南京大学线性代数期末试卷2013.6
2013线性代数与解析几何期末试卷(A)含参考答案
南京邮电大学2012/2013学年第一学期《线性代数与解析几何》期末试卷（A ）参考答案院(系) 班级 学号 姓名1. 设n 阶方阵A 满足220A A I --=，则矩阵A 可逆，且1A -=1()2A I - 2. 设(1012)Tα=-，(0102)β=，矩阵A αβ=，则()r A = 1 . 3. 设123,,ααα与123,,βββ都是三维向量空间3R 的一组基，且11232βααα=+-，223βαα=+， 312332βααα=++，则由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵是101213112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 4. 设12243311A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，B 是三阶非零矩阵，且0AB =，则t = -3 .5. 过两个曲面2241x y z ++=和222x y z =+的交线，母线平行于 z 轴的柱面方程是222221(1)016x y x y ----=.二、选择题（每题4分，共20分）1.已知行列式111222333x y z x y z a x y z =，则11122233362233x z y x z y x z y --=- ( C ) （A ）a - （B ）6a - （C ）6a （D ）3a -2. 设A ，B 与C 都是n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( D ) （A ）若0AB =，则0A =或0B = （B ）若AB AC =，且0A ≠，则B C =（C ）22()()A B A B A B +-=- （D ）若det 0AB =，则d e t 0A =或det 0B =装 订线 内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不作 弊3. 设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则 ( B )（A ）12αα+是0Ax =的解 （B ）112212(1)k k k k αα++=是Ax b =的解 （C ）12αα-是Ax b =的解 （D ）112212(1)k k k k αα++=是0Ax =的解 4. 设3阶矩阵A 有特征值1231,1λλλ=-==，对应的特征向量分别为1(1,1,2)T α=-，2(1,0,1)T α=-，3(1,2,4)T α=-，则100A = ( C )（A ）A - （B ）I - （C ）I （D ）100A5.若二次型22212312312(,,)282f x x x x x x ax x =+++是正定的，则a 的取值范围是( A )（A ）44a -<< （B ）4a > （C ）4a <- （D ）8a <三、 ( 8分 ) 设135347122A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX A X =-，求X .解 ()A I X A +=,且1A I +=，所以1()X A I A -=+ ………3分()A I A +=235135357347123122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭011111012021123122----⎛⎫ ⎪→---⎪ ⎪⎝⎭100014010201001110-⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭…4分1014()201110X A I A --⎛⎫⎪=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭…………1分四、（10分）设向量组()11210T α=-，()21102Tα=，()3211Ta α=的秩为2， (1)求a 的值；(2)求向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示出来.解1121121121012110130130131010130000000202006006a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭初等行变换初等行变换初等行变换..4 123(,,)2R ααα=，6a ∴=， (2)且12,αα是一个极大线性无关组，3123ααα=-+ (4)五、（12分）当a ，b 是何值时，非齐次线性方程组1231231233210431033(1)90x x x a x x x a x x b x +++-=⎧⎪+---=⎨⎪-+-+=⎩ (1)有唯一解，(2)无解，（3）有无穷多解，并求出其通解。
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末试题含答案
线性代数期末试题含答案学院 系 姓名 学号 分数 22/12/2013一、填空题（本题共10个小题,每小题2分，满分20分。
答案写在答题纸上）。
(1)若=0λ是矩阵A 的特征值，则||A = 0 。
(2)若2λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则1312A -⎛⎫⎪⎝⎭必有一个特征值为 1/4 。
(3)若20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则x y += 1 。
(4)若矩阵A 与矩阵130110002B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 的特征值为 -2，2（二重） 。
(5)若A 为实对称矩阵，T (1,1,3)α=与T (4,5,)a β=是 A 的分别属于特征值3与4的特征向量，则a = -3 。
(6)设,αβ是实对称矩阵A 的分别属于特征值1和2的单位特征向量，则(2)A αβ+= 。
(7)若A 是正交矩阵，,αβ是长度分别为3,4的正交向量，则()A αβ+= 5 。
(8)二次型122331f x x x x x x =++的秩是 3 。
(9)二次型123123123(,,)()(2)=++++f x x x x x x x x x 的符号差为 0 。
