 的花地，要求P，Q，R三点分别在△ABC的三条边上，且要使△PQR的面积最小，现有两种设计方案：方案﹣：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上．请问应选用哪一种方案？并说明理由．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】分别求出两种方案，面积的最小值，即可得出结论．【解答】解：方案﹣：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上，则P，Q，R，C四点共圆，且AB与圆相切时△PQR的面积最小，最小面积为=；方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上，设QP=QR=l，∠ORC=α，∴2lsinα+lcosα=10，∴l==≥，∴最小面积为=10，∵＞10，∴应选用方案二．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为（x﹣c）2+y2=a2+c2（c为半焦距），直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别为A，B．（1）求椭圆方程和直线方程；（2）试在圆N上求一点P，使=2．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）先根据题意通过离心率和焦点到准线的距离联立方程求得a和c，则b可得，进而求得椭圆的方程．利用直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，可得直线方程；（2）由（1），可得A（﹣1，1.5），B（0，2），利用=2，求出P的轨迹方程，与圆N联立，可得P的坐标．【解答】解：（1）由题意有，解得a=2，c=1，从而b=，∴椭圆的标准方程为+=1；圆N的方程为（x﹣1）2+y2=5，圆心到直线的距离d==①直线l：y=kx+m代入+=1，整理可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∴△=0，可得m2=3+4k2，②由①②，k＞0，可得m=2，k=，∴直线方程为y=；（2）由（1），可得A（﹣1，1.5），B（0，2），设P（x，y），则x2+（y﹣2）2=8（x+1）2+8（y﹣1.5）2，∴7x2+7y2+16x﹣20y+22=0与（x﹣1）2+y2=5联立，可得x=﹣1，y=1或x=﹣，y=，∴P（﹣1，1）或（﹣，y=）．【点评】本题主要考查了直线与椭圆方程．考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）当a=2时，求出函数f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）对函数求导，令导函数为0，得导函数的根，做表，通过导函数的正负确定原函数的增减．（2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导．需要用到两次求导．再来通过最值确定正负号，再来确实原函数的单调性．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），a=2时，f（x）=lnx+f′（x）=﹣=令f′（x）=0，得x=e①当0＜x＜e时，f′（x）＜0，则f（x）在区间（0，e）上是单调递减的②当e＜x时，f′（x）＞0，则f（x）在区间（e，+∞）上是单调递增的∴f（x）的递减区间是（0，e），单增区间是（e，+∞）．（2）原式等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在（0，+∞）上恒成立．令g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax．∵g′（x）=lnx+1﹣a令g′（x）=0，得x=e a﹣1①0＜x＜e a﹣1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减②e a﹣1＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（e a﹣1）=（a﹣1）e a﹣1+a+e﹣2﹣ae a﹣1=a+e﹣2﹣e a﹣1．令t（x）=x+e﹣2﹣e a﹣1．∵t′（x）=1﹣e a﹣1．令t′（x）=0．得x=1．且③0＜x＜1时，t′（x）＞0，t（x）单调递增④1＜x时，t′（x）＜0，t（x）单调递减∴当a∈（0，1）时，g（x）的最小值t（a）＞t（0）=e﹣2﹣=＞0．当a∈[1，+∞）时，g（x）的最小值为t（a）=a+e﹣2﹣e a﹣1≥0=t（2）．∴a∈[1，2]．综上得：a∈（0，2]．【点评】本题主要考查函数求导来寻找单调区间及机制和最值．尤其是第二问需要对函数求导后再建立一个新的函数求导，这也是一个常见类型．20．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=q（b n+1﹣b n），n∈N*（1）若b n=2n﹣3，a1=1，q=2，求数列{an}的通项公式；（2）若a1=1，b1=2，且数列{b n}为公比不为1的等比数列，求q的值，使数列{a n}也是等比数列；（3）若a1=q，b n=q n（n∈N*），且q∈（﹣1，0），数列{an}有最大值M与最小值m，求的取值范围．【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【专题】综合题；转化思想；定义法；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由b n =2n ﹣3，可得b n+1﹣b n =2．又a 1=1，q=2，可得a n+1﹣a n =4，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由于数列{b n }是公比为k 不为1的等比数列，b 1=2．可得b n =2•k n ﹣1．利用a n+1﹣a n =q （b n+1﹣b n ），a 1=1．可得a 2，a 3，再利用=a 1a 3，即可得出．（3）由于a 1=q ，b n =q n （n ∈N *），可得a n+1﹣a n =q n+2﹣q n+1．