(10)二次型3312311(,,)i ji jf x x x x x===∑∑的正惯性指数和秩的乘积是 1 。
二、选择题(本题共10个小题,每小题2分，满分20分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
答案写在答题纸上)。
(1)设A为n阶实对称矩阵，则[ B](A) ) 对于任意n维实向量有;Ax x= (B) A有n个互相正交的特征向量；(C) A的线性无关的两个特征向量一定正交；(D) A有n个互不相同的的实特征值；(2)下列矩阵中不是正交矩阵的是[ D ]cos sin001(A);(B)sin cos0;10001151111(C)51;(D)62114θθθθ︒⎛⎫-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪--⎝⎭⎪⎝⎭(3) n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[B ](A) A有n个互不相同的特征值； (B) A有n个线性无关的特征向量；(C) A有n个互不相同的特征向量； (D) A有n个两两正交的特征向量。
线性代数期末试卷及解析(4套全)2013科大
线性代数期末试卷一一、填空题（每小题3分）（4）设A 为n 阶矩阵，*||0,≠A A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()+A E 必有特征值__________.解：2||1⎛⎫+ ⎪⎝⎭A λ.设0x ≠，使x x λ=A . 由*||⋅=A A A E 知，***||()x x x x ===A A A A A λλ. 由||0≠A 知≠λ0.**2**2||||,()()()x x x x x ===A A A A A A λλ，*22||[()][()1]x x ==+A A E λ，*2()+A E 有一特征值 2||1+A λ.二、选择题（每小题3分）（4）设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---.（A ）相交于一点； （B ）重合； （C ）平行但不重合； （D ）异面。
解：（A ）正确记 1111{,,}a b c =α 1111(,,)a b c =A 2222{,,}a b c =α 2222(,,)a b c =A 3333{,,}a b c =α 3333(,,)a b c =A因为矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，故123,,ααα线性无关，所以112223,s s =-=-r r αααα线性无关，12//s s r r且23,,A A A 三点不共线，确定一平面π，记 1l 为直线333121212,x a y b z c a a b b c c ---==--- 2l 为直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---，则 1l 为过3A ，且平行12A A 的直线，所以1l π∈， 2l 为过1A ，且平行23A A 的直线，所以2l π∈，因为12//s s r r，12//l l ∴，且同在π上，故相交，所以（A ）正确，当然（B ）、（C ）、（D ）不正确.三、（本题满分5分） 求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程，并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.解：将l 的标准方程改为一般方程为 1010x y y z --=⎧⎨+-=⎩过l 的平面束方程为：1(1)0x y y z --++-=λ 由投影关系1(1)20--+=λλ，解之2=-λ 所以过l 且垂直平面π的方程为 3210x y z --==故0l 的方程为2103210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩设点(,,)M x y z 为直线上的点111(,,)M x y z 所旋转而成的曲面上的点，则1y y =且= 即 222211x z x z +=+ （1） 由1M 在0l 上，故111210x y z -+-= （2） 1113210x y z --+= （3） （2）、（3）联立，将11,x z 由1y 表出有11112211(1)(1)22x y yz y y ==⎧⎪⎨=-=-⎪⎩ 代入（1）得： 222214(1)4y y x z +-=+ 所求曲面为2224174210x y z y -++-= 为单叶双曲面. 十、（本题满分6分） 已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++= 可以经过正交变换x y P z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξηζ化为椭圆柱面方程2244+=ηζ，求,a b 的值和正交矩阵P .解：由111111b b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 与014⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似得11111114b b a------=-----λλλλλλ，解之得到3, 1.a b ==对应于特征值10=λ的单位特征向量为T1x =；对应于特征值11=λ的单位特征向量为T2x =；对应于特征值34=λ的单位特征向量为T3x =；因此P ⎛=⎝.十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵，若存在正整数k ，使线性方程组0k x =A 有解向量α，且10k -≠A α. 证明：向量组1,,,k -A A L ααα是线性无关的. 解：设有常数12,,,k L λλλ，使得112,k k -+++=A A L λαλαλα0则有1112(),k k k --+++=A A A L λαλαλα0从而有11.k -=A λα0由于10k -≠A α，所以1.=λ0类似可证得 230,k ====L λλλ因此向量组1,,,k -A A L ααα线性无关.十二、（本题满分5分） 已知线性方程组（I ）1111221,222112222,221122,220,0,0.n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的一个基础解系为T T T 11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n b b b b b b b b b L L L L . 试写出线性方程组（II ）1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的通解，并说明理由.解：（II ）的通解为T T111121,2221222,2(,,,)(,,,)n n y c a a a c a a a =++L L L T 12,2(,,,)n n n n n c a a a +L ，其中12,,,n c c c L 为任意常数.理由：方程组（I ）、（II ）的系数矩阵分别记为,A B ，则由（I ）的已知基础解系可知T=AB 0，于是T T ()==BA AB 0，因此可知A 的n 向个向量的转置向量为（II ）的n 个解向量.由于B 的秩为n ，故（II ）的解空间维数为2n n n -=，又A 的秩为2n 与（I ）的解空间维数之差，即为n ，故A 的n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II ）的一个基础解系，于是得到（II ）的上述通解。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。
7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。
8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。
9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。
10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。
14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。
南京大学线性代数试题1
线代试题1、______________,,4321=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X X A AX A2、_______________________1,001013002501000=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-A A3、___________________1,001520310=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-A A4、设,,0||,03I AA A A I T=<=+ 其中 I 为单位矩阵，求 A 的伴随矩阵 A* 的一个特征值。
5、设 A ，B 为同阶可逆方阵，证明**)*(A B AB =; 若A*=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001,B*=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0110则 ______________________)*(=AB6、若A 是正定矩阵，求证 A* 也是正定矩阵.7、,43242111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=x A ,00020002⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y B 设A 相似于 B ， 1）求常数 y x ,； 2）求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1. 8、已知 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k B 00050001， 且A 与 B 相似，则.______=k 9、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10001000021001x A 有特征值 ,3=λ 求实数x 的值，并求可逆矩阵P 和对角矩阵 B 使得B AP P T =.10、向量组 )1,0,2,1(1-=α，)0,3,1,2(2=α，)1,,0,3(3λα=线性无关，则常数λ应满足条件____________.11、若向量321,,ααα线性无关， 求证 2132αα+，324αα+，135αα+ 也线性无关.12、方程组的 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0005443321x x x x x x x 的一个基础解系为________________________.13、线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解的充要条件是________________.14、设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x x x ax 问b a ,为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时，求出全部解.15、设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211121112A ， 求一正交矩阵 P ，使得AP P AP P T =-1为对角矩阵.16、（特征值与实对称矩阵）设m n A ⨯为实矩阵，求证 TAA n A r ⇔=)(为正定矩阵.17、证明：1、相似矩阵有相同的特征根； 2、若实对称矩阵A 和B 相似，则存在正交矩阵P ，使得B AP P =-1.六、设 E E A A E A =++-)2)((2, E 为单位矩阵，求证 E A + 可逆. 七、（10分） 设 n ααα,,,21 是线性相关的n 维列向量组，),,,,(21n A ααα =A是 A 的伴随矩阵，*A 的 (1,1) 元 011≠A ，求线性齐次方程组 0*=X A 的通解.八、（18分） 设 321,,ααα 是线性无关的3维列向量组，A 为3阶矩阵，32112αααα-+=A ，3222ααα+=A ，32332ααα+=A ，1） 若 B A ),,(),,(321321αααααα=，求矩阵 B ； 2） 求 B 的特征值与特征向量； 3）求 A 的特征值； 4）求可逆矩阵 P 和对角阵 D ，使得 D AP P =-1.2010年上半年期末试题： 一、填空题：（1）若12 z 1 0y 13 x =1，则 11 1 7 1 101-z 1-y 1-x = ．