利用“累加求和”可得：a n =q n+1+q ﹣q 2，利用q ∈（﹣1，0），可得：q 3≤q n+1≤q 2，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵b n =2n ﹣3，∴b n+1﹣b n =2．又a 1=1，q=2，∴a n+1﹣a n =q （b n+1﹣b n ）=2×2=4，∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为4．∴a n =1+4（n ﹣1）=4n ﹣3．（2）∵数列{b n }是公比为k 不为1的等比数列，b 1=2．∴b n =2•k n ﹣1．∵a n+1﹣a n =q （b n+1﹣b n ），a 1=1．∴a 2=1+q （2k ﹣2），同理可得：a 3=a 2+q （b 3﹣b 2）=1+q （2k ﹣2）+q （2k 2﹣2k ），∵=a 1a 3，∴[1+q （2k ﹣2）]2=1×[1+q （2k ﹣2）+q （2k 2﹣2k ）]，k ≠1．化为2q=1，解得q=．（3）∵a 1=q ，b n =q n （n ∈N *），∴a n+1﹣a n =q （q n+1﹣q n ）=q n+2﹣q n+1．∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=（q n+1﹣q n ）+（q n ﹣q n ﹣1）+…+（q 3﹣q 2）+q=q n+1+q ﹣q 2，∵q ∈（﹣1，0），∴q n+1∈（﹣1，1），q 3≤q n+1≤q 2，∴数列{a n }有最大值M=q ，最小值m=q 3﹣q 2+q ．∴===∈．【点评】本题考查了数列的通项公式、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．附加题[选修4-2：矩阵与交换]21．已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】矩阵和变换．【分析】计算出AB﹣1的值，设出变换，计算即可．【解答】解：∵，∴，∴，设直线l上任意一点（x，y）在矩阵AB﹣1对应的变换下为点（x'，y'），∴．代入l'，l'：（x﹣2y）+（2y）﹣2=0，化简后得：l：x=2．【点评】本题考查了矩阵的变换，属基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3．（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P为曲线，（θ为参数）上一点，求P到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】转化思想；转化法；坐标系和参数方程．【分析】（1）由ρsin（θ﹣）=3展开化为：（ρsinθ﹣ρcosθ）=3，利用即可化为直角坐标方程．（2）P到直线l的距离d==，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由ρsin（θ﹣）=3展开化为：（ρsinθ﹣ρcosθ）=3，化为直角坐标方程：y﹣x=6，即x﹣y+6=0．（2）P到直线l的距离d==≤=，当sin（θ+φ）=﹣1时，取等号．∴P到直线l的距离的最大值为．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、三角函数的和差公式、点到直线的距离公式、椭圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．必做题.第23、24题，每小题0分，共20分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求实数a的取值范围．【考点】离散型随机变量及其分布列；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）先求出ξ的可能取值，然后分别求出ξ取值的概率，从而得到分布列，最后利用数学期望的公式进行求解即可；（2）要使P（ξ=1）的值最大，只需P（ξ=1）﹣P（ξ=0），P（ξ=1）﹣P（ξ=2），P（ξ=1）﹣P（ξ=3）都大于等于0，解之即可求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）P（ξ）是“ξ个人命中，3﹣ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.，，，．所以ξ的分布列为ξ的数学期望为．（2），，．由和0＜a＜1，得，即a的取值范围是．【点评】此题重点在于准确理解好题意，还考查了离散型随机变量的定义及其分布列，利用期望定义求出离散型随机变量的期望．24．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=1，D1D=2，点P为棱CC1的中点．（1）设二面角A﹣A1B﹣P的大小为θ，求sinθ的值；（2）设M为线段A1B上得一点，求的取值范围．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】整体思想；向量法；空间角．【分析】（1）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可；（2）分别求出AP和AM的取值范围进行求解即可．【解答】（1）建立以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AD=1，D1D=2，点P为棱CC1的中点，∴A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，1），D（0，0，0），P（0，1，1），A1（1，0，2），设平面A1BP的法向量为=（x，y，z），则=（0，﹣1，2），=（﹣1，0，1），则由•=﹣y+2z=0，•=﹣x+z=0，得，令z=1则y=2，x=1，则=（1，2，1），同理可得平面AA1B的法向量为=（1，0，0），则cos＜，＞==，则sinθ==．（2）=（﹣1，1，1），则AP=||==，∵A1B==，∴0≤AM≤，则0≤≤=，即的取值范围是[0，]．【点评】本题主要考查二面角的求解以及线段长度的范围，建立坐标系利用向量法是解决空间角常用的方法．。