（2）设三阶行列式A =) , ,( γβα=3，（其中γβα , ,为三维列向量）． 则 B =) , ,( αγγββα+++= ．（3）设三阶方阵A 的逆矩阵为 1A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 2 0 0 2- 2 0 2 0 1 ，则 (A *)1－= ．（4）设n 阶方阵A 的各行元素之和为0，且A 的秩为 n -1，则线性方程组Ax=0的通解为．（5）已知三阶矩阵A 的特征值1λ=0，2λ=1，3λ=-1，对应的特征向量分别为321 , ,ξξξ，设矩阵P=（123,,ξξξ）， 则P 1-AP= ．（6）设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 1 1 3 2 x 2 0 0 2与B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2 0 0 0 2 0 0 0 1相似 ． 则x= ．(7) 已知三阶矩阵A 有三个特征值1λ=-2，2λ=1，3λ=2， 又B=3A -32A ．则B 的所有特征值为．（8）设二次型 f(321,,x x x ) =()2332211x a x a x a ++，则此二次型的矩阵是 ．（9）二次型 f(21,x x )=222121cx x bx ax ++ 正定的充要条件是 ．（10）在线性空间 P 2[x] 中，求从基底 1, x -2, (x -2)2 到基底 1, x , x 2 的过渡矩阵．二．(10分)求向量组 1α=(1, 2, -1, -2)T , 2α=(2, 5, -6, -5)T , 3α=(3, 1, 1, 1)T ,4α=(-1, 2, -7, -3)T 的一个极大无关组, 并将其余向量表示成它们的线性组合．三．(10分) 设三阶实对称矩阵A 的秩为2，1λ=2λ=6是A 的二重特征值，若1α=( 1, 1, 0)T , 2α=(2, 1, 1)T , 3α=(-1, 2, -3)T 都是A 的属于特征值6的特征向量．求A 的另一个特征值和对应的特征向量．四. (10分)(1)求一个正交变换，将二次型 f(321,,x x x ) =2(313221x x x x x x ++) 化为标准型． (2)设A 为n 阶实对称矩阵，试证明：存在N>0，对任意 c> N ，A + cE 为正定矩阵五．(10分)设两个线性方程组分别为：(I) ⎩⎨⎧=+-=++0 02431321x x x x x x ； (II) ⎩⎨⎧=-+=-++-0 0623214321x x x x x x x ．（1）分别求这两个线性方程组（I ）和（II ）的解空间S 1, S 2的基和维数；（2）求这两个解空间的交S 1∩S 2与 和S 1+S 2的基与维数．六．(10分) 设数域K=R ，线性变换T 在在基 321,,εεε下的矩阵是A= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛122212221 ，求T 的特征值和特征向量.七．(10分) 设欧氏空间 P 2[x] 中的内积定义为 (f,g)=⎰-11)()(dx x g x f ,（1）求基 1, x , x 2的度量矩阵A ；（2）利用矩阵A 计算 f(x)=1- x + x 2 与 g(x)= 1-4 x -5x 2的内积．。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。
左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括：A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的共轭转置？A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案：1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题（每空2分，共20分）1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn}，则向量v可以表示为______ 。
线性代数期末考试试卷(doc 6页)
D ．12.n ααα⋅⋅⋅中任一部分线性无关。
5．下列条件中不是n 阶方阵A 可逆的充要条件的是（ ）。
A ．0A ≠；B ．()R A n =；C ．A 是正定矩阵；D ．A 等价于n 阶单位矩阵。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．123212233031332x x x x x x x x x ------=+-的根的个数为 个。
7．20102009100110100001012010010101001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
8．010100002A x ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，当 时，矩阵A 为正交矩阵。
9．设A 为5阶方阵，且()3R A =，则()*R A = 。
10．设三阶方阵A 的特征值为1、2、2，则14A E --= 。
三、计算题（每小题10分，共50分）11．计算行列式ab ac ae bd cd de bfcf ef ---。
得分 得分12．已知111022003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*A -、()*1A -、1A -。
13．问,a b 各取何值时，线性方程组1231231232021324x x x x x ax x x x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？无解？有无穷多解？有无穷多解时求其通解。
得分 得分14．设向量组()131T a α=，()223T b α=，()3121T α=，()4231T α=的秩为2，求,a b 。
15. 设n 维向量(),0,0,T a a α=⋅⋅⋅，0a <，且T A E αα=-⋅,11T A E a αα-=+⋅,求a 。
得分得分学院：专业：班级：四、解答题（10分）16．设3阶对称矩阵A的特征值为6、3、3，与6对应的特征向量为()1111TP=,,，求矩阵A。
得分五、证明题（每小题5分，共10分） 17．设A 、B 为两个n 阶方阵，且A 的n 个特征值互异，若A 的特征向量恒为B 的特征向量，证明AB BA =。
(完整word版)南京大学《高等代数》2013年期末考试题及答案
南京大学高等代数2013年期末考试试卷及答案（A 卷)一、 填空题(每小题3分，共15分）1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基,由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C,列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是:二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 ( )复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； (B)数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间.2、（ ）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：(A ）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B ）的核是V 的充要条件是是满射；（C ）的值域是零子空间的充要条件是是满射；(D ）的值域是V 的充要条件是是满射.3、( ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的;()()D A λ是方阵.4、（ ）设实二次型f X AX '=(A 为对称阵）经正交变换后化为： 2221122...n n y y y λλλ+++, 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数;()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
大学线性代数期末试卷及答案
大学线性代数期末试题一、填空题（每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3、n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线性代数期末考试试卷+答案
大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ）5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线性代数期末试题及答案
8.设A 为三阶方阵, 且3=A , 则 12-=A .一、填空题（每小题2分，共20分）1.行列式=-203297302233241.2.设014111112--=D ，则=++333231A A A .3.设 , 231102 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 则= )( TAB . 4.设052=-+I A A ，则=+-1)2(I A .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A .6.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30511132a A ，且秩(A )=2，则=a .9.向量组1(1,2,1,1),T α=-,)0,3,0,2(2T=αT )1,4,2,1(3--=α的秩等于 . 10.设21,αα是)3(≥n n 元齐次线性方程组OAX =的基础解系，则=)(A r .二、选择题（每小题2分，共20分）1.已知101yxy x aA =，则A 中元素a 的代数余子式11A 等于（ ）.A.1- B .1 C .a - D .a2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）.A .3B .3-C .5D .5-3.B A ,均为n 阶矩阵，且2222)(BAB AB A ++=+，则必有（ ）.A.B A = B .I A = C .I B = D .BA AB =4.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）.A.0=+B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B5.设33⨯阶矩阵),,(1γβα=A ，),,(2γβα=B ，其中γβαα,,,21均为3维列向量，若2=A ，1-=B ，则=+B A （ ）.A.4 B .4- C .2 D .16.设B AX =为n 个未知数m 个方程的线性方程组，,)(r A r =下列命题中正确的是（ ）.A .当n m =时，B AX =有唯一解 B .当n r =时，B AX =有唯一解C .当m r =时，B AX =有解D .当n r <时，B AX =有无穷多解7.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A .1或2B .1或－2C .－1或2D .－1或－28.n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中（ ）.A.所有的r 阶子式都不等于零 B .所有的1r +阶子式都不等于零 C.有一个r 阶子式不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零9.设向量组,),,1(21T a a =α,),,1(22T b b =αT c c ),,1(23=α，则321,,ααα线性无关的充分必要条件是 （ ）.A.c b a ,,全不为0 B .c b a ,,不全为0 C .c b a ,,互不相等 D .c b a ,,不全相等10.已知21,ββ为b AX =的两个不同的解，21,αα为其齐次方程组0A X =基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组b AX =的通解可表成（ ）.A.2)(2121211ββααα-+++k kB .2)(2121211ββααα++-+k k线性代数期末试题答案一、填空题（每小题2分，共20分）1.52.03. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031314170 4. )(31I A - 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.)()(A r A r =7.6=a8. 38 9.2 10.2-n二、选择题（每小题2分，共20分）1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 三、（8分)解：3211324-824823592373(1)373125212412411131D -===-----18361836(1)1313241=-=-=-四、（10分）解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--461351341)2(1E A (3) 由XA AX2+=，得A XE A =-)2(A E A X 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=9122692683321011324461351341五、（12分）解：将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：22112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎢⎥-⎣⎦A所以，⑴ 当1k≠-且4k ≠时，()()3r r ==A A ，此时线性方程组有唯一解．⑵ 当1k =-时，()2=A r ，()3=A r ，此时线性方程组无解．⑶ 当4k=时，()()2==A A r r ，此时线性方程组有无穷多组解．此时，原线性方程组化为132334x x x x =-⎧⎨=-⎩ 因此，原线性方程组的通解为13233334x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或者写为123034101x x C x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x (C R)∈六、（10分）解：记向量组4321,,,αααα对应矩阵为A 并化为行阶梯形矩阵为12341223122324130212(,,,)12030013062300002634000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以向量组4321,,,αααα的秩为3且它的一个最大无关组为：123,,ααα或124,,ααα1004101020013000000A -⎛⎫⎪ ⎪- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭41231432αααα=--+ 七、（12分）解：（1）.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=61826239131039131024511810957245113322311312A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000000039131015801为自由未知量。
线性代数期末考试试卷及答案
一、 填空题(每空3分，共15分)1、设A 为n 阶方阵，且3A =，则|3A |= 。
2、设矩阵5678A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A *= 。
（其中A *是A 的伴随矩阵） 3、已知n 阶矩阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。
4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 。
5、二次型22212312133428f x x x x x x x =-+-+的实对称矩阵为 。
二、选择题(每小题3分，共15分)1、12021k k +≠+的充要条件是（ ）（A ）1k ≠ （B ）3k ≠-（C ）1k ≠且3k ≠- （D ）1k ≠或3k ≠-2、若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为（ ） ()A 12 ()B -12 ()C 18 ()D 03、设,A B 都是n 阶方阵，且0AB =，则下列一定成立的是（ ）()A 0A =或0B = (),B A B 都不可逆 (),C A B 中至少有一个不可逆 ()0D A B += 4、向量组()12,,,2s s ααα≥ 线性相关的充分必要条件是（ ）()A 12,,,s ααα 中含有零向量。
()B 12,,,s ααα 中有两个向量的对应分量成比例。
()C 12,,,s ααα 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示。
()D 12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示。
5、当ad ≠bc 时，1a b c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦=（ ） （A ）d c b a -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（B ）1d b c a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（C ）1d b c a bc ad ⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（D ）1d c b a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦三、（8分）计算行列式411102*********23D -=-四、（11分）求向量组()()()()12342,1,1,1,1,1,7,10,3,1,1,2,8,5,9,11αααα==-=--=的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示。
线性代数期末试卷及答案3
线性代数期末试卷一、 填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1、设1D = 3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）1、若方程13213602214x x x x -+-=---成立，则x 是 （A ）-2或3； （B ）-3或2；（C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； （B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
线性代数期末试卷及详细答案
（A ）A=E
（B ） A 相似于 E （ C） A2 E
（ D） A 合同于 E
8、若 1, 2, 3 , 4 是线性方程组 AX O 的基础解系，则 1 + 2 + 3 + 4 是 AX O 的
（A ）解向量
（ B）基础解系
（ C ）通解；
（ D） A 的行向量；
9、 1 , 2 都是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 2 ，且 X 1 和 X 2 分别是对应于 1 和 2 的特征
准型，并求出正交变换。 四、证明题（ 7 分）
设 A 为 m× n 矩阵， B 为 n 阶矩阵，已知 R(A) n
证明：若 AB=O ，则 B=O
《线性代数》期末考试题 A 题参考答案与评分标准
填空题
1、 -10；
2、 81；
3、
4，
6，
12；
1
4、
A
3E ；
2
5、 5；
二、单项选择题 ( 每小题 2 分，共 20 分)
填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分，共 10 分）
345
1、设 D1 = 3 1
5 ， D2= 5
2
2
1 0
0 ，则 D = D1 O
0
O
= _____________。
D2
2、四阶方阵
A、B ，已知
1 A=
，且 B= 2A -1
16
1
2A ，则 B =_____________ 。
1b1
002
求 a,b 6、齐次线性方程组
2 x1 x2 3x3 0 x1 3x2 4 x3 0
x1 2 x2 ax 0
2013级线性代数期末考试题(A卷)答案
2013—2014学年第一学期线性代数课程期末考试试卷参考答案（A 卷）一、（每小题2分，共8小题）1 错；2 对；3 对；4 C ；5 B ；6 B ；7 A ；8 B二、行列式计算 （本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）1、计算四阶行列式1110110110110111D =.解：根据行列式的性质，原行列式等于：1(234)21311/3414*3/211103333110111012101110110111011111111111110100103*3*21011010001111003*(1)*1*(1)*(1)*(1)32r r r r r r r r r r r D +++---==-==--=----=-分分分2、计算n 阶行列式11111222(2)1233123n n>.解：根据行列式的性质，原行列式等于：12111110111001100011n n r r r r ---==原式6分2分三、矩阵X ，A ，B 满足3AX X B =+,其中 （本题共8分）301050303A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222369B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X 。
解：由 3AX X B =+ 可得：(3)A E X B -= 2分又因为 0010203003A E ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭-= 且它是可逆矩阵 1分所以 1(3)X A E B -=- 1分通过计算可得：1001/301/20100(3)A E -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭- 2分所以 123111111X ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭= 2分四、当a 取何值时，线性方程组：1232312343133(1)0x x x ax x x x a x ---+==+++=⎧⎪⎨⎪⎩无解，有惟一解，有无穷多解？并在方程组有无穷多解时求其通解。
（本题14分） 解：方程组的增广矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---01313301141a a 。
线性代数期末考试试题C及解答
一、（36分）填空（2分 18）
1、四阶行列式 的展开式中有一项 ，此项前面应带的的符号
为；三阶行列式 第三行元素的代数余子式之和 =。
2、当 时，向量组
线性相关，此时向量组 ， ， 的一个极大无关组为。
3、设向量 ，则 ， ，矩阵 的秩 。
4、设 为四阶方阵，且 =2，则 =， （其中 为矩阵 的伴随矩阵）， 的行向量组线性关。
1、计算四阶行列式：
2、已知矩阵 ， 满足矩阵方程 ，
求矩阵 。
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3、设三阶矩阵 ，且 ，
求：（1） ；（2）
4、已知 为三阶矩阵 的特征值， 为 属于特征值 的特征向量，求 的值；并判断 能否与对角形矩阵相似，说明理由。
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三、（12分）设线性方程组 。
问： 取何值时，方程组有无穷多解；此时求出方程组的通解。
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四、（15分）设二次型 ，
1、写出此二次型的系数矩阵 ；
2、 取何值时，此二次型正定；
3、当 时，该二次型在正交变换 下化为标准形 ，求出此正交变换 。
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五、（10分）证明题（5分+5分）
1、 阶矩阵 满足 。求证：矩阵 可逆，并求 。
2、 中，向量组 线性无关， 为 阶矩阵，使向量组 线性相关，问矩阵 应满足什么条件，并给出证明。
5、 为 矩阵，齐次线性方程组 有非零解的充分必要条ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为，
此时 的一个基础解系中含个解向量。
6、设二阶矩阵 ，且对角形矩阵 ，则 ；又矩阵 与 相似，则 ， 。
7、设三阶矩阵 ， 且矩阵 均不可逆，则 的三个特征值为，又实对称矩阵 与 相似，则二次型 的秩为，且此二次型的规范